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Los sistemas de numeraciónen la historia A lo largo de la historia, los pueblos eligieron representar las cantidades de maneras diferentes. Los nombres

de los inventores se han perdido tal vez porque las invenciones se remontan a una enorme antigüedad; talvez porque esas invenciones geniales las hicieron hombres humildes que no tenían derecho a la crónica, oquizá porque son el producto de prácticas colectivas que no serían atribuibles a nadie en forma precisa.

MAT

EM

ÁTI

CA

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GB

2

A comienzos del siglo XII, la civiliza-ción incaica que ocupaba los territo-rios de Perú, Bolivia y Ecuador, lleva-ba archivos y una contabilidad muyprecisa gracias a un dispositivo llama-do quipu, un sistema de cuerdas mul-ticolores con nudos. Su sistema era debase decimal. Sobre una cuerda col-gante había varios puntos de referen-cia a distintas alturas. En la referenciainferior se hacían tantos nudos comofuera necesario para las unidades, enla segunda para las decenas y así su-cesivamente. Por ejemplo, en cuerdasblancas se hacía el inventario de ga-nado ovino, una cuerda era para losborregos, otra para los corderos, luegolas ovejas, etc. Con el mismo criterio,en un manojo de cuerdas verdes sehacía el inventario del ganado bovino.

Incas

El método más antiguo y con más tes-timonios universales para representarcantidades es el de las muescas en ma-dera o hueso. Por ejemplo se encontróun hueso de lobo de entre 30.000 y20.000 años de antiguedad con seriesregulares de grupos de cinco como losdedos de la mano. Otro ejemplo es el delas tallas correspondientes a ciertos lu-gares de los Alpes, de pastores que re-gistraban el número de animales a sucargo con muescas en trozos de made-ra. Las cifras romanas fueron una inven-ción de pastores. Los grafismos que hoyconocemos no son las formas inicialesde las cifras; nacieron cientos, tal vezmiles de años antes que la civilizaciónromana; son un vestigio de la prácticaancestral de la muesca. Servían para re-cordar los números, teniendo que recu-rrir a los ábacos de fichas para practicarel cálculo. La numeración seguía elprincipio de la suma, pero complicandoel sistema con la regla de la resta.

En México, entre los siglos XIV y XVIde nuestra era, se desarrolló la civiliza-ción azteca. Los aztecas crearon un sis-tema de cifras que conocemos a partirde manuscritos que los especialistas lla-man Codex. En ellos los escribas expre-saban por escrito los resultados de susinventarios y el recuento de los tributosrecogidos por el imperio reproduciendocada cifra tantas veces como fuera ne-cesario junto a los pictogramas asocia-dos. Esta numeración se basa en elprincipio aditivo según el cual el valorde una representación se obtiene su-mando los valores de las cifras. Era unanumeración de base vigesimal (20).

En Egipto, alrededor de 3.000 años a.C.utilizaron una numeración jeroglíficade base decimal: poseían un jeroglíficoespecial para indicar la unidad y cadauna de las seis potencias de 10 siguien-tes. Se ha encontrado una maza quecontiene cierto número de datos y queperteneció al rey Namer, en las que hayrepresentaciones del botín en cabezasde ganado y prisioneros que se suponíaque el soberano había traído de sus ex-pediciones. Para representar un númerose limitaban a repetir cada cifra tantasveces como fuera necesario en ordende los valores decrecientes. A medidaque transcurrió el tiempo, el dibujo delos jeroglíficos se fue haciendo más re-gular para facilitar su lectura.

El principio de posición que hoy nosparece tan sencillo –el que indica quelas cifras adquieran diferente valor se-gún el lugar que ocupen en el númerorespecto del resto– fue descubierto porprimera vez a comienzos del segundomilenio a.C. por los matemáticos y as-trónomos de Babilonia. Ellos utiliza-ban un sistema de numeración de ba-se sexagesimal (lo que quiere decir que60 unidades de un orden equivalen a 1del orden siguiente) con dos cifras,clavo y espiga, que permitían repre-sentar en forma aditiva los númeroshasta 59. A partir de ese número, laescritura era posicional.

Quipu utilizado por los pastoresde las altiplanicies peruanasen el siglo XIX para hacer

el inventario de su ganado.

Un quipucamayoc incamanejando un quipu.

Representación en una cuerda del número 3643según el método del quipu inca.

Hueso de lobo encontradoentre sedimentos. Data deunos 30.000 años a.C.

Tallas realizadas por pastoresy encontradas en Dalmacia.

Tallas realizas por pastoreshacia finales del siglo XVIII.

Cifras aztecas Una página del “Codex Mendoza” en la que se enumera el tributo que siete ciudadesmexicanas debían proporcionar a los notables de la ciudad de Tenochtitlán.

Toros Cabras

Prisioneros

100.000

400.000 1.422.000 120.000

400.000

20.000 2.000

1.000.000

100.000

20.000

Cifras jeroglíficas egipcias

Los sacerdotes y astrónomos mayas des-cubrieron el principio de posición einventaron el cero, concibiendo la nume-ración escrita para cálculos astronómicosy de tiempo. La unidad de base del sis-tema era el día, y comprendía un añoaproximado de 360 días, organizados enmeses de 20 días, ciclos de 20 años y ci-clos de 400 años. Para representar losperíodos de tiempo en número de díastranscurridos lo hacían en orden de losvalores decrecientes de arriba hacia abajo.La fecha de erección de una estela, porejemplo, incluía en cada posición tanto elnúmero como el jeroglífico correspon-diente a día, mes, año, ciclo de 20 años ode 400 años. Cuando dejaron de escribirlos indicadores de las unidades de tiem-po, escribieron de manera simplificada lasfechas, con lo que tuvieron un sistemapotencialmente aplicable a cualquier tipode cálculo. Pero este sistema tenía unairregularidad en la tercera unidad detiempo: en lugar de indicar en esa posi-ción los múltiplos de 20 x 20 = 400, sóloexpresaban los de 18 x 20 = 360.

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000

Transcripción

1 252 503* 1 154 1 405 2 056 2 307 2 558 3 209 3 4510 4 1011 4 3512 513 5 2514 5 5015 6 1516 6 40

Traducción(sistema posicional decimal)

1 252 503 754 1005 1256 1507 1758 2009 22510 25011 27512 30013 32514 35015 37516 400

Esta tablilla procedente de Susa y fechada en la primera mitad del segundo milenio a.C.es una tabla de multiplicación por 25, en la que los números están expresadosen el sistema posicional sexagesimal de los sabios babilonios.

Jeroglíficos mayasde unidades de tiempo

Estela A de Quiriguá.En este monumento,

erigido en el año 775de la era cristiana, los dioses

han sido esculpidos delante ydetrás, y los glifos

(calendarios astronómicosy otro tipo de calendarios)

en los lados.

KIN UINAL TUN KATUN BAKTUN

Representación maya de losdiecinueve primeros números

Unidad de Recursos DidácticosSUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA

Cuerdas y muescas

Invención de cifras

Invención del cero y la posición

BorregosVacas estériles

Vacas lecherasToros

9 BAKTUNES9 x 144.000 d.

(= 1.296.000 días)

17 BAKTUNES17 x 7.200 d.

(= 122.400 días)

0 TUN0 x 360 d.(= 0 días)

0 UINAL0 x 20 d.(= 0 días)

0 KIN0 x 1 d.

(= 0 días)

Romanos

Mayas Babilonios

EgipciosAztecas

*Ejemplo: al 3 en la tabla del 25 le corresponde75 = (1 x 60) + 15