Matematica Santillana

7/28/2019 Matematica Santillana

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página

Presentación y jornalización 3

Planificaciones didácticas 4

Unidad 1. Trabajemos con números reales

Guía N° 1 Raíz cuadrada x 28

Unidad 2. Operemos con polinomios

Guía N° 2. Cocientes notables 29

Unidad 3. Midamos y construyamos con triángulos

Guía N° 3. Triángulos, según sus lados y sus ángulos 32

Guía N° 4. Teorema: “La suma de los ángulos exteriores de un triangulo” 34

Guía N° 5. Rectas y puntos notables de un triángulo 35

Guía N° 6. Criterios de igualdad de triángulos 38

Guía N° 7. Semejanza de triángulos 40Guía N° 8. Teorema de Pitágoras 42

Unidad 4. Aprendamos a factorizar

Unidad 5. Trabajemos con áreas de figuras planas

Guía N° 9. Áreas de regiones planas 43

Guía N° 10. Fórmula de un polígono regular 46

Guía N° 11. Elementos de un sector circular y de una corona circular 47

Guía N° 12. Área total de un cubo 48

Unidad 6. Operemos fracciones algebraicasGuía N° 13. Máximo común divisor 49

Guía N° 14. Fracción algebraica 51

Unidad 7. Calculemos el área y el volumen de cuerpos geométricos

Guía N° 15. El prisma recto 52

Guía N° 16. La pirámide regular hasta seis lados 54

Unidad 8. Utilicemos la información

Guía N° 17. Estadística. Recopilación de la información 55

Unidad 9.

Trabajemos con ecuacionesGuía N° 18. Ecuaciones 57

Guía N° 19. Fracciones de primer grado con denominadores compuestos 59

Guía N° 20. Gráfica de una ecuación lineal 60



3

PRESENTACIÓN

Editorial Santillana, ante la disposición ministerial de que los programas de estudio actuales deben contener el 80% de loscontenidos de los programas de estudio anteriores, decide realizar el análisis de aquellos contenidos desarrollados en lostextos escolares “Competentes”, los cuales fueron creados desde el enfoque por competencias y el modelo constructivista.

Con este fin, Editorial Santillana decide crear una guía complementaria de estudio con el propósito de apoyar, de forma

responsable, el trabajo que realiza el personal docente que actualmente utiliza nuestros textos escolares. Esta iniciativapedagógica nace con la intención de cubrir aquellos contenidos que establece la actual propuesta curricular del MINED(los programas de estudio) y con ello volver vigentes nuestros textos escolares para facilitarle al personal docente labúsqueda de información y procesos metodológicos requeridos en dicho programa.De igual forma, Santillana aprovecha la oportunidad para brindarles una propuesta de:

• Jornalización para cada asignatura tomando en consideración: el tiempo, las unidades, los contenidos y lossistemas de evaluación trimestral que indica el MINED.

• La planificación del proceso de enseñanza-aprendizaje (unidades didácticas) basada en competencias:contenidos conceptuales, procedimentales, actitudinales, indicadores de logro, orientaciones metodológicas yorientaciones de evaluación, mediante la creación de actividades integradoras.

• El desarrollo de nuevos contenidos que nuestros textos no cubren, que se desarrollan de forma parcial o que

necesitan ampliación.

Con este esfuerzo editorial, garantizamos el cumplimiento del programa de estudio.

1) Jornalización (según calendario 2009)

Total dehoras

anuales

Total dehoras

semanales

Nº deunidades

Nº dehoras

clase por unidad

UnidadesFecha de

inicioFecha de

finalizaciónEvaluacióntrimestral

200 5 915

1. Trabajemos con números

reales12 de enero 30 de enero

30 de marzoal 3 de abril

30 2. Operemos con polinomios 2 de febrero 13 de marzo

153. Midamos y construyamos

con triángulos16 de febrero 03 de abril

30 4. Aprendamos a factorizar 15 de abril 26 de mayo

25 al 31 deagosto

255. Trabajemos con áreas de

figuras planas27 de mayo 01 de julio

256. Operemos fracciones

algebraicas2 de julio 10 de agosto

157. Calculemos el área y el

volumen de cuerpos

geométricos

11 agosto 31 de agosto

15 8. Utilicemos la información 1 de septiembre 22 de septiembre26 al 30 de

octubre309. Trabajemos con

ecuaciones23 septiembre 30 de octubre



Planificación de unidades didácticas

Unidad 1. Trabajemos con números reales Competencias:

• Razonamiento lógico matemático.• Comunicación con lenguaje

matemático.• Aplicación de la matemática al

entorno.

Tiempo: 15 horas

Objetivo de unidad: X Realizar operaciones con los números reales y la raíz cuadrada aplicando sus propiedades para solucionar problemas de la vida diaria, valorando el aporte de los

demás.

Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinalesN° pág.

Texto Santillana

- Números irracionales: gráfica

- Representación grafica de números irracionales en larecta numérica.

- Resolución de ejercicios y problemas aplicandonúmeros irracionales.

- Seguridad al graficar números irracionales en la rectanumérica.

- Perseverancia en la realización de ejercicios yproblemas.

46-47

- Números reales: representación geométrica

- Ubicación gráfica de los números reales en la rectanumérica.

- Precisión al graficar números reales en la rectanumérica.

48

- Operaciones: suma, resta, multiplicación y

división signos de agrupación

- Resolución de problemas aplicando operacionescombinadas y signos de agrupación de númerosreales.

- Seguridad y orden al resolver operaciones combinadasde números reales.

57-61- 96

- Raíz cuadrada x .

- Resolución de problemas de aplicación de raícescuadradas.

- Valora la utilidad de la raíz cuadrada.- Seguridad, orden y precisión al obtener la raíz

cuadrada.

Guía decontenidos N°1

Sugerencias Metodológicas: • Defina el conjunto de los números reales como la unión de los números racionales con el conjunto de los números irracionales.• Pida que solucionen ejercicios de suma, resta, multiplicación y división.• Indique que practiquen los pasos para calcular la raíz cuadrada.

Indicadores de logro: 1.1. Utiliza con seguridad los números irracionales en problemas de aplicación.1.2. Resuelve con seguridad, orden y precisión la raíz cuadrada en problemas

de aplicación.

Actividades de evaluación: • Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” págs. 44 y 45.• Formativa: observaciones del grado de precisión y dominio que muestre en la

resolución de los ejercicios, diagnóstico y de refuerzo.• Sumativa:

- Actividad individual: resolver los ejercicios de las págs.57 – 58 – 59 – 61.Criterios:

Orden y aseo 20%.

4



5

Constancia del proceso 60 %.Precisión en las respuestas 10%.Puntualidad 10%.

- Actividad grupal: realizar actividad de refuerzo de págs.52 – 53 – 64 – 65.Criterios:

Orden y aseo 10%.Aportes al trabajo en equipo 20%.Seguridad en el desarrollo de lasresoluciones y respuestas 60%.Perseverancia y puntualidad en laentrega del reporte 10%.

Criterios de evaluación: • Seguridad• Perseverancia• Precisión.



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Unidad 2. Operemos con polinomios Competencias:

• Razonamiento lógico matemático.• Comunicación con lenguaje matemático.• Aplicación de la matemática al entorno.

Tiempo: 30horas

Objetivo de unidad: X Interpretar la realidad valorando y utilizando el lenguaje algebraico de los polinomios, así como proponer soluciones a problemáticas económicas y sociales, a través

de los productos y cocientes notables.


Texto Santillana

- Polinomios: grado absoluto y relativo valor numérico

- Identificación del grado absoluto y relativo enpolinomios.

- Resolución de problemas determinando el valor numérico de polinomios.

- Seguridad al identificar y explicar el gradoabsoluto y relativo de un polinomio.

- Confianza y precisión al resolver problemasde aplicación del valor numérico.

78-80

- Suma y resta. - Resolución de sumas y restas de polinomios consignos de agrupación.

- Resolución de problemas aplicando suma y restade polinomios.

- Orden y seguridad al resolver el ejercicio desuma y resta de polinomios.

- Seguridad al introducir o suprimir signos deagrupación en la suma y resta depolinomios.

92-95

- Potencia de exponentes enteros. - Deducción y utilización de las propiedades de laspotencias enteras.

- Resolución de problemas aplicando laspropiedades de las potencias enteras.

- Confianza y seguridad al deducir y utilizar las propiedades de los exponentes.

96-97

- Multiplicación de polinomios. - Realización de multiplicaciones de: polinomios por monomios, polinomios por polinomios.

- Resolución de problemas aplicando la

multiplicación de polinomios.

- Seguridad y confianza al resolver problemas aplicando la multiplicación depolinomios.

105-106

- Productos notables. Cuadrado de la suma de dos términos:

(a+b)2 = a2+2ab+b2

Cuadrado de la diferencia de dostérminos:

(a-b)2 = a2-2ab+b2

Cubo de la suma de dos términos:(m+n)3=m3+3m2n+3mn2+n3

- Deducción, explicación y aplicación del cuadradode un binomio y del cubo de un binomio.

- Resolución de problemas aplicando el cuadrado deun binomio y el cubo de un binomio.

- Deducción, explicación y aplicación del producto dela suma de dos términos por su diferencia.

- Resolución de problemas aplicando la suma por ladiferencia de dos términos.

- Confianza y seguridad en la deducción,demostración y aplicación del cuadrado deun binomio.

- Seguridad e interés al resolver problemasaplicando el cubo de un binomio.

- Resolución de problemas aplicando la sumapor la diferencia de dos términos.

107-109



7

Cubo de la diferencia de dos términos:(m-n)3= m3-3m2n+3mn2-n3

Producto de la suma de dos términos por su diferencia:

(a+b) (a-b) = a2-b2

- Division de polinomios. - Aplicación de las propiedades de las potencias enla división de polinomios entre monomios y depolinomios entre polinomios.

- Resolución de problemas de aplicación usando ladivisión de polinomios.

- Seguridad al utilizar y explicar laspropiedades de potencia en la división depolinomios.

- Colabora con sus compañeros en lasolución de problemas aplicando la divisiónde polinomios.

112-113

- Division sintética. - Explicación, demostración y aplicación de la

división sintética.- Resolución de problemas utilizando la división

sintética.

- Aplica con seguridad y perseverancia la

división sintética. 114

- Cocientes notables: Cociente de la diferencia de los

cuadrados de dos cantidades entre lasuma o la diferencia de dichascantidades:

a2 – b2/ a-b = a+ba2-b2/a+b = a-b

Cociente de la suma o diferencia de loscubos de dos cantidades entre la suma odiferencia de dichas cantidades:

a3+b3/ a+b = a2-ab+b2 a3-b3/a-b = a2+ab+b2

Cociente de la suma o diferencia depotencias iguales de dos cantidades entre

la suma o diferencia de las cantidades:am+bm/ a+b = nunca esexacto si mam+bm/a-b = es par

- Determinación, explicación, aplicación y soluciónde problemas del cociente de la diferencia de loscuadrados de dos cantidades entre la suma odiferencia de dichas cantidades.

- Determinación, explicación, aplicación y soluciónde problemas del cociente de la suma o diferenciade los cubos de dos cantidades entre la suma odiferencia de dichas cantidades.

- Deducción, explicación, aplicación y resolución deproblemas del cociente de la suma o diferencia depotencias iguales de dos cantidades entre la sumao diferencia de las cantidades.

- Seguridad y confianza al resolver problemas aplicando cocientes notables.

115

Guía de contenidosN°2

Sugerencias Metodológicas: • Ilustre la sustitución de las letras de una expresión algebraica por un valor numérico específico para obtener su valor. Practicarlo resolviendo los ejercicios de la

página 80.• Explique cómo simplificar una expresión por medio de sumas y restas de términos semejantes.



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Unidad 3. Midamos y construyamos con triángulos Competencias:


Tiempo: 15 horas

Objetivo de unidad: X Construir soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno utilizando los triángulos con sus teoremas y rectas notables, valorando la opinión de los

demás.


Texto Santillana

- Triángulos: según sus lados y sus ángulos

- Construcción, descripción y explicación de lostriángulos y clasificación de los mismos según sus

lados y sus ángulos.

- Precisión y aseo al construir triángulos.- Seguridad al clasificar triángulos.

Guía de contenidos

N°3- Teorema: “ La suma de los

ángulos exteriores de un trianguloes igual a 360º “.

- Demostración y explicación del teorema.- Resolución de problemas aplicando el teorema.

- Precisión al resolver problemas utilizando elteorema. Guía de contenidos

N°4

- Rectas y puntos notables de untriángulo: alturas ortocentro medianas baricentro mediatrices circuncentro bisectrices incentro

- Trazo y construcción de las alturas, medianas,mediatrices y bisectrices de un triángulo cualquiera.

- Determinación y explicación del ortocentro,baricentro, circuncentro e incentro de un triángulocualquiera.

- Resolución de problemas utilizando las rectasnotables de los triángulos.

- Construcción de la circunferencia inscrita en untriángulo cualquiera.

- Precisión en el trazo de las alturas, medianas,mediatrices y bisectrices de un triángulo.

- Seguridad en la determinación del ortocentro,baricentro, circuncentro e incentro de un triángulo.

- Precisión en el trazo de la circunferencia inscrita. Guía de contenidosN°5

- Criterios de igualdad de triángulos:

lado-ángulo-lado ángulo-lado- ángulo

- Utilización y explicación de los criterios de igualdad

de triángulos.- Resolución de problemas aplicando los criterios de

igualdad de triángulos.

- Seguridad al utilizar y explicar los criterios de

igualdad de triángulos. Guía de contenidosN°6

- Semejanza de triángulos. - Deducción, utilización y explicación de laproporcionalidad en la semejanza de triángulos.

- Resolución de problemas aplicando la semejanza detriángulos.

- Demostración, explicación y utilización del teorema.

- Colabora con sus compañeros en la resolución deproblemas aplicando la semejanza de triángulos.

- Seguridad al demostrar, explicar y utilizar teoremas. Guía de contenidosN°7

- Teorema: “Todo paralelo a un ladode un triángulo forma, con otros

- Demostración, explicación y utilización del teoremade Pitágoras.

- Cooperar con sus compañeros en la resolución deproblemas aplicando el teorema de Pitágoras.




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dos lados, un triángulo semejanteal primero”.

Teorema de Pitágoras:c2 = a2+b2

- Resolución de problemas aplicando el teorema.

Sugerencias Metodológicas: • Indique que usen instrumentos de medición para construir triángulos sin restricción de medidas en sus lados.• Pida que midan los ángulos internos de dichos triángulos con el transportador.• Solicite que redacten el teorema de: “suma de ángulos internos” y “suma de ángulos externos” de todo triángulo.

• Pida que construyan y definan rectas notables de un triángulo.• Defina criterios de igualdad de triángulos.• Defina criterios de semejanza de triángulos.• Enseñe cómo se demuestra el teorema de Pitágoras.

Indicadores de logro:3.1. Resuelve con precisión problemas aplicando teoremas de: suma de

ángulos internos y suma de ángulos externos de todo triángulo.3.2. Construye con precisión las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices

de los lados de un triángulo cualesquiera.3.3. Determina con seguridad el ortocentro, baricentro, circuncentro e

incentro de un triángulo cualquiera.3.4. Construye con precisión la circunferencia inscrita en un triángulo

cualquiera.3.5. Determina y aplica con seguridad la igualdad y la semejanza de

triángulos, mostrando confianza.

3.6.

Resuelve problemas aplicando el teorema de Pitágoras, en cooperacióncon sus compañeros.

Actividades de evaluación: • Diagnóstica: construcción de triángulos sin restricción de medidas en sus lados

usando como instrumentos de medición: regla, compas y escuadras.• Formativa: observación del uso correcto de los diferentes instrumentos de

medición en la construcción de triángulos y medición de ángulos internos yexternos de todo triángulo. Se prestará atención a la solución de problemas através de trabajo cooperativo.

• Sumativa:- Actividad individual: construir diversos tipos de triángulos y trazar los

segmentos notables con precisión.Localizar ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro en triángulos dados.

Criterios:Precisión en la construcción de triángulosy segmentos notables 40%.Seguridad al determinar puntosnotables de todo triángulo 30%.Orden y aseo 20%.Puntualidad en la entrega 10%.

- Actividad grupal: resolver problemas aplicando elteorema de Pitágoras.



11

Criterios:Participación cooperativa 10%.Respeto a los aportes de compañeros 10%.Seguridad y calidad de desarrollo 60%.Orden y aseo 10%.Puntualidad en la entrega del reporte 10%.

Criterios de evaluación: • Precisión• Aseo• Seguridad.



12


Unidad 4. Aprendamos a factorizar Competencias:


Tiempo: 30 horas

Objetivo de unidad:X Utilizar la factorización algebraica como un medio para interpretar sus contextos escolares y sociales, y de esta manera proponer soluciones creativas a los

problemas que en dichos ámbitos existan.


Texto Santillana

- Factoreo: factor común monomio:

ab + ac + ad = a(b + c + d) polinomio:

ac + cb + ad + bd =c(a+b) + d(a+b) =(a+b) (c+d)

- Interpretación, explicación y aplicación defactorización.

- Determinación y aplicación del factor comúnmonomio y polinomio.

- Resolución de problemas utilizando factor común monomio y polinomio.

- Seguridad al determinar el factor comúnmonomio y polinomio de expresiones

algebraicas.130-131

- Trinomio cuadrado perfecto:a2 + 2ab + b2 = (a+b)2

- Resolución de ejercicios y problemas aplicandotrinomio cuadrado perfecto.

- Perseverancia en la solución de ejercicios yproblemas aplicando trinomio cuadradoperfecto.

132

- Trinomios factorizables que no son trinomioscuadrados perfectos:

x2 + sx + px2 + sx + p = (x + a) . (x+ b)si a + b = s y a . b = P

- Aplicación de las reglas a un trinomio cualquierapara determinar si es factorizable.

- Resolución de problemas aplicando ladescomposición de trinomios factorizables queno son trinomios cuadrados perfectos.

- Perseverancia en la solución de ejercicios yproblemas aplicando trinomios cuadradosperfectos. 133-134

- Diferencia de cuadrados:a2 – b2 = (a + b) (a – b)

- Factorización y resolución de problemasaplicando la descomposición de expresionesalgebraicas por diferencia de cuadrados.

- Certeza en la aplicación de la diferencia decuadrados.

- Perseverancia al resolver problemas

aplicando la diferencia de cuadrado.

135

Suma de cubos:a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Diferencia de cubos:a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

- Aplicación de reglas para determinar si unaexpresión algebraica es factorizable por suma odiferencia de cubos.

- Resolución de problemas aplicando ladescomposición por suma o diferencia de cubos.

- Seguridad en la aplicación de ladescomposición factorial por suma y/odiferencia de cubos.

- Perseverancia en la resolución de problemasutilizando la suma o diferencia de cubos.

136

- Trinomios cuadrados perfectos y diferencia decuadrados combinados:

A2 + 2ab + b2 – c2 = (a + b)2 – c2 =

- Factorización de expresiones algebraicasaplicando la combinación del trinomio cuadradoperfecto con la diferencia de cuadrados.

- Resolución de problemas aplicando la

- Seguridad y certeza en la aplicación dereglas para factorizar por la combinación deltrinomio cuadrado perfecto con la diferenciade cuadrados.

139



13

[(a + b) + c][(a + b) – c ] combinación del trinomio cuadrado perfecto conla diferencia de cuadrados.

- Factorización de polinomios empleando ladivisión sintética:

P = (x – a) (x – b) (x – c)…(x – n)

- Factorización de expresiones algebraicasaplicando la división sintética.

- Resolución de problemas factorizando por división sintética.

- Esmero en la aplicación de la factorizaciónempleando la división sintética.

- Perseverancia en la resolución de problemasfactorizando expresiones algebraicas por división sintética.

140

Sugerencias Metodológicas: • Pida que ejecuten las actividades “Recuerda y practica” de las págs. 128-129 para retroalimentar contenidos básicos del factoreo.• Solicite que construyan un cuadro con las características de cada caso de factoreo.• Identifique, en expresiones algebraicas dadas, el caso de factoreo que debe usarse en su resolución.• Propicie diversos problemas para aplicar la descomposición de expresiones algebraicas por diferentes casos de factoreo.

Indicadores de logro: 4.1. Identifica, en expresiones algebraicas dadas, las características del tipo

de factoreo a usar en su simplificación.4.2. Resuelve con seguridad problemas utilizando el caso de factoreo

indicado.

Actividades de evaluación: • Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” págs. 128-129.• Formativa: observación de la seguridad con la que identifica en expresiones

algebraicas las características del tipo de factoreo a usar en su simplificación yla perseverancia y certeza con la que resuelve problemas utilizando el caso defactoreo indicado.

• Sumativa:- Actividad individual: resolución de actividad “Recuerda y practica” págs.

128-129.- Resolver actividades de refuerzo de páginas 143 y 144.

Criterios (para ambas actividades):Orden y aseo 10%Constancia del desarrollo 40%.Precisión en las respuestas 20%.

Perseverancia en el desarrollo completo 20%.Puntualidad en entrega 10%.- Actividad grupal: reunidos en equipos de trabajo resolver actividades de

ampliación de págs. 144 y 145.Criterios:

Orden y aseo 10%.Seguridad en la resolución 20%.Aportes en el trabajo cooperativo 20%.Precisión en los procesos y respuestas 40%.Puntualidad en la entrega del reporte 10%.



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Criterios de evaluación:

• Seguridad• Perseverancia• Certeza.



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Unidad 5. Trabajemos con áreas de figuras planas Competencias:


Tiempo: 25 horas

Objetivo de unidad: X Aplicar el cálculo de superficies y volúmenes al aula y sus alrededores, a fin de buscar soluciones a las diversas problemáticas que puedan presentarse; valorando,

además, la armonía y belleza geométrica que le rodea.


Texto Santillana

- Áreas de regiones planas:

triánguloA= 1/2 b . h

cuadradoA= I2

rectángulo y romboideA= b . h

romboA= D . d/2

trapecioA= B+b/2 . h

polígono regular A= p.a/2

círculoA= r 2

- Deduce y utiliza fórmulas para calcular el área de

figuras planas.- Resolución de problemas utilizando la fórmula de

áreas de figuras geométricas.

- Precisión al deducir y utilizar la fórmula para

encontrar el área de figuras geométricas.- Esmero al solucionar problemas.


- Fórmula de un polígono regular: pentágono

hexágono heptágono octágono nonágono decágono endecágono dodecágono

- Fórmula A= nla/2.

- Construcción y descripción de polígonos regularesdesde cinco hasta 12 lados.

-

Determinación y utilización de las fórmulas paracalcular áreas de polígonos regulares.

- Precisión y aseo al construir y describir polígonosregulares.

-

Orden y seguridad al determinar y utilizar lasfórmulas para calcular áreas de polígonos regulares.- Perseverancia al resolver problemas.




18


Unidad 6. Operemos fracciones algebraicas competencias:


Tiempo: 25 horas

Objetivo de unidad: X Aplicar con seguridad las fracciones algebraicas y sus propiedades al reducir a términos más simples los resultados, solucionando así el problema de la vida diaria.


Texto Santillana

- Mínimo común múltiplo: monomio polinomio

- Determinación del mínimo común múltiplo deexpresiones algebraicas a partir de los númerosenteros.

- Resolución de problemas de aplicación del mínimocomún múltiplo (monomio y polinomio).

- Perseverancia al determinar el mínimo comúnmúltiplo de expresiones algebraicas a partir denúmeros enteros.

- Seguridad al solucionar problemas con el mínimocomún múltiplo monomio y polinomio.

154 – 155 – 156

- Máximo común divisor: monomios polinomios

- Determinación del máximo común divisor deexpresiones algebraicas a partir de númerosenteros.

- Resolución de problemas aplicando el máximocomún divisor monomio y polinomio.

- Seguridad al determinar el máximo común divisor de expresiones algebraicas a partir de los númerosenteros.

- Perseverancia al resolver problemas aplicando elmáximo común divisor monomio y polinomio.


- Fracción algebraica:ax + by + c /mx + ny + p

Simplificación. Valor numérico.

- Simplificación de fracciones algebraicas.- Resolución de problemas aplicando la simplificación

de fracciones algebraicas.- Determinación y explicación del valor numérico de

una fracción algebraica.

- Orden e interés al simplificar fracciones y resolver problemas de aplicación.

- Autonomía y confianza al determinar y explicar elvalor numérico de una fracción algebraica.


- Operaciones: multiplicación

a/b . c/d = ac/bd

división a/b ÷ c/d = ad/bc suma y resta

a/b ± c/d = ad ± bc /bd

- Multiplicación y división de fracciones algebraicascon denominadores monomios y/o polinomios.

- Resolución de problemas utilizando la multiplicación

y/o división de fracciones algebraicas.- Suma y resta de fracciones algebraicas con

denominadores monomios y/o polinomios.- Resolución de problemas utilizando la suma y resta

de fracciones algebraicas.

- Orden y aseo al efectuar operaciones de fraccionesalgebraicas con denominadores monomios y/opolinomios.

- Colabora con sus compañeros al resolver problemas utilizando operaciones combinadas defracciones algebraicas.

162- 163 - 164

- Fracciones complejas. - Identificación y resolución de fracción algebraicacompleja.

- Resolución de problemas utilizando fraccionesalgebraicas complejas.

- Seguridad e interés al identificar y resolver fracciones algebraicas complejas.

- Colabora con sus compañeros en la solución deproblemas aplicando la simplificación de fraccionesalgebraicas complejas.

166



19

Sugerencias Metodológicas: • Pida que efectúen actividades “Recuerda y practica” de las páginas 152-153 para explorar conocimientos sobre fracciones.• Ilustre el uso del mínimo común múltiplo monomio y polinomio en la solución de fracciones algebraicas.• Explique el uso del máximo común divisor monomio y polinomio en la solución de fracciones algebraicas.• Indique que ejerciten la obtención del valor numérico de una expresión algebraica.• Estimule la resolución de problemas utilizando multiplicación y/o división de fracciones algebraicas.

Indicadores de logro: 6.1. Resuelve con perseverancia problemas de aplicación del mínimo común

múltiplo y máximo común divisor monomio y polinomio.6.2. Determina con autonomía y confianza el valor numérico de fracciones

algebraicas.6.3. Multiplica y/o divide fracciones algebraicas con denominadores monomios

y/o polinomios; con orden y aseo.

Actividades de evaluación: • Diagnóstica: resolución de sección “Recuerda y practica” págs. 152 y 153.• Formativa: determinación con autonomía y confianza el valor numérico de

fracciones algebraica. Dar orientación en los pasos a seguir para sumar,restar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas.

• Sumativa:- Actividad individual: elaborar individualmente cuadro resumen que

contenga los pasos a seguir para sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas.Criterios:

Contenido completo del cuadro resumen 40%.Orden y aseo 20%.Calidad de síntesis 30%.Puntualidad en la entrega 10%.

- Actividad grupal: reunidos en parejas de trabajo resolver actividades derefuerzo de páginas 170 y 171.Criterios:

Calidad de aportes al trabajo en equipo 40%.Interés en la solución total de la actividad 30%.Orden y aseo 20%.Puntualidad en la entrega del reporte 10%.

Criterios de evaluación: •

Seguridad• Perseverancia• Interés• Orden• Aseo.



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Unidad 7. Calculemos el área y el volumen de cuerposgeométricos

Competencias:


Tiempo: 15 horas

Objetivo de unidad:X Utilizar el área y volumen de los cuerpos geométricos para proponer soluciones a situaciones problemáticas del aula, de su entorno social y familiar, valorando la

opinión de los demás.


Texto Santillana

- La esfera: diámetro

radio centro cuerda área

A= 4·r 2

volumenV= 4/3·r 3

- Descripción y trazo de los elementos geométricosque forman la esfera.

- Determinación y utilización de la fórmula del área yvolumen de la esfera.

- Resolución de problemas aplicando las fórmulas delárea y volumen de cuerpos esféricos.

- Seguridad y precisión al trazar y describir loselementos que forman la esfera.

- Confianza al aplicar la fórmula del área y delvolumen de la esfera.

- Coopera con sus compañeros al resolver problemas sobre áreas y volúmenes de cuerposesféricos.

217

- El cono: generatriz altura eje área de la base área

AT= ·r·g+ ·r 2

Al= ·r·g volumen

V= 1/3 ·r 2

·h

- Descripción y trazo de los elementos geométricosque forman el cono.

- Determinación y utilización de la fórmula del área yvolumen del cono.

- Resolución de problemas aplicando las fórmulas delárea y volumen de cuerpos cónicos.

- Seguridad y precisión al trazar y describir loselementos que forman el cono.

- Confianza al utilizar la fórmula del área y delvolumen del cono.

- Valora la opinión de sus compañeros al resolver problemas sobre áreas y volúmenes de cuerposcónicos.

219

- El prisma recto:

caras aristas vertices ángulos poliedros diagonales área

A= 2lw+2lh+2wh

- Descripción y trazo de los elementos geométricosque forman el prisma recto.

- Determinación y utilización de l fórmula del área yvolumen del prisma recto.

- Resolución de problemas aplicando las fórmulas delárea y volumen del prisma recto.

- Seguridad y precisión al trazar y describir loselementos que forman el prisma recto.

- Confianza al utilizar la fórmula del área y delvolumen del prisma recto.

- Coopera con sus compañeros en la búsqueda dela solución de los problemas sobre área y volumende cuerpos en forma de prisma recto.




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volumenV= lwh

- La pirámide regular hasta seis lados: caras vértices aristas en su base área

AT= A base + Alateral

volumenV= 1/3 A base · h

- Descripción y trazo de los elementos geométricosque forman la pirámide regular hasta seis lados ensu base.

- Determinación y utilización de l fórmula del área yvolumen de la pirámide regular hasta seis lados ensu base.

- Resolución de problemas aplicando las fórmulas delárea y volumen de la pirámide regular hasta seislados en su base.

- Seguridad y precisión al trazar los elementos queforman la pirámide regular hasta seis lados en subase.

- Confianza al utilizar la fórmula del área y delvolumen de cuerpos en forma de pirámide regular.

- Coopera con sus compañeros en la búsqueda dela solución de los problemas sobre área y volumende cuerpos en forma de pirámide regular.


- El cilindro circular recto: caras vértices aristas alturas base área

A= 2·r 2+2·r·h volumen

V= ·r 2·h

- Descripción y trazo de los elementos geométricosque forman el cilindro circular recto.- Determinación y utilización de la fórmula del área y

volumen de un cilindro circular recto.- Resolución de problemas utilizando las fórmulas del

área y volumen del cilindro circular recto.

- Seguridad y precisión al trazar y describir loselementos que forman el cilindro circular recto.- Confianza al determinar y utilizar la fórmula del

área y del volumen del cilindro circular recto.- Coopera con sus compañeros al resolver

problemas aplicados; sobre el área y el volumen decuerpos en forma de cilindro circular recto.

218

Sugerencias Metodológicas: • Indique que efectúen las actividades sobre cuerpos geométricos de la página 215 como exploración de conocimientos previos.• Pida que practiquen el uso de las fórmulas del área del volumen de cuerpos geométricos.

Indicadores de logro: 7.1. Resuelve problemas de área y volumen de cuerpos geométricos, en

colaboración con sus compañeros.7.2. Describe y traza con seguridad y precisión los elementos geométricos de:

la esfera, el cono, el prisma recto, la pirámide regular y el cilindro circular recto.

Actividades de evaluación: • Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica”; págs. 214 y 215.• Formativa: descripción y trazo seguro y preciso de los elementos geométricos

de: esfera, cono, prisma recto, pirámide regular y cilindro circular recto. Dar asesoría en la resolución de problemas de área y volumen de cuerposgeométricos en trabajo cooperativo.

• Sumativa:- Actividad individual: construir cuerpos redondos especificando sus

elementos.Calcular el área y el volumen de diferentes cuerpos geométricos trazadosen taller de construcción.Criterios:

Calidad de construcción 40%.



22

Orden y aseo 10%.Seguridad y confianza en el cálculode áreas y volúmenes 40%.Puntualidad en la entrega 10%.

- Actividad grupal: resolver actividades de refuerzo de la pág. 223.Criterios:

Colaboración en el trabajo cooperativo 30%.Precisión en la solución de la actividad 40%.Orden y aseo 10%.Respeto a los aportes de compañeros 10%.Puntualidad en la entrega del reporte 10%.

Criterios de evaluación:•

Confianza• Colaboración• Seguridad• Precisión• Cooperación.



23


Unidad 8. Utilicemos la información Competencias:


Tiempo: 15 horas

Objetivo de unidad: X Recolectar, organizar, graficar e interpretar la información del entorno a fin de ser utilizada en la toma de decisiones de interés personal y/o social, valorando con

criticidad la opinión de los demás.


Texto Santillana

- Estadística: población censo encuesta muestra variable discreta variable continua

- Recopilación de la información: primaria (directa de campo). secundaria (bibliográfica).

- Descripción de población, censo, encuesta ymuestra.

- Diferenciación entre variable continua y variablediscreta.

- Recolección de información estadística: primaria ysecundaria.

- Confianza al describir términos estadísticos.- Seguridad al diferenciar variables continuas de las

discretas.- Respeto, orden y aseo al recolectar en forma

directa información estadística.- Criticidad, orden y aseo al recolectar datos

estadísticos de fuentes documentales.Guía de contenidos

N°17

- Organización de la información.- Presentación de la información.- Tabla de distribución de

frecuencias:- clase:

xi

limites de clase:li-ls

rango:R = xM-xm

ancho de clase:i= (xM-xm) /(números de clase)

frecuencia absoluta:Fi

- Organización y presentación de los datosrecolectados en tablas de datos para variablediscreta y /o para variable continua.

- Determinación de: límites inferior y superior de clase,rango, número de clases, ancho de clase, frecuencia

absoluta, marca de clase o punto medio, frecuenciarelativa y frecuencia acumulada.- Resolución de problemas utilizando la información de

la tabla de distribución de datos para variablecontinua.

- Orden y aseo en la construcción de tablas dedistribución de datos recolectados.

- Confianza, seguridad y precisión al determinar loselementos de una tabla de distribución defrecuencias.

10 – 11 – 12 – 13



24

marca de clase o PM = (li+ls)/2

frecuencia relativaFr = Fi/n

frecuencia acumulada:f a=f l+f i-1

- Gráficas: histograma polígono de frecuencias

- Construcción y trazo del histograma y polígono defrecuencias.

- Resolución de problemas interpretando gráficasestadísticas, histograma y polígono de frecuencias.

- Precisión y seguridad al trazar el histograma ypolígono de frecuencias.

- Colabora con sus compañeros y valora concriticidad sus aportes al resolver problemasinterpretando gráficos estadísticos, histogramas ypolígono de frecuencias.

14

- Medidas de centralización.

Media aritmética(suma de los datos /n)

- Interpretación y explicación de las medidas de

tendencia central y sus características para variablesdiscretas y continuas.- Resolución de problemas aplicando la fórmula de la

media aritmética.

- Seguridad al interpretar medidas de tendencia

central.- Cooperar con sus compañeros en la solución de

problemas donde se aplica la media aritmética.15

Sugerencias Metodológicas: • Indique que simulen un censo poblacional al construir una boleta para recolectar información primaria.• Defina conceptos estadísticos básicos de uso frecuente.• Pida que organicen en tablas de distribución de frecuencias la información primaria recolectada.• Pida que grafiquen e interpreten la información tabulada.• Solicite que calculen valores promedios de diferentes series de datos proporcionados.

Indicadores de logro: 8.1. Recolecta información estadística.8.2. Construye tablas de distribución de datos para variables discretas y/o

continuas con orden y aseo.8.3. Interpreta gráficos estadísticos.8.4. Resuelve, cooperando con sus compañeros, problemas aplicando la

media aritmética.

Actividades de evaluación: • Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” páginas 8 y 9.• Formativa: orientación en la simulación del censo poblacional al construir una

boleta para recolectar información primaria. Dar orientación y seguimiento a laorganización, representación grafica e interpretación de informaciónestadística.

•

Sumativa:- Actividad grupal: recolectar información primaria organizados en equipos

de trabajo.Organizar la información recolectada en tablas de frecuencia calculandorango, número de clases, límites de clase, ancho de clase, marca de clase,frecuencia absoluta, frecuencia relativa y frecuencia acumulada.Graficar e interpretar los datos tabulados.Criterios:Redacción de boleta censal 20%.Calidad de información primaria recolectada 20%.



26


Unidad 9. Trabajemos con ecuaciones Competencias:


Tiempo: 30 horas

Objetivo de unidad: X Proponer alternativas de soluciones a problemáticas de índole escolar, económica y social, utilizando ecuaciones enteras y fraccionarias de primer grado.


Texto Santillana

- Ecuaciones: variables grado de la ecuación raíz conjunto solución

- Interpretación y explicación de los elementos de lasecuaciones.

- Relación del lenguaje común con el lenguajealgebraico en la construcción de ecuaciones deprimer grado.

- Interés por determinar los elementos de lasecuaciones.

- Valoración del lenguaje algebraico al utilizarlo en laconstrucción de ecuaciones de primer grado.


- Enteras de primer grado con unaincógnita, con y sin productosindicados.

- Construcción y solución de ecuaciones enteras deprimer grado con una incógnita con y sin productosindicados.

- Resolución de problemas utilizando ecuacionesenteras de primer grado con una incógnita.

- Seguridad al construir y solucionar ecuaciones deprimer grado con una incógnita.

- Colabora con sus compañeros en la solución deproblemas utilizando ecuaciones de primer gradocon una incógnita.

184

- Fraccionarias de primer grado condenominadores monomios.

- Construcción y solución de las ecuaciones de primer grado con una incógnita con denominadoresmonomios.

- Confianza e interés por construir las ecuaciones deprimer grado con una incógnita con denominadoresmonomios.

188

- Fraccionarias de primer grado condenominadores compuestos.

- Construcción y solución de las ecuacionesfraccionarias con denominadores compuestos deprimer grado con una incógnita.

- Resolución de problemas utilizando ecuaciones

fraccionarias de primer grado con una incógnita condenominadores compuestos.

- Confianza, interés y orden al construir y solucionar ecuaciones de primer grado con denominadorescompuestos.

- Colabora en la solución de problemas utilizando

ecuaciones fraccionarias de primer grado con unaincógnita.


- Gráfica de una ecuación lineal. - Graficación de ecuaciones lineales. - Precisión y seguridad al graficar ecuacioneslineales.


Sugerencias Metodológicas: • Enseñe cómo identificar los elementos de una ecuación.• Construya ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita con denominadores monomios y/o compuestos.• Pida que solucionen ecuaciones fraccionarias de primer grado.• Indique que resuelvan problemas.• Solicite que grafiquen ecuaciones lineales.



27

Indicadores de logro:9.1. Explica la relación y uso del lenguaje común con el lenguaje algebraico

valorando su importancia en la construcción de ecuaciones de primer grado.

9.2. Resuelve problemas utilizando ecuaciones enteras y/o fraccionarias deprimer grado con una incógnita; con denominadores monomios y/ocompuestos.

Actividades de evaluación:

• Diagnóstica: traducción de frases de lenguaje común a lenguaje algebraico yviceversa.

• Formativa: verificación del interés por determinar los elementos de lasecuaciones. Dar orientación en la resolución de problemas utilizando ecuacionesde primer grado con una incógnita. Dirección en la graficación de ecuacioneslineales.

• Sumativa:- Actividad grupal: transformar expresiones en lenguaje natural a expresiones

algebraicas.Criterios:

Precisión y seguridad en la traducción 40%.Aportes al trabajo en equipo 30%.

Orden y aseo 20%.Puntualidad 10%.- Actividad individual: resolver una lista de ecuaciones propuestas. Detallar

procesos de solución para ecuaciones enteras y/o fraccionarias.Criterios:

Interés por resolver en forma completa la actividad 30%.Seguridad en los procesos de solución 40%.Orden y precisión de las respuestas 20%.Puntualidad en la entrega 10%.

Criterios de evaluación:

• Interés• Seguridad• Orden• Precisión• Colaboración.



28

RAÍZ CUADRADA X

Para encontrar la raíz cuadrada exacta e inexacta de cualquiernúmero entero se siguen estos pasos.

1. Se forman períodos de dos cifras, de derechaa Izquierda. Se usa punto para separar cada

Primer período período

2. 3.- 9 Se halla la raíz cuadrada del primer período.

3 La raíz más cercana a 12 es 3. Como 32 = 9,se resta el 9.El residuo es 3.

Residuo

Raíz3. 3. Junto al residuo se baja el siguiente período (16).

-9 6 Se baja el punto, la ultima cifra y se duplica la

3.16 raíz.

Residuo Doble de la raíz

4. 3. Se divide el residuo, sin la última cifra,-9 65 x 5 = 325 para el doble de la raíz (31/ 6=5).3.16 64 x 4 = 256 Se escribe el 5 junto al doble de la raíz

(6.5). Se multiplica 6.5 por 5.

5. 3.4 Al multiplicar 6.5 x 5 = 32.5, se observa-9 65 x 5 = 325 que 3.25 >3.16, por lo tanto no se puede

3.16 64 x 4 = 256 restar; se cambia el 5 por el 4 (este-25.6 número nunca será mayor que 9)0.6 Se resta 3.16 – 2.56 = 0.60

Se pasa el 4 a la raíz. El resto es 0.60.

PARA COMENZARFíjate en el caso resueltoy completa los restantes:

= 5, porque 52 = 25

porque

, porque

, porque

, porque

1. La raíz cuadrada de 105 es 10 conresto igual a 5. Esto quiere decir que105 = 10 10 + 5. Con base en este

ejemplo, encuentra los términos a y b. a. 533 = a a + 4 = a2 + 4

b. a = (81)2 + 4c. 115 = a2 + bd. 950 = a2 + b

2. Resuelve cada una de las raíces delejercicio anterior aplicando el respectivoalgoritmo. Extrae raíces con dos cifrasdecimales.

a.

b.c.

d.

3. Determina las raíces cuadradas decada uno de los siguientes valores.

a.

b.

c.

d.

e.

f.4. Utiliza la calculadora y extrae la raíz

cuadrada de los siguientes númerosdecimales.

a.

b.

c.d.



29

COCIENTES NOTABLES

Los cocientes notables son aquellos que resultan de divisiones exactasentre polinomios, las cuales presentan ciertas regularidades quepermiten determinar un resultado sin efectuar las operaciones de rigorpropias de una división.

1. Cociente de la forma

Al analizar el producto notable (x + a)(x - a) = x 2 - a 2 se puede concluirque la expresión x2 - a2 es divisible exactamente entre los binomiosx + a y x - a. Es decir, se verifican los siguientes cocientes en los cualesla división es exacta.

Caso 1: La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida entrela suma de dichos términos, es igual a la diferencia de los términos:

Caso 2: La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida entrela diferencia de dichos términos, es igual a la suma de los términos:

Ejemplos: Halla el resultado de los siguientes cocientes.

a. b.

Solución

a. = x – 3 Caso 1

b. = x + 2y Caso 2

PARA COMENZAR

Encuentra el resultado

de las divisiones.a. (x2 – a2) ÷ (x – a)

__________________.

b. (x2 – a2) ÷ (x + a)

__________________.

1. Resuelve las siguientes expresiones,aplicando el cociente notable.

a. c.

b. d.

2. Escribe V, si la afirmación es verdadera, o F, si es falsa. Justifica tu respuesta.

a. a 2 - 36 es divisible entre a + 6 _____

b. 2x 2 - 1 es divisor de 4x 4 – 1 _____

c. m 8 + n 4 es divisible entre m 4 + n 2 _____

d. 81w 2 - 64z 4 es divisible entre

9w + 8z _____

3. Completa la tabla.

dividendo divisor cociente49y4 – x 7y + x25 – m10 5 – m5

a8

- 144 a4

- 12X2 - 8t4r8-t12s4 t2r4- t6s2

4. Encuentra una expresión algebraica paradeterminar la altura del rectángulode la figura.

________



30

2. Cociente de la forma

Al igual que el cociente anterior, en este se distinguen dos casos en loscuales la división es exacta.

Caso 1: La suma de los cubos de dos términos dividida entre la suma dedichos términos, es igual al cuadrado del primer término, menos elproducto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundotérmino:

Caso 2: La diferencia de los cubos de dos términos dividida entre ladiferencia de dichos términos, es igual al cuadrado del primer término,más el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado delsegundo término:

Ejemplos: Halla el resultado de los siguientes cocientes.

a. b.

Solución

a. = a4 – 6a2b3 + 36b6

b. = 16x2

+ 20xy + 25y2.

INVESTIGAVerifica que el polinomioX3 + a3 no es divisibleentre el binomio x – a.

1. Realiza las divisiones.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

2. Une cada división con su respectivo cociente.

1. a.

2. b. 1 + xy +

3. c. 4x2 + 8xy + 16y2

4. d. 36y8 – 42y4+49

5. e. 9x6 + 3x3 + y2

6. f. x2 + 2x + 4



31

Cociente de la forma

En este cociente se distinguen tres casos

Caso 1: La diferencia de potencias pares o impares iguales, siempre esdivisible entre la diferencia de sus bases.

Caso 2: La diferencia de potencias pares iguales, siempre es divisibleentre la suma de sus bases.

Caso 3: La suma de potencias impares iguales, siempre es divisibleentre la suma de sus bases.

Ejemplos: resolver el cociente notable .

SoluciónSe divide m 5 entre m para obtener el primer término del cociente.

Así,

Se divide n 5 entre n para obtener el último término del cociente.

TOMA NOTASignos del cociente

Si el divisor es de laforma x-a, en el cocientesolo aparecen signosmás.

Si el divisor es de laforma x + a, los signosdel cociente se alternan+, -, +, -.

1. Halla el cociente de las siguientesdivisiones.

a. = __________________.

b. = __________________.

c. = __________________.

2. Determina la base del rectángulo si A = b x h

________________________.

3. Escribe V, si la afirmación es verdadera,o F, si es falsa. Justifica tu respuesta.

a. a n - b n es divisible entre a - b, si n es par.b.a + b es divisor de a n + b n , si n es impar.c. a - b es divisor de a n + b n d.a n - b n es divisible entre a + b, si n es par.

4. Resuelve. Una finca de 32w 5 + 243y 5 unidadescuadradas, se cercó. Hallar la longitud de la cerca, sise conoce el ancho de la finca.



32

PARA COMENZAR

Marcar con la gráfica

que representa el tipo deángulos que semencionan. Justificar laelección.

Ángulos internos

Ángulos externos

1. Halla las medidas del ángulo interiordesconocido y de los tres ángulosexteriores al ∆ABC.

2. Si DE ||GH , halla la medida de 1, 2, 3 y

3. Resuelve.

En un triángulo ABC , el ángulo B mide 15º másque el ángulo C y el ángulo A mide la mitad delángulo B . ¿Cuál es la medida de los tres ángulos

del triángulo ABC ?

Un triángulo es la región del plano limitada por tres rectas que seintersecan dos a dos.

En un triángulo se identifican tres elementos: vértices, lados y ángulosinteriores.Los vértices son los puntos de intersección de las rectas (A, B, C ).Los lados son los segmentos determinados por dos vértices (a, b, c ).En un triángulo, los lados suelen simbolizarse con la misma letra delángulo opuesto pero en minúscula. Así,

Los ángulos interiores son aquellos formados por dos ladosconsecutivos (A, B, C ).Se llaman ángulos exteriores de un triángulo a los ángulos adyacentesa los ángulos interiores.

El triángulo también se puede definir como un polígono de tres lados,

tres vértices y tres ángulos interiores. Se nota con el símbolo ∆ seguidopor las tres letras que indican sus vértices. Por ejemplo, el ∆ABC es eltriángulo de vértices A, B y C.

TRIÁNGULOS. SEGÚN SUS LADOS Y SUS ÁNGULOS



34

PARA COMENZARHallar la medida de losángulos señalados.

1 = ___________ 2 = ___________ 3 = ___________

<1>

TEOREMA “LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE UN”

Teorema “La suma de los ángulos exteriores de un triángulo vale 360º”

Figura 1

Si los ángulos A, B, C son los ángulos interiores del triángulo ∆ABC. Entonces de los ángulos exteriores de la figura 1 del triángulo ∆ABC sedice:

Ángulo exterior 1 + Ángulo exterior 1 + Ángulo exterior 1 = 360º

Demostración:

A + ángulo exterior 1 = 180º (1) por ser ángulos adyacentes.B + ángulo exterior 2 = 180º (2) por ser ángulos adyacentes.C + ángulo exterior 3 = 180º (3) por ser ángulos adyacentes.

Al sumar las ecuaciones (1) + (2) + (3) = 540º.

Y se sabe que A+ B+C = 180º Por teorema “Suma de los ángulosinteriores de todo triángulo”. Entonces:

180º + ángulo exterior 1 + ángulo exterior 2 + ángulo exterior 3 = 540ºángulo exterior 1 + ángulo exterior 2 + ángulo exterior 3 = 540º - 180ºángulo exterior 1 + ángulo exterior 2 + ángulo exterior 3 = 360º

1. Observa la figura. Luego, determina si laafirmación es falsa (F) o verdadera (V).

___ La amplitud del 1 es menor que laamplitud del 2.

___ La medida del 2 es igual a la medidadel 7.

___ El 3 mide lo que miden el 5 y el 2 juntos.

___ El 1 mide 130º. ___ El 5 mide 125º. ___ El 6 mide lo que mide el 5 más 15º. ___ El 8 mide lo mismo que el 1 y el 5 juntos.

2. Responde.

ABCD es un cuadrado y AC y BD sondiagonales que se cortan perpendicularmente

¿Cuántos triángulos hay? ______.¿Cuál es la medida del OIJ ? ______.¿Cuál es la medida del OHG ? ______.¿Cuál es la medida del OKL? ______.



35

En un triángulo se pueden trazar cuatro tipos de líneas notables: alturas,medianas, mediatrices y bisectrices.

Alturas

Las alturas son los segmentos perpendiculares trazados desde cadavértice del triángulo, hasta el lado opuesto o a su prolongación.En un triángulo se pueden trazar tres alturas, usando el ángulo recto dela escuadra:

El punto de intersección entre las alturas de un triángulo se llamaortocentro.El ortocentro de un triángulo acutángulo está ubicado en su interior. Porejemplo:

En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulorecto. Por ejemplo:

El ortocentro de un triángulo obtusángulo está ubicado en el exterior. PorEjemplo:

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

PARA COMENZARDeterminar si laafirmación es falsa overdadera. Justificar larespuesta.

Un triángulorectángulo isóscelestiene dos lados deigualmedida.__________ Un triánguloobtusánguloisósceles tiene doslados de igualmedida.__________

Un triángulorectángulo escalenodebe tener todos suslados de distintasmedidas y un ánguloque mide más de120º.____________ Un triángulo sepuede construir, sólosi se conocen lasmedidas de sus treslados._____

1. Utiliza compás, transportador y reglapara graficar los siguientes triángulos.A continuación, encuentra elortocentro para cada triángulo.



36

Medianas

Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada vérticedel triángulo con el punto medio de su lado opuesto.

El punto de intersección entre las tres medianas de un triángulo se llamabaricentro.

En un triángulo se pueden trazar tres medianas. Para trazarlas se buscael punto medio de cada lado y se traza el segmento que une estos puntoscon su correspondiente lado opuesto.

Mediatrices

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cadalado que pasan por su punto medio.

El punto de intersección entre las tres mediatrices se llama circuncentro.

El circuncentro corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que pasa por los tres vértices deltriángulo.

TOMA NOTA Se tiene un triángulocualquiera y se deseaconstruir unacircunferencia que pasepor sus tres vértices.¿Cómo se logra?1. Primero se encuentra

el circuncentro deltriángulo. Basta conintersectar dosmediatrices

2. Luego se coloca lapunta del compás enel circuncentro y suotra punta encualquiera de los tres

vértices del triángulo.3. Por último, se traza lacircunferencia.

1. Construye los siguientes triángulos,luego traza las líneas y puntos notablesque se indican.

Alturas - Ortocentro a. Rectángulo isósceles, lados iguales de

4 cm.b. Obtusángulo isósceles, ángulo obtuso

120º, lados iguales de 5 cm.c. Escaleno, lados de 6 cm, 7 cm y 8 cm.

Medianas - Baricentro d. Rectángulo, lados adyacentes al ángulo

recto 2 cm y 4 cm.e. Isósceles, lados iguales a 3 cm, ángulo

entre los lados iguales 75º.f. Escaleno, lados de 2 cm, 3 cm y 4 cm.

Bisectrices - Incentro g. Equilátero, lado de 3 cm.h. Isósceles, longitud de lados iguales: 3,5

cm, ángulo entre los lados iguales 60º.i. Rectángulo, lados adyacentes al

ángulo recto de 1 cm y 5 cm.

2. Ubica la iglesia del pueblo si se sabe que seencuentra a la misma distancia de laalcaldía, la plaza pública y el parque central.



37

Bisectrices

Las bisectrices de un triángulo son los segmentos que dividen cadaángulo interior en dos ángulos de la misma medida.Las bisectrices se trazan desde cada vértice hasta sus respectivos ladosopuestos.

El punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo se llamaincentro.

Una aplicación del incentro es la de trazar una circunferencia inscritadentro de un triángulo determinado, es decir, una circunferencia quesea tangente a cada uno de los lados del triángulo.

El incentro corresponde al centro de la circunferencia inscrita en eltriángulo.

Por ejemplo, para construir la circunferencia inscrita a ∆PQR se procede

así:Se traza la perpendicular desde I hasta el lado PR en el punto S .Finalmente, se traza la circunferencia con centro en I y radio IS .

De los cuatro elementos estudiados en esta lección, las alturas son lasmás utilizadas tanto en las matemáticas como en las ciencias básicas.

RECUERDALos puntos notables detodo triángulo son:

ortocentrobaricentrocircuncentroincentro

1. SI R + r = 9 cm. ¿Cuánto mide el áreade la región sombreada?

Respuesta: __________________

2. Las tres rectas son mediatrices de untriángulo rectángulo y la circunferenciacircunscribe al triángulo. Dibuja un triánguloque reúna esas condiciones.



38

CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

Todo triángulo tiene seis partes principales, tres lados y tres ángulos.¿Cuándo son iguales dos triángulos?

Definición: dos triángulos son congruentes si sus partescorrespondientes son iguales.

En términos sencillos, esta definición dice que dos triángulos serániguales si al colocar uno sobre el otro coinciden perfectamente.

Para determinar si dos triángulos son iguales, es suficiente compararla igualdad de solo tres de sus elementos de acuerdo con tres criteriosde congruencia.

Primer criterio de igualdad: lado, lado, lado (LLL).Si los tres lados de un triángulo son iguales con los correspondienteslados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son iguales.Por ejemplo, de los triángulos

se puede decir lo siguiente:Como, PQ ST QR TU PR SU; entonces ∆PQR = ∆STU.

PARA COMENZARDibuja los siguientestriángulos; utiliza regla,transportador y compás.

1. Nombra los segmentos y los ánguloscongruentes en cada figura.

_________________

_________________

_____________________

_________________



39

Guía de contenido 7: Semejanza de triángulos.

Segundo criterio de igualdad: lado, ángulo, lado (LAL).Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos soniguales a los dos correspondientes lados de otro triángulo y al ángulocomprendido entre ellos, entonces, los dos triángulos son iguales.Por ejemplo

CA FD A = D = 90º luego, A D y comoAB DE entonces ∆ABC ∆DEF

Tercer criterio de congruencia: ángulo, lado, ángulo (ALA).Si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido entre ellos son

congruentes a los correspondientes ángulos de otro triángulo y al ladocomprendido entre ellos, los dos triángulos son congruentes. Por ejemplo:

MN está comprendido entre M y N .M’N’ está comprendido entre M’ y N’ Como M M’ MN M’N’

y N N’ ,entonces ∆MNO ∆M’N’O’

TOMA NOTALa propiedad reflexiva dela congruencia desegmentos se refiere aque todo segmento escongruente a sí mismopues tiene la mismamedida.CD CD

1. Determina si las siguientes parejasde triángulos son iguales.

___________

___________

2. Marcar con la figura congruente a la

figura dada.



40

Definición: Dos triángulos son semejantes cuando sus ánguloscorrespondientes son congruentes y sus lados correspondientes sonproporcionales.La relación de semejanza se denota con el símbolo ~

∆DHP ~ ∆ULN

Como se nota en la figura de arriba, ambos triángulos tienen sus tresángulos correspondientes iguales:D U, P N, H LAdemás, los lados del triángulo izquierdo son todos la mitad de los deltriángulo derecho y por tanto, proporcionales a estos:

= = =En consecuencia, es posible establecer una relación de semejanza entreambos triángulos: ∆DHP ~ ∆ULN. Si de antemano se sabe que dos triángulos son semejantes, es posibledeterminar la longitud desconocida de algún lado.Por ejemplo, en la siguiente figura se sabe que ∆UOC ~ ∆OAB; perose desconocen los valores de los lados u y b.

Para encontrar estos valores faltantes se establecen proporciones:= =

u = 4 b = 9

PARA COMENZAR ¿Qué parejas de ángulosson iguales en lasiguiente figura?¿Por qué razón?

1. Encuentra los valores desconocidos.a. En la figura, se sabe que AB = 6,

AC = 8, BC = 10, EC = 6 . Encuentra

los valores de ED y DC.

b. En la figura, se sabe que PS = 9,PR = 7, RS = 8, RT = 5. Encuentra losvalores de RY y TY.

2. Encuentra el valor de los ladosdesconocidos.

Se sabe que las siguientes parejas detriángulos son proporcionales entre sí.a.

b.

TEOREMA SOBRE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS



41

Dos triángulos semejantespor el Postulado AA:

CKI ~ NZO

• Teorema LLL de semejanza: Si los tres lados de un triángulo sonproporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dostriángulos son semejantes.

= = =

Dos triángulos semejantes por el Postulado LLL: ∆BLD ~ ∆TWG

• Teorema LAL de semejanza: Si un ángulo de un triángulo escongruente con un ángulo de otro triángulo y si los dos correspondientesque incluyen el ángulo son proporcionales, entonces los triángulos sonsemejantes.

= =

Dos triángulos semejantes por el Postulado LAL: ∆XLQ ~ ∆RSN

TOMA NOTA

En palabras corrientes, dosfiguras son semejantes sitienen la misma forma perodistinto tamaño.

1. Determina si existe semejanza entre cadapareja de triángulos. Si hay semejanza,escribe una relación entre ambos triángulos yprovee el criterio de semejanza que aplica.

a.

b.

2. Determina si existe semejanza entre cadapareja de triángulos. Si hay semejanza,escribe una relación entre ambostriángulos y provee el criterio de

semejanza que aplica.a.

b.

Seme anza de trián ulos



42

Uno de los resultados más útiles para el estudio de los triángulos es elTeorema de Pitágoras, en este se afirma que: En todo triángulorectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos.

a2 + b2 = c2

Al aplicar este teorema es posible encontrar la medida de uno de los ladosde un triángulo rectángulo, si se conoce la medida de los otros dos lados.Por ejemplo:Las pulgadas de un rectángulo se determinan de acuerdo con la longitud

de su diagonal. Si el rectángulo tiene las medidas dadas en el gráfico, ¿decuántas pulgadas es el rectángulo?

Para hallar h , se aplica el teorema de Pitágoras, así:h2 = c1

2 + c22 h2 = (16)2 + (12)2 h2 = 256 + 144 h = h = 20

Por lo tanto, el rectángulo es de 20 pulgadas.

PARA COMENZARCon tu regla dibuja elsiguiente triángulorectángulocuidadosamente.

¿Cuánto mide lahipotenusa? ______ cm

TEOREMA DE PITÁGORAS

1. Resuelve. a. Determinar la altura de la tienda de

campaña si se sabe queAB BC CA

b. Una escalera de 3 metros se ponecontra una pared. Si la distancia de labase de la escalera a la pared es de1 m, ¿a qué distancia se encuentra laparte más alta de la escalera conrelación al suelo?

c. ¿A qué altura vuela el avión?

d. Tres ciudades están ubicadas como semuestra en la figura.¿Cuántos kms hay de M a N ?



43

REAS DE REGIONES PLANAS

Para hallar el área de un polígono no siempre es necesario hacerrecubrimientos. Es posible encontrar este valor si se conocen las medidasde algunos elementos del polígono dado.

Área de triángulos

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de labase por la altura.

A = .

Por ejemplo, para hallar el área del triángulo BCD sereemplazan los valores de la base y la altura en laexpresión y se realizan las operaciones.

A = = = 3 cm2

Área de cuadradosEl área de un cuadrado es igual al producto de la longitud del lado por símisma.

Área = lado x lado A = l ∙ l

Por ejemplo, el área de un cuadrado de 3 m de lado es 9 m2 puesA = 3 m ∙ 3 m = 9 m2.

Área de rectángulosEl área de un rectángulo es igual al producto de la longitud de su base porsu altura.

Área = base x altura

A = b ∙ h Por ejemplo, el área de un rectángulo de 3 cm de base y 2 cm de altura es6 cm2 pues

A = 3 cm ∙ 2 cm = 6 cm2.

PARA COMENZAR ¿Cuáles son la base y la

altura de ∆ABC y ∆ABD mostrados en la figura?

1. Halla el área de cada figura.

__________ m2

__________cm2

__________cm2

2. Resuelve. Calcula las áreas de los rectángulos A, B, C y el cuadrado D de la figura.

A = _____, B = _____, C = ______,D = ______.



44

Área de romboidesEl área de un romboide es igual al producto de la longitud de la base porla altura.A = b x h Por ejemplo, el área del romboide DEFG es 6 cm2 pues

A = 3 cm ∙ 2 cm = 6 cm2

Área de rombosEl área de un rombo es igual al semiproducto de la longitud de la diagonalmayor (D) por la longitud de la diagonal menor (d).Área = ( diagonal mayor x diagonal menor)

A =

En la figura se observa que al trasladar ∆SOR y ∆PSO se obtiene unrectángulo cuya base es D y cuya altura es d .

Así que:

A = D ∙ d A =

OBSERVATodo romboide se puede

transformar en unrectángulo como seindica en la figura.


_____________ dm2

____________ cm2

2. Resuelve.

a. El área de un rombo es de 40 cm2. Si ladiagonal menor mide 5 cm, ¿cuánto mide ladiagonal mayor? _________________ cm

b. Si se construye un rombo utilizando cuatrotriángulos rectángulos de base 3 cm yaltura 4 cm, ¿cuál es el área del rombo?

c. Se va a comprar un cielo raso como el de lafigura.

Si el m2 cuesta $35.000, ¿cuánto hay que

a ar ara cubrir toda la forma?



45

Área de trapeciosEl área de un trapecio es igual al semiproducto de la suma de las basespor la altura.

A =

Área de polígonos regulares.Todo polígono regular se puede descomponer en tantos triángulosisósceles congruentes, como lados tiene el polígono.La altura de cada triángulo recibe el nombre de apotema y se representacon la letra a. El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto delperímetro por la apotema.

A = con p: perímetro, a: apotema.

Ejemplo: halla el área del pentágono regular.Se calcula la apotema por Pitágoras, así: 52 = a2 + 32 25- 9 = a2 16 = a2 4 = a Luego, se calcula el perímetro yel área.

p = 6 cm x 5 = 30 cm, A = A = 60 cm2

Área de círculosEl círculo es la región del plano que abarca la circunferencia, es toda laparte sombreada. Siendo el área igual a la constante (Pi) por el radiodel círculo al cuadrado. A = ∙ r 2

Si r = 3cm A = (3 cm)2 A = 9 cm2

INVESTIGA

¿Se puede afirmar quetodo triángulo equiláteroes isósceles?¿Por qué?


_________ dm2

_________ cm2

_________ cm2

2. Halla el área de la región de color azul claro.

3. El polígono ABCDEF es un hexágono regularde 1.440 dm2 de área. Encontrar el área delpolígono ACDE sombreado en la figura.



46

FÓRMULAS DE UN POLÍGONO REGULAR

En general, un polígono es una figura formada por un número finito desegmentos coplanares no colineales unidos por sus extremos.

Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales.Atendiendo el número de lados reciben el nombre siguiente:5 lados: pentágono 9 lados: eneágono 6 lados: hexágono 10 lados: decágono 7 lados: heptágono 11 lados: endecágono 8 lados: octógono 12 lados: dodecágono

Por lo tanto si el polígono para el cual se busca el área tiene n lados, la

expresión general debe ser A = donde n ∙ l es el perímetro delpolígono y a es el apotema.

Por ejemplo, halla el área del polígono.

Como l = 50 cm, se halla el perímetro del octágono.P = 8 x 50 cm = 400 cm.Luego, se aplica la fórmula para el área de polígonos regulares, así:

A = = = 5 000 cm2

PARA COMENZARUtiliza tus instrumentosde geometría paradibujar la siguientefigura:

1. Escribe V si la afirmación es verdadera o F, si es falsa.

a. En todos los paralelogramos lasdiagonales tienen la misma medida.

b. En el rombo todos los ángulos

tienen la misma medida.c. En todos los paralelogramos lasdiagonales son perpendiculares.

d. En todos los paralelogramos loslados son congruentes.

e. En todos los paralelogramos losángulos opuestos son congruentes.

f. En el rombo las diagonales secortan en el mismo punto.

g. Un cuadrado es un rectángulo.

2. Construye un dodecágono regular y dibujaren él el paralelogramo ABML.

Continuar dibujando paralelogramos hastallenar la figura.

¿Cuántos paralelogramos tiene eldodecágono? __________________..



47

ELEMENTOS DE UN SECTOR CIRCULAR Y DE UNA CORONACIRCULAR

Un círculo es una figura plana limitada por una circunferencia.En un círculo se pueden determinar las siguientes regiones.

Sector circular Región del círculo limitado por dos radios y el arco de circunferenciacomprendido entre ellos.

Área A =

Corona circularPorción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas(con el mismo centro).

Área A = ( R2 – r2 )

PARA COMENZARCalcula el área delcírculo con radio igual a3 cm

A = _________ cm2

1. Halla el área de la región coloreada.

__________cm2

__________cm2

2. Resuelve.Un jardinero ofrece en su catálogo lossiguientes diseños de jardín. Si cada m2

del diseño del jardín cuesta $ 49.65,¿cuál es el diseño más económico?

___________



48

ÁREA TOTAL DE UN CUBO

E

Cubo o hexaedro:

El hexaedro o cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas.Las fórmulas a utilizar tanto para encontrar su área como su volumen sonlas siguientes:

A = 6l2

V = l3

Ejemplo:

EnunciadoSe desea forrar una caja de regalo cuya arista mide 10 cm. ¿Qué cantidadde papel se utilizará? ¿Cabe en la caja una pelota que tiene un volumende 524 cm3 y un diámetro menor que 10 cm? ( figura 1 )

Interpretación del enunciadoLa caja tiene 6 caras y todas las caras son cuadradas.

Para determinar la cantidad de papel necesaria para forrarla se busca elárea de una de sus caras y luego se multiplica por 6.

Área = 10 cm × 10 cm = 100 cm2

Entonces Acubo = 6(100) cm2 = 600 cm2 Acubo = 600 cm2

Para determinar si cabe la pelota dentro de la caja se calcula el volumendel cubo. Esto es:Vcubo = l 3 Vcubo = 10 cm × 10 cm × 10 cmVcubo = (10 cm)3 = 1 000 cm3

SoluciónSe necesita como mínimo 600 cm2 de papel y se considera que la pelotasí cabe en la caja.

PARA COMENZARSi el área de cada una

de las caras del cubo esde 36 cm2, ¿cuánto midela longitud de un lado deuna de estas caras?

Opera:1. Se desea atar una caja de regalo.

¿Qué cantidad de cinta se emplearási en el moño se utilizan 20 cm?

Respuesta: ________________

2. Una caja de zapatos mide 34 cm porcada uno de sus lados.

Encuentra:

a. ¿Cuánto cartón se necesitará para

hacer 1 000 cajas iguales?

b. ¿Cuál es el área total de cada unade las cajas?

Figura 1



49

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

PARA COMENZAR

Determinar el máximocomún divisor en cadacaso.

a. 12, 18 y 24b. 32, 40 y 48c. 21, 25 y 27

Opera:

1. Completa las frases con respecto a cadagrupo de monomios. Completarlo para cadauno de los ejercicios.

a. Para

b. En

El mcd de los coeficientes es ___________

Las letras comunes son __________

El menor exponente de ______ es _______



Luego, el mcd de _____ y _____ es _____

2. Halla el mcd de cada grupo de monomios.

a. g.

b. h.

c. i.

d. j.

e. k.

f. l.

El máximo común divisor (mcd) de dos o más polinomios es unpolinomio del mayor grado posible que divide exactamente a lospolinomios.

Máximo común divisor de monomiosPara hallar el máximo común divisor de dos o más monomios se halla elmáximo común divisor de los coeficientes y se multiplica por las variablesque son comunes en todos los monomios con su menor exponente.

Ejemplo:Hallar el máximo común divisor de:

a. 32 y 48x b. -5

Solucióna. El máximo común divisor de los coeficientes es 16. Las variables

comunes son x y y . Como se escriben con el menor exponente, elmáximo común divisor de 32 y 48x es .

b. El máximo común divisor de los coeficientes es 1. Las variablescomunes son a y b . Como se escriben con su menor exponente,el máximo común divisor de -5



50

E

Máximo común divisor de polinomiosPara encontrar el máximo común divisor (mcd) de dos o más polinomios,primero se descomponen los polinomios en factores primos. El máximocomún divisor es el producto de los factores comunes elevados a lamenor potencia con que aparecen en cada factorización.

Ejemplo:Determinar el máximo común divisor de los polinomios en cada caso.

a.b.

Solucióna. La factorización de los polinomios es:

. 2

.

Como el único factor común es (x – 1) y su menor exponente es 1, elmáximo común divisor de es (x – 1)

b. La factorización de los polinomios es:. 2 . 3

Como (x +3) es factor común de los dos polinomios y el menor exponentecon que aparece es 2, el máximo común divisor de

es (x + 3)2

TOMA NOTAPolinomios primosrelativos.

SI el máximo comúndivisor de dos polinomioses 1, los polinomios sonprimos entre sí.

1. Hallar el mcd de cada grupo de expresionesalgebraicas.

a.b.c.d.e.f.g.h.i.j.k.

2. Relaciona la factorización de los polinomioscon su expresión original

a.

b.

c.

d.

e.

f.



52

PARA COMENZARCalcular el área de:

Si A = b x h

A = ____ mm2

Figura 1

Apotema a

<(1) Aritmetica y geometría II, Colommbia, pagina 237>

EL PRISMA RECTO

Área de un prisma

Para hallar el área de un prisma se procede así: 1. Se encuentra el área de la base y se multiplica por 2.2. Se halla el área de una de las caras laterales y este resultado se

multiplica por el número de lados de la base.

Ejemplo:Hallar el área del prisma hexagonal con altura de 7.5 cm y cada lado desu base, 2cm . (figura 1)

SoluciónSe halla el valor de la apotema a del hexágono, aplicando el teorema dePitágoras.a2 =22 - 12 a2 = 4 - 1 a = cm

Así, el área del hexágono se obtiene mediante la expresión:

A = = =

Entonces, el área de los dos hexágonos equivale a 20,8 cm2

El área de cada cara lateral se obtiene así:

A = 2cm x 7,5cm = 15cm2, ya que las caras son rectángulos.

Luego, el área del prisma se obtiene mediante la siguiente suma:

20,8cm2 + 90cm2 = 110,8cm2

1. Encuentra el área total y área lateral de lossiguientes cuerpos.

a) Prisma recto cuya base es un hexágono

regular que tiene 3 cm de aristaapotema de 2.598 cm en su base y5 cm de altura.

b) Prisma recto cuadrangular de 2cm dearista en su base y 8 cm de altura.

c) Calcula el area de un prisma de 30 cmde altura que tiene una base pentagonalregular de 20 cm de lado y 30 cm de

apotema.

2. Para las siguientes figuras, encuentra suárea total y área lateral correspondientes.

a)

b)

c)



54

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Pirámide

Es un poliedro que tiene un polígono como base y triángulos con unvértice común, como caras laterales.En una pirámide se distinguen los siguientes elementos: arista, base,vértice, caras laterales y apotema o altura (figura 1). La altura es ladistancia que hay desde el vértice hasta su base, tomada perpendicular ala base.

Desarrollo en el planoPara hallar el área total y el volumen de una pirámide es necesario recurrira su desarrollo en el plano. (figura 2)

Área: el desarrollo en el plano de una pirámide está formado por elpolígono de la base y tantos triángulos como lados tiene la base.

El área lateral (AL) de la pirámide es la suma de las áreas de lascaras laterales.El área total (AT ) se obtiene sumando el área lateral con el área de

la base (AB ).AT = AL + AB

El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área dela base por la medida de la altura.

V = AB x h

Ejemplo.Hallar el volumen de la pirámide de la figura 3, cuya base es un hexágonoregular de 6 cm de lado y 3 cm de apotema.

Solución

Primero, se halla el perímetro del hexágono: P =6 * (6 cm) =36 cm.Después, se halla el área de la base. Para ello, se remplaza en la fórmulade área del hexágono, así.

AB = = = = 91,8Finalmente, se aplica la fórmula de volumen de una pirámide.V = AB * h = (91,8 cm2)(7 cm) = 214,2

PARA COMENZAR¿Cuáles son lasdiferencias más

importantes entre unparalelepípedo y unprisma recto?

LA PIRÁMIDE REGULAR HASTA 6 LADOS

1. Halla el volumen de la siguiente

pirámide cuadrada.

2. Halla el área de las siguientespirámides.

3. Encuentra el volumen de las siguientes

pirámides.

4. Encuentra el área y el volumen de unapirámide cuadrada, de 4,2 cm por lado y 5 cmde altura.



55

ESTADÍSTICA. RECOPILACIÓN DE LA INFORMACIÓN

Estadística

Es la ciencia que se encarga del diseño, recolección y análisis deinformación para describir el comportamiento de una variable, en un grupodeterminado de individuos.

Poblacion: La población es el conjunto de individuos que se van adescribir a partir del análisis de una característica que puede sercuantitativa y cualitativa.Por ejemplo:

• Los rangos de edad: el estudio se aplicará en adolescentes, jóvenes, adultos.

• La región en donde se va a estudiar este fenómeno: a nivelnacional, departamental, de ciudad, de sector, de colegio,

etcétera.

La muestra es un subconjunto de la población; sobre ella se obtiene lainformación necesaria para describir el comportamiento de toda lapoblación con respecto a una variable. Por ejemplo, conocer las edadesde los alumnos de octavo grado del país. En esta situación, la poblaciónson todos los alumnos, de octavo grado del país, pero aquellos solamentede una ciudad especifica, son muestra representativa.

Variables: cuando en una población se desea estudiar una característicade los individuos, a esta característica se le llama variable estadística.Una variable se llama cuantitativa si los valores que toman son

numéricos y cualitativa si representan características, no numéricas.

Una variable cuantitativa es continua si puede tomar cualquier valorintermedio entre dos posibles valores (tiempo que toman en recorrer1 000 mt un grupo de atletas); y es discreta si toma pocos valores(número de hijos de empleados en una fabrica).

PARA COMENZAR

Al sumar las frecuenciasrepresentada con laaltura de cada barra se

obtiene la población enestudio.¿Cuánto es la poblaciónque practica deporte enel colegio? __________

1. Clasifica las siguientes variablesestadísticas en cualitativas y cuantitativas.De ser cuantitativas, indicar si sondiscretas o continuas.a. número de primos

b. sexoc. deporte preferidod. color de ojose. metros cúbicos de agua en una

empresaf. número de vecinos en un edificiog. kilos de harina usados en una

panadería, durante una semanah. número de hermanos de los alumnos

de un colegio

i. Las temperaturas registradas cadahora en una ciudad

j. La estatura de los jugadores de unequipo de fútbol

k. El número de páginas de los libros de

una biblioteca

a. __________ b.__________

c.__________ d.__________

e.__________ f.___________

g.__________ h.___________

i.___________ j.____________ k.___________



56

RECOLECCIÓN DE DATOS

Los datos pueden recolectarse a través de diversas formas. Una de ellases a través de un estudio directo de los fenómenos de interés a través deinvestigaciones, recolección directa de la información con los individuos,etcétera. A esto se le denomina fuente primaria.

Y fuente secundaria es aquella recolectada por otra persona, de la cualnosotros utilizaremos su informe o resumen de interés.

Técnicas de recolección

Algunas técnicas utilizadas para recoger la información son: los test,entrevistas, cuestionarios (encuestas), censos, entre otros. Los censosespecíficamente son utilizados con toda la población.

Ejemplo:Determina la población y la muestra en cada una de las siguientes

situaciones.a. El rector de un colegio decide hacer una encuesta para determinarlas preferencias deportivas de los estudiantes. Decide preguntar acinco estudiantes de cada curso.

b. El profesor de matemáticas quiere verificar si los estudiantes de 7ºhicieron la tarea. Decide hacer una evaluación de verificación a 10de ellos.

Solucióna. Población: todos los estudiantes del colegio.

Muestra: los estudiantes que resuelven la encuesta; cinco de cadacurso.

b. Población: los estudiantes de 7ºA.Muestra: los 10 estudiantes a los cuales les hace la evaluación.

INVESTIGA

Cuando la población quese va a estudiar es muygrande es preferibleinvestigar sobre unamuestra representativa.

¿Qué relación existeentre la población y lamuestrarepresentativa?

1. Se requiere saber las estaturas de losestudiantes de tercer ciclo en el país, se midenlos alumnos de cinco escuelas por cadadepartamento.

Determina los siguientes apartados:Población: ________________

Individuo: ________________

Variable: ________________

Muestra: _________________

2. Identifica la población, el individuo ounidad estadística, la variable estadística y lamuestra.

a. Se desea saber la altura de los árboles deun parque nacional y, para ello, se midieron100 árboles.

b. Se necesita conocer el tipo de transporteque utilizan las personas de una ciudad y,por esto, se efectuó una encuesta entre1 500 personas.

c. En un huerto hay 1 000 árboles frutales:se contó la producción de 200 árboles paraconocer la producción total.



57

ECUACIONES

PARA COMENZAR

El departamento de SanSalvador posee el mayornúmero de habitantes deEl Salvador.

• Investiga cuantoshabitantes posee.

Conceptos básicos

Una igualdad es una expresión que compara dos cantidades mediante elsigno igual. Aquellas expresiones de la forma x + 5 = 8 y 3x + 2x = 5x reciben el nombre de igualdades algebraicas.

Las igualdades algebraicas que se cumplen para cualquier valor de lavariable o variables en ellas se denominan identidades. Pero, lasigualdades algebraicas que se cumplen para determinado valor de lavariable o variables presentes en ella, se denominan ecuaciones.

La variable o variables de una ecuación son valores desconocidosdenominados incógnitas. (ejemplo: X y Y )

Partes de una ecuación

En toda ecuación, la expresión que se encuentra antes del signo igual sedenomina primer término y la expresión que se encuentra después deligual se denomina segundo término.

Los sumandos de cada miembro de una ecuación reciben el nombre detérminos. Si tomamos como ejemplo la ecuación 2x + 5 = 7x - 11, lostérminos son 2x , 5, 7x y -11.

El grado de una ecuación con una sola incógnita, es el mayor exponentede dicha incógnita. Por ejemplo, la expresión 2x + 9 = -13 es una ecuaciónde primer grado y la expresión - 7x + 10 = 0 es una ecuación desegundo grado.

La ecuación x + 5 = 12, únicamente se cumple si x = 7. Este último valorse denomina raíz o solución de la ecuación.Así, solucionar o resolver una ecuación significa hallar el valor o valoresde la incógnita que satisfacen la ecuación dada.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones yverifica la respuesta.

a. x + 23 = 38 x = _______________ b. z - 17 = -5 z= _______________ c. 21 - y = -4 y= _______________ d. 6 = m - 39 m = _______________ e. w - 26 = 12 w= _______________ f. -18 = 36 - t t= _______________ g. 7x = 98 x= _______________ h. 4n = 60 n= _______________ i. c = -48 c= _______________

j. w = - w= _______________ k. -182 = 14r r= _______________ l. 175 = -25n n = _______________

2. Escribe una expresión que representecada situación.

a.

b.

c.



58

Ejemplo:Identificar los miembros, términos y grado de cada una de las siguientesecuaciones.

a. 5x + 12 = 20 b. (x + 1)(x - 1) = 0 c. 3m - 17 = -5m + 3

Solucióna. 5x + 12 = 20

El primer miembro de la ecuación es 5x + 12 y el segundo miembro es 20.Los términos de la ecuación son 5x , 12 y 20.La ecuación es de primer grado pues el mayor exponente de la incógnitax es 1.

b. (x + 1)(x - 1) = 0Al multiplicar (x + 1)(x - 1) = 0 la ecuación queda x 2 - 1 = 0El primer miembro de la ecuación es x 2 - 1 y el segundo miembro es 0.Los términos de la ecuación son x 2, -1 y 0.La ecuación es de segundo grado pues el mayor exponente de la incógnita

x es 2.c. 3m - 17 = -5m + 3

El primer miembro de la ecuación es 3m - 17 y el segundo miembro es-5m + 3.Los términos de la ecuación son 3m , -17, -5m y 3.La ecuación es de primer grado pues el mayor exponente de la incógnitam es 1.

RECUERDALa estadística es laciencia encargada dereunir, clasificar,describir, analizar ypresentar información,acerca de los cuales se

deben tomar decisiones.

1. Escribe a las ecuaciones quecorresponden a la situación planteada yresuélvelas.a. La suma de dos números consecutivos

es 35, ¿cuáles son los números?

3x – 1 = 34

2x = 36

2x + 1 = 35

b. La diferencia entre cinco veces unnúmero y 86 es 9. Hallar el número.

5x = 95

X – 86 = 9

- 9 = 86c. ¿Cuáles son las longitudes de los lados

de un rectángulo, si un lado mide 7centímetros más que el otro y elperímetro es 66 cm?

2x + 14 = 66

2x + 2 (x + 7) = 66

2x + 7 = 66

2. Resuelve cada ecuación y verifica lasolución.

a. 5x + 20 = 65 x = ___________

b. 12y - 18 = 15 y = ___________

c. 8z - 14 + 3z = 19 z = ___________

d. 13 - 7b + 27 = -56 b = ___________

e. = 11 m = ___________

f. w - 3 = - w = ___________

g. n - = - n = ___________

h. – t = t = ___________



59

FRACCIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES COMPUESTOS

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica en la que el numerador, el denominador o los dosson fracciones algebraicas, recibe el nombre de fracción algebraicacompleja.

Para simplificar una fracción algebraica compleja se factorizan lospolinomios del numerador y del denominador, y se simplifican los factorescomunes.

Ejemplo:Simplificar

.

Solución

. = Se divide el numerador entre el denominador

= x Definición de división de fracciones

= Se simplifican factores comunes

PARA COMENZAR¿A qué expresión debeser igual Q(x) para quela expresión

sea igual a – 1?

1. Simplifica las siguientes fraccionesalgebraicas.

a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

i. j.

2. Escribe una fracción algebraica.

Cuyo grado de numerador sea 3 y el deldenominador 2.Cuyo grado del numerador sea 1 y el deldenominador 4.

3. Calcula el valor numérico de las fraccionesalgebraicas siguientes.

para x = - 2

para x = 5

para x = 2

para x = - 3



Figura 1

Notación funcional y gráfica de la ecuación lineal

Una función f es una relación entre dos variables, x y y , de tal formaque a cada valor de x le corresponde un único valor de y .

Ejemplo:La siguiente tabla muestra la distancia que recorre un automóvil queviaja siempre con la misma rapidez, para diferentes valores del tiempo.

La situación involucra dos variables: el tiempo y la distancia.Se puede establecer una relación entre los valores de dichas variables,pues los valores de la variable distancia dependen de los valores de lavariable tiempo. En este caso, se dice que la distancia es la variabledependiente y el tiempo es la variable independiente.

En la tabla de datos se puede observar que al multiplicar el valor deltiempo por 20 se obtiene el valor de la distancia correspondiente. Por lotanto, la distancia y el tiempo se relacionan mediante la expresiónd 5 20 t , en donde d representa la distancia y t representa el tiempo.

Los datos de la tabla se pueden representar en un plano cartesiano alasignar un par ordenado a cada valor del tiempo y su respectivo valor dela distancia. La variable independiente, en este caso el tiempo, serepresenta en el eje horizontal y la variable dependiente, en este caso ladistancia, se representa en el eje vertical como se muestra en la figura 1.

Una función es lineal si su expresión algebraica es de la forma

y= 5 mx + b , donde m y b son números reales y su representacióngráfica es una línea recta.

PARA COMENZARPara representargráficamente una rectaen el plano cartesianobasta con determinardos puntos de dicharecta en el plano y trazarla recta que pasa porambos puntos.

Grafica en el plano losiguiente.

(2, 5) y ( –1, 4)

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN LINEAL

1. Dibuja la gráfica de las funcionessiguientes.

a . y = 3x + 5 b. 5x = y – 2

c. 3x – y = 4 d. 9x – y = 6

e. x + 5 = y f. 2x + 6 = 3y

g. 5x – 4y = 6 h. 9x – 8y = 2

i. 4x + 6y = 3 j. = x - 4

2. Grafica cada tabla de valores en el plano cartesiano.Elige una escala apropiada para el eje y.

a. Número de

libros 1 2 3 4 5Costos en $ 10 500 21 000 31 500 42 000 52 500

b. Número demanzanas 1 2 3 4 5Peso en

Matematica Santillana

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