MATEMATICAS 2002

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MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS ECONOMICAS Y

ADMINISTRATIVAS I

FERNANDO BAQUERO ACERO

FUNDACION CENTRO DE INVESTIGACION DOCENCIA Y CONSULTORIA ADMINISTRATIVA CIDCA

FACULTAD DE ADMINISTRACION DE EMPRESASBOGOTA, 2008

DirectorGERNEY RIOS G.

DECANO FACULTAD DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS

Cartillas para el desarrollo de la materia Matemáticas aplicadas a las Ciencias

Económicas y administrativas I

INTRODUCCION

En la nueva modalidad por créditos que comienza a funcionar en las instituciones universitarias del país, se hace necesario la creación de ayudas para que el alumno entre en una nueva forma de aprender.

Lo anterior ha generado la creación de esta cartilla ó guía de trabajo que tiene como objetivo acompañar al alumno en su aprendizaje de una manera planeada aprovechando al máximo los tiempos de clase y su trabajo por fuera de ella, donde se busca un mayor compromiso del alumno en la media que el profesor apoyará su enseñanza en 1/3 parte, mientras el alumno trabajará en su aprendizaje 2/3 del tiempo.

Todo este proceso estará enmarcado dentro de las “competencias laborales”, es decir, preparar al estudiante pero de acuerdo a las necesidades laborales del país.

Señor estudiante su compromiso es contribuir a una cultura de más auto aprendizaje y reemplazar las viejas clases magistrales donde el alumno es pasivo y solo se dedica a recibir unos saberes. Bienvenido a construir su propio conocimiento.

UNIDADES DE APRENDIZAJE

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Matemáticas básicas. La recta. Sistemas de ecuaciones simultaneas. Progresiones.

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1:MATEMATICAS BASICAS

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JUSTIFICACIÓN:

Las matemáticas son fundamentales y se aplican en cualquier campo profesional

en el que se vaya una persona a desempeñar. Pretendemos en esta unidad

trabajar temas que algunas veces consideramos muy elementales pero que a la

hora de aplicarlos los tenemos olvidados y nos pueden surgir complicaciones

cuando los vamos a trabajar; dichos temas tienen una aplicación importante en

áreas como Matemáticas Financieras, Estadística, Proyectos, Producción,

Mercados y serán muy útiles para los que quieran seguir avanzando en sus

estudios universitarios en el área de las Finanzas y de la Contabilidad.

OBJETIVOS GENERALES:

Calcular problemas de proporciones y reglas de tres simple y compuesta.

Resolver problemas sobre porcentajes.

Manejar en orden el despeje de signos de agrupación.

Entender la relación que existe entre la potenciación, radicación y los

logaritmos.

Despejar incógnitas en cualquier ecuación.

Resolver ecuaciones lineales con una incógnita.

Graficar funciones sencillas.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Manejar el concepto de proporciones, porcentaje y reglas de tres en la solución

de ejercicios y problemas.

Aplicar las propiedades de la potenciación y la radicación en la solución de

ejercicios.

Resolver ecuaciones aplicando los logaritmos y sus propiedades.

Resolver ecuaciones lineales con una incógnita.

Representar gráficamente algunas funciones reales.

MARCO REFERENCIAL:

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El objeto de esta unidad es presentar conceptos básicos de matemáticas como:

proporción, reglas de tres, signos de agrupación, potenciación, radicación,

logaritmos, ecuaciones lineales, etc., que le permiten al estudiante adquirir las

herramientas indispensables para un desempeño eficiente en matemáticas más

avanzadas y en las aplicaciones correspondientes a su área profesional.

METODO Y ESTRUCTURA DE LA UNIDAD DE ANÁLISIS:

En esta unidad se trabajan los siguientes temas:

Proporciones y reglas de tres.

Porcentajes

Signos de agrupación

Potenciación

Radicación

Logaritmos

Funciones.

Gráficas de funciones.

El desarrollo de cada uno de los temas contiene:

Definición de conceptos fundamentales

Explicaciones por medio de ejercicios resueltos

Ejercicios de práctica

DESARROLLO DE LA ESTRUCTURA DE LA UNIDAD DE ANÁLISIS

1. PROPORCIONES:

Definición: Una razón es el cociente indicado de dos números.

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Por ejemplo:

La razón entre 2 y 3 es: 2/3.

La razón entre 3 y 2 es 3/2.

Luego:

Si a y b son dos números cualesquiera, la razón entre a y b es: a/b, a/b es

diferente de b/a.

Si tenemos que a/b es una razón la leemos a es a b.

El número a se llama antecedente y el número b se llama consecuente.

Definición: Una proporción es la igualdad entre dos razones.

Sean las razones a/b y c/d, si tenemos que: a/b = c/d tenemos una proporción, la

cual se lee: a es a b como c es a d.

Propiedad fundamental de las proporciones: En toda proporción el producto de

los medios es igual al producto de los extremos.

En la proporción a/b = c/d, tenemos que: a* d = b* c.

Se llaman extremos los números a y d, se llaman medios los números b y c.

Sí x/y = z/w Extremos: x, w.

Medios: y, z.

Esta propiedad nos permite hallar el término desconocido en una proporción

cuando conocemos los otros tres.

Por ejemplo:

Si 8/m = 16/4, calcular m.

Por la propiedad anterior tenemos que: 8*4 = 16*m

32 = 16*m

32/16 = m

2 = m.

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Vimos que una proporción es la igualdad entre dos razones, pero puede ocurrir

que tres o más razones sean iguales.

Por ejemplo: 9/12 = 6/8 = 15/ 20 = 21/28 = 3/4

Cuando hay más de dos razones iguales decimos que se tiene una serie de

razones iguales.

Tomemos ahora una serie de razones iguales.

15/20, 18/24, 6/8,3/4.

Sumemos los antecedentes: 15 + 18 + 6 + 3 = 42.

Sumemos los consecuentes: 20 + 24+ 8 + 4 = 56.

Formamos una nueva razón: suma de antecedentes/ suma de consecuentes = 42/

56.

Vemos que esta razón forma una proporción con cualquiera de las razones de la

serie.

Así: 42/56 = 15/20 ya que: 42*20 = 56*15

840 = 840

42/56 = 18/24 ya que 42*24 = 56*18

1008 = 1008

Esto es: En una serie de razones iguales, la razón entre la suma de los

antecedentes y la suma de los consecuentes forma una proporción con cualquiera

de las razones de la serie.

En general:

Si a/b = c/d = e/f = g/h, (a+c+e+g) / (b+d+f+h) = a/b = c/d = e/f = g/h.

Es de anotar que la serie de razones iguales puede tener cualquier número de

razones.

Ejemplos:

1. Si x/2 = y/3 = z/4 con x + y + z = 27, hallar x, y, z.

Como x/2 = y/3 = z/4, se tiene que (x + y +z) / (2 +3 +4) = x/2.

Ya que x + y + z = 27 se tiene que 27/9 = x/2.

Por propiedad fundamental: 27*2 = 9*x

54 = 9*x

54/9 = x

7

x = 6

Con el mismo procedimiento se llega a que y = 9, z = 12. Por favor, debe

comprobarlo.

2. Entre Martha, Inés y Esperanza inician una sociedad y al final del año

éstas produce una utilidad neta de $72´000.000. Martha aportó $1

´200.000, Inés $1´800.000 y Esperanza $1´500.000. ¿Cuánto le

corresponde a cada una?

La ganancia debe ser proporcional a lo aportado por cada una.

Si “x” es la ganancia de Marta, “y” la de Inés, “z” la de Esperanza, tenemos que:

x/1´200.000 = y/ 1´800.000 = z/1´500.000.

Entonces: (x + y +z) / (1´200.000 + 1´800.000 + 1´500.000) = x/1´200.000

Ya que x + y + z = 72´000.000

72´000000/4´500.000 = x/1´200.000

16 = x/1´200.000

16*1´200.000 = x

19´200.000 = x

Luego a Martha le corresponden $1´920.000.

Si y es la ganancia de Inés: 16 = y/1´800.000

16*1´800.000 = y

28´800.000 = y

Luego a Inés le corresponden $28´800.000.

Si z es la ganancia de Esperanza: 16 = z/1´500.000

16*1´500.000 = z

24´000.000 = z

Luego a Esperanza le corresponden $24´000.000.

Ejercicios de aplicación:

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1. Demostrar si las siguientes proporciones son equivalentes , aplicando la

propiedad de las proporciones:

2. Encontrar el valor de la incógnita:

3. José y Carlos reciben entre ambos $1´800.000, después de realizar un

informe. Si José trabajó 4 días, Carlos 5 días y el sueldo es proporcional a

los días de trabajados, ¿Cuánto dinero corresponde a cada uno?

4. Entre tres socios compran un terreno de 12000 metros cuadrados para

construir una empresa. El primer socio compra 3000, el segundo 4000 y el

tercero 5000 metros cuadrados. Si el pago total fue $57´600000 por el

terreno ¿Cuánto pagó cada socio?

5. Entre dos vendedores alquilan un carro. El primero lo usa durante 12 días y

el segundo durante 16 días. Si el pago total fue $1´360000, ¿Cuánto pagó

cada uno?

6. Tres socios montan un negocio aportando los siguientes capitales: $100

´000000, $25´000000 y $30´000000. Al cabo de un año se han obtenido

ganancias por $100´000000. ¿Cómo se las reparten?

7. En una empresa de asesorias, los empleados se reparten los honorarios

proporcionalmente al número de años de servicio. Hay 3 empleados que

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llevan 6 años de servicio, y los otros 2 empleados llevan 5 años de servicio.

Si los honorarios recibidos en una semana ascienden a $2´000.000,

¿Cuánto le corresponde a cada uno?

8. Si los aportes para salud en una empresa deben corresponder a un total del

13.5%. Si el sueldo base de una persona es de $800.000, ¿cuánto debe

aportar el empleado y cuanto el empleador, si cada uno debe aportar el 4%

y el 8.5% respectivamente? (Resolver el ejercicio aplicando proporciones).

9. Si en los aportes para pensión, le corresponde al empleador el 75% y al

empleado le corresponde el 25% calculado de una base del 13% del

sueldo, ¿cuánto debe aportar cada uno si el sueldo base del empleado es

de $900.000? (Resolver el ejercicio aplicando proporciones).

REGLA DE TRES

Es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción

cuando se conocen tres.

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Clases de regla de tres: simple y compuesta.

Regla de tres simple: es cuando intervienen en ella 2 magnitudes.

Regla de tres compuesta: es cuando intervienen 3 ó más magnitudes.

Método practico de resolución para regla de tres

Regla:

Se escribe el supuesto(constituido por los datos que se conocen) y la

pregunta(datos del problema que contiene la incógnita). Luego se compara cada

dato contra la incógnita para saber si es directamente proporcional ó inversamente

proporcional. Si es directamente proporcional se coloca un signo (+) debajo del

dato y un signo (-) encima del dato. Si es inversamente proporcional se coloca un

signo (-) debajo del dato y un signo (+) encima del dato. El valor de la incógnita

será la multiplicación de los positivos dividida entre la multiplicación de los

negativos.

Ejemplos para regla de tres simple:

Si 4 libros cuestan $8 ¿cuánto costarán 15 libros?

Supuesto 4 libros $8

Pregunta 15 libros X

Las dos magnitudes libros y pesos, son directamente proporcionales por que a

más libros más pesos hay que invertir, entonces le colocamos un signo(+) debajo

del dato de libros y un signo(-) encima del dato de libros y al dato que va con la

incógnita le colocamos “siempre” signo(+):

(-) (+)

Supuesto 4 libros $8

Pregunta 15 libros $X

(+)

El valor de la incógnita será la multiplicación de los positivos dividida entre la

multiplicación de los negativos:

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X= (15 x 8)/4= $30

Ejemplo

4 hombres hacen una obra en 12 días ¿en cuántos días podrían hacer la obra 7

hombres?

Supuesto 4 hombres 12 días

Pregunta 7 hombres X días

Las dos magnitudes hombres y días, son inversamente proporcionales por que a

más hombres menos días se necesitan para hacer la obra, entonces le colocamos

un signo(-) debajo del dato de hombres y un signo(+) encima del dato de hombres

y al dato que va con la incógnita le colocamos “siempre” signo(+):

(+) (+)

Supuesto 4 hombres 12 días

Pregunta 7 hombres X días

(-)



X= (4 x 12)/7= 6.85 días

Ejemplos para regla de tres compuesta:

3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10

días. ¿Cuántos días necesitaran 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer

60 metros de la misma obra?

Supuesto: 3 hombres 8 horas 80 metros 10 días

Supuesto: 5 hombres 6 horas 60 metros X días

A más hombres menos días luego son inversamente proporcionales.

A más horas menos días luego son inversamente proporcionales.

A más metros más días luego son directamente proporcionales.

Entonces

(+) (+) (-) (+)

Supuesto: 3 hombres 8 horas 80 metros 10 días

12

Supuesto: 5 hombres 6 horas 60 metros X días

(-) (-) (+)



X = (3x8x60x10)/(5x6x80) = 6 días

Ejemplo

Una guarnición de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 raciones

diarias cada hombre. Si se refuerzan con más hombres hasta llegar a 2000

¿Cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma 2 raciones diarias?

Supuesto: 1600 hombres 10 días 3 raciones diarias

Supuesto: 2000 hombres X días 2 raciones diarias

A más hombres menos días duran los víveres luego son inversamente

proporcionales.

A más raciones menos días duran los víveres luego son inversamente

proporcionales.

Entonces

(+) (+) (+)

Supuesto: 1600 hombres 10 días 3 raciones diarias

Supuesto: 2000 hombres X días 2 raciones diarias

(-) (-) (-)



X = (1600x10x3)/(2000x2) = 12 días

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Ejercicios de aplicación

1. Si 4 libros cuestan $20 dólares, ¿Cuánto costarán 3 docenas de libros?2. Si una vara de 2.15 metros de longitud da una sombra de 6.45 metros,

¿Cuál será la altura de una torre cuya sombra, a la misma hora es de 51 metros?

3. Una torre de 25.05 metros da una sombra de 33.40 metros, ¿Cuál será a la misma hora, la sombra de una persona cuya estatura es 1.80 metros?

4. Sí media docena de una mercancía cuestan14.50dolares¿Cuánto valdrán 5 docenas de la misma mercancía?

5. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros, ¿Cuál será la capacidad de los 3/8 del mismo tanque?

6. Los 3/7 de la capacidad de un estanque son 8136 litros. Hallar la capacidad del estanque.

7. Dos individuos arriendan una finca. El primero ocupa los 5/11 de la finca y paga 6000 dólares de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo?

8. Una casa es de dos hermanos. La parte del primero, que es los 5/13 de la casa, esta avaluada en 15300 dólares. Hallar el valor de la parte del otro hermano.

9. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Sí hubiera trabajado una hora menos al día, ¿En cuántos días habrían terminado la obra?

10.Nueve hombres pueden hacer una obra en 15 días. ¿Cuántos hombres más harían falta para hacer la obra en 1 día? ¿Cuántos hombres menos para hacerla en 15 días?

11.A la velocidad de 30 km. Por hora un automóvil emplea 8 ¼ horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido triple?

12.Una pieza de tela tiene 32.32 metros de largo y 75 centímetros de ancho, ¿Cuál será la longitud de otra pieza, de la misma superficie, cuyo ancho es de 80 centímetros?

13.Una mesa tiene 6 metros de largo y 1.50 metros de ancho, ¿Cuánto se debe disminuir la longitud, para que sin variar la superficie, el ancho sea de 2 metros?

14.Una persona debe 1500 dólares. Conviene con sus acreedores en pagar 0.75 de interés por cada dólar, ¿Cuánto tiene que pagar?

15.Ganando 3.15 dólares en cada metro de tela, ¿Cuántos metros se han vendido si la ganancia ha sido 945 dólares?

16.Dos piezas de paño de la misma calidad cuestan, una 450 dólares y la otra 300. Si la primera tiene 15 metros más que la segunda ¿Cuál es la longitud de cada pieza?

17.Una guarnición de 1300 hombres tiene víveres para 4 meses. Sí se quiere que los víveres duren 10 días más, ¿Cuántos hombres habrá que despedir de la guarnición?

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18.Un obrero tarda 12 3/5 días en hacer 7/12 de una obra ¿Cuánto tiempo necesitará para terminar la obra?

19.Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias; ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si se quiere que los víveres duren 5 días más?

20.Dos números están en relación de 5 a 3. Sí el mayor es 655 ¿Cuál es el menor?

2. PORCENTAJES

Veamos las siguientes situaciones:

1. En una tienda ofrecen descuentos del 20%.

2. La evaluación de hoy vale el 25% del semestre.

3. En este país 12 de cada 100 deportistas tienen parásitos.

Otras formas de escribir e interpretar las anteriores situaciones son las siguientes:

20 por ciento es lo mismo que 20 de cada 100 = 20/100 = 0.20



Lo anterior lo expresamos así: 20%, 25%, 12%.

Luego: El porcentaje o tanto por ciento de un número dado es una o varias de

las 100 partes iguales en que puede dividirse el número. Se simboliza %.

Un porcentaje o tanto por ciento equivale a una fracción cuyo denominador es

100.

Ejemplos:

1. 38% se puede expresar de otras 2 formas: Como una fracción, 38/100 y

como un número decimal, 0.38

2. Expresar los siguientes porcentajes como un número decimal: 27%, 2%,

2.2%, 97%, 7.6%. Tenemos que: 27% = 0.27, 2% = 0.02, 2.2% = 0.022,

97% = 0.97 y 7.6% = 0.076

3. Escribir los siguientes porcentajes en forma de fracción: 45%, 56%, 9.8%,

3%, 69%. Tenemos que: 45% = 45/100, 56% = 56/100, 9.8% = 9.8/100, 3%

3/100, 69% = 69/100.

4. La forma decimal también se puede expresar como un porcentaje. Veamos:

0.87 = 87%, 0.04 = 4%. 0.90 = 90%, 0.036 = 3.6%.

5. En una tienda por cada artículo que compremos nos hacen un descuento

del 25%, ¿Cuánto vale un balón cuya etiqueta tiene un precio de $7500?

25% de 7500 = 25/100 de 7500

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=( 25/100)*7500

= (25*7500)/100

= 1875

Observe que: 0.25*7500 = 1875

Por lo tanto, el costo del balón es: 7500 – 1875 = $5625.

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1. Completar el siguiente cuadro:

Forma corriente Forma decimal Porcentaje Forma fraccionaria

7 de cada 100

0.88

6.7%

16/100

0.087

59%

49 de cada 100

2. Calcular:

a. 50% de 38700

b. 36% de 457896

c. 1% de 98765

d. 10% de 173465

3. Evalúe:

e. ¿De qué número es 8 el 30%?

f. De qué número 17.92 es el 32%

g. Qué % de 54 es 9?

h. De qué número 34 es el 25%?

i. De qué número 800 es el 4%

j. Cuál es el 54% de 600?

k. Qué porcentaje de 1 es 0.2?

4. Carlos tiene que pagar una deuda de $900000. Si le rebajan el 5% de su deuda.

¿Cuánto tiene que pagar?

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5. Luis tenía $800000. Si gasta el 20% y da a su hermano el 15% de lo que le

queda, ¿Cuánto dinero tiene ahora?

6. De los 80 libros que tenía un librero vendió el 45% a $12500 c/u; el 75% del

resto a $12000 c/u y el resto a $10000 c/u. ¿Cuál es el valor total de la venta?

7. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado $68000 para ganar el 15% de la

venta?

8. Comprando un vestido que me costó $105000 gasté el 25% de mi dinero.

¿Cuánto tengo ahora?

9. Tenía $350000 y me gané $500000 en un chance. ¿Lo que tengo ahora, qué %

es de lo que tenía al principio?

10. Cierto automóvil se vendió en 16.000 dólares hace 2 años. El mismo modelo se

vende éste año en 18.000. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio de

compra?

11. Ana obtiene en sus exámenes un total de 240 puntos de 320 posibles ¿ cuál es

su calificación porcentual?

12. El precio por libra de carne es 2.52 dólares en el año presente. Si el precio

correspondiente fue de 2.40 en el año pasado¿ Cuál es el porcentaje de aumento

del precio por libra?

13.Si se asignan 8.4 millones de barriles de petróleo diarios para el consumo de

cierto país y solamente se utilizan 6.3 millones ¿qué porcentaje de la asignación

no se consume?

14. Edith gasta 75 dólares a la semana en alimentos ¿Cuánto deberá gastar a la

semana sí su precio aumenta en 8 %?

15. Martín gana 2100 dólares al mes ¿Cuánto ganará mensualmente si su salario

se incrementa en 6%?

3. SIGNOS DE AGRUPACION

Los símbolos de agrupación como los paréntesis(), llaves{}, y corchetes[], se

utilizan para señalar, de una manera sencilla, más de una operación.

Los signos de agrupación se usan para asociar ó agrupar los números indicando

una operación. Cuando una operación se encierra en un paréntesis, ello indica

que dicha operación tiene que efectuarse primero y con el resultado de ella se

verifica la otra operación indicada. Se eliminan los símbolos de agrupación uno en

uno, empezando por el que este situado más adentro, siguiendo el orden propio

de las operaciones que hay que efectuar,es decir, despejar de adentro hacia fuera.

Cuando un símbolo de agrupación está precedido por un sigo positivo y se quiere

eliminar los términos que él contiene no cambian de signo. Cuando el símbolo de

agrupación esta precedido de un signo menos, al eliminar el paréntesis los

términos de que él contiene cambian de signo.

Ejemplo

(3 + 4)+6=7+6=13

Ejemplo

(2+5)+(6+4)=7+10=17

Ejemplo

100 – [18+(6-4)]=100-[18+(2)]=100-[18+2]=100-[20]=100-20=80

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Ejemplo

(7-2)+(5+4)-(3-2)

=(5)+(9)-(1)

=5+9-1

=13

Ejemplo

350-(7-2+5)-(6+3)+(9+8-2)=350-(10)-(9)+(15)=350-10-9+15=346

Ejemplo

30+[84-(7-2)]=30+[84-(5)]=30+[84-5]=30+[79]=30+79=109

Ejemplo

800-[45+{(8-4)+(7-2)}]=800-[45+{(4)+(5)}]=800-[45+{4+5}]=800-[45+{9}]=800-[45+9]=800-[54]=800-54=746

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. 40+[25-(3+2)].2. 60+[(4+2)-5].3. 150-[(5-1)-(4-3)].4. 250+[(7-2)+(4-1)+(3-2)]5. 450-[6+{4-(3-1)}].6. 520+[8-3+{9-(4+2-1)}].7. (150-5)-{14+(9-6+3)}.8. 500-{6+[(14-6)-(7-2)+(4-1)]}.9. 500-{14-[7-(6-5+4)]}.10. 856+{19-3-[6+(5-3)-(2+1)+(5-3)]}.11. [8+(4-2)+[9-(3+1)].12. [(6-4)-(3-2)]-[(9-7)-(6-5)]13.8+[9-{6-(5-4)}]+14-{11-[7-(3-2)]}.14.250-[(6+4)-(3-1)+2]+{16-[(8+3)-(12-10)]}.15. (8-1)-(16-9)+4-1+9-6+(11-6)-(9-4).16.350-2-125+4-(31-30)-(7-1)-(5-4+1).17. (13-5+6)-(21+2-18)+(7-5)-(8-2+1).18. (15-7)+(6-1)-(9-6)+(19+8)-(3-1)+(4+5).19. (7-5)+(13-49-(17+39+(18-9).20.300(5-2)-(9-3)-(+5-4).21.20-(-18)+8(-2).22.3x4+5(-2)-6.23.12-2x8+2-(-9).24.3(-8)-6(-7)+(-20).25.9x7-6x10-7(-4).26.–11x3+8(-4)-2(-13).27.8+2(-4)-6(7-8).28.9(-8)-12(-5)-13(4-2).29.8x12-5(-4)+7(2-10).30.9(-4)-6(-6)-7(3-8).31.4-6(10-8)+6(4-15).32.3+2(-2-3)-7(1-5).33.8-3(-2-5)+8(-3+7).34.5-10(8-6)-3(2-17).35.2(-2-6)-7+4(8-1).36.6(-3-7)+3-8(3-5).37.9(-8+6)+9-4(7-3).38.7(3-10)-12+2(11-6).39.6x7(-1)-3x8(-2).40.7(-4)(8)-9x6(-2).

23

41. –20/4-6(-5).42. 9/3x2x2+7x8-3.43. 8/2x4-6/3x3.44. 12/4x3-8/4x2.45. 36/9x2-15/5x3.46. 27x3/9+2(6-4).47. 8x6/3-5(3-7).48. 24x5/12-10(6-3).49. 64/16x2-8(12-7).50. 7+3(8-5)-4/(-2).51. 2(7-9)-6/(4-10).52. 15-2(-5)-(20-4)/8.53. 4+3(-12)+(6-34)/(-7).54. (26+2)/(-4)-10(8-12).55. (5-21)/(-8)+3(9-1).56. (4-14)/(-2)-7(2-8).57. 36/(-6)x6-6x3-1.58. 8/(-4)x2-2x6-5.59. 20(-4)/10-6/(5-7).60.72/(-18)x4-(3-12)/8-9).

4. POTENCIACION

La potenciación ó elevación a potencias es una operación que tiene por objeto hallar las potencias de un número.Potencia de un número es el resultado de multiplicarlo dos ó más veces.32 = 3*3 = 9 33 = 3*3*3 = 27

24 = 2*2*2*2 = 16

El número que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia y el

número al cual esta elevado indicando el número de veces que se debe multiplicar

se llama exponente.

La primera potencia de un número es el mismo número(31= 3).

La segunda potencia de un número se llama cuadrado de este número(32).

La tercera potencia de un número se llama cubo de este número(33).

Signos de las potencias:

Si la base es negativa y el exponente es impar el resultado tiene signo negativo

Ejemplo:

(-2)3 = (-2)*(-2)*(-2) = -8

(-5)3 = (-5)*(-5)*(-5) = -125

Si la base es negativa y el exponente es par el resultado tiene signo positivo

Ejemplo

(-2)4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16

(-2)2 = (-2)*(-2) = 4

Si la base es positiva y el exponente es par o impar el resultado siempre será

positivo.

Ejemplo

53 = 5*5*5 = 125

34 = 3*3*3*3 = 81

24

Propiedades de la potenciación:

Si a, b Z y n, m N, tenemos:

Ejemplos:

23 x 25 =23+5 =28 (a+1)2 x (a+1)3 = (a+1)2+3 = (a+1)5

a2 x a4= a2+4=a6

-24 x 23 = 16x8 = 128

-3X3 x X2 = -3X3+2 = -3X5

X5 x X = X5+1 = X6

.

Ejemplos:

(32)4 = 32x4 =38

(a3)5 = a3x5 = a15

(-32)3 = –32x3 = -36

(-a3)2 = a3x2 = a 6

Ejemplos:

(3X)5 = 35 x X5

(3 x 7)2 = 32 x 72 = 9 x 49 = 441 ó (21)2= 441(5a2b)3 = (5)3(a2)3(b)3 = 53 a6b3 = 125a6b3

(-2a2b3)3 = (-2)3(a2)3(b3)3 = -8a6b9

(-3ab2)4 = (-3)4(a)4(b2)4 = 81a4b8

Ejemplos:

a0 = 1.50 = 1.(-2)0 =1X0 = 1.b0 = 1.

25

an x am = an+m.

(am)n = amxn

(axb)m = am x bm

a0 = 1, Sí a0

Ejemplos:

26/ 22 = 26 - 2 =24

54/54 = 1(a -1)4 / (a-1)3 = (a – 1)4 - 3 = (a – 1) 38 / 312 = 1/(312 – 8) = 1/34

Ejemplos:

(2/3)4 = 24/34

(2X4yz / 6xy2)3 = 23X4*3y3z3 / 63X3y2*3 = 8X12y3z3 / 216X3y6 = 1X9z3 / 27y3

Si a diferente de cero.

Ejemplos:

3-2 = 1/32 =1/9

-5-3 = - 1/53 = -1/125

26

am / an = am-n cuando m>nam / an = 1 cuando m=nam / an = 1/(an-m) cuando m<n

(a/b)m = am / bm

Ejercicios de aplicación

Efectuar aplicando las propiedades de la potenciación.

1. 22 x 23

2. 2 x 25

3. 23 x 23

4. –23 x 22

5. –2 x 23

6. –22 x 25

7. –24 x 22

8. –22 x 26

9. a x a4

10. a2 x a5

11. 7a x a5

12. 6a x a13. -3X x X3

14. –2X2 x X15. a2(-b4)16. –a3(-b)2

17. (X – 1)2(X – 1)18. (2X + 1)2(2X + 1 )4 19. (33)2

20. (-22)3

21. (3Xy2)3

22. (5X2y2)3

23. 25/224. 3/34

25. –214/27

26. (2b4 / b3 )3

27. (3a3 / a6 )4

28. (2a2 / a5)6

29. (a2b / ab2)2

30. (X3y2 / Xy3)4

31. resolver ejercicios de interés compuesto y cuotas.

a-n = 1/an

OPERACIONES INVERSAS DE LA POTENCIACION

En la potenciación, conociendo la base y el exponente, hallamos la potencia.

Ejemplo

Base = 2

Potencia = 16

Exponente =4

Ejemplo

Base = 3

27

24 = 16

Potencia = 9

Exponente = 2

Como la potenciación no es conmutativa, pues no se pude cambiar la base por el

exponente por que no da el mismo resultado(32 = 9 pero 23 = 8 entonces 3 no es

igual a 8).Para poder realizar este cambio se utilizan las operaciones inversas.

Las operaciones inversas de la potenciación son dos:

1) La radicación, que consiste, conociendo la potencia y el exponente, en hallar

la base.

Ejemplo

Base = 2

Potencia = 16

Exponente =4

Ejemplo

Base = 3

Potencia = 9

Exponente = 2

2) Los logaritmos, que consiste, conociendo la potencia y la base, en hallar el

exponente

Ejemplo

Base = 2

28

32 = 9

Potencia = 16

Exponente =4

Porque 24 = 16

Ejemplo

Base = 3

Potencia = 9

Exponente = 2

Porque 32 = 9

5. RADICACION

La radicación, que consiste, conociendo la potencia y el exponente, en hallar

la base.

En general

significa que bn = a donde a,n,b >0

Ejemplos

significa que 24 = 16

significa que 35 = 243

29

Log2 16 = 4

Log3 9 = 2

Como 52 =25, el número 5 que elevado al cuadrado da 25, es la raíz cuadrada de

25, lo que se expresa con la notación:

El signo se llama signo radical, 25 es la cantidad subradical, 5 es la raíz

cuadrada y el número 2 es el índice ó grado de la raíz ó exponente, el cual

indica que 5 elevado al cuadrado da 25.

Una raíz es exacta cuando elevada al exponente que indica el índice del radical

reproduce la cantidad subradical.

Ejemplo

3 es la raíz cuadrada exacta de 9 porque 32 = 9.

Porque 32 = 9.

Cuando no existe ningún número entero que elevado al exponente que indica el

índice del radical sea igual a la cantidad subradical, la raíz es inexacta ó entera.

Ejemplo

La raíz cuadrada de 38 es inexacta, porque no existe ningún número entero que

elevado al cuadrado de 38.

= inexacta porque no existe un número entero que elevado al cuadrado de 38.

Las raíces inexactas son llamadas radicales.

PROPIEDADES DE LA RADICACION

Cuando la cantidad subradical está elevada a un exponente igual que el índice de

la raíz, ambos se pueden cancelar ó simplificar.

Ejemplo

30

Ejemplo

= 2*3 = 6 ó también

= 6

Ejemplo

= 1*4*5 = 20 ó también

= 20

Ejemplo

= 2/3.

Ejemplo

= 1/2.

Ejemplo

= 24/2 = 22 = 4

Ejemplo

31

= 29/3 = 23 = 8

= 24/2 X 54/2 = 22 X 52 = 4 X 25 = 100

22/3 =

34/5 =

21/2 X 31/3 =

32

EJERCICIOS DE APLICACION

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Si 8 es la raíz cúbica de un número, ¿cuál es ese número?

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

33

Efectuar las siguientes operaciones convirtiendo el radical en exponente ó

potencia:

25.

26.

27.

28.

29.

Efectuar las siguientes operaciones convirtiendo el exponente en radical:

1. 31/3

2. 22/5

3. 52/3

4. 23/4

5. 22/3 X 31/3

6. LOGARITMOS

Los logaritmos, que consiste, conociendo la potencia y la base, en hallar el

exponente.

Los logaritmos son una herramienta indispensable en el área de las finanzas. Es

necesario disponer de una buena calculadora para el manejo de los logaritmos.

Por medio de los logaritmos es posible convertir las operaciones producto y

cociente a sumas y diferencias que son más fáciles de calcular. En la misma forma

potenciación se reduce a un producto, que también es más fácil de calcular.

Definición: Sea a un número real positivo. El logaritmo en base a de otro número

real N, positivo, es otro número real (llamado x) tal que a elevado a dicho número

produce como resultado N.

Así: logaN = x ya que ax = N.

Por ejemplo: log28 = 3 ya que 23 = 8

Log101000 = 3 ya que 103 = 1000

Log525 = 2 porque 52 = 25.

Luego, de acuerdo a la definición anterior: x es el logaritmo en base a de N si

34

ax = N.

El número a se llama base del logaritmo, x es el logaritmo.

Luego un logaritmo lo podemos expresar en forma exponencial y una potencia la

podemos expresar como un logaritmo.

Por ejemplo:

1. Expresar en forma exponencial: logab = c ac = b

2. Expresar en forma de logaritmo: mn = p logmp = n

3. Expresar en forma de logaritmo: xy = z logxz = y

4. Expresar en forma exponencial: logde = f df = e.

35


1. Escriba en forma exponencial equivalente:

log24 = 2

log66 = 1

log31 = 0

log51 = 0

log381 = 4

2. Escriba en forma logarítmica equivalente:

512 = 83

1 = 100

125 = 53

104 = 10000

26 = 64

3. Encontrar el valor de y en los siguientes casos:

y = log24

y = log4256

y = log381

y = log101

y = log5625

4. Encontrar el valor de x en los siguientes casos:

log4x = 3

log2x = 5

log5x = 3

log6x = 4

log7x = 3

5. Encontrar el valor de a en los siguientes casos:

loga27 = 3

loga64 = 2

loga64 = 8

loga64 = 4

loga1000 = 3

7. FUNCIONES

No vamos a entrar en un estudio profundo de funciones. Vamos a mirar lo esencial

para el curso, que es la parte referente a gráficas.

Definición: Una pareja ordenada son dos números en los cuales es importante el

orden en que aparecen escritos. Así en la pareja (2,5) decimos que 2 es la primera

componente y 5 la segunda; lo que es diferente a la pareja (5,2) en donde la

primera componente es 5 y la segunda es 2. Luego (2,5) (5,2).

Luego una pareja ordenada es una pareja de números (x,y) en donde: x: primera

componente o abscisa

Y: segunda componente u ordenada

En general (x,y) (y,x).

Un plano cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares, así:

36

En el plano cartesiano representamos las parejas ordenadas, teniendo en cuenta

que la abscisa se representa sobre el eje de la X y la ordenada sobre el eje de la

Y, y además verificando en que cuadrante se encuentra el punto de acuerdo con

el gráfico anterior. La pareja ordenada (x.y) se llama coordenadas del punto.

El punto de intersección de los ejes se llama origen y sus coordenadas son: (0,0).

Ejemplo: Representar en un plano cartesiano los puntos: (0,0), (1,3), (-2,4), (-2,-3)

y (4, -3).

37

Recordemos que una función real está dada en la forma y = f(x).

Por ejemplo: y = 2x-3

Y = 3x2 –5x+1

Y = 10x3

38


Representar en un plano cartesiano los siguientes puntos: (0,5), (-2,2), (-3,6), (1,-5), (-3,3), (3,-3), (3,3), (-3,-3), (-2,0), (5,-4), (7,-3), (4,6).

Las funciones de la forma y = mx+b, con a,bR (Reales), se llaman funciones

lineales.

Las funciones de la forma y = ax2+bx+c, con a,b,cR, se llaman funciones

cuadráticas.

En cualquier función real podemos determinar la imagen (la y) teniendo la

definición de la función y dándole valores a algunos elementos del dominio (la x).

Si y = f(x) es una real tenemos que:

X se llama variable independiente ya que puede tomar cualquier valor.

Y se llama variable independiente ya que su valor depende del valor de x.

Por ejemplo:

1. Si y = 4x –1, hallar f(0), f(-1), f(3), f(-2), f(5)

F(0) significa que x = 0 y hay que obtener el valor de la y que le corresponde, lo

cual hacemos así:

F(x) = 4x –1 f(0) = 4*0 – 1 = 0 –1 = -1, luego si x = 0, y = -1, lo que representa

la pareja ordenada (0,-1). Lo que significa que

–1 es la imagen de 0 por medio de la función definida por y= 4x – 1.

F(-1) = 4*(-1) –1 = -4 – 1 = -5 (-1,-5)

F(3) = 4*3 – 1 = 12 –1 = 11 (3,11)

F(-2) = 4*(-2) –1 = -8 –1 = -9

F(5) = 4*5 – 1 = 20 – 1 = 19.

2. Si g(x) = x2 – 3x +2. hallar: g(4), g(0), g(-1), g(-2)

G(4) = 42 – 3*4 + 2 = 16 – 12 + 2 = 6

39

G(0) = 02 – 3*0 + 2 = 0 – 0 + 2 = 2

G(-1) = (-1)2 –3*(-1) +2 = 1 + 3 + 2 = 6

G(-2) = (-2)2 –3*(-2) +2 = 4 + 6 + 2 = 12.

8. GRAFICA DE FUNCIONES

Una función se representa gráficamente como lo muestra el siguiente ejemplo:

40


1. Sí f(x) = 8x + 3,hallar: f(9), f(-3), f(10), f(-1), f(0), f(-5).

2. Si g(x) = 2x2 + 7x, hallar: g(0), g(-4), g(6), g(-2), g(-1).

3. Si h(x) = x3 –7, hallar: h(-3), h(0), h(5), h(-1), h(11), h(-

10)

4. Si i (x) = X, hallar: i(6), i(4), i(-16), i(0), i(-5), i(-8)

5. Si j(x) = -X, hallar j(-3), j(2), j(-20), j(17), j(-8).

Graficar: y = x2 +2x +2. Para una mejor representación gráfica se utiliza el papel

milimetrado.

El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales, el recorrido

no es muy obvio establecerlo. Es necesario hacer una tabla con algunos valores

(parejas de puntos), que al representarlos en el plano cartesiano nos dan una

aproximación de la gráfica de la función.

X -3 -2 -1 0 1

Y= f(x) 5 2 1 2 5

41

BIBLIOGRAFIA

Algebra elemental. Alfonse Gobran. Grupo editorial Iberoamérica.

42


Representar gráficamente: (Utilice papel milimetrado)

1. y = x2 – x- 1

2. y = 3x + 8

3. y = x3 - 2

4. y = -x2

5. y = -5x +4

Aritmética de Baldor.

Fundamentos de matemáticas universitarias. Allendoerfer. Editorial Mc Graw Hill.

Tercera edición.

43

MATEMATICAS 2002

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