1. Educacin a DistanciaCristina Adunka, Gabriela Mattiello, Adriana Moreno, Ana Repetto, Diego Daz PuppatoMatemtica I - EGB3 Proyecto pedaggico con modalidad a distancia para la terminalidad de estudios de EGB3 y Educacin Polimodal EDITEP Cristina Adunka, Gabriela Mattiello, Adriana Moreno, Ana Repetto, Diego Daz PuppatoMatemtica I - EGB3Este libro se edita como material de aprendizaje destinado al personal de seguridad pblica de la Provincia de Mendoza. Su finalidad es la de orientar los procesos educativos desarrollados en el marco del proyecto pedaggico con modalidad a distancia para la terminalidad de estudios de EGB3 y Educacin Polimodal EDITEP, implementado a partir de la firma del Convenio entre la Universidad Nacional de Cuyo y el Gobierno de la Provincia de Mendoza, en octubre de 2003.EDIUNCEDIUNC[Serie Trayectos Cognitivos]Matemtica I - EGB3Proyecto pedaggico con modalidad a distancia para la terminalidad de estudios de EGB3 y Educacin Polimodal EDITEPGOBIERNO DE MENDOZAUNIVERSIDAD NACIONAL DE CUYO

2. Matemtica I - EGB3 Proyecto pedaggico con modalidad a distancia para la terminalidad de estudios de EGB3 y Educacin Polimodal EDITEP 3. Universidad Nacional de Cuyo (Mendoza, Repblica Argentina) Rectora: Dra. Mara Victoria Gmez de Erice Vicerrector: Ing. Agr. Arturo Somoza Secretaria de Extensin Universitaria: Mgter. Rosa Fader de Guiaz Director General del CICUNC: Mgter. Ciro Novelli Directora de Educacin a Distancia: Mgter. Fernanda Ozollo Director de Nuevas Tecnologas: Mgter. Omar ArancibiaGobierno de Mendoza Gobernador: Ing. Julio Cobos Ministro de Justicia y Seguridad Social: Dr. Roberto Grillo Directora General de Escuelas: Lic. Emma Cunietti Subsecretaria de Relaciones con la Comunidad, MJyS: Lic. Claudia Garca Subsecretario de Gestin Educativa, DGE: Lic. Eduardo AndradeProyecto EDITEP Responsables del Proyecto Responsable Institucional: Mgter. Rosa Fader de Guiaz Directora de Proyecto: Mgter. Fernanda Ozollo Coordinadora General del Proyecto: Lic. Mnica Matilla Coordinador Tecnolgico: Mgter. Omar Arancibia Comit Estratgico del Proyecto Gobierno de Mendoza Ministerio de Seguridad y Justicia: Lic. Claudia Garca Gobierno de Mendoza Direccin General de Escuelas: Lic. Eduardo Andrade Universidad Nacional de Cuyo: Lic. Mnica Matilla, Mgter. Fernanda OzolloEDIUNC Editorial de la Universidad Nacional de Cuyo Director: Prof. Ren Gotthelf 4. Universidad Nacional de Cuyo Secretara de Extensin UniversitariaMatemtica I - EGB3 Proyecto pedaggico con modalidad a distancia para la terminalidad de estudios de EGB3 y Educacin Polimodal EDITEPCristina Adunka, Gabriela Mattiello, Adriana Moreno, Ana Repetto, Diego Daz PuppatoEDIUNC Mendoza, 2004 5. Matemtica I - EGB3 Coordinacin de la elaboracin del libro Marcela Orlando Asesora experta Norma Pacheco Produccin de textos y procesamiento didctico Cristina Adunka, Gabriela Mattiello, Adriano Moreno, Ana Repetto Procesamiento didctico final Diego Daz Puppato Correccin de estilo Luis Emilio Abraham, Gonzalo Casas, Pilar Pieyra Diseo de cubierta e interior Coordinador Claudio E. Cicchinelli Diseadores Natalia Lobarbo, Jaime Llugany, Julieta Martn, Lorena Pelegrina Ilustradores Matas Arges, J. Mariano RuszajPrimera edicin. Mendoza, 2004 Publicacin de la Secretara de Extensin Universitaria de la Universidad Nacional de Cuyo Serie Trayectos Cognitivos, N 9Matemtica I : EGB 3 : proyecto pedaggico con modalidad a distancia para terminalidad de estudios de EGB 3 y Educacin Polimodal EDITEP / Cristina Adunka ... [et al.] - 1a. ed. Mendoza: EDIUNC, 2004. 219.; 29,7 cm. - (Trayectos cognitivos; 9) ISBN 950-39-0171-5 1- Matemtica 2- Geometra I- Adunka, Cristina II- Mattiello, Gabriela III- Moreno, Adriana IV-Repetto, Ana V- Daz Puppato, DiegoImpreso en Argentina - Printed in Argentina ISBN 950-39-0171-5 Queda hecho el depsito que marca la ley 11.723 EDIUNC, 2004 Centro Universitario, 5500 Mendoza Repblica Argentina 6. NDICE INTRODUCCIN9EJE I CONJUNTOS NUMRICOS15NMEROS ENTEROS Nmeros enteros negativos El conjunto de los nmeros enteros La recta y los nmeros enteros Mdulo o valor absoluto de un nmero entero Nmeros opuestos Orden en los nmeros enteros Antecesor y sucesor17 17 19 19 20 21 22 23Clculos con nmeros enteros Clculo de la suma con nmeros enteros Propiedades de la adicin en Z Sustraccin de nmeros enteros Algoritmo para el clculo de la diferencia de dos nmeros enteros Suma algebraica Supresin de parntesis, corchetes y llaves Producto de nmeros enteros Algoritmo para el clculo del producto de dos nmeros enteros Propiedades de la multiplicacin con nmeros enteros Cociente de nmeros enteros El "0" en la divisin Clculos con sumas, restas, productos y cocientes de nmeros enteros Divisibilidad en Z Criterios de divisibilidad Nmeros naturales primos y nmeros naturales compuestos Teorema fundamental de la aritmtica Cmo se factoriza un nmero natural? Divisor comn mayor (d. c. m.) Mltiplo comn menor (m. c. m.)26 27 32 37NMEROS RACIONALES Formas de escritura (fraccionaria, decimal). Expresiones decimales finitas y peridica Notacin decimal de un nmero racional Expresin de nmeros racionales en notacin decimal78La recta numrica y los nmeros racionales. Valor absoluto. Densidad La recta numrica Valor absoluto38 39 41 46 48 50 57 58 59 63 67 69 70 70 72 7583 ...83 8586 86 87 7. Densidad Fracciones equivalentes Comparacin de nmeros racionales Clculos con nmeros racionales bajo distintas notaciones (fraccionaria y decimal). Propiedades de las operaciones Suma de nmeros racionales. Propiedades de la adicin Clculo de la resta en el conjunto de los nmeros racionales Propiedades de la adicin en el conjunto de los nmeros racionales Clculo del producto de una multiplicacin de nmeros racionales Propiedades de la multiplicacin en Q ............ Clculo del cociente de una divisin de nmeros racionales Clculos con sumas, restas, productos y cocientes con nmeros racionalesEJE II NOCIONES GEOMTRICAS87 88 91 95 95 108 114 115 120 122 124129SISTEMAS DE REFERENCIA CARTESIANA EN EL PLANO UNIDADES PARA MEDIAR CANTIDADES DE LONGITUD Qu es una cantidad de longitud? Qu es medir una cantidad de longitud? Cmo hallar cantidades de longitud equivalentes?135 137 137 138RECTAS Partes de la recta139 142NGULO Elementos de un ngulo Eje de simetra de un ngulo Sistema de medicin para medir cantidades de amplitud de ngulos Procedimientos para construir ngulos o medirlos utilizando el transportador Clasificacin de ngulos Algunos ngulos especiales144 146 147POLGONO Poligonal Elementos de un polgono Clasificacin de polgonos ................................... Polgono regular Tringulos..................................................................... Propiedades de los tringulos Clasificacin157 157 159 160 160 161 162 163131148 149 152 155 8. Elementos de simetra Cuadrilteros Propiedades de los cuadrilteros Permetro166 167 168 169FIGURAS CIRCULARES Circunferencia Elementos de una circunferencia Crculo Partes de un crculo172 172 173 173 174..FIGURAS SEMEJANTES174FIGURAS TRIDIMENSIONALES: CUERPOS Elementos de los cuerpos177 178EJE III RELACIONES Y FUNCIONES183LECTURA DE GRFICOS Dependencia Funcional. Variables. Variable independiente. Variable dependiente Frmulas Razn. Proporcin. Propiedad fundamental de las proporciones Funcin de proporcionalidad directa. Constante de proporcionalidad Porcentaje Escala Funcin de proporcionalidad inversa. Constante de proporcionalidad185 190 192 196 200 206 209 212 9. INTRODUCCIN:Si usted se detiene a pensar en su vida de todos los das, ver que en muchas ocasiones se encuentra con situaciones en las que necesita hacer uso de los conocimientos matemticos que aprendi en la escuela primaria o, tal vez, despus. Esto nos sucede en la economa del hogar (que nos enfrenta al delicado equilibrio entre el dinero que ingresa y el que se gasta), al hacer una compra o solicitar un crdito. Tambin en el mbito del trabajo, cuando tenemos que hacer un croquis, medir distancias o leer un grfico. Es decir, constantemente tenemos que utilizar lo que aprendimos en matemtica para resolver pequeos o grandes inconvenientes. En este curso, nosotros le proponemos profundizar lo que usted sabe y avanzar en el aprendizaje de nuevos conceptos y procedimientos que le sirvan de herramientas para su trabajo y su vida cotidiana, y a su vez, que le permitan resolver con ms seguridad las situaciones que se presentan en los contenidos propios de esta rea de estudio. Qu esperamos que usted logre cuando termine este curso? Identificar, interpretar y utilizar, en la resolucin de problemas, algunos conceptos matemticos relacionados con los nmeros enteros y racionales, sus clculos y operaciones, rectas, ngulos y figuras, las medidas y la medicin, los grficos y los distintos lenguajes matemticos. Esto significa que al finalizar el curso usted podr: Comprender y saber resolver problemas justificando los procedimientos empleados. Identificar e interpretar nmeros enteros y racionales , sus clculos y operaciones. Identificar, describir e interpretar algunos conocimientos geomtricos referidos a rectas, ngulos y figuras. Describir, comunicar e interpretar informacin matemtica utilizando distintos lenguajes. Interpretar y usar nociones relacionadas con las medidas y los procedimientos de medicin. Qu vamos a estudiar? Cmo vamos a hacerlo? El curso se ha organizado en tres ejes de contenidos: el primero se denomina Conjuntos Numricos, en el segundo trabajaremos las Nociones Geomtricas y en el tercero nos abocaremos a Relaciones y Funciones. 1 10. Durante el cursado, estudiaremos la resolucin de distintas situaciones cotidianas, utilizando esencialmente dos conjuntos numricos: enteros y racionales, sus clculos y operaciones. Tambin abordaremos el sistema de referencias cartesianas en el plano. Vamos a reconocer algunas figuras y entes geomtricos, sus propiedades y clasificaciones. Asimismo, trabajaremos con algunas nociones de relaciones y funciones numricas: variables, tablas, diagramas, expresiones algebraicas, grficas, frmulas y, a partir de ellas, funciones de proporcionalidad directa e inversa. Esperamos que con este curso usted pueda descubrir los porqu de algunos procedimientos matemticos. Generalmente, ser usted el que, a travs de algunas actividades o propuestas, construir distintas nociones y conceptos. Por ello, es muy importante que siga, paso a paso, las indicaciones de este material, para que pueda construir, junto con sus compaeros y profesores, cada uno de los aprendizajes. Las actividades que se proponen tienen dos funciones principales: que usted pueda aplicar y relacionar lo que sabe o ha estudiado anteriormente y que pueda construir nuevos aprendizajes de contenidos que probablemente desconoce. Le recomendamos que no saltee partes del material porque las necesitar para poder avanzar con lo que se encuentra ms adelante. En algunos casos, trabajaremos con nociones que por su complejidad o por su origen no vamos a comprobar, las aceptaremos como verdaderas. Por ltimo, le queremos decir que en matemtica, como en muchas materias, el error es parte del aprendizaje. Necesitar, para avanzar en el material, hacer algunas "pruebas" de lo que est estudiando. Realice todos los intentos necesarios, pero nunca baje los brazos. Cmo est organizado este material? El material entonces est organizado en tres captulos, uno para cada eje de contenidos, segn sealbamos anteriormente:cono?Recuerda la definicin que leEje 1. Conjuntos numricos Eje 2. Nociones geomtricas Eje 3. Relaciones y funcionespresentamos en el primer curso? Un cono es un dibujo que le indica qu tipo de actividad debe realizar.Recuerde que todas las actividades que usted realizar se presentan con un cono. Estos conos son: PENSAR. Este cono indica que tiene que detenerse un momento a analizar detenidamente lo que ha ledo. En el caso de Matemtica, es fundamental que lea la informacin que indica este cono y la memorice tambin, porque en ella se incluye la "formalizacin" de lo trabajado, es decir, su conceptualizacin en trminos matemticos. 11. TRABAJAR EN FORMA INDIVIDUAL. Le indica que la actividad de aprendizaje propuesta la realizar usted solo. TRABAJAR EN FORMA GRUPAL. Significa que la actividad de aprendizaje propuesta, en este caso, la realizar con sus compaeros. RECORDAR. Este cono presenta informacin resumida e importante. En general, se trata de algo que usted ya aprendi antes, en este curso o en otros anteriores, y que ahora va a necesitar usar nuevamente. O bien algo nuevo que deber tener presente en el desarrollo del curso. LEER. Indica la lectura de otros textos especiales para comprender los temas. Son textos obtenidos de otros materiales, y que se citan en este trabajo porque son necesarios para comprender los temas. Le recordamos tambin que usted, dentro del material, dispone de espacios en blanco en cada hoja donde puede realizar los clculos que necesite para resolver los ejercicios. Tambin enontrar, al finalizar cada eje, hojas con lneas de punto para tomar apuntes de las explicaciones de su profesor o bien hacer grficos o clculos para resolver las distintas actividades del libro. Puede anotar tambin all sus dudas, preguntas, las ideas que vayan apareciendo a medida que lee el material; justamente para esto est reservado el espacio de NOTAS. Cmo trabajaremos? Este curso que hoy comienza, est pensado para trabajar con modalidad a distancia. Usted se preguntar: qu caractersticas tiene esta modalidad? Pues bien, esto significa que no asistir todos los das a clases durante cuatro o cinco horas, sino que ir realizando el curso con el apoyo de tres ayudas valiosas que le sugerimos aproveche al mximo: a) Por un lado, las clases con su profesor y su grupo de compaeros, donde recibir las explicaciones de los contenidos y se realizarn las actividades previstas. En estos encuentros, usted podr preguntar todo lo que no entiende. No dude en hacerlo, su profesor est para ayudarlo en su proceso.Octavo ao?El ciclo que empieza es el tercero de la Educacin General Bsica, y estb) Por otro lado, tendr a su disposicin este material, para que lo lea y vaya siguiendo el curso, tanto en las clases como en las horas de estudio que deber dedicarle diariamente. Este curso le demandar entre 4 y 6 horas de estudio por semana. Comience a organizar sus tiempos para llevar al da el curso.formado por dos niveles: el octavo y el noveno. Usted inicia ahora el octavo y en l tendr que hacer y aprobar cinco cursos: Lengua, Matemtica, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales y Tecnologa 12. c) Y de ahora en adelante aparece una nueva figura en su proceso de aprendizaje: EL TUTOR. El tutor es un profesional que lo acompaar en todo su proceso de aprendizaje, tanto en este curso como en todos los que realice dentro del octavo ao. Seguramente usted se preguntar: cmo hago para estudiar? cmo organizo mi tiempo para llevar al da el estudio de los cinco cursos que forman el octavo ao? de qu se trata esto de una modalidad a distancia? qu hago si tengo dudas sobre los textos del material o alguna de sus actividades y falta tiempo hasta que vea al profesor en las clases? Seguramente estas y otras cuestiones pueden aparecer a medida que vaya realizando el material. Es justamente el tutor el que estar para solucionar esto. Usted se comunicar con l a travs del "campus virtual" que la Universidad Nacional de Cuyo ha creado especialmente para este proyecto. Recuerde que en el curso de Alfabetizacin Informtica estudiamos de que forma trabajar en el campus virtual. Si tiene dudas, vuelva sobre ese material y las explicaciones que le dio el profesor oportunamente. No dude en consultar a su tutor; l ser su compaero en este camino y tiene la tarea de colaborar con usted para que tenga la menor cantidad de inconvenientes posibles y pueda resolver sus dudas. Cmo vamos a evaluar este curso? En este curso vamos a tener dos tipos de evaluaciones: a) de proceso b) de resultado a) Evaluaciones de proceso: Como usted sabe, cada curso se organiza en ejes de contenidos dentro de los cuales hay distintas actividades de aprendizaje. Por cada eje de contenidos usted tendr que realizar "trabajos prcticos" que entregar a su tutor a travs del campus virtual. l le indicar cules son y en qu momentos los debe entregar. Es por eso que resulta importantsimo que no pierda el contacto con l y entre al campus peridicamente. Estos trabajos prcticos sern corregidos y se le asignar una nota numrica. A su vez, para cada eje de contenidos le propondremos una evaluacin sobre todos los contenidos desarrollados dentro del mismo y que usted ha ido estudiando con el material. Segn el eje, usted deber resolver esta evaluacin de una de estas dos formas posibles: Con el profesor, durante las clases. O bien, en su casa. En este caso, su tutor le enviar a travs del campus virtual la evaluacin, y usted la resolver y entregar en papel a su profesor durante las clases. 13. Tanto su profesor como el tutor le irn indicando las fechas y cul de estas dos formas se utilizar para realizar las evaluaciones. Estas evaluaciones de eje sern corregidas y tambin se les asignar una nota numrica.RECORDARCon las notas de los trabajos prcticos y la de la evaluacin de eje, se har un promedio numrico y as se obtendr la calificacin que le corresponde a ese eje de contenidos. De la misma manera se proceder con todos los ejes previstos para el curso. b) Evaluacin de resultado: Al finalizar el curso, se realizar una evaluacin integradora, es decir, una evaluacin que nos permita conocer cmo ha sido su proceso en el aprendizaje de todos los contenidos del curso. Esta evaluacin se har siempre en las clases con su profesor y tambin ser corregida con una calificacin numrica.RECORDARLa calificacin definitiva del curso resultar de promediar las notas que obtuvo en cada eje de contenidos junto con la que obtuvo en la evaluacin integradora. En todos los casos, para calificar utilizaremos una escala numrica del 1 al 10. Usted deber obtener como mnimo un 7 para aprobar el curso. En caso de no aprobar en esta instancia, usted tendr derecho a una "evaluacin recuperatoria", es decir, tendr tiempo para volver a estudiar el material antes de ser evaluado nuevamente. Esto tambin se lo informar su tutor. 14. Eje 1: Conjuntos numricos 15. NMEROS ENTEROSNOTASNMEROS ENTEROS NEGATIVOS. . . . . . . . . . .En nuestra vida diaria, utilizamos nmeros en muchas ocasiones: cuando tenemos que manejar dinero, para conocer la hora, al tomar una medida, etc. Si usted pone atencin en esto, podr percibir que el uso de los nmeros es constante y necesario para diversas actividades. Cuando contamos u ordenamos, utilizamos los nmeros que se denominan naturales o enteros positivos. Este conjunto de nmeros es el de uso ms comn. Pero ahora vamos a profundizar sobre otro conjunto de nmeros que usted tambin utiliza a menudo: los nmeros enteros negativos. Apelando un poco a la historia, sabemos que en el siglo VII, las civilizaciones rabe e hind indicaban las deudas monetarias con el signo delante del nmero. Por ejemplo, 200, indicaba una deuda de 200 monedas. Pero recin a partir del siglo XVII fue corriente el uso de nmeros negativos.C?Se lee grados centgrados.ACTIVIDADESPara empezar a desarrollar el tema, le pedimos que lea con atencin las siguientes situaciones y realice en cada caso lo que se le pide: Situacin 1 En la ciudad de Ushuaia, en un da de invierno, a las 12 hs se registraba una temperatura de 0C . A las 13 hs, la temperatura era de 2C sobre cero, a las 15 hs haba subido 2C, a las 18 hs descendi 8C y a las 22 hs la temperatura era de 8C bajo cero. a) Dibuje un termmetro e indique los distintos valores de temperatura medidos a las 12hs, 13hs, 15hs, 18hs y 22hs. b) Indique cmo se diferencian los valores de temperatura que estn sobre cero de los que estn bajo cero. Situacin 2 Martn va al banco a pagar un crdito e impuestos por $300 y $180 respectivamente a travs de su cuenta corriente en un cajero automtico. Sabe que tiene en su cuenta un monto de $460. Al terminar la transaccin, el comprobante indica 20. a) Le alcanz el monto para pagar el crdito y los impuestos? b) Cmo interpreta usted el nmero 20 en esta situacin? Situacin 3 Es posible observar en la botonera del ascensor de algunos edificios, que la planta baja est indicada como cero, los subsuelos con nmeros negativos y los niveles superiores con nmeros positivos. Por ejemplo, si una persona sube en el tercer subsuelo y viaja 4 pisos hacia arriba, va a bajar entonces en el primer piso cuya expresin numrica es +1. 17 16. A partir de la botonera dibujada y de un primer anlisis, complete el tem a) y la siguiente tabla. a) Si sube en el sexto y se desplaza 8 pisos hacia abajo, baja en ............ subsuelo cuya expresin numrica corresponde a 2. Sube en el piso +8Viaja en ascensorBaja en el pisoExpresin numricaa34 pisos hacia arriba1+1b68 pisos hacia abajoSegundo subsuelo2c3+7 +6 +5 +4Tercer subsuelo+3 +2d3 pisos hacia abajoPlanta baja+1 0e2f83+8-1 -2Primer subsuelo-3NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Analicemos las situaciones anteriores: En el primer problema (situacin 1), fue necesario diferenciar los grados centgrados sobre cero de los grados bajo cero, asignando nmeros positivos a los primeros y nmeros negativos a los segundos. En la segunda situacin, es claro que el monto de $460 no alcanza para pagar el crdito y los impuestos, ya que faltan $20, y en el resumen se le asign el nmero 20. Por ltimo, en el caso del tablero de un ascensor, se observa que se asignan los distintos niveles con nmeros positivos, negativos y el cero para indicar la planta baja. No solamente en la vida cotidiana es necesario diferenciar los nmeros con un signo positivo (+) o uno negativo (). En aritmtica tambin se presenta el problema cuando se desean resolver restas en las que el minuendo es menor que el sustraendo como por ejemplo: 25 28 = 5 10 =RECORDAR ab=c minuendosustraendodiferencia 17. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROSRECORDAR El conjunto de los nmeros naturales se simboliza: N = {0, 1, 2, 3, 4...} Est claro que si solamente se consideran los nmeros naturales, no se podra encontrar una solucin para las situaciones planteadas anteriormente. Por ello fue necesario ampliar este conjunto. Cmo se lleva a cabo esta ampliacin? Para cada nmero natural distinto de cero, se considera un nmero opuesto de tal forma que si los sumamos obtenemos 0: Por ejemplo: 3 + (3) = 3 + 3 = 0 En smbolos: a + ( a) = a + a = 0PENSAR El conjunto de los nmeros enteros es la unin del conjunto de los nmeros naturales, que ahora tambin los podemos llamar nmeros enteros positivos, con el conjunto de los nmeros opuestos a ellos. En smbolos:Z= { ...3, 2, 1, 0, +1, +2, +3... } = { ...3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... }NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nuevos smbolos?Z: conjunto de nmeros enteros N= Z+= {0, +1, +2, +3...} Z = { ...-3, -2, -1, 0 }La recta y los nmeros enteros Para simplificar e interpretar mejor el punto anterior, es prctico recurrir al lenguaje grfico y en particular a una recta. Se grada la recta a partir de una unidad, como muestra la figura. Para graduar la recta, se considera un punto o y se elige un segmento U como unidad. Luego se dibujan segmentos congruentes, es decir de igual medida que el segmento U, en forma consecutiva. O sea, un segmento seguido de otro segmento y as se contina a partir del punto o, como muestra en la figura.joabcdefg ...RECORDARUn segmento es una parte de la recta que est limitada por dos puntos que son llamados extremos del segmento. Aab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 18. Luego, al punto o se le hace corresponder el nmero cero, al punto a el nmero 1 y ordenadamente a los siguientes puntos se les asigna los correspondientes nmeros naturales o enteros positivos, como muestra la siguiente figura. ...01234567 ...Si realizamos la misma operacin pero a la izquierda del punto o, la recta queda de la siguiente manera: ...cb a0134 ...En el siguiente paso, se hace corresponder al punto a el nmero 1, al punto b el nmero 2, al punto c el nmero 3, de esta forma: ...3 2 101234 ...ACTIVIDADESRepresente, sealando en una recta numrica, las cantidades obtenidas en ltima columna de la tabla de la situacin 3.NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Mdulo o valor absoluto de un nmero entero Seguimos trabajando sobre la recta numrica. Observe el siguiente grfico y particularmente cada una de las llaves. 3 42 ...3 2 101234 ...En cada caso, se ha indicado la distancia de 3 al cero (lnea negra), de 2 al cero (lnea gris) y de 4 al cero (lnea punteada). Esta distancia, considerada desde un nmero entero al cero, recibe el nombre de mdulo o valor absoluto de dicho nmero. Simblicamente, el mdulo se indica as: |3| = 3 se lee: el mdulo o valor absoluto de 3 es igual a 3 y se interpreta que la distancia de 3 a cero es igual a 3. |4| = 4 se lee: el mdulo o valor absoluto de 4 es igual a 4 y se interpreta que la distancia de 4 al cero es igual a 4. 19. ACTIVIDADES Determine el mdulo de: 2 , 0, 3 utilizando adecuadamente los smbolos.PENSARSe llama mdulo o valor absoluto de un nmero entero a la distancia de dicho nmero al cero. En general si a es un nmero entero, el mdulo o valor absoluto de a se simboliza: | a |Nmeros opuestos ACTIVIDADES1. Analicemos la siguiente situacin. Es muy comn decir: Nos reuniremos a 2 kilmetros de Puente del Inca sobre la ruta Panamericana. Le parece que la informacin es suficiente? ............................................................................................................................................................................. a)Grafique esta situacin, considerando la ruta como si fuera una recta numrica y haga coincidir el cero de la recta con la localidad de Puente del Inca.b) Sobre la misma recta, indique los 2 km de distancia a Puente del Inca. Seguramente usted ha marcado dos puntos, ya que en ningn momento se aclara si son 2 km hacia el este o 2 km al oeste de la localidad de referencia. Si llevamos esta informacin sobre una recta numrica resulta: |2| = 22|+2| = 20+221 20. Qu puede decir acerca de las distancias al cero o mdulo de los nmeros +2 y 2 respectivamente? ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................Esto ocurre, porque 2 y 2 son nmeros opuestos.PENSARDos nmeros enteros que tienen distinto signo e igual valor absoluto, se llaman nmeros opuestos.ACTIVIDADES1. Escriba y represente sobre la recta, pares de nmeros que estn a la misma distancia del cero, es decir, que tengan igual mdulo.NOTAS . . . . . . . . . . . . . . 22Orden en los nmeros enteros Comparar y ordenar los nmeros positivos no es nuevo para usted, pero al trabajar con nmeros enteros se presenta un nuevo desafo, que es comparar y ordenar nmeros enteros negativos; as como tambin, nmeros enteros negativos y positivos.RECORDAR< , se lee: ... es menor que... >, se lee: ... es mayor que... 21. Situacin 1NOTASLea con atencin la siguiente situacin y complete lo que se pide a continuacin. Dos cientficos recopilaron datos acerca de la temperatura del agua de un lago y la temperatura ambiente del mismo lugar y entregaron los siguientes datos en forma desordenada, sin indicar la profundidad ni la altura sobre el nivel del agua. Pero s se saba que los valores negativos correspondan a la temperatura del agua y los valores positivos a la temperatura ambiente. 4C; 8C; 5C; 2C; 4C; 6C, 3C, 7C. . . . . . . . .ACTIVIDADES1. Complete ordenando los valores hallados de temperatura de menor a mayor. 8 < ....... < 4 < ....... < 3 < ....... < 5 < ....... Se muestran algunas cantidades representadas sobre la recta, ubique usted las que faltan.87601472. Teniendo en cuenta el ordenamiento de las medidas de temperatura y la representacin de las mismas sobre la recta numrica, realice la siguiente actividad utilizando los smbolos de segn corresponda. a) 8 ........ 6 c) 4 ........ 7 e) 3 ........ 4b) 5 .......... 7 d) 3 ......... 2 f) 5 ........ 2Antecesor y sucesor ACTIVIDADESLea e interprete los conceptos que se presentan a continuacin para luego realizar la actividad que se pide. Para cualquier nmero entero, el antecesor es el nmero entero que se ubica inmediatamente a la izquierda de dicho nmero sobre la recta numrica y el sucesor es el entero que est inmediatamente a la derecha del mismo. 1. Indique el antecesor y sucesor de cada uno de los nmeros indicados sobre la recta. Antecesor: nmero que est inmediatamente a laSucesor: nmero entero que est inmediatamente aizquierda de 4, es decir: 4 1 = ..la derecha de 4, es decir: 4 + 1 = ....... 3..... ..... 0.......... 4.....23 22. 2. Complete las siguientes conclusiones a partir de la actividad anterior. a) Para calcular el sucesor de cualquier nmero entero, a dicho nmero hay que ........................... .......................................................................................................................................................................... b) Para calcular el antecesor de cualquier nmero entero, a dicho nmero hay que............................ ..........................................................................................................................................................................NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . .PENSAR Si dos nmeros enteros son positivos, es mayor el nmero de mayor valor absoluto. Es decir, el que est a mayor distancia hacia la derecha respecto del cero. Si dos nmeros enteros son negativos, es mayor el de menor valor absoluto. Es decir, el que est a menor distancia hacia la izquierda del cero. Si dos nmeros enteros tienen distinto signo, el mayor es el positivo. Para calcular suma 1. a Para calcular resta 1. ael sucesor de un nmero entero, a dicho nmero se le a+1 el antecesor de un nmero entero, a dicho nmero se le a1ACTIVIDADES1. Representen sobre la recta numrica el o los nmeros que cumplan la condicin dada en cada caso: a) Su distancia al cero es 5 b) Su mdulo es 3 c) Su distancia a 2 es 4 d) Los nmeros enteros mayores que 5 y menores que 3.2. Martn y Diego viven en la ciudad de Buenos Aires, que est al nivel del mar. En las vacaciones deciden visitar la ciudad de Mendoza, que est a 747 m sobre el nivel del mar. Para conocer la provincia, realizan una excursin que los lleva hasta Las Cuevas haciendo paradas en: Uspallata, Puente del Inca y la Laguna de los Orcones para visualizar el cerro Aconcagua. Las localidades de24 23. Uspallata, Puente del Inca y la Laguna de los Orcones estn a 1900 m, 2700 m y 2800 metros sobre el nivel del mar. A partir de estos datos, realice las siguientes actividades: a) Ordenen las medidas de las alturas sobre el nivel del mar, de mayor a menor. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. b) A qu altura estarn respecto de la ciudad de Buenos Aires una vez que hayan llegado a Uspallata? ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. c) Cul es la diferencia de nivel entre Uspallata y la ciudad de Mendoza? ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................San MartnGaribaldi3. Andrea sale a caminar por la calle San Martn desde la calle Garibaldi. Primero camina 5 cuadras hacia el norte, luego se vuelve 8 cuadras hacia el sur y finalmente retorna 4 cuadras hacia el norte y se sienta a descansar.SNa) Cuntas cuadras en total ha caminado Andrea? ............................................................................................................................................................................. b) Cuntas veces ha pasado por la calle Garibaldi durante su paseo? ............................................................................................................................................................................. c) Cuando ya deja de pasear y se sienta a descansar, a cuntas cuadras del punto de partida se encuentra? .............................................................................................................................................................................4. Una importante tienda especializada en ropa de abrigo clasifica las botas, camperas y pantalones de acuerdo a las temperaturas del lugar en que sern utilizadas. Estos valores se pueden observar en la siguiente tabla:25 24. Tipo A Tipo B Tipo CBOTAS De 5C a 22C De 5C a 5C De 31C a 5CPANTALONES De 0C a 16C De 10C a 0C De 37C a 10CCAMPERAS De 3C a 12C De 20C a 3C De 44C a 20Ca) Qu tipo de pantalones sirven para temperaturas que estn por debajo de 12C? ........................................................................................................................................................................... b) Un grupo de cientficos decide realizar unas investigaciones en la base Vicecomodoro Marambio, ubicada en la Antrtida Argentina. La temperatura media o promedio de la zona es de 18C bajo cero. Indiquen qu tipo de cada prenda les conviene comprar. Justifiquen su respuesta. ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................NOTASCLCULOS CON NMEROS ENTEROS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .En el conjunto de nmeros naturales (N ={0,1,2,3, ...}), hay clculos que no son posibles de realizar, por ejemplo, 5 11. Para resolver situaciones como sta, es necesario ampliar el conjunto de los nmeros naturales y trabajar con nmeros enteros. Por lo tanto, puede expresarse que el conjunto de los nmeros enteros es una ampliacin del conjunto de los nmeros naturales.26En este nuevo conjunto numrico ser posible realizar los mismos clculos que se realizan con los nmeros naturales y tambin restas sin ninguna restriccin. En cuanto a las propiedades de cada una de las operaciones, si bien se cumplen las mismas que con los nmeros naturales, hay otras nuevas que se incorporan. De todos modos, a medida que usted avance en este tema notar que an no se han solucionado todos los problemas con los clculos aritmticos. A partir de este momento hablaremos de clculos y de operaciones. Por ello, es necesario que usted sepa que nos referiremos a operacin en un conjunto numrico determinado, cuando se cumple que el resultado del clculo siempre es un nmero que pertenece a ese mismo conjunto. Si esto no se cumple, hablaremos simplemente de clculo. Por ejemplo: la suma en el conjunto de los nmeros naturales siempre tiene por resultado un nmero natural. Por ello, la adicin es una operacin en el conjunto de los nmeros naturales, al igual que la multiplicacin. El resultado de la resta en 25. el conjunto de nmeros naturales no siempre es un nmero natural (por ejemplo, en la resta 7 9). Por ello, la resta en el conjunto de nmeros naturales, al igual que la divisin, no son operaciones. Ahora usted se preguntar cmo se realizan estas operaciones (adicin, sustraccin y multiplicacin) con nmeros positivos y negativos?Clculo de la suma de nmeros enteros Situacin 1 En una cuenta corriente, se consideran positivos los ingresos y negativos los gastos. El saldo es la cantidad de dinero que hay en una cuenta en un momento dado. Dicho saldo puede ser positivo o negativo. A veces, los gastos son mayores al saldo disponible, en este caso la deuda contrada con el banco aparece como un saldo negativo. Cuando los ingresos son mayores que los gastos, el saldo aparece positivo.NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ACTIVIDADES1. Complete los saldos con los nmeros positivos o negativos que correspondan: FECHAGASTOSINGRESOSCLCULO DEL SALDOSALDO1304/////////////////////////////////////////////////+80063040+800 + ( +650) =+ 1450+6501130415000133045300183040203040+1450 + (1500) =...............................................................+400.................................................+190...................................+102. Cul es el monto total de gastos? .......................................................................................................................................................................... Este clculo lo puede indicar as: 1500 + ( 530) = 2030 se lee: menos 1500, ms, menos 530, es igual a menos 2030 Este ms indica sumar27 26. 3. Cul es el monto total de los ingresos? .......................................................................................................................................................................... Este resultado lo obtuvo sumando todos los ingresos. La suma, se indica as: +650 + ( + 400) + ( + 190) = + 1240 se lee: ms 650, ms, ms 400, ms, ms 190, es igual ms 1240 Indica sumar Para calcular el saldo correspondiente a cualquier fecha, se suma al ltimo saldo el ingreso o gasto de la fecha correspondiente.4. A continuacin, analice el saldo correspondiente a la fecha 6-3-04. a) Cul es el monto del saldo anterior al da 6-3-04? ......................................................................................................................................................................... b) Cul es el movimiento del da 6-3-04? ......................................................................................................................................................................... c) Cul es el monto del saldo? ......................................................................................................................................................................... Para calcular el monto del saldo, seguramente usted efectu el siguiente clculo: +800 + ( +650 ) = +1450 d) Verifique si el clculo correspondiente al da 11-3-04 es correcto. Para realizar esta verificacin usted, habr realizado el siguiente clculo: +1450 + (-1500) = -50 e) Termine de calcular los saldos que se han borrado en el resumen y compltelo. Lo que s est claro, es que el saldo final del da 23-03-04 es de +10.NOTAS . . . . . . . . . 28Como habr observado, en la ltima actividad usted ha sumado nmeros positivos y negativos. Cada uno de los clculos o sumas que realiz tiene un significado para el problema que se est resolviendo. Pues bien, ahora se pretende generalizar la suma de dos nmeros enteros de modo que se pueda aplicar a cualquier situacin problemtica o simplemente para sumar nmeros enteros. Para ello, en primer lugar, se deben reconocer algunos nombres y significados de los mismos. 27. NOTAS a+b=sSuma o resultado Puede ser negativa o positiva.Indica sumarTrminos o sumandos Pueden ser positivos o negativos. Los trminos negativos se indican entre parntesis. A los trminos positivos no es necesario anteponerles el signo, ni indicarlos entre parntesis.. . . . . . . . . algoritmo?Pasos que permiten llegar a unEn segundo lugar, se formalizar el algoritmo de la suma de dos nmeros enteros, es decir, los pasos que son necesarios seguir para calcular su suma. Para ello, le proponemos resolver las siguientes situaciones: Situacin 2 1. Observe el clculo del saldo del da 6-03-04 del resumen de cuenta: FECHAGASTOSINGRESOSCLCULO DEL SALDO1-3-04/////////////////////////////////////////////////+8006-3-040+800 + ( +650) =+ 145011-3-04 13-3-041500 5300.................................................18-3-040+400.................................................20-3-040+190...................................+10+650 0+800 + ( +650) = +1450+1450 + (1500) =SALDO..............Observe: El valor absoluto del resultado, 1450, se obtiene de sumar 800 y 650.Indica sumar. En este caso se suman dos trminos positivos.2. El clculo del saldo del da 13-3-04 es:FECHAGASTOSINGRESOSCLCULO DEL SALDOSALDO1-3-04/////////////////////////////////////////////////+8006-3-040+800 + ( +650) =+ 145011-3-041500 5300+1450 + (1500) =13-3-04050 + ( 530)50 58018-3-040.........400.................................................20-3-040+190...................................+10+650resultado.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 28. NOTAS50. . . . . . . . . . . . . . . .+ (-530) = 580Observe: El valor absoluto del resultado, 580, se obtiene de sumar 50 y 530.Indica sumar. En este caso, se suman dos trminos negativos.Observe que en ambos casos el saldo se obtuvo de sumar los valores absolutos de los sumandos, y se repiti el signo de los sumandos en el resultado.PENSARSi los sumandos tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se repite el signo de los mismos.ACTIVIDADES 1. Aplique esta regla a los puntos 1) y 2) de la situacin 2 y luego compare los resultados: |+800 | = 800 | +650 | = ..........800 + 650 = 1450, la suma es + 1450. Es decir 800 + 650 = 1450Se lee: el valor absoluto de +800 es igual a 800 El valor absoluto de +650 es igual a 650|50 | = .......... | 530 | = 53050 + 530 = 580, la suma es 580. Es decir (50) + (530) = 580Se lee: el valor absoluto de 1500 es igual a 1500 El valor absoluto de 530 es igual a 5302. Observe el clculo del saldo del da 180304 del resumen de cuenta: FECHAINGRESOSCLCULO DEL SALDOSALDO/////////////////////////////////////////////////+8006-3-040+800 + ( +650) =+ 145011-3-041500 530+1450 + (1500) =13-3-04018-3-040+400-580 + ( + 400)50 580 18020-3-0430GASTOS1-3-040+190...................................+10+650 050 + ( 530) 29. 580 + (+400) = 180Observe: El valor absoluto del resultado, 180, se obtiene de restar 580 y 400.Indica sumar, en este caso un sumando es negativo y el otro es positivo y la suma (o resultado) es negativa.3. Observe el clculo del saldo del da 200304 del resumen de cuenta: FECHAGASTOSINGRESOSCLCULO DEL SALDO1-3-04/////////////////////////////////////////////////+8006-3-040+800 + ( +650) =+ 145011-3-041500 5300+1450 + (1500) =050 + ( 530)+650SALDO18-3-040+400-580 + ( + 400)50 580 18020-3-040+190+190 + ( 180)+1013-3-04+190 + (-180) = +10Observe: El valor absoluto del resultado, 10, se obtiene de restar 190 y 180.Indica sumar, en este caso un sumando es positivo y el otro es negativo y la suma es positiva.4.Usted puede observar que, en ambos casos, el saldo se obtuvo de restar los valores absolutos de los sumandos (el mayor menos el menor), y el signo del resultado coincide con el signo del sumando de mayor valor absoluto.PENSARSi los sumandos tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se coloca el signo del trmino que tiene mayor valor absoluto.5. Aplique esta ltima regla a las siguientes situaciones y complete: |580 | = 580 |+400| = 580 400 = 180 y 580 > 400, la suma es negativa, .....180. Es decir: (580) + 400 = 180Se lee: el valor absoluto (580) es igual a 580. Se lee: el valor absoluto de (+400) es igual a 400.31 30. |+190 | = ......... |180 | = 180190 180 = 10 y 190 > 180, la suma es positiva, .........10. es decir 190 + (180) = +10.Se lee: el valor absoluto de +190 es igual a 190. El valor absoluto de 180 es igual a 180ACTIVIDADESResuelva los siguientes clculos, y justifique despus el resultado alcanzado: a) 12 + ( 15 ) = ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. b) 36 + 48 = ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. c) 28 + 27 = ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. d) 35 + ( 34) = ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. Respuestas: 27; 84; 1; 1Propiedades de la adicin en Z Ahora avanzaremos en el estudio de las propiedades de la operacin adicin, ya que el conocimiento de stas siempre agiliza y facilita la resolucin de distintos clculos. La matemtica tiene varios lenguajes que le son propios, uno de ellos es el lenguaje algebraico. Este lenguaje utiliza letras, y operaciones que vinculan dichas letras. Se trata de una lengua que se emplea, por ejemplo para definir en smbolos las propiedades de las operaciones.ACTIVIDADES1. Calcule la suma de: a) 4+ ( 10 ) = ........b) 15 + ( 25) = ........c) 4 + 23 = ........ d) 25 + 5 = ........Observe que nuevamente aparecieron algunos trminos entre parntesis. Seguramente, los resultados que obtuvo son, respectivamente: 6; 40, 27, 20. Se pueden seguir sumando infinitos pares de nmeros enteros y la suma siempre ser un nico nmero entero. Esta caracterstica de la suma en Z, se llama ley de cierre.32 31. PENSARLey de cierre. La suma de dos nmeros enteros es otro nmero entero.ACTIVIDADESEn esta actividad aparecern nuevos smbolos matemticos Estos son los corchetes [ ] y las llaves { }, que indican el orden en que se debe realizar el clculo. Resuelva este clculo, que tiene ms de dos trminos o sumandos: 4 + ( 8 ) + 10 = Al resolver este clculo, posiblemente usted pens: Y luego sum: 4 + 10 = 64+(8)=4Observe a continuacin como se indican los clculos Los corchetes indican la primera suma que usted efectu y obtuvo 4. {[4+ ( 8)]+10 }= 6 Las llaves indican que a la suma de los corchetes, le debe sumar 10 para obtener 6 Este mismo clculo tambin lo puede razonar de este modo Los corchetes indican la primera suma que usted puede efectuar, y as obtener 2. { 4 + [ ( 8) + 10] }= 6 Las llaves indican que a la suma de los corchetes le debe sumar 4 para obtener 6. Podemos concluir que: { [4 + ( 8 )] + 10 } = { 4 + [( 8 ) + 10] } En sntesis, notar que en ambos casos se asociaron primero dos trminos para finalmente, al resultado, sumarle el tercer trmino. El orden en que se asocian los trminos no altera el resultado final del clculo. Esta propiedad de la adicin, se llama asociativa.PENSARPropiedad asociativa: Para todos los nmeros enteros a, b, c se verifica que: a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c ) 33 32. ACTIVIDADES1. Analice y complete: 4 + 0 = 0 + ( 4) = ..3 + 0 = 0 + 3 = ..El resultado que usted ha obtenido, es 4 en un caso, y 3 en el otro. Notar que: si el cero se suma a la izquierda o derecha de un nmero entero, la suma es ese mismo nmero entero.PENSARPropiedad del elemento neutro. Existe el cero de Z, tal que para todo nmero entero a se verifica: 0 + a = a + 0 = aACTIVIDADESAnalice y complete: 5 + ( 5 ) = ( 5 ) + 5 = ..3 + (3) = (3) + 3 = ..En cada uno de los casos los trminos sumados son opuestos y el resultado es cero (0), que es el elemento neutro de la adicin. Podemos concluir que: si a un nmero entero se le suma su opuesto, la suma es igual a cero.PENSARPropiedad de elemento opuesto u opuesto aditivo. Para todo nmero entero a, existe el entero a tal que : a + ( a ) = a + a = 0ACTIVIDADESResuelva y complete: 5 + 20 = 5 + 20 = 20 + ( 5) 20 + ( 5 ) = .34 33. Puede observar que el orden en que se sumen los trminos no altera la suma, es por ello que el resultado coincide en ambos casos. Este ejemplo corresponde a la propiedad conmutativa.PENSARIgualdad?El signo igual (=) separa los dosPropiedad conmutativa. Para todos los nmeros enteros a, b se verifica que: a + b = b + amiembros de la igualdad dada.ACTIVIDADES1. Analice y complete la siguiente igualdad y observe los nuevos nombres que aparecen. 15 + ( 8 ) = 6 + 1 Primer miembroSegundo miembroPara comenzar, verificaremos si la expresin es realmente una igualdad.2. Complete: 15 + ( 8) = . y 6 + 1 = .... Seguramente, en ambos clculos obtuvo la suma 7. El clculo se escribe de la siguiente forma. 15 + ( 8 ) = 6 + 1 7=7El camino seguido en este ejemplo fue: realizar el clculo en ambos miembros y luego comparar los resultados obtenidos.3. Si suma a ambos miembros ( 10), la expresin que resulta es: Primer miembroSegundo miembro15 + ( 8 )+ ( 10) = 6 + 1+ ( 10) 7+ ( 10) = 3 =7 + ( 10) 3Observar que la igualdad se mantiene debido a que se sum el mismo nmero en cada uno de los miembros. Es decir que, si a ambos miembros de una igualdad se le suma un mismo nmero entero, se mantiene la igualdad. Esta caracterstica de la adicin en Z recibe el nombre de propiedad uniforme. 35 34. NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36PENSARPropiedad uniforme. Para todos los nmeros enteros a, b, c; si a = b entonces a + c = b + c La propiedad que se presenta a continuacin est muy vinculada a la anterior, y se refiere a la cancelacin de sumandos o trminos iguales en distintos miembros. Analice el siguiente ejemplo:5 + (15) = 3 + 2 + (15) 5 =3+2Si cancela o elimina el trmino o sumando (-15) en ambos miembros, se mantiene la igualdad.Por lo tanto, todo sumando o trmino que aparece en ambos miembros de una igualdad puede ser cancelado conservando la igualdad.PENSARPropiedad cancelativa. Para todos los nmeros enteros a, b, c, si a + c = b + c entonces a = bAntes de avanzar, es importante que revise lo trabajado hasta el momento. Para ello, le puede ayudar el esquema que se muestra a continuacin: Suma de nmeros enterosAlgoritmos de la suma de nmeros enterosPropiedadesLa suma de dosLa suma de dos-Cierrenmeros enteros denmeros enteros del-Asociativadistinto signo es otromismo signo, es otro-Elemento neutronmero entero cuyonmero entero del-Opuesto usigno coincide con elmismo signo que losdel trmino o sumandotrminos o sumandos-Conmutativade mayor valordados, y cuyo mdulo-Uniformeabsoluto, y cuyoes la suma de los-Cancelativamdulo se obtienemdulos de losrestando los mdulossumandos.de los nmeros dados.opuesto aditivo 35. ACTIVIDADES1. Calculen y completen: Respuestas: 25 60; 29; 55; 80; 38a) 15 + 40 = b) 25 + 35 = c) 44 + ( 15 ) = d) 22 + ( 33) = e) 10 + ( 90) = f) 28 + ( 10) = Les sugerimos a continuacin el anlisis del punto a) 15 + 40 = 25 Presenta dos sumandos, uno negativo y el otro positivo. Recuerde que al trmino 40 no se lo encierra entre parntesis porque es un nmero positivo. Los trminos tienen distinto signo, por lo tanto se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del trmino que tiene mayor valor absoluto. El resultado o suma es: 25 2. Resuelvan los siguientes ejercicios, aplicando e indicando las propiedades por escrito: a) 74 +8 + 76 = ............................................................................................................................................................................. b) 7+ ( 6 ) + 6 + ( 25) + ( 7 )= ............................................................................................................................................................................. Respuestas: a) 10. Posibles propiedades: asociativa, cierre b) 25. Posibles propiedades: opuesto, elemento neutro, cierreSustraccin de nmeros enterosRECORDAR Algunos nombres que ya conocemos: Diferencia ab=cSustraendo MinuendoNOTAS . . . . . . . . . . . . 37 36. NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Recuerda por qu desde la aritmtica hubo que ampliar el conjunto de los nmeros naturales? El conjunto de los nmeros naturales fue ampliado para encontrar los resultados de aquellas restas, en las que el minuendo es menor que el sustraendo, por ejemplo, 5 11. As, siempre que se resten dos nmeros enteros se obtendr otro nmero entero. La pregunta es: cmo se restan dos nmeros enteros? Algoritmo para el clculo de la diferencia de dos nmeros enteros La diferencia o resta de dos nmeros enteros se calcula sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Esto significa que transformamos la resta en una suma de dos nmeros. Usando lenguaje algebraico, se interpreta: a b = a + ( b), siendo a y b nmeros enteros. Analice y complete el siguiente ejemplo. Resuelva, aplicando el algoritmo. 4 10 = (Recuerde que a los nmeros positivos no es necesario anteponerle el signo +, y en este caso el signo indica la operacin de resta.) El opuesto de 10 es . Aplicando el algoritmo resulta Luego la SUMA es ..4 + ( 10) = 6ACTIVIDADES1. Resuelvan las siguientes restas mostrando el procedimiento o algoritmo empleado.Se muestra a continuacin un ejemplo: a) 16 26= Algoritmo: 16 + ( 26) = 10b) 25 ( 10 ) = ....................................................... ....................................................... ....................................................... Respuesta: 35c) 30 ( 20) = ................................................... ................................................... ................................................... Respuesta: 10d) 50 ( 60) = .................................................. .................................................. .................................................. Respuesta: 10e) 25 10 = ...................................................... ...................................................... ...................................................... Respuesta: 15f) 23 (5) = .................................................. .................................................. .................................................. Respuesta: 1838 37. g) 8 ( 12) = ................................................... ................................................... ................................................... Respuesta: 20h) 25 26 = ....................................................... ....................................................... ....................................................... Respuesta: 1Si observa nuevamente el ejercicio anterior, podr advertir que las situaciones que se propusieron corresponden a posibles restas, donde el minuendo en algunas es positivo y en otras, es negativo. Tambin hay restas en las que el sustraendo es positivo, y negativo en otros casos. Asimismo, podr ver que en algunos casos el mdulo o valor absoluto del minuendo es mayor que el mdulo del sustraendo y en otros casos resulta ser menor. De esta manera, al resolverlas, reafirmar cmo resolver restas en cualquiera de las situaciones posibles.Suma algebraicaACTIVIDADESPuntaje de Martn y Diego2 8 7 8 9Martn y Diego obtuvieron entre los dos el siguiente puntaje jugando a las cartas. Cada uno calcul el resultado de manera distinta: Martn, resolvi as: 2 + 8 = 6; 6+7 = 13; 13 + ( 8) = 5 y 5 + 9 = 14 Diego; resolvi as: ( 8 + 7 + 9 ) ( 2 + 8 ) = 14 24 10 = 141. Explique cul fue el clculo hecho por Martn para llegar al resultado. Cree que est correcto? ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 2. Interprete y explique cul fue el clculo hecho por Diego para llegar al resultado. Cree que est correcto? ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 39 38. Matemtica I - EGB 3Compare su respuesta con las siguientes conclusiones. Martn: fue realizando el clculo tal cual lo fueron registrando. Diego: utiliz un smbolo matemtico, los parntesis, para indicar en el primero la suma de los puntos a favor y en el segundo la suma de los puntos en contra. Conocidas esas sumas parciales luego calcula la resta entre la suma de los puntos a favor y la suma de los puntos en contra y as determina el resultado final.ACTIVIDADESJuan va al cajero automtico y pide un resumen de los movimientos del mes de abril y recibe el siguiente detalle.044 Hab+ 400064 Dep.cheq+158104 Intereses+12184 Dep. cheq+25204 Ext. gas55234 Ext. Mant. Cuen.4254 Dep. cheq.+330264 Ext.12294 Ext. Seguro25304 Dep+50Calcule: a) El monto de depsitos b) El monto de extracciones:. c) Indique el clculo para determinar el saldo: .. A continuacin se plantea esta situacin de otro modo. 400 + 158 + 12 + 25 55 4 + 330 12 25 + 50 = Identifique y agrupe entre parntesis la suma de los trminos positivos y reste, la suma de los trminos negativos indicada entre parntesis. () () = Seguramente le qued: (400+158+12+25+330+50) (55+4+12+25) = Calcule la suma de los trminos positivos y la suma de los trminos negativos y complete: = 879 Verifique los resultados obtenidos en esta suma con aquellos de los primeros clculos.Estas actividades que usted ha realizado, corresponden al clculo de sumas algebraicas.NOTAS . . . . . . . 0040PENSARSe llama suma algebraica a una expresin en la que se combinan la suma y resta. Para calcular la suma, es conveniente hacerlo de la siguiente manera: Se identifican, agrupan y suman utilizando parntesis los trminos positivos. 39. Conjuntos numricos Se identifican, agrupan y suman utilizando parntesis los trminos negativos. A la suma de los trminos positivos, se le resta la suma de los trminos negativosSupresin de parntesis, corchetes y llaves Usted habr notado que se estn utilizando los smbolos + y para indicar tanto signos de nmeros enteros como operaciones. Tambin, en algunos casos, el parntesis indica un nmero negativo y en otros le indica el orden en que debe realizar un clculo. Los parntesis encierran nmeros enteros. Observe con atencin el anlisis que se realiza a continuacin y complete donde se indica. a) Clculos en los que aparecen nmeros enteros positivos. Usted recordar que acordamos que los nmeros positivos los escribimos sin signo. Por ejemplo:+ 5 lo escribe A continuacin se presentan los nmeros enteros positivos en clculos. +4 ( +5 ) lo escribe4 5, se lee: cuatro menos cinco, 4 5 = ........... +8 ( +4) lo escribe.. 4, se lee: ocho menos cuatro, 8 4 = ........ +5 + (+10 ) lo escribe+., se lee: cinco ms diez, 5 + 10 = .........En estos tres casos se ha suprimido el signo que identifica un nmero entero positivo. b) Clculos en los que aparecen nmeros enteros negativos. 4 ( 5) = Si expresa esta resta como una suma queda ........................... El resultado de 4 + ( +5) = 4 + 5 = ................................................. Entonces resulta la expresin sin parntesis: 4 ( 5) = 4 + 5 8 + ( 10 ) = Si expresa esta suma como una resta queda: .......................... El resultado de 8 ( +10) = 8 10 = ............................................. Entonces resulta la expresin sin parntesis: 8 + ( 10) = 8 10NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4100 40. Matemtica I - EGB 3NOTAS RECORDAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .La resta de dos nmeros enteros se puede expresar como una suma del minuendo ms el opuesto del sustraendo ab=a+(b) La suma de dos nmeros enteros se puede expresar como una resta del primer sumando menos el opuesto del segundo sumando: a + ( b ) = a bPENSARCuando se suprimen parntesis precedidos por un signo negativo, cambia el signo del nmero entero que encierran. Cuando se suprimen parntesis precedidos por un signo positivo, se mantiene el signo del nmero entero que encierran.Antes de comenzar las actividades, le proponemos nuevamente releer el punto a) de esta situacin que acabamos de presentar y las dos conclusiones finales.ACTIVIDADES1. Escriba la siguiente expresin sin parntesis, teniendo en cuenta las dos conclusiones anteriores. 5 + ( 10 ) ( 4) ( + 7 ) + ( + 20) = ............................................................................................................................................................................. a) Habr llegado a esta expresin?. 5 10 + 4 7 + 20 = ............................................................................................................................................................................. b) Calcule el resultado de la suma algebraica.c) La expresin para el clculo seguramente le qued: ( 5 + 4 + 20 ) ( 10 + 7 ) = 29 17 = ................................................ 2. Resuelva: 8 + ( 10) ( 15) ( +15) + ( +10) = Respuesta: 80042 41. Conjuntos numricosLos parntesis indican el orden en que se debe realizar un clculo Propuesta 1 Analice, complete y resuelva el siguiente clculo 5 + ( 10 + 20 30) ( 4 5) = Cuntos trminos tiene esta expresin? ................................................ Seguramente que contest 3. A continuacin se identifican los trminos y observar que el segundo trmino est entre parntesis.5 + ( 10 + 20 30) ( 4 5) = El El El El Elprimer trmino es: .................. segundo trmino es: ................ resultado del segundo trmino, o sea el que est entre los primeros parntesis es: .......................................... tercer trmino es: ................... resultado es: ...........................Quedando la expresin reducida a: 5 + ( 20 ) ( 1) = Suprimiendo los parntesis queda: 5 20 + 1 = Resolviendo, el resultado es: 14 Propuesta 2 Parntesis precedido por un signo positivo. Esta misma expresin se puede resolver suprimiendo primero los parntesis para obtener una suma algebraica. 5 + ( 10 + 20 30 ) ( 4 5 ) = Elimine los parntesis que estn precedidos por un signo + y un signo , pero atencin, en los parntesis hay trminos! Comenzamos suprimiendo el parntesis precedido por un signo +. Si el parntesis est precedido por un signo +, al suprimirlo se dejan los trminos con los signos que tienen. 5 + ( 10 + 20 30 ) ( 4 5 ) = Quedando entonces: 5 10 + 20 30 ( 4 5 ) = Suprimimos ahora el parntesis que est precedido por un signo . Si el parntesis est precedido por un signo , al suprimirlo se cambian los signos de los trminos que encierra. Si en 5 10 + 20 30 ( 4 5 ) = se suprime el parntesis, resulta:5 10 + 20 30 4 +5 =Complete aplicando la resolucin de una suma algebraica: (.....................) ( ...........................) = 30 44 = 144300 42. Matemtica I - EGB 3Por ltimo compare los dos resultados y observar que son iguales. Entonces, cul de las dos propuestas se debe usar? Eso depende de la que usted prefiera.PENSARSi un parntesis est precedido por un signo negativo, para suprimirlo hay que cambiar todos los signos de los trminos que encierra. Si un parntesis est precedido por un signo positivo, para suprimirlo hay que dejar como estn los signos de los trminos que encierra.ACTIVIDADES1. Complete ( 4 3 ) + ( 7 + 8 ) ( 7 + 3 ) = a) Cuntos trminos o sumandos tiene esta expresin? ............................................................................................................................................................................. b) Elimine los parntesis que determinan los tres trminos respetando si estn precedidos por un signo + o ............................................................................................................................................................................. c) Aplicando la resolucin de la suma algebraica resulta: ( 4+ 8 +7 ) ( 3 + 7+ 3 ) = d) Resuelva cada parntesis, elimine los parntesis y calcule el resultado final ( 4+ 8 +7 ) ( 3 + 7+ 3 ) = . . = ...... e) Verifique que el resultado que obtuvo es 6, en caso de no ser as, revise los pasos anteriores.2. En algunos clculos (como los prximos dos ejemplos que le vamos a proponer), aparecen adems de los parntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Estos smbolos indican el orden en que se debe efectuar el clculo. Ejemplo 1: 4 { 3 + [ 8 + 9 ( 5 + 2) ] 3 } =0044 43. Conjuntos numricosA continuacin, se muestran dos propuestas de resolucin: a) Resolviendo primero los ( ), luego los [ ] , en tercer lugar las { } 4 { 3 + [ 8 + 9 ( 5 + 2) ] 3 } = Resuelva el parntesis y complete 4 { 3 + [ 8 + 9 () ] 3 } = Al eliminar el parntesis resulta: 4 { 3 + [ 8 + 9+3 ] 3 } = Resuelva el corchete y complete 4 { 3 + [] 3 } = Al eliminar el corchete resulta: 4 { 3+ 20 3 } = Resuelva las llaves y complete: 4 {..} = Al eliminar las llaves resulta: 4 14 = El resultado final es 10b) Suprimiendo primero los ( ), luego los [ ], en tercer lugar las { } y por ltimo se resuelve la suma algebraica que resulta. 4 { 3 + [ 8 + 9 ( 5 + 2) ] 3 } = Elimine el parntesis y complete. 4 { 3 + [ 8 + 9.] 3 } = Al eliminar los corchetes queda: 4 { 3 + 8 + 9+ 5 2 3 } = Elimine las llaves y complete: 4 ..= La suma algebraica que resulta es: 4+3895+2+3= Resuelva la suma algebraica y complete. ( ) ( ) = El resultado es 10Ejemplo 2: { 4 +2 [ 3 + ( 2 5 ) + 7] 8 } = Utilizar el modo de suprimir parntesis, corchetes y llaves para llegar a una suma algebraica. Observe la expresin, identifique los parntesis y el signo que tiene adelante. { 4 +2 [ 3 + ( 2 5 ) + 7] 8 } = al suprimir los parntesis resulta: ............................................. le qued?: { 4 +2 [ 3 + 2 5 + 7] 8 } =Ahora, identifique los corchetes y el signo que tiene adelante { 4 +2 [ 3 + 2 5 + 7] 8 } = al suprimir los corchetes resulta .......................................................................................................................... le qued?: { 4 +2 + 3 2 +5 7 8 } =Por ltimo identifique las llaves y el signo que tiene adelante { 4 +2 + 3 2 +5 7 8 } = al suprimir las llaves resulta: .............................................................................................................................. le qued?: + 4 2 3 +2 5 + 7+ 8 = Identifique los trminos que tiene un signo + adelante y los que tienen un signo adelante + 4 2 3 +2 5 + 7+ 8 =0045 44. Matemtica I - EGB 3Resuelva la suma algebraica. (.......................) ( ................... ) = ........................... Si calcula la suma de cada parntesis resulta: 21 10 = Le qued? = 11PENSAR NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Para resolver clculos con parntesis, corchetes y llaves se presentan dos propuestas: 1 1 2 3 4 5 6Propuesta Resolver los parntesis Eliminar los parntesis Resolver los corchetes Eliminar los corchetes Resolver las llaves Eliminar las llaves2 1 2 3 4Propuesta Eliminar los parntesis Eliminar los corchetes Eliminar las llaves Resolver la suma algebraicaSiempre se elimina o resuelve primero los parntesis, luego los corchetes y por ltimo las llaves. Si un parntesis est precedido por un signo negativo, al eliminarlo cambian los signos de los trminos que encierra. La misma situacin se repite cuando se eliminan corchetes y llaves. Si un parntesis est precedido por un signo positivo, al eliminarlo se mantienen los signos de los trmino que encierra. La misma situacin se repite cuando se eliminan corchetes y llaves.Producto de nmeros enterosACTIVIDADES1. Observe las siguientes expresiones y responda. 4+4+4+4+4+4+4= (3) + (3) + (3) + (3) = [ (2) + (2) + (2) ] = a) Qu es lo que tienen en comn cada una de estas expresiones ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................0046 45. Conjuntos numricosEn cada una de ellas se repite siempre el mismo trmino o sumando. b) Indique cuntas veces se repite el mismo trmino en cada una de las expresiones. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. En la primera, el trmino 4 est repetido 7 veces. En la segunda, el trmino (3) est repetido 4 veces. Y en la ltima, dentro del corchete, el trmino (2) est repetido 3 veces. Cada una de las expresiones anteriores admite ser escrita como un producto, como se muestra a continuacin: 4+4+4+4+4+4+4=4.7el trmino 4 repetido 7 veces (3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) = (3) . 4 el trmino (3) repetido 4 veces [ ( 2) + ( 2) + ( 2) ] = [( 2 ) 3]el trmino (2) repetido 3 veces.c) Calcule el resultado de cada una de los productos escritos. 4 7= .............(3) 4 = ............ [( 2 ) 3] = ..........Est calculando productos con nmeros enteros. Comparemos los resultados obtenidos: 2812 [ 6] = +6NOTASRECORDARUsted ya conoce algunos nombres: a b=pProducto o resultadoIndica multiplicarFactores de la multiplicacinLos nmeros enteros se caracterizan por tener un signo positivo + o negativo .. . . . . . . . . . . . . . 4700 46. Matemtica I - EGB 3NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0048Cmo se har para calcular el producto entre dos nmeros enteros?Algoritmo para el clculo del producto de dos nmeros enteros Situacin 1 Observe las siguientes sumas y complete: 0 + 0 + 0 = . 0+ 0+ 0+ 0+ 0 = ...Se puede escribir tambin 0 3 = 0 Se puede escribir tambin 0 5 = 0En ambos casos hay un factor igual a cero y el producto resulta ser cero.PENSARSi en el producto de dos nmeros enteros, uno de los factores es cero, entonces el producto es igual a cero.Situacin 2 Preste atencin a los siguientes ejemplos: 23=6 (2) (6) = 12 Cmo son los signos de los factores del primer ejemplo y los del segundo? .................................................................................................................... .................................................................................................................... En el primer caso ambos son positivos y en el segundo ambos son negativos. Qu sucede con los signos de los productos o resultados en los dos ejemplos? .................................................................................................................... ....................................................................................................................PENSARSi en el producto de dos nmeros enteros, los factores tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), para obtener el producto o resultado se multiplican los valores absolutos de los factores y el signo del resultado siempre es positivo. 47. Conjuntos numricosSituacin 3NOTASNuevamente observe con atencin el signo de cada uno de los factores en los siguientes productos y el de sus resultados:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 ( 7 ) = 288 7 = 56Cmo son los signos de los factores en ambos ejemplos? ....................................................................................................................En cada ejemplo, los factores tienen distintos signos. Qu sucede con los signos de los productos o resultados en estos dos ejemplos? ....................................................................................................................PENSARSi en el producto de dos nmeros enteros, los factores tienen distinto signo (uno es positivo y otro es negativo), para obtener el producto o resultado se multiplican los valores absolutos de los factores y el signo siempre es negativo. Le proponemos leer nuevamente lo realizado hasta el momento sobre el producto de nmeros enteros y tener presente la siguiente sntesis que se propone a travs de la formalizacin. Definicin. Si m y n son nmeros enteros: El producto de m n = 0 si uno o los dos factores son 0 El producto de m n = m si n = 1 El producto m n = m + m + ..+ m el trmino m (eme) repetido n (ene) veces. Regla de signos Si dos factores tienen el mismo signo, el producto es positivo. Si dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo.ACTIVIDADES 1. Calcule los siguientes productos: a) 0 ( 25) =.................b) 4 ( 8) = .................c) 8 ( 10) =....................0049 48. Matemtica I - EGB 3Despus de resolver estos pequeos clculos, probablemente usted se est preguntando, cmo se resuelve un producto que tiene ms de dos factores? O quizs, cmo es el producto si se cambian de lugar los factores? Para dar respuesta a estos interrogantes y otros, comenzaremos con el anlisis de las propiedades de la operacin multiplicacin.Propiedades de la multiplicacin con nmeros enteros Es importante saber que la generalizacin de las propiedades tambin se realizar utilizando el lenguaje simblico, como se hizo para las propiedades de la adicin.ACTIVIDADES1. Calcule el producto de: a) 4 ( 10 ) = ................b) 10 ( 25) = ............... c) 4 23 = ................. d) 25 5 = ..................2. En todos los casos obtiene un nmero entero? ............................................................................................................................................................................ Seguramente los resultados que obtuvo son respectivamente: 40, + 250, + 92, 125 Se pueden seguir multiplicando infinitos pares de nmeros enteros, y para cada uno de esos pares, el producto siempre ser un nico nmero entero.NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . 0050PENSARLey de cierre. El producto de dos nmeros enteros es otro nmero entero. Resuelva este clculo que tiene tres factores. 4 ( 8 ) 10 = Para resolverlo, posiblemente usted pens multiplicar los dos primeros factores: 4 (8) = 32 y luego multiplicar con el tercer factor.: 32 10 = 320 Si se traduce este procedimiento al lenguaje aritmtico aparecern, corchetes [ ] y llaves { }, que indican el orden en que se deben realizar los clculos. 49. Conjuntos numricosLos corches le indican el primer producto que usted realiz cuyo resultado le dio - 32.{ [4 ( 8 )] 10 } = 320Las llaves le indican que luego de calcular el producto de los corchetes este producto lo multiplic por 10 para obtener el producto final, 320 usted calculo elEste mismo clculo tambin lo puede razonar de este modo. Los corchetes indican el primer producto que usted efecta da por resultado -80{ 4 [( - 8 ) 10] } = -320Las llaves indican que al primer producto lo debe multiplicar por 4, cuyo resultado es -320 .Podemos concluir que: { [4 ( 8 )] 10 } = { 4 [( 8 ) 10] } = 320 En sntesis, en ambos casos, primero se asociaron dos factores para que el producto resultante de ellos se multiplique luego por el tercer factor. El orden en que se asociaron los factores no altera el producto o resultado final. Esta propiedad que verifica la multiplicacin en el conjunto de nmeros enteros se llama asociativa.PENSARPropiedad asociativa. Para todos los nmeros enteros a, b, c, se verifica que: a b c = ( a b ) c = a ( b c )Analice y complete: 4 1 = ..................1 ( 4) = ...................El resultado que usted ha obtenido es 4. Si el 1 se multiplica a izquierda o derecha de un nmero entero, el producto no vara, da siempre el nmero entero considerado. Por ello, el 1 es el elemento neutro de la multiplicacin en Z.NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0051 50. Matemtica I - EGB 3NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0052PENSARPropiedad del elemento neutro. Existe el 1 de Z, tal que para todo nmero entero a se verifica: 1. a = a . 1= Resuelva y complete: 5 20 = ................... 5 20 = 20 ( 5) 20 ( 5 ) = .............Al obtener el mismo producto, se puede decir que: el orden en que se multipliquen los factores no altera el producto o resultado. PENSARPropiedad conmutativa. Para todos los nmeros enteros a, b se verifica que: a b = b a a) Analice y complete la siguiente igualdad y observe los nombres 15 ( 2 ) = 5 ( 6) que se sealan Primer miembroSegundo miembroEl signo igual (=) separa los dos miembros de la igualdad dada. Para comenzar, se verificar si la expresin es realmente una igualdad. Complete: 15 ( 2) = .................... y 5 ( 6) = ...................... En ambos clculos obtuvo el producto 30. Clculo que se escribe de la siguiente forma. 15 ( 2 ) = 5 ( 6) 3 = 3 Es decir, se realiza el clculo en ambos miembros y luego se comparan los resultados obtenidos. b) Multiplique ambos miembros por ( 10) y resuleva la expresin que resulta: Primer miembroSegundo miembro15 ( - 2 ) ( 10) = 5 ( -6) ( 10) ......................................................... ......................................................... 51. Conjuntos numricosObservar que la igualdad se mantiene porque se multiplic por un mismo nmero entero (10) en ambos miembros. Es decir que, si a ambos miembros de la igualdad se lo multiplica por un mismo nmero entero, se mantiene la igualdad.PENSARPropiedad uniforme. Para todos los nmeros enteros a, b, c; si a = b entonces a c = b cLa propiedad que abordaremos a continuacin, la cancelativa, est muy vinculada con la anterior, y se refiere a la cancelacin de factores iguales (distintos de cero), en distintos miembros. Ejemplo: 2 . (3) . 8 = 2 . (4) . 6 cancelando el factor 2 en ambos miembros queda: (3) . 8 = (4) . 6 24 = 24 Luego, todo factor (distinto de cero) que aparece en ambos miembros de una igualdad puede ser cancelado conservando la igualdad.NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . miembros y trminos?Miembros PENSAR a(b+c)=ab+ac Propiedad cancelativa. Para todos los nmeros enteros a, b, c, siendo c 0, si a c = b c entonces a = bTrminosACTIVIDADES Conteste las preguntas que se formulan a continuacin 1. Observe la siguiente igualdad: a.(b+c)=a.b+a.ca) Cuntos miembros tiene? ............................................................................................................................................................................. b) Cuntos y cules son los factores del primer miembro? ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................5300 52. Matemtica I - EGB 3Seguramente usted contest: 2. Siendo los factores: a y ( b + c) c) Cuntos y cules son los trminos que tiene el segundo miembro? ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. Seguramente usted contest: 2. Siendo los trminos a. b y a . c Si observa los trminos del segundo miembro, ver que en cada trmino est el factor a, es decir, se ha distribuido el mismo en cada trmino. Distribuya el factor 4 en cada trmino encerrado en el parntesis: 4 ( 5 + 10 3 ) = ............................... Le qued :4 5 + 4 10 4 3Entonces puede escribir la siguiente igualdad: 4 ( 5 + 10 3 ) = 4 5 + 4 10 4 3En esta expresin, se observa que el factor 4 se ha distribuido en el segundo miembro a cada trmino de la suma algebraica.2. Ahora le pediremos que verifique la igualdad. Para eso resuelva cada uno de los miembros. a) En el primer miembro calcule el resultado del parntesis y luego el producto con el factor 4.b) Para el segundo miembro, calcule cada uno de los trminos y realice la suma algebraica que resulta.c) Compare los resultados de a) y b), y escriba la conclusin ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. d) Compare sus resultados con los clculos que se desarrollan a continuacin y que muestran el camino seguido: 4 ( 5 + 10 3 ) = 4 5 + 4 10 4 3 4 12 = 20 + 40 12 48 = 48 Este ejemplo muestra la aplicacin y verificacin de la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma.0054 53. Conjuntos numricosNOTAS PENSARPropiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma y a la resta.El producto de un nmero entero por una suma algebraica, puede obtenerse calculando la suma de los productos de cada trmino por el factor considerado. En smbolos: Para todos los nmeros enteros a, b, c se cumple que a(b+c)=ab+acCmo se distribuye un factor negativo? Analizamos la siguiente propuesta. 4(5+78)= Al distribuir el factor 4, se debe tener en cuenta los signos de cada trmino que est en el parntesis. Al multiplicar 4 por + 5 resulta: 4 5 = 20 Al multiplicar 4 por + 7 resulta: 4 7 = 28 Al multiplicar 4 por 8 resulta: 4 ( 8 ) = 32 Teniendo en cuenta los productos calculados resulta entonces: 4 ( 5 + 7 8 ) = 20 28 + 32 Probablemente a esta altura se pregunte: por qu no se resuelve el parntesis y luego se calcula el producto? Es cierta su inquietud, pero tambin es importante para clculos que se estudiarn ms adelante saber resolver aplicando la propiedad distributiva. Intente ahora usted con el siguiente ejemplo. 4 ( 8 + 9 10) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ACTIVIDADESA continuacin, se presenta una situacin muy simple, en la que es posible aplicar la propiedad distributiva. Juan es viajante, y una vez por mes tiene que visitar a sus clientes en Tupungato. Durante tres meses, le pagaron $5 por viticos, $60 para el combustible y $40 para el alojamiento. Escriba dos expresiones distintas que le permitan calcular el monto invertido por la empresa en la que Juan trabaja durante los tres meses y verifique los resultados. Para resolver esta situacin, sera importante responder las siguientes preguntas:0055 54. Matemtica I - EGB 31. Podra relatar esta situacin en forma ms sinttica con sus propias palabras? ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 2. Identific los datos? ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 3. Son todos necesarios para la cuestin planteada? ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 4. Qu le indica la expresin durante tres meses? ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................Respuesta: $31Hacemos una sntesis de lo visto hasta el momento?Multiplicacin de nmeros enterosAlgoritmos de la multiplicacin de nmeros enterosEl producto de dos nmeros enteros de distinto signo es otro nmero entero cuyo signo es negativo y el mdulo del producto se obtiene multiplicando el mdulo de los factores dados.00 56El producto de dos nmeros enteros de igual signo es otro nmero entero cuyo signo es positivo y el producto se obtiene multiplicando el mdulo de los factores dados.Propiedades-Cierre -Asociativa -Elemento neutro -Conmutativa -Uniforme -Cancelativa -Distributiva con respecto a la suma y a la resta. 55. Conjuntos numricosCociente de nmeros enteros Situacin 1 Se est desagotando un tanque de riego. En 5 horas el nivel de agua del tanque baj 50 cm. Cunto desciende por hora, si las condiciones de riego han sido siempre las mismas? Est claro que para responder la pregunta, teniendo en cuenta que las condiciones de riego no han variado, la accin concreta es repartir en 5 partes equivalentes, los 50 cm que descendi el nivel del agua. Esta accin en concreto, implica el clculo aritmtico de dividir. Si nos estamos refiriendo al nivel de agua que est bajando el clculo que nos permite resolver la cuestin se indica: 50 : 5 = 10Descenso del nivel del agua en 1 hora Descenso del nivel del agua en 5 horas Nmero de horasPara calcular la variacin del nivel por hora, debe responder a la siguiente pregunta: Cul es la variacin de nivel que multiplicada por 5 da por resultado el nivel que descendi el agua en el tanque? Seguramente que usted ha respondido 10, que corresponde a los 10 cm que descendi el nivel en una hora.RECORDAR Dividendo (D ) Resto (r )Divisor (d ) Cociente( c )NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ACTIVIDADES 1. Complete: 8 : 4 = ................porque 4 2 = 8 Pero recordemos que tambin hay nmeros enteros que son negativos. 2. Complete: 15 : 3 = 5 porque 3 ( 5 ) = 20 : ( 5 ) = 4 porque .... 12 : ( 3 ) = .. porque 4 ( 3 ) = 12PENSARSi el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, el cociente tiene signo positivo. Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo. 0057 56. Matemtica I - EGB 3NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0058El 0 en la divisin El cociente de dos nmeros enteros, en general, es empleado cuando se resuelven situaciones que implican la accin de repartir. Qu ocurre con el nmero cero como dividendo, como divisor o