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2016

Ingeniería Agronómica

MATEMÁTICA Curso de Ambientación para

Alumnos Ingresantes

Bienvenidos…

Éste es nuestro primer contacto y a través de él deseamos darte la

bienvenida a nuestra Facultad de Ciencias Agropecuarias y en particular a

la cátedra de Matemática.

Uno de los objetivos de este material es lograr un primer

acercamiento con la asignatura, nivelando en aquellas áreas que necesitás

para una mejor inserción en la primera etapa de tus estudios universitarios.

Por nuestra parte te ofrecemos acompañarte y guiarte para que logres

las competencias matemáticas necesarias para poder aplicarlas a lo largo de

la carrera, sin embargo necesitamos también de tu dedicación, esfuerzo y

entusiasmo, lo cual garantizará tu compromiso con el deseo de aprender.

En esta línea de compromiso con tu aprendizaje, te brindamos este

material en el cual encontrarás conceptos teóricos, ejemplos, ejercicios

propuestos con sus respuestas y problemas sencillos de aplicación. Además

para amenizar y poner en juego tu creatividad encontrarás algunos acertijos

matemáticos y problemas de ingenio a resolver.

Al final del cuadernillo, se agrega también la bibliografía que podés

consultar, para ampliar tus conocimientos sobre los temas estudiados.

Te esperamos y te deseamos muy buen comienzo!!!

Equipo de trabajo de las cátedras de Matemática

de la Facultad de Ciencias Agropecuarias.

Índice Unidad 1: Operaciones con los Números Reales 1

Operaciones con Números Reales 1

1) Números Naturales 1

2) Números Enteros 4

3) Números Racionales 6

4) Números Irracionales 8

5) Números Reales 8

6) Potenciación 10

7) Radicación 12

8) Logaritmación 13

Ejercitación Nº 1 14

Problemas de aplicación: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE 20

Unidad 2: Expresiones algebraicas 21 A - Definiciones 21

B - Operaciones con expresiones algebraicas enteras 23

Ejercitación Nº2 30

C - Factoreo de Expresiones algebraicas 34

D - Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificaciones 35


Unidad 3: Ecuaciones y Sistemas 45

A) Ecuaciones de primer grado con una incógnita 45


B) Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 50


C) Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 56


D) Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 58

Problemas. ¿Cómo resolver un problema? 62


Unidad 4: Trigonometría 67

A) Ángulos y su medición 67


B) Funciones trigonométricas de áng. agudos en triángulos rectángulos 72


C) Aplicación de la trigonometría a triángulos rectángulos. Resolución de

triángulos rectángulos 80


D) Funciones trigonométricas de ángulos generales 84


E) Resolución de triángulos. Caso general: Oblicuángulos 90


Unidad 5: Problemas de cálculo de área y volumen 99

Problemas para ejercitar tu ingenio. 105

Bibliografía 107

Unidad 1: Operaciones con Números Reales

1

Unidad 1 Operaciones con Números Reales Introducción Los distintos conjuntos de números reales que se utilizan se deducen a partir de sucesivas ampliaciones del conjunto de números naturales.

Símbolos:

N = Números Naturales Z = Números Enteros Q = Números Racionales I = Irracionales R = Números Reales C = Complejos

1) Números Naturales Se representan con los símbolos:

,....5,4,3,2,1N

Propiedades: 1- El conjunto de los números naturales es infinito 2- Tiene primer elemento. No tiene último elemento. 3- Todo número natural tiene un sucesor.

Un número natural y su sucesor se dicen consecutivos

Ej. m N ; sig m / sig N

4- Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números

naturales. Conjunto discreto.

Representación geométrica

Operaciones en N

1.1 Propiedades de la suma a) Es una operación cerrada, es decir: a + b N, a, b N

b) Conmutativa: a + b = b + a, a, b N

c) Asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c, a, b, c N

d) Cancelativa: a + b = a + c b = c, a, b, c N

1.2 Propiedades de la diferencia a) No es una operación cerrada: 5 – 7 / N


2

La diferencia entre dos números naturales existe sí y sólo sí el minuendo es mayor que el sustraendo, es decir:

SI a, b N, a – b = número N, a > b

b) No se verifica la propiedad conmutativa: 5 – 7 7 – 5

c) No es asociativa: 7 – (4 – 1) (7 – 4) – 1

d) Cancelativa: a – b = c – b a = c

1.3 Reglas de supresión de paréntesis a) a + (b – c) = a + b – c b) a – ( b + c) = a – b – c c) a – (b – c) = a – b + c

1.4 Propiedades del producto a) Es una operación cerrada: a, b N, a . b N

b) Conmutativa: a . b = b . a a, b N

c) Asociativa: a. (b . c) = (a . b) . c, a, b, c N

d) Cancelativa: (a . b = a . c b = c ) a, b, c N

e) Existencia del elemento neutro: 1 N / a . 1 = 1 . a = a, a N f) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y la diferencia:

a . ( b + c ) = a . b + a . c a. ( b – c ) = a . b – a . c

Como consecuencia de la propiedad conmutativa del producto, se obtienen las propiedades siguientes:

( b + c ) . a = b. a + c . a

( b - c ) . a = b. a - c . a

1.5 Propiedades del cociente a) No es una operación cerrada: 7 : 4 N El cociente entre dos números naturales existe en el caso que el dividendo es múltiplo del divisor.

b) No es conmutativo: 6 : 3 3 : 6

c) No es asociativa: 8 : (4 : 2) (8 : 4) : 2

d) Cancelativa: a : b = c : b a = c e) Distributiva del cociente respecto a la suma y diferencia; esta propiedad es válida sólo a la derecha:

Observación:

En N, con la operación suma se pueden plantear problemas que no siempre tienen solución, como es el siguiente:

“Sean n, m N con n m. Hallar x N de manera que n + x = m”

Por ejemplo: ¿Existe x N / 6 + x = 4? La respuesta es negativa, no se puede encontrar x número natural que lo verifique. Si, en cambio, se considera este problema en el conjunto de Números Enteros la respuesta al planteo anterior es afirmativa, al existir x = -2 número entero que soluciona el problema, pues: 6 + (-2) = 4. Luego, es necesario considerar este conjunto de números enteros.


3

Curiosidades aritméticas

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321


4

2) Números Enteros

Se representan con los símbolos:

Z = ,...3,2,1,0,1,2,3...

O bien: Z0ZZ

Propiedades:

1. El conjunto de Números Enteros (Z) es infinito. 2. No tiene primer ni último elemento. 3. Todo número entero tiene sucesor. 4. Dos números, un entero y su sucesor, se dicen consecutivos. 5. Todo número entero tiene un antecesor. 6. Entre dos números enteros existe siempre un número finito de números enteros. Conjunto discreto.

Representación geométrica:

Volviendo a la pregunta anterior pero formulada de otra manera:

¿Existe x Z tal que, n + x = m?

La respuesta entonces es afirmativa, existe un único x Z definido por: x = m – n que satisface la ecuación dada.

Operaciones en Z

2.1 Propiedades de la suma Se verifican las propiedades 1.1 de la suma de números naturales. Además:

f) Existencia del elemento inverso aditivo (opuesto):

a Z, -a Z/ a + (-a) = (-a) + a = 0

2.2 Propiedades de la diferencia Se verifican las propiedades 1.2 de la diferencia de Números naturales, excepto la propiedad 1.2 a). Es decir: La diferencia de números enteros es una operación cerrada, pues:

a – b Z, a, b Z.

2.3 Reglas de supresión de paréntesis Son válidas las mismas reglas citadas en el punto 1.3

2.4 Propiedades del producto Se verifican las mismas propiedades 1.4 del producto de números naturales.

2.5 Propiedades del cociente Se verifican las mismas propiedades 1.5 del cociente de números naturales.


5

2.6 Reglas de signos para el producto y el cociente: a . b > 0 si (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0) a . b < 0 si (a > 0 y b < 0) ó (a < 0 y b > 0) a : b > 0 si (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0) a : b < 0 si (a > 0 y b < 0) ó (a < 0 y b > 0)

En síntesis...

(+).(-) = - (+).(+) = + (-).(+) = - (-):(-) = +

(+):(-) = - (+):(+) = + (-):(+) = - (-):(-) = +

Pero, también en Z hay problemas que no siempre tienen solución. Por ejemplo, para la operación producto:

“si n, m a Z con n 0 y m un número que no es múltiplo de n. ¿Existe x a Z tal que: n.x = m?” Por ejemplo: ¿Qué número x verifica que 5.x = 2?

Ningún número entero lo verifica, pero sí el número fraccionario x = 5

2

ya que 5. 5

2 = 2

Por lo tanto es necesario considerar una ampliación del conjunto de los números enteros. Para ello consideramos el conjunto de los números racionales (fraccionarios) para resolver problemas como el planteado anteriormente.


6

3) Números racionales

Son números racionales los de la forma: n

m con n, m Z y n 0, donde m: es el

numerador y n: es el denominador.

Propiedades:

El conjunto de números racionales es infinito. No tiene ni primer ni último elemento.

Entre dos números racionales existe siempre un número infinito de números racionales. Conjunto denso.

Representación geométrica

Operaciones en Q

3.1 Definición de suma y diferencia

Suma: s.q

q.rs.p

s

r

q

p

Diferencia: s.q

q.rs.p

s

r

q

p

El común denominador es el mcm (mínimo común múltiplo) entre los dos denominadores.

3.2 Propiedades de la suma y de la diferencia La suma y la diferencia de números racionales gozan de las mismas propiedades que la suma y la diferencia de números enteros; propiedades ya citadas en los puntos 2.1 y 2.2. También son válidas las reglas de supresión de paréntesis mencionadas en el punto 2.3.

3.3 Definición de producto y cociente

Producto: sq

rp

s

r

q

p

Cociente: rq

sp

r

s

q

p

s

r

q

p

3.4 Propiedades del producto

Se verifican las propiedades 1.4 y además existe el elemento inverso, es decir:

Común denominador


7

q

p Q y p 0,

p

q Q / 1

p

q

q

p

3.5 Propiedades de la división Se verifican las propiedades 1.5, salvo 1.5.a, es decir, la división en Q es una operación cerrada:

s

r

p

q Q,

q

p Q,

s

r Q

3.6 Orden en Q: Si b > 0 y d > 0, entonces se define el siguiente orden:

bcdad

c

b

a

Entonces hasta aquí se consideraron tres conjuntos de números:

N, Z, Q que guardan la siguiente relación: QZN

La pregunta simple que uno puede plantearse es: “¿Existen otros números que no sean números racionales?” Sí existen. Para confirmar esta afirmación veamos el siguiente problema. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo, isósceles cuyos lados iguales tienen una longitud unitaria (igual a 1)?

Si aplicamos el Teorema de Pitágoras, vemos que la longitud de la hipotenusa es

2 .

Se puede demostrar que este número 2 no pertenece a Q.

Concluimos que existen números que no son racionales, a estos los llamamos irracionales. Conversión de un Número decimal en su fracción Generatriz: Un Número Decimal puede tener un conjunto de cifras que se repite indefinidamente; por ejemplo:

0,3333....................................= 3,0

0,353535................................= 35,0

4,151515................................= 15,4

0,307444............................... = 4307,0

El conjunto que se repite, se llama período y el número se llama DECIMAL PERIÓDICO.

¿Cómo transformamos el Número Decimal en su Fracción Generatriz? Si es un Número Decimal no periódico y definido, basta dividirlo por la potencia de 10 correspondiente.

Ejemplos:

50

321

100

62424,6

100

85353,8

40

923

1000

23075075,23

20

7

100

3535,0

10

233,2

Si es un Número Decimal periódico, se debe proceder de la siguiente manera. Si llamamos x al número:


8

Ejemplo 1:

3

13,0

3

1

9

3x

3x9

3xx10

3,3x10Será

3,0xSi

3,0............3333,0x

Ejemplo 2:

99

3535,0

99

35x

35x99

35xx100

35,35x100Será

35,0............353535,0x

Ejemplo 3:

9000

27674307,0

9000

2767x

2767x9000

2767x1000x10000Siendo

4,307x1000

4,3074x10000Será

4307,0............3074444,0x

Ejemplo 4:

99

411

99

154x:siendo

99

15a

15a99

15aa100

15,0aSi

15,0aa415,04x

15,4............1515,4x

4) Números Irracionales

Son números irracionales por ejemplo: 2 , 3 , 5 , , e, etc.

Este conjunto de números irracionales junto con el conjunto de los números racionales determinan el conjunto de los números reales ®.

Q: Números Racionales R = Números Reales

I: Números Irracionales

5) Números Reales Se simbolizan:

R = ,...2/7,...2,...1,...0,...7/3,...4,...5...,

Propiedades: El conjunto de R cumple con todas las propiedades del conjunto de los números racionales: Es infinito. No tiene primer ni último elemento. Entre dos números reales, existen infinitos números reales. Conjunto denso. Ningún número real tiene sucesor ni antecesor. El conjunto R es un conjunto totalmente ordenado por la relación de menor o igual.


9

Representación geométrica: Recta Real: A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta le corresponde un número real. La representación geométrica corresponde a la recta numérica o eje numérico.

Operaciones en R Todas las operaciones cumplen las mismas propiedades que los números racionales.

0 R+ R-

Reales

Irracionales

Racionales Enteros Naturales

LO MISMO AL REVES

Utilizando solamente los signos de suma y resta, ubicarlos

entre los dígitos 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1, de manera de

obtener un resultado igual a 100. Por ejemplo:

Manteniendo el orden de los dígitos (91) obtener el

mismo resultado con el menor número de signos de

suma y resta.


10

6) Potenciación

Sea a R, entonces se define:

a0 = 1 si a 0;

aa1

a....a.a.aan para n N y n > 1

La definición se amplía para exponente entero negativo:

Si z = -n con n N 0a,a

1)a(a

n

n1z

6.1 Propiedades de la potenciación

a) mnmn aaa

b) nnn ba)ba(

c) m.nmn a)a(

d) n

nn

b

a

b

a

; con b 0

e) mn

m

n

aa

a

Notación Científica

Los exponentes enteros con frecuencia se utilizan para escribir números muy grandes o muy pequeños de una forma conveniente. Cualquier número real positivo puede escribirse en la forma:

a x 10n

donde 1 a 10 y n es un entero. Decimos que un número escrito así está en notación científica. Por ejemplo:

1.000.000 = 1 x 106 0.0000000954 = 9,54 x 10-8 La mayoría de las calculadoras convierten automáticamente un número en notación científica cuando éste es muy grande o muy pequeño como para ser expresado en forma decimal.

Por ejemplo, el número 2,789 x 1015 requiere 16 dígitos para su forma decimal pero, ya que pocas calculadoras pueden expresar más de diez dígitos, el signo de multiplicación y la base no se muestran. Entonces, el número:

2,789 x 1015

aparece como:

2,789 15

y el número:

3,05 x 10-14

aparece como:

3,05 -14


11

Problemas de aplicación: NOTACIÓN CIENTÍFICA

1) Un animal tiene 5 litros de sangre y aproximadamente 4500000

glóbulos rojos en cada milímetro cúbico de ésta, calcula en notación

científica su número aproximado de glóbulos rojos.

RTA.:.1310.25,2 glóbulos

2) Una molécula de hidrógeno pesa g2410.3,3

.¿Cuántas moléculas hay

en un gramo de hidrógeno?

RTA: moléculas2310.3

3) Calcula tu edad en segundos utilizando la notación científica. ¿Cuál

es el orden de magnitud?

4) La velocidad de la luz es 810.3 m/s. a) ¿Qué distancia recorre la luz

en un año? b) ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Plutón?

Distancia del Sol-Plutón es: 610.91,5 km . RTA: a) km1210.45,9 b)

19,7 seg

Dígitos significativos

La mayoría de las aplicaciones de las matemáticas en el mundo real, incluyen medidas que están sujetas a error y, en consecuencia, se consideran aproximaciones. Podemos describir la exactitud de una aproximación estableciendo cuántos dígitos significativos tiene.

Supongamos que el resultado de una medida se exprese en notación científica:

x = a x 10n, donde 1 a 10 y se sabe que los dígitos en a son exactos (excepto, posiblemente, el último dígito, el cual puede ser aproximado si el número fue redondeado). Si a contiene k lugares decimales (es decir, k dígitos a la derecha del punto decimal), entonces se dice que x tiene k + 1 dígitos significativos. Según esta convención:

4,2693 x 10 23 tiene cinco dígitos significativos y

7,60 x 10 -20 tiene tres dígitos significativos.


12

7) Radicación

Se define como raíz enésima de un real a, al real cuya potencia enésima es a, es decir:

Nn,abab nn

Donde,

n a : Radical a : Radicando

n : Índice : Signo radical

Se puede determinar el signo de la raíz según que el índice sea par o impar, y el radicando positivo o negativo. Ejemplos:

a) 82pues28 33

b) 8)2(pues28 33

c) 16)2(y162pues216 444

d) 4 16 no es posible calcularla en R, pues ningún número real elevado a

exponente par da por resultado un número negativo.

7.1 Propiedades de la Radicación

Sean m y n enteros positivos, a y b números reales. Entonces:

a) a)a( nn

b) paresnsi,aimparesnsi,a)a(n n

c) nnn b.aba

d) nn

n

b

a

b

a

e) n.mm n aa

siempre y cuando los radicales representen números reales.

Observación: Tanto la potenciación como la radicación no son distributivas con respecto a la suma y a la diferencia.

Ej. 861410100pues64366436;35)35( 222

Así como se amplió el conjunto de número naturales; el conjunto de números reales también puede ser ampliado a un nuevo conjunto de números; el conjunto de número complejos C. En consecuencia en C, se podrán resolver problemas como el siguiente:

Hallar x R / x2 + 4 = 0

que en R no tienen solución.


13

8) Logaritmación

8.1 Definición

ablog se lee “logaritmo en base b de a” y se interpreta como: ¿Cuál es el

exponente al que debe elevarse b para obtener a?

abca c

b log

La base (b) es siempre un número positivo y además, distinto de 1, ya que 1 elevado a cualquier exponente nos da por resultado 1.

Para tener en cuenta

Cuando no se especifica qué numero es la base, se sobreentiende que se trata del número 10. Estos logaritmos reciben el nombre de logaritmos decimales.

Cuando la base es el número e, los logaritmos son logaritmos naturales o neperianos.

8.2 Propiedades de los logaritmos

baba mmm loglog)(log

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

bab

ammm logloglog (con b 0)

El logaritmo de un cociente es igual a la resta del logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

ana m

n

m loglog

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

bnn

bbn log

1loglog

El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.


14

m

aa

b

b

mlog

loglog Propiedad de cambio de base.

Ejercitación Nº1 1) Suprimir paréntesis, corchetes, llaves y resolver:

;24

3

7

1

4

11

14

5

4

3

7

2

2

1)

a

;32

17

2

127

7

69)

b

;8

19

2

345

2

12)

c

2) Resolver

;7

10

9

2

2

1

5

3)

a

;5

8

3

5

2

1

4

3)

b

;10

6:

5

2)

c

;5

6:

3

8)

d

3) Resolver

;6

52

3

1

9

8

4

3

2

1

3

21)

a

;2

1

5

7

8

21

7

4

4

3

8

1

5

41

5

1

4

5)

b

;15

4:

2

1

3

1

5

1)

c ;

5

1

9

8:

5

2

12

5)2()

d

;

4

13

28

5

3:2

11

3

21

4

3

)e

;3

1

2

1

4

3

3

2

12

41

31

3

1

)f


15

4) Resolver

;3

4)

12

a

15

3

3

1)

b

;3

1

8

92

3

)

2

c

5) Resolver

;)12(2:26

1

3

1:

6

6:8) 22

223

2

a ;

)1(3

1

42

1

)3

2

21

b

;

21

11

21

11

)

4

2

c ;4

3:7)

2

d

6) Resolver

;54

18

19

4

3

3

2

)11

1

1

1

1

1

a

;)1(4

1

4

1:

2

1

2

11

6

5) 4

2432

b

;81

25

81

16) c

;4

1:4981:

5

3

5

22)

22

d

;

4

13

1

7

6

1

4

13

1

2

1

)

2

4

1

e

7) Previa reducción calcular


16

;) 653 2 cbaa

;..)6 55 43 2 cbab

;8..2.01,0) 34 223 bac

;2

..

.) 323

45 32

ba

mx

m

babad

;:)3 2 aae

;65

32)

223

25

xa

xaf

8) Efectuar las operaciones que se indican:

;3322

1332

2

1)

a

;4

1

3

2

4

3) 343 253 yxyxxyxb

;)(:3

21) 3 2yxyxc

;:1)(4

3) 33 2 babad

9) Resolver

;4

12

3

1

2

3

5

11

5

33

)

2

a ;

16

1

2

1

2.8

1.4.

2

1

)2

13

75

22

b

;25

1:

10

120

11

5

2

2

1:3

10

110

12

)

c

10) Resolver

a) 3

2

1258

1

b)

43

16

81

c) 52

32 d) 37

27

e)4

3

516

1

f)

dc

dc

31

31

11) Resuelve los siguientes logaritmos


17

12) Expresa como logaritmo único

RESPUESTAS EJERCITACIÓN N° 1

1) a) 19/28 -6/7 c) 25/8 2) a) 2/21 b) 1 c) 2/3 d) -20/9 3) a) 9/4 b) 53/40 c) 31/8 d) 3/2 e) -3/2 f) –12/25 4) a) 9/16 b) –315 c) 1 5) a) 7/2 b) 18/5 c) 5 d) 9/784 6) a) 40 b) –1/2 c) –13/9 d) 7/80 e) 5/9

7) a) 30 5620 cba b)

30 252420 cba c) 12 322 )ba(16.2,0

d)

602115

11202

am

bmx e)

6 a f)

15

152515

315

65

3.2

xa

8) a) 272

1 b) 6 22xyx

4

1 c) 6 1)6(

3

21 x

d)

)(4

)(4)(3 3 2

ba

baba

9) a)25

1 b) 256 c) 76

10) a) 4

25 b) 4 1

27

8 c) 4 d)

2187

1 e)

8

27 f)

32

32

d

c

11) a) 3 b) -3 c) 3 d) -1/2 e) 1/4 f) -1/2 12)

18

MAGNITUDES PROPORCIONALES Razones y proporciones

Se denomina razón entre dos números a y b (b≠0), al cociente de la división

de a por b. El primer número se denomina antecedente y el segundo consecuente. En símbolos: a : b o bien a/b

Por ejemplo, el porcentaje es una razón entre un número y 100.

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Dados cuatro

números a, b, c, d, distintos de cero, en ese orden, forman una proporción cuando la razón entre los dos primeros es igual a la razón de los dos

últimos. En símbolos: d

c

b

a Se lee: a es a b , como c es a d

Se denominan extremos de la proporción a a y d, mientras que b y c se llaman medios.

Propiedad fundamental: en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

cbdad

c

b

a..

Cálculo de un elemento de una proporción

Para calcular un elemento de una proporción es suficiente aplicar la propiedad fundamental. Considerando que se desea calcular un extremo,

simbólicamente:

Magnitudes proporcionales

Magnitud es toda propiedad que se puede medir, por ejemplo el tiempo, el peso, la superficie, el volumen, la longitud, etc.

Las magnitudes pueden ser directa o inversamente proporcionales.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes x y y, son directamente proporcionales cuando están relacionadas por la función y = k . x, siendo k un número distinto de cero que se denomina constante, factor o coeficiente de proporcionalidad. El cociente entre pares de cantidades correspondientes es siempre el mismo,

es constante, kx

y

Propiedades

1. Dadas las magnitudes directamente proporcionales, si se multiplica una cantidad de la primera por un número, la cantidad correspondiente a la segunda magnitud queda multiplicada por el mismo número (es decir si aumenta o disminuye la cantidad de una de las magnitudes, la cantidad


19

correspondiente a la otra magnitud aumenta o disminuye en la misma proporción).

Dadas las cantidades de las magnitudes x1, y1, si x1 aumenta n veces, entonces y1 aumenta n veces también, simbólicamente:

.

2. Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón entre dos cantidades de la primera es igual a la razón entre las cantidades correspondientes de la segunda. En lenguaje simbólico:

2

1

2

1

y

y

x

x

Representación gráfica de una función de proporcionalidad directa

La función y = k . x se representa mediante una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Por ejemplo, la tabla que sigue representa la cantidad de conservante en kg que se agrega a distintas cantidades de un producto alimenticio.

Producto (tn) 20 30 40 50

Conservante

(kg)

2 3 4 5

El cociente entre el conservante y la masa de producto elaborado es siempre 0,1, por lo tanto las magnitudes son directamente proporcionales. Si x es la masa del producto e y la del conservante, y= k .x, para la primera columna numérica: 2= k. 20 k= 2/20=0,1, es decir la constante de proporcionalidad es 0,1. La fórmula es y = 0,1. x. Se puede observar que si se duplica la cantidad de producto se duplica la cantidad de conservante que se debe agregar.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes x y y, son inversamente proporcionales cuando están

relacionadas por la función x

ky , siendo k un número distinto de cero que

se denomina constante, factor o coeficiente de proporcionalidad. El producto entre pares de cantidades correspondientes es siempre el mismo, es constante, y . x = k.

Propiedades

1. Dadas las magnitudes inversamente proporcionales, si se multiplica una cantidad de una de ellas por un número, la cantidad correspondiente queda dividida por el mismo número (es decir si aumenta o disminuye la

x

y y = k . x

20

cantidad de una de las magnitudes, la cantidad correspondiente a la otra magnitud disminuye o aumenta en la misma proporción).

Dadas las cantidades de las magnitudes 11 yex , si 1x aumenta n veces,

entonces 1y disminuye n veces también. Simbólicamente:

1212

1y

nynxx

2. Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, la razón entre dos

cantidades de la primera es igual a la razón inversa entre las cantidades

correspondientes a la segunda. En lenguaje simbólico: 1

2

2

1

y

y

x

x

Representación gráfica de una función de proporcionalidad inversa

La función x

ky se representa mediante una hipérbola

equilátera.

Por ejemplo, la tabla que sigue representa la viscosidad de una sustancia en función de la temperatura.

Temperatura

(ºC)

20 40 60 80

Viscosidad

(Pa.s)

1,8 0,9 0,6 0,45

El producto entre la viscosidad y la temperatura es siempre 36, por lo tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Si x es la temperatura e y la viscosidad, y= k / x, para la primera columna numérica: 1,8= k / 20 k= 1,8 . 20=36, es decir la constante de proporcionalidad es 36. La fórmula de la función de proporcionalidad inversa en este caso es: y= 36 / x

Problemas de regla de tres

Son problemas en los que se involucran magnitudes proporcionales en los que conocido un par de elementos correspondientes y otro de una de las magnitudes, se debe calcular el elemento que le corresponde en la otra magnitud.

Si interviene sólo dos magnitudes, la regla de tres es simple.

Si las magnitudes son directamente proporcionales, la regla de tres es directa y si son inversamente proporcionales la regla es inversa.

Para resolver este tipo de problemas se utilizan las definiciones y propiedades de las magnitudes proporcionales.

y


21

Problemas de aplicación: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE

1) ¿A qué distancia del pueblo se encuentra un agricultor que transporta

abono en un vehículo, si las ruedas avanzan 3.77 m en cada vuelta y al llegar a la finca ha contado 492 vueltas de las ruedas?

2) Un productor cosechó 58 quintales de alfalfa / ha en una chacra de

180 m por 150 m. La alfalfa pierde al secarse 4/7 de su peso. Si el agricultor tiene 8 vacas y cada una de ellas consume 14 kg de forraje seco/día, ¿durante cuántos días podrá alimentarlas con la alfalfa?

3) Los ¾ de un terreno trapezoidal (con B = 240 m, b = 180 m, h = 2/3 de

B) fueron sembrados con remolacha azucarera. El rendimiento al cosechar es de 40 tn/ha.

a) ¿Cuál es el peso de la remolacha cosechada? b) ¿Cuántas tn se habrían cosechado se hubieran sembrado los

5/6 del terreno? c) Sabiendo que las remolachas dan el 12% de su peso en azúcar,

¿cuál es, a $220 el quintal, el valor del azúcar obtenido? 4) Una refinería de azúcar funciona 150 días por año. Por día recibe 50

vagones de 10 tn de remolacha azucarera cada uno, la cual pierde el 5% de su peso en el lavado y el 2% al ser cortada. Si las remolachas cortadas proporcionan el 15% de su peso en azúcar, qué cantidad de azúcar produjo la refinería en el año? ¿Qué extensión debe sembrarse con remolacha para mantener esta producción? (Rendimiento por ha: 40 tn)

5) Un granjero posee 6 toros , 15 vacas, 12 terneros y 6 caballos. Un toro

pesa 850 kg, una vaca 650 kg, un ternero 100 kg y un caballo 600 kg. Se calcula que un animal da, en los meses de invierno, 10 veces su peso en estiércol.

a) ¿Cuál será el largo del montón de estiércol si mide 6 m de ancho y 2.5 m de alto? (1 dm3 de estiércol pesa 0.9 kg).

b) El granjero usó, a razón de 30 tn/ha, los 6/23 de ese montón, para abonar un campo rectangular de 180 m de largo, ¿qué ancho tiene el campo?

6) Argentina tiene 33 millones de habitantes y se consume 450 kg de pan

por habitante por año. Cada hectárea de trigo produce, en promedio, 16.5 qq. De cada 100 kg de trigo se obtienen 78 de harina y de cada 100 kg de harina se obtiene 130 de pan. Fijar la superficie de cultivo necesaria para que a ningún argentino le falte el pan necesario par su consumo diario, suponiendo que sólo se puede hacer una cosecha anual de este cereal.

Problemas de aplicación: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE

1) R: 1.854,84 m 2) R: 60 días 3) a) 100,8 Tn b) 112 Tn c) $26.611,2 4) a) 10.473,75 Tn b) 1.875 ha 5) R: 95 m 6) R: 8.875.739,65 ha

UNIDAD 2: Expresiones Algebraicas

21

Unidad 2

Expresiones Algebraicas

A - DEFINICIONES Expresión literal: Es la reunión de letras (variables) y cifras (números reales) combinados entre sí y sometidos a operaciones matemáticas. Expresión algebraica: Es toda expresión literal en la que aparece una combinación finita de las siguientes operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos:

x + y ; xy2

yx 22 ;

3322 bab3ba3a

Expresión algebraica entera: Es toda expresión algebraica en las que las operaciones matemáticas de que se compone son las siguientes: suma, resta, multiplicación y potenciación con exponente natural. Ejemplos:

ax2 + bx + c ; x2 – 2xy + y2 ; cx + d

Expresión algebraica fraccionaria o fracción algebraica: Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, siendo la segunda no nula. el numerador y el denominador de la fracción se llaman dividendo y divisor respectivamente. Ejemplos:

1x

1xx2

2

2

;

22

32

yx

xxxy2

Monomio: Es toda expresión entera en la que no intervienen las operaciones de suma ni de resta. Ejemplos:

ba3 2 ; zxy

3

1 3

Coeficiente de un monomio: Es el número real que precede al monomio. Ejemplos:

ba3 2 ; zxy

3

1 3 tienen por coeficientes, respectivamente 3 y – 1 / 3.

Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes cuando tienen las mismas letras o variables con los mismos exponentes, es decir, cuando difieren solamente por los coeficientes. Ejemplos:

yx4 2 ; yx

5

6 2


22

Grado de un monomio: Es el número natural de sus factores literales; es decir, la suma de los exponentes de todas sus letras o variables. Ejemplo:

El monomio 232 zyx9 es de 7mo. grado.

Polinomio: Es la suma algebraica de monomios llamados términos del polinomio. Cuando el polinomio tiene sólo dos términos se llama binomio, cuando tiene sólo

tres términos se llama trinomio, etc.

Ejemplos:

bax ; yx son binomios;

22 yxy2x es un trinomio;

5x2x3x2 34 es un polinomio.

Grado de un polinomio: Es el mayor de los grados de los monomios que componen el polinomio. se simboliza con: gr [p(x)]. Ejemplo:

p(x) = 5x2x3x2 34 es de 4to grado o gr [p(x)] = 4

q(x) = 3x7 2 es de 2do grado o gr [q(x)] = 2

Polinomio homogéneo: Es todo polinomio en el que todos sus términos son del mismo grado. Ejemplo:

22 yxy2x4 es un polinomio homogéneo de 2do grado

Polinomio ordenado respecto a una de sus letras (o variables): es cuando los términos del polinomio están dispuestos de modo que los exponentes de dicha letra ordenatriz o variable vayan aumentando o disminuyendo sucesivamente desde el primer término hasta el último. La ordenación será creciente o decreciente, según que los exponentes de la letra ordenatriz o variable vayan de menor a mayor o viceversa. Ejemplo:

El polinomio 8ax4x2ax5x7 22463 ordenado en forma decreciente

respecto de la variable x será:

8ax4x7x2ax5 22346

Polinomio completo: Es todo polinomio que contiene términos de todos los grados de la letra ordenatriz o variable elevado hasta el grado cero. Ejemplo:

El polinomio 1x5 puede completarse de la forma:

1x0x0x0x0x 2345

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el número real que resulta de reemplazar las letras o variables por números determinados y ejecutar las operaciones en la expresión dada.


23

Ejemplos:

El valor numérico de la expresión: yx

yxy2x 22

para x=3 , y=2

Es igual a 5, pues: 55

25

23

22.3.23 22

Observación: Una expresión algebraica tiene un valor numérico para cada sistema de valores que se atribuyan a sus variables, siempre que las operaciones a las cuales están sometidas, sean posibles. Ejemplo:

La expresión 2x

6x4x2

carecerá de valor numérico para x=2, por no ser

posible la división cuando el divisor es nulo.

B - OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS. Se emplean en todos los casos las propiedades de los números reales.

B.1 - Operaciones con monomios semejantes:

1) Suma: 2222 ab3ab)3(6)ab3()ab6(

2) Resta: 2222 ab9ab)3(6)ab3()ab6(

B.2 - Operaciones con monomios:

1) Suma: ax2ab5)ax2()ab5( ;

ax2ab9)ab4()ax2()ab5(

2) Resta: ax2ab5)ax2()ab5(

3) Producto: bxa8)ax2).(ab4( 2

4) Cociente: x2

b5xa2.ab5)ax2(:)ab5( 111

5) Máximo común divisor (MCD): El MCD de dos o más monomios es un monomio de grado máximo que divide simultáneamente a todos los monomios dados.

Ejemplo:

MCD zyx7bzyx35;azyx21;zyx14 3254325432

Observación: Todo monomio semejante al zyx7 32 es también el MCD

de los tres monomios dados en el ejemplo anterior.

6) Mínimo común múltiplo (mcm): El mcm de dos o más monomios es un monomio de grado mínimo que sea divisible simultáneamente por todos los monomios dados.

Ejemplo:

mcm abzyx210xyzb35;xyza21;yzx14 5542


24

B.3 - Operaciones con polinomios

1) Suma:

3xy4yxyxxy3yx3yxxy 333333333

2) Resta:

3yx2xy2xyyxxy3yx3yxxy 3333333333

3) Producto:

a) Producto de un polinomio y un monomio: Se utiliza la propiedad distributiva:

cdbdadd.cba

Ejemplo:

xy6yx2yx2xy2.3yxxy 244233

b) Producto de dos polinomios: Se utiliza la propiedad

cebeaecdbdade).cba(d.cbaed.cba

Ejemplo:

2xx2.1xx2x3 223

21xx2x3x.1xx2x3x21xx2x3 2323223

2x2x4x6xxx2x3x2x2x4x6 232342345

2x3x7x10x7x6 2345

Nota: La ordenación de los polinomios facilita el cálculo del producto. Se tiene, por ejemplo, la siguiente disposición práctica:

2x3x7x10x7x6

2x2x4x6

xxx2x3

x2x2x4x6

2xx2X

1xx2x3

2345

23

234

2345

2

23

4) Cociente:

a) Cociente de un polinomio con un monomio: Se utiliza la propiedad distributiva:

d:cd:bd:ad

c

d

b

d

a

d

cbad:cba


25

Ejemplo:

ab2

3

a2

x

b

xab2:3bxax2

22

Observación: En general la división de dos polinomios no es exacta.

b) Cociente de dos polinomios: En general cuando se divide un entero positivo p por un entero positivo s, obtenemos un único cociente q y un residuo r que satisfacen:

rq.sp donde 0 < r < s

Un resultado análogo, llamado algoritmo de división para polinomios se enuncia de la siguiente manera:

El algoritmo de división para polinomios:

Sea f(x) y q(x) polinomios con g(x) 0 , entonces existen polinomios únicos

q(x) y r(x) tales que:

)x(r)x(q).x(g)x(f

Donde, r(x) es 0, o tiene un grado menor al grado de g(x). Llamamos a f(x) dividendo, a g(x) divisor, a q(x) cociente y a r(x) residuo. Cuando r(x)=0, entonces, entonces f(x)=g(x).q(x) y g(x) es un factor de f(x). En este caso se dice que f(x) es divisible por g(x). Observación: Si g(x) es un polinomio de primer grado, entonces el resto o residuo r(x) es un polinomio de grado cero, es decir, un número real.

Ejemplo: Consideremos una disposición práctica para f(x):g(x)

_ 3223 a2xa7ax2x8

22 aax3x4

xa2ax6x8 223 ax2

322 a2xa5ax4

322 axa3ax4

32 axa2

con lo cual q(x)= 2x-a y r(x)= 32 axa2

Por otro lado se puede verificar que:

g(x).q(x)+r(x) = (22 aax3x4 )( ax2 ) + (

32 axa2 ) =

32322223 axa2axa2xa3ax6ax4x8 =

3223 a2xa7ax2x8 = f(x)

Nota: Cuando f(x) y g(x) no sean polinomios completos, conviene a los efectos del cálculo, completarlos previamente.


26

c) Cociente de un polinomio entero en la variable x por otro de primer grado

de la forma: x – a Ra :

Sean f(x) = 1x)x(gy3xx3

En este único caso, en que, el polinomio g(x) es un polinomio de primer grado se puede calcular la división a través del siguiente procedimiento: División práctica o Regla de Ruffini: (es imprescindible que el polinomio dividendo sea completo) Permite conocer el cociente q(x) y el resto r(x) de la división de f(x) por x – a.

Ejemplo: 2x:2x7x9x6x5 234

El cociente q(x): es otro polinomio en x, de grado igual a la unidad menor que el polinomio dividendo, y el resto r, un polinomio de grado cero.

1)x(fgr)x(qgr ; 0)x(rgr (es un nº real)

Para realizar la división aplicando la regla práctica de Ruffini, se ordena y completa el polinomio dividendo f(x), según potencias decrecientes de x, los coeficientes del cociente q(x) y del resto r resultan de:

5 -6 -9 7 2 2 10 8 -2 10

5 4 -1 5 12

Cociente: q(x) = 5xx4x5 23 3)x(qgr

Residuo o resto: r = 12 0rgr

Los coeficientes se obtienen: 1er. coeficiente: 5

2do. coeficiente: 4)6()2(5

3er. coeficiente: 1)9()2(4 Coeficientes del divisor q(x)

4to. coeficiente: 57)2)(1(

Residuo o resto: 122)2(5

Teorema del residuo

Cuando un polinomio f(x) se divide por x – a, el residuo r es el valor del polinomio en x = a, esto es, r = f(a). Demostración: Si se divide el polinomio cociente f(x) por el binomio x – a se tiene:

f(x) = q(x).(x – a) + r

Si se calcula el valor numérico de f(x) para x = a, se obtiene:

f(a) = q(a)(a – a) + r = 0 + r = r

Se concluye:

f(a) = r

Ejemplo:

Determine el residuo cuando f(x) = 2x7x9x6x5 234 se divide por

x – 2.


27

Según el teorema del residuo: r = f(2)

= 2)2(7)2(9)2(6)2(5 234

= 12

Se dice que un número a es cero o una raíz de un polinomio f(x) si f(a) = 0. En

este caso, 0)a(fr y se deduce por tanto, según lo anteriormente dicho que

se puede escribir el polinomio f(x) como:

)ax)(x(q)x(f

Esto nos permite enunciar el siguiente teorema:

Teorema del factor

Un número a es una raíz de un polinomio f(x) sí y sólo sí x – a es un factor de f(x). Por tanto, cuando a es raíz de f(x), x – a es un factor. Y viceversa, si x – a es un factor de f(x), entonces f(x) tiene la forma: f(x) = q(x)(x – a) En este caso vemos que: f(a) = q(a)(a – a) = 0

Ejemplo:

Determinar si x + 1 es factor de f(x) = 1x6x5x 24

Si se calcula: 111)1(6)1(5)1()1(f 24

Puesto que 0)1(f se concluye que: x + 1 no es un factor de f(x).

d) Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia de las bases:

Se trata de dividir )ax( mm por )ax( con m N y a R – 0

Se pueden presentar los siguientes casos:

CASO 1 )ax(:)ax( mm

Se tienen: mm ax)x(f , )a(xax)x(g

El resto de la división de f(x) por g(x) vine dado por: 0 si m es impar

mmmmm aa)1()a()a()a(fr

0a2 m si m es par.

CASO 2 )ax(:)ax( mm

Se tienen: ax)x(g,ax)x(f mm


28

El resto de la división de f(x) viene dado por:

0a2aa)a(fr mmm

Con lo cual nunca f(x) es divisible por g(x)

CASO 3 )ax(:)ax( mm

Se tienen: )a(xax)x(g,ax)x(f mm

El resto de la división de f(x) por g(x) viene dado por: 0 si m es par

mmmmm aa)1()a()a()a(fr

0a2 m si m es impar

Con lo cual f(x es divisible por g(x) solamente si m es par.

CASO 4 )ax(:)ax( mm

Se tienen: ax)x(g,ax)x(f mm

El resto de la división de f(x) por g(x) viene dado por:

0aa)a(fr mm , para todo m.

Con lo cual f(x) es siempre divisible por g(x) cualquiera sea m N. Resumen:

f(x) g(x) f(x) es divisible por g(x)

mm ax x + a si m es impar

mm ax x – a nunca

mm ax x + a si m es par

mm ax x – a siempre

Ejemplos: Utilizando la Regla de Ruffini se obtienen las siguientes divisiones exactas:

f(x) g(x) q(x) = f(x):g(x)

22 ax ax ax

22 ax ax ax

33 ax ax 22 aaxx

33 ax ax 22 aaxx

44 ax ax 3223 axaaxx

44 ax ax 3223 axaxx

55 ax ax 432234 axaxaaxx


29

5) Productos notables

a) Cuadrado de un binomio:

i) ab2babbaaba)ba)(ba()ba( 22222

ii) ab2babbaaba)ba)(ba()ba( 22222

b) Cubo de un binomio

i) )ba)(ab2ba()ba()ba()ba( 2223

232223 ab2bbaba2aba 3223 bab3ba3a

ii) )ba)(ab2ba()ba()ba()ba( 2223

232223 ab2bbaba2aba 3223 bab3ba3a

c) Cuadrado de un trinomio

bc2ac2cab2bac)ba(2c)ba(

c)ba()cba(

22222

22

bc2ac2ab2cba 222

d) Diferencia de cuadrados

2222 babababa)ba)(ba(


30

Ejercitación Nº2

1) Hallar el valor de los siguientes polinomios para: x = -3 ; x = 1/2 ; x = 0

a) 6x5x2

b) 24x3x.2 2

c) 32 x6x3x

d) 1xxxx 234

e) )1x()1x( 2

2) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios.

En caso afirmativo dar su grado y coeficiente principal.

a) x83

b) 7yyy 3123

c) 1ttt 134

d) )18z4z5(z 32

e) 103 x

2

1x.7x23

f) 4r

3) Ejecutar las operaciones indicadas y expresar el resultado como un

polinomio estándar.

a) 1x2x3x7x4x5x3 2325

b) 1y9y4y58y7y3y 2323

c) x2x4x31x2x 242

d) x8x2x14xx7x3 24567

e) v6v4v2 2

f) 5yy4y2y 22

4) Ejecutar las operaciones indicadas y simplificar.

a) 22 baba3ba2

b)

2

22

rs2

rs8rs2s5

c)

22

382222

yx4

yx8yx2yx4

d) d20xabc81

cd9xbc64xa15

5) Hallar cada uno de los siguientes productos

a) 8t27t5

b) 1z75z3


31

c) 2x61x4

d)

4

1x2

3

1x

2

1

e) 3232

f) 33x2

g) 9a3a3a 2

h) 232 xxx

6) En las siguientes expresiones utilizar el algoritmo de la división para

dividir f(x) por g(x). Expresar el resultado en la forma: f(x) = q(x)g(x) + r(x)

a) 8x)x(g;7x4x)x(f 2

b) 1xx)x(g;1x4x7x5)x(f 223

c) xx3)x(g;2xx27)x(f 23

d) 2x)x(g;7xx3)x(f 4

e) 3

1x)x(g;xx4x6)x(f 345

7) Aplicar la Regla de Ruffini para dividir f(x) por g(x). Identificar el

cociente q(x) y el residuo r(x).

a) 2x)x(g;5xx2)x(f 2

b) 1x)x(g;1x9x)x(f 3

c) 2x)x(g;16x)x(f 4

d) 1x2)x(g;2x3x2x4)x(f 23

8) Utilizar la Regla de Ruffini, para hallar un valor de k tal que f(x) sea

divisible por g(x).

a) 1x)x(g;k9x2kx)x(f 24

b) 2x)x(g;4kx2kxx)x(f 23

9) Aplicar el teorema del residuo para hallar r, cuando f(x) se divide por

g(x).

a) 2x)x(g;6x4x2)x(f 2

b) 2

1x)x(g;2x5x4x)x(f 23

c) 3x)x(g;5x3x2xx)x(f 234

10) Aplicar el teorema del residuo para hallar el valor de f(c).

a) 2c;6x10x4 2

b) 5c;6x6x3x 23

c) 4c;1x2xx3x2 456


32

11) Determinar si el polinomio dado g(x) es un factor del polinomio f(x).

a) 4

1x)x(g;2x8x3x3)x(f 23

b) 2

3x)x(g;3x4x2xx2)x(f 234

c) 2,0x)x(g;1x5x2x10xx5)x(f 2345

12) Efectuar las siguientes operaciones.

a) ;baba222222

b) ;ba2

c) ;ba:abba 22222

d) ;ba:abba 33322

RESPUESTAS

1) a) 6;4

15;30 b) 24;2

4

15

2

3;259 c) 0;

2

1;192

d) 1;16

11;121 e) 0;

4

1;12

2) a) Polinomio grado 1. coeficiente principal: 8 b) No es polinomio. c) No es polinomio. d) Polinomio de grado 5, coeficiente principal: 5 e) No es polinomio. f) No es polinomio.

3) a) 6683 235 xxxx b) 726 23 yyy

c) 153 24 xx d) 148273 24567 xxxxxx

e) 2 vvv 248 23 f) 2014234 yyyy

4) a) 3223 356 babbaa b)

2s20s5 c) yxx 62 21 d)

16c/3

5) a) 562610 2 tt b) 53221 2 zz c) 2224 xx

d) 12

1

24

132 xx e) 1 f) 2754368 23 xxx g) 273 a

h) 23456 232 xxxxx

6) a) f x x 4 x 8 25( ) ( )( )

b) 11x21)12x5)(1xx()x(f 2

c) 24)39)(3()( 2 xxxxxf

d) 57)251263)(2()( 23 xxxxxf

e) 9/1)3/1366)(3/1()( 234 xxxxxxf


33

7) a) 32)( xxq ; r = 11

b) 10)( 2 xxxq ; r = -11

c) 842)( 23 xxxxq ; r = 32

d) 544)( 2 xxxq ; r = -1/2

8) a) k = -1/5 b) k = ½ 9) a) 6 b) 29/8 c) 76 10) a) 2 b) –74 c) 5.369 11) a) No es factor b) Si es factor c) Si es factor.

12) a) 44 22 ba b) abba 2 c) abba 222

d) 2233 33 abbaba


34

C- FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Definición: Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de factores. Se tienen los siguientes casos:

CASO 1: Factor común: Un factor común de un polinomio es un MCD de todos sus términos.

Ejemplos:

i) ;yxy2xy4y4xy8yx4 22322

ii) ba2yx)yx(b)yx(a2xybyxa2

CASO 2: Descomposición en grupos de igual números de términos con un factor común en cada grupo. Para emplear este método se empieza por agrupar los términos del polinomio en binomios o trinomios, etc., descomponiendo luego cada uno de estos binomios o trinomios en dos factores de manera de obtener un factor común a todas las expresiones parciales del polinomio.

Ejemplos:

i)

bxaxaxbaxx

abbxaxxabbxaxx 22

ii)

1x2x2x2xx

2xx2x2xx2x

22

2323

CASO 3: Trinomio cuadrado perfecto: Es todo trinomio formado por dos términos que son cuadrados perfectos y un tercer término que es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Ejemplos:

i) ;baab2ba222

ii) ;abbaab2ba2222

iii)

222224 a5yx

3

1a25yax

3

10yx

9

1

CASO 4: Cuatrinomio cubo perfecto Es todo cuatrinomio formado por dos términos que son cubos perfectos, un tercer término que es el triple del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo, y un cuarto término que es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo.


35

Ejemplos:

i) ;baab3ba3ba32233

ii) ;baba3ba3baab3ba3ba322332233

iii)

1a

3

21a2a

3

4a

27

8 23

CASO 5: Diferencia de cuadrados Toda diferencia de cuadrados se puede transformar en el producto de la suma de las bases por la diferencia de las mismas.

Ejemplos:

i) ;bababa 22

ii) ;1a1a1a1a1a1a1a 2222224

iii)

ba3yx2ba3yx2

ba3yx2ab6ba9yxy4x4222222

Caso 6: Suma o diferencia de potencias de igual grado Ver en el punto anterior divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia de las bases.

Ejemplos:

i) 2233 aaxxaxax ;

ii) 2233 aaxxaxax ;

iii) 322344 axaaxxaxax

iv) 322344 axaaxxaxax

D- EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS. SIMPLIFICACIONES

DEFINICIÓN: Simplificar una expresión algebraica fraccionaria es transformarla en otra equivalente, cuyos términos contengan menos factores comunes. Metodología. Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria se realizan las siguientes operaciones: i) Se descompone numerador y denominador en un producto de factores; ii) Se suprimen los factores comunes al numerador y al denominador, dividiéndolos por su MCD.


36

Ejemplos:

i) y4

zx3

y4zyx5

zx3zyx5

zyx20

zyx15 22

22

2222

32

324

;

ii)

;y3

y2

y31x

y21x

1xy1x3

1xy1x2

yxy3x3

yxy2x2

iii)

;ba

ba

baba

baba

ba

ba

2

22

DEFINICIÓN Reducir varias fracciones algebraicas a común denominador es transformarlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Metodología. Para reducir varias fracciones algebraicas a un común denominador se realizan las siguientes operaciones: i) Se simplifica cada fracción algebraica; ii) Se toma común denominador al mcm de los denominadores de todas las fracciones algebraicas.

Ejemplos:

i) z

c;

yz

zdz;

x

xyx 22

2

2

z

c;

y

dz;

x

yx 2

xyz

xyc;

xyz

dzxz;

xyz

yxyz 2

ii)

22

2

22 yxyx

yxz;

yx10

yxy;

yx

x

yx

z;

yx10

y;

yx

x

222222 yxx10

yxz10;

yxx10

yxy;

yxx10

yxx10

Operaciones con fracciones algebraicas 1) Suma:

i) Si tienen igual denominador: d

ca

d

c

d

a ;

ii) Si no tienen igual denominador: bd

cbad

d

c

b

a

Paso 2

Paso 1

Paso 1

Paso 2


37

2) Resta: Se realiza teniendo en cuanta la operación suma, es decir:

;bd

bcad

d

c

b

a

d

c

b

a

Ejemplos:

i) 22

2

22

22

ba

a2

ba

abaaba

baba

baabaa

ba

a

ba

a

ii)

1a

a4

1a

1a

1a2

1a

)1a(2

1a

1a

a4

1a

1a

2a2

1a

2a2

1a

22

2

22

2

1a2

2a4a2

1a2

a82a21a2a1a2a

1a2

a81a21a1a

2

2

2

222

2

222

1a

1a

1a1a

1a

1a2

1a2a222

2

3) Multiplicación: bd

ac

d

c

b

a

4) División: bc

ad

c

d

b

a

d

c:

b

a ;

Ejemplos:

i)

;

x

1

x

x1

x1x1

x1

x

x1.

x1

x2x11

x

1

x1

x2

x1

122

ii)

y

x

y2

x2

Y2

yx

yx

yxyx

yx

y2:

yx

1

yx

1 22

2222


38

Definición: Las fracciones compuestas tienen por términos (numerador y denominador) a otras fracciones algebraicas.

Ejemplo:

;

yx

1

yxyx

xy

yx

y

y

xy

y

yx

y

xy

yy

x

y

x1

22222


39

Ejercitación Nº3

1) Hallar el MCD y el mcm de las siguientes expresiones:

a) 3223 babbaa ; xb5abx10xa5 22

b) xzaz3;xax6a9;xa9 2222

c) 125x;25x10x;25x 322

d) 322344 yxyyxx;yx

e) ba;ba;ba 55

2) Sacar factor común en las siguientes expresiones:

a) 642 a35a30a25

b) 52432 xa21ax3xa6

c) 52423222 xa75xa105xa30xa15

3) Factorear por agrupaciones las siguientes expresiones:

a) ;abbxaxx2

b) ;1baab

c) ;bybxayax 2222

d) ;yz9xz6xy6x4 2

e) ;bca14ca7ba10ba5 34223

4) Factorear los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

a) ;41aa2

b) ;b9ab2

3

16

a 22

c) ;1a2a 36

d) ;4

aax2x4

22

5) Factorear los siguientes cuatrinomios cubos perfectos:

a) ;64a144a108a27 23

b) ;ybyaxb3byxa3xa 33222233

c) ;aa3a3a 3456

d) 32 a

8

1a

4

3a

2

31

6) Factorear las siguientes diferencias de cuadrados:

a) ;ybxa 2222

b) ;baba222222

c) ;y44

x 22


40

d) ;b

y

a

x

2

2

2

2

e) ;ba81 44

f) ;yx 88

7) Factorear las siguientes sumas o diferencias de potencias de igual

grado:

a) ;ba8 33

b) ;1x5

c) ;zy8x 333

d) 1ba 33

8) Factorear combinando los distintos casos de factoreo:

a) 22 bm45ba5

b) 223 ab4ba12a9

c) a9xa6xa 325

d) 85 ab48a3

e) 33 xyyx

f) xxxx 234

9) Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

a)

bca3

cba21

3

432

b)

1a

1a2a

2

2

c)

22

2

axax1

1x

d) ab2bx

a4x 22

e)

aba

bdadbcac

2

f)

abc4ab4

cbacba

2

22222222

10) Efectuar las siguientes operaciones sobre fracciones algebraicas y

simplificar

a) ;1xx

1x

1x

2x

1x

1

23

b)

6a

1x

2

a3

1

1x

9a34

a2

2


41

c) 1x3

5

1x3

4

1x9

x30

2

d)

2

c

3

cb

cb2

a2

e)

22

2

ba

b2

ba2

ba

ba2

ba

b2

ba

f) 22

22

yx

xy1

xy2

yx

yx

yx

yx

yx

g)

a

1

x

1:

a

1

x

1

22

h)

x1

111

x1

x1:x

x1

x1

x1

x1 2

i)

xa2

x3

a3

4

1x

1x1

a

x1

a

22

2

j)

yxyxyx

yx21

xy

1y

xy

3

yx

y3x5

xy

1y

22

k)

ca

1

b

1ca

1

b

1

:

cb

1

a

1cb

1

a

1

l)

c

dx

c

bcad

c

a 2

m)

222

22

2

2222

a

bc

c

ab:

b

ac

a

cb:

b

ca:

c

ba


42

n)

1

x

yy

yy

1xy

1x

11xy

xxy

y

1x

y

1x

2

2

RESPUESTAS

1) a) MCD: 2)( ba

mcm: 2))((5 babax

b) MCD: 2)3( xa

mcm: 2)3)(3( xaxaz

c) MCD: 5x

mcm: 22 )5)(5)(255( xxxx

d) MCD: ))(( 22 yxyx

mcm: ))()(( 22 yxyxyx

e) MCD: 1

mcm: ))()(( 432234 babbabaababa

2) a) 422 7655 aaa b) 23 723 axxaax

c) 3222 572115 xxxxa

3) a) bxax )( b) ))(1( cba c) ))(( 22 yxba

d) )32)(32( yxzx e) )2)(75(2 baacba

4) a) 2)2/1( a b)

2a

3b4

c)

23 )1( a d)

2

22

ax

5) a) 343 a b) 3byax c) 33 )1( aa d)

3

21

a

6) a) byaxbyax b) 24ab c)

y

xy

x2

22

2

d)

b

y

a

x

b

y

a

x e) bababa 339 22

f) yxyxyxyx 2244


43

7) a) )bab2a4)(ba2( 22 b) )1xxxx)(1x( 234

c) )zy4xyz2x)(yz2x( 222 d) )1abba)(1ab( 22

8) a) )m3a)(m3a(b5 b) 2)b2a3(a c)

22 )3xa(a

d) )b2a)(b2a)(b4a(a3 2222 e) )yx)(yx(xy

f) )1x()1x(x 2

9) a) a

cb7 32 b)

1a

1a

c)

1a

1

2 d)

b

a2x e)

a

dc f)

b

)cb(a

10) a) 0 b) 2

x1 c)

1x3

9

d)

3

a e) 1 f)

yx

yx

g)

ax

xa

h) x2 i) a3

1 j)

2

y

x y xy x y k)

bca

acb

l)

acx

bax

m) cab2 n)

x

1


44

UNIDAD 3: Ecuaciones y Sistemas

45

Unidad 3

ECUACIONES Y SISTEMAS

A) Ecuaciones de primer grado con una incógnita Se darán algunas definiciones. Identidad algebraica: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada cualesquiera sean los valores atribuidos a las variables contenidas en las expresiones, excluidos aquellos valores para los cuales al menos una de las dos expresiones pierde significado.

Ejemplo.

xyyxyx 2222

Ecuación algebraica: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente para valores particulares de las variables contenidas en las dos expresiones. Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica Miembros de la ecuación: son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación. Se llama primer miembro a la expresión algebraica que se encuentra a la izquierda del signo igual y segundo miembro a la que se encuentra a la derecha. Solución de una ecuación: son los valores que, atribuidos a las variables incógnitas, producen una igualdad entre los dos miembros de la ecuación. Resolver una ecuación: consiste en hallar todas las soluciones de la ecuación. Una ecuación puede clasificarse en: i) Compatible determinada: cuando tiene un número finito de soluciones. ii) Compatible indeterminada: cuando tiene infinitas soluciones. iii) Incompatible: cuando no existe ninguna solución.

Ejemplo.

La ecuación 02 x ; tiene una sola solución, 2x

La ecuación xx ; tiene infinitas soluciones

La ecuación 12 x ; No tiene solución en el campo de los números Reales.

Una ecuación puede clasificarse, de acuerdo al número de incógnitas en:

Ecuación de una incógnita

Ecuación de dos incógnitas, etc.

Ecuación de primer grado con una incógnita Es toda expresión de la forma:

0bax con a, b R y 0a ; x: variable


46

Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones en la misma incógnita se dicen equivalentes cuando todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda, y viceversa, todas las soluciones de la segunda ecuación son también soluciones de la primera.

Metodología para resolver una ecuación

Debido al hecho que dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones, es claro que cuado se quiere resolver una ecuación se puede resolver una ecuación cualquiera que sea equivalente a la dada; y por lo tanto será particularmente muy ventajoso cuando la segunda ecuación se presente en una forma más simple que la primera. El procedimiento para resolver una ecuación consistirá en la transformación de la ecuación en otra equivalente pero más simple, y así sucesivamente, hasta llegar a una ecuación equivalente a la dada, y de la cual, se sabe encontrar con facilidad sus soluciones. Por lo tanto es esencial ver cuáles son las operaciones que se pueden hacer sobre una ecuación para transformarla en otra equivalente. Se tienen las siguientes propiedades: Principio de adición: si a ambos miembros de una ecuación se le suma una misma constante (o un mismo polinomio) la ecuación obtenida es equivalente a la dada. Ejemplo:

1032 x si se le suma 5 a cada miembro

510532 x

1582 x esta ecuación es equivalente a la dada, tienen la misma solución.

Principio de multiplicación: si a ambos miembros de una ecuación se le multiplica por una constante distinta de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Ejemplo:

865 x

8.2652 x

161210 x ecuación equivalente a la dada.

Ejemplo:

Resolver: 052 x

Si se suma 5 a ambos miembros:

5552 x

52 x

Si ahora se multiplica por 21 ambos miembros

2

1.52.

2

1x entonces:

2

5x


47

¿Qué consecuencias prácticas podemos obtener de estas propiedades? a) Lo que en un miembro está sumando pasa al otro restando. (cambia de signo al pasar de miembro)

Ej. 052 x

52 x

b) Lo que en un miembro está como factor pasa al otro miembro como divisor.

Ej. 52 x

2

5x

Ejemplo: Resolver 8563 xx

6853 xx

(-6 pasó al 2do. Miembro +6 y 5x pasó al 1er. Miembro como –5x)

142 x

(-2 que es un factor en el 1er. Miembro pasa al 2do miembro como divisor de 14)

2

14x 7x

La verificación de la solución obtenida se realiza reemplazando la solución en la ecuación dada.

8)7(56)7(3 ; ;835621 2727 verifica


48

Ejercitación N°4 1) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita:

a) 732 x

b) 543 x

c) 885 x

d) 922 xx

e) 23

5

3

22 xxx

f) 5

32

3

2

xx

g)

xx

35

222

h) 2423

xxxx

i) 22

x

x

j) xx

222

3

2) Resolver:

a) 2532 xx

b) 4

53

2

64

3

23

xxx

c) 5224 xx

d) 3354 xx

e)

2

1815 xx

f) 03

2

5 x

x

3) Resolver:

a) 6

1

3

24

5

1

xxx

b) 3

523

5

23

xxx

c) 320

73

12

9

8

3

xxx

d) 7

11

3

23

xx

x

e) 2

53

5

47

xx

x

f) 3

32

4

43

3

9

xxx

4) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 367

2

2

79

xx

x

b) 35

24

7

34

5

23

xxx

c) 65

37

3

7

2

42

xxxx

d) 2

2

2

2

3

2

106

54

x

x

xx

xx

e) x

x

xx

x

x

x

14

3

11

11

1

1

1

f) 03

1

2

2

1

1

xxx


49

RESPUESTAS

1) a) x = 2 b) x = -1/3 c) 0 d) incompatible e) x = 2 f) x = 1 g) x = 4/11 h) x = 24/11 i) x = 2 j) x = -1/3 2) a) x = 5/3 b) x = 59/27 c) x = -3/2 d) x = -8 e) x = 1 f) x = 5/9 3) a) x = -3/13 b) x = 4 c) x = 51 d) x = -10/3 e) x = 3 f) x = 12 4) a) x = 9 b) x = incompatible c) x = 1 d) x = -1/2 e) x = 5 ^ x=0 f) incompatible


50

B) Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Definición: se llama ecuación de segundo grado en la incógnita x, a toda expresión de la forma:

0cbxax2 , 0a,Rc,Rb,Ra (1)

Definición: Se llama discriminante de la ecuación a la expresión:

ac4b2 (2)

Teorema:

Si 0 , entonces la ecuación (1) tienen dos soluciones, dadas por las

siguientes expresiones:

a

bx

21

,

a2

bx2

(3)

Si 0 , entonces la ecuación (1) tiene una solución doble, dada por la

expresión siguiente: a2

bx

Si, 0 entonces la ecuación (1) no tienen ninguna solución real. Tiene dos

raíces complejas (una es la conjugada de la otra), dadas por las siguientes expresiones:

a2

i

a2

bx1

,

a2

i

a2

bx2

(4)

donde i = 1 es la unidad imaginaria.

Si 0 , entonces los coeficientes a, b, c de la ecuación (1) están relacionados

con las dos raíces o ceros (3) de la ecuación (1) de la siguiente manera:

Propiedad: Si 0 , entonces se tienen las relaciones:

a

bxx

21 (5) ,

a

cxx 21. (6)

Las relaciones (5) y (6) continúan aún siendo válidas para los otros dos casos

0 y 0 .

Propiedad: Si 21 xyx son las dos raíces de la ecuación (1) entonces se tiene la

siguiente factorización para el polinomio de segundo grado, dado por:

Rx),xx)(xx(acbxax0 212 (7)


51

Si 0 , entonces la factorización (7) viene dada por:

22

a2

bxacbxax

(8)

Si 0 , no existe factorización en el campo de los números reales.

Corolario: Sea 0 , entonces:

i) si b = 0, se tiene 12 xx ;

ii) si a y c tienen igual signo (ambos positivos o ambos negativos) entonces las

dos raíces 12 xyx tienen igual signo. Además, el signo de las raíces está dado

por el signo del número ./ ab

iii) si a y c tienen distintos signos (uno es positivo y el otro negativo) entonces las

dos raíces 12 xyx tienen distintos signos.

Ejemplos

i) La ecuación 012 x no tiene ninguna solución real pues: 04 . Sus

dos soluciones complejas son ix .

ii) La ecuación 0122 xx tiene una única solución real (doble) x = 1 pues

0 . Además 22 )1(12 xxx

iii) La ecuación 022 xx tiene dos soluciones 21 21 xyx pues

09 . Como 01a y 02c se verifica además que las dos raíces

tienen signos opuestos. Por otro lado, se tiene que:

)2)(1(22 xxxx

iv) La ecuación 0232 xx tiene dos soluciones 12 21 xyx pues

01 . Como 01a y 02 c se verifica además que las raíces

tienen igual signo, el cual coincide con el signo del número

.03 ab Por otro lado, se tiene:

)1)(2(232 xxxx

Corolario: Una ecuación de segundo grado que tiene por raíces a dos números

reales 21 xyx está dada por:

0.)( 2121

2 xxxxxx (9)

siendo 21 xxs

21.xxp entonces: 02 psxx

La forma general de una ecuación de segundo grado con incógnita x es:

ax2 + bx + c = 0 con a 0. A modo de resumen se puede decir que:


52

Método de completar cuadrado: Cuando una expresión no puede ser factorizada fácilmente y la ecuación no tiene la

forma de cx 2, se puede encontrar las raíces completando cuadrado.

Se aplica a la expresión:

02 cbxx

la expresión debe tener coeficiente principal 1. Se rescribe la expresión

cbxx 2

de manera que solamente los términos con la variable x estén en el primer miembro.

Luego agregamos 2)2/(b a ambos lados:

222 )2(2 bcbbxx

ahora el primer miembro es un cuadrado perfecto:

cbbx 22)2(2

y aquí sí es fácil despejar x.

ax2 + bx + c = 0 con a 0

Completa Incompleta

b 0 , c 0

b 0 , c = 0 ax2+bx = 0

Ejemplos 4x2-4x+1 = 0 x2-6x-16 = 0

-3x2-6x+12 = 0

b = 0 , c 0 ax2+c = 0

b = 0 , c = 0

ax2 = 0

Ejemplo

3x – x2 = 0

Ejemplo

3x2 – 48 = 0

Ejemplo

4x2 = 0


53

Ejemplo:

Resolver 0122 2 xx , completando cuadrados:

a) Dividir ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de 2x

0212 xx

b) Se escribe la ecuación como:

2/1xx2

c) Se añade a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. 222 )2/1(2/1)2/1( xx

d) Entonces se tiene: 4/3)2/1( 2 x

e) Se despeja x: 2

1

4

3x


54

Ejercitación N°5 1) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 0152 xx

b) 0273 3 xx

c) 0732 2 xx

d) 26322322 xx

e) 2

13

2

1

1

2

x

x

x

x

f) 21

221

x

x

x

x

g) 22 21186 xxxx

h) 06.262 xx 2) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado en la incógnita x

)Rb,a(

a) abxbaab

xabx 3933

2 222

b) 023 22 aaxx

c) 01236 22 aaxx

d) 4

5

4

3

2

ax

ax

ax

ax

e) 1213 xx

3) Escribir una ecuación de segundo grado que tenga por raíces las siguientes

duplas de números:

a) 5

3

2

1

x

x

b) 5

3

2

1

x

x

c) 3/1

2

2

1

x

x

d) 1

1

2

1

x

x

e) 5/2

1

2

1

x

x

f)

23

23

2

1

x

x

4) Hallar dos números cuya suma sea s y cuyo producto sea p.

a) 2,0 ps

b) 3,4 ps

c) 18,11 ps

d) 3/1,6/7 ps


55

5) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un

camino de ancho uniforme. Hallar el ancho de dicho camino si se sabe que su área es 540 m2

6) En cada un de las esquinas de una plancha de cartón de forma cuadrada se

recorta un cuadrado de 5 cm de lado y doblando y pegando, se forma una caja de 1280 cm3. Hallar el lado de la hoja inicial.

7) Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que

tenía hace trece años. Calcular la edad de Marcela. RESPUESTAS

1) a) 1

2

x 0 19

x 5 19

,

,

b)

2x

3/1x

2

1

c) Soluciones complejas d)

1x

1x

2

1

e) 3x

0x

2

1

f)

4/2x

4/2x

2

1

g)

5x

3x

2

1

h)

1

2

x 3 2 2 3

x 3 2 2 3

2) a) ab3x

0x

2

1

b)

a2x

ax

2

1

c)

6axx 21 d)

a3

10x

0x

2

1

e) 4/4111x

4/4111x

2

1

3) a) 015x8x2 b) 015x2x2

c) 02x7x3 2 d) 01x2

e) 02x3x5 2 f) 07x6x2

4) a) 2 b) 3 , 1 c) 2 , 9 d) 3

2,2

1

5) 3 m 6) 16 cm 7) 21 años


56

C) Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Una ecuación logarítmica es aquella ecuación en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Ejercicio Resuelto:

a) Dada la ecuación 4

12 1x3 , para resolverla es posible seguir dos caminos:

Primero: aplicar logaritmo en la misma base a ambos miembros de la igualdad, en este caso se elige

logaritmo natural ( base e), resulta: 4

1ln2ln 1x3 ,

por propiedad de logaritmo de una potencia y por definición de logaritmo resulta:

4

1ln2ln)1x3( despejando queda:

1x

3)12ln

4

1ln

(x2ln

4

1ln

1x3

Segundo: siempre que sea posible expresar ambos miembros como potencias de igual base se aplica

la propiedad: NMaa NM ,

4

12 1x3 expresando

4

1 como 22 quedando

21322 213 xx se resuelve

1

3

3

123

x

x

x

b) Dada la ecuación 1)2(loglog 33 xx , en este caso para resolverla se aplica la propiedad que

dice que el logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada

factor, luego se debe aplicar la definición de logaritmo abna n

b log , de lo que resulta:

310323)2(1)2(log 21

21

3 xxxxxxxx

IMPORTANTE VERIFICAR!!

Si 1111013log1log1)21(log1log1x??

33

?

33

Pero x =-3 no es solución porque no podemos calcular logaritmos de números negativos.


57

Ejercitación N°6 1) Hallar él o los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones y verificar:

a) b) 242 232 xx c)

25

52

3

19

x

x

d) 1272 xx ee e) f) 623 xe

g) 08log1log1log 222 xx

h)

i) j) Sugerencia: hacer sustitución de variables (ejemplo lnx=t, log2x=t) para resolver las siguientes ecuaciones

k) l) RESPUESTAS

1) a) x = 2/3 ; b) x = 6 ; x=-1; c) x = 4/3; d) x =4; x=3; e) x ≈2,55; f) x ≈-0,41; g) x = 3 ; h) x = 2; i) x =5; j) x ≈3,56; k)x=e; x=e-3≈0,0 l) x=16; x=2


58

D) Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado con dos

Incógnitas.

DEFINICIÓN: un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas x, y es el dado por el:

(s) i) cbyax

ii) 111 cybxa

donde a, b, a1 y b1 R, de manera que no sean simultáneamente nulos. Los números a, b, a1 y b1 son coeficientes del sistema de ecuaciones y los números c y c1 se llaman términos independientes.

DEFINICIÓN: se llama solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas x, y, a un par ordenado de números reales, de manera que sustituidos respectivamente en las letras x, y satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones.

DEFINICIÓN: resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa encontrar el conjunto de raíces comunes, es decir, la intersección de los conjuntos solución de ambas ecuaciones. Si s1 es el conjunto solución de i) s2 es el conjunto solución de ii)

Entonces el conjunto solución se expresa: 21 sss

Un sistema s, puede ser: A - Compatible: tiene solución: 1 - Determinado: admite una única solución. 2 - Indeterminado: admite infinitas soluciones.

B - Incompatible: no tiene solución. Recordando que cada una de las ecuaciones que constituyen el sistema son funciones lineales, su representación gráfica es una recta en el plano x, y. Como se ve en las Fig. 1, Fig. 2 y Fig. 3, respectivamente, hay tres casos para representar gráficamente las diferentes posibles soluciones de un sistema: i) Las rectas se intersectan en un solo punto. ii) Las ecuaciones describen la misma recta. iii) Las dos rectas son paralelas.

x

y

x

y

x

y

Fig.1 Fig.3 Fig.2


59

En estos casos se dice, respectivamente: i) El sistema compatible o consistente y las ecuaciones independientes. Tiene exactamente una solución, es decir, el par ordenado de números reales correspondiente al punto de intersección de las rectas. ii) El sistema es consistente pero las ecuaciones son dependientes. Tiene infinitas soluciones, esto es, todos los pares de números reales correspondientes a los puntos de una recta. iii) El sistema es incompatible o inconsistente. No hay soluciones.

Diferentes métodos de resolución de un sistema de

dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Se explicitará la metodología de algunos métodos y se la aplicará, como ejemplo, para la resolución del siguiente sistema:

32 yx

522

3 yx

cuya única solución está dada por x = 2; y = -1.

A) Método de sustitución: a) Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones (de la que resulte más fácil y sencillo).

xy 23

b) Se reemplaza esto en la otra ecuación:

52322

3 xx

c) Se resuelve la ecuación de primer grado en la incógnita x que queda:

5462

3 xx

11x2

11 2x

d) Este valor hallado, se reemplaza en la ecuación encontrada en a) para obtener el valor de la incógnita y:

xy 23

)2(23y 1y

e) Verificación: Se reemplazan los valores hallados en cada una de las ecuaciones del sistema dado:

31)2(2 33 verifica.

5)1(2)2(2

3 55 verifica.


60

B) Método de igualación a) Se despeja una de las incógnitas de cada una de las ecuaciones x o y, indistintamente, por ejemplo la y:

xy 23 (i)

5x2

3y2

2

5

4

3 xy (ii)

b) Se igualan las expresiones obtenidas para obtener una ecuación de primer grado en una variable, en este caso, en la variable x:

2

5

4

323 xx

c) Se resuelve la ecuación obtenida, respecto de la ecuación x:

2

5

4

323 xx

x2x4

3

2

53 x

4

11

2

11 x = 2

d) Se reemplaza, este valor de x obtenido, en una de las ecuaciones halladas en a) i) o a) ii):

xy 23

)2(23y 1y

e) Verificación: Se sustituyen los valores obtenidos en cada una de las ecuaciones del sistema.

C) Método de reducción o de sumas y restas a) Se multiplican las dos ecuaciones por un número conveniente de manera que los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo la y, sean iguales: En este caso, se multiplica la primer ecuación por 2:

32 yx 624 yx

522

3 yx 52

2

3 yx

b) Se suman o restan las ecuaciones, de acuerdo a que los coeficientes resulten de distinto o igual signo respectivamente:

11222

34

yx

1102

11x


61

c) Se resuelve la ecuación hallada respecto de la incógnita x:

11x2

11 x = 2

d) Se reemplaza este valor hallado en una de las ecuaciones dadas, y se despeja la otra incógnita:

1

43

34

322

y

y

y

y

e) Verificación: se sustituye los valores encontrados en cada una de las ecuaciones del sistema dado: En la ecuación (1):

3)1()2(2

314

33 verifica.

En la ecuación (2):

5)1(2)2(2

3

523

55 verifica.


62

PROBLEMAS

¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA? El siguiente método le permitirá contar con una guía para resolver problemas: Paso 1: representar la cantidad desconocida mediante un símbolo algebraico tal como x, que denote que es una variable. Paso 2: expresar las demás cantidades en términos de x. Paso 3: traducir el problema en expresiones algebraicas, en las cuales intervenga x. Paso 4: resolver la expresión algebraica (ecuación) y se obtendrá la solución buscada.

Ejemplo 1: Leonardo y Marcelo son mellizos, Matías tiene dos años más que ellos y las edades de los tres suman 23 años. ¿Cuántos años tiene Matías? Solución: Paso 1: Se llama con x a la edad de Leonardo o a la de Marcelo Paso 2: Si Matías tiene 2 años más que ellos, entonces tendrá:

x + 2 años

Paso 3: Las edades de los tres, sumadas, dan 23, y se escriben con los símbolos que se denotaron:

x + x + (x + 2) = 23

Paso 4: Se resuelve la ecuación planteada en la incógnita x:

2323 x

2233 x

21x3 x = 7

Respuesta: Leonardo tiene 7 años. Marcelo tiene 7 años. Matías tiene 9 años.

Ejemplo 2: En un terreno rectangular uno de sus lados mide 3m. Más que el otro. Si la superficie del terreno es de 238 m2. ¿Cuánto mide cada lado? Solución: Paso 1: Se llama con x a uno de los lados. Paso 2: El otro lado será:

3x

Paso 3: El área de un rectángulo es: Lado x lado, en este caso igual a 238, por lo tanto:

2383. xx

02383 xx

Paso 4: Se resuelve la ecuación cuadrática en la incógnita x:

023832 xx


63

Se aplica la fórmula cuadrática o resolvente: El valor x = -17 debe descartarse pues no puede haber lados de longitud negativa (físicamente imposible) Luego un lado mide: x = 14 m Y el otro lado: x + 3, o sea 17 m Respuesta: un lado mide 14 m y el otro lado mide 17 m.

Ejemplo 3: La suma de un número, más el duplo de otro, es 11 y el duplo del primero menos el segundo es 2. ¿Cuáles son los números? Solución: Paso 1: Se llama con x al primer número. Paso 2: Se llama con y al otro número. Paso 3: Se plantean las ecuaciones que resultan de leer el problema obteniéndose el siguiente sistema:

112 yx

22 yx

Paso 4: Se resuelve dicho sistema por el método que se considere conveniente, en este caso, por sustitución: - Si se despeja x de la primera ecuación:

yx 211

- Se reemplaza x en la segunda ecuación y se obtiene:

22112 yy

2422 yy

- Se resuelve dicha ecuación en la incógnita y quedando:

2522 y

2225 y

4y

- Si se sustituye este valor de y en la primera ecuación:

yx 211

3x

Respuesta: los números correspondientes son 3 y 4.

2

313

1.2

2381493

141 x

172 x


64

Ejercitación N°7 1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

a)

523

532

yx

yx

b)

133

92

yx

yx

c)

423

53

yx

yx

d)

105

63

yx

yx

e)

1743

59153

yx

yx

f)

29

1732

yx

yx

g)

1186

362

yx

yx

h)

264

132

yx

yx

i)

2

9

22

5

9

5

yx

yx

j)

2

3

32

5

12

5

3

yx

yx

2) Resolver las siguientes ecuaciones:

a)

222

2

aayx

ayx

b)

1

3

ayx

ayax

c)

0

2

aybx

b

y

a

x

d)

1

1

a

y

b

x

b

y

a

x


65

3) Resuelva los siguientes problemas:

a) Determinar dos números consecutivos cuya suma sea 27. b) En un curso de 31 alumnos, los varones son la mitad mas uno de las mujeres. ¿Indicar cuantos varones y cuantas mujeres hay en el curso? c) Una persona compra una mercadería pagando $30 por adelantado y 12 cuotas fijas por un valor igual a 1/15 del precio total ¿Cuánto cuesta la mercadería? d) Hallar dos números cuya suma sea 8 y la suma de sus cuadrados sea 34. e) El área de un rectángulo no cambia si se aumenta la altura en 3 metros y se disminuye la base en 3. El área del rectángulo aumenta en 16 m2 si se aumenta la altura en 5 m y se disminuye la base en 3 metros. Indicar cuál es la altura y la base de dicho rectángulo. f) Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene dicho hombre? g) Un productor ganadero compró 1000 novillos a $150 cada uno. Vendió 400 de ellos, obteniendo una ganancia del 25%. ¿A que precio deberá vender las 600 que le quedaron si la utilidad promedio del lote deberá ser del 30%? h) Un padre tiene el doble de la edad de su hijo y el doble de la suma de las dos edades es de 120 años. ¿Qué edad tiene el padre y el hijo? i) Un ciclista con viento a favor avanza a 24 km por hora y en contra del viento avanza a 10 km por hora. ¿Cuál es la velocidad del ciclista cuando no sopla el viento? j) Un camión de entregas llega a un almacén con 8 cajas pequeñas y 5 grandes. El cobro total por cajas, incluyendo el impuesto y los gastos de envío, es de $184. El flete de una caja grande cuesta $3.00 más que el de una caja pequeña. ¿Cuáles el costo del flete de cada un de las cajas?

RESPUESTAS

1) a) 1y

1x

b)

2y

5x

c)

1y

2x

d)

0y

2x

e)

4y

3/1x

f) 1y

7x

g) incompatible h) indeterminado i)

1y

2x

j)

3y

1x

2) a) Si a = 2 indeterminado

Si 2a única solución: x = 0, y = 2a

b) :Ra única solución: x = 1, y = 0

c) Si a = 0 ó b = 0: el sistema no está definido

Si 0a y 0b : única solución: x = a, y = b

d) Si a = 0 ó b = 0: el sistema no está definido.


66

Si 0a y 0b y:

ab

aby,

ab

abx

:soluciónúnica:ba

leincompatibba

adominerdetin:ba

3) a) 13 y 14 b) 11v y 20m c) $150 d) 3 y 5 e) 8m y 11m f) 24 años g) $200 h) 40 y 20 años i) 17km/h j) $13 y $16

UNIDAD 4: Trigonometría

67

Unidad 4 Trigonometría

A) Ángulos y su medición: El ángulo está formado por dos rayos que tienen un punto final en común llamado vértice (V). Se llama a un rayo: lado inicial del ángulo y al otro se le llama lado terminal. El ángulo se considera como el resultado de una rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal.

Para medir los ángulos se usan los grados y los radianes. Los grados se basan en asignar 360 grados a una rotación completa en sentido antihorario.

-


68

El grado se divide en 60 minutos y cada minuto se divide en 60 segundos.

Ejemplo: Treinta grados, cincuenta minutos y diez segundos se denotan:

30º 50’ 10’’

Otra manera de medir los ángulos es con radianes. La medición de un ángulo en radianes se basa en la longitud de un arco de circunferencia.

La medida de en radianes se define así:

r

s

Luego a 360º corresponden:

2r

r2

r

s radianes

Fórmulas de conversión:

180º1

radián

180radián1

Para realizar las conversiones trabajar con la calculadora científica.

Ejemplo 1:

Dado º45 expresarlo en radianes.


69

Solución:

Ejemplo 2:

Dado 12

radianes, expresarlo en grados:

Solución:

Ángulos coterminales:

Cuando dos ángulos en posición normal tienen el mismo lado terminal

se dice que son coterminales (o ángulos congruentes).

Ejemplo:

áng. 405º = áng. 45º


70

Ejercitación Nº 8

1) Dibuje el ángulo e posición normal:

a) 60º b) –120º c) 135º d) 150º e) 1140º f) –315º

g) - rad

h) rad

i) -3 rad

j) 6

rad

k) 4

5 rad

l) 3 rad m) 5 rad n) 1 rad

2) Exprese el ángulo dado en notación decimal: (Emplear calculadora)

a) 10º 39’ 17’’ b) 143º 7’ 2’’ c) 5º 10’ d) 57º 15’

e) 193º 15’ 18’’ f) –43º 12’ 36’’ g) –415º 12’ 16’’ h) 18º 16’’

i) 3) Expresar el ángulo dado en término de grados, minutos y segundos. (Emplear calculadora)

a) 210, 78º b) 15,45º c) 30,81º d) 110,5º

e) 15,575º f) –270,30º g) –153,27º h) 432,02º

i) 4) Convertir de grados a radianes. (Emplear calculadora).

a) 45º b) 30º c) 270º d) 60º e) 1º f) 0º

g) 131º 40’ h) –120º i) –230º j) 52º k) 540º l) –47,2º

5) Convertir de radianes a grados.

a) 3

2 rad

b) 6

rad

c) 3,1 rad d) 1,5 rad e) 2 rad

f) 4

5 rad

g) 12

rad

h) 7 rad

i) 9,5 rad j) 0,76 rad

k) 17 rad

l) 8

3

6) ¿Cuánto rotan las agujas del reloj al pasar dos horas? 7) Encontrar la longitud de un arco, subtendido por un ángulo central de 3 radianes en una circunferencia de radio 3 metros. 8) Un yo-yo da vueltas en círculo al final de sus 100 cm. de cuerda. a) Si da seis revoluciones en 4 segundos, encontrar la velocidad angular en radianes por segundos. b) Encontrar la velocidad lineal en cm. por segundo.


71

RESPUESTAS

2) a) 10,65472º b) 143,1172º c) 5,1667º d) 57,25º e) 193,255º f) -43,21º g) -415,2044º h) 18,0044º 3) a) 210º 46’ 48’’ b) 15º 27’ c) 30º 48’ 36’’ d) 110º 30’ e) 15º 34’ 30’’ f) -270º 18’ g) -153º 16’ 12’’ h) 432º 1’ 12’’

4) a) /4 rad b) /6 rad c) 3/2 rad

d) /3 rad e) /180 rad = 0,01745 rad f) 0 rad

g) 2,2980 rad h) -2/3 rad i) –4,014 rad j) 0,9076 rad k) 9,4248 rad l) 0,82 rad 5) a) 120º b) 30º c) 177º 37’ 0,9’’ d) 85º 56’ 37,21’’ e) 114º 35’ 29,6’’ f) 225º g) 15º h) 1260º i) 1710º j) 43º 32’ 41,25’’ k) 3060º l) 67º 30’ 6) 60º 7) 9 m

8) a) 3 rad/seg

b) 300 cm/seg


72

B) Funciones trigonométricas de ángulos agudos en

triángulos rectángulos: Se considera el triángulo rectángulo OAB

Las seis funciones trigonométricas de un ángulo agudo se definen así:

.hip

.op.catsen

.op.cat

.hipeccos

.ady.cat

.op.cattg

.hip

.ady.catcos

.ady.cat

.hipsec

..op.cat

.ady.catgcot

Estas funciones se denominan: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente: Los seis valores de las seis dependen únicamente del tamaño del ángulo y no del tamaño del triángulo rectángulo. Esto lo vemos si consideramos los triángulos semejante OAB y OA’B’

Para OAB OB

ABsen Para OA’B’

'OB

'B'Asen

Pero los triángulos son semejantes por lo tanto: 'OB

'B'A

OB

AB


73

Conclusión: “El valor de sen es el mismo cualquiera sea el triángulo que se use para calcularlo.”

Ejemplo:

Encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas del ángulo en el siguiente triángulo rectángulo.

Solución: Se debe calcular primero la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:

52516943hip 23

Se calculan ahora las correspondientes funciones trigonométricas:

5

3sen

5

4cos

4

3tg

3

5eccos

4

5sec

3

4gcot

Identidades Fundamentales Se deducen de las definiciones de las funciones trigonométricas: a) De cociente:

cos

sentg

sen

cosgcot


74

b) Recíprocas:

cos

1sec

sen

1eccos

tg

1gcot

Ejemplo:

Si es un ángulo agudo y 7

2sen . Calcular los valores de las

otras funciones trigonométricas. Solución:

Si se aplica el teorema de Pitágoras se tiene:

222 7)ady(2

4527)ady( 222

5345ady

Luego:

7

53cos

2

53gcot

2

7eccos

15

57

53

7sec

15

52

53

2tg

Funciones trigonométricas para ángulos especiales

a) Para 45º Se considera el triángulo isósceles con dos lados iguales de longitud 1.

La hipotenusa será 2 .


75

Luego:

2

2

2

1º45sen

2

2

2

1º45cos

11

1º45tg

21

2º45sec

21

2º45eccos

11

1º45gcot

b) Para 30º y 60º: Se considera el triángulo equilátero OAB y se hace la bisección del ángulo en O:

luego 3OC

Si º30 (en OAC)

------------------------------------------------------------------------------------------------------

2

1º30sen

2

3º30cos

3

3

3

1º30tg

21

2º30eccos

3

32

3

2º30sec

31

3º30gcot


76

Si º60 (en OAC)

2

3º60sen

2

1º60cos

31

3º60tg

3

32

3

2º60eccos

21

2º60sec

3

3

3

1º60gcot

Si º0

0º0sen 1º0cos 01

0º0tg

Si º90

1º90sen 0º90cos 0

1º90tg no existe

Utilización de la calculadora científica:

1) Poner en ON la calculadora. 2) Colocar la calculadora en el modo grados o radianes (según

datos).

3) Las calculadoras científicas tienen teclas: sin cos tan

que permiten calcular estas funciones. Para obtener cosec,

sec y cotg se utilizan las teclas sin cos tan con la

recíproca: 1/x

Ejemplo: Calcular sen 45º: Solución: - Se enciende la calculadora. - Se coloca en el “modo grado”.

- Se escribe 45 y se oprime sin para obtener: 0,707106781

Para obtener cosec 45º se oprime la tecla 1/x y obtenemos: 1,414213562

Propiedades:

Si el ángulo es agudo (0 < < 2

) se tienen las siguientes propiedades:

- 0 < sen < 1

- 0 < cos < 1

- tg > 0

- El seno y la tangente, crecen al crecer el ángulo de 0 a 2

.

- El coseno decrece al crecer el ángulo de 0 a 2

.


77

Ejercitación Nº 9

1) Encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas del

ángulo en cada uno de los siguientes triángulos:

2) Utilizar las identidades fundamentales para encontrar los valores de

las funciones trigonométricas que faltan para el ángulo :

a)13

3cos;

13

2sen

b) 10

3cos;

10

1sen

c) 7

53cos;

7

2sen

d) 8

1cos;

65

1sen

e) 2

5gcot;

29

5cos

f) 4

5sec;

3

5eccos


78

3) Encontrar los valores de las funciones trigonométricas que faltan, dibujando el triángulo apropiado:

a) 13

12sen

b) 5

2cos

c) 3

2sec

d) 10eccos

e) 5

2tg

f) 7

1gcot

4) Utilizar calculadora para encontrar los valores aproximados de las seis funciones trigonométricas para el ángulo dado:

a) 17º b) b) 82º c) 14,3º d) 46º 15’ 8’’

e) /5 rad

f) /10 rad

g) 0,6725 rad h) 1,24 rad i) 87º 12’ 15,3’’ j) 23,353º k) 15,02 rad l) 19º 25’’

5) Utilizar calculadora para aproximar el ángulo , medido en: i) radianes, ii) grados, para satisfacer la condición impuesta:

a) sen = 0,5260

b) cos = 0,8964

c) tg = 2,4

d) sen = 0,752

e) cos = 0,2

f) tg = 3,15

g) sen = 1/3

h) cos = 1/4

i) sec = 3,81

j) cosec = 1,05

RESPUESTAS 1) sen cos tg cosec sec cotg

a) 4/5 3/5 4/3 5/4 5/3 ¾

b) 5/13 12/13 5/12 13/5 13/12 12/5 c) 10103 1010

3 310 10 1/3

d) 3 2 1/2 3 2 3 2

2 3 3

e) 2/5 521 21212 5/2 21215 221

f) 2 5 5 5 5 2 5 2 5

1/2

g) 1/3 2 2 3 2 4 3 3 2 4 2 2

h) 2 2 2 2 1 2 2

1

2) sen cos tg cosec sec cotg

a) - - 2/3 213 313 3/2

b) - - 1/3 10 310 3

c) - - 1552 7/2 1557 253

d) - 65658 - 65 865

8

e) 29292 - 2/5 229 529

-

f) 3/5 4/5 ¾ - - 4/3


79


a) - 5/13 12/5 13/12 13/5 5/12 b) 55

- 1/2 5 25 2

c) 1/2 23 33 2 - 3

d) 1010 3 1010 1/3 -

310

3

e) 29292 5 2929 2/5 229 529

5/2

f) 50507 5050 7 750 50

-


a) 0,29237 0,95630 0,30573 3,42030 1,04569 3,27085 e) 0,58778 0,80901 0,72654 1,70130 1,23606 1,37638 l) 0,32568 0,94547 0,34446 3,07047 1,05766 2,90306 5)

a) i) 0,55389 ii) 31º 44’ 8,11’’ b) i) 0,45921 ii) 26º 18’ 40,23’’ c) i) 0,17600 ii) 67º 22’ 48,49’’ i) i) 1,30521 ii) 74º 74’ 0,57’’


80

C) Aplicación de la trigonometría a triángulos rectángulos.

Resolución de triángulos rectángulos.

“Resolver un triángulo rectángulo significa encontrar la medida de cada ángulo y

la longitud de cada uno de sus lados” Se puede resolver un triángulo rectángulo si se tiene como datos:

a) La longitud de un lado y la medida de un ángulo o b) La longitud de dos lados.

Demarcar el triángulo es parte importante del proceso de solución.

Los tres vértices se denotan: A, B, C.

Los ángulos en A y B se denotan: y El ángulo recto en C es 90º. La longitud de la hipotenusa se denota con c. La longitud de los lados opuestos a A, B se denotan con a, b respectivamente.

Ejemplo:

Resolver el triángulo rectángulo con la hipotenusa de longitud 22 m y un ángulo de 30º.

Solución:

1) Dibujar el triángulo.

2) º60º30º90

º60

3) Cálculo del lado b:

32

bº30sen

º30sen32b


81

2

132b

m3b

4) Cálculo del lado a:

32

aº30cos

m3a2

332º30cos32a

Ejemplo: Resolver el triángulo rectángulo con lados de longitud: 25m y 20m. Solución:

1) Dibujar el triángulo.

2) Cálculo de la hipotenusa: 10252520c 22

m0156,32c

3) Cálculo del ángulo:

8,025

20tg

Si se tiene la calculadora en “mode grados” se escribe 0,8, se oprime inv y luego tan, el

resultado es: =38,6598...º

Si se oprime inv y luego º ‘ ‘’ el resultado es =38º 39’ 35,31’’

4) Cálculo del ángulo :

''31,35'39º38º90º90

''69,24'20º51


82

Ejercitación Nº 10 1) En los siguientes triángulos rectángulos, encontrar las incógnitas que se piden

en cada caso: Datos Incógnitas

a) a = 4 = 27º b; c

b) b = 8 = 34º 20’ a; c

c) a = 6 = 61º 10’ b; c

d) b = 1,5 c = 3 ; ; a e) a = 4 b = 10 ; ; c f) a = 9 c = 12 ; ; b

g) b = 9 = 23º a; c

2) Un topógrafo utiliza un instrumento denominado teodolito para medir el ángulo de

elevación entre la cima de una montaña y el nivel del suelo. En un punto el ángulo de elevación mide 41º, medio kilómetro más lejos de la base de la montaña, el ángulo de elevación es de 37º. ¿Cuál es la altura de la montaña.

3) Resolver los siguientes problemas:

a) Un edificio proyecta una sombra de 20m de largo. Si el ángulo que se forma desde la punta de la sombra hasta el punto más alto del edificio es de 69º. ¿Cuál es la altura del edificio?

b) Una torre de 50m se localiza en el borde de un río. El ángulo de elevación entre la orilla opuesta y la punta de la torre es de 37º. Determine el ancho del río.

c) Un observador situado en el techo de un edificio A mide un ángulo de depresión de 27º entre la línea horizontal y la base de un edificio B. El ángulo de elevación desde el mismo punto hasta el techo del segundo edificio es de 41º 25’. ¿Cuál es la altura del edificio B, si la altura del edificio A es de 150 pies?.

d) La parte superior de una escalera de 20 pies está recostada contra un borde del techo de una casa. Si el ángulo de inclinación de la escalera desde la horizontal es de 51º, ¿cuál es la altura de la casa y qué tan lejos está la parte inferior de la escalera del borde de la casa?.

e) La longitud de un Boeing 727 es de 131,1 pies. ¿Cuál es la altura del avión si este subtiende un ángulo de 2º cuando está directamente sobre un observador situado en la tierra?.

f) Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla? .(El ángulo entre la horizontal y la línea visual se llama ángulo de elevación o ángulo de depresión, éste último cuando la línea visual se encuentra por debajo de la horizontal).

g) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º

h) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

i) Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

j) Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40°. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

k) Calcular la altura de un cono circular recto, sabiendo que las generatrices tienen una longitud de 23,1 cm y el ángulo que forman las mismas con el plano de la base es de 60º.

l) Desde un patio vemos el extremo superior de una antena de televisión levantando la vista un ángulo de 40° . Si nos alejamos en la línea recta 30 m, solo hay que


83

levantar la vista 30º para ver la punta de la antena. ¿Cuál es la altura de la antena?

RESPUESTAS

1) a) b = 2,04 ; c = 3,56 b) a = 11,71 ; c = 14,18 c) b = 3,30 ; c = 6,85

d) = 60º ; = 30º ; a = 2,60

e) = 21,8º ; = 68,2º ; c = 10,77

f) = 48,58º; = 41,42º ; b = 7,94 g) a = 3,82 ; c = 9,78 2) 2830 m 3) a) 52,1 m b) 66,35 m c) 409,7 pies d) h = 15,54 pies ; d = 12,59 pies e) 3755,4 pies

f) d= 3763,70 m

g) r=21,44 cm

h) h= 35

i) AB= 13,077 km

j) cable= 5,45 m d= 4,17 m

k) 20 cm

l) 55,52 m


84

D) Funciones trigonométricas de ángulos generales Muchas aplicaciones de la trigonometría incluyen ángulos que no son agudos, por ello se debe extender las definiciones de las seis funciones trigonométricas a cualquier ángulo.

Si dejamos que sea el ángulo en posición normal y se toma el punto P(x, y) en el lado

terminal de , se obtendrá un triángulo rectángulo:

22 yx)OP(dr

x : es el lado adyacente. y : es el lado opuesto. r : es la hipotenusa. Luego:

r

ysen ;

r

xcos ;

x

ytg

Estas definiciones y sus recíprocas nos permiten extender nuestras anteriores

definiciones a cualquier ángulo .

Ahora se tienen las definiciones de las funciones trigonométricas para un ángulo

general en posición normal, siendo P(x,y) cualquier punto distinto de (0,0) en el

lado terminal de , siendo r la distancia de (0,0) a P(x,y).

r

ysen 0y;

y

reccos


85

r

xcos 0x;

x

rsec

0x;x

ytg 0y;

y

xgcot

Observación: Las seis funciones dependen del ángulo , y no del punto P(x, y) que se

escoja en el lado terminal de .

Como rx y ry entonces:

1sen

1cos

1eccos

1sec

son los rangos de cada una de estas funciones.

Ejemplo: Encuentre el valor exacto de cada una de las funciones trigonométricas del ángulo indicado: Solución:

51)2(r 22

51

5

y

reccos;

5

5

5

1

r

ysen

2

5

2

5

x

rsec;

5

52

5

2

r

xcos

21

2

y

xgcot;

2

1

2

1

x

ytg

Signos algebraicos de las funciones trigonométricas

De acuerdo al cuadrante en que está el lado de , una o ambas coordenadas de P(x,y) pueden ser negativas y como r es siempre positivo los signos de las coordenadas definen el signo de la función en cada cuadrante. Luego podemos confeccionar la siguiente tabla:

Cuadrante sen cos tg cosec sec cotg

1 + + + + + +

2 + - - + - -

3 - - + - - +

4 - + - - + -


86

Identidad Pitagórica:

Dado que: 22 yxr

222 yxr

2

2

2

2

r

y

r

x1

1r

y

r

x

2

2

2

2

1sencos 22

Ángulo de referencia: Para determinar los valores exactos de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo no agudo, se trabaja con el ángulo de referencia. Si se toma como ángulo en posición normal de manera que su lado terminal no este en un eje coordenado.

El ángulo de referencia ’ para se define como el ángulo formado por

el lado terminal de y el eje x. (Ver figuras).

Ejemplo: Determinar los ángulos de referencia de los siguientes ángulos:

a) = 40º b) = 120º c) = 220º d) = 315º Solución:

a) ’ = = 40º

b) ’ = 180º - = 180º - 120º = 60º

c) ’ = - 180º = 220º - 180º = 40º

d) ’ = 360º - 315º = 45º

Propiedad: “El valor absoluto de cualquier función trigonométrica de un

ángulo es igual al valor de esa función para el ángulo de referencia ’.” Esto nos permite describir un método paso a paso para determinar el

valor de una función trigonométrica para cualquier ángulo .

Paso 1: Encontrar el ángulo de referencia ’. Paso 2: Determinar el valor de las distintas funciones trigonométricas

para ’.


87

Paso 3: Seleccionar el signo algebraico correcto, considerando el

cuadrante en el que se encuentre el lado terminal del ángulo .

Ejemplo:

Encontrar el valor exacto de sen , cos , tg para = 120º Solución:

Paso 1: para = 120º ’ = 60º Paso 2: se sabe que:

2

3º60sen

2

1º60cos

3º60tg

Paso 3: 210º es un ángulo del tercer cuadrante, luego le corresponden los siguientes signos a las funciones trigonométricas:

2

1º210sen

2

3º210cos

3

3º210tg

Aplicando la calculadora científica se pueden calcular directamente.

Ejemplo: Calcular sen 210º: - Se coloca la calculadora para operar en “mode grados”.

- Se escribe el número 330º; se aprieta la tecla: sin

- Se obtiene el valor: -0,5 para sen 210º.

Ejemplo: Calcular sec 330º: - Se coloca la calculadora para operar en “mode grados”.

- Se escribe el número 330º; se aprieta la tecla: cos

- Se aprieta luego la tecla 1/x - Se obtiene el valor: 1,1547... para sec 330º


88

Ejercitación Nº 11

1) Evaluar las seis funciones trigonométricas del ángulo si, está en posición normal y su lado terminal contiene el punto dado:

a) (6, 8) b) (5,12) c) (0, 2)

d) (- 2 , 3)

e) (- 2 , -1)

2) Encontrar el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal de , si satisface las siguientes condiciones:

a) sen < 0 y tg > 0

b) tg < 0 y sec < 0

c) cotg > 0 y sen > 0

d) sen > 0 y cos < 0 3) Con la información dada, determinar los valores de las cinco funciones trigonométricas

faltantes de :

a) sen = 1/4 ; está en el segundo cuadrante.

b) tg = 3 ; está en el tercer cuadrante.

c) cosec = -10 ; está en el cuarto cuadrante.

d) sen = -1/5 ; cos > 0

e) tg = 8 ; sec > 0

4) Si cos = 3/10 ; hallar todos los posibles valores de sen .

5) Si sec = -5 ; hallar todos los posibles valores de sen y cos . 6) Encontrar el valor de:

a) cos 3 b) tg /2 c) sen 240º

d) cosec 215º e) sec 330º f) cotg 300º g) cosec 150º h) sec 5/4 i) cos 2

j) tg 135º k) sec 5/6 l) cos 4/3

m) cosec /2 n) tg 7/6 o) sen 2/3 p) tg (-120º) q) sec (-300º) r) sen (-7/6)

7) Encontrar todos los ángulos que satisfacen la condición dada para 0º < < 360º.

a) tg = 3 b) cos =

2

2

c) cosec = -1 d) sen = 0

e) sec = - 2 f) cotg = - 3

8) Si r es una recta no vertical que pasa por el origen y firma un ángulo , medido en el sentido contrario al de las agujas del reloj, desde el lado positivo del eje x.

Probar que la pendiente de r es igual a tg .


89

RESPUESTAS

1) sen cos Tg cosec sec cotg

a) 4/5 3/5 4/3 5/4 5/3 3/4 b) 12/13 5/13 12/5 13/12 13/5 5/12 c) 1 0 indif. 1 indif. 0 d) 3 11 11 22 11 3 2 2 11 3 22 2 2 3

e) 33 36 22 3 26 2

2) a) 3º b) 2º c) 1º d) 2º 3) sen cos tg cosec sec cotg

a) 1/4 415 15 15 4 15154 15

b) 10103 1010 3 310 10

1/3

c) -1/10 3 11 10 3311 -10 10 113

d) -1/5 562 126 -5 1265 62

e) 65658 6565 8 865 65

1/8

4) 1091 ; 1091

5) cos = -1/5 , sen = 562 , sen = 562

6) a) –1 g) 2 m) 1

b) h) 2 n) 33

c) 23 i) –0,416 o) 23

d) 3 j) –1 p) 3

e) 332 k) 332 q) 2

f) 33 l) –1/2 r) 0,5

7) a) 60º y 240º d) 0º y 180º

b) 135º y 225º e) 135º y 225º c) 270º f) 150º y 330º


90

E) Resolución de triángulos. Caso general: oblicuángulos

Ley del seno:

Sea el triángulo:

senchc

hsen

igualando senbsenc se obtienec

sen

b

sen

senbhb

hsen

De forma similar se prueba que:

b

sen

a

sen

Esto implica que:

c

sen

b

sen

a

sen

LEY DEL SENO

Ley del coseno:

Si se considera un triángulo rectángulo

222 bac


91

Si consideramos un triángulo general en un sistema de coordenadas:

La longitud del lado opuesto al ángulo (mediante la fórmula de distancia entre dos puntos) es:

22bsenacosbc

222222 senbacosab2cosbc

cosab2sencosbac 22222

cosab2bac 222

De la misma forma se puede probar que:

cosbc2cba 222

cosac2cab 222

Estas ecuaciones se conocen como LEY DE LOS COSENOS. Resolver un triángulo es determinar la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos.

Ejemplo:

Dado = 80º , b = 4 y c = 3, resolver el triángulo: Solución:

Se debe calcular: , y a 1) Si se aplica la Ley del seno, se puede calcular:

4

º80sen

3

sen


92

''03,46'36º477386,04

º80sen3sen

2) Ahora se puede calcular :

= 180º - ( + )

= 180º - (47º 36’ 46,03’’ + 80º)

= 52º 23’ 13,97’’ 3) Si se aplica la Ley del seno, puedo calcular a:

4

º80sen''97,13'23º52sen

a = 3,21749

Ejemplo:

Dado = 40º b = 9 y c = 5 , resolver el triángulo. Solución:

Se debe calcular , y a.

1) Si se aplica la Ley del seno se puede calcular .

5

º40sen

9

sen

...157017,15

º40sen9sen

sin solución pues el seno de un ángulo sólo puede tomar valores entre –1 y 1. Observación: El lado c, no es lo suficientemente largo para alcanzar el lado a.

Ejemplo:

Dado = 50º , b = 5 y c = 6. Resolver el triángulo. Solución:

1) 5

º50sen

6

sen

''8,1'49º66919253,0sen

pero sen es positivo también en el segundo cuadrante, luego

''2,58'10º113''8,1'49º66º180

Vemos que hay dos triángulos posibles, uno para cada valor de .


93

2) Para el triángulo ABC1:

1 = 180º - (1 + ) = 180º - (66º 49’ 1,8’’ + 50º)

1= 63º 10’ 58,2’’ 2’) Para el triángulo ABC2:

2 = 180º - (113º 10’ 58,2’’ + 50º)

2 = 16º 49’ 1,8’’ 3) Para el triángulo ABC1, si se aplica la Ley del seno:

825058,5a5

º50sen

a

)''2,58'10º63(sen1

1

3’) Para el triángulo ABC2, si se le aplica la Ley del seno:

888393,1a5

º50sen

a

)''8,1'49º16(sen2

2

Formula de Herón:

Permite calcular el área de un triángulo, conociendo la longitud de sus tres lados a b y c. Se deduce a partir de la Ley del coseno. Su expresión es:

)cs)(bs)(as(sA

siendo s : el semiperímetro del triángulo: s = (a + b + c) / 2


94

Ejercitación Nº 12 1) Dados los siguientes datos, resolver los siguientes triángulos:

a) = 65º a = 5 b = 8

b) a = 8 b = 10 c = 7

c) a = 3 b = 4 c = 5

d) = 97º 20’ a = 3 b = 6

e) = 22º b = 3 c = 9

f) a = 812,50 b = 1312,50 = 38º 52’ 48’’

g) b = 3250 c = 3412,50 = 8º 22’ 12’’

h) a = 1000 = 59º 29’ 23’’ = 106º 15’

37’’

i) b = 2500 = 36º 52’ 12’’ = 75º 45’

j) a = 652,5 b = 3700 c = 4062,5

2) Resolver los siguientes problemas:

a) Un barco navega 22 millas náuticas hacia el oeste de un puerto. Luego navega S 62º O por otras 15 millas náuticas: ¿A cuántas millas náuticas está el barco del puerto?

b) La entrada a una pista de patinaje baja por una montaña. Utilizando la información dada en la figura, encuentre la distancia total que recorre el carrito.

c) Para la cometa de la figura, encontrar la longitud de las cañas de alineación requerida para los soportes diagonales (medidos en cm).

d) Un techo inclinado forma un ángulo de 35º con la horizontal y mide 28 m desde la base hasta la punta. Una antena d T.V. de 16 m de altura colocada a la punta del techo, asegurada por un cable desde la punta de la antena, hasta el punto más

15º 28º d2

d1 h = 200

8 8

12 12

45,54º

70º


95

cercano de la base del techo. Encontrar el largo del cable que se necesita.

e) PARA PENSAR: Encontrar el área del terreno que se muestra en la figura (divida el terreno en dos partes triangulares)

f) Encontrar la distancia entre B y C con los datos indicados en

la gráfica:

g) Dada una circunferencia de 100m de diámetro, determinar:

i) el lado del triángulo equilátero inscripto ii) el área de ese triángulo. iii) la altura de ese triángulo.

h) Un hombre a 100m de la base de un risco suspendido mide un ángulo de elevación de 28º desde ese punto hasta la punta del risco. Si el risco forma un ángulo de 65º con el suelo, determinar la altura h del risco.

i) Los lados de un terreno triangular miden 420, 350 y 180 pies de longitud.

a) Determine el valor del ángulo más pequeño del terreno b) Calcule el área del terreno

125 km 50,2 km

88,2 km 59,3 km

RIO

A

C

B

30º

AB = 360 m

AC = 806 m

h

65

º 28

º 100 m


96

j) Calcula la altura, h, de la figura:

k) Un río tiene las dos orillas paralelas .Desde los puntos A y B se observa un punto C de la orilla opuesta. Las visuales forman con la orilla unos ángulos de 42° y 56° respectivamente. Calcular el ancho del río sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es de 31,5 m. l) Calcular la altura de una antena de telefonía celular ubicada en la cima de una montaña sabiendo que desde un punto alejado del pie de la montaña, la base y el punto más alto de la antena se ven bajo unos ángulos de 66° y 70° respectivamente. Si nos alejamos de esa posición en línea recta 12,5 m. la punta la vemos ahora bajo un ángulo de 67°. ll) Dos barcos salen de un puerto con rumbos distintos, formando un ángulo de 127°.El primero partió a las 10 hs con velocidad de 17 km/h. El segundo lo izo a las 11,30 hs con velocidad de 26 km/h. Si el alcance de sus equipos de radio es de 150 km, ¿podrán ponerse en contacto a las 3 de la tarde? m) Un poste de 50 pies se encuentra en la cima de una colina cuya inclinación es de 20º desde la horizontal. ¿Qué longitud debe tener una cuerda para alcanzar desde el extremo superior del poste a un punto que se encuentra a 88 pies directamente colina abajo ( esto es , sobre la pendiente),desde la base del poste? n) La base mayor de un trapezoide isósceles mide 14 m. Los lados no paralelos mide 10 m y los ángulos de la base miden 80º. a) Encuentre la longitud de una diagonal b) Encuentre el área

ñ) Halla el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 m tiene un ángulo correspondiente de 70°. o) Calcula el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m y forman entre ellos un ángulo de 70°. p) Un barco ubicado en un punto B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, ubicadas en los puntos A y C que distan entre si 50 Km. Desde las estaciones de miden los ángulos: BAC=46° y BCA=53°. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?


97

q) La longitud del lado de un octógono regular es 8 cm. Halla los radios de las circunferencias a) inscripta b) circunscripta, al octógono. r) Una persona de 1,78 m de estatura proyecta una sombra de 66 cm y en ese momento un árbol da una sombra de 2,3 m. a) ¿Qué ángulo forman los rayos del sol con la horizontal? b) ¿Cuál es la altura del árbol?

s) En un entrenamiento de fútbol se coloca la pelota en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes del arco, cuyo ancho es de 7m. ¿Bajo qué ángulo se ve el arco desde ese punto? t) Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°, ¿cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura? u) Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el punto más alto del pedestal bajo un ángulo de 15° y el punto más alto de la estatua bajo un ángulo de 40°. Calcula la altura del pedestal.

RESPUESTAS

1) a) = 37,59º = 77,41º c = 7,43

b) = 52,62º = 83,33º = 44,05º

c) = 36,87º = 53,13 = 90º

d) = 25º = 57º 40’ c = 7,04

e) = 10,24º = 147,76º a = 6,32

f) = 36º 52’ 12’’ = 104º 15’ b = 850

g) = 67º 22’ 48’’ = 104º 15’ a = 512,5

h) = 14º 15’ b = 3500 c = 3900

i) = 67º 22’48’’ a = 1625 c = 2625

j) = 8º 1’ 25’’ = 52º 19’ 57’’ = 119º 38’ 35’’

2) a) 31,92 millas náuticas b) 796,28 m c) 9,18 cm y 17,62 cm d) 39,42 m e) 5.330 km2 f) d = 525,99 m g) i) 86,60 m ii) 3247,88 m2 iii) 75 m h) 42,61 m i) a) 24º58' 44'' ; b)31038,03 pies2

j) h= 524,54 m

k) 17,6 m

l) 37,7 m

ll) No porque la distancia entre los barcos es mayor

m) 115 pies

n) a) 15,7 m b) 120,54 m2

ñ) 21,44 m

o) A=4886,40 m

p) AB =40,43 Km CB =36=42 Km

q) a) r=9,66cm b) R=10,45cm

r) a) =69°39’21,24” b) h=6,20 m

s) =60°


98

t) r = 10,14 cm

u) 1,17 m

UNIDAD 5: Área y Volumen

99

Unidad 5

Problemas de cálculo de área y volumen 1) Bebederos 1

En un establecimiento ganadero, se disponen bebederos para los animales en puntos estratégicos del campo. Dichos bebederos tienen las siguientes

dimensiones:

radio = 0,5m

Se desea conocer que volumen de agua contienen los bebederos si son llenados hasta un 80% de su capacidad total.

2) Bebederos 2

Se desea determinar el volumen aproximado de un bebedero para pollos, de forma cilíndrica circular.

Cada bebedero satisface las necesidades de 5 pollos y el tiempo que insume vaciar ese volumen es de 6 hs.

a) ¿Cuántos bebederos tengo que poner en un galpón de cría de pollos si

tengo 840 animales? b) ¿Qué volumen de agua consumen todos los pollos por día, si se

considera que desde las 22 hs hasta las 4 hs, no consumen agua?

2,75m

0,5m

Diámetro: 10

cm

35 cm


100

3) Comederos

Calcular la capacidad aproximada de un comedero para patos:

4) Campo

Un productor de Nogoyá, desea saber cuántas hectáreas tiene su campo. Para ello contrató a un agrimensor para que mida los lados del mismo.

Se desea conocer: a) La superficie total del terreno.

b) La superficie que ocupa cada cultivo.

c) ¿Cuántos metros de alambre serán necesarios para cercar el perímetro de todo el campo, si el alambrado es de tres hilos?

a = 3500m

b = 1000m

c = 2000m

d = 5000m

e = 1500m

12

Arroyo San Cristóbal

M

Sg Sj

Sg

M = Maíz

Sj = Soja

Sg = Sorgo

0,5 m

0,25 m

0,1 m


101

5) Gallinero

Se desea conocer la capacidad de este gallinero:

6) Tanque australiano Un tanque australiano perfectamente circular ubicado en un establecimiento

ganadero, posee un perímetro de 15 m y una altura de 1,30 m. Está lleno con agua 1/3 de su capacidad total. Luego de una lluvia de 40 mm, el dueño desea

saber:

a) La capacidad máxima que puede llegar a tener. b) El volumen que ocupa actualmente.

c) ¿Para cuántos días le alcanzará el agua para abastecer a sus 60 vacas, sabiendo que cada una de ellas bebe alrededor de 25 litros por día.

7) Cosecha de granos Uno de los métodos que me permite estimar las pérdidas en la cosecha de

granos es el Método de los Aros.1 Para ello se elige una zona representativa de y se tiran al azar cuatro aros de 56cm de diámetro. En el área que ocupan los

aros se cuentan la cantidad de granos encontrados en el suelo luego del paso

de la cosechadora. El promedio de los granos encontrados en los cuatro aros es la pérdida estimada en esa superficie (la del aro).

1 El método de los aros considera procedimientos y consideraciones que se omiten en el

ejercicio para facilitar la resolución del mismo.

1,3 m

2,4 m

70 cm

45 cm


102

En un campo de cultivo de Maíz se quiere determinar la eficiencia de una

cosechadora. Para ello se utilizó el Método de los Aros, realizando cinco repeticiones (en cinco sectores se tiraron cuatro aros).

a) Determinar los kg de grano perdidos por hectárea, teniendo en cuenta que

33 granos de maíz pesan 10 gramos y que 1ha = 10000 m2. b) Si el maíz vale u$s76 la tonelada, ¿Cuánto dinero perdió el productor si la

superficie total cosechada fue de 120 ha?

Aro 1 Aro 2 Aro 3 Aro 4 Total Rep Repetición 1 28 26 30 24 .................

Repetición 2 35 40 41 32 ................. Repetición 3 32 33 45 28 ................. Repetición 4 40 32 25 22 ................. Repetición 5 25 30 33 31 .................

Media:............

8) Silo

En la figura se muestra una secadora de granos (izquierda) y un silo donde se

almacena el grano secado (derecha). El grano, luego de ser secado, es

transportado por una noria hasta la parte superior del silo.

Dicho productor posee 300 ha y el rendimiento de su cultivo fue de 75 qq/ha, y se

determinó que la densidad del grano de maíz es de 0,64 kg/dm3. a) El productor necesita saber cuanto grano puede guarda de su cosecha de maíz

en dicho silo y, en caso de no alcanzar, cuantos silos mas necesita para almacenar

toda su producción.

b) Si tiene cinco silos en total ¿Cuánto dinero le costará almacenar el grano

sobrante en el silo del vecino? (costo almacenamiento = u$s 2,5/tn)

8 m

5 m

8 m

Noria

Secadora

Silo de almacenamient

o

Recordar que...

1 qq = 100 Kg (qq =

quintal)


103

9) Agroquímicos Un fabricante de envases de agroquímicos desea saber con cuál de los dos

modelos siguientes gasta menos material para envasar 5 litros de producto. La

parte superior y manija de ambos envases ocupa igual cantidad de material.

10) Ganadero-Agrícola

El dueño de un establecimiento ganadero de 2000 ha desea dedicar una parte de su campo a la actividad agrícola con el cultivo de maíz. Para que

el sistema Ganadero-Agrícola sea rentable calculó que debería ganar $1,5

millones de la cosecha de maíz.

a) ¿Cuántas ha deberían dedicar a su producción sabiendo que el rinde

promedio de la zona es 8 Tn/ha y el precio del mercado es aproximadamente $230/Tn granos?

b) ¿Cuánto le queda para sembrar pasturas para continuar con la actividad ganadera, sabiendo que entre casa, arroyo, galpón y corrales se ocupan

15 ha?

c) Proponga una disposición de los alambrados para delimitar el área hallada.


104

RESPUESTAS

1) 863,94 litros 2) a) 168 bebederos b) 1385,44 litros/día 3) 0,0125 m3 4) a) 1312,5 ha b) Sorgo: 287,5 ha Maíz: 525 ha Soja: 500 ha c) 45.454,5 m 5) 0,35 m3 6) a) 23,28 m3 b) 8476 litros c) 5 o 6 días 7) a) 383,03 kg maíz/ha b) 3493,23 u$s 8) a) Necesita en total 8 silos, los 5 silos que posee almacenarán 1447,65 Tn. Las Tn sobrantes son 802,35 Tn b) 2005,8 u$s 9) Con el recipiente cilíndrico gasta menos material. 10) a) 815,22 ha b) 1169,8 ha

Problemas para ejercitar tu ingenio, tu creatividad y tu razonamiento lógico

105

PROBLEMAS PARA EJERCITAR TU INGENIO, TU CREATIVIDAD Y TU RAZONAMIENTO LÓGICO

1) María Eugenia tiene cuatro fragmentos de una cadena de oro, cada fragmento tiene tres eslabones. Ella quiere hacer rearmar la cadena pero tiene miedo de que le cueste mucho. El joyero a quien consulta da un vistazo y dice: cobro $1 por abrir cada eslabón y $1 por soldarlo. Como debo abrir y luego soldar cuatro eslabones, entonces usted deberá pagarme $8 por la cadena. María Eugenia piensa y luego dice al joyero: “Usted trabaja y cobra más de lo necesario”. ¿Qué solución pensó María Eugenia? 2) En la orilla de un río se encuentran un lobo, una cabra y un fardo de pasto. Hay una sola canoa que da cabida al dueño, más una sola de las cosas. ¿En qué forma puede hacerse la travesía para evitar que el lobo se coma a la cabra, o ésta al fardo, durante la ausencia del dueño. 3) Los 9 puntos de la figura están ordenados formando un cuadrado. Puede unirlos a todos mediante cuatro líneas rectas, sin levantar el lápiz. 4) Un automovilista calculó que si viajaba a 60 km/h llegaría al sitio previsto una hora después de medianoche, pero si la velocidad era de 90 k/h llegaría una hora antes de medianoche. ¿A qué velocidad debería viajar para llegar justa a la medianoche al lugar previsto? 5) Se tienen 8 perlas de igual forma y color. Una de ellas es más pesada que las otras siete, que pesan igual. Con una balanza de dos platillos y realizando sólo dos pesadas, hay que determinar cuál de las 8 perlas es la más pesada? 6) Tres maridos se encuentran con sus respectivas esposas ante un río que se proponen atravesar. Sólo disponen de una pequeña embarcación, sin barquero, apta para transportar dos personas a la vez. ¿Cómo pasarán esas seis personas de manera que ninguna mujer quede en compañía de dos hombres si su marido no está presente? 7) Un analista debía ser enviado a negociar un contrato. Para saber si era capaz de la misión se le tomó una prueba. La prueba consistía en saber en cual de los tres portafolios se encontraban las instrucciones. Cada portafolio tenía una inscripción. De las tres sólo una era verdadera. ¿Cuál portafolio tenía las instrucciones? 8) En una caja de zapatos se tienen diez pares de zapatos color marrón y diez pares de zapatos color negro. ¿Cuántos zapatos hay que sacar de la caja para tener la seguridad de conseguir un par del mismo color? 9) Dos hombres A y B entran en un armario a oscuras, donde están colgados dos sombreros rojos y uno negro.

A B Las

instrucciones

no están aquí

C Las

instrucciones

están aquí

Problemas para ejercitar tu ingenio, tu creatividad y tu razonamiento lógico

106

Al salir, cada uno de ellos puede ver el sombrero del otro, pero no el suyo. Se le pregunta a A por su sobrero y responde que no tiene fundamento para responder y que no sabe de qué color es su sombrero. Oye B esta respuesta y al preguntárselo: de que color es su sombrero, responde que es rojo. ¿Cuál es el fundamento de la respuesta? 10) Con solo cuatro ochos (8) y tres operaciones matemáticas se puede obtener la siguiente igualdad: 8 8 8 8 = 120 ¿Cuáles son las operaciones matemáticas que se deben realizar? 11) En el año 1992 me encontré con un amigo que durante la charla me preguntó en que año me case. Yo le dije que en el año 2000 la suma de las cuatro cifras del año en que me casé era igual a los años de casado que tendría en el año 2000. ¿Cuántos años de casado llevaba en el año 1992? 12) Con 12 fósforos se puede construir una figura en forma de cruz, que tenga una superficie equivalente a cinco cuadrados hechos también con fósforos. Cambiando la posición de todos los fósforos, se debe obtener una figura que tenga una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados. 13) El número de una casilla es igual a la suma de los números de las dos casillas inferiores a ella. Así en el primer encasillado: A = B + C. Con ese criterio complete las tres pirámides: 14) En un cierto país los ministros siempre mienten y los no ministros siempre dicen la verdad. A, B y C habitantes de ese país están hablando. A dice algo acerca de si es o no es ministro, pero nosotros no podemos oírlo. B que sí lo ha oído dice: “A dice que él no es ministro” C entonces dice: “A es un ministro” ¿Cuántos son ministros y cuántos no ministros? 15) Si tengo dos recipientes iguales de 15 litros de capacidad. En el primer recipiente coloco agua y en el segundo recipiente coloco igual volumen de jugo de naranja. Si ahora retiro el vaso colmado de jugo de naranja del segundo recipiente y lo coloco en el primero y luego retiro de la mezcla del primer recipiente el mismo vaso colmado y lo coloco en el segundo recipiente. ¿La cantidad de agua del primer recipiente es igual a la cantidad de jugo de naranja del segundo? SI – NO. Justifique su respuesta. 16) Una persona dice lo siguiente: “tengo tantos hermanos como hermanas”. La hermana de la persona que acaba de hablar declara: “tengo dos veces más hermanos que hermanas” ¿Cuántos hermanos y hermanas son?

6

2

4 2 2

3 7

8

2

0

1

4

7

9

2

3

1 2 2

9 1

0

4

3

B C

A

Bibliografía

107

Bibliografía

Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Swolowski. Cole. Grupo Editorial Iberoamérica. Tercera Edición. 1996.

Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Waller Fleming. Dale Varberg. Editorial Prentice Hall. Tercera Edición. 1991.

Álgebra. Max. A. Sobel. Norbert Lerner. Editorial Prentice Hall. Segunda edición. 1989.

Blufstein, Alejandro. 1992. Muy Interesante. Nº 85. Argentina. p.106-109

Blufstein, Alejandro. 1992. Muy Interesante. Nº 86. Argentina. p.106-109

Blufstein, Alejandro. 1993. Muy Interesante. Nº 95. Argentina. p. 98-101

http://www.fao.org/docrep/T0690S/t0690s34.gif (7/11/2005)

http://www.alvanblanch.co.uca/t5.jpg (7/11/2005)

http://www.fao.org/docrep/T0690S/t0690s21.gif (7/11/2005)

http://www.viarural.com.ar/viarural.com.ar/insumosagropecuarios/gal-manantial/bebederos.01.jpg (7/11/2005)

http://www.fao.org/document/docrep/X5028S/x5028S00.htm (7/11/2005)

http://www.elsitioagricola.com/articulos/bragachini/images/EficCoseImg25.gif (7/11/2005)

http://www.fao.org/docrep/T0690S/t0690s34.gif

http://www.alvanblanch.co.uca/t5.jpg

http://www.fao.org/docrep/T0690S/t0690s21.gif

http://www.viarural.com.ar/viarural.com.ar/insumosagropecuarios/gal-manantial/bebederos.01.jpg

http://www.viarural.com.ar/viarural.com.ar/insumosagropecuarios/gal-manantial/bebederos.01.jpg

http://www.fao.org/document/docrep/X5028S/x5028S00.htm

http://www.elsitioagricola.com/articulos/bragachini/images/EficCoseImg25.gif

http://www.elsitioagricola.com/articulos/bragachini/images/EficCoseImg25.gif

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