matematicas secundaria

120

Bloque 3120

El uso de las matemáticas ayuda a tomar mejores

decisiones, pues a partir del análisis de ciertos

datos es posible elegir entre varias alternativas

y emplear una estrategia eficaz o un procedimiento

adecuado para resolver un problema. Por esta

razón, las matemáticas se utilizan en ámbitos

como la industria, el comercio o la investigación

científica. Por supuesto, en la vida cotidiana

también son indispensables; por ejemplo, al elegir

la marca de pan blanco que ofrece más piezas por

menos dinero (división de decimales), determinar

cuánto se ahorrará si se compra un producto por

mayoreo (multiplicación de decimales), calcular

qué precio unitario tiene un paquete (ecuaciones),

estimar si el costo del producto es proporcional a

su tamaño, saber qué tanto se vende o se compra

(registro y análisis de datos), etc. En este bloque, se

presentan los conceptos matemáticos relacionados

con dichos aspectos y con la geometría.

121121

Aprendizajes esperados

1. Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.

2. Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales o decimales.

3. Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.

Eje: sentido numérico y pensamiento algebraicoTema: problemas multiplicativos

Contenido

Resolución de problemas que impli-quen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Los precios: multiplicación de decimales en problemas de proporcionalidad directa

Gisela administra una tienda de autoservicio donde también vende postres. Para facilitar el cobro, elaboró dos tablas: en una registra el precio de rebanadas de gelatina y en otra, el de rebanadas de pastel.

1. Completa las tablas de acuerdo con la información que se proporciona y contesta las preguntas.

a) Gisela divide los pasteles en nueve rebanadas cuyo precio es de $12.50 cada una; sin embargo, también puede vender media rebanada.

i. ¿Qué precio tiene el pastel completo?

ii. Escribe el procedimiento que seguiste para completar la tabla.

iii. Si se comprara 1.5 rebanadas de pastel, ¿cuánto se pagaría?

b) También ella divide las gelatinas en once partes iguales que cuestan $11.20 cada una. Al igual que los pasteles, puede vender la mitad de una rebanada.

i. ¿Qué precio tiene una gelatina completa?

c) ¿Cuánto se pagará por dos gelatinas completas y 1.5 rebanada de pastel?

d) ¿Cuánto se pagará por 3.5 rebanadas de pastel y por media rebanada de gelatina?

e) Azucena compró 1.5 rebanadas de pastel y su amiga, Carolina, desea comprar gelatina, pero no quiere gastar más que Azucena. ¿Cuál es la máxima cantidad de rebanadas que puede comprar?

2. Comparte con tus compañeros tu procedimiento o estrategia para completar las tablas del ejercicio anterior. Registren dudas y comenten de manera grupal cómo resolverlas.

122 Bloque 3 Lección 23

Lección 23 Multiplicación de números decimales I

Rebanadas 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Precio

Rebanadas 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Precio 6.25 12.50 18.75 25 31.25 37.5 43.75 50 56.25

5.6 11.2 16.8 22.40 28 33.6 39.2 44.8 50.4

$112.50

R. T. Sumar 6.25 cada vez

$168.75

$123.20

$258.90

$49.35

R. T. 1

__

2 , 1 o 1

1

__

2 rebanada

Un paso adelante

3. Reúnete con un compañero y contesten los planteamientos.

a) Las medidas de una cancha de basquetbol varían de acuerdo con los países donde se lleven a cabo los partidos y las distintas asociaciones o confederaciones que participen, pero los estándares son de 12.8 m a 15.2 m en el lado más corto y de 22.5 m a 28.6 m en el largo.

i. Calcula el área de una cancha con 12.8 m de ancho y 22.5 m de largo.

ii. Calcula el área de una cancha que mida 13.15 m de ancho y 26.35 m de largo.

iii. ¿Cuál es el área de la cancha más grande según los estándares?

Multiplicación de dos números decimales1. Se efectúa la operación sin que se considere el punto decimal de cada factor.2. En el resultado, se cuenta de derecha a izquierda el número de cifras equivalente a los decimales de los factores, y se coloca el punto a la izquierda de la última cifra contada.

b) Calcula la longitud del segmento mediante una multiplicación.

c) El túnel ferroviario más largo del mundo es el de Seikan, en Japón; mide 33.42 millas. ¿Cuál es su longitud en kilómetros si cada milla equivale a 1.609 km?

d) Juan Carlos gana $36.60 por hora, ¿cuánto deberá cobrar por 8.25 h?

e) Si Ernesto caminó 3.2 km en media hora a una velocidad constante,

i. ¿qué distancia recorrerá en 1.5 h?

ii. ¿qué distancia recorrerá en 2.25 h?

f) Si Carmen hornea 1.5 kg de galletas en 1 h, ¿cuántos kilogramos horneará en 2.5 h?

4. Comparte con tu grupo las dudas que hayan surgido de los problemas anteriores y comenten cómo resolverlas

Oriéntate

Tres cifras decimales

Multiplicador

Resultadosparciales

Suma fi nal

Multiplicar 3.14 × 4.5

314× 451 570

1 25614.130

Tres cifras decimales

Multiplicando

123Lección 23 Bloque 3

Lección 23

288 m2

355.725 m2

434.72 m2

1.92 m

53.78 km

$301.95

9.6 km

13.6 km

3.75 kg

Profundiza

5. Completa las tablas de acuerdo con la información proporcionada.

a) En una empresa familiar mazahua se bordan bellos tapetes. Por cada metro de tapete elaborado obtienen $150.50.

b) En la fábrica El Muro se elaboran diez ladrillos cada 20 min. Una vez que salen del horno, se dejan reposar sobre el piso (sin encimarlos) para que se enfríen a la temperatura ambiente. Anota qué superficie cubren considerando que un ladrillo mide 32.4 cm de largo y 12.5 cm de ancho.

6. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas.

a) Si el kilogramo de uvas cuesta $32.50, ¿cuánto se pagará por 4.8 kg?

b) Angélica compró en el mercado. Al llegar a casa, su mamá le preguntó cuánto había gastado. Completen la tabla donde están registradas sus compras para conocer la respuesta que le dio.

i. ¿Qué productos tienen el mismo precio por kilogramo?

ii. ¿Qué producto es el más barato de acuerdo con su precio por kilogramo?

iii. Comenten sobre el procedimiento para completar la tabla anterior. Corrijan si es necesario.

Producto Cantidad comprada (kg)

Precio por kilogramo ($) Monto pagado

manzanas 0.30 23.50

guayabas 1.250 12.75

jitomates 2.125 23.50

jícamas 0.750 6.50

peras 0.600 32.80

chiles habaneros 0.100 99.99

Total

Metros 1 1.25 1.50 1.75 2 2.25 2.50 2.75 3 3.25

Precio

Ladrillos 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Superficie

124 Bloque3 Lección 23

Lección 23 Multiplicación de números decimales I

150.5 188.12 225.75 263.37 301 338.62 376.25 413.87 451.5 489.12

4 050 8 100 12 150 16 200 20 250 24 300 28 350 32 400 36 450 40 500

Superficie en cm2

7.05

15.93

49.93

4.875

19.68

9.999

107.464

$156.00

Manzanas y jitomates

Jícamas

c) Patricia está decorando su habitación, pero se le terminó el papel tapiz. Solo le falta cubrir una pared que mide 8.5 m de largo y 2.85 m de alto, y en cuyo centro hay una ventana de 2.5 m de ancho por 1.35 m de alto.

i. ¿Qué superficie tiene la pared?

ii. ¿Qué superficie tiene la ventana?

iii. ¿Cuántos metros cuadrados de papel tapiz debe comprar?

iv. Si cada metro cuadrado de papel tapiz cuesta $95.80, ¿cuánto pagará por el que le falta?

d) Una caja contiene 45 bolsas de paletas. Si el peso de cada bolsa es de 0.85 kg, ¿cuánto pesarán todas?

e) Juan tiene 7 años y mide 50.5 pulgadas. ¿Cuál será su altura en metros si cada pulgada equivale a 0.0254 m?

f) Andrés leyó en Internet una receta en que se requieren 1.50 libras de carne de cerdo. Si cada libra equivale a 0.454 kg, ¿cuántos kilogramos de carne necesitará?

7. Escribe en tu cuaderno un comentario sobre la multiplicación vista como una síntesis de sumas sucesivas de una misma cantidad.

8. Comparte tu comentario con el grupo y discutan sus puntos de vista. Lleguen a un acuerdo común y redacten en su cuaderno una breve conclusión.

Para la bitácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 23 en la bitácora de la página 178.

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-125a, donde se encuentran actividades interactivas

de multiplicación de decimales.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-125b, donde se explica cómo se multiplican los números decimales.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-125c para practicar la multiplicación de números decimales.

8.5 m

2.85 m

2.5 m

1.35 m

En una autopista de cuota recorrer un tramo cuesta $18.97 más $3.03 de IVA, lo que da un total de $22.00. Si se utiliza cinco veces a la semana, ¿cuánto se pagará de IVA?


Lección 23

24.225 m2

3.375 m2

20.85 m2

$1997.43

38.25 kg

1.28 m

0.681 kg


Contenido

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Aumenta o disminuye: reflexionar sobre la multiplicación de decimales

1. Observa los diseños geométricos y contesta las preguntas.

Figura 1 Figura 2

a) ¿Qué área tiene la figura 1?

b) ¿Cuál es el área de la pieza azul en la figura 1?

c) ¿Qué parte de la superficie de la figura 1 representan las piezas azul y morada?

d) ¿Qué área tienen las piezas azul y morada?

e) ¿Cuál es la medida del área de cada pieza azul en la figura 2?

f) ¿Qué área tienen las piezas azules en la figura 2?

g) En la figura 2, ¿qué piezas ocupan mayor superficie, las azules o las amarillas?

h) ¿Cuál es el área de todas las piezas blancas en la figura 2?

2. Comparte con el grupo los procedimientos que usaste para responder las preguntas anteriores; comenten dudas y concluyan con la redacción de un procedimiento.

Un paso adelante

3. Resuelve los problemas.

a) Azucena compró medio metro de resorte. Si el metro costaba $10.80, ¿cuánto pagó?

b) Para preparar la comida, Yolanda necesita 750 g de carne de res. Si el kilogramo cuesta $69.90,

¿cuánto pagará?

c) Iván trabaja en una dulcería; hoy un cliente le solicitó 2.5 kg de chocolates. Si el kilogramo cuesta $35.20, ¿cuánto deberá cobrarle?

d) Si el litro de leche cuesta $13.50, ¿cuánto costarán 3.5 L?

1.2 m1.

2 m

0.6 m 0.3 m

126

Lección 24 Multiplicación de números decimales II

Bloque 3 Lección 24

1.44 m2

0.36 m2

La mitad

0.72 m2

0.18 m2

1.44 m2

Las azules

0.72 m2

$5.4

$52.425

$88.00

$47.25

4. Lee los planteamientos y resuélvelos.

a) La profesora Judith tiene dos mesas en el salón de clases y desea cubrir la de menor área con un cristal protector.

Figura 1 Figura 2

i. ¿Cuál es la mesa de menor área?

b) En la hortaliza de la escuela se quiere sembrar una hilera de calabacitas. Por ello, se colocará cada planta a una distancia de 0.95 m.

i. ¿Cuánto medirá la hilera de calabacitas si se quieren sembrar ocho plantas?

ii. Efectúa la operación que expresa el planteamiento anterior y escribe el resultado. 0.95 + 0.95 + 0.95 + 0.95 + 0.95 + 0.95 + 0.95 =

iii. ¿Cómo lo expresas mediante una multiplicación?

c) En la Central de Abasto, el kilogramo de calabacita se vende en $6.50 al mayoreo.

i. ¿Cuánto se pagará por 10 kg?

ii. ¿Cuánto se pagará por 100 kg?

iii. Observa el comportamiento del punto decimal en los resultados anteriores. ¿Qué ocurre cuando un número decimal se multiplica por 10, 100, 1 000, etc.? Responde en tu cuaderno y comenta con tus compañeros.

d) Antonio fue al mercado y compró 12 kg de plátano (el kilogramo costaba $8.60),

34 kg de fresas

(el kilogramo costaba $12.00) y 14

kg de manzana (el kilogramo costaba $32.00). Para saber cuánto pagó por el plátano, usamos la expresión 1

2 × 8.6, pero lo cambiamos a 0.5 × 8.6 si queremos facilitar el cálculo.

i. ¿Cuánto pagó Antonio por toda la fruta?

ii. ¿Qué cantidad de fruta compró? Exprésala con un número decimal.

5. Haz, de forma grupal, un análisis sobre diferencias y similitudes que se observan en las siguientes operaciones: 1 __

2 + 1 __

2 y 0.5 + 0.5.

En la multiplicación con decimales se pueden usar varias técnicas:

a) la suma iterativa, es decir, cuando se simplifica una suma (0.5 + 0.5 + 0.5 = 3 × 0.5); b) el ajuste decimal, esto es, cuando se multiplica un decimal por potencias

de 10 (0.005 × 10 = 0.05; 0.005 × 100 = 0.5; 0.005 × 1 000 = 5); c) la conversión de fracciones en decimales ( 1

2 × 3 = 0.5 × 3), y d) el algoritmo tradicional.

1.1 m × 0.3 m0.98 m × 0.90 m


Lección 24

figura 2

7.6 m

7.6 m

8(0.95) = 7.6 m

$65.00

$650.00

Se recorre el punto a la derecha

$21.3

1.5 kg

Prenda Dólares estadounidenses Pesos mexicanos

pantalón 35.50

vestido 48.10

blusa 28.90

falda 33.70

Profundiza

6. Reúnete con dos compañeros. Contesten las preguntas, pero sin que efectúen las operaciones.

a) Al multiplicar 0.034 por 0.2, ¿cuántas cifras decimales tendrá el resultado?

b) Al multiplicar 0.89 por 0.1, ¿el resultado será mayor o menor que la unidad?

c) Al multiplicar 1 por 0.8, ¿el resultado será mayor o menor que la unidad?

d) Al multiplicar 0.1 por 1.1, ¿el resultado será mayor o menor que la unidad?

Al multiplicar dos números naturales, el producto es mayor que los factores, pero al multiplicar dos números decimales, el resultado puede ser

a) menor que ambos factores, si estos son menores que 1,

b) mayor que ambos factores, si estos son mayores que 1,

c) o ubicarse entre ambos factores, si uno de ellos es mayor que 1 y el otro, menor que 1.

7. Escribe el número que falta en cada caso.

a) 0.2 × = 1 b) 1.2 × = 0.60

c) 0.5 × = 1 d) 2.7 × = 8.1

e) 0.1 × = 1 f) 3.4 × = 10.2

8. Resuelve el problema.

Supón que un dólar se vende en $10.39 y se compra en $10.10.

a) Si Fabiola cambió 38.50 dólares a pesos, ¿cuánto le dieron?

b) ¿Cuántos pesos recibirá por 90 ¢ de dólar?

c) Completa la tabla; convierte el precio de cada prenda en pesos. Compara tus resultados con los de tus compañeros. Registren sus dudas y comenten cómo resolverlas.


Lección 24 Multiplicación de números decimales II

4

menor

menor

mayor

5

2

10

0.5

3

3

$388.85

$9.09

$358.55

$485.81

$291.89

$340.37

Para la bitácora


TICExplora www.e-sm.com.mx/matret1-129a, donde se encuentran actividades de multiplicación

de decimales.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-129b, donde se explica cómo multiplicar números decimales

por potencias de 10.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-129c, donde se muestra un uso de los números deci-

males en la astronomía.

En el futbol americano el avance de un equipo se mide en yardas; cada unidad equivale a 0.9144 m. Si un campo tiene 120 yardas de largo, ¿cuántos metros medirá?

9. Calcula mentalmente las operaciones y escribe dentro del paréntesis V si la frase es verdadera o F si es falsa.

a) El producto de 3.2 por 0.9 es menor que 3.2. ( )

b) El producto de 1.3 por 1.3 es menor que 1.3. ( )

c) El producto de 0.8 por 0.8 es mayor que 0.8. ( )

d) El producto de 0.9 por 1.2 es igual a una cantidad mayor que 0.9 y menor que 1.2. ( )

e) El producto de 1.9 por 0.99 es mayor que 0.99. ( )


a) Una moneda de $5.00 tiene una masa de 7.5 g. Si tengo $200.00 en monedas de $5.00, ¿cuánto pesarán en total?

b) El valor nutricional de 100 g de huevo se indica a continuación.

Carbohidratos 1.12 gGrasas 10.6 gProteínas 12.6 gAgua 75 gOtros 0.68 g

i. ¿Cuántos carbohidratos hay en 1 kg de huevo?

ii. ¿Cuánta grasa hay en 1 __ 2 kg de huevo?

iii. Si cada huevo pesa 50 g, ¿cuánta proteína tendrá?

11. Organiza con tu grupo un debate sobre el siguiente planteamiento: "Cuando multiplicas dos números enteros, el resultado es igual o mayor que los factores, pero, ¿qué sucede cuando los factores son menores que la unidad y mayores que 0?". Escriban, en su cuaderno, una breve conclusión.

129

Lección 24

Lección 24 Bloque 3

V

F

F

V

V

300 g

11.2 g

53 g

6.3 g


Contenido

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Consumo de gasolina: división de números decimales

Cada vehículo consume diferente cantidad de combustible, según el tamaño de su motor y la tecnología que usa.

EcoVehículos. Recuperado de http://www.ecovehiculos.gob.mx/

1. Completa la tabla anterior y responde las preguntas.

a) ¿Cuántos litros de gasolina consume el vehículo híbrido al recorrer 65.4 km en la ciudad?

b) ¿Cuántos litros de gasolina consume aproximadamente el vehículo híbrido al recorrer 100 km en

la ciudad?

c) Con 10 L de gasolina, ¿qué vehículo llegaría más lejos en carretera? ¿Cuántos kilómetros recorrería?

d) Si la camioneta tiene un tanque de gasolina con capacidad de 80 L, ¿cuántos kilómetros reco-

rrerá considerando su promedio de eficiencia de combustible?

e) El vehículo deportivo tiene un tanque de gasolina con capacidad de 100 L. Calcula la distancia que puede recorrer con esta cantidad en la ciudad, en carretera y su promedio de consumo.

f) Con 250 mL de combustible, ¿cuántos kilómetros recorrería un vehículo subcompacto

en la ciudad?

g) Compara con tus compañeros tus respuestas de los incisos e) y f). Identifiquen dudas y dificultades y comenten cómo resolverlas.

Tipo de vehículoEficiencia de

combustible en la ciudad (km/L)

Eficiencia de combustible en carretera (km/L)

Promedio de eficiencia de combustible (se suman las dos

eficiencias y el resultado se divide entre 2)

Híbrido 21.80 25.40 23.6

Subcompacto 17.40 21.70

Deportivo 9.95 17.81

Camioneta 11.35 16.11

Kilómetros recorridos en ciudad Kilómetros recorridos en carretera

Kilómetros recorridos en promedio de consumo


Lección 25 División de números decimales I

Oriéntate

Oriéntate

Para funcionar un vehículo híbrido combina un motor de gasolina y un motor eléctrico.

El consumo de combustible se mide en kilómetros por litro. Esto significa que un automóvil recorre ciertos kilómetros con 1 L de gasolina, lo cual se simplifica con los símbolos km/L.

19.55

13.88

13.73

3 L

4.58 L

híbrido,

254 km

1098.4 km

995 1 781 1 388

4.35 km

Un paso adelante

2. Resuelve los planteamientos.

a) El diámetro de una moneda de $10.00 es de 2.8 cm. Si Julián formó con monedas una fila que mide 11.2 cm, ¿cuántas hay en ella?

i. Una forma de expresar el problema anterior es mediante el uso de restas sucesivas.

ii. ¿Cuántas veces se restó 2.8?

iii. ¿Cómo se expresa esta resta reiterada mediante una división?

b) En una bolsa que pesa 480.74 g hay varias monedas de $10.00. Si cada una tiene un peso de 11.18 g,

¿cuántas monedas habrá en la bolsa?

c) ¿Cuántos aleteos da un colibrí en 1 min si aletea cada 0.0125 s?

d) Laura tiene un listón que mide 17.75 cm. Si lo divide en cinco partes, ¿cuánto medirá cada trozo?

e) Felipe es atleta y entrena en una pista de carreras. Si le da ocho vueltas y media a la pista durante 17 min,

¿cuánto tardará en dar una vuelta?

3. Calcula la medida de cada lado de los polígonos regulares.

4. Analiza, de forma grupal, tus procedimientos para solucionar la actividad anterior. Escriban, en su cuaderno, una conclusión.

11.2 – 2.8 = 8.4 8.4 – 2.8 =5.6

5.6 – 2.8 = 2.8 2.8 – 2.8 = 0

Perímetro = 21.29 cm

Lado =


Lado =


Lado =


Lado =

131

Lección 25


4

4

11.2

_

2.8 = 4

43

4800

3.55 cm

2 minutos

4.258 3.52

5.105 2.005


Lección 25 División de números decimales I

3 . 0 65 1 5 . 3 0

0 3 00

Profundiza

Para dividir un número decimal entre otro que no lo es, se lleva a cabo lo siguiente.

a) Se efectúa la división sin considerar el punto decimal.

b) Al cociente se le agrega el punto decimal a tantas cifras (contándolas de derecha a izquierda) como tenga el dividendo.

c) Se pueden agregar más ceros en el dividendo y el resultado será más exacto.

5. Efectúa los cálculos correspondientes en cada problema.

a) El papá de Toño tiene un terreno y quiere cercar únicamente un lado cuya longitud mide 19.65 m. Además desea colocar siete postes separados a la misma distancia para sujetar un alambrado. ¿A qué distancia debe poner cada uno?

b) Patricia participó en las jornadas de reforestación en el parque de la colonia. Le pidieron sembrar doce árboles en un extremo del parque, el cual mide 33.6 m. Si deben quedar separados a la misma distancia uno del otro, ¿cuánto medirá la separación entre ellos?

c) Charo compró una serie de luces navideñas para adornar la fachada de su casa. Si la serie mide 8.5 m y tiene 75 luces que están separadas a la misma distancia, ¿a cuántos centímetros estará una luz de otra?

3 . 05 1 5 . 3

0 3

CocienteDividendoResiduo

Divisor

2.8 m

2.8 m

0.11 m

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-133a, donde se encuentra una actividad para dividir decimales.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-133b, donde hay un juego de división de decimales.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-133c, donde se explica cómo dividir decimales.

Usualmente las frutas y verduras se venden por kilogramos. Investiga el precio de tus tres frutas favoritas y calcula cuánto se pagará por 125 g de cada una.

6. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

a) Andrea tiene una cinta bordada que mide 6.5 m y quiere dividirla en ocho trozos. ¿Cuánto medirá cada pedazo?

b) Julio es albañil y tiene diez trozos y medio de varilla que pesan 36.75 kg. ¿Cuál es el peso de cada trozo?

c) Rodolfo preparó 7 L de agua de horchata. Si la sirve en vasos de 355 mL, ¿cuántos llenará?

d) La hortaliza escolar tiene una superficie de 45.3 m2. Si se han formado seis equipos para sembrar vegetales, ¿cuánto terreno corresponderá sembrar a cada uno?

e) Ana tiene un reproductor MP3 que guarda 23.5 h de música. Si cada canción dura en promedio2.5 min, ¿cuántas canciones guardará aproximadamente?

f) Enrique cambió en el banco 28 dólares y le dieron $288.96. ¿Cuál fue el valor del dólar en pesos?

g) Juan Carlos tiene 2.25 h para leer un libro de 90 páginas. ¿Cuántas leerá durante 1 min?

h) Marisela compró un bulto de azúcar que pesa 48.7 kg. Si desea llenar bolsas de 0.9 kg, ¿cuál es la cantidad máxima de bolsas que utilizará? ¿Qué cantidad de azúcar le sobrará?

i) Una barra metálica mide 12.75 m y se desea dividir en pequeñas barras de 0.50 m.

i. ¿Cuál es el número máximo de piezas de 0.50 m que es posible obtener?

ii. ¿Qué longitud de la barra original sobrará?

7. Busca con tu grupo diferentes estrategias de solución para la división de 0.5 entre 5. Escribe una conclusión.

Para la bitácora


133

Lección 25


0.825 m

3.5 m

19 vasos

7.55 m2 por equipo

564 canciones

$10.32

1.5 páginas por minuto

54, 100 g

25

0.25 m

R. P.

Los precios: división de números decimales

Esther se ha propuesto ser más cuidadosa al comprar en el supermercado. Para ello, comparará marcas, precios y cantidad de productos.

1. Completa la tabla y elige el producto más económico.

2. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide y respondan, en su cuaderno, los planteamientos derivados de la tabla anterior.

a) Redacten el procedimiento que siguieron para determinar qué cereal es el más económico.

b) Si se mezclaran los tres cereales azucarados en partes iguales y se promediaran sus precios, ¿cuánto costaría el kilogramo de cereal compuesto?

c) Para obtener 1 kg de leche con chocolate en polvo, se mezclan 750 g de leche en polvo de la marca 2 y 250 g de chocolate en polvo de la marca 1. ¿Cuánto costarán 250 g del producto mezclado?

3. Resuelve los planteamientos y anota los resultados.

a) Jacinto desea colocar losetas adheribles en la sala de su casa (quiere pegarlas una junto a otra). Cada pieza es cuadrada y mide 33.5 cm de lado. Si la longitud de la sala es 5.36 m, ¿cuántas losetas necesitará?

b) En el piso de la cocina, Jacinto pegará otro tipo de loseta adherible. Si la longitud de la cocina es de 3.96 m y coloca exactamente doce losetas y media, ¿cuánto medirá cada una?

c) Un atleta profesional recorre una pista de 412.5 m a una velocidad constante de 2.75 m/s. ¿En cuántos segundos completará una vuelta si mantiene esa velocidad?

d) La medida que tiene el área de un rectángulo es de 23.68 m2. Si uno de los lados mide 3.7 m, ¿cuánto medirá el otro?

4. Reúnete con un compañero y comparen sus respuestas de la actividad 3. Escriban una conclusión sobre el procedimiento usado para resolver los problemas.

Eje: sentido numéricoy pensamiento algebraicoTema: problemas multiplicativos

Contenido

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Producto Contenido (kg) Precio ($) Precio unitario ($/kg)

¿Qué marca es la más económica?

Cereal azucarado (marca 1) 0.850 27.20



Chocolate en polvo (marca 1) 0.6 48.90

Chocolate en polvo (marca 2) 0.980 78.89

Leche en polvo (marca 1) 3.550 113.60

Leche en polvo (marca 2) 1.2 37.50


Lección 26 División de números decimales II

R. P.

$34.6

$10.95

16 losetas

31.68 cm

150 s

6.4 m

1

2

2

32

37

35

81.5

80.5

32

31.25

Un paso adelante

5. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los problemas.

a) Al reciclar una lata de aluminio, se ahorra energía suficiente para hacer que funcione un televisor durante 3.5 h. ¿Cuántas latas se necesitarán para generar energía suficiente que haga funcionar

un televisor durante 73.5 h?

b) Para producir 1 t de aluminio se necesitan 4 385.63 kg de bauxita (óxido de aluminio hidratado).

¿Cuántos kilogramos de este elemento se requieren para obtener 0.25 t de aluminio?

c) En el depósito municipal, se paga el kilogramo de lata de aluminio a $70.00. Si este incluye cerca de 73 latas,

¿cuál será el costo aproximado de cada una?

d) Las pilas se fabrican con elementos químicos considerados tóxicos. En promedio, 14.5 pilas alcalinas contaminan 6.5 millones de litros de agua. ¿Qué cantidad de agua se contamina

con una sola?

e) Se requieren 18.7 t de petróleo para fabricar 3.74 t de plástico. ¿Qué cantidad de petróleo

se necesita para producir 1 t de plástico?

f) Para fabricar 1 t de vidrio se requieren 665.40 kg de arena sílica (bióxido de silicio).

¿Qué cantidad de arena se necesita para producir 0.4 t de vidrio?

g) Con cada tonelada de vidrio que se recicla, se ahorra energía equivalente a la que se produce con 136 L de petróleo y se sustituyen 1.2 t de materia prima. Si se reciclan 1.30 t de vidrio,

¿qué cantidad de materia prima se sustituirá?

h) Cada persona genera diariamente alrededor de 1.4 kg de basura. Si, en promedio, un individuo duerme 8.5 h al día, ¿cuánta basura produce en promedio por cada hora que se mantiene despierto?

i) En un laboratorio se fabrica un medicamento; a cada pastilla se le incorporan 0.27 g de sustancia activa. Si se dispone de 37.53 g de esta sustancia, ¿cuántas pastillas será posible producir?

j) En una campaña de reciclaje llevada a cabo en una colonia, durante 6:20 h se recuperaron 49.72 kg de latas de aluminio. Si la aportación fue constante, ¿cuántas latas se reunieron por hora?

6. Elige, de manera grupal, un problema del punto 4 y compartan sus resultados. Analicen las diferentes estrategias o procedimientos de solución. Escriban, en su cuaderno, una conclusión.

135

Lección 26


21 latas

1096.4075 kg

$0.95

448 275.86 litros

5 t

266.16 kg

1.56 t

21.7 kg

139

7.85 latas

Profundiza


a) Tres amigos se reúnen para comer la mitad de una pizza. Si la dividen en partes iguales, ¿qué parte del total de la pizza corresponderá a cada uno?

i. El planteamiento anterior se puede indicar con la siguiente expresión. 1 __ 2 ÷ 3

Al convertir la fracción 12 en decimal, es posible reescribir la división como sigue.

0.5 ÷ 3

ii. ¿Cuál es el resultado de la división?

b) En el taller de danza folclórica, la profesora Irene repartirá un listón que mide 74.75 m entre diez bailarinas.

i. ¿Cuánto medirá cada trozo de listón?

ii. Si fueran 100 bailarinas, ¿cuánto mediría el trozo de listón que correspondería a cada una?

iii. Observa el comportamiento del punto decimal en tus resultados anteriores. ¿Qué ocurre cuando una cantidad decimal se divide entre 10, 100, 1 000, etcétera?

Para dividir decimales, pueden usarse varias técnicas: a) la resta iterativa,

7.2 – 2.4 = 4.8 4.8 – 2.4 = 2.4 2.4 – 2.4 = 0

b) el ajuste decimal (cuando se divide un decimal entre potencias de 10),

0.5 ÷ 10 = 0.050.5 ÷ 100 = 0.005 0.5 ÷ 1 000 = 0.0005

c) la conversión de fracciones en decimales, por ejemplo 12 ÷ 3 = 0.5 ÷ 3,

d) el algoritmo tradicional (procedimiento descrito en la lección anterior).

8. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas.

a) En una página de Internet se venden latas de galletas de 2.3 kg a $299.90. En la tienda se venden las mismas galletas a granel y el kilogramo cuesta $130.00. ¿Dónde conviene más comprarlas?

Se restó 2.4 tres veces, por lo que 7.2 ÷ 2.4 = 3.

El punto decimal del dividendo se recorre a la izquierda tantos lugares como ceros

tenga el divisor.


Lección 26 División de números decimales II

1

__

6 de pizza

1

__

6

7.475

0.7475

R. T. El punto decimal se recorre a la izquierda tantos lugares como ceros

tenga el divisor.

En la tienda.

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-137a, donde se encuentran actividades para efectuar diversas

operaciones, entre ellas la división de decimales.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-137b, donde hay divisiones de decimales.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-137c, donde se explica el origen de los números.

De medio limón se extrae 0.002 L de jugo. Si en una tienda se vende 1 __

2 L en

$40.00, ¿cuánto costará el jugo de un limón?

b) Lucía compró una estufa en abonos a un precio de $3 564.80. El vendedor le indicó que sus abonos mensuales serían de $111.40. ¿En cuánto tiempo terminará de pagarla?

c) Si Francisco caminó 5.4 km en 1.2 h, ¿qué distancia recorrió en 60 min?

d) Un herrero cortó una barra de metal que medía 14.80 m en trozos de 0.25 m.

i. ¿Cuántas barras pequeñas obtuvo?

ii. ¿Qué cantidad de material sobró?

9. Resuelve los problemas con polígonos.

a) Calcula la medida de uno de los lados iguales del triángulo isósceles, cuyo lado desigual mide la mitad de uno de los lados iguales.

b) Calcula cuánto mide la base de los rectángulos; considera que su altura es 0.75 veces la medida de la base.

P = 31.5 cm P = 63 cm P = 20.3cm

i. Base = ii. Base = iii. Base =

c) Comparte con tus compañeros tus procedimientos para resolver la actividad del inciso anterior.

10. Analiza con tu grupo el comportamiento de una cantidad decimal cuando se divide entre múltiplos de 10. Consideren un caso como ejemplo. Escriban, en su cuaderno, las conclusiones a las que lleguen.

Para la bitácora


Perímetro15.26 cm

137

Lección 26


32 meses

4.5 km

59

0.05 m

6.104 cm, lado diferente mide 3.052 cm

9 18 5.8

Compras: formulación de primeras ecuaciones

1. Lee el planteamiento y responde lo que se pide en tu cuaderno.

a) Juan Carlos llevaba $1 200.00 cuando fue al supermercado. Después de comprar varios artículos,le sobraron $405.00. ¿Cuánto gastó?

b) En el problema del inciso anterior, hay dos cantidades conocidas: la que tenía al principio y la que le sobró, ¿qué cantidad se desconoce?

c) ¿Qué tipo de cálculo efectuaste para resolver el problema? Escribe el procedimiento.

Para resolver una ecuación, se debe encontrar un número con el que se cumpla la igualdad.En el caso anterior, si se nombra con la letra x la cantidad de dinero que gastó Juan Carlos y se expresa el problema en lenguaje algebraico, se obtiene la siguiente ecuación. x + 405 = 1 200 Dinero que gastó Dinero que le sobró Total de dinero que tenía

2. Lee el planteamiento y contesta las preguntas.

José Luis es dueño de una tienda de abarrotes en la que vende productos a granel. Para pesar pequeñas porciones, usa una balanza.

a) Un cliente le pidió 750 g de azúcar para repostería. Entonces José Luis colocó una pesa de 34 kg

en uno de los platos de la balanza y una bolsa empacada de 350 g de azúcar en el otro. ¿Cuánta azúcar falta para que los platos de la balanza se equilibren?

b) La balanza es un buen ejemplo para comprender mejor el concepto de igualdad, pues se debe mantener el equilibrio. Lo mismo sucede en esta operación.

( ) + ( ) = 9

Es posible colocar diferentes números que cumplen o preservan la igualdad, pero ¿cómo señalarlos cuando son diferentes? Al usar la letra x para indicar un número y la letra y para otro. Así, se escribe la expresión anterior.

x + y = 9

i. ¿Cómo se expresa con letras que el número colocado en ambos espacios es el mismo?

( ) + ( ) = 9

ii. Completa la tabla. Comparte las respuestas con tus compañeros.

Eje: sentido numéricoy pensamiento algebraicoTema: patrones y ecuaciones

Contenido

Resolución de problemas que impli-quen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igual-dad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

Expresión algebraica Expresión verbal

x + y = 9 La suma de dos números diferentes es igual a nueve.

x + 405 = 1 200

La suma de dos números iguales equivale a nueve.


Lección 27 Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b

Oriéntate

Las igualdades también son usadas para representar una equivalencia de dos cantidades o expresiones.

$795.00

Lo que gastó

Una resta: 1 200 – 405 = 795

400 g

x x

La suma de un número y cuatrocientos cinco

es igual a mil doscientos

x + x = 9

Una ecuación es una igualdad en la que, por lo menos, hay un número desconocido denominado incógnita. En la ecuación de primer grado hay incógnitas con exponente 1.

Por ejemplo, x, y o z, pero no x 2, y 3 o z 4.

Un paso adelante

Es usual que un coeficiente 1 (igual que un exponente 1) no se escriba; así que la ecuación 1x1 + 2 = 10 se expresa como x + 2 = 10. El esquema en la derecha muestra los nombres de los componentes de una ecuación.

3. Efectúa, en tu cuaderno, lo que se pide a partir de la expresión dada.

13 + x = 20

a) Escribe cómo se expresa verbalmente la ecuación anterior.

b) Redacta un problema cuyo planteamiento conduzca a dicha ecuación.

c) Resuelve la ecuación (encuentra el valor de la incógnita).

4. Reúnete con un compañero. Analicen el planteamiento, completen la tabla y respondan las preguntas en su cuaderno.

Enrique construyó las figuras que se muestran con palillos.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

a) Observen que la secuencia de palillos sigue una regla determinada. Escriban cuál es.

b) ¿Cómo se determina el número de palillos necesarios para construir cualquier figura sin contarlos?

c) Escriban una fórmula que les permita obtener la cantidad de palillos necesarios para formar cualquier figura. Utilicen la letra x para representar el número de figura.

d) ¿En qué número de figura se necesitan 68 palillos?

e) Anoten el procedimiento que usaron para responder la pregunta anterior. Confróntenlo con el de sus compañeros y escriban una conclusión.

Figura 1 2 3 4 5 6 7

Número de

palillos4 5

139

Lección 27


Coeficiente Exponente

Constantes

OperadorVariable

oincógnita

3 x4 + 5 = 30

Trece más un número es igual a veinte

R. P.

x = 20 – 13, x = 7

El lugar que ocupa la fi gura más tres/ El número de la fi gura más tres

Número de fi gura más tres

x + 3

x + 3 = 68, x = 65

68 – 3 = 65

6 7 8 9 10

Profundiza

En una ecuación, debe haber igualdad entre las expresiones; a las expresiones de cada lado de la igualdad se les denomina miembros que se relacionan por medio de operaciones matemáticas. Para plantear una ecuación a partir de un problema, se efectúa lo que se indica en la tabla.

Se asigna una letra (x, y, z o alguna otra) al número desconocido. Definición de la incógnita

Se escribe una igualdad en la que esté involucrada la incógnita. Escritura de la ecuación

En el problema anterior, el número de la figura representa la incógnita; por esta razón, se usa la letra x para nombrarla. Es posible expresar la ecuación así: “Un valor x más otra cantidad da como resultado el número de palillos usados”.

5. Completa la tabla y comparte con el grupo las respuestas de la cuarta, quinta y sexta filas. Anoten las conclusiones en su cuaderno.

6. Lee el planteamiento y contesta lo que se solicita en tu cuaderno.

El perímetro del triángulo isósceles de la izquierda mide 710 cm. Si se desea conocer la medida del

lado desigual, es posible expresarlo como se indica.

x + 25 = 7

10

a) ¿Qué operación debes efectuar con 25 y 7

10 para obtener el valor de x? Plantea la operación. ¿Cuál es el valor de x?

7. Completa la tabla. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten sus dificultades y cómo resolverlas.

Ecuación Lectura Valor de la incógnita

x + 13 = 11

15Un número sumado a un tercio es igual a once quinceavos.

x – 12 = 1

4 A un número se le resta un medio y el resultado es un cuarto.

x – 48 = 0

Un número sumado a sí mismo es igual a 1.

1423

15

15 cmcm

x

Oriéntate

Una incógnita es un valor que no se conoce, pero que se necesita determinar.

Situación Ecuación Operación para hallar x

Valor para x

El perímetro de un triángulo isósceles es de 15 cm y los lados iguales miden 7 cm. ¿Cuánto mide el lado desigual?

Un número sumado a 8.3 es 12.4.

Un medio más un número es 7.

Un número sumado a sí mismo es igual a 10.

El hermano de Luis tiene 5 años. Si la suma de sus edades es 17, ¿cuántos años tiene Luis?


Lección 27 Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b

2

__

5

3

__

4

4

__

8 o

1

__

2

1

__

2

A un número se le restan cuatro octavos y es igual a cero

R. P.

R. P.

x + 14 = 15

x + 8.3 = 12.4

1

__

2 + x = 7

x + x = 10

5 + x = 17

15 – 14 =

12.4 – 8.3 =

7 – 1

__

2 =

10 ÷ 2 =

17 – 5 =

1

4.1

6 1

__

2

5

12

x + x = 1

restar, 7

__

10 –

2

__

5 = ¿?,

3

__

10

TIC

8. Observa el ejemplo y completa la tabla.

Ecuación Operación para encontrar el valor de x Valor de x

3 + x = 17 x = 17 – 3 x = 14

x – 16

= 712

x + 3.5 – 2 = 14

x + 18

= 1

Para resolver una ecuación

La ecuación se transforma en otras ecuaciones equivalentes más sencillas hasta encontrar el valor de la incógnita.

Resolver la ecuación

Al resolver una ecuación, es necesario simplificar términos semejantes; por ejemplo, 12

x + 14

x se simplifican porque son términos similares.12

x + 14

x + 15

= 1920

34

x + 15

= 1920

Después, se debe despejar la incógnita, es decir, efectuar operaciones para encontrar su valor. Por ejemplo, en la ecuación 12 + x = 20, se despeja el valor de x como se indica en la tabla.

Pasos Caso 1 Caso 2Ecuación inicial 12 + x = 20 x – 8 = 10

Operación para despejar a x 12 – 12 + x = 20 – 12 x – 8 + 8 = 10 + 8Valor de x x = 8 x = 18

Para verificar la solución En la ecuación inicial se reemplaza la incógnita por el valor encontrado. Si se cumple la igualdad, entonces es el correcto.

Comprobar el valor hallado

12 + x = 20 Comprobación: 12 + x = 20 x = 20 – 12 12 + 8 = 20 x = 8 20 = 20

9. Organiza con tu grupo un debate acerca de la incógnita en problemas de una cantidad desconocida. Propongan dos casos y escriban en su cuaderno una breve conclusión.

Para la bitácora


Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141a, donde se encuentran actividades de resolución de ecuaciones.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141b, donde hay una guía para resolver ecuaciones.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-141c, donde se explica cómo solucionar ecuaciones.

Oriéntate

Oriéntate

Un término semejante es aquel que tiene la misma parte literal (incógnita y exponente), pero el coeficiente igual o diferente.

Cuando incorporas una operación a un miembro de la igualdad debes hacerlo en ambos miembros para conservar la igualdad.

Para que un juego de mesa (serpientes y escaleras, turista, etc.) sea más interesante, consigue unos dados y marca tres de los seis números con un signo negativo. Apunta tus tiradas en una hoja de papel y resuelve la operación.

12

10

7 6

7


Lección 27

x = 7

__

12 +

1

__

6

x = 14 – 1.5

x = 1 – 1

__

8

x = 3

__

4

x = 12.5

x = 7

__

8

Para calcular el perímetro: ecuaciones de la forma ax = b

Observa la secuencia de figuras.

1. Completa la tabla a partir de la secuencia anterior.

Figura Perímetro (cm)1 423

165

2. Responde las preguntas.

a) ¿Qué perímetro tendrá la figura 5 si se considera que la sucesión guarda un mismo comportamiento?

b) ¿Qué perímetro tendrá la figura 18?

c) ¿Qué operación efectuaste para responder la pregunta anterior?

3. Reúnete con un compañero y hagan, en su cuaderno, lo que se indica con base en la sucesión anterior.

a) Construyan una expresión general o fórmula que permita determinar el valor del perímetro para cualquier figura. Usen la x para representar el número de la figura.

b) En la sucesión anterior, una figura tiene un perímetro de 120 cm; planteen una ecuación en la que representen con x el número de la figura y resuélvanla para hallar dicha cantidad.

4. Observa el ejemplo y completa la tabla. Comparen sus resultados con los de su grupo, registren dudas y comenten cómo resolverlas.

a b a + b a · b a – b

8 5 13 40 3

2.4 1.356

47

Eje: sentido numérico y pensamiento algebraicoTema: patrones y ecuaciones

Contenido

Resolución de problemas que impli-quen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igual-dad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

1 cm

1 cm

2 cm

2 cm3 cm

Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1

3 cm

Oriéntate

Un ecuación que tiene la forma ax = b expresa un producto entre el coeficiente a y la incógnita x, lo que da como resultado un número b.

Glosario

Coeficiente. Número que multiplica a la incógnita. Por ejemplo, en la ecuación 4x = 30, el coeficiente de x es 4.


Lección 28 Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b

4

8

12

20

3.7

59

___

42

3.12

10

__

21

1.1

11

___

42

20 cm

72 cm

18 x 4

Un paso adelante

5. Lee el planteamiento y contesta lo que se pide.

El perímetro del cuadrado mide 16 cm.Es posible expresar la información anterior de esta manera.

2x + 2x + 2x + 2x = 16 o bien 8x = 16

a) ¿Cuál es el valor de x en la ecuación?

b) De acuerdo con la misma ecuación, indica qué operaciones son necesarias para despejar x y obtener su valor.

6. Lee el planteamiento y efectúa, en tu cuaderno, lo que se indica.

La mamá de Antonio fue al mercado a comprar fruta y vio que el kilogramo de sandía costaba $12.00, así que compró una y pagó $75.00 por ella.

a) En esta situación, ¿cuál es la cantidad desconocida?

b) Expresa el problema mediante una ecuación.

c) Resuelve la ecuación que formulaste y encuentra el valor de la incógnita.

d) Comprueba que, con el valor encontrado para la incógnita, se mantiene la igualdad de la ecuación.

7. Compara las respuestas anteriores con tu grupo; analicen la siguiente tabla y escriban, en su cuaderno, una breve conclusión.

Para despejar la incógnita x en la ecuación ax = b, se divide cada lado de la igualdad entre el coeficiente de la incógnita x.

ax = b a __ a · x = b __ a

x = b __ a

Pasos Caso 1 Caso 2

Ecuación inicial 4x = 5423

x = 16

44

x = 544

23 ÷ 2

3 x = 16 ÷ 23

66 x = 48

2

Valor para x x = 13.5 x = 24

2x

Oriéntate

Por lo general, se utiliza la letra x para referir una cantidad desconocida; sin embargo, no es obligatorio usarla. En las ecuaciones, es posible emplear cualquier otra, aunque es común utilizar las últimas letras del alfabeto.

143

Lección 28


Aplicando una operación

para despejar x

x = 2

Sumar las equis y dividir dieciséis entre ocho.

El peso de la sandía

12x = 75

x = 6 1

__

4

12 (6.25) = 75

Profundiza

8. Lee el planteamiento y efectúa lo que se pide.

La figura se forma por dos cuadrados sobrepuestos; cada lado de un cuadrado mide 4x y el perímetro total es de 72 unidades.

a) Determina el valor de x.

b) Si el valor del perímetro aumenta a 144 unidades, ¿cuál será el valor de x?

9. Lee la situación y responde las preguntas.

La mamá de Antonio compró 3.5 kg de piña y pagó $42.00.

a) ¿Cuánto le costó el kilogramo de piña?

b) Plantea la ecuación que permite resolver el problema.

c) De acuerdo con la ecuación, escribe las operaciones necesarias para despejar la incógnita y obtén su valor.

10. Completa la tabla. Compara los planteamientos con tus compañeros y redacten, en su cuaderno, una breve conclusión.

2x

2x4x

Expresión verbal Ecuación planteada Solución a la ecuación (valor de la incógnita)

El doble de un número es 12.

3x = 3

x = 5

El doble de un número más su triple es 35.

x = 20

5.5x = 50


Lección 28 Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b

24x = 72, x = 3

24x = 144, x = 6

42

___

3.5 = 12

3.5x = 42

x = 12

2x = 12

2x + 3x = 35

El triple de un número es tres

R. P.

R. P.

Cinco veces y medio un número es igual a 50

x = 6

x = 1

7

x = 9.09

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-145a, donde se encuentran actividades de resolución de ecuaciones.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-145b, donde se muestra una guía para resolver ecuaciones.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-145c, donde se explican las ecuaciones y su uso

en problemas de la vida cotidiana.

11. Reúnete con un compañero. Para cada caso planteado, escriban la ecuación en su cuaderno y resuélvanla.

a) La mitad de un número es igual a 14. ¿Cuál es ese número?

b) El doble de un número más su triple es 35. ¿Cuál es ese número?

c) Karla compró cinco rebanadas de pizza, pagó con un billete de $100.00 y le devolvieron $25.00.

¿Cuánto costó cada pedazo?

d) El perímetro de una hortaliza rectangular es de 48 m; para hallar sus medidas, solo se sabe que el largo es el doble del ancho.

e) La mitad de un número menos 3 es igual a 32. ¿Cuál ese número?

12. Lee el planteamiento y contesta las preguntas.

Don Pascual vende el litro de leche a $12.00. Para agilizar sus cálculos, registró en una tabla los litros y el precio que debe cobrar.

a) Redacta una regla o fórmula que te permita determinar el precio de cualquier cantidad de litros.

b) Si en la tarde ganó en total $624.00, ¿cuántos litros de leche vendió?

13. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno.

a) 8x = 2 b) 12 x + x = 4 – 2 c) 3x – 2x = 8 + 12

d) 0.5x = 10 e) 2x + 2x = 16

14. Reúnete con un compañero y expliquen, en su cuaderno, qué error cometió Juan Carlos cuando resolvió su tarea.

15. Discute con tu grupo la diferencia de las siguientes expresiones: 2x, 2 + x, x + x. Escriban, en el cuaderno, sus conclusiones.

Para la bitácora


Litros (L) Precio ($)1 12.00

2 24.00

3

60.00

6

145

Lección 28


x = 28

x = 7

$15.00

Largo = 16 m, ancho = 8 m

x = 70

12 L = precio, L = cantidad de litros

52 L

x = 1

__

4 x =

4

__

3 x = 20

x = 20 x = 4

36.00

48.00

72.00

4

5

Compra de boletos: una explicación de las ecuaciones de la forma ax = b

El grupo musical Los Chicos Verdes presentará un concierto el próximo mes. Andrea, quien es su seguidora, fue a comprar boletos para ella y sus amigos. En la taquilla le dijeron que el precio del boleto era de $120.00 más una comisión de $20.00 por cada compra.

1. Reúnete con un compañero y contesten las preguntas.

a) Si Andrea decide comprar dos boletos, ¿cuánto dinero pagará?

b) Construyan una expresión que les permita determinar el dinero que necesita Andrea para cualquier cantidad de boletos que compre. Representen con x el número de boletos.

c) Al comprar boletos, Andrea gastó $620.00. ¿Cuántos recibió?

d) Desarrollen, en su cuaderno, las operaciones necesarias para despejar x y determinar su valor.

e) Redacten un problema que se resuelva con la ecuación 10x + 10 = 1 210.

2. Analiza el planteamiento y contesta en tu cuaderno.

El boleto que compró Andrea para el concierto tiene dos secciones: la izquierda, que se recoge a la entrada de la sala de conciertos, y la derecha, que es el comprobante personal.

a) La sección derecha tiene el doble de largo que la izquierda; esta última es un rectángulo cuyo alto mide 4 cm. Si el perímetro total del boleto es de 26 cm, ¿cuánto medirá la base del rectángulo derecho?

b) Comparte las respuestas con tu grupo y construyan una expresión que represente el planteamiento.

Eje: sentido numérico y pensamiento algebraicoTema: patrones y ecuaciones

Contenido

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

Oriéntate

Recuerda que si se suma la misma cantidad varias veces, es posible simplificar la operación escribiéndola como un producto.

Por ejemplo, x + x + x se escribe 3x.


Lección 29 Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c

260

120x + 20

5 boletos

R. T. En un estacionamiento cobran $10.00 por hora más una comisión

de 10 por fracción, Heriberto pagó $1210.00, ¿cuántas horas permaneció

estacionado?

6 cm

Un paso adelante

3. Lee la situación y efectúa lo que se pide.

a) Azucena recibió como regalo de cumpleaños un perro, pero es muy inquieto y se escapa de su casa a cada rato. Por ello, decidió colocarle una cadena y atarlo en una esquina del jardín. El siguiente esquema representa el jardín donde ató su perro. Obsérvalo y contesta las preguntas.

Ella ató su perro en el punto a. El largo de la cadena le permite a su mascota llegar hasta el punto c, (como lo indican las flechas). La distancia del punto b al c es de 20 cm y la del punto a al b no se conoce, por lo que se denominará x.

i. Escribe una ecuación que exprese la medida de la cadena (en términos de x).

ii. Cuatro veces la longitud de la cadena es igual al perímetro de la casa; este mide 360 cm. Expresa y resuelve una ecuación que permita determinar la distancia del punto a al b.

iii. ¿Cuál es la longitud del punto a al b?

4. Completa la tabla.

5. Compara las respuestas con tus compañeros y escriban, en el cuaderno, una conclusión sobre el procedimiento para resolver una ecuación.

Expresión verbal Expresión algebraica

Operaciones necesarias para

despejar la incógnita

Valor de la incógnita

El doble de un número más 3 es igual a 9.

x = 9 – 32

2x – 1 = 3

El triple de un número más 3 es igual a 18. x = 5

Un número más el número siguiente es igual a 61. x + x + 1 = 61

Un número es el cuádruplo del otro y la suma de ambos es 125.

12 x – 1

2 = 10

La tercera parte de un número más ese mismo número es igual a 12.

a

b

c

e

147

Lección 29


x + 20 = l, con l largo de la cadena.

4(x+20) = 360, x = 70 cm

70 cm

2x +3 = 9

3x + 3 = 18

4x + x = 125

1

__

3 x + x = 12

x = (3+1)

____

2

x = (18-3)

_____

3

2x + 1 = 61

x = (61-1)

____

2

5x = 125

x = 125

___

5

x = 21

__

2 entre

1

__

2

4

__

3 x = 12

x = 12 entre 4

__

3

x = 3

x = 2

x = 30

x = 25

x = 42

___

2 = 21

x = 36

___

4 = 9

El doble de un número menos

uno es tres

La mitad de un número menos

un medio es igual a diez

Para resolver la ecuación 5x + 3x – 2 = 4x – 1, se lleva a cabo el siguiente procedimiento.

6. Reúnete con un compañero y resuelvan, en su cuaderno, los planteamientos.

a) Luis tiene dos años más que Juan y la suma de sus edades es 18. ¿Cuántos años tiene Luis? En este caso, la incógnita es la edad de Juan.

b) En un rectángulo la base mide 18 cm más que su altura y la medida del perímetro es de 76 cm. Determinen cuánto mide la figura.

c) ¿Es 6 el valor de la incógnita en la ecuación 3x – 1 = 2x + 5?

Argumenten su respuesta.

7. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno y escribe el valor de la incógnita.

a) 2x – 2 = 16 x =

b) 3x + 2 = 16 x =

c) x – 2 = 102

x =

d) 3x + 1 = 2x + 3 x =

e) 18x – 4 = 32 x =

Paso Operación Ecuación

Se reducen términos semejantes. Simplificar 5x + 3x = 8x

5x + 3x – 2 = 4x – 18x – 2 = 4x – 1

Se eliminan constantes del miembro de la izquierda de la igualdad.

Sumar 2 en ambos miembros

2 + 8x – 2 = 4x – 1 +28x = 4x + 1

Se eliminan incógnitas del lado derecho de la igualdad.

Restar 4x en ambos miembros 8x – 4x = 4x + 1 – 4x

Se reducen términos semejantes.Simplificar

8x – 4x = 4x4x – 4x = 0

8x – 4x = 4x + 1 – 4x 4x = 1

Se despeja x(se deja x sola en el miembro

de la izquierda).

Dividir ambos miembros entre 4

4x = 1 44

x = 1

4

x = 14


Lección 29 Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c

2 + j + j = 18, 2j = 16,

Juan = 8, Luis = 10

altura = 10 y base = 28

Sí

3(6) – 1 = 2(6) + 5 18 – 1 = 12 + 5

17 = 17

9

14

__

3

7

2

2

TIC

8. Observa la sucesión de figuras y haz lo que se indica.

a) Obtén el perímetro de la figura 1.

b) Obtén el perímetro de la figura 2.

c) El perímetro de la figura 3 es 242; plantea una ecuación que permita calcular el valor de x.

d) Si x es igual a 0.04, ¿cuál será el perímetro de la figura 4? Escribe el procedimiento que seguiste en tu cuaderno.

9. Comparte las respuestas al ejercicio anterior con tus compañeros. Redacten, en su cua-derno, un procedimiento general para encontrar la solución.

10. Escribe, en tu cuaderno, un problema que se asocie a cada ecuación.

a) 2x + 1 = 10

b) 5x – 12 = 14.5

11. Observa el cuadrado mágico y efectúa lo que se pide.

En un cuadrado mágico, la suma de las diagonales, horizontales y verticales siempre da el mismo resultado. Para determinar los números que corresponden a cada casilla, se debe hallar el valor de x.

a) Suma las expresiones de cada renglón, columna y diagonal (en total son ocho sumas).

b) Iguala los resultados anteriores a 15.

c) Resuelve cada ecuación que formulaste y determina los números de cada casilla.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-149a, donde se encuentra una guía para la solución de ecuaciones.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-149b, donde hay actividades para resolver ecuaciones con una

balanza interactiva.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-149c, donde se explica el proceso de solución de

ecuaciones.

Para la bitácora


2x – 2 4x –19 5x – 19

6x – 27 5x – 20 7x – 28

3x – 11 10x – 41 7x – 33

x2x

3x 4x

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura 4


Lección 29

6x

10x

x = 242

___

14

x = 0.72

R. P.

R. P.

8 1 6

3 5 7

4 9 2

El Pentágono: construcción de polígonos regulares

El 15 de enero de 1943, se inauguró el edificio de oficinas más grande del mundo: el Pentágono, ubicado en Washington D. C., EUA. Tiene forma pentagonal (de ahí su nombre) y se conforma por cinco anillos, cinco pisos y un patio central denominado zona cero.

1. Contesta las preguntas.

a) Si reprodujeras a escala el Pentágono, ¿qué medidas necesitarías conocer?

b) ¿Qué instrumentos de geometría requerirías?

2. Escribe, en el siguiente pentágono, los nombres de sus elementos: lado, vértice, centro, perímetro y apotema.

3. Relaciona, con una línea, cada elemento con su definición correcta. Compara con tus compañeros.

Lado Suma de los lados de cualquier polígono

Vértice Segmento perpendicular cuyos extremos son el punto medio de cualquier lado de un polígono regular y su centro

Centro Cada uno de los segmentos que forman el polígono. Por el número de estos, se determina su nombre

Perímetro Punto donde se unen dos lados consecutivos

Apotema Segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono

Diagonal Lugar geométrico que se encuentra a la misma distancia de todos los vértices

Eje: forma, espacio y medidaTema: figuras y cuerpos

Contenido

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central).Análisis de la relación entre los ele-mentos de la circunferencia y el polí-gono inscrito en ella.


Lección 30 Polígonos regulares I

150

R. T. 1) La medida de un lado. 2) La medida de un lado y el apotema.

R. T. Una regla o un compás.

Perímetro: toda la línea verde.

Apotema Vértice

Centro

Lado

Un paso adelante

4. Reúnete con un compañero. Analicen las construcciones, contesten las preguntas y efectúen, en su cuaderno, lo que se pide.

a) Observen los pasos de la construcción geométrica.

i. ¿Con qué elemento geométrico se inició la construcción? ¿Qué instrumentos de geometría se utilizaron? Describan el procedimiento y expliquen por qué se obtiene un triángulo equilátero si solo se conoce la medida de un lado.

b) Observen los pasos de la construcción geométrica.

i. ¿Con qué elemento geométrico se inició la construcción? ¿Qué instrumentos de geometría se usaron? Describan el procedimiento y expliquen por qué se obtiene un cuadrado si se conoce la medida de uno de sus lados.

c) Observen los pasos de la construcción geométrica.

i. ¿Con qué elemento geométrico se inició la construcción? ¿Qué instrumentos de geometría se utilizaron? Describan el procedimiento y expliquen por qué se obtiene un hexágono regular si solo se conoce la medida de uno de sus lados.

ii. Comparen las descripciones y explicaciones con sus compañeros.

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5



A

A

A

A

A

A A

A

A

A A A B

C

DE

F

A

B

BB

C

OO O

C DD

B

B

B B

B

A A

B

B

B

B

B B

C C

Lección 30

Lección 30 Bloque 3 151

5. Reúnete con un compañero y hagan lo que se indica en su cuaderno.

a) Construyan algún otro polígono regular utilizando solo regla y compás.

b) Escriban el procedimiento que siguieron.

Profundiza

6. Analiza los ángulos de un polígono regular y contesta las preguntas en tu cuaderno.

Ángulo central Ángulo interno Ángulo externo

Figura 1 Figura 2 Figura 3

a) ¿Cómo defines ángulo central?

b) ¿Cómo defines ángulo interno?

c) ¿Cómo defines ángulo externo?

Por construcción, los ángulos de un polígono regular se calculan con las siguientes fórmulas.

Ángulo central = 360° ___________ número de lados

Ángulo interno = 180° – 360° ___________ número de lados

Ángulo externo = 360° ___________ número de lados

7. Completa la tabla. Compara tus respuestas con las de tus compañeros, comenten pro-cedimientos y escriban, en su cuaderno, una conclusión referente a las estrategias para calcular medidas de los ángulos de un polígono.

Polígono regular Número de lados Medida del ángulo central

Medida del ángulo interno

Medida del ángulo externo

triángulo equilátero

cuadrado

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

A AB B

o o

A B

o


Lección 30 Polígonos regulares I

152

R. T. Se forma con vértice en el centro del polígono

regular y lados que parten del centro a dos vértices consecutivos del polígono.

R. T. Se forma con dos lados consecutivos del polígono.

R. T. Se forma con un lado del polígono y la prolon-

gación de un lado adyacente.

3

4

5

6

7

8

9

120º

90º

72º

60º

51.4º

45º

40º

60º

90º

108º

120º

128.6º

135º

140º

120º

90º

72º

60º

51.4º

45º

40º

8. Reúnete con dos compañeros. Analicen las construcciones, contesten las preguntas en su cuaderno y efectúen lo que se pide.

a) Tracen un pentágono de 10 cm de lado.

b) ¿Con qué elemento geométrico se inició la construcción?

c) ¿Qué instrumentos de geometría se utilizaron?

d) ¿Cuánto mide el ángulo que sirve de referencia para trazar el polígono?

e) Describan el procedimiento para construir un pentágono regular cuando solo se conoce la medida de su ángulo interno y de uno de sus lados.

f) Construyan los polígonos regulares que se indican en la tablas de la derecha.

g) Comparen los procedimientos que siguieron para trazar los polígonos regulares.

9. Organiza con tu grupo un debate sobre los pasos básicos necesarios para el trazado de cualquier polígono y los instrumentos geométricos que se emplean.

Para la bitácora


Polígono regular

Medida de un lado (cm)

triángulo 6

cuadrado 5

pentágono 3

hexágono 4

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-153a, donde se describe el procedimiento para la construcción

de polígonos.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-153b, donde se encuentra una actividad para obtener el área

de un polígono.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-153c, donde se muestra cómo construir un hexágono

a partir de la medida de un lado.

A

Paso 1 Paso 2

Paso 5 Paso 7Paso 6

A A A10 cm 10 cmB B B

C

10 cm B

A

Polígono regular

Medida de un lado (cm)

heptágono 3

octágono 4

eneágono 5

decágono 2

dodecágono 3

Lección 30


Paso 3 Paso 4

10 cm

10 cm

10 cm

D

D

D

E

DB

B

B

C

C

C

A

153

R. T. Segmento AB = 10 cm

R. T. Regla y transportador.

108º

Figuras inscritas: construcción de polígonos inscritos en una circunferencia

Liliana está estudiando repostería; para la próxima clase, llevará una cacerola y un molde cuadrado para preparar flan a baño María, así que decidió investigar al respecto. Ahora sabe que este es un método de calentamiento o cocimiento indirecto que consiste en colocar agua en un recipiente y sumergir dentro de él otro más pequeño con el contenido que se desea calentar o cocer de manera suave y constante; para ello, el agua se calienta primero y transmite calor al recipiente menor.

1. Liliana tiene una cacerola de 20 cm de radio. ¿Cuánto debe medir un recipiente cuadrado para que encaje exactamente en su cacerola?

2. Explica, en tu cuaderno, qué estrategia usaste para responder la pregunta.

3. Observa que en la figura se representa la cacerola (circunferencia) y el molde (cuadrado). Efectúa lo que se pide y contesta las preguntas.

a) Traza dos bisectrices del cuadrado.

b) ¿En qué punto se cortan?

c) ¿Cuántos ángulos centrales se forman al cortarse las bisectrices?

d) ¿Cuánto miden los ángulos formados?

e) La fórmula para calcular los ángulos centrales de un polígono regular es Ángulo central = 360° __________

número de lados . De acuerdo con ella,

¿cuánto miden los ángulos centrales de un cuadrado?

4. Analiza con el grupo la validez de la fórmula del inciso e) y propongan algunos casos. Escriban las conclusiones a las que lleguen en su cuaderno.

Eje: forma, espacio y medidaTema: figuras y cuerpos

Contenido

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (me-dida de un lado, del ángulo interno, ángulo central).Análisis de la relación entre los ele-mentos de la circunferencia y el polí-gono inscrito en ella.


Lección 31 Polígonos regulares II

154

28 cm por lado.

En el centro de la circunferencia.

Cuatro ángulos.

90º

90º

Un paso adelante

5. Observa un procedimiento para trazar un cuadrado a partir de una circunferencia dada.

6. Reproduce la construcción anterior en la circunferencia.

a) ¿Cuánto miden sus ángulos centrales?

b) Traza las bisectrices de sus ángulos centrales.

c) Ubica los puntos de intersección de las bisectrices y la circunferencia.

d) Une los puntos que se encuentran en la circunferencia de manera consecutiva.

¿Qué polígono obtuviste?

e) ¿Cuántos lados tiene el nuevo polígono?

f) Si trazas de nuevo las bisectrices de los ángulos centrales, ¿qué polígono obtendrás?

7. Reúnete con un compañero y comenten si es posible hacer una generalización si se repite el procedimiento descrito anteriormente. Escriban, en el cuaderno, su conclusión y compártanla con el grupo.

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

A A

B B

C C

D D

Lección 31

Lección 31 Bloque 3 155

90º

Un octágono.

Ocho.

Uno de 16 lados.

Profundiza

No todos los polígonos regulares se construyen usando solo regla y compás; por ejemplo, el heptágono.

8. Reúnete con un compañero. Analicen la construcción del pentágono y contesten las preguntas en su cuaderno.

a) ¿Qué datos o elementos se conocen al inicio de la construcción?

b) Redacten los pasos para efectuar el trazo anterior.

c) ¿El polígono está inscrito o circunscrito?

d) ¿Qué elemento comparten la circunferencia y el polígono?

e) ¿Qué puntos del polígono pertenecen a la circunferencia?

9. Construye un eneágono inscrito en la circunferencia. Compara tu trazo con el de tus compañeros y comenten qué procedimiento usaron para trazarlo.


72°72°

72°72°72°

72° 72°72°

72°72°

725 360 10 0

A

B

O

C

D

E


Lección 31 Polígonos regulares II

156

Radio de la circunferencia.

Inscrito

La longitud de los lados del ángulo central y el radio de la circunferencia.

Los vértices.

60°60°60°60°60°60°

60°60°60°60°60°60°

10. Reúnete con dos compañeros, analicen la construcción y efectúen, en su cuaderno, lo que se pide.

a) Redacten el procedimiento para construir un hexágono a partir de una circunferencia dada.

b) Tracen un hexágono inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

c) A partir del hexágono trazado, construyan un triángulo equilátero y un dodecágono.

d) Redacten el procedimiento que siguieron para desarrollar los polígonos del inciso c).

e) A partir de un hexágono, ¿qué polígonos regulares es posible construir?

11. Traza, en tu cuaderno, los siguientes polígonos inscritos en una circunferencia. Registra las dudas y dificultades que surgieron y, con ayuda del profesor, comenta con tus compañeros cómo resolverlas.

12. Haz, con tus compañeros y con ayuda del profesor, un debate acerca del siguiente planteamiento: "Dentro de una circunferencia se puede trazar cualquier polígono regular, pero si el número de lados del polígono aumenta indefinidamente, ¿el polígono podrá coincidir con la circunferencia?". Registren las conclusiones en su cuaderno.

Para la bitácora



606 360

Polígono inscrito Radio de circunferencia (cm)

triángulo 5

decágono 8

dodecágono (12 lados) 6

octadecágono (18 lados) 10

icoságono (20 lados) 5

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-157a donde se encuentran diversos procedimientos para trazar

polígonos regulares.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-157b, donde hay un procedimiento para construir un pentágono.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-157c, donde se muestra cómo construir polígonos

regulares.

Lección 31


Con las técnicas que aprendiste en la lección, reproduce los trazos en tu cuaderno. La apotema debe medir 2.5 cm.

157

El reloj: cálculo de perímetros y áreas de polígonos regulares

En el salón de Manuel hay un reloj hexagonal. Hoy la profesora les pidió como tarea obtener el área comprendida entre las manecillas del reloj cuando marca las 3:00 h.

1. ¿Qué información requiere Manuel para calcular el área deseada?

2. Explica el procedimiento que seguirías para determinar la medida del área.

Recuerda que la fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular es la que se muestra.

A = perímetro por apotema

_____________ 2

3. Contesta con base en los datos: cada lado del reloj mide 8 cm y la apotema, 7 cm.

a) ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

b) ¿Cuál es su área?

c) ¿Cuál es el área de la zona que indicó la profesora?

Recuerda que el perímetro de todo polígono regular se obtiene al multiplicar el número de lados por la medida de uno de ellos.

4. Reúnete con un compañero, analicen los planteamientos y contesten las preguntas en su cuaderno.

a) En la fórmula que se usa para obtener el área de un polígono regular, ¿qué ocurrirá con el área si se reduce el perímetro?

b) ¿Qué sucede con la apotema al reducir el perímetro de un polígono regular?

c) Compartan sus respuestas con el grupo y escriban, en su cuaderno, una conclusión.

Oriéntate

Oriéntate

Un polígono regular es aquel cuyos lados tienen la misma longitud y sus ángulos interiores son iguales.

La apotema es la distancia del centro de un polígono regular al punto medio de cualquiera de sus lados.

Eje: forma, espacio y medidaTema: medida

Contenido

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

1

2

3

4

567

8

9

10

11 12


Lección 32 Perímetro y área de polígonos regulares

158

R. T. Medidas de un lado del hexágono y apotema.

R. T. Obtener el área del hexágono y dividirla entre cuatro.

48 cm

168 cm2

42 cm2

R. T. Disminuye.

R. T. Disminuye. El polígono reduce en tamaño.

Un paso adelante

5. Responde las preguntas con base en la figura.

a) ¿Cuál es la medida de cada lado del cuadrado?

b) ¿Qué relación hay entre el radio de la circunferencia y la medida de cada lado del cuadrado?

c) ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

d) ¿Cuál es su área?

6. El ángulo central de un polígono regular mide 60°; la apotema, 4 cm; y su área,12 cm2.

a) ¿Qué polígono es?

b) ¿Cuántos lados tiene?

c) ¿Cuál es su perímetro?

d) Redacta cómo obtuviste el perímetro.

e) ¿Cuál es la medida de cada lado?

7. El radio de una circunferencia inscrita en un decágono mide 18 m y el área del decágono, 1 053 m2.

a) ¿Cuál es el perímetro del decágono?

b) ¿Cuántos lados tiene?

c) ¿Cuál es la medida de cada lado?

8. El área de un polígono regular mide 130.5 cm2; el ángulo central, 120°; y la apotema, 5 cm.

a) ¿Cuál es el perímetro del polígono?

b) ¿Cuánto mide cada lado?

c) ¿Qué polígono es?

5 cm


Lección 32

159

10 cm

El radio de la circunferencia es la mitad de la medida del lado. El radio de

una circunferencia es la medida del apotema de todo polígono regular

40 cm

100 cm2

Hexágono

Seis.

6 cm

R. T. P x 4

__

2 = 12 y despejar P.

1 cm

117 m

10

11.7 m

52.2 cm

17.4 cm

triángulo

Profundiza

9. Reúnete con un compañero y resuelvan los planteamientos.

a) Calculen el área y perímetro de un polígono regular cuyo ángulo central mide 72°; cada uno de sus lados, 9 cm; y el radio de la circunferencia inscrita en él, 6 cm.

i. ¿Qué polígono es?

ii. ¿Cuál es su perímetro?

iii. ¿Cuál es su área?

b) En el parque central de San Pablo, hay un monumento de Benito Juárez que se encuentra rodeado de pasto. Observen el polígono que representa este planteamiento y contesten las preguntas.

i. ¿Cuál es el área cubierta de pasto?

ii. Si se desea rodear el área cubierta de pasto, ¿qué longitud tendrá la cerca?

c) El área sombreada del siguiente polígono es de 15 cm2.

i. Si la altura del triángulo mide 6 cm, ¿cuánto medirá su base?

ii. ¿Cuánto mide el perímetro del hexágono?



Lección 32 Perímetro y área de polígonos regulares

3.46

m

4 m

6.93 m

8 m

160

pentágono

45 cm

135 cm2

124.8 m2

48 m

5 cm

30 cm

90 cm2

10. Reúnete con dos compañeros y contesten lo que se pide en cada planteamiento.

a) Un polígono regular con un ángulo central de 90° puede circunscribir a un círculo de 40 m de radio.

i. ¿Qué polígono es?

ii. ¿Cuál es su perímetro?


b) La diagonal menor del rombo sombreadomide 5 cm y la diagonal mayor, 8.7 cm.

i. ¿Cuál es el área del rombo?

ii. ¿Cuál es el área del hexágono?

iii. Describan cómo obtuvieron la respuesta anterior.

iv. ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

c) Redacten, en su cuaderno, un problema que se solucione con el uso del siguiente polígono. Compartan su planteamiento con el grupo.

11. Confronten con el grupo las respuestas del inciso b) y acuerden procedimientos de solución para cada inciso.

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-161a, donde se encuentra una actividad para calcular áreas

de polígonos.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-161b, donde hay una guía para calcular el área de polígonos.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-161c, donde se explica qué son el área y el perímetro,

y cuál es su uso en la vida cotidiana.

Para la bitácora


Oriéntate

Circunscribir significa que una figura envuelve a otra. Los vértices de la figura interna forman parte del perímetro de la externa.

4 cm

Lección 32

Una estrategia para calcular el área de figuras irregulares consiste en cuadricular y obtener el área de cada parte o sección. Si el cuadriculado es de 2 cm, ¿qué área tendrá la figura?


cuadrado

320 cm

6 400 cm2

21.75 cm2

65.25 cm2

R. T. Multiplicar por tres el

área del rombo.

30 cm

Las fotocopias: aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad

Francisco acudió a un centro de fotocopiado y pidió que le redujeran un folleto a la mitad, es decir, que lo fotocopiaran a 1 __

2 de su tamaño.

1. Si el folleto original mide 28 cm × 20 cm, ¿cuáles serán las medidas de la reducción?

2. ¿Qué superficie tiene el folleto original?

¿Y cuál tiene la reducción?

3. ¿Cuántos folletos reducidos caben en el original?

Francisco mostró el folleto reducido a su jefe; sin embargo, a él le pareció pequeño, por lo que pidió ampliarlo de manera que el nuevo midiera 21 cm × 15 cm.

4. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad de la ampliación?

5. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del nuevo folleto respecto al original?

Eje: manejo de la informaciónTema: proporcionalidad y funciones

Contenido

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

6. Contesta con base en la imagen que muestra los cambios de tamaño del folleto.

a) ¿Cuál es el perímetro de folleto original (rojo)?

b) ¿Cuál es el perímetro del folleto reducido (verde)?

c) ¿Cuál es el perímetro del folleto ampliado (azul)?

d) Comparte tus respuestas con tus compañeros. Redacta en tu cuaderno una conclusión sobre el procedimiento para responder cada planteamiento.

Oriéntate

Recuerda que, cuando hay una reducción, el factor constante de proporcionalidad es una fracción propia y, cuando hay una ampliación, el mismo factor es una fracción impropia.


Lección 33 Proporcionalidad

14 x 10 cm

560 cm2

140 cm2

Cuatro.

3

__

2

3

__

4

96 cm

48 cm

72 cm

Un paso adelante

7. Reúnete con un compañero, observen las imágenes y efectúen lo que se solicita.

a) Marquen con un tache (X) la imagen que es una ampliación de la original.

b) Marquen con un tache (X) la imagen que es una reducción de la original.

Cuando se aplica un factor constante de proporcionalidad a un objeto y se le aplica de nuevo otro, entonces hay una aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad. Para obtener el factor final, se multiplican los factores que se han utilizado. En el caso mostrado al inicio de lección, primero se aplicó un factor de 1 __

2 (reducción) al folleto y después uno de 3 __

2 (ampliación); por lo tanto,

el final es 1 __ 2 ∙ 3 __

2 = 3 __

4 .

8. Haz lo que se pide y contesta las preguntas.

a) Traza en tu cuaderno un triángulo equilátero de 3 cm de lado y nómbralo con la letra A.

b) Reproduce el triángulo A aplicando un factor constante de proporcionalidad de 1 __ 2 y nómbralo

con la letra B.

c) ¿Cuáles son las medidas del triángulo B?

d) Reproduce el triángulo B aplicando un factor constante de proporcionalidad de 6 __ 2 y nómbralo

con la letra C.

e) ¿Cuánto mide el triángulo C?

f) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo A al C?

g) Identifica con tu grupo dudas y dificultades para obtener el factor de proporcionalidad.

Original

Original


Lección 33

1.5 cm por cada lado

4.5 cm de lado

6

__

4 o

3

__

2

Profundiza

9. Reúnete con un compañero. Analicen las figuras y contesten las preguntas.

a) El triángulo 2 se construyó a partir del triángulo 1. ¿Hubo una reducción o una ampliación?

b) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo 2 respecto al 1?

c) Del triángulo 2 al 3, ¿hubo una reducción o una ampliación?

d) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo 2 al 3?

e) Del triángulo 1 al 3, ¿hubo una reducción o una ampliación?

f) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo 1 al 3?

10. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los problemas.

a) Para llevar a cabo ciertos trámites, a Mario le pidieron una fotocopia de su credencial aumentada al triple del tamaño original. Luego le dijeron que necesitaban otra fotocopia, pero a la mitad de tamaño que la primera.

i. ¿Cuál es el efecto final (ampliación o reducción) respecto a la credencial original?

ii. Si la credencial es un rectángulo de 8.6 cm × 5.4 cm, ¿qué área tendrá en la primera fotocopia? ¿Y en la segunda?

Si una figura se reduce o amplía con un factor de escala o proporcionalidad k, entonces su área disminuye o aumenta con un factor de proporcionalidad igual a k × k.

b) El primer segmento mide 10 cm y el segundo, 6 cm. A partir de este último, se aplicó un factor constante de proporcionalidad de 1 __

3 para obtener el tercero.

3 cm

5 cm 4 cm

4.5 cm

7.5 cm

2.5 cm2 cm

6 cm

1.5 cmTriángulo 3Triángulo 2Triángulo 1

164

Lección 33 Proporcionalidad


ampliación

3

__

2

reducción

1

__

3

reducción

3

__

6 o

1

__

2

ampliación, 3

__

2

411.48 cm2, 104.49 cm

2

i. ¿Cuál es la medida del tercer segmento?

ii. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del primer segmento al tercero?

c) En 2009, el kilogramo de tortilla costaba $7.00; en 2010, cambió su precio con un factor de proporcionalidad de 6 __

5 respecto al año anterior; y en 2011, tenía un costo de $10.50.

i. ¿Cuánto costaba el kilogramo de tortilla en 2010?

ii. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del precio del kilogramo de tortilla de 2009 a 2011?

11. Observa la imagen y contesta las preguntas. Comparte las respuestas con tu compañeros y, si es necesario, acuerden procedimientos.

a) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo rojo a uno amarillo?

b) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo verde al rojo?

12. Organiza con tu grupo un debate acerca del uso de la proporcionalidad en la ampliación y reducción.

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-165a, donde se encuentra una actividad de proporcionalidad.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-165b, donde hay una guía para calcular el factor de proporcionalidad.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-165c, donde se explica el uso de la proporcionalidad

en situaciones de la vida cotidiana.

Para la bitácora


Las copiadoras permiten ampliar y reducir de manera proporcional una imagen. Dibuja un objeto, solicita en una papelería que lo amplíen y analiza cómo cambió. Establece la relación de proporcionalidad entre la ampliación y tu dibujo.

165

Lección 33


2 cm

3

__

15 o

1

__

5

$8.4

3

__

2

1

__

4

2

__

1

Los volados: anticipación, verificación y registro de resultados

Julieta e Ismael están jugando a los volados; ganará el que acierte dos de tres lanzamientos.

1. ¿Quién consideras que ganará?

2. Argumenta tu respuesta.

3. Completa la tabla con un resultado del juego entre Julieta e Ismael.

Jugador Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

Tercer lanzamiento Ganador

Julieta

Ismael

4. Reúnete con un compañero. Jueguen a los volados y hagan lo que se indica.

a) ¿Quién de los dos tiene más posibilidades de ganar?

¿Por qué?

b) Completen la tabla con los resultados del juego.

Jugador Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

Tercer lanzamiento Ganador

c) ¿Coincidieron sus resultados con los propuestos en la tabla de Julieta e Ismael?

¿Por qué?

d) Discutan con su grupo si es posible saber con anticipación quién ganará. Escriban en su cuaderno el porqué de su respuesta anterior.

Un paso adelante

5. Un dado de seis caras tiene un número de 1 a 6 en cada una. Imagina que lo lanzas quince veces.

a) ¿Cuáles son los resultados que obtendrás?

Eje: manejo de la informaciónTema: nociones de probabilidad

Contenido

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Valor obtenido


Lección 34 Anticipación de resultados

R. P.

R. P.

R. P.

R. P.

R. P.

No necesariamente. Porque es un juego de azar.

R. P.

b) Ordena tus resultados en la tabla.

c) ¿Cuántas veces consideraste obtener el número 2? ¿Y el 6?

d) Si lanzas más veces el dado, ¿obtendrás con mayor frecuencia un solo número?

¿Cuál?

6. Consigue un dado de seis caras y efectúa lo que se pide.

a) Lanza quince veces el dado y registra tus resultados en la tabla.

b) Ordena tus resultados en la tabla.

c) ¿Obtuviste los mismos resultados en las tablas de las actividades 5 y 6? .

Explica tu respuesta.

d) ¿Consideras que un número se obtendrá con más frecuencia sin importar la cantidad

de lanzamientos? Argumenta tu respuesta.

e) Confronta tus respuestas del inciso d) con tus compañeros. Identifiquen dudas y dificultades, y comenten cómo resolverlas.

Un experimento aleatorio es una situación en que se conocen los resultados posibles, pero no se puede predecir exactamente el resultado final. Este no depende de la habilidad o destreza al ejecutar el experimento; por ejemplo, en un volado se sabe que la moneda cae en sol o águila, mas no cuál será el resultado.

Valor de la cara del dado Frecuencia1

2

3

4

5

6

Valor de la cara del dado Frecuencia1

2

3

4

5

6

Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Valor obtenido

Oriéntate

La frecuencia es el número de veces que se repite un dato.


Lección 34

R. P.

R. P.

R. P.

R. P.

R. P.

Profundiza

7. Lee los planteamientos y efectúa lo que se pide.

a) Lanza una moneda al aire tres veces.

i. Marca en la tabla con un tache (x) el resultado que esperas obtener en cada lanzamiento.

Resultado Lanzamiento 1 Lanzamiento 2 Lanzamiento 3 Frecuencia

Águila

Sol

ii. Elabora en tu cuaderno una tabla como la anterior; lleva a cabo el experimento, anota los resultados y compáralos con los que anticipaste.

b) Lanza dos dados de seis caras y suma los números que obtuviste.

i. Completa la tabla de los resultados posibles al sumar los números que se obtienen en el lanzamiento de dos dados.

ii. De acuerdo con la tabla, ¿qué valor se repite más? ¿Qué valor se repite menos?

iii. Haz quince lanzamientos y registra tus resultados en la tabla.

iv. Conforme a los resultados, ¿qué valor se repitio más?

¿Qué valor se repitió menos?

v. Si lanzaras los dados una vez más, ¿qué número elegirías para predecir el resultado?

ResultadoLanzamientos

Frecuencia1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3

2 3

3

4

5

6


Lección 34 Anticipación de resultados

R. P.

R. P.

R. P.

R. P.

8. Reúnete con un compañero. Lean los planteamientos, hagan lo que se indica y respondan en su cuaderno.

a) Consideren que tienen cinco tarjetas numeradas de 1 a 5 dentro de una bolsa; por turnos, sacan una tarjeta sin mirar, anotan su número y la regresan a la bolsa. La tabla muestra los resultados de los diez primeros turnos.

i. Con base en los datos de la tabla, ¿pueden anticipar el resultado de la tarjeta que saldrá

en el turno 11? ¿Por qué?

ii. Construyan las tarjetas y desarrollen el experimento. Concentren la información obtenida en la tabla.

b) Completen la tabla de frecuencias con los resultados de todas las parejas del grupo.

i. Con base en los resultados, comenten si es posible anticipar el resultado al sacar una tarjeta de la bolsa.

ii. Redacten sus conclusiones acerca de los resultados anticipados de un experimento aleatorio y los que se obtienen al desarrollarlo, y compártanlas en grupo.

Valor de la tarjeta

TurnosFrecuencia

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 x x 2

2 x 1

3 x x x 3

4 x x 2

5 x x 2

Valor de la tarjeta

TurnosFrecuencia

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1

2

3

4

5

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-169a, donde se encuentra una actividad interactiva de probabilidad.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-169b, donde hay una ruleta virtual para practicar el cálculo de

resultados.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-169c donde se explica en qué consisten los juegos de

azar y se ofrecen algunos ejemplos.

Para la bitácora


¿Podrías anticipar el resultado de los dados? Consigue dos y haz varios tiros hasta que obtengas 12 puntos. ¿Cuántas veces te tomó obtener esa cantidad?

169

Lección 34


R. P. R. P.

R. P.

Las encuestas: frecuencia absoluta

1. Lee la situación y contesta las preguntas en tu cuaderno.

La profesora Katia imparte la asignatura Matemáticas en la escuela secundaria “General Ignacio Zaragoza” y aplicó un examen diagnóstico para conocer el nivel de conocimientos de 45 alumnos de 1º B. Posteriormente, concentró los resultados en la tabla.

a) ¿A qué es igual la suma de aciertos y errores de cada reactivo?

b) ¿Cuántos alumnos resolvieron bien la suma de decimales?

c) ¿Cuántos se equivocaron en la multiplicación de fracciones?

d) ¿Cuántos acertaron en la suma de enteros?

e) ¿Cuántos tuvieron errores en la división de decimales?

2. Lee los planteamientos y haz lo que se pide.

Reactivo Tema Aciertos Errores1 Suma de enteros 43 22 Resta de enteros 38 73 Multiplicación de enteros 20 254 División de enteros 21 245 Suma de fracciones 36 96 Resta de fracciones 32 137 Multiplicación de fracciones 24 218 División de fracciones 20 259 Suma de decimales 41 410 Resta de decimales 35 1011 Multiplicación de decimales 29 1612 División de decimales 18 27

Tema global Acierto Error Total

Enteros 122

Fracciones 68

Decimales

Total

Eje: manejo de la informaciónTema: análisis y representación de datos

Contenido

Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

a) Ahora la profesora desea saber qué temas globales debe repasar con ellos antes de iniciar el curso.

b) Considera el acierto y el error como valores posibles de un reactivo relacionado con un tema global y contesta las preguntas en tu cuaderno.

i. ¿Cuál es la frecuencia de error del tema global “Enteros”? ¿Y el de “Fracciones”? ¿Y el de “Decimales”?

ii. Si la maestra solo pudiera repasar un tema global, ¿cuál sería? ¿Por qué?

iii. ¿Cuál sería el orden de repaso de los temas antes de iniciar el curso?

3. Comparte con el grupo las respuestas del último subinciso; reflexionen por qué se deben repasar los temas en ese orden.


Lección 35 Frecuencia absoluta y relativa I

45

41

21

43

27

58, 68 y 57 respectivamente.

Fracciones porque tiene mayor fecuencia.

Fracciones, enteros y decimales.

112

123

357

58

57

183

180

180

180

Un paso adelante

La frecuencia absoluta de un resultado posible en una situación es el número de veces que el mismo resultado aparece en un conjunto de datos.

4. Reúnete con un compañero. Lean la situación, completen la tabla y contesten las preguntas.

La profesora Katia levantó una encuesta entre sus estudiantes acerca de los colores que les gustan. Obtuvo los siguientes datos: blanco, rojo, blanco, azul, blanco, blanco, rojo, azul, azul, verde, blanco, blanco, negro, azul, azul, verde, blanco, verde, rojo y blanco.

a) ¿A cuántos alumnos les gusta el verde?

b) ¿A cuántos alumnos les gusta el negro?

c) ¿A cuántos alumnos les gusta el rojo?

d) ¿A cuántos alumnos les gusta el blanco?

e) ¿A cuántos alumnos les gusta el azul?

5. Lee los planteamientos y efectúa lo que se solicita.

a) Se preguntó a treinta personas cuántas veces comen al día. Sus respuestas fueron las siguientes.

3, 5, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 5, 3, 3, 3, 5, 5, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 6, 3, 4

i. Ordena los datos de menor a mayor valor.

ii. Elabora en tu cuaderno una tabla con la frecuencia absoluta de cada dato.

iii. ¿Qué número de veces tiene mayor frecuencia? ¿Y cuál tiene menor frecuencia?

b) Se encuestó a 43 personas respecto al número de horas que duermen al día. La información recopilada fue la siguiente.

8, 8, 9, 4, 5, 8, 8, 8, 7, 9, 6, 5, 8, 9, 10, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 8, 7, 9, 8, 8, 8, 7, 7, 9, 5, 8, 8, 10,6, 9, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 7

i. Ordena los datos de menor a mayor valor.

ii. Elabora en tu cuaderno una tabla de frecuencia absoluta con estos datos.

iii. ¿Qué número de horas tiene mayor frecuencia absoluta?

c) Comenta con el grupo qué ventajas tiene ordenar los datos de mayor a menor valor o viceversa. Registren en su cuaderno sus conclusiones.

Color Frecuencia


Lección 35

6, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2

15 6

El 8

A tres.

A uno.

A tres.

A ocho.

A cinco.

Blanco

Rojo

Azul

Verde

Negro

8

3

5

3

1

Profundiza

6. Redacta tres planteamientos o situaciones que incluyan los datos recogidos en las tablas.

Materia Frecuencia

Español 17

Matemáticas 8

Inglés 14

Ciencias 9

Historia 15

Número de hijos Frecuencia

2 9

3 7

4 5

5 2

6 1

Deporte Frecuencia

futbol 4

béisbol 2

basquetbol 1

voleibol 3

tenis 2

a)

b)

c)

7. Comparte tus planteamientos con el grupo y comenten qué otros son posibles para cada tabla.

8. Construye en tu cuaderno una tabla de frecuencia absoluta que represente cada uno de los planteamientos.

a) Se lanzó una moneda setenta veces: se obtuvo sol en 42 ocasiones y águila en 28.

b) Se tiró un dado 20 veces y se consiguieron los siguientes resultados.

5, 6, 2, 4, 3, 1, 5, 3, 4, 2, 6, 1, 4, 5, 1, 2, 6, 2, 5, 1

c) Las temperaturas máximas (en grados Celsius) que se registraron durante quince días en Monterrey fueron las siguientes.

32 º, 28 º, 40 º, 32 º, 37 º, 36 º, 29 º, 35 º, 41 º, 32 º, 37 º, 39 º, 37 º, 39 º, 38 º


Lección 35 Frecuencia absoluta y relativa I

R. P.

R. P.

R. P.

d) Se encuestó a diez amas de casa sobre el número de días a la semana que llevan a sus hijos al parque. Sus respuestas fueron las siguientes.

1, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0

9. Encuesta a tus compañeros de grupo sobre los temas que se proponen a continuación. Registra en el cuaderno la información que obtengas y construye las tablas de frecuencia absoluta correspondientes.

a) Edad

b) Comida preferida

c) Fruta favorita

d) Mes de nacimiento

e) Número de hermanos

f) Deporte favorito

10. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide y obtengan una tabla de frecuencia absoluta para cada planteamiento.

a) Lancen un dado veinte veces y registren los resultados.

b) Lancen una moneda diez veces y registren los resultados.

c) Cada alumno elija un número de 0 a 6 y una cara de la moneda: águila o sol. Con base en los datos obtenidos en los incisos a) y b), contesten las preguntas individualmente.

i. ¿Cuál es la frecuencia absoluta del número que elegiste?

ii. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de la cara de la moneda que elegiste?

11. Discute con el grupo y el profesor el procedimiento para encontrar la frecuencia absoluta de un conjunto de datos, así como el significado de la misma.

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-173a, donde se encuentra una actividad interactiva para obtener

la frecuencia absoluta en una situación dada.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-173b, donde hay una actividad de frecuencia absoluta.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-173c, donde se ejemplifica un caso sobre manejo de datos.

Para la bitácora


Pregunta a cada miembro de tu familia cuál es su platillo favorito. Reúne la información y determina la frecuencia absoluta. Presenta los resultados ante el grupo.

Oriéntate

Es recomendable ordenar los datos de menor a mayor valor o viceversa, según se requiera, en las tablas.

173

Lección 35


R. P.

R. P.

Materia Frecuencia

Español 9

Matemáticas 2

Inglés 7

Tecnología 18

Ciencias 4

Oriéntate

Para convertir una fracción en número decimal, se divide el numerador entre el denominador.

Para transformar un número decimal en porcentaje, se multiplica por 100 y se escribe el símbolo %. Por ejemplo: 3 __

4 , 3 ÷ 4 = 0.75,

0.75 × 100 = 75%.

Eje: manejo de la informaciónTema: análisis y representación de datos

Contenido

Lectura y comunicación de informa-ción mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Más encuestas: frecuencia relativa

El profesor Arcadio les preguntó a sus alumnos cuáles eran sus materias preferidas. La tabla muestra las respuestas que obtuvo.

1. Analiza la tabla anterior y contesta las preguntas.

a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de Matemáticas?

b) ¿A cuántos alumnos les preguntó?

c) ¿Cuál es la razón del número de alumnos que les gusta Matemáticas y la cantidad total de ellos?

d) Expresa, con una fracción, la relación anterior.

e) Expresa, con un decimal, la relación del inciso c).

f) Transforma el decimal anterior en porcentaje.

g) ¿Qué porcentaje de los alumnos prefieren Matemáticas?

2. Comparte con el grupo tus respuestas. Coméntenlas y escriban una conclusión acerca de su trabajo.

3. Reúnete con un compañero y resuelvan el problema en su cuaderno.

a) En el bimestre anterior, muchos alumnos reprobaron Física. El grupo está integrado por 52 estudiantes, de los cuales 29 no la acreditaron.

i. Representen, con una fracción, la razón del número de alumnos reprobados y la cantidad total de estudiantes.

ii. Expresen la respuesta anterior con un decimal.

iii. ¿Qué porcentaje de alumnos reprobaron Física?

b) Comenten con el grupo si con el resultado de la actividad anterior se podría decir que en el ámbito nacional muchos alumnos reprobaron Física. Registren, en su cuaderno, sus conclusiones.

Lección 36 Frecuencia absoluta y relativa II


2

40

2 de 40

2

___

40 =

1

___

20

0.05

5%

5%

29

___

52

0.55

55%

Materia Frecuencia Frecuencia relativa Porcentaje

Matemáticas 18

Química 12

Historia 9

Español 7

Tecnologías 4

Total

Preferencia en frutas

Fruta Frecuenciaabsoluta

Frecuencia relativa Porcentaje

Plátano 16 0.33 32%

Naranja 7 0.14 14%

Fresa 11 0.22 22%

Papaya 6 0.12 12%

Mango 9 0.18 18%

Total 50 0.98 100%

Un paso adelante

La frecuencia relativa de un dato es el cociente de la frecuencia absoluta de este entre el número total de elementos. Es decir, fr = fa ________

total de datos , donde fr es la frecuencia relativa y fa, la frecuencia absoluta.

4. Lee el planteamiento, completa la tabla y contesta las preguntas.

a) El primer bimestre del ciclo escolar pasado, 50 alumnos de tercer grado de la escuela secundaria “Vicente Guerrero” reprobaron una materia. En la tabla se muestran las materias reprobadas.

i. ¿Qué materia tuvo la mayor frecuencia absoluta?

ii. ¿Cuánto suman las frecuencias absolutas?

iii. ¿Qué materia tuvo la mayor frecuencia relativa?

iv. ¿Qué porcentaje de alumnos reprobó Historia?

v. ¿Cuánto suman las frecuencias relativas?

vi. ¿Qué significa la respuesta anterior?

vii. ¿Cuál es la suma de los porcentajes?

5. Analiza la tabla y responde las preguntas en tu cuaderno.

a) ¿Cuánto suma la frecuencia absoluta? ¿Cuál es el error?

b) ¿Es correcto que la suma de frecuencias relativas sea 0.98?Escribe los valores correctos.

c) ¿Los porcentajes suman 100? Escribe los valores correctos.

d) ¿La suma de las frecuencias relativas y la de los porcentajessiempre darán el mismo resultado?


Lección 36

175

Matemáticas

50

Matemáticas

18%

1

R. T. Forman un todo.

100

Deben ser 49 los entrevistados.

si

0.36

0.24

0.18

0.14

0.08

1

36%

24%

18%

14%

8%

100%50

Oriéntate

En estadística una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una población. La muestra sirve para hacer un estudio más rápido y menos costoso.

176

Profundiza

6. Lee los planteamientos y construye, en tu cuaderno, la tabla correspondiente de frecuencia absoluta, relativa y porcentaje.

a) Las preguntas que contestaron los 46 alumnos de 3° B en el examen de Matemáticas fueron las siguientes.

32, 45, 49, 21, 19, 32, 50, 32, 21, 43, 18, 26, 25, 26, 32, 49, 50, 49, 32, 43, 45, 50, 3218, 50, 43, 32, 32, 32, 45, 21, 18, 49, 18, 50, 50, 32, 45, 48, 32, 50, 43, 32, 19, 21, 32

b) Se les pidió a veinte trabajadores que indicaran el tiempo (en minutos) aproximado que se tardan en llegar de su casa al trabajo. Sus respuestas fueron las que se muestran a continuación.

60, 30, 45, 20, 45, 90, 35, 20, 40, 6090, 70, 105, 50, 60, 80, 90, 20, 45, 60

c) Se preguntó a 374 estudiantes: “¿Qué es lo mejor de regresar a clases?”, a lo que 227 contesta-ron: “Ver a mis amigos”; 49, “Jugar a la hora del receso”; 48, “No estar aburrido en casa”; 37, “Recibir dinero para el almuerzo”; y 13, “Estudiar”.

d) Completa la tabla.

i. ¿En qué grado hubo más alumnos reprobados?

ii. Si se comparan los grados primero y segundo, ¿en cuál hubo menos reprobados?

7. Reúnete con un compañero. Lean el siguiente planteamiento y hagan, en su cuaderno, lo que se pide.

En una escuela secundaria se preguntó a 30 alumnos cuántos lápices tienen, las respuestas obtenidas fueron las siguientes: 8, 23, 14, 7, 12, 29, 1, 17, 21, 9, 2, 6, 11, 3, 15, 27, 5, 30, 26, 20, 4, 28, 19, 25, 18, 24, 16, 22, 13, 10.

i. Ordenen de menor a mayor los datos anteriores.

ii. Elaboren una tabla en la que indiquen la frecuencia absoluta y la relativa.

iii. Comenten las características de la tabla obtenida.

iv. Compartan con su grupo la respuesta anterior y obtengan conclusiones.

Matemáticas

Grado Núm. de alumnos Alumnos reprobados

1° 60 6

2° 40 10%

3° 55 20%

4° 50 5

5° 40 8

6° 24 25%


Lección 36 Frecuencia absoluta y relativa II

En 3°

En 2°

10%

10%

20%

4

11

6

177

8. Reúnete en equipo; analicen la tabla y hagan lo que se pide.El planteamiento de la actividad 7 se puede representar con la siguiente tabla.

i. Comenten las diferencias y semejanzas con las tablas anteriores.

ii. Comenten en qué casos será conveniente trabajar este tipo de tabla.

iii. Escriban, en su cuaderno, una conclusión.

Cuando hay grandes cantidades de datos recopilados se agrupan para dar un mejor manejo. Cuando los datos son agrupados se les denomina intervalos de frecuencia; estos deben tener la misma amplitud y a cada intervalo se le asigna su frecuencia correspondiente.

9. Reúnete con tres compañeros y elaboren una tabla con frecuencia absoluta, relativa y el porcentaje con los datos proporcionados.

a) 14, 23, 12, 6, 9, 13, 8, 4, 9, 7, 11, 25, 29, 13, 2, 5, 4, 3, 19, 24.

b) 3, 5, 9, 8, 6, 7, 9, 2, 5, 4, 9, 4, 8, 7, 6, 3, 4, 9, 6, 2, 1, 9, 7, 5, 9, 4, 3, 1, 5, 2, 9, 8, 4, 7, 6, 5, 2, 1, 3, 6, 4, 9, 5, 8, 7, 2, 6, 1, 2, 8.

c) 108, 54, 76, 23, 47, 11, 43, 5, 39, 61, 85, 93.

10. Compartan sus tablas con sus compañeros de grupo y debatan las ventajas y desventajas del uso de tablas para ordenar y presentar información.

Cantidad de lápices Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

1–5 5 0.16

6–10 5 0.16

11–15 5 0.16

16–20 5 0.16

21–25 5 0.16

26–30 5 0.16

Total 30 1

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-177a, donde se encuentra una actividad de frecuencia relativa.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-177b, donde hay una guía para calcular la frecuencia relativa

y la absoluta.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-177c, donde se explica cómo calcular la frecuencia

relativa.

Para la bi†ácora


Lección 36


Pregunta a cada uno de tus amigos cuál es su grupo musical favorito. Recopila la información y determina la frecuencia absoluta y relativa. Presenta los resultados en el grupo.

Bitácora

178

Lecciones 23 y 24

a) Una cancha de futbol mide 45.9 m de ancho por 90.12 m de largo. ¿Cuál es su área?

b) Roberto compró un espejo cuadrado de 0.85 m de lado. ¿Cuántos metros de material necesita para enmarcarlo?

Lecciones 25 y 26

a) Marco atiende una dulcería. El dueño le dio 2.125 kg de gomitas y ordenó repartirlas en cinco bolsas con la misma cantidad de piezas. ¿Cuántas deben ir en cada bolsa?

b) Un automóvil ha recorrido 138.75 km con 18.5 L de gasolina. En promedio, ¿cuántos kilómetros recorre con cada litro de combustible?

c) Juan José compró 6.5 kg de mandarinas y pagó $78.00, ¿cuánto costaba el kilogramo?

Lecciones 27, 28 y 29

a) Lee los problemas, plantea la ecuación correspondiente y resuelve las ecuaciones.

i. Hasta ahora, Humberto ha ahorrado $134.00. Si el pasado viernes su abuelita le dio $49.00, ¿cuánto tenía antes de ese día?

Ecuación Solución

ii. Miguel compró 24 libretas iguales y pagó $573.60. ¿Cuánto costó cada una?

Ecuación Solución

iii. Jesús compró 3 __ 4 kg de queso y 1 __

2 kg de crema (el precio del kilogramo era de $60.00).

Si en total pagó $112.50, ¿cuánto costaba el kilogramo de queso?

Ecuación Solución

Bloque 3

4 136.508 m2

3.4 m

0.425 kg

7.5

$12.00

x + 49 = 134 x = 85

24x = 573.6 x = 23.9

3

__

4 x +

1

__

2 (60) = 112.5 x = 110

Bitácora

179

Lecciones 30 y 31

a) Construye, en tu cuaderno, un hexágono que mida 4 cm de lado.

b) Traza un pentágono regular inscrito en la circunferencia de la derecha.

Lección 32

a) La apotema del Pentágono (incluso con el jardín) es de 196 m y cada lado mide 283 m. ¿Cuál es el área total que ocupa el edificio con el jardín incluido?

b) Si la apotema del jardín interior mide 75 m y cada lado mide 108 m, ¿qué superficie tendrá solo el edificio?

c) ¿Cuál es el perímetro del jardín?

Lección 33

Sara fue a la papelería y pidió que ampliaran al doble su Cédula de Identificación Fiscal. Al ver que había quedado demasiado grande, solicitó que la redujeran a 1 __ 5 de sutamaño actual.

a) Si las medidas originales de su cédula eran 5 cm × 10 cm, ¿cuánto midió la última copia?

b) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad final?

Lección 34

Pilar lanzó una moneda tres veces.

a) ¿Cuántos resultados puede obtener y cuáles son?

b) Efectúa lo mismo que Pilar y verifica tu respuesta anterior. ¿El resultado que obtuviste es una de las opciones anteriores? ¿Por qué?

Lecciones 35 y 36

Se preguntó a un grupo de personas qué objeto era vital para ellas. La información obtenida se registró en la tabla. Completa los datos que faltan.

Objeto Frecuencia absoluta Frecuencia relativa PorcentajeLentes 13Llaves 4Reloj 5

Dentadura 1Cepillo dental 2

Total 25

Bloque 3

138 670 m2

118 420 m2

540 m

2 cm x 4 cm

2

__

5

8, sss, ssa, sas, saa, ass, asa, aas, aaa

si, porque se anticiparon

todos los posibles resultados

0.52

0.16

0.2

0.04

0.08

1

52%

16%

20%

4%

8%

100%

Laboratorio de matemáticas

180

Trazo de polígonos regulares con tiras de papel

1. Construye tres polígonos regulares mediante los procedimientos que se indican. Responde las preguntas en tu cuaderno.

a) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuánto mide cada ángulo interno?

b) Dobla el polígono y traza sus mediatrices; el punto donde estas se cortan es el centro.

c) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono.

d) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuál es su perímetro?, ¿cuánto mide cada ángulo interno?

e) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono.

f) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuánto miden los ángulos internos formados por los lados?

ProcedimientoConsigue una hoja de tamaño

carta y recorta una tira de 3 cm de ancho.

Toma los extremos de la tira y anúdalos.

Aprieta suavemente el nudo y aplánalo.

Recorta los pedazos sobrantes.

Ilustración

ProcedimientoRecorta dos tiras de 3 cm

de ancho.Toma los extremos de las tiras

y anúdalos.Aprieta suavemente el nudo

y aplánalo.Recorta los pedazos

sobrantes.

Ilustración

Procedimiento Utiliza el papel sobrante y dóblalo como se muestra en la ilustración. Aplana la fi gura por el doblez. Recorta los pedazos sobrantes.

Ilustración

Bloque 3

En el tintero

181

Cálculo de porcentajes

Para transformar un número decimal en porcentaje, solo se multiplica la cantidad por 100 y se escribe al final el símbolo %. Por ejemplo: 0.3 × 100 = 30, así, 0.3 representa 30%.

Para convertir una fracción en porcentaje, primero se transforma la fracción en decimal y, posteriormente, en porcentaje. Por ejemplo: 2 __

5 = 2 ÷ 5, 2 __

5 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40, así 2 __

5 representa 40%.

Para transformar porcentajes en decimales, se quita el símbolo % y se divide entre 100. Por ejemplo: 30% = 30 ÷ 100 = 0.3; así, 30% representado como decimal es 0.3.

Para transformar porcentajes en fracciones, se elimina el símbolo %, luego se escribe una fracción con el número del porcentaje como numerador y 100 como denominador, y, finalmente, se reduce la fracción obtenida. Por ejemplo: 82% = 82

100 = 4150 ; así, 82% equivale en fracción a 41

50 .


¿Cuánto es 20% de 120? Para calcularlo, solo se multiplica el porcentaje por la cantidad y se divide el resultado entre 100. Es decir, 20 × 120 = 2 400 y 2 400 ÷ 100 = 24; por lo tanto, 24 es 20% de 120.

¿Qué porcentaje de 70 es 28? Para determinarlo, se divide la parte entre el todo y se multiplica por 100. Es decir, 28 ÷ 70 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40; por lo tanto, 28 es 40% de 70.

¿De qué número 15 representa 25%? Para saberlo, se divide la cantidad entre el porcentaje y el resultado se multiplica por 100. Esto es, 15 ÷ 25 = 0.6 y 0.6 × 100 = 60; por lo tanto, 15 es 25% de 60.


3. Discute grupalmente el uso de porcentajes en la vida cotidiana. Redacten dos ejemplos en su cuaderno. Discutan y acuerden sobre los beneficios de su uso.

Fracción Decimal Porcentaje

1 __ 8

0.32

67%

Cantidad total Porcentaje Cantidad parcial

80 30%

48% 48

300 36

75% 90

256 128

1 154 49%

Bloque 3

32

___

100 =

8

___

25

67

___

100

100

120

12%

50%

24

565.46

0.125

0.67

12.5%

32%

182

Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas.

1. ¿Cuál es el resultado de multiplicar 1.5 por 0.05?

A) 7.5 B) 0.75 C) 0.075 D) 75

2. Irma requiere 0.125 kg de azúcar para preparar un pastel, ¿qué cantidad de azúcar necesitará para preparar siete pasteles?

A) 0.875 kg B) 875 kg C) 8.75 kg D) 0.0875 kg

3. Paco desea distribuir 1.2 kg de chocolates en partes iguales a sus cuatro sobrinos. ¿Cuánto le debe dar a cada uno?

A) 3 kg B) 0.3 kg C) 0.03 kg D) 0.4 kg

4. Anselmo cosechó 24.5 kg de manzanas en su pequeña huerta. Si las vendió a $465.50, ¿cuál era el precio del kilogramo?

A) $441.00 B) $20.00 C) )$19.00 D) $18.00

5. Isabel se compró un pantalón de $219.90 y le sobraron $183.10. ¿Cuánto dinero tenía antes de pagarlo? Elige la ecuación que representa el problema.

A) x + 183.1 = 219.9 B) x – 183.1 = 219.9 C) x + 183.1 = 219.9 D) x – 219.9 = 183.1

6. María le dio a su sobrina ocho dulces para que completara dos docenas. ¿Cuántos dulces tenía su sobrina antes? Identifica la ecuación que define el problema.

A) x + 8 = 24 B) x + 2 = 8 C) x – 2 = 8 D) x – 8 = 24

7. Cuatro bultos de grano de café pesan 128 kg. Si todos contienen la misma cantidad, ¿cuál será el peso de cada uno? Selecciona la ecuación con la que se soluciona el problema.

A) 128 ___ x = 4 B) 4x = 128 C) x= 128 – 4 D) 128(4) = x

8. Ricardo compró seis plumas iguales. Si pagó con un billete de $200.00 y le regresaron $68.00 de cambio, ¿cuánto le costó cada una? Identifica la ecuación que se plantea.

A) x – 200 = 68 B) 6x = 68 C) 6x + 68 = 200 D) 200 – 68 = x

9. ¿Cuál es la fórmula para calcular la medida del ángulo central de cualquier polígono regular?

A) 360° __________ Número de lados

B) 180° __________ Número de lados

C) Número de lados por 360° D) Número de lados __________ 360°

10. ¿Cuál es la medida del ángulo central de un pentágono regular?

A) 60° B) 72° C) 50° D) 36°

Bloque 3 Evaluación


183

11. Un círculo de 51.96 cm de radio se encuentra inscrito dentro de un hexágono regular que mide 60 cm de lado. ¿Cuál es el perímetro y el área del polígono?

A) 9 352.8 cm y 360 cm2 B) 3 600 cm y 7 200 cm2

C) 360 cm y 14 400 cm2 D) 360 cm y 9 352.8 cm2

12. Si el precio de un bote de leche en polvo se incrementó 10% a mediados de año y se pronostica que aumentará 5% a finales, ¿cuál será el incremento total que tendrá?

A) 15.5% B) 15% C) 50% D) 5%

13. ¿Cuáles son las constantes de proporcionalidad aplicadas consecutivamente a la figura A para obtener la B y luego la C?

A) 32 y 1

2 B) 12 y 3

2 C) 12 y 2

3 D) 32 y 2

14. Un proyector muestra en una pared un recuadro blanco de 4 cm × 3 cm. Después de un primer ajuste, se aumentó el tamaño del recuadro por un factor de 4

3 . Luego de otro ajuste, de nuevo se amplió por un factor de 3

2 . ¿Cuál es su área final?

A) 18 cm2 B) 16 cm2 C) 48 cm2 D) 24 cm2

Analiza la tabla y contesta de la pregunta 15 a la 18.

15. ¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas?

A) 40 B) 15 C) 25 D) 20

16. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 6 de calificación?

A) 6 B) 5 C) 20 D) 25

17. ¿Cuál es la frecuencia relativa de 9 de calificación?

A) 0.3 B) 0.6 C) 0.9 D) 0.15

18. ¿Cuál es el porcentaje de 8 de calificación?

A) 80% B) 40% C) 20% D) 2%

A

A‘ D‘

D“

C‘

C“

B‘

A“

B C

Figura A

Figura B

Figura C

B“

D

Calificación Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa Porcentaje

10 2 0.1 10%9 6 30%8 4 0.27 3 0.15 15%6 0.25 25%

Respuestas de la evaluación correspondiente al bloque 3

1. A B C D 5. A B C D 9. A B C D 13. A B C D 17. A B C D

2. A B C D 6. A B C D 10. A B C D 14. A B C D 18. A B C D

3. A B C D 7. A B C D 11. A B C D 15. A B C D

4. A B C D 8. A B C D 12. A B C D 16. A B C D

Evaluación Bloque 3


matematicas secundaria

Education

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