MATEMÁTICA COMPUTACIONAL

Licda. Ana Angélica Guerrero Pineda

El objetivo de la asignatura es:

Brindar al estudiante herramientas que permitan desarrollar la capacidad

en la aplicación de conceptos lógicos matemáticos para resolver problemas

relacionados con su entorno.

UNIDAD 01: TEORIA DE CONJUNTOS

Aprenderemos:

Conocer y aplicar los elementos básicos de la teoría de conjuntos para

la solución de problemas.

UNIDAD 01: TEORIA DE CONJUNTOS

Las ideas esenciales de la Teoría de Conjuntos fue introducida por:

George Cantor(1845- 1918), en la parte final del siglo XIX.

TEMA: INTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS.

CONJUNTO:•Es una colección de objetos de cualquier naturaleza, y cada uno de esos objetos se le llama elementos del conjunto.

•Es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar concerteza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.

EJEMPLOS DE CONJUNTOS:

• La familia.

•La Semana.

•Grupo de estudiantes de Ingeniería en sistemas y redes informáticas de la UGB.

• Todos los números enteros pares.

La característica principal de un conjunto es

que está bien definido .

Es decir, dado un objeto particular, debe

saberse con claridad si dicho objeto es o no

un elemento del conjunto.

EJEMPLO1:¿Cuáles de las siguientes descripciones definen

a un conjunto?a) Números Interesantes.b) Múltiplos de 2.c) Secretarias Eficientes.d) Decanos de la UGB.e) Números que pueden sustituir a X a fin que

X+4= 5

ELEMENTOS DE UN CONJUNTO:

Es lo que forma parte de un conjunto.

Por ejemplo:

• Los integrantes de una familia.

•Los días de la semana.

•Cada uno de los estudiantes de Lic. En Computación .

SIMBOLOGÍA:

Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C, X, Y, Z etc.

Los elementos de un conjunto se representan con letras minúsculas: a, b, c, x, y, z. etc.

Para agrupar los elementos se utiliza llaves { },

separándolos por coma.

Ejemplo: Representa el conjunto de los enteros pares menores que 20.

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.}

RELACION DE PERTENENCIA:

Si se tiene un conjunto “A “y un elemento “b” y ocurre que “b” es un miembro de A, entonces, “b” pertenece a “A”.

Lo anterior, se escribe

Si se tiene un elemento “c” que no pertenece al conjunto A, se escribe

Ab (b es un elemento de A)

Ac

EJEMPLO2:

Si X= { Eva, Mariana, Juan, José}. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son correctos?

a)

b)

c)

d)

XMariana

JoséJuanMarianaEvaJosé ,,,

XJuan

XMaría

DETERMINACION DE UN CONJUNTO.

Existen tres maneras en que se puede definir un conjunto:

•Se puede dar una DESCRIPCIÓN VERBAL de un conjunto:

-El conjunto de números naturales menores que 5.

- El conjunto de vocales en el abecedario.

- El conjunto de los números enteros que son pares.

•POR EXTENSIÓN. Se listan todos los elementos del conjunto:

- A= {1,2,3,4}

- B= {a,e,i,o,u}

- C= {2,4,6…..}

• POR COMPRENSION: Consiste en indicar una característica especial que tienen los elementos de un conjunto.

- V= {las vocales}

También, los conjuntos se pueden describir con la notación compacta:

Ejemplos:

a) A = {x/x es una vocal del abecedario}

b) B={x/ , X<5} se lee: “ el conjunto de todos los elementos x , tal que x es un numero natural menor que 5.

EJEMPLO1:

1. Dé una descripción verbal para cada uno de los siguientes conjuntos:

a) {a, b, c, …..z}

b) {1, 2, 3, …..}

c) {3,6,9,…..27}

SOLUCIÓN:

a) El conjunto de letras de alfabeto.

b) El conjunto de números naturales que son impares.

c) El conjunto de números naturales que son múltiplos de 3 y menores que 28

EJEMPLO2:

Liste los elementos en cada uno de los siguientes conjuntos:

a) {x/x es un dígito en el numero 1,896}

b) {x/x >5, x es un entero impar}

c) {x/0 < x < 1, x es un numero natural}

d) {x/x=4n, n es un numero natural}

SOLUCIÓN:

a) {1, 8, 9, 6}

b) {7, 9, 11,….}

c) { }. Observa que el conjunto, no posee elementos porque no existen naturales que sean menores que uno y mayores que cero´.

d) {4, 8, 12…..}

Ejmplo3:

Dé una descripción verbal para los conjuntos del ejemplo2:

a) El conjunto de dígitos en el número 1,896

b) El conjunto de números naturales mayores que 5.

c) El conjunto de números naturales mayores que cero y menores que 1.

d) El conjunto de los números naturales que son múltiplos de 4.

También, los conjuntos se pueden describir con la notación compacta:

Ejemplos:

a) A = {x/x es una vocal del abecedario}

b) B={x/ , X<5} se lee: “ el conjunto de todos los elementos x , tal que x es un numero natural menor que 5.

Nx

Ejemplo:

Sea A el conjunto de los actuales habitantes de El Salvador.

Sea B el conjunto de los habitantes de El Salvador que tienen menos de 50 años.

Todos los elementos de B son elementos de A, ya que viven en El Salvador.

CLASES DE CONJUNTOS:

• Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos, es decir si son el

mismo conjunto.

Ejemplo:

R={ x/ x es un digito}

S={ 1, 2,3,4,5,6,7,8,9, 0}

La notación correspondiente es: A=B, para que esto suceda se deben cumplir las siguientes condiciones:

i) todo elemento de A es elemento de B.

ii) todo elemento de B es elemento de A.

Lo anterior se puede expresar así:

Si entonces y si entonces

Los símbolos que se presentan a continuación Se utilizan en la abreviación ó en un lenguaje simbólico :

“entonces” o “ implica”.

“para todo”

“si y solo si”

La definición de igualdad se puede escribir:

Aa Ba Bb

.Ab

DEFINICION2:Dos conjuntos son diferentes cuando no son iguales.

CLASES DE CONJUNTOS.Según los elementos que posean los conjuntos se clasifican en:

COJUNTO VACÍO O NULO:Es el conjunto que no posee elementos. Se denota por Ø ó { }.

Ejemplos:

1.) P= {Los números pares que terminan en 3}= { }

2.)C= {x/x son los dinosaurios que viven en la actualidad}

3.) N= {x/x son números positivos menores que cero}

CONJUNTO UNITARIO:

Es el que tiene un solo elemento.

L={Capital de El Salvador}

CONJUNTO UNIVERSAL:

Es el conjunto de todos los elementos que habrán que analizarse. Se representan por U.

N{1,2,3,4,5,6…}

CONJUNTO FINITO:

Es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

Ejemplo:

A= {x/x es la cantidad de estudiantes de la UGB}

CONJUNTO INFINITO:

Es aquel cuyos elementos no pueden se contados.

N={1,2,3,4,5,6……}

• CONJUNTO UNIVERSAL:

Se define como el conjunto de todos los elementos que habrán de analizarse.

Se denota por U.

Ejemplo:

a) U = {x/x son los días de la semana }

b) U= { x/x son las letras del alfabeto}

El Conjunto vacío es parte de todo otro conjunto o es subconjunto de todos los conjuntos

SUBCONJUNTO PROPIO

A es un subconjunto propio de B si y solo si cada elemento de A está en B; y existe por lo menos

un elemento de B que no está en A.

Ejemplo:

A={ 1, 2, 3}, es un subconjunto propio de

B={ 1, 2, 3,4} porque el elemento 4 no está en el primer conjunto.

En conclusión:

Un subconjunto propio de otro es aquel que está enteramente contenido dentro de otro sin la posibilidad que ambos sean iguales.

Ejemplo:

Sean B={x/x sea un entero positivo} y

A={ x/x sea un par entero positivo}

SUBCONJUNTO IMPROPIO:Cuando un conjunto A está incluido en otro conjunto

B, siendo A igual a B.

Esto nos permite afirmar que:

¨ Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.¨

CONJUNTOS DISJUNTOS:

Cuando dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento en común se dice que son disjuntos.

CONJUNTO POTENCIA.

Se llama así al conjunto que está formado por todos los subconjuntos que se forma de un conjunto dado.

Se simboliza por P, su notación P(A),se lee:

Potencia del Conjunto A.

Ejemplo: Hallar la potencia del siguiente conjunto

A={1,2,3}

Solución:

Los subconjuntos de A se forman mediante la asignación de ninguno, algunos o todos los elementos de A a tales

subconjuntos.

Al conjunto potencia, se le conoce también como:

Familia de partes de un conjunto F(A).

Las ideas presentadas en los ejemplos anteriores se pueden aplicar a muchos problemas prácticos.

Ejemplo:

- Su un jefe de policía dispone tres autos patrulleros:

a, b y c; las posibilidades de atender una llamada:

a b c

EJERCICIOS DE REPASO:1. Enumere los subconjuntos de los siguientes conjuntos:

a) U={a, b}b) U={7,8,9}c) U={ v,i,d,a}

2. Señale los subconjuntos propios de los conjuntos dados en el problema 1

3. Utilizando la fórmula del conjunto potencia determine cuantos subconjuntos poseen los siguientes conjuntos:a) A={a,e,i,o,u}b) R={Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio}c) B={a,b,c,d,e}d) F={ c, a, m, i, o, n}

9.) Un conjunto tiene 16 subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene este conjunto?

10) Un conjunto presenta 63 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos hay en el conjunto?

11) Un conjunto tiene 128 subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene este conjunto?

12.) Un conjunto presenta 511 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos hay en el conjunto?

b) “Para todo elemento x que pertenece al conjunto A, x pertenece al conjunto de los números naturales, si y

solo si x es mayor que cero«

c) “Si a pertenece al conjunto de los números naturales entonces -a pertenece al conjunto de los números enteros¨

d) “a pertenece a los números naturales si y sólo si a pertenece a los números enteros y a es mayor que cero”.

TEORIA COMBINATORIA.La teoría combinatoria estudia las agrupaciones que

pueden ser formados cuando se toman todos, o algunos de los elementos de un conjunto finito.

La teoría combinatoria estudia especialmente en numero de agrupaciones que pueden ser obtenidas bajo algún

modo de composición de los elementos, para ello se distinguen conceptos como:

• Factorial de un numero

• Numero Combinatorio

• Si n es un numero total el factorial de n es el numero que

se obtiene al multiplicar todos los números naturales menores o iguales que n. Se representa por n!.

n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1

Ejemplos:

a) Encontrar el factorial de 4! = 4.3.2.1 =24

b) El factorial de 7!= 7.6.5.4.3.2.1= 5,040.

- El factorial de 0! = 1

EJEMPLO

SI U={1, 2, 3, 4, 5, 6}; A={1, 2, 3, 4,} B= {1, 2, 5}. Encuentre :

a) U-A b) Aʼc) A-B d) B-A

SOLUCION:

a) U-A ={5, 6}: Es el conjunto de los elementos de U

que no pertenecen a A.

b) Aʼ={5,6}: Es el conjunto de U que no están en A.

c) A-B={3, 4}: Es el conjunto de los elementos de A, que no

están en B.

d) B-A={5}: Es el conjunto de los elementos de B, que no

están en A