matematica para arquitectura
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MATEMÁTICA 1 PARA ARQUITECTURA
SESIÓN 3: LA PARÁBOLA: FORMA ORDINARIA ELEMENTOS BÁSICOS
Departamento de Ciencias
¿QUE PREDOMINA EN EL DISEÑO DE ESTOS PUENTES?
Responda las siguientes preguntas:
• ¿Qué predominan en los diseños de Gaudí?
• ¿Qué es un sección cónica?
• ¿Qué secciones cónicas conoces?
• ¿Qué elementos necesito para determinar la ecuación de una parábola?
• ¿Cómo se dibuja una parábola? • ¿Cómo se obtiene la ecuación de la
parábola en el Dr. Geo?
¿Qué forma tiene el puente?, ¿Cuánto miden cada uno de los soportes intermedios?
¿Qué teoría se utiliza para resolver este problema?
Un arquitecto diseña un puente, como se ve en la figura. Determine la ecuación que expresa el soporte del puente.
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve ejercicios en los que obtiene analíticamente la ecuación de la parábola y los aplica al diseño arquitectónico
CONTENIDOS
• La Parábola
• Elementos de la parábola
• Ecuaciones de la parábola
• Aplicaciones de la parábola
LA PARÁBOLA
Una parábola es el conjunto de puntos que se encuentran a una
misma distancia de un punto fijo llamado Foco y una recta fija llamada
Directriz.
• Al punto medio entre el foco y la directriz se le dice Vértice.
• La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se le
dice eje de simetría ( o Eje focal )
𝒑
𝒑
• El parámetro de una parábola denotado por: p, es un número real
cuyo módulo representa la distancia entre el foco y el vértice de la
parábola
x
y
𝑽(𝟑, 𝟐)
EJEMPLO
𝑭(𝟑, 𝟑)
El parámetro de la siguiente parábola es 𝑝 = 1, encuentre las coordenadas
del foco y la ecuación de la directriz
𝑫: 𝒚 = 𝟏
Eje
focal
Recuerda: El foco y vértice son
puntos, tienen COORDENADAS
La directriz es una recta, tiene ECUACIÓN
x
y
𝑽(𝟑, 𝟐)
EJEMPLO
𝑭(𝟑, 𝟎)
El parámetro de la siguiente parábola
es 𝑝 = −2, encuentre las coordenadas
del foco y la ecuación de la directriz
𝑫: 𝒚 = 𝟒
Eje
focal
x
y
𝑽(𝟐, 𝟑)
¿Cuál es el parámetro de la parábola
mostrada?
𝑫: 𝒚 = −𝟏
Eje
focal
Respuesta: 𝐩 =2
𝑽
POSICIONES DE LA PARÁBOLA
Cuando el eje focal es paralelo al eje Y
Eje
focal
𝑭
𝑽
Eje
focal
𝑭
𝐩 > 𝟎
𝐩 < 𝟎
Cuando el eje focal es paralelo al eje X
𝑽
Eje focal
𝑭
𝑽
Eje focal
𝑭
𝐩 > 𝟎
𝐩 < 𝟎
CASO I: 𝐩 > 𝟎
La gráfica es:
x
y
𝒉
𝒌 𝑽(𝒉, 𝒌)
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
(𝒙 − 𝒉)𝟐= 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)
𝑭(𝒉, 𝒌 + 𝒑)
𝒑
La ecuación de la parábola con vértice 𝑉(ℎ, 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑌, es:
𝒑
𝑫: 𝒚 = 𝒌 − 𝒑 (𝒉, 𝒌 − 𝒑)
Eje
focal
CASO II: 𝐩 < 𝟎
x
y
𝒉
𝒌 𝑽(𝒉, 𝒌)
𝑭(𝒉, 𝒌 − 𝒑)
𝒑
𝒑
𝑫: 𝒚 = 𝒌 + 𝒑 (𝒉, 𝒌 + 𝒑)
Eje foca
l
x
y
𝑽(𝟑, 𝟐)
EJEMPLO
𝑭(𝟑, 𝟎)
Encuentre la ecuación de la parábola
Eje
focal
x
y
𝑽(𝟐, 𝟑)
𝑫: 𝒚 = −𝟏
Eje
focal
Encuentre la ecuación de la parábola
(𝒙 − 𝟑)𝟐= 𝟒(−𝟐)(𝒚 − 𝟐)
(𝒙 − 𝟑)𝟐= −𝟖(𝒚 − 𝟐)
(𝒙 − 𝟐)𝟐= 𝟒(𝟒)(𝒚 − 𝟑)
(𝒙 − 𝟐)𝟐= 𝟏𝟔(𝒚 − 𝟑)
CASO I: 𝐩 > 𝟎
La gráfica es:
x
y
𝒉
𝒌 𝑽(𝒉, 𝒌)
(𝒚 − 𝒌)𝟐= 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)
𝑭(𝒉 + 𝒑, 𝒌)
𝒑
La ecuación de la parábola con vértice 𝑽(𝒉, 𝒌) y eje focal paralelo al eje 𝑿, es:
𝒑
𝑫: 𝒙 = 𝒉 − 𝒑
(𝒉 − 𝒑, 𝒌) Eje focal
Ecuaciones de la Parábola
CASO II: 𝐩 < 𝟎
x
y
𝒉
𝒌 𝑽(𝒉, 𝒌) 𝑭(𝒉 + 𝒑, 𝒌)
𝒑 𝒑
𝑫: 𝒙 = 𝒉 + 𝒑
(𝒉 − 𝒑, 𝒌) Eje focal
𝑽(𝟓, 𝟕)
Encuentre la ecuación de la parábolas mostradas
𝑫: 𝒙 = 𝟏
Eje focal
Ejemplos
𝑽(𝟏𝟎, 𝟓) 𝑭(𝟐, 𝟓)
Eje focal
𝐩 = 𝟒
(𝒚 − 𝟕)𝟐= 𝟒(𝟒)(𝒙 − 𝟓)
𝐩 = −𝟖
(𝒚 − 𝟓)𝟐= 𝟒(−𝟖)(𝒙 − 𝟏𝟎)
𝑽(𝟐, 𝟑)
Para encontrar la ecuación de la parábola, a partir de datos literales, a veces es necesario bosquejar la gráfica
Eje focal
Ejemplos
𝑭(𝟐, 𝟕)
𝐩 = 𝟒
(𝒙 − 𝒉)𝟐= 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)
Ejemplo 1
Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en 2, 3 y foco en (2, 7)
Bosquejamos
Respuesta: P: (𝒙 − 𝟐)𝟐= 𝟏𝟔(𝒚 − 𝟑)
Eje focal
𝑭(𝟑, 𝟕)
𝐩 = −𝟐
(𝒚 − 𝒌)𝟐= 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)
Ejemplo 2
Encuentre la ecuación de la parábola con foco en 3, 7 y directriz 𝑥 = 7
Bosquejamos
Respuesta: P: (𝒚 − 𝟕)𝟐= −𝟖(𝒙 − 𝟓)
𝑫: 𝒙 = 𝟕
𝐕 = (𝟓, 𝟕)
𝑽(𝟓, 𝟕)
𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐
𝑽(𝟐, 𝟒)
A partir de la ecuación de una parábola, se pueden deducir todos sus elementos
Eje focal
Ejemplos
𝑭(𝟐, 𝟔)
Ejemplo 1
A partir de la parábola definida por: 𝑃: (𝑥 − 2)2= 8(𝑦 − 4)
Encuentre: El valor del parámetro, las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz
4𝑝 = 8 → 𝑝 = 2
Bosquejamos
Ejemplo 2
𝑉 = (2, 4)
Como el parámetro es positivo, la parábola se abre hacia arriba
𝑝 = 2
A partir de la parábola definida por: 𝑃: (𝑦 − 3)2= −12(𝑥 − 6)
Encuentre: El valor del parámetro, las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz
𝐹 = (2, 6)
𝑫: 𝒚 = 𝟐 𝑝 = 2
4𝑝 = −12 → 𝑝 = −3
𝑉 = (6, 3)
Bosquejamos
𝑽(𝟔, 𝟑) Eje focal
Como el parámetro es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda
𝑝 = −3
𝑭(𝟑, 𝟑) 𝑝 = −3
𝑫: 𝒙 = 𝟗
A partir de la gráfica de una parábola, es posible obtener su ecuación, sin embargo NO SE DEBEN SUPONER datos que no se encuentren debidamente indicados
Uso de la ecuación de la parábola
Ejemplo 1
¿Cómo encontramos la ecuación de ésta parábola?
Del gráfico se pueden deducir las coordenadas del vértice: 𝑉 = (2,2), pero no ni el Foco ni el vértice
Necesitamos un punto de paso
(6, 4) (−2, 4)
(2, 2)
Planteamos la ecuación: (𝑥 − ℎ)2= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
(𝑥 − 2)2= 4𝑝(𝑦 − 2)
Dado que (6, 4) pertenece a la parábola:
(6 − 2)2= 4𝑝(4 − 2)
𝑝 = 2 (𝑥 − 2)2= 8(𝑦 − 2)
Uso de la ecuación de la parábola
Ejemplo
Encuentre el valor de 𝑦1 si la curva es una parábola, V es el vértice y A es un punto de paso de la parábola
𝑽(𝟎, 𝟔)
𝑨(𝟒, 𝟓)
𝑩(𝟐, 𝒚𝟏)
La ecuación de la parábola tiene la forma:
(𝑥 − ℎ)2= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Con el punto de paso 𝐴(4, 5) hallamos el parámetro:
(4 − 0)2= 4𝑝(5 − 6)
Reemplazamos el vértice: V(0, 6) (𝑥 − 0)2= 4𝑝(𝑦 − 6)
𝑝 = −4
Obtenemos la ecuación:(𝑥 − 0)2= −16(𝑦 − 6)
Ahora calculamos 𝑦1 usando la ecuación obtenida, reemplazando el punto 𝐵(2, 𝑦1):
(2 − 0)2= −16(𝑦1 − 6)
Por lo tanto:𝑦1 =23
4
Uso de la ecuación de la parábola
Ejemplo
Encuentre el valor de 𝑦1 si la curva es una parábola, V es el vértice y A es un punto de paso de la parábola
𝑽(𝟒, 𝟏)
𝑨(−𝟏, 𝟓)
𝑩(𝟏, 𝒚𝟏)
La ecuación de la parábola tiene la forma:
(𝑦 − 𝑘)2= 4𝑝(𝑥 − ℎ)
Con el punto de paso 𝐴(−1, 5) hallamos el parámetro:
(5 − 1)2= 4𝑝(−1 − 4)
Reemplazamos el vértice: V(4, 1) (𝑦 − 1)2= 4𝑝(𝑥 − 4)
𝑝 = −4
5
Obtenemos la
ecuación:(𝑦 − 1)2= −16
5(𝑥 − 4)
Ahora calculamos 𝑦1 usando la ecuación obtenida, reemplazando el punto 𝐵(1, 𝑦1):
(𝑦1 − 1)2= −16
5(1 − 4)
Por lo tanto:𝑦1 = −2.1 Observe que se ha tomado la raíz cuadrada negativa!
Uso de la ecuación de la parábola
Ejemplo
Encuentre la longitud del segmento AB, si la curva mostrada es una parábola
𝑽(𝟎, 𝟎)
𝑪
PRIMERO: Ubicar el sistema de coordenadas, lo más recomendable es ubicar el origen en el vértice
Con las distancias señaladas ubicamos un punto de paso y otras coordenadas
Reemplazamos el punto de paso: C(128, −64) (128 − 0)2= 4𝑝(−64 − 0)
𝑝 = −64
Obtenemos la ecuación: 𝑥2 = −256𝑦
Ahora calculamos 𝑦1 usando la ecuación obtenida, reemplazando el punto 𝐵(25, 𝑦1):
(25)2= −256𝑦1
Por lo tanto:𝑦1 = −2.44
256 m
64 m
La ecuación de la parábola tiene la forma: (𝑥 − 0)2= 4𝑝(𝑦 − 0)
𝑥2 = 4𝑝𝑦
𝑨
𝑩
25 m
𝑪(𝟏𝟐𝟖, −𝟔𝟒)
128 m
-64 m
𝑩(𝟐𝟓, 𝒚𝟏)
(𝟐𝟓, −𝟔𝟒)
𝐴𝐵 = 𝑦1 − −64 = −2.44 + 64 = 61.56 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 61.56 𝑚
x
y
Aplicación
El arco de la foto tiene la forma de una parábola, la altura de su centro es de 15 pies y tiene en su base una luz de 10 pies. Determine la altura del arco a la distancia de 2 pies de un extremo.
𝑽(𝟎, 𝟏𝟓)
𝑨(𝟓, 𝟎)
𝟐 𝟏𝟎 𝒇𝒕
𝟏𝟓 𝒇𝒕 𝒚𝟏
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟗. 𝟔 𝒇𝒕)
Un puente colgante de 120m de longitud tiene un arco parabólico sostenido por torres de igual altura, si la directriz se encuentra en la superficie del suelo y el punto más bajo de cada cable está a 15m de altura de dicha superficie, a) Determine la ecuación de la parábola b) Calcule la altura de las torres.
Aplicación
𝑫𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛
𝑷(𝟔𝟎, 𝒚)
𝟏𝟓 = 𝟐𝒑
Aplicación de la ecuación de la Parábola
Una carretera atraviesa un cerro a través de un túnel con forma de un arco parabólico, que tiene 4 metros de base y 6 metros de altura. Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 2m de ancho, para pasar sin atorarse del túnel
𝟒 𝒎
6 𝒎
Un arquitecto diseña un puente, como se ve en la figura. Determine la ecuación que expresa el soporte del puente.
Resolvamos el problema inicial
• ¿Qué aprendí en esta sesión?
• ¿Cómo resolví las dificultades encontradas en el problema inicial?
• ¿Qué otros temas se relaciona con la temática de hoy?
• ¿Cómo puedo mejorar mi aprendizaje?
METACOGNICIÓN