Matemática 4 Sec II Bim 2015
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MATEMATICA PARA CUARTO GRADO
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SEGUNDO
2015En la medida en que las leyes de las matemticas se refieren a la realidad, no son exactas, y en tanto son exactas, no se refieren a la realidad
Albert Einstein
SEGUNDO BIMESTRE4 ao 2015Nmeros complejos
Nmeros Imaginarios4 Nmeros complejos9 Operaciones con nmeros complejos 10Circunferencia
La circunferencia teoremas14 ngulos notables en la circunferencia22 Crculo. rea de regiones circulares29 rea de polgonos regulares inscritos y circunscritos. 37Trigonometra
ngulo trigonomtrico en posicin normal42 Razones trigonomtricas de ngulos en posicin normal49 Identidades trigonomtricas59Geometra analtica.
Distancia entre dos puntos en el plano65 Punto medio de un segmento de recta69 Angulo de inclinacin y pendiente de una recta70 Ecuacin de la recta73
Hemos aprendido a resolver ecuaciones de segundo grado, pero tambin hemos encontrado algunas dificultades, por ejemplo en el caso siguiente:Al resolver la ecuacin x2 + 1 = 0, llegamos a la situacin x2 = - 1Esta ecuacin no tiene solucin en el conjunto de los nmeros reales, ya que no existe ningn nmero real cuyo cuadrado sea negativo.
Frente a esta dificultad, se establece un nuevo conjunto de nmeros que fueron denominados nmeros imaginarios. La caracterstica de estos de estos nmeros es que al elevarlos al cuadrado dan como resultado un nmero negativo
Entre estos nmeros se distingue la unidad imaginaria que se simboliza por i , y se define como:
i2 = - 1 es decir i =
Si la unidad imaginaria la multiplicamos por un factor real, da origen a los llamados nmeros imaginarios puros, que se simbolizan por:
bi ; b
Son nmeros imaginarios puros: 3i, - 8i, - iEjemplos:
Expresamos las siguientes races cuadradas de nmeros negativos como nmeros imaginarios puros.
ya que (2i)2 = 4i2 = 4 (-1 ) = -4
-
4
La resolucin de ecuaciones cuadrticas de la forma: ax2 + c = 0 con a, c R+, da origen a nmeros imaginarios puros, como podemos verificar en los siguientes casos:Ejemplos:
1) x2 + 4 = 0 x2 = - 4
x1 = 2i x =
x2 = - 2i2) x2 + 6 = 0 x2 = - 6 x =
EMBED Equation.3 x1 =
x =
x2 = 3) x2 +
x1 =
x =
x2 =
Tambin es posible sumar, restar, multiplicar o dividir nmeros imaginarios entre s o con nmeros reales.
a, b IR, se cumple:
a. ai + bi = (a + b) ib. a ( bi = (a ( b) ic. ai ( bi = (a ( b) i2 d.
e.
Ejemplos:
1) 4i + 6i = (4 + 6) i = 10 i
2) 10i 7i = (10 7) i = 3i 3) - 5.(6i) = (- 5 ( 6). i = - 30i
4) 4i ( 2i = (4 ( 2) ( i2 = 8(- 1) = - 8
5) -5i6) 2Potencias de i
Las potencias de la unidad imaginaria i se logran a partir de las siguientes potencias bsicas: i0 = 1 y i2 = -1Las potencias de base i y exponente n entero (n Z+ ), esto es in , son:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i . i2 = i . (- 1) = - i
i4 = I2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1
i5 = i4 .i = 1 . i = i
i6 = i4 . i2 = 1 . (- 1) = - 1
i7 = i4 . i3 = 1 . i = - i
i8 = i4 . i4 = 1 . 1 = 1
.
. Podemos observar que las cuatro primeras potencias, desde i1 hasta i4, son todas distintas, pero luego, stas se repiten en cuanto un exponente con otro tienen una diferencia de 4 unidades (i1 con i5, i5 con i9, etc.), lo que se denomina mdulo 4. As las potencias i1, i2, i3, i4 se laman potencias bsicas o cannicas de i.
i1 = i5 = i9 = i13 = i17 = i i2 = i6 = i10 = i14 = i18 = -1 i3 = i7 = i11 = i15 = i19 = -i
i4 = i8 = i12 = i16 = i20 = 1 A partir de estas potencias cannicas de i es posible caracterizar cualquier potencia de exponente mayor que 4, como se indica en la tabla siguiente:
Potencias
cannicas de iPotencia
equivalente (n ( Z)
Exponente
i1 = i
i2 = -1
i3 = -i
i4 = 1
i4n + 1i4n + 2i4n + 3i4n + 4 Mltiplo de 4, mas 1.
{4n + 1 /n ( Z}={1;5;9...}
Mltiplo de 4, mas 2.
{4n + 1 /n ( Z}={2;6;10...}
Mltiplo de 4, mas 3.
{4n + 1 /n ( Z}={3;7;11...}
Mltiplo de 4, mas 4.
{4n + 1 /n ( Z}={4;8;12...}
EJEMPLOS:
Calcular las siguientes potencias de i. 1. i25 = i24 + 1 = i24 ( i1 = ( i4 )6 ( i = 1 ( i = i 2. i74 = i72 + 2 = i72 ( i2 = ( i4 )18 ( i2 = 1 ( (-1) = 1
3. (-i)3 + (i)2 + 3(i)5 = i3 + i2 3 i5 = (1) + ( 1) 3( i )
= i 1 3i
= (1 + 2i)4. i10 2i80 12i51 = (1 ) 2(1) 12( i) = 1 2 + 12i
= 3(1 4i)
1. Expresa las siguientes races como nmeros imaginarios:
a)
b)
c)
d)
2. Simplifica:
a)
b)
c)
d)
3. Halla el valor de las siguientes potencias, teniendo en cuenta la unidad imaginaria
a)
b)
c)
d)
4. Calcular:
a) 6i21 -
b) 3i36 + 4i102 i201c)
Se denomina conjunto de los nmeros complejos al conjunto de todos los nmeros de la forma a + biEn el numero complejo a + bi, a se llama parte real; b, que es coeficiente de i, parte imaginaria, e i, unidad imaginaria.
Cuando la parte imaginaria b es igual a 0, los nmeros que se obtienen son los nmeros reales representados por la parte real a. Por tanto los nmeros reales, , forman un subconjunto del conjunto de los nmeros complejos, y se verifica .
Igualdad de nmeros Complejos.
Para que dos nmeros complejos sean iguales es necesario que lo sean sus partes reales e imaginarias.
a + bi = c + di ( a = c y b = d
Expresin Binomial y Cartesiana de un nmero Complejo
Expresin Binomial: a + bi
Expresin Cartesiana: (a, b)
Representacin grfica de nmeros complejos en el plano
La representacin grfica del nmero complejo a + bi es un punto (P) del plano .As, la componente real del nmero complejo se representa en el eje de las abscisas (X), y la componente imaginaria en el eje de la ordenadas (Y).
Ejemplo:
Represente los siguientes nmeros complejos:
z1 = 1 + 5i
z2 = - 2 +
z3 = - 3 4i
z4 = 4 2i
OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS
ADICION Y SUSTRACCION DE NMEROS COMPLEJOS
Adicin de dos nmeros complejos en forma binmica z1 = a + bi, z2 = c + di se obtiene a partir de la expresin siguiente:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Ejemplos:
a) (5 - 4i) + (2 + 5i) = (5+ 2) + (-4 + 5) i = 7 + i b) (-8 + 7i) + (-2 + 4i) = (-8 -2 ) + (7 + 4)i = - 10 + 11iSustraccin de dos nmeros complejos en forma binmica z1 = a + bi, z2 = c + di se obtiene a partir de la expresin siguiente:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Ejemplos:
a) (4 + 8i) - (2 + 5i) = (4 - 2) + (8 - 5) i = 2 + 3 i b) (-5 + 10i)-(-2 + 10i) = (-5 + 2 )+(10 - 10)i = - 3 + 0i = - 3MULTIPLICACIN DE NMEROS COMPLEJOS
Para multiplicar nmeros complejos en forma binmica z1 = a + bi, z2 = c + di se obtiene a partir de la expresin siguiente:
z1 . z2 = (a + bi) ( (c + di) = ( ac bd) + (ad + bc)i
EJEMPLO: a) (4 2i) ( ( 3 + 5i) = 12 + 20i + 6i 10i2
= 12 + 26i 10( 1) = 2 + 26ib) (3 2i)2 = 32 2(3)2i + (2i)2 = 9 12i + 4i2 = 9 12i + 4 ( 1) = 5 12iDIVISIN DE NMEROS COMPLEJOS
Conjugada de un nmero complejo:Conjugada de un nmero complejo es otro un nmero complejo de igual componente real y de componente imaginaria de signo contrario.
As:
El conjugado (3 + 5i) es (3 5i)
El conjugado ( 2 4i) es ( 2 + 4i)
Para dividir dos nmeros complejos se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor.
Ejemplo: Efectuar la siguiente divisin:
=
Ejercicios y Problemas resueltos 1. Hallar el valor de P =
Solucin:
Expresamos en nmeros complejos las races imaginarias:
14i 12i Reemplazamos los nmeros y resolvemos:
P = 26i
2. Reduce la siguiente expresin: A = (4 + 6i) + (5 + 2i) (- 6 + 3i)Solucin:
Eliminamos los parntesis: A = 4 + 6i + 5 + 2i + 6 3i
Sumamos las partes reales entre s y las partes imaginarias entre s:
A = 4 + 5 + 6 + 6i + 2i - 3i
A = 15 + 5i3. Efecta (6 + 4i) : (2 2i)
Solucin:
Multiplicamos numerador y denominador por la conjugada del denominador:
=
= =
= =
Factorizamos y simplificamos: =
I. Efectuar:
a)
b)
c) (3 + 5i) + (4 - 2i)
d) (2 + 4i) + (6 - 3i) - (-4 + 7i)
e) (-3 - 7i) - (8 - i) + (5 - 4i)
II. Efecta las siguientes multiplicaciones:
a)
c)
d) |
III.Halla el cociente.
a)
b)
c)
d)
DEFINICIN: Circunferencia es el conjunto de puntos pertenecientes a un mismo plano que equidistan de otro punto fijo llamado CENTRO, ubicado en el mismo plano.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
a) Centro: Punto fijo O.
b) Radio: (R): Segmento de recta que une el centro con cualquier de los puntos de la circunferencia. (; R = OB)
c) Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia. ().
d) Dimetro (D): Cuerda que pasa por el centro, se le llama tambin cuerda mxima y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias. ()D = 2Re) Secante: Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos (L1). Una secante contiene siempre a una cuerda.
f) Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un punto llamado punto de tangencia T.(L2).
g) Normal: Recta que pasa por el centro y por el punto de tangencia. (L3).
h) Flecha: Parte del radio que se origina al trazar una cuerda perpendicular. ().
i) Arco: Parte de la circunferencia. (PQ). En la Fig., la cuerda PQ subtiende al arco PQ. Se mide en unidades de longitud o tambin en unidades angulares. Toda la circunferencia mide 360.
Tangentes trazadas desde un punto exteriorTeorema: Si se trazan dos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior, entonces se obtienen dos segmentos tangentes congruentes.
es bisectriz del ( P
( ( (
El OAP OBP, entonces:
PA = PBPostulado:
El radio de una circunferencia es perpendicular a la tangente en su punto de tangencia
Si L es tangente y T el punto de tangencia se tiene que:
L
Ejemplo:
Por un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan las rectas tangentes PA y PB que forman un ngulo de 700. Calcula el ngulo formado por y el dimetro que pasa por A.
SOLUCIN:
Graficamos :
El APB es issceles:
2y + 70 = 180
2y = 180 - 70
y =
y = 55
El OAP es rectngulo en A. (postulado)
( x + y = 90
x + 55 = 90
x = 90 - 55
Corolario 1:
Si se trazan dos tangentes comunes internas a dos circunferencias desde un punto exterior, entonces se obtienen dos segmentos tangentes congruentes.
QR ( ST Ejemplo:En la siguiente figura, calcular ST.
En el notable OQP (37 y 53):
Si OQ = 6 cm. ( QP = 8cm.
En el notable PRO (37 y 53):
Si OR = 3 cm. ( PR = 4cm.
Luego: QR = QP + PR
QR = 8 + 4 = 12 Pero: (corolario)
ST = 12 cm. Corolario 2:Si se trazan dos tangentes comunes externas a dos circunferencias desde un punto exterior, entonces se obtienen dos segmentos tangentes congruentes
QR ( STEjemplo:
En el siguiente grfico, hallar RS.
Solucin:
En el notable OMP (30 Y 60):
Si OM = 2 cm. ( PM = 2cm.
En el notable OQP (30 y 60):
Si OQ = 6 cm. ( PQ = 6 cm.
QM = PQ PM
QM = 6 2 = 4
Pero: (corolario)
( RS = 4 cm.Teorema de PonceletSi un tringulo rectngulo est circunscrito en una circunferencia, entonces la suma de sus catetos es igual a la hipotenusa, ms el doble del radio de la circunferencia. a + c = b + 2rEjemplo 1:En la siguiente figura, hallar el dimetro de la circunferencia. Calculamos los lados del notable ABC, (37 y 53):Si: b = 20 cm. ( a = 16 cm. y c = 12 cm.
Aplicamos el teorema de Poncelet:
a + c = b + 2r
16 + 12 = 20 + 2r 2r = 8 D = 8cm.
Ejemplo 2:
El permetro de un tringulo rectngulo mide 24cm. y su hipotenusa mide 10cm. Hallar la longitud del radio del circunferencia inscrita.SOLUCION: Por el teorema de Poncelet: a + c = b + 2r.... (1)
Por datos del problema:
Permetro: a + b + c = 24 cm.
Hipotenusa: b = 10 cm.
( a + 10 + c = 24 cm.
a + c = 24 10 a + c = 14
Reemplazando en (1) a + c = b + 2r14 = 10 + 2r2r = 4
r =
r = 2 cm.Teorema de PitotSi un cuadriltero est circunscrito en una circunferencia, entonces la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados.
AB + CD = AD + BCEjemplo:
En la siguiente figura: Si AD = (7 x) cm. y BC = (8 + x) cm. Hallar AB + CD.
Solucin: Por el teorema de Pitot:
AB + CD = AD + BC
AB + CD = (7 x) + (8 + x)AB + CD = 15 cm
1. En la siguiente figura calcular el valor de PQ
2. En la siguiente figura halla el valor de x. Si Q es punto de tangencia.
4. En la siguiente figura halla el valor de x. Si Q y R son puntos de tangencia.
a) b)
5. En la siguiente figura halla el valor de ST.
6. En la siguiente figura halla el valor de RS.
7. En la siguiente figura halla el valor de ST.
8. En la siguiente figura halla el valor de x.
II. 1. En la siguiente figura calcular el radio:a) b) 2. En la siguiente figura calcular el radio y la hipotenusa.
III. En la siguiente figura calcular: AB + CD a) b)
1. ngulo central
Vrtice: centro 0
Lados: 2 radios
se cumple que:
Ejemplo: Si AB = 60 entonces ( = 602. ngulo inscrito
Vrtice: cualquier punto P de la circunferencia.Lados: dos cuerdas
se cumple que:
Ejemplo: Si AB = 180 entonces ( = = 903. ngulo semi inscrito
Vrtice: cualquier punto P de la circunferencia.Lados: una cuerda y una tangente en P
se cumple que:
Ejemplo: S AB = 60 entonces
( = = 30
4. ngulo ex inscrito
Vrtice: cualquier punto P de la circunferencia.Lados: una cuerda y una secante
Aqu se cumple que:
Ejemplo: Si m APC = 280
entonces x = = 140
5. ngulo interior
Lo originan dos cuerdas que se cruzan.
se cumple que:
Ejemplo: Si: AB = 30 y CD = 40
entonces: ( =
( = 35
6. ngulo exterior
El vrtice est en el exterior de la
circunferencia y es originado por el
cruce de dos secantes o una tangente
y una secante o dos tangentes.
Ejemplo:
Si AB = 80 , CD = 16
entonces: ( = = 32 ( = 32
Arco capaz de un ngulo (, es al arco formado por dos puntos fijos A y B de la circunferencia que determinan ngulos constantes e iguales al ngulo (AB: Arco capaz de (AB: segmento capaz de (Todos los ngulos inscritos en un mismo arco tienen igual medidaEjemplo:En la siguiente figura, AD = 120 arco capaz y = 50. Calcular la medida del ngulo .Solucin: Como AD es arco capaz: =
Por ngulo inscrito: = = = 60
Hallamos en el ( ACD:
50 + 60 + = 180 = 180 - 50 - 60
= 70
El ngulo mide 70 ngulos inscritos en una semicircunferencia:Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto, mide 90.
Ejemplo:En la siguiente figura, hallar x, dimetro Solucin: Por estar inscritos en una semicircunferencia:
= = 90
En el ACB: + + = 180 35 + + 90 = 180 = 55 AC es arco capaz: = = x
( = x = 55.
La medida del ngulo x es 55.
Cuadriltero inscrito Un cuadriltero est inscrito en una circunferencia si sus cuatro vrtices pertenecen a ella.
TEOREMA:Si un cuadriltero est inscrito en una circunferencia, entonces sus ngulos opuestos son suplementarios.
(A + ( C = 180 y ( B + ( D = 180Las mediatrices de los cuatro lados del cuadriltero, se intersecan en el centro de la circunferencia.
I. Hallar el valor de x en los siguientes ejercicios: 1)
2)
3)
4)
5)
II. Determina si los siguientes cuadrilteros son o no inscriptibles.
a)
b)
El crculo es una superficie plana que resulta de la reunin de una circunferencia con su regin interior.
Recuerda: que el nmero ( (se lee pi) es una constante que se obtiene al dividir la longitud L de una circunferencia, entre su dimetro D
( =
Pero: D = 2r
( =
Longitud de la circunferencia
( es un nmero irracional
( = 3, 14159265...Aproximando al centsimo resulta ( = 3, 14
REA DEL CRCULO
El rea de un crculo es igual a ( por el cuadrado de su radio.
rea del crculo = ( ( r2
Ejemplo: Hallar el rea del crculo cuyo dimetro mide 6m.
Solucin:
Dimetro = 6 m, entonces radio = 3m
Reemplazando en la frmula:
rea = ( ( r2
rea = ( ( (3m)2
rea = 9( m2
Aproximando al centsimo: rea = 9(3,14) m2
rea = 28,26 m2
CORONA CIRCULAR
Restamos el rea mayor menos el rea menor.
A = (R2 (r2
SECTOR CIRCULAR
(R2 360
A0
TRAPECIO CIRCULAR
SEGMENTO CIRCULAR ASC (PQ)
El segmento circular es parte de un sector circular comprendido entre una cuerda y un arco.
S = rea del sector AOB rea del tringulo AOB
FAJA CIRCULAR
Su rea es la diferencia de reas de dos segmentos circulares.
Ejemplos:1. Halla el rea de una corona circular, si el radio menor es 4cm y el radio mayor mide el doble del menor.Solucin: r = 4
R = 2(4) = 8
Reemplazamos en la frmula:
A = ( (R2 r2)A = ( (82 42)A = ( (64 16)Ac = 48( cm22. El rea de una corona circular es igual a 64( cm2. Si el radio mayor mide 10cm, cunto mide el radio menor?Solucin:
Ac = 64( cm2 R = 10 cm r = x (radio menor)Remplazamos en la frmula:Ac = ( (R2 r2)64( = ( (102 r2) = 102 r2 64 = 100 r2 r2 = 100 64 r2 = 36
r =
r = 6cm.3. El rea de un sector circular es igual al rea de un crculo de radio 2 cm. Si el radio del circulo mide 6cm, Halla el ngulo que subtiende al sectorSolucin:
Hallamos el rea del crculo
A ( = (r2 A ( = ((2)2 A ( = ( (4 ( 3) A ( = 12 ( cm2 Hallamos el ngulo que subtiende, aplicando la formula del sector circular AS =
12 ( = =
( = 10 ( 12 = 120 = 120
I. En los siguientes ejercicios, hallar el rea de la regin sombreada:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
II. PROBLEMAS:
1. Hallar el rea de la regin sombreada si el semicrculo menor tiene rea 12cm2.
a) 18cm2
b) 16cm2
c) 12cm2
d) 15cm2
e) 20cm2
2. En la figura, O es centro del sector AOB. T, punto de tangencia y , dimetro.
Hallar:
a) 1
b) 2
c) 1/3
d) 2/3
e) 1/2
3. En la figura, C es centro del BD y AD dimetro. rea ( ABC = 4cm2. Hallar el rea de la regin sombreada.
a) 7( cm2
b) cm2
c) cm2
d) cm2 e) ( cm2
4. ABCD es un rombo; B centro del EF y D, centro del AC. m < B = 40 y BD = 6cm. Hallar:, S1 y S2 reas de los sectores.
a) 2( cm
b) 2cm
c) ( cm
d) 4 cm
e) 3 cm
5. En el grfico, ABCD es un trapecio issceles. AB = 2cm. es dimetro; A y D, centro de BE y EC. Hallar el rea de la regin sombreada.
a) 2 cm2
b) 2 cm2 c) 4 cm2 d) 4 cm2 e) 4 cm26. En la figura: a, b y c son radios de las circunferencias tangentes exteriores.
a + b + c = 21cm y abc = 336cm3. Calcular el rea de la regin sombreada.
a) 84 cm2
b) 42 cm2 c) 60cm2 d) 96cm2 e) 48cm2
AREA DE POLGONOS REGULARES INSCRITOS
Ejemplo:
Determina el permetro y rea de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de radio 3cm. (= 1,73)Solucin:
Calculamos el permetro del tringulo
Lado: L = r
EMBED Equation.3 Permetro: P = 3L = 9
rea del tringulo:
= = 11,6775 =11,68
AREA DE POLGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS
Ejemplo:
Determina el permetro y el rea de un hexgono circunscrito a una circunferencia de radio 10cm.
Solucin:
Clculo de la longitud:
L = = 11,53 cm
ap = r ap = 10 cm
Clculo del permetro:
P = 6L = 6 (11, 53)
Calculo del rea del hexgono regular circunscrito: A( = 2 r2 A = 2 ( 1,73 ( 102 A = 2 ( 1,73 ( 100 PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1:Una circunferencia est inscrita en un tringulo de 8cm de lado. Calcular el rea del hexgono inscrito en la circunferencia.
Solucin: Calculamos el radio en el tringulo circunscrito a la circunferencia
l = 2r
8 = 2r ( r = ( r = 2,31 Calculamos el rea del hexgono inscrito en la circunferencia
A =
A = 13,85 cm2 Problema 2:
Hallar el rea del cuadrado inscrito en el semicrculo de dimetro 2r, en el siguiente grfico.
Solucin:Si unimos E con O, aparecen un con lados x, r y Sea x la longitud del lado del cuadrado.
El rea pedida puede ser escrita as: x2
En el EFO aplicamos el Teorema de Pitgoras:
x2 + ()2 = r2
4x2 + x2 = 4r2 5x2 = 4r2 Despejando x2, que es el rea pedida:
Problema 3: Calcular el rea de un cuadrado inscrito en un crculo de 6m de radio.Solucin:
Reemplazamos en la frmula de cuadrado inscrito en un crculo:
A = 2 r2 A = 2 (62) = 2 (36)
A = 72 cm2Problema 4: Calcular el rea de un hexgono regular inscrito en un crculo de radio R
Solucin:
Propiedad: El lado del hexgono regular es igual al radio de la circunferencia circunscrita.
El hexgono regular se compone de 6 tringulos equilteros congruentes.
Por lo tanto:
rea ABCDEF = 6 rea ( AOB = 6 (
Problema 4: Calcula la razn en la que se encuentran las reas de dos tringulos equilteros si uno est inscrito y otro est circunscrito en la misma circunferencia.Solucin:
En el tringulo inscrito: L = R
ap =
AI =
En el tringulo circunscrito L = 2R
ap = R
AC =
I. En los siguientes ejercicios, hallar el rea de la regin sombreada:
1)
2)
3)
4)
5) Radio = 2 cm.
6)
ngulo trigonomtrico, es aquel que se genera al hacer rotar un rayo alrededor de su origen, al que llamaremos vrtice, desde un aposicin inicial o lado inicial hasta una posicin final o lado final.
Punto 0 :Vrtice
OA :Lado inicial
OB :Lado terminal
Medida de un ngulo Trigonomtrico:Si la rotacin es en el sentido antihorario la medida del ngulo estar representada por nmeros positivos. Si la rotacin es en el sentido horario, la medida estar representada por nmeros negativos.
Antihorario HorarioEn el siguiente grfico:
( es un ngulo positivo
(sentido antihorario)
B (o es un ngulo negativo
(sentido horario)
NGULO TRIGONOMTRICO EN POSICIN NORMAL
Es aquel cuyo vrtice coincide con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas. El lado final puede estar ubicado en cualquier parte del plano cartesiano.
NGULO CUADRANTAL
Es aquel ngulo en posicin normal cuyo lado final coincide con alguno de los 4 semiejes de coordenadas cartesianas.
( vuelta( vueltaRAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO EN POSICIN NORMALPara definir las razones trigonomtricas se toma un punto cualquiera P del lado final del ngulo y del se consideran: Su abscisa x que puede ser negativa o positiva Su ordenada y que puede ser negativa o positiva Su distancia r, al vrtice O, que es siempre positiva por ser una distancia.En el tringulo rectngulo OPQ recto en Q se definen las razones trigonomtricas:
=
=
=
=
=
=
Las razones trigonomtricas no dependen del punto P que se escoge, sino de la amplitud del ngulo ( Ejemplos: 1. Halla las razones trigonomtricas del ngulo ( en posicin normal si su lado terminal pasa por el punto P (3; 4). Solucin:Calculamos r por Pitgoras:
r2 = y2 + x2
r2 = ( 4)2 + ( 3)2
r2 = 16 + 9 = 25r =
r = 5Razones trigonomtricas del ngulo ( son:
=
=
= 2. Si cos ( = . Calcular tg (. (( ( I C)Solucin:
cos ( =
Por Pitgoras:
32 = + 12 = 9 1 = 8
=
= 2
Luego: tg ( = tg ( = 2
3. Si el punto P(-12,5), pertenece al lado final del ngulo ( en posicin normal. Hallar cos (. (( ( II C) Solucin: Por Pitgoras calculamos r r2 = (5)2 + (-12)2 r2 = 25 - 144 = 169 r =
r = 13 Cos ( = Cos ( =
4. Si cotg ( = y ( ( IV C. Hallar el valor de Q = sen ( + cos (.Solucin: cos ( =
Por Pitgoras:
= 32 + 42 = 9 + 16
=
= 5 Luego: Q = sen ( + cos (.Q =
Q =
Q =
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS
El siguiente grfico muestra los signos de las razones trigonomtricas en cada cuadrante.
EJEMPLOSEn que cuadrantes puede estar el lado terminal de un ngulo en posicin normal si:
a) coseno es positivo.
Respuesta: El lado terminal del ngulo esta en: I y IV cuadrantes
b) tangente es negativa.
Respuesta: El lado terminal del ngulo esta en: II y IV cuadrantes.
I. Halla las razones trigonomtricas del ngulo ( en posicin normal si su lado terminal pasa por el punto:
a) (4; - 3)
b) (-24; 7)
II.a) Si el punto P (-12,5), pertenece al lado final del ngulo ( en posicin normal. Hallar sen (. (( ( II C)
b) Si cos ( = . Hallar cotg ( (( ( III C)
c) Si sen ( = . Calcular: P = sec ( - tg (. (( ( II C)
d) Si sen ( = . Calcular: P = cotg ( . sec ( (( ( II C )
En que cuadrantes puede estar el lado terminal de un ngulo en posicin normal si:
a) seno es positivo.
b) coseno es negativo
c) seno es negativo
d) seno y coseno son negativos
e) tangente y secante son negativos.
RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS DE 0,90,180, 270, 360
Las diferentes funciones trigonomtricas de los ngulos cuadrantales, se determinan aplicando las definiciones razones trigonomtricas.Ejemplo Si ( = 90 x = 0
y = 1
r = 1
Las razones son:
sen 90 = cos 90 = = 0 tg 90 = ( No definido) (( ()ctg 90 = = 0 sec90 = = (No definido) (( ()csec 90 = = 1 ngulosencostgctgseccsec
0 010ND1ND
9010ND0ND1
1800-10ND-1ND
270-10ND0ND-1
360010ND1ND
RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS DE 30, 45, 60
Razones trigonomtricas de los ngulos de 30En el tringulo equiltero OBB. OB = OB = BB = 1
sen30 =
cos30 =
tg 30 =
ctg 30 =
sec 30 = =
csec 30 = 2Razones trigonomtricas de los ngulos de 45El tringulo rectngulo OAB es issceles, (O = (B = 45 Por lo tanto sus catetos son iguales: = c
sen 45 =
cos 45 = =
tg 45 =
ctg 45 = 1
sec 45 =
csec 45 =
Razones trigonomtricas de los ngulos de 60En el tringulo equiltero OBB ,
Sen 60 =
cos 60 =
tg 60 =
ctg 60 =
sec 60 = 2
csec 60 =
EJERCICIOS DE APLICACIN
Ejemplo 1:
Hallar el valor de P =
Solucin: Remplazando valores:
P =
Ejemplo 2:
Hallar el valor de: Q =
Solucin:
= 90 ; = 270 Reemplazando valores obtenemos:
Q = 5
Calcular el valor numrico de las siguientes expresiones: 1. E = (1 + sen 360) (2 + cos 180)
2. P = 2 cos2 270 - 3 sen 360 + tg3 180
3. M =
4. R =
5. A =
6. Q =
7. B =
8. P =
9. Q =
NGULOS COTERMINALES
Dos o ms ngulos son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final. No importa si dichos ngulos han completado un nmero entero de vueltas al efectuar su rotacin el rayo que hace de lado inicial.
( = ( + 1 vuelta ( k
( ( = 1 vuelta ( k
Lado inicial k = nmero entero de vueltas
En el ejemplo: k = 1
( ( = k (360)( y ( son coterminales.
Ejemplos 1: Cuando los ngulos son positivos
375 15 = 360 < > 1 vuelta
Los ngulos de 15 y 375 son coterminales.
Ejemplo 2: Cuando los ngulos son negativos
- 50 y - 410 son coterminales por tener el mismo lado terminal
REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE
Reduccin de ngulos positivos y menores de una vueltaRepresentacin de ngulos en posicin normal:
El ngulo agudo sombreado en cada uno de los ejemplos es el ngulo ms pequeo respecto a x o ngulo referencial, el cual est formado por el lado final y el eje de abscisas.
Llamemos ( al ngulo en posicin normal y observando la figura.
(a), ( ( II C el ngulo referencial se calcula as: 180 - ( ( - ( (b), ( ( III C el ngulo referencial se calcula as: ( - 180 ( - ( (c), ( ( IV C el ngulo referencial se calcula as: 360 - ( 2( - (Ejemplos:Reducir al primer cuadrante:
(1) sen 150
150 ( II CSu ngulo referencial es 180 - 150 = 30
sen 150 es de signo (+)
Entonces: sen 150 = + sen 30
(2) cos 250
250 ( III Cngulo referencial: 250 - 180 = 70
cos 250 es de signo (-)
Entonces cos 250 = - cos 70
(3) tg
(IV C; recuerda que ( = 180 entonces:== 300
ngulo referencial:2( - =
tg es de signo (-)
Entonces:
tg = - tg
Para ngulos positivos y mayores de una vuelta
Cuando el ngulo es mayor de 360:
1. Dividimos el ngulo dado entre 360 2(, dependiendo del sistema en que se trabaje.
2. Las funciones trigonomtricas del ngulo dado son iguales a las respectivas funciones trigonomtricas del residuo.
3. Si dicho residuo es menor de 90 el problema habr concluido, pero si fuera mayor aplicamos cualquiera de los mtodos anteriores.
Ejemplos:
(1) Reducir al primer cuadrante sen 390
Efectuamos la divisin:
3 90 360
3 60 1
30
Es decir: sen 390 = sen 30 =
(2) Reducir al primer cuadrante 2 910
Efectuamos la divisin:
2 910 360
2 880 8
30
sen 2910 = sen30
sen 2910 = sen30 =
(3) Reducir al primer cuadrante: cos 1 190
Dividir: 1 190 360
110 3
Entonces: cos 1 190 = cos 110; pero 110 ( II C Luego: cos 1 190=cos 110 = cos ( 180 - 110) =- cos 70Reduccin para ngulos negativos
Observa con cuidado la figura all se nota lo siguiente:
sen (- () = - m y sen ( = + m
luego: sen (- () = - sen ( cos (- () = + n y cos ( = + n
luego: cos (- () = cos ( tg (- () = - r y tg ( = + r
luego: tg (- () = - tg (Luego por razones trigonomtricas recprocas:
cotg(- () = - cotg ( sec (- () = sec ( cosec (- () = - cosec (Para reducir al primer cuadrante Rt de ngulos negativos, extraemos el signo de acuerdo a las relaciones en recuadro. Si el ngulo obtenido no pertenece al IC, aplicamos lo estudiado en los casos anteriores.
Ejemplos: Reducir al primer cuadrante
(1) cos (- 110) = cos 110 = - cos 70
(2) tg (-920) = - tg 920 = - tg (2 ( 360 + 200)
= - tg 200 = - tg 20
I. Reducir al primer cuadrante las siguientes expresiones:
(1) sen 120
(2) cos 700
(3) tg (- 200)
(4) csc 560
(5) sec
(6) sen (- 700)
(7) cos 1 290
(8) sen (- 50)
Circunferencia trigonomtricaEs aquella cuyo centro coincide con el origen de los ejes de coordenadas y cuyo radio es igual a la unidad.
sen ( =
cos ( =
tg ( =
ctg ( =
sec ( =
cosec ( =
IDENTIDADES POR COCIENTE
( (
Ejemplo:
Determina el valor de M = tg2 ( . cos2 ( - sen2 ( + 2Solucin:
M = tg2 ( . cos2 ( - sen2 ( + 2
M = . cos2 ( - sen2 ( + 2
M = . cos2 ( - sen2 ( + 2
M = sen2 ( - sen2 ( + 2
M = 2IDENTIDADES RECPROCAS
sen ( . cosec ( = = 1De donde: sen ( = ; cosec ( =
cos ( . sec ( = = 1De donde: cos ( = ; sec ( =
tg ( . cotg ( = = 1 De donde: tg ( = ;
cotg ( =
Ejemplo: Simplifica: E = sen ( . cos ( . sec ( . csc (Solucin:
Por identidades recprocas:
sen ( . cos ( . sec ( . csc (
1 1
E = 1IDENTIDADES PITAGRICAS En el tringulo rectngulo OPQ aplicamos el teorema de Pitgoras:
y2 + x2 = 1
A partir de la relacin anterior, se pueden obtener las otras dos relaciones dividiendo entre cos2 y entre sen2.
Ejemplo:Determina el valor de E = 4 sen2( + 4 cos2( + csc2( - ctg2(SOLUCION:
E = 4 sen2( + 4 cos2( + csc2( - ctg2( E = 4 (sen2( + cos2( ) + csc2( - ctg2( E = 4 ( 1 ) + 1 E = 4 + 1 = 5
E = 5Aplicacin de las identidades1. Por simplificacin
Se trata de llegar a una expresin reducida con ayuda de las identidades fundamentales.
Ejemplo1.
Simplificar: R = 4 sen4 ( 4 sen2 ( + 1 + 4 sen2 ( cos2 (Solucin: Factorizamos 4 sen2 (, obteniendo:
R = 4 sen4 ( 4 sen2 ( + 1 + 4 sen2 ( cos2 (
R = 4 sen2 ( (sen2 ( + cos2 () 4 sen2 ( + 1
R = 4 sen2 ( ( 1 ) 4 sen2 ( + 1
R = 4 sen2 ( 4 sen2 ( + 1
R = 1
Problema de demostracinDemostrar una identidad, implica que el primer miembro se puede reducir al segundo miembro o viceversa.
Las verificaciones de identidades se efectan usando las diferentes transformaciones algebraicas o trigonomtricas.
No existe una regla nica que sirva para verificar identidades.
Algunas veces se recomienda trabajar en funcin de senos y csenos.
Ejemplo 1.
Demostrar que: sec ( - tg ( sen ( cos (Solucin: sec ( tg ( . sen ( = cos ( Expresamos en funcin de sen y cos : sen ( = cos ( Por quebrados homogneos, en el primer miembro obtenemos:
= cos ( ; Por identidad: 1 sen2 ( = cos2 (
= cos (
( cos ( = cos (
3. Simplificacin condicionalEjemplo 1.
1) Si: sen ( + cosec ( = a. Calcular el valor de: E = sen2 ( + cosec2 (Solucin:
De la condicin: sen ( + cosec ( = a; elevamos al cuadrado ambos miembros
(sen ( + cosec ()2 = a2
(sen ()2 + 2 sen ( cosec ( + (cosec ()2 = a
(sen2 () + 2 sen ( ( + cosec2 ( = a2
sen2 ( + cosec2 ( = a2 2
( E = a2 2.
I. Simplificar:
a) tg ( . sec ( . ctg ( b) tg ( + ctg (
c) csec ( - sec (
d) (sec ( - cos ( ) / (tg ()
II. Efectuar las siguientes demostraciones empleando Identidades Trigonomtricas :a) cos2( - sen2( = 2 cos2( - 1 b) 2cos2( - 1 + sen2( = cos2( c) tg ( . sen ( + cos ( = sec(
d) sen ( . tg ( . sec( + 1 = sec2(
III. Resolver los siguientes problemas condicionales:a) Si: tg ( + cot ( = 2, calcular: tg3 ( + cot3 (
b) Si: ctg ( - cosec ( = 3, calcular: ctg ( + cosec (
El sistema de coordenadas cartesianasLa posicin de un punto p en un plano est determinada por un par ordenado (x, y) de nmeros reales, que constituyen sus coordenadas respecto de un sistema de ejes cartesianos.
Y
P(x; y) : x , y IR y - - - - - - -.P(x; y)
x : abscisa de P y : ordenada de P
(x, y) : coordenadas P 0 x XDistancia entre dos puntos en el plano
La distancia entre dos puntos del plano, se puede calcular aplicando el teorema de Pitgoras en funcin de las coordenadas de esos puntos.
En el tringulo ABC, recto en C, donde la medida de la hipotenusa corresponde a la distancia entre los puntos A(x1; y1) y B(x2; y2).
Observamos el grfico y
Calculamos la distancia de A a B
AB 2 = AC2 + BC2AB = (x2 x1)2 + (y2 y1)2
DIFERENCIA DE ORDENADAS
DIFERENCIA DE ABSCISAS
La distancia entre dos puntos se expresa en la unidad de medida que se haya utilizado para construir el sistema cartesiano.
Ejemplo (1)
Calcular la distancia entre los puntos A(2; -3) y B(7; 9)
Solucin:
Sabemos que:
x1 = 2 ; x2 = 7 ; y1 = -3 ; y2 = 9
Remplazamos en la frmula: AB = =
AB =
Ejemplo (2) Sea el tringulo ABC cuyos vrtices son los puntos de coordenadas: A(3; 7), B(6; 11), C(3; 14). Calcula el permetro del tringulo.
Solucin:
Calculamos las medidas de los lados:
AB = 5uBC = = 4,23uAC = = = 7 u El permetro del tringulo es:
P = 5 + 4,23 + 7 Ejemplo (3) Los vrtices de un cuadriltero son A(4; 5), B(9; 5), C(9; 12), y D(4; 12) Qu clase de cuadriltero es? Calcula su permetro, su rea y la medida de su diagonal.
Solucin:
Calculamos las medidas de los lados:
AB = 5
BC = 7
CD = 5DA = 7 Calculamos el permetro
P = AB + BC + CD + DA
P = 5 + 7 + 5 + 7
Calculamos la diagonal:D = ACD =
Calculamos el rea del rectngulo.A = b h
A = 5 ( 7 = 35 u2
1. En los siguientes ejercicios, halla lo que se indica en cada caso:
a)
b)
2. Determina en cada caso la distancia entre los dos puntos dados.
a) A (- 5; - 4) y B (1; 4)
b) C (- 1; 5) y D (2; - 4)
Calcula el permetro del tringulo ABC, con A (1; 6), B(-1; 1) y C(3; 1).
Punto medio de un segmento
Dado el segmento AB, de coordenadas A(x1; y1) y B(x2; y2). M es el punto medio del segmento AB y tiene por coordenadas:
Ejemplo (1)
Hallar el punto medio M del segmento CD, si C(6; - 4) y D(- 4; 0 )
Solucin:
Aplicando la frmula :
M =
M = (1 ; -2)Ejemplo (2)
Dado los puntos A(2; 3) y B(-4 ; 5), hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB
Solucin:
Aplicando la frmula:
M =
M
M = (-1; 4)
Pendiente de una recta
Se denomina pendiente (m) de un recta al grado de inclinacin (( ) que tiene la recta respecto del eje de las abscisas.
Dada la recta determinada por los puntos A y B, de coordenadas A(x1; y1),
B(x2; y2), podemos calcular su pendiente (m) mediante la expresin:
La pendiente tambin la podemos calcular a travs de la tangente del ngulo (
Ejemplos:
Calcular la pendiente de la recta determinada por cada par de puntos dados, utilizando la formula dada o la tangente.
1) A(7 ; 5) , B(3 ; 1)
Solucin:
Aplicando la frmula:m =
m = 1
Aplicando la tangente del ((m = tg ( =
m = 1
2) C(2 ; - 4) , F(- 1 ; 2)
Solucin:
Aplicando la frmula:
m =
m = - 2
Aplicando la tangente de ((m = tg ( =
m = - 2
1. En los siguientes ejercicios, hallar lo que se indica en cada caso:
a)
b)
2. Calcula las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos:
a.) , si A(-3; 5), B(-7; 1)
b) , si P (2; 3), Q(- 4; 5)
3. Calcula en cada caso la pendiente y el ngulo de inclinacin de la recta:
a. A(3; 4), B(8; 9)
b. C(-5; 11), E(8; 11)
ECUACIN DE LA RECTA CONOCIDA SU PENDIENTE Y UN PUNTO DE ELLAEn la recta determinada por los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) del plano, sabemos que m = es la pendiente de la recta.
En la expresin de la ecuacin de la recta y y1 = (x x1)
remplazamos la fraccin por m, y se tiene:
m = ECUACIN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTAEjemplo 1:
Calcula la ecuacin de la recta cuya pendiente es 4 y pasa por el punto A (3; 4).
SOLUCIN
Se tiene m = 4 y A(x1, y1) = A(3; 4)
Remplazamos datos en la frmula:
y y1 = m(x x1) y 4 = 4(x 3)
y 4 = 4x 12
y = 4x 8
La ecuacin de la recta es y = 4x 8.
ECUACIN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS
Ejemplo
Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(3; 4) y B(5; 8).
SOLUCIN:
Sabemos que: A(x1, y1) = A(3; 4)
B(x2, y2) = B(5; 8)
Calculamos la pendiente en la ecuacin PUNTO-PENDIENTE m =
Reemplazando valores
m = m = m = 2 Luego considerando el punto A(3; 4)
y 4 =
y 4 = 2x 6
y = 2x 2
La ecuacin de la recta es y = 2x 2
2x - y 2 = 0 Forma general de la ecuacin
1. Calcula la ecuacin de la recta determinada por cada par de puntos:
a) A( 4; 5), B(2; 6)
b) C(0; 0), D(2; 3)
c) A(3; 4) y B(5; 8).
2. Determina la ecuacin de la recta, conocida su pendiente y un punto de ella y grafica cada una de las rectas determinadas.
a) m = 4, A(3; - 2)
b) m = 2, B(2; 5)
NMEROS IMAGINARIOS
i13 = (i4)3 . i = 13 . i = i
i14 = (i4)3 . i2 = 13 . (-1) = -1
i15 = (i4)3 . i3 = 13 . (- i) = -i
i16 = (i4)4 = 14 = 1
i17 = (i4)4 . i = 14 . i = i
i18 = (i4)4 . i2 = 14 . (- 1) = - 1
i19 = (i4)4 . i3 = 14 . (- i ) = - i
i20 = ( i4)5 = 15 = 1
TAREA 1.- NMEROS IMAGINARIOS
NMEROS COMPLEJOS
Recuerda
i2 = - 1
Recuerda
i2 = - 1
TAREA 2.- NMEROS COMPLEJOS
CIRCUNFERENCIA
(
(
r
x = 35
Recuerda
Recuerda:
30
60
k
2k
b =10 cm
TAREA 3.- CIRCUNFERENCIA: TEOREMAS
NGULOS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA
ARCO CAPAZ
35
x
( O
A
B
D
C
TAREA 4.- NGULOS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA
CRCULO
Regin
Interior
L = 2( ( r
rea = ( ( r2
AREA DE REGIONES CIRCULARES
A = ( (R2 r2)
A0 = EMBED Equation.3
ASC (PQ) = EMBED Equation.3 A POQ
A = ASC(CD) ASC(AB)
(0
r
R
4 cm
8 cm
(0
r
R=10 cm
6 cm
TAREA 5.- AREA DE REGIONES CIRCULARES
(
(
R = 3cm
r = 2cm
AREA DE POLGONOS REGULARES INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS
P = 15,60cm.
A = 11,70 cm2
P = 69, 18 cm
A = 346 cm2
rea = EMBED Equation.3 R2 EMBED Equation.3
TAREA 6.- REA DE POLGONOS REGULARES
NGULO TRIGONOMTRICO
B
(
O
A
B
O
(
x
0
y
0
x
y
0
x
y
(
P(x,y)
x
0
y
Q
r
(
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
o
y
Las dems R.T.
son negativas
x
x'
Las dems R.T.
son negativas
Las dems R.T.
son negativas
y
TAREA 7.- RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN NGULO EN POSICIN NORMAL
Por Pitgoras:
c2 + c2 = 1
2 c2 = 1
c2 = 1/2
c = EMBED Equation.3
TAREA 8.- RAZONES TRIGONOMETRICAS DE NGULOS
ESPECIALES.
(
(
(
60
240
y
x
(b)
60
120
y
0
x
(a)
60
315
y
x
45
(c)
TAREA 9.- REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE
IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS
Q
-1
1
-1
sen ( cosec ( = 1
cos ( sec ( = 1
tg ( cotg ( = 1
sen2 ( + cos2 ( = 1
1 + tg2 ( = sec2 (
1 + cotg2 ( = cosec2 (
TAREA 10.- IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS
GEOMETRA ANALTICA
(2; -3)
(7; 9)
A
B
C
Y
0
X
P = 16,23 u
A
B
A
B
P = 24 u
D = 8,60 u
A = 35 u2
TAREA 11.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO
m = tg (
Recuerda:
Tg ( = EMBED Equation.3
TAREA 12.- PUNTO MEDIO Y PENDIENTE EJERCICIOS
ECUACIN DE LA RECTA
y y1 = m(x x1)
Tarea 12.- ECUACIN DE LA RECTA
44Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educacin a Distancia del Liceo Naval Almirante Guise
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