E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 2...

E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosEjercicios Tema 2

Aproximación e interpolaciónCurso 2005/06

1. Queremos aproximar el valor1 de sin(0.1)

(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 y calcula p4(0.1)

(b) Calcula una cota superior de error absoluto y relativo que seproduce cuando aproximamos sin(0.1) mediante p4(0.1).

(c) Verifica el resultado comparando con el valor de sin(0.1) que pro-porciona la calculadora o Maple. Realiza los cálculos con 10 dec-imales.

2. Consideramos la función sin(x).

(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 usando Maple.

(b) Representa conjuntamente la función seno y el polinomio en elintervalo [−2, 2].

(c) Construye la expresión del error absoluto

e4(x) = |R4(x)| = |sin(x)− p4(x)|y represéntala en [−2, 2]. A partir del gráfico, determina una cotasuperior de error absoluto.

(d) Construye la función de error relativo

r4(x) =sin(x)− p4(x)

sin(x)

represéntala en [−1, 1]. A partir del gráfico, determina una cotasuperior de error relativo.

3. Consideramos la función cos(x),

(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 6.

(b) Determina una cota superior del error absoluto que se comentecuando aproximamos cos(x) mediante el p6(x) en el intervalo[0, π4 ].

1En los sucesivo, los ángulos están en radianes

1

Ejercicios: Aproximación e Interpolación 2

4. Queremos aproximar e0.5.

(a) Calcula el polinomio de McLaurin de orden 5.

(b) Calcula un cota superior del error absoluto y del error relativoque se produce cuando aproximamos e0.5 mediante p5(0.5). Veri-fica los resultados comparando los valores que se obtienen con lacalculador o Maple.

5. Consideramos la función ex.

(a) Construye los polinomios de McLaurin de orden 3,4 y 5 usandoMaple.

(b) Representa conjuntamente la función ex y los polinomios obtenidosen el intervalo [0, 1].

(c) Construye las función de error absoluto

ej(x) = |Rj(x)| = |exp(x)− pj(x)| , j = 3, 4, 5

y represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cadacaso, una cota superior de error absoluto.

(d) Construye las función de error relativo

rj(x) =exp(x)− pjexp(x)

, j = 3, 4, 5

represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cadacaso, una cota superior de error relativo.

(e) Amplía el cálculo de cotas de error al intervalo [−2, 2] ¿Siguesiendo bueno el comportamiento de los polinomios como aproxi-mantes de ex?

6. Consideramos la siguiente tabla de datos

x 0 1 2

y −1 1 3

(a) Plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar el poli-nomio interpolador de la tabla

(b) Escribe la matriz de Vandermonde correspondiente

(c) Resuelve el sistema y determina el polinomio interpolador

(d) Verifica los resultados con Maple


7. Consideremos la tabla de datos

x x0 x1 x2y y0 y1 y2

Puede demostrarse que el polinomio interpolador de la tabla p(x)queda determinado por la siguiente expresión

1 x x2 p(x)1 x0 x20 y01 x1 x21 y11 x2 x22 y2

= 0

(a) Usando la fórmula anterior, determina el interpolador de la tabla

x 0 1 2

y −1 1 3

(b) Resuelve el apartado (b) con Maple


x 0 1 2 −1y 0 1 3 0

(a) Determina un polinomio p(x) de grado menor o igual que 3 queinterpole los valores de la tabla

(b) ¿Hay algún polinomio de grado 3 que pase por los puntos de latabla? ¿Y de grado 4?

(c) Calcula el polinomio interpolador de la tabla con Maple

9. Calcula los polinomios de grado 2 que para x = 1 y x = −1 toman elvalor 1.

10. Aproxima2 log(4)

(a) Mediante interpolación lineal a partir de los valores

log(3) = 0. 47712 12, log(5) = 0. 69897 00

(b) Mediante interpolación parabólica usando los valores del apartadoanterior y, además, log(4.5) = 0.6532125

2 log(x) representa el logaritmo decimal. Recuerda que

d

dxlog(x) =

1

x ln(10)

donde ln(x) representa el logaritmo neperiano.


(c) Determina cotas superiores para el error absoluto y relativo.

(d) Compara los valores obtenidos con el valor de log(4) que propor-ciona la calculadora. Calcula el error absoluto y relativo corres-pondientes a cada caso y verifica la corrección de las cotas supe-riores de error.


x −2 −1 0 1 2

y 1 4 11 16 a

(a) Calcula el polinomio p(x) que interpola los cuatro primeros pun-tos de la tabla

(b) ¿Qué valor debe tener a para que el polinomio que interpola loscinco puntos coincida con el del apartado anterior?

(c) Determina con Maple el polinomio que interpola los 4 primerospuntos de la tabla.

(d) Determina con Maple todos los polinomios de grado 4 que inter-polan los valores de la tabla.

12. Consideramos las siguientes tablas de datos

x 0 1 2

y 1 −2 −3x 0 1 2 −1y 1 −2 −3 6

(a) Calcula los polinomios que interpolan las tablas.

(b) ¿Qué relación hay entre ellos? ¿A qué se debe esta relación?

(c) Calcula los polinomios con Maple.


x 1 2 3 5 6

y 4.75 4 5.25 19.75 36

Calcula valores aproximados para f(3.5) usando polinomios de Newtonde orden 1,2,3,4, escogiendo, en cada caso, los puntos más adecuados.

14. Para una función f(x), conocemos los siguientes valores

x 1 2 4 5 6

f(x) 0 2 12 21 32

(a) ¿Cual es la mejor elección de nodos para aproximar f(3.5)median-te interpolación cuadrática?


(b) Aproxima f(3) mediante interpolación cuadrática usando unaelección de nodos distinta a la del apartado anterior.

(c) Aproxima f(3) usando el polinomio interpolador de grado máx-imo.

15. Consideramos la integral

v =1

0e−x

2dx

Es bien sabido que la función f(x) = e−x2 no tiene primitivas quepuedan expresarse como combinación sencilla de funciones elementales.Para aproximar el valor de la integral, podemos construir un polinomiointerpolador y calcular su integral

(a) Calcula el polinomio p2(x) que interpola a f(x) en los nodos

x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1.

(b) Construye con Maple una representación conjunta de f(x) y p2(x)

(c) Calcula el valor

v̄ =1

0p2(x) dx

(d) Calcula con Maple un valor aproximado de v. Determina el er-ror absoluto que se produce cuando aproximamos v mediante laintegral del polinomio interpolador.

(e) Repite todo el ejercicio tomando ahora 5 puntos igualmente repar-tidos en el intervalo y un polinomio de grado 4. Para obtener 5nodos igualmente espaciados en [a, b], hacemos

xj = a+ jh, j = 0, 1, 2, 3, 4. h =b− a4

En nuestro caso es, h = 0.25 y resulta

x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1

16. Consideramos los valores

x 0 1

y 1 2

y 1 −1

(a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar el poli-nomio de grado ≤ 3 que interpola los valores de la tabla


(b) Resuelve el sistema y verifica que, efectivamente, el polinomiocumple las condiciones exigidas

17. Calcula el interpolador de Hermite de la tabla

x 0 1

y 1 3

y 0 −1usando diferencias divididas. Verifica que el polinomio obtenido tomalos valores adecuados.

18. Consideramos los valores

x x0 x1y y0 y1y y0 y1

puede demostrarse que el polinomio de Hermite que interpola la tablaanterior queda determinado por la expresión

1 x x2 x3 p(x)1 x0 x20 x30 y00 1 2x0 3x20 y01 x1 x21 x31 y10 1 2x1 3x21 y1

= 0

Usando la expresión anterior, determina el interpolador de Hermitepara la tabla

x 0 1

y 1 2

y 1 −119. Para un objeto móvil, conocemos la posición (en metros) y la velocidad

(enm/s) en los instantes t = 4s y t = 5s. Estima el valor de la posicióny la velocidad para t = 4.5s

t 4. 5.

e(t) 40 65

v(t) 1 −1

20. Demuestra que el máximo absoluto de la función

h(x) = (x− x0)2 (x− x1)2

sobre el intervalo [x0, x1] se produce en

xM =x0 + x12


y que el valor del máximo es

M = maxx∈[x0,x1]

h(x) =(x1 − x0)4

16

21. (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola la función sin(x)en x0 = 0 y x1 = π/4.(b) Aproxima el valor de sin(0.5), calcula una cota superior de errorabsoluto.(c) Calcula una cota superior de error absoluto válida para todo x ∈[0,π/4].

22. (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola la función ex enlos nodos x0 = 0 y x1 = 0.5.(b) Aproxima el valor de e0.25, calcula una cota superior de error ab-soluto.(c) Determina cotas superiores para el error absoluto válidas paracualquier x ∈ [0, 0.5].

23. Para un objeto móvil, conocemos los siguientes datos

Tiempo (s) 0 2 3 4 5 6

Posición (m) 0 8 34 67 115 146

Velocidad (m/s) 1 1.5 3 1.5 −1 0

(a) Construye un función a trozos que modelice la distancia recorridaen la forma

e(t) =

p1(t) 0 ≤ t < 2p2(t) 2 ≤ t < 4p3(t) 4 ≤ t ≤ 6

donde pj(t) es el polinomio de Hermite que interpola la tabla enlos extremos del intervalo correspondiente.

(b) Calcula el error absoluto y relativo que se produce cuando aprox-imamos la posición y la velocidad en t = 3 y t = 5 usando e(t).

Soluciones

1. (a) El polinomio de McLaurin de orden 4 es p4 = x− x3

6 . Valor aprox-imado

p4(0.1) = 0.0998333333.

(b) Cota superior de error absoluto

|R4(0.1)| ≤ f (5)(ξ)

5!(0.1)5 ≤ 0.1

5

5!= 0.8 33333×10−7 (ξ entre 0 y 0.1).


Tenemos, por lo tanto, al menos 6 decimales exactos en la aproxi-mación. Cota superior de error relativo

δ|R4(0.1)||p4(0.1)| = 0.8 34724 2073× 10

−6.

Tenemos 6 dígitos significativos.(c) Error absoluto

e = |sin(0.1)− p4(0.1)| = 0.833135× 10−7

Error relativo

r =|sin(0.1)− p4(0.1)|

sin(0.1)= 0.834525× 10−6.

Vemos que los errores reales son, en efecto, inferiores a las cotas deerror obtenidas.

2. (a) El polinomio de McLaurin de orden 4 se construye con las órdenes

> s4:=series(sin(x),x,5);p4:=convert(s4,polynom);

(b) La representación conjunta de sin(x) y p4(x) puede hacerse con

> plot([sin(x),p4],x=-2..2);

(c) La definición de e4(x) y su representación puede hacerse con lasórdenes

> e4:=abs(sin(x)-p4);plot(e4,x=-2..2);

Una cota gráfica de error es e4(x) ≤ 0.25(d) Una cota gráfica de error relativo es δ4(x) ≤ 0.0097

3. (a) Polinomio de McLaurin

p6(x) = 1− x2

2+x4

24− x6

720

(b) Cota de error en [0,π/4]

e6(x) = |R6(x)| ≤ sin (π/4)7!

π

4

7= 0.2 586× 10−4

Cota mejorada. En el caso de f(x) = cos(x) se cumple

f (7)(0) = sin(0) = 0


y, por lo tanto,p6(x) = p7(x)

Podemos tomar la cota de error

e6(x) = |cos(x)− p6(x)| = |cos(x)− p7(x)|

= |R7(x)| = f (8)(t)

8!x8 =

cos(t)

8!x8

≤ (π/4)8

8!= 0.3 591× 10−6

El polinomio de McLaurin de orden 6 para cos(x) proporciona 5 deci-males exactos en el intervalo [0, π4 ].

4. (a) Polinomio de McLaurin

p5(x) = 1 + x+1

2x2 +

1

6x3 +

1

24x4 +

1

120x5

Valor de la aproximación

p5(0.5) = 1. 64869 792

(b) Cotas de error

e5(0.5) = |R5(0.5)| = f (6)(t)

6!(0.5)6 ≤ e

0.5

6!(0.5)6

usamos la aproximación obtenida y tomamos

e0.5 1.7

e5(0.5) ≤ 1.76!(0.5)6 = 0.3 689× 10−4

Tenemos 4 decimales exactos, el valor de la aproximación es

e0.5 = 1. 6487

La cota de error relativo es

r5(0.5) ≤e0.5

6! (0.5)6

e0.5=(0.5)6

6!= 2. 1701× 10−5

Tenemos 5 dígitos significativos.Los errores exactos son: error absoluto

e5(0.5) = e0.5 − p5(0.5) = 0. 23354× 10−4

Error relativo

r5(x) =e0.5 − p5(0.5)

e0.5= 1. 4165× 10−5


5. Cotas de error estimadas gráficamente en el intervalo [0, 1]

n = 3 n = 4 n = 5

cota en(x) 0.06 0.01 0.0017cota rn(x) 0.019 0.0037 0.00063

6. (a) El polinomio interpolador es de la forma

p2(x) = a0 + a1x+ a2x2

el sistema es a0 = −1a0 + a1 + a2 = 1a0 + 2a1 + 4a2 = 3

(1)

(b) La matriz de Vandermonde de las abscisas x0, x1, x2 es

V (x0, x1, x2) =

1 x0 x201 x1 x211 x2 x22

En nuestro caso, se obtiene

V (x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2) =

1 0 01 1 11 2 4

Observa que la matriz de Vandermonde es la matriz de coeficientes delsistema de ecuaciones (1) que determina el polinomio interpolador.(c) El sistema tiene solución

a0 = −1, a2 = 0, a1 = 2

El polinomio esp2(x) = 2x− 1

(d) Puedes construir el interpolador con las órdenes > xx:=[0,1,2];yy:=[-1,1,3];p2:=interp(xx,yy,t)

obtendrás como resultado un polinomio en la variable t. La orden paraobtener el polinomio con la variable x es

> p2:=interp(xx,yy,x)


7. (a)1 x x2 p(x)1 0 0 −11 1 1 11 2 4 3

= 0

calculando el determinante, resulta

−2 + 4x− 2p(x) = 0

y despejandop(x) = −1 + 2x

(b) Solución con MapleCargamos la librería de álgebra lineal lianlg

> with(linalg);

Construimos la matriz

> m:=matrix([[1,x,x^2,p],[1,0,0,-1],[1,1,1,1],[1,2,4,3]]);

Calculamos el determinante

> d:=det(m);

Resolvemos en p> solve(d=0,p);

8. (a) Si calculamos las diferencias divididas, resulta

x0 = 0 f [x0] = 0x1 = 1 f [x1] = 1 f [x0, x1] = 1

x2 = 2 f [x2] = 3 f [x1, x2] = 2 f [x0, x1, x2]=12

x3 = −1 f [x3] = 0 f [x2, x3] = 1 f [x1, x2, x3]=12 f [x0, x1, x2, x3] = 0

El polinomio interpolador es

p2(x) = x+1

2x (x− 1)

si operamos (no es necesario) obtenemos

p2(x) =1

2x+

1

2x2

(b) No hay ningún polinomio de grado 3 que pase por los cuatro puntos,los puntos están sobre una parábola. Hay infinitos polinomios de grado


4 que interpolan los puntos de la tabla.(c) Las órdenes son > xx:=[0,1,2,-1];

yy:=[0,1,3,0];p2:=interp(xx,yy,x);

9. Interpolamos con los datos, donde hemos añadido un nodo y le hemosdado el valor arbitrario a

x 1 −1 0

y 1 1 a

Diferencias

x0 = 1 f [x0] = 1x1 = −1 f [x1] = 1 f [x0, x1] = 0

x2 = 0 f [x2] = a f [x1, x2] = a− 1 f [x0, x1, x2]=a−1−1 = 1− a

Interpolador

p2(x) = 1 + (1− a)(x− 1)(x+ 1)= (1− a)x2 + a

10. (a) Interpolación lineal p1(4) = 0.5880456(b) Interpolación cuadrática p2(4) = 0.6009852(c) Cotas error interpolación lineal

e1(4) ≤ 0.2413× 10−1, r1(4) ≤ 4.103× 10−2

Cotas error interpolación cuadrática

e2(4) ≤ 0.268× 10−2, r2(4) ≤ 4.461× 10−3

(d) Errores interpolación lineal

e1(4) = 0.14014× 10−1, r1(4) = 2.328× 10−2

Errores interpolación cuadrática

e2(4) = 0.10748× 10−2, r2(4) = 1.785× 10−3

11. (a) En forma de Newton

p3(x) = 1 + 3 (x+ 2) + 2 (x+ 2) (x+ 1)− (x+ 2) (x+ 1)xsi operamos (no es imprescindible), resulta

p3(x) = 11 + 7x− x2 − x3


(b) Debe cumplirse a = p3(2)⇒ a = 13(c) Podemos obtener el interpolador con las siguientes órdenes > xx:=[-2,-1,0,1];

yy:=[1,4,11,16];p3:=interp(xx,yy,x);

(d) Añadimos un punto con una nodo x4 que no esté en la tabla, porejemplo, x4 = 2 y un valor arbitrario y4 = a > xx:=[-2,-1,0,1,2];

yy:=[1,4,11,16,a];p4:=interp(xx,yy,x);

12. (a) Para la primera tabla, obtenemos las diferencias

x0 = 0 f [x0] = 1x1 = 1 f [x1] = −2 f [x0, x1] = −3x2 = 2 f [x2] = −3 f [x1, x2] = −1 f [x0, x1, x2]= 1

el interpolador es

p2(x) = 1− 3x+ x (x− 1)= 1− 4x+ x2

Si añadimos x3 = −1 y f [x3] = 6 y completamos la tabla de diferencias,resulta

f [x0, x1, x2, x3] = 0

por lo tantop3(x) = p2(x)

(b) Los polinomios son iguales, esto se debe a que el polinomio p2(x)pasa por el punto adicional (x4, y4).(c) Ordenes Maple > xx:=[0,1,2];

yy:=[1,-2,-3];p2:=interp(xx,yy,x);

13. Debemos tomar, en cada caso, los nodos que mejor encajan el valorx = 3.5.— Interpolación lineal, x0 = 3, x1 = 5— Interpolación cuadrática, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2— Interpolación cúbica, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6


— Interpolación orden 4, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6, x4 = 1Si construimos la tabla de diferencias con ese orden de nodos, resulta

f [x0] = 5.25, f [x0, x1] = 7.25, f [x0, x1, x2] = 2

f [x0, x1, x2, x3] = 0.25, f [x0, x1, x2, x3, x4] = 0

Los resultados son— Interpolación lineal, x0 = 3, x1 = 5

p1(x) = 5.25 + 7.25 (x− 3)p1(3.5) = 5.25 + 7.25 (3.5− 3) = 8.875

— Interpolación cuadrática, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2

p2(x) = p1(x) + 2 (x− 3) (x− 5)p2(3.5) = p1(3.5) + 2 (3.5− 3) (3.5− 5) = 7.375

— Interpolación cúbica, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6

p3(x) = p2(x) + 0.25 (x− 3) (x− 5) (x− 2)p3(3.5) = p2(3.5) + 2.25 (3.5− 3) (3.5− 5) (3.5− 2) = 7.09375

— Interpolación orden 4, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6, x4 = 1. Como

f [x0, x1, x2, x3, x4] = 0

p4(x) = p3(x), p4(3.5) = p3(3.5)

14. (a) Los dos primeros nodo son x0 = 2 y x1 = 4. Como tercer nodo,podemos tomar x2 = 1, o bien, x2 = 5 pues

d(3, 1) = d(3, 5) = 2

En este primer apartado, tomamos x0 = 2, x1 = 4, x2 = 1

x0 = 2 f [x0] = 2x1 = 4 f [x1] = 12 f [x0, x1] = 5

x2 = 1 f [x2] = 0 f [x1, x2] = 4 f [x0, x1, x2]= 1

p2(x) = 2 + 5 (x− 2) + (x− 2) (x− 4)p2(3) = 2 + 5− 1 = 6

Si operamos esp2(x) = x

2 − x


(b) Con la elección de nodos x0 = 2, x1 = 4, x̄2 = 5, resulta

x0 = 2 f [x0] = 2x1 = 4 f [x1] = 12 f [x0, x1] = 5

x̄2 = 5 f [x̄2] = 21 f [x1, x̄2] = 9 f [x0, x1, x̄2]=43

p̄2(x) = 2 + 5 (x− 2) + 43(x− 2) (x− 4)

p̄2(3) = 2 + 5− 43=17

3= 5. 6667

Si operamos, resulta

p̄2(x) =8

3− 3x+ 4

3x2

(c) Si tomamos los nodos

x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4, x3 = 5, x4 = 6

y formamos la tabla de diferencias, resulta

f [x0] = 0, f [x0, x1] = 2, f [x0, x1, x2] = 1

f [x0, x1, x2, x3] =1

12, f [x0, x1, x2, x3, x4] = − 1

30

resulta

p4(x) = 2 (x− 1) + (x− 1) (x− 2) + 1

12(x− 1) (x− 2) (x− 4)

− 130(x− 1) (x− 2) (x− 4) (x− 5)

p4(3) = 4 + 2− 1

12− 4

30= 5.7

15. (a) Usamos la función f(x) = e−x2 para calcular los valores

x 0 0.5 1

y 1 0.77880 0.36788

La tabla de diferencias es

x0 = 0 f [x0] = 1x1 = 0.5 f [x1] = 0.77880 f [x0, x1] = −0. 44240x2 = 1 f [x2] = 0.36788 f [x1, x2] = −0. 82184 f [x0, x1, x2]= −0. 37944Interpolador

p2(x) = 1− 0. 44240x− 0. 37944x (x− 0.5)


(b) La representación conjunta se puede construir como sigue

> f:=x->exp(-x^2);xx:=[0,0.5,1];yy:=map(f,xx);yy:=map(evalf,yy);p2:=interp(xx,yy,x);plot([f(x),p2],x=0..1,colour=[black,red]);

La orden yy:=map(evalf,yy); aplica evalf sobre la lista de valores yla guarda con el mismo nombre. La opción colour=[black,red]asignaordenadamente colores a las gráficas.(c) Para integrar, escribimos el polinomio en la forma

p2(x) = 1− 0. 25268x− 0. 37944x2

v̄ =1

0p2(x)dx = 1− 0. 25268

2− 0. 37944

3= 0. 74718

(d) Si tenemos definida f(x) = e−x2 como función con la orden

> f:=x->exp(-x^2);

calculamos la integral con

> v:=int(f(x),x=0..1);vf:=evalf(v);

El resultado esvf := 0.74682

Error

e2 =1

0e−x

2dx−

1

0p2(x)dx = |0.74682− 0. 74718| = 0.000 36

(e) Con los nodos

x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1

se obtiene el interpolador

p4(x) = 0.0416063x4 + 0.4882003x3 − 1.1845557x2 + 0.0226286x+ 1

la aproximación con p4(x) es

v̄4 =1

0p4(x)dx = 0. 7468337

e4 =1

0e−x

2dx−

1

0p4(x)dx = |0. 7468241− 0. 7468337| = 0.9 6×10−5

Tenemos 4 decimales exactos.


16. Es un polinomio de grado ≤ 3H3(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3

la derivada esH3(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x

2

Condiciones de interpolaciónH3(0) = 1H3(0) = 1H3(1) = 2H3(1) = −1

⇒

a0 = 1a1 = 1a0 + a1 + a2 + a3 = 2a1 + 2a2 + 3a3 = −1

⇒

a0 = 1a1 = 1a2 + a3 = 02a2 + 3a3 = −2

Obtenemos a0 = 1a1 = 1a2 = 2a3 = −2

El polinomio esH3(x) = 1 + x+ 2x

2 − 2x3

17. La tabla de diferencias divididas es, inicialmente

x0 = 0 f [x0] = 1x0 = 0 f [x0] = 1 f [x0, x0] = 0

x1 = 1 f [x1] = 3 f [x0, x1] = f [x0, x0, x1]

x1 = 1 f [x1] = 3 f [x1, x1] = −1 f [x0, x1, x1] f [x0, x0, x1, x1]

de donde obtenemos

x0 = 0 f [x0] = 1x0 = 0 f [x0] = 1 f [x0, x0] = 0

x1 = 1 f [x1] = 3 f [x0, x1] = 2 f [x0, x0, x1]= 2

x1 = 1 f [x1] = 3 f [x1, x1] = −1 f [x0, x1, x1] = −3 f [x0, x0, x1, x1] = −5El polinomio de Hermite es

H3(x) = 1 + 0x+ 2x2 − 5x2 (x− 1)= 1 + 7x2 − 5x3

18. Obtenemos el determinante

1 x x2 x3 p(x)1 0 0 0 10 1 0 0 11 1 1 1 20 1 2 3 −1

= 0


como se trata de un determinante de orden 5, es preferible operar conlas filas y columnas para simplificarlo

(1a − 2a)

(4a − 2a)

0 x x2 x3 p(x)− 11 0 0 0 10 1 0 0 10 1 1 1 10 1 2 3 −1

= 0

Desarrollamos por la primera fila, y obtenemos.

x x2 x3 p(x)− 11 0 0 11 1 1 11 2 3 −1

= 0

Operamos ahora por columnas, restando la primera a la cuarta columna

x x2 x3 p(x)− 1− x1 0 0 01 1 1 01 2 3 −2

= 0

desarrollamos por 2a fila

x2 x3 p(x)− 1− x1 1 02 3 −2

= 0

restamos la primera columna a la segunda

x2 x3 − x2 p(x)− 1− x1 0 02 1 −2

= 0

y desarrollamos por 2a fila

x3 − x2 p(x)− 1− x1 −2 = 0

finalmente−2x3 + 2x2 − p(x) + 1 + x = 0

de donde obtenemos

p(x) = −2x3 + 2x2 + 1 + x


19. La tabla de diferencias divididas es

t0 = 4 f [t0] = 40t0 = 4 f [t0] = 40 f [t0, t0] = 1

t1 = 5 f [t1] = 65 f [t0, t1] = 25 f [t0, t0, t1]= 24

t1 = 5 f [t1] = 65 f [t1, t1] = −1 f [t0, t1, t1] = −26 f [t0, t0, t1, t1] = −50Polinomio interpolador

H3(t) = 40 + (t− 4) + 24 (t− 4)2 − 50 (t− 4)2 (t− 5)Estimación de la posición

e(4.5) H3(4.5) = 52. 75

Derivada

H3(t) = (t− 4) + 48 (t− 4)− 100 (t− 4) (t− 5)− 50 (t− 4)2

Estimación de la velocidad

v(4.5) H3(4.5) = 37. 5

20. La función objetivo es

h(x) = (x− x0)2 (x− x1)2

Queremos obtener el máximo absoluto sobre [x0, x1]. Se trata de unproblema de extremos absolutos sobre intervalos cerrados. Observe-mos que h(x) es continua en todo R. Los posibles extremos se puedenproducir en x = x0, x = x1 y en los puntos críticos interiores.

h (x) = 2 (x− x0) (x− x1)2 + 2 (x− x0)2 (x− x1)= 2 (x− x0) (x− x1) (x− x1 + x− x0)= 2 (x− x0) (x− x1) (2x− x1 − x0)

El único punto crítico interior es

xc =x1 + x02

El valor en xc es

h(xc) =x1 + x02

− x02 x1 + x0

2− x1

2

=x1 − x02

2 x0 − x12

2

=(x1 − x0)4

16

Como h(x0) = h(x1) = 0 y h(xc) > 0, h(x) toma el máximo absolutosobre [x0, x1] en xc.


21. Tenemosf(x) = sinx, f (x) = cosx

La tabla de valores es

x x0 = 0 x1 = 0. 78539 82

y 0 0. 70710 68

y 1 0. 70710 68

la tabla inicial de diferencias es

x0 = 0 f [x0] = 0

x0 = 0 f [x0] = 0 f [x0, x0] = 1

x1 = 0. 78539 82 f [x1] = 0. 70710 68 f [x0, x1] =

x1 = 0. 78539 82 f [x1] = 0. 70710 68 f [x1, x1] = 0. 70710 68

de donde obtenemos

f [x0] = 0, f [x0, x0] = 1, f [x0, x0, x1] = −0.1269212,

f [x0, x0, x1, x1] = − 0.1516184El interpolador es

H3(x) = x− 0.1269212x2 − 0.1516184x2 (x− 0. 78539 82)= x− 0.007 8404x2 − 0.15161 84x3

(b) Aproximación de sin(0.5)

H3(0.5) = 0. 47908 76

Cota superior de error

e3(0.5) =f (4)(t)

4!(0.5− 0)2 0.5− π

4

2, t ∈ 0,

π

4

≤ sin(π4 )

24(0.5)2 (−0. 28539 82)2 = 0.0005 9995

tenemos 2 decimales exactos. El error exacto es

e3(0.5) = |sin(0.5)−H3(0.5)| = 0.000 33793 4

(c) Cota superior de error en todo el intervalo [0, π4 ].

e3(x) =f (4)(t)

4!(x− x0)2 (x− x1)2 , t ∈ 0,

π

4

≤ sin t

24(x− x0)2 (x− x1)2


según el ejercicio anterior se cumple

(x− x0)2 (x− x1)2 ≤ (x1 − x0)4

16

entonces

e3(x) ≤sin π

4

24

π44

16= 0.7007× 10−3

tenemos 2 decimales exactos en todo el intervalo.

22. Tenemosf(x) = ex, f (x) = ex

La tabla de valores es

x x0 = 0 x1 = 0. 5

y 1 1. 64872 1

y 1 1. 64872 1

la tabla inicial de diferencias es

x0 = 0 f [x0] = 1

x0 = 0 f [x0] = 1 f [x0, x0] = 1

x1 = 0.5 f [x1] = 1. 64872 1 f [x0, x1] =

x1 = 0.5 f [x1] = 1. 64872 1 f [x1, x1] = 1. 64872 1

de donde obtenemos

f [x0] = 1, f [x0, x0] = 1, f [x0, x0, x1] = 0.5948851,

f [x0, x0, x1, x1] = 0.2153448

El interpolador es

H3(x) = 1 + x+ 0.5948851x2 + 0.2153448x2 (x− 0.5)= 1 + x+ 0. 48721 27x2 + 0. 21534 48x3

(b) Aproximación de e0.25

H3(0.25) = 1. 2838156

Cota superior de error

e3(0.25) =f (4)(t)

4!(0.25− 0)2 (0.25− 0.5)2 , t ∈ (0, 0.5)

≤ e0.5

24(0.25)2 (0.25)2 = 0.2 6834× 10−3


tenemos 3 decimales exactos. El error exacto es

e3(0.25) = e0.25 −H3(0.25) = 0.20986× 10−3

(c) Cota superior de error en todo el intervalo [0, 0.5].

e3(x) =f (4)(t)

4!(x− x0)2 (x− x1)2 , t ∈ (0, 0.5)

≤ e0.5

24

(0.5)4

16= 0.2 683× 10−3

Obtenemos 3 decimales exactos en todo el intervalo.

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