Matemática Aplicada I Alberto Márquez Tema 4: Triangulaciones TEMA 4: TRIANGULACIONES.

Matemática Aplicada I

Alberto Márquezhttp://ma1.eii.us.es/miembros/almar

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TEMA 4:TRIANGULACIONES



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•Triangulaciones de nubes de puntos (modelado de terrenos)

•Triangulaciones de polígonos

•Triangulaciones de nubes de puntos (modelado de terrenos)

•Triangulaciones de polígonos



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Modelado de terrenosModelado de terrenos



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¿QUÉ ES UN S.I.G.? (Sistema de Información Geográfica)

Visualización de la información:

geográfica, numérica, estadística, etc.

Transformación

Análisis

Recolección

DATOS

Taquímetro / GPS

Interpolación de información

Sistema dinámico

Mapas topográficos



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¿QUÉ ES UN S.I.G.? (Sistema de Información Geográfica)

Visualización de la información:

geográfica, numérica, estadística, etc.

Transformación

Análisis

Recolección

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P={p1,p2,...,pn} conjunto de puntos en el plano

T= triangulación de P con m triángulos

Vector de ángulos de T:

V(T)={1,2,...,3m} con 123m

V(T) > V(T’) si existe i {1,...,3m} tal quej=’j si j<i

i>’i

T es la triangulación Equilátera de P={p1,p2,...,pn} si

V(T) V(T’), para toda triangulación T’ de P.



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Triangulación de Delaunay (dual de Voronoi)

Triangulación de Delaunay (dual de Voronoi)



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Objetivo:

Probar que la triangulación de Delaunay es la equilátera.

Objetivo:

Probar que la triangulación de Delaunay es la equilátera.



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p3p1

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*=min {i } *=min {j }

p1p2 es legal si * *Triangulación legal: todas sus aristas internas son legales

Equilátera implica legal

Equilátera implica legal



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Flip diagonal

Triangulaciones legales



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Flip diagonal



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Caracterización de las triangulaciones legales

p3 p2

p1p4

p1p2 es legal p4C(p1,p2,p3)

Criterio del Circunciclo



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p3 p2

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p1p2 es legal p3C(p1,p2,p4)

Criterio del Circunciclo

Caracterización de las triangulaciones legales



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Teorema del Arco Capaz (Thales)

p1 > p2 > p3



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* = 1 > 5



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Algoritmo para encontrar triangulaciones legales

Partir de cualquier triangulación

En cada arista interior:

comprobar si es legal por el criterio del circunciclo

si no lo es, realizar un flip



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Dado un punto q llamaremos círculo máximo vacío al mayor círculo centrado en q que no contiene a ningún generador del diagrama en su interior.

La bisectriz entre dos generadores define un borde de Vor(P) si y sólo si existe un punto q sobre dicha bisectriz tal que el círculo máximo vacío centrado en q contiene solamente a estos dos generadores en su frontera.

Un punto q es vértice de Vor(P) si y sólo si el círculo máximo vacío centrado en q contiene tres o (en el caso de tratarse de un diagrama degenerado) más generadores en su frontera



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Proposición 1.

P={p1,p2,...,pn} puntos en el plano.

pipjpk es un triángulo de Delaunay si y sólo si C(pi,pj,pk) no contiene a ningún punto de P en su interior.



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Proposición 2.

P={p1,p2,...,pn} puntos en el plano.

pipj es una arista de Delaunay si y sólo si existe un círculo a través de pipj que no contiene a ningún punto de P en su interior.



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Teorema 1.

P={ p1,p2,...,pn } puntos en el plano.

T = triangulación de P.

T es legal si y sólo si T es la triangulación de Delaunay de P.



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Algoritmo para encontrar la triangulación de Delaunay

Partir de cualquier triangulación

En cada arista interior:

comprobar si es legal por el criterio del circunciclo

si no lo es, realizar un flip



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Algoritmo de flips (Sibson, 1978) O(n2) Transforma una triangulación arbitraria en la de Delaunay realizando flips en triángulos adyacentes y decidiendo por el criterio del circunciclo.

Divide y vencerás (Guibas y Stolfi, 1985) O(nlog n)

Algoritmo del barrido plano (Fortune, 1987) O(nlog n)

Algoritmo incremental de inserción aleatoria (Guibas, Knuth y Sharir, 1992) O(nlog n)

Comienza con un triángulo ficticio e inserta aleatoriamente los puntos en la triangulación. Se generaliza a R3.



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El algoritmo incremental



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Las aristas creadas por la inserción de un nuevo punto son aristas de Delaunay



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Las aristas ilegales se transforman en aristas de Delaunay tras un único flip.



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Tras el proceso:

No quedan aristas ilegales

No se produce un bucle infinito

Obtenemos la triangulación de Delaunay



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¿Qué hacer con las líneas de rotura?



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Construimos la triangulación de Delaunay



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El problema de las líneas de rotura



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p y q son visibles si el segmento pq no corta a la restricción.




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pqr es un triángulo de la TDR si C(p,q,r) no contiene puntos que sean visibles desde p, q y r.




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Bibliografía

Computational Geometry: an introduction.F. P. Preparata y M. I. Shamos. Springer-Verlag, 1985.

Computational Geometry in C.J. O’Rourke. Cambridge University Press, 1998.



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Triangulación de Delaunay

http://wwwpi6.fernuni-hagen.de/Geometrie-Labor/VoroGlide/

http://www.cs.cornell.edu/Info/People/chew/Delaunay.html

Modelado de terrenos

http://www.cs.ubc.ca/spider/snoeyink/terrain/Demo.html

http://www.fhi-berlin.mpg.de/grz/pub/preusser/java1.1/

TrivialApplet.html

Applets



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Triangulaciones de polígonosTriangulaciones de polígonos



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Problema de la Galería de Arte

En 1973, Víctor Klee planteó el problema de determinar el mínimo número de guardias suficientes para cubrir el interior de una galería de arte con un número n de paredes. C

En 1975, Chvatal dio la respuesta a dicha pregunta y en 1978 Fisk dio otra demostración.

El primer paso de su demostración era triangular el polígono.

¿Es todo polígono triangulable?

¿Es todo polígono triangulable?



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Lema 4.1: Todo polígono tiene al menos un vértice convexo.



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Lema 4.2: Todo polígono con más de cuatro vértices admite una diagonal.

Teorema 4.2: Todo polígono admite una triangulación.



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Lema 4.3: Toda triangulación de un n-polígono tiene n-2 triángulos y utiliza n-3 diagonales.

Lema 4.4: La suma de los ángulos internos de un n-polígono es (n-2)p.



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Proposición 4.1: El dual de una triangulación es un árbol de valencia máxima tres.



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Ejercicios1.¿Cuál es la suma de los ángulos exteriores de un polígono? 2.Probar o dar un contraejemplo: todo árbol binario es el dual de la triangulación de un polígono. 3.Cuántas triangulaciones tiene el siguiente polígono:

4.Probar que toda triangulación de un polígono tiene al menos dos orejas, donde una oreja es un triángulo que sólo comparte una arista con otro triángulo. ¿Ocurre lo mismo con triangulaciones de nubes de puntos?

Ejercicios1.¿Cuál es la suma de los ángulos exteriores de un polígono? 2.Probar o dar un contraejemplo: todo árbol binario es el dual de la triangulación de un polígono. 3.Cuántas triangulaciones tiene el siguiente polígono:

4.Probar que toda triangulación de un polígono tiene al menos dos orejas, donde una oreja es un triángulo que sólo comparte una arista con otro triángulo. ¿Ocurre lo mismo con triangulaciones de nubes de puntos?

Matemática Aplicada I Alberto Márquez Tema 4: Triangulaciones TEMA 4: TRIANGULACIONES.

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