CAPACIDAD.Interpreta las principales caractersticas de una funcin a partir de la expresin analtica y su representacin grafica.UNIDAD. FUNCIONES - GRAFICAS - CARACTERSTICAS Concepto de Funcin Representacin analtica de funciones: polinmicas (lineales, cuadrticas y cbicas) exponenciales, logartmicas, trigonomtricas modulo y parte entera. Grafico de una funcin Caractersticas de una funcin: Dominio, rango o recorrido, intervalos de crecimiento extremos, paridad, continuidad.INDICADORES Conceptualiza funcin Grafica funciones algebraicas Clasifica funciones a travs de su expresin analtica. Determina el dominio, rango, intervalos de crecimiento extremos, paridad, continuidad de una funcin.ACTIVIDADES.FUNCION: Una funcin es una relacin funcional y totalmente definida.En general: una relacin de R de un conjunto A en un conjunto , se llama aplicacin o funcin "" de A en , si y solo si, a cada elemento de A le corresponde un nico elemento de .Se simboliza: : A o A Se lee: es una funcin de A en o de A es Si x E A, la imagen de X se simboliza por (x)El conjunto de imagen de la funcion se simboliza por (A).EjemploSean A= y una relacin de A en , que asigna a cada elemento X E A , un elemento y E , donde "Y es el doble de X" lo cual se notar de la siguiente manera: : A x 2xDESARROLLOLas parejas que pertenecen a la relacin son: = El diagrama sagital correspondiente es el adjunto.

1234512345678910 : A R

Como se puede observar todos los elementos de A tienen imagen, adems a ninguno de los elementos de A le corresponde ms de una imagen en .Por lo tanto, la relacin de es una funcin.

Elementos de una funcin.Dominio: Es el conjunto de valores que toma la variable independiente X Codominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente Y

1234246810Rango: Es el conjunto de valores que efectivamente toma XXX

Rango

DominioCodominioEJERCICIOS

51015201) Observa y determina cuales de los diagramas constituyen una funcin.

12345a) MNNo representa una funcin porque existe elementos de M sin imagen de N

36912123b) MNRepresenta una funcin porque todos los elementos de M tiene una sola imagen en N

61012246810c) MNRepresenta una funcin porque todos los elementos de M tiene una sola imagen en N(no importa que los elementos de M tenga la

misma imagen en N)

2) Sea la relacin R Averiguara) El Dominio de definicin de Rb) El Dominio de imgenes en R.Solucin a) El dominio de definicin de R es el conjunto de los primeros elementos de R, o sea el dominio de R es b) El Dominio de imgenes de R es el conjunto de los segundos elementos de R; en este caso el Dominio de imgenes 3) Siendo R= Averiguar: a) El Dominio de definicin de la Relacinb) El Dominio de imgenes de R.Solucina) b) 4) Sea R la relacin entre A = y = definida por "x divide a y"a) Escribir R como conjunto de pares ordenados, es decir hallar el conjunto de solucin de R.SolucinR= Criterios de evaluacin****

REPRESENTACIN CARTESIANA DE UNA FUNCIN1) Representar una funcin en el plano cartesiano consiste en ubicar las parejas (x,y) que pertenecen a ella Ejemplo Dados: M= N= donde X R, representar en el plano cartesiano la funcin : M N x xSolucin:x0 0,5 1 1,5 2

y0 0,25 1 2,25 4

Ubicamos en el plano cartesiano los WWW de puntos y unimos por medio de una lnea continua.

2) Explicar el dominio, codominios y el rango de la funcing: x x Solucin:El dominio de la funcin g es el conjunto de los nmeros reales; a todo nmero real se le puede asignar su cuadrado.El Codominio de g es el conjunto de los nmeros reales; puesto que el cuadrado de cualquier real pertenece a los nmeros reales.El rango de la funcin g es el conjunto de los nmeros reales no negativo.

FUNCION LINEALEjemplos de funciones Lineales:y = 5x ; y = x ; y = 2x ; y= xGraficamos la funcin y = 5xLe damos valores a "x" para obtener el valor de "y"xy

012-1-20510-5-10

La funcin lineal tiene la forma de y = mx.Su grafico es una recta que pasa por el punto (0,0) y la pendiente es el mSu expresin algebraica esta dada por y-mx+b, donde m es la pendiente, representa a cualquier numero y b es la ordenada al origen, representa a cualquier numero

FUNCION DE GRAFICA LINEALLas funciones y=k ; y=x ; y=mx y y=mx+b tienen por representacin grafica una lnea recta, por ello se denominan funciones de grafica lineal.Ejemplo:Hallar el dominio y el recorrido de la funcin y=3x+ Representar grficamente.xy

01/51/15

1/5-2/50

Punto de interseccin con el eje y, Punto de interseccin con el eje X,

Dominio: Para todo "x" real se pueden calcular la funcin y=-3x+ , es decir el dominio de la funcin es R.Recorrido: Para todo real "y" real, es posible calcular y=-3x+ ; por lo tanto el recorrido de la funcin es R.Ejercicios1) Clasifica las siguientes funciones de grafica lineal en crecientes y decrecientes.a) y=2x + 4c) y = -5x +9 b) y=-7x -3d) y=3x + 12) Determina la pendiente de las siguientes funciones de grafica lineala) 3x + 5y -8=0b) -3x +8y - 5=0c) x=3y+7d) y=-3x+1e) 4x + 7y -8=0FUNCIONES POLINOMICASLas funciones= y =4x+3 ; y= 3x-4x+6y= x3- 3x+x+3 ; y=x5+x4-3x3+2-x+2son funciones polinmicasDominio de la funcin polinmica: el dominio de una funcin polinmica es el conjunto de los nmeros reales.Ejercicios1. Identifico las funciones que sean polinomicas a) y= x2+ 3x+1b) y= 2x3+ x-2x+3c) y= tgxd)y = sen 2ae) y = x4+ 3xLas graficas del funciones de orden superior son funciones donde la variable "x" posee un grado mayor a 2 Ejemplo: (x) = ax4 +bx + cx (x) = ax6 +5 ; etc. (x) = ax3 Ejemplo.Graficar la funcin y=x3Damos valores a "x" para obtener un valor de "y".Elaboramos la tabla de valores

xy

0123-1-201827-1-8

Para valores de "x" mayores la funcin toma valores mayores que cero; y para valores de "x" menores que cero, la funcin toma valores menores que cero por lo tanto WWW

2. Graficar la funcin y=x4 , teniendo en cuenta la tabla de valores dadosxy

-22-113-31616118181

La grafica tiene forma parablica, y como la variable tiene coeficiente positivo, sus ramas WWW hacia arriba.

3. y=-x5xy

01-12-20-11-32+32

Las ramas ocupan el II y IV cuadrante. Para los valores menores que cero las funciones toma valores positivos, mientras que para valores de "x" mayores que cero la funcin toma valores negativos. Por lo tanto el rango de la funcin es

4. Grafica la funcin y=x3+1 g(x)=x3 b(x)=1 y=x3-1

xy

012-1-2018-1-8

xy

012-1-21290-7

Obs.: Para graficar se expresa el polinmico de modo que cada trmino sea considerado como una funcin aparte.

EJERCICIOS DE EVALUACIN:1. Traza la grafica de las siguientes funcionesa) y= -x4 c) y=2x6b) y= -x3d) y=3x

2. Realiza la grafica correspondiente a cada una de las siguientes funciones.a) y= x2 -2x c) y=-x5 +2b) y= -x3 -3d) y=-x3+x

CRITERIOS DE EVALUACIN ***

Funcin ExponencialSe define funcin exponencial como aquella que tiene transforma a cualquier nmero real en una polucin que tiene por exponente el nmero real dado y por base un numero positivo diferente de uno.F(x)= ax donde a ER+ y a 1Las funciones exponenciales son estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes, dependiendo del valor de la base.La funcin es estrictamente creciente se a>1 y estrictamente decreciente cuando a o, la parbola Si a < o, la parbola tiene un tiene valor mnimo valor mximo

y=ax2+bx+c y= -ax2+bx+c

Obs: la funcin es creciente para valores menores que el mximo y decreciente para valores mayores que el valor mximo.La funcin es decreciente para valores menores que el calor mnimo y creciente para valores mayores.

Ejercicios1- Representa grficamente las siguientes funciones cuadrticas y determina el dominio y rango de cada uno.a) y= -x2+2x+1XY

01

14

29

-10

-21

-34

Sol: El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales. El rango de la funcin es el conjunto de los nmeros reales positivos.b) y = -x2+x+4 XY

04

14

22

3-2

4-8

-1 2

-2-2

-3-8

Criterios de Evaluacin

Funcin Par e Impar Se denomina funcin par, a cada punto de la grafica que se puede aparear con otro punto que este a la misma distancia respecto al eje de ordenadas.Es decir f es par si f(-x) = f(x)La grafica de una funcin par simetra respecto a una recta.Una funcin f, es par, si a elementos opuestos aditivos del dominio corresponden elementos iguales en el rango.Ejemplo:Sea y= x2-4 XY

0-4

1-3

20

35

-1-3

-20

-35

Son simtricos y cumple que las parejas cuyas abscisas son opuestos aditivos poseen ordenadas iguales.Funcin Impar Si a elementos opuestos aditivos del dominio corresponden tambin elementos opuestos aditivos en el rango la funcin f es impar. Es decir f es impar si f(x) = -f(-x).La grafica de una funcin impar es simtrica respecto a un punto.Ejemplo:La grafica de la funcin {(x, y)/ y= 3x} es una recta de pendiente 3 cuya interseccin con el eje de las ordenadas (0,0). XY

00

13

26

39

-1-3

-2-6

-3-9

Ejercicios Grafico los siguientes funciones y clasifico en funcin par e impar.a) y = x XY

00

11

22

-1-1

-2-2

Sol: Es una funcin impar

b) y = x XY

00

11

24

39

-11

-24

Sol: Es una funcin par

Funcin Trigonomtrica Las tres relaciones mas utilizadas referentes al triangulo rectngulo son las llamadas seno, coseno y tangente.Estas funciones tienen valor numrico variables de acuerdo a la abreviatura del ngulo. Si tenemos la grafica de las funciones en los cuatro cuadrantes:y = sen x

Obs: El valor mximo de la funcin seno es 1 y el valor mnimo -1, tomando los valores intermedios entre -1 y 1.y = cos x

Obs: El valor mximo de la funcin coseno es 1 y el valor mnimo es -1 por lo tanto, se toman valores entre -1 y 1.

y = tg x

Obs: La funcin tangente puede tomar cualquier valor positivo o negativo y cero.y = cotg x

Obs: a funcin cotangente puede tener cualquier valor positivo, negativo y cero.y = sec x

Obs: La funcin secante no puede tomar valores entre 1 y -1 por mas que estos valores pasa por un mnimo para el valor 0 del ngulo y por un mximo -1 para el valor y la curva es discontinua para y 3 y = cosec x

Obs: La funcin cosecante no puede tomar valores entre 1 y -1, por mas que valores presa por un mnimo 1 para el valor , por un mximo -1 para el valor 3 y la curva es discontinua para 0, y 2 .

Unidad: Funciones TrigonomtricasCapacidades: Utiliza la relacin existente entre los sistemas de medidas de ngulos segn se requiera. Sistema sexagesimal Sistema circular radian Formula y resuelve problemas referidos a situaciones de la vida real, en los que se utilicen funciones trigonomtricas y/o relaciones entre las mismas en el triangulo rectngulo. Funciones y cofunciones trigonomtricas Formulas trigonomtricas fundamental y derivadas Valores de las funciones trigonomtricas en la reduccin de ngulos al primer cuadrante. Formula y resuelve problemas que involucren la utilizacin de tringulos oblicungulos. Teorema del Seno Teorema del Coseno

TEMA: Angulo. Sistemas de medicin sexagonal y radian INDICADORES Elabora concepto de trigonometra Angulo Reconoce sistemas de medidas de ngulos. Expresa la medida de ngulos del sistema sexagesimal de radian en viceversa.ACTIVIDADESngulos: es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vrtice. Las semirrectas se llaman lados.

Los sistemas de medicin de ngulos, ms utilizados son el sexagesimal y el radian. Se llama sistema sexagesimal al sistema de medicin de ngulos que emplea como unidad de medida el grado sexagesimal.En este sistema la circunferencia est dividida en 360 partes iguales llamados grados sexagesimales, donde:1 = 601` = 60``Asi como el sistema sexagesimal utiliza como unidad de medida angular el grado sexagesimal, el sistema circular emplea como unidad de medida el radian, que es el ngulo determinado por el arco de circunferencia cuya longitud es igual a la del radio.

Ya que la longitud del arco de la circunferencia es CIa = 2r, se puede establecer relaciones de equivalencia entre el sistema sexagesimal y el sistema radian.CircunferenciaSexagesimalRadian

360 2 rad

Semicircunferencia 180rad

Cuadrante 90 rad Las conversiones de un sistema a otro se hacen por regla de tres simples.Ejemplo 1:Convertir 45 al sistema radin 360 2 rad 45 x radX= 45. 2rad 360X= radEjemplo 2:Convertir al sistema sexagesimal. 360 2 rad 45 radX= 360. rad 2 rad

X= 30 Ejercicios de Aplicacin Convierte al sistema sexagesimal los siguientes ngulos.1) Sol: 360 2 rad 45 radX= 360. rad 2 radX= 15

2) 5 Sol: 360 2 rad X 5 radX= 360. 5 rad 2 radX= 9003) 4 rad Sol: 360 2 rad X 4 radX= 360. 4 rad 2 radX= 229,3Convierte al sistema radian los siguientes ngulos.1) 100 Sol: 360 2 rad 100 XX= 100. 2 rad 360X= 5 9

2) 300 Sol: 360 2 rad 300 XX= 300. 2 rad 360X= 5 3

3) 225 Sol: 360 2 rad 225 XX= 225. 2 rad 360X= 5 4

Ejercicios de EvaluacinEfectuar las conversiones siguientes1) 10 a radianes Solucin: 360 2 rad 10 XX= 10. 2 rad 360X= 182) a grados sexagesimales Solucin: 360 2 rad 45 X= 360. 2 radX= 2883) a grados sexagesimales Solucin: 360 2 rad 45 X= 360. 2 radX= 113,7

4) 97 a radianes Solucin: 360 2 rad 97 XX= 97. 2 rad 360X= 1, 7 radianes

5) 327 a radianes Solucin: 360 2 rad 327 XX= 327. 2 rad 360X= 5, 7 radianes

6) a grados sexagesimales Solucin: 360 2 rad 45 X= 360. 2 radX= 20Criterios de Evaluacin