Matemática II para tecnología medica

Universidad de ChileFacultad de Medicina

Unidad de Biomatemtica

Matemtica IITecnologa Mdica

Ren Prado YezAlvaro Mattus Donaire

Francisca Jimnez

2014

ndice general

ndice general iNuevamente v1 Factoriales y nmeros combinatorios 1

1.1 Factoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Nmeros combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Integral indenida 132.1 Diferencial de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Interpretacin geomtrica del diferencial 142.2 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Propiedades de la integral indefinida 152.3 Tcnicas de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Integracin por sustitucin 16Integracin por partes 17

2.4 Integracin por fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Caso I: Denominador en que aparecen slo factores lineales sin repeticin 19Caso II: Denominador en que aparecen factores lineales, algunos con repeticin 20Caso III: Denominador en que aparecen factores cuadrticos sin repeticin 21Caso IV: Denominador en que aparecen factores cuadrticos, algunos con repeticin 22

2.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Integracin inmediata 22

i

ii NDICE GENERAL

Integracin por sustitucin 23Integracin por partes 23Fracciones parciales: caso 1 24Fracciones parciales: caso 2 24

2.6 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Integracin inmediata 25Integracin por sustitucin 25Integracin por partes 25Fracciones parciales: caso 1 26Fracciones parciales: caso 2 26

3 Integral denida 293.1 Teorema fundamental del clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Algunas propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Clculo de reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 rea entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Integral definida 35Clculo de reas 35

3.6 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Integral definida 36Clculo de reas 36

4 Formas indeterminadas y la regla de lHpital 434.1 Forma indeterminada 0/0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Forma indeterminada / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Otras formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Integral impropia 495.1 Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Ecuaciones diferenciales 576.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Solucin de una ecuacin diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3 Ecuacin diferencial de variable separada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.5 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

NDICE GENERAL iii

Ejercicios 62

7 Modelos generados por ecuaciones diferenciales 657.1 Ejemplo biolgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.2 Modelo logstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Nuevamente

Qu grato resulta para nuestro equipo docente en-contrarnos nuevamente! Podemos recordar nuestrosinicios con lgica. Los que vagamente haban odo so-bre algunos juegos con tablas de verdad se encontra-ron con conceptos bsicos que en brevsimo tiempo losintrodujeron en un mundo de precisin. En un recorri-do veloz en el cual aceptamos que en la mayora de lasoportunidades no nos hemos detenido lo suficiente pa-ra maravillarnos o al menos comprender a cabalidadsus alcances, nos encontramos en un nuevo curso. Delraciocinio bsico y desmenuzado, de aquella forma depensar que nos ordena y aclara objetivos, de la cual ansurge la pregunta de para qu? Con pequeas reflexio-nes advertimos que hemos elegido caminos directos pa-ra resolver nuestras inquietudes, que no nos hemos per-dido en el bosque y que en ocasiones, sin magia ni mila-gros, encontramos respuestas gracias a las notaciones,a los conceptos, a esa fantstica luz que nos entrega estapoderosa herramienta: la Matemtica, en el curso pasa-do con los modelos y los anlisis de ellos con Algebra yClculo Diferencial.

A la destreza que hemos adquirido en la represen-tacin, en muchos casos a explicitar la velocidad conque se produce el fenmeno estudiado, debemos agre-gar ms anlisis y adquirir ms recursos. El clculo dereas. Conocer exactamente la medida de una superficiede forma caprichosa, o para algunas superficies infini-

tas poder determinar su rea. Tampoco parece sencilloencontrar lo que en lenguaje simple es un clculo en-tre expresiones indeterminadas, encontrar valores pre-cisos de convergencia pero distintos, a pesar de haberseiniciado en forma anloga. Tambin haremos con lasintegrales un camino de entretencin: se trata de unaoperacin resistida por los estudiantes por su alto nivelde dificultad; sin embargo, nos acercaremos a ellas conlas precauciones necesarias, con la ternura natural quese siente ante un cachorro aunque sea de una familia defieras.En efecto, el clculo integral complementa la tarea

iniciada en el curso anterior. Tendremos de esta formaun estudiante con una formacin slida en anlisis, conmanejo de nomenclaturas y poseedor de precisin y nopocos recursos que le permiten resolver problemas. Susinterpretaciones en Biofsica le resultarn familiares ytendr la base para las distribuciones de variables con-tinuas en Bioestadstica. La obtencin de modelos enbase a planteo y resolucin de ecuaciones diferencialesconstituyen herramientas poderosas y avanzadas. Conestos elementos podr tomar decisiones en base a pro-babilidades que es la caracterstica fundamental de lasciencias fcticas, en especial las de las disciplinas de laSalud.

Unidad de biomatemtica

v

Captulo 1

Factoriales y nmeros combinatorios

1.1 FactorialesEn un estudio bsico de clculo, combinatoria o pro-

babilidad, aparecen multiplicaciones repetitivas, confactores que van disminuyendo. Una forma de repre-sentar stas es mediante el uso de factoriales.

Denicin 1.1. Para cualquier nmero natural , defi-niremos el factorial de , simbolizado por !, como elproducto de los primeros nmeros naturales. Es decir,

! = 1 2 3

Ejemplos1! = 12! = 1 2 = 23! = 1 2 3 = 64! = 1 2 3 4 = 245! = 1 2 3 4 5 = 120

Estos productos aumentan rpidamente. Por ejem-plo, 11! = 39.916.800 y 60! posee 82 cifras.

Tambin, definiremos 0! = 1.Observemos un hecho til

5! = 5 4 3 2 1 = 5 4!6! = 6 5 4 3 2 1 = 6 5!7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 7 6!

en general! = ( 1)!

Esta propiedad nos permite calcular expresiones co-mo

a)80!78! =

80 79 78!78! = 80 79 = 6320

b)

90!88! 89! =

90!88! (1 89) =

90 89 88!88! 88 =

400544

c) Tambin algunas simplificaciones

( + 1)!( )! =

( + 1)( )!( )! = + 1

1

Captulo 1. Factoriales y nmeros combinatorios

d) Y resolver una ecuacin sencilla

( 4)! = ( 5)!( 4)( 5)! = ( 5)!

4 = 1 = 5

1.2 Nmeros combinatoriosDenicin 1.2. Sean , tales que . Se defineel nmero combinatorio o coeficiente binmico, deno-tado por () y se lee sobre , a la expresin

= ( 1)( 2) ( + 1)1 2 3

Ejemplos1.

133 = 13 12 111 2 3 = 286

2. 95 = 9 8 7 6 51 2 3 4 5 = 126

En general, el nmero () posee factores en el nu-merador y factores en el denominador

3. Resolver () = 15

2 = 15

( 1)1 2 = 15

= 30 30 = 0

( 6)( + 5) = 0 = 6 = 5 No es solucin (5)

Teorema 1.2.1. = !! ( )!

Demostracin

= ( 1)( 2) ( + 1)1 2 3 segn definicin

= ( 1)( 2) ( + 1)!( )!( )!

= ( 1)( 2) ( + 1)( )( 1)3 2 1! ( )!

Notemos que escribimos ( )! de acuerdo a la defi-nicin de factorial; con esto, el numerador completo esclaramente el producto desde 1 hasta expresado re-gresivamente, es decir

= !! ( )!

Con el teorema 1.2.1, podemos extender la definicine incluir en nuestros clculos el 0 en los lmites. Esto loexpresaremos en los siguientes corolarios

Corolario 1.2.2. 0 = !0! ( 0)! =

!1 ! = 1

Corolario 1.2.3. =!

! ( )! =10! = 1

a pesar que ahora escribiremos un caso ms particu-lar an

Corolario 1.2.4. 00 = 0!0! (0 0)! =

11 1 = 1

Corolario 1.2.5. 1 = !1! ( 1)! =

( 1)!( 1)! =

Teorema 1.2.6. =

2

1.2. Nmeros combinatorios

Demostracin

= !! ( )! por teorema 1.2.1

= !( )! !

= !( )! ( + )!

= !( )! ( ( ))!

Ejemplo Demostrar que

+ 1 1

==

En efecto,

+ 1 1

= + 12

por teorema 1.2.6

= ( + 1)1 2 por definicin

= ( + 1)2

Teorema 1.2.7.

+

+ 1

= + 1 + 1

Demostracin En efecto

+

+ 1

= !! ( )! +!

( + 1)! ( 1)!

= ( + 1)! +( )!( + 1)! ( )!

= ! [ + 1 + ]( + 1)! ( )!

= ! ( + 1)( + 1)! [ + 1 ( + 1)]!

= ( + 1)!( + 1)! [ + 1 ( + 1)]!

= + 1 + 1

Ejemplo Resolver ( ) = 28

2 = 28

2 = 28 por teorema 1.2.6

( 1)1 2 = 28

= 56 56 = 0

( 8)( + 7) = 0 = 7 no es solucin = 8

3


1.3 Teorema del binomioEl cuadrado de un binomio es recordado por todos

los estudiantes. Son muchas las horas dedicadas a l enesa pasada y pasiva poca escolar. El cubo de unbinomio, en cambio, es recordado por pocos y con unpoco de inquietud. Hoy podemos advertir que es un te-ma sencillo y que estamos en condiciones de desarrollarcualquier binomio que tenga exponente natural o cero.Por ahora, sabemos que

( + ) = 0( + ) = + ( + ) = + 2 +

( + ) = + 3 + 3 +

( + ) = + 4 + 6 + 4 +

( + ) = + 5 + 10 + 10 + 5 +

( + ) = ? (considerando )

Con mucha claridad advertimos que

1. El desarrollo de ( + ) tiene + 1 trminos.

2. Los exponentes de , en la medida que se escribe eldesarrollo de los trminos, decrecen desde hasta0.

3. Los exponentes de , en cambio, aumentan desde0 hasta .

4. En cada uno de los trminos, la suma de los expo-nentes de y de es , es decir, el exponente delbinomio.

5. Falta visualizar una forma de encontrar o generarlos coeficientes de los + 1 trminos.

Unamanera sencilla de encontrar estos coeficientes esa travs del denominado tringulo de Pascal. En reali-dad no es un tringulo, si no una configuracin num-rica triangular.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Qu podemos explicitar de este tringulo?

1. El primero y ltimo trmino de cada fila es 1.

2. Es un tringulo issceles. En realidad es una confi-guracin numrica triangular isosclica.

3. Como en todo tringulo issceles, la altura corres-pondiente a la baste determina dos tringulos con-gruentes y simtricos. Esto permite advertir la si-metra que poseen los coeficientes en cada una desus filas.

4. Todo coeficiente situado en medio y debajo deotros dos se obtiene como suma de stos.

5. El inconveniente es que el tringulo resulta incmo-do o muy laborioso si el valor de es muy grande.

Se requiere entonces encontrar una manera de gene-rar cualquier fila o, equivalentemente, una forma de ge-nerar la fila base para cualquier valor de natural.Afortunadamente, este tringulo puede ser escrito co-

mo

4

1.3. Teorema del binomio

00

10

11

20

21

22

30

31

32

33

40

41

42

43

44

50

51

52

53

54

55

En resumen

Primer coeficiente o coeficiente de orden 1: ().

Segundo coeficiente o coeficiente de orden 2: ().

Tercer coeficiente o coeficiente de orden 3: ().

Se debe advertir que el ltimo coeficiente, o coefi-ciente de orden + 1 es ().En general

Coeficiente de orden + 1: ().

Coeficiente de orden : ( ).

Por lo tanto, estamos en condiciones de escribir eldesarrollo de ( + ). En efecto,

(+) = 0 +

1 +

2 ++

y podemos expresar este largo desarrollo como

( + ) ==

.

Nuestro inters ser el clculo de trminos aisladospor sobre un desarrollo completo

Ejemplo Dado el binomio

2 14

1. Calcular el dcimo trmino

Notemos que = 12 y el valor del lmite inferiordel nmero combinatorio es 9.

= 129(2)

14

= 220 2 14

= 558192

2. Determinar el trmino central

Como = 12, el binomio tiene 13 trminos y eltrmino central es el sptimo. As,

central = = 126(2)

14

= 924 2 14

= 231

3. Hemos observado que se efectan varias operacio-nes con potencias de . Si en estas operaciones seobtuviera , por el hecho que = 1 para =0,el trmino no tendra una potencia de en formaexplcita. Se dice entonces que es un trmino inde-pendiente de . En el binomio que estamos traba-jando, existe trmino independiente de ? Quorden tiene? Calculemos.

Notemos que = 12 pero no sabemos cul es esetrmino, es decir no se conoce su orden o ubicacin. Sin embargo, genricamente el trmino es

12(2)

14

5


y la condicin es que al efectuar las operacionescon las potencias de se obtenga , por lo tanto

()() = 0

=

=

24 6 = 0 = 4

Esto significa que se trata del quinto trmino. Enefecto

= 124(2)

14

= 495 2 14= 495

4. Obtener el trmino que contiene .Razonando en forma anloga al problema anterior,se llega a

=

24 6 = 7

= 316

Esto significa que en el desarrollo de 2

no aparece un trmino que contenga a puestoque la solucin debe entregar un nmero natural ocero. Ms preciso an, un entero desde 0 hasta 12.En cualquier otro caso, la condicin pedida no secumple.

6

1.4. Ejercicios

1.4 Ejercicios1. Calcule

a) 13!

b) 7! 9!

c)70!68!

d)12! 15!20!

e)35! 34!34!

f)91!

90! 91!

g)25! +24!23! +24!

h)70! 72!72! 71!

2. Calcule el valor de si

a) ! = 24b) ( + 1)! = 120c) ( 1)! = 24d) 5! = 30e) 8 + ! = 14f) (3)! = 720g) 2 + 2! = 50h) 3 + (2)! = 27

3. Exprese el producto o el cuociente aplicando nota-cin factorial

a) 20 19!b) 14 13 12 11!c) 45

d)1

20 19 184. Efecte y/o simplifique (suponga que > > 0)

a) ( + 1)!

b) ( 1)!

c)( 1)!

!

d)!

( 2)!

e)( 1)!( 2)!

f)( + 5)! + 5

g) ( )( 1)!

h) ( + 1)( )!

i)( + 1)! + 1

j)( 1)!( + 1)!

5. Calcule el valor de

a) 403

b) 4037

c) 502

d) 5048

e) 60 +

88 +

00

f) 93 +

94

7


g)=

!

h)=

!

i)=

(1)!

j)=

!( 1)!

k)=

5

l)=

5

m)=

(1)5

n)=

(1)5

6. Demuestre que

a) = ( 1)( 2) ( + 1)

=

!! ( )!

b) =

c) +

+ 1

= + 1 + 1

d) =!

( )! ! =

e) + 1 1

==

f) + 1 =

+=

7. Determine el valor de si

a) ( + 4)! = ( + 5)!

b) ( 7)! = ( 6)!

c) 2 = 2 2

d)

2 = 3

e) 2 =

3

f) + 2 = 5 + 1

g) 18 =

18 2

h) 23

2 = 443

i) + 1 1

= 2(2 + 11)

j) + 3 = ( 1) 18( + 1)

8. Desarrolle

a) ( + 2)

b) (2 + 3)

c) (5 1)

d) (1 4)

e) ( )

f) 1

8

1.4. Ejercicios

9. Considere el desarrollo del binomio ( + )

a) Cul es el coeficiente del primer trmino?

b) Cul es el coeficiente del ltimo trmino?

c) Cuntos trminos tiene este binomio?

d) Qu orden tiene el trmino central?

e) Cul es el coeficiente del trmino central?

10. Encuentre

a) El quinto trmino de ( + ).

b) El noveno trmino de 2

1

c) El trmino central de

i. 2

2

ii. 1 2

d) El trmino independiente de en el desarrollode

i. 1

ii. 2

e) El trmino que contiene en el desarrollo de(3 2).

f) El trmino que contiene en el desarrollo

de 2 1

.

g) El valor de para que sean iguales los ter-

ceros trminos de los binomios +1

y

.

11. Dado el binomio 1

, determine

a) El coeficiente del trmino que contiene .b) El coeficiente del trmino que contiene .c) El trmino independiente de .

12. Considere la expresin 1

y calcule

a) El cuarto trmino.

b) El trmino central.

c) El trmino independiente de .

13. Demuestre

a)=

= 2

b)=

= 2 1

c)=

(1) = 0

d)=

(1) = 1

e)=

2 = 2

f) + = 1 () =

=

() = 1

9


1.5 Soluciones1. a) 6.227.020.800

b) 1.828.915.200c) 4.830d) .e) 34f) g)

h) ..2. a) 4

b) 4c) 5d) 3e) 3f) 3g) 2h) 2

3. a) 20!b) 14!c) !!

d) !!

4. a) ( + 1)!b) !c) d) ( 1)e) 1f) ( + 4)!g) ( )!h) ( + 1)!i) ( )!

j) (+)()

5. a) 9.880b) 9.880c) 1.225d) 1.225e) 3f) 210g) 9h) 10i) 101j) 15k) 31l) 32

m) 0n) 1

6. a)

= ( 1)( 2) ( + 1)1 2 3

= ( 1)( 2) ( + 1)1 2 3( )!( )!

= ( 1)( 2) ( + 1)( )( 1)3 2 1! ( )!

= !! ( )!

7. a) 4b) 7c) 2d) 3e) 5f) 8g) 10

10

1.5. Soluciones

h) 6i) 11j) 6

8. a) + 8 + 242 + 32 + 164

b) 325+ 240+ 7202+ 1080 +810 +243

c) 3125 3125 + 1250 250 + 25 1

d) 1 24 + 240 1280 + 3840 6144 +4096

e) 6 + 15 20 + 15 6 +

f) 7+2135+35

21

+ 7

1

9. a) 1b) 1c) 2 + 1d) + 1e) (2)! /(! )

10. a) 210

b) 495/16

c) i. 70ii. 429/16

d) i. 84ii. 960

e) 15120

f) 3640

g) 4

11. a) 1365b) 1365c) No existe trmino independiente de en el

desarrollo de este binomio puesto que =60/7 no pertenece a 0.

12. a) 364

b) 3432

c) 364

13. a)=

=

=

1 1 =

=

1 1 =

(1 + 1) = 2

11

Captulo 2

Integral indenida

2.1 Diferencial de una funcinSi tenemos una funcin diferenciable , podemos

aproximar el valor de la funcin en + si conoce-mos la derivada de en mediante

( + ) () + ()

En esta expresin, definiremos el ltimo trmino co-mo una funcin de dos variables

(, ) = ()

y lo llamaremos el diferencial de la funcin . Normal-mente, por un abuso de la notacin, lo escribiremos() o incluso . Lo ms habitual es escribirlo como.No es difcil darse cuenta que en el caso de () =

, su diferencial ser (, ) = . As, es tambincostumbre escribir el diferencial como

= ()

o bien = ()

Ejemplos

1. () = 4, = 4

2. () = , = 2

3. () = 1, = 1

2 13

4. () = , = 5

5. () = ln , = 1/

6. () = sen 2, = 2 cos 2

Observacin 1 Resulta evidente que las propiedadesde las diferenciales son anlogas a las propiedades dederivadas.

13

Captulo 2. Integral indefinida

Interpretacin geomtrica del diferencial

X

Y

+

+=(+)

=(){ }}

=()

Figura 2.1: Interpretacin geomtrica del diferencial

En la Figura 2.1, es un segmento de la recta tan-gente a la curva () en el punto . Por lo tanto, supendiente es igual a ().

tan = () =

()

= () =

Luego, la diferencial de una funcin, para un valor da-do de , en este caso , es el incremento de la funcinhasta la tangente (corresponde a la medida del trazo).

Observacin 2 Se debe notar que = , en cambio() ()

Esta caracterstica permite efectuar clculos aproxi-mados

Ejemplo Calcular 33 usando diferenciales.Se considera la funcin () = y se toman valores

conocidos y cmodos, en este caso = 32 y = 1.

() + () = + ; en nuestro caso 32 + 1() =

() = 15

evaluando para = 32 y = = 1

() = 15 32

1 = 15 32/ =1

5 (2)/

= 15 2 =1

5 16 =180 = 0,0125

Dado que () +() () + (), se pueden eva-luar con los valores obteniendo

32 + 0,0125 = 2 + 0,0125 = 2,0125

segn calculadora, 33 = 2,012346617.

14

2.2. Integral indefinida

2.2 Integral indenidaLa operacin inversa de la derivacin (o diferencia-

cin, segn podemos apreciar) se llama integral indefi-nida.

Denicin 2.1. Se llama primitiva de una funcin ()a toda funcin () cuya derivada es igual a (), esdecir, () es primitiva de () si

() = ()

Ejemplos1. Cul es la funcin () tal que su derivada es igual

a la funcin () = 2? () = , ya que () = 2;pero la respuesta no es nica, por ejemplo

() = + 5 ya que () = 2 = ()() = + ya que () = 2 = ()() = 3 ya que () = 2 = ()

En general, la respuesta es

() = + , con constante,

2. Determine primitivas de la funcin () = 3.Algunas de ellas son

() = 1

() = + 12() = +

en general () = + con

ya que () = 3 = ().

Ejercicio Obtener las primitivas de1. () = (() = /4 + )

2. () = (() = + )

3. () = 1 (() = ln + )

4. () = cos (() = sen + )

Notacin Introduciremos la siguiente simbologa pa-ra denotar la familia de primitivas de una funcin ()

() = () +

El smbolo () puede interpretarse como la fun-cin () cuya derivada es (). Llamaremos a esto laintegral indefinida de .

Ejercicios Resolver1. (/3 + )

2. ( + )

3. (ln + )

4. cos (sen + )

5. ( + + 1) (/3 + /2 + + )

Propiedades de la integral indenida1. () + () = () +()

2. () = () con constante

Demostracin1. La propiedad dice que si

() = () y () = (),

entonces

() + () = () + ().

Pero esto es claramente verdadero pues

(() + ()) = () + ().

15


2. Anlogamente, la demostracin sale del hecho que

()= ()

2.3 Tcnicas de integracinEn cuanto salimos de las integrales ms sencillas, nos

topamos con que muchas integrales que no parecen de-masiado difciles se vuelven inmanejables. Sin embargo,al recordar la estrecha relacin entre la derivada y la in-tegral aparecern dos tcnicas muy importantes. Unatercera viene de un resultado algo ms sutil: el teoremafundamental del lgebra.

Integracin por sustitucinAl tener () claramente el diferencial corres-

ponde al diferencial del argumento de () pero esto noes siempre as. En muchas ocasiones se tiene una expre-sin de la forma

() ().

Cuando logramos advertir esta estructura en una in-tegral, entonces estamos en presencia de una integralque se resuelve por sustitucin. El concepto bsico esque en el integrando podamos distinguir una funcin yla diferencial de su argumento.

Ejemplos1. Integremos () = sen cos . Primero, tiene la

estructura deseada? Efectivamente, podemos rees-cribir la funcin como () = (sen ) cos , y re-cordemos que que (sen ) = cos . Entonces, escri-bamos = sen . Con esto tenemos

= cos

por lo tanto el diferencial es

= cos

y podemos convertir por tanto la integral como

sen cos =

esta integral es considerablemente ms sencilla

=3 +

usando de nuevo que = sen

3 + =

sen 3 +

por lo tanto

sen cos =sen 3 +

2. Integremos + 3 . Claramente esta inte-gral tiene la forma deseada, pues tomando

= + 3

tenemos = 2 . Ahora bien, en la integral ori-ginal no aparece el 2 pero podemos hacer

2 =

y nos queda

+ 3 =12

= 12/3/2 +

= /

3 +

= ( + 3)/3 +

16

2.3. Tcnicas de integracin

Integracin por partesComo hemos dicho, integrar es un proceso que tiene

algn grado de complejidad. A diferencia de las deriva-das o diferenciales, no existe una frmula general quenos permita integrar un producto o cuociente.Una herramienta poderosa para enfrentar algunos de

estos casos viene de la siguiente propiedad. Si tenemos

=

entonces, podemos calcular su diferencial

= + = +

integrando a ambos lados

= +

= +

= +

despejando la ltima integral

= (1)

Bsicamente, en qu consiste este mtodo? se tratade elegir adecuadamente y de modo que el pro-ducto de ellos sea todo el integrando y transformamosla integral original en otra expresin que contiene unaintegral de solucin ms sencilla.

Ejemplos1. Encontremos cos . Nuestra meta es encon-

trar y dentro de esa expresin que nos permi-tan obtener otra integral ms simple. Elijamos

= = cos lo que implica

= = sen

Reemplazando esto en la frmula de integral porpartes (1) obtenemos

cos = sen sen

= sen ( cos ) + = sen + cos +

2. Calculemos . Nos conviene usar

= = lo que implica

= =

y con esto calculamos nuestra integral

=

= +

3. Qu pasa si calculamos ? Podemos elegirlas distintas partes como

=

= y entonces

= 2 =

y la integral queda

= 2

= 2

pero esta ltima integral tambin se realiza por par-tes (es el ejemplo anterior) y finalmente obtenemos

= 2( + )

= 2 + 2 +

17


4. Un ltimo ejemplo es cos . Si separamoscos como cos cos obtenemos

= cos = cos y entonces

= sen = sen

realizando entonces la integral encontramos que

cos = cos sen +sen

la segunda integral tambin se desarrolla por par-tes

cos = cos sen + ( sen cos +cos )

0 = 0

Estamos en un problema! Nuestro desarrollo, unpoco ingenuo, de esta integral nos condujo a dedu-cir que 0 = 0, lo que es cierto, pero intil. Cmosalvar el problema?

Usemos la identidad pitagrica sen + cos = 1para despejar sen y reemplacemos ese valor enla integral

cos = cos sen +sen

= cos sen +(1 cos )

= cos sen +1 cos

cos = cos sen + + cos

2cos = cos sen + +

cos =cos sen

2 +2 +

2.4 Integracin por fracciones parcialesNuestro ltimo mtodo nace de la necesidad de in-

tegrar de funciones racionales, es decir, funciones de laforma ()/() con () y () polinomios, con el gradode () es menor o igual que el grado de ().En general, esto no es un problema tan sencillo. Para

poder resolverlo, nos enfocaremos en un caso especialde funcin racional que tiene un par de propiedadesinteresantes, las fracciones parciales.

Denicin 2.2. Una fraccin parcial es una funcin ra-cional de la forma

()()

donde es un nmero natural, que cumple una de lassiguientes condiciones

La funcin () es una funcin lineal y la funcin() es una constante.

La funcin () es una funcin cuadrtica irreduci-ble, es decir que no tiene races reales, y la funcin() es una funcin constante o lineal.

Por ejemplo, las siguientes funciones son fraccionesparciales

32 5

5(3 )

10( 1)

2 + 3 + + 5

mientras que las funciones

3 5

2 1 + 5 + 6

no son fracciones parciales, la primera no lo es pues sibien abajo es un factor lineal, arriba tambin; la segun-da no lo es porque el polinomio cuadrtico del denomi-nador no es irreducible, ya que puede escribirse como( + 2)( + 3).Qu tienen de especial las fracciones parciales? En

particular, son de muy fcil integracin. Adems, su uti-lidad viene dada por siguiente teorema:

18

2.4. Integracin por fracciones parciales

Teorema 2.4.1. Toda funcin racional puede ser escri-ta en forma nica como la suma de distintas fraccionesparciales.

En la prctica, esta descomposicin en fracciones par-ciales se puede llevar a cabo de cuatro posibles formas,segn aparezcan slo factores lineales o si tambin apa-recen cuadrticos y tambin si no hay repeticin de fac-tores o si, por el contrario, la hay. Estudiaremos en pro-fundidad los casos de factores lineales, con o sin repeti-cin, pues en los otros dos casos nos alejan del objetivodel curso.

Caso I: Denominador en que aparecen slofactores lineales sin repeticinConsideremos como ejemplo la siguiente integral

23

20

Cmo podemos descomponerla en fracciones par-ciales? Para empezar, observemos que el denominadorpuede ser descompuesto como

20 = ( 5)( + 4).

Esto nos dice que, al aparecer solo factores lineales enel denominador, la descomposicin en fracciones par-ciales tendr que ser de la forma

23 20 =

5 +

+ 4

donde y son coeficientes por determinar.Cmo los determinamos? Ya que tenemos la igual-

dad anterior, podemos multiplicar por ( 5)( + 4) yobtenemos

23 = ( + 4) + ( 5) (*) 23 = + 4 + 5 23 = ( + ) + (4 5)

si dos polinomios son iguales sus coeficientes son igua-les y por tanto tenemos el sistema

1 = + 23 = 4 5

multiplicando la primera ecuacin por 5

5 = 5 + 523 = 4 5

sumando ambas ecuaciones

18 = 9

despejando

2 =

despejando con la primera ecuacin

1 = 2 + 3 =

Encontrados los coeficientes, = 2 y = 3, pode-mos calcular la integral original

23

( 5)( + 4) = 2 5 +

3 + 4

= 2 ln( 5) + 3 ln( + 4) +

Como resolver un sistema en general puede llegar aser laboriosoimagine un sistema ya no con dos incg-nitas, si no con cinco un mtodo alternativo consisteen volver a la ecuacin (*)

23 = ( + 4) + ( 5)

y tomar valores de arbitrarios pero convenientes quenos permitan simplificar la expresin y obtener los coe-ficientes deseados

19


= 4 27 = 0 9 = 3 = 5 18 = 9 0 = 2

Obtenidos los coeficientes podemos integrar de lamisma manera que antes y llegamos al mismo resulta-do.En general, cada vez que el denominador de la fun-

cin racional que queramos integrar est compuestopor factores lineales sin que ninguno se repita, el m-todo que usaremos ser el mismo:

Asignar a cada factor del denominador una frac-cin parcial con numerador indeterminado.

Igualar la suma de las fracciones parciales a la fun-cin racional original.

Obtener una expresin equivalente a la ecuacin(*), multiplicando el denominador en la ecuacinanterior.

Obtener los coeficientes ya sea resolviendo el siste-ma de ecuaciones o bien tomando valores arbitra-rios de y reemplazando.

Caso II: Denominador en que aparecenfactores lineales, algunos con repeticinEste caso es muy similar al anterior. La diferencia ra-

dica en que, al haber repeticin en los factores, tendre-mos que tenerla en cuenta en nuestra descomposicinen fracciones parciales.Consideremos la integral

2 + 3( 1) .

En este caso, al repetirse el factor 1 dos veces lotendremos en cuenta el mismo nmero de veces, cadavez con exponentes ms altos en el denominador

2 + 3( 1) =

+

1 +

( 1)

multiplicando por ( 1)

2 + 3 = ( 1) + ( 1) +

tomando de nuevo valores convenientes

= 0 3 = + 0 + 0 = 3 = 1 5 = 0 + 0 + = 5 = 2 7 = + 2 + 2

7 = 3 + 2 + 106 = 2 = 2

y por lo tanto la integral se resuelve como

2 + 3( 1) =

3

2 1 +

5( 1)

= 3 ln 2 ln( 1) 5 1 +

Nota 1

5

( 1) = 5 = 5

1 + = 5

1 +

20

2.4. Integracin por fracciones parciales

Nota 2 Un ejemplo un poco ms extremo de descom-posicin en fracciones parciales es

numerador

( 2)( + 4)( 3) =

2 +

+ 4 +

( + 4) +

( + 4)+

( + 4) +

3 +

( 3) +

( 3)

Caso III: Denominador en que aparecenfactores cuadrticos sin repeticinEn este caso, la diferencia consiste en que, al apare-

cer factores cuadrticos en el denominador, en el nu-merador es posible que aparezcan factores lineales. Porejemplo, consideremos

5 2

( + 1)( 1)

Descomponiendo en fracciones parciales

5 2( + 1)( 1) =

1 +

+ + 1

multiplicando por ( + 1)( 1)

5 2 = ( + 1) + ( + )( 1)

tomando algunos valores convenientes

= 1 3 = 2 + 0 = 32 = 0 2 = + 0

2 = 32 =72

= 2 8 = 5 + 2 +

8 = 152 + 2 +72

16 = 15 + 4 + 7

6 = 4 = 32

Realizando la integral

5 2

( + 1)( 1) =

1 + +

+ 1

= 32 1 +

+

+ 1

= 32 ln( 1) + [3 7] + 1

= 32 ln( 1) 12

3 7 + 1

= 32 ln( 1) 12

3 + 1

7 + 1

= 32 ln( 1) 12 3

12

2 + 1 7

+ 1

= 32 ln( 1) 34 ln(

+ 1) + 72 arctan +

21


Caso IV: Denominador en que aparecenfactores cuadrticos, algunos con repeticinEn este caso, a semejanza de lo que ocurre en los dos

casos anteriores, la descomposicin en fracciones par-ciales se realiza tanto con funciones lineales en el nume-rador como repitiendo los factores segn su nmero derepeticiones.Por ejemplo, la descomposicin en fracciones parcia-

les de1

+ 1 + + 1

es

1

+ 1 + + 1

=2 + 3

+ + 1 +

+ + 1

2 + 1 + 1 1

+ 1

y la integracin de los distintos sumandos se realizaprincipalmente mediante arreglos algebraicos y luegointegrando por sustitucin donde fuera necesario.

2.5 EjerciciosIntegracin inmediata1.

2.

3. ( + 1)

4. 5

5. 2

6. 2 sen

7. (3 + cos )

8. 5

9. /

10. /2

11. /

12. (sen cos )

13. + 4 + 3

5

14. 2

3

15. + 27 + 3

16. /

17. + 1

18.

19. ( + )

20. 1 +

4

+ 2

22

2.5. Ejercicios

Integracin por sustitucin1. 1

2.

3. ln | ln || | ln ||

4. sen 2

5. 1 + cos sen +

6. (2 + 1) ln | + + 3|

+ + 3

7. +

8. +

9. sen ln ||

10. 1

11. 3 2

12. + 1

+ 2 + 3

13.

14. + 1 2

15. cos sen

16. sen 2

(1 + cos 2)

17. cos

18. tan cos

Integracin por partes1.

2.

3. ln ||

4. ln ||

5. cos

6. ln

7. sen 3

8. sen

9. sen

10. ln ||

11.

12. cos

13. cos

14. sen cos

15. sen

16. ln

17. sen

18. sen ln(cos )

23


Fracciones parciales: caso 11.

1 2

2. 3 + 5

+ 6 + 8

3. 6 1

6 + 5 6

4. 3 7

(25 9)

5.

1

6. 2 1

( 1)( 2)

7. 5 3

( 1)( 3)

8. 3 + 7

+ 4 5

9. 6 5

2 3

10. 2 2 1 + 2

11. 3 + 5 5 + 2

12.

( + 1)( + 3)( + 5)


2( + 3)

2. 3 + 1

(2 + 1)( 1)

3.

( 2)( + 3)

4. 2

( 3)( 4)

5. 3 5

6 + 9

6. 4 1

+ 3 4

7.

(1 )

8. + 2 + 3

(1 + )( 1)

9. + 2

( + 1)( 2)

10. 3 + 2

(1 + )

11.

( + 2)( + 4)

24

2.6. Soluciones

2.6 SolucionesIntegracin inmediata1. +

2. /2 +

3. /3 + +

4. 5/4 +

5. /3 +

6. 2 cos +

7. 3 + sen +

8. 5 +

9. ln +

10. ln +

11. 1/ +

12. cos sen +

13. /10 + 4/5 + 3 ln /5 +

14. ln + 1/ +

15. /3 3/2 + 9 +

16. (ln )/ +

17. /2 1/ +

18. 4//7 +

19. /6 + +

20. 2 8/ 1/ +

Integracin por sustitucin1. ( 1) +

( 1) +

2. 2 +

3.ln | ln |||

2 +

4. cos(2)/2 +

5. 2sen + +

6. ln | + + 3| +

7. +/7 +

8. ln | | +

9. cos(ln ||) +

10. ln |1 | +

11. ln |2 | +

12. ln + 2 + 3 +

13. /5 +

14. /2 + 2 + 5 ln | 2| +

15. csc +

16.1

2(1 + cos(2)) +

17. +

18. sec()/2 +

Integracin por partes1. ( + 1) +

2.3

+ 23 +29 +

3. ln || +

25


4. ln || 2 ln || + 2 +

5.2 (cos + sen ) +

6. ln ||2 14 +

7.13 (2 sen(3) 3 cos(3)) +

8. sen() cos() +

9. (2 ) cos + 2 sen +

10. ||

+

11. 2 + 2 +

12. 6sen+3 2cos +

13. 112sen()+ 3 sen()4 +

14sen()cos

()+

14. cos 2 +

15.4

sen cos 2 +

sen 4 +

=

4 sen(2)

4 cos(2)

8 +

16. ln 3

9 +

Fracciones parciales: caso 11. ln ( 2)( + 1) +

2. ln

( + 4) + 2 +

3. ln (2 + 3)(3 2) +

4.79 ln

2245 ln(5 + 3)

1345 ln(5 3) +

5.12 log( + 1)

12 log(1 ) +

6. ln ( 2) 1 +

7. ln ( 3) 1 +

8. ln ( 1)( + 5) +

9. ln ( 3)( + 1) +

10. ln ( + 2)/

1 +

11. ln( 1)

+ 2

+

12. 18 ln( + 1)( + 5) + ln( + 3)/ +


59 ln

+ 3

+ 23 +

2.19

12 1 + ln( 1) ln(2 + 1) +

3.125 ln

+ 3 2

15( 2) +

4. 10 ln 4 3 +

9 3 +

2( 3) +

5.127 ln

3 +

59

49( 3) +

6.13 ln

1 + 2

3 + 2 +

7.1

1 1 + ln

1

+

26

2.6. Soluciones

8. ln

( 1) + 1 +

1 + 1 +

9.29 ln

2 + 1

13( + 1) +

12( + 1) +

10. ln + 1+ 2 + 1

12( + 1) +

11. ln + 4 + 2

4 + 4

1 + 2 +

27

Captulo 3

Integral denida

Sea () una funcin continua en [, ] con la propie-dad de que () > 0 [, ]. Enfrentaremos el pro-blema de calcular el rea limitada con el eje , las rectas = , = y la curva correspondiente a la funcin ().

f HxLA

a b

Figura 3.1: rea entre la curva y el eje

Ahora bien, dada una funcin cualquiera, calcular surea es un problema difcil. Para resolverlo, es conve-

niente intentar hacerlo basndonos en figuras cuya reasea fcil de obtener. El rea de un rectngulo cumple es-ta caracterstica y es aplicable para resolver el problemaen general, como veremos.Dividamos el intervalo [, ] en subintervalos igua-

les. Por lo tanto, la longitud de cada uno de estos subin-tervalos ser , que simbolizaremos por (Figu-ra 3.2).Sabemos que el rea de un rectngulo es base por

altura. Ahora bien, en cada subintervalo tomaremos un arbitrario y () ser la altura de cada rectngulo.Podemos aproximar entonces el rea mediante la

suma del rea de los rectngulos

=

().

Por supuesto, con pocos rectngulos esta aproxima-cin es bastante burda. Intuitivamente, la aproxima-cin del rea ser ms exacta en la medida que elsubintervalo sea ms pequeo, pero esto equiva-le a dividir el intervalo [, ] en muchos intervalos.

29

Captulo 3. Integral definida

a bx1 x2 x3 x4 x5 x6

Figura 3.2: Particin con 6 subintervalos

Cunto es mucho? Lo ms posible, es decir,

= lim

=

().

Denicin 3.1. Sea () una funcin definida en unintervalo [, ]. La integral de () sobre [, ], que sedenota como

() se define como

() = lim

=

()

suponiendo que dicho lmite exista

Observacin 3 El lmite inferior de integracin es y es el lmite superior de integracin.

Notemos un hecho importante. En nuestra discusin,hemos considerado la funcin como positiva en el in-tervalo que nos interesa. Qu ocurre si esta funcin esnegativa? No es difcil darse cuenta que, en este caso,llegaramos a que el rea debe ser negativa. Pero esono es posible, pues el rea de una superficie es siemprepositiva (o cero). Qu es lo que sucede? Pecamos de

excesivamente positivistas y nuestra construccin ante-rior, si bien importante, no es el rea en general. Sinembargo, como veremos ms adelante, no estbamostan perdidos y podremos basarnos en lo que hemos he-cho para solucionar, de una vez por todas, el problemadel rea. La integral definida, adems de un bonito re-sultado terico, tambin tiene variadas aplicaciones pors misma.

3.1 Teorema fundamental del clculoTeorema 3.1.1. Sea () una funcin continua en elintervalo [, ]. Si () es una primitiva de () sobre(, ), es decir, () = () (, ) entonces

() = () ()

Veamos un ejemplo. Sabemos que() = ()+,por ejemplo

() = =2 +

y esta funcin () la podramos evaluar para algunoscasos particulares, entre ellos (6) = + = 18 + o(2) = + = 2 + y el smbolo

= (6) (2) = (18 + ) (2 + ) = 16

y grficamente (ver Figura 3.3) bajo la curva hay 16 cua-draditos. Este nmero 16 que se obtiene corresponde aunidades del eje por unidades del eje . Por ejemplo,si ambas unidades fueran de longitud entonces seran.

30

3.2. Algunas propiedades de la integral definida

1 2 3 45 6 7 89 10 1112 1314

14,5

15

15,5

16

2 3 4 5 6

Figura 3.3: rea bajo () = entre 2 y 6

En resumen, el rea bajo la funcin se calcula me-diante

= lim

=

() =

() = ()|

= () ()

siempre que () 0 para todo [, ].La expresin bajo la curva deja implcito que es el

rea encerrada por la grfica de la funcin, el eje y lasrectas = y = .Si la funcin se conoce y si podemos calcular la in-

tegral indefinida no habr problemas para calcular laintegral indefinida y el rea bajo la curva.

3.2 Algunas propiedades de la integraldenida

Si () y () son funciones integrables sobre [, ]entonces

1.

[() + ()] =

() +

()

2.

() =

()

3.

() = 0

4.

() 0 si () 0

5.

()

() si () () [, ]

6.

() =

()

7.

() =

() +

() con < <

31


3.3 Clculo de reasEn general, para calcular el rea encerrada entre una

funcin y el eje debemos asegurarnos que la funcinsea positiva. Para esto, lo ms simple es

=

|()| ,

sin embargo, esto no es muy til para obtener el resul-tado de esa integral. Para esto observemos un par decosas

Si () 0 para todo en [, ], |()| = () y porlo tanto

=

().

Si () 0 para todo en [, ], |()| = () ypor lo tanto

=

().

Si la funcin es tanto positiva como negativa en[, ], supongamos sin prdida de generalidad quecambia de signo en , es decir, () = 0 y que () 0 [, ] y que () 0 [, ]. Entonces, porpropiedades de la integral indefinida tenemos

=

|()| =

|()| +

|()|

=

()

()

Por lo tanto, en el caso en que la funcin cambie designo, debemos integrar por trozos, segn el signode la funcin, de manera que el resultado de cadaintegral sea positivo.

Ejemplos1. = ln en [1, ]

ln = ( ln )|

= ( ln ) (1 0 1)= ( ) (1)= 1

1

32

3.3. Clculo de reas

2. = 2 en [1, 2]

=

( 2)

( 2)

= 4

3

4

3

= 0 0 0 14 +

13 1

4 83 4 (0 0 0)

= 3 + 4 1212 83

= 512 +83 =

3712

-1 2

3. = 1 entre [1, 1]

= 2

( 1)

= 2 3

= 2 13 1 (0 0)

= 2 23 =

43

-1 1

33


4. Hay ocasiones en que es conveniente integrar res-pecto a la variable . Si consideramos la curva = , al integrar el rea sombreada en la figura,veremos que es conveniente considerar =

=

=

23

/|

= 23(2)/ 1

= 23 [8 1]

= 143

1 2

1

4

Otra opcin es calcular el rea del rectngulo en-tre el origen y el punto (2, 4), restar el rea bajo lacurva entre = 1 y = 2 (que llamaremos ) yrestar el cuadradito entre el origen y el punto (1,1)

=

=

3 |

= 73

= rectngulo cuadradito

= 8 1 73 =143

3.4 rea entre curvasSean y dos funciones integrables en [, ] tales

que () () [, ]. Queremos determinar elrea encerrada entre las dos curvas. Un procedimien-to consiste en determinar el rea bajo la curva y luegorestarle el rea bajo la curva .

A

f(x)

g(x)

a b

Figura 3.4: rea entre curvas

Por supuesto, en virtud de lo visto en la seccin ante-rior, esta diferencia es

=

()

()

pero por las propiedades de la integral definida, esto noes otra cosa que

=

(() ()).

Esta integral no depende de nada ms que de la posi-cin relativa de las funciones. En particular, no dependede si la funcin cruza el eje , por lo que solo debemosfijarnos qu funcin est por arriba de la otra.

34

3.5. Ejercicios

3.5 EjerciciosIntegral denidaEn cada caso calcule la integral definida

1.

2.

3. /

4.

5.

/( + 2)

6. ln

7. 1 +

8. ( + 5)

9. /(2 + 4)

10. /

11. sen

12. ( + 1)

13. (

1)

14. /(1 + )

15. /

16.

5/(1 4)

Clculo de reasEn cada caso dibuje las regiones limitadas por las cur-

vas que se indican y calcule el rea pedida

1. () = en [1, 1]

2. () = en [1, 1]

3. () = ( 1) en [1/2, 1]

4. () = en [1, 1]

5. () = sen en [0, 2]

6. () = 1 en [1, ln 2]

7. () = ln en [1/2, 2]

8. = 1/(1 + ), = /2

9. = 4, = 8 2

10. = 2 + 1, 1 = 0

11. = sen , = cos , eje , =

12. = 1, = 1, = 1 y = 4

13. = + 4 + 3, = 1

14. = , = +

15. = 9, = + 10

16. = , = 4

17. = , = 3

18. = , =

19. = 1, =

20. = 1, = 3

21. = 0, = 2, = + 3, =

22. = 0, = 2 + 2, = + 4

23. = + 3, = + 4

24. = 2, = 0, =

35


3.6 SolucionesIntegral denida1.

23

2.109

3. 2 2

4. 1

5. ln 2

6. 1

7.415

1 + 63

8.692

9. ln2

10. 1

11. 2

12.403

13.4021

175 33

14. 2 + ln 2 ln 1 +

15.112

16.52 ln

53

Clculo de reas1.

-2 -1 1 2

1

2

3

4

El rea mide 2/3.

2.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

El rea mide 1/2.

36

3.6. Soluciones

3.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

El rea mide 23/64.

4.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

El rea mide 4/15.

5.

p2

p 3 p2

2 p

-1

1

El rea mide 4.

6.

-1 logH2L

El rea mide + () .

37


7.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-3

-2

-1

1

El rea mide 1 log(2) + 2 log(4).

8.

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

.

El rea mide (3 2). (Hint: La integral de

+es arctan ).

9.

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

6

8

El rea mide 32.

10.

-2 -1 1 2 3 4

2

4

6

El rea mide 16/3.

38

3.6. Soluciones

11.

p4

p2

3 p4

p

-1

1

El rea mide 22.

12.

1 2 3 4

-1.0

-0.5

0.5

1.0

El rea mide 3/4.

13.

-1 1 2 3

-5

5

10

El rea mide 83.

14.

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0

-5

-4

-3

-2

-1

1

El rea mide 13/12.

39


15.

-2 -1 1 2

5

10

15

20

25

30

35

El rea mide 40/3.

16.

-2 -1 1 2

-10

-5

5

10

El rea mide 8.

17.

-2 -1 1 2

-5

5

El rea mide 9/2.

18.

0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

El rea mide 1/6.

40

3.6. Soluciones

19.

0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

El rea mide 4/3.

20.

1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

El rea mide 9/2.

21.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1

2

3

4

5

6

El rea mide 8 .

22.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1

2

3

4

El rea mide 2/3.

41


23.

-2 -1 0 1 2

2

4

6

8

El rea mide .

24.1 2 3 4 5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

El rea mide 8/3.

42

Captulo 4

Formas indeterminadas y la regla de lHpital

Durante el semestre anterior estudiamos algunos l-mites relativamente simples. En particular, hicimos usoextensivo de simplificaciones de fracciones para poderrealizar nuestro clculo. Sin embargo, a veces aparecenlmites ms complicados. Por ejemplo, cmo podra-mos calcular

lim

con los mtodos que conocemos?Al evaluar este lmite nos encontramos con una for-

ma indeterminada, de las que existen varios tipos. Unaherramienta muy til es la regla de lHpital. La aplica-cinquizs repetida de esta regla permite convertiruna forma indeterminada a una determinada y as haceposible la obtencin del lmite. Como dato curioso, laregla fue presentada por el marqus de lHpital en loque sera el primer libro de texto de clculo.

LHospitals Rule from Wolfram MathWorld

4.1 Forma indeterminada 0/0La forma ms bsica del mtodo consiste en evaluar

el lmite de la fraccin ()/() en = cuando () =() = 0. La regla dice que si

lim

() = lim

() = 0

y

lim

()()

existe, entonces

lim

()() = lim

()()

Esta regla, si bien til, no nos promete nada. Porejemplo, puede suceder que () = () = 0. En ese ca-so, siempre es posible aplicar la regla de lHpital unao varias veces ms.

43

Captulo 4. Formas indeterminadas y la regla de lHpital

Ejemplos1. Calculemos

lim

sen .

Aplicando la regla de lHpital obtenemos

lim

sen = lim

cos 1 = 1

2. Calculemos

lim

sen + 1

Aplicando la regla de lHpital dos veces obtene-mos

lim

sen + 1 = lim

cos 2

= lim

sen 2 =

12

Por qu aplicamos la regla dos veces? Porque ellmite que obtenemos al aplicarla una vez tambines una forma indeterminada 0/0.

3. Calculemos

lim

1 22 + 4 .

En este lmite no obtenemos una forma indetermi-nada, pues

lim

1 22 + 4 =

12

Qu pasara si un estudiante apresurado aplicarala regla de lHpital? Obtendra

lim

1 22 + 4 = lim

()

(+)

= lim

24 =

12

que no corresponde al lmite.

4.2 Forma indeterminada /Otro caso de la regla de lHpital ocurre al eva-

luar el lmite de ()/() cuando lim () = ylim () = . En este caso, nuevamente ocurre que

lim

()() = lim

()()

Ejemplos1. Encontremos el siguiente lmite

lim

ln()

Aplicando la regla de lHpital, obtenemos

lim

ln()

= lim

2/1/ = lim2 = 0

2. La regla de lHpital aplicada en esta forma inde-terminada es especialmente til en casos como elsiguiente

lim

5 24 2 = lim

52 =

52

4.3 Otras formas indeterminadasOtras formas indeterminadas pueden ser calculadas

mediante la regla de lHpital. Para esto, debemos redu-cir la expresin a la forma ()/(). Algunos ejemplospueden contribuir a clarificar la idea.

Ejemplos1. Un caso de 0 . Calculemos lim+ ln . Redu-

ciremos este lmite al caso de la siguiente forma

lim+

ln = lim+

ln

= lim+

= lim+

= 0

44

4.4. Ejercicios

2. Un caso de . Encontremoslim+

(+). Reduciremos este lmite

al caso como sigue

lim+

1

1ln( + 1) = lim+

ln( + 1) ln( + 1)

= lim+

+ 1

ln(+ 1)+ += lim

+ + ( + 1) ln( + 1)

Lamentablemente, este lmite sigue siendo indeter-minado. Sin embargo, si aplicamos una vez ms laregla de lHpital,

lim+

+ ( + 1) ln( + 1) = lim+1

2 + ln( + 1) = 12

3. Un caso de 1. Encontremos lim 1+ . Pa-

ra hacer esto, usaremos logaritmos. Sea () =ln1+

. Entonces

lim

() = lim

ln 1 +1

= lim ln 1 +1

= lim

ln1+

= lim

+

= lim

11+

= 1

y por la continuidad del logaritmo y de la exponen-cial

lim 1 +

1

= ( ()) = (()) = =

4. Un caso de . Encontremos lim . Como

en el caso anterior, usaremos logaritmos

lim

ln = lim

ln = lim

ln = lim

= 0

y de aqulim

= = 1

4.4 EjerciciosObtenga los siguientes lmites.

1. lim

ln

2. lim

4 3 + 4 13 4 + 3

3. lim

4. lim

sen( 1)ln(2 1)

5. lim

1 cos sen()

6. lim

2 8

7. lim

ln cos

8. lim

1 cos 2

9. lim

ln 1/

10. lim+

ln( 1)ln( 1)

11. lim+

ln ln ln( 1)

12. lim

ln( + )

13. lim

+ + ln

45

Captulo 4. Formas indeterminadas y la regla de lHpital

14. lim+

/ln

15. lim+

ln sen ln( 1)

16. lim

1

1sen

17. lim

ln

18. lim+

/ ln

19. lim+

ln() ln( + 1)

20. lim+

sen() ln()

21. lim

22. lim

(sen )

23. lim

24. lim 1 +

1

25. lim 1 +

1

26. lim+

/

27. lim

28. lim

2 + 1

29. lim

( + )

Extra crdito30. lim

( 1)( 1)/

31. lim

sen(2)sen(2)

4.5 Soluciones1. 2.

2. 1/3. No es lcito aplicar la regla de lHpital.

3. No existe. () diverge cuando tiende a 0.

4. 1/2.

5. 1.

6. 1/24.

7. 1/2.

8. 1/2.

9. 0.

10. 1.

11. 1.

12. 1.

13. 1.

14. No existe. () diverge cuando tiende a 0+.

15. 1.

16. 0.

17. 0

18. 0.

19. 0.

20. 0.

46

4.5. Soluciones

21. 1.

22. 1.

23. 1.

24. 1.

25. .

26. No existe. () diverge cuando tiende a 0+.

27. .

28. .

29. .Extra crdito

30. 0.

31. 1/4.

47

Captulo 5

Integral impropia

En las integrales definidas tenamos, gracias al teore-ma fundamental del clculo,

() = () ()

con () integrable en [, ] y () una primitiva de ().

Supongamos que deseamos resolver

=

1 |

= 1

11 = (1 + 1) = 2

Tenemos dos problemas:

la curva est sobre el eje , por lo tanto es incorrec-to obtener un resultado negativo.

tampoco sirve tomar el valor absoluto de la inte-gral. En el grfico podemos advertir que en la ba-se de esa superficie hay un rectngulo de rea 2.

Este resultado es falso y nuestro error consiste en nohaber tenido en cuenta que la funcin tiene una dis-continuidad infinita en = 0. Ser posible calcular el

-2 -1 0 1 2

1

2

3

4

5

rea de una superficie infinita? Cmo aplicar el teo-rema fundamental del clculo si uno de los lmites deintegracin es infinito?

49

Captulo 5. Integral impropia

5.1 Integrales impropias de primeraespecie

Denicin 5.1. Se denomina Integral impropia de pri-mera especie a una integral en que a lo menos uno delos lmites de integracin es infinito.

Por ejemplo,

();

();

()

son integrales impropias de primera especie.Cmo calcular una integral impropia de primera es-

pecie? La solucin vendr de la mano de los lmites.

Denicin 5.2. Sea . Si () es continua > ,entonces

() = lim

()

Si este lmite existe, se dice que la integral impropia

() converge. Si no, entonces la integral diverge.

Por supuesto, una definicin parecida se puede darpara la segunda integral impropia de ms arriba.

Denicin 5.3. Sea . Si () es continua < ,entonces

() = lim

()

Si este lmite existe, se dice que la integral impropia

() converge. Si no, entonces la integral diverge.

El caso de la integral impropia

() es un pocoms delicado.

Denicin 5.4. Si () es continua en , entonces

() =

() +

() con en

= lim

() + lim

()

si ambos lmites existen.

Es importante no caer en la tentacin de calcu-lar esta integral como lim

(). Por ejemplo,

lim = 0, pero la integral

no conver-

ge.

Ejemplos

1. Calcular

1

= lim

= lim

|

= lim

( )

= lim

1 lim

= [0 1]= 1

50

5.1. Integrales impropias de primera especie

2. Calcular

sen

4

2 3

0.32

sen = lim

sen

y esta integral se resuelve por partes

= lim

12(sen + cos )|

= 12 lim sen + cos

(sen 0 + cos 0)

= 12[0 1(0 + 1)]

= 12[0 1]

= 12

3. Calcular

sen

-1

1

sen = lim

sen

= lim

( cos )|

= lim

(cos cos 0)

= lim

(cos 1)

= lim

cos 1

= 1 lim

cos

pero este lmite no existe, pues cos oscila entre 1y 1. Por lo tanto

sen es divergente.

51


4. Calcular

1

= lim ln |

= lim

(ln ln 1)

= lim

ln

pero este lmite no existe y

no es convergen-

te.

5. Analicemos el caso de

, con > 0

= lim

= lim

= lim

+ + 1

= 11 lim( 1)

= 11 lim 1

y aqu se presentan tres situaciones

a) Si > 1 (y con esto 1 < 0)

lim

= lim

1 = 0

(calculando el lmite por lHpital) y por lotanto

=

11 [0 1] =

1 1

b) Si = 1, corresponde al problema 4.c) Si 0 < < 1, entonces 1 > 0 y no existe el

lmite lim y la integral

diverge.

52

5.1. Integrales impropias de primera especie

6. Determinar

1 +

-3 -2 -1 1 2 3

1

1 + =

1 + +

1 +

= lim

arctan |+ lim

arctan |

= lim

(arctan 0 arctan ) + lim

(arctan arctan 0)

= lim

(0 arctan ) + lim

(arctan 0)

= 0 2 + 2 0

=

El grfico de la funcin () = arctan aparece enla Figura 5.1 y es claro que la diferencia entre loslmites es .

arctanHxL

-p2

p2

Figura 5.1: Grfico de arctan

53


5.2 Integrales impropias de segundaespecie

Una integral impropia de segunda especie es una in-tegral en la que el integrando no est definido en algnpunto dentro del intervalo de integracin. Para calcu-larla, al igual que en caso anterior, usaremos lmites.

Ejemplos1. Consideremos la funcin () =

. Esta funcin

est definida para todo > 0. Si es un nmeropositivo pequeo, podemos realizar la integral

= 2|

= 2 2

y dado que es continua para 0 y 0 = 0,tenemos

lim+

= 2. (5.1)

1

Abusando un poco de la notacin, escribiremos

= 2

y entenderemos que esto es una forma abreviadade la ecuacin (5.1).

2. Otro ejemplo es calcular la integral

1 .

Es fcil ver del grfico que esa funcin tiene unadiscontinuidad infinita en = 1 y en = 1. Por lotanto, el clculo de la integral debe ser hecho comosigue

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

6

1 = lim

1 + lim

1

= lim

12 ln

1 + 1

+ lim

12 ln

1 + 1

Pero ninguno de aquellos lmites existe y por lotanto la integral diverge.

54

5.3. Ejercicios

5.3 Ejercicios1. Analice la convergencia de las siguientes integrales

impropias de primera especie. Calclelas en casode ser convergentes.

a)

/

b)

1 +

c)

d)

+ 1

e)

+ 1

f)

1 +

g)

ln

h)

1 ln()

1( 1)

2. Calcule las siguientes integrales impropias de se-gunda especie

a)

/

b)

c)

4

d)

1

e)

1

f)

ln

g)

h)

( 1)

i)

1

j)

2 ( 4)/

3. En probabilidad, una funcin de densidad es unafuncin () que cumple con ser no negativa (esdecir, () 0 para todo en ) y

() = 1.

Determine para que la funcin

() = 00 < 0

sea una funcin de densidad.

4. Extra crdito. Es posible extender el factorial desdelos nmeros naturales a los complejos (y, por lotanto, a los reales), sin embargo, no es fcil. Parahacerlo, se define la funcin gamma por

() =

con > 0.

a) Calcule (1).b) Demuestre que ( + 1) = ().

55


5.4 Soluciones1. a) La integral diverge.

b) La integral diverge.

c) La integral converge a 1/4.d) La integral converge a 5/8.e) La integral converge a 3/2.f) La integral converge a 2.g) La integral converge a 1.h) La integral converge a 1.

2. a) La integral diverge.

b) La integral converge a 4.c) La integral converge a 23.d) La integral diverge.

e) La integral converge a 2.f) La integral diverge.

g) La integral converge a 3/2.h) La integral diverge.

i) La integral converge a 1.j) La integral converge a 9 4.

3. = 2.

4. a) Recordemos que la definicin de la funcingamma es

() =

.

Evaluando la funcin en = 1 obtenemos

(1) =

=

=

= lim

= lim

|

= lim

= 1

b) Reemplazando en la formula de la funcingamma obtenemos

( + 1) =

+

=

podemos realizar esta integral por partes; pa-ra ello, notemos que la integral es con respec-to a y, entonces, la integral ve a como unaconstante

= =

= =

= |

+

= lim

+ 0 +

pero ese lmite es 0

=

= ()

56

Captulo 6

Ecuaciones diferenciales

6.1 DenicinUna ecuacin diferencial es una ecuacin en que la

incgnita es una funcin que aparece como derivada ocomo diferencial.

Ejemplos

1. + sen = 0

2. = 5

3. = 0

4. + sen + = cos

5. +

= 0

6. + = 0

Una ecuacin diferencial puede ser

Ordinaria si incluye una sola variable independiente,es decir

= (); (, ) = 0

Parcial si contiene dos o ms variables independientes(, , ) = 0; = (, ).

En los ejemplos son ecuaciones diferenciales ordi-narias todos los casos expuestos a excepcin delN5, que es parcial.

Tambin en una ecuacin diferencial distinguimos

Orden Se llama orden de una ecuacin diferencial elorden que tiene la derivada mxima, o de mayororden, que figura en ella. En los ejemplos, son de

Primer orden, las ecuaciones 1 y 3.

Segundo orden, las ecuaciones 2, 5 y 6.

Tercer orden, la ecuacin 4.

57

Captulo 6. Ecuaciones diferenciales

Grado Se llama grado de una ecuacin diferencial almayor exponente de la derivada de mayor ordenque figura en la ecuacin. En los ejemplos, sonecuaciones diferenciales de primer grado todos loscasos a excepcin del 4 que es de 2 grado.

Nota Una ecuacin diferencial puede no tenergrado. Ejemplo:

+ = 1

Ejemplos Determinemos el orden y el grado en lassiguientes ecuaciones diferenciales

1.

+

+ = 1. Orden 2 y grado 4.

2. + = 1

. Orden 1 y grado 3.

3. =

1 + . Orden 2 y grado 2.

6.2 Solucin de una ecuacin diferencialSe denomina solucin de una ecuacin diferencial a

toda relacin entre las variables en las que no figurenderivadas ni diferenciales y que la conviertan en identi-dad.

Ejemplos

1. La funcin = ln es una solucin de la ecua-cin diferencial

=

+

En efecto

= ln = 1 ln +

1 1

= ln

Por otro lado

+ =

+ ln

= ln

= ln = > 0

2. La funcin = 2 es una solucin de la ecuacindiferencial = 2.Efectivamente

= 2

= 4

adems

= 4= 4

= 2 2 = 2

3. Consideremos la ecuacin

=

Por simple inspeccin podemos resolver esta ecua-cin diferencial, dado que la funcin cuya deriva-da es igual a la misma funcin multiplicada por

58

6.3. Ecuacin diferencial de variable separada

un real que posee un signo menos antepuesto es = . En efecto,

= = =

La solucin encontrada no es la nica, tambin esuna solucin posible la funcin = , donde es una constante arbitraria. En este caso, se hablade solucin general.

El valor particular de puede obtenerse resolvien-do la ecuacin () = . En este caso, se habla deproblema valuado inicialmente dado que la ecua-cin diferencial va acompaada de una condicininicial.

Por ejemplo, en la ecuacin diferencial = 5, lasolucin general es = . Encontrar la solucinparticular cuando (0) = 2 quiere decir que cuando = 0 entonces = 2, por lo tanto en

=

2 =

2 =

2 =

luego la solucin de esta ecuacin diferencial va-luada inicialmente (0) = 2 es = 2.

6.3 Ecuacin diferencial de variableseparada

La ecuacin diferencial de primer grado y primer or-den

+ (,) = 0

puede ser escrita de la forma

(, ) + (, ) = 0

donde y son expresiones que contienen las varia-bles , o ambas. Adems, y pueden ser constan-tes. Si es slo funcin de y es slo funcin de entonces la ecuacin

(, ) + (, ) = 0

puede ser escrita de la forma

() + () = 0

que recibe el nombre de ecuacin diferencial de variableseparada y que se resuelve integrando

() +() =

Ejemplos1.

( + 5) = 0(, ) = , (, ) = + 5

Cmo se logra dejar en funcin de y enfuncin de ?

( + 5) = 0 1( + 5)

este factor se denomina factor integrante

+ 5

= 0

59


integrando

+ 5 =

+ 5 5 + 5

=

1 5

+ 5 1 =

5 ln | + 5| + 1 =

1 = + 5 ln | + 5|

= 1 + 5 ln | + 5|

2. Resolver la ecuacin diferencial valuada inicial-mente

=

1 + cuando (2) = 1

=

1 +

(1 + ) =

(1 + ) =

+

3 =3 + esta es la solucin general

si (2) = 1, entonces

1 + 13 =83 +

= 43

por lo tanto, la solucin particular cuando (2) = 1es

+

3 =3

43

3 + = 4 3 4 = 0

3. Resolver sec + sec = 0

sec + sec = 0 1sec sec sec +

sec = 0

cos + cos = 0

cos +cos =

sen + sen =

4. Si indica el nmero de bacterias presentes en unasolucin en el tiempo , este crecimiento de la po-blacin es directamente proporcional al nmero debacterias presentes en cada instante.

El planteamiento de esta situacin es

=

donde es un factor de proporcionalidad propiode la bacteria.

60

6.4. Ejercicios

Como las variables e son separables

=

= +

ln = + ln (ln es cte. o bien = ln )ln ln =

ln = =

=

Si establecemos condiciones iniciales a tiempo 0, esdecir (0) = , se tiene

=

=

=

es decir, es la cantidad inicial de bacterias, que sedenota por . Por lo tanto, el modelo general es

=

6.4 Ejercicios1. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales,

determine su orden y grado y especifique la varia-ble independiente y dependiente

a) +

4 = 0

b) 8

+ 10 +

= 0

c) 1

= 0

d) + = sen

e) + = ( )

f) =

+

g) = 2

h) = 0

i) + = 0

j)

= 4

k) +

=

l) +

= 0

61


2. Determine cuales de las siguientes funciones da-das a continuacin son soluciones de las ecuacio-nes diferenciales correspondientes; en caso afirma-tivo, determine si es solucin general o particularde ella.

a) + = 0; + =

b) 3 + 2 = 0; = +

c) 2 + = 0; = (1 + )

d) 2 = ( + 3); (1 ) =

e) 2

+ = 0; =

+

f) +2

+2 = 0; =

( cos + sen )

g) + 9 = 3; = 2 cos 3 + /3

h) 1 + 2 = 0; = + 2 +

i) +

2 = 0; =

+

j) 6 = 0; = 2

k) + 2 2 = 0; = + +

3. Determine la solucin general de las siguientesecuaciones de variable separada.

a) cos = cos

b) (1 + ) = 1 +

c) (1 + ) + (1 ) = 0

d) sen cos + cos sen = 0

e) (1 + ) + = 0

f) (1 ) = 0

g) =

h) + =

i) =

+

j) =

1 + 1 +

6.5 SolucionesEjercicios1.

Tipo Orden Grado Var. Indep. Var. Dep.

a) Ordinaria Cuarto Primero b) Parcial Cuarto Primero , c) Ordinaria Segundo Primero d) Ordinaria Primero Primero No especificado e) Ordinaria Primero Cuarto f) Ordinaria Segundo Cuarto g) Ordinaria Primero Primero h) Ordinaria Primero Primero i) Ordinaria Segundo Primero j) Ordinaria Primero Segundo k) Parcial Primero Primero , l) Parcial Segundo Primero ,

62

6.5. Soluciones

2. a) Solucin general.

b) Solucin general.

c) Solucin particular.

d) No es solucin.

e) Solucin general.

f) Solucin general.

g) Solucin particular.

h) Solucin general.

i) Solucin general.

j) Solucin general.

k) Solucin general.

3. a) tan = tan + b) = +

c) = +

d) sen sen = e) =

+

f) = ()+g) = h) ln( ) = +

i) arctan = +

j) ln(1 + ) = ln(1 + ) + o ++ =

63

Captulo 7

Modelos generados por ecuaciones diferenciales

Una ecuacin diferencial muy sencilla y de gran apli-cacin en la modelacin matemtica es

=

donde es una constante dada. La integracin se realizanormalmente por el mtodo de separacin de variables.Sabemos que es el lmite del cuociente incremental cuando 0. Sin embargo,

no es un cuociente

entre las expresiones y , si no un solo smbolo. Noobstante lo anterior, de acuerdo al concepto de diferen-cial, puede ser escrita como

=

y separando variables, la ecuacin se convierte en

=

Con las variables separadas, la solucin se obtieneintegrando en ambos miembros

=

y resolviendo las integrales

ln = +

donde es una constante aditiva arbitraria de integra-cin. Despejando , la solucin explcita de esta ecua-cin es

=

en que corresponde a que tambin es constante. Lasolucin es una funcin exponencial con un coeficiente en el exponente dado y una constante arbitraria . Entanto que est indeterminado, decimos que lo anteriores la solucin general de la ecuacin diferencial = .En el planteamiento, si la razn de cambio es positi-

va, denotamos = y se origina el modelo creciente = . Si la razn de cambio es negativa, denotamos = y se origina el modelo =

. En general, esoperacionalmente conveniente adoptar la convencinde > 0 y diferenciar ambos modelos explcitamentemediante el signo del exponente.

65

Captulo 7. Modelos generados por ecuaciones diferenciales

7.1 Ejemplo biolgicoLa infusin de glucosa por va intravenosa es una tc-

nica de uso comn en la atencin clnica. En un estudiode este proceso se define () como la cantidad de glu-cosa en el torrente sanguneo a travs del tiempo.Suponga adems que la infusin de glucosa en el to-

rrente sanguneo es constante y que se inyecta a raznde (g/min o las unidades correspondientes). Al mismotiempo, la glucosa se est metabolizando (convirtiendoo consumiendo) y removiendo del torrente sanguneoen forma proporcional a la cantidad de glucosa presen-te en cada instante de tiempo. En sntesis,

es la cantidad de glucosa en la sangre

es la constante de proporcionalidad propia de cadaindividuo

es la cantidad de glucosa que se inyecta

luego, la cantidad de glucosa presente en cada instantede tiempo es .Por tanto, se puede plantear la ecuacin diferencial

=

separando variables

=

=

1 = +

1 ln( ) = + (7.1)

Al establecer condiciones iniciales, = 0

1 ln( ) = 0 +

Este valor de se reemplaza en (7.1), que es la solucingeneral

1 ln( ) = 1 ln( )

= 1 ln( ) 1 ln( )

= ln( ) ln( )

por diferencia de logaritmos

= ln

= ( ) =

= ( )

= +

Algunas observaciones interesantes en este modeloson

1. No se inyecta glucosa, es decir, = 0. En este caso,el organismo slo gasta y el modelo es

= 0 + ( 0) =

es decir, queda un simple modelo de decaimiento.

t

G0

GHtL

66

7.1. Ejemplo biolgico

Es claro que esta situacin no se podra mantenerpor mucho tiempo puesto que el paciente caer enuna hipoglicemia (considerando incluso las reser-vas que tiene el organismo).

2. Si transcurre mucho tiempo ( )

lim

= lim

+

=

es decir, el modelo tiene una asntota horizontal en .

Cmo hacer una interpretacin biolgica?

a) = implica que el modelo es =

t

G0= ca

GHtL

Se tendra que la cantidad de glucosa perma-nece constante en el tiempo y su valor serala razn entre lo que se inyecta y lo que semetaboliza.

b) > > 0

t

ca

G0

GHtL

Amedida que avanza el tiempo, la glucosa dis-minuye y puede alcanzar valores peligrosospara el paciente (caer en hipoglicemia). Nota:Si se conoce el modelo matemtico, en teorase puede determinar el tiempo mximo quetranscurre de modo que no llegue al estadode hipoglicemia.

c) < < 0

t

ca

G0

GHtL

A medida que avanza el tiempo la glucosa au-menta. Los valores que puede alcanzar no sontan peligrosos para la salud del paciente en de-terminado rango.

67


7.2 Modelo logsticoUn modelo que representa con bastante precisin el

proceso biolgico de epidemias y crecimientos pobla-cionales est dado por el denominado modelo de creci-miento logstico. En una gran cantidad de casos, inclusoel de crecimiento de la poblacin mundial, el espacio yla finitud de los recursos nutricionales en algn instan-te tienden a que la velocidad de crecimiento disminuya.Con estas consideraciones se har el siguiente plantea-miento.El crecimiento del nmero de infectados es directa-

mente proporcional al producto entre los infectados ylos an no infectados.Sea la cantidad de personas que se infecta en un

tiempo . Sea la cantidad total de personas que puedeinfectarse. Por tanto, representa las personas quean no se han infectado. El producto de los infectadospor los an no infectados es ( ) y de acuerdo alenunciado del problema podemos plantear la ecuacindiferencial de la forma

= ( )

separando variables

( ) =

integrando

( ) = (7.2)

La integral del primer miembro se resuelve aplicandofracciones parciales

( ) = 1

( ) (7.3)

1( ) =

+

( )

1 = ( ) + 2

= 0 1 = + 0 =1

= 1 = 0 + =1

1( ) = +

Reemplazando en (7.3)

1

( ) = +

= 1 1 +

1

1

1

( ) =1 ln

1 ln( )

Con esta integral resuelta, volvemos a (7.2)

1 ln

1 ln( ) =

1 ln

1 ln( ) = + (7.4)

al establecer condiciones iniciales

= 0 1 ln 1 ln( ) = 0 +

reemplazando esta constante en (7.4)

1 ln

1 ln( ) = +

1 ln

1 ln( )

()

ln + ln( ) = ln + ln( )

ln = + ln

ln ln

=

ln

=

68

7.2. Modelo logstico

reescribiendo usando propiedades de logaritmo

ln

=

=

=

= +

= +

= 1 +

= 1 +

La curva tiene una asntota horizontal en = . Estoindica que el mximo de infectados que puede haber esel total de la poblacin. Esto sucedera con el paso deltiempo, tericamente si .

t

A

y0

GHtL

En el grfico se observa un punto de inflexin. C-mo determinarlo?En este modelo, al inicio se tiene

= ( )

derivando con respecto a

=

( ) +

( )

= ( ) + (1)

= ( )

que igualando a cero, se tiene con 0, 0

2 = 02 =

= 2

es la ordenada del punto crtico de la segunda derivada,corresponde a un valor de inflexin del modelo y es elpunto donde la primera derivada es mxima.En este valor = se deja al lector, por simple reem-

plazo en el modelo, el clculo de la variable tiempo.

69


7.3 Ejercicios1. Una partcula se mueve sobre una trayectoria rec-

tilnea, con una aceleracin constante igual a

= m/s

2, 0

Si en el instante = 0, (0) = , (0) = , obtenga

a) La expresin matemtica que relaciona la ra-pidez de la partcula en funcin del tiempo,esto es, = ().

b) La ecuacin del itinerario de la partcula, esdecir, ().

c) En los resultados anteriores, suponga = =9,8 m/s2, = 5 m/s y = 0 m. Cules sonlas ecuaciones que se obtienen ahora?

d) De acuerdo al resultado obtenido en el puntoanterior, haga una descripcin completa delmovimiento de la partcula.

2. Por efecto de prdidas un condensador elctrico sedescarga en el tiempo con una velocidad que es pro-porcional a su carga en cada instante.

a) Encuentre la ecuacin funcional que relacio-na la carga del condensador con el tiempo dedescarga. Establezca condiciones iniciales.

b) Haga un esquema carga = () de acuerdo alresultado obtenido en la parte anterior.

c) Interprete fsicamente el esquema del puntoanterior.

d) Si la carga inicial del condensador (carga deste en = 0 s) es de 0,5 C, despus de cun-to tiempo sta se habr reducido a la dcimaparte? (Considere la constante de decaimien-to igual a 1).

e) En = 0,5 s, cul es la carga del condensa-dor? (Considere la constante de decaimientoigual a 1).

3. Suponga que el crecimiento de una poblacin bac-teriana es directamente proporcional al nmero debacterias presente en cada instante.

a) Encuentre la ecuacin funcional que relacio-na el tamao de la poblacin bacteriana (n-mero de bacterias) en funcin del tiempo decrecimiento. Establezca condiciones iniciales.

b) Haga un esquema tamao poblacional = ()de acuerdo al resultado obtenido en el puntoanterior.

c) Interprete y discuta el esquema obtenido.

d) Si el nmero inicial de bacterias se duplica en8 horas, qu nmero de ellas cabra esperaral cabo de 24 horas?

e) Si al cabo de 3 horas hay 10 bacterias, culfue el nmero inicial de la colonia en estudio?

4. La velocidad de desintegracin de un elemento ra-diactivo es proporcional a la cantidad de sustanciaexistente en cada instante.

a) Encuentre la ecuacin funcional que relacio-na la cantidad de sustancias radioactivas exis-tente, en funcin del tiempo de desintegra-cin. Establezca condiciones iniciales.

b) Haga un esquema de la relacin encontradaen el punto anterior.

c) Interprete y discuta el esquema obtenido enel punto anterior. Es un buen modelo de unasituacin real?

d) Se llama vida media de una sustancia radio-activa, al tiempo necesario para que la canti-dad inicial de sustancia, se reduzca a la mitad.Encuentre la expresin matemtica de la vidamedia de una sustancia radioactiva.

e) Es constante la vida media de una sustanciaradioactiva? De qu depende?

f) Aparte de ser el tiempo necesario para que lacantidad inicial de sustancia se reduzca a la

70

7.3. Ejercicios

mitad, qu otro significado se le puede atri-buir a la vida media de la sustancia radioacti-va?

5. Segn la ley de enfriamiento de Newton, la veloci-dad a que se enfra un cuerpo al aire libre es pro-porcional a la diferencia entre la temperatura de lasustancia y la del aire.

a) Encuentre la relacin funcional entre la tem-peratura del cuerpo y el tiempo de enfriamien-to. Establezca condiciones iniciales.

b) Haga un esquema de la relacin obtenida enel punto anterior.

c) Interprete fsicamente el esquema del puntoanterior. Est de acuerdo con lo que sucedeen la realidad?

d) Si la temperatura del aire es de 25 C y el cuer-po se enfra de 120 C a 50 C en 20 minu-tos, cundo la temperatura del cuerpo serde 30 C?

6. Una reaccin qumica es de primer orden respectode un reactivo , si se verifica que

[] = []

[] significa concentracin molar de .

a) Encuentre la ecuacin funcional que relacio-na la concentracin del reactivo con el tiem-po de duracin de la reaccin.

b) Haga un esquema de la relacin obtenida.

c) Analice e interprete el esquema del punto an-terior.

d) Cmo calculara a partir de los resultadosobtenidos en 6a) y en 6b)? Qu datos necesi-ta?

e) Se llama vida media de una reaccin al tiem-po necesario para que reaccione la mitad de

una sustancia. Demuestre que para una reac-cin de primer orden, la vida media es inde-pendiente de la concentracin inicial del reac-tivo, o sea, que el 50% de la sustancia quedasin reaccionar al transcurrir una vida media,el 25% quedar despus de dos vidas medias,el 12,5% despus de tres, etc.

f) Se llama tiempo de relajamiento al valorrecproco de la constante de la velocidad dereaccin de primer orden, esto es, = 1/.Demuestre que el tiempo de relajamiento esel tiempo necesario para que la concentracindel reactivo disminuya a la -sima parte dela concentracin inicial.

7. Analice y responda las mismas preguntas del pro-blema 6 (desde la 6a) hasta la 6e) para una reaccinde segundo orden, respecto de un reactivo , parael cual se tiene que

[] = [],

teniendo en cuenta que, en una reaccin de segun-do orden, la vida media no es independiente de lacantidad inicial.

8. Analice y responda las mismas preguntas del pro-blema 6 (desde la 6a) hasta la 6e) para una reaccinde tercer orden, respecto de un reactivo , para elcual se tiene que

[] = [],

teniendo en cuenta que, en una reaccin de tercerorden, la vida media no es independiente de la can-tidad inicial.

71


7.4 Soluciones1. a) () = +

b) () = + +

c) () = 5 + 9,8, () = 5 + 4,9

d) En el instante inicial la partcula parte del ori-gen a 5 m/s y aumenta su rapidez en 9,8 m/s.Es un movimiento uniformemente aceleradocon rapidez inicial.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 t

5

10

15

20

25

30

35vHtL

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 t

20

40

60

80

100sHtL

2. a) () =

b)

t

Q0

QHtL

c) Decaimiento exponencial de la carga. Tiendea cero cuando va al infinito.

d) Depende de la constante de proporcionalidad. = ln(0,1)/. Si = 1, = 2,3025 s.

e) La carga es (0,5) = 0,3032 C.

72

7.4. Soluciones

3. a) () = ()

b)

tN0

NHtL

c) Es un crecimiento exponencial. La curva tien-de a infinito cuando va al infinito.

d) En 24 horas la poblacin es 8 veces la pobla-cin inicial.

e) Inicialmente haba 1,6 10 bacterias.

4. a) () =

b)

t

C0

CHtL

c) Es un modelo fiel pero teniendo en cuentaque, en la prctica, no hay instrumento quenos permita diferenciar valores infinitesima-les con cero, mientras que el modelo prediceque jams la cantidad de sustancia ser 0.

d) / = (ln 2)/e) La vida media depende de . es constante y

vara entre cada especie de elemento radioac-tivo.

f) Indica su velocidad de desintegracin asimis-mo su reactividad, por lo dems a travs deella se puede llegar a clasificar una sustanciadentro de otras en cuanto a su reactividad.

5. a) Si es la temperatura inicial y la tempe-ratura del aire, () = ( ) + .

b)

TA < T0

t

TA

T0

THtL

c) Si hacemos el tiempo infinitamente grande, latemperatura del cuerpo se aproxima a la tem-peratura del aire. De nuevo, no existe instru-mento que permita distinguir esa diferencia apartir de cierto instante.

d) A los 44,1 minutos.

73


6. a) () =

b)

t

A0

AHtL

c) La curva decae en forma exponencial. La con-centracin tiende a cero cuando el tiempotiende al infinito. La curva es asinttica al ni-vel cero de concentracin indicando que tc-nicamente la concentracin nunca ser cero ya su vez que el tiempo jams ser lo suficiente-mente grande como para que todo el reactivohaya reaccionado.

d) En a) podra calcularse aplicando lgebra al

modelo, esto es, = 1 ln ().

En b) se podra calcular leyendo direct

Matemática II para tecnología medica

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