Matemática Financiera

Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de

los años.

No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras ni

de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ella aunque sabemos que

las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de

los años.

Lo que se cree es que dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que

complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por

ejemplo los que habían de realizar aldeanos a sus feudales en la época del

feudalismo en Europa.

La Matemática Financiera es el campo de la matemática aplicada, que analiza,

valora y calcula materias relacionadas con los mercados financieros, y

especialmente, el valor del dinero en el tiempo.

Ante la pregunta: ¿Que preferiría usted, cobrar 1.000 hoy o 1.000 dentro de un

mes? La respuesta parece obvia, 1.000 hoy. Pero si la pregunta fuese 1.000 hoy o

1.050 dentro de un mes. La respuesta no lo sería tanto. Dependería de la

necesidad de la persona, pero también de cuánto podría ganar durante ese mes.

De esta manera, si con 1.000 invertidos durante un mes pudiese obtener más de

50, al cabo de un mes tendría más de 1.050 por lo que preferiría cobrar 1.000 hoy

e invertirlos por su cuenta. Si sólo pudiese obtener menos de 50, preferiría 1.050

dentro de un mes. Las matemáticas financieras van más allá y nos proveerán de

las herramientas para poder contestar a la pregunta ¿cuánto valen hoy 1.050 que

se cobrarán dentro de un mes?

Así, las matemáticas financieras se ocuparán del cálculo del valor, tipo de interés

o rentabilidad de los distintos productos que existen en los mercados financieros

(depósitos, bonos, préstamos, descuento de papel, valoración de acciones,

cálculos sobre seguros, etc). Para presentarlas, se seguirá un proceso secuencial

desde lo más sencillo, el tipo de interés simple, hasta los cálculos más complejos,

que consistirán en el valor actual o futuro de rentas temporales y/o infinitas. Por

tanto, en el estudio de las matemáticas financieras, abordaremos:

Sin embargo, pese a que estas herramientas son la base de las matemáticas

financieras, el avance en su investigación ha llevado hasta herramientas

tremendamente sofisticadas como para la valoración de opciones, las

matemáticas actuariales o las más diversas aplicaciones en la estadística y

econometría

Interés Simple

En primer lugar debemos tener claro que es el interés en este contexto, que se

puede definir como la cantidad (normalmente expresada el porcentaje o tasa) me

mide la relación de intercambio entre el valor del dinero en dos momentos

determinados de tiempo.

Cuando una persona (prestamista) le presta a otra (prestatario) un dinero hoy,

espera que en un futuro el prestatario se lo devuelva, pero que además le dé una

cantidad adicional en contraprestación, esto es el interés. Que, volvemos a

recordar, suele expresarse en porcentaje.

Para entender el concepto de interés simple y compuesto, sin duda, la mejor forma

es atender a unos ejemplos (ver ejemplo también en interés compuesto).

Supongamos un préstamo de 10.000 durante 1 año que genera un interés anual

del 5%. No será lo mismo que esos intereses se paguen en dos veces (cada seis

meses), frente a que se paguen de una vez al final. En el primer caso, el

prestamista recibirá el dinero en dos veces, primero 250 a los seis meses y

después 10.250 al final del año. Por su parte, en el segundo caso, el prestamista

recibirá todo el dinero a la vez 10.500 al final del año. Pero donde está la

diferencia, pues en que en el primer caso el prestamista podrá invertir esos 250

que cobra previamente y obtener una rentabilidad, por lo que, si suponemos que

también los puede invertir a un 5% anual durante los seis meses que quedan,

obtendría 250*5%/2=6,25. Por tanto, en el primer caso el prestamista obtendría al

final del año 10.000+250+250+6,25=10.506,25.

Ese 5% del enunciado del ejemplo será lo que se denomina interés simple,

mientras que el interés compuesto será, en este caso, el interés equivalente que

se obtiene por el hecho de reinvertir los cobros intermedios. Así, podríamos

calcular el interés compuesto con una regla de tres:

10.500 --> 5%

10.506,25 --> X = 5,0625%, ya que el interés simple no es del 5% anual sino del

5% pagadero semestralmente que no es lo mismo.

Esta diferencia, que puede parecer pequeña, cuando se considera en operaciones

de mucho volumen o mucha duración puede provocar diferencias sustanciales.

Fórmula Interés Simple

Interés = Cantidad x Tipo de Interés x Plazo

Interés.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación

Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses

Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la

operación durase un año

Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años

Como estándar, en las operaciones financieras, cuando una operación dura

menos de un año, se sigue como método de cálculo el interés simple, mientras

que cuando una operación tiene una duración superior a un año, se utilizará el

interés compuesto.

Interés Compuesto

Al contrario que el interés simple, el interés compuesto se produce cuando el

interés se suma al capital, por lo que, a partir de ese momento, el interés que se

ha añadido también gana intereses. Esta adición de interés al principal de la

operación financiera se llama compuesto.

Al igual que con el interés simple, donde ya pusimos un primer ejemplo.

Consideramos que la mejor manera de entender la necesidad y funcionamiento

del interés compuesto es mediante un ejemplo. Imaginemos que nos ofrecen la

opción de invertir 10.000 en dos depósitos a 3 años. El primer depósito para un

10% te tipo de interés al año y paga esos intereses al final de cada año. Por su

parte, el segundo depósito pagará un 10% anual de tipo de interés, pero en lugar

de pagar los intereses al final de cada año, los pagará todos al final de los tres

años.

Si ambos depósitos pagan el mismo tipo de interés, parecería lógico pensar que la

ganancia al final debería ser la misma, pero, ¿es realmente así? Analicemos cada

caso.

1- Si cobraremos 1.000 al final de cada año, los intereses del primer año serán

1.000, pero y los del segundo. El segundo año volveremos a cobrar 1.000

provenientes del depósito de 10.000, pero también podremos cobrar intereses de

los 1.000 de intereses que ya tenemos en nuestro poder. Si esta cantidad la

invertimos también al 10% obtendríamos 100 adicionales por lo que los intereses

del segundo año serían 1.100 y no 1.000. Lo mismo sucedería en el tercer año,

por un lago cobraríamos los 1.000 del depósito, pero aún nos faltaría por

contabilizar los intereses por invertir los intereses de los dos años anteriores que,

recordemos, ascendía a 2.100. Así, el 10% de 2.100 serían 210 adicionales. Por

tanto, al cabo de los tres años tendríamos

10.000+1.000+1.000+100+1.000+210=13.310.

2- En el caso del segundo depósito, los intereses se pagaban todos al final. Si

utilizásemos la formulación del interés simple, la cantidad de intereses sería:

10.000 x 10% x 3 = 3.000 por lo que al final tendríamos 13.000 que es menos que

en el caso 1. Para resolver esta diferencia, en aquellas operaciones que generan

intereses con una duración superior a un año (como ya mencionamos e el interés

simple), el cálculo de intereses utiliza la formulación del interés compuesto que

tiene en consideración los intereses que generan los pagos intermedios.

Interés=10.000*(1+10%)3=3.310, que sumados al principal darán los mismos

13.310 que en el caso 1.

Fórmula Interés Compuesto

Interés = Cantidad x (1 + Tipo de Interés) Plazo -1

Interés.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación

Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses

Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la

operación durase un año

Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años

Sin embargo, la utilización del interés compuesto, y su fórmula, no se queda sólo

aquí, sino que es la que se utilizará para calcular el valor presente y el valor futuro,

las rentas temporales y las rentas infinitas, así como para el cálculo de Valor

Presente Neto y la TIR ya que es el que nos permitirá comparar cantidades con

distintas formas y plazos de cobro. El interés compuesto, es, por tanto, la base

para poder calcular la rentabilidad comparable de distintos productos y proyectos

de inversión a través del descuento de descuento de flujos de caja, herramienta

básica de las finanzas.

Periodo de capitalización.

El interés puede ser convertido en Anual, semestral, trimestral y mensualmente. El

periodo de capitalización (o de composición o de conversión) es el intervalo de

tiempo al final del cual se añaden los intereses al capital.

Por ejemplo, si el interés se capitaliza anualmente, el periodo de capitalización es

el año; si el interés se compone mensualmente, el periodo de capitalización es el

mes, etc; Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo

plazo.

Conclusiones

a) Interés compuesto es mayor que el interés simple

b) A mayor frecuencia de conversión mayor será el interés siendo igual la tasa

anual nominal. Ej. Un depósito que obtenga intereses mensualmente tendrá mayor

rendimiento que uno que los obtenga trimestralmente.

En el sistema de interés compuesto, el capital y los intereses devengan intereses.

Los intereses se capitalizan, es decir, se añaden al capital al final de cada periodo

de composición.

Ejemplo de la diferencia del INTERES SIMPLE Y EL COMPUESTO.