Matemática 1. Introducción al pensamiento lógico y creativo

Irene Marchetti de De Simone

Margarita García de Turner

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Matemática 1

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Matemática| Introducción al pensamiento lógico y creativo |


0 1 3 - 0 1 1 1

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4 Matemática 1

Índice general

unidad 1Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Potenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8radicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . . . . 15

Práctica de cierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Pasatiempos matemáticos . . . . . . . . . . . . . 19

unidad 2Divisibilidad. Lenguaje algebraico . . . . . . . . . . . . . . . 20

Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . 23números primos y compuestos . . . . . . . . . 25cálculo del mcm y del mcd . . . . . . . . . . . . 26


unidad 3Rectas. Ángulos. Figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39semirrecta. segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Mediatriz de un segmento . . . . . . . . . . . . . 39Ángulos centrales. arcos. cuerdas . . . . . . 45Triángulos. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . 50Polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


“[…] si nos soltaran al

azar dentro del Cosmos,

la probabilidad de que nos

encontráramos sobre un

planeta o cerca de él sería

inferior a una parte entre

mil millones de billones de

billones (1033, un 1 seguido

de 33 ceros). En la vida

diaria, una probabilidad así

se considera nula.”

Carl Sagan,

en: Cosmos, 1980.

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5Índice

unidad 4Números racionales. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . 65simplificación de fracciones . . . . . . . . . . . 65Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . 68Potenciación y radicación . . . . . . . . . . . . . 70


unidad 5Números racionales. Decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

expresiones decimales . . . . . . . . . . . . . . . . 80aproximación por redondeo . . . . . . . . . . . 84Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


unidad 6Perímetros y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . 92

sistema métrico decimal.Unidad de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Perímetro de un polígono . . . . . . . . . . . . . 99Áreas de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100circunferencia y círculo . . . . . . . . . . . . . . 102

Práctica de cierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Pasatiempos matemáticos . . . . . . . . . . . . 109

unidad 7Representaciones gráficas. Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . .110

coordenadas en el plano . . . . . . . . . . . . . 112representaciones gráficas. Funciones . . 115Función de proporcionalidad directa . . 120escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Función de proporcionalidad inversa . . 127


unidad 8 Cuerpos geométricos. Área y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

relación de euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Áreas laterales y totales. esfera . . . . . . . 146sistema métrico decimal . . . . . . . . . . . . . 148Volumen de cuerpos geométricos. esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Volumen y capacidad . . . . . . . . . . . . . . . . 153


unidad 9 Estadística y probabilidad . . . . . . .162

Población y muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Media, mediana y moda . . . . . . . . . . . . . . 170experimento aleatorio. sucesos . . . . . . . 173Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178


Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

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6 Matemática 1

Números naturales 1

Los números naturales fueron creados por la mente humana para contar objetos.La numeración escrita apareció ante la necesidad del hombre de llevar un registro de sus pertenencias. Las marcas halladas sobre las paredes de las cavernas prehistóricas confirman este hecho.

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7Unidad 1 - Números naturales

Números naturales Esta unidad nos permitirá…4 Realizar operaciones con números naturales.

4 Reconocer diferentes sistemas de numeración.

Actividad 1Continúa escribiendo los números que faltan para completar la pirámide.

8 12 7 19

2 6 7 5 2

Actividad 2Observa la serie y agrega dos dibujos.

1 5 9

a) ¿Qué número debes colocar debajo del cuarto y del quinto dibujo de la serie? ¿Qué indica

este número?

b) ¿Qué número habrá que escribir debajo del décimo dibujo?

Actividad 3Si se suman las edades de Ana y de Joaquín, se

multiplica ese número por 3, al número obtenido se lo

divide por 11 y a este último resultado se lo multiplica

por 7, se obtiene la edad del padre de los chicos.

Calcula la edad del papá de Ana y de Joaquín.

Ana: 12 años Joaquín: 10 años

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8 Matemática 1

Resuelve

1 a) 2 · [6 – (4 + 2) : 3] =

b) 6 : {4 : [ 3 – (5 – 4) ] } =

c) { [ (2 – 1 + 7) : 4 ] – 1} · 3 =

d) [ (9 – 5 : 5) · (10 + 2 · 3) ] : 4 =

e) 12 : (5 – 2) + 10 : (5 – 3) – 2 · [6 – 3 · (10 – 8) ] =

f) {9 · [10 – (4 – 1) ] } : 3 + 6 {8 · [4 : (3 + 1)] } =

Verifica tus resultados usando la calculadora.

Actividad 4Observa las series de dibujos y agrega un dibujo a cada una.

1 2 3

1 2 3

En la figura 3, ¿en cuántas partes quedará dividida la figura inicial?

Toda multiplicación de factores iguales puede indicarse en forma abreviada.

exponente 5 · 5 · 5 = 53 = 125 53 se lee: 5 al cubo base potencia

Si a es un número natural: a · a = a2 se lee: a al cuadrado a · a · a = a3 se lee: a al cubo a · a · a · a = a4 se lee: a a la cuarta potencia

En general a · a · a … a = an se lee: a a la enésima potencia

n factores

Si n = 1 a1 = a Si n = 0 a0 = 1 si a ≠ 0

Potenciación

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Resuelve

2 Completa el cuadro calculando los cuadrados y cubos de los números naturales

menores o iguales que 10.

a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a2

a3

3 Calcula y compara los resultados.

(3 · 2)2 = 32 · 22 =

(10 : 2)2 = 102 : 22 =

(4 · 2)2 = 42 · 22 =

(6 : 3)2 = 62 : 32 =

(3 + 2)2 = 32 + 22 =

(10 – 2)2 = 102 – 22 =

(4 + 2)3 = 43 + 23 =

(6 – 3)3 = 63 – 33 =

4 Completa.

a) El cuadrado de un producto

b) El cuadrado de un cociente

c) El cuadrado de una suma no es igual, en general,

5 Separa en términos y halla el resultado. Verifica tus resultados usando la calculadora.

a) 3 · (6 + 4)2 =

b) 52 · (7 – 5)3 =

c) (10 : 2)3 + (10 – 8)4 =

d) (16 – 10 – 4 )4 – 20 : (20 : 10)2 =

e) (10 + 2)2 · (9 – 6)3 + (30 : 3)3 =

f) 24 · (26 – 25) – 63 : (40 – 4) =

6 Completa.

52 · 54 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56 72 · 73 · 7 =

=

93 · 92 = = 26 · 2 · 27 · 20 · 22 =

=

Pista: observa los resultados obtenidos en el ejercicio 3.

Estas propiedades valen si en lugar de cuadrado se considera el cubo y, en general, cualquier otra potencia. 4

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10 Matemática 1

7 Teniendo en cuenta los resultados del ejercicio anterior, calcula directamente.

45 · 44 =

210 · 210 · 211 =

10 · 106 =

6 · 60 · 68 =

123 · 127 =

53 · 57 · 59 =

92 · 93 · 94 =

164 · 163 · 16 =

8 Completa.

26 : 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 2 · 2

= 24 53 : 5 = =

67 : 65 = = 104 : 104 =

=

9 Teniendo en cuenta los resultados del ejercicio 4, calcula directamente.

39 : 36 = 919 : 910 = 1012 : 109 = 54 : 54 =

715 : 78 = 113 : 110 = 416 : 415 = 100100 : 10099 =

10 Completa.

(22)3 = 22 22 22 = 26 (55)4 =

(34)2 = (69)2 =

11 Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el ejercicio anterior, calcula

directamente.

(26)3 = (22)2 = (32)3 = (75)5 = (812)0 = (15)2 =

12 Calcula expresando el resultado como una potencia.

2 · 24 : 2 = 59 : 56 · 5 =

(32)4 · 33 = (43)5 : (42)7 =

(62 · 63)2 = (93 : 9)2 =

(6 – 2)3 · (6 – 2)4 = (3 + 1)2 · (3 + 1)5 : (3 + 1) =

(7 – 3)2 · (8 – 4)3 : (6 – 2)2 = (9 + 2)6 : (112)2 =

13 Utiliza la calculadora. Escribe las diez primeras potencias de 3 y responde.

• ¿En qué cifras terminan esas potencias?

• ¿En qué cifras terminan las potencias de exponente par?

• ¿En qué cifra termina 312?

• ¿Y 372?

• Justifica tus respuestas.

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Actividad 5¿Qué responde Emilio?

¿Qué número natural elevado a la cuarta es igual a 81?

Si la potencia cuarta de un número es 625, ¿cuál es esenúmero?

¿Qué número debo elevar al cubo para obtener el número 216?

24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

= 625

= 216

Si 34 = 81 entonces 3 = 4√81

4√81 se lee raíz cuarta de 81

Se llama raíz n-ésima de un número natural a al número natural b tal que b elevado a la n es igual a a.

n√a = b porque bn = a n ∈ N, n > 1

índice n√a = b Si el índice es 2, no se escribe y la raíz se llama raíz cuadrada. radical radicando raíz n-ésima

Radicación

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12 Matemática 1

Resuelve

14 Calcula.

√36 = 3√27 = √1 = 4√16 = √81 =

√100 = 5√1 = 3√64 = 3√125 = 5√32 =

15 Completa la siguiente tabla.

a b + a + b

0 1

4 0

9 4

1 9

4 1

Si comparas las columnas sombreadas, ¿qué puedes expresar?

16 Coloca los signos = o ≠ según corresponda.

√9 + 16 √9 + √16 √100 – 36 √100 – √36

√9 · 4 √9 · √4 3√64 : 8 3√64 : 3√8

17 Calcula el valor del número natural c, siendo c = b – a, si:

a3 = 64 b = 3√ 8 · 125

18 Observa los siguientes cálculos. Corrígelos indicando los errores que se cometieron

y explica con tus palabras el porqué de ese error.

a) √82 + 62 + 6 – 2 = 18

b) 35 + 10 : 5 – √16 = 5

c) 12 – √ 25 · 4 : 3√ 8 = 7

d) 3√ 27.000 – 3√ 27 – 3√ 1.000 = 0

19 En cada caso, ¿cuál es el número natural a?

a) La raíz cuadrada del número a disminuido en 7 unidades es 3.

b) La raíz cúbica de la diferencia del doble del número a y la unidad es 3.

c) Si a la raíz cúbica del número a se le suma 26 se obtiene 30.

d) Si al cuadrado del número a se le resta 2 se obtiene 14.

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Actividad 6

I V X L C D M son símbolos básicos, ¿de qué sistema de numeración?

• ¿Qué número, expresado en sistema decimal, representa cada símbolo?

Sistema de numeración

I V X L C D M

Decimal

• Completa las siguientes tablas utilizando esos símbolos básicos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000

• ¿Qué reglas cumple el símbolo I?

• ¿Qué otros símbolos cumplen las mismas reglas?

• ¿En qué ocasiones se utilizan en la actualidad estos símbolos?

Los mayas idearon un

sistema de base 20, con

el 5 como base auxiliar.

Desde el tercer milenio

a.C., los egipcios usaron

un sistema de escribir

los números en base 10,

utilizando los jeroglíficos

de la figura para

representar los distintos

órdenes de unidades.

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14 Matemática 1

Actividad 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9son símbolos básicos, ¿de qué sistema de numeración?

• ¿Cómo se agrupan estos símbolos básicos?

• Si se ubica cada unidad simple con un punto, ¿cómo pueden representarse los números

34 y 23?

3 4 2 3

• ¿Qué valor tiene el número 3 en cada caso?

• 6 · 103 + 2 · 102 + 0 · 10 + 4 es el desarrollo decimal ¿de qué número?

0 1 son símbolos básicos, ¿de qué sistema de numeración?

• ¿Cómo se agrupan?

• Si 7 = 1112 porque

¿cuáles son las representaciones en binario del número 9? ¿Y del número 12?

• El desarrollo binario de 7 es: 7 = 1.

• El desarrollo binario de 12 es: 12 =

• •• •

••

•

1 1 1

El sistema de numeración

decimal, hoy de uso

universal, es una

invención hindú que

luego desarrollaron los

árabes. Fue introducida

en Europa, durante la

Edad Media, por los

comerciantes italianos,

quienes la habían

aprendido de los árabes.

El sistema de numeración

decimal tiene su origen en

los diez dedos de la mano.

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Resuelve

20 Completa la secuencia.

• V X XV XX

• III IX XV XXI

21 Completa la siguiente tabla.

Sistemas de

numeración

Decimal 2.124 3.010

Romano DCCIV CMLVI MXC

22 Escribe el número que representa.

4 c, 7 d, 1 u = 6 u de mil, 3 d, 4 u =

8 d de mil, 2 u de mil = 5 c de mil, 8 u de mil, 9 d =

23 Escribe el desarrollo decimal de cada número.

25.315 = 12.004 =

132.032 = 400.612 =

24 Completa escribiendo el número correspondiente.

= 2 · 103 + 3 · 102 + 5 · 10 + 6

= 5 · 103 + 4 · 10 + 2

= 9 · 104 + 5 · 102 + 1 · 10

= 4 · 104 + 7 · 103 + 8 · 102 + 3

25 Realiza las agrupaciones necesarias para escribir en base 4 la cantidad expresada

por puntos en cada caso.

a) •

• •

• • •

b) • •

• • •

• • •

c) • • •

• • • •

• • • •

d) • • • • • •

• • • • • •

• • • • • •

• Romano - No posicional - No usa cero - Es aditivo

• Decimal - Posicional - Los símbolos básicos se agrupan en unidades de 10 en 10 (base 10)

• Binario - Posicional - Los símbolos básicos se agrupan en unidades de 2 en 2 (base 2)

Un sistema de numeración es posicional porque además del valor que tiene en sí mismo cada símbolo básico, este tiene también un valor que depende de la posición que ocupa en la representación del número.

Sistemas de numeración

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16 Matemática 1

1 Resuelve las siguientes sumas algebraicas y comprueba con la calculadora

los resultados que obtuviste.

a) 50 – 16 – 1 + 8 + 6 + 4 – 7 =

b) 15 + 6 – 10 + 7 – 18 =

c) 696 + 50 – 44 – 39 + 15 – 9 =

d) 81 – 3 + 48 + 20 – 32 – 10 + 1 =

2 En cada una de las siguientes sumas algebraicas, tacha los términos que puedan

suprimirse y luego resuelve.

a) 18 + 1 – 9 + 5 + 7 – 9 + 8 – 5 + 4 – 1 =

b) 4 + 2 – 4 + 5 – 3 + 6 – 2 + 3 – 5 =

c) 3 + 6 + 4 – 5 + 1 – 4 + 10 – 6 – 5 + 3 =

3 Calcula.

a) {10 – [2 + (5 – 4) – 1] } –2 =

b) 45 + { [25 – (10 – 5) ] } =

c) (20 – 2) – { [ (12 – 3) + 1] – 4} =

4 Partiendo de 45 – 3 – 18 + 2 – 1 – 9 + 3 + 1,

a) calcula el resultado;

b) encierra el 2.do y el 3.er término en un paréntesis precedido por el signo menos; procede

del mismo modo con el 6.to y el 7.mo, de manera tal que al calcular el resultado, en este caso,

sea igual que en el ejercicio dado.

5 Separa en términos y resuelve.

a) 104 : 2 – 8 · 3 + 7 · 6 : 3 + 15 · 9 : 5 =

b) 10 · 20 · 30 – 50 · 5 + 4 · 10 · 100 =

c) 50 : 2 + 200 : 8 + 84 – (8 + 17) – 9 + 60 : 2 + 120 : 5 =

d) (10 – 5) · 4 – 2 · 8 + (4 – 3 + 2) · (15 – 4) =

e) (2 . 3 . 4 – 4 . 5) . (7 . 6 . 5 – 70) – (14 + 2 . 8) =

f) (15 · 4 – 30) · [25 – (10 + 5) ] =

g) 2 · {50 – 3 · [6 – 2 · (50 – 35 – 14) ] } =

h) {20 – [30 – 2 · (10 + 3) ] } + {4 · [2 · (6 – 1) ] } =

i) 625 : [5 – (5 – 1) ] – 5 · 2 · 50 + 6 · 5 : 15 – 3 =

j) 25 · (22 : 11) + 1.250 : 5 : 10 – 10 =

k) 192 : 2 + { [15 : 5 + (12 : 6) ] · 120} – 5 · 41 =

l) 8 · 6 : 4 : 2 + 1 + (3 + 9) · 5 – 2 · (23 –2) – 5 · (2 + 3) =

6 a) ¿Cuál es el dividendo?

Sabemos que el resto es inferior en una unidad al divisor, el cociente entero supera

en 2 unidades al divisor y el divisor es 5.

b) ¿Cuál es el resto?

Sabemos que el cociente es 3, el divisor supera al cociente en 2 unidades y el dividendo

es 6 veces el resto.

c) ¿Cuál es el resto?

Sabemos que el dividendo es igual a 26, el cociente igual a 4 y el divisor es el triple del resto.

El número cero ocupa

un papel primordial en la

historia del desarrollo de

la abstracción por parte

del ser humano.

Se dice que, si bien ya

aparecía en la cultura

de la India hace unos

17.000 años, solo hace

alrededor de 1.500 años

que fue incorporado

como cifra en los cálculos

matemáticos.

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7 ¿En qué cifra termina 820? ¿Y 329? Justifica tus respuestas.

8 Separa en términos y resuelve.

a) (30 : 3)2 – 4 : 2 – 2 + 43 = b) (63 – 82) – (100 : 10)2 + 520 =

c) 44 : 42 – 3 + (12 : 4 + 3)2 = d) (128 : 24)2 : 25 + (3 · 2)3 =

e) [2 + 5 · 32 + 33 + 24] : 2 – (23 + 100)0 = f) √125 – 4 + 20 : √100 =

g) 3√2 · 4 · 6 – 3√27 = h) √32 · 24 – (16 + 4 : 2) : 3 =

i) 3√1.000 + √121 – √64 : 4 = j) √22 · 2 + 1 – (2 : 2 + 2) =

k) √9 – (30 + 2) : (5 – 2) = l) (1 + √16)2 : 5 – 4√16 =

m) 52 · 24 : 4 + (2 · 3) 2 = n) (24 – 2 · 32 : 5√32) : 3 · 102 =

o) 3√27 (8 – 2)2 · √100 – 64 = p) √32 : 23 · (62 – 25) =

9 Encuentra el número de 4 cifras que debes escribir en el recuadro, teniendo en cuenta

las referencias.

a) 4 · √4

b) √25 : 5

c) Potencia cero de la raíz cuadrada de 121 disminuida en 3.

d) Número cuya raíz cuadrada aumentada en 6 da por resultado 8.

a) b) c) d)

10 Dado el número 22.109.791, escribe un número que sea:

a) mayor en 220 decenas; b) menor en 1.999 unidades;

c) menor en 18 centenas de mil; d) mayor en 21 decenas de millón.

11 ¿Cuántos números naturales expresados en sistema decimal son menores que…?

a) 1002 b) 1013

12 Escribe en sistema binario:

a) el mayor número de 4 cifras; ¿qué número decimal representa?

b) el menor número de 3 cifras; ¿qué número decimal representa?

13 Responde verdadero (V) o falso (F) y justifica.

a) 23 y 11.0002 son consecutivos. V F

b) 110.0102 y LII representan el mismo número. V F

c) 104 es múltiplo de 1.1012. V F

Las computadoras

“utilizan” el sistema

de numeración

binario, basado en la

combinación de los

números cero y uno (0

y 1). Cada valor binario

se denomina bit (binary

digit). Ocho bits forman

un byte.

El matemático alemán

del siglo XVII, Leibniz,

fue el primero en

proponer el uso de un

sistema binario para

realizar los cálculos.

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18 Matemática 1

1 Si a = 5 y b = 3, ¿cuáles de las siguientes expresiones representa un número par?

I. 3a + 5b II. a (a + b) III. b + 2a + a ∙ b

A) Solo I. B) Solo II. C) Solo III. D) Ninguna opción es V.

2 Si se triplica la expresión 32, se obtiene:

A) 33 B) 36 C) 92 D) Ninguna opción es V.

3 ¿Qué valor debe tener x para que √x2 = 8?

A) 64 B) 16 C) 8 D) 4

4 En numeración decimal, el número MCMLXII se escribe así:

A) 1.957 B) 2.157 C) 2.962 D) 1.962

5 El número 11.101 expresado en binario corresponde, expresado en decimal, a:

A) 30 B) 29 C) 31 D) Ninguna opción es V.

14 Completa el siguiente crucinúmero binario. (Las referencias están en sistema decimal.)

Horizontal: 1) 2 2) 5 4) 3 5) 9 6) 7

Vertical: 1) 15 2) 6 3) 23 4) 14

1 2 3

4

5

6

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Encuentra los números de esta multiplicación.

5 2 4× ✱ ●

◆ 0 ■ 83 ✿ ✿ 8

3 7 7 2 8

¿Cuántos números capicúa de 4 cifras hay?

Continúa la serie.

★★ º / \\ : # ★★ º /

1 2 3 4 5 6 7 8 9

¿Qué símbolo ocupa el lugar 43? ¿Y el lugar 1.997?

Si hay 1.000 símbolos; ¿cuál ocupa el último lugar?

¿Cuántas campanadas

da el reloj durante

un día completo?

(Solo da campanadas

cada hora.)

Completa las casillas vacías con los números del 1 al 6,

de modo que no se repita ninguna cifra en ninguna fila, ni

columna, ni región.

• Siempre que dos casillas llevan números consecutivos

están ligadas por un círculo. Si no hay círculo, los números

no son consecutivos.

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Irene Marchetti de De Simone

Margarita García de Turner

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Matemática 1

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Matemática 1. Introducción al pensamiento lógico y creativo

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