MATEMATICA 2015-BASICO

7/21/2019 MATEMATICA 2015-BASICO

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Nueva Escuela Secundaria de calidad

matemtica

Nueva Escuela Secundariade la Ciudad de Buenos Aires

OBJETIVOS Y CONTENIDOS TRONCALES PARA LA FINALIZACIN DE LA ESCUELA SECUNDARIA

Presentacin

Propsitos de enseanza

Primer ao

Segundo Ao

orientaciones generales para la EVALUACIN

Direccin General de Planeamiento e Innovacin Educativa | Gerencia Operativa de Currculum

Texto incluido en Diseo Curricular para la Nueva Escuela Secundariade la Ciudad de Buenos Aires. Ciclo Bsico. 20142020


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gcba mINISTERIO DE EDUCACIN DIRECCIN GENERAL DE PLANEAMIENTO educativo GERENCIA OPERATIVA DE CURRCULUM508

NE Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos Aires

objetivos

Al egresar de la escuela secundaria se espera que losestudiantes hayan tenido experiencias de trabajo en elaula que les permitan:

Utilizar recursos algebraicos para decidir sobre lavalidez de propiedades numricas y para producir,formular y validar conjeturas relativas a los nmerosnaturales, enteros, racionales y reales, considerandoel sentido que adquiere cada uno de ellos y las regu-

laridades que es posible establecer. Apelar a recursos algebraicos para modelizar dife-rentes tipos de problemas aceptando la convenien-cia de establecer convenciones para las escrituras ylos modos de validar los resultados o afirmacionesproducidos. Disponer de diferentes modos de representar rela-ciones entre variables, incluyendo el recurso infor-mtico, coordinando las informaciones en funcindel marco que se seleccione (algebraico, aritmtico,

geomtrico, etc.) y el contexto en el que se planteael problema que se estudia. Recurrir a los diferentes modelos funcionales (lineal,cuadrtico, exponencial, polinmico, trigonomtri-co, etc.) y las ecuaciones y sistemas de ecuacionesasociados para poder estudiar procesos de cambio,apelando a tcnicas de trabajo que permitan obte-ner resultados de tales procesos y contrastarlos paraidentificar su pertinencia, estableciendo similitudes ydiferencias entre los distintos modelos.

Comprender que los objetos de la geometra (fi-guras, cuerpos, ngulos, puntos, planos, etc.) no

pertenecen al espacio fsico real, sino a un espacioconceptualizado y que la exploracin, recurriendoa diferentes dibujos, favorecen la formulacin deconjeturas.

Recurrir a propiedades de las figuras o a expresio-nes algebraicas para resolver diversos tipos de pro-blemas geomtricos y de medida (construir figurasa partir de ciertos datos, analizar las variaciones delrea de una figura y/o el volumen de un cuerpo enfuncin de la variacin de alguno de sus elementos,

etc.) y enunciar afirmaciones y validarlas. Encontrar la forma ms pertinente para comunicaro interpretar datos incluyendo recursos informti-cos, comprendiendo que la eleccin de un modode organizar y representar la informacin intentaponer de relieve ciertos aspectos o bien ocultarotros; posibilitando el desarrollo de inferencias, cui-dando de considerar situaciones en las cuales seelijan las variables de manera tal de obtener resul-tados fiables.

Disponer de recursos que permitan determinar laprobabilidad de que ocurra un fenmeno aleatorioy utilizar estos resultados para abordar problemasestadsticos. Valorar el intercambio entre pares como medio paraproducir soluciones a los problemas, validar lasrespuestas obtenidas y las relaciones matemticaselaboradas.

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Contenidos troncales

Eje: Nmeros y lgebra

Produccin de frmulas que permitan calcular elpaso n de un proceso que cumple una cierta re-gularidad o que surgen de generalizar problemasde conteo. Transformaciones que den cuenta dela equivalencia entre las diferentes escrituras de lasfrmulas producidas. El uso del recurso algebraicopara validarlas. Anlisis de la estructura de un clculo para decidir

cuestiones de divisibilidad con nmeros naturales yenteros. Clculo de restos. Produccin, formulaciny validacin de conjeturas referidas a cuestiones dedivisibilidad. Diferentes representaciones de nmeros (naturales,racionales y reales) en la recta numrica. Identifica-cin de segmentos conmensurables.

Las operaciones y sus sentidos en los diferentescampos numricos. El recurso algebraico para for-mular y validar conjeturas que involucren sus pro-

piedades y el orden en cada conjunto numrico.Propiedades que se preservan y propiedades quese modifican en funcin de cada campo numrico.Anlisis del funcionamiento de distintos tipos de cal-culadora en la resolucin de clculos combinados.

Identificacin de nmeros que no se pueden expre-sar como cocientes de enteros. Representacin denmeros de la forma n en la recta numrica. Apro-ximacin de nmeros reales por racionales. Uso dela calculadora para tratar con potencias y races.

Distancia de un nmero real al 0. Uso de la rectanumrica para estudiar condiciones para que dos

nmeros se encuentren a una cierta distancia. Inter-valos de nmeros reales. Identificacin de regularidades en sucesiones. Pro-

duccin de frmulas de progresiones aritmticas ygeomtricas. Uso de la frmula para determinar al-guno de los elementos o la razn de una progresin.Suma de los elementos de una progresin. Aproximacin de nmeros reales por sucesiones deracionales. Nocin intuitiva de lmite.

Eje: Funciones y lgebra Interpretacin y produccin de grficos cartesianosque representan relaciones entre variables recurrien-do, en caso de ser conveniente, al uso de recursosinformticos. Inferencia de informacin a partir de lalectura de grficos.

Funciones dadas en diferentes representaciones,incluyendo recursos informticos. Comparacin delas formas de representacin. Ventajas de cada unade ellas.

Anlisis de procesos que demanden el uso de mo-delos funcionales (lineal, cuadrtico, polinmico,exponencial, trigonomtrico, etc.) y las ecuacionesasociadas. Problemas con infinitas soluciones y pro-blemas sin solucin. Estudio del comportamiento de cada modelo funcio-

nal (races, vrtices, crecimiento, decrecimiento, posi-tividad, negatividad, asntotas, etc.). Uso de recursosinformticos. Variaciones de los grficos en funcinde las variaciones de sus frmulas y viceversa.


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Estudio comparativo del comportamiento de cadamodelo funcional. Uso de recursos informticos.

Modelizacin matemtica de situaciones apelandoa las funciones para anticipar resultados, estudiarcomportamientos, etc. Estudio del comportamiento de algunas funcionesque resultan de combinar funciones trascendentes.Situaciones que ponen en juego la continuidad y dis-continuidad.

Eje: Geometra y medida

Construcciones de figuras a partir de ciertos da-

tos. Uso del comps y de la computadora para laconstruccin de distintas figuras. Discusin sobrela existencia y unicidad de la construccin. Expli-citacin de las propiedades que fundamentan lasconstrucciones.

Elaboracin de criterios para decidir sobre la con-gruencia de figuras. Problemas de exploracin, for-mulacin y validacin de conjeturas sobre la base delos criterios de congruencia.

Comparacin de reas de diferentes figuras, sin re-

currir a la medida. Uso de descomposiciones de fi-guras para comparar reas. Produccin y uso de lasfrmulas para comparar reas, en funcin de basesy alturas. Permetro y rea de figuras. Estudio dela variacin del rea en funcin de la variacin dela base o altura. Transformacin y equivalencia defrmulas. Relacin entre los lados y la diagonal de un rectn-gulo. Problemas que se resuelven va la relacin dePitgoras.

La nocin de semejanza. Teorema de Tales. Basemedia. Criterios de semejanza de tringulos. Relacin

entre las reas de tringulos semejantes. Razn. Recta tangente a una circunferencia por un punto

dado. ngulos inscriptos en una semicircunferen-cia. ngulos inscriptos en un arco de circunferenciay relacin con el ngulo central correspondiente.Longitud de la circunferencia y rea del crculo. Es-tudio de la variacin del rea en funcin de la varia-cin del radio.

Las relaciones trigonomtricas en un tringulo. Senoy coseno de tringulos rectngulos. Tangente. Reso-

lucin de tringulos rectngulos. Extensin de seno,coseno y tangente a cualquier ngulo. Teoremas delseno y coseno. Produccin de expresiones algebraicas para mode-lizar relaciones entre puntos del plano cartesiano.Distancia entre dos puntos en el plano coordenadoy la ecuacin de la circunferencia. Distancia de unpunto a una recta. Interseccin entre circunferenciay una recta. Solucin grfica y analtica. Anlisis dela cantidad de soluciones. Ecuacin del crculo y de

la parbola.

Eje: Estadstica y probabilidades

Recoleccin y organizacin de datos para realizarinferencias y comprender posibles relaciones entreellos. Elaboracin de tablas de frecuencias y por-centajes. Seleccin de herramientas estadsticaspertinentes. Medidas. Uso de la computadora comoherramienta en la estadstica. Resolucin de proble-mas que modelizan fenmenos aleatorios.

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Caractersticas de los sucesos seguros, sucesosprobables, sucesos imposibles. Asignacin de pro-

babilidad a un suceso. Definicin clsica de probabi-lidad. La probabilidad como un nmero pertenecien-te al intervalo [0,1]. Sucesos equiprobables. Sucesosmutuamente excluyentes. Sucesos independientes;probabilidad compuesta. Dificultad en determinarsucesos independientes: probabilidad condicional.Relaciones entre estadstica y probabilidad. Uso dela combinatoria.

Relaciones entre estadstica y probabilidad. Uso dela combinatoria.

Anlisis de la frecuencia relativa. Representacingrfica. Escalas. Variable aleatoria. Distribucin nor-mal. Dispersin, varianza, desvo estndar.


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NENueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresLa enseanza de la matemtica en la escuela secundariaenfrenta el desafo de presentar a los estudiantes unaserie de transformaciones esenciales con relacin a los

conocimientos matemticos que han sido trabajados enla escuela primaria. Esto plantea un juego delicado derupturas y articulaciones: los estudiantes debern renun-ciar a muchas de las elaboraciones realizadas durantesus aos previos, al tiempo que debern apoyarse ensus prcticas anteriores para producir las modificacionesque los nuevos desafos les demandarn.

Una idea central consiste en construir un modelomatemticode la realidad (matemtica o extramatem-tica) que se quiere estudiar y trabajar con dicho modelo

e interpretar los resultados obtenidos en este trabajopara contestar a las cuestiones planteadas inicialmen-te. La actividad de modelizacin matemtica3supone latoma de mltiples decisiones: cules son las relacionesrelevantes sobre las que se va a operar, cules son lossmbolos que se van a utilizar para representarlas, cu-les son los elementos en los que apoyarse para aceptarla razonabilidad del modelo que se est usando, culesson las propiedades que justifican las operaciones quese realicen, cmo reinterpretar los resultados de esas

operaciones en el problema.Otra de las transformaciones esenciales en este ni-

vel de la escolaridad es el tratamiento de lo general, ascomo la comprensin de qu es un proceso de genera-lizacin.4Esta perspectiva supone un juego entre lo par-ticular y lo general que no puede reducirse a hacer surgirlo general solo a partir de muchos ejemplos particulares.

3 Sadovsky, P. (2005)4 Brousseau (1986); Sessa, C. (2005)

Presentacin

Ocuparse de estos asuntos conlleva considerar elproblema del pasaje del trabajo aritmtico al trabajo al-gebraico, lo que involucra un juego entre el uso de los

nmeros y las operaciones y el recurso a las expresio-nes algebraicas en sus diversos sentidos.Trabajar en lgebra elemental desde la perspectiva

que se plantea supone mucho ms que la manipulacinde los smbolos. El lgebra puede pensarse como untipo de prctica, como una manera de abordar, comouna forma de pensar; en suma, como una cierta ra-cionalidad, diferente de la racionalidad aritmtica. Eneste sentido es posible identificar distintas funcionesdel lgebra5y se propone una enseanza que apunte

a ponerlas en juego: el lgebra como instrumento paraconocer propiedades sobre los nmeros, para resolverproblemas extramatemticos en los que hay que reco-nocer una o ms condiciones sobre una o ms varia-bles, para modelizar procesos a travs de funciones ypara representar relaciones geomtricas.

Tambin caracteriza a este nivel el desarrollo del ra-zonamiento deductivo.6Se sostiene el criterio de en-contrar situaciones en las que los estudiantes se veanen la necesidad de producir argumentos deductivos,

apoyndose en los conocimientos que ya poseen. Sernecesario proponer problemas que evidencien algunasreglas: varios ejemplos no son suficientes para probarla validez de una propiedad, un contraejemplo sirvepara descartar la validez de una propiedad, etc.

Por otro lado, los progresos en la produccin de ar-gumentos deductivos se instalan en las interaccionesentre los estudiantes y con el docente. En la medida

5 Chevallard, Y. (1985); Barallobres, G. (2000)6 Balacheff, N. (1987-2000); Barallobres, G. (2004)

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NE Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos Airesen que demostrar para convencer a otros supone unmedio para alentar a los estudiantes a la produccin depruebas, se buscarn condiciones que hagan propicio

el debate en la clase acerca de la validez de diferentesproposiciones vinculadas a distintas reas del conoci-miento matemtico.

La materia Matemtica se organiza en el ciclo bsicoy a lo largo de los cinco aos, en cuatro ejes: Nmerosy lgebra; Funciones y lgebra; Geometra y medida;Estadstica y probabilidades.

En el eje Nmeros y lgebrase pretende que losestudiantes profundicen sus conocimientos sobre losdistintos conjuntos numricos. Se priorizarn el traba-

jo sobre el clculo mental, la estimacin, la produccinde estrategias particulares de clculo y el uso de lacalculadora como medios de hacer que los estudian-tes pongan en funcionamiento las propiedades de lasoperaciones y produzcan argumentos que validen susproducciones.

El trabajo sobre los conjuntos numricos tambincontemplar la reflexin sobre las relaciones entre loselementos que componen cada una de las operaciones.Parte de este trabajo estar imbricado con el trabajo al-

gebraico, en la medida en que se espera que los estu-diantes lleguen a concebir las herramientas algebraicascomo instrumentos que contribuyen a la produccin deconocimientos sobre los nmeros. Este trabajo buscaque los estudiantes recorran el camino que les permitaabordar el tratamiento de lo general, aspecto que ca-racteriza a las propiedades de las operaciones.

Una opcin fundamental de esta propuesta es quelos aspectos ms algortmicos del funcionamiento al-gebraico se aborden junto al funcionamiento de las

herramientas algebraicas como instrumentos de mode-lizacin intra o extramatemtica.

En el eje Funciones y lgebrase propone una apro-

ximacin al estudio de funciones a partir de los grficos,como soporte para estudiar el comportamiento de las va-riables en juego, en lugar de un tratamiento conjuntista.La resolucin de problemas vinculados a procesos quevaran, a partir de las representaciones grficas, precedercualquier definicin formal del concepto de funcin.

Las primeras interacciones con los grficos estarndestinadas a aprender las convenciones de la repre-sentacin cartesiana, y lgicamente los primerosproblemas se centrarn en la interpretacin de la infor-

macin ms evidente. Se propone desde el comienzoel planteo de problemas que exijan un anlisis globalms all de la lectura punto a punto.

El inicio del trabajo con ecuaciones e inecuacionesse plantea a partir del trabajo con las funciones. Msprecisamente, como condiciones sobre una o ms fun-ciones. Pero sera aprisionar el trabajo sobre ecuacio-nes pretender que todo se conciba de esa manera. Poreso, si bien la entrada a las ecuaciones se realiza pormedio de las funciones, luego se debern tratar proble-

mas que se resuelvan a travs de ecuaciones y en losque el contexto funcional no est tan en primer plano.Este tipo de trabajo se plantea para todas las funcionesque se aborden en los tres niveles.

El eje Geometra y medida tiene como objetivoprioritario la produccin, por parte de los estudiantes,de argumentaciones deductivas. Es decir, se pretendeque la profundizacin del estudio de las figuras y delos cuerpos se desarrolle a travs de actividades queimpliquen la puesta en funcionamiento de propiedades,

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NENueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos Airesya sea como medio para anticipar y establecer la nece-sariedad de ciertos resultados, como tambin para laelaboracin de nuevas propiedades, relaciones y con-

ceptos. De esta manera, los objetos con los que se tra-baja han sido seleccionados en funcin de favorecer laentrada de los estudiantes en este tipo de trabajo.

La presentacin de los contenidos en el eje Esta-dstica y probabilidades intenta trasmitir la idea deque el abordaje de la estadstica involucra conceptosy modos de trabajo propios, que no son exactamenteiguales a los de otros ejes de trabajo matemtico: no esdeterminista, interviene el azar, la inferencia estadsticaes una forma de razonar.

Se espera que los estudiantes puedan reconocer laimportancia del tratamiento de la informacin y reco-nozcan algunas de las caractersticas que presentanlas representaciones mediante las cuales se organiza ypresenta dicha informacin.

La enseanza de la estadstica es un espacio privile-giado para el uso de programas de informtica. El tra-bajo con probabilidades pone el centro en actividadesque lleven a distinguir fenmenos aleatorios de aquellosque no lo son, y utilizar los conceptos de azar, posibili-

dad, imposibilidad, grados de probabilidad, para luegoavanzar sobre el concepto de probabilidad y las venta-jas de poder asignarle una medida.

Finalmente, no se espera que los ejes de contenidossean abordados necesariamente en el orden presen-tado en la especificacin propia de cada ao. Es po-sible plantear distintos recorridos. Por ejemplo: iniciarel trabajo con el eje de nmeros naturales, continuarcon geometra, retornar a los nmeros, abordar algunosaspectos de las funciones, u otros caminos posibles.

Propsitos de enseanza

Proponer situaciones problemticas que promuevan

en los estudiantes la cooperacin con sus pares,la aceptacin del error, la descentracin del propiopunto de vista, la capacidad de escuchar al otro, laresponsabilidad personal y grupal. Ofrecer a los estudiantes las experiencias necesariasque les permitan comprender la modelizacin comoun aspecto fundamental de la actividad matemtica,y conceptualizar las caractersticas inherentes al pro-ceso de modelizar. Proponer situaciones problemticas que ofrezcan

la oportunidad de coordinar diferentes formas derepresentacin, favoreciendo que los estudiantespuedan usar unas como medio de produccin y decontrol del trabajo sobre otras. Ayudar a los estudiantes a distinguir continuidadesy rupturas que suponen el pasaje de prcticas arit-mticas a prcticas algebraicas, reconociendo los l-mites de los conocimientos aritmticos para abordarciertos problemas, pero siendo capaces de utilizar-los como punto de apoyo.

Desarrollar situaciones de enseanza que permitantratar con lo general, brindando la oportunidad deexplorar relaciones; conjeturar acerca de la validez ono de propiedades; producir pruebas a partir de losconocimientos que se posean y determinar el domi-nio de validez de las mismas. Generar condiciones que permitan a los estudiantesentrar en prcticas de argumentacin basadas enconocimientos matemticos, acercndose a la de-mostracin deductiva.

La materia Matemtica se organiza

en el ciclo bsico y a lo largo de

los cinco aos, en cuatro ejes:

Nmeros y lgebra; Funciones

y lgebra; Geometra y medida;

Estadstica y probabilidades.

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Objetivos de aprendizaje

Al finalizar primer ao, los estudiantes sern capaces de:

Utilizar las propiedades de los nmeros naturales y susoperaciones para leer y producir frmulas que mo-delicen situaciones, transformar expresiones en otrasequivalentes y obtener nueva informacin y producir ar-

gumentos que den cuenta de la validez de lo realizado. Usar los nmeros enteros para modelizar diferentestipos de situaciones, comparando las diferencias defuncionamiento con los naturales. Usar los nmeros racionales para resolver proble-mas de medida y de proporcionalidad identificandolas diferencias entre el funcionamiento de los nme-ros racionales y los enteros. Usar expresiones algebraicas para estudiar el fun-cionamiento de los diferentes campos numricos y

sus operaciones. Realizar un tratamiento con grficos que contemple:

el anlisis de condiciones que hacen posible antici-par, interpolar y extraer informacin referida a otrasvariables; la obtencin del grfico de otro proceso apartir de un grfico dado; la comparacin de distintosgrficos que representen situaciones del mismo tipo. Reconocer diferencias y similitudes entre la funcinlineal y la de proporcionalidad directa comprendien-do los conceptos de pendiente y ordenada al origen,

identificar sus significados en los grficos y en losdiferentes contextos.

Modelizar problemas de encuentro mediante ecua-ciones de primer grado apelando a las relaciones en-tre ecuacin lineal, funcin lineal y grfico de la recta.

Comprender las construcciones como actividades

que se planifican, apoyndose en propiedades delas figuras. Construir rectas paralelas y perpendicu-lares con regla y comps. Identificar cundo una coleccin de datos determinaunicidad en la construccin de tringulos y cuadril-teros con regla y comps, y cundo la construccines imposible. Recurrir a criterios de igualdad de tringulos y a lasrelaciones de ngulos entre paralelas, para resolverdiversos tipos de problemas. Enunciar afirmaciones

y validarlas o descartarlas, apoyndose en los cono-cimientos construidos.

Conocer la relacin pitagrica entre las medidas delos lados de un tringulo rectngulo y disponer deella para la resolucin de diferentes situaciones.

Interpretar el significado de los datos representadospor medio de diferentes grficos y encontrar la formams pertinente para comunicarlos. Valorar el trabajo colaborativo como productor derelaciones matemticas as como de la posibilidad

de validarlas.

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NENueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos Airescontenidos


Contenidos Alcances y sugerencias para la enseanza

Unidad 1: Nmeros Naturales

Frmulas en N: Produccin de frmulasque permitan calcular el paso ndeun proceso que cumple una ciertaregularidad.

Transformaciones que den cuenta dela equivalencia entre las diferentesescrituras de las frmulas producidas.

Validacin a travs de las propiedades

de las operaciones aritmticas: uso depropiedad distributiva y de factor comn.

Propiedades ligadas a la divisibilidaden N.

Numerosas situaciones admiten representaciones o escrituras matemticas, por medio de expresiones algebraicas que noson nicas.Se podrn estudiar algunas tcnicas necesarias para el trabajo algebraico, como: Utilizacin de parntesis para indicar prioridad de operaciones con expresiones algebraicas. Suma de expresiones algebraicas sencillas, como 3x + 5x. Multiplicacin de expresiones algebraicas sencillas por naturales. La propiedad distributiva en expresiones del tipo4 (n 1) = 4 n - 4.

Sacar factor comn como inversa de la propiedad distributiva.Se podr proponer el estudio de relaciones entre cantidades asociadas a la divisibilidad, por ejemplo la suma de dosmltiplos, si un nmero es mltiplo de otro y este de un tercero, el primero es mltiplo del tercero, etc. Este tipo desituaciones resulta un lugar pertinente para volver sobre las propiedades de las operaciones.

Unidad 2: Nmeros Enteros

Nmeros enteros a partir de diferentescontextos y la resta de nmerosnaturales.Representacin de nmeros enterosen la recta numrica. Orden.Adicin y sustraccin. Multiplicacin denmeros enterosRelaciones entre adicin,multiplicacin, orden y distancias en larecta numrica.Determinacin del dominio de validezde relaciones de orden a partir delas propiedades de las operacionesy la interpretacin de expresionesalgebraicas.Anlisis del funcionamiento de distintostipos de calculadora en la resolucin declculos combinados.

Los diferentes contextos se conciben como punto de apoyo para otorgar una primera significacin a algunas de lasoperaciones en el conjunto de nmeros enteros.Los contextos de dentro de la matemtica son una herramienta para trabajar a nivel ms formal. Por ejemplo, laconservacin de la propiedad distributiva se propone como punto de apoyo para la introduccin de la regla de los signos.

El trabajo de la relacin de orden en Z incluye la comparacin con lo que sucede en naturales: algunas propiedades semantienen y otras se pierden. Por ejemplo, en naturales, los estudiantes saben que un nmero aes mayor que otro nmerobsi ase encuentra a la derecha de by tambin si est ms alejado del cero que b.

Para estudiar las relaciones entre orden y operaciones se propone utilizar la recta: si a < b estudiar la ubicacin en la rectade a + c y b + c y de a.c y b.c para valores positivos y negativos de c.A medida que se va trabajando con los nmeros enteros y sus operaciones, interesa abordar de manera simultnea eltrabajo algebraico ya iniciado en el campo de los nmeros naturales.

Respecto de los clculos combinados, interesa centrar la atencin en la jerarquizacin de las operaciones y el uso delparntesis para resolver diferentes problemticas (expresar un enunciado mediante un nico clculo, introducir un clculoen una calculadora que no separa en trminos, etc.).No se trata de resolver ejercic ios de suprimir parntesis.

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NE Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresContenidos Alcances y sugerencias para la enseanza

Unidad 3: Nmeros Racionalespositivos

Diferentes sentidos de las fracciones:medida y proporcin.

La recta numrica como contexto delsentido medida.

Segmentos conmensurables.

El orden en Q.

Relacin entre escritura fraccionariay escritura decimal.

Operaciones con fracciones:la multiplicacin en los contextosde rea y de proporcionalidad.

Potenciacin y radicacin en Q.Potencias de exponente natural yentero. Potenciacin y orden. La tecla en la calculadora.

Se propone enfrentar a los estudiantes con distintos problemas donde se deban determinar diferentes medidas que resultenser nmeros fraccionarios. Es decir, poner en evidencia la necesidad de fraccionar la unidad de medida para poder medir.Es esperable que los estudiantes trabajen con respuestas exactas con nmeros racionales y respuestas aproximadas con

expresiones decimales. Ser parte del trabajo poner en evidencia las diferencias entre racionales y decimales.En relacin con la proporcionalidad se propone que los estudiantes se enfrenten con diferentes tipos de problemas(concentracin de una sustancia, semejanza, velocidad, etc.) que permitan hacer aparecer a las fracciones como raznentre dos nmeros y en los que las fracciones puedan funcionar como constante de proporcionalidad. Es decir comoun operador que transforma una cantidad de una magnitud en su correspondiente de otra magnitud, mediante lamultiplicacin.

Tanto en situaciones de medicin como de proporcionalidad, la demanda de comparacin entre dos razones favorece laelaboracin de criterios de comparacin de nmeros racionales, apoyados en el contexto de cada problema.Se propone tambin la escritura de algunas frmulas que representen relaciones de proporcionalidad as como relacionesentre medidas, de manera tal de avanzar en el trabajo algebraico iniciado con nmeros naturales y con los enteros.

Algunos aspectos del trabajo en torno al orden en Q se trataron al considerar las fracciones en el contenido anterior. Este

trabajo podr profundizarse buscando diferentes recursos, cada vez ms econmicos, que permitan comparar fracciones,entre ellos, la bsqueda de fracciones equivalentes. El recurso de la recta numrica ser un soporte vlido a la hora deavanzar en las tcnicas de comparacin. Se propone que la bsqueda de fracciones entre dos fracciones dadas inicie elrecorrido hacia la idea de densidad que ser tratado con mayor profundidad en segundo ao.

Se espera que los estudiantes puedan revisar la estructura de la notacin decimal para los racionales, identificando lasrelaciones de valor entre las diferentes posiciones (10 centsimos equivalen a 1 dcimo, 10 milsimos a un centsimo, etc.).Se busca tambin que a partir del anlisis de la escritura decimal, los estudiantes puedan explicar por qu el multiplicar odividir por una potencia de 10 produce el efecto de correr la coma.Por otro lado se propone que los estudiantes, a partir de un trabajo de bsqueda, puedan identificar condiciones para queuna fraccin admita expresin decimal peridica o finita. Especficamente se espera que los estudiantes puedan formularque todo nmero racional admite una escritura decimal finita o peridica; es finita cuando el nmero puede representarsepor una fraccin irreducible cuyo denominador solo admite como factores potencias de dos y de cinco.

Algunos aspectos del trabajo con la multiplicacin deberan haber sido tratados en el contexto de la proporcionalidad,propuesto anteriormente. En este punto se intenta aportar sentido al uso y la produccin del algoritmo de multiplicacin defracciones a partir de la resolucin de los problemas que involucren reas de rectngulos.Por otro lado, se intentar poner en discusin los cambios que sufren las operaciones al pasar de los nmeros naturalesa los nmeros racionales. El funcionamiento de los nmeros racionales supone rupturas con relacin al de los nmerosnaturales y enteros; especialmente en las operaciones y en particular en la multiplicacin.En este sentido se espera que los estudiantes despus de este trabajo lleguen a comprender que: La multiplicacin no puede ser pensada como la abreviatura de una suma (salvo en casos de algn factor entero). Hay una ruptura en relacin a la multiplicacin y el orden: no siempre la multiplicacin de fracciones da por resultadosproductos mayores que sus factores.

Dados dos nmeros racionales distintos de cero, siempre es posible pasar de uno a otro a travs de la multiplicacin deuno de ellos por un tercer nmero racional.

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NENueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresEje: funciones y lgebra


Unidad 1: Aproximacin a las funciones a

travs de grficos

Grficos cartesianos: interpretacin yproduccin. Lecturas directas de los grficos.Inferencia de informacin a partir de la lecturadel grfico. Limitaciones de los grficos pararepresentar un fenmeno.Identificacin de las variables que se relacionany anlisis de la variacin de una, en funcin dela otra. Imagen inversa de un punto usandocomo apoyo las representaciones grficas.Funciones dadas por tablas de valores. Larelacin entre tabla y grfico cartesiano parasituaciones de dominio continuo y dominiodiscreto.Comparacin de las formas de representacin.Ventajas de cada una de ellas.Problemas de encuentro usando como apoyolas representaciones grficas.

Se propone una aproximacin al estudio de funciones sin pasar por relaciones entre conjuntos finitos, privilegiando

una entrada a partir de la interpretacin y produccin de grficos como soporte para estudiar el comportamiento delas variables en juego. La resolucin de problemas vinculados a procesos a partir de las representaciones grficaspreceder cualquier definicin formal del concepto de funcin.

Los grficos permiten manipular ciertas ideas referidas a conceptos que no estn completamente definidos (porejemplo, la nocin de crecimiento, extremos, etc.) y pueden dar lugar a un anlisis cualitativo de los procesos querepresentan.

Las primeras interacciones con los grficos estarn destinadas a aprender las convenciones de la representacincartesiana y lgicamente los primeros problemas se centrarn en la interpretacin de la informacin ms evidente.Sin embargo, se propone desde el comienzo el planteo de problemas que exijan un anlisis global ms all de lalectura punto a punto. Este anlisis global debe comprender, entre otras cuestiones: la explicitacin de condiciones sobre el proceso que se estudia, que permitan hacer interpolaciones yextrapolaciones a partir del grfico;

el anlisis del comportamiento de otras variables que no estn representadas en el grfico pero acerca de lascuales se puede obtener informacin a partir del mismo;

la comparacin de la velocidad de crecimiento de diferentes procesos correspondientes a una misma situacin,lineal o no;

la comparacin de la velocidad de crecimiento de un proceso en diferentes intervalos.

Unidad 2: Iniciacin al estudio de la funcinlineal

Anlisis de procesos que crecen o decrecenuniformemente. Procesos lineales discretos yprocesos continuos, frmula para describirlos.

La funcin lineal como modelizadora desituaciones de crecimiento uniforme.

La nocin de pendiente y ordenada al origenen el grfico de las funciones.

Diferenciacin entre crecimiento directamenteproporcional y crecimiento lineal pero noproporcional.

Se trata de caracterizar los fenmenos lineales mediante un anlisis comparativo de diferentes problemas, algunos de ellosque describan procesos de crecimiento uniforme y otro que no. Posteriormente se buscar expresar dichos fenmenospor frmulas lineales en la variable independiente, del tipo f (x) = a x + b, donde a y b son dos nmeros reales cualesquierae interpretar dichos parmetros en funcin del contexto de trabajo. La frmula correspondiente a una determinadasituacin ser estudiada como una sntesis de la situacin que permite representarla y obtener diferentes pares devalores. Se propone hacer nfasis en que la frmula supone una cierta eleccin de unidades para las magnitudes que se

relacionan y que, la misma situacin con otra eleccin de unidades llevara a una frmula diferente. Se trata de trabajarcon situaciones que permitan identificar globalmente las caractersticas del grfico de las funciones lineales, haciendocorresponder el crecimiento uniforme con el dibujo de una recta y separando esto de otros tipos de grficos posibles.

La proporcionalidad directa ser estudiada como caso particular de la funcin lineal. Se trabajarn diferentes situacionesde proporcionalidad directa en las que se vinculan magnitudes de la misma naturaleza (escalas, porcentajes) y dediferente naturaleza (densidad, velocidad, etc.). A travs de los problemas se propondrn distintos tipos de tareas: hallarelementos del conjunto de llegada, hallar elementos del conjunto de partida; hallar la constante de proporcionalidaddados uno o varios pares que se corresponden, comparar dos situaciones de proporcionalidad que vinculan el mismotipo de magnitudes estando estas expresadas en las mismas o en distintas unidades; obtener la frmula a partir devarios pares de elementos que se corresponden, obtener la frmula a partir de un nico par de elementos que secorresponden y la informacin de que se trata de una situacin de proporcionalidad directa, decidir si una relacin dadaes de proporcionalidad directa, identificando las condiciones que llevan a tomar la decisin.

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Anlisis de tablas de funciones deproporcionalidad. La pendiente y la constantede proporcionalidad en una tabla de valores.

Problemas que demanden la produccin de unmodelo algebraico de situaciones lineales.

Aproximacin grfica a la solucin deecuaciones lineales con una variable quesurgen de diferentes problemas.

Se propone como parte del trabajo con frmulas de funciones lineales, aprovechar para tratar ac algunas delas frmulas trabajadas en la unidad 1 del eje Nmeros y lgebra dando esta vez un tratamiento ms funcional eincorporando la representacin grfica.El inicio a ecuaciones se plantea a partir de funciones y el clculo de la imagen inversa de un valor del dominio. Seproponen los problemas de encuentro como un medio frtil para abordar el estudio de las ecuaciones. Se trata deque los estudiantes aproximen las soluciones por medio de la lectura de los puntos de interseccin de rectas en elregistro de los grficos cartesianos.El tema de la resolucin de ecuaciones de primer grado con una incgnita comienza en primer ao pero se abordaen toda su complejidad recin en segundo. Para este primer abordaje se propone la representacin grfica de la o lassituaciones involucradas como herramienta para la obtencin de una solucin aproximada. Algebraicamente se esperaque los estudiantes puedan resolver ecuaciones sencillas.


Contenidos Alcances y sugerencias para la enseanzaUnidad 1: Construccin de tringulos

Construcciones de figuras que incluyancircunferencias y crculos. Uso del compsy de la computadora para la construccinde distintas figuras apelando a la idea deequidistancias.Construccin de tringulos dados dos ytres elementos, a partir de la definicin decircunferencia. Discusin sobre la existencia yunicidad de la construccin.

Elaboracin de criterios para decidir sobrela congruencia de tringulos. Problemasde exploracin, formulacin y validacin deconjeturas sobre la base de los criterios decongruencia de tringulos.Permetro y rea de tringulos. Estudio de lavariacin del rea en funcin de la variacin dela base o altura. Transformacin y equivalenciade frmulas.

Como resultado del trabajo de construccin que se propone, se espera que los estudiantes tengan dominio del usode instrumentos y dispongan de la definicin de circunferencia, requisitos necesarios para entender y justificar lasconstrucciones de tringulos y cuadrilteros.

Las actividades de construccin de tringulos tienen por objeto la produccin de nuevas propiedades de las figuras,necesarias para argumentaciones posteriores. La manipulacin con los instrumentos para la realizacin de los dibujosdebe ir acompaada de un cierto grado de anticipacin.Las primeras construcciones apuntan a la puesta en escena de criterios de congruencia de tringulos. En un primermomento se acepta el uso de regla graduada y transportador y la medicin como criterio vlido para construir ngulosy segmentos congruentes.

El enunciado de criterios de igualdad de tringulos se propone a partir del trabajo de construcciones realizado y de ladiscusin acerca de la existencia y unicidad.Para decidir la existencia y unicidad de la solucin en los distintos casos de congruencia, se esperan justificacionesque se apoyen en la visualizacin y en la intuicin. Una vez establecidos criterios de congruencia de tringulos, podrnjustificarse las construcciones con regla no graduada y comps.

Se trata de volver sobre las ideas de permetro y rea pero en este caso consideradas variables avanzando en eltratamiento de expresiones algebraicas.

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NENueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresContenidos Alcances y sugerencias para la enseanza

Unidad 2: Teorema de Pitgoras yaplicaciones

El teorema para un tringulo rectnguloissceles: relacin entre el rea de un cuadrado

y el rea del cuadrado construido sobre sudiagonal. Relacin entre las medidas de loslados de un tringulo rectngulo issceles:existencia de nmeros no racionales.Relacin entre los lados y la diagonal deun rectngulo, a partir de las reas de loscuadrados y tringulos. El caso general delteorema.

Hay muchas demostraciones del Teorema de Pitgoras que resultan factibles de un tratamiento en la clase eneste nivel de la escolaridad. Una herramienta podr ser recurrir a la comparacin de reas y la reflexin sobre lasrelaciones entre los elementos que se ponen en juego en la frmula.Se trata de que los estudiantes resuelvan algunos problemas que ponen en juego la relacin establecida en elteorema.

Unidad 3: Construcciones con regla nograduada y comps

La mediatriz de un segmento, propiedadesy construccin. Rectas paralelas yperpendiculares. Construccin de nguloscongruentes y la bisectriz de un ngulo.Construccin de paralelogramos a partir dedistintos elementos: lados ngulos diagonalesy alturas. Explicitacin de las propiedades quefundamentan las construcciones.Estudio de la congruencia entre pares dengulos determinados por dos paralelas y unatransversal, a partir de las propiedades delparalelogramo.

La fundamentacin de construcciones clsicas con regla no graduada y comps, como la de mediatriz y bisectrizson herramientas para provocar en los estudiantes la necesidad de argumentar. Para asegurar la validez de lasconstrucciones realizadas, los criterios de igualdad de tringulos, entre otras propiedades, sern un apoyo.

Eje: Estadstica y Probabilidades


Lectura e interpretacin de grficos queaparecen en medios de comunicacin.Comparacin y anlisis de diferentesrepresentaciones grficas, ventajas de unassobre otras.Anlisis y uso de la media y el modo paradescribir los datos en estudio.Necesidad de definir la poblacin y la muestra.Identificacin de variables.

Se trata de que los estudiantes reconozcan diferentes maneras en que la informacin puede ser presentada: tablasde frecuencias, grficos, tortas, etc. y puedan leer la informacin que presentan.

Se espera que los estudiantes, en el marco del tratamiento de la informacin, puedan establecer comparacionesentre las diferentes configuraciones con que se presentan los datos. Esto permitir reconocer las ventajas ydesventajas de cada una de ellas y las intenciones de su eleccin, es decir qu intenta destacar y qu ocultar.Por otro lado, en el marco del anlisis de representaciones y organizaciones de datos, es posible comenzar aidentificar la presencia de diferentes variables que dan lugar a anlisis diversos de la informacin.

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NE Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresFormas de conocimiento y tcnicas de estudio

La educacin secundaria requiere la apropiacin, por parte de los estudiantes, de distintas formas de conocimien-to y tcnicas. Algunas de estas son compartidas por diversas asignaturas, como por ejemplo, el anlisis de textos,

la elaboracin de resmenes y sntesis, la lectura de grficos. Sin embargo, estos modos de conocer adquierenespecificidad en el marco de las diferentes reas.

En Matemtica, primer ao, cobran particular relevancia:

Resolucin de diferentes tipos de problemas y reflexin sobre los modos de resolucin que se fueron desa-rrollando. Anlisis de errores. Identificacin de aspectos comunes en diversas situaciones que pueden ser tratadas a partir de un mismoconocimiento.

Uso de diferentes registros y representaciones y anlisis de la conveniencia de unos por sobre otros en fun-cin de los problemas que se pretende resolver y lo que se quiere comunicar. Uso de la carpeta como registro de aquello que el estudiante considera como central del trabajo que se vadesarrollando: reflexiones sobre algunos problemas y sus procedimientos de resolucin, identificacin deerrores y sus correcciones, establecimiento de pistas sobre las particularidades de los problemas que setrataron, etc.) Comparacin entre la propuesta de un libro de texto y los registros de la carpeta o el pizarrn. Comparacin entre procedimientos de resolucin de un mismo problema al recurrir a medios informticos ocalculadora y el uso de lpiz y papel.

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segundo AO

Objetivos de aprendizaje

Al finalizar segundo ao, los estudiantes sern capacesde:

Disponer de formas de representacin y de estra-tegias exhaustivas de conteo para abordar y validarproblemas de combinatoria. Utilizar recursos algebraicos que permitan producir,

formular y validar conjeturas referidas a la divisibili-dad en el campo de los nmeros enteros. Recurrir a relaciones entre escritura decimal y frac-cionaria para resolver problemas que involucren ladensidad en el campo de los nmeros racionales. Comprender el funcionamiento de la potenciacin yla radicacin a travs de la utilizacin de las propie-dades y el uso de diferentes tipos de calculadoras. Resolver problemas lineales que se modelizan usan-do funciones, ecuaciones, inecuaciones, y sistemas

de ecuaciones considerando la nocin de ecuacincomo restriccin que se impone sobre un cierto do-minio y que tiene asociada un conjunto solucin,la nocin de ecuaciones equivalentes y las opera-ciones que dejan invariante el conjunto solucin yapelando al recurso de reemplazar en una ecuacin

para verificar si cierto nmero o par de nmeros, essolucin de la ecuacin. Establecer relaciones entre resolucin grfica y al-gebraica. Resolver problemas que se modelizan por medio dela funcin de proporcionalidad inversa.

Comparar reas de diferentes figuras sin recurrir a

la medida. Recurrir a las expresiones algebraicas para analizarlas variaciones del rea de una figura en funcin dela variacin de alguno de sus elementos. Apelar al Teorema de Tales para resolver diferentestipos de problemas. Comprender que la eleccin de un modo de organi-zar y representar la informacin pone de relieve cier-tos aspectos y oculta otros. Reconocer la pertinencia o no de utilizar las medidas

de tendencia central, como representantes de unamuestra, en funcin del problema a resolver. Valorar el intercambio entre pares como promotordel establecimiento de relaciones matemticas y delestablecimiento de la validez de los resultados y pro-piedades elaboradas.

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NE Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresContenidos



Unidad 1: Nmeros Naturales.

Combinatoria

Produccin de frmulas para contar. Eldiagrama de rbol como recurso para contarde manera exhaustiva.Estructura multiplicativa en problemas deconteo.Problemas en los que no se distingue elorden de los elementos.

Se propone ampliar el significado de contar usando los nmeros naturales; se busca que los estudiantes encuentren

estrategias para resolver problemas que requieren contar exhaustivamente. Se espera que se utilice el diagrama derbol como una representacin adaptada a estos problemas y que se reconozca la estructura multiplicativa de losmismos.

No es un objetivo la utilizacin de las frmulas de combinatoria sino la produccin de estrategias de solucin.Interesa destacar aquellos procedimientos de resolucin que aseguren la exhaustividad y el papel que juegan lasrepresentaciones con las cuales se intenta organizar el conteo de la coleccin. Las frmulas sern construidas por losestudiantes a partir de la generalizacin propuesta en un problema, continuando con la actividad iniciada en lgebra enprimer ao.

Unidad 2: Nmeros Enteros

Divisibilidad. Las nociones de mltiplo y

divisor.Anlisis de la estructura de un clculo paradecidir cuestiones de divisibilidad connmeros naturales.La nocin de nmero primo.Mltiplos y divisores en Z. Anlisis de lavalidez de enunciado.Clculo de restos.Produccin, formulacin y validacinde conjeturas referidas a cuestiones dedivisibilidad.

El trabajo con el concepto de divisibilidad busca, en primer lugar recuperar las conceptualizaciones alcanzadas conrelacin a mltiplos y divisores con nmeros naturales abordadas en la escuela primaria, pudiendo extender a losenteros las caractersticas ms trascendentes.

Tambin se trata de introducir el lgebra como herramienta para conocer propiedades de las operaciones. Losproblemas que se presenten a los estudiantes podrn proponer la puesta en juego del trabajo algebraico.

Unidad 3: Nmeros Racionales

La propiedad de densidad. Aproximacin denmeros racionales por nmeros decimales.Estimacin de resultados de problemasque involucran racionales. Produccin dediferentes recursos de clculo.Estimacin del error producido por elredondeo o el truncamiento. Uso decalculadora.Regularidades en colecciones de nmerosracionales. Frmulas para modelizarlas.Potenciacin y radicacin en Q.

En este punto se propone que los problemas propuestos a los estudiantes recuperen la idea de que la fraccin 1/nes

aquella parte que iterada nveces equivale al entero y que la fraccin m/nes aquella parte que contiene mveces a 1/n.Se intentar establecer que para medir una cantidad A con otra B, en algunas situaciones es conveniente iterarambas hasta encontrar que un mltiplo de una de las dos se iguala con algn otro mltiplo de la otra: es la idea deconmensuracin para establecer la razn entre dos cantidades. Es decir se tratar de determinar la medida de unsegmento considerando otro como unidad. La medida obtenida deber resultar ser un nmero racional. La idea que sedebera poner en juego en estos problemas es que si mveces un segmento aes igual a nveces un segmento b, atiene una medida racional si se considera bcomo unidad, y viceversa.Se propone identificar la existencia de estrategias alternativas para comparar y operar con nmeros racionales,adems de la estrategia habitual de reduccin a comn denominador (en el caso de escritura fraccionaria) y de analizaren qu casos resulta ms conveniente cada una.Con el soporte de la recta numrica y de las relaciones entre fracciones y decimales se espera comparar los naturalescon los racionales teniendo en cuenta:

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Notacin cientfica de nmeros decimales.La notacin a p/q.Valor aproximado de una raz cuadrada:existencia de nmeros irracionales.

en el conjunto de los nmeros naturales, todo subconjunto tiene primer elemento (en el conjunto de nmerosracionales no se cumple esta propiedad).

un nmero natural tiene siempre un siguiente y un nmero racional no. los nmeros naturales no son densos y los racionales s.

los nmeros decimales (los que tienen una escritura decimal finita) tambin son densos. los nmeros del visor de la calculadora, las fracciones con denominador fijo o los decimales de tres cifras, noforman conjuntos densos.

se puede aproximar un nmero racional por uno decimal tan prximo como se quiera. En cuanto al trabajo sobre estimacin, se propone discutir diferentes criterios a partir de los cuales se establece el intervaloal que pertenece un nmero cuya aproximacin se conoce. Se reflexionar sobre las distancias entre el conjunto de losracionales y el de los decimales de la calculadora, indagando en el funcionamiento de diferentes calculadoras.

El trabajo con regularidades recupera lo propuesto en primer ao con naturales o con divisibilidad, volviendo sobreexpresiones algebraicas y propiedades de las operaciones.Se propone trabajar principalmente los aspectos conceptuales de la potenciacin, sus propiedades, y no en larealizacin de clculos muy complejos. Las propiedades de la potenciacin servirn como un recurso para comparar,sin necesidad de realizar todas las cuentas.

Un aspecto que podra ser tratado es el problema de cmo escribir un nmero decimal de diferentes maneras,usando potencias de diez. Entre estas maneras puede ser identificada la notacin cientfica, que es la utilizada por lacalculadora para nmeros grandes.Adems de las definiciones y propiedades elementales de la potenciacin, interesa identificar, entre otras, lassiguientes: Sea 0 < a < 1. Si n es natural , an < 1. Si n es un entero negativo, an > 1. Sea a > 1. Si n es natural, an > 1. Si n es un entero negativo, an < 1.

Un tipo de problemas que se propone tratar es el que involucra la bsqueda de dos cuadrados consecutivos entre loscuales se encuentre un nmero. Estas situaciones apuntan al encuadramiento, en trminos de aproximaciones a lasraces cuadradas, apoyado en la calculadora.Se propone a su vez que las situaciones permitan poner en debate reglas que apunten a una conceptualizacin de lapotenciacin y la raz. No se propone un trabajo de clculos para la aplicacin de reglas memorizadas.

Eje: Funciones y lgebra


Unidad 1: Funcin lineal

Revisin de la nocin de funcin lineal comomodelo de variacin constante.Identificacin de puntos que pertenecen algrfico de la funcin.Problemas que se modelizan con funcioneslineales con una variable. Problemas con

infinitas soluciones y problemas sin solucin.

Se propone el estudio de la propiedad fundamental de las funciones lineales (x/ Dy = constante) como caractersticade la forma recta. El concepto de pendiente requiere un trabajo en tres niveles: cmo y dnde aparece en lafrmula de las funciones? Qu relacin tiene con el aspecto del dibujo de la recta (es una medida de la inclinacinde la misma)? Cul es el sentido que adquiere en cada uno de los contextos de los problemas modelizados confunciones lineales?

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Unidad 2: Ecuacin de la recta

Resolucin de problemas que se modelizancon ecuaciones lineales con dos variables.Ecuacin de la recta.Pendiente. Rectas paralelas y

perpendiculares.Produccin de la representacin grfica y dela ecuacin de una recta a partir de ciertosdatos: dos puntos cualesquiera, un punto y lapendiente, los puntos donde corta a los ejes.Problemas que se modelizan con ecuacioneslineales con una incgnita.Ecuacin lineal a una variable. Ecuacionesequivalentes y conjunto solucin.Problemas con infinitas soluciones yproblemas sin solucin.Resolucin de ecuaciones que involucrentransformaciones algebraicas.

Inecuaciones de primer grado con unaincgnita. Problemas que se modelizan poruna inecuacin lineal. Representacin enla recta numrica de las soluciones de unainecuacin lineal con una incgnita.

Se propone que el trabajo implique la resolucin de problemas en contextos de manera de avanzar en la idea demodelizacin mediante una ecuacin con dos variables pero que incorporan restricciones de manera de resultar unconjunto finito de pares como solucin. El tratamiento de conjuntos infinitos implica una complejidad con la cual losestudiantes deben enfrentarse. Hay una complejidad para describir las soluciones de una ecuacin y tambin si sequisiera probar alguna propiedad que debiera cumplir ese conjunto.La representacin grfica del conjunto de pares que conforman la solucin de una ecuacin lineal con dos variables,

permiti r considerarla como ecuacin de una recta. En particular obliga a una revisin del concepto de pendiente. Ladiscusin y anlisis acerca de cmo determinar la ecuacin de una recta que pase por dos puntos, o que pase por unpunto y tenga una cierta pendiente enriquece la conceptualizacin de recta. Es por eso que en este punto se buscarecuperar cuestiones tratadas en la unidad anterior.Se aspira a que las ecuaciones lineales sean presentadas a partir del trabajo con funciones, en la bsqueda deaquellos valores de la variable independiente donde la funcin tome un cierto valor predeterminado. Plantearproblemas para los cuales las ecuaciones que los modelizan tengan nica solucin, infinitas soluciones o no tengansolucin y discutir acerca de sus semejanzas y diferencias, podran contribuir a una mejor conceptualizacin de laecuacin lineal con una variable y del papel que juegan las letras all . Se propone que la ecuacin no sea solamenteuna igualdad con incgnita sino la expresin de una condicin sobre un conjunto de nmeros que tiene asociadaun conjunto solucin. En ese sentido, las ecuaciones sin solucin y las ecuaciones con infinitas soluciones deben sertratadas en igualdad de condiciones y no como casos raros. La nocin de ecuacin equivalente y la discusin acercade distintas operaciones que dejan invariante el conjunto solucin deben estar incluidas en el trabajo en torno al

tratamiento de las ecuaciones.Se propone el tratamiento de inecuaciones con una variable pero no se pretende avanzar en problemas de muchacomplejidad tcnica en estos rubros.Es posible apelar a las representaciones grficas para proponer una forma de resolucin.

Unidad 3: Funcin de proporcionalidadinversa

Problemas que se modelizan con funcionesde proporcionalidad inversa.Estudio de la funcin 1/x. Corrimientos.Asntotas.

Se propone que los estudiantes puedan tratar con problemas que pongan en funcionamiento relaciones deproporcionalidad inversa, puedan avanzar en el trabajo con frmulas y grficos as como estudiar las relaciones entrela variacin del grfico y la variacin de la frmula en trminos de corrimientos. Es un lugar propicio para iniciar unaexploracin de la idea de asntota considerando un dominio apropiado de definicin.



Unidad 1: reas de tringulos ycuadrilteros

Comparacin de reas de diferentes figuras, sinrecurrir a la medida. Uso de descomposicionesde figuras para comparar reas. Produccin yuso de las frmulas para comparar reas, en

funcin de bases y alturas.

Se trata de utili zar la nocin de rea como magnitud. La tcnica de comparacin de reas permite dar un nuevosentido a las frmulas para calcular el rea de tringulos, rombos y paralelogramos a partir de la del rectngulo.La comparacin de reas usando los elementos de las figuras permite el estudio de las relaciones que se dan al variarestos.

Se propone hacer un estudio de la misma problemtica desde el punto de vista funcional.

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Permetro y rea de cuadrilteros. Variacindel rea en funcin de la variacin de la baseo altura. Transformacin y equivalencia defrmulas.

Unidad 2: Construccin de cuadrilteros

Construccin de cuadrilteros en funcinde los elementos que lo componen (lados,ngulos, diagonales, etc.). Anlisis desoluciones posibles a partir de los datos.Discusin de posibles criterios decongruencia para cuadrilteros ycomparacin con los criterios construidospara tringulos. Construccin decuadrilteros dados tres o cuatro elementos.Condiciones de posibilidad y unicidad en lasconstrucciones.

Los estudiantes deben aprender que las construcciones de tringulos constituyen un punto de apoyo para lasconstrucciones de polgonos en general.La construccin de posibles criterios de igualdad para cuadrilteros se trabaja en relacin con los criterios de igualdadpara tringulos. La discusin con los estudiantes de preguntas como es cierto que si dos cuadrilteros tienen suscuatro lados iguales son iguales?, permite retrabajar el conocimiento acerca de los cuadrilteros, y volver a dar sentidoa los criterios construidos para tringulos.Se propone tomar como punto de apoyo las propiedades de los paralelogramos para las relaciones entre ngulosformados por dos paralelas que se cortan por una secante. No se plantea la memorizacin de los nombres " alternosinternos, externos, conjugados, etc.", sino la elaboracin por parte de los estudiantes de las relaciones entre losdistintos ngulos.

Unidad 3: Teorema de Tales

Construccin de figuras semejantes ycriterios de semejanza entre tringulos.Teorema de Tales.Divisin de un segmento en partes igualescomo recurso para representar nmerosracionales en la recta numrica.

El Teorema de Tales podr ser presentado a partir de la construccin de figuras semejantes y de las condiciones quehace posible la semejanza entre tringulos.Una demostracin del teorema accesible se basa en la formula del clculo del rea de un tringulo. A partir de ella sededuce que, si dos tringulos tienen alturas iguales, la razn entre sus reas es igual a la razn entre sus bases.El problema de la particin de un segmento en npartes iguales puede ser planteado a los estudiantes, evitandopresentar estas cuestiones como algoritmos ya dados.

Eje: Estadstica y Probabilidades

Contenidos Alcances y sugerencias para la enseanzaSituaciones que requieren la recoleccin yorganizacin de datos.Tabla de frecuencias y porcentajes.Seleccin de herramientas estadsticaspertinentes.Promedio, moda y mediana. Introduccin a laidea de desvo.Uso de la computadora como herramienta enla estadstica.

En primer trmino se plantea un trabajo relacionado con la recoleccin de datos. Se trata de promover un anlisis entorno a las caractersticas que deben poseer las situaciones que ameriten tal recoleccin: para qu se buscan datos,de dnde es pertinente extraerlos, mediante qu herramientas es posible recabar la informacin que se precisa, etc.En segundo trmino se plantea un trabajo con problemas que demandan la bsqueda y el anlisis de medidas detendencia central.Se espera que los estudiantes sean capaces de reconocer la pertinencia o no de utilizarlas como representantes deuna muestra, en funcin de lo que se trata de averiguar o informar.Identificar las falacias o los abusos de la estadstica, implica reconocer que las representaciones grficas puedenser elaboradas a partir de escalas convenientes o elegir una medida que no sea la medida ms representativa, o elegirvariables de manera tal de obtener resultados no del todo fiables.Se recurrir siempre que sea posible a trabajar con los estudiantes, la configuracin de grficos recurriendo a lacomputadora.

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NE Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresFormas de conocimiento y tcnicas de estudio

La educacin secundaria requiere la apropiacin, por parte de los estudiantes, de distintas formas de conocimientoy tcnicas. Algunas de estas son compartidas por diversas asignaturas, como por ejemplo, el anlisis de textos,

la elaboracin de resmenes y sntesis, la lectura de grficos. Sin embargo, estos modos de conocer adquierenespecificidad en el marco de las diferentes reas.

En Matemtica, segundo ao, cobran particular relevancia:

Resolucin de diferentes tipos de problemas y reflexin sobre los modos de resolucin que se fueron desa-rrollando. Anlisis de errores. Evocacin de problemas resueltos a lo largo de un cierto perodo de tiempo en funcin de establecer simili-tudes y diferencias entre ellos y sus procedimientos de resolucin.Uso de diferentes registros y anlisis de la conveniencia de unos por sobre otros en funcin con la tarea quese pretende resolver y lo que se quiere comunicar. Elaboracin de criterios para la produccin de una sntesis sobre un aspecto de un contenido en particularcon diferentes finalidades: contarle a un compaero, estudiar para una prueba, etc. Establecimiento de criterios para la elaboracin de una prueba escrita (tipo de problemas que se incluira,consideraciones para la correccin, etc.). Produccin de explicaciones de ciertos temas a sus compaeros. Establecimiento de relaciones entre conceptos que, en principio, parecieran no tenerla. Por ejemplo, entre elestudio de la variacin del rea de una figura en funcin de la variacin de la base o altura y la idea de funcin. Identificacin de problemas que no se pueden resolver con un concepto que se est trabajando.

Elaboracin de un ndice de temas a modo de un libro a partir del tratamiento de un contenido o varios alo largo de un conjunto de clases. Resolucin de un mismo problema en diferentes marcos: algebraico, geomtrico, analtico, con y sin com-

putadora y comparacin de los procedimientos utilizados y las relaciones o propiedades que sostienen cadauna de las estrategias de resolucin. Lectura de alguna demostracin de un teorema de un libro de texto por ejemplo el Teorema de Tales ydebate acerca de las particularidades del proceso de demostracin.

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Orientaciones generales para la evaluacin

Se sugiere que cada profesor desarrolle un programade evaluacin.

Un programa de evaluacin es una estructura

compuesta por distintas instancias e instrumentos

de evaluacin, que permiten evaluar aprendizajes

diversos y atienden a los diferentes propsitos de

la evaluacin.El programa de evaluacin debe disearse a

partir de los objetivos anuales de la asignatura.

La evaluacin se orienta a la mejora de los procesosde aprendizaje y de enseanza y brinda informacin aestudiantes y docentes para tomar decisiones orienta-das a la mejora continua.

El diseo de un programa de evaluacin debe con-

templar las siguientes caractersticas: Incluir al menos tres instancias de evaluacin poralumno por trimestre y/o cuatrimestre. Contemplar la evaluacin de distintos tipos de apren-dizaje (conocimientos, procedimientos, habilidades,actitudes, etctera). Contemplar la evaluacin del proceso de aprendiza-je de los estudiantes. Incluir situaciones de evaluacin de inicio, formativay final.

Promover la utilizacin de diversas propuestas deevaluacin (pruebas escritas y orales, pruebas dedesempeo, producciones, coloquios, portfolios,anlisis de casos, matrices de valoracin).

El diseo del programa debe atender a aquellascuestiones o aspectos priorizados en el marco de la en-

seanza. En este sentido, resulta importante introducirla reflexin a propsito del trabajo personal y el estudioindependiente como tareas propias del estudiante quela escuela tiene la responsabilidad de planificar, promo-ver y ayudar a organizar.

El estudio es hoy el eslabn perdido entre una en-seanza que parece querer controlar todo el procesodidctico y un aprendizaje cada vez ms debilitadopor la exigencia de que se produzca como una conse-cuencia inmediata, casi instantnea, de la enseanza.

Pretendemos restituir el estudio al lugar que le corres-ponde: el corazn del proyecto educativo de nuestrasociedad. (...) Proponemos considerar la educacinde manera ms amplia como un proyecto de estudiocuyos principales protagonistas son los estudiantes. Elprofesor dirige el estudio, el alumno estudia.3

3 Yves Chevallard, Marianna Bosch, Joseph Gascn (1997). Estudiarmatemticas. El eslabn perdido en tre enseanza y aprendizaje. Bar-celona, Horsori.

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NE Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresSostenemos, como los autores citados, que:4

el aprendizaje no es la consecuencia inmediata de laenseanza;

no hay aprendizaje sin un trabajo personal del estu-diantes, es decir, sin estudio; contribuir a la organizacin del estudio del estudian-te debera ser parte del proyecto del profesor.

En la medida en que el estudio independiente de losalumnos no se incluya explcitamente en el proyecto deenseanza, no se reflexiona acerca de la complejidadque este supone. El docente tiende a veces a consi-derar el estudio fuera de la clase como una actividad

privada del alumno y acerca de la cual no tiene ningunaresponsabilidad. A su vez, resulta difcil para los alum-nos comprender la especificidad que adquiere el estu-dio en matemtica como tambin la tiene estudiar encada una de las disciplinas. Estudiar significa muchoms que resolver ejercicios de la carpeta o similares,aunque esta actividad est incluida en el estudio. Sa-bemos que estudiar un concepto involucra, entre otrascosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qutipos de problemas se pueden resolver y cules no con

esta herramienta, saber cules son los errores ms co-munes que se han cometido en la clase como parte dela produccin y por qu. Como es sabido, cada discipli-na tiene una especificidad en su quehacer, tiene formasparticulares de producir, de comunicar y validar cono-cimientos. Estas formas especficas deben estar inclui-das en el momento del estudio; es decir, el estudiantesno puede estudiar desconociendo, por ejemplo, las

4 Extrado de: Apoyo a los alumnos de 1 ao en los inicios del nivelmedio.Documento N 2. Secretara de Educacin, G.C.A.B.A., 2000.

maneras de establecer la verdad en matemtica. Estasformas especficas de producir conocimiento, de vali-darlo y de comunicarlo deben estar incluidas en el es-

tudio del alumno. Estudiar supone, pues, resolver pro-blemas, construir estrategias de validacin, comunicary confrontar con otros el trabajo producido y reflexionarsobre el propio aprendizaje.

La evaluacin en la escuela puede ser pensada tantopara tener elementos relativos a la marcha de los apren-dizajes de los estudiantes como para obtener informacinque permita tomar decisiones de manera ms racional yfundamentada para mejorar la enseanza. Una preocupa-cin central en esta rea es la fuerte tendencia que ha ha-

bido de catalogar a los estudiantes de buenos o durosen matemtica. Esta distincin reposa sobre el supuestode que la matemtica es una disciplina para algunos queson rpidos, inteligentes, etc. Partimos, por el contrario,del supuesto de que todos los estudiantes pueden apren-der matemtica bajo ciertas condiciones didcticas. Sinduda, existen diferencias individuales entre los estudian-tes, y pueden ser necesarias propuestas especficas queconsideren alternativas en tiempos y modalidades, peroen el marco de las mismas finalidades y enfoque.

El desafo consiste en evaluar los progresos de cadaalumno en relacin con los conocimientos que l mismotena y en relacin con lo que ha sido enseado en elaula, lo que ha sido objeto de trabajo y ahora es evalua-do. Es necesario dar nuevas y variadas oportunidadesde aprender a quien no lo ha hecho todava. Evaluar losprogresos implica comparar los conocimientos de cadaalumno con su propio punto de partida y no solamentecon los conocimientos de los otros estudiantes. Aquelloque un estudiante no ha logrado todava puede lograrlo

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NENueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos Airesen otro momento. Este estudiante progresa en direc-cin a aquello que se espera? En qu medida lo quesabe ahora lo pone en mejores condiciones para seguir

aprendiendo? Cules son los problemas que ahorapuede resolver y antes no? Cmo han progresado susprocedimientos de resolucin? Ha incorporado nue-vas formas de representacin?

Si la evaluacin permite reconocer una distanciaentre los conocimientos de algunos estudiantes en re-lacin con lo que se espera, la escuela tiene el com-promiso de organizar una nueva enseanza especfica-mente dirigida a que dichos estudiantes aprendan.

La evaluacin de los aprendizajes de los estudian-

tes no se reduce a evaluaciones individuales, escritas,sumativas. Los docentes utilizan diversas herramientasque permiten conocer la evolucin de los aprendizajesde los estudiantes. Es importante diversificar las formasde evaluacin en matemtica incluyendo la observacinde la clase, de la participacin de los estudiantes entareas grupales, del tipo de intervenciones y preguntasque despliegan, de los comentarios o explicaciones quepueden dar de su trabajo, etctera. De all que el docen-te se podr hacer otras preguntas tales como: qu in-

tervenciones realizan?, cules son los errores que apa-recen?, qu procedimientos han utilizado? Un buenmomento para tomar registro de dos o tres estudiantespor clase es la fase de resolucin individual o grupal delas situaciones planteadas. Luego del momento de re-solucin, en algunas clases se procede a la comunica-cin de procedimientos y resultados, a su discusin ycomparacin. Es importante tambin observar y regis-trar las evoluciones de los estudiantes con respecto aestos aprendizajes vinculados al trabajo colectivo.

Partimos del supuesto de que el profesor no es el ni-co que evala la marcha de los aprendizajes de los es-tudiantes. Creemos importante que los estudiantes tam-

bin participen en la evaluacin de lo realizado, tanto entareas grupales como individuales. Para ello, es impres-cindible que tomen conciencia de qu estn aprendien-do. El trabajo colectivo y las intervenciones del docentedirigidas a que los estudiantes reconozcan qu es aquelloque han aprendido luego de un conjunto de actividadesfavorecern las reflexiones sobre el quehacer individual.Es decir, en la medida en que se supere la idea tan difun-dida de que la evaluacin de la produccin la hace otro (elprofesor, el que sabe), ser posible un compromiso de los

estudiantes con la evaluacin de sus aprendizajes.

primer ao

Para el diseo del programa de evaluacin de Matem-tica para primer ao, adquiere especial relevancia: Utilizar las propiedades de los nmeros naturales ysus operaciones para leer y producir frmulas quemodelicen situaciones, transformar expresiones en

otras equivalentes y obtener nueva informacin yproducir argumentos que den cuenta de la validezde lo realizado.Se espera que los estudiantes, frente a un proble-ma que demande, por ejemplo, establecer una re-gularidad en una configuracin, puedan identificarlas variables en juego, las relaciones que entre ellasse puedan establecer, producir una escritura mate-mtica que d cuenta tanto de la relacin entre lasvariables como de la regularidad que se ha podido

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NE Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos Airesestablecer. Por otro lado, se podr indagar sobre launicidad o no de la frmula a partir de equivalenciasentre expresiones diferentes que pudieran haber-

se elaborado. El contexto y las propiedades de losnmeros y las operaciones servirn como recursospara validar lo producido. El siguiente problema sirvecomo ejemplo:

Este dibujo es un cuadrado formado por cuadradi-tos y tiene sombreado solamente el borde:

Cuntos cuadraditos hay sombreados en la fi-gura?

Calcular el nmero de cuadraditos sombreados

en un cuadrado de 37 cuadraditos de lado. Intenten ahora encontrar una frmula que permitadeterminar la cantidad de cuadraditos sombrea-dos en funcin de la cantidad de cuadraditos quehay en cada lado del cuadrado.

Usar los nmeros racionales para resolver proble-mas de medida y de proporcionalidad identificandolas diferencias entre el funcionamiento de los nme-

ros racionales y los enteros.Se espera que los estudiantes puedan, en diferen-tes situaciones, identificar las fracciones como laherramienta ms pertinente para representar unamedida o una relacin de proporcionalidad entremagnitudes. En este ltimo caso se propone quelos estudiantes se enfrenten con diferentes tipos deproblemas (concentracin de sustancias, semejan-za, velocidad, etc.) que permitan hacer aparecer alas fracciones como razn entre dos nmeros. Tanto

las equivalencias como las propiedades de las frac-ciones resultarn insumos para dar cuenta de la va-lidez de los resultados que se obtengan. A modo deejemplo, se propone el siguiente problema:

Para hacer jugo, se mezclan 9 vasos de agua con 4vasos de jugo concentrado. Se quiere hacer un jugoque tenga el mismo gusto con 5 vasos de jugo con-centrado. Cuntos vasos de agua se deben usar?

Si se ponen 8 vasos de agua, cuntos de jugo con-centrado se deben usar para conservar el gusto?

Realizar un tratamiento con grficos que contemple:el anlisis de condiciones que hacen posible antici-par, interpolar y extraer informacin referida a otrasvariables; la obtencin del grfico de otro proceso apartir de un grfico dado; la comparacin de distintosgrficos que representen situaciones del mismo tipo.

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Matemtica 533

NENueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresSe espera que los estudiantes interpreten y analicen,a travs de los grficos, aspectos de las situacionesque estos representan. En particular, es importante

que identifiquen cules son las variables que se re-lacionan y cmo vara una en funcin de la otra. Lassituaciones de comparacin de fenmenos a tra-vs de sus respectivos grficos pueden contribuir acomprender las convenciones de la representacincartesiana. Es importante que los estudiantes anali-cen que se trata de representaciones y que, en tantotales, muestran solo algunos aspectos de la realidadque se representa. En este sentido, ser interesan-te discutir tambin cules son las cuestiones del fe-

nmeno representado que no pueden conocerse apartir de la lectura del grfico. A modo de ejemplo,se propone el siguiente problema:

Termina una fiesta y cinco invitados salen al mismotiempo. Cada uno fue directo a su casa en distintostransportes. A partir del siguiente grfico, respondelas preguntas abajo formuladas:

a. Quines viven ms cerca?b. Quines viajaron a mayor velocidad?c. Quines llegaron primero?d. Quines llegaron ltimos?

e. Hay quienes llegaron al mismo tiempo?f. Marcar otro punto en el grfico que represente a

otra persona que lleg al mismo tiempo que las

personas de tu respuesta en el punto anterior.g. Ordenar por orden de llegada.

Reconocer diferencias y similitudes entre la funcinlineal y la de proporcionalidad directa, comprendien-do los conceptos de pendiente y ordenada al origen,identificar sus significados en los grficos y en losdiferentes contextos.Se trata de identificar, a partir de la resolucin de

diferentes tipos de situaciones, las diferencias entrelos procesos que varan de forma proporcional delos que varan de manera constante pero no pro-porcional. En particular, se espera abordar el funcio-namiento de las propiedades y sus manifestacionesen cada uno de estos modelos: ambos son rectas,una pasa por el origen y la otra no, el papel de laconstante de proporcionalidad, las propiedades quese verifican en uno y otro modelo, etc. A modo deejemplo, se propone el siguiente problema:

En la ciudad donde vive Julia C., el pago del serviciode luz tiene un costo fijo de $60 al cual hay que agre-garle $1,50 por kW consumido. Julia ve que estemes consumi el doble de kW que el mes pasado yle comenta a su vecino que seguro que va a pagar eldoble. El vecino, en cambio, afirma que va a pagarmenos que el doble. Tiene razn alguno de ellos?Pods explicar por qu?

Espacio recorrido

Velocidad media

PedroLuca

Juan

SolAna

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NE Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos Aires Recurrir a criterios de igualdad de tringulos y a lasrelaciones de ngulos entre paralelas, para resolverdiversos tipos de problemas. Enunciar afirmaciones yvalidarlas o descartarlas, apoyndose en los conoci-mientos construidos. Apelar al Teorema de Pitgoras.Posteriormente al trabajo desplegado en torno a lostringulos y sus propiedades y a las relaciones en-tre ngulos, se espera que los estudiantes tenganla oportunidad de recurrir a dichas relaciones pararesolver diferentes tipos de problemas. En particu-lar, se trata de aquellos en los que se debe identifi-car la validez de ciertas afirmaciones, determinar lasmedidas de algunos de sus elementos, o algn otro

tipo de tarea en la que no resulte posible estable-cerlos a partir del acto de medir. Al no poder medir,las relaciones que caracterizan a una figura y algu-nas de sus propiedades resultarn los insumos mspertinentes para dar cuenta de las soluciones quese buscan. A su vez, son estos mismos recursoslos que garantizan la validez de las afirmaciones quese establezcan o resultados que se encuentren. Amodo de ejemplo, se propone el siguiente problema:

Sabiendo que abcd es un cuadrado, y que el trin-gulo es equiltero, determinar las medidas de losngulos sealados, sin medirlos.

a b

d c

segundo ao

Para el diseo del programa de evaluacin de Matem-tica para segundo ao, adquieren especial relevancia:

Disponer de formas de representacin y de estra-tegias exhaustivas de conteo para abordar y validarproblemas de combinatoria.Se trata de que los estudiantes elaboren o recurrana estrategias que permitan contar los elementos deuna coleccin. A su vez, que puedan organizar todala informacin de modo tal de garantizar la exhaus-tividad del conteo. En este punto, el diagrama de

rbol es una representacin adaptada a estos pro-blemas y permite identificar la estructura multiplicati-va de los mismos. No se busca que el nico recursosea el uso de frmulas de combinatoria, sino quepuedan convivir diferentes tipos de procedimientosde conteo. A modo de ejemplo, se propone el si-guiente problema:

En una competencia en la que participan 4 personas(A, B, C, D),

a. De cuntas maneras diferentes pueden ocupar-se los tres primeros lugares?b. De cuntas maneras diferentes pueden ocupar-

se los tres primeros lugares si se sabe que A nun-ca sale primero?

Utilizar recursos algebraicos que permitan producir,formular y validar conjeturas referidas a la divisibili-dad en el campo de los nmeros enteros.

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Matemtica 535

NENueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresSe trata de que los estudiantes apelen a la equiva-lencia entre sostener que a es mltiplo de b y sos-tener que b es divisor de a y, a su vez, que estasson equivalentes a realizar el cociente a : b y obtenerresto 0, de modo tal que los estudiantes puedan tra-tar con cuestiones sobre divisibilidad.Por otro lado, interesa que los estudiantes puedangarantizar la validez de los resultados obtenidos enlos problemas. Esta explicitacin permitir poner demanifiesto la necesidad de analizar la estructura deciertos clculos, poner en juego propiedades y re-conocer la posibilidad de transformar una escriturapara ver cuestiones relacionadas con la divisibili-

dad. A modo de ejemplo, se propone el siguienteproblema:

Es cierto que si se suma un nmero ms su do-ble, ms su triplo, ms su cudruplo, el resultado essiempre un nmero que termina en cero? Por qu?

Resolver problemas lineales que se modelizan usan-do funciones, ecuaciones, inecuaciones y sistemas

de ecuaciones, considerando la nocin de ecuacincomo restriccin que se impone sobre un cierto do-minio y que tiene asociada un conjunto solucin,la nocin de ecuaciones equivalentes y las opera-ciones que dejan invariante el conjunto solucin yapelando al recurso de reemplazar en una ecuacinpara verificar si cierto nmero o par de nmeros essolucin de la ecuacin.Se trata de poner de relieve diferentes aspectos:

La idea de funcin o de ecuacin lineal como mode-lizacin de las situaciones que se presenta.La nocin de interseccin, cuando sea pertinente,como parte del modelo.La idea de pendiente puede aparecer y servir paraanticipar algunas respuestas.Los tratamientos de tipo ms cualitativo que algu-nos estudiantes podran desplegar debern ser con-siderados positivamente y discutidos en relacin conotros ms algortmicos.Los grficos de las soluciones de las funciones oecuaciones involucradas resultan una buena herra-mienta de resolucin; estos podran realizarse va al-

gn programa de grfico de funciones.Obviamente, tambin podr considerarse algunamanera de maniobrar con las ecuaciones para ob-tener una solucin comn.La diferencia entre las soluciones que se obtienen apartir de tratar con los modelos (funciones, ecuacio-nes, sistemas de ecuaciones) y las respuestas a losproblemas vuelven a estar comprometidas.La consideracin de un tratamiento que destaque elobjetivo de la conservacin del conjunto solucin en

las transformaciones que se realizan para las hallarlas soluciones de un sistema.La interaccin entre las distintas formas de repre-sentacin, grfica, contexto, tabla, resolucin alge-braica.Un trabajo que ponga de relieve la interaccin entrelos aspectos geomtricos de las rectas y las solucio-nes numricas.Solo a modo de ejemplo se propone el siguienteproblema:

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NE Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos AiresEn dos clubes del barrio se organizaron dos bailesdistintos para la misma noche. En el club Estrellade Maldonado, las entradas costaban $15 para loshombres y $12 para las mujeres, y se recaud untotal de $885 en concepto de entradas. En cambio,en el club Villa Malcom el precio fue de $10 paratodo el mundo y se recaudaron $650.Puede ser que esa noche hayan ido la misma canti-dad de hombres y de mujeres a ambos bailes?

Apelar al Teorema de Tales para resolver diferentestipos de problemas.Se trata de propiciar el uso de una coleccin de re-

laciones que funcionan en simultneo al Teorema deTales; entre otras, la nocin de semejanza de trin-gulos y de polgonos en general as como algunoscriterios de semejanza. Estas relaciones podran es-tar al servicio de la ampliacin y reduccin de pol-gonos y en funcin de las relaciones entre las reasde polgonos semejantes. Finalmente, se podr tra-tar con problemas que pongan en funcionamiento laidea de base media, tambin asociada al Teoremade Tales. A modo de ejemplo, se propone el siguien-

te problema:

Hallar el permetro de un tringulo del cual es accesi-ble solo una porcin, como se muestra en el siguien-te dibujo:

Reconocer la pertinencia o no de utilizar las medidasde tendencia central como representantes de unamuestra, en funcin del problema a resolver.Se espera que, producto del trabajo desarrollado,los estudiantes puedan disponer de recursos queles permitan calcular promedios, modas y medianas,reconociendo las caractersticas que adquiere cadauna de estas medidas de tendencia central, en fun-cin del problema que se trate. Asimismo, resultarinteresante que puedan reconocer cul es la medidams representativa para cada situacin que se lespresente.Por otro lado, se espera que los estudiantes puedan

disponer de variados recursos que les permitan con-trolar la informacin que se les presenta, asumiendoque existe la posibilidad de manipular los datos,grficos, medidas, a partir de determinados intere-ses por parte de quien presenta la informacin. Amodo de ejemplo, se propone el siguiente problema:

La nmina de su

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