Matemática Financiera - Interés

MANUAL BÁSICOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA – VLADIMIR BAQUERO MARQUEZ

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

El concepto de valor del dinero en el tiempo, hace referencia a la pérdida de valor adquisitivo que este sufre por consecuencia del aumento de precios de los bienes o servicios en una economía inflacionaria. Además, de la inflación encontramos otras variables que intervienen para mantener el poder adquisitivo del dinero en el tiempo y producir mejores beneficios económicos, entre estas se encuentran el costo de oportunidad y el riesgo. El excelente análisis integral a estas tres variables, permitirá una mayor valoración del dinero. Inflación En toda economía, el desequilibrio entre la oferta y la demanda de bienes y servicios sufre cambios producto del incremento en el precio o costo de los mismos, debido a la afectación que produce el tiempo. Este aumento genera que cada día el costo de la vida sea más altos, ya que no es lo mismo comprar con $10.000 hoy cierto producto que tener que adquirirlo dentro de tres, seis o doce meses, ya que su precio se afecta debido a la tasa de inflación. Por lo tanto, se hace más costoso. Costo de Oportunidad

Se refiere al sacrificio que hacemos al elegir la mejor alternativa de inversión entre dos a más alternativas que ofrece el mercado. Cuando tomamos una decisión entre varias alternativas, debemos tener claro que nuestro futuro se ve afectado por la mejor o mala decisión. Cuando una inversión (A) nos produce mayor utilidad o rentabilidad que otra inversión (B), estamos ante una decisión acertada. Pero, qué sucede si al corto plazo la alternativa (B) que descartamos al inicio, produce un mejor beneficio, y la inversión (A) se mantiene, el costo de oportunidad es menor que la utilidad o rentabilidad esperada por nuestra inversión (A). Luego, ocurre que al mediado plazo, la inversión (A), baja su beneficio y la inversión (B) sube, el costo de oportunidad supera la utilidad o rentabilidad de nuestra inversión (A), en este instante nos encontramos ante una desafortunada toma de decisión, ya que la inversión (B), en el corto y mediano plazo siempre estuvo por encima de la inversión (A).


Riesgos El riesgo es la incertidumbre o probabilidad que ocurran eventos futuros no esperados, de hechos acontecidos en el presente y de los cuales esperamos resultados favorables. En nuestra vida, el riego es una variable inherente a todas las decisiones que nos involucramos constantemente y lo asociamos siempre a acontecimientos negativos, que causan un daño y en muchas ocasiones son irremediables. El riesgo financiero, se asocia a la probabilidad de que toda operación financiera genere un beneficio económico menor a lo proyectado o sobrevenir hechos que ocasionen una pérdida en el rendimiento de la inversión y no hacer frente a las obligaciones financieras. El riesgo en el ámbito financiero, no solo debe ser visto como el detrimento que produce la inversión, sino en la oportunidad de encontrar un alto retorno o grandes ganancias en inversiones con altos riesgos. Las inversiones con alto riesgo, son aquellas que presentan inestabilidad en su precio, debido a su alta volatilidad, ejemplo, la inversión que se hace en petróleo y sus derivados. Podemos establecer 3 tipos de riesgo financieros:

1. Riesgo en el Tipo de Interés: Se presenta cuando la fluctuación de los intereses afectan los créditos o deudas que las empresas adquieren con las entidades financieras. Lo cual generaría unos resultados favorables o desfavorables a los estados de resultados y flujo de caja de las organizaciones.

2. Riesgo en el Tipo de Cambio: Conocido como riesgo de divisa, ocasionado por las fluctuaciones de una divisa o moneda con respecto a otra. Este tipo de riesgo en su mayoría afecta a empresas que tienen gran parte de sus negocios en inversión extranjera, el aumento o disminución de la moneda como resultado del tipo de cambio, afectaría sus ingresos.

3. Riesgo de Cartera: Representado por los créditos que otorgan las empresas, donde la incertidumbre de la morosidad ocasiona un riesgo a la cartera.

Operaciones Financieras

Son transacciones de capitales financieros no simultáneos, encaminada a obtener un rendimiento de la operación, con el compromiso de mantener un equilibrio o equivalencia del dinero en el tiempo.


INTERÉS SIMPLE

Moore (1963) afirma:

La costumbre de hacer pagar un rédito por el uso de dinero prestado está profundamente arraigada en el sistema económico en que vivimos.

INTERÉS SIMPLE

Cuando en una operación financiera el capital o inversión no sufre una variación en el tiempo por la liquidación del interés, estamos bajo el esquema de interés simple. Es decir, no existe una capitalización de interés que convierta el capital inicial en un nuevo capital, razón que generaría mayores intereses. Por lo tanto, tiene las siguientes características:

1. El capital inicial se mantienen constante durante el tiempo que dure la operación financiera, ya que la liquidación periódica de los intereses no se suman al capital, para calcular nuevos intereses. Por lo tanto, no sufre el proceso de capitalización. Solo es posible hablar de capitalización simple, cuando al final del periodo al capital inicial se le agregan los intereses liquidados periódicamente.

2. La tasa de interés siempre será aplicable al mismo capital, es decir, sobre el capital inicial.

3. Los intereses liquidados o generados en cada periodo, serán iguales. FORMULA DEL INTERÉS SIMPLE El interés que se pague o cancele por una deuda, se representa sobre una ecuación, constituida por las siguientes variables: I = Interés (representado en valor absoluto). P = Capital o Monto Inicial. n = Período o Tiempo. i = Tasa de Interés (representado en valor porcentual). Expresamos la formula, mediante la siguiente ecuación:

I = Pin


Por ser una ecuación, las variables pueden pasar de un extremo a otro, sin afectar la igualdad. Esto con el fin de encontrar la variable desconocida o incógnita. Al utilizar la fórmula, se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Debe existir uniformidad en las variables de tiempo (n) y tasa (i), es decir, que la tasa y el tiempo deben expresarse en la misma unidad de tiempo.

Los siguientes ejemplos permiten entender el resultado de la ecuación, de acuerdo a la incógnita que debemos hallar. Ejemplo 2.1. Se invierten $10.000 en un negocio de frutas que ofrece una tasa de interés del 5% mensual a un plazo de 15 días. ¿Determinar el interés que se obtuvo por la venta de las frutas?. Para calcular el interés se utiliza la formula (1): I = Pin I = 10.000 x 15/30 x 0.05 = 250 I = $ 250 Representación grafica I = ? i = 5% n = 15 días 0 5 10 15 P = $10.000 Vemos que la inversión de $10.000, generó una ganancia por la venta de las frutas de $250, en un plazo de 15 días con un interés del 5%. Ejemplo 2.2. La venta de un producto generó una utilidad de $1.440, en un plazo de 6 meses, con una tasa del 8% mensual. ¿Calcular el valor del producto? I = Pin P = I / in P = 1.440 / 0.08 x 6 = 3.000


P = $3.000 Representación grafica $1.440 i = 8% n = 6 meses 0 1 2 3 4 5 6 P = ? El ejercicio nos muestra que para obtener una ganancia de $1.440, en un plazo de 6 meses, utilizando una tasa de 8% mensual es necesario que el producto se ofrezca en el mercado a $3.000. Ejemplo 2.3. Cual fue la tasa de interés que se obtuvo sobre una inversión de $25.000, en un período de 2 años, generando un interés o lucro de $3.750. I = Pin i = I / Pn i = 3.750 / 25.000 x 2 = 0.075 x 100 = 7.5% i = 7.5% Representación grafica i = ? I = $3.750 n = 2 años

0 1 2

P = $25.000 Podemos observar que en 2 años un capital de $25.000, logró que el inversionista ganara $3.750, representado una tasa del 7.5% anual. Ejemplo 2.4. En un banco se depositan $500.000, el cual reconoce una tasa de

interés del 4% anual, si el rendimiento fue de $60.000. ¿En qué tiempo fue posible obtener dicha utilidad?.


I = Pin n = I / Pi n = 60.000 / 500.000 x 0.04 = 3 n = 3 años Representación grafica I = 60.000 i = 4% n = ? 0 1 2 3 P = 50.000 Para el consignatario, la utilidad generada en el banco durante los 3 años que estuvo en depósito el monto de $500.000, fue de $60.000, con una tasa de rendimiento del 4% anual. La utilización de estas variables financieras es la base de toda la estructura operacional de las matemáticas financieras y es una forma elemental de entender las finanzas que diariamente utilizamos cuando hacemos uso del dinero. CLASES DE INTERES En cualquier operación financiero existen dos circunstancias de tiempo que afectan el flujo de caja, generando una diversidad de resultados. No existe un criterio o regla que determine qué clase de interés simple se debe aplicar, este depende de la operación financiera que se establezca y sea aceptada por las partes (prestamista y prestatario). Este concepto es muy antiguo y consiste en la aplicación de cuatro clases de interés simple, como son:

Interés Ordinario o Comercial: Este interés parte de la base que las

operaciones financieras se calculan teniendo como divisor un año de 360 días. Se divide en:

Interés Bancario: Es el interés que se calculo con tiempo exacto, su operación requiere el uso de los días exactos y teniendo como base un año de 360 días.


I = P*i*n/360 o I = P*i/360*n

Interés Comercial: Es el interés que se calculo con tiempo ordinario o aproximado, su operación se establece con meses de 30 días y su base es de 360 días.

I = P*i*n/360 o I = P*i/360*n

Interés Real o Exacto: Este interés parte de la base que las operaciones

financieras se calculan teniendo como divisor un año de 365 días o 366 días si el año es bisiesto. Se divide en: Interés Racional: Es el interés que se calculo con tiempo exacto, su

operación requiere el uso de los días exactos y teniendo como base un año de 365 o 366 días.

I = P*i*n/365 o 366 o I = P*i/365 o 366*n

Interés Básico: Es el interés que se calculo con tiempo ordinario o

aproximado, su operación se establece con meses de 30 días y su base es de 365 o 366 días.

I = P*i*n/365 o 366 o I = P*i/365 o 366*n

Podemos analizar que de acuerdo a la variable utilizada en la operación, la otra debe mantener la uniformidad u homogeneidad Para entender su aplicación, desarrollamos los siguientes ejemplos. Ejemplo 2.5. Determine el interés de un crédito de $600.000, que ofrece una compañía de financiamiento, a una tasa de 3%. Teniendo en cuenta a un plazo de 31 días y 30 días.

1. Interés Ordinario 2. Interés Exacto

1. Interés Ordinario a) Interés Bancario:

I = P*i*n/360 o I = P*i/360*n

I = 600.000 x 0.03 x 31/360 o I = 600.000 x 0.03/360 x 31


I = 1.550 I = 1.550

b) Interés Comercial:

I = P*i*n/360 o I = P*i/360*n

I = 600.000 x 0.03 x 30/360 o I = 600.000 x 0.03/360 x 30 I = 1.500 I = 1.500

2. Interés Exacto a) Interés Racional

I = P*i*n/365 o I = P*i/365*n

I = 600.000 x 0.03 x 31/365 o I = 600.000 x 0.03/365 x 31 I = 1.528,767 I = 1.528,767

b) Interés Básico I = P*i*n/365 o I = P*i/365*n

I = 600.000 x 0.03 x 30/365 o I = 600.000 x 0.03/365 x 30 I = 1.479,452 I = 1.479,452 Al aplicar las formulas el interés que genera una mayor rentabilidad es el interés bancario. Por lo tanto, a los establecimientos de créditos le es muy favorable la aplicación de este tipo de interés en sus operaciones activas de crédito.

CALCULO DE DÍAS ENTRE DOS FECHAS

Cuando se tiene dos fechas diferentes con respecto al año, es indispensable realizar un cálculo que permita obtener con mayor exactitud el número de días. El procedimiento es una sustracción de números enteros, donde el minuendo es la fecha actual (año, mes y días) y el sustraendo la fecha inicial (año, mes y días), luego la diferencia que corresponde al año y al mes se multiplica cada uno de acuerdo al tiempo (ordinario o exacto) utilizado, generando nuevos resultados. Al final, los resultados del año, mes y días, se suma o se restan los factores de acuerdo a su posición y de esta forma se obtiene el número de días. El método utilizado es el siguiente:


AÑO MES DIAS XXXX XX XX (-) XXXX (-) XX (-) XX XX * (CI) (+) o (-) XX * (CI) (+) o (-) XX

Ejemplo 2.6. Calcular el interés ordinario y exacto, utilizando las 4 clases de interés, sobre un préstamo por valor de $800.000, con un interés del 6%, entre el 16 de mayo de 2008 y el 12 de febrero de 2010.

1. Interés Ordinario

AÑO MES DIAS 2010 02 12 (-) 2008 (-) 05 (-) 16

02 (-) 03 (-) 04 Calculo de días interés bancario: 02*360 – 03*31 – 4 = 623 Calculo de días interés comercial: 02*360 – 03*30 – 4 = 626

2 Interés Exacto

AÑO MES DIAS

2010 02 12 (-) 2008 (-) 05 (-) 16 02 (-) 03 (-) 04 Calculo de días interés racional: 02*365 – 03*31 – 4 = 633 Calculo de días interés básico: 02*365 – 03*30 – 4 = 636 VALOR FUTURO El Monto o Valor Futuro (F), es el resultado de la adición del Capital o Valor Presente (P), y la utilidad o Interés (I) que genera una inversión o préstamo, programado en el tiempo. Expresamos que:


F = P + I Recuerda que: I = Pin Aplicamos las formulas: F = P + Pin (n periodos) Para determinar la evolución que sufre el Capital (P) y el interés (i), donde (P) permanece constante, tenemos: Primer periodo: F = P + Pi Segundo periodo: F = (P + Pi) + Pi = P + Pi2 = P (1 + 2i) Tercer periodo: F = (P + Pi2) + Pi = P + Pi3 = P (1 + 3i) Cuarto periodo: F = (P + Pi3) + Pi = P + Pi4 = P (1 + 4i) Para (n) periodo: F = P + Pin = P (1 + in) Representación grafica:

Para el prestatario

P 0 1 2 3 n

F

P + Pi P (1 + 2i) P (1 + 3i) P (1 + ni)

Para el prestamista P + Pi P (1 + 2i) P (1 + 31) P (1 + ni) F

1 2 3 n

P

Por lo tanto, la formula que aplicamos para calcular el Valor Futuro con interés simple es:

F = P (1 + ni)


Aspectos importantes:

Antes de entrar a solucionar cualquier operación financiera se debe tener presente lo siguiente:

La tasa de interés (i) se debe representar en decimales o tanto por uno, no como porcentaje %.

El periodo o tiempo debe establecerse a la medida de la tasa de interés, con el fin de igualar el tiempo a la tasa. Si la tasa esta en meses, el tiempo debe darse en meses y así sucesivamente.

Ejemplo 2.7. Una cooperativa financiera concede un crédito a un comerciante de

calzado que desea adquirir materia prima, por valor de $2.000.000, liquidado a una tasa del 4% a un plazo de 2 años. ¿Calcular el valor futuro que recibe la cooperativa por el préstamo? Representación grafica F = ? i = 4% n = 2 años 0 1 2 P = 2.000.000 Formula: F = P (1+ni) F = 2.000.000 (1 + 2*0.04) F = 2.160.000 El comerciante para invertir en la compra de materia prima al final del periodo le corresponde pagar la suma de $2.160.000, sobre el crédito de $2.000.000, que solicito a la cooperativa, con una tasa que se mantuvo constante en los 2 años.


VALOR PRESENTE El valor presente (P), es la equivalencia o actualización del valor futuro (F) en una fecha actual, a una tasa de interés (i) establecida.

Conocemos que:

F = P (1 + ni) Equilibramos la ecuación a Valor Presente (P)

P = F / (1 + ni) Ejemplo 2.8. Una institución financiera concede un crédito de libre inversión al

propietario de un negocio de comidas rápidas, a un plazo de 10 meses, y una tasa del 4% mensual ¿Cuál fue el valor del crédito, teniendo en cuenta que al final de los 10 meses, pago la suma de 2.800.000? Representación grafica P = ? i = 4% n = 10 meses 0 10 F = $2.800.000 Formula: P = F / (1+ni) P = 2.800.000 / (1 + 10*0.04) P = 2.000.000 El crédito otorgado al propietario del negocio de comidas rápidas fue de $2.000.000.


PERÍODO O TIEMPO El periodo o tiempo (n), es la variable que determina el plazo, que produce un capital inicial (P), convertido en un valor futuro (F), a una tasa de interés (i) determinada. Conocemos que:

F = P (1 + ni) Equilibramos la ecuación a periodo o tiempo (n)

F/P = 1 + ni

F/P – 1 = ni

n = [(F/P) – 1] / i Ejemplo 2.9. Un préstamo de $150.000, fue otorgado a una tasa de interés del 2%

mensual y se cancelo al final del periodo la suma de $174.000, ¿Calcular el tiempo que se requirió para pagar el préstamo? Representación grafica P = $150.000 i = 2% 0 n = ? F = $174.000 Formula: n = [(F/P) – 1] / i n = [(174.000 / 150.000) – 1] / 0.02 n = 8 meses El préstamo de $150.000, con una tasa de interés del 2% mensual, necesito de un tiempo de 8 meses para cancelar el monto de $174.000.


TASA DE INTERÉS

La tasa de interés (i), es la variable que genera una utilidad o pago de un capital (P), durante un tiempo o periodo (n), para obtener un valor futuro (F). Conocemos que:

F = P (1 + ni) Equilibramos la ecuación a periodo o tiempo (n)

F/P = 1 + ni

F/P – 1 = ni

i = [(F/P) – 1] / n Ejemplo 2.10. Una persona deposita en su cuenta de ahorro la suma de $7.600.000 y espera recibir en 11 meses $8.854.000 ¿Calcular la tasa de interés simple que ofrece el banco? Representación grafica F = 8.854.000 i = ? n = 11 meses 0 11 P = 7.600.000 Formula: i = [(F/P) – 1] / n i = [(8.854.000 / 7.600.000) – 1] / 11 i = 1.5%


El banco por depositar un suma de $7.600.000, en una cuenta de ahorros, a un plazo de 11 meses, reconoce una tasa de interés simple de 1.5%. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE

En toda operación financiera se pueden presentar circunstancias que cambien las obligaciones establecidas inicialmente, por otra u otras que mantengan la equivalencia del valor del dinero en diferentes periodos o tiempo y evitar desequilibrios financieros. Este tipo de operación es representada mediante una ecuación de valor para mantener la igualdad financiera, seleccionando una fecha para finalizar las obligaciones, conocida como fecha focal. Ejemplo 2.11. Un comerciante debe cancelar las cuotas de un crédito en tres

pagos diferentes, el primero es de $40.000 en un plazo de 3 meses, el segundo de $60.000 en un plazo de 12 meses y el último de $100.000 en 24 meses. Establece cancelar una cuota inicial de $10.000, $30.000 en 6 meses y el saldo de la deuda en un plazo de 18 meses. ¿Cuál debe ser el valor del pago para una fecha focal en el mes 18?, la tasa de interés es del 10%. Representación grafica $40.000 $60.000 $100.000 0 3 6 12 18 24 $10.000 $30.000 $ X Independiente del periodo (fecha focal) establecido, la ecuación de valor permite calcular la equivalencia del conjunto de las obligaciones, mediante la suma de estas en cada uno de los extremos de la ecuación. 40.000(1+15*0.10) + 60.000(1+6*0.10) + 100.000/(1+6*0.10) = 10.000(1+18*0.10) + 30.000(1+12*0.10) + X 100.000 + 96.000 + 62.500 = 28.000 + 66.000 + X 258.500 – 94.000 = X X = 164.500

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