Matemticas Financieras Avanzadas MATEMTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 1 Sesin No. 3 Nombre: Inters compuesto. Tasas de inters Contextualizacin Enestasesinseplantearnyresolvernejemplosdeclculosdetasasde intersnominal,efectivayequivalentes.Ascomolaconversindetasasyel clculo de tasas de inters. Fuente: http://www.dinero.com/upload/images/2010/1/18/90166_125920_1.jpg MATEMTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 2 Introduccin al Tema Qu es una tasa de inters? Qu tipo de tasa de inters usan las tarjetas de crdito? Qu tipo de inters se aplica a crditos bancarios? Se ha hecho referencia que la tasa que rige una transaccin generalmente se refiere a un perodo de un ao, aun cuando la operacin sea menor. MATEMTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 3 Explicacin Cuando se realiza una operacin financiera, se pacta una tasa de inters anual querigeduranteellapsoquedurelaoperacin,aestatasaselellamatasa nominal.Sin embargo, si el inters se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una tasa efectiva anual. Dostasasdeintersanualescondiferentesperodosdecapitalizacinsern equivalentes si al cabo de un ao producen el mismo inters compuesto. Ejemplo1: Cul es la tasa efectiva de inters que se recibe de un depsito bancariode$1000pactadoa18%deintersanualconvertible mensualmente? Solucin: = 1000 1 + 0.1812 12 M =1195.62 I =M C I =1195.62 1000 =195.62 =

= 195.621000 = 0.1956 La tasa efectiva es de 19.56% La tasa equivalente a una tasa anual del 18% convertible mensualmente es de 19.56% convertible anualmente. La relacin entre ambas tasas es: Sea i la tasa anual efectiva de inters, j la tasa de inters anual nominal y m el nmero de perodos de capitalizacin al ao. Como se estableci que ambas tasas son equivalentes, por lo tanto: MATEMTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 4 (1 +) = 1 +

, dividiendo ambos lados de la ecuacin entre C (1 +) = 1 +

Despejando i nos queda: = 1 +

1 Retomando el problema anterior: = 1 + 0.1812 121 = 19.56% Ejemplo2: culeslatasaefectivaquesepagaporunprstamobancario de$250000quesepacta16%deintersanualconvertible trimestralmente? Solucin: Aplicando directamente la frmula: = 1 +

1 = 1 + 0.164 41 = 16.98% Ejemplo3:aqutasanominalconvertibletrimestralmenteuncapitalde $30 000 crecer hasta $100,000 en 5 aos? Solucin: M =C (1+i) n 100,000=30,000(1+i) 5 100,00030,000 = (1 +)

Pero (1 +)

= 1 +

donde n =5 aos y m=4 As, 1 + 420= 100,00030,000 Se saca raz 20 por los dos lados de la igualdad, teniendo: MATEMTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 5 1 + 4 = (3.3333)120 Por lo tanto, despejando j nos queda: = 4 (3.3333)120 1 = 0.24819 Se requiere una tasa nominal de 24.82% convertible trimestralmente para que un capital de $30,000 se convierta en un monto de $100,000 en un plazo de 5 aos. Calculo de Tasa de inters Para determinar la tasa de inters conociendo las otras variables, se despeja de la frmula M =C (1+i)n Ejemplo4: A qu tasa de inters se deben depositar $15,000 para disponer de $50,000 en un plazo de 5 aos? Considere que los intereses se capitalizan: a)Semestralmente b)Trimestralmente Solucin: Despejando i de la formula nos queda: =

1 a)n=5 aos x 2 =10 semestres, entonces = 50,00015,000101 Por lo tanto i=0.1279, i=12.79% semestral, 25.58% anual nominal. b)Sielinterssecapitalizatrimestralmente,setienen=5aosx4=20 trimestres. = 50,00015,000201 MATEMTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 6 Porlotantoi=0.06204,i=6.20%estosignificaquesilafrecuenciade conversinseincrementa,latasaanualnominalrequeridadisminuyea 24.8%(0.06204x4=0.24818). MATEMTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 7 Conclusin Enestasesinsepracticconlastasasdeintersnominal,efectivay equivalente, su conversin y el clculo de tasa de inters. Lastasasdeintersseexpresancomnmenteenformaanualqueindica, cuando es necesario, sus periodos de capitalizacin. En la siguiente sesin seguiremos trabajando con el inters compuesto aplicado al concepto del Clculo del Monto y Valor actual. Fuente: http://inversionario.com/wp-content/uploads/2011/04/Money-Bag-icon4.png MATEMTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 8 Para aprender ms En este apartado encontrars ms informacin acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando lossiguientes sitios de Internet. Ramrez, M. (2012). Tasas nominales, efectivas y equivalentes EJERCICIOS parte 1. Consultado el 3 de junio de 2013:http://www.youtube.com/watch?v=Ye8uEqNWMNI Ramrez, M. (2012). Tasas nominales, efectivas y equivalentes EJERCICIOS parte 2. Consultado el 3 de junio de 2013:http://www.youtube.com/watch?v=LVMy3bATZxM Ramrez, M. (2012). Inters compuesto: clculo de la tasa de inters. Consultado el 3 de junio de 2013:http://www.youtube.com/watch?v=RlP6dyUHpig Esdegranutilidadvisitarelapoyocorrespondientealtema,puestepermitir desarrollar los ejercicios con ms xito. MATEMTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 9 Actividad de Aprendizaje Conloaprendidoenestasesindelastasasdeintersnominal,efectivay equivalente,suconversinysobreelclculodetasadeinters,resuelvelos siguientes problemas: 1)Determinelatasadeintersefectivaqueserecibedeundepsito bancario si la tasa nominal es de 6% y se convierte: a)Anualmente b)Semestralmente c)Trimestralmente d)Mensualmente e)Diariamente 2)Qutasadeintersanualresultaequivalenteaunatasade4% trimestral? 3)Qu tasa de inters nominal ha ganado un capital de $20,000 que se ha incrementado a $50,000 en 3 aos?, si dicho inters se capitaliza: a)Mensualmente? b)Trimestralmente? c)Semestralmente? d)Actualmente? EntregarestaactividadenformatodePrcticadeEjerciciosysbeloala plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificacin final. MATEMTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 10 Bibliografa Daz, A. y Aguilera, V. (2007). Matemticas financieras. Mxico: McGraw Hill.