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LA MATEMÁTICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA ( E . G . B . 2 )

GobernadorArturo Lafalla

Director General de EscuelasDomingo V. De Cara

Directora Adjunta Técnico-PedagógicaIrene G.de Wilde

Asesores de GabineteAna JalónJuan Carlos Nieva

COMISIÓN CURRICULAR

* Directora de Ed. Inicial y PrimariaMarta Blanco de Rodríguez

* Coordinador GeneralJuan Carlos Nieva

* Coordinadora General Area MatemáticaMaría Judith C. Alderete

Y

Equipo Técnico Curricular y de Capacita-ción en MATEMÁTICA, de la D.G.E

Este Fascículo No ll, “La Matemática en el SegundoCiclo de la Educación General Básica, (E.G.B.2)” fueelaborado por:

- María Judith C. Alderete- Ketty Ana Iturrioz- Mirna Edith Santander- Elsa Goicoechea

Agradecemos la colaboración de

- Marta Blanco- Juan Carlos Nieva- Claudia Paparini

y del- Equipo Técnico Curricular y de Capacitación enMatemática, de la Dirección General de Escuelasde la Provincia de Mendoza.

DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA1

LA MATEMÁTICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.2)

- Equipo Técnico Curricular y de Capacitación en MATEMÁTICA, de la D.G.E.

Colaboración en la elaboración de la propuestaCurricular y en los materiales de apoyo curricular

Susana CarusoStella Mark Cirrincione

Mirta Di CésareAna María Nuñez

Colaboración en los materiales de apoyocurricular

Eugenia Artola Edith de MiguelAriana Dalvelo Elizabeth Molina

María Inés Fagliano Silvia OrtegoBeatriz Galvo María Fernanda SelvaSilvia García Catalina Suárez

DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA

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En los Fascículos 5 y 7, dedicados a la Matemáti-ca en el Nivel Inicial (N.I.) y en el Primer Ciclo dela Educación General Básica (E.G.B.1), aborda-mos algunas cuestiones básicas:Qué enseñar en Matemática?Cómo hacerlo?Cuáles son las Expectativas de logro al cul-minar esos Ciclos? .A su vez, en el Fascículo 7 incluimos dosSEPARATAS. Una destinada a presentar en formacompleta la versión preliminar de la propuestacurricular para el N.I. y la E.G.B.l, en lo que sedenomina el segundo nivel de especificación delcurrículo, o sea, en el nivel Jurisdiccional. La otra,con las EXPECTATIVAS DE LOGRO DEL CICLO.(Criterios de acreditación). Con anterioridad hici-mos llegar el Fascículo 2, destinado a abordarcuestiones generales referidas, entre otras cosas,a las demandas sociales con respecto a la mate-mática escolar, a las competencias a desarrollaren Matemática durante la escolaridad obligatoria,al significado amplio de contenido, al enfoque dela enseñanza de la Matemática y a sus implican-cias, En fin, le prestamos atención a una seriede cuestiones que deberían ser el punto de parti-da de todo proceso de enseñanza y aprendizajeescolar en Matemática en la actualidad, por cuan-to se trata de generalidades y puntos de vista que

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tienen que ver con la preparación para el nuevosiglo.

En esta nueva etapa, destinada a EGB2, sugeri-mos a los docentes que están en las aulas deeste Ciclo, que antes de interiorizarse por ella,sería conveniente hacer un alto y desandar al-gunos pasos con el propósito de reflexionarsobre las cuestiones abordadas en los dos Ci-clos anteriores.Nos parece que bien vale la pena realizar lo queproponemos, ya que estamos convencidos de quela continuidad es un punto clave en el Proceso deTransformación Curricular que estamos transitan-do. Más aún, ¿no creen que los docentes del N.I.y de la EGB1 , también deberían interesarse porlo que tratamos en este Fascículo?

En efecto, sólo de esa manera va a ser posible unabuena propuesta de proyecto curricular institu-cional (tercer nivel de especificación) y, por supues-to, del proyecto curricular de aula, o currículumreal, (cuarto nivel), al que verdaderamente de-bemos prestarle atención porque es el único quepuede producir un mejoramiento sensible y du-radero de la calidad de la educación matemáti-ca en los niños de hoy.

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LA MATEMÁTICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACION GENERAL BÁSICA (E.G.B.2)

Cuando hablamos de continuidad también nos esta- transformación en las aulas. En efecto, son esosmos refiriendo a la que debemos asegurar-con res- núcleos los que el docente debe incorporar en lospecto a los aprendizajes. En realidad, la apropiación espacios intersticiales que dejamos en nuestra pro-de los conocimientos se inscribe en una doble conti- puesta. La elaboramos sobre una trama abiertanuidad: la que relaciona entre sí a ciertos conocimien- como soporte.tos y la que se debe tener en cuenta en un período Cómo darse cuenta de esa trama? Cómo re-más o menos largo, como puede ser un Ciclo, toda la conocer los espacios intersticiales?E.G.B. y hasta el Polimodal. La tarea es compleja y se requiere de un ciertoAl mencionar las SEPARATAS, tanto del N.I. y E.G.B.1, tiempo. Por esa razón nos hemos comprometidocomo a la de E.G.B.2, incluida en este Fascículo, des- con los docentes en continuar brindando apoyo paratacarnos otra vez, que en una de ellas están consigna- las acciones señaladas.das las Expectativas de logro (Criterios de acredita- Sólo de esa manera va a ser posible una buenación) de cada uno de los Ciclos y en la otra, están las interpretación de la propuesta de la Jurisdicción,matrices de contenidos, ilustrando bien las secuen- la que no apunta solamente a los contenidos,ciaciones horizontales y verticales de los grandes or- sino también a la nueva concepción de ense-ganizadores de la disciplina escolar. A su vez, figuran ñanza y aprendizaje, teniendo como meta la ad-los indicadores de logros (columna grisada). quisición de nuevas competencias.Pero analizar solamente las SEPARATAS para inter- Con respecto a la organización de este Fasciculo,pretar la propuesta no es suficiente. Se requiere una mantuvimos la de los Fascículos 5 y 7, destinadoslectura atenta de las consideraciones generales refe- al Area Matemática. Con esa organización existeridas a tales organizadores, lo cual ayuda a una mejor ya, de parte del docente, una cierta familiarización.comprensión. Sabemos que aún tenemos que brindar- Hay una primera parte, parte A, referida a los Pro-les otros apoyos referidos, especialmente, a cuestio- cedimientos vinculados con el quehacer ma-nes que tienen que ver con el marco pedagógico-di- temático y una segunda parte, parte B, que tratadáctico y con los organizadores didácticos que los apartados para cada año de E.G.B.2.subyacen en la propuesta. Su conocimiento va a per-mitirle al docente construir núcleos de enseñanza y También hemos consignado las opiniones de losaprendizaje, necesarios para la implementación de la docentes. Nos merecieron una seria reflexión.


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Razonamiento, Comunicación y Proble-mas a lo largo de la E.G.B.

Comentemos algo sobre los procedimientosvinculados con el quehacer matemático.

(a) Hablemos sobre el RAZONAMIENTO.

(b) Hablemos sobre la COMUNICACIÓN.

(c) Hablemos sobre los PROBLEMAS.

Las opiniones de los docentes : Lo positi-vo, las inquietudes o dudas y las sugeren-cias.

Presentamos la versión preliminar de laPropuesta Curricular de MATEMÁTICApara el Segundo Ciclo de la E.G.B.

1 Los bloques de contenidos (C.B.C) y unapropuesta de organización curricular parael segundo nivel de especificación (NivelJurisdiccional).

2 El apartado ACTIVIDADES NUMÉRICAS,

qpara los tres años de E.G.B.2

3 El apartado ACTIVIDADES LOGICAS YDE LA COMUNICACIÓN, para los tresaños de E.G.B.2El apartado ACTIVIDADES GEOMÉTRI-CAS, para los tres años de E.G.B.2

5 Las opiniones de los docentes : Lo posi-tivo, las inquietudes o dudas, y las sugeren-cias.

6 SEPARATAS con las Expectativas de lo-gro del Ciclo (Criterios de acreditación)


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y las matrices de contenidos.GOBIERNO DE MENDOZA



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LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BASICA (E.G.B.21

Razonamiento, Comunicación yProblema& a lo largo de la E.G.B.

En un Proceso de Transformacion Curricularcomo es el que estamos transitando, creemosconveniente que el docente reflexione sobre:- los conocimientos de Matemática, que le vana permitjr precisar su relación con el saber,para que pueda interpretar, más específi-camente, lo que debe hacer en el aula,- la fundamentación teórica de las opcioneshechas, tanto de la concepcion del apendi-zaje como de la concepción de la enseñan-za, por cuanto se trata de dos procesos dife-rentes que se deben complementar,- el análisis didáctico de las situaciones aulicas, para optimizarlos procesos de apropiación delos conocimientos por parte de sus alumnos.


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Los procedimientos generales vinculados con el que-hacer matemático, están presentados en los C.B.C. entres categorías, de acuerdo con su vinculación a:

- la resolución de problemas,

- el razonamiento,

- la comunicación.

En los Fascículos 5 y 7 formulamos ciertas conside-raciones con respecto a tales procedimientos.Sin embargo, dada su importancia y teniendo en cuentaque ellos “atraviesan” todos los contenidos, creemosque no es suficiente.Esa es la razón por la cual retomarnos lo expresadoanteriormente.Recordemos el diagrama propuesto oportunamente.

a comunicac

a) Hablemos del RAZONAMIENTO.

Insistimos en una cuestión fundamental: si bien el ra-zonamiento se menciona explícitamente como uno delos procedimientos básicos, no significa que el alum-no tenga que recibir “lecciones de lógica o de razo-namiento”.Lo que se pretende es que vayan comprendiendo, através de los procedimientos y la reflexión que susci-ta dicha práctica, los fundamentos lógicos en que sesustentan.La capacidad de razonar en los niños que transitanE.G.B.2 ha crecido con respecto al ciclo anterior, porlo cual resulta natural ampliar los contextos de aplì-cacìón de la misma, de igual manera que el rigor conque se la utilice.En el Fascículo 7 destacamos ladiferencia que existeentre demostrar una propiedad usando el métododeductivo y la verificación de la misma, medianteuna experiencia que puede recurrir a métodos gráfi-cos, físicos, . . . , para “descubrirla”. En realidad pararealizar tal verificación se apela a la intuición y a laexperimentación. Como ejemplo propusimos la ‘veri-ficación” experimental de la propiedad relativa a lasuma de las medidas de los ángulos interiores de untriangulo. Se trata de un recurso experimental, aptopara tratar esa propiedad en el Segundo Ciclo de laescolaridad, pero no es una demostración matemáti-


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LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BASICA (E.G.B.2)

ca, que es el único camino legitimo para ase-gurar la validez de una afirmación.Para el Segundo Ciclo también tiene vigencia elejemplo propuesto en el Fascículo 5, que ilustraacerca del peligro de las generalizaciones.Lo cierto es que en este Ciclo de la escolaridadobligatoria, uno de cuyos propósitos fundamen-tales es la profundización y consolidación delos aprendizajes fundamentales adquiridos enlos ciclos anteriores, los alumnos están en me-jores condiciones cuando enfrentan las situacio-nes-probIema (S-P) para expresar sus estrate-gias, justificar los razonamientos propios o losajenos en el momento de la comunicación a suspares, y validar las conclusiones. El trabajo engrupo no excluye, de ninguna manera, la búsque-da y la redacción individual de la solución, que lepermiten al alumno la ocasión de ejercitar y po-ner en evidencia su forma de razonamiento y sureflexión personal.Precisamente este Ciclo es un momento privile-giado para el desarrollo de la reflexión perso-nal.

¿Qué significa validar las soluciones de los pro-blemas y cómo se aprende?.En principio significa que hay que analizar lassoluciones producidas por uno mismo o por otra

persona y argumentar su validez (verificando y jus-tificándolas). Es conveniente trabajar sobre ejem-plos, como lo vamos a hacer a continuación.En efecto, para una mejor compresión de lo afir-mado, proponemos algunas situaciones que fue-ron presentadas a ciertos alumnos de escuelas quenos ofrecieron compartir esta tarea. Las trans-cribimos con las soluciones y los argumentos que

los niños dieron, unas en forma oral y otras en for-ma escrita, según los requerimientos.Sugerimos que los docentes lectores de esta pu-blicación, analicen los caminos seguidos por esosalumnos y las respuestas a las que arribaron, con-cluyendo si lo afirmado es verdadero o falso. Encada caso hay que justificar la elección.

¿Cuántos apretones de ma-nos se dieron?

Cinco personas se dan unapretón de manos para decir-se adiós.


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Respuesta :

- Un grupo de alumnos responde : 5 x 4 = 20.Su argumento es:Cada una de las cinco personas dá un apretón de ma-nos a cada una de las otras cuatro personas, lo quehace 20 apretones de manos.

- Otro grupo dice que la respuesta es 10 apretones yque el camino propuesto por el grupo anterior es falso,ya que consideraron dos veces cada apretón de ma-nos.Nota: El segundo argumento es válido

Dibujamos la circunferencia y los seis puntos dife-rentes, trazamos todas las cuerdas posibles de acuer-do con la consigna y luego, las contamos.

- Un segundo grupo dió como respuesta: 3 cuerdas.El camino que seguimos dijeron, consistió en razonarasí: Cada dos puntos distintos tenemos una cuerda.Como partimos de 6 puntos (supuestos distintos), 6dividido 2 es 3, lo cual justifica nuestra respuesta.Nota : El segundo argumento no es valido.

- Un grupo de alumnos dijo que es posible dibujar 15cuerdas, suponiendo que se trate de 6 puntos diferen-tes. l


Dejamos como inquietud no sólo el analisis de las res-puestas y las justificaciones o argumentos dados encada situación para determinar la validez o invalidezde los mismos, sino también la posibilidad de realizar

un segundo análisis para determinar los saberes deldiseño curricular a los cuales se corresponden losejemplos propuestos, y en qué año de la escolaridaddel Segundo Ciclo podrían ser considerados.

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b) Hablemos de la COMUNICACIÓN. maestro : sus niveles de lenguaje, por ejemplo, sonmuy distintos. Ello justifica la preferencia acordada

Con respecto a la Comunicación hay mucho por a las situaciones de comunicación entre pares, qued e c i r . permiten:Por eso retomarnos lo expresado en los Fascícu- - elaborar de manera más natural y fluida un len-los 5 y 7 ampliando aquellas consideraciones. guaje, mejorarlo y probarlo,Cuando un alumno está ante una situación-pro- - validar los resultados (como se viene de ver) y alblema y llega el momento de tener que comuni- mismo tiempo, comunicar los procedimientos se-car los procedimientos empleados para resolver- guidos para alcanzar la o las soluciones, según ello y luego justificarlos, nos damos cuenta de que, problema propuesto.en general, no constituyen una preocupación es- La etapa de búsqueda en un situación-problemapontánea para el niño, que tiene el sentimiento cuando se realiza en equipo, es una ocasión exce-de que su tarea está cumplida cuando llega a un lente para la comunicación oral (discusión sobre laresultado. De ahí la necesidad de que el docente búsqueda de las informaciones, sobre el caminoseleccione situaciones-problema adecuadas para elegido para tratar el problema, sobre la presenta-que los alumnos se vean en la situación de tener ción, ..). e igualmente de manifestaciones sobreque comunicar las informaciones o las estrate- los ensayos y las pruebas realitadas.gias empledas, y que paralelamente deban es- Cabe agregar algo con respecto a las distintas for-cuchar las ideas emitidas por los otros, suscepti- mas de la comunicación que pueden ser utilizadasbles a veces de hacer evolucionar las búsque- por el maestro:das personales. Así mismo, es importante que - transmitidas únicamente por palabras,comparen su solución con la de otros, con el pro- - transmitidas únicamente por escrito,pósito de que temgan que convencer de la vali- - utilizando esencialmente el lenguaje matemáticodez del propio resultado o de la de otro. Surge o de los gráficos, de los organigramas de resolu-así la importancia que tiene la comunicación y la ción, de las representaciones, de los algoritmosnecesidad de que sea una actividad usual. Sin puestos en acción, etc.embargo, hay que considerar las diferencias de En lo que sigue ponemos énfasis en la importanciaargumentación que existen entre el alumno y el de la comunicación escrita, sin dejar de reconocer


l l


la importancia que tiene la comunicación oral.Las escrituras matemáticas, que han comenzado en elPrimer Ciclo, son necesarias en el Segundo Ciclo comoherramienta y como soporte, en el momento de tenerque comunicar y justificar un procedimiento.No se trata de escribir “cualquier cosa” sino de que loescrito tenga sentido. De igual manera que las solasmanipulaciones de objetos reales no pueden constituiruna actividad matemática pero son, en cierto modo,una especie de promesa, las “acciones mentales” queconstituyen la actividad matemática, conducen a usarese lenguaje simbólico abstracto de las escrituras ma-temáticas.Para el Segundo Ciclo sugerimos que el maestro rea-lice un trabajo sistemático con el fin de que sus alum-nos se esfuercen y aprendan a escribir correctamenteun resultado, para conservarlo o para comunicarlo, yque usen las convenciones que no son tenidas en cuen-ta en una comunicación oral, como puede ser, por ejem-plo, el uso de paréntesis cuando se trabaja con núme-ros. También tienen que aprender a anotar de manerasintética, mediante una frase, el camino que han usa-do durante la búsqueda de la solución del problema,de tal manera que en la respuesta estén los mismostérminos de la cuestión planteada en el enunciado.El alumno debe distinguir los escritos que son parasí, y que forman parte de su trabajo privado, de losescritos convencionales para los cuales necesita res-

petar una sintaxis rigurosa, una vez que ella ha sidoaceptada y trabajada.Estos escritos tienen dos funciones principales:

- son escritos-memoria, que quedan para el alumno,con el propósito de recordar (reglas, definiciones, pro-cedimientos automatizados, algoritmos, etc.),

- son escritos destinados a ser vistos por otros (prue-bas, padres, maestro, compañeros, etc.).

Sin ninguna duda el pasaje a lo escrito en Matemáti-ca resulta difícil para muchos alumnos.En muchos casos ello es posible sólo después de unaetapa previa de verbalización mediatizada por elmaestro.A pesar de las dificultades mencionadas, la produc-ción escrita de los alumnos del Segundo Ciclo es unpropósito básico.

Recordamos que en el caso de la comunicaciónescrita es posible recurrir al lenguaje simbólico(entre ellos, el lenguaje conjuntista), al lenguajegráfico (tablas, cuadros, diagramas) ... y, por su-puesto, al lenguaje verbal con un adecuado em-pleo del vocabulario matemático, en contextosnuméricos, geométricos, . . .

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d) Hablemos de los PROBLEMAS

1) Si bien las situaciones-problema son propues-tas para trabajar en el aula desde el Nivel Inicial,en el Segundo Ciclo creemos conveniente desta-car algunos aspectos de las mismas, y más parti-cularmente, ciertos momentos que se presentandurante su aplicación.Les prestamos mucha atención por cuanto cons-tituyen una verdadera y auténtica actividad debúsqueda y de descubrimiento.Cuando hablamos de situaciones-problema o,brevemente de problemas, nos estamos refirien-do a aquellos que no se identifican con los de lamatemática escolar clásica. A éstos los vamos adenominar en adelante, problemas de aplica-ción. Están caracterizados por presentar las cues-tiones a abordar de manera ordenada y cerrada,en los cuales las informaciones son necesarias ysuficientes y que están dados con clara intenciónde entrenar a los alumnos para que decodifiquenun enunciado y luego busquen entre sus conoci-mientos a aquellos que se aplican en el mismo.Cuando decimos que estamos interesados en losproblemas que son de búsqueda e investigaciónno significa que a los problemas de aplicaciónhaya que dejarlos de lado. Lo que pretendemos

destacar es que tales problemas son limitados yque no les permiten a los niños reflexionar sobrelos datos y las informaciones contenidas en el enun-ciado, a problematizar una situación, etc..., y a va-lidar los resultados obtenidos y los procedimientosutilizados para alcanzar la solución.Enfrentar y buscar una solución a una situa-ción-problema no es lo mismo que realizar unejercicio puramente escolar, en el cual se de-ben aplicar sin falta las técnicas aprendidas,teniendo en vista las pruebas análogas de eva-luación y examen.Tampoco es lo mismo que hacer ejercicios oproblemas para pruebas objetivas, como pue-den ser las de selección múltiple.

En una situación-problema hay que identificar yorganizar datos, elegir y poner en acción procedi-mientos adecuados, si es que se pretende llegara soluciones pertinentes y verificables. Tambiénpuede ocurrir que la S-P propuesta no tenga so-lución, o que tenga varias soluciones. No nece-sariamente tiene que ser de solución única, comolo es el problema escolar clásico.

Por otra parte, es corriente que se diga que losproblemas de la vida cotidiana tienen el poder defavorecer un aprendizaje significativo.


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Desde nuestro punto de vista y de acuerdo con nues-tra concepción del proceso de enseñanza y aprendi-zaje, la significatividad de un problema dependede las actividades cognitivas que promueve y dela pertinencia de las mismas con respecto a losprocedimientos a los cuales apunta la tarea: esta-blecimiento de relaciones, construcción o uso deconceptos o de procedimientos, la formulación deconjeturas, etc..

Cuando un docente selecciona una S-P o varias deellas, apuntando a la construcción de un saber o deun saber-hacer, debe explicitar los aspectos concep-tuales o procedimentales que se propone propiciar.La situación seleccionada debe ser adecuada al ni-vel y garantizar la apropiación de ese conocimiento.En el Fascículo 9, Organización y Gestión Institucionaly Curricular, en la página 44, presentamos un “paque-te’, de actividades relacionado con el uso de la mone-da. En esa ocasión destacamos la importancia de unanálisis a priori, pero también aludimos a un análisisa posteriori, además de las regulaciones que el do-cente debe ir haciendo durante el desarrollo de la mis-ma, por ejemplo, mediante las “variables didácticas”que permiten controlar, regular y asegurar la marchade los aprendizajes en todos los alumnos.El trabajo con una S-P favorece la tarea grupal pero,la sóla conformación de grupos no garantiza que

se promuevan las actividades matemáticas ylas interacciones adecuadas.

2) El trabajo en clase con situaciones-problema,tanto cuando los alumnos están organizados engrupos, como cuando realizan la tarea en formaindividual, representa una excelente ocasión paraconsiderar los contenidos actitudinales, como porejemplo, los que mencionamos a continuación.

Del desarrollo personal.- Confianza en sus posibilidades de plantear y

resolver problemas. - Disciplina, esfuerzo y perseverancia en la bús-

queda de resultados.- Gusto por generar estrategias personales de

resolución de problemas.- Disposición para acordar, aceptar y respetar

reglas en la resolución de problemas.- Respeto por el pensamiento ajeno.

Del desarrollo sociocomunitario.

- Valoración del trabajo cooperativo y la toma deresponsabilidad para lograr un objetivo común.

Del desarrollo del conocimiento científico-tecnológico.


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LA MATEMÁTICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BASICA (E.G.B.2)

- Interés por el uso del razonamiento intuiti- mos LA PUESTA EN COMÚN.vo, lógico y la imaginación para plantear y resol- Retomarnos la parte del diagrama en la cual esta-ver problemas y cálculos. mos interesados.

- Sentido crítico sobre los resultados obteni-dos en la resolución de problemas.

Del desarrollo de la expresión y la comuni-cación.

- Aprecio y respeto por las convenciones quepermiten una comunicación universalmente acep-tada.

TRABAJO PUESTA EN CO- CONCLUSIONESMÚN

- Corrección, precisión y prolijidad.

3) En la parte A del Fascículo 5, mostramos cómotrabajar en el aula un tema del curriculum, medianteuna S-P. En esa ocasión ilustramos gráficamentelas distintas etapas de la misma, destacando queel camino señalado no debe ser interpretado enforma lineal como una secuencia rígida, desde elmomento en que todo proceso de enseñanza yaprendizaje se caracteriza por su dinamismo.Como consecuencia de ello, el docente debe ma-nejar con soltura distintas alternativas para lograrlos propósitos a los cuales apunta la tarea.

Durante la PUESTA EN COMÚN cada grupo ocada alumno, según esté organizada la clase paratrabajar la S-P, debe dar cuenta de lo realizado enla etapa anterior, mientras que el docente, (usan-do distintos lenguajes), sintetiza esos resultadosen el pizarrón, sin expresar su opinión. Es el mo-mento en el cual se realiza entre los niños un in-tercambio de las soluciones y de los procedimien-tos usados. Cobra gran relevancia el clima quese debe generar en ese momento, para que pue-dan platearse las dudas, Ias opiniones, Ios des-acuerdos, . . . , para que se produzca una valora-ción del trabajo en grupo, del esfuerzo individual,etc..

A continuación vamos a dedicar algunas conside-raciones con respecto a la etapa que denomina -


Si bien es cierto que el papel del docente comomediado¡ del proceso se juega a distintos nive-les, su rol se revela de manera crucial en esa eta-

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pa conocida con la denominación señalada.En efecto, es sin duda allí donde aparece toda la me-diación que caracteriza la tarea del docente.Momento esencial de la acción didáctica, toda PUES-TA EN COMÚN se presenta difícil de conducir(ERMEL, 1993, Apréntissages numériques et résolutionde problémes, París).

Cuáles son las dificultades que puede encontrar elmaestro durante esa etapa?Esas dificultades se sitúan en cierto modo en:

mienzo. Pero al proceder así sustituye totalmente alos niños, a quienes niega el trabajo y la palabra.Distribuye las críticas y los elogios y confunde, dehecho, la PUESTA EN COMÚN con una “corrección”con lo que esta palabra pueda tener de punitivo. Alimponer muy rápido su punto de vista, o al aceptar enuna mirada más benevolente un procedimiento parti-cular, el docente “hace un corto circuito”, a menudoincluso sin saberlo, de lo que es el propósito y el inte-rés de esa importante etapa de la tarea.

- La no intervención.- Una presentación exhaustiva y fastidiosa de lasproducciones.No se debe vivir ese momento como una “obligación”tanto para el maestro como para los alumnos. Hay queevitar que los niños se aburran y que esa etapa seconvierta en un ritual fastidioso y pobre peda-gógicamente.

- Confundir PUESTA EN COMUN con una correc-ción.

Advertido de esos riesgos, el docente puede caer enotra trampa, consistente en prohibirse toda interven-ción, de manera de no interferir con la investigaciónde los alumnos. Se impone silencio, se retrae total-mente de la situación y deja a los niños librados a símismos. Entonces,¿qué tiene que hacer?. Tiene queesperar que los alumnos comuniquen sus procedi-mientos originales, y hacer que los niños acepten norepetir lo que otros ya han dicho. Pero por sobre to-das las cosas, que estén dispuestos a considerar lasituación que acaban de estudiar.Después de haberle dado tiempo a sus alumnos para

que investiguen, analicen y propongan una solución,el maestro puede creer que su deber es poner las co-sas rápidamente en su lugar. Concibe la PUESTA ENCOMÚN, como la ocasión privilegiada de comunicarala-clase, la” solución que él ha previsto desde el co -


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Finalmente vamos a señalar que las PUESTAS ENCOMÚN no tienen siempre que cumplir la misma fun-ción. De ahí la conveniencia de que el docente tengaen claro el propósito de la S-P. que ha propuesto.


De acuerdo con ese propósito presentamos losdistintos tipos más comunes.

a) Se pretende explicitar procedimientos.

Puede ocurrir que se trate de una situación deinvestigación muy abierta, nueva para los alum-nos, cuyo objetivo es principalmente, aprender ainvestigar. En ese caso se espera que los alum-nos manejen y propongan procedimientos varia-dos. La puesta en común consiste en poner elacento en la riqueza y la diversidad de los proce-dimientos empleados. Valoriza la multiplicidad yla originalidad. Es una ocasión excelente paradesarrollar los modos de pensar llamados “di-vergentes”, indispensables para la creatividadmatemática. Pero tendrá que organizar la presen-tación y el análisis de los diferentes procedimien-tos, de manera rápida y dinámica, para poderconservar la atención de los alumnos y nocansarlos, porque ello conduciría a que se que-de en el pizarrón trabajando solo.

b) Se pretende institucionalizar el saber.

Si la situación apunta a la estabilización de unanoción de un procedimiento experto, la PUESTAEN COMUN es la ocasión para conducir a cier-

tas conclusiones e institucionalizar ese saber. Laatención de todos los alumnos debe ser focalizadasobre ese saber. El estilo de esta puesta en comúnes el eje del pensamiento “convergente”.

c) Se pretende jerarquizar procedimientos.

No se trata de hacer un simple inventario de pro-cedimientos, sino de llevar la atención hacia algu-nos de ellos, de manera de ayudar a sus alumnosa tomar conciencia del que es más económico, odel que es el procedimiento experto.

d) Se pretende relacionar procedimientos.

La PUESTA EN COMÚN puede ser un momentoprivilegiado para que los niños tomen concienciade que hay procedimientos equivalentes así comoque hay otros que están relacionados sin ser equi-valentes (vecinos).

Sin ninguna duda quedan sin mencionar toda unagama de situaciones posibles. Pero, cualquiera queella sea, lo relevante son las actividades meta-cognitivas a que dan lugar, o sea, las que le per-miten al sujeto volver sobre sus acciones, sus pro-cesos intelectuales y sus propias adquisiones,poderosa palanca de progreso en el aprendizaje.


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LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.2)

Las opiniones de los docentes

sus opiniones. DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA

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a) Una propuesta de organización en apartados.

Los C.B.C. no prescriben una organización de los conte-nidos consignados. Es tarea de cada provincia elaborarsu propuesta curricular especificando, reorganizando,profundizando o completando los C.B.C. .En efecto, está establecido que:“Cada Jurisdicción producirá diseños para el Nivel Inicialy la Educación General Básica (E.G.B.), dando lugar a queel currículum de cada establecimiento responda, por unlado, a su pertenencia nacional y provincial y por otro, a supropia identidad institucional”.

En esta segunda parte del Fascículo 11, parte B, presen-tamos la versión preliminar de la Propuesta Curricular deMatemática de la Jurisdicción para el Segundo Ciclo dela E.G.B. (E.G.B.2). Por distintas razones decidimos man-tener una organización similar a la que adoptamos parael Nivel Inicial y para el Primer Ciclo (E.G.B.1), vale decir,la estructuramos en tres apartados:ACTIVIDADES NUMÉRICAS

ACTIVIDADES LÓGICAS Y DE LA COMUNICACIÓN

En un diagrama arbolar, análogo al presentado en elFascículo 5 para mostrar la reorganización de los blo-ques de contenidos de los C.B.C., destinados a los dosciclos anteriores, ilustramos la nueva propuesta desti-nada a EGB 2.

Bloque 8CONTENIDOSACTITUDINALES h

I I

Apartado A p a r t a d oACTIVIDADES NUMÉRI. ACTIVIDADES LOGICAS

ApartadoACTIVIDADES GEO-

CAS Y DE LA COMUNICACIÓN MÉTRICASBloque 1 -Números Bloque 3 - Lenguaje gráfico Bloque 4 - NocionesBloque 2 - Operaciones - y algebraico - geométricasBloque 5 - Mediciones Bloque 7 - Contenidos pro- Bloque 5 - MedicionesBloque 6 - Estad.y Prob.. cedimentales

Los Contenidos Actitudinales (Bloque 8) y los Conteni-dos Procedimentales (Bloque 7) atraviesan todos loscontenidos conceptuales, lo cual justifica su ubicaciónen el diagrama arbolar.

ACTIVIDADES GEOMÉTRICASDIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA

Los Contenidos Actitudinales “ponen de manifiesto losvalores, actitudes y comportamientos significativos pa-

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ra la vida de relación de todo ser humano”. No exis-te ninguna duda acerca de la importancia que tie-nen; ya en la parte A de este Fascículo, consigna-mos algunos de ellos.Los Contenidos Procedimentales son el conjuntode reglas, pautas, estrategias, modos de aproxi-mación y métodos que tiene la Matemática paraacercarse a sus objetos de estudio e investiga-ción.Con respecto a los apartados hemos mantenidola misma denominación que la usada para el Ni-vel Inicial y E.G.B.1.En cuanto a la palabra “actividades” insistimosen que ella no hace referencia a “manipulacio-nes” o a “acciones” con materiales concretos; es-tamos aludiendo a actividades matemáticas. És-tas se arraigan, en muchas ocasiones, en aquéllasy pueden ser evocadas por el alumno. El docentedebe comprender que se trata de actividades queson de naturaleza diferente. En el caso de una acti-vidad matemática se trata de anticipar sobre unaacción concreta, es decir, de construir mental-mente una solución que dispensa, por diversasrazones, de la manipulación de los objetos realesEsta afirmación no significa que las manipulacio-nes no tengan lugar en los aprendizajes matemáti-cos iniciales. Lo que se propone es un nuevo puntode vista.

Venimos de decir que los contenidos (en sentidoamplio) están organizados en tres apartados.

- En el apartado ACTIVIDADES NUMÉRICAS setratan cuestiones referidas a los distintos sistemasnuméricos (números naturales, números decimalespositivos y números racionales positivos). En dichossistemas se abordan los cálculos y aparecen, demanera muy intuitiva, las operaciones en cada unode ellos, con sus propiedades. Los números enterosse introducen sólo por el uso para referenciar los pun-tos y las casillas de un cuadriculado. También se con-sideran algunos números irracionales, como n ,2n,..Se tratan cuestiones que tienen que ver con la Arit-mética elemental. También aparecen en el Segun-do Ciclo, otros objetos matemáticos importantes,como lo son las Funciones numéricas, y entre ellas,la ProporcionalidadLas nociones relativas a Estadística, Probabilidad yCombinatoria tienen que ver con lo numérico, y poresa razón están consideradas en este Apartado.

Lo mismo ocurre con la Medida y la Medición.Sin embargo, algunas nociones relativas a ciertasmagnitudes geométricas mensurables (longitud, ca-pacidad, masa,...) se han incluido al mismo tiempo,en el apartado ACTIVIDADES GEOMÉTRICAS.



A veces resulta muy difícil establecer límites netos. Porejemplo, el objeto matemático Funciones Numéricas, nose puede aislar de sus representaciones gráficas y desus escrituras simbólicas, que son parte del lenguajegráfico, algebraico y conjuntista, indispensable paracomunicar e interpretar información matemática. Lomismo ocurre con los diagramas usados por la Estadís-tica Descriptiva. De ahí que estas nociones aparezcansimultáneamente en el apartado ACTIVIDADES LÓGI-CAS Y DE LA COMUNICACIÓN.

- En el apartado ACTIVIDADES LÓGICAS Y DE LACOMUNICACIÓN se abordan nociones del Bloque 3,Lenguaje gráfico y algebraico y del Bloque 7, Procedi-mientos relacionados con el quehacer matemático.Los propósitos del Bloque 3 al término de la E.G.B. se-ñalan que los alumnos deben conocer y saber usarsímbolos y representaciones gráficas, expresar re-laciones, (especialmente las funcionales) y recono-cer el valor y los límites que encierra la modelizaciónmatemática en relación con los fenómenos de la vidareal.El Bloque 7 está relacionado con el razonamiento, lacomunicación y los problemas, a los cuales les asigna-mos mucha importancia, por cuya razón han merecidoun tratamiento especial en la parte A de los Fascículos5, 7, lo mismo que en éste.

Cuando hablamos de los problemas estamos pen-sando en dos de sus funciones :- Por un lado, aludimos a los problemas como herra-mienta didáctica que permite lograr la comprensióndel sentido de los conceptos matemáticos, cuyo apren-dizaje no consiste en la memorización de una defini-ción, sino que pasa por un proceso de construcciónpersonal. En este proceso juega un papel importantela contextualización del concepto en problemas quesean interesantes de resolver. Es el maestro quien de-fine la intención didáctica del trabajo con proble-m a s ; - Por otro lado, hacemos referencia a los problemascomo objetos de estudio. En este sentido debemosprestarles atención por sí mismos: diferentes presenta-ciones, diferentes contextos, identificación de caminosy estrategias adecuados para su resolución, el análisisde las cuestiones, la anticipación de la respuesta, la va-lidación de las soluciones, la comunicación oral o escri-ta de los procedimientos empleados y de los resulta-dos, . . . , así como la elaboración de enunciados a partirde datos.Tan importante es saber resolver problemas comosaber plantearlos y plantearse cuestiones.

No nos cabe duda de que pira desarrollar los proce-dimientos vinculidos con los problemas, la comuni-cación, a través de los distintos lenguajes, juega un


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papel importante.Al mismo tiempo se requiere de la comprensión yel’ uso de los procedimientos que tienen que vercon el razonamiento: formular conjeturas, vali-dar procedimientos, investigar la validez o no, deuna generalización mediante un contraejemplo,relacionar, comparar, inferir,... , sin dejar de ladola intuición y la verificación que ayudan en mu-chas situaciones.

- En el apartado ACTIVIDADES GEOMÉTRICAS,se abordan otros objetos básicos de la Matemáti-ca: las figuras.Hemos mencionado anteriormente que la Mate-mática se edifica sobre el concepto de número(que da origen a la Aritmética) y sobre el concep-to de forma (que da lugar a la Geometría). Laspropiedades de las figuras y las relaciones entreellas se tratan en lo posible mediante las trans-formaciones geométricas usuales, (simetrías,traslaciones, rotaciones, semejanzas).

La separación de los contenidos en tres aparta-dos no nos debe hacer pensar que se trata de com-partimientos estancos. Unos y otros se relacio-nan permanentemente y esa integración debe serpercibida por el alumno de cualquier ciclo de laescolaridad. El uso de los mismos recursos y del

mismo lenguaje, entre otras cosas, le dan a toda laMatemática un gran sabor de unidad y coherencia.

b) De lo que contiene cada apartado.‘

- Consideraciones generales para el Ciclo y algu-nas referencias breves para cada año del mismo.- Ejemplos- Las Expectativas de logro, (Criterios de acredita-ción del ciclo), de cadaapartado.- La matriz de contenidos (Saber y Saber-Hacer)para cada año del Ciclo. En total tres de ellas porapartado.- Los indicadores de logro, especificados en la co-lumna grisada, encabezada con la denominaciónSaber-Herramienta.El listado de la columna (grisada) puede ser consi-derado desde dos ópticas: desde el alumno (comouna reflexión acerca de lo que sabe) y desde eldocente, para regular el proceso de enseñanza yaprendizaje, hacer un control de los aprendizajes desus alumnos, formular situaciones áulicas, . . .También presentamos:- Una SEPARATA cori las matrices de contenidosde los tres apartados correspondientes a los tresaños del Ciclo.- Una SEPARATA con las Expectativas de logro(Criterios de acreditación), del NI, EGB1 y EGB2.

DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE *MENDOZA2 5


En síntesis : La Propuesta está contenida en 3 aparta-dos y en cada apartado hay consideraciones genera-les, Expectativas de logro y 3 matrices de contenidos

La propuesta de Expectativas de logro, (Criteriosde acreditacion), de EGB2 y de los Ciclos ante-riores está en la SEPARATA 1; la propuesta de lasmatrices de contenidos para EGB2 y por aparta-do, está en la SEPARATA 2.

SEPARATA 1

Expectativas delogro,(Criterios deacreditacion),deCiclo (NI, EGB1 yEGB2),por cadaapartado.

SEPARATA 2

Matrices de con-tenido porapartado ypara cada añode EGB2(9 matrices)


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Al analizar las matrices de contenidos, (con elSaber y el Saber-hacer), y la columna grisada conlos indicadores de logros (Saber- herramienta)se observan puntos fuertes y rayitas:- los puntos fuertes visualizan los organizadoresdisciplinares, correspondientes a los grandes nú-cleos temáticos;- las rayitas, señalan los subnúcleos.

No debe sorprender que en los apartados pro-puestos para el Segundo Ciclo aparezcan nue-vamente la mayoría de los organizadores que fi-guraron en los Ciclos anteriores. También hayotros que aparecen como nuevos, pero que tienensus raíces en algunos contenidos anteriores.En el nivel Jurisdiccional de la PropuestaCurricular de Matemática sólo es posible privile-giar tales organizadores, si bien la misma organi-zación ‘está pensada sobre una trama de organi-zadores pedagógico-didácticos que tienen quever con las nuevas concepciones de enseñanzay apreridizaje. Estos últimos organizadores es-tán en vinculación directa con los otros nivelesde especificación, es decir con los ProyectosInstitucionales y los Proyectos áulicos.Sin ninguna duda debemos ir explicitándolos, paraque los docentes puedan orientar esa tarea, ya quepensamos que esa actividad es propia de ellos.

Lo que queremos decir es que para que esa etapasea exitosa, vamos a ir ofreciendo gradualmente apor-tes y sugerencias. De esa manera los docentes es-tarán en mejores condiciones para decodificar la re-lación que existe entre el contenido (organizado porlos organizadores de la Matemática escolar) y los or-ganizadores pedagógico-didácticos (que organizanla propuesta del aula o sea, la planificación anual).

Estamos convencídos de que todas las cuestio-nes no se pueden tratar simultáneamente, en es-pecial cuando ellas son de diferente naturaleza yde distinto nivel de concreción.

En la matriz de contenidos para cada año del Ciclo ypara cada apartado, aparece nuevamente la colum-na vacía. Sigue teniendo el mismo significado que ledimos en el Fascículo 7: es de carácter figurativo ytiene que ver con los otros niveles de especificación.Con la información suministrada por las otras colum-nas (Saber, Saber-Hacer, Saber-Herramienta) el do-cente puede confeccionar secuencias de actividadesde aprendizaje, que forman parte de su Proyecto áu-lico (curriculum real).

Reiteramos que los espacios vacíos que se obser-van en cualquier matriz curricular, no se deben inter-pretar como una ausencia de saberes o de saberes-

DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS’ GOBIERNO DE MENDOZA27


hacer, sino como una complejización de los mismos, sicorresponden a un año siguiente. En otros casos se re-cuperan en otros apartados, relacionados con otrossaberes.Ya hemos dicho en muchas ocasiones la imposibilidadde establecer límites y separaciones muy estrictas. Muypor el contrario, a medida que se avanza en la organi-zación aparecen de manera más evidente las relacio-nes entre los distintos campos conceptuales sobre loscuales se presenta la matemática y en particular, la mate-mática escolar. En general, vamos formando y comple-tando nuestras redes conceptuales, que se modifican yreestructuran a lo largo de todos nuestros aprendizajes.

Al presentar la SEPARATA con las tres matrices del Ci-clo, (una para cada año), correspondientes al mismo apar-tado, aparecen visualmente las relaciones verticales y ho-rizontales que aseguran la continuidad de los aprendiza-jes, no sólo dentro del mismo año de la escolaridad, sinoa través de períodos más o menos largos (Ciclo, E.G.B.,Polimodal, . ..). Esa es la ventaja de la presentación con-junta, que ha sido muy valorada y muy bien interpre-tada por los docentes. Por ésa y por otras razones(una visión generalizada para realizar la planificación deactividades áulicas, entre otras cosas), decidimos pre-sentar nuevamente esta SEPARATA.Algo similar podemos decir con respecto a la SEPARA-TA con las Expectativas de logros (lineamientos de acre-

ditación) de cada Ciclo. Insistimos en que el docentede cada Ciclo debe conocer lo que se propone para losotros. Es sin duda una nueva forma de trabajo que nosobliga a actuar pensando en nuestros alumnos, con elfin de evitar enseñanzas y aprendizajes fragmentados,dentro del año, dentro del Ciclo, dentro del Nivel y entreNiveles. Por supuesto que las SEPARATAS por sí so-las no son suficientes, pero representan un primer pasopara que los docentes reflexionen sobre lo dicho.

La presentación de los tres apartados en forma sepa-rada tiene sus razones en el Segundo Nivel de espe-cificación curricular, pero en la Planificación Didác-tica tendrán que integrarse adecuadamente, evi-tando yuxtaposiciones.

Hemos hablado, y volvemos a hacerlo, de la organiza-ción institucional por Ciclo y de la organización anualpara cada año del Ciclo.Es en esos niveles, a cargo de los docentes, enlos cuales deben explicitarse:

- la relación de los contenidos entre los aparta-dos que organizan la Matemática escolar a niveljurisdiccional,

- y las posibles relaciones con otros campos delsaber.


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Hay que integrar:

- en el seno de la misma Matemáti-ca;

- externamente, con otros camposdel saber y de su mundo;- vertical y horizontalmente, en losdiferentes niveles de la escolaridud

Nuevamente queremos referirnos al modelo pe-dagógico de la tríada al que mencionamos en lapágina 24 del Fascículo 7 : La Matemática en elNivel Inicial y en el Primer Ciclo de la E.G.B.,(Segunda parte).De dicho modelo surgen, entre otras, dos metascomplementarias de naturaleza diferente:

- Por un lado, revalorizar y enriquecer el conteni-do (en sentido amplio), poniendo de manifiestola potencia unificadora y simplificadora del pen-samiento matemático, de manera de elevar el ni-vel de comprensión de cada individuo y el domi-nio y el conocimiento del mundo exterior que laMatemática favorece.

- Por otro, mejorar el proceso de aprendizaje decada niño e introducir, desde temprana edad;actividades de componente matemática’ que sonla base de la construcción de ‘nociones matemá-ticas.

¿Y el DOCENTE?El DOCENTE juega, en distintos niveles, unrol importantísimo. Es sin duda un protago-nista irreemplazable para que los alumnos,logren estas dos metas complementarias y denaturaleza diferente.


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Antes de pasara considerar los apartados presentamosun esquema que tiene que ver con los tramos de la esco-laridad que estamos transitando, destacando las priori-dades propuestas en cada uno de ellos.

De ahí nuestra insistencia permanente en un hecho muyimportante :

El docente de EGB 2 debe conocer cuáles son losaprendizajes matemáticos fundamentales correspon-dientes al Ciclo anterior. También debe interiorizarse delos aprendizajes que serán objeto de sistematizaciónen EGB 3.

Inicial

Los organizadores disciplinares (puntos fuertes) en lasmatrices de contenidos, la interpretación de lasSeparatas para los Ciclos, la Separata de las Expecta-tivas de logro (Criterios de acreditación) para cada Ci-clo, y las columnas (grisadas) de SABERES-HERRA-MIENTA o indicadores de logro, son algunos recursosque proponemos, para ir logrando gradualmente una re-

La propuesta curricular que nos ocupa corresponde al se-gundo tramo de la EGB y con respecto a él considera-

novación curricular exitosa en la cual todos estamos com-

mos que:prometidos, pero muy especialmente los docentes que

El propósito básico de EGB2, es afianzar y profun-se desempeñan con esfuerzo, idoneidad y vocación de

dizar. los aprendizajes matemáticos fundamentalesservicio en las aulas de nuestras escuelas provinciales.

iniciados en los años anteriores de la escolaridad.Hemos tenido muchas ocasiones de compartir con ellosdiversas instancias de trabajo.

D I R E C C I Ó N G E N E R A L D E E S C U E L A S GOBIERNO DE MENDOZA


“ Si le das un pescado a unhombre, lo alimentas por undía. Si le enseñas a pescar loalimentas para toda la vida. ”

Proverbio oriental

El apartadoACTIVIDADES NUMÉRICAS

- Expectativas de logro (Criterios deacreditación) para el Segundo Ciclo

- El apartado para cada año del Ciclo



2 Hablemos del apartado ACTIVIDADESNUMÉRICAS en el Segundo Ciclo de laEGB.

a) Expectativas de logros para EGB 2, correspon-dientes al apartado.En este apartado convergen los contenidos de los blo-ques de los CBC: 1, Número; 2, Operaciones y 6, Es-tadística y Probabilidad.En el Nivel Inicial, el Bloque 5, Mediciones se incorpo-ró al apartado Actividades numéricas, atendiendo a lasrazones que dimos oportunamente. En el Primer Ciclo,los contenidos de ese bloque se tratan tanto en el apar-tado Actividades numéricas, como en el apartado Ac-tividades geométricas. En efecto, en esos años de laescolaridad aparecen, de manera informal, algunasmagnitudes geométricas mensurables sencillas.En el Segundo Ciclo, hemos procedido de manera si-milar.

Uno de los propósitos básicos de la EGB, es la recons-trucción de los significados de los diferentes objetosmatemáticos, la que se logra en sucesivos y crecien-tes niveles de abstracción a partir, básicamente, de suuso en situaciones de índole diversa, cotidianas o cien-tífico-técnicas.Entre esos objetos matemáticos merecen especialatención los números, sus propiedades y los cálculosentre ellos. En efecto, basta tener en cuenta que “la

Matemática se edifica sobre el concepto de número,

lo que da origen a la aritmética, y sobre el conceptode forma, la que da origen a la geometría.En muchas ocasiones ambos conceptos se relacio-nan y aparecen, por ejemplo, interesantes propieda-des de los números que tienen que ver con la formade las figuras geométricas“.Cabe señalar que cada vez más, los dos camposconceptuales mencionados se han ido relacionando;de ahí que en la enseñanza sea conveniente tener entodo momento, presentes a ambos.Lo dicho queda en evidencia en nuestra propuesta:hay objetos que están considerados simultáneamen-te en los apartados relativos a esos dos campos con-

ceptuales. Por ejemplo, es posible dar significado a los cálcu-

los numéricos recurriendo a situaciones geométricas;al mismo tiempo, la geometría debe aprovecharsepara motivar y practicar cuestiones aritméticas.También es cierto que a medida que avanzamos enla escolaridad se hace necesario establecer unamayor división entre dichos campos, porque se pre-tende una mejor ordenación de los contenidos. En fin,es preciso conciliar ambos puntos de vista. Lo ciertoes que estamos en un Ciclo en el cual uno de los pro-pósitos es “matematizar “, cada vez más, los obje-tos concretos, que fueron punto de partida de losaprendizajes de los años anteriores. Ahora hay queempezara mirar los mismos objetos desde la óptica


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de un modelo matemático, aún cuando todavíase sigan realizando en muchas ocasiones, tam-bién en forma experimental.

¿Con qué números va trabajar el niño en el Se-gundo Ciclo?.Por lo pronto seguirá usando los números natu-rales, es decir, los números del conjunto IN, quese introdujeron en el Nivel Inicial para llegar, alculminar EGB 2, al manejo de los que tienen, porlo menos, un número de cifras del orden de 10(7).Es usual decir que ésos son los números natura-les “grandes”. Hay que conocer sus designa-ciones orales y escritas, en cifras y letras,porcuanto las reglas de la numeración oral no sonlas mismas que las de la numeración escrita. Eneste último caso, hay que aprender escrituras enletras y en cifras, siguiendo la codificación del,sistema de numeración decimal.Los números decimales positivos, elementos delconjunto ID+, son objeto de tratamiento especialen este Ciclo. En EGB 1 sólo se interpretaronalgunos de ellos: los que son de uso corriente.Escritos con escritura cifrada, aparecen sus de-signaciones siguiendo reglas de numeración si-milares a las conocidas. Otra ventaja de presen-tarlos con escritura posicional consiste en quelos algoritmos para los cálculos básicos con ellos,

se presentan como una extensión de los quese manejan con los números naturales.En el Segundo Ciclo también aparecen los nú-meros fraccionarios positivos, es decir, del con-,junto Q+.Los signos usados comunmente para represen-tarlos son las fracciones. También se los puedeescribir con escritura posicional, pero salvo elcaso de los números decimales, que a su vez sonnúmeros fraccionarios, conviene la escriturafraccionaria porque facilita los cálculos. Los nú-meros fraccionarios positivos son elementos delconjunto Q, de los números racionales.Finalmente, se introducen algunos números queno son racionales, como es el caso del número nPor lo dicho, el niño que transita EGB 2 va teneruna presentación informal e intuitiva de todos losconjuntos numéricos que son subconjuntos de IR,vale decir, del conjunto de los números reales.Al abordar los números se pretende en EGB 2,profundizar y consolidar las nociones relativas alsistema de numeración decimal. Por lo pronto hayque analizar sus ventajas con respecto a otrossistemas de numeración (posicionales o conagrupamientos). Los contrastes y las analogíasdeben ser mostradas para mejor comprensión delas reglas que usamos. Proponemos que el do-cente valorice este contenido por sus proyeccio-


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nes en el aprendizaje de otros temas. Al respecto, su-gerimos la revisión de las prácticas docentes relacio-nadas con el tema, lo cual va a facilitar la elaboraciónde variadas y ricas actividades que permitan una mejorcomprensión del mismo y de sus usos.Los cálculos en los diferentes conjuntos numéricos, yasean mentales, escritos, exactos, reflexivos, aproxima-dos, con calculadoras u ordenadores se complejizan, yhabrá que buscar recursos para interesar a los niños enprofundizar sus técnicas algorítmicas, comprendiéndo-las y reconociendo sus ventajas y propiedades.El alumno tiene que aprender a conducir cálculos conlos instrumentos que brinda la actual tecnología, deci-diendo en qué situaciones es conveniente su uso.En lo que hace a cuestiones numéricas hay abundantesejemplos de curiosidades, que son fáciles de encontraren los libros de matemática recreativa. Muchas veces,aparecen en libros y en revistas destinadas al públicoen general.Un tema importante en el Segundo Ciclo es la división.Aparece la división entera, el cálculo de cocientes en-teros y la relación entre dividendo, divisor, cociente yresto. La división exacta se trata como un caso particu-lar de aquélla. Tan importante es aprender el algoritmode la división como reconocer las situaciones que pue-den ser tratadas con división.Por otra parte, el alumno tendrá que extender el algorit-mo de la división entera a los otros casos que se le pue-

den presentar: dividir un decimal por un número natural,dos decimales entre sí, . . . .En lo que hace a nociones vinculadas con lo numérico,no podemos dejar de mencionar las relativas a la rela-ción de orden en cada uno de los conjuntos de que setrate.Si bien la relación no se aborda de manera explicita,está presente al tener que comparar, ordenare interca-lar números entre otros dados. No es lo mismo compa-rar dos números naturales, que dos números decima-les positivos o, dos números fraccionarios no decima-les, . . . En cada una de esas situaciones subyacen dife-rentes nociones. También aparece otra importante re-lación: la divisibilidad. Es ejemplo de relación de ordenLos problemas de encuadramiento, aproximación ytruncadura se asocian, especialmente, con los de me-dición y medida, entre otras cosas. Es decir, el niño vaa usar los números decimales y los números frac-cionarios para codificar la medida de las diferentesmagnitudes que aparecen. De ahí la necesidad de lasaproximaciones y encuadramientos señalados. Lo mis-mo con respecto a números no racionales, como lo esel número n. Hay que conocer cómo encuadrarlo y cómoaproximarlo, en el momento de enfrentar problemas quetienen que ver, por ejemplo, con la longitud de una cir-cunferencia o con el área de un disco o círculo.En cuanto a la medida y la medición, aparecen tanto eneste apartado como en el de las Actividades geométri-

DIRECCIÓNGENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA34


cas. Desde el punto de vista de lo numérico hay pio por las medidas de las magnitudes das por laque poner énfasis en el aspecto del manejo de los experiencia, a menudo por la interme-diación de losnúmeros para codificar las medidas, así como los instrumentos de medición y, por lo tanto, la preci-cálculos con ellas, (suma de longitudes, por ejem-plo), las equivalencias, las aproximaciones, el ma-

sión es limitada. En general, el físico para trabajarsobre las medidas, se limita a usar los números de-

nejo y uso de los números que operan en el siste-ma sexagesimal para medidas de tiempo (en ho-ras, minutos, segundos y fracciones). Algunos au-tores les dan el nombre de números complejos. Pen-samos que la denominación no es muy feliz, por-que también se llaman números complejos los queamplían los números reales, formados por doscompontes, una parte real y otra parte, llamadaimaginaria. Lo cierto es que se trata de númerosacompañados con unidades, con los cuales sehacen cálculos, algunos de los cuales se basan enlas mismas reglas del sistema de numeración de-cimal. Reiteramos que la medida también se abor-da en otro apartado, en relación con las magnitu-des geométricas. Sabemos que el concepto de me-dida va en la enseñanza desarrollándose desdetres ópticas. En las primeras etapas de la escolari-dad está relacionado con el punto de vista sicológico. Es inseparable del concepto de "canti-dad”, invariante y conservación. En los años si-guientes, tiene que ver con el punto de vista delfísico. Este concepto es diferente del de la mate-mática. En efecto, el físico se interesa, en princi-


cimales, con más o menos cifras después de lacoma, lo que depende de la precisión deseada oposible.Por supuesto que el físico que experimenta (usan-do instrumentos de medición), también es un mate-mático, porque su proyecto es usar o crear mode-los que le permitan explicar, prever y anticipar, encuyo caso, utiliza números reales.En EGB 2 se continúan las nociones de Combi-natoria, de Probabilidades y de Estadística que seiniciaron, de manera muy informal, en el ciclo ante-rior. Tampoco se pretende ahora una gran for-malización. En lo que hace a la Combinatoria seprofundizan los recuentos sitemáticos de casos,usando los Principios de conteo. El alumno debeempezara distinguir los arreglos, las permutacionesy las combinaciones, al tener que resolver proble-mas que son de su entorno cotidiano. El uso dediagramas, en especial los de Venn y los arbolares,facilita la comprensión de las nociones matemáti-cas subyacentes.Con respecto 3 la Probabilidad, se continúa con lanoción de suceso (como subconjunto de un espa-

GOBIERNO DE MENDOZA35


cio de resultados) y se le asignan números, en determi-nadas condiciones, que “miden” su probabilidad.Solamente proponemos abordar la noción clásica de pro-babilidad que permite resolver problemas simples, en loscuales los casos favorables y posibles se cuentan direc-tamente.Referente a la Estadística (descriptiva) se prosigue conla recolección, ordenación, representación e interpreta-ción de datos, provenientes de contextos diferentes. Eluso de tablas, diagramas, .., se debe ver favorecido por-que se trata de recursos interesantes para manejar la in-formación, que es un propósito fundamental.El análisis de los datos se continúa con la introducciónde algunas medidas de tendencia central: media aritmé-tica, mediana y moda. Ellas se pueden abordar porque elalumno maneja los números decimales positivos.Hemos dejado para el final la mención de una noción muyimportante: la de función numérica. Será tratada espe-cialmente más adelante, y también en el apartado Activi-dades lógicas y de la comunicación.

oResolver situaciones-problema que im-pliquen en diferentes contextos:

(1) Usar los números naturales y los núme-ros fraccionarios positivos, en particular,los números decimales positivos, que apa-recen en la vida cotidiana (para contar,comparar, ordenar,...).

(2) Usar la sucesión de números natura-les, en forma oral y escrita, reconociendosus propiedades.

(3) Leer y escribir, con distintas escrituras,los números naturales y los númerosfraccionarios positivos, en particular, losnúmeros decimales positivos, usando lasreglas del sistema posicional decimal.

(4) Representar en la recta numérica, nú-meros naturales y números fraccionariospositivos simples, en particular, númerosdecimales positivos simples.

Las cuestiones que venimos de considerar permiten in-terpretar mejor las Expectativas de logro (Criterios deacreditación), propuestas para EGB 2.Algunos temas específicos, relacionados con los organi-zadores disciplinarios, serán abordados a continuación,en el parágrado (b).


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(5) Comparar, ordenar, y realizar encuadramientos, aproximaciones y trunca-

mientos de números naturales y númerosfraccionarios positivos, en particular, núme-ros decimales positivos, con escritura cifra-da.

(6) Interpretar y usar nociones básicas dedivisibilidad en el conjunto de los númerosnaturales (números primos y compuestos,factorización en números primos, divisoresy múltiplos, la aritmética del reloj,...)

0Resolver situaciones-problema que im-

pliquen en diferentes contextos:

(7) Comprender y hacer cálculos básicos(exactos, aproximados y estimados), connúmeros naturales y números fraccio-narios positivos, en particular números de-cimales positivos, en forma mental, escrita,con calculadora y computadora, recono-ciendo las propiedades de los mismos.

(8) Interpretar y usar ecuaciones e inecua-ciones simples, con números naturales ynúmeros decimales positivos.

(9) Interpretar, usar y representar relacio-nes y funciones numéricas, (proporciona-lidad, . ..). mediante distintos recursos (ta-blas, gráficos, esquemas funcionales,diagramas,...).

(10) Usar fracciones para designar una ra-zón entre dos números naturales, (el se-gundo no nulo), para designar un coeficien-te de proporcionalidad y para señalar la re-lación entre una parte y el todo.

O Resolver situaciones-problema queimpliquen en diferentes contextos:

(11 ) Usar los principios del conteo y diagra-mas (de Venn, de árbol, . ..) para hacer re-cuentos sistemáticos.

(12) Usar nociones de probabilidad experi-mental y teórica.



(13) Usar nociones de estadística descrip-tiva para interpretar y comunicar informa-ción matemática o no (recolección y orga-nización de datos, confección de tablas,diagramas, . ..) y determinar las medidas detendencia central (media, moda y mediana)de un conjunto de datos.

0Resolver situaciones-problemas que im-

pliquen en diferentes contextos:

(14) Reconocer, comparar, estimar, mediry calcular cantidades de longitud, exten-sión superficial (en el plano y en el espa-cio), extensión espacial, capacidad, masa(peso), usando unidades convencionalesuniversales y sus equivalencias, y utilizarcorrectamente los instrumentos de medi-ción.

(15) Usar el sistema sexagesimal para me-didas de tiempo y de ángulos (sectoria-les), conversiones y cálculos.

b) Consideraciones generales relativas a los or-ganizadores disciplinares de las matrices de con-tenidos.

Las consideraciones que pasamos a formular tienendos propósitos:

- por un lado, permiten una mejor interpretación de lasExpectativas de logro (Criterios de acreditación) parael Ciclo, en lo que hace al apartado Actividades Numé-ricas, completando lo dicho en la presentación,

- por otro, van a favorecer, sin duda, una reflexión sobrelos saberes a enseñar.

De alguna manera pretendemos que el docente puedadar respuesta a cuestiones como éstas:¿Qué lugar, qué importancia se le acuerda en este Ci-clo a cada uno de los elementos del saber selecciona-dos como organizadores de la disciplina escolar?.¿Cómo organizar, reagrupar y complejizar los distintoselementos del saber propuestos para el aprendizaje delos alumnos de EGB 2?¿Cómo programar su enseñanza sobre un período lar-go como puede ser el Ciclo, por ejemplo?Pensamos que tales reflexiones se tornan esen-ciales si estamos convencidos de que la apropia-ción de los conocimientos debe inscribirse en unadoble continuidad: la que relaciona a los conoci-mientos entre sí y la que se interesa por su apro-piación en un largo tiempo.



Antes de continuar con el tratamiento de los orga-nizadores reiteramos lo siguiente: en el Nivel Ini-cial y en los años de la EGB 1, fue importante parael niño el manipuleo con objetos reales, pero amedida que éste avanza en la escolaridad, los re-ferentes concretos no deben estar presentes todoel tiempo. De ninguna manera lo dicho significa quesólo interesan las situaciones abstractas.

¿Cuáles son los organizadores de la disciplina alos que vamos a prestarle atención?

Son los siguientes:

0 Los números naturales y la numeración.

0 Las operaciones y el cálculo en IN.

0 Los números decimales positivos y la nu-meración.

0 Las operaciones y el cálculo en ID+.

0 Los números fraccionarios positivos y lanumeración.

0 Las operaciones y el cálculo en Q+

0 El cálculo reflexivo.

0 Las funciones numéricas.

0 La medida y la medición.

0 La Estadística, la Combinatoria y la Probabi-lidad.

Hay otro, como es el caso de Problemas, que ya hasido tratado especialmente en este mismo Fascí-culo.

Por otra parte, teniendo en cuenta los alcances y lospropósitos de esta publicación, sólo nos propone-mos formular consideraciones muy breves.Hicimos una selección de las mismas a los efectosde tener en cuenta sólo las que puedan resultarorientadoras para una primera comprensión globalde lo que se pretende para estas nociones en esteCiclo. Somos conscientes de que ello no es suficiente,pero es un primer acercamiento a la renovacióncurricular en Matemática en la cual estamos empe-ñados y a la que todos, especialmente los docen-tes, están dedicando mucho esfuerzo con el único propósito de mejorar los aprendizajes matemáticosde los niños, en este caso, numéricos.


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* Los números naturales y la numeración.

Se trata de un organizador de la disciplina, que comenzóen el Nivel Inicial. Proponemos para el Segundo Ciclo unestudio importante tanto de las reglas subyacentes de lasdesignaciones de los números naturales, (sea en nume-ración oral o escrita), como de las reglas de compara-ción, (lo que conducirá a las actividades de ordenamien-to, de intercalación, de encuadramiento, . ..). La propues-ta consiste en consolidar las adquisiciones que los niñoshicieron en el ciclo anterior. En efecto, al terminar EGB 1está previsto que conozcan las designaciones de los nú-meros hasta por lo menos 10.000 y que al finalizar EGB2, lo hagan con respecto a los “grandes” números natura-les. Lo que varia sólo es el "tamaño”de los números.¿Cómo surgió a través del tiempo el problema de lasdesignaciones de los números? Construido el conjun-to IN de los números naturales, pronto apareció la do-ble cuestión de nombrar y de escribir los números. Esevidente la imposibilidad de inventar un nombre y unsigno para cada uno de los infinitos números.¿Cómo se resolvió ese problema? Creando un con-junto finito de signos, el alfabeto, y una serie de reglasde empleo de esos signos, el código, con el fin de ex-presar un número cualquiera por medio de esos sig-nos. Es el problema de la numeración. Las solucionessuministradas a través de la historia son muy diversas yesencialmente han aparecido dos tipos de numeración:

- las numeraciones no posicionales;- las numeraciones posicionales.

Nuestro sistema de numeración usual es el llamadosistema de numeración decimal. Mediante el mis-mo, podemos leer y escribir todos los infinitos núme-ros naturales, por “grandes” que sean.El alfabeto del sistema es el conjunto finito

(0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 )Cada elemento de este conjunto (base) se llama ci-fray juega el mismo papel que una letra del alfabeto(no debemos confundir cifra y número).Ahora bien, las reglas para nombrar un número (nu-meración oral) no son las mismas que para escribirloen forma cifrada (numeración escrita). Basta decirque en el primer caso, nuestra numeración pertene-ce a las numeraciones híbridas. En cambio la nu-meración escrita, pertenece a los sistemas de nu-meración de posición. Esta última caracteristicase traduce por el hecho de que en la escriturapolinómica de un número, cada cifra corresponde aun coeficiente de una potencia de 10.Por ejemplo, sea el número 3567. Escrito en formaexpandida o polinomial es:

3 x 1 03+ 5 x 1 02+ 6 x 1 0 ’+ 7 x 1 0 0

Por otra parte, durante los tres años del Ciclo, losalumnos deben aprender a comparar nuestro siste-ma con otros. Mediante el estudio de la numeración


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egipcia, por ejemplo, se comprenden mejor losdiferentes tipos de agrupamientos de la nume-ración decimal : unidades, decenas, centenas,. . . y mediante la numeración maya, se interpretamejor el papel del cero en la escritura de los nú-meros.En este mismo organizador están contempladasotras importantes funciones de los números na-turales : sirven para comparar y para ordenar.De ahí que se pretenda que en EGB 2, el niñoadquiera mayor dominio sobre las reglas de com-paración (ordinal y cardinal) y de los criterios deordenamiento. Tiene que aprender a codificarlos’ resultados de la comparación (cardinal) delos números “grandes”, usando los signos ade-cuados : < , > , = ,y sus respectivas nega-ciones. Algo similar ocurrecuando emplea crite-rios ordinales (primero, segundo, . ..). La compa-ración de números debe hacerse a partir de susnombres y de sus escrituras cifradas (con el mis-mo o no, número de cifras). El ordenamiento sepuede proponer en forma creciente o decrecien-te, usando números de cinco cifras o más, da-dos por sus nombres y por sus escrituras cifra-das. En este Ciclo aparecen de manera máscomplejizada, los problemas de aproximacióno redondeo, y de encuadramientos.Por ejemplo, aproximar el número 13970 a la uni-

dad de mil más próxima. Como el dígito de lascentenas (9), es mayor que 5 se suma 1 a lasunidades de mil, y se reemplazan con ceros to-dos los dígitos a la derecha de tales unidades.Luego, el número 13970 aproximado a la uni-dad de mil más próxima, es 14000.Hay que aprender a encuadrar números entredos números naturales dados. Por ejemplo, esinteresante el encuadramiento de un número en-tre potencias de 10, como en el caso siguiente:

1 03<2345<10 4

La recta numérica y la ubicación de los núme-ros naturales en ella, son cuestiones que no sedeben descuidar porque permiten tener unaimagen geométrica para IN es decir, permi-ten asociara cada número natural un punto deuna recta en la cual, previamente, se fijó unaescala.

0 Las operaciones y el cálculo en IN.

Otro punto fuerte corresponde a las operacio-nes y al cálculo en IN. Se trata de otro impor-tante organizador de la disciplina escolar.Lo primero es destacar la diferencia que hayen el significado de ambos términos: opera-ciones y cálculo.Cuando usamos en este contexto la palabra ope-


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ración, le estamos dando el significado que tiene enMatemática, es decir, alude a un caso particular defunción. Siendo una función debe cumplir con dos re-quisitos : existencia y unicidad. Poe esa razón deci-mos que la suma o adición y la multiplicación son lasúnicas operaciones usuales definidas en IN. Noocurre lo mismo con la sustracción: no que se verificala condición de existencia. En efecto, al par ordenado(5,3) le corresponde el número natural 5-3 = 2, en tantoque no ocurre lo mismo con el par ordenado (1,3): 1-3no representa ningún número natural. Sin embargo, in-teresan los cálculos básicos o fundamentales, em-pleando números naturales. Podemos hacer sumas,restas (cuando el minuendo es mayor o igual que elsustraendo), multiplicaciones y divisiones enteras conciertas restricciones. Esos cálculos pueden ser men-tales, escritos, exactos, aproximados, reflexivos, concalculadora, con ordenador, . . .Para los cálculos básicos hay algoritmos estan-darizados o convencionales que deben ser presenta-dos a los alumnos cuando su introducción se justifi-que. Acaso, antes de aprender el algoritmo de la divi-sión, ¿no puede un niño resolver situaciones de divi-sión haciendo restas reiteradas? .Los algoritmos de la suma, resta y multiplicación, hansido objeto de estudio en el Ciclo anterior. Ahora hayque afianzarlos usando números “grandes” . Lo queconsideramos muy importante en EGB 2 es el proble-

ma de la división entera, tanto de la noción como delalgoritmo.Ya hemos destacado el valor que tiene el cálculo re-flexivo. Nos referiremos a él en otro organizador.Para mejorar las técnicas para hacer cálculos, elalumno tiene que asegurarse el conocimiento dehechos numéricos de base, lo cual vale, tanto parael manipuleo de los algoritmos convencionales, comopara los procedimientos personales. Lo dicho signi-fica que hay que disponer de un repertorio de resul-tados conocidos, o rapidamente reconstruibles, y dealgunos procedimientos “rutinizados”, para lo cualno hay que descartar los trabajos sobre la me-moria.Se debe permitir el libre acceso a la calculadora y alas computadoras, lo cual no significa descuidar lastécnicas operatorias usuales ni los procedimientosdel cálculo reflexivo. Más aún, éstos últimos se venfavorecidos cuando hay que manejar una calculado-ra.En lo que respecta a la división entera, al finalizar EGB2, el niño se propone que los niños manejen expre-siones del tipo:a=(bxq)+r,conr<bybxq(1) La expresión (1) proviene de la división entera oeuclidiana de los números naturales a y b (bno=0).En efecto, efectuar la división euclidiana de a por b,es encontrar los números q y r que verifican el siste-


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ma:a = b x q + r y O# r c b

El número a se llama dividendo, b es el divisor,q es el cociente entero o euclidiano, r es elresto.Cuando el resto es cero, decimos que se trata deuna división exacta.Recordemos que :

O:b=O, para todo b # OLa división de un número natural por 0 esimposible.

El niño tiene que aprender a reconocer y en-contrar los divisores y los múltiplos de un nú-mero natural. Con los primeros forma un con-junto finito. No ocurre así con los múltiplos. Tam-bién debe aprender a reconocer y encontrarnúmeros primos y compuestos y a expresartodo número natural diferente de 0, 1 y 2, comoproducto de factores primos.Hay interesantes problemas relacionados conla divisibilidad. Se trata de un tema muy impor-tante de la Aritmética.

Resulta interesante que el alumno conozca di-versas técnicas o algoritmos para dividir. 0 Los números decimales positivos y la

numeración.Antes de finalizar las consideraciones de esteorganizador destacamos que en EGB 2 intere-san las nociones de divisor o factor de un nú-mero natural y la de múltiplo.Decir que un número natural b divide a otro nú-mero natural a, lo cual se anota b 1 a , significaque existe un número natural c tal que b = c x a.Por ejemplo, 3 9 , pero 2-t+5 (2 no divide a 5)El conjunto de los pares ordenados (x,y) quesatisfacen esa condición, es un subconjunto deIN x IN. Se trata de una relación, llamadadivisibilidad en IN. La relación inversa es lade múltiplo en IN. En EGB 2 no hay que ha-blar explícitamente de ellas.

En EGB 1 aparecieron los primeros númerosdecimales positivos con escritura cifrada.Estos números que forman el conjunto ID+ sonmuy importantes en este Ciclo de la escolari-dad. Se trata de los números que, escritos conescritura cifrada, se caracterizan por tener“coma” y presentar, después de ella, un núme-ro finito de cifras decimales.Por ejemplo, los siguientes números con“coma” : 0,34 ; 1,24 ; 56,758 son números deci-males positivos.Pero 1 cuidado!!! que 2,33... ; 0,1515... no sonnúmeros decimales, aún cuando digamos que


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están representados con escritura decimal. Aún siendodistintos tienen en común que ambos aparecen al dividirdos números naturales (el segundo no nulo), continuandola división hasta encontrar un cociente con parte entera yparte decimal. Estamos diciendo que los cocientes obte-nidos al dividir a por b, llegando a un resto cero, son nú-meros decimales positivos. Cabe destacar que los nú-meros naturales también se consideran números deci-males positivos. Podemos interpretar que aparecen porcomo aquéllos por división. Nada impide representarloscon coma y ceros despúes de ella. Por ejemplo, 2 = 2,0 =2,00 = . . ..Teniendo en cuenta esta interpretación, que apa-renta ser intuitiva pero que se apoya en fundamentos ma-temáticos, el conjunto IN es parte o subconjunto de ID+Para tratar estos números decimales con escritura cifra-da hay que aprender sus denominaciones. El sistema denumeración decimal también brinda reglas para la nume-ración oral y la escrita. Sugerimos que la lectura de losnúmeros decimales se haga destacando la parte enterade la parte decimal. Hay que aprender a reconocer lasunidades de los diversos órdenes que figuran despuésde la coma decimal. Toda cifra escrita inmediatamente ala derecha de otra, después de la coma, representa uni-dades del orden inmediato inferior.Con estos números decimales, el niño comienza a usarnúmeros “pequeños”, que son tan útiles como los núme-ros “grandes”. Especialmente, los va a asociar a las me-didas de ciertas magnitudes que aparecen en EGB 2.

Los números decimales positivos también admiten es-critura fraccionaria. Notará el lector que nuestra deci-sión es presentarlos y usarlos, en un comienzo, con es-critura cifrada. Sin embargo, también es conveniente queel niño conozca la otra manera de representarlos. Lo im-portante es que le quede claro que todo número deci-mal admite infinitas escrituras equivalentes, sea con“coma” o mediante el uso de fracciones. Por ejemplo,

3,4 ; 3,40; 3,400 son tres escrituras cifradas diferentes del mismo nú-mero decimal, por cuanto el número no “cambia” si seagregan ceros a la derecha. Lo mismo con respecto alas escrituras fraccionarias. Por ejemplo,

1/2 ; 5/10 ; 50/100son tres escrituras fraccionarias del mismo número de-cimal.Lo que no está pensado para EGB 2 es que los núme-ros decimales positivos se representen poniendo enjuego las potencias negativas de 10.Todas las cuestiones de la numeración con númerosnaturales, se extienden a los números decimales posi-tivos (canjes, agrupamientos por diez, valor de posición).Aparecen los problemas de aproximación o redondeo,y de encuadramiento, vinculados con la comparacióny el ordenamiento. El algoritmo para aproximar un nú-mero decimal a una unidad de un orden dado es unaextensión del considerado en IN. Lo mismo ocurre conlos encuadramientos. Por ejemplo, 1 c 1,5 < 2 es un


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encuadramiento de 1,5 entre los números natura-les consecutivos 1 y 2. También se pueden hacerotros encuadramientos, como el siguiente:

1<1,5<10,entre potencias de 10 : 1 Oo y 10’En cuarto año, o sea, en el primero de EGB2, pro-ponemos el uso de los números decimales con doscifras decimales, en quinto año, con tres de ellas,y al finalizar el Ciclo, el trabajo con cualquier núme-ro decimal positivo.En fin, hay que tener en cuenta las funciones deestos números: sirven paracomparar y ordenar,pero no sirven para contar, como es el caso delos números naturales. Por supuesto que tienen otrafunción importante : sirven para medir. De ahí quesean usados para codificar las medidas de lasmagnitudes geométricasque se tratarán en el Ci-clo. En cuanto a la funciones anticipar y calcularserán objeto de tratamiento en el próximo organi-zador de la disciplina escolar.Insistimos en que estos números, lo mismo que losnúmeros naturales, aparecen en la enseñanza porel uso. Las funciones y los usos de los núme-

ros decimales no deben ser descuidadas

- Esto de la “coma” no es nada nuevo. En efecto, usada para escribir losnúmeros decimales apareció por primera vez, a principios del siglo 17.- El docente interesado en ampliar nociones referentes a los númerosdecimales puede recurrir al libro Sistemas Numéricos 1, editado en 1993

0 Las operaciones y el cálculo en ID+

Con respecto a las operaciones en el conjunto ID+caben las mismas consideraciones formuladaspara IN. Las dos únicas operaciones aritméticasusuales posibles son la suma o adición y la multi-plicación. En cuanto a los cálculos proponemossumas, restas, multiplicaciones y divisiones (ex-cepto por cero). En las cajas de contenidos estánexplicitados cuáles son los cálculos propuestospara cada año de EGB 2. Por ejemplo, en cuartoaño no se habla de multiplicar dos números deci-males positivos de orden 2. ¿Por qué? El pro-ducto resulta ser un número decimal de orden 4.Luego, no es elemento del conjunto ID+,Sin embargo sugerimos multiplicar un númerodecimal por un número natural. Lo mismo ocurreen quinto año con respecto a las multiplicaciones.Recién en el último año de EGB2 puede multipli-car dos números decimales cualesquiera.Los algoritmos de la suma, resta, multiplicación ydivisión (excepto por cero) manejados en IN, seextienden de manera natural para hacer cálculoscon los números decimales positivos, escritos enforma cifrada, con la ventaja que ello presupone.Fácilmente se reconocen y usan las propiedadesde los cálculos, porque son análogas a las vistas

por la Dirección General de Escuelas de Mendoza. en IN.DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA

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En fin, hay cálculos mentales exactos o aproximados. Eneste Ciclo sugerimos solicitar a los niños que explicitenoralmente o por escrito, los procedimientos usados. Tam-bién hay que asegurar en ellos, un dominio de las técni-cas escritas para cálculos exactos o aproximados. Cadavez más es conveniente aprender a usar calculadora ycomputadora, de manera eficiente y en el momento opor-tuno. Recomendamos que, aparte de los ejercicios rutí-narios, se preste mucha atención a los problemas querequieren el uso de estos números en distintos contex-tos.

l Los números fraccionarios positivos y la numera-ción.

Los primeros números fraccionarios positivos que apa-recen son los números decimales positivos. Ya hemosdicho que estos números admiten escritura fraccionaria.Si volvemos a considerar los casos de división entre dosnúmeros naturales (el segundo no nulo), fácil es ver que,en algunas situaciones el cociente no es un número deci-mal. Sabemos que aveces aparecen infinitas cifras des-pués de la coma y no se llega a resto 0. Se trata de losnúmeros racionales positivos, que no son decimales yadmiten escritura fraccionaria. Son elementos del con-junto Q+ En general se los conoce como fraccionariospositivos, denominación que alude a la forma de repre-sentarlos. Entonces, todo número decimal positivo es

un número racional positivo (denominado númerofraccionario positivo). También es cierto que no todonúmero fraccionario positivo es un número decimal.Para que un número racional positivo sea decimal esnecesario y suficiente que pueda expresarse:

- bajo la forma de una fracción del tipo a2p x5q

donde a, p y q son números naturales cualesquiera.

- bajo la forma cifrada, con un número finito de cifrasdecimales.

Clásicamente en la escuela se daba mucha impor-tancia a los números fraccionarios. En la actuali-dad, el lema de que “la enseñanza debe estar diri-gida a la vida” hace que se recomiende mayor aten-ción a los decimales, que son los números con loscuales se opera, por lo general, en la práctica.“Pocos son los números fraccionarios positivos que seocupan en la vida de relación. Por otra parte, las calcu-ladoras de bolsillo operan en decimales, de manera quees mejor dedicar menos tiempo a los númerosfraccionarios y a su calculatoria complicada, y mástiempo a los decimales”.

Sugerimos la conveniencia de no identificar un nú-mero fraccionario con una fracción.



En efecto, un número fraccionario positivo o racio- to año y se siguen manejando, de manera pro-nal positivo es un elemento del conjunto Q, del cual gresiva en los otros años del Ciclo.ID+ es un subconjunto. En cambio una fracción es Antes de continuar insistimos en el cambio pro-una notación, una escritura del tipo a/b, que tie- puesto:ne diferentes interpretaciones según el contexto. Introducir primero los números decimalesSólo cuando ay b son números naturales, y b es con escritura cifrada, haciéndolos aparecerno nulo, esa escritura representa un número frac- por división. Luego, representarlos con es-cíonario. critura fraccionaria. En lo que sigue, encon-Lo dicho se refuerza con el siguiente ejemplo:n/2 trar cocientes no decimales con infinitas ci-es una fracción que representa un número real no fras decimales periódicas después de laracional. coma. Representarlos con escritura fraccio-Identificar fracción con número fraccionario naria o bien, con escritura cifrada aproxi-es un abuso que se comete, a menudo, en la mada o truncada, con lo cual se resuelve,escuela elemental y que consiste en asimilar a los efectos prácticos, el problema del nú-un concepto con su notación. mero de cifras.Estos nuevos números, entre los cuales están losnúmeros decimales, se ubican en la recta numéri- 0 Las operaciones y el cálculo en Q+ca ocupando puntos que están entre los puntosasociados a los números naturales. ¿Cuáles son las opericiones que están defini-Hay que aprender a designarlos, tanto por sus es- das en el conjunto de los números racionalestrituras fraccionarias como posicionales. En este positivos?. último caso, salvo los números decimales, presen- Teniendo en cuenta el significado que le atri-tan infinitas cifras periódicas después de la coma buirnos a la palabra operación, solamente haydecimal. De ahí la necesidad de conocer las re- dos entre las usuales: la adición y la multiplica-glas de aproximación, de encuadramientos y de ción.trundaduras. Son similares a las ya conocidas. Sir- ¿Qué cálculos proponemos para EGB2?. Su-ven también para comparar y ordenar, lo mismo mas, restas, productos y divisiones (exceptoque para medir. Se introducen por el uso en cuat- por 0) con escritura fraccionaria o bien, con es-

DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA4 7


tritura cifrada. No obstante, para los cálculos con nú-meros fraccionarios no decimales, es conveniente usar-los mediante sus representaciones fraccionarias por-que en la otra escritura tienen infinitas cifras decima-les periódicas. En el caso en que se requiera la escri-tura posicional, previamente hay que aproximar (redon-dear) a una unidad de un orden dado.

También se puede truncar.Atención!!! Truncar no es lo mismo que aproximar oredondear. Por ejemplo, 28,37 con una aproximaciónde orden 0,1 es 28,4 y truncar con el mismo error es28,3. Evidentemente, 28,4 # 28,3.

Se recomienda la presentación de problemas en loscuales la solución pretendida esté expresada de ma-nera aproximada, con un orden de aproximación fijadopreviamente.

0 Cálculo reflexivo

Anteriormente ya hemos mencionado ciertas catego-rías de cálculo, por ejemplo, cálculo mental y cálculoescrito. Sin embargo, no estamos muy convencidos deque exista una neta distinción entre ambos. Cuando elque calcula lo hace escribiendo el cálculo, está simul-táneamente haciendo el esfuerzo de “poner el cálculoen su cabeza”. Por otra parte, para efectuar “ mental-

mente un cálculo resulta útil, aveces, anotar algunosresultados intermedios, para continuar luego hacien-do el cálculo mental restante.Nos parece más acertado distinguir el “cálculo auto-mático” del cálculo reflexivo o cálculo pensado”.¿Cuál es la característica del cálculo automático omecánico? Su característica básica es el empleosistemático, cualesquiera que sean los números, paraun cálculo dado, de un algoritmo único. Puede hacer-se mediante distintos materiales: una técnica escri-ta, una calculadora,...) o por una regla de cálculo men-tal. Con dicho tipo de cálculo se espera eficiencia,rapidez, fiabilidad, economía en la memorización delos procedimientos, . . . Sin embargo, ¿qué ocurrecuando no se lo practica frecuentemente?. Sabemosbien qué es lo que ocurre: se lo olvida totalmente!!!Eso es lo que pasa, por ejemplo, con el algoritmo dela división o con el de la extracción de raices cua-dradas. La mayoría de los adultos los tienen olvida-dos.El cálculo reflexivo o pensado es de otra clase. Por lopronto es eminentemente personal. Para cada pro-blema el alumno tiene que darse cuenta que algunoscálculos son más simples que otros y que a veces,hasta conviene seguir un camino más largo pero me-nos tortuoso.Se trata de un género de actividad que prioriza el sig-nificado de los cálculos intermedios y facilita la pos-


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terior asimilación de los algoritmos.Veamos un ejemplo:

347X 399138800 347 x 400

-347 347x-l138453

La escuela ha privilegiado, y sigue haciéndolo, elcálculo automático. Con ello se pierde la oportuni-dad de que los niños aprendan a calcular inteligen-temente. De ninguna manera pretendemos des-acreditar el uso y comprensión de los algoritmosconvencionales o estandarizados. Por el contrario,en nuestra propuesta están muy valorizados. Lo úni-co que proponemos es que también se tenga encuenta este punto de vista según el cual los alum-nos defienden su individualidad, y cuando trabajanen grupo, se acostumbran a justificar su propues-ta, pero también tienen ocasión de adherirse a lassoluciones propuestas por otros.

0 La función numérica.

En el apartado Actividades Lógicas y de la Comu-nicación formulamos consideraciones acerca delas funciones y, en particular, de las funciones nu-méricas.Este organizador está referido a una noción bási-

de la Matemática a la cual se pretende llegar porsucesivas aproximaciones a lo largo de la es-colaridad.En EGB 2 se propone la descripción de funcio-nes con la ayuda de cuadros y gráficos, la lectu-ra y comparación de gráficos asociados a fun-ciones, el uso y explicitación de ciertas propie-dades de las funciones numéricas, un ciertomanejo de las notaciones convencionales y lainiciación a la noción de composición de funcio-nes.En especial pensamos en la proporcionalidady su relación con lafunción lineal.En realidad la noción de proporcionalidad y suaplicación a los problemas de “regla de tres” seaborda actualmente en la escuela elemental.Sobre estas cuestiones hay mucho por decir,pero su tratamiento escapa al alcance de estapublicación., Recordemos que el alumno se ini-cia en esta noción tratando sucesiones de nú-meros proporcionales, en las cuales hay un co-eficiente de proporcionalidad, (k), que puedeser un número natural, un número decimal, unnúmero racional o un número real. Esas suce-siones se presentan, generalmente, en cuadros.o tablas. Eligiendo dos cuplas cualesquiera delas sucesiones, nos encontramos con el caso par-titular de una “proporción”.


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La noción de sucesiones proporcionales está bastante“próxima”a la noción de función lineal. Una función li-neal es del tipo

f: IR + IRx 3 a . x

donde a es un número real Ilamado coeficiente delinealidad.Tomemos a = 1,5. La función lineal de coeficiente a = 1,5es f: IR 3 IR

x 2,5 . xConsiderando algunos elementos del dominio y sus co-rrespondientes imágenes, podemos construir una suce-sión de números proporcionales, disponiéndola, por ejem-plo, en una tabla. Por supuesto que, de una misma fun-ción lineal, se pueden construir variadas sucesiones pro-porcionales. También es evidente que, de una sucesiónproporcional también podemos definir una función lineal,cuyo coeficiente es, precisamente, el coeficiente k deproporcionalidad.La noción de proporcionalidad es fundamental en Mate-mática y encuentra aplicaciones en numerosos dominiosde la vida corriente. Ya dijimos que está ligada estrecha-mente a un modelo matemático simple, cual es la fun-ción lineal. En realidad, el docente las maneja diciendoque son las funciones del tipo “multiplicar por a” , o “divi-dir por b” (b no nulo). A veces a una de ellas le sigue laotra y resulta una nueva función “multiplicar por a y luegodividir por b “a la que se llama función operadora.

Estas nociones se deben ir desarrollando progresiva-mente, no sólo en el Ciclo sino más allá de él.El porcentaje aparece en el quinto año, Cuando deci-mos determinar “el 20% de “ estamos aludiendo alaspecto funcional del mismo. Debemos ubicarlo en elmodelo de una función operadora. Pero debe quedarclaro que todas estas nociones cobran sentido en elmarco de la resolución de problemas.Lo que estamos diciendo es sólo para el docente.

0 Medida y mediciones.

Este organizador también figura en el apartado Activi-dades Geométricas por el hecho de estar, en este nivelde la escolaridad, relacionado con las magnitudesgeométricas mensurables que se abordan. En lo quehace a las actividades numéricas propuestas en esteorganizador están referidas, básicamente, al uso y alcálculo con los números con los cuales se codifican lasmedidas de ciertas cantidades de magnitud. Se tratade nociones que han aparecido en los años anteriores,como es el caso de la longitud y la masa por ejemplo.Otras aparecen en este Ciclo. Cuando hablamos demagnitudes mensurables queremos significar que setrata de magnitudes para las cuales es posible definiruna adición, la cual puede aparecer sin tener que recu-rrir a los números (a partir de procedimientos, de usode instrumentos, . ..). Interesa que el niño maneje patro-


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nes, unidades, equivalencias, y que reconozca cuá-les son los instrumentos de medición adecuadospara cada magnitùd. Hay magnitudes, como es elcaso de las temperaturas, que no son mensurables,lo cual significa que no se pueden sumar.

Estadística, Combinatoria y Probabilidad.

Tanto las nociones básicas de Probabilidad comolas relativas a la Estadística, están entre los nue-vos tópicos que deben introducirse desde losprimeros años de la escolaridad obligitoria. Seconsidera que ellas, junto con nociones básicas deCombinatoria, representan una herramienta indis-pensable para tomar parte activa en el mundo dehoy y para poder comprender el andamiaje com-plejo de interrelaciones y correlaciones que lo sus-tentan.

agrupados en tablas de distribución de fre-cuencias. Para ello se usan ciertos números, Ila-mados parámetros estadísticos. Para EGB 2sólo están previstas algunas medidas de tenden-cia central, como la media (aritmética) y la moda.También sugerimos que reconozca otros valoresque indican la dispersión con respecto a los nú-meros anteriores. Recomendamos la presenta-ción de problemas interesantes y motivadores,seleccionados del entorno del niño.

Cuando el niño llega a EGB 2, ya debe tener ad-quiridas algunas de estas nociones como por ejem-plo, manejo de tablas de datos y algunos gráficossencillos. Es decir, ha comenzado a tratar ciertainformación que recolectó y organizó usando dis-tintos recursos. Tiene que continuar recolectan-do y organizando información y aprender ainterpretarla y procesarla estadísticamente.Durante los años de este Ciclo también se preten-de que analice el comportamiento de estos datos

Con respecto a la Combinatoria la propuesta alu-de básicamente, al recuento sistemático de ca-sos. Los problemas son de “contar” y hay princi-pios simples (Principios de conteo) y otros re-cursos (diagramas de Venn y arbolares) que ayu-dan en el momento de dar solución a esas situa-ciones. Finalmente, de Probabilidad sólo propo-nemos un tratamiento intuitivo de las nocionesintroductorias. En realidad, se trata de una nociónque no sólo está en el mundo de los adultos sinoque también lo está en el de los niños. Hay queempezar a distinguir los fenómenos aleatoriosde los que se rigen por leyes fijas, los sucesos,


. . . así como el tratamiento de algunas situacionesde probabilidad a posteriori.Nota:Para ampliar estas cuestiones el docente puede recurrir al libro Nocio-nes de Probabilidades y Estadística, 1, editado por la Dirección Generalde Escuelas de Mendoza en 1996, para la capacitación de sus docen-

[tes.

GOBIERNO DE MENDOZA

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Propuesta de organización de las matrices decontenidos y de los saberes-herramientas eindicadores de logros.

En el momento de tener que organizar todas lascomponentes que convergen en estas matrices(SABER; SABER-HACER; SABER-HERRA-MIENTA E INDICADORES DE LOGRO), confec- cionadas para cada año del Ciclo, nos inclinamospor una forma de presentación que no respondea las tradicionales.Adoptamos, por otra parte, la misma seguida parael Nivel Inicial y para el Primer Ciclo.Estamos aludiendo a las cuatro columnas con lascuales están familiarizados los docentes.En ellas pusimos en evidencia, mediante puntosfuertes, los organizadores disciplinares.Nuevamente señalamos que la secuenciación pro-puesta es punto de partida para el tercer nivel deespecificación del curriculum (institucional) quedará paso a la planificación áulica (curriculumreal).Para la elaboración de esta última hay que teneren cuenta los organizadores didácticos sobre loscuales aún no nos hemos referido explícitamente.La tercera columna (columna grisada) puede serusada desde ópticas distintas:- para el alumno,- para el docente como un control del proceso deaprendizaje y para elaborar situaciones de aula.

En fin, la cuarta columna tiene caracter figurativo. Qui-simos significar que con la información suministradapor las otras tres, los docentes están en condicionesde elaborar secuencias de enseñanza y aprendizajedestinadas al aula.

En otras ocasiones ya hemos justificado la ìmposibi-lidad de secuenciar los contenidos actitudinales, aúncuando reconocemos su importancia y la necesidadde que no se los descuide.


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LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE IA EDUCACIÓN GENERAL BASICA (E.G.B.2)

Matrices de contenidosy Saberes-Herramienta

ACTIVIDADES NUMERICAS


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-Numeracion escrita en elsistema de numeracióndecimal.

-Interpretación de tas regias delsistema de numeracion decimaloral.-Escritura de los números naturales, por lo menos hasta100.000.-Uso de diversas escrituras delos numeros naturales, por lomenos hasta 100.000.

-Interpretación y comparaciónde las reglas de la numeraciónoral con las de la numeracionescrita del sistema posicionaldecimal.

-Saber escribir los números natu-rales hasta 100.000 en letras y enla escritura cifrada usual.-Saber usar diversas escrituras delos números naturales hasta100.000: aditivas, multiplicatiias,mixtas, notacibn exponencial en especial para las potencias de lo,...-Saber interpretar y comparar lasreglas de la numeración oral conlas de la numeración escrita, delsistema posicional decimal, (identi -ficando la primera como numera -ción híbrida, y la segunda comoposicional).

Los conten idos conceptua-las, actitudinales y procedimentales se integrarán enesta co lumna.

- G O B I E R N O D E M E N D O Z A

-Numeraci6n oral en el sis-tema de numeraci6n deci-mal.

-Lectura de los numeros natura-les por lo menos hasta 100.000.

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-Saber leer los numeros naturalesen cifras y en letras hasta 100.000,relacionando nombre y escritura enel sistema de numeracion decimal.-Saber interpretar las reglas del sis-tema de numeracion decimal oral.

LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACION GENERAL BASICA (E.G.B.21

ARTO AÑOCONTENIDOS

CONTENIDOS CONCEP- Propuesta de CONTENI- INDICADORES DE LOGROS PROPUESTA DE ACTIVIDADESTUALES DOS PROCEDIMENTALES PARA UNA SECUENCIA DE

(SABER) [SABER - HACER) (SABER - HERRAMIENTA) APRENDIZAJE

-Interpretacibn, comparacibn y -Saber interpretar, comparar ymemorizacibn de las reglas de memorizar las reglas de escrituraescritura de los numeros hasta de tos nõmeros hasta 100.000 en el100.000 en el sistema posicio- sistema posicional decimal (la posi-nal decimal. cion de una cifra determina el agru-

pamiento que te corresponde).-otros sistemas de numera- -Lectra y escritura de numeros -Saber leer y escribir numeros natu

cion. naturales, en otros sistemas de rales en otros sistemas de numera -numeración. ción:egipcio, romano, maya, griego,...-Comparación del sistema posi - -Saber comparar el sistema posicio-cional decimal con otros siste- nal con otros: sistemas de numera-mas de numeraci6n. ción: egipcio, romano, . . .

-Comparación y ordena- -Comparación de nbmeros -Saber comparar dos ntimeros natumientos. naturales, por lo menos hasta rales hasta 100.000, a partir de

100.000. sus nombres y sus escrituras cifredas.-Saber codificar el resultado de lacomparación usando los signos <,r , = y sus negaciones.

-Ordenamiento de Mmeros -Saber ordenar números naturales Los contenidos conceptua-naturales, por lo menos hasta hasta de cuatro cifras, en forma les, actitudinales y procedi-de cuatro cifras. creciente o decreciente, por sus mentales se integrarán en

nombres y sus escrituras cifradas. esta columna.

DIRECCION GENERAL DE ESCUELAS -GOBIERNO DE MENDOZA

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LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACION GENERAL BASICA (E.G.B.21

CUARTO AÑOCONTENIDOS

CONTENIDOS CONCEP-NALES

(SABER)LOS números decimalespositivos y Ianumeración.

-Los números decimales po-sitivos.

-Numeracibn oral.

-Numeración escrita.

N G E N E R A L D E E S C U E

Propuesta de CONTENI-DOS PROCEDIMENTALES

(SABER - HACER)Los números decimalospositivos y lanumeración.- lnterpretaci6n de los ntimefosiecimales positivos como co -tiente de dos numeros naturalesa, b (b = 0) , hasta obtener resto cero.

-Lectura de numeros decimalespositivos, por lo menos hasta Iorde orden 2.

-Interpretacidn de las reglas delsistema de numeracion decimaloral.-Escritura cifrada de numeros

- -

decimales positivos, por lo me-

AS-

nos hasta los de orden 2.-Reconocimiento de decimos ycentesimos.-Escritura de numeros decima-les positivos, por lo menos hastalos de orden 2, en forma fraccionaria.

INDICADORES DE LOGROS

(SABER - HERRAMIENTA)LOS números decimalespositivos y lanumeracion.-Saber interpretar los númerosdecimales positivos, como cocientede dos numeros naturales a , b(b # O), hasta obtener resto cero.( considerando hasta los de orden2)-Saber leer un numero decimalpositivo hasta de orden 2, desig-nando sus partes ( parte entera yparte decimal ).-Saber interpretar las reglas delsistema de numeración decimaloral.-Saber escribir un numero decimalpositivo, con escritura cifrada, hasta los de orden 2.-Saber reconocer decimos y cente-simos.-Saber escribir numeros decimalespositivos hasta los de orden 2, enforma fraccionaria.

‘ROPUESTA DE ACTIVIDADES‘ARA UNA SECUENCIA DEAPRENDIZAJELOS números decimalespositivos y lanumeracion.

Los conten idos conceptua-les , ac t i tud ina les y procedi -

- G O B I E R N O D E M E N D O Z A

m e n t a l e s s e i n t e g r a r a n e nas ta co lumna .

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TO ACONTENIDOS

CONTENIDOS CONCEP-TUALES

(SABER)

Los números fraccio-narios positivos

-Comparacion yordenamienfo.

N GENERAL DE ESCUELAS.


(SABER - HACER)-1nterprelacibn de la relaci6nentre las escritura cifradas y lasescrituras fraccionarias de losntimeros decimales positivos.Los números fraccio-narios positivos

-Interpretación de los numerosfraccionarios positivos comocociente de dos números natu-rales a,b (b t 0)-Lectura y escritura de númerosfraccionarios positivos.-Interpretación de los númerosdecimales positivos como nú-meros fraccionarios positivos.-Reconocimiento de numerosfraccionarios positivos no decimales.

-Comparación de numeros deci-males positivos con escrituracifrada, usando las reglas delsistema de numeracion por lomenos hasta los de orden 2.


(SABER - HERRAMIENTA)-Saber interpretar la relacion entrelas escrituras cifradas y las escritu-ras fraccionaria de los numeros de-cimales positivos.Los números fraccio-narios positivos.

-Saber interpretar los numerosfraccionarios positivos como co-ciente de dos numeros naturales a,b ( b = O )-Saber leer y escribir números frac-cionarios positivos.-Saber interpretar los numeros de-cimales positivos como númerosfraccionarios positivos.-Saber reconocer algunos numerosfraccionarios positivos como no de-cimales.

-Saber comparar números deci-males positivos con escritura cifra-da, usando las reglas del sistemade numeracion hasta los; de orden2.

PROPUESTA DE ACTIVIDADESPARA UNA SECUENCIA DEAPRENDIZAJE

Los números traccio-narios positivos

Los conten idos Conceptua-las , ac t l tud ina les y procedi -menta les se in tegrarán enesta co lumna,

G O B I E R N O D E M E N D O Z A

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LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACION GENERAL BASICA (E.G.B-2)A

I CONTENIDOSV

ID CONTENIDOS CONCEP- Propuesta do CONTENI- INDICADORES DE LOGROS PROPUESTA DE ACTIVIDADES

A TUALES DOS PROCEDIMENTALES PARA UNA SECUENCIA DE{SABER) (SABER - HACER) (SABER - HERRAMIENTA) APRENDIZAJE

-Saber codificar el resultado de laD comparacion usando los signos,

Ey sus negac iones .

-Ordenamiento de numeros de- -Saber ordenar numeros decimales

S cimales positivos de orden 2. positivos de orden 2, en forma cre-ciente y decreciente.

-Encuadramientos y apro- -Intercalamiento de números -Saber intercalar numeros decimaximacion. decimales positivos hasta de les positivos hasta de orden 2, en-

orden 2, entre dos numeros na- tre dos numeros naturales dados.N turates dados.

-Encuadramiento de un numero -Saber encuadrar un numero deciU decimal positivo hasta de orden mal positivo hasta de orden 2, entre

M2, entre dos números naturales dos numeros naturales, en particu-dados. lar entre potencias de 10.

E -Aproximaciõn de un numero -Saber aproximar un numero deci-R decimal positivo hasta de orden mal positivo hasta de orden 2, a

2, a una unidad de un orden una unidad de un orden dado.I dado.

C- La recta numerica y los -Ubicación de numeros decima- -Saber ubicar numeros decimales Los contenidos conceptua-

A numeros decimales les positivos sencillos en la rec- positivos sencillos en ta recta nume- las , act i tud ina les Y procedi -

S positivos. ta numérica. rica. mentales se integraran ene s t a c o l u m n a .


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MATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACION GENERAL BASICA (E.G.B.2)

ARTO ACONTENIDOS


(SABER)

*Recuentos sistemáticos

Sucesos aleatorios

N GENERAL DE ESCUE


(SABER - HACER)

-Realizacion de recuentos siste-máticos usando principios deconteo y diagramas.

-Discriminacion de sucesosaleatorios: seguro, imposible,incompatibles, en distintas ex-periencias aleatorias.

LAS


(SABER - HERRAMIENTA)

-Saber realizar recuentos sistemáti-cos usando principios de conteo ydiagramas (de Venn, de árbol).

-Saber discriminar sucesos aleato-rios : seguro, imposible, incompali-bies, en distintas experiencias alea.todas.

PROPUESTA DE ACTIVIDADESPARA UNA SECUENCIA DEAPRENDlZAJE

Los conten idos conceptua-les, actitudinales y procedí-mentales se y in tegran enasta columna.

-GOBIERNO DE MENDOZA

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QUINTOS AÑOCONTENIDOS


(SABER) Los números natura-

les y Ia numeración Numeración oral en el

sistema de numeraciondecimal.

Numeración escrita en elsistema de numeraciondecimal.

N GENERAL DE ESCUELAS

Propuesta do CONTENI-

(SABER - HACER)l Los números natura- l Los números natura-

les y la numeración les y la numeracion- Lectura de los numeros natu- -Saber leer los números naturalesrales por lo menos hasta en cifras y en letras hasta1.ooo.ooo 1.OOO.OOO, relacionando nombre y

escritura en el sistema de numera-ción decimal.

- Interpretacibn de las reglas del -Saber interpretar las reglas delsistema de numeraci6n decimal sistema de numeracibn decimaloral. oral.- Escritura de los nomeros na- - Saber escribir los números natu-turales, por lo menos hasta rales hasta 1 .OOO.OOO en letras y1 .ooo.ooo. en la escrttura cifrada usual.- Uso de diversas escrituras de - Saber usar diversas escrituras delos numeros naturales, por lo los nrimeros naturales hastamenos hasta 1 .OOO.OOO. 1 .OOO.OOO : aditivas, multiplicativas,

mixtas, notación exponencial, enespecial para las potencias de1O,...

- Interpretación y comparación -Saber interpretar y comparar lasde las reglas del sistema de nu reglas de numeración oral con lasmeración oral con las de la nu- de la numeracibn escrtta, del siste-meracibn escrtta, del sistema ma posicional decimal,(identtfrcanposicional decimal. do la primera como numeracibn

híbrida, y la segunda corno posicio-nal).

-GOBIERNO DE MENDOZA

Los contenidos conceptua-les, actitudlnales y procedi-mentales se integrarán enesta columna.


(SABER - HERRAMIENTA)

PROPUESTA DE ACTIVIDADESPARA UNA SECUENCIA DEAPRENDlZAJE Los números natura-

les y la numeracion.

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LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACION GENERAL BASICA (E.G.B.2)A

C QUINTO AÑOT

I CONTENIDOSV

ID CONTENIDOS CONCEP- Propuesta de CONTENI- INDICADORES DE LOGROS PROPUESTA DE ACTIVIDADES

A TUALES DOS PROCEDIMENTALES PARA UNA SECUENCIA DE(SABER) [SABER - HACER) (SABER - HERRAMIENTA) APRENDlZAJE

- Interpretación ,comparacibn y - Saber interpretar , comparar yD memorización de las reglas de memorizar las reglas de escritura

E escritura de los números hasta de los numeras hasta 1.OOO.OOO1.OOO.OOO en el sistema posi- en el sistema posicional decimal

S cional decimal. (la posición de una cifra determinael agrupamiento que le correspon-de).

- Otros sistemas de nume- - Lectura y escritura de los nu- -Saber leer y escribir numeros naturacion meros naturales en otros rales en otros sistemas de numera-

N sistemas de numeración. ción: egipcio, romano, maya, grie-go, sino-japones,...

U -Comparacion del sistema posi -Saber comparar el sistema posi-

Mcional decimal con otros siste- cional con otros: sistemas de nu-

mas de numeracicín. meraci6n: egipcio, romano, maya,E griego, sino- japones,...

- Comparacion y - Comparacibn de números na- -Saber comparar dos números na-R ordenamientos. turales, por lo menos hasta turales hasta 1.OOO.OOO a partir de

1.ooo.ooo. sus nombres y sus escrituras cifra-I das.

-Saber codificar el resultado de lac comparacion usando los signos,

< , ‘, k , y sus negaciones. Loa contenidos conceptua-A - Ordenamiento de números na- -Saber ordenar numeros naturales les , act i tud ina les Y procedi -

turales, por lo menos hasta de hasta de cinco cifras, en forma cre manta les se in tegrarán enS cinco cifras. ciente o decreciente, por sus nom- esta co lumna,

bres y sus escrituras cifradas.DIRECCION GENERAL DE E S C U E L A S - ‘G O B I E R N O D E M E N D O Z A

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DIRECC

A MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACION GENERAL BASICA (E.G.B.21

SEXTO AÑOCONTENIDOS


(SABER)

- Otros sistemas de nume-racion.

- Orden en IN:- Comparacibn y

ordenamientos

>N GENERAL DE ESCUE


(SABER - HACER)

- Lectura y escritura de los nu-meros naturales en otros siste-mas de numeración.

- Comparación del sistema denumeración decimal con otrossistemas de numeración.

- Comparacion de números na-turales, por lo menos hasta losde orden 10(6).

- Ordenamiento de númerosnaturales, par lo menos hastalos de orden 10(6).


(SABER. - HERRAMIENTA1

- Saber leer y escribir numeros naturales en otras sistemas de nume-ración: egipcio, romano, maya, grie-go, sino-japonés,...- Saber comparar el sistema denumeración decimal con otros sis-temas de numeracion: egipcio, romano, maya, griego, sino -japonés ,...

- Saber comparar númerosnaturales hasta los de orden106

- Saber codificar el resultado de lacomparación , usando los signos,< , > 3 = , 2 I 5 , y sus negacio-nes.

- Saber ordenar números naturaleshasta los de orden106, en cifrasy en letras, en forma creciente 0decreciente.

PROPUESTA DE ACTIVIDADESPARA UNA SECUENCIA DEAPRENDIZAJE

Los conten idos conceptua-les, actitudinales y procedi-mentales se integrarán ene s t a c o l u m n a ,

LAS -GOBIERNO DE MENDOZA

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LA MATEMÁTICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.)

Quien siembra, recogeDicho popular

El apartadoACTIVIDADES LÓGICAS Y

DE LA COMUNlCACION- Expectativas de logro (Criterios deacreditación) para el Segundo Ciclo



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3 Hablemos del apartado ACTIVIDADESLÓGICAS Y DE LA COMUNICACIÓN enel Segundo Ciclo de la EGB.

a) Expectativas de logros para EGB 2, corres-pondientes al apartado.

Al proyectar la organización del apartado ACTIVI-DADES LOGICAS Y DE LA COMUNICACIÓN paracada año del Segundo Ciclo de la E.G.B. (EGB2),tuvimos en cuenta dos bloques de los C.B.C.: elBloque 3, Lenguaje gráfico y algebraico y el Blo-que 7, Procedimientos relacionados con el queha-cer matemático, tal como habíamos hecho en losCiclos anteriores, según consta en los Fascículos5 y 7 (La Matemática en el Nivel Inicial y PrimerCiclo de la Educación General Básica, Primera ySegunda parte, Dirección General de Escuelas,Mendoza, 1995 y 1996)

Se trata de un apartado en el cual se abordan cues-tiones que tienen que ver con los otros dos: Acti-vidades numéricas y Actividades geométricas.

En lo que respecta al Bloque 3 pasamos a formu-lar algunas reflexiones que continúan las ya con-signadas oportunamente.Aprender matemática es, en gran parte, “apren-der y usar sus lenguajes”.

No podemos desconocer el hecho de que en la ac-tualidad los lenguajes matemáticos están presentes

en casi todos los ámbitos y las ciencias del cono-cimiento.¿Quién puede negar el hecho de que domi-narlos constituye un saber necesario a nivelcotidiano?.Puesto que el lenguaje que usa la matemática nosólo está constituido por términos, símbolos y sig-nos que tienen significados y usos polivalentes,sino que además recurre a gráficos variados. De-bido a esa característica se convierte en una he-rramienta poderosa pero que resulta difícil de ad-quirir.Con un ejemplo muy simple va a resultar más cla-ro lo que estamos diciendo.Recordemos los significados distintos que tieneel signo +, aún cuando esté usado en contextosnuméricos como los siguientes :

3 + 5 ; 3/2 + 5/3 ; 1,2 + 3,6 (-1) + (-3)

Para un niño acostumbrado a usar en el PrimerCiclo el signo + , para las escrituras aditivas connúmeros naturales o para las sumas en IN, esseguro que le tiene que resultar dificil acostum-brarse a emplear el mismo signo cuando trabajacon números fraccionarios, (con reducción previaa común denominador), con números decimales0 con números enteros. Incluso más adelante tam-bién lo usará con objetos de naturaleza no numé-rica, como es el caso de la suma de vectores, entre


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otros. De ahí la necesidad de que si a un signo o aun símbolo se le añade un nuevo significado, ade-más del trabajo usual de darle contenido, resulteconveniente trabajar la relación del significadonuevo con el anterior, si es que ello es posible.Además de adquirir las distintas formas de lenguaje(gráfico, simbólico, coloquial,...) el niño tiene queser capaz de establecer conexiones entre las dife-rentes representaciones de los conceptos mate-máticos, o sea, tiene que aprender a relacionarobjetos, gráficos, dibujos, términos, símbolos y sig-nos que estén asociados por significado matemá-tico. Consignamos esta reflexión para que el do-cente comprenda las dificultades con las cualesse enfrentan los alumnos de la edad que nos ocu-pa.Lo que no debemos olvidar es que los términos(orales o escritos) o las representaciones gráficasde un concepto, son previos a los signos y a lossímbolos. La coexistencia de los tres con situacio-nes adecuadas ha de mantenerse el tiempo quesea necesario (un año, un ciclo, . ..). Tampoco hayque olvidar que un prematuro exceso de lenguajesimbólico puede produciren los alumnos profun-das dificultades, difíciles de superar.

En este apartado volvemos a referirnos a los pro-cedimientos generales vinculados con el queha-cer matemático.

* Acerca del razonamientoNo se pretende que el niño se mueva en esta eta-pa dentro de un marco riguroso, pero sí que seinicie en el uso y establecimiento de las diferen-cias que hay entre las distintas formas de verifica-ción, en el planteo de hipótesis, en la formulaciónde conjeturas y la generalización, así como enposibles demostraciones a las cuales no se lesexija la formalización característica con la quesuelen presentarse los resultados en la matemáti-ca, aún cuando sea mayor el rigor con que se lautilice.En efecto, los alumnos del Segundo Ciclo no es-tán todavía en condiciones de cumplir con lasmencionadas exigencias que les impedirían, porotra parte, apreciar y experimentar los procesosque conducen a tales resultados. Sin embargotienen la oportunidad de ír ampliando los contex-tos de aplicación, tanto en el apartado Activida-des Numéricas como en el apartado ActividadesGeométricas, teniendo en cuenta que “la capa-cidad de razonar lógicamente crece con la edady con las experiencias de dentro y fuera de laescuela”.La negación, los cuantificadores, los conectivos,los contraejemplos, las demostraciones por el ab-surdo o por métodos directos, son algunas herra-mientas del razonamiento lógico que deben serintroducidas a lo largo de la E.G.B. y hay que ír


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habituando a ellas.Lo que debe quedar claro es que para llegar alconocimiento no hay que descartar ninguna formaposible, (intuitiva, inductiva y deductiva), tal comolo hace el matemático.Aún cuando se mencione el razonamiento de-ductivo no se pretende, en el Segundo Ciclo,ningún análisis del proceso deductivo.Sin embargo, conviene que el docente distinga muybien cuáles son las formas mencionadas y, en loque hace específicamente al razonamiento de-ductivo, debe buscar los medios didácticos porlos cuales éste ha de cumplir su función formativaen toda la E.G.B., y en cada ciclo en particular.

Acerca de la comunicación.

Hemos afirmado que la comunicación es esencialdesde el Nivel Inicial. En efecto, hay muchas yvariadas razones para sostener lo dicho. Cabedestacar que ella posibilita:

(1) Tratar la información.El tratamiento de la información es un propósitobásico. El niño tiene que desarrollar su capacidadpara recibir información de distintas maneras, ín-terpretarla y comunicarla, usando diferentes len-guajes (gráfico, simbólico, verbal, . ..) que en esteCiclo es necesario profundizar.La capacidad para tratar adecuadamente la ínfor-

que no es responsabilidad única de la enseñanzaformal y tampoco depende solamente del docen-te que enseña matemática. Sin embargo, esta dis-ciplina escolar ofrece una buena ocasión para sutratamiento que, como ya dijimos, es una metaprioritaria, planteada como un verdadero desafío.En efecto, somos conscientes de un hecho muynatural en este tiempo: el exceso de informaciónque recibe el ciudadano común y que debe apren-der a procesar.

(2) - Precisar el vocabulario y compartir defini-ciones para evitar la ambigüedad que existeen el lenguaje común.Recordemos que muchas palabras usadas enMatemática tienen significado diferente del quese les da en la vida diaria. Basta con mencionaralgunas : igual, diferencia, semejanza, . . . . Sí el niñono “ve” esos distintos significados tampoco va acomprender las nociones que subyacen en elloscuando los emplea en Matemática.

(3) - Evolucionar desde las expresiones infor-males de los niños hasta el lenguaje de la Ma-temática, caracterizado por ser simbólico yabstracto.En efecto, el niño tiene que aprender un nuevolenguaje, diferente del lenguaje común, tanto ensu forma oral como en su forma escrita, y talesaprendizajes siguen caminos diferentes y ofrecen

macíón no se alcanza en poco tiempo. Por supues- dificultades de distinto grado de complejidad.DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA

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(4) - establecer conexiones entre las diferentesformas de representación, (concretas, gráficas,simbólicas, verbales, y mentales), de conceptos yrelaciones matemáticas, como lo venimos de de-cir.En este Ciclo cobra mucha importancia el ma-nejo de la representación gráfica.Tengamos en cuenta que la Matemática ha incor-porado a los lenguajes natural y simbólico, un com-plemento gráfico - ilustrador. El uso de distintosrecursos para “ilustrar” la Matemática se ha desa-rrollado a través del tiempo y en la actualidad unode los últimos gritos está dado en los gráficos porcomputadora. El empleo de tales recursos es do-blemente educativo. Por un lado, se “ilustra” paraentender mejor y por otro, se desarrollan las ca-pacidades gráficas de expresión recurriendo a lastecnologías vigentes . Por supuesto, los gráficospor sí mismos no enseñan nada, pero son el “so-porte” de una mirada reflexiva que lleva a enten-der, previa interiorización, cierto contenido.Insistimos: La propuesta es educar en la lecturade gráficos, diagramas, tablas, etc., así como enla transmisión de la información, usando tales re-cursos.

l Acerca de la resolución de problemas.

Desde el Nivel Inicial, la resolución de problemases un proceso que debe penetrar toda la pro-puesta curricular de Matemática y proveer el con-

texto en el cual los contenidos, (conceptuales,procedimentales y actitudinales), pueden seraprendidos.En los problemas entran en juego procedimientosde rutina y procedimientos más complejos. Es ta-rea del docente reconocerlos, en el momento detener que seleccionar los problemas que van a serusados en el aula con diferentes propósitos, entrelos cuales destacamos :

(1) - la construcción de nuevos conocimientos;

(2) - la utilización de conocimientos ya adquiridos,en situaciones que no son necesariamente delámbito de la Matemática;

(3) - el control del estado de los conocimientos;

(4) - la extensión del campo de uso de una nociónya estudiada;

(5) - la aplicación simultánea de varias categoríasde conocimientos;

(6)- la investigación, apuntando al desarrollo decompetencias metodológicas.

Cuando los problemas son usados con el propósi-to de construir nuevos conocimientos, le dimos elnombre de situaciones-problema, y mostramos enlos Fascículos 5, 7 y en este ( en la parte A), cómotratar con ellas en el aula, un tema del curriculum.


103


En el Segundo Ciclo la exigencia tiene que sermayor. El niño tiene recorrido un tramo importantede la escolaridad: el de los aprendizajes funda-mentales y ahora hay que consolidar y profundi-zar esos aprendizajes.La meta no es sólo aprender a resolver problemassino también a formular cuestiones a partir de unconjunto de datos. Ello le ayudará a comprenderqué es un problema, a analizar si sus preguntasson pertinentes a la información manejada y si éstaes suficiente para responder a las cuestiones plan-teadas. Es una manera de aproximarse al trabajocientífico.

Al considerar la matriz de contenidos del apartadono debe sorprender que se repitan los organizado-res disciplinares que figuran en los Ciclos anterio-res. Tiene que ser así. Pero lo que no tiene queocurrir es que las nociones se traten con el mismonivel de dificultad. El niño ha adquirido más madu-rez y sus saberes previos son diferentes De ahíque las mismas cuestiones deban ser abordadasdesde otras ópticas y desde otros niveles de com-plejidad. Pero como punto de partida tiene valideztodo lo propusimos para los Ciclos anteriores. Porsupuesto que ciertas condiciones han cambiado yes importante que el docente reflexione acerca delo que se pretende para esta nueva etapa de laescolaridad.También sugerimos que se analicen las Expectati-vas de logros para EGB 2, en relación con las deEGB 1.

EXPECTATIVAS DE LOGRO (Criterios de acre-ditación) para el Segundo Ciclo de la E.G.B.(correspondientes al apartado ACTIVIDADESLÓGICAS Y DE LA COMUNICACIÓN)

Resolver situaciones-problema que ímplí-quen en diferentes contextos de uso:

(1) Leer, describir, interpretar, recolectar,organizar y analizar la información brinda-da por enunciados verbales orales o es-critos, tablas, diagramas, fórmulas, dibu-jos, gráficas, la vida cotidiana, . . . . especial-mente con respecto a relaciones y funcio-nes, en particular las numéricas y geo-métricas que encierran.

(2) Comunicar información matemática ono, por medio de tablas, diagramas, fór-mulas, dibujos, gráficas, maquetas, . . . , conrespecto a relaciones y funciones, en par-ticular, las numérícas y geometrícas.

(3) Justificar, validar e invalidar informa-ción no necesariamente matemátíca.

(4) Usar un vocabularío Iógíco-matemátí-co adecuado, en contextos aritméticos ygeométricos.


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Resolver situaciones-problema que ímplí-quen en los diferentes contextos de uso:

(5) Elaborar enunciados a partir de dife-rentes informaciones provenientes de grá-ficos, cálculos, dibujos, tablas, . . .

(6) Clasificar el enunciado en función delnúmero de soluciones posibles (ninguna,una 0 varias)

(7) Considerar distintas estrategias parasu solución, seleccionando las más ade-cuadas..

(8) Reconocer, usar el modelo y las herra-mientas adecuadas, en contextos aritmé-ticos y geométricos (funciones, divi-sibilidad, proporcionalidad, transformacio-nes geométricas, . ..)

(9) Formular conjeturas, anticipaciones deresultados y conclusíones a partir de in-formación matemática 0 no.

(10) Diseñar, interpretar, describir y ejecu-tar estrategias y algoritmos para su solu-ción.

(ll) Comunicar con claridad, coherenciay lenguaje adecuado (gráfico, verbal oraly escrito, . ..) los procedimientos, losalgoritmos y resultados obtenidos.

Nota :Al consignar las Expectativas hemos destaca-do con letra cursiva las que aparecen comonuevas en este Ciclo.


LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.)

b) Consideraciones generales relativas a los or-ganizadores disciplinares de las matrices decontenidos.

Antes de presentar las matrices de contenidos co-rrespondientes a cada año del Segundo Ciclo, pa-samos a formular algunas consideraciones gene-rales que tienen el propósito fundamental que eldocente no sólamente interprete mejor las Expec-tativas de logro, (Criterios de acreditación) del Ci-clo, sino que le permitan comprender cuál es laprofundización de los aprendizajes que se preten-de para esta etapa de la escolaridad.

Descontamos que todo docente que se desem-peña en E.G.B.2 está interiorizado de la propues-

Esa es la razón por la cual retomarnos algunasideas básicas para hacer luego referencia acer-ca de lo nuevo.

Comenzamos reiterando lo dicho en la página 29del Fascículo 7:

“El niño no solamente tiene que ocuparse de loconcreto, sino que debe iniciarse en edificar unconocimiento abstracto. No llegamos a compren-der profundamente algo hasta que no somos capa-ces de abstraer la estructura. El pensamiento abs-

tracto está en el hombre más cerca de él que loconcreto que le es exterior”.

Si bien es cierto que en los primeros años de laE.G.B. fue importante la actividad física delmanipuleo con objetos reales, dijimos en su opor-tunidad que no es conveniente que los referentesconcretos se exijan todo el tiempo. Con esa ópti-ca, y teniendo en cuenta que el Ciclo que nos ocu-pa es básicamente de profundización de los apren-dizajes fundamentales, pasamos a formular bre-ves consideraciones sobre :

0 Símbolos y signos

0 Algoritmos

0 Nociones lógicas y conjuntistas

0 Relaciones y funciones

0 La Comunicación, los Problemas y el Razona-miento.

Notará el lector que el listado anterior, con pe-queñas variantes, corresponde a los organizado-res disciplinares con los cuales presentamos lasmatrices de contenidos en las propuestascurriculares hechas para cada año de los ciclosanteriores.


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0 Símbolos y signos.

En el fascículo 7, desde las páginas 29 hasta 32,tratamos brevemente el significado de las acep-ciones de los términos símbolo y signo abordán-dolos desde la Lingüística y Semiótica, que secaracterizan por estudiarlos como entidades yaelaboradas. Destacamos las ideas de Saussure(1916) quien elaboró las nociones de símbolo ysigno, que luego pasaron a formar la base de lanueva ciencia llamada Semiótica.¿Por qué tuvimos que formular esas considera-ciones?.Por lo pronto nuestra intención no fue hacer un

tratamiento sobre tales conceptos que son cues-tiones propias de la Lengua, sino porque la Mate-mática es una ciencia que se maneja con su pro-pio lenguaje, que es una combinación de símbo-los, signos y. términos específicos. Resulta enton-ces obvio que estemos interesados en ello, porcuanto tenemos que arbitrar los medios para queel niño vaya adquiriéndolo. Sólo así podrá pro-gresar en sus aprendizajes matemáticos.Al mismo tiempo dijimos que la Sicología genéticaaborda el problema de la función simbólica infan-til. A diferencia de la Lingüística y la Semiótica losconsidera desde una perspectiva genética y no,como entidades elaboradas. Sin embargo tienenalgo en común: la relación que se establece entresignificante y significado.Remitimos al lector al Fascículo 7 para que reconsi-

dere lo que consignamos en esa ocasión.¿Cuáles son los signos matemáticos 0 lógicos queel niño debe manejar durante el Segundo Ciclo?

- Durante los años que corresponden a EGB 2 va atratar los números naturales (del conjunto IN), losnúmeros decimales positivos (del conjunto ID+), losnúmeros fraccionarios positivos (del conjunto Q+),y hasta empezará a conocer los números enteros(del conjunto Z). Cuando compare números de esosconjuntos va a usar el signo = (igual) y su negación# (no es igual). Decir que un número cualquiera “aes igual a otro número b”, anotando a = b, significaque se trata del mismo número.También va a usar los signos c (menor), > (mayor)y sus negaciones respectivas. Ahora bien, la con-dición “a < b” dada en IN, no tiene el mismo signifi-cado cuando los números son decimales, frac-cionarios o enteros. A pesar de ello, en todos loscasos se lee “a es menor que b”. Lo mismo con

- El signo // alude al paralelismo. Pero habrá quetener en cuenta el significado que tiene según quese comparen rectas del plano o del espacio, rectasy planos, planos,. . . En cada contexto subyace unanoción diferente. Algo similar ocurre con el signo1, usado en situaciones de perpendicularidadanálogas a las mencionadas para el paralelismo.


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LA MATEMÁTICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BASICA (E.G.B.)

- Con respecto a los signos del lenguajeconjuntista que se introducen en este ciclo, for-mulamos las siguientes observaciones :El signo n (intersección) aparece solamente paraindicar el conjunto -A n B (A intersección B), cu-yos elementos pertenecen a A y a B.

Puede ser usado en un contexto numérico. Porejemplo, P n I = 0 ) siendo P, el conjunto de losnúmeros naturales pares e 1, el conjunto de losnúmeros naturales impares. En efecto, se trata delconjunto vacío por cuanto no hay ningún númeronatural que sea simultáneamente par e impar.

También puede presentarse en un contexto geomé-trico. A continuación ilustramos algunas situacio-nes De hecho estamos considerando las rectas olos planos como conjuntos puntuales.

Recuerde el lector que el signo n también de-nota la operación intersección entre conjuntos.Pero debe quedar claro que en el Segundo Ciclono estamos proponiendo su uso con este signifi-cado. Tampoco estamos diciendo que se trabajeen el aula determinando el conjunto intersecciónde dos conjuntos cualesquiera. Solamente suge-rimos su introducción en situaciones similares alas ejemplificadas.Todos sabemos del uso y abuso que se vienehaciendo en ese sentido.Lo dicho vale también para el conjunto A U B, (Aunión B) cuyos elementos son de A ó de B, ypara el conjunto CA E (complemento de A res-pecto de E), cuyos elementos son de E pero node A.En cuanto al signo c (inclusión) nos pemiteseñalar que un conjunto A es parte o subconjuntode otro B, con el significado de que todo elemen-to de uno es elemento del otro (A C B)Para la congruencia entre figuras geométricas oentre números, introducimos el signo H a yotros signos con el mismo significado


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Algor i tmos

En el Fascículo 7, presentamos las primeras con-sideraciones acerca de los algoritmos. La inicia-ción a la noción, por su uso, ha comenzado en elNivel Inicial continuándose en el Primer Ciclo. Con-sideramos muy importante que el docente de estenuevo ciclo, conozca la propuesta formulada paralos años anteriores y de esa manera se evitaránrepeticiones inútiles. Lo que se pretende es pro-fundizar lo anterior, en otros contextos y desde otronivel de madurez de los alumnos.

Un algoritmo es una lista de instrucciones paraefectuar paso a paso algún proceso.

- Una receta en un libro de cocina es un excelenteejemplo de algoritmo: la preparación de una comi-da complicada se divide en pasos simplescomprensibles para cualquier persona con expe-riencia en cocina.- Los algoritmos ejecutados por una computadorase pueden combinar en un complicado cálculo ma-temático con millones de pasos elementales comosumas y restas.- También sabemos que una computadora puede,mediante el uso de algoritmos, controlar el proce-so de coordinación de las reservas de una líneaaérea, conforme se reciben de las oficinas de todoel país, destinadas a la venta de boletos.

- Cuando el niño ensaya poner en corresponden-cia, término a término, los objetos de dos colec-ciones, usa un algoritmo.- La construcción de un cuadriculado con la ayudade una regla y una escuadra, es un algoritmo.- A nivel numérico, las técnicas operatorias sonalgoritmos obtenidos a partir de procedimientoseficaces, pero relativamente largos, que las pro-piedades de las operaciones (vueltas así funcio-nales) permiten mejorar.- Cuando se busca una fórmula verdadera lo quese pretende es establecer un algoritmo.- De la misma manera, las propiedades geomé-tricas pueden aparecer como favoreciendo la re-producción o la construcción de figuras que sepodrían obtener a partir de procedimientos grose-ros y no siempre utilizables (como el calcado, porejemplo).- En los primeros años de la escolaridad hay nu-merosas actividades, no necesariamente ligadas aldominio puramente matemático, que ponen a losniños en presencia de los algoritmos más diversos.Basta mencionar ciertos trabajos manuales comolos plegados, calados, montaje de maquetas, demecanismos diversos, . . .

El listado de los algoritmos que el alumno puedeusar en la escuela es muy extenso. Lo que debequedar claro es que no se pretende que el niñoaprenda algoritmos como automatismos, síno más


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bien de enfrentarlo con situaciones susceptibles dedar una significación a los algoritmos.

¿Qué se pretende en el Segundo Ciclo?Entre otros propósitos:

- la descripción de un algoritmo, como puede serel que permite comparar dos números decimalesdados con escritura posicional, o la construcciónde un triángulo con regla y compás a partir de laslongitudes de sus lados;

- el diseño de un algoritmo, como puede ser unprograma de construcción en Geometría;

- la ejecución de un algoritmo, como puede ser elque permite efectuar la división euclidiana;

- el reconocer algoritmos equivalentes, comoen el caso que presentamos más adelante.

En lo que hace a la descripción de un algoritmo yteniendo en cuenta el nivel elemental que nos ocu-pa, se puede recurrir a diferentes modos de des-cripción de las etapas: con el lenguaje corriente,con un esquema, con un organigrama, . . .Cuando se trata de algoritmos recursivos o sea,que presentan bucles, lo mejor es usar un organi-grama, aunque también podría describirse con len-guaje corriente.

a) Veamos a continuación un algoritmo para cons-truir una figura geométrica, (un rectángulo), cu-yos lados A y B, tienen longitudes I y m, respecti-vamente. Está descripto verbalmente.l - Dibujar un segmento ab, de longitud 1;

2 - perpendicularmente al segmento ab, porel extremo a, dibujar una semirrecta;

3 - sobre esa semirrecta que se viene de di-bujar, ubicar un punto c de tal manera queel segmento ac, tenga longitud m;

4 - perpendicularmente al segmento ac, porel extermo c, trazar una semirrecta en elmismo semiplano que incluye al segmen

l 5-to ab;perpendicularmente al segmento ab, tra-

zar por el punto b, una semírrecta en elmismo semiplano que incluye al segmen-to ac.

b) Presentamos una figura geométrica que ilustracómo “partir-” el segmento ab, en tres segmentosde igual longitud. Se puede diseñar un algoritmoque describa las etapas de construcción.


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c) Es posible “ejecutar” el algoritmo (de construc-ción) que presentamos como primer ejemplo.

d) Sea el siguiente algoritmo para construir unafigura geométrica. Se pretende determinar si esequivalente al algoritmo dado en (a).

Construir un rectángulo cuyos lados A y B tienenlongitudes I y m, respectivamente, en centímetros.

l - Construir un segmento ab, de longitud I ;

2- trazar dos semirrectas por los extremosdel segmento, perpendicularmente al seg-mento ab, y en el mismo semiplano;

3- determinar sobre esas semirrectas dossegmentos ac y bd, de longitud m;

4- “unir” los puntos c y d por un segmento.

Nota: El algoritmo dado en (d) es equivalente al propuestoen (a). En efecto, para los mismos datos llegamos al mismoresultado.

Nociones conjuntistas.

Las primeras nociones conjuntistas aparecen des-de el Nivel Inicial. Lo hemos dicho en muchas oca-siones que ellas no son objeto de estudio por símismas, sino que están relacionadas con los tér-minos del lenguaje conjuntista que van aparecien-do en los distintos contextos (aritméticos, geomé-tricos, de estadística, de probabilidades combi-natoria , . ..). El aprendizaje de ese lenguaje se re-comienda por cuanto consideramos que “es unbuen recurso para explicar con sencillez ideasmatemáticas” . Agregamos a lo dicho el hecho na-tural de que su uso permanente en los diversos ca-pítulos de la Matemática le da a ésta, sabor de uni-dad y coherencia.Los signos del lenguaje conjuntista cuya introduc-ción se propone en el Segundo Ciclo son los quemencionamos precedentemente. Agregamos lo si-guiente:

- distinguimos la palabra colección de la palabraconjunto. Con la primera aludimos a un conjuntofinito de elementos concretos. Surge que toda co-lección es un conjunto, pero que no todo conjuntoes una colección.Tanto en un sentido como en otro interesa determi-nar bien la pertenencia o no de un elemento, asícomo las partes o subconjuntos posibles.No hay que hacer abuso de las definiciones de con-


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LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.1

juntos, por extensión y mucho menos por compren-sión. En todo caso se puede recurrir a la primera,cuando las situaciones lo requieran: el conjunto delos divisores naturales de un número natural, unsuceso probabilístico, . . . . Aún cuando sea necesa-rio hacer referencia a ciertos conjuntos infinitos serecomienda recurrir a expresiones verbales porcuanto es más fácil en ese nivel de la escolaridad.Por ejemplo para hablar del conjunto de los múltiplosnaturales de un número natural no necesitamostener que definirlo por comprensión.Recomendamos el uso de diagramas adecuadospara comprender mejor ciertas situaciones, insisti-mos en que hay evitar su abuso.

Relaciones y funciones

En Matemática se usan a menudo afirmaciones ta-les como :

x < Y,dadas en un cierto conjunto numérico.Si tal comparación se hace entre números natura-les, queremos significar que existe un número na-tural n tal que x + n = y. Por ejemplo, 3 c 5 es unaafirmación verdadera porque existe el número na-tural 2 tal que 3 + 2 = 5.Ahora bien, la condición x c y dada en un conjuntonumérico, no es una relación; sólo establece cómovincular pares ordenados. Si formamos el conjuntode todos los pares ordenados (x,y) para los cualesx < y es verdadera, estamos ante una relación.

Resulta evidente que ese conjunto R es una par-te o subconjunto del conjunto producto IN x IN.En general, para toda relación de A en B se cum-ple

R c A x B .La noción de relación, como objeto matemático,no debe ser considerada en el Segundo Ciclo. Sólose pretende una aproximación a la misma median-te la consideración de muchas situaciones queaparecen en los años de EGB2, en contextosaritméticos, geométricos,... : divisibilidad, parale-lismo entre rectas del plano, (o del espacio), en-tre rectas y planos, etc.

Entre las relaciones destacamos las que son fun-ciones. El concepto de función es básico enMatemática.En la Síntesis explicativa del Bloque 3 de losC.B.C: Lenguaje gráfico y algebraico, se expresaque la idea de función “puede ser desarrolladaintuitivamente a través de regularidades y del tra-bajo con patrones generalizables. El uso de le-tras y otros símbolos para las descripciones depropiedades generales de los mismos, prepara alos niños para el uso futuro de variables y para laclasificación y organización de la información”.Con el concepto de función, ocurre lo mismo quecon otros conceptos matemáticos: no se adquierede manera completa en un momento dado. Paralograr el dominio del mismo se necesita muchotiempo y se llega por aproximaciones sucesivasque permiten usarlo en determinadas situaciones,


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pero que no permiten apreciar el alcance comple-to. Se trata de una noción que ya ha aparecido enel Ciclo anterior, no de manera explícita, y se con-tinuará hasta el Polimodal. Somos conscientes desu dificultad y de su importancia, lo cual hará vol-ver en cada año del Ciclo y de los siguientes, in-tentando ampliar y afianzar su significado hastallegar al propósito deseado. No tenemos dudasde que este hecho infliuye en los otros conceptosque se encuentran relacionados con él mismo,como la proporcionalidad, las funciones geomé-tricas (traslaciones, simetrías, proyecciones,. ..). la combinatoria, etc. Ello es posible porqueestamos proponiendo un desarrollo curricular cí-clico, que no es lo mismo que repetitivo o sumativo.El hecho de volver a trabajar los mismos concep-tos para enriquecerlos, aplicarlos, profundizarlos,sistematizarlos y relacionarlos, no significa lo mis-mo que el término repaso o revisión. De ahí queinsistamos permanentemente en que el docentesea conocedor del tratamiento para cada año delCiclo y para los otros Ciclos (el anterior y el que lesigue), para no caer en el mismo tipo de activida-des, con la excusa de que los alumnos se sientenmás seguros por las repeticiones. Todos sabemosque éso lleva directamente al aburrimiento en lasclases de Matemática.

función de A en B.Debe quedar claro que toda función es una rela-ción y que no tada relación es función.Consideremos este ejemplo. Sea A el conjunto INde los números naturales y sea B el mismo conjun-to IN. Podemos definir una función de IN en IN,asignando a cada número natural x, su cuadradox2 . Formando el conjunto de todos los pares orde-nados (x , x2), obtenemos la función.Estamos llamando función de A en B, a toda re-lación f de A en B que cumpla la condición si-guiente:Para cada elemento x de A EXISTE un elementoy de B, y SÓLO UNO, tal que (x,y) E f.Este único elemento y, se denomina “imagen de xpor la función f “, o también “valor de la función fpara el elemento x”. En muchas ocasiones se intro-duce una notación como la siguiente: y = f(x), le-yendo “f de x “.Prestemos atención a los términos usados al trataruna función:- Dominio de una función f de A en B, anotado D(f)y leído “de de f”. . Coincide con el conjunto de par-tida A, o sea, D(f) = A.

- Codominio o contradominio de f de A en B, esel conjunto de llegada B.

Pero, iqué es una función matemática?Supongamos que a cada elemento de un conjuntoA se asigna como correspondiente un elementode un conjunto B y solo uno. Tal asignación es una

- La imagen lm(f), formada por todos los elemen-tos f(x). Este conjunto puede o no, coincidir con elcodominio. Lo único que podemos asegurar es queIm(f)cB.


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Hay distintos recursos para explicitar una función :diagramas (cartesianos, de flechas, . . . ), tablas ocuadros, coloquialmente y por medio de fórmulasgenerales que permiten dar un esquema como elsiguiente:f : IN en IN , tal que x !-+ x2,que correspotide al ejemplo considerado preceden-temente. El esquema funcional dado se lee:f función de IN en IN tal que a x hace correspon-der su cuadrado x2

El esquema funcional es el simbolismo más acep-tado actualmente porque es el que precisa el con-junto de partida o dominio, el conjunto de llegaday la regla (fórmula) que vincula cada elemento delconjunto de partida con su imagen en el conjuntode llegada o codominio. Lo dicho no significa queel alumno del Segundo Ciclo tenga que manejaresquemas funcionales rigurosamente, pero elmaestro debe preparar a sus alumnos para un usofuturo.Hay numerosas situaciones en clase o fuera deella, que conducen a constatar y a explicitar unarelación de tipo función. En el Ciclo anterior sehan tratado informalmente relaciones de este tipoy ahora, en el Segundo Ciclo, el propósito es re-conocer y usar funciones en situaciones diver-sas, privilegiando las funciones numéricas, esdecir, las funciones con valor en un conjunto nu-mérico. En este Ciclo aparecen importantes fun-ciones tanto aritméticas como geométricas, como

las que mencionamos oportunamente.Mediante la lectura de gráficos de funciones, lainterpretación y análisis de tablas y cuadros y deciertas expresiones analíticas se pretende que losalumnos “desarrollen una apreciación global eintuitiva del comportamiento de las funcionesy sus propiedades”.A continuación reiteramos las Expectativas de lo-gros del Bloque 3, Lenguaje gráfico y algebraico,de los C.B.C. de las cuales se desprenden razo-nes que justifican las propuestas y consideracio-nes hechas para este apartado.

Nota :Para ampliar y profundizar las nociones relativas a Relacio-nes y Funciones, sugerimos a los docentes recurrir a loslibros Nociones conjuntistas 1, (Serie Marrón), Sistemasnuméricos 1 (Serie Roja) y Nociones de Probabilidades yEstadística 1, (Serie Verde) , publicados por la DirecciónGeneral de Escuelas de Mendoza, Dirección de EducaciónInicial y Primaria, en 1993, 1994 y 1996 respectivamente,producidos para las acciones de capacitación de los maes-tros de su dependencia.


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La Comunicación, los Problemas y el Ra-zonamiento.

Otro de los propósitos fundamentales del Segun-do Ciclo es el tratamiento de los problemas. Pensarque la resolución de problemas resulta para losalumnos una tarea sencilla, es una banalidad.Sabemos bien que no es suficiente que ellos se-pan efectuar una división, por ejemplo, para sa-ber reconocer los problemas donde ella es una delas herramientas eficaces. Tampoco es suficienteproponer numerosos ejemplos para acrecentar sucapacidad para resolverlos.Ahora bien, si un fin esencial de la E.G.B. esque los alumnos aprendan a resolver proble-mas, no hay dudas de que el docente tiene quetener muy claro en qué aspectos debe poner elacento en cada uno de los Ciclos.Entre las múltiples direcciones de trabajo posiblesponemos más particularmente en este Ciclo elacento sobre:

1- La identificación del contexto en el cual estádado el problema y el análisis del enunciado, delos datos iniciales, su naturaleza, su organizacióny clasificación para poder proponer un camino po-sible de resolución.

2- La selección de las herramientas disponibles.

3- La comunicación de los procedimientos pro-.

puestos y los resultados obtenidos.

4- La justificación de procedimientos y resultados.

5- La formulación de enunciados a partir de da-tos o soluciones dadas.

Si interpretamos las direcciones de trabajo posi-bles sobre las cuales ponemos el acento en esteCiclo nos damos cuenta de que todo comienzapor una buena lectura del problema.En efecto, la mayoría de los problemas habitual-mente están dados por textos escritos y ellos pre-sentan dificultades de variada índole según el or-den que se haya elegido para presentar los da-tos, la sintaxis, los términos empleados, la longi-tud del texto, etc.A lo dicho se agrega que en eI enunciado de unproblema también puede consignarse informa-ción por medio de gráficos, cuadros u otros recur-sos que el alumno tiene que aprender a “leer”.La dificultad de lectura y la dificultad para el trata-miento del problema están íntimamente relacio-nadas, por lo cual la capacidad de lectura delenunciado de un problema sería indisoluble de lacapacidad para tratarlo. Dicho de otra manera,pareciera que el que lo leyera bien seria el que lopuede tratar. Entonces, la lectura del texto y de lainformación suministrada por los distintos recur-sos no resultaría ser una fase independiente de


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LA MATEMÁTiCA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA (E.G.B.)

la resolución del problema, sino parte integrantede ella.La actividad de resolución de problemas se pre-senta de hecho como una actividad compleja querequiere de un gran número de tareas simultáneas:reorganización de datos, selección, organizaciónde información, búsqueda y puesta en acción deprocedimientos, cálculos u otras tareas según seael contexto del problema, etc..Se tiene muy bien constatado que si una de esastareas demanda una atención demasiado grande,el niño se encuentra en dificultad.Acaso un maestro no sabe que para hacer másdifícil un problema es suficiente, por ejemplo, alar-gar el texto del enunciado, multiplicar los datos,aumentar el tamaño de los números, complicar lasfiguras geométricas, cambiar los conjuntos numé-ricos sobre los cuales se trabaja, etc.?.Cuando hablamos de problemas nos estamos refi-riendo a aquéllos que son más complicados quelos problemas escolares clásicos de los cuales di-mos algunas características.Por supuesto que no hay que perder el interés porlos problemas de aplicación en el sentido que veni-mos de considerar.Comunicar los procedimientos y justificarlos noes, en general, una preocupación espontánea delos niños que tienen el sentimiento de que lo únicoque interesa es llegar al resultado.Hay que elegir problemas de tal manera que losalumnos tengan que comunicar las informaciones

o los caminos seguidos, que paralelamente ten-gan que tener en cuenta las ideas emitidas por otrosy susceptibles de hacer evolucionar su marcha, quepuedan comparar su solución con la de sus pares,con el fin de que sean puestos en posición de tenerque convencer de la validez de su resultado.

Estamos proponiendo en este Ciclo el desarrollode la aptitud de los alumnos de expresar su caminoy justificar su razonamiento por medio de la comu-nicación con otros alumnos lo cual no excluye eltrabajo individual que también tiene otros propósi-tos importantes.

En la enseñanza tradicional, la resolución de pro-blemas daba siempre lugar a una búsqueda y auna presentación individual de la solución.El acento puesto sobre la presentación podía en-tonces conducir a un cierto número de niños a pre-sentar “bien” una solución falsa con el sentimientode tener resuelto el problema.

Tengamos en cuenta de que además de las finali-dades de orden metodológico, la actividad de re-solución de problemas tiene objetivos directamen-te relacionados con los contenidos matemáticos:se trata de construir una nueva noción o un pro-cedimiento o de controlar el dominio y la disponi-bilidad de los mismos. En ese aspecto, sugerimosque el docente elija cuidadosamente los proble-mas que apuntan a esos propósitos.En algunas situaciones el niño debe darse cuen-


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ta de que las nociones adquiridas anteriormente lo use el lenguaje matemático respetando las con-son inadaptadas, por lo cual se vuelve necesario venciones, . . . que seguramente no tuvo en cuen-construir un nuevo modelo. Desde el momento en ta durante la etapa de búsqueda.que responde a una necesidad, adquiere una sig-nificación.

Es la ocasión natural para que rinda cuenta de laprecisión de ese tipo de lenguaje.

En otras, los útiles o herramientas que conoce lepermiten dar una respuesta a la cuestión propues-ta, pero son poco eficaces, (por ejemplo, una si-tuación de “división” está resuelta usando sustrac-ciones sucesivas), y el niño está conducido a ela-borar una nueva técnica y después a perfeccio-narla.Posteriormente, para controlar y orientar su ac-ción pedagógica, el docente debe darse cuentacómo son reutilizadas por los niños las nocioneso algoritmos que son el objeto de un aprendizaje.La comunicación debe privilegiarse. Por eso he-mos insistido en las fases de búsqueda en grupo.

En efecto, se trata de ocasiones propicias para lacomunicación: discusión sobre la búsqueda delas informaciones, sobre el método para tratar elproblema, sobre la mejor manera de presentación,y sobre cómo elaborar una síntesis.También hay que tener en cuenta las diferentesformas de comunicación. Puede ser transmitidaúnicamente por la palabra, únicamente por es-crito, usando el lenguaje matemático, los gráfi-cos, organigramas de resolución, representacio-nes diversas, algoritmos, etc.En algunas situaciones se puede exigir que só-


Finalmente, en el Segundo Ciclo hay que po-ner al alumno en situación de tener que cons-truir el enunciado de un problema a partir dediferentes informaciones o de una soluciónpropuesta.

Por ejemplo se pide que use la tabla siguiente paraconstruir el enunciado de un problema.

“Peso” de cerezas Precio

6 kg 9,30 $

1 kg ?

? 15$

También se puede proponer una situación análo-ga a partir de una solución, como la del siguienteejemplo:

El perímetro del jardín es 320 metros.

GOBIERNO DE MENDOZA

LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACION GENERAL BASICA (E.G.B.)

Propuesta de organización de las matrices decontenidos y de los saberes-herramientas eindicadores de logro.

En el momento de tener que organizar todas lascomponentes que convergen en estas matrices(SABER; SABER-HACER; SABER-HERRAMIEN-TA 0 INDICADORES DE LOGRO), confecciona-das para cada año del Ciclo, nos ínclinamos poruna forma de presentación que no responde a lastradicionales.Adoptamos, por otra parte, la misma seguida parael Nivel Inicial y para el Primer Ciclo.Estamos aludiendo a las cuatro columnas con lascuales están familiarizados los docentes.

En ellas se ponen en evidencia, mediante puntosfuertes, los organizadores disciplinares.Nuevamente señalamos que la secuencíación pro-puesta es punto de partida para el tercer nivel deespecificación del currículum (institucional) quedará paso a la planificación áulica (currículum real).Para la elaboración de esta última hay que teneren cuenta los organizadores didácticos sobre loscuales aún no hemos, llegar apoyos explícitos.La tercera columna (columna grisada) puede serusada desde ópticas distintas:

- desde el alumno,- desde el docente como un control del procesode aprendizaje y para elaborar situaciones de aula.

En fin, la cuarta columna tiene caracter figurativo.Quisimos significar que con la información sumi-nistrada por las otras tres, está en condiciones deelaborar secuencias de enseñanza y aprendizajedestinadas al aula.En otras ocasiones hemos justificado la imposibili-dad de secuencíar los contenidos actitudinales, aúncuando reconocemos su importancia y la necesi-dad de que el docente no los descuide.


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LA MATEMATICA EN EL SEGUNDO CICLO DE IA EDUCACIÓN GENERAL BASICA (E.G.B.)

Matrises de contenidosy Saberes-Herramienta

ACTIVIDADES LOGICASY DE LA COMUNlCAClON



El apartadoACTIVIDADES GEOMÉTRICAS

- Expectativas de logro (Criterios deacreditación) para el Segundo Ciclo




Hablemos del apartado ACTIVIDADESGEOMÉTRICAS en el Segundo Ciclo de laEGB.

a) Expectativas de logro (criterios de acreditación)para EGB2, correspondientes al apartado.

Cuando iniciamos la presentación de las nociones delApartado en el Fascículo 7, destinadas al Nivel Inicial,dijimos que cuando el niño ingresa a la escolaridadobligatoria ha “comenzado ya a organizar el espacioque lo rodea”, como consecuencia de sus movimien-tos y desplazamientos o debido al accionar natural deexploración de los objetos y del espacio físico en elque se desenvuelve. De esa manera, surgen los pro-blemas espaciales que son ajenos y de diferente na-turaleza de los problemas geométricos que apare-cen en los espacios abstractos de la Geometría.En la Síntesis Explicativa del Bloque 4 de los CBC,Nociones geométricas, se expresa con respecto al pro-pósito básico de estas nociones en la EGB: “ayudar alos alumnos a controlar sus relaciones con el es-pacio (físico), a representar y describir en formaracional el mundo que los rodea y a estudiar losentes geométricos como modelización de esa rea-lidad” .Tanto para el Nivel Inicial como para EGBI, nuestrapropuesta fue que la iniciación al aprendizaje de esosentes geométricos se hiciera como parte del aprendi-

zaje de los conocimientosespacio-geométricos.En esa ocasión también dijimos que la denomi-nación adoptada, “nociones espacio-gemétricas”,tiene un doble significado : por una parte se pro-picia el desarrollo en el niño de sus relacionesespaciales en el espacio concreto en el que semueve, y por otro se pretende una aproxima-ción a las nociones geométricas relativas a losespacios geométricos, básícamente, por la víade la intuición, dentro de lo que podemos Ila-mar una “geometría de la observación”.En efecto, desarrollar la intuición geométricasigue siendo un propósito básico en el Se-gundo Ciclo.Compartimos el concepto de intuición geométricade Hermann von Helmholtz, según el cual “lntui-ción es concebir de un modo claro las relacionesgeométricas”.Estamos convencidos de que la intuicióngeométrica debe preceder a la demostracióndeductiva, si pretendemos que el niño vaya bus-cando el sentido y el significado de los conteni-dos geométricos, a partir de su utilidad para re-solver problemas de su entorno.Pensamos que el docente tiene que comprendermuy bien la diferencia fundamental que hayentre el espacio concreto y el espacioconceptualizado de la geometría.En el primero prima la percepción, mientras queel segundo, es un espacio mental sobre el cual


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opera la Matemática.Somos conscientes de que no es tarea facil Ile-var a los niños de NI, EGB1 y EGB2, por sucesí-vas aproximaciones a la comprensión del espa-cio conceptualizado de la Geometría.Resulta natural que para este nuevo Ciclo, tam-bién propongamos que se sigan apropiando detales concocimientos mediante una interactuacióncon los objetos concretos del espacio físico. Sinembargo, aparecen ahora otras actividades quepermiten complejizar lo hecho con anterioridad.Antes de continuar insistimos en que la ense-ñanza y el aprendizaje de las nocionesgeométricas es tan importante como la ense-ñanza y el aprendizaje de las nociones numé-

= ricas. Pero sabemos que hay preocupación y an-siedad para que los niños adquieran destrezasnuméricas y quedan, por lo general, en segun-do plano o descuidadas estas otras nocíones.Esa actitud no está justificada sí tenemos en cuen-ta las dos siguientes razones:- casi todo el mundo debe afrontar con mayorfrecuencia problemas espacíales que problemasnuméricos;- la Matemática se edifica sobre los conceptosde número y de forma.El primero, da origen a la Aritmética y el segun-do, a la Geometría.Volvamos a considerar las actividades concer-nientes a este apartado.

Básicamente, las consideramos de tres tipos:- Las actividades largas, continuadas sobre un perío-do dado, que apuntan a la construcción de un saber ode un saber-hacer.- Las actividades de entretenimiento, que sirven parareforzar la adquisición de una cierta tecnicidad, repar-tidas más puntualmente en el tiempo.- Las situaciones-problema en contextos geométricos(a veces, también relacionadas con cuestiones numé-ricas), que el docente debe usar para explotar lo másque pueda desde el punto de vista metodológico.Cuando hablamos de actividades largas estamos pen-sando en la posibilidad de que ellas excedan un añoescolar. En efecto, en algunos casos resulta muy com-plejo determinar un corte neto entre un año y otro delCiclo, por lo cual una actividad propuesta para un año,cuarto año por ejemplo, pueda ser repetida en los otrosdos siguientes, con objetivos complementarios.

En general, hay una continuidad notoria con respectoa EGB1 , y en especial con el último año de ese Ciclo.Se abordan objetos geométricos del espacio y delplano. Con respecto a los primeros, el aprendizajeapunta a los sólidos, en especial a los poliedrossimples convexos. Entres éstos, se destacan los Ila-mados sólidos o cuerpos platónicos, que son cinco:tetraedro regular, hexaedro regular o cubo, octaedroregular, icosaedro regular y dodecaedro regular. El usodel calificativo regular al mencionar a cada uno detales cuerpos, pone en evidencia la existencia de otros


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poliedros con el mismo número de caras, pero que noson regulares. Un punto para destacar, entre lo queproponemos, es la familiarización del niño con la re-producciones, las descripciones, las construcciones yla representaciones planas de los sólidos.También se comienza a abordar el estudio de los pla-nos y de las rectas en el espacio. Interesan las posí-ciones relativas de los planos, de las rectas, y delas rectas y planos, introducidas mediante planos físi-cos (como pueden ser las caras de un cubo concreto)y rectas físicas (como las aristas del mismo cubo).Con respecto a las figuras planas, son objeto de estu-dio en EGB2 , : polígonos, circunferencia, círculo,rectas y, en especial, sus posiciones relativas (para-lelas, secantes, perpendiculares), abordadas, en prín-cipio, mediante interpretaciones concretas, como porejemplo, los lados opuestos de un paralelogramo o deotros polígonos familiares presentados en dibujos, car-tulina, etc. También hay actividades de reproducción,representación, descripción y construcción.Hay un interés especial en que el alumno manejeprogramas de construcción, (algoritmos), y no sóloque los ejecute, sino que aprenda a diseñarlos paraque otros lo hagan. Lo dicho, vale tanto para cuestio-nes del plano como del espacio.Antes de seguir es conveniente que establezcamos elsignificado de ciertos términos usados:- Reproducir un objeto que tienen los alumnos es rea-lizar una copia “idéntica”. Se trata de un problema abier-to porque no hay ninguna indicación del procedimíen-

to a usar. El niño dispone de un objeto físico, enespecial la representación de un sólido geomé-trico (poliedros, conos, cilindros, ..) y debe realí-zar otro objeto físico “índístínguible”deI primero.- Describir un objeto es comunicar las formula-ciones de naturaleza geométrica que permitenidentificarlo, representarlo,...- Representar un objeto es la descripción conla ayuda de procedimientos convencionales (ora-les, escritos o gráficos). Estos procedimientosevolucionan con el nivel de los alumnos y pue-den ser diversos, cada uno tomando ciertas pro-piedades y omitiendo otras.- Construir un objeto es diferente de la repro-ducción, porque los niños parten de una repre-sentación o de una descripción y no, del objetomismo.Resulta evidente que la descripción es una im-portante actividad de comunicación, donde sepasa de un objeto físico a un discurso sobre eseobjeto, o sobre la imagen, (la representación fi-gurativa que se hace).

Desde la óptica de la Geometría hay distintasmaneras de observar y conceptualizar el espa-cio de estudio, sea bídimensional, trídímen-sional,...Un camino es a través del estudio de las propie-dades invariantes con respecto a ciertas fun-ciones puntuales, en especial las biyectívas, Ila-madas transformaciones geométricas.



das transformaciones geométricas.- Surgen así“diversas” geometrías que tienen que ver con esosinvariantes o sea, con las propiedades que semantienen a través de tales funciones. Se hablade Geometría proyectiva, Topología, Geometríaafín, Geometría métrica, . . . . En este nivel de laescolaridad sólo se pretende una “mirada” des-de la óptica de la geometría métrica usual, oGeometría euclidiana, que es la que se manejadesde siempre en todos los niveles de la escuelaelemental. En esta geometría, los invariantes sonla distancia relativa, los ángulos, la perpendicu-laridad, la semejanza (cuando la razón es 1, esla congruencia). Otro invariante es el paralelis-mo. En realidad es una propiedad invariante enotra geometría, pero en ésta, también lo es.Si bien la mirada se hace desde la óptica de Iageometría euclidiana, conocida por todos los do-centes, ello no significa que no se den miradasdesde otras geometría?, porque resultan útilespara interpretar ciertas cuestiones de nuestromundo físico. Éso es lo que se hace, por ejem-plo, cuando se estudian las relaciones entre elnúmero de vértices, de caras y de aristas (re-lación de Euler) en los poliedros convexos sim-ples. Lo mismo cuando se muestra la cinta deMoebius, superficie unilátera, para diferenciarla deuna superficie bilátera,como puede ser una hoja depapel. Cuando se observan los objetos vistos enperspectiva desde distintos puntos de vista, sea

seccionados, proyectados o desarrollados, la miradaviene desde la Geometría proyectiva.En fin, lo dicho es sólo para el docente. Para el niño setrata unicamente de una aproximación a los objetosdel espacio conceptualizado de la geometría, que estáadaptada para ser tratada a nivel escolar, por mediode los objetos físicos del mundo que lo rodea.Las transformaciones puntuales de la geometríaeuclidiana son : las simetrías, las traslaciones, lasrotaciones, las semejanzas (agrandamientos, reduc-ciones) y la congruencia, entre otras.Para abordarlas hay que recurrir al uso de instrumen-tos: papel de calcar, papel cuadriculado, papel liso,papel punteado, de dibujo (regla, escuadra, compás,. . . ), computadoras, tijeras, etc.Los pavimentos (teselados o mosaicos), iniciados enEGB1, son muy recomendables por distintas razones.Entre otras, sirven para reconocer las transformacio-nes geométricas.Al dibujo geométrico, comenzado también en el Ci-clo anterior, hay que prestarle mucha atención. Se usanlos instrumentos geométricos de dibujo, tanto para tra-zar o completar una figura como para controlar experi-mentalmente sus propiedades, construir figuras repre-sentativas de figuras geométricas, usando o no, el em-pleo de algoritmos para efectivizarlas.En cuanto a la medida y la medición, que viene deEGB1, hemos dicho ya que las magnitudes deben serintroducidas siguiendo un cierto orden, que por diver-sas razones, no puede ser cualquiera.A continuación están las Expectativas de logro (crite-rios de acreditación)



EXPECTATIVAS DE LOGROS (criterios de acredita-ción) para el Segundo Ciclo de la E.G.B. (corres-pondientes al apartado ACTIVIDADES GEOMÉ-TRICAS.

Resolver situaciones-problemas que impli-quen en los diferentes contextos de uso:

(1) Reconocer, nombrar y describir sólidos (enespecial, poliedros, poliedros regulares, cílíndro,cono y esfera) y figuras planas (en especial,polígonos, polígonos regulares, rectas y segmen-tos), usando el vocabulario apropiado.

(2) Reproducír, representar y construir sólidos,en particular poliedros y cuerpos geométricoshasta de una cara circular por lo menos, usandodistintas informaciones (representaclones pla-nas, como los patrones, algoritmos 0 programasde construcclon,...)

(3) Diseñar patrones, algoritmos (programas deconstruccíon) para construir solídos y figurasplanas.

(4) Reproducir, representar (mediante procedi-mientos convencionales orales, escrítos o gráfí-cos) y construir fíguras planas (en particular,polígonos, circunferencias, rectas, segmentos,...)en papel liso, punteado y cuadriculado.


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(5) Analízar y verfícar, por distintos medios,propiedades geométricas de sólidos y defíguras planas, representadas de distintasmaneras.

(6) Reconocer y codificar posiciones relati-vas de rectas en el plano, de planos, de rec-tas y de planos y rectas, en el espacio.

(7) Reconocer y usar sistemas de referen-cla en una recta, en un plano y en una su-perfície esférica.

O Resolver situaciones-problemas que impli-quen en los diferentes contextos de uso:

(8) Reconocer, reproducir y construir figurasplanas por simetría, traslación, rotación, se-mejanza (agrandamiento o reducción) em-pleando distintos recursos (calcos, plegados,plantillas, . ..) y analízando las propiedades delas mismas.

(9) Reconocer e interpretar las distintas trans-formaciones geométricas en embaldosadosy frlsos, y construirlos a partir de las mismas.


0 Resolver situaciones-problema que ímplí-quen en los diferentes contextos de uso:

(10) Usar instrumentos geométricos para dí-bujo (regla, regla graduada, triángulo d emadera, escuadra, compás,...) para reprodu-cír y construir figuras del plano o representa-ciones planas de sólidos, y otros recursoscomo plegados, calcos, plantíllas, papel cua-driculado, punteado, . . .

(ll) Analizar, describir, diseñar y ejecutar pro-gramas de construcción para figuras planaso de representaciones planas de sólidos.

0 Resolver situaciones-problema que impli-quen en los diferentes contextos de uso:

(12) Realizar comparaciones y mediciones,usando unidades convencionales adecuadasy fraccíones de ellas, de longitudes, masas,capacidades, extensíón superficial (áreas) yextensión espacial (volúmenes).

(13) Usar correctamente los instrumentos demedición adecuados a las magnitudes a me-dir.

(14) Calcular y estimar perímetros y áreas defíguras planas, no necesariamente regulares,y de áreas, volumenes, capacidades y masas,de sólidos, no necesariamente regulares.

Al consignar las Expectativas de logro (Crite-rios de acreditación), hemos indicado con letracursiva las que aparecen como nuevas en este

C i c l o


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b) Consideraciones generales relativas a los orga-nizadores disciplinares de las matrices de conteni-dos.

Las matrices de contenidos correspondientes a lostres años del Ciclo, visualizan mediante puntos fuer-tes, los organizadores de la disciplina escolar.Analizando las Expectativas de logros del Ciclo,(lineamientos de acreditación), y también las matricesmencionadas, es posible tener un panorama de lossaberes y de los saberes-hacer, propuestos para serconsolidados y complejizados en esta nueva etapa dela escolaridad. En cuanto a los saberes-herramientadel alumno, son para el docente, indicadores de lo-gros. Analizando los de un año, con respecto a losanteriores o posteriores, se evidencia la complejización.

De ahí la importancia de que todo docente de EGB2conozca la propuesta de los Ciclos anteriores.

De esa manera podrá hacer un buen diagnóstico delos conocimientos previos de sus alumnos. Sabemosmuy bien la importancia que tiene ese conocimientopor cuanto es uno de los determinantes de los apren-dizajes posteriores.Por lo que hemos dicho en el comienzo de este apar-tado, sintéticamente las nociones espacio-geométricasen dos y tres dimensiones que se proponen en el Se-gundo Ciclo, aparecen en situaciones concretas y, lo

mismo que en el caso de los números y otrasnociones fundamentales, la sugerencia es quese lo haga, en los casos posibles, por el uso yteniendo en cuenta las funciones de los objetosque son motivo de enseñanza y aprendizaje.Insistimos nuevamente en que en este Ciclo nose pretenden elaboraciones de tipo deductivo.Sin embargo, pensamos que se puede guiar alalumno a establecer relaciones y a someterlas aprueba en casos particulares, a modo de prepa-ración para una demostración más rigurosa querealizará en los Ciclos que siguen.También reiteramos que en la enseñanza de lasnociones geométricas hay dos etapas bien dife-renciadas: una que consiste en un trabajo de des-cubrimiento correspondiente a la Geometríaintuitiva, y luego una segunda, en la cual se avan-za hacia un trabajo de reconstrucción de la teo-ría, a partir de los elementos descubiertos, me-diante un estudio sistemático de la misma.Lo que proponemos es que se les preste mu-cha atención a estas nociones, que han sidomuy descuidadas en la escuela elemental.En el momento de tener que realizar las planifi-caciones áulicas recomendamos que las adap-taciones no desvirtúen los propósitos generalesdel área, que están bien explicitados al conside-rar las’ Expectativas de logros (lineamientos deacreditación). Por otra parte, también sugeri-mos que a la hora de reducir o sintetizar con-


tenidos, el recorte sea equilibrado y no, quese supriman organizadores disciplinares com-pletos. La comprensión de los conceptos esen-ciales de cada organizador de la disciplina ha deser prioritaria. Ya hemos insistido en la necesi-dad de no descuidar las nociones geométricasque le sirven al niño, entre otras cosas, para des-cribir el mundo que le rodea.

HAY QUE DEJAR DE LADO LA PRIORIDADQUE SE LE HAN VENIDO DANDO A LAS RUTI-NAS DE CÁLCULO, COMO SI ESE FUERA ELÚNICO PROPÓSITO DE LA ENSEÑANZA Y ELAPRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA, A ESENIVEL DE LA ESCOLARIDAD.

Para una mejor comprensión de la propuesta delapartado pasamos a considerar brevemente losorganizadores disciplinares. Ellos son:

0 Objetos geométricos

0 Transformaciones geométricas

0 Dibujo geométrico

0 Medida y mediciones.

Si el docente analiza los Ciclos anteriores va areconocer la continuidad que tiene la propuesta.

0 Objetos geométricos.

Están referidos al espacio y al plano. Hasta el segun-do año de EGB1 se habló de Formas geométricas yrecién al finalizar el Ciclo anterior, propusimos el nom-bre mencionado. Hemos dado las razones en muchasocasiones. Los objetos geométricos son del espacioconceptualizado de la geometría y hacia ellos el niñose va aproximando. En el caso del espacio, primeromediante un reconocimiento de objetos realesque tie-nen las formas de aquéllos, y luego a través de repro-ducciones de sólidos concretos, de descripción, de re-presentación y de construcciones de esos mismos ob-jetos físicos. Lo dicho vale también para el plano, en elcaso de las figuras planas, rectas, segmentos, . . . Seaborda una aproximación al conocimiento de las mis-mas, mediante actividades similares a las menciona-das para el caso del espacio.Hablemos de los sólidos. En este nivel decimos queun sólido es un objeto geométrico limitado por una su-perficie cerrada que puede ser plana o no. En lugar desólidos suele usarse el nombre cuerpos geométricos.Cuando se estudian los sólidos se constata que unpapel importante está dado por la propiedad de con-vexidad. Un sólido S se dice convexo cuando todosegmento determinado por dos puntos cualesquierade S está incluido en S. Entre los sólidos distinguimoslos poliedros, caracterizados porque su frontera estáconstituida por porciones de plano que se llaman ca-ras. Estas caras son polígonos cuyos lados son las a-


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ristas del poliedro. En la categoría de los poliedros,son los poliedros convexos los que se reencuentranmás a menudo en la vida corriente, mediante mode-los concretos o reales.

Entre los poliedrosconvexos destaca-mos los llamadospoliedros regula-

Poliedro convexo Poliedro no convexores. caracterizados

o cóncavo porque todas sus ca-ras son polígonos regulares y congruentes dos a dos ycada vértice es el punto de concurrencia de un mismonúmero de aristas. Existen cinco tipos de poliedrosregulares convexos (y solamente cinco); se los llamasolidos de Platón : tetraedro regular, hexaedro re-gular o cubo, octaedro regular, dodecaedro regu-lar, e icosaedro regular.En muchas ocasiones usamos la expresión desarrollode un sólido para aludir al “patrón” de ese sólido, osea, a un “arreglo”de sus caras realizado en el plano.Por ejemplo,el siguiente “patrón”corresponde a un de-sarrollo del hexaedro regular o cubo. Lo interesantees el que el niño encuentre todas las posibilidades que

tiene para diseñar los “patrones”del cubo. Son II en total y esun problema de combinato-ria. También puede diseñar patro-nes para construir modelos físi-cos de poliedros no regulares.

Hablemos de los polígonos. En el Segundo Ciclo se

trabaja con los cuadriláteros, y en especial sedestacan los paralelogramos. En efecto, en elconjunto de los cuadriláteros del plano, elparalelogramo juega un papel esencialmenteimportante, en la medida en que está privilegia-do con respecto al triángulo, que ha sido la figu-ra de base de la enseñanza clásica de la geo-metría euclidiana. Esto se explica por el hechode que se trata de una figura que tiene propieda-des relacionadas con el paralelismo y tambiéntiene propiedades relacionadas con las distan-cias. Lo que sigue aclara lo que estamos dicien-do. Un paralelogramo admite dos definiciones dedistinta naturaleza. Por un lado, podemos defi-nirlo como un cuadrilátero cuyos lados opuestosson paralelos. Esa característica es necesaria ysuficiente. Por otro, vale la definición según lacual es un cuadrilátero cuyos lados opuestos tie-nen la misma longitud. Lo dicho no significa quelos triángulos sean dejados de lado, pero esta-mos proponiendo tener en cuenta a los paralelo-gramos. También son objeto de estudio figurascomo la circunferencia y el disco o círculo. Dis-tinguimos el segmento radial (conjunto de pun-tos) del radio (número que da la longitud de di-cho segmento). Se trata de una diferencia con-ceptual.En este Ciclo, aparecen las condiciones de pa-ralelismo entre rectas del plano, a partir de laconsideración de “rectas físicas” y lo mismo conrespecto a la perpendicularidad. Igualmente es-


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tas nociones deben ser abordadas en el espacio,mediante una aproximación dada por “planos fí-sicos” y por “rectas físicas”. El paralelismo entrerectas del plano, o entre rectas y entre planos delespacio, comienza por la situación restringida (pa-ralelismo disjunto) para considerar luego, la si-tuación amplia (paralelismo disjunto o coinci-dente).Como una novedad aparecen los sistemas dereferencia (que prolongan los recorridos con re-ferencia de años anteriores). Es interesante queel niño comprenda la similitud de estos sistemasen el plano y en la superficie esférica. En cuantoal caso de una recta, la cosa cambia según quese la considere como un espacio unidimensional(cada punto se referencia con un número único),como parte de un plano (cada punto requiere doscoordenadas), o del espacio (cada punto se refe-rencia con tres números)

0 Transformaciones geométricas.

Desde EGB1 se han propuesto muchas activida-des relacionadas con las transformacionesgeométricas (dobleces y recortes de papel, calcos,manchas de pintura o de tinta, dibujos, ..) y ellas secontinúan en EGB2. Llevan a los niños a construirformas geométricas y a descubrir sus propiedades.Es recomendable que el docente conozca la sig-nificación matemática de tales funciones, paraque no pierda la oportunidad de desarrollar estetema, básico en Geometría.

Junto con las transformaciones geométricas aparecenlos pavimentos, teselados o mosaicos del plano. Setrata de un tema interesante, que prolonga lo hecho enel Ciclo anterior. El alumno debe “descubrir” con quépolígonos puede construirlos siempre, y en qué casosno es así (por ejemplo, con los pentágonos)

0 Dibujo geométrico

En el Segundo Ciclo el alumno dispone para las activi-dades geométricas de un manejo de recursos varia-dos, entre los cuales destacamos los instrumentos dedibujo. La “caja de útiles” en geometría es lo que nodebe faltar para la realización de las muy variadas ac-tividades de reproducción y de construcción, entreotras.

0 La medida y la medición.

En el EGB2 se va buscando una real comprensión delproceso de medir, asegurando una enseñanza signifi-cativa del tema. A la edad en que los niños transitaneste Ciclo, no están en condiciones todavía de distin- guìr entre la noción matemática de la medida y la no-ción experimental de la misma ( a partir del procesofísico de medir). Sin embargo, es el docente quien tie-ne que tener clara esa diferencia. Todavía se sigueponiendo énfasis en el proceso físico de medir con laayuda de instrumentos. Proponemos destacar la in-exactitud de los resultados, el concepto de errorde medición y de aproximación, así como la impor-tancia de seleccionar la unidad conveniente.



Propuesta de organización de las matrices decontenidos y de los saberes-herramientas eíndicadores de logros.

Tomamos la decisión de organizar todas las com-ponentes que convergen en estas matrices (SA-BER; SABER-HACER; SABER-HERRAMIENTA 0INDICADORES DE LOGROS), confeccionadaspara cada año del Ciclo, adoptando una disposi-ción distinta de las tradicionales.Estamos aludiendo a las cuatro columnas con lascuales los docentes están familiarizados, porquecuanto así fueron organizados los Ciclos anterio-res.En las matrices mencionadas hay puntos fuertes,Se trata de los organizadores de la disciplina.Haciendo una lectura atenta de dichos organiza-dores para NI y EGB1 no debe sorprender que lamayoría de ellos se reitere. En otros, aún cuandola denominación se haya modificado, queda en evi-dencia la continuidad de las nociones. Tal es elcaso, por ejemplo, del organizador Formasgeométricas, de los primeros años de EGB. Lue-go pasa a denominarse Objetos geométricos.Nuevamente señalamos que la secuenciación pro-puesta es punto de partida para el tercer nivel deespecificación del curriculum (institucional), quedará paso a la planificación áulica (curriculum real).Sabemos que no se advierten explícitamente enlas matrices de contenidos, los organizadoresdidácticos, tan importantes como aquéllos en el

momento de elaborar los otros niveles curricu-lares. En próximas publicaciones haremos llegaralgunas sugerencias al respecto, a los efectosde que la propuesta sea mejor interpretada.

Cuanto mayor sea la comprensión global de lapropuesta, mayor será la posibilidad que tiene eldocente de ir incorporando desde ya, algunascuestiones a sus actuales planificaciones.En cuanto a la columna grisada tiene doble fina-lidad: por un lado está pensada desde la ópticadel alumno, por eso hablamos de saberes-he-rramienta; por otro, desde la óptica del docenteresulta útil para seguir el proceso de enseñanzay aprendizaje y evaluar los aprendizajes. De ahíque también proponemos la denominación deíndicadores de acreditación:La forma de organización es provisoria y estapuesta a consideración de los docentes.

mo. DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS GOBIERNO DE MENDOZA

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Matrices de contenidosy Saberes-Herramienta

ACTIVIDADES GEOMÉTRICAS


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