¿Cuál matemática para un nuevo proyecto social?

Martha Isabel Fandiño Pinilla PhDBruno D’Amore PhD

NRD - Departamento de MatemáticaUniversidad de Bologna (Italia)

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La educación matemática contribuye a la formación cultural global de la persona, de forma tal que le permita participar con consciencia crítica en la interpretación de fenómenos sociales, culturales, naturales.

De hecho, el conocimiento de los lenguajes científicos, entre estos la matemática, ayuda en la formación de una dimensión cultural completa, no sólo científica.

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La matemática es un instrumento esencial para la comprensión de la realidad y un saber lógicamente coherente, sistematizado y caracterizado por una unidad cultural; es también lenguaje y un instrumento para expresar los resultados y las problemáticas de otras disciplinas.

La estructuración de un currículo escolástico no puede prescindir de considerar tanto la dimensión instrumental de la matemática como la dimensión cultural.

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Una matemática pensada para mejorar un proyecto social necesita una reflexión sobre aspectos como:

la articulación vertical (por competencias o por contenidos), organizada por núcleos temáticos o por procesos: transversales, conclusivos o específicos;

problemáticas de aprendizaje;

continuidad - especificidad.

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ubicar en el tiempo y en el espacio;

generalizar;

aumentar la posibilidad de comunicar (por ejemplo no solo con registros narrativos);

identificar, representar, transformar, utilizar en contexto oportuno un objeto matemático; gestionar y dominar las representaciones semióticas de objetos y contextos matemáticos;

La articulación vertical por competencias transversales:

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construir razonamientos en situaciones variadas;

formular hipótesis y conjeturas; demostrar;

establecer relaciones; inventar relaciones;

formular hipótesis de solución de problemas; inventar problemas coherentes y significativos;

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•gestionar y dominar las representaciones semióticas de objetos y contextos matemáticos;

•usar, dominar los algoritmos;

•...

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Ejemplos de

competencias matemáticas ycompetencias en matemáticas

conclusivas (por ejemplo para los primeros ciclos):

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Aritmética (número, pre-algebra, ...):

comprender el significado del número (en los diferentes campos numéricos) y de sus varias formas de representación;

comprender el significado de los algoritmos y de su función al interno de la matemática;

operar con los números con diferentes técnicas y diferentes instrumentos;

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resolver problemas de la vida cotidiana o internos a la matemática, usando el razonamiento aritmético (o geométrico) y la modelización numérica (o geométrica);…

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Geometría (el espacio y las figuras) en contextos diferentes de indagación y de observación:

explorar, describir y representar el ambiente y sus elementos constitutivos;

reconocer, describir y representar algunas figuras típicas de la geometría;

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•utilizar las transformaciones geométricas para operar in y con las figuras;

•hacer uso de algoritmos para la construcción de figuras geométricas;

•usar la visualización, el razonamiento espacial y la modelización geométrica para formular y resolver problemas de la vida cotidiana o internos a la matemática;

•…

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Relaciones en varios contextos matemáticos y experimentales:

individuar relaciones entre elementos y representarlas;

clasificar y ordenar objetos concretos o matemáticos a partir de una propiedad;

utilizar letras o formulas para generalizar o para abstraer;

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•reconocer y representar funciones;

•utilizar variables, funciones, ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana y problemas internos a la matemática;

•…

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Datos y previsión (estadística y probabilidad)

conocer y saber utilizar en forma apropiada diversos tipos de lenguaje (verbal, algebraico, simbólico, grafico, informático, esquemas, …) cuando se manejan datos estadísticos o medidas probabilísticas;

efectuar evaluaciones y estimar medidas probabilísticas, interpretar datos estadísticos describiendo el desarrollo de un fenómeno;

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•controlar la coherencia de los resultados de los cálculos encontrados con el uso del computador o de la calculadora a partir de datos numéricos aproximados, teniendo en cuenta la propagación de los errores;

•…

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operar con los números …;

elevar a una potencia números …;

descomponer en factores primo un número haciendo uso de diferentes técnicas e instrumentos;

determinar múltiplos y divisores de un número y múltiplos y divisores comunes a dos o más números;

establecer relaciones de proporcionalidad;

…

Ejemplos de Saberes (hacer) específicos:

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¿Cómo organizar los contenidos?

Organización de los contenidos

temáticosde procesos de

aprendizaje

el número

el espacio y las figuras

las relaciones

datos y previsiones

…

representar semióticamente

conceptualizar

formular y resolver problemas

comunicar

desarrollar algoritmos

...

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Problemáticas del aprendizaje

Los contextos de aprendizaje:

Necesidad de contextos culturalmente ricos y motivadores, creación de situaciones de aprendizaje a-didácticas de exploración fuertemente cognitivas, favorecer los campos de experiencias externos a la matemática pero fuertemente matematizables, campos de experiencias intra-matemática, necesidad de favorecer el aprendizaje personal de cada alumno en respecto de su propia propensión.

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Los procesos cognitivos:

El proceso de formación de un concepto matemático y su formulación no son lineales, pasa por momentos cruciales que constituyen pasos cognitivos y afrontan conceptos que pueden constituir obstáculos al aprendizaje o por lo menos ser causa de malestar cognitivo.

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Una didáctica “larga” (es decir que toma en cuenta los ciclos) es atenta a la formación del concepto mas que a la aplicación de reglas (ejemplo: el mcm o el MCD, adición entre naturales, enteros, racionales, irracionales, …)

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Importancia de los instrumentos de cálculo y de construcción geométrica como mediadores en el proceso de aprendizaje:

instrumentos tradicionales: la regla, el compás, el lápiz, el papel, ábacos, …; de medida: transportador, …;

instrumentos tecnológicos: computador, calculadoras, … ;

…

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La aproximación cíclica del concepto:

Retomar los conceptos en cada ciclo con mayor profundidad, elegir una didáctica diluida realizando una construcción gradual y progresiva del significado de los conceptos (imagen y modelo).

Ejemplo: la problemática de las fracciones (obstáculos epistemológicos y didácticos).

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Los ritmos de enseñanza – aprendizaje:

El aprendizaje no responde bien cuando hay un excesiva fragmentación de contenidos que presuponen una secuencia de propuestas didácticas independientes entre ellas. Las bases de los conceptos de los ciclos superiores, por lo general, se han puestos en los primeros ciclos.

Eventuales misconcepciones tienen a veces raíces lejanas.

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Ejemplos.

Las relaciones lado – perímetro, altura – sombra pueden ser bases del concepto de función.

El argumentar que se hace en primaria es la base del demostrar futuro.

Sucesiones como ½, 1/3, ¼… son la base del concepto de límite.

Etc.

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La práctica de la comunicación:

El desarrollo de la competencia comunicativa necesita de un clima favorable para la elaboración de hipótesis y la sucesiva discusión, fortaleciendo la articulación entre el razonamiento y la argumentación a propósito de un contenido matemático específico.

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La resolución y formulación de problemas:

Para muchos Autores, esta es la base misma de la idea de matemática, no sólo en sentido de aprendizaje; esta actividad se tiene que desarrollar en modalidad oportuna desde los primeros días de escuela, hasta los últimos, evitando la confusión entre ejercicios y problemas.

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El uso conciente de las representaciones semióticas:

En matemática hay continuo y necesario uso de representaciones semióticas y de sus transformaciones (tratamiento y conversión); de esto casi nunca se habla y se da por automático, como un aprendizaje inconciente. Mientras que la investigación ha demostrado que esta es una de las causas principales de fracaso escolar.

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¿Cuál es el verdadero reto?

El cambio curricular visto sólo como una nueva impostación de los contenidos es no sólo una pura ilusión, inútil, sino también deletéreo dado que el sucesivo obvio fracaso desilusiona al docente que había creído en este cambio.

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La historia de los cambios de la impostación de las metodologías no sustentadas con teorías didácticas se convierten sólo en eslóganes:

El aprendizaje conductivista de la matemática.

La matemática enseñada en ambientes artificiales oportunos (bloques lógicos, regletas, ábacos, …) con transfer automático.

La matemática “moderna”.

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La matemática por problemas.

La matemática por laboratorios. La matemática por objetivos.

La matemática como lenguaje de las flechas y de las categorías.

La matemática lúdica.

La matemática por competencias.…

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¿Qué falta siempre en estos tentativos de cambios?

Damos por descontado y obvia una fuerte preparación disciplinaria del docente de matemática en matemática.

Y esto en TODOS LOS NIVELES ESCOLARES:

no es admisible pensar que el docente de los primeros niveles escolares no requiere una buena preparación disciplinar.

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Sin embargo, dicho esto, se evidencian dos grandes lagunas en la preparación:

siempre falta una verdadera y profunda preparación en didáctica de la matemática y en historia (y epistemología) de la matemática.

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Cuando en un ciclo se da por terminado un argumento se crea un modelo (estable) que actúa como obstáculo al aprendizaje auspiciado.

Cuando se desconoce el estatuto epistemológico de un concepto no se da la oportunidad para conocerlo verdaderamente; hay conceptos que se enseñan por tradición sin saber el por qué.

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Cuando se proponen situaciones de aprendizaje de carácter didáctico no se llega a un aprendizaje del objeto matemático sino a obtener respuestas por contrato didáctico.

Cuando no se conoce la problemática de la representación semiótica se lleva a la construcción cognitiva de la representación y no del concepto.

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Bibliografía básica en español

D’Amore B. (2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Magisterio.

D’Amore B., Godino J., Fandiño Pinilla M.I. (2008). Competencias y matemática. Bogotá: Magisterio.D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I., Marazzani I., Sbaragli S.

(2010). La didáctica y la dificultad en matemática. Bogotá: Magisterio.

Fandiño Pinilla M.I. (2006). Currículo, evaluación y formación docente en matemática. Bogotá: Magisterio.Fandiño Pinilla M.I. (2009). Las fracciones. Aspectos

conceptuales y didácticos. Bogotá: Magisterio.Fandiño Pinilla M.I., D’Amore B. (2009). Área y perímetro.

Aspectos conceptuales y didácticos. Bogotá: Magisterio.Fandiño Pinilla M. I. (2010). Múltiples aspectos del aprendizaje de la matemática. Bogotá: Magisterio.