MATEMATICA I - ACTIVIDAD 6

Gustavo Fernndez

Parte A. Individual.Busqueyseleccioneen Internet (plataformas como Wikipedia, Youtube, Scribd, o bsqueda libre usando palabras clases en buscadores como Google, Google acadmica entre otros), informacin sobre grupo, subgrupo, grupo finito, homomorfismo entre grupos y ejemplos. Trate de no excederse de este temario. De ser necesario presente una sntesis propia.Luego,compartaen el foroPizarrn de laActividad 6citando la fuente de consulta. Cuando el tutor lo crea convenientepor considerar suficientes los aportes, deber publicar aqu debajo, en la ventana de Realizar actividad.Puntaje mximo: 10 puntos.Introduccin a los gruposEn lgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operacin que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operacin deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad y elemento inverso. Un grupo es unconjuntocombinado con unaoperacinPor ejemplo el conjunto delos enteroscon lasuma.Pero es ms complicado que eso. No podemos decir mucho si slo sabemos que hay un conjunto y una operacin. Qu ms podemos decir? Necesitamos ms informacin sobre el conjunto y la operacin. Por eso los grupos tienen que cumplir ms condiciones. Es decir, cumplen algunas propiedades.

Definicin formal de grupo:Un grupo es un conjunto G junto con una operacin * que cumple que: El grupo tiene unelemento neutro El grupo tieneinversos La operacin esasociativa El grupo escerradocon respecto a la operacin.

Vamos a verlas una a una:1. El grupo tiene un elemento neutro (tambin se le llama la identidad).Si usamos la operacin con el elemento neutro y otro elemento, siempre nos devuelve el otro elemento.Paralos enterosyla suma, el elemento neutro es "0" porque 5+0 = 5 y 0+5 = 5

Es decir, los otros elementos no cambian cuando se combinan con l.Slo hay un elemento neutro en cada grupo (pinsalo!)El smbolo para el elemento neutro ese, o a veces 0. Por eso tienes que empezar a pensar en 0 como un smbolo en lugar de un nmero. 0 es slo el smbolo de la identidad, igual quee. Se define as. De hecho, muchas veces los matemticos usan 0 en lugar de e porque es ms natural.Propiedad formal:Hay un elementoeen el conjunto G que cumple que a *e= a ye* a = a, para todos los elementos de G

2. El grupo tiene inversos. Si tomamos cualquier elemento en el grupo, hay otro elemento que cumple que al usar la operacin con ellos, obtenemose, la identidad.Paralos enterosyla suma, el inverso de 5 es -5 (porque 5 + -5 = 0)

De la misma manera, para los enteros negativos, los inversos son positivos. -5 + 5 = 0, as que el inverso de -5 es 5. De hecho, si a es el inverso de b, se cumple que b es el inverso de a.Los inversos son nicos. Por ejemplo, no existe ningn otro nmero x que cumpla que 5 + x = 0 aparte de -5.Fjate en que, aunque slo haya un elementoidentidadpara todos los elementos del grupo, cada uno tieneun inverso diferente.La notacin que se usa para los inversos es a-1. As que en el ejemplo de arriba, a-1= b. De la misma manera, si hablamos de enteros y la suma, 5-1= -5.Propiedad formal:Para cada a en G existe un b en G que cumple que a * b = e y b * a = e.

3. Asociatividad.Deberas haber aprendido lapropiedad asociativaantes, en lgebra bsica. Slo significa que no importa el orden en que hacemos varias operaciones encadenadas.a * (b * c) = (a * b) * c

Fjate en que sigue siendo a...b...c. Lo nico que cambia son los parntesis. Volveremos a esto luego...Propiedad formal:Para todos los a, b, y c en G, a * (b * c) = (a * b) * c

4. Cerrado con respecto a la operacin.Imagina que ests encerrado en una caja gigante. Como ests dentro, no puedes salir. De la misma manera, cuando tengas dos elementos cualquiera del grupo, no importa cules, la operacin no te sacar del grupo

Si tenemos dos elementos en el grupo, a y b, se tiene que cumplir que a*b est en el grupo. Esto es lo que significa cerrado. Se dice cerrado porque hacer operaciones no te saca del grupo.Igual que antes, los enteros y la suma cumplen esto. Si x e y son enteros, x + y = z, y entonces z tambin es entero.Propiedad formal:Para cualesquiera elementos a y b en G, a*b est en G

As que si tienes unconjuntoy unaoperacin, y se cumplen todas las condiciones que hemos explicado, lo que tienes es ungrupo.Definiciones formales:Un grupo es un conjunto G dotado de una operacin binaria que satisface los siguientes axiomas:

(G1) Operacin interna:x, y G, x y G(G2) Propiedad asociativa:x, y, z G, (x y) z = x (y z)

(G3) Existencia de elemento neutro:e G : g G, e g = g e = g(G4) Existencia de elemento inverso:g G, g1 G : g g1 = e = g1 gDefinicin : Se dice que un grupo (G, ) es abeliano si para todos x, y G se cumple x y = y x.Definicin: Sea (G, ) un grupo. Se llama orden de (G, ) al cardinal |G| del conjunto subyacente. Se dice que (G, ) es finito si dicho cardinal lo es, e infinito en caso contrario.

La hora de los ejemplos!Ejemplo 1: Suma y {0}Bueno, este ejemplo es un poco raro. Vamos a ver los cuatro pasos de todas maneras. Busquemos la identidad. Bueno, eso es fcil. Si sumamos 0 a cualquier cosa en el grupo, sale 0, porque es el nico elemento que existe. Es decir, 0 + 0 = 0, y ya tenemos la identidad.Ahora necesitamos encontrar inversos. Bueno, slo tenemos un elemento. Cul es el inverso de 0? Queremos que 0 + 0-1= 0. Bien, 0 + 0 = 0, as que 0-1= 0. Como esos eran todos los elementos, ya est.Asociativa? a + (b + c) = (b + c) + a? Bueno, como slo hay un elemento, a = b = c = 0. Es verdad que 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0? Claro.Finalmente, es cerrado? Si tomamos cualesquiera elementos a y b, a + b est en el grupo? Cmo slo hay un elemento, a = 0 y b = 0. Est 0 + 0 en el grupo? Claro que s. As que es cerrado.As que {0}es un grupo con respecto a la suma.Ejemplo 2: Multiplicacin y {-1, 1}De vuelta a los cuatro pasos. Primero, hay una identidad? Bueno, esto es fcil porque slo hay tres posibilidades: -1 es la identidad, 1 es la identidad, o no hay.1*-1 = -1 y -1*1 = -1. Tambin 1*1 = 1. As que parece que 1 es la identidad. Nos lo podamos haber imaginado.Ahora buscamos inversos. Si tenemos a en el grupo, tenemos que encontrar a-1que cumpla a * a-1= 1 (o tambin podemos escribir e). Empezamos por 1.1 * 1 = 1, as que si a = 1, a-1= 1 tambin. Ahora, -1 * -1 = 1. As que si a = -1, a-1= -1 tambin! Como hemos encontrado inversos para todos los elementos del grupo, la segunda parte est completa.Es asociativo? a * (b * c) = (a * b) * c. Bien, como slo hay 2 nmeros, podemos probar todas las combinaciones. Si realmente quieres, puedes hacerlo. Pero debera estar bastante claro que es verdad.Finalmente, es cerrado? 1*1 est en el grupo? S. Y 1 * -1? S. Y -1 * -1? S. Y la ltima, -1 * 1? Claro. As que es cerrado con esta operacin.Y terminamos! {-1, 1}es un grupo con respecto a la multiplicacin.Ejemplo 3: los enteros y la sumaPiensa en los enteros. Cul es la identidad cuando sumas enteros? Queremos encontrar un e que cumpla a + e = e + a = a. Vale, ya lo sabas.0 es la identidad. Esto es porque a + 0 = 0 + a = a, para cualquier entero a.Siguiendo con los enteros, digamos que tenemos un nmero a. Puedes encontrar su inverso? Es decir, existe un a-1que cumple que a + a-1= a-1+ a = e? Por ejemplo, 5 + 5-1= 0? Qu nmero es 5-1? La respuesta es-5. Siempre es verdad que a + -a = e, para los enteros.Si sumamos dos enteros, la suma es un entero? S. As que es cerrado.Finalmente, a + (b + c) = (a + b) + c? S! As que ya ves,los enteros son un grupocon respecto a la suma.Ejemplo 4: Enteros y multiplicacinVolvamos a los cuatro pasos. Primero hay que encontrar la identidad. As que queremos que a * e = e * a = a. Por ejemplo 5 * e = 5. Qu sera e? 1, claro.Ahora tenemos que averiguar si los enteros con la multiplicacin tienen inversos. As que si tomamos un entero a, podemos encontrar a-1que cumpla a * a-1= e? Probamos otra vez con 5: 5 * 5-1= 1. Qu es 5-1? Es 1/5.Pero no es entero! Ahhhh! No todos los enteros tienen inversos multiplicativos, as queno puedenser un grupo con respecto a la multiplicacin.Hemos visto que con una operacin, los enteros son un grupo, y con otra operacin no.Para qu grupos?Qu nos importan los grupos? Bueno, es una pregunta difcil de contestar. No porque sea una pregunta mala, sino porque las aplicaciones de los grupos son muy avanzadas.Por ejemplo, se usan en las tarjetas de crdito para asegurarse de que los nmeros son correctos cuando se envan.Se usan en las sondas espaciales para saber si los datos que mandan tienen errores, y para corregirlos. Hasta se pueden usar para decir qu polinomios tienen soluciones que podamos calcular.Aqu tienes una buena razn:Resolver ecuacionesResulta que las propiedades especiales de los grupos estn muy relacionadas con soluciones de ecuaciones. Si tenemos a*x = b, donde a y b estn en un grupo G, las propiedades del grupo nos dicen que slo hay una solucin x, y que esa solucin tambin est en G.a * x = b

a-1* a * x = a-1* b

(a-1* a) * x = a-1* b

(e) * x = a-1* b

x = a-1* b

Como a-1y b estn en G, a-1* b tambin debe estar en G.Tambin, como el operador * est bien definido, la solucin debe ser nica. Si no, el operador no estara definido con exactitud, verdad?Un tipo especial de grupos: abelianos:Si a * e = a, no significa que e * a = a?Y tambin, si a * b = e, no es verdad que b * a = e?Bueno, de hecho, s que lo son. Pero hay que tener cuidado porque en general, no es verdad quea * b = b * a. Cuando es verdad que a * b = b * a para todos los a y b en el grupo, llamamos a ese grupo abeliano.Esto se cumple para los enteros con la suma, y por eso decimos que el grupo de los enteros con la suma es un grupo abeliano.

Subgrupo:Enlgebra, dado ungrupoGcon unaoperacin binaria*, se dice que unsubconjuntono vacoH deGes unsubgrupodeGsiHtambin forma un grupo bajo la operacin *. O de otro modo,H es un subgrupo deGsi larestriccinde * aHsatisface los axiomas de grupo.1Unsubgrupo propiode un grupoGes un subgrupoHque es unsubconjunto propiodeG(es decirHG). Elsubgrupo trivialde cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en elelemento identidad.El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operacin * cuandoGlleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convencin usual y se escribe el productoa*bcomo simplementeab.

Definicin formal de un subgrupo:Seanungrupoy. El grupose llamaSubgrupodesi y slo si:2 Hcontiene alelemento identidaddeG:. la operacin binaria es cerrada enH:. Hcontiene loselementos inversos:.Las dos ltimas condiciones pueden expresarse de forma equivalente en una sola:3 .En el caso queHseafinito, es suficiente queHsea cerrado bajo producto, puesto que la existencia de los inversos se sigue automticamente en ese caso.4La operacin binaria es siempreasociativaenHpuesto que es asociativa para todas las ternas de elementos deG, y todos los elementos deHpertenecen aG.5

Otra definicin de Subgrupos:Definicin: Dado un grupo (G, ) y un subconjunto H G, se dice que (H, ) es un subgrupo de (G, ), y se denota (H, ) (G, ), si H es un grupo con respecto a la operacin definida en G.Definicin: Sea (G, ) un grupo. Los subconjuntos G y {e} reciben el nombre de subgrupos impropios de G. El resto de subgrupos de G reciben el nombre de subgrupos propios de G.

Grupos finitos:Enmatemticasylgebra abstracta, ungrupo finitoes ungrupocuyoconjuntofundamentalGtiene un nmero de elementosfinito. Durante el siglo XX, los matemticos han investigado ciertos aspectos de la teora de grupos finitos en gran profundidad, especialmente lateora localde grupos finitos, y la teora degrupos resolublesygrupos nilpotentes. Una completa determinacin de la estructura de todos los grupos finitos es demasiado ambiciosa; el nmero de posibles estructuras pronto se convierte en abrumadora. Sin embargo, la clasificacin completa de grupos finitos simplesse ha podido conseguir, lo que significa que los bloques de construccin con los cuales todos los grupos finitos pueden ser construidos se conoce ahora, ya que cada grupo finito tiene unaserie de composicin.Durante la mitad del siglo XX, matemticos tales comoClaude ChevalleyyRobert Steinbergtambin incrementaron el entendimiento de los anlogos finitos de losgrupos clsicos, y otros grupos relacionados. Una de estas familias de grupos es la familia de losgrupos generales linealessobrecuerpos finitos. Los grupos finitos tambin surgen cuando se considera lasimetrade objetos matemticos o fsicos, cuando esos objetos admiten slo un nmero finito de transformaciones que preservan la estructura. La teora de losgrupos de Lie, que puede ser vista como un trato con la simetra continua, est fuertemente influenciada por losgrupos de Weilasociados. Hay grupos finitos generados por reflexiones que actan sobre unespacio eucldeode dimensin finita. Las propiedades de los grupos finitos pueden as jugar un papel importante en reas como lafsica tericayqumica.

HomomorfismoEnmatemticas, unhomomorfismo(o a veces simplementemorfismo) desde un objeto matemtico a otro con la mismaestructura algebraica, es unafuncinque preserva las operaciones definidas en dichos objetos.Homomorfismos de grupos:Definicin:Sean (G1, ),(G2, ?) grupos, y sea f : G1 G2 una aplicacin entre ellos. Se dice que f es un homomorfismo de grupos si f(x y) = f(x) ? f(y)Un homomorfismo inyectivo recibe el nombre de monomorfismo; un homomorfismo suprayectivo, epimorfismo; un homomorfismo biyectivo, isomorfismo; y un isomorfismo de G en si mismo, automorfismo.Si existe un isomorfismo entre (G1, ) y (G2, ?), se dice que ambos grupos son isomorfos, y se denota (G1, ) = (G2, ?).

Otra definicin:Seanydossistemas algebraicosdel mismo tipo, dondeson conjuntos yson las operaciones algebraicas definidas en dichos conjuntos.Una funcines un homomorfismo si verifica:para cada i=1,...,k y.

Los grupos son conjuntos que tienen definida una operacin con neutro y en que cada elemento tiene inverso.Por lo tanto, sisongrupos, segn la definicin una funcines unhomomorfismo de grupossi:1. para todo par de elementos;2. , siendolos neutros dey;3. para todo.

EjemplosLafuncin exponenciales un homomorfismo de grupos entre losnmeros realesbajo laadiciny el grupo multiplicativo de los reales no nulos (excluido el 0):

dado queLa imagen de la funcin exponencial es el subgrupo de los nmeros reales positivos, y el ncleo es solo el elemento identidad (el 0), ya que la aplicacin es inyectiva.

La funcindeterminante, definida sobre el grupo multiplicativo de matrices invertibles (grupo general lineal) en los nmeros reales no nulos, es un homomorfismo de grupos:

dado que.