iden los cocientes entre el numero primo 2, porque son pares. Los cocientes se anotan a la izquierda; baj los a accionestercio Mitad Un eterogneas Homogneas Propia 2 2 2n 5 10 5 2 10 2 5 m am+n 30 2 Mltiplos + de+10 = 6 + 1 + 24 Mltiplos 52 : 5 = a + a = m-n 2 de 2+3: 6 1 10 1 = a 1 5 5 1 5 mpropiadescomponiendo, dividiendo el cociente tres cuartos otros cocientes 5 son divisibles por 2 . Se termina Dos decimo Un Se lee 2; ntina quintos 5 { 2 ,3 46 69 ,=1entre52.138 ,921.. 3+24= 915 , 33 0 , 3 3 , 32 4 3 9 ,6 ,2 24 5 , 34 8 , 3 { , , 17 8 ,17, 0 ,=7los 1 4 ,12 6 , 2 7 no , 2 1 , 92 2 = 92 17 1 , 1 18 2 22 6, , 2 4 , 8, 0, 1 1 1 umerador Denominador Congruencia metracociente 5, que corresponde al nmero 20 entre el nmero primo 5, se anota el cociente 1 bajo el numero Probabilidad ide Desplazamientos el:

PROLOGO

ide el cociente 11 entre el numero primo 11. Anotamos el cociente 1 bajo el dividendo 11, terminando m-4 la des Una tendencia actual en los currculos de matemticas es la de favorecer el desarrollo del pensamiento aleatorio, el cual ha estado presente a lo largo de este siglo, la ciencia en la cultura y aun en la forma de pensar cotidiana, la bsqueda de respuestas a preguntas que sobre el mundo fsico se hacen a los nios y nias. Resulta ser una actividad rica y llena de sentido, si se hace a travs de recoleccin y anlisis de datos. Decidir la pertinencia de la informacin necesaria, la forma de recogerla de representarla y de interpretarla para obtener una respuesta lleva a unas hiptesis y hacer exploraciones muy enriquecedoras para los estudiantes.

Este carcter no determinista de la probabilidad hace necesaria su enseanza se aborde en contextos significativos, en donde la presencia de problemas abiertos con cierta carga de indeterminacin permitan expones argumentos estadsticos, encontrar diferentes interpretaciones y tomar decisiones. Proponer el inicio y desarrollo del pensamiento variacional como uno de los logros para alcanzar en la educacin bsica, propone desarrollar la enseanza de contenidos matemticos fragmentados y compartimentalizados, para ubicarse en el dominio de un campo conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan analizar, organizar, modelar matemticamente situaciones y problemas.

UNIDAD 1.

Mltiplos y divisores Criterio de divisibilidad Nmeros primos y compuestos Factores primos de un numero Mnimo comn mltiple y mximo comn divisor Mximo comn divisor de dos o ms nmeros Problemas de m.c.d y m.c.m Ejercicios Geometra Repaso de medicin de ngulos Los ngulos de un cuadriltero Uso del transportador

UNIDAD 2.

Potenciacin de nmeros naturales Descomposicin decimal y operaciones combinadas Radicacin en los nmeros naturales El plano cartesiano Sistemas de medidas y unidades de longitud Construccin de polgonos regulares Permetros de polgonos Problemas de variacin constante Igualdades Planteamiento y solucin de ecuaciones

Unidades de rea rea de polgonos regulares rea de figuras compuestas

UNIDAD 3.

Fracciones Fracciones propias e impropias Fracciones como operador Fracciones equivalentes Comparacin de fracciones Suma y resta de fracciones

Multiplicacin de fracciones

Divisin de fracciones Razones Proporciones Ampliacin y reduccin de figuras Semejanzas y congruencia de figuras Traslaciones Reflexiones Rotaciones

UNIDAD 4.

Decimales Comparacin de un numero decimal Suma de nmeros decimales

Resta de nmeros decimales Multiplicacin de nmeros decimales Divisin entre nmeros decimales Magnitudes directamente proporcionales Regla de tres directa Magnitudes inversamente proporcionales.

UNIDAD 5.

Actividades en clase Compromisos

UNIDAD 1.

Mltiplos y divisores Criterio de divisibilidad Nmeros primos y compuestos Factores primos de un numero Mnimo comn mltiple y mximo comn divisor Mximo comn divisor de dos o mas nmeros Problemas de m.c.d y m.c.m Ejercicios Geometra Repaso de medicin de ngulos Los ngulos de un cuadriltero Uso del transportador

UNIDAD 1.

Los nmeros naturales y sus operaciones Polgonos Proceso estadstico

**************

Sistemas de informacinDesde la antigedad el ser humano busco organizar la informacin sobre sus amigos, posesiones, sus planes y proyectos. Para ello consignaba la informacin en tabletas de arcilla, papiros o libros y esto era suficiente. Hoy en da la informacin a crecido a niveles nunca esperados, por lo que las formas o tecnologas empleadas para obtener, manejar y utilizar la informacin se han sofisticado hasta llegar a los computadores. Las matemticas han contribuido al gran progreso de la ingeniera, pues desde la tarea mas simple hasta la mas compleja contienen elementos matemticos, y el avance tecnolgico no poda ser la excepcin; al contrario, el lenguaje de un computador o una maquina elctrica tiene como base fundamental teora matemtica que es traducida con ayuda de otra ciencias y herramientas que, adems, hacen que los elementos matemticos manejados por una maquina sean agradables a la visualizacin y aplicacin humanas.

Este es el caso de los algoritmos desarrollados con la intencin de recopilar, almacenar y manejar informacin de manera particular a su gnero.

1.

TEORIA DE NUMEROS1.

MULTIPLOS Y DIVISORES1.1.

MULTIPLOS DE UN NMERO

Se llaman mltiplos de un nmero a todos los nmeros que resultan de la multiplicacin de ese nmero con cada uno de los naturales. Ejemplo: Son mltiplos del numero 2 el 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 y muchos mas los mltiplos son infinitos como son infinitos los nmeros naturales. Los mltiplos de un nmero resultan de multiplicar Dicho nmero por cada uno de los naturales

Ejemplo: 2 x 0 = 0, 2 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 2 x 3 = 6 As se puede continuar..

Existen algunas reglas que permiten decidir si un mltiplo es nmero de otro. Al observar la serie de los mltiplos de 2 se encuentra que todos son nmeros pares. Generalizando se puede decir que: Todo nmero par es mltiplo de 2. Los nmeros 3, 6, 9, 12, 18,21, son mltiplos de 3; observa que al sumar las cifras de los nmeros 12, 15, 18,21 se obtiene el nmero 3 o un mltiplo de 3: A continuacin encontraras algunas reglas que te harn saber cuando un numero es divisible entre otro sin necesidad de estar haciendo la operacin. A este conjunto de regla lo llamamos CRITERIO DE DIVISIBILIDAD.1.2.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Divisibilidad por 2

Un nmero es divisible por 2 cuando termina en cifra par. 8, 14, 54, 382,1876 son divisibles por 2.

Divisibilidad por 3Un nmero es divisible por 3, si la suma de los dgitos que lo componen, es mltiplo de tres. 6, 21, 69, 255,1356 son divisibles por 3

Divisibilidad por 4Un numero es divisible por 4 si las dos ltimas cifras (unidades y decenas) son dos ceros (00) o son divisibles por cuatro. Doce es divisible por cuatro por lo tanto 512 es divisible entre cuatro. Al igual que: 204 y 780, 7500. De esta manera se concluye lo siguiente: un numero es mltiplo de 3 si la suma de sus cifras es 3 o un mltiplo de 3. Los nmeros 0, 10, 15, 20, 25, 30, son mltiplos de 5; todos ellos terminan en 0 y 5, por tanto se dice que: Un nmero es mltiplo de 5 cuando su ltima cifra es 0 o 5.

1.1.2 DIVISORES DE UN NMERO:Como todo mltiplo tiene sus mltiplos as tambin tiene sus divisores, es decir otros nmeros que lo dividen exactamente. OBSERVA LOS DIVISORES DE LOS SIGUIENTES NUMEROS Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 Divisores de 35: 1, 5, 7, 35 Divisores de 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66 Los divisores de un nmero son los que dividen a este en forma exacta. El uno es divisor de todos los nmeros Todo numero es divisor de si mismo Para determinar los divisores de un nmero, se buscan todos los nmeros que lo

dividen en forma exacta, es decir el residuo debe ser cero.

Divisibilidad por 5Un nmero es divisible por 5 si su ultimo digito es 0 o 5.

Divisibilidad por 6Un nmero es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.

Divisibilidad por 7Un numero es divisible por 7, si el numero que se obtiene al separar el ultimo digito, multiplicarlo por 2 y restarle el numero que queda es mltiplo de 7. Esto se ve complicado pero observa: el nmero 98 es divisible por 7 porque se separa el 9 del 8, ahora se multiplica 8 x 2 =16 y se resta 16 9 = 7. 245 es divisible por 7 se separa el ultimo digito, el 5; queda 24. Ahora se multiplica 5 x 2 = 10 y se resta 24 10 = 14.

Divisibilidad por 9Un nmero es divisible por 9, si la suma de sus dgitos es mltiplo de 9.

Divisibilidad por 10Un nmero es divisible por 10, si su ltimo digito es 0.

Divisibilidad por 100Un nmero es divisible por 100, si sus dos ltimos dgitos son cero.

Divisibilidad por 1000Un nmero es divisible por 1000, si sus tres ltimos dgitos son cero.

Divisibilidad por 10000Un numero es divisible por 10000, si sus cuatro ltimos dgitos son cero.

Es hora que demuestres lo que aprendiste en esta leccin. Te invito a que resuelvas cada uno de los ejercicios que a Continuacin aparecen, si lo haces correctamente est de Ms felicitarte por que supuestamente pusiste atencin al tema. Si no lo haces tambin te invito a que vuelvas a leer con ms cuidado. ******

EJERCICIOS 1.11. Encuentra 4 mltiplos de cada uno de las siguientes cifras

M3 = [ M8 = [ M5 = [ M2 = [ M10 =[ M15 =[

2. Escribe 3 divisores de cada uno de los siguientes nmeros:

D12 = [ D20 = [ D14 = [ D30 = [ D45 = [ D60 = [

3. Los criterios de divisibilidad nos sirven para saber si un nmero se puede dividir por

otro. Sabiendo esto, seala porque nmeros son divisibles las siguientes cantidades: Ejemplo: 22 es divisible por 1, 22, 2 y 11, es decir el conjunto de divisores corresponde a: D22= [1, 2, 11, 22] Aplica los criterios de divisibilidad y, en tu cuaderno, escribe todos los divisores para cada uno de los siguientes nmeros: 74 24 86 90 110 55 58 28 43 10 96 1000

4. Calcula 4 mltiplos mayores que 100 para cada uno de los siguientes nmeros:

M6 = [ M7 = [ M35= [ M87= [

M90= [

RESPONDE Y JUSTIFICA. 5. Es el cero mltiplo de algn numero?6. Es el cero divisor de algn numero?

7. Indicar para los siguientes conjuntos, que tienen la propiedad de ser conjuntos de

mltiplos de ciertos nmeros naturales x, de que numero son mltiplos.

A = [3, 15, 21, 45, 24, 0, 18,..] B= [0, 77, 49, 56, 84, 91, 98,..] C= [22,33, 66, 44, 88, 122,...] D= [0, 35, 90, 45, 20, 105, 85,..]

Conjunto de mltiplos de __________ Conjunto de mltiplos de __________ Conjunto de mltiplos de __________ Conjunto de mltiplos de__________

2.

NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

2.1.

NUMEROS PRIMOS

Los nmeros primos son aquellos que tienen la propiedad de poseer nicamente dos divisores: el mismo nmero y el 1, que es divisor de todo nmero. EJEMPLO: El dos, solo el divisible por 1 y por 2, por tanto es un nmero primo. 21=2 y 2 2=1

Cuando un numero primo se divide por si mismo, el resultado es 1. Y cuando un nmero primo se divide por 1, el resultado es el mismo nmero primo. El 2, 3, 5, 7, 11 solo son divisibles por di mismos y por 1. El 3 es primo porque, al igual que al 2, solo lo divide el propio nmero y la unidad. Los nmeros compuestos son aquellos que tienen dos divisores. El numero 1 no es primo porque no tiene dos divisores (solo el mismo) y tampoco es compuesto. Para encontrar una lista de los nmeros primos se puede utilizar el mtodo de la CRIBA DE ERATOSTENES. La criba de Eratstenes es un algoritmo (procedimiento) que permite calcular todos los nmeros primos menores que un numero natural dado.

Yo, en principio, dispuse todos los nmeros naturales de 1 a 100 en una tabla dibujada en un trozo de cuero. Luego agujere los lugares correspondientes al 1, luego los lugares correspondientes a los mltiplos de 2 mayores que 2, posteriormente los 3 mayores que 3 de este modo quedaron sin agujerar los lugares correspondientes a los nmeros primos de ah el nombre de criba, que significa agujero enormemente agujerado y fijo en un aro de madera que sirve para cribar (separar las partes gruesas de las que interesan, colar).

El procedimiento consiste en tachar todos los nmeros compuestos, es decir, los que no sean primos. El 1 lo tachamos por no ser ni primo ni compuesto. El 2 posee solo dos divisores, por lo tanto es primo; entonces no lo tachemos. Luego tachamos todos los nmeros pares, empezando por el 4 (teniendo presente que todos los pares a partir del 4 son compuestos porque tienen ms de dos divisores). Tachamos los nmeros de 3 en 3, empezando en 6. (Teniendo presente que todos los nmeros de 3 en 3 despus del 6 son compuestos porque tienen ms de dos divisores). Tachamos los nmeros de 5 en 5, empezando por el 10. (teniendo presente que todos los nmeros de 10 en 10 despus del 10 son compuestos por que tienen mas de dos divisores). Tachamos los nmeros de 7 en 7 empezando por el 14 (que ya fue tachado, teniendo presente que todos los nmeros de 7 en 7 despus del 14 son compuestos porque tienen mas de dos divisores). 4. El siguiente nmero es 7, como 72 > 40 el algoritmo termina y los nmeros que nos quedan son primos*********

Ahora te toca a ti comprobar si los siguientes son nmeros primos, para que se te haga mas fcil utiliza tu cuaderno y resuelve la operacin, luego coloca en el recuadro si o no segn creas conveniente. Los nmeros que permanecen en la lista son los primos. EJEMPLO: vamos a calcular por este algoritmo los numero menores que 40. 1. Escribimos los nmeros, en nuestro caso sern los comprendidos entre 2 y 40. ********

2. Eliminamos los mltiplos de 2.

*******

3. El siguiente nmero es 3, como 32< 40 eliminamos los mltiplos de 3. ******

4. El siguiente nmero es 5, como 52 < 40 eliminamos los mltiplos de 5. *******

Ahora te toca a ti comprobar si los siguientes son nmeros primos, para que se te haga mas fcil utiliza tu cuaderno y resuelve la operacin, luego coloca en el recuadro si o no segn creas conveniente. ********

LABORATORIO MATEMATICO1. Elabora en una cartulina una tabla con los nmeros de 1 a 100. 2. Utilizando las indicaciones de Eratstenes elaboremos una criba de nmeros primos

menores que 100.3. ELABORA EN cartulina una tabla con los nmeros de 101 A 200.

4. UTILIZANDO las indicaciones

Eratstenes elaboremos una criba DE NMEROS PRIMOS MAYORES que 100 Y menores que 200.DE

1 2 . 2 NMEROS COMPUESTOS Recordemos que habamos MENCIONADO QUE OS NMEROS compuestos son aquellos que SON DIVISIBLES POR SI MISMOS, e uno y a! menos otro NMERO. ES DECIR, LOS NMEROS compuestos tienen ms de DOS DIVISORES.

FACTORES PRIMOS DE UN NMERO CUANDO SE HABLA DE una MULTIPLICACIN DE nmeros, por ejemplo: 7 X 4 X 3, se D I C E QUE LOS NMEROS 7 , 4 Y 3 SON los factores EN esa multiplicacin. TODO nmero natural SE PUEDE expresar como una MULTIPLICACIN DE FACTORES, todos PRIMOS.

Por ejemplo: 6 = 3x2 8 = 2x2x2 20 = 2x2x5 160 = 2x2x2x2x2x5

El proceso de escribir un nmero como producto de factores Primos se llama descomposicin en factores primos descomposicin factorial del nmero en cuestin. Se podra tambin escribir: 6 = 6x1 8 = 4x2 20 = 4x5 160=2x8x10 Pero en este caso los factores no son primos.

Si un nmero no es primo, hay varias maneras de descomponerlo en producto de otros nmeros, pero solo una manera de descomponerlo en factores primas. La manera ms fcil y segura de obtener todos los divisores de un nmero cualquiera se denomina Divisiones sucesivas y consiste en lo siguiente:

Se escribe el nmero que desea descomponerse, a su derecha se traza una lnea vertical. Se divide el nmero entre el nmero primo ms pequeo que lo divida exactamente (aplicamos los criterios de divisibilidad). El divisor primo se escribe a la derecha de la lnea y el cociente de la divisin al lado izquierdo de la lnea, debajo del nmero que se est descomponiendo.

divisin anterior entre el siguiente nmero primo que le divida exactamente. De nuevo el divisor primo se escribe al lado derecho de la lnea y el cociente obtenido al lado izquierdo. Se contina efectuando este procedimiento hasta llegar a un cociente igual a uno.

El nmero que se descompuso en sus factores primos debe ser igual al producto de todos los divisores resultantes.

Ejemplo: Descomponer en factores primos el nmero 36. Solucin: 36 paso 1 36 18 paso 2 36 2 18 2 paso 3 9 36 2 18 2 9 3 paso 4 3 3 1

La descomposicin en factores f Los divisores de 36 son, adems del 1 y del s 36 = 2 X 2 X 3 X 3 = 2 2 X 3 3 n al multiplicar los factores primos entre s. Por ejemplo, en el caso de, 36 = 2 2 33, se obtiene obtienen como divisores:1.

2 x 2= 4

2 x 2 x 3= 12

2.

2x3=6

2x 3x3 = 18

3.

3x3=9

2x2x3x3= 9

EJERCICIOS 1.2

1. . Descompn los siguientes nmeros en factores primos

30

225

105

2. Reflexiona y responde: Debe ser tenido en cuenta ei 0 como factor a la hora de ser descompuesto en factores primos cualquier nmero?

1 . 3 MNIMO COMN MLTIPLO (M.CM.)El mnimo comn mltiplo de dos nmeros es el ms pequeo de los mltiplos comunes a dichos nmeros. Es decir, de todos los mltiplos comunes que el grupo de nmeros dados pueda tener, su M.C.M. corresponder a! primer mltiplo hallado.

El mnimo comn mltiplo de un grupo de nmeros no es el menor o el mayor de los nmeros dados, corresponde al menor de los mltiplos comunes de los nmeros. A veces sucede que el MCM coincide con el mayor de los nmeros dados, porque ste es mltiplo de los otros nmeros y de s mismo. Observa que los nmeros 6, 12, 18,24, 30,.., se repiten en ambos casos y son al mismo tiempo, Mltiplos del 2 y del 3. El ms pequeo de estos mltiplos comunes es el nmero 6, entonces se dice que es el mnimo comn mltiplo de 2 y 3, lo cual

Escribimos as; M.C.M. (2 y 3) = 6

Existe una manera ms prctica y fcil para hallar el M.C.M., sobre todo si se trata de nmeros muy altos.

Consiste en descomponer simultneamente los nmeros dados en factores primos y el mnimo comn mltiplo ser igual al producto de los factores primos de la descomposicin.

EJEMPLO; Calcular el mnimo comn mltiplo entre los nmeros 2, 5 y 10. Solucin

1. Se toma el divisor primo para el 2 y el 10. Los resultados de estas escriben bajo los nmeros s la derecha El 5 no se "toca" an.

divisiones se

2. Se divide entre el nmero primo cinco al 5 que se est descomponiendo y al 5 que

qued como cociente cuando se dividi 10 entre 2, en el paso anterior.

El M.C.M. de 2, 5 y 10 corresponde al producto de los factores primos que estn a la derecha de la lnea. As: M.C.M,(2, 5 y 10) = 2 X 5 = 10

Otra forma de calcular el mnimo comn mltiplo de estos nmeros se muestra a continuacin.

Notemos que en este procedimiento cada nmero se descompone separadamente y que el M.C.M. se calcula multiplicando los factores primos comunes con el mayor exponente y los factores primos no comunes.

M.C.M (2, 5,10) = 21 x 51 = 10

Ejemplo: Calcular el mnimo comn mltiplo entre los nmeros 8, 20 y 44. Solucin

8

20

44 2

4

10

22 2

2. 1.

5 5 1

11 2

11 1

El M.C.M. de 8, 20 y 44 corresponde a! producto de los factores primos que estn o So derecha de la lnea. As: M.C.M. (8, 20 y 44) = 2 x 2 x 2 x 5 x 11 = 440 = 23 x 51 x 111 = 440

1 . 4 MAXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.)El mximo comn divisor o M.C.D. dados o ms nmeros se define como el nmero ms grande que puede dividir exactamente, en forma simultnea, a los nmeros dados. Es decir, es el mayor de los divisores comunes de los nmeros dados.

******

El M.CD. De un grupo de nmeros no es el menor o el mayor De los nmeros dados. Corresponde al mayor de los Divisores comunes que tengan dichos nmeros.

A veces sucede que el M.C.D coincide Con el menor de los nmeros dados. Esto pasa porque ste es el mximo divisor de s mismo Y es adems divisor de los otros nmeros. Observa los conjuntos de divisores del 30 y el 24.

*********

D24 = {1, 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 1 2 , 2 4 } D30 = {1, 2 , 3 , 5 , 6 , 1 0 , 1 5 , 30}

Sus divisores comunes son 1, 2, 3 y 6. El mayor de estos divisores comunes es el seis; en consecuencia, M.C.D. (24 y 30) - 6

No obstante, calcular el M.C.D. encontrando los conjuntos de mltiplos se dificulta cuando los nmeros dados son ms grandes. Para hallar el mximo comn divisor (M.C.D.) de varios nmeros, se procede de la misma manera que para el M.C.M., con la diferencia de que slo se descomponen los nmeros

dados simultneamente hasta que tengan un divisor primo comn. El procedimiento a seguir consiste en:

1. Descomponer simultneamente los nmeros.

Cuando los nmeros dados ya no tengan ms divisores primos comunes se termina la descomposicin, aunque no se haya llegado a cocientes 1.2.

Para calcular el mximo comn divisor se multiplican entre s los factores primos comunes a la derecha de la lineo en la descomposicin.3.

S los nmeros no tienen divisores primos comunes, su mximo comn divisor ser el uno.

Ejemplo: Calcular el mximo comn divisor entre los nmeros 24 y 30.1.

Solucin:

1, Se toma el divisor primo 2 comn para todos los nmeros. Los resultados de astas divisiones se escriban bajo los nmeros a la derecha

Se dividen los cocientes entre el nmero primo 3, porque son Mltiplos de 3. Los cocientes se anotan a la izquierda, bajo los anteriores cocientes.2. 3.

No se contina descomponiendo., puesto que no hay ms divisores comunes para los cocientes obtenidos. 4. El M.C.D. de 24 y 30 corresponde al producto de los factores primos que estn a la derecha de la lnea. As:

M.C.D. (24 y 30) = 2 x 3 = 6 = 21 x 31 = 6

Otra forma de calcular el mximo comn divisor de estos nmeros se muestra a continuacin.

Ejemplo: Calcular el mximo comn divisor entre los nmeros 96 y 240.

******* Luego de descomponer independientemente cantidades dadas en sus factores: primos, se toman de ellos producto de los factores comunes con sus comunes exponente. Resuelve en tu cuaderno e! mismo ejemplo con e\ procedimiento de des;: simultneamente los nmeros, Cul mtodo se te facilita ms?

EJERCICIOS 1 . 3Resuelve en tu cuaderno.

1. Halla el mnimo comn mltiplo de los siguientes pares de nmeros: 32 y 68 52 y 76

84 y 95 105 y 210

380 y 420

590 y 711 3.

Halla el mnimo comn

mltiplo de los siguientes pares de nmeros y responde

A. Es 640 mltiplo de 320? B. Es 1.260 mltiplo de 420? C. Cul es el m.c.m. (320, 640)? D. Cul es el m.c.m. (420,1.260)?

320 y 640 420 y 1260

PROBLEMAS DE M.C.D. y M.C.M. 1 El ebanista ahorradorUn ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho en cuadrados lo ms grandes posible. Cual debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? Cuantos cuadrados se obtienen de la plancha de madera? Solucin:A. La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y adems debe ser el mayor divisor comn; luego hay que calcular el M.C.D. (256,96)

256 = 28 96 = 25 x 3 M.C.M (256, 96)= 2 5 - 32

Rta: Longitud del lado del cuadrado es de 32 cm.B. rea de la plancha de madera 256 x 96 = 24576 cm2

rea de uno de los cuadrados 32 x 32 = 1024 cm2

De la plancha de madera se obtienen 24576 : 1024 = 24 cuadrados.

2.

Una cita en Sevilla

Un viajante va a Sevilla cada 18 das, otro va a Sevilla cada 15 das y un tercero va a : : . ; 8 das. Hoy da 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes. Dentro de cuntos das como mnimo volvern a coincidir en Sevilla? SOLUCION: El numero das que han de transcurrir como mnimo para que loa tres viajantes vuelvan a coincidir en Sevilla tiene que ser un mltiplo de 3.8, de 15 y de 8, y adems tiene que ser el menor mltiplo comn; luego hay que calcular el M.C.M.(18, 15, 8).

18 = 2 x 32 15 = 3 x 5 8 = 23 M.C.M. (18, 15, 8) = 23 x 32 x 5 = 360 Rta: Los tres viajantes volvern a coincidir en Sevilla dentro de 360 das. RESUELVE EN TU CUADERNO LOS SIGUIENTES PROBLEMAS3. Andrs tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de

24 botones cada una y no sobra ningn botn, En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningn botn. El nmero de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. Cuntos botones como mnimo hay en cada caja? Mara y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor nmero de collares iguales sin que sobre ninguna bola.4.

Cuntos collares iguales pueden hacer? Qu numero de botas de cada color tendr cada collar?

Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho, est dividido en parcelas cuadradas iguales. El rea de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible.5.

Cul es la longitud del lado de cada parce la cuadrada? Teresa tiene un reloj que da una seal cada 60 minutos, otro reloj que da una seala cada 150 minutos y un tercero que da una seal cada 360 minutos. A las 9 de la maana los tres relojes han coincidido en dar la seal.6.

Cuntas horas, como mnimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir? A qu hora volvern a dar la seal otra vez juntos? 7. Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista y cubos rojos de 45 mm de arista. Apilando los cubos en dos columnas, una de cubos azules y otra de cubos rojos, quiere conseguir que las dos columnas sean guales. Cuntos cubos, como mnimo, necesita de cada color? Juan tiene que poner un rodapi de madera a dos paredes de 12 m y 9 m de longitud. Para ello ha averiguado la longitud del mayor listn de madera que cabe en un nmero exacto de veces en cada pared.8.

Cual ser la longitud de este listn?

EJERCICIOS 1.4Responde en tu cuaderno. PRACTICO

1.

Descubre cul es nmero que debe ir en recuadro. 6 =2162

23 =

= 49

4

=10.000

5 = 25

2

= 81

3

= 27

2

= 144

2.

Escribe la potenciacin en forma de radicacin y compieta la tabla Radicacin3

Potencia 23 = 8 35 = 243 82 = 64 5 4 = 625 11 2 = 1 2 1 92 = 729

ndice 3

Cantidad subradical 8 2

Raz

Encuentra las races indicadas sobre el triangulo equiltero. Con estos valores descifra, Qu tienen en comn los tres lados del triangulo? ******

ESTABLESCO CONEXIONES

Resuelve el crucigrama

a.

El tema que estamos desarrollando.

b. La raz cuadrada de 81. c. El nombre del smbolo utilizado en la radicacin. d. La forma de leer la raz cuando el ndice es 3 e. La raz cuarta de 2.401. f. El resultado de la radicacin. g. Inverso del exponente en una potencia. h. La raz quinta de 1.024. i. La raz en la que no se escribe el ndice. j. Su raz cuadrada es 100.

******

GEOMETRA Repaso de medicin de ngulosREPASO DE MEDICION DE ANGULOS Para este taller necesitas transportador, regla y comps. Consguelos El comps tambin sirve para trazar la bisectriz de un ngulo. La bisectriz de un ngulo es una recta que divide al ngulo en dos ngulos iguale Para trazar la bisectriz del ngulo A hacemos lo siguiente: Trazo un arco al ngulo A. Con una medida en el comps y poniendo la punta en el corte del arco con uno de los lados hago un arco hacia el centra del ngulo. A *****

Los ngulos - de un cuadriltero

Observa el cuadriltero ABCD: Lee con atencin y paso a paso: **********

Las rectas que unen dos vrtices NO consecutivos se llaman diagonales. Trazamos la diagonal BD y vemos que se forman dos tringulos: ABD y CBD, El ngulo D del cuadriltero se reparti entre los dos tringulos y lo mismo el ngulo B. De modo que los cuatro ngulos del cuadriltero se convirtieron en los ngulos de los dos tringulos, Para saber cunto suman los ngulos del cuadriltero, se puede calcular sumando los ngulos de los dos tringulos. Por esta razn, (recuerda el taller anterior), la suma de los ngulos del cuadriltero es igual a 180 + 180 = 360. Sacamos en conclusin que: La suma de los ngulos de un cuadriltero siempre es igual a 360 1. Dibuja dos cuadrilteros y comprueba el resultado anterior midiendo sus ngulos y sumndolos.

Con la misma medida desde el otro lado hago otro arco que corte al primero. Trazo la recta que pasa por el vrtice y el punto de corte de los dos arcos. Esa es la bisectriz del ngulo.

EJERCICIOS:1. Traza la bisectriz de los siguientes ngulos:

*********

Cmo se miden los ngulos? Los ngulos se miden en unidades de diferentes clases, de las cuales vamos a aprender a utilizar los grados sexagesimales. Si un ngulo de un giro, esto es una circunferencia completa, se divide en 360 angulitos iguales, cada uno de ellos es un grado sexagesimal.

Resuelve los siguientes problemas.2.______________________En un tringulo dos ngulos miden 45 y 78 Cunto mide el

tercer ngulo? Respuesta:

3. Un tringulo rectngulo tiene un ngulo agudo de 39. Cunto miden los otros dos

ngulos? Respuesta: ______________________4. Cunto mide cada ngulo de un tringulo que tiene los tres ngulos iguales?

Respuesta: _________________________5. Un tringulo tiene dos ngulos iguales, y cada uno de ellos mide 75. Cunto mide el

otro ngulo? Respuesta:________________ 6. Cunto miden cada uno de los ngulos de un cuadriltero que tiene los cuatro ngulos iguales? 7. Encuentra los ngulos que faltan en el Respuesta:

Siguiente dibujo. Escribe la medida de cada uno dentro de l. De esta manera, podernos asegurar que: Un ngulo de un giro mide 360 grados, un ngulo llano mide 180 grados y un ngulo recto mide 90 grados.

2. Piensa y contesta: Por qu un ngulo llano mide 180 grados (180)? ______________________________________

Por qu un ngulo recto mide 90 grados (90)? Si dos ngulos son suplementarios y uno mide 85 grados (85), cunto mide el otro? Si dos ngulos son complementarios Cunto suman?___________________ Cmo puedes construir un ngulo de 45 grados (45), con regla y comps? __________________________ __________________________________________________________________________ Intntalo.

USO DEL TRANSPORTADOREl transportador es un aparato para medir ngulos. Generalmente tiene forme media circunferencia y en el borde estn marcados los nmeros que indicar grados que mide un ngulo. Para usarlo, lo primero que debes hacer es identificar la recta del ngulo de ce grados (0o) que es la misma de 180. En el punto medio de esa recta se encuentra una marca que es la que se pone ene del vrtice del ngulo, de modo que la lnea de 0 o quede sobre uno de los lados c ngulo y que los nmeros del borde del transportador vayan creciendo hacia donde est el otro lado del ngulo. Si el otro lado es muy corto se debe prolongar para poder leer bien el nmero que queda por donde pasa esa recta. Ese nmero es la medida del ngulo en grados.

UNIDAD 2Teora de nmeros ngulos y areas Medidas de tendencia central

*********

Nuestro cuerpo es una mquina de gran complejidad y perfeccin cuyo funcionamiento depende de un sistema de elementos que trabajan de forma conjunta, coordinada y armnica. Si bien cada uno de nosotros es nico en cuanto a la apariencia externa de su cuerpo, ste posee los mismos rasgos bsicos que todas las dems personas. Es all donde entra la matemtica para estudiar estos Procesos con ayuda de los nmeros, sus propiedades y operaciones. "Las matemticas son el al/abeto con el cual Dios ha escrito el universo". Estas palabras de Galileo Galilei manifiestan la combinacin, que existe entre los nmeros y sus leyes con las maravillosas cosas que nos rodean, entre stas el cuerpo humano. Conoces algunas propiedades de los nmeros?

UNIDAD 2

Potenciacin de nmeros naturales Descomposicin decimal y operaciones combinadas Radicacin en los nmeros naturales

El plano cartesiano Sistemas de medidas y unidades de longitud Construccin de polgonos regulares Permetros de polgonos Problemas de variacin constante Igualdades Planteamiento y solucin de ecuaciones Unidades de rea rea de polgonos regulares rea de figuras compuestas

POTENCIA DE UN NMERO NATURAL

si se desea multiplicar un nmero por s mismo varias veces se puede indicar el producto factor a factor, si son pocos factores esto se puede hacer sin mucha dificultad, por ejemplo 22-2, si se multiplica por si mismo 2 tres veces. Esta forma de expresar este tipo de operaciones es tediosa y poco prctica. Una notacin ms simple y prctica para expresar el producto de un nmero por s mismo varias veces es la notacin en forma de potencia. Una potencia consta de dos partes, por un lado est la base que es el nmero que se multiplica por s mismo y por otro el exponente que nos indica el nmero de veces que se multiplica el nmero.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACINEl producto de dos o ms potencias de igual a base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los exponentes respectivos. Ejemplos:

La divisin de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes.

am anPotencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de Pase a elevada a la multiplicacin de ambos exponentes

(am)n = am.n

Potencia de base 10

En las potencias con base 20, el resultado ser la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.

Ejemplos:

10 = 1 101 = 102 = 103 = 104 = 105 = 106 =

10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.00

potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno los factores del producto elevados al exponente dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

(a b)n = an - bn

Propiedad distributiva

La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin: (a

b)n =

an

bn

( a ) n = an ( b ) bn

DESCOMPOSICION DECIMAL Y OPERACIONES COMBINADASEn 1889, William Burroughs invent mquina calculadora de multiplicacin directa Fue tan popular que se utiliz en todas : oficinas contables en Estados Unidos. En 193" Claude Shannon invent un mtodo para el uso: de la lgica binaria en los circuitos elctricos: As, hoy manejamos el sistema decimal pe: nuestra comunicacin, mientras las mquina; utilizan el sistema binario. Cmo realzame: la descomposicin decimal del nmero 5.497 *********

Para descomponer un nmero del sistema decimal debemos tener en cuenta el valor de cada cifra, segn la posicin que ocupa dentro del nmero.

u.M.

c.m.

d.m.

u.m.

c

d

u

1'000.000

100.000

10.000

1.000

100 10

1

Unidades 106

Unidades 1 05

Unidades 1 04

Unidades 1 03

Unidades 1 02

Unidades 1 01

Unidades 10

Veamos la descomposicin de 5.497: 5.497 = 5.000 + 400 + 90 + 7

= (5x1.000) + = (5 x 103) +

(4x100) + ( 9 x 1 0 ) + ( 7 x 1 ) (4x 102) + (9 x 10 1) + (7 x 100)

Observamos que la descomposicin decimal de un nmero natural est fornida por sumandos que son productos en los que un factor es una potencia DE base 1 0 , combinamos entonces varias operaciones aritmticas.

Operaciones combinadasJos Luis participa en un juego de computador. Comenz con 1.500 puntos, perdi 600 y al final gan 1.200 puntos. Cul fue el puntaje final de Jos? La expresin matemtica que ilustra la situacin es: 1.500-600 + 1.200 Como esta operacin combina slo operaciones de suma y resta, y no contiene parntesis, se resuelve en el orden en que aparecen. 1.500 -600 + 1.200 = 900 + 1.200 = 2.1 00

Ejemplos:Laura desea comprar su revista favorita. Tena inicialmente $10.000, su pap le duplic la cantidad, pero ella gast $2.000 con sus amigas. Luego, recibe la mitad de los $5.000 que tiene mam. Si la revista tiene un valor de $21.000, puede comprar la revista? La expresin matemtica que modela la situacin es: (1 0.000 x 2) - 2.000 + (5.000 + 2) Como en este caso aparece una multiplicacin y una divisin, estas operaciones se resuelven primero y luego se sigue el proceso normal. (1 0.000 x 2) - 2.000 + (5.000 + 2) 20.000 - 2.000 + 2.500 20.500 Laura no puede comprar la revista, pues el dinero que tiene es menor que el valor de la revista.

Si conocemos una potencia y el exponente usado para hallarla, podemos determinar jo base utilizando a radicacin. La radicacin es la operacin inversa de la potenciacin

RADICACIN: LAS RAICES

Es la operacin que permite obtener unos resultados llamados raz y resto a partir de unos datos llamados radicando e ndice radicando.

Es la operacin inversa a la potenciacin, como lo es la resta a la s la divisin a la multiplicacin

Para ndice 2 (si el ndice es 2, se suele omitir) se le llama raz cuat "para ndice 3, se llama raz cbica; ndice 4, raz cuarta; ndice quinta, y as sucesivamente.

Raz cuadrada por defecto (aplicable a cualquier ndice): busca mayor nmero natural cuyo cuadrado sea menor o igual que el radica

En las ltimas dcadas el desarrollo tecnolgico ha aumentado vertiginosamente. Despus de la aparicin de los circuitos integrados (chips), en 1964, se redujo el tamao de los computadores y se aument la velocidad para procesar la Informacin Algunas cosas que se han hecho prcticas con el uso de la tecnologa esta manejo de operaciones matemticas como la radicad; ' Cul es el nmero que, al multiplicarlo 3 veces, nos da 512?

Resolvamos cada una de las siguientes operaciones. 83 = 51 23

1512=8

El nmero que multiplicado tres veces nos da 512 es 8. Esto implica que, "raz cbica de 512 es 8". 3: ndice

512: cantidad subradical 8: raz : radical

Encontremos 36 y 81. Para resolver 36, debemos saber cuando no aparece el ndice, siempre se asume que toma el valor 2 y se lee: "raz cuadrada de 36 Escribamos la operacin en trminos de la potenciacin.

36 =?

?

2

36

A s observamos que el nmero buscado es 6, porque el cuadrado de 6 es 36, as la raz cuadrada de 36 es 6. Escribamos la segunda radicacin en trminos de la potenciacin.4

81 =?

? 4 = 81

En este caso, el nmero que buscamos es 3. Por lo tanto:

36 = 6

y

4

81 = 3

Cul es la raz cuadrada de 5? Al estar trabajando sobre el conjunto de los nmeros naturales, no siempre podemos hallar la raz de un nmero, ste es el caso de la raz cuadrada de 5.

En los nmeros naturales no encontramos un nmero cuyo cuadrado sea 5. Por lo tanto 5no pertenece al conjunto de nmeros naturales.

EJERCICIO:Halla la raz de:

A. B. C. D. E. F.

84 =3

27 = 32 = 64 = 625 =

5

3

4

49 =

LOGARITMOS

Logaritmacin es e\ proceso de hallar el exponente al cual fue elevada la base para obtener un nmero. El logaritmo de un nmero es el exponente al que hay que elevar otro nmero, llamado base, para obtener el nmero dado. Los Elementos de los logaritmos-. Loga N = x Log2 8 = 3

Como la logaritmacin es la operacin que permite hallar el exponente al cual fue elevada la base, en el ejemplo anterior eje 1) se ve que 2 - elevado a la 3, por tanto 23 = 8.

EJERCICIOS:A. B. C. D.

Log3 27 = Log10 100 = Log5 125 = Log2 32 =

Recuerda:En la potencia te dan la base y el exponente y hallas la potencia. La radicacin te dan la potencia y el exponente y hallas la base. La logaritmacin te dan la base y la potencia y hallas el exponente.

PROBLEMAS DE CAMBIO Y VARIACIN

En 1981, IBM introduce su computadora personal (PC) con. Lo cual ingresa en la era d la computacin individual. Esto ha permitido que cada vez ms personas entren en la era tecnolgica y que los costos, cada vez menores, no sean un impedimento para que todos exploremos este fascinante mundo ya sea en la casa, en el barrio o en la ciudad. Si una empresa requiere 350 computadores y cada uno cuesta $ 1 '500.000, cunto cuestan todos los computadores de la empresa? Un almacn registr los costos ele los computadores as: Cantidad Costo total 1 1'500.000 2 3 3000.000 4 4500.000 5 6000.000 7500.000

Variable dependiente: costo total de los computadores Variable independiente: cantidad de computadores Los 350 computadores cuestan 350 x 1 '500.000 = 525'000.000 de pesos.

EJEMPLO:

La distancia que hay de Grunizque a Ekribo es de 120 km. Si un auto se dirige de una ciudad a otra, a velocidad constante, cunto tiempo tarda en llegar? Diseemos un cuadro en donde se reflejen las siguientes dos variables, tomando en cuenta que la distancia que debe recorrer el auto es de 120 km. Variable independiente: velocidad del auto Variable dependiente: tiempo Como la variable independiente es la velocidad, podemos analizar qu pasara si el auto viajara a 60 km por hora. En este caso recorrera esa distancia en 2 horas. El resultado despus de varios anlisis es: Velocidad (km por hora) Tiempo (horas) 24 60 2 30 4 20 6 15 8 10 12 5

EL PLANO CARTESIANO

En los ltimos aos se ha dada importancia a la Forma de acceso a La informacin del computador conocida como interface. Por esta razn, en 1990 Microsoft lanza Windows 3.0 con una interface grfica. Esto ha llevado a que hoy encontremos varias aplicaciones, una de ellas PAINT, que por su estructura nos permite el diseo de varios elementos matemticos. As, es fcil la construccin de un piano cartesiano que se basa en dos semirrectas como ejes coordenadas. ***** MOVIMIENTO HORIZONTAL

Cules son las coordenadas de los puntos A, B y C? La ubicacin de estos puntos los determina una coordenada de dos componentes, en donde el primer nmero indica el movimiento horizontal a partir de cero y el segundo nmero, el movimiento vertical. Adems, es importante observar la divisin en cada semirrecta, pues sta determina la ubicacin; por ejemplo en este plano observamos que aparecen los nmeros 50 y 30, lo que indica que cada divisin equivale a 10 unidades tanto en el semieje horizontal como en el vertical. En consecuencia, las coordenadas de los puntos A,B Y C son:

A: (10, 30) B: (30, 10) C: (50, 30) Observamos que la ubicacin del punto (10, 30) es distinta a la del punto (30, 10)

La representacin de los puntos del plano se realiza en un sistema de coordenadas como plano cartesiano. Un punto se identifica por una pareja ordenada (a, b) donde la primera componente se refiere al movimiento horizontal y la segunda a la vertical.

SISTEMA DE MEDIDAS Y UNIDADES DE LONGITUD.En el sistema internacional de unidades, la unidad fundamental de longitud es el metro. Para la medicin fundamental de longitudes existen mltiplos y submltiplos del metro.

Con los avances mundiales en tecnologa es necesario unificar criterios para que todos hablemos un mismo lenguaje, en particular cuando hablamos de mediciones. Por esta necesidad mundial, en 1795 se instituyo en Francia el sistema mtrico decimal y su unidad es el metro que es empleado en medidas de longitud. Actualmente forma parte del sistema internacional de unidades. (Si)

MULTIPLOS Kilometr o KM Hectmetr o Hm Decmetr o Dam

PATRN METRO

SUBMULTIPLOS Decmetr o Dm Centmetro Milmetro

M

Cm

Mm

A este sistema se le conoce como sistema mtrico decimal, pues cada diez unidades formamos una unidad de orden superior.

MULTIPLOS DEL METRO 10 metros = 1 decmetro 10 decmetros = 1 hectmetro 10 hectmetros = 1 kilometro

SUBMULTIPLOS DEL METRO 10 milmetros = 1 centmetro 10 centmetros = 1 decmetro 10 decmetros = 1 metro

EJEMPLO:

Expresemos 23 hectmetros en centmetros. Para realizar una conversin de una unidad de orden superior a una inferior, como en este caso, multiplicamos 23 por la potencia de 10 correspondiente.

KM

HM

DAM

M

DM

CM

Mm

23 X10 230 X 10 2.300 X10

Para transformar hectmetros en centmetros multiplicamos por 10 elevado al numero de posiciones que hay entre las dos unidades: 23 hm = 23 x 103 = 23 x 10 x 10 x 10 = 23.000 dm

Hallemos la conversin de 800.000 milmetros a decmetros. En este caso necesitamos expresar una unidad de orden inferior a una superior.

KM

HM

DAM 10

M 10

DM 10

CM 10

Mm

Para la conversin de milmetros a decmetros dividimos entre 10 cuatro veces, es decir por 104; 80.000 104 = (((80.000 10) 10) 10 =80 dam Aprendamos ms: Por qu cuando se habla de futbol americano de hace referencia a yardas y no a metros? Porque el sistema internacional de unidades no se aplica en todos los pases se utiliza el sistema mtrico ingles.

CONSTRUCION DE POLIGONOS REGULARESE L primer juego de computadora, Spacewar, se cre en 1962. Su objetivo era esquivar asteroides y naves espaciales enemigas, Con el tiempo se han diseado diversos tipos de video juegos, como de aventura, de preguntas y respuestas, de estrategia y de accin. Todos stos usan una gran variedad de formas geomtricas. Qu figuras geomtricas observamos en este video- juego?

En el videojuego observamos hexgonos, nongonos y cuadrilteros, entre otros. De acuerdo con e! nmero de lados, los polgonos se clasifican as:

Nmero de lados 10

3

4

5

6

7

8

9Heptgono

NombreOctgono

Tringulo Cuadriltero- Pentgono Hexgono Nongono Decgono

Cmo determinamos si un polgono es equingulo o equiltero? Los trminos equingulos y equilteros indican comparaciones de la medida de los ngulos o de la longitud de sus lados. En un polgono equingulo todos sus ngulos miden lo mismo, y en uno equiltero todos sus lados tienen la misma longitud.

********

APRENDE MS.La regin del plano limitada por segmentos unidos entre si en sus extremos se llama POLIGONO. Los puntos A, B,C, D Y E son los vrtices del polgono. Los segmentos BC, CD, DE, EA, Y AB son los lados del polgono. El segmento AD es una diagonal del polgono. Realicemos la menor descomposicin en tringulos de un cuadriltero, pentgono. Y heptgono, cuando trazamos todas las diagonales de un polgono obtenemos una descomposicin en tringulos. Sin embargo, la menor de ellas la obtenemos trazando todas las posibles diagonales que parten de un mismo vrtice. *********

Construyamos un hexgono regularPrimer paso: calculemos el ngulo clave dividiendo 360 entre el nmero de lados de! polgono, para un hexgono dividiremos entre 6. 360 6 - 60 -> ngulo clave de construccin. Segundo paso: trazamos una circunferencia y uno de sus radios. ******

Tercer paso: construimos un ngulo de 6 con vrtice en el centro de la circunferencia uno de sus lados el radio construido. ****

Cuarto paso: tomamos con el comps una abertura igual a la distancia entre los cortes del radio y el ngulo con la circunferencia y recorremos ia circunferencia, marcando los puntos con la abertura del comps. *****

Quinto paso: unimos los puntos marcados por el comps. La figura obtenida es un hexgono regular; ******

PRENDE MS Un polgono regular tiene todos sus lados de amplitud. El polgono regular de tres lados recibe el nombre de triangulo equiltero, y el de cuatro lados cuadrado.

PERIMETRO DE POLIGONOS*********

Otro de los avances en los juegos electrnicos es el diseo de simuladores. En algunos, el jugador aterriza un jumbo, conduce un automvil de carreras viaja en una tabla para nieve. E n el diseo de los simuladores es importante medir la longitud del borde de las figuras que se utilizan. Cul es el permetro de una pista cuadrada de 5 cm de lado? El cuadrado es un polgono regular, por lo tanto sus cuatro lacios tienen la misma longitud. Entonces, P = 4 x 5 cm = 20 cm Ejemplo. ***********

Cul es el permetro del rea que muestra la figura? Como no conocemos las medidas de todos los lados del terreno, debemos hallarlas para encontrar luego el permetro. Lado a: conocemos la longitud total de un lado paralelo, que es 12 m. Como ste a su vez paralelo al lado cuya medida es 6 m, tenemos entonces que; Medida del lado a = 12 m - 6 m = 6 m

Lado b: procedemos de igual -manera con el lado b. Una de sus paralelas mide el total 14 m y conocemos un segmento paralelo que mide 7 m, es decir que, Medida del lado b = 1 4 m - 7 m = 7 m Ahora s podemos calcular el permetro P = 7 m + 1 2 m + 14m + 6 m + 7 m + 6 m P=52m.

APRENDE MS. El permetro de un polgono es la longitud total que tiene el contorno y se halla sumando la longitud de cada uno de sus lados.

ste es el valor del permetro del rea que muestra la figura, pero tambin del rea visual de la pista. Esto muestra que, aunque el permetro de dos figuras sea el mismo, los figuras no son necesariamente iguales, ni tienen la misma rea.

- Cul es el permetro del rea de cada figura? ******

p = 3 m + 4 ni + 6m + 5m p=18m

P = 8 cm x 2 6 cm x 2 p = 16 cm + 12 cm P = 28 cm

PROBLEMAS DE VARIACION CONSTANTEEt sistema circulatorio est formado por el corazn y un. Intrincado conjunto de arterias y venas que de ser desplegado medira 150.000 kilmetros de largo. El latido rtmico arterial se conoce como pulso y se siente en varias partes del cuerpo, este nos muestra las pulsaciones por minuto de nuestro "maravilloso corazn. En el caso de un adulto la frecuencia es de 60 a 80 pulsaciones por minuto, mientras la de un nio- o una nia de once aos puede ser de 140 al 60 latidos por minuto. Cuntas veces ha latido el corazn de un nio y un adulto en una hora? Determinemos la cantidad total de pulsaciones en una hora, de una nia con 140 latidos por minuto y la de un adulto-con un ritmo cardaco de 80 latidos por minuto. En este caso podemos establecer su variacin constante as:

Nia 1 minuto 2 minutos 3 minutos 4 minutos

140 latidos 2 x 140 latidos 3 x 140 latidos 4 x 140 latidos

Adulto 1 minuto 2 minutos 3 minutos 4 minutos

80 latidos 2 x 80 latidos 3 x 80 latidos 4 x 80 latidos

Estas situaciones las representamos en cuadros o tablas como las siguientes: Frecuencia del pulso de una nia Minutos Cantidad de Pulsaciones 1 2 140 3 280 4 420 5 560 6 700 840

Frecuencia del pulso de un adulto Minutos 1 2 3 4 5 6

Cantidad de Pulsaciones

80

160

240

320

400

480

El comportamiento de estas dos variables se puede ver claramente al ubicar cada pareja en el plano cartesiano. Frecuencia del pulso de un adulto Cantidad de Pulsaciones Minutos ********** 80 1 160 2 240 3 320 4 400 5 480 6

APRENDE MS Existen situaciones donde intervienen dos magnitudes que varan de forma constante. Estos productos o situaciones los llamamos variacin constante.

IGUALDADESSe dice que dos expresiones aritmticas son iguales si representan el mismo resultado. Se dice que dos expresiones aritmticas son equivalentes si se puede establecer una igualdad entre ellas.

Otro de los sistemas que encontramos en nuestro cuerpo es el sistema seo. El esqueleto es la estructura que da consistencia al cuerpo y sirve de soporte a todos sus movimientos. 1 nmero total de huesos que poseemos est distribuido as: 126 en las extremidades y 82 en el resto del cuerpo, o ms especficamente, 64 en los miembros superiores y 62 en los miembros inferiores, 26 en la columna vertebral, 8 en el crneo, 14 en la cara, 8 huesecillos en el odo, 1 hueso hioides, 25 en el trax. Es correcto afirmar que poseemos 208 huesos en total? Determinemos la cantidad de huesos que poseemos con ayuda de los datos anteriores. Escribamos matemticamente cada expresin y luego operemos aritmticamente. 126 huesos en las extremidades y 82 en el resto del cuerpo. 126 + 82 = 208

26 huesos en la columna vertebral; 26 + 8 + 14 + 8 + 1 + 25 + 64 + 62 = 208 8 en el crneo; 14 en la cara; 8 huesecillos en el odo; 1 hueso hioides; 25 en, el trax; 64 en los miembros superiores y 62 en los Miembros inferiores.

La cantidad de huesos que posee nuestro esqueleto es de 208. Adems, matemticamente podemos formar la siguiente igualdad: 126 + 82 = 26 + 8 + 14 + 8 + 1 + 25 + 64 + 62 Ejemplo; Podemos adicionar un valor a cada miembro de una igualdad sin que sta se afecte? A partir de una igualdad podemos generar otras manteniendo las propiedades. Por ejemplo, en una igualdad se puede adicionar, sustraer, dividir o hasta multiplicar por un mismo valor a cada miembro de una igualdad y sta se conserva.

VARIABLE Es el nombre cientfico que se le da a una incgnita. Este nombre aparece porque el valor que puede tomar la incgnita vara dentro de un conjunto de valores determinado. Una variable es representada por una letra del alfabeto.

PLANTEAMIENTO Y SOLUCION DE ECUACIONES

E L sistema seo est en permanente proceso transformacin y en l se reflejan algunas caractersticas de nuestro organismo. Cada hueso es un importante depsito de minerales y en su interior se producen constantemente clulas sanguneas. En este mbito observa que existe una relacin entre la altura h de mujer y la longitud f de su fmur dada por la ecuacin h = 2f + 73. Gracias a ello, los arquelogos pueden establecer muchas caractersticas de las personas que viv, hace miles de aos estudiando sus restos seos. Ce Interpretar tal ecuacin y sus posibles resultados?

Si un arquelogo encontr un fmur de 40 centmetros y determin que corresponde a una mujer que vivi hace 5,000 aos, cul era la estatura del momento de morir? Esta letra indica la altura h = 2 f + 73 Esta letra indica la longitud del fmur. La expresin 2f indica que multiplicamos por 2 la longitud del fmur. Cmo el fmur encontrado mide 40 centmetros reemplacemos la letra por este valor. h = (2 x 40) + 73 Incgnita: La altura de la mujer. En este caso slo debemos resolver la expresin que aparece a la derecha de la igualdad. h = (2 x 40) + 73 h = 80 h = 153 El valor de h es 153. Por tanto, la altura de la mujer que vivi hace 5.000 aos era de 153 centmetros.

Una ecuacin es una igualdad en donde se descompone un trmino llamado incgnita.

Resolver o solucionar una ecuacin significa encontrar el valor de ese trmino desconocido. Para hacer una ecuacin tengamos en cuenta los siguientes pasos:

ECUACION

PROCEDIMIENTO Observamos que el numero 5 aumenta el valor de la incgnita x en cinco unidades, sustraemos 5 a los dos lados de la ecuacin resolvemos y hallamos el valor de x.

X + 5 12 X + 5 5 = 12 5 X=7

32 = 4m

Observamos que el numero 4 multiplica la incgnita m, dividimos entre 4 a los lados de

32 4 = 4m 4 8=m

la ecuacin para despejar la incgnita. Resolvemos el valor de m.

Debemos tener en cuenta para despejar una variable, que si hay un numero adicional a la incgnita entonces lo sustraemos, si sustrae entonces lo sumamos, si multiplica lo dividimos y si divide lo multiplicamos. Pero cada cambio que se realice al lado de la incgnita en la igualdad, siempre debe hacerse en el otro lado de la igualdad tambin. ahora:

123 = 2f + 73

Debemos sustraer el valor 73

123 73 = 2f + 73 73 Resolvemos las operaciones 50 = 2f Ahora debemos dividir por 2 Resolvemos las operaciones

50 2 = 2f 2 25 = f

Encontramos el valor de la incgnita

UNIDADES DE REALa piel es el mayor rgano del cuerpo. Su extensin alcanza casi lo s 2metros cuadrados y pesa aproximadamente 3 kilogramos. La mayor parte del cuerpo est cubierta por cabello que pocos se atreveran a contar, sin embargo, cuntos cabellos cubren tu cabeza? Aproximadamente cada centmetro cuadrado de cuero cabelludo humano tiene unos 165 cabellos y como la superficie r e f e r i d a d e la cabeza humana es de u n o s775 centmetros cuadrados, podemos hacer el clculo aproximado. Pero, qu es un centmetro cuadrado? Un centmetro cuadrado es la superficie que ocupa un cuadrado que tiene como lado 1 centmetro de longitud. La unidad de medida es cmxcm = cm2.

Para determinar la cantidad de cabellos que cubren nuestra cabeza slo tenemos que hallar el producto de la cantidad de cabellos en un centmetro cuadrado y la cantidad de centmetros cuadrados de cuero cabelludo. 1 65 x 775 - 127.875 Aproximadamente, una persona tiene 127.875 cabellos en su cabeza. Ejemplo;

Cuntos centmetros cuadrados hay en un decmetro cuadrado? Un decmetro cuadrado es la superficie ocupada por un cuadrado que tiene como lado un decmetro de longitud. El dibujo muestra proporcionalmente la relacin entre un centmetro cuadrado y un decmetro cuadrado.

La unidad fundamental de rea es el metro cuadrado, se designa con el smbolo m2. Un metro cuadrado es la superficie ocupada por un cuadrado de un metro de fado. Para la medicin apropiada de superficie existen mltiplos y submltiplos del metro cuadrado. MULTIPLOS Kilometro Cuadrado Hectmetro Cuadrado Decmetro Cuadrado SUBMULTIPLOS Metro Cuadrado Decmetro Cuadrado Centmetro Cuadrado Milmetro Cuadrado

Km2

Hm2

Dam2

M2

Dm2

Cm2

Mm2

El rea de un polgono regular depende de su permetro P y de su apotema a. Este ltimo es la distancia del centro del polgono a uno d sus lados A= axp 2

EJEMPLO: Supongamos que hemos olvidado la frmula para .hallar el rea de un polgono regular y que nicamente conocemos la forma de encontrar el ir* un tringulo. Cmo hallaramos el rea de un octgono regular cuy; mide 16 milmetros y su apotema 21 milmetros? La figura muestra el-octgono regular y las magnitudes que conocemos Adicionalmente encontramos la forma de descomponerlo en 3 f que tienen la misma rea. **********

Como podemos ver, cada uno de los tringulos tiene como altura 21 milmetros y de base 16 milmetros, que en el polgono son el apotema y la longitud del lado, respectivamente. Hallemos el rea de este tringulo: A = (b x h) 2 b: base h: altura

A = 16 mm x 21 mm A = 168 mm2

Como describimos anteriormente, el octgono regular se puede descomponer e n ocho tringulos que tienen la misma rea. As, el octgono regular tendr ocho veces el rea de uno de ellos. Por tanto: r e a del octgono regular: A = 8 A ,4 A = 8 x 1 68 mm2 A = 1.344 mm2 Como podemos verificar este resultado coincide con el valor obtenido a partir de la formula, es decir, a partir del permetro (P). !:-

P = 8 x 16 mm = 128 mm A = ( a x p ) = ( 2 1 mm x 128 mm) = 1.344 mm2 2 2

REA DE FIGURAS COMPUESTASPara hallar el rea de figures compuestas, la descomponemos en figures geomtricas mas sencillas normalmente (tringulos y rectngulos) la suma total de las reas de estas figuras dar el rea de la figura compuesta.

En la cabeza se alojan los principales rganos de los ser.: y el cerebro. Este es el gran coordinador de las seale: los rganos y est protegido por unas membranas llamadas meninges. La corteza cerebral es la superficie del cerebro que guarda una estrecha relacin con la inteligencia. si la aislramos, cubrira el rea de cuatro hojas de papel mquina de escribir. Esta comparacin la podemos ' gracias al rea de figuras compuestas. Es posible encontrar _ el valor de superficie de la corteza cerebral? Encontrar este dato es equivalente a resolver, cul es e! rea de hojas de papel para mquina de escribir distribuidas como se mu la figura?

21 cm

28cm Una forma de hallar el rea total (A,.) es determinar el rea de una hoja y post mente la multiplicamos por 4. Otra posibilidad es hallando el rea del rectngulo formado por las dos hojas superiores y luego duplicar este valor. Recordemos que el rea de un rectngulo es el producto entre su base (b) altura (h). Realicemos la segunda posibilidad, en este caso el rectngulo tiene como b 42 cm (dos veces 21 cm) y altura 28 cm. A = 42 cm x 28 cm = 1.1 76 cm2 AT = 2 X 1.176 cm2 = 2.352 cm2

El rea total de la figura compuesta es de 2.352 cm2, que sera el rea superficie de la corteza cerebral aproximadamente.

Ejemplo;Un diseador desea cubrir el techo de esta casa con una pintura especial. Sabe que un gal en alcanza para 16 m 2. Al realizar su plano y tomar medidas encontr que est compuesto por trapecios y tringulos que tienen como altura 8 m. Cuntos galones de pintura necesitar? Debemos hallar el rea total de! techo compuesto por dos trapecios y dos tringulos, cada pareja con la misma rea. Luego determinaremos cuntos galones se necesitan para cubrir esta superficie. Para hallar el rea de uno de los dos trapecios. Recordemos que su rea depende de sus dos bases y la altura. *********

A_ = ((Base mayor + base menor) x altura) A=(20m + 12m) x 8m 2 A=(32m + x 8m) 2 A= 256m2 2 A = 128 m2

Ahora, hallemos el rea de uno de los tringulos, la cual depende de su base y su altura. A = BASE X ALTURA 2 A = (8 m X 8 m) 2

A = 64 m2 2 A = 32 m2

El rea total la obtenemos de la suma del rea de los dos trapecios y de los dos tringulos, que forman el techo de la casa y la cantidad de galones se halla con e! cociente entre el rea total y la superficie que cubre un slo galn. AT = 2 x 128 m2 + 2x32 m 2 AT = 256 m2 + 64 m2 AT = 320 m2

320 m2 16 m2 = 20

Por tanto, e! diseador necesitar 20 galones de pintura para recubrir e! techo de la casa

UNIDAD 3.

Fracciones Fracciones propias e impropias Fracciones como operador Fracciones equivalentes Comparacin de fracciones Suma y resta de fracciones

Multiplicacin de fracciones

Divisin de fracciones Razones Proporciones Ampliacin y reduccin de figuras Semejanzas y congruencia de figuras Traslaciones Reflexiones

Rotaciones

UNIDAD 3Fraccionarios Movimientos en el plano Probabilidad

*********

El universo en cifrasLos sntomas son muchos. Si fuera un paciente comn y corriente, los mdicos diran que se trata de un enfermo crnico a punto de morir. Pero no hablamos de un ser humano, sino de nuestro hogar, la Tierra. Los medios de comunicacin no cesan de sealar la precaria salud de la Tierra con noticias como.- "La pesca con dinamita convierte el lecho marino en campos de exterminio", "El preocupante Agujero de ozono sobre la Antrtida se ha agrandado". Sin embargo, Louise B. Young dijo que "nuestra Tierra es un planeta excepcional: El Jardn del Edn del sistema solar", todos deberamos cuidarla. Las matemticas nos explican la magnitud del problema y contribuyen de igual manera a las investigaciones que determinan lo que cada uno de nosotros debe hacer para salvar nuestro hogar

FRACIONES

Cada una de las partes iguales que se divide un todo, llamado unidad, recibe el nombre de una fraccin A nuestro planeta Tierra se le ha llamado el Planeta Azul, porque tres cuartas partes de la superficie terrestre estn cubiertas por E agua. Por qu se habla entonces de la crisis del agua? Tres de cada cien Litros son aptos para el consumo humano, por ello K o f i Annan, actual secretario general de las Naciones Unidas, dijo.- "El agua dulce es preciosa, ya que no podemos Vivir sin ella [...,] Sin embargo, continuamos actuando como si el agua dulce fuera un recurso abundante e inagotable, cuando no lo es". A qu nos _ referimos con la expresiones "tres cuartas partes de agua", o "tres de cada cien litros de agua"? La expresin "tres cuartas partes" indica la fraccin 3, en donde se toman 3 partes de las posibles de las 4 posibles de tomar. 4

Numerador Denominador

3 4

Cul es la fraccin que indica la cantidad de superficie terrestre que est cubierta por los continentes? Representemos la fraccin que indica la superficie terrestre cubierta de agua.

UNIDAD

Dividimos en 4 partes iguales (DENOMINADOR)

Tomamos 3 partes (NUMERADOR)

FRACCIONES COMO OPERADOR

Las expresiones la mitad cuatro quintas partes y seis decimas nos dan la idea de usar las fracciones como operador. Al utilizar estas expresiones sobre un numero dado, multiplicamos el numerador de la fraccin con el cociente resultante de dividir el numero dado por el denominador. Has escuchado que el rinoceronte, el tigre, el panda y la ballena estn en peligro de extincin? Algunos cientficos sostienen, que la mitad de las especies animales y vegetales podran desaparecer en los prximos 70 aos. Entre 1804 y 1905 se cultivaban en Estados Unidos 7.090 clases de manzanas, de las cuales cuatro quintas partes se han extinguido. Segn la Unin Internacional para la conservacin de la Naturaleza y de los Recursos Naturales, de las 18.000 especies vegetales y animales investigadas, ms de seis dcimas se hallan en peligro de extincin, tenemos entonces una seria responsabilidad en cuidar nuestra naturaleza. Podemos calcular cuntas clases de manzanas no comeremos ms porque desaparecieron entre 1804 y 1905? Para hallar los cuatro quintos de un nmero procedemos as: Si el nmero es 15 Partimos 15 en 5 grupos Tomamos 4 grupos

Se divide 15 por el multiplicamos Denominador 15 5 = 3 Los cuatro quintos de 15 son 12.

Luego, al cociente lo por el numerador 3 x 4 = 1 2

Entonces, segn la lectura anterior, cuntas clases de manzanas se extinguieron en Estados Unidos entre 1804 y 1905, y cuntas especies vegetales y animales investigadas estn en peligro de extincin?

Cantidad de clases de manzanas extinguidas: 4 de 7.090 7.090 5 = 1.418 5 418. x 4 = 5.672

Cantidad de vegetales y animales en peligro de extincin: 6 de 18.000 18.000 10 = 1.800

10

1.800 x 6 = 10.800

Por tanto, podemos decir que de las 7.090 clases de manzanas: que se cultivaban en Estados Unidos en 1 804., 5.672 desaparecieron para 1905. Adems,, de las 18.000 especies vegetales y - animales investigadas, 10.800 s hallan en peligro de extincin. FRACCIONES EQUIVALENTES. Dos fracciones que representan la misma cantidad de la unidad son equivalentes. La civilizacin, moderna en la que vivimos depende, para su existencia, de varias fuentes de energa que estn provistas por nuestro planeta. El instituto de los Recursos Mundiales seal que "la principal fuente de energa a nivel mundial es el petrleo, con 4 de cada 10 unidades utilizadas". Es decir, que las dos quintas partes de la energa usada son obtenidas del petrleo, pero qu pasar cuando este recurso se agote? Desde hoy estamos buscando otras fuentes de energa, cuando deberamos plantear programas de racionamiento de recursos. Qu cantidad gastamos de petrleo? El texto dice que 4 de cada 10 fuentes de energa (4) unidades de energa) utilizadas, provienen 10 Del petrleo y luego afirma que son dos quintas partes (2) equivalentes estas dos fracciones? 5 Representemos grficamente cada fraccin a partir de una misma unidad

4 10

2 5 Las dos fracciones representan la misma cantidad de la unidad, por tanto, son equivalentes. Es decir: 4 = 2 10 5 Para determinar si dos fracciones son equivalentes, debemos verificar que los productos cruzados sean iguales. 4 =2 10 5 4 x 5 = 10 x 2 20 = 20

Adems, cuando aplicamos dos fracciones equivalentes como operador a un mismo nmero obtenemos el mismo resultado. Comprobemos esto al hallar dos quintos y cuatro dcimos de 50. 2 5 de 50 50 5 = 10 y 10 x 2 = 20 50 10 = 5 y 5 x 4 = 20

4 de 50 10

No siempre necesitamos verificar la equivalencia entre dos o ms fracciones, algunas veces se requiere hallar fracciones equivalentes de una dada. Para esto recurrimos a dos mtodos: complificacin y simplificacin. La complficacin se fundamenta en particiones adicionales que podemos hacer en una representacin grfica. Realizamos una particin adicional por la mitad a la representacin de 3 5.

3 5

6 10

As obtenemos una fraccin equivalente. Numricamente es: 35=35xx1!+x22!+x33!+,

3 = 3 x 1 = 3 x 2 = 3x2 = 6 5 5 5 2 5x 2 10

3 =6 5 10

La simplificacin es un mtodo que podemos aplicar mediante las posibles divisiones que logremos tanto en e! numerador como en el denominador, siempre y cuando sean por el mismo nmero. No siempre se puede simplificar por un nmero determinado. 15 1 =15 5 = 15 5 = 3 20 20 5 20 5 4 15 =3 20 4

Determinar el nmero que debe ir en el recuadro para obtener dos fracciones equivalentes. ***********

Usemos productos cruzados: ******

Buscamos un nmero que al multiplicarlo por 7 nos d 42. Otra posibilidad es aplicar la complificacin, para hallar fracciones equivalentes. **********

Al complificar por 2 obtenemos la fraccin equivalente. En ambos casos obtenemos el nmero que debe ir en el recuadro, que es 6, Simplificar la fraccin 18 30 .

Cuando queremos simplificar una fraccin, debemos hallarle una fraccin equivalente en donde el mayor divisor comn entre el numerador y el denominador es 1, (fraccin irreductible), Para lograrlo, simplificamos la fraccin por el mximo comn divisor del numerador y denominador as: ********

La complificacion y simplificacin son mtodos que nos permiten hallar fracciones equivalentes

COMPARACION DE FRACCIONESEl libro The Earth (La Tierra) dice.- "La Tierra es una maravilla del universo, una esfera singular". Independiente de todo lo que le hemos ocasionado a nuestro planeta, en. Verdad es una maravilla y que la estamos destruyendo, es hora de cuidarla, Entre las cosas hermosas que encontramos est el continente americano, que tiene una gran variedad de seres que constituyen diversos ecosistemas que debemos proteger. La mitad del territorio corresponde a Norteamrica y dos quintas partes a Suramrica. Cul de estas regiones ocupa ms territorio?

Al hablar del territorio del continente americano, nos damos cuenta de que las fracciones relacionadas 12 y 25 son heterogneas, pues sus denominadores son diferentes.

Antes de contestar la pregunta, analicemos lo que sucede con fracciones homogneas, es decir, que tienen el mismo denominador. Cul es la mayor fraccin entre y 27 57 y

37Estas fracciones homogneas representan partes iguales de la unidad, o sea sptimos, luego ser mayor la que contenga mayor nmero de partes, en nuestro caso, 57 Esto se percibe claramente en la siguiente figura. ********

Retomando la pregunta inicial, sabemos que Norteamrica ocupa la mitad 12 y Suramrica dos quintas partes 25 del total del territorio, determinemos cul de estas partes es mayor. Como estas dos fracciones son heterogneas, primero hacemos una complificacin de tal manera que sus denominadores sean iguales. ********

Ahora, comparamos las dos fracciones resultantes, que son homogneas, y determinamos cul es la mayor fraccin. ***** As, podemos afirmar que Norteamrica ocupa ms territorio que Suramrica.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Para sumar o restar fracciones homogneas, operamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. Si las fracciones son heterogneas las transformamos a homogneas y luego realizamos la operacin. Una regin, muy especial en la Tierra es Amrica del Sur, que est conformada por una gran variedad de fauna, flora, ros, lagos, montanas, bosques y selvas. Es uno de los pulmones ms importantes de la biosfera

terrestre y hogar de cerca de la cuarta parte de las especies animales conocidas en el mundo. La dcima parte de su tierra es cultivable, y tres dcimas partes de su superficie presentan bosques y maderas. Qu parte de tierra de Sur- Amrica, en total, corresponde a tierra cultivable o permanente de bosques y maderas? Existen muchas situaciones en las que necesitamos sumar o restar fracciones. Lo primero que debemos hacer es determinar si las fracciones son homogneas o heterogneas. En el caso en que sean homogneas, dejamos e! mismo denominador y operamos directamente los numeradores. Por ejemplo: ******

Para contestar nuestra pregunta acerca de Amrica del Sur, aplicamos las respectivas transformaciones sobre las fracciones para determinar el total de tierra cultivable o que presenta bosques y maderas. Parte de tierra cultivable: 110 Parte ele tierra que presenta permanente de bosques y maderas: 310 Ahora adicionemos: ******* En estos casos es importante realizar la simplificacin del resultado, As obtenemos que dos quintas partes de la tierra de Amrica del Sur es cultivable o presenta bosques y maderas. ********

EJEMPLO: L a cuarta parte de tierra de Amrica del Sur es cultivada permanentemente, cul es la parte total de tierras de cultivo o de cultivo permanente? Parte de la tierra cultivable: 1 10 parte de la tierra cultivable permanente: 1 4 Ahora adicionemos: 1 10 + 1 4 Como estas fracciones son heterogneas debemos transformarlas inicialmente a homogneas. Primero hallamos el mnimo comn mltiplo de los denominadores. m.c.m. (10, 4) = 20

Luego, complificamos cada fraccin de tal manera que el denominador sea 20. *********

Finalmente, realizamos la operacin: *********

Por tanto veinteavas o vigsimas partes de las tierras de Amrica del Sur son cultivables o permanentemente de cultivo. Resolvamos cada operacin: 34 - 16 y 2 + 13

Podemos aplicar otro procedimiento en donde realizamos simultneamente los pasos anteriores.

****/*****

En el caso en que aparezca un nmero natural en las operaciones, lo expresamos en forma de fraccin con denominador igual a 1. *********

MULTIPLICACION DE FRACIONESAl multiplicar dos fracciones obtenemos una fraccin en donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores. 73 x 46 = 2818

La mayora de las especies del mundo animal y vegetal de nuestro planeta viven en Los bosques tropicales. Para Amrica del Sur es un privilegio contar con el mayor "pulmn verde" del mundo, que constituye la mayor reserva de oxgeno y lluvias: la selva amaznica. La cuarta parte de esta selva pertenece a Brasil, pero lastimosamente est desapareciendo con rapidez, como ha sido el destino de la dcima parte de la selva amaznica brasilea. Si la selva amaznica tiene una superficie de S'000.000 km 2 , cunta selva ha desaparecido en Brasil? Segn la lectura, Brasil posee la cuarta parte 14 de toda la selva amaznica y ha desaparecido la dcima parte 1 10 . De esta. Portanto, hallemos la dcima parte de la cuarta parte: **********************

Est desapareciendo una cuarentava o cuadragsima parte de la selva amaznica, esto es:

140

De 5.000.000

5.000.000 40 =125.000

En conclusin han desaparecido 125.000 km2 de selva amaznica.

EJEMPLO: Hallar el producto entre 6 y ********

59

DIVISION DE FRACCIONES

Una fraccin compleja es aquella cuyo numerador o denominador o ambos son fracciones. El cociente de dos fracciones es el producto de la primera fraccin con la fraccin reciproca de la segunda.

46 39 = 46 x 93 = 3618En el 2002, el Programa de las Naciones Unidas para el Medio Ambiente patrocin el Ao internacional de las Montaas. A fin de destacar cunto dependemos.de ellas, los organizadores adoptaron el lema: "Todos somos gente de montaa." El mundo no puede pasar por alto esta realidad y menos los que dependemos de la majestuosa cordillera de Los Andes. Este programa dedica medio ao para reunir informacin general de una montaa y siempre ha llegado a la conclusin de que son esenciales para el equilibrio ecolgico del planeta.

Cuntas montaas se examinan en 5 aos y en 3

12 aos? 12:

El programa recoge informacin general de una montaa en medio ao En cinco aos: ********

El programa examinar 10 montaas en 5 aos y 7 en 3 aos y medio.

Cuando realizamos un cociente de fracciones, convertimos la divisin en un producto utilizando el inverso multiplicativo y las propiedades de producto y cociente. Para operar 35 27 utilizamos el inverso multiplicativo de 27 que es 72, entonces 35 27 = 35 x 72 =2110 En la operacin ********* , identificamos que el cociente es entre una suma de fracciones y otra fraccin. Resolvemos la suma y luego el cociente ******* EJERCICIOS: ******

RAZONESUna razn es una comparacin de dos magnitudes por medio de un cociente. Todos los elementos de la naturaleza son interdependientes, y hoy hacemos frente a tos errores del pasado". Estas palabras aparecieron en "African Wildlife" y nos indican la afinidad entre todos los elementos y recursos de la Tierra; es decir, as como los bosques y las montaas son importantes tambin lo son nuestros ocanos, su grandeza nos infunde admiracin. Sin embargo, existe algo que nos debe preocupar: de acuerdo con una editorial de la revista Science, "el nivel del mar subi 15 centmetros por siglo, y no parece que vaya a parar". Qu ocurrir en os prximos 100 aos? Qu significa que el nivel del mar subi 15 centmetros por siglo?. La razn est comparando dos magnitudes: la cantidad de cm que sub y el tiempo transcurrido (un siglo, es decir 100 aos). Razn: 15cm = 100 aos o 15100

Esto indica que en los ltimos 100 aos el nivel del mar subi 1 5 cm puede esperar que en los prximos 1 00 aos suba otros 1 5 cm.

Hablamos de razones cuando tenemos dos magnitudes y realizamos una comparacin entre ellas. Por ejemplo, la razn "1 a 3" se puede escribir 1:3 o 13 el primer trmino recibe el nombre de antecedente, y el segundo, consecuente. En un libro de recetas, para la preparacin del arroz, se sugiere la utilizacin de dos pocillos de agua por uno de arroz. Cuntos pocillos de agua se utilizan por tres de arroz?

************

El siguiente cuadro muestra la situacin. Pocillos de arroz Pocillos de agua Razn Segn este registr se necesitarn 6 pocillos de agua por 3 de arroz.

PROPORCIONESLa Tierra mantiene una inclinacin de aproximadamente 23 grados y medio con relacin Al Sol, esto origina las estaciones (verano, otoo, invierno y primavera). A pesar que permanecemos en proceso de adaptacin, se presenta un fenmeno preocupante, el calentamiento global, pero la distribucin de las temperaturas sobre las distintas zonas de la superficie terrestre depende tambin de factores _ como la rotacin, la latitud y la altitud. A medida que aumenta la altura, la temperatura baja 1 C cada 180 - metros. En cuntos grados centgrados disminuye la temperatura a una altura de 500 metros? En la teora de razones y proporciones se involucran proporciones indirectas o inversas y se relaciona su mtodo prctico de solucin, denominado regla de 3 directa o inversa, segn sea el caso.

Analicemos la situacin con ayuda de la siguiente tabla:

Altura Cantidad de grados centgrados Que disminuye la temperatura

180 1

360 2

540 3

720 4

Observemos que cuando la altura se duplica, la temperatura disminuye 2C, si la altura se triplica, la temperatura disminuye 3C. Encontramos entonces que la disminucin en la temperatura se presenta ele manera proporcional al aumento de la altura lo que notarnos de dos formas distintas: **********

De esta manera representamos la idea de que 180 es proporcional a 1 como lo es 360 a 2C. Vemos tambin que: ************

A estas equivalencias las llamamos proporciones porque la razn siempre es la misma, en nuestro caso 180. Podemos determinar que la respuesta a la pregunta inicial est dada por la equivalencia entre las razones 1801 y 500x , en donde x es el valor que debemos encontrar. Es decir, en la ecuacin, 1801 = x500 el valor de x corresponde a la cantidad centgrados que disminuye la temperatura a una altura de 500 m.

Ahora, determinamos una equivalencia entre dos razones, esto nos lleva al manejo de una proporcin. Operando fracciones tenemos que 500 x 1180 = x; de esta manera la cantidad de grados centgrados que disminuye la temperatura a una altura de 500 m est dada por la

500180 simplificando factores primos comunes, obtenemos la proporcin 500180 = 259. Encontramos que la temperatura disminuye alrededor de 2.78 C arazn una distancia de 500 ni por encima de la superficie terrestre.

EJEMPLO:En la proporcin 25 = o con otra notacin, 2:5::4:10 las razones son 25 y 410 y se lee: "2 es a 5 como 4 es a 10". En sta, los trminos internos (5 y 4) se llaman medios y los

externos (2 y 10) extremos, la constante de proporcionalidad involucrada es el valor 0,4, que es el resultado operar 25 o de igual manera 4 10 Encontrar una proporcin equivalente a 7 100 , en donde se involucre el doble de 100 como extremo. 7 100 = 200 Aplicando el producto de extremos y medios: 7 x 2 0 0 = 100 x ? Encontramos que el valor de? es 14, la razn equivalente a 7 14 200 1 0 0 e s entonces

PARA TENER ENCUENTAPropiedad fundamental de las proporciones: en toda proporcin el producto de los extremos es igual al producto de los medios. AMPLIACION Y REDUCCION DE FIGURAS. Para el diseo de figuras proporcionales se utiliza una escala, esta es una razn que nos indica cuando se ha ampliado o reducido una figura.

Cul es la distancia en lnea recta entre Bogot y Bucaramanga? ****** dibujo

Este mapa de Colombia se ha reducido proporcionalmente y con ayuda de la escala podemos determinar la distancia entre Bogot y Bucaramanga. Primero determinemos que significa 1:30'000.000 cm Esto es: 1cm en el mapa representa 30'000000 cm en el tamao real o 300 km (30'000.000 cm = 300 km). Si medimos la distancia en el mapa entre Bogot y Bucaramanga obtenemos 1.28 cm, por tanto en realidad son 384 km los que separan a estas ciudades.

Ampliemos el dibujo que aparece a la izquierda a razn de 1:2. Para realizar la ampliacin primero diseamos una cuadricula donde cada cuadro ya no tendr como longitud de lado 1 sino 2 como lo indica la escala pues nos est diciendo que

Por cada unidad de medida tmenos el doble esto implica que debemos duplicar nuestro espacio de trabajo. Luego sobre esta diseamos el dibujo manteniendo la proporcin.

SEMEJANZAS Y CONGRUENCIA DE FIGURASDos figuras geomtricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamao. Dicha de esta forma dos figuras son iguales (congruentes) cuando imaginariamente superponemos una sobre otra y coinciden exactamente cada punto con su correspondiente. El smbolo que se utiliza para congruencia es EJEMPLO: Los dos tringulos son congruentes, es decir tienen la misma forma e igual tamao. Determinemos la correspondencia entre sus vrtices. Si recortramos el tringulo ABC y tratramos de hacerlo coincidir con el otro tringulo, podemos determinar los puntos correspondientes. As: al punto A le corresponde el punto D, al punto B le corresponde el punto T y al punto C le corresponde el punto N. Por tanto; AABC = ADTN, esto es el tringulo ABC es congruente con el tringulo DTN. Como los tringulos son congruentes conservan las medidas, es decir: *****************

En donde l (BC) es la longitud del segmento que parte de B y termina en C

TRASLACCIONES

La traslacin es uno de los movimientos en el plano en donde a una figura geomtrica le hacemos corresponder otra con base a un segmento dirigido (vector). Un movimiento isomtrico conserva la forma y el tamao de la figura original luego, la traslacin es un movimiento isomtrico. Entre las muchas condiciones precisas que son vire para la vida est la de los movimientos en el universo y uno de stos es la traslacin alrededor del Sol. Tierra viaja a una velocidad de 107.200 kilmetros: por hora y es la velocidad apropiada pus: disminuyera, la Tierra sera atrada hacia l Sol y se aumentara se alejara y sera un lugar vaco y helado como Plutn. El movimiento de traslacin es el exacto para que exista vida en nuestro planeta y se da manera natural. Cmo podemos nosotros generar traslaciones sobre objetos y ver sus efectos? Apliquemos la traslacin indicada al polgono ABCDEF, con base en el segmento dirigido. ********* dibujo

En este caso, trasladamos cada punto del polgono tal como lo indica el segmento dirigido. As el punto A se transforma en el punto A', el pun B en B', y sucesivamente. La figura que obtenemos es ei polgono A'B'C'D'ET, que conserva las caractersticas del polgono ABCDEF, es decir se obtiene una figura congruente a la inicial.

REFLEXIONESLa reflexin es un movimiento en el plano cartesiano en donde una figura se transforma en otra con base en una recta (eje de reflexin) esta nueva figura conserva la medida de los segmentos y de los ngulos, pero tiene el sentido contrario.

Al igual que la traslacin la reflexin es un movimiento isomtrico pues conserva la forma y el tamao. ************

Singular de hecho, sorprendente es la atmosfera que rodea nuestra Tierra, Ningn otro planeta de nuestro sistema solar tiene una semejante. Esta no solo sostiene la vida, sino que sirve de envoltura protectora de unos 24 kilmetros, del suelo, una delgada capa del gas ozono filtra la luz solar y elimina la daina, adems, protege la Tierra del bombardeo de blidos y meteoritos; es decir, deja pasar exactamente lo que necesitamos, pero refleja o devuelve al universo lo que nos causara dao. Cmo podemos visualizar la reflexin de cualquier objeto? Apliquemos al tringulo ABC, reflexiones con base en ejes (de reflexin) indicados. **********

Sobre el eje de reflexin 1, el punto A se trasforma al punto A que esta a una misma distancia del eje que el punto A, sobre la perpendicular al eje, anlogamente el punto B se transforma en el punto B y C en C. asi la reflexin de ABC, con base en el eje de reflexin 1, es A B C. De igual forma, la reflexin de ABC sobre el eje de reflexin 2 es A B C.

ROTACION

La rotacin se hace con base a un punto llamado centro de rotacin y un Angulo con magnitudes y sentido. Si el sentido de un Angulo es contrario a las manecillas del reloj diremos que tiene un sentido positivo si es a favor de ellos tendr un sentido negativo

En el plano elaboramos rotaciones con base en ngulos. Apliquemos la rotacin de 90 en sentido negativo al punto A con centro de rotacin el punto O,

A. Tracemos el radio OA. B. Dibujemos un arco de circunferencia con centro en O y radio O A . C.

Construyamos un ngulo de 90 en sentido negativo a partir de OA y con vrtice

en O. El punto de corte A' entre el arco y el lado terminal del ngulo es la transformacin del punto A.D.

UNIDAD 4.

Decimales Comparacin de un numero decimal Suma de nmeros decimales Resta de nmeros decimales Multiplicacin de nmeros decimales Divisin entre nmeros decimales Magnitudes directamente proporcionales Regla de tres directa Magnitudes inversamente proporcionales.

UNIDAD 4Nmeros decimales Proporcionalidad Slidos geomtricos**************

MATEMATICA EN LA EJERCITACION HUMANADesde la antigedad el ser humano ha manifestado inters por la distraccin y el entretenimiento. En lugares muy dispersos de Egipto, palestina y Mesopotamia, los arquelogos han desenterrado varias clases de tableros, figuras de ajedrez, dados y otras piezas para juegos. Cmo se han utilizado las matemticas para esta actividad? Es importante destacar que casi todos los juegos se realizan sobre lugares y espacios matemticamente diseados para cada actividad de distraccin, mas aun para la determinacin de los ganadores, pues a estos se les asigna un valor numrico que puntualiza su posicin en el juego, ejemplo de ello puede ser el tiempo gastado en cumplir una actividad o un puntaje adjudicado por su desempeo. Cuando se hace referencia a los juegos, no podemos dejar a un lado los juegos olmpicos ya que son, para mucha gente, la competencia

atltica mas importante del mundo. Los primeros juegos olmpicos de los que hay constancia se celebraron en el ao 776 a.c., pero muchos afirman que el origen de los juegos se remonta a por lo menos cinco siglos antes de esa flecha.

NUMEROS DECIMALES

Para entender los nmeros decimales primero tenemos que conocer la notacin potencial Cuando escribimos nmeros, la posicin o lugar de cada nmero es importante. La parte entera de un nmero decimal se ubica al lado izquierdo de la coma, la parte decimal del nmero se ubica al lado derecho de la coma. Parte entera 5,3 Coma decimal Una fraccin que tiene como denominador 10, 100, 1.000 o cualquier potencia de 10 se le conoce como fraccin decimal. Un decimal no se altera porque se aaden o suprimen ceros a su derecha Cada fraccin decimal se puede describir como numero decimal desplazando la coma de derecha a izquierda, tantas cifras como ceros tenga el denominador. *********** parte decimal

Una fraccin decimal es irreducible por esto el numero decimal tiene tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador de la fraccin decimal. Ejemplo:

310 = 0,3

1100 = 0,01

831.000 = 0,083Para leer correctamente un nmero decimal es necesario aplicar la tabla de valor posicional. As se leer inicialmente la parte entera y luego la parte decimal agregando el nombre de la casilla que ocupa la ltima cifra decimal. ************

Observamos que la cifra 1 del primer nmero esta en las decimas de unidad, mientras que la cifra 7 del segundo numero esta en las cienmilsimas. La lectura correcta: 2,1: dos enteros, una decima 48,00127: cuarenta y ocho enteros, ciento veintisiete cienmilsimas Los nmeros decimales siguen, al igual que los numero naturales, el principio fundamental de la numeracin decimal en donde toda cifra escrita a la derecha de la otra representa unidades diez veces menores que las que representa la anterior. Es decir: 1 unidad = 10 decimas = 100 centsimas = 1.000 milsimas = 10.000 diezmilsimas 1 decima = 10 centesimas = 100 milesimas = 1.00 diezmilesimas Esta notacin decimal nos permite ubicar cada numero decimal en la recta numrica. Solo debemos realizar 10 particiones a cada unidad de orden superior. Veamos: ***********

Realizamos una particin en 10 partes iguales. En 1 unidad hay 10 dcimas. Una unidad fue dividida en 10 partes iguales para obtener las decimas; ahora, para obtener las centsimas realizamos la paricin a una decima. *******

Adems de permitir ubicar los nmeros en la recta numrica, la notacin decimal nos determina que un nmero decimal no cambia al agregar o suprimir ceros a la derecha de la ultima cifra decimal, ya que el valor de la cifra no vara. Ejemplo: Como 5 decimas = 50 centsimas = 500 milsimas, entonces: 0,5 = 0,500. COMPARACION DE NUMEROS DECIMALES Para determinar el orden de dos nmeros decimales, hacemos comparaciones de valor sobre las mismas posiciones de los nmeros en sentido de izquierda a derecha. EJEMPL