MATEMATICA 1

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2012-I

Semana Nº 17 SOLUCIONARIO Pág. 18

1. En un determinado mes se produjeron 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles. En el mes anterior hubo solo cuatro domingos. Entonces, el próximo mes incluirá necesariamente

A) 5 domingos. B) 5 miércoles. C) exactamente 4 viernes. D) exactamente 4 sábados. E) exactamente 4 jueves. Resolución: 1) El mes determinado es la que se muestra (marzo). Observe que el mes anterior

es febrero.

Lu Ma Mi Ju Vi Sa Do

2) El próximo mes es la que se muestra (abril).


3) Por tanto el próximo mes incluirá necesariamente: exactamente 4 sábados

Clave: D

COREi7

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2. En un año bisiesto se cuentan los días de la semana y se observa que hay más jueves y viernes que los demás días. ¿Qué día de la semana es el 15 de junio de ese año?

A) martes B) jueves C) lunes D) miércoles E) domingo Resolución:

Dado que un año bisiesto tiene 366 días =52 semanas y 2 días. Debemos empezar con jueves y viernes:

1 de enero es jueves 2 de enero es viernes Así sucesivamente hasta llegar al 15 de junio. Total =30+29+31+30+31+15 = 166 = múltiplo(7) + 5 = martes Por lo tanto es martes 15 de junio

Clave: A

3. Considerando que hoy es lunes y que (2 )1n n días atrás, fue miércoles, ¿qué día

será luego de 1(2 )n n días?

A) martes B) jueves C) lunes D) viernes E) miércoles

Resolución:

Retrocediendo desde lunes, hasta miércoles: 0

(2 )1 7 5n n

Entonces: 0

120 1 7 5n 4n

Luego, debe de pasar: 0

184 7 2

Será miércoles.

Clave: E

4. La fiesta de HLM se realizó el día 14 de junio, un sábado del año bisiesto 2008. ¿Cuántos años tienen que pasar, a partir de ese momento, para que el 14 de junio sea nuevamente sábado?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Resolución: 1) Tenemos el siguiente proceso consecutivo:

Año Tipo de año Día 14 de junio:

2008 Bisiesto Sábado

2009 Normal Domingo

2010 Normal Lunes

2011 Normal Martes

2012 Bisiesto Jueves

2013 Normal Viernes

2014 Normal Sábado

2) Por tanto pasarán 6 años para que el 14 de junio sea sábado nuevamente.

Clave: C



5. Juan, el martes 11 de marzo de 1975, cumplió una edad que es igual a la suma de los dígitos del año en que nació. ¿Qué día de la semana nació?

A) jueves B) viernes C) sábado D) domingo E) lunes Resolución:

a=5 y b=5 Nació en 1955 del 11 de marzo 1975 a 11 marzo 1955 años transcurridos = 20 años bisiestos = 5

d.t = 20 + 5= 25 = 0

7 4

martes – 3 = viernes Clave: B

6. Otto von Bismarck-Schönhausen fue político prusiano, artífice y primer canciller del

segundo Imperio Alemán o Segundo Reich. Bismarck nació en Schönhausen, al noroeste de Berlín, el 1 de abril de 1815. ¿Qué día de la semana nació Bismarck, si el 1 de abril de 2012 fue domingo?

A) sábado B) jueves C) lunes D) viernes E) martes

Resolución:

Contaremos días transcurridos hasta abril del 2012 Años transcurridos = 2012 - 1815 = 197

Años bisiestos = 494

18162012

Días transcurridos serán: 197 + 49 = 246 = 0

7 1

Luego el 1 de octubre de 1815 es sábado. Clave: A 7. Sir Andrew John Wiles nació en Cambridge, Inglaterra, el 11 de abril de 1953; es un

matemático británico que alcanzó fama mundial en 1993 por la demostración del último teorema de Fermat. Si el 11 de marzo de 2012 fue domingo, ¿qué día de la semana nació Sir Andrew John Wiles?

A) sábado B) domingo C) lunes D) martes E) miércoles Resolución:

11 de marzo de 2012 domingo entonces + 31 días transc.= 0

7 3 11 de abril 2012 miércoles del 11 de abril 2012 al 11 de abril 1953 años transcurridos = 59 bisiestos transcurridos = 15

d.t = 59 + 15 = 74 = 0

7 4 miércoles – 3 = Sábado

Clave: A



8. Alejandro Romualdo, reconocido poeta peruano de la generación del 50, nació el 19 de diciembre de 1926. Entre sus publicaciones destaca “Canto coral de Túpac Amaru” con su famoso verso que dice: “Y no podrán matarlo”. El 29 de febrero de 2012 fue miércoles; halle qué día nació, si murió el 27 de mayo 2008.

A) martes B) lunes C) domingo D) jueves E) viernes

Resolución: Nació: Día/19/12/1926 El 29/02/2012 fue miércoles veamos que día fue 19/12/2011:

Días trascurridos: 0

72 7 2 , entonces fue un día lunes.

Ahora veamos del 19/12/1926 al 19/12/2011: Años trascurridos: 85 Años bisiestos (1928,…., 2008) = 21


85 21 106 7 1 Romualdo nació un día domingo.

Clave: C 9. Un capataz tiene por orden realizar una obra en 30 días. Al iniciar la obra con 10

obreros trabajando 6 horas diarias, en 20 días realizan el 50% de la obra. ¿Cuántos obreros debe contratar adicionalmente, si aumenta la jornada a 8 horas diarias para terminar la obra a tiempo?

A) 5 B) 6 C) 58 D) 15 E) 10

Resolución:

Obreros h/d días obra

10 6 20 50%

10 + x 8 10 50%

%50

%50x

20

10x

6

8

x10

10

luego x = 5

Clave: A

10. Una obra se comenzó con n obreros y a partir del segundo día se despide un obrero cada día, hasta que quedó solo 1 obrero con quien se concluyó la obra. Si el primer día se hizo un noveno de la obra, ¿en cuántos días se terminó la obra?

A) 17 B) 16 C) 18 D) 19 E) 20

Resolución:

n obreros hicieron 9

1 de la obra en 1 día, entonces los n obreros realizarán toda la

obra en 9 días.

Método: todo – parte

9(n) = 1(n) + 1(n – 1) + 1(n – 2) + …. + 1(1)



9n = 2

)1n(n luego n = 17

concluyeron la obra en 17 días.

Clave: A

11. ¿De cuantas maneras se pueden ubicar en un tablero de ajedrez que consta de 8x8

cuadriculas una ficha blanca en un casillero blanco y una ficha negra en un casillero

negro que no estén en una misma línea horizontal ni vertical?

A) 780 B) 712 C) 815 D) 768 E) 1024 Resolución:

En un tablero de ajedrez hay 32 casilleros blancos y 32 casilleros negros. En cada fila vertical u horizontal hay 4 casilleros blancos y 4 casilleros negros.

Al colocar una ficha blanca en cualquier casillero blanco (32 posibilidades) eliminamos todos los casilleros negros que estén en línea vertical y horizontal, es decir eliminamos 4 casilleros negros verticales y 4 casilleros negros horizontales quedando solo 32 – 8 = 24 casilleros negros.

Por tanto: (32)(24) = 768 Clave: D

12. En el concurso de matemáticas organizado por el CEPUSM en un salón rindieron el

examen un total de 24 alumnos y no pasaron a la siguiente fase (fase final) tantos alumnos como la mitad de los que sí pasaron. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate? Indique como respuesta la suma de cifras del resultado obtenido.

A) 7 B) 12 C) 15 D) 18 E) 11 Resolución: Del problema se tiene: Pasaron: 16 No pasaron: 8 Luego el # de formas es: 16x15x14 = 3360

Clave: B

13. El siguiente recipiente de base cuadrangular contiene 16 m3 de agua. Luego se

vierte al recipiente una cierta cantidad de agua, de tal forma que el recipiente queda totalmente lleno. Se pide calcular el volumen del agua añadido.

A) 26 m3

B) 30 m3

C) 35 m3

D) 36 m3

E) 38 m3



Resolución: Vo = volumen inicial V = volumen de agua añadido Vr = volumen del recipiente Por semejanza de pirámides:

3 3

3 3

2 16 254

3 3

or

r r

VV

V V

Por tanto: V = Vr - Vo = 54 – 16 = 38

Clave: E

14. En la figura mostrada, ABCD-EFGH es un prisma recto cuyas bases son regiones cuadradas. Si M es punto medio, calcule la razón entre los volúmenes de la pirámide H – BMN y el prisma.

A) 1

18

B) 1

9

C) 1

6

D) 1

14

E) 1

20

Resolución:

pirámide

(2U)hV

3

prismaV (12U)h

Por tanto: pirámide

prisma

V 1

V 18

1. En enero de un cierto año hubo 4 martes y 4 sábados. ¿Qué día de la semana fue el

9 de enero de ese año? A) lunes B) martes C) miércoles D) jueves E) viernes



Resolución:

1) Se tiene el mes de enero:


1 2 3 4 5

12

19

26

31

6

13

20

27

7 8 9 10 11

14 15 16 17 18

21 22 23 24 25

28 29 30

Enero

2) Por tanto 9 de enero fue Jueves.

Clave: D

2. Si el ayer de n días después del pasado mañana de mañana, coincide con el

mañana de 2n días después de ayer, ¿qué día de la semana fue nn días antes de

ayer, si pasado mañana es domingo?

A) lunes B) martes C) domingo D) jueves E) sábado

Resolución:

...Hoy

2n

n Del gráfico: 2n + 1 = n + 4 → n = 2

Si pasado mañana es domingo, el día de ayer fue jueves y 4 días antes fue domingo.

Clave: C 3. El viernes 7 de diciembre del 2012 se celebrará una misa muy especial, la familia de

Diego se reunirá en la iglesia para conmemorar 110 años de la muerte de su tatarabuelo. ¿Qué día de la semana falleció el tatarabuelo de Diego?

A) viernes B) sábado C) lunes D) domingo E) martes

Resolución:

2012 – 110 =1902 1902, 1903, 1904, ……, 2012 # de bisiestos = (2012-1904)/4 + 1=28 # de días transcurridos = 110+28=138=7(19)+5 Día pedido = viernes – 5 = domingo

Clave: D 4. Charles Darwin, llamado padre de la teoría de evolución, nació el 12 febrero de

1809. En 1859 publico su libro “El origen de las especies” donde formuló que todas las especies de seres vivos, han evolucionado mediante un proceso de selección natural que consiste que miembros de una población con características más adaptables sobreviven,….Murió el 19 de abril de 1882. Hallar el día que murió si el 29 de febrero de 2012 fue miércoles.

A) Sábado B) jueves C) domingo D) viernes E) miércoles



Resolución: Como por dato tenemos que: miércoles 29/02/2012

Días transcurridos para 19/04/2012: 0

50 7 1 y debe ser jueves Murió: día 19/04/1882 y es jueves 19/04/2012 Años trascurridos: 130 Años bisiestos: 33 – 1 = 32


130 32 162 7 1 C. Darwin murió un día miércoles.

Clave: E 5. Una cuadrilla de 12 obreros puede terminar una obra en 15 días, trabajando 10

horas diarias. Al cabo de 7 días de labor se enferman 5 de los obreros, 3 días más tarde, se comunica al contratista que termine la obra a tiempo. ¿Cuántos obreros adicionales tendrá que contratar para cumplir en el plazo fijado?

A) 8 B) 10 C) 9 D) 11 E) 7

Resolución:

Método: todo – parte

15 x 12 x 10 = 7 x 12 x 10 + 3 x 7 x 10 + 5 (7 + x) 10

Luego x = 8

Contrata adicionalmente 8 obreros.

Clave: A

6. Un grupo de obreros pueden terminar una obra en 13 días, trabajando 6 horas diarias. Después de 3 días de trabajo se determinó que la obra quedase terminada 4 días antes del plazo inicial y para lo cual se contrata 5 obreros más y todos trabajan 8 horas diarias; terminando la obra en el nuevo plazo fijado, ¿con cuántos obreros se inició dicha obra?

A) 20 B) 18 C) 21 D) 22 E) 24

Resolución:

Método: todo – parte, X = Nro. De obreros al inicio.

13(x) (6) = 3 (x) (6) + 6 (x + 5) (8)

x = 20

Clave: A

7. Víctor invita al cine a su novia y a tres de sus amigas al cine, si los asientos son filas

de 5 butacas cada una y todos se deben sentar en la misma fila; entonces las afirmaciones siguientes son:

- Los 5 podrán ubicarse de 25 maneras diferentes - Si Víctor se sienta siempre en el medio, se podrán ubicar de 24

maneras diferentes - Podrán ubicarse de 48 formas diferentes, si Víctor se sienta junto a su novia.

A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) FFV



Resolución:

Como son 5 personas, el 1º 5 posibilidades, el 2º 4 posibilidades, el 3º 3 posibilidades, el 4º 2 posibilidades, el 5º 1 posibilidad. Es decir

5x4x3x2x1=120. Así la afirmación 1 es falsa.

Al ubicarse en el medio Víctor quedan 4 disponibles 4x3x2x1=24 por tanto la afirmación 2 es verdadera.

Víctor y su novia, se pueden contar como uno solo, luego 4x3x2x1=24 y entre Víctor y su novia pueden intercambiar posiciones. Es decir 2x24=48. Así la afirmación 3 es verdadera.

Clave: D

8. Una familia que se encuentra en Lima desea visitar a unos parientes que se

encuentran en Puno, se dan cuenta que tienen dos formas de llegar: A) Lima –(6 carreteras)– Junín –(5 carreteras)– Cusco –(3 carreteras)– Madre de

Dios –(4 carreteras)– Puno. B) Lima –(4 carreteras)– Huancavelica –(5 carreteras)– Ayacucho –(9 carreteras)–

Apurímac –(5 carreteras)– Cusco –(5 carreteras)– Puno.

¿De cuantas maneras diferentes la familia se puede trasladar para llegar a Puno tomando cualquiera de las dos rutas propuestas? Indique como respuesta la suma de cifras de dicho resultado.

A) 18 B) 15 C) 21 D) 22 E) 16 Resolución: El número de formas en cada caso es:

A) 6x5x3x4=360

B) 4x5x9x5x5 = 4500

Luego el total es = 4860

Clave: A

9. Un profesor de matemática de una Institución Educativa asigna un problema de

Geometría a Perico para que calcule el volumen del prisma recto que se muestra en la figura. Si la arista lateral mide 20cm y Perico resolvió el problema, ¿cuál es el volumen del prisma?

A) 35320cm

B) 35400cm

C) 34440cm

D) 33910cm

E) 34980cm



Resolución:

BC 39 AB

ANM ABC : BC 15 y AB 365 13 12

Volumen=

36 15

( )(20) 54002

Clave: B

10. Se funde una bola de plomo de 3 cm de radio para obtener luego bolitas del mismo

material, con radio de 1 cm cada una. ¿Cuántas bolitas, como máximo se obtendrán?

A) 27 B) 30 C) 35 D) 26 E) 28

Resolución: Sea n el número de bolitas obtenidas. Como los volúmenes de la esfera original y la suma de las n pequeñas, deben ser iguales tenemos:

27n)1(3

4n)3(

3

4 33

Clave: A

Aritmética

1. Si 35

132

2)!(2x

2)!(xx!

1)!(x1)!(x

(2x)!

- , halle (x – 1)!

A) 120 B) 720 C) 24 D) 6 E) 2 SOLUCION:

(2x)(2x 1)(2x 2)! x(x 1)!(x 2)! 132

(x 1)!(x 2)!(x 1)x(x +1) (2x 2)! 35

x(2x 1) 66x = 6 (x 1)!= (6 1)!=120

(x 1)(x +1) 35

CLAVE: A

2. De un juego de 52 naipes se extrae al azar tres de ellas. Halle la cantidad de

maneras de extraer al menos un as A) 4 804 B) 4 200 C) 4 400 D) 4 800 E) 4 600



SOLUCION

X = # de ases 4 48 4 48 4 48

1 2 2 1 3 0x 1 C C C C C C 4804

CLAVE: A 3. En una reunión hay 4 estudiantes y 10 profesores. ¿Cuántas comisiones de 5

personas pueden formarse, si en cada una de ellas participan a lo más 2 alumnos?

A) 1 800 B) 1 812 C) 1 821 D) 1 802 E) 1 281 SOLUCION

#E = 4; #P = 10 4 10 4 10 4 10

0 5 1 4 2 3C C C C C C 1812

252 + 840 + 720 CLAVE: B

4. Un estudiante debe responder obligatoriamente 8 de 10 preguntas enumeradas

de un examen. Si tiene que elegir al menos 4 de las cinco primeras, halle la cantidad de maneras, como podría responder dicho examen

A) 25 B) 38 C) 30 D) 36 E) 35 SOLUCION _ _ _ _ _

n = 8 5 5 5 5

4 4 5 3C C C C 25 10 35

CLAVE: E 5. Con las letras de la palabra “MATEMATICO” ¿Cuántas permutaciones se

pueden formar con la condición de que las letras iguales estén equidistantes de los extremos?

A) 1440 B) 1220 C) 1430 D) 1600 E) 1340 SOLUCION MATEMATICO MAT_ _ _ _ TAM # formas = 5.4.3.4! = 1440

CLAVE: A 6. El capataz de un grupo de 20 obreros que construyen el tren eléctrico, pide

aleatoriamente, la opinión a tres de ellos sobre las nuevas disposiciones de seguridad en la construcción. Si 12 están a favor y 8 están en contra, ¿cuántos resultados posibles obtendrá el capataz de dicho sondeo?

A) 1 140 B) 1 104 C) 1 100 D) 1 401 E) 1 144 SOLUCION

# FAVOR = 12 # CONTRA = 8 12 8 12 8 12 8 12 8

3 0 2 1 1 2 0 3C C C C C C C C 1140

CLAVE: A

_ _ _ _ _



7. Benito solo puede jugar a la ruleta 5 veces donde ganará o perderá S/. 1 000 en cada juego. Si empieza a jugar con S/. 2 000 y dejará de jugar a la quinta vez ó si pierde todo su dinero ó si gana S/. 3 000, esto es si completa los S/. 5 000. Halle el número de formas como puede suceder el juego

A) 30 B) 20 C) 40 D) 50 E) 25 SOLUCION Total de casos: 25

Casos que culminan: Falta GGG 4 GPPP 2 PGPP 2 PP 8 16 juegos TOTAL: 32 – 16 + 4 = 20

CLAVE: B

8. En el número capicúa de 15 cifras ATINAANITALAVAL . ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con sus dígitos, teniendo en cuenta que todas las vocales siempre deben estar juntas, lo mismo que las consonantes?

A) 35 200 B) 35 208 C) 35 820 D) 35 280 E) 35 802 SOLUCION

# permutaciones = 2!. 8 7

6;2 2;2;2P .P = 8! 7!

2 . 352807!2! 2!2!2!

CLAVE: D

9. ¿Cuántos productos diferentes se pueden obtener con los números naturales del 33 al 41, ambos inclusive, tomándolos de tres en tres?

A) 84 B) 648 C) 5 040 D) 48 E) 468 SOLUCION

9

3C 84

CLAVE: A

10. Willy, Lucho, José, Pedro, Sandra y Karina van al teatro y deben ubicarse en una fila de seis asientos. Si Sandra y Karina deben ubicarse en los dos asientos del centro, ¿de cuántas maneras diferentes podrán acomodarse?

A) 120 B) 24 C) 48 D) 12 E) 6 SOLUCION _ _ S K _ _ 4!2! = 48

CLAVE: C

11. Una grupo de turistas debe realizar un viaje de excursión, para el cual cuentan con tres vías para poder hacerlo; partiendo en tren, continuando en ómnibus y para llegar a su destino en avión. Si hay 5 rutas para el tren, 3 para el ómnibus y 2 para el avión, ¿de cuántas maneras diferentes podrán decidir el viaje?

A) 30 B) 10 C) 12 D) 24 E) 48



SOLUCION TREN OMNIBUS AVION A M B X # FORMAS: 5.3.2 = 30 C N D Y E P

CLAVE: A

12. ¿Cuántos números mayores de 5 000 pueden formarse con los dígitos 1, 2, 4 y 5? A) 24 B) 12 C) 6 D) 120 E) 240 SOLUCION 5 _ _ _ = 6 3.2.1

CLAVE: C

A) 924 B) 936 C) 926 D) 928 E) 920 SOLUCION

2 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 6 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 12 12

10 9;2 10P P P 924

CLAVE: A

2. De cuántas maneras se pueden sentar tres hombres y tres mujeres alrededor

de una mesa circular de seis asientos, sino debe haber dos mujeres juntas ni dos hombres juntos?

A) 6 B) 12 C) 10 D) 4 E) 16 SOLUCION

C

3 3P .P 2!3! 12

CLAVE: B

3. ¿Cuántos números de tres cifras menores que 436 pueden obtenerse con los dígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7?

A) 187 B) 197 C) 166 D) 162 E) 192

1. ¿Cuántos números de 12 cifras tienen como productos de cifras a 12?.



SOLUCION

______

abc

1 1 1

2 2 2

. .

. .

3 7 7 entonces 3.7.7 = 147

4 1 7 = 7

4 2 7 = 7

4 3 5 = 5 Por lo tanto 147 + 7 + 7 + 5 = 166

CLAVE: C

4. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden obtener permutando, tres asteriscos, tres puntos y cuatro líneas verticales?

A) 2100 B) 4800 C) 10400 D) 4200 E) 720 SOLUCION

* * * . . . | | | | 10

4;3;3P 4200

CLAVE: D

5. Se quiere pintar una bandera que tiene cinco franjas horizontales y para ello dispone de cuatro colores diferentes. Si dos franjas contiguas no pueden pintarse de un mismo color, ¿de cuantas maneras diferentes se puede pintar la bandera?

A) 360 B) 512 C) 340 D) 1024 E) 324 SOLUCION

Total = 4.34 = 324

C1

3

3

3

3

CLAVE: E



6. Tres parejas de esposos que asisten al teatro desean sentarse en una fila con ocho asientos desocupados ¿de cuantas maneras pueden sentarse si cada pareja quieren estar juntos? A) 480 B) 960 C) 360 D) 420 E) 512

SOLUCION

_ _ _ _ _ _ _ _ 5 3

2

5.4.3.2!P .2 .8 480

2!

CLAVE: A

7. Con las letras de la palabra “MARACUYA” ¿Cuántas permutaciones pueden realizar si las vocales deben estar juntas? A) 620 B) 480 C) 720 D) 600 E) 512

SOLUCION

AAAUMRCY 5! 4

3P = 120.4 = 480

CLAVE: B

8. De cinco hombres y ocho mujeres cuantas parejas mixtas se pueden formar si Juan se niega a formar pareja con María y Rosa A) 60 B) 48 C) 38 D) 124 E) 96

SOLUCION H = 5; M = 8 # Parejas = 8.5 – 2 = 38

CLAVE: C

9. Si las consonantes de la palabra “UNIVERSITARIA” ocupan la misma posiciones, de ¿Cuántas maneras pueden permutar las vocales? A) 960 B) 840 C) 780 D) 420 E) 920

SOLUCION

IIIAAUE 7

3;2P 420

CLAVE: D

10. Se tiene cuatro libros diferentes de física y tres libros diferentes de matemática ¿de cuántas maneras se podrá ubicar en un estante para cinco libros y deben estar en forma alternada?

A) 256 B) 240 C) 144 D) 320 E) 216



SOLUCION

F = 4; M = 3

F M F M F

M M M F M 4.3.2.3.2 + 3.2.1.4.3 = 144 + 72 = 216 CLAVE: E

Álgebra

1. Si a,2,b,4,b,2a,3,a,4,2f es una función, hallar

6f .

A) – 1 B) – 2 C) – 3 D) – 4 E) – 5 Solución:

36f

3bb4f,34f

4aa2fy42f

a,2,b,4,b,2a,3,a,4,2f

Clave: C

2. Hallar el rango de la función 2,2xsi,1xxxf .

A) 0,3 B) 2,3 C) 1,3 D) 1,3 E) 1,0

Solución:

1,311,3fRanLuego

1y3

11x23

0x24

0x2Como

2,0xSi,1

0,2xSi,1x2xf

2,2x,1xxxf

Clave: D



3. Hallar el mínimo valor de la función f tal que 9x12x3xf 2 .

A) 3 B) – 3 C) – 4 D) – 6 E) – 2 Solución:

3esfdevalormínimo

3y

312x3

112x

02x

12x3

3x4x3

9x12x3xf

2

2

2

2

2

2

Clave: B 4. Determine la suma de los cuadrados de los elementos enteros del dominio de

la función 1xx164x2xxf 22 .

A) 36 B) 16 C) 29 D) 30 E) 8 Solución:

30169414321

4,1,14,4fDom

,1x

1x

01x)iii

4,4x

04x4x

016x

0x16)ii

x

031x

04x2x)i

01x0x1604x2x:iominDo

1xx164x2xxf

2222

2

2

2

2

22

22

R

R

Clave: D



5. Si fRanfDomhalle,5x

x5xf

.

A) ,0 B) ,0 C) 5,0

D) 5,0 E) 5,0

Solución:

5,05,0,05,fRanfDom

Luego

5y5y

y5x

5x

x5y

0y05x

x5y:Rango)ii

,05,x

05x

x5:iominDo)i

5x

x5xf

2

22

Clave: D

6. Sean 1x

2xxgy

1x

2xxf

funciones reales de variable real.

Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

i) Las funciones f y g tienen el mismo dominio.

ii) Si ,1hDom,xgxfxh .

iii) 2,fgDom

A) FVF B) FFF C) FVV D) FFV E) VVF

–5 0



Solución:

,1,1,201x02xxgDom

,12,01x

2x/xfDom

1x

2xxgy

1x

2xxf

/R

R

F)iii

V)ii

F)i

,1fgDom

,1,1,12,gfDom

Clave: A

7. Si f : R R es una función tal que 3xxxf 2 , hallar el máximo de f en

1,0 .

A) 4

5 B) –

4

11 C)

4

13 D) 12 E) – 3

Solución:

4

11esfdemáximoelLuego

4

11xf3

4

1

4

1

2

1x0

04

1

2

1x

4

1

4

1

2

1x0

2

1

2

1x

2

1

1x01,0xComo

34

1

2

1xxf

1,0xsi,3xxxf

2

2

2

2

2

Clave: B



8. ¿Cuáles de las siguientes funciones son pares?

4,4xsi,11xxf)IV

4,3xsi,1xxf)III

2,2xsi,1xxf)II

1,1xsi,1xxf)I

A) Todas B) I y II C) I , II y III D) II y IV E) I , II y IV Solución:

paresfuncionesson)IVy)II,)ILuego

fDomxfDomxSi)b

fDomx,xf1x1xxf)a

1xxf

Clave: E

EVALUACIÓN DE CLASE

1. Si f es una función definida por bxbaxf , ba tal que

10,2,7,1f , hallar el valor de f (a + b).

A) – 8 B) – 11 C) 10 D) 0 E) – 6 Solución:

1141545415fLuego

5ba1a;4b4b

10b3a2

14b4a2

10b3a2

7b2a

:solviendoRe

10b3a210bb2a210bba2102f

7b2a7bba71f

bxbaxf

Clave: B 2. Determine el conjunto de valores de x de modo que la función

3x2xf sea no negativa.

A) 1,2 B) 8,2 C) 6,1 D) 5,1 E) 8,5



Solución:

5,1x

5x1

23x2

23x

03x2y

3x2xf

Clave: D

3. Dada la función cuadrática bxaxxf 2 tal que

x,x1xfxf R. Hallar a – b.

A) – 2 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 Solución:

0ba

2

1b

2

1a0ba

2

1a

xbaax2

xbbxaax2axbxax

x1xb1xabxax

x1xfxf

bxaxxf

22

22

2

Clave: B

4. Dada la función 4x36xf 2 . Hallar la suma de los elementos del

conjunto fRanfDom Z.

A) 5 B) 11 C) 9 D) 15 E) – 7



Solución:

6,6x

06x6x

0x36:iominDo 2

72101234

2;1;0;1;2;3;4Z2,46,6fRanfDom

2,4y

2y1064y6

364y

04y36

4y36x

x364y

4y0x364y

4x36y:Rango

2

2

22

22

2

2

Z

Clave: E

5. Hallar el dominio de la función 2xx

1xxf

2

.

A) ,11,2 B) ,62,3 C) ,10,2

D) ,10,3 E) ,31,2

Solución:

;11;2fDom

01x2x

1x

2xx

1x:iominDo

2xx

1xxf

2

2

Clave: A



6. Si RR :f es una función tal que 2x1002xf , hallar

fRanfDom .

A) 10,8 B) 8,0 C) 10,2 D) 10,2 E) 10,0

Solución:

10,10x

010x10x

0x100:iominDo

x1002xf

2

2

10,212,210,10fRanfDom

12,212,8,2fRan

12,8y

012y8y

0y8y12

02y102y10

02y100x

x1002y

2y0x100

x1002y:Rango

22

22

2

2

Clave: C

7. Dada la función cuadrática 5x4xxf 2 . Indicar que puntos de f cumplen

que su diferencia de coordenadas es 9 y su abscisa no sea un número primo positivo.

A) 7,2 B) 5,4,8,1

C) 5,4,7,2 D) 5,4,8,1,7,2

E) 1,8,4,5



Solución:

f8,1f5,45y,4x;8y,1x

1x4x01x4x95x4xx9yxsiAhora

f7,2

7y,2x

2x7x

02x7x

014x5x

95x5x9x5x4x9xyfy,xSea

5x4xxf

2

2

22

2

Clave: D 8. ¿Cuáles de las siguientes resultan de la suma de una función par y una función impar? I) g(x)= x2senx3cos

II) h(x)= 1x2x

III) xfxf2

1xfxf

2

1xf

A) Solo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I , II y III Solución: Sea f (x) una función

xfxf

2

1xfxf

2

1xf

par impar

Luego toda función es la suma de una función par e impar Clave: E

Trigonometría

1. La función real f definida por f(x) = tg5x ctg5x + 10. Hallar el complemento del

dominio de f.

A)

Zn/5

n B)

Zn/10

n C) Z n/n

D)

Zn/6

n E)

Zn/2

n



Solución:

5x (2n + 1)2

5x n

x (2n + 1)10

x

5

n x

10

n

(Domf)c =

Zn/10

n

Clave: B

2. Hallar el complemento del dominio de la función f definida por

f(x) 12 ctg cosx 5 .

A)

Zn/2

)1n2( B) Z n/n C)

Zn/2

n

D)

Zn/4

n E)

Zn/3

)1n2(

Solución:

cosx n

cosx n

cosx 1

x n

(Domf)c = Z n/n

Clave: B

3. Hallar el complemento del dominio de la función real f definida por

ctg4xf(x)

sec 4x 1

.

A)

Zn/2

n3 B) Z n/n C)

Zn/2

n

D) ,4 2

E)

Zn/4

n

Solución:

f(x) = 1x4sec

x4ctg

está definida si sec4x 1 sen4x 0

entonces 4x 2n 4x n

x 2

n x

4

n

x 4

n

Clave: E



4. Sea la función real f definida por f(x) = 2 ctg csc 6x4

, x

5,

12 36

. Hallar el

rango de f.

A) 2,3 B) 1,3 C) 0,2 D) 1,2 E) 0,1

Solución:

Como 12

x

36

5, entonces

2

6x

6

5

1 csc6x 2

4

4

csc6x

2

0 ctg

x6csc

4 1

2 f(x) 3

Ran(f) = 2,3

Clave: A

5. Hallar el rango de la función real f definida por f(x) = 2

sec x csc x 1 .

A) [1, B) [9, C) 1, D) 9 , E) [2,

Solución:

f(x) = (secxcscx + 1)2 = (2csc2x + 1)2

csc2x – 1 csc2x 1

2csc2x – 2 2csc2x 2

2csc2x + 1 – 1 2csc2x + 1 3

(2csc2x + 1)2 1 (2csc2x + 1)2 9

Ran(f) = [1,

Clave: A

6. Sea la función real f definida por f(x) = 2csc x 10csc x 20 , x 5

,4 6

.Si el rango

de f es a,b , calcular ab 4

10

.

A) 5

2 B)

5

7 C) 4 D) 5 E) 10



Solución:

f(x) = (cscx – 5)2 – 5

tenemos 4

x

6

5, entonces

1 cscx 2

– 4 cscx – 5 – 3

9 (cscx – 5)2 16

4 (cscx – 5)2 – 5 11

Ran(f) = [4,11]

ab 4

10

= 4

Clave: D

7. Si el rango de la función real f definida por f(x) = tgx sec x csc x , x 2 5

,3 6

es a,b , calcular a + 3b.

A) 2 2 B) 3 3 C) 3 2 D) 2 3 E) 3 2

Solución:

f(x) = – tgx + secxcscx = – xcossenx

1

xcos

senx

= – xcossenx

1xsen2 =

xcossenx

xcos2

= ctgx

Luego 6

5x

3

2

–

3

3)x(f3

a + 3b = – 2 3

Clave: D

8. La función real f está definida por f(x) = 3csc x , 5

x , ,4 4

. Si el rango

de f es ,b a, , hallar 2a b .

A) 20 B) 30 C) 21 D) 22 E) 39



Solución:

Si x

,4

, entonces cscx 1

Si x 4

5,

, entonces cscx – 2

Luego

3cscx 3 3cscx – 3 2

Ran(f) = [3, , – 3 2 ]

a = 3, b = – 3 2

a + b2 = 3 + 18 = 21 Clave: C

9. Sea f la función real definida por f(x) = sec x

2, 4 6x 7 . ¿En cuánto excede

el valor máximo de f a su valor mínimo?

A) 2

1 B) 1 C)

4

1 D)

3

1 E) 2

Solución:

Como 4 6x 7 , entonces

3

2 x <

6

7

– 2 secx – 1

– 1 2

1secx –

2

1

Exceso =

2

1 – (– 1) =

2

1

Clave: A

10. Hallar el periodo de la función real f definida por f(x) = 2 2sec x ctg x .

A) B) 2 C) 4

D)

2

E)

3

Solución:

f(x) = sec2x + ctg2x + 1 – 1

f(x) = sec2x + csc2x – 1

f(x) = 4csc22x – 1

T = 2

Clave: D



1. Halle el dominio de la función real f definida por f(x) = 2ctg2x sec 2x .

A) R –

Zn/2

)1n2( B) R –

Zn/2

n C) R –

Zn/3

n

D) R – Z n/n E) R –

Zn/4

n

Solución:

f(x) = ctg2x + sec22x

Dom(f) : 2x n 2x (2n + 1)2

, n Z

x 2

n x (2n + 1)

4

x 4

n

Dom(f) = R –

Zn/4

n

Clave: E

2. Hallar el rango de la función real f definida por f(x) = 4 4sec 4x tg 4x 4 .

A) [2, B) [0, C) [4, D) [5, E) 5 ,

Solución:

Tenemos

f(x) = 2sec24x – 2sec24x + 5 = 2(sec24x – 1)2 + 2

9

Pero sec24x 1 sec24x – 2

1

2

1

2

2

2

1x4sec

4

1

2

2

2

2

1x4sec

+

2

9 5

Ran(f) = [5,

Clave: D

3. Halle el rango de la función real f definida por f(x) = 2 2x x xcsc c tg 4csc 3

2 2 2 ,

x 7

2 ,3

.

A) 2 2,

B) 1 , C) 1 , D) 2,

E) 2,



Solución:

f(x) = 22

xcsc4

4

xcsc2 2

f(x) =

1

2

xcsc2

2

xcsc2 2

f(x) = 12

xcsc2

como x 7

2 ,3

, entonces csc

2

x – 2

1 12

xcsc

2 f(x)

Ran(f) = 2,

Clave: D

4. Sea f una función real definida por f(x) = 2csc 2x 2 csc2x 25 . Hallar el valor

mínimo de f. A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28

Solución:

f(x) = 21x2csc + 24

como x2csc 1 21x2csc 4

21x2csc + 24 28

f(x) 28 Clave: E

5. Sea f una función real definida por f(x) = (ctg2x csc2x) tgx sec2x . Hallar el

periodo de f.

A) B) 2 C) 2

D)

4

E)

3

Solución:

f(x) = ctgxtgx + sec2x

f(x) = 1 + sec2x

T =

Clave: A



Geometría

1. En la figura, L es la directriz de la parábola P de foco F. Halle la ecuación de L. A) 3x – 4y + 12 = 0

B) 4x – 3y + 12 = 0

C) 3x + 4y – 12 = 0

D) 4x – 3y – 12 = 0

E) 3x – 4y + 3 = 0

Solución:

Trazar PQ L

PQ = PF = 3 (Propiedad)

Trazar RP (bisectriz)

Sea la ecuación de L

y = mx + b m = tg37° = 4

3

b = 3

3x – 4y + 12 = 0 Clave: A

2. En la figura, se muestra una parábola P de vértice V(– 6,0) y cuyo eje focal es el

eje X. Si la parábola pasa por los puntos A(2, 8) y B(– 3,– k), halle k.

A) 6

B) 2 6

C) 26

D) 32

E) 52

143°

Y

XR F

Q

O

P(5,3)3

3

L

37°/2

54

P



Solución:

Eje focal // eje x (p > 0)

(y – k)2 = 4p(x – h)

V = (– 6,0) y2 = 4p(x + 6)

A = (2,8) 64 = 4p(8) 4p = 8

y2 = 8(x + 6)

Reemp. B(– 3,– k)

k2 = 8(3) k = 2 6

Clave: B 3. Si P(– 2,– 4) es punto medio de una cuerda de la parábola: y2 + 6x + 10y + 19 = 0,

halle la ecuación de la recta que contiene a dicha cuerda.

A) x + 2y + 10 = 0 B) x + 3y + 14 = 0 C) 3x + y + 10 = 0

D) 2x + y + 8 = 0 E) x + 3y – 10 = 0

Solución:

Ec. de P : (y + 5)2 = – 6(x + 1)

eje focal // eje X (p < 0)

V = (– 1, – 5)

x1 + x2 = – 4 y1 + y2 = – 8

Reemp:

y 21 + 6x1 + 10y1 + 19 = 0

y 22 + 6x2 + 10y2 + 19 = 0

8(y2 – y1) + 6 (x2 – x1) 10(y2 – y1) = 0

3xx

yy

12

12

3

2x

4y

3x + y + 10 = 0

Clave: C 4. Una parábola contiene al punto R(– 1,– 2), su lado recto tiene como longitud 4 m, su

eje focal es paralelo al eje X y su vértice cuya ordenada es positiva pertenece a la recta x – 3 = 0. Halle la ecuación de la parábola.

A) (y – 6)2 = 4(x – 3) B) (y + 6)2 = – 4(x – 3) C) (x – 2)2 = – 4(y – 2)

D) (y – 2)2 = – 4(x – 3) E) (x – 3)2 = – 4(y – 2)

)(

Y

X

P

V

B

A

Y

X

(x ,y )2 2

(x ,y )1 1

(x,y)

P( 2, 4)



Solución:

Eje focal // eje X (p < 0)

(y – k)2 = 4p(x – h)

V = (3,k) (y – k)2 = 4p(x – 3)

p4 = 4 4p = – 4 p = – 1

(y – k)2 = – 4(x – 3)

Reemp. R(– 1, – 2)

(– 2 – k)2 = – 4(– 1 – 3) k = 4 – 2 k = 2

Ec. P : (y – 2)2 = – 4(x – 3)

Clave: D 5. La ecuación de una parábola es y2 – 4x – 2y – 11 = 0. Halle la distancia en metros

del foco a la directriz.

A) 3 m B) 3,5 m C) 2,5 m D) 1 m E) 2 m

Solución:

Ec. P : y2 – 2y + 1 = 4x – 12

(y – 1)2 = 4(x – 3)

d(F,L ) = p2

p4 = 4 p2 = 2

Clave: E 6. Halle la ecuación de una parábola cuyo vértice es el punto V(2, – 3), pasa por el

punto A(4, –1) y su eje focal es la recta x – 2 = 0.

A) )3y(2)2x( 2 B) )3y(4)2x( 2 C) )3y(2)2x( 2 D) )3y(4)2x( 2 E) )3y(8)2x( 2

Solución:

Eje focal // eje Y

(x – h)2 = 4p(y – k) p > 0

(x – 2)2 = 4p(y + 3)

Para x = 4 y = – 1

Reemp. 4 = 4p(2) 4p = 2

(x – 2)2 = 2(y + 3) Clave: A

Y

X

V = (3,k)

R( 1, 2)

3

Y

X

P

V

eje focal

Y

X

V(2, 3)

eje focal



7. El agua que fluye de un grifo horizontal que está a 25 m del piso, describe una curva parabólica con vértice en el grifo. Si a 21 m del piso, el flujo del agua se ha alejado 10 m de la recta vertical que pasa por el grifo, halle a qué distancia de esta recta vertical tocará el agua el suelo.

A) 20 m B) 25 m C) 26 m D) 21 m E) 28 m

Solución:

Eje focal // eje Y

x2 = 4py y p < 0

Para x = 10 y = – 4

Reemp.:

100 = 4p(– 4) 4p = – 25

x2 = – 25y

x2 = – 25(– 25)

x = 25 Clave: B

8. En la figura, CM es el lado recto de la parábola P de vértice V (1,0) y el área de la

región sombreada es 8

9 m2. Halle la ecuación de la parábola.

A) y2 = 3(x – 1)

B) (x – 1)2 = 3y C) (x – 1)2 = 2y

D) (y – 1)2 = 3x

E) (x – 1)2 = 6y

Solución:

Asomb = 2

pp4 2p2

4

8

9

p = 4

3

Eje focal // eje Y

V = (1,0) y p > 0

(x – 1)2 = 3y

Clave: B

X

Y

2125

410

x

C

O V

M

Peje focal

p

4p

F

Y

X



9. En la figura, OA es diámetro, A y V son puntos de tangencia y el área del

semicírculo es 50. Si el eje X es directriz de la parábola P y 2AB = 3AO, halle la

ecuación de dicha parábola.

A) (x + 2)2 = 24(y + 6)

B) (x – 2)2 = –12(y + 6)

C) (y – 6)2 = 12(x – 2)

D) (x – 2)2 = 24(y – 6)

E) (x – 2)2 = 12(y – 6)

Solución:

A = 8

OA2= 50 OA = 20

V = (2,6) y p > 0

Eje focal // eje Y

(x – 2)2 = 4p(y – 6)

Si eje X es directriz

p = 6

Reemp:

(x – 2)2 = 24(y – 6) Clave: D

10. Un arco parabólico tiene 18 m de altura y 24 m de ancho. Si la parte superior del arco

es el vértice de la parábola. Halle la altura donde la parábola tiene un ancho de 16 m. A) 14 m B) 9 m C) 12 m D) 8 m E) 10 m Solución:

Eje focal // eje Y

V = (0,0) y p < 0

x2 = 4py

Para x = 12 y = – 18

122 = 4p(– 18) 4p = – 8

x2 = – 8y

Para x = 8 y = – (18 – h)

64 = 8(18 – h) h = 10 Clave: E

eje focal

P

O

V

Q A X

Y

B

2

6

8 10

10

37°30

24

16

h18

X

Y

V



11. Una parábola cuya ecuación es y2 = 20x, pasa por el punto M de abscisa igual a 7. Halle el radio focal del punto M.

A) 10 m B) 12 m C) 8 m D) 9 m E) 14 m

Solución:

Si y2 = 20x

Eje focal // eje X

V = (0,0) y p > 0

p = 5

Para x = 7 y = b

b2 = 20 7 b = 2 35

d = 22 )0352()57(

d = 12

Clave: B 12. Halle la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro el lado recto de la

parábola cuya ecuación es y2 = 16x.

A) (x + 3)2 + (y – 1)2 = 8 B) (x – 2)2 + y2 = 25 C) x2 + (y – 3)2 = 32

D) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25 E) (x – 4)2 + y2 = 64

Solución:

Si y2 = 16x

Eje focal // eje X

V = (0,0) y p > 0

4p = 16 p = 4

Ec. circunf.

(x – 4)2 + y2 = 64 Clave: E

13. En la figura, F y V son foco y vértice de la parábola P: Si VO = 10 m y ON = 12 m,

halle la ecuación de la parábola. A) (x – 10)2 = 25y/6

B) (x + 5)2 = 15y/2

C) (x – 10)2 = 25y/3

D) (x – 5)2 = 25y/3

E) (x – 10)2 = 50y/3

Y

XF(5,0)

M(7,b)

d

Y

XF(4,0)

8

8



Solución:

Eje focal // eje Y

V = (10,0)

(x – 10)2 = 4py

Para N = (0,12)

100 = 4p(12) 4p = 3

25

(x – 10)2 = 3

25y

Clave: C

14. Se tiene una parábola P : y = x2, en la cual se traza la recta L paralela a

L1 : y = 2x – 7, y que pasa por el punto (0,3). Halle la longitud del segmento que

tiene como extremos los puntos de intersección de L y P:

A) 4 2 B) 5 2 C) 4 5

D) 3 2 E) 2 3

Solución:

L : y = mx + b

Si L // L1 mL = 2

Reemp:

y = 2x + 3

L P

x2 = 2x + 3

x2 – 2x + 1 = 3 + 1

(x – 1)2 = 4 x = 1 2

x = 3 y = 9

x = – 1 y = 1

d = 4 5

Clave: C

O V

eje focal

Y

X

NF

12

10

Y

X

( 1,1)

(3,9)d



1. En la figura, el eje Y es la directriz de la parábola P de foco F y vértice V.

Si QR = 2 m y OF = 6 m, halle las coordenadas de P.

A) (1, 32 )

B) (1, 52 )

C) (4, 52 )

D) (4, 32 )

E) (4, 22 )

Solución:

OV = VF (propiedad)

Trazar PH OF

QRP FHP

OP = PF = 4

P = (4, 32 )

Clave: D

2. El punto C(3,-1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta: L: 2x-

5y+18=0, determinando una cuerda cuya longitud es igual a 6m. Halle la ecuación de dicha circunferencia.

A) (x – 3)2 + (y + 1)2 = 36 B) (x + 1)2 + (y - 3)2 = 17 C) (x + 3)2 + (y - 1)2 = 19 D) (x – 3)2 + (y +1)2 = 38 E) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 34

Y

XO

QP

RV H F

2 4a

2

a

4

2 3



Solución:

d(C,L) = 22 52

18)1(5)3(2

= 29

R2 = ( 29 )2 + 32 = 38

Ec. de C :(x-3)2 + (y+1)2 = 38

Clave: D

3. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(3,5) y es tangente a la

recta L : 3x + y + 2 = 0 en el punto B(-1 ,1).

A) (x – 2)2 + (y + 2)2 = 10 B) ) (x + 2)2 + (y - 2)2 = 10 C) (x – 2)2 + (y - 2)2 = 9 D) (x – 2)2 + (y - 2)2 = 10 E) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9 Solución:

mBC .mL = -1

mL = -3

mBC = 1h

1k

3

1

. . .I

mCM = 11h

3k

. . . II

De I y II

(x -2)2 +(y – 2)2 = 10 Clave: D

4. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene

su centro en el punto común de las rectas L1: x + 3y – 6 = 0 y L2: x – 2y – 1 = 0.

A) (x - 2)2 + (y+2)2 = 10 B) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 10 C) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10 D) x2 + (y-1)2 = 15

E) (x-3)2 + y2 = 15

3

3d

C(3,-1) R

L : 2x-5y+18=0

L : 3x+y+2=0

B(-1,1)

A(3,5)

C(h,k)

R

M(1,3)



Solución:

x + 3y = 6 . . . I

x – 2y = 1 . . . II

De I y II : x = 3 y y = 1

R2=(3-0)2 +(1-0)2=10

(x – 3)2 + (y – 1)2 = 10

Clave: C 5. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje Y, la cual pasa por

los puntos A( 0,62 ) y B(3, 5).

A) x2 + (y + 1)2 = 25 B) x2 + (y – 1)2 = 25 C) x2 + (y – 2)2 = 18 D) x2 + (y + 2)2 = 58 E) x2 + (y –3)2 = 13 Solución:

R2 =24 + h2 = 9+(5-h)2

h = 1 y R2 = 25

Ec. de C :x2 + (y-1)2 = 25

Clave: B

6. Una pelota describe una curva parabólica alrededor de un punto F, siendo este el foco de la parábola. Cuando la pelota está a 10 m de F, el segmento de recta de F a la pelota hace un ángulo de 60° con el eje de la parábola. Halle la ecuación de la parábola.

A) y2 = 10x B) y2 = 4x C) y = 10x2

D) y2 = 5x E) x2 = 10y

Solución:

Eje focal // eje X

V = (0,0) y p > 0

y2 = 4px p = 2

5

y2 = 10x

Clave: A

X

YL

V F H552

10

10

60°

P

Y

XO

C(h,k)

Y

XO

C(0,k)

( ,0)

(3,5)

62

Semana Nº 18 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1

1. El avestruz Alwi está entrenando para la Competencia de Cabeza en Arena de las

Olimpíadas de los Animales. Él saca la cabeza de la arena a las 8:15 en la mañana del día lunes y así alcanza un récord al permanecer por 98 horas y 56 minutos.

¿Cuándo metió Alwi su cabeza en la arena?

A) Viernes a las 11:11 a.m. B) Jueves a las 5:41 a.m. C) Jueves a las 11:11 a.m. D) Viernes a las 5:19 a.m. E) Jueves a las 5:19 a.m.

Solución: 1) Como 98h 56min = 4d 2h 56min 2) Retrocediendo 4d, será: jueves 8:15 a.m. 3) Luego retrocediendo 2h 56min, será: 5.19 a.m. 4) Por tanto Alfonso metió su cabeza. Jueves 5:19 a.m.

Clave: E 2. Elisa dobla una hoja de papel cinco veces. Luego, ella hace un agujero al papel

doblado antes de desdoblarlo. ¿Cuántos agujeros tiene el papel desdoblado?

A) 64 B) 20 C) 32 D) 24 E) 16

Solución: 1) El papel con cinco dobleces, produce 32 pliegues paralelas. 2) Por tanto se producen 32 agujeros.

Clave: C 3. Julio tiene dos hijos. Él es 25 años mayor que su hijo menor. Se puede determinar

la edad de Julio si: (1) Entre sus dos hijos suman la edad de él. (2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 años. A) Ambas juntas, (1) y (2) B) (2) por sí sola C) Se requiere información adicional D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) (1) por sí sola



PartidosJugados

PartidosGanados

Goles en contra

PartidosPerdidos

PartidosEmpatado

Goles a Favor

Union

Alianza

Sporting

2 0

1

2

4

Solución: Con el primer dato se obtiene: Padre: x + 25 H. menor: x H. mayor: y x + y = x + 25 y = 25 No se puede determinar la edad de Julio Con el segundo dato se obtiene: y – x = 5 No se puede determinar la edad de Julio Pero usando los dos datos juntos se obtiene: x = 20 Julio tiene 20 + 25 = 45

Clave: A 4. Alianza, Unión y Sporting, disputan un torneo de una sola ronda (cada equipo juega

una vez con los otros). Aparece una tabla de posiciones con solo algunos datos de los partidos jugados. ¿Cuál fue el resultado del partido entre Unión y Alianza, en ese orden?

A) 2-0 B) 3-0 C) 1-0 D) 2-1 E) 3-1

Solución: De los datos observados se deduce

unión 2 alianza 0

alianza 2 sporting 2

unión le gana a sporting x-0 Clave:

5. Se verifican las siguientes operaciones 2 + 3 = 10, 7 + 2 = 63, 6 + 5 = 66, 8 + 4 = 96.

Halle el valor de 9 + 7. A) 16 B) 144 C) 69 D) 46 E) 247

Solución: 2 x ( 2 + 3 ) = 10 7 x ( 7 + 2 ) = 63 6 x ( 6 + 5 ) = 66 8 x ( 8 + 4 ) = 96 Luego 9 x ( 9 + 7 ) = 144

Clave: B



6. ¿Cuántas personas deben estar reunidas, como mínimo, para tener 4 con el mismo día de la semana en la fecha de su cumpleaños?

A) 22 B) 21 C) 28 D) 25 E) 35

Solución: Planteamos: Lunes: 3 Martes: 3 Miércoles: 3 Jueves: 3 Viernes: 3 Sábado: 3 Domingo: 3 Luego faltaría una persona para que como mínimo haya 4 personas con las condiciones pedidas. Por lo tanto deben estar reunidas: 7(3) + 1 = 22

Clave: A 7. ¿Cuál es la mitad de la tercera parte del mayor número impar menor que 20 que no

es primo? A) 19/6 B) 17/6 C) 15/2 D) 5 E) 5/2

Solución: El número impar menor que 20 que no es primo es 15, así resulta la fracción 5/2.

Clave: E 8. Juanita compro un kilogramo de harina de trigo de segunda y un kilogramo de harina

de trigo de primera que juntos cuestan juntos 18 soles. Se mezcla 14 Kg. de primera con 26Kg. de harina de segunda y se obtiene un precio por kilogramo menor en 3 soles del que habría obtenido si se mesclaran 26Kg. de primera y 14 Kg. de segunda. ¿Cuál es el precio del kilogramo de trigo de segunda.

A) 6 B) 4 C) 8 D) 3 E) 2

Solución: p = precio de un kilogramo de harina de primera q = precio de un kilogramo harina de segunda w = precio de un kilogramo de mezcla Primera mezcla.

(I)

Segunda mezcla.

(II)

(II) en (I): se tiene: p – q= 10 y por dato p + q =18, se obtiene: P = 4. Clave: B

9. Se tiene aguardiente de 18º, 20º y 36º. Para vender 80 litros de aguardiente de 20º,

utilizamos 10 litros más de aguardiente de 20º que 36º. ¿Cuántos litros de aguardiente de 18º se utiliza?

A) 78 B) 110 C) 96 D) 84 E) 56



Solución: Sea V = litros de 36º que se utiliza

V +10 litros de 20º que se utiliza X = litro de 18º que se utiliza. Se tiene por dato: x + (V + 10) + V = 80 (I)

La mezcla: ( )

Se tiene: 700 = 9x + 28V (II) (II) – (I): 280 = 5x entonces x = 56.

Clave: E

10. Hallar la cifra terminal del desarrollo siguiente: ( ) .

A) 1 B) 3 C) 7 D) 9 E) 6

Solución:

Se tiene que 4567 = ̇ + 3

Luego ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ( ) ( )

Clave: C 11. Hay 5 administradores y 4 ingenieros, se desea formar un directorio que consta de

un gerente, un subgerente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas formas diferentes se puede formar el directorio si allí debe haber por lo menos 2 administradores y por lo menos 1 ingeniero?

A) 6400 B) 4800 C) 2400 D) 7200 E) 1200

Solución:

5 4 5 4

2 2 3 1C ×C C ×C 4!

10 6 10 4 24

2400

Clave: C 12. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular; Gerson y Carlos son dos de

ellos, que por ningún motivo se sientan juntos. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar?

A) 4610 B) 8310 C) 3600 D) 5320 E) 4320

Solución: Todas las formas de sentarse – las formas que están juntos

7! 6!

6!(7

2

2

3600

)

Clave: C

13. En un triedro tri-rectángulo M-ABC se cumple que 2 2 2

1 1 1 1

81(MA) (MB) (MC).

Si el área de la región triangular ABC es 20 m2, calcule el volumen de dicho sólido (en m3).

A) 60 m3 B) 50 m3 C) 63 m3 D) 66 m3 E) 57 m3



Solución:

. 2

bA 20m

. Dato: 2 2 2

1 1 1 1

81(MA) (MB) (MC)

. 2 2 2

1 1 1AMHxR.M. : ......(1)

x (MA) (MH)

. 2 2 2

1 1 1BMCxR.M. : ....(2)

(MH) (MB) (MC)

. Sustituyendo (2) en (1): 2 2 2 2

1 1 1 1

x (MA) (MB) (MC)

. Por tanto: x 9

. Luego: 3V 60m

Clave: A 14. En la figura se muestra dos conos de revolución cuyas generatrices miden 8m y 4m.

Si BP es bisectriz del ABQ, calcule el volumen del cono menor.

A) 349 15πm

24 B) 356 15

πm15

C) 349 15πm

23 D) 349 15

πm26

E) 349 15πm

29

Solución:

. PBQ:Isósceles m 8

. n 8

PFQ BHQr 4

. Luego: n 2r

. 2 2 2PBQ: 4 8 8 2(8)(n)

n=7 , 7

r2

, 15

QH2

. Por tanto: 349 15V πm

24

Clave: A

A CB

P

Q

F

A

C

B

H

Px

M

m

rA CB

P

Q

8

H

F

n

4



dice 21, el cuarto dice 28, el quinto dice 35, el primero dice 42, el segundo dice 49 y siguen contando de 7 en 7. Jesús dice 77, María dice 119, Ana dice140, Elena dice 161 y Danilo dice 133. ¿Quién dice 259?

A) Jesús B) María C) Ana D) Elena E) Danilo Solución:

1) Dicen los números:

1º: 0

5 1 7

Jesús

2º: 0

5 2 7

María

3º: 0

5 3 7

Elena

4º: 0

5 4 7

Danilo

5º: 0

5 7 Ana

2) Como 259 5 7 2 7 . Por tanto 259 dijo María.

Clave: B 2. En el siguiente arreglo numérico determine la suma de las cifras de la suma de los

números de las 15 primeras filas. Fila 1 1 Fila 2 2 2 Fil a 3 5 3 5 Fila 4 7 3 3 7 Fila 5 9 3 3 3 9 . . . . . . . . . . . A) 8 B) 10 C) 9 D) 5 E) 11

Solución: N° de filas Suma 1 1 2 1+2(2) 3 1+3(1)+2(2+5) 4 1+3(1)+3(2)+2(2+5+7) . . . . . . 15 1+3(1)+3(2)+…3(13)+2(2+5+7+…+29)=720 Suma de cifras = 9

Clave: C

1. Cinco hermanos se ubican en fila, el primero dice 7, el segundo dice 14, el tercero



3. El costo de una excursión es de $ 300. Si hubieran ido 3 estudiantes menos entonces el costo por estudiante habría sido de $ 5 más. Si todos los estudiantes pagaron igual costo, ¿cuántos estudiantes fueron a la excursión?

A) 15 B) 16 C) 12 D) 14 E) 20

Solución: Sea: w el número de estudiantes.

A cada estudiante le tocaría pagar un pasaje de 300

w, pero debido a que en el

supuesto fueron w – 3 estudiantes, cada uno tendría que pagar 5 dólares más de

pasaje osea 300

5w

, para lograr cubrir el paquete de viaje de $ 300.

Algebraicamente tenemos la ecuación:

300

5 3 300ww

300 5 300

3

w

w w

De aquí: 2 3 180 0w w , entonces w= – 12 , w = 15

Clave: A

4. El PBI de un país está proyectado en t2 + 2t + 50 miles de millones de dólares, donde “t” se mide en años a partir del año en curso. Determine el instante a partir del cual el PBI sea igual o exceda a $58 mil millones.

A) 5 años B) 6 años C) 2 años D) 4 años E) 10 años

Solución: 2 2 50 58t t 4 2 0t t t = 2

Clave: C

5. Con seis niños y cuatro niñas se desea formar un equipo mixto de fulbito. Si Patricia esta enemistada con Raúl y José, ¿de cuantas formas diferentes se podrá formar el equipo de fulbito, si patricia no puede estar con Raúl ni con José en el mismo equipo? (no deben estar las cuatro niñas en el equipo)

A) 102 B) 110 C) 112 D) 98 E) 115

Solución:

N° de equipos a formar = 6 3

5 1C C (no va Patricia)

+ 6 3


+ 6 3


+ 6 3


+ 4 3

4 1C C (no van Raúl y José, si va Patricia)

+ 4 3

3 2C C (no van Raúl y José, si va Patricia)

= 6x3 + 15x3 + 20x1 + 1x3 + 4x3 = 98 Clave: D



6. Se tiene 23 pares ordenados distribuidos en el plano cartesiano de la siguiente manera, 12 pares en el primer cuadrante, 10 pares en el segundo cuadrante y el par (0,0) con la propiedad de que tres pares o más no pueden estar en línea recta.

i) ¿Cuántas rectas se pueden formar con los pares del primer cuadrante? ii) ¿Cuántas rectas se pueden formar tal que contengan el par (0,0)?

A) 66 y 22 B) 88 y 20 C) 23 y 40 D) 60 y 20 E) 68 y 24

Solución:

I) 66!2!10

!1212

2

C

II) 22 rectas. Clave: A

7. En una reunión se encuentran 4 parejas de esposos (4 varones y 4 mujeres) y

desean sentarse en una mesa circular de ocho asientos. ¿De cuantas maneras diferentes se sientan las parejas de esposos si ellos siempre se sientan juntos?

A) 96 B) 225 C) 48 D) 192 E) 384

Solución:

La respuesta es 43! 2 96

Clave: A 8. En un torneo de ajedrez se jugaron en total 218 partidos, habiendo dos ruedas. En la

primera rueda jugaron todos contra todos y en la segunda jugaron los 8 mejores. ¿Cuántos participaron en el torneo de ajedrez?

A) 20 B) 24 C) 22 D) 18 E) 16

Solución:

( )

( )

( )

( ) ( )

Clave: A 9. En el gráfico se muestra un paralelepípedo rectangular. Si la pirámide cuya base es

la región sombreada y cuyo vértice es P, tiene volumen igual a 36 , calcule el volumen del paralelepípedo.

A) 216

B) 220

C) 235

D) 360

E) 380 Solución:

P

a

b

h



5

=

( . a ) =

(

. a )

36(6) = a.b.h abh =216

= a.b.h = 216

Clave: A 10. En el gráfico, la superficie lateral del cilindro de revolución y la superficie

semiesférica son equivalentes. Si R = 2u, calcule el volumen del cono de revolución de vértice V.

A)

3u

B)

3u

C)

3u

D)

3u

E)

3u

Solución:

Sea la altura del cilindro: h

Por la igualdad de superficies: 2(4) = 2(2)h h = 2

=

(4).4 =

u3

Clave: C



5. Si alguien hablara de la fuerza mística de los cerros y de los ríos, sería considerado por Comte como

A) metafísico. B) fetichista.* C) positivista. D) politeísta. E) monoteísta.

Solución B: El fetichismo consiste en personificar los objetos y dotarlos de un poder mágico.

Aritmética

1. La probabilidad de que Ana desapruebe el examen de Aritmética es 0, 5, la probabilidad de que Juan desapruebe el mismo examen es 0,2 y la probabilidad de que Ana y Juan desaprueben el examen es 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de que ni Ana ni Juan desaprueben el examen?

A) 0,2 B) 0,6 C) 0,5 D) 0,4 E) 0,8

SOLUCIÓN:

P A B P A P B P A B P A B 0,5 0.2 0,1 0,6 P A´ B́ 0,4

Clave: D

2. Sean A y B dos sucesos con 1 1

P(A) y P(B)3 2

. Si A está contenido en B,

halle la probabilidad de que ocurra B pero no A.

A) 5

6 B)

3

8 C)

1

6 D)

1

8 E)

5

24

SOLUCIÓN:

Si A está contenido en B, 1

P B A´6

Clave: C

3. Sean A y B dos sucesos con P A 0,4 y P(B) 0,7 . Halle el mayor valor

posible de P A B .

A) 0,3 B) 0,7 C)0,1 D) 0,1 E) 0,4

SOLUCIÓN:

mayorP A B 0,4 en el caso que A B

Clave: E

4. En un estudio para determinar la agudeza visual se presentan al sujeto cuatro matices de un color que varían ligeramente en su brillo. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona, por simple azar, coloque los matices de mayor a menor brillo?

A) 3

8 B)

1

2 C)

1

8 D)

1

4 E)

1

24



SOLUCIÓN:

A: “La persona coloca por simple azar los matices de mayor a menor brillo”

1# A 1 # 24 P A

24

Clave: E 5. Tres personas juegan disparejos, para lo cual cada uno lanza al aire

simultáneamente una moneda; si uno de los resultados es diferente de los otros dos, la persona que obtiene el resultado diferente pierde. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de ellos pierda, en una tirada, si las tres monedas no están cargadas?

A) 1

4 B)

1

8 C)

3

4 D)

3

32 E)

5

24

SOLUCIÓN:

ccc,ccs,csc,css,sss,ssc,scs,scc

A ccs,csc,css,ssc,scs,scc

6 3P A

8 4

Clave: C

6. Tres atletas del equipo A y tres del equipo B participan en una carrera. Si los

seis tienen las mismas aptitudes y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que los atletas del equipo A lleguen en los tres primeros lugares y los del equipo B lleguen en los tres últimos lugares?

A) 1

720 B)

1

20 C)

1

360 D)

3

10 E)

4

5 SOLUCIÓN: A:” Los atletas del equipo A llegan en los tres primeros lugares y los del

equipo B en los tres llegan en los tres últimos lugares”

1

# 720 # A 6X6 36 P A20

Clave: B

7. Una urna contiene 10 canicas numeradas del 1 al 10. Se extraen 4 canicas y se define a x como el segundo en orden ascendente de magnitud de los cuatro números extraídos. ¿Cuál es la probabilidad de que x=3?

A) 1

6 B)

1

5 C)

2

5 D)

8

15 E)

1

10



SOLUCIÓN:

10 2 7

4 1 2

7X6 1# C # A C X1XC P A

7X3X10 5

Clave: B 8. Seis parejas de casados se encuentran en una habitación. Si se elige cuatro

personas al azar, hallar la probabilidad de que ninguna pareja sean casados entre los cuatro.

A) 37

66 B)

16

33 C)

4

11 D)

15

22 E)

17

44

SOLUCIÓN:

A:” Ninguna de las 6 posibles parejas que se pueden formar con las 4 personas elegidas son casados entre ellos”

12 6 2 2 2 2

4 4 1 1 1 1

16# C 495 # A C XC XC XC XC P A

33

Clave: B

9. La probabilidad de que la construcción de un edificio se termine a tiempo es

17

20 , la probabilidad de que no haya huelga es

3

4 y la probabilidad de que la

construcción se termine a tiempo dado que no hubo huelga es 14

15. ¿Cuál es la

probabilidad de que no haya huelga dado que la construcción se terminó a tiempo?

A) 1

3 B)

1

5 C)

2

5 D)

14

17 E)

7

10

SOLUCIÓN:

T:” La construcción se termina a tiempo” 17

P T20

H: “No hubo huelga” 3 14

P H P T /H4 15

3 14XP H T P H P T /H 144 15P H/ T17P T P T 17

20

Clave: D 10. Los porcentajes de votantes del candidato X en tres distritos electorales

diferentes se reparten como sigue: En el primer distrito, 21%; en el segundo distrito, 45% y en el tercero, 75%. Si un distrito se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad que vote por el candidato X?

A) 21

100 B)

45

100 C)

47

100 D)

1

4 E)

11

50



SOLUCIÓN:

Ai:” Se selecciona el i -ésimo distrito” i

1P A

3

B:”La persona seleccionada vota por el candidato X”

3

i i

i 1

1 21 45 75 47P B P A P B/ A P B x

3 100 100 100 100

Clave: C 11. En una ciudad determinada los simpatizantes de los candidatos A, B y C son

30%,50% y 20% respectivamente. En las últimas elecciones votaron el 65% de los simpatizantes de A, el 82% de B y el 50% de C. Si se selecciona al azar una persona de la ciudad y se sabe que no votó en las elecciones pasadas, ¿cuál es la probabilidad que sea simpatizante de B?

A) 295

1000 B)

90

1000 C)

20

59 D)

18

79 E)

18

59

SOLUCIÓN: Ei:” Se selecciona un simpatizante del i -ésimo candidato” N:”El candidato no votó en las últimas elecciones”

2 2 2

2

50 18XP E N P E P N/E 18100 100P E /N

30 35 50 18 20 50P N P N 59x x x

100 100 100 100 100 100

Clave: D

12. Javier lanza repetidas veces dos dados y gana si obtiene 8 puntos antes de

obtener 7.¿Cuál es la probabilidad que Javier gane?

A) 11

25 B)

11

36 C)

5

36 D)

25

36 E)

5

11

SOLUCIÓN:

A:”Se obtiene 8 como suma de los puntos en las caras que caen hacia arriba”

B:”No se obtiene 7 ó 8 como suma de los puntos en las caras que caen hacia

arriba”

E:”Se obtiene 8 antes de 7”

5 25

36 36 P A P B

... ...P E P A BA BBA P A P BA P BBA

25 25 25 5

1 .... 1 ...36 36 36 11

P E P A P B

Clave: E


1. Un sistema detector de humo usa dos dispositivos, A y B. Si el humo está presente, la

probabilidad de que el humo sea detectado por el dispositivo A es 0,95; por el

dispositivo B, 0,98; y por ambos dispositivos 0,94. Si hay humo, encuentre la

probabilidad de que sea detectado por el dispositivo A, por el dispositivo B o por

ambos.

A) 98

100 B)

95

100 C)

97

100 D)

96

100 E)

99

100

SOLUCIÓN:

A:”El humo es detectado por el dispositivo A” B:”El humo es detectado por el dispositivo B” se colocan en un estante en

99

P A B 0,95 0,98 0,94 0,99100

Clave: E

2. Si se colocan en un estante en orden aleatorio cuatro volúmenes de una cierta

obra, ¿cuál es la probabilidad de que el orden sea perfecto?

A) 1

4 B)

1

36 C)

1

12 D)

1

16 E)

1

24

SOLUCIÓN:

A:”Los libros quedan ordenados así: Volumen 1, 2,3 y4” #(A) = 1

1

# 4! 24 P A24

Clave: E

3. Sean A y B dos sucesos con P A 0,4 y P B 0,7 1. Halle el mínimo valor

posible de P A B .

A) 1

10 B)

1

5 C)

3

10 D) 0 E)

2

5

SOLUCIÓN:

1

minimoP A B 0,110

Clave: A

4. Un centro educativo tiene estudiantes desde primero hasta sexto grado. Los grados 2º, 3º, 4º, 5º, y 6ºtienen el mismo número de estudiantes, pero el primer grado tiene el doble. Si un estudiante es seleccionado al azar de una lista que contiene a todos los estudiantes del centro, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante seleccionado pertenezca a un grado impar?

A) 2

3 B)

1

6 C)

1

2 D)

3

4 E)

4

7



SOLUCIÓN: Se p: Probabilidad que un estudiante pertenezca a segundo grado

1P 7p 7p 1 p

7

A: “El estudiante seleccionado pertenece a un grado impar”

4

P A 4p7

Clave: E

5. Un director técnico de vóley dispone de diez jugadoras, de las cuales cuatro son armadoras. Si selecciona al azar un equipo de seis jugadoras, ¿cuál es la probabilidad de que entre ellas haya seleccionado exactamente dos armadoras?

A) 3

5 B)

3

7 C)

4

7 D)

2

5 E)

1

7

SOLUCIÓN:

A:”Se selecciona exactamente dos armadoras”

10

6# C 210 colocan en un estante en orden aleatorio cuatro volúmenes de

una cierta obra, ¿cuál es la probabilidad de que el orden sea perfecto?

4 6

2 4C xC 6x15 3P A

210 210 7

Clave: B 6. En una Cooperativa de Servicios hay cinco hombres y seis mujeres como

candidatos para formar una comisión. Si se elige al azar cuatro personas, ¿cuál es la probabilidad de formar con ellas una comisión mixta?

A) 31

33 B)

310

333 C)

210

331 D)

160

357 E)

5

16

SOLUCIÓN:

A:”Se forma una comisión mixta de 4 miembros”

5 6 5 6 5 6

1 3 2 2 3 1

11

4

C xC C xC C xC 31P A

C 33

Clave: A 7. Una empresa de productos de consumo transmite publicidad por televisión

para uno de sus jabones. De acuerdo a una encuesta realizada, se asignaron probabilidades a los sucesos siguientes: B:”Una persona compra el producto” S:”Una persona recuerda haber visto la publicidad”. Las probabilidades fueron

P(B) = 0,20 , P(S) = 0,40 y P A B 0,12 . ¿Cuál es la probabilidad de que una

persona compre el producto, dado que recuerda haber visto la publicidad?

A) 3

5 B)

2

5 C)

3

10 D)

3

25 E)

1

5



SOLUCIÓN:

P B S 0,12 3P B/S

P S 0,40 10

Clave: C 8. Considere el experimento que consiste en lanzar un par de dados equilibrados.

¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre los dos números que aparecen sea menor que 3?

A) 4

9 B)

7

18 C)

5

12 D)

5

36 E)

2

3

SOLUCIÓN:

A:” La diferencia entre los 2 números que aparecen en las caras que caen hacia arriba es 3”

24 2

P A36 3

Clave: E 9. Una máquina produce un artículo defectuoso con probabilidad p y produce un

artículo no defectuoso con probabilidad q. Se selecciona aleatoriamente para su control seis de los artículos producidos, siendo los resultados de control independientes para estos seis artículos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los seis artículos sean defectuosos?

A) 30 p2 q4 B) 72p2 q2 C) 10p6 q4 D) 24 p2 q4 E) 15p2 q4

SOLUCIÓN: A :”Exactamente 2 de los 6 artículos seleccionados son defectuosos”

6 4 2 2 4

2P A C p q 15p q

Clave: E 10. En la tabla siguiente se presentan datos muestrales de la cantidad de personas

que cuentan con seguro médico según edades.

SEGURO MÉDICO

EDAD SI NO

18 a 34 750 170

35 o mayor 950 130

Si se elige al azar una persona y no tiene seguro médico, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre 18 y 34 años?

A) 13

95 B)

17

92 C)

1

18 D)

3

20 E)

17

30

SOLUCIÓN: A: “La persona elegida tiene entre 18 y 34 años” B:”La persona elegida no tiene seguro médico”

P A B 170 17P A /B

P B 300 30

Clave: E



Álgebra

EJERCICIOS DE CLASE

1. 3x

2xxfquetalb

3

5,

2

a33,1:fSi

es una función sobreyectiva,

halle 22 ba .

A) 5 B) 2 C) 1 D) 2

1 E)

4

1

Solución:

2

1

4

1

4

1ba

2

1bb

3

5

6

5

2

1aa

2

3

4

3

b3

5,a

2

3fRanvasobreyectiesfAdemás)II

6

5,

4

3fRan

6

5

3x

11

4

3

6

1

3x

1

4

163x43x13,1xSi

3x

11

3x

2xxf)I

22

Clave: D 2. Halle la suma de los tres mayores valores enteros del dominio de la función

2,1fDom:f para que la función sea sobreyectiva si 2x

2x2xf

.

A) – 3 B) – 2 C) 0 D) – 4 E) 3 Solución:

0101:enteroselementosmayorestres

3

4,fDom

3

4x

3

22x

02x

232

2x

221

2x

22

2x

2x2xf)I

Clave: C



3. Halle un intervalo para que la función 2xx21xf sea inyectiva y

decreciente.

A) 1,0 B) 0, C) 1,12

D) 5,1 E) ,0

Solución:

0x;1x2

0x;1x2xf

0x;xx21

0x;xx21xf

2

2

2

2

Del gráfico:

f es inyectiva y decreciente en 5,1

Clave: D

4. Dada la función mx4

1xf si se cumple 0m;1mfm4f 2 .

Determine el valor de 4f4f .

A) 13 B) 2 C) 8 D) 3 E) 11

Solución:

114f4f

82444f

324

44f

2m

1m2

2m02m3m2m1m4m4

m4

1mfm4fSi)II

mx4xf

my4xmx4

1xfySea)I

22

2

Clave: E

Y

2

– 1 1 x



5. Determine la función inversa de 14xxfpordefinida4,1:f 2 R .

A) 8,1x;1x1xf B) 8,1x;1x4xf

C) 8,0x;1x4xf D) 8,1x;11xxf

E) 8,1x;41xxf

Solución:

1x4xf

1y4x

1y4x

4x1y

14xxfySea)II

8,1fDom

8xf1

814x194x0

04x34x14,1x)I

2

2

22

Clave: B

6. Si fDomhalle,32xf x .

A) ,2 B) R+ C) 2, D) 2,2 E) ,2

Solución:

2,fDom

2xf232

x03xx

32xf

x

x

x

RRR

Clave: C

7 Si 13fhalle,8x;8xlog10xf 22

A) 4 B) 8 C) 2 D) 8 E) 62

Solución:

Sea 8x,8xlog10xfy 22

10y2

222

28x

8x,10y8xlog



48213f

82xf

82x

1013

10x

10y

Clave: A

8. Determine el rango de la función 4

5,

2

1x,exf

1x1ln2

.

A) 2

e,0 B)

2

1,0 C)

22

e,2

e D) 22 e2,e E)

2

2

e,2

e

Solución:

22

22

21x1ln22

1ln21x1ln22

1ln2

1x1ln2

e,2

efRan

exf2

e

ee2

e

eee

1ln1x1ln2

1ln

11x12

1

2

11x0

4

11x

2

1

4

5x

2

1

4

5,

2

1x,exf

Clave: E

EVALUACIÓN DE CLASE

1. Dada la función ba0;b5

a3xf

a3x2

, indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

I) f es creciente II) f es inyectiva III) b5

a3

2

a3f

A) VVV B) VFF C) VFV D) FFF E) VVF



Solución:

F1b5

a3

b5

a3

2

a3f)III

Vinyectivaesfxxa3x2a3x2

b5

a3

b5

a3xfxf/xyx)II

Vcrecienteesfxfxf

b5

a3

b5

a31

b5

a3b5b3a30Como

a3x2a3x2xx/xyxSea

fDom)I

ba0;b5

a3xf

0a32

a32

2121

a32x2a3x2

2121

21

a32x2a31x2

212121

a3x2

R

R

R

Clave: E

2. Dada la función 11,23,0fDom:f definida por baxxf , 0a

es creciente y suryectiva, halle el valor de 11ff .

A) – 4 B) 4 C) 5 D) 3

1 E)

3

1

Solución:

3

13f11ff

3

2xxf

3

2yx

2x3ySea)II

2x3xf

3a11ba3113f

2b20f

11,23f,10ffRansuryectivaycrecienteesf)I

Clave: E



3. Si 1x

3x2xfquetalb

2

3,a

5

114,0fDom:f

es una función

biyectiva, halle baf .

A) 1 B) 0 C) 2

1 D) 2 E) – 1

Solución:

0113fbaf

2x

11xf

2y

11x

2y

11x

1x

12y)II

2bb2

33

1aa5

11

5

11

b2

3,a

5

113,

5

11fRan3

1x

12

5

11

11x

1

5

151x14x04,0x

1x

12

1x

3x2xf)I

Clave: B

4. Si b,axfDomy1,1x,x1

xxf

, halle el valor de

ab8a4b2 .

A) 3 B) 9 C) 2

1 D) 2 E) 1

Solución:

x1

11

1x0,x1

xxfSea

0x1,x1

x

1x0,x1

x

xf

1,1x,x1

xxf

1



9a4b2

2

1b;

2

1afDom

2

1,

2

1fRanfRanfRan

0,2

1fRan

0x1

11

2

11

x1

1

2

11x0

0x1,x1

11

x1

xxfSea

2

1,0fRan

2

1

1x

110

2

1

1x

1121x11x0

ab8

21

2

2

1

Clave: B

5. Si

4,3x,63x

1

3x

1xxf

2

, halle el valor de 15f .

A) 2

7 B)

2

5 C)

2

1 D)

7

2 E)

7

5

Solución:

2

7

1615

1315f

16x

13xf

16y

13x

16y

13x

16y3x

16y

3x

11

3x

11

3x

2x6y

63x

13x1x6

3x

1

3x

1xxfy

22

22

Clave: A

6. Si 3,1 pertenece a la gráfica de la función f definida por x22xaxf , halle

el rango de f.

A) 3,0 B) 3, C) 3,3 D) 3,0 E) 3,



Solución:

3,0fRan

3xf03

1

3

10

111x01xx

3

1

3

1xf

3

1aa31f

fdegráfica3,1

1121x

22

121xx22x

21

R

Clave: A

7. Halle el dominio de la función f definida por 21 xx2lnxf .

A) 12,0 B) 1,0 C) 2,1

D) 2

3,

2

1 E) 2,0

Solución:

12,0fDom

1x2,0x

1xx202xx

0xx2ln0xx2

fDomx;xx2lnxf

1x

2

22

21

Clave: A

8. Si

2x1x

10loglnxf , halle la suma de los elementos enteros

del dominio de f. A) 4 B) 2 C) – 1 D) 5 E) – 5 Solución:

0

2x1x

100

2x1x

10log

2x1x

10loglnxfSi



123:fDomdelenterosvalores

3,12,4fDom

02x1x02x1x

3x4x

02x1x

xx12

012x1x

10

2

Clave: C

Geometría

1. Dada la ecuación de la elipse 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0. Halle las coordenadas

de su centro.

A) (1; – 4) B) (3; – 7) C) (3; – 1) D) (4; – 3) E) (1; – 1)

Solución:

Completando cuadrados:

5(x2 – 6x + 9 – 9) + 9(y2 + 2y + 1 – 1) + 9 = 0

5(x – 3)2 – 45 + 9(y + 1)2 – 9 + 9 = 0

5(x – 3)2 + 9(y + 1)2 = 45

5

)1y(

9

)3x( 22

= 1

C = (3;–1) Clave: C

2. Halle la ecuación de una elipse cuyos focos son los puntos F1(3;2) y F2(3;–4), si se

sabe además que la longitud de su eje mayor es 10 unidades.

A) 16(x – 3)2 + 25(y – 5)2 = 400 B) 25(x – 3)2 + 16(y + 1)2 = 400

C) 16(x – 5)2 + 25(y – 3)2 = 400 D) 9(x – 5)2 + 25(y – 3)2 = 400

E) 25(x – 3)2 + 9(y – 5)2 = 400



Solución:

Tenemos que 2a = 10 a = 5

De la figura tenemos 2c = 6 c = 3

Pero a2 = b2 + c2 b = 4

2

2

2

2

5

)1y(

4

)3x(

= 1

25(x – 3)2 + 16(y + 1)2 = 400

Clave: B

3. En la figura se muestra una elipse de centro O donde F1 y F2 son sus focos. Si la

elipse tiene por ecuación n14

x2

+

n5

y2

= 1 y OB2 = 4F2O. Halle OC.

A) 2 2 m B) 2 3 m

C) 3 m D) 4 m

E) 6 m Solución:

Tenemos que n5b

n14a2

2

22

222

bac

cba

Pero a2 = 4c

14 – n = 4 n5n14 n = 2

b = 3 m

Clave: C

4. Si la recta L : y = 2x + n, n > 0 es tangente a la elipse 9x2 + 4y2 = 36. Halle n2 – 9.

A) 5 B) 9 C) 12 D) 16 E) 25

Solución:

Como y = 2x + n ; n > 0

9x2 + 4(2x + n)2 = 36

9x2 + 4(4x2 + 4xn + n2) = 36

25x2 + 16nx + 4n2 – 36 = 0

Pero = 0

256n2 – 400n2 + 3600 = 0

n = 5

n2 – 9 = 16 Clave: D

Y

X

C

D

OA BF1 F2

Y

X

F1 (3,2)

O

F2 (3, 4)

C(3, 1)

Y

XOF1 F2

L

(x,y)n

: y = 2x + n



5. En la figura, la elipse tiene por ecuación 16x2 + 25y2 – 400 = 0. Si F1 y F2 son sus

focos y además F2 es centro de la circunferencia de radio 4 m, halle la abscisa del

punto P.

A) 3 m B) 4 m

C) 5 m D) 2

5 m

E) 3

5 m

Solución:

Como la ecuación de la elipse es

2

2

2

2

4

y

5

x = 1

4b

5a c = 3

En el F1PF2:

62 – (3 + x)2 = 42 – (3 – x)2

20 – 9 – x2 – 6x = – 9 – x2 + 6x

12x = 20

x = 3

5 m

Clave: E

6. En la figura, F1 y F2 son los focos de la elipse cuya ecuación es 24

y

49

x 22

= 1.

Si PF2 = 6 m, halle el área de la región triangular F1PF2. A) 26 m2

B) 28 m2

C) 24 m2

D) 12 m2

E) 36 m2 Solución:

Como a = 7

F1P + PF2 = 14

F1P + 6 = 14

F1P = 8

21PFFS = 2

48 = 24 m2

Clave: C

Y

XOF1 F2

P

Y

XOF1 F2

P

Y

XOF1 F2

P

6 4

H3

x

3 x

Y

XOF1 F2

P

6



7. En la figura, F1 y F2 son los focos de la elipse. Si AF1 = 2 m, halle el inradio del

triángulo ABF2.

A) 1 m B) 2 m

C) 3 m D) 4 m

E) 5 m

Solución:

Por definición tenemos

F1B + BF2 = 2 + AF2

pero por Poncelet:

AB + BF2 = AF2 + 2r

2 +

2

21

AF2

BFBF

= AF2 + 2r

r = 2 m Clave: B

8. En la elipse cuya ecuación es 4

y

9

x 22

= 1, halle el área de la región triangular en

metros cuadrados formada por un lado recto y los segmentos que unen sus

extremos con el centro de la elipse.

A) 3

4 m2 B)

3

58 m2 C)

3

52 m2 D)

7

4 m2 E)

3

54 m2

Solución:

Si 4

y

9

x 22

= 1 a = 3 y b = 2 c = 5

PQ = a

b2 2

PQ = 3

8

SPOQ = 53

8

2

1

SPOQ = 3

54

Clave: E

Y

XOF1

F2

B

A

Y

XOF1 F2

P

Q

Y

XOF1

F2

B

A

2



9. En la figura, O es el centro de la circunferencia cuyo radio es 5 m. Si A y B son los

focos de la elipse y mAMB = 106°, halle las coordenadas del punto C.

A) (2;1) B) (3;1) C) (4;6) D) (4;1) E) (5;1)

Solución:

Como BC es diámetro

m )CAB = 90° y

m )BCA = 53°

por definición:

2a = 16

a = 8

LN = 16 LA = BN = 4

C = (4;6) Clave: C

10. En una elipse que tiene por ecuación x2 + 2y2 = 8, se traza la recta tangente en el

punto P( 6 ; – 1). Halle la ecuación de la recta.

A) 6 x – 2y = 8 B) 6 x + 2y = 4 C) 6 y – 2x = 8

D) 6 y – 2x = 6 E) 6 x – 2y = 4

Solución:

Como ( 6 ,– 1) L

– 1 = m 6 + b

Como: x2 + 2y2 = 8

x2 + 2(mx + b)2 = 8

x2(1 + 2m2) + 4mbx + 2b2 – 8 = 0

Pero = 0 tiene única solución

16m2b2 – 4(1 + 2m2)(2b2 – 8) = 0

8m2 = b2 – 4

Reemplazando tenemos:

2m2 – 2m 6 + 3 = 0 m = 2

6

y = x 6 – 7

y = x2

6 – 4 2y = x 6 – 8

Clave: A

Y

X

OB

C

AM

(16;0)

Y

XO

( 6, 1)

L : y = mx + b

Y

X

OB

C

AM

L N

53°

4 4

55

8

6

106°



11. Se tiene una elipse de focos F1(– 2;0) y F2(2;0) en donde se ubican los puntos A y B de tal manera que el área de la región cuadrangular F1AF2B es máxima e igual a 4 m2. Halle la ecuación de la elipse.

A) 2

y

6

x 22

= 1 B) 2

y

8

x 22

= 1 C) 12

y

9

x 22

= 1

D) 22

y5

x = 1 E)

4

y

9

x 22

= 1

Solución:

BAFF 21S =

2

1AB F1F2

1

sen

= 90°

Luego tenemos

4 = 2

1AB 4

AB = 2

5a2c

1b

5

x2

+ y2 = 1

Clave: D 12. En la figura, determine la ecuación de la elipse que describe el punto P(x;y) sobre el

plano xy, si se cumple que el producto de las tangentes de los ángulos de las bases es siempre igual a 4.

A) 36

y

9

x 22

= 1 B) 25

y

16

x 22

= 1

C) 9

y

36

x 22

= 1 D) 25

y

9

x 22

= 1

E) 36

y

9

x 22

= 1

Solución:

Tenemos que:

tgtg = 4

)x3(

y

)x3(

y

= 4

y2 = 4(9 – x2)

36

y

9

x 22

= 1

Clave: A

Y

XOB( 3;0) A(3;0)

P(x;y)

XF1( 2,0) F2(2,0)

A

B

4

Y

XOB( 3;0) A(3;0)

P(x;y)

3 x 3 x

y



13. En la figura se muestra una elipse de centro O cuyos focos son F1 y F2.

Si L1 : 3 x – y + 2 3 = 0 y la suma de pendientes de L1 y L2 es cero, halle la ecuación

de la elipse.

A) x2 + y2 = 16

B) 4

y

10

x 22

= 1

C) 16

y

12

x 22

= 1

D) 12

y

16

x 22

= 1

E) 4

y

9

x 22

= 1

Solución:

Tenemos que: 1

mL

+ 2

mL

= 0

Pero 1

mL

= 3

tg = 3 = 60°

a = 4, b = 2 3 , c = 2

12

y

16

x 22

= 1

Clave: D

14. Determine el lugar geométrico de todos los puntos P(x;y) del plano cartesiano tal que la suma de sus distancias a los puntos Q(– 3;0) y R(3;0) es siempre constante e igual a 10 unidades.

A) x + y = 10 B) 25x2 + 16y2 = 400 C) 16x2 + 25y2 = 400 D) 5x2 + 4y2 = 20 E) 4x2 + 5y2 = 20 Solución:

Tenemos d1 = 22 y)3x(

d2 = 22 y)3x(

10 = d1 + d2

(10 – d1)2 = d2

2

100 + 12x = 20 22 y)3x(

400 = 16x2 + 25y2

16

y

25

x 22

= 1

Clave: C

Y

XOF1 F2

L 2 L 1

Y

XOF1 F2

L 2 L 1

2

42 3

= 60° 60°

Y

XO B(3;0)A( 3;0)

(x;y)d1

d2



1. Los focos de una elipse son los puntos F1(3,0) y F2(–3,0) y la longitud de su lado recto es 9 unidades. Halle la ecuación de la elipse.

A) 36

y

81

x 22

= 1 B) 27

y

49

x 22

= 1 C) 27

y

36

x 22

= 1

D) 36

y

27

x 22

= 1 E) 81

y

36

x 22

= 1

Solución:

MN = a

b2 2

= 9

2

9

a

b2

pero c = 3

Como a2 = b2 + c2

4k2 = 9k + 9

4k2 – 9k – 9 = 0

4k 3

k – 3

k = 3

a = 6, b = 3 3 , c = 3

27

y

36

x 22

= 1

Clave: C

2. Los puntos A(2;m) y B(n;4) pertenecen a una elipse cuyo centro es el punto

C(3;1). Si AB contiene al centro, halle mn.

A) – 3 B) 8 C) – 8 D) 3 E) 4

Solución:

2

)m,2()4,n( = (3,1)

n = 4 y m = – 2

mn = – 8 Clave: C

Y

XOF1( 3,0)

M

N

F2 (3,0)

Y

X

A(2,m)

B(n,4)

(3,1)

~

~



3. En la figura, se muestra una elipse de centro O cuyos focos son F1 y F2 .

Si 4

3

AQ

FF 21 y F1B + F2B = 20 cm, halle la ecuación de la elipse.

A) 64

y

100

x 22

= 1

B) 100

y

64

x 22

= 1

C) 100

y

25

x 22

= 1

D) 16

y

25

x 22

= 1

E) 100

yx

22 = 1

Solución:

Como F1B + F2B = 20 cm

Por definición:

2a = 20

a = 10 cm

4

3

AQ

FF 21 k8AQ

k6FF 21

k4b

k3c a = 5k

5k = 10

k = 2

100

y

64

x 22

= 1

Clave: B

4. En la figura, se muestra una elipse de focos F1 y F2 donde AB es el eje mayor y la

recta L es la recta normal a la elipse en T. Si AF1 = 2

5m, F1P = 4 m y PF2 = 6 m,

halle PT.

A) 15 m B) 20 m

C) 25 m D) 30 m

E) 35 m

Y

X

F1

O

F2

B

D

QA

Y

X

F1

O

F2

B

D

QA

3k

3k

4k

T

PA B

F1 F2

L



Solución:

Como L es normal a la elipse en T

mF1TP = mPTF2

Luego por el primer T.B.I. en el TF1F2:

n3

n2

TF

TF

2

1 3n

15n5

Por el segundo T.B.I.:

x2 = 6(9) – 24

x = 30 m

Clave: D 5. El centro de una elipse es el punto M(3;5) y sus focos son F1(–1;5) y F2(7;5). Si

el eje menor tiene una longitud de 10 unidades, halle la ecuación de la elipse.

A) 41

)5y(

25

)3x( 22

= 1 B)

25

)5y(

41

)3x( 22

= 1

C) 9

)5y(

25

)3x( 22

= 1 D)

25

)5y(

9

)3x( 22

= 1

E) 9

y

25

x 22

= 1

Solución:

Como 2b = 10

b = 5 m

de la figura c = 4 m

como a2 = b2 + c2

a = 41

25

)5y(

41

)3x( 22

= 1

Clave: B

6. Si Q(–2 5 ;2) es punto de una elipse cuya longitud de su semieje menor es 3

unidades. Halle la ecuación de la elipse cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas.

A) 9

y

16

x 22

= 1 B) 36

y

49

x 22

= 1 C) 9

y

36

x 22

= 1

D) 5

y

9

x 22

= 1 E) 192

y

256

x 22

= 1

T

PA B

F1 F2

L

5/2 4 5/26 2n 3n

x

M(3,5)F1( 1,5) F2 (7,5)10 m



Solución:

E : 2

2

2

2

b

y

a

x = 1

como Q E y b = 3

9

y

a

x 2

2

2

= 1

9

2

a

)52( 2

2

2

= 1

a2 = 36 a = 6

9

y

36

x 22

= 1

Clave: C

1. Dada la función f definida por f(x) = 4arcsen

6

2x, hallar la intersección del

dominio y rango de f.

A) [– 2 ,8] B) [– 8, 2 ] C) [– 8,4] D) [– 2 ,2 ] E) [– 2 ,4] Solución:

Domf: – 1 6

2x 1 – 8 x 4

Domf = [– 8, 4]

Ranf: – 2

arcsen

6

2x

2

– 2 4 arcsen

6

2x 2

– 2 f(x) 2

Ranf = [– 2, 2]

Domf Ranf = [– 2 ,4] Clave: E

2. Calcular el valor de arcsen

7

130cos +arccos

7

96sen .

A) 7

5 B)

7

6 C)

11

5 D)

7

3 E)

14

5

Y

XOF1 F2

Q( 2 5,2)

Trigonometría



Solución:

14sen

14sen

7

4cos

7

130cos

14

11cos

14

3cos

7

5sen

7

5sen

7

96sen

7

5

14

10

14

11

1414

11cosarccos

14senarcsen

Clave: A

3. La función real F está definida por F(x) = 4 + 12arctg(3x – 2), 3

23x

3

1 , el

rango de F es el intervalo [a,b] ; calcular a

b.

A) 8 B) 7 C) 9 D) 6 E) 10

Solución:

1 3x 3 + 2 – 1 3x – 2 3

arctg(– 1) arctg(3x – 2) arctg( 3 )

– 4

arctg(3x – 2)

3

– 3 12 arctg(3x – 2) 4

4 + 12 arctg(3x – 2) 8

RanF = [, 8] a

b =

8 = 8

Clave: A

4. Sean las funciones reales f y g definidas por f(x) = sen4

x + cos(arctgx) y

g(x) = 3 tg(arccos(– x)); calcule f(1) + g

2

1.

A) 2 – 2 B) 2 – 3 C) 2 + 3 D) 2 + 1 E) 2 + 2 Solución:

f(1) + g

2

1 =

2

1arccostg3)1(arctgcos(

4sen

=

3

2tg3

4cos

4sen = 2 – 3

Clave: B



5. Calcular el valor de cos2

4

1arccos

2

1 + sen2

3

1arccos

2

1.

A) 4

21 B)

24

19 C)

24

23 D)

3

14 E)

24

7

Solución:

cos2x = 2

x2cos1; sen2x =

2

x2cos1

= arccos4

1 cos =

4

1

= arccos3

1 cos =

3

1

cos2

4

1arccos

2

1 = cos2

2 =

2

cos1 =

2

4

11

= 8

5

sen2

3

1arccos

2

1 = sen2

2 =

2

cos1 =

2

3

11

= 3

1

8

5 +

3

1 =

24

23

Clave: C

6. Si el rango de la función real f definida por

f(x) =3

arctg(1) + arccos

2

3 arcsen(4x – 5) es [a,b], hallar b – a.

A) 3

2 2 B)

6

7 C)

6

5 D)

5

4 2 E)

6

5 2

Solución:

f(x) = 6

5

12

2

arcsen(4x – 5)

– 2

arcsen(4x – 5)

2

–

12

5 2

6

5arcsen(4x – 5)

12

5 2

– 3

2 f(x)

2

2 Ranf =

12,

3

22

32

22

= 6

5 2

Clave: E

7. Hallar el dominio de la función real f definida por f(x) =

16)x4arctg(

x4tgarc2

2

.

A) R –

4

1,

4

1

B) R –

4

1,

2

1 C) R –

2

1,

4

1

D) R –

4

1,

4

1 E) R –

12

1,

2

1



Solución:

x Domf (arctg4x)2 – 16

2 0

4x4arctg

4x4arctg 0

4x 1 x 4

1

Domf = R –

4

1,

4

1

Clave: D

8. Hallar el dominio de la función real f definida por f(x) = arccos1x

x

2

2

+ arcsen x .

A) [– 1,0] B) [0,1] C)

0,

2

1 D) 0,1 E)

0,

2

1

Solución:

– 1 1 – 1x

1

2 1 – 1 x 1

– 2 – 1x

1

2 0 0 x 1

0 1x

1

2 2

2

1 x2 + 1 < +

– 2

1 x2 < +

0 x < + 0 x 1

Dom f(x) = [0,1]

Clave: B

9. Determine el rango de la función f, definida por f(x) = 65

3x2arcsen

3

2

.

A)

2,0 B)

2,

4 C)

2,0 D)

2,0

E) ,0



Solución:

Como 5

3x2 [–1,1] –

2

arcsen

5

3x2

2

3

2 –

3

3

2arcsen

5

3x2

3

6 –

6

3

2arcsen

5

3x2

Luego 0

)x(f

65

3x2arcsen

3

2

2

Ranf =

2,0

Clave: C

10. Sea f la función real tal que f(x) = 4arcsen

2

1mx y f

3

12 = . Si

Dom(f) = [a,b], calcular 2a + 3b. A) 1 B) 2 C) 0 D) – 1 E) – 2

Solución:

f(x) = 4arcsen

2

1mx, f

3

12 =

4arcsen

2

13

12m

= arcsen2

1

1

3

12m =

4

2

1

1

3

12m =

2

2 m

3

12 = 2 – 1 m = 3

f(x) = 4arcsen

2

1x3

– 1 2

1x3 1 – 2 3x + 1 2 – 3 3x 1 – 1 x

3

1

Domf =

b,a

3

1,1

2a + 3b = – 2 + 1 = – 1

Clave: D



1. Hallar el mínimo valor de la función f definida por f(x) = 2arcsen2x + 6

, x

4

3,

4

1.

A) – 6

B) –

2

C) –

4

D) –

3

E) –

5

Solución:

Como x

4

3,

4

1

– 4

1 x

4

3 –

3

+

6

2arcsen2x +

6

3

2+

6

– 2

1 2x

2

3 –

6

f(x)

6

5

– 6

arcsen2x

3

f(x)

6

5,

6

– 3

2arcsen2x

3

2 min f(x) = –

6

Clave: A

2. Determine el valor de la siguiente expresión:

A = sec2

2

1arctg + sen2

8

7arccos + cos2

8

3arccos

A) 1 B) 2 C) 4

1 D)

2

1 E)

4

3

Solución:

A = 1 + tg2

8

3arcsensen1

8

7arccoscos1

2

1arctg 22

= 1

8

5

8

31

8

1

8

71

4

11

A = 4

3

4

5 = 2

Clave: B



3. Sea la función real f definida por f(x) = arcsen(1 – x ) + arccos

3

2x. Hallar el

dominio de f.

A) [– 2,2] B) [– 2,1] C) [– 5,1] D) [2,5] E) [– 5,– 2] Solución:

– 1 x 1 – 1 3

2x 1

x 2 – 3 x + 2 3

– 2 x 2 – 5 x 1

Domf = [– 2,2] [– 5,1] = [– 2,1]

Clave: B

4. Hallar el dominio de la función real g definida por

g(x) = 6

+ arcsen

2

1x+ arccos(2x + 2).

A)

2

1,1 B) [– 1,0] C)

0,

2

1 D)

1,

2

1 E)

3,

2

1

Solución:

g(x) = 6

+ arcsen

2

1x+ arccos(2x + 2)

– 1 2

1x 1 – 1 2x + 2 1

– 2 x – 1 2 – 3 2x – 1

– 1 x 3 – 2

3 x –

2

1

Dom(g) =

2

1,1

Clave: A

5. Calcular arcsen

2

1arccostg12

1.



A) 12

B)

6

C)

3

D)

12

5 E)

4

Solución:

= arccos

2

1 cos = –

2

1

= 3

2

1 – tg

3

2 = 1 + 3

arcsen

)31(2

1 = arcsen

4

26 =

12


Solucionario – Repaso (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 15

1. Tenemos 4 cajas y 4 objetos; una llave, una moneda, un dado y una canica. Cada

caja contiene un objeto. Se sabe que:

• La caja verde está a la izquierda de la caja azul. • La moneda está a la izquierda de la canica. • La caja roja está a la derecha del dado. • La canica está a la derecha de la caja roja. • La caja marrón está a la derecha de las otras tres cajas. • La llave no está en la caja roja ni en la azul.

¿En qué caja está la moneda?

A) En la caja verde B) En la caja roja C) En la caja azul D) En la caja marrón E) En la caja verde o en la caja marrón

Resolución:

1) Distribución de los objetos en las cajas:

[ ][ ][ ][ ]3214342143421321

marrón

Llave

azul

canica

roja

moneda

verde

dado

2) Por tanto la moneda está en la caja roja.

Rpta: B

2. Un niño siempre dice la verdad los jueves y los viernes y siempre miente los martes. En los demás días de la semana no sabemos cuándo miente o dice la verdad. En siete días consecutivos, se le preguntó su nombre y él contestó los primeros seis días en este orden: Juan, Pedro, Juan, Pedro, Luís, Pedro. ¿Qué respondió el séptimo día? A) Juan B) Pedro C) Luis D) Silvio E) Carlos

Resolución:

1) Tenemos los días y las respuestas:

Vier(V) Sábado Dom Lunes Mart(M) Mier Jueves(V) Vier (V) Sab. Dom Lunes Mart(M) Juan Pedro Juan Pedro Luis Pedro Diría: Juan Juan Pedro Juan Pedro Luis Pedro ⇒⇒⇒⇒⇐⇐⇐⇐ Juan Pedro Juan Pedro Luis Pedro ⇒⇒⇒⇒⇐⇐⇐⇐ Juan Pedro Juan Pedro Luis Pedro ⇒⇒⇒⇒⇐⇐⇐⇐ Juan Pedro Juan Pedro Luis Pedro ⇒⇒⇒⇒⇐⇐⇐⇐ Juan Pedro Juan Pedro Luis Pedro ⇒⇒⇒⇒⇐⇐⇐⇐ Juan Pedro Juan Pedro Luis Pedro ….

2) Por tanto el séptimo día que es jueves respondió: Juan. Rpta: A



3. En una caja se tienen 25 pares de zapatos completos de tres colores distintos y de tres tamaños distintos; si en la caja hay: 6 pares de zapatos rojos, 2 chicos, 3 medianos y 1 grande, 9 pares de zapatos verdes, 3 chicos, 4 medianos y 2 grandes, 10 pares de zapatos azules, 4 chicos, 3 medianos y 3 grandes. ¿Cuál es la cantidad mínima de zapatos que debe sacarse al azar para estar seguros de que se ha sacado un par completo del mismo color y tamaño?

A) 12 B) 26 C) 20 D) 22 E) 30

Resolución:

1) Según el enunciado se tiene:

2 ,2 3 ,3 1 ,1 6 ,6

3 ,3 4 ,4 2 ,2 9 ,9

4 ,4 3 ,3 3 ,3 10 ,10

Color Chico Mediano Grande Total

Rojo D I D I D I D I

Verde D I D I D I D I

Azul D I D I D I D I

2) Peor de los casos: Como queremos que sea del mismo color, del mismo tamaño y que sea un par completo será: 10D+9D+6D+1I(cualquiera que sea el tamaño).

3) Por tanto es necesario extraer como mínimo 26 zapatos. Rpta: B

4. Nueve fichas diferentes de un juego de dominó se colocan como se muestra en la

figura 1, siguiendo las reglas del juego (blanca se empareja con blanca, 1 con 1, 2 con 2 y así sucesivamente), como se muestra en la figura 2 ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de puntos de las 9 fichas, como se muestra en la figura 1, si ya se colocó una de ellas? A) 29 B) 27 C) 28 D) 30 E) 26

Resolución:

1) Según las condiciones del problema, se tiene:

2) Por tanto la suma mínima de las 9 fichas es 28.

Rpta: C

Figura 2

Figura 1



5. Halle el valor de X sabiendo que es un cuadrado mágico y se compone de los números del 10 al 18.

X

A) 14 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17

Resolución:

a + x + f = N b + x + e = N c + x + d = N

(a + b + c) + 3X+(d + e + f) = 3N N+3X+N=3N ⇒ 3X=N ⇒ X=N/3 En este cuadrado mágico, N es la tercera parte de la suma de sus elementos 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 126 ⇒ N = 42. Luego X = 14.

Rpta: A 6. En el siguiente tablero, ¿cuál sería la mínima suma obtenible de los nueve números

positivos del tablero si se considerara que fichas con numeración consecutiva no pueden ir en casillas con un lado común?

A) 33 B) 32 C) 25 D) 30 E) 31

Resolución:

Suma = 25 Rpta: C

2

1 5

4 1

1 5 2

1 5 2

4 1 4

4 2 2

1 5 2

4 1 4

x

a b c

d e f



7. Florencia debe tomar una pastilla del tipo A cada 8 horas y 2 pastillas del tipo B cada 7 horas. Si inició su tratamiento tomando ambos tipos de pastillas, ¿en cuántas horas como mínimo habrá tomado 18 pastillas?

A) 35 B) 40 C) 36 D) 38 E) 42 Resolución:

1Nro pastillas tomadas = Nro pastillas del tipo A + Nro de pastillas del tipo B

Nro pastillas tomadas = 181T

218

T1

7=+++

⇒ 23T = 56 (15) = 840 ⇒ T = 36,5

Nro pastillas del tipo A = 5 18

321 =+

Nro de pastillas del tipo B = 12 135

27

=+

Rpta: B

8. Una caja contiene 35 esferas azules, 31 esferas amarillas, 33 esferas rojas y 29 esferas blancas. ¿Cuántas esferas, como mínimo, se debe extraer al azar, para tener la certeza de obtener 4 esferas del mismo color, en 3 de los 4 colores?

A) 73 B) 15 C) 102 D) 75 E) 32

Resolución :

– Azules(35): 35 – Amarillas(31): 3 – Rojas(33): 33 – Blancas(29): 3 – Adicional: 1

Por tanto, como mínimo se deben extraer 75 esferas.

Rpta: D

9. Se muestran “n” circunferencias mayores y otras menores, dispuestas como indica la

figura. Determine el máximo número de puntos de cortes.

A) 10(n-1) B) 5(n+1) C) 10(n+1) D) 30(n-1)

E) 5(n-1)

Para tomar las 18 pastillas:

Tiempo mínimo = 40 h

Peor de los casos



Resolución: Por recurrencia: n = 2 ⇒ M= 10 = 10 x1 = 10(2 – 1) n = 3 ⇒ M= 20 = 10 x2 = 10(3 – 1) n = 4 ⇒ M= 30 = 10 x3 = 10(4 – 1) … Luego para “n” circunferencias mayores: M =10(n-1)

Rpta: A

10. En una reunión hay 100 personas; de ellas 40 no tienen hijos; 60 son hombres; 10 mujeres están casadas, 25 personas casadas tienen hijos; hay 5 madres solteras. ¿Cuántos hombres son padres solteros?

A) 30 B) 10 C) 15 D) 25 E) 20

11. De un recipiente lleno con aceite se extrae 1/5, luego 3/7 de lo que queda y luego

1/8 de lo que quedaba. Luego se añade la mitad de los 2/3 de lo que se había extraído hasta el momento. ¿Qué fracción del volumen que había inicialmente queda en el recipiente?

A) 3/5 B) 7/8 C) 9/11 D) 3/4 E) 5/6 Resolución:

V: volumen inicial

Se extrae Queda Finalmente 1ro

V5

1 V

5

4

2do

V5

4

7

3

V5

4

7

4

3ro VV

35

2

5

4

7

4

8

1 =

5

2

5

4

7

4

8

7 VV =

VVV

5

3

5

3

3

2

2

1

5

2 =

+

Finalmente F(V)=: 53

FV53 =⇒

Rpta: A

…



12. Marcos le dice a Jaimito: “En una división entera inexacta, el residuo por defecto es la cuarta parte del residuo máximo y el residuo por exceso es 346. Si hallas el valor del dividendo, tu propina será, en soles, la suma de cifras del valor obtenido”. Si el cociente de la división por defecto es 7, ¿cuál será la propina de Jaimito?

A) S/. 12 B) S/. 8 C) S/. 9 D) S/. 11 E) S/. 13

Resolución:

346r;4

1d

4

rrrd(q)D e

máximodd =

−==⇒+=

461d13833d

4d13841-dd3464

1-ddrr de

=⇒=

=+⇒=+⇒=+

122433dividendocifrasSuma3342115)7(461rd(q)D d =+++=⇒=+=+=

Propina de Jaimito es de S/. 12

Rpta: A

13. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible, sin que sobre madera. ¿Cuál debe ser la longitud en centímetros del lado de cada cuadrado y cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera, respectivamente?

A) 22 y 22 B) 24 y 32 C) 32 y 24 D) 22 y 24 E) 24 y 22

Resolución:

a) La longitud L del lado del cuadrado debe ser un divisor de 256 y de 96, y además el mayor divisor común; ⇒ L= m.c.d. (256,96) = 32

b) 248(3)323296256

cuadradosNro. ==××=

Rpta: C

14. La relación de los volúmenes de aceite de motor de tres cilindros es de 45, 36 y 27.

Si se vierte aceite de motor del primer cilindro al segundo y luego del segundo al tercero, entonces la nueva relación es de 9, 15 y 12 respectivamente. Si en total se ha transferido 108 litros de aceite de motor, halle el volumen inicial del cilindro de menor capacidad.

A) 144 L B) 108 L C) 180 L D) 114 L E) 111 L



Resolución:

108y x; 3k 4k 5k yx =+→→

4y3k

5y-x4k

3x-5k +=+= ⇒

===

36k

36y

72x

3k 3(36) 108 litros.∴ = =

Rpta: B

15. En una fiesta infantil se reparten 492 caramelos entre 12 niños. El reparto se realizó según el orden de llegada. Si cada niño recibió dos caramelos más que su antecesor, ¿cuántos caramelos recibió el niño que llegó último?

A) 52 B) 54 C) 50 D) 48 E) 56

Resolución: Total de caramelos 492= Total de niños 12=

( )( )( )

( )

1

2

3

4

12

N a

N a 1 2

N a 2 2

N a 3 2

.

.

.

N a 11 2

=

= +

= +

= +

= +

⇒

( )

( )12

492 12a 2 1 2 3 4 . . . 11

11 12492 12a 2

2

492 12a 11 12

41 a 11

a 30

N 30 11 2 52

= + + + + + +

× = +

= + ×= +

=∴ = + =

Rpta: A

16. Halle la suma de cifras de “”117P” si

...2048

3

1024

5

64

1

64

3

8

1

4

1P ++++++=

A) 6 B) 9 C) 10 D) 11 E) 7



Resolución:

...4096

6

1024

5

256

4

64

3

16

2

4

1P ++++++=

...1024

6

256

5

64

4

16

3

4

21-4P +++++=

3P – 1 = 3

1

1/4-1

1/4...

4096

1

1024

1

256

1

64

1

16

1

4

1==++++++ ⇒ 117P = 52

Suma de cifras = 5 + 2 = 7

Rpta: E

17. Calcule ...3

2186

3

242

3

26

3

1

3

1S

1410622+++++=

A) 36

7 B)

25

8 C)

25

17 D)

80

21 E)

40

9

Resolución:

• ...3

13

3

13

3

13

3

1-3S

14

7

10

5

6

3

2+

−+

−+

−+=

•

++++++++= ...

3

1

3

1

3

1

3

1- ...

3

1

3

1

3

1

3

1S

141062753=

80

21

80

9

8

3

1/31

1/9

1/31

1/342

=−=−

−−

Rpta.: D

18. Kiara salió de compras al supermercado, para ello llevó en su monedero cierta

cantidad de monedas de S/. 1, S/. 2 y S/. 5; y gastó todas las monedas de S/. 2 comprando un peluche de S/.40. Como lo que le quedaba no le alcanzaba para comprar un bolso de S/. 120, se regresó en un taxi pagando con una moneda de S/.5. ¿Cuántas monedas como máximo puede haber tenido en su monedero al salir de compras?

A) 114 B) 115 C) 135 D) 25 E) 47

Resolución: #monedas de S/. 5 = a #monedas de S/. 2 = b #monedas de S/. 1 = c Gasta S/.40 en puras monedas de S/. 2 entonces b = 20

-



Lo que le queda 5a +c < 120 Para maximizar el número de monedas: 5amín + cmáx < 120 amín = 1 ⇒ cmáx < 115 ⇒ cmáximo = 114 Total de monedas como máximo: a + b + c = 135

Rpta: C 19. Tres amigas, María, Clara y Pilar, tienen cada una un auto que poseen velocidades

constantes de 35 Km/h, 40 Km/h y 50 Km/h respectivamente. Todas parten del mismo punto en la Panamericana sur; María parte a las 5 h, a las 6 h parte Clara y finalmente a las 8 h parte Pilar. ¿A qué hora se encontrará el auto de Pilar entre los autos de las otras dos amigas?

A) 15,4 h B) 15,5 h C) 16,2 h D) 17 h E) 15 h

Resolución:

Sea t el tiempo que lleva viajando Pilar desde las 8:00 h, así: 105 + 35t – 50t = 50t – (80 + 40t) 185 = 25t t = 37/5 = 7,4h serán las 8 h + 7,4 h = 15,4 h

Rpta: A

20. Si y1

1313yyyR

23

−−−−+

= , y ≠ – 1, halle el máximo valor de “R”.

A) 16 B) 10 C) 13 D) 14 E) 15

Resolución:

• 2223

y131)(y1)13(y

1)(y1)(yy

y1

1313yyyR −=

+−+

−+−+

=−−

−−+=

∴ R máximo = 13

Rpta: C

35(3)+35t Km

2(40)+40t Km

50t Km



21. De la siguiente expresión:

1)(x1)(xx...1)12(xx1)8(xx1)4(xxM

2002949698

100

196

50x

++++++++++=

Donde x∈R; x ≠ 0, ¿cuál es el máximo valor que puede tomar M? A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 50 E) 100 Resolución:

Así el máximo valor de M es 1/2.

Rpta: C

22. Veinticuatro obreros se demoran 36 días en realizar una obra; otra cuadrilla de 16

obreros emplearía 12 días en hacer la misma obra. Se toma 3/4 de la primera cuadrilla y 1/4 de la segunda cuadrilla y todos ellos trabajan juntos por 2 días, a partir del cual todos los obreros de la segunda cuadrilla harán lo que falta de la obra en K días. Halle el valor de K.

A) 10 B) 5 C) 8 D) 11 E) 2

Resolución:

Se ha hecho: 12

1

16(12)

(1/4)(16)2

24(36)

(3/4)24(2)=+

Falta hacer: 12

11 y como la segunda cuadrilla harían lo que falta, entonces lo harían

en 11 días. Rpta: D

23. Si 4 34

1

4xxxxx =

+ , y,

xxxxxR−−= . Halle 8R .

A) 2 B) C) 21

D) 1 E) 2



Resolución: Se tiene:

4 44 42

2xxx ===== 22

1

43/22

1

44

1

4xxx

4 3

Luego

Así 8R =1/2.

Rpta: C

24. Si 562.32yx x

=++

; 8733.21 y x x

=+++

. Calcule 2x – y. A) 1 B) 0 C) – 1 D) 2 E) – 2

Resolución:

• 3. (56)2.321yx x

3

=+++

8733.21 y x x

=+++

41 y x

3 813 ==++

⇒ x + y = 3

• Reemplazando: 562.323x

=+ ⇒ x = 1 ⇒ y = 2

∴2x – y = 2(1) – 2 = 0

Rpta: B 25. Puesto que el día de la proclamación de nuestra independencia nacional fue el 28

de julio de 1821, ¿qué día de la semana cumpliremos 300 años de nuestra proclamación de la independencia?

A) Lunes B) Martes C) Viernes D) Sábado E) Domingo

Resolución: Partiendo del día actual podemos deducir que el 28 de julio del 2012 será sábado

sábado⇒7° Dt= 109+26+1-1=135=19(7)+2=Lunes

28 de julio de 2012 28 de julio de 2121

Tener en cuenta que el año 2100 no será bisiesto

Rpta: A

–



26. Si x33log 3)(loglogx xx = , halle la suma de las cifras del valor numérico de E.

E = ( x log3 x

2 )6 A) 7 B) 5 C) 9 D) 11 E) 10

Resolución:

3xlog

3)x(logxlog

3 = x ⇒ x33)x(logxlog

= ⇒ 3logx = x ⇔ xx = 3

E = ( x log3 x2 )6 = [2 log3 3]6 = 64 Suma de cifras = 10

Rpta: E 27. Jair comienza a desayunar cuando las agujas del reloj se encuentran como indica el

gráfico adjunto. Si 30 minutos antes de comenzar a desayunar escuchó timbrar el teléfono, ¿a qué hora timbró el teléfono? A) 9:02 am

B) 9:32 am

C) 10:02 am

D) 10:32 am E) 9:34 am Resolución: Hora que se muestra: 10h m min. Por hallar m. Cuando el minutero no ha pasado al horario:

α = 30Hm2

11+− ; α = 360 – 71 = 289

289 = 30(10) - m2

11 ⇒ m = 2 ⇒ Hora mostrada: 10h 02 min.

Hora que timbró el teléfono: 9:32am

Rpta: B

28. El disco de radio 4 cm gira una vuelta alrededor del disco de radio 8 cm desde la posición inicial mostrada. ¿Qué ángulo ha girado la rueda pequeña?

A) 120°

B) 110°

C) 150°

D) 127°

E) 135°

2

371

o

12

10

11

6

9

1

BAO1 O

8 cm 4 cm



C

B

A O2

Resolución:

• nv = 42

)48(

πθ+

=πr2

Lc

1 = πθ

2

3 ⇒

3

2π=θ

Rpta.: A

29. En la figura, AO = OB y mBAC = 19º. Halle mBOC. A) 19°

B) 53°

C) 45°

D) 37°

E) 38°

Resolución:

1) Como m ACB θ∧

= , m AOB 2θ∧

= , entonces C es un punto de la circunferencia de centro O que pasa por A y B.

2) El cuadrilátero ABCB’ es inscriptible a la circunferencia de centro O.

3) m BC = 38º ⇒ x = 38º

Rpta.: E

A B O O1

8 cm

4 cm

A

B

38º

19º

x2

O

C

B’



30. En la figura, O1 y O2 son centros de las semicircunferencias, S1 y S2 son áreas de las regiones triangulares APB y BQC, respectivamente. Si P, Q y B son puntos de tangencia y S1.S2 = 256 m², halle el área de la región triangular PBQ.

A) 20 m2

B) 10 m2

C) 16 m2

D) 25 m2

E) 12 m2

Resolución: 1) =AB 2R , =BC 2r , =PQ 2 rR 2) ∆APB ∼ ∆BQC ∼ ∆PBQ

3) = =1 22 2 2

S S S(2R) (2r) (2 Rr )

4) =2

1 22 2 2

S .S S16R r 16(Rr)

5) S1.S2 = S2 = 256 ⇒ S = 16 m2 Rpta: C

31. Fernando y Miguel reciben por herencia terrenos en forma triangular tal como se

muestra en la figura. Si Carlos recibe la parcela triangular ABM y Miguel el terreno MBC y AC = 80m, ¿cuál es el área máxima de terreno que podría tener Miguel?

A) 1600m2

B) 800 m2

C) 400 m2

D) 360 m2

E) 240 m2

Resolución:

45°

B

A MC

A

PQ

C

S S

O O1 2

1 2

B

A

PQ

C

S S

O O1 2

1 2

B

θ

θ α

α r r R R

α θ



Área del triángulo BCM = ( )

2

280 xx− área del triángulo MBC ( )xx−40

Área del triángulo MBC máxima ( )[ ]max40 xx− si y solo si x = 20

Área del triángulo MBC máxima ( )[ ]max2020

Área del triángulo MBC máxima [ ]2400 m Rpta: C

32. En el gráfico, PQ = 8 cm. Calcule el área de la región sombreada. A) 8 πcm2 B) 8 π 2 cm2 C) 16 πcm2

D) 32 πcm2 E) 16 π 2 cm2

Resolución:

Rpta: C

33. Una hormiguita, ubicada en el punto “A”, de un sólido de madera en forma de paralelepípedo se dirige a su hormiguero ubicado en el punto “B”. ¿Cuál será el menor recorrido que debe realizar?

A) 30 cm

B) 31 cm

C) cm514

D) cm518

E) 24 cm

A

B

18 cm

10 cm

14 cm

r

OQ

P



Resolución:

Caso:I

Por el teorema de Pitágoras:

d=+ 22 1824 d = 30cm Casos: II Por el teorema de Pitágoras:

d=+ 22 1428

514=d d = 31.30495168 por lo tanto el menor recorrido es: 30 cm

Rpta: A

Aritmética

1. Si r)p(q)(p ∆¬∨→ es falsa, halle el valor de verdad de cada una de las

proposiciones siguientes I. rq)(p ∆∆ II. rr)(p ∆↔¬ III. [ ] r)(pqr)(p ∆→∧∨

A) VVV B) VVF C) VFF D) VFV E) FFF RESOLUCIÓN: I. V II. V III.V

Clave: A

2. Clasifique las siguientes proposiciones como tautología (T), contradicción )(⊥ o contingencia (C)

I. q)(pq)(p ∨∧→ II. p)(pp)(p →∆¬∆ III. pq)(p →∧

A) ⊥ ,C,T B) C, ⊥ ,T C) T,C, ⊥ D) ⊥ ,T,C E) C,T, ⊥ RESOLUCIÒN: I. C II. ⊥ III.T

Clave: B

A

B

18cm

10cm 14cm

d

A

B

18cm10cm

14cmd



3. En una fiesta donde hay 70 personas, 10 son hombres que no les gusta la cumbia y 20 son mujeres que les gusta este ritmo. Si el número de hombres que gustan de la cumbia son la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música, ¿a cuántas personas les gusta la cumbia?

A) 20 B) 30 C) 10 D) 15 E) 40 RESOLUCIÓN:

H M C 10 20

NC 10 30 Clave: B

4. En una encuesta realizada a 200 personas sobre el consumo de 3 refrescos

que llamaremos A, B y C se obtuvieron los siguientes resultados: 60 personas consumen sólo A , 22 consumen sólo 2 de los 3 refrescos , 8 consumen los 3 , los que consumen B o C pero no A son 72 , los que consumen B y C pero no A son 12 , los que consumen A y B son tantos como los que consumen A y C, 50 personas consumen C.

a) ¿cuántas personas de las encuestadas consumen el refresco A? b) ¿cuántas personas consumen al menos uno de estos refrescos? c) ¿qué porcentaje de los encuestados no consume ninguno de los 3

refrescos? A) 25, 78, 150 B) 78, 25, 150 C) 150, 25, 78 D) 150, 78, 25 E) 78, 150, 25 RESOLUCION:

a) 78 b) 150 c) 25 Clave: E

5. Consideremos los números de 5 cifras formados por los dígitos 1 y 2. ¿En

cuántos de ellos el 1 aparece más veces que el 2? A) 16 B) 20 C) 32 D) 18 E) 12 RESOLUCIÓN: _ _ _ _ _ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 1 1 1 2 2 10 TOTAL 16

Clave: A

6. ¿Cuántos de los 60 números: 84; 2(84); 3(84); ... ; 58(84); 59(84); 60(84) son múltiplos de 60?

A) 12 B) 18 C) 30 D) 15 E) 14



RESOLUCIÓN:

5K60732K84K 2 =→=×××=×∗

, TOTAL 12

Clave: A

7. Pablo eligió tres dígitos distintos y escribió todos los números de 3 cifras que se forman con ellos (sin repeticiones). Después sumó todos los números que obtuvo. Halle la suma que obtuvo Pablo, sabiendo que la suma de los dígitos originales es 14.

A) 4 800 B) 3 108 C) 4 662 D) 3 200 E) 3 000 RESOLUCIÓN:

cab,cab,bca,bac,acb,abc , entonces la suma es 222( a + b + c ) = 3 108

Clave: B

8. En un número de tres cifras cuya suma de sus cifras es 18. La cifra de las unidades es el doble de la de las decenas. Por último, la diferencia que se obtiene restando el número dado y el formado al invertir el orden de sus cifras es 297. ¿Cuál es el número inicial?


3b , 9a 183ba3a 297(2b)baab(2b) ==→=+∧=∧=−∗

; el número inicial es 936

Clave: D

9. Juan ha decidido repartir 35 canicas entre sus primos. Si nadie puede tener la misma cantidad de canicas, ¿cuál es la máxima cantidad de primos a los que les puede repartir sus canicas?

A) 8 B) 7 C) 5 D) 4 E) 6 RESOLUCION:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 14; Máxima cantidad de primos = 7 Clave: B

10. Un niño quiere subir una escalera; lo puede hacer subiendo uno o dos escalones a la vez. Si la escalera tiene 10 escalones en total, ¿de cuántas formas distintas puede subir la escalera?


I. De uno en uno (1 opción) II. Solamente en una ocasión sube dos escalones a la vez (9 opciones) III. En dos ocasiones sube dos escalones a la vez (28 opciones) IV. En tres ocasiones sube dos escalones a la vez (35 opciones) V. En cuatro ocasiones sube dos escalones a la vez (15 opciones) VI. En cinco ocasiones sube dos escalones a la vez (1 opción) Por lo tanto el niño tiene 89 opciones

Clave: C



11. Un señor quiere repartir entre sus 3 hijos 15 monedas, pero el desea que cada uno de ellos reciba al menos una moneda. ¿De cuántas formas distintas puede repartirles las monedas?


91C142 =

Clave: A 12. Se tienen menos de 200 canicas. Si se reparten entre 3 niños, sobra una; si se

reparten entre 7 niños, sobran 2 y; si se repartieran entre 5 niños, no sobraría ninguna. ¿Cuántas canicas sobrarían si se reparte a 6 niños?


100N100105100510071003N =→+=+=+=+=••••

, Luego sobrarán 4 canicas

Clave: A

13. Un comandante dispone su tropa formando un cuadrado y ve que le quedan 36 hombres por acomodar. Decide poner una fila y una columna más de hombres en dos lados consecutivos del cuadrado y se da cuenta que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado más grande. ¿Cuántos hombres hay en la tropa?

A) 3 061 B) 55 C) 3 025 D) 2 004 E) 2 000 RESOLUCIÓN: 55x36x751)(x 22 =→+=−+ , habrán 061 336552 =+ soldados

Clave: A

14. ¿Cuántos enteros del 1 al 2004 (inclusive ambos) al elevarlos a la vigésima potencia, el resultado es un número terminado en 1? (En otras palabras, ¿para cuántos valores de “n” la cifra de las unidades de 20n es 1?)


1, 11, 21, …, 2001 201 3, 13, 23, …, 2003 201 7, 17, 27, …, 1997 200 9,19, 29, …, 1999 200, En total hay 802

Clave: C



15. Hay un número que tiene 2005 dígitos y tiene el siguiente patrón: 18263171826317182631718263171826317. . . Halle el número de tres cifras que se forma con los tres últimos dígitos


Se van agrupando de 7 en 7, y como 372005 +=•

, el número buscado será 182

Clave: C

16. Un lingote está compuesto de plata y cobre en la proporción de 9 a 1. Si fundimos este lingote con 1 050 de plata resulta una aleación donde el peso de la plata es al peso del cobre como 975 es a 25, halle el peso del lingote inicial, en gramos


35k3925

975k10509k =→==+

, el peso inicial del lingote es 350 gramos

Clave: D 17. Un comerciante mezcla dos tipos de café que cuestan S/.18 y S/. 24 el

kilogramo respectivamente. Si vende 60 kilogramos de esta mezcla a S/. 23 el kilogramo y gana el 15%, halle la diferencia positiva de los pesos, en kilogramos, de los dos tipos de café que mezcló


40x2060

x)24(6018x =→=−+, por lo tanto la dif(+) = 20

Clave: A 18. Se tiene una sucesión de 77 números enteros para la cual la suma de

cualesquiera siete términos consecutivos es no negativa y la suma de cualesquiera once términos consecutivos es no positiva. ¿Cuál es el valor de la suma de todos los términos de la sucesión?

A) –11 B) –7 C) 0 D) 11 E) 7 RESOLUCIÓN:

0xx0x77

1nn

77

1nn

77

1nn =→≤≤ ∑∑∑

===

Clave: C



19. En el primer ciclo de Medicina en San Marcos hay tres grupos en el curso de Anatomía. El promedio de las calificaciones en el grupo A es de 87, en el grupo B es de 73 y en el grupo C es de 91. Si se sabe que el promedio de las calificaciones en los grupos A y B juntos es de 79 y el de los grupos B y C juntos es de 83. Halle el promedio de calificaciones de todos los alumnos del curso de Anatomía.

A) 84 B) 83 C) 38 D) 34 E) 43 RESOLUCIÓN: 83C83B91C73B79B79A73B87A91C73B;87A; CBA +=+∧+=+→=== ∑ ∑∑

Entonces A = 3k, B = 4k y C = 5k, luego 84CBA

91C73B87A =++

++

Clave: A

20. En un pequeño pueblo, se utilizan 2 bases de numeración. Uno de los habitantes dijo: "26 personas usan mi base, base 10, y sólo 22 personas usan la base 14". Otro dijo "De los 25 habitantes 13 usan ambas bases y 1 no sabe escribir todavía". ¿Cuántos habitantes, en base decimal, hay en el pueblo?

A) 15 B) 25 C) 27 D) 35 E) 45 RESOLUCIÓN: #(U) = 2n + 13

En la base “n” hay 2n + 6 personas , en la base “n + 4” hay 2n + 2 personas , los que usan ambas bases son “n + 7” y de los datos llegamos a la ecuación 2n + 13 = 3n + 2, entonces n = 11; por lo tanto hay 2(11) + 13 = 35 habitantes

Clave: D

21. Sean: a 1; a2; a3;... y b 1; b2; b3;..., dos progresiones aritméticas donde a 1 = 25,

b1 = 75 y a100 + b100 = 100. Halle la suma de los primeros 100 términos. A) 1 000 B) 10 000 C) 100 000 D) 100 E) 10 RESOLUCIÓN:

S100(ai)+S100(b i) = [ ] 000 10t)99(r200501002

99t2(75)100

299r2(25) =++=×

++×

+

Pués 99(r + t) = 0

Clave: B 22. ¿Cuántos dígitos "2" se necesitan para escribir todos los números enteros

desde el 1 hasta el 10 1 996 ? A) 1 996.101 997 B) 1 996.101 995 C) 1 995.101 994 D) 1 993.101 997 E) 1 992.101 000



RESOLUCIÓN:

Hasta 10 hay un solo 2 Hasta 10 2 hay 2(10) cifras 2 Hasta 10 3 hay 3(10 2) cifras 2 Hasta 10 4 hay 4(10 3) cifras 2 …………………………………. Hasta 10 1 996 habrán 1 996.10 1 995

Clave: B 23. De los números de 4 cifras que son múltiplos de 9 ¿cuántos hay que tienen

todas sus cifras distintas de cero y distintas entre sí? A) 300 B) 330 C) 333 D) 323 E) 336 RESOLUCIÓN:

Sea •

= 9abcd , consideremos el caso a>b>c>d y luego multiplicaremos por 4!,

puesto que el orden de las cifras no interesa porque siempre resultará •9 .

Para a = 9: 9765, 9621, 9531, 9432, 9864 y 9873 (6) Para a = 8: 8721, 8631, 8541 y 8532 (4) Para a = 7: 7641, 7632 y 7542 (3) Para a = 6: 6543 (1) Luego habrán 4!.14 = 336

Clave: E

24. Halle el resto de dividir 2 2001 + 32001 por 7

A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) 4

RESOLUCIÓN:

∗

=+ 7)(3)(2 66736673 , por lo tanto el resto es 0 Clave: D

25. Después de partir un pastel, Sandra se quedó con los 2/3 mientras que

Verónica se quedó con 1/3. Para evitar que su amiga se enojara, Sandra cortó 1/4 de su porción y se lo dio a Verónica. En este momento:

A) Sandra tiene 5/12 del pastel B) Sandra tiene 1/4 del pastel C) Sandra tiene 7/12 del pastel D) Sandra tiene 1/2 del pastel E) Sandra tiene 1/3 del pastel RESOLUCIÓN: S: 2/3 V: 1/3 Luego Sandra le dio 1/4 (2/3) = 1/6 entonces se quedó con 1/6 + 1/3 = 1/2

Clave: D



26. Una calculadora descompuesta no muestra el número 1 en la pantalla. Por ejemplo, si escribimos el número 3 131 en la pantalla se ve escrito el 33 (sin espacios). Pepe escribió un número de seis dígitos en la calculadora, pero apareció 2 007. ¿Cuántos números pudo haber escrito Pepe?


15C62 =

Clave: E

27. Sea E(n) la suma de los dígitos pares de n. Por ejemplo, E(5681) = 6 + 8 = 14. ¿Cuál es el valor de E(1) + E(2) + · · · + E(100)?

A) 200 B) 360 C) 400 D) 900 E) 2 250 RESOLUCIÓN: Solamente van a quedar aquellos sumandos E(n) donde n contiene cifras

pares, es decir: E(2) + E(4) + E(6) + E(8) + E(10) + E(12) + E(14) + … + E(100) = 400

Clave: C 28. Una “operación” consiste en multiplicar el número 1 por 3 y sumarle 5, luego,

multiplicar el resultado anterior por 3 y sumarle 5, a continuación se multiplica al resultado anterior por 5 y se suma 7 y así sucesivamente. ¿Cuál es el dígito de las unidades después de aplicar la operación 2007 veces?

A) 1 B) 2 C) 5 D) 8 E) 9 RESOLUCIÓN: 4013(…5(3(3.1 + 5) + 5) + 7…) + 4015 = …8

Clave: D

29. Para cada entero positivo k, sea S k la progresión aritmética creciente de enteros cuyo primer término es 1 y cuya diferencia común es k. Por ejemplo, S3 es la progresión 1, 4, 7, 10, . . .. ¿Para cuántos valores de k, S k contiene el número 2008?

A) 0 B) 2 C) 6 D) 10 E) 2 008

RESOLUCIÓN: En cada progresión el término general es de la forma 1 + (n – 1)k, por lo tanto

debemos considerar la igualdad 1 + (n – 1)k = 2008, entonces (n – 1)k = 2007 Y esto es posible únicamente para 6 valores de k.

Clave: C



30. Considera un entero positivo M que cumple la siguiente propiedad: si escogemos al azar un número x del conjunto {1, 2, . . . , 1000}, la probabilidad de que x sea un divisor de M es igual a 1/100 . Si M ≤ 1000, ¿cuál es el mayor valor posible de M?

A) 540 B) 976 C) 1 084 D) 1 460 E) 2 008 RESOLUCIÓN:

M debe tener 10 divisores positivos, entonces M = 61.2 4 = 976 Clave: B

Álgebra

1. El exponente de x que resulta al reducir (((( )))) 3 5 9 17 240244 radicalesn...xxxxxT ==== .

A) 12

12n

n

++++

−−−− B)

12

2n

n

−−−− C)

n

n

2

12 −−−− D)

1n

n

2

12−−−−++++

E) 1n2 ++++

Solución:

(((( ))))

1n2

1n2

1n2

1

2

12

1n211n2

n2

17.9

16

9.5

8

5.3

4

3.2

2

17.9.5.3

240

9.5.3

24

5.3

4

3

1

3 5 9 17 240244

xx

x...xx.x.x

factoresnxx.x.x

radicalesn...xxxxxT

++++

−−−−

++++−−−−

++++

++++−−−−

========

====

====

====

Clave: A

2. Si (((( )))) d61c1b42a yx10yx3yx7y,xM ++++++++==== ++++−−−−−−−− se reduce a un monomio, halle la

suma de los coeficientes del polinomio (((( )))) (((( )))) a2abcxxQ 1cb ++++−−−−++++==== −−−−−−−− . A) 16 B) 25 C) 81 D) 24 E) 80



Solución:

Si (((( )))) d61c1b42a yx10yx3yx7y,xM ++++++++==== ++++−−−−−−−− es un monomio

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) 2416131QxQcoef

161x3xQ

4d

3c41c

7b61b

8a62a

3

3

====++++−−−−========∑∑∑∑∴∴∴∴

++++−−−−====⇒⇒⇒⇒

========⇒⇒⇒⇒====++++====⇒⇒⇒⇒====−−−−====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒

Clave: D

3. Dada la inecuación lineal {{{{ }}}}1n;x12nx −−−−−−−−∈∈∈∈−−−−≤≤≤≤−−−− −−−−Z . Calcule el menor valor que puede tomar x.

A) – 3 B) 23

−−−− C) – 1 D) –43

E) –53

Solución:

{{{{ }}}}(((( ))))

3x

3x

31n

3

11n2nsiAdemás1n

3x

2n,3x1n

1n,x12xn

menor −−−−====∴∴∴∴−−−−≥≥≥≥⇒⇒⇒⇒

−−−−≥≥≥≥−−−−

→→→→

−−−−≤≤≤≤++++→→→→−−−−≤≤≤≤++++

≥≥≥≥⇒⇒⇒⇒

−−−−≤≤≤≤≤≤≤≤++++⇒⇒⇒⇒

−−−−−−−−∈∈∈∈−−−−≤≤≤≤−−−− −−−−Z

Clave: A

4. Indique el conjunto al que pertenece n de tal manera que el intervalo

++++++++==== 1n,2n

1I este incluido en el intervalo 3,2−−−− .

A)

2,

2

3 B)

23

,0 C)

2

3,0 D)

2,

2

3 E) 2,0



Solución:

2n0

2n0nn6

31n1n2

n1

2

n12

31n2

n12

3,2ISi

<<<<<<<<⇒⇒⇒⇒

<<<<∧∧∧∧>>>>∧∧∧∧<<<<−−−−⇒⇒⇒⇒

<<<<++++∧∧∧∧++++<<<<++++∧∧∧∧++++<<<<−−−−⇒⇒⇒⇒

<<<<++++<<<<++++<<<<−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−⊂⊂⊂⊂

Clave: E

5. Si ,2x1

x ====++++ halle el valor de 6452

6542

x

1

x

1

x

1

x

1xxxxT ++++++++++++++++++++++++++++==== .

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 Solución:

6452

6542

x

1

x

1

x

1

x

1xxxxT ++++++++++++++++++++++++++++====

(((( )))) 824T

2x

1x4

x

1x

x

1x

:Luego

2x

1x2

x1

x

:Además

2x

1x4

x

1x

x

1x

2x

1x2

x

1x

2x

1x2

x1

x

2x1

x

Comox

1x

x

1x

x

1x

x

1xT

55

33

22

333

3

66

44

22

442

2

22

222

2

66

55

44

22

========∴∴∴∴

====++++⇒⇒⇒⇒====

++++

++++

====++++⇒⇒⇒⇒====

++++

====++++⇒⇒⇒⇒====

++++

++++

====++++⇒⇒⇒⇒====

++++

====++++⇒⇒⇒⇒====

++++⇒⇒⇒⇒====++++

++++++++++++++++++++++++++++====

Clave: D



6. Si (((( )))) 5xxr ++++==== es el resto que se obtiene de dividir el polinomio

(((( )))) 20x15x13x12nxmxxp 2345 ++++++++++++++++++++==== por (((( )))) 3xx2xd 2 ++++++++==== , halle el valor de

1nm −−−− . A) 4 B) 8 C) 32 D) 9 E) 16 Solución: Por el algoritmo de la división

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))xq3xx215x14x13x12nxmx

5xxq3xx220x15x13x12nxmx22345

2345

++++++++====++++++++++++++++++++⇒⇒⇒⇒

++++++++++++++++====++++++++++++++++++++

Aplicando Horner:

3 15 14 13 12 n m – 1 – 5 – 10 – 2 9 – 3 – 6

0 0 0

6 – 2 – 4

5 3 0 2 {0

2n −−−− 3210

4m −−−−

44m

4m,2n121n ========∴∴∴∴

========⇒⇒⇒⇒

−−−−−−−−

Clave: A

7. Si el resto de dividir (((( )))) (((( )))) 1xxdpor9xx3xxD 32310 ++++====−−−−++++−−−−==== es r (x), halle la suma de los elementos del conjunto

(((( )))) (((( )))){{{{ }}}} ∞∞∞∞++++−−−−∩∩∩∩≤≤≤≤−−−−∈∈∈∈==== ,501x.xr/xM 3Z . A) – 1 B) 0 C) – 3 D) – 2 E) 1 Solución:

(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))){{{{ }}}}

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) ∞∞∞∞++++−−−−∈∈∈∈∧∧∧∧≤≤≤≤−−−−++++−−−−

∞∞∞∞++++−−−−∈∈∈∈∧∧∧∧≤≤≤≤++++++++−−−−++++−−−−∧∧∧∧∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒

∞∞∞∞++++−−−−∈∈∈∈∧∧∧∧≤≤≤≤−−−−−−−−−−−−∧∧∧∧∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒

∞∞∞∞++++−−−−∩∩∩∩≤≤≤≤−−−−−−−−−−−−∈∈∈∈====⇒⇒⇒⇒

−−−−−−−−====−−−−++++−−−−−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒

−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++

++++

−−−−++++−−−−====

++++

−−−−++++−−−−====

,5x01x2x3x

,5x01xx1x2x3xZx

,5x01x6xxZx

,501x6xx/ZxM

6xx9x13x1xr

1x01x:stoRedelTeoremaPor

1x

9xx3xx

1x

9xx3x

xd

xD

2

32

32

223

33

3

2333

3

2310



{{{{ }}}}

(((( )))) (((( )))) 3321234:Melem

3,2,1,2,3,4M

−−−−====++++++++++++−−−−++++−−−−++++−−−−∑∑∑∑∴∴∴∴−−−−−−−−−−−−====

Clave: C

8. Si el único término central del desarrollo de 5n

xAesx2

1x2

++++ , halle el

valor de A7 . A) 49 B) 42 C) 7 D) 14 E) 21

Solución:

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) 429287A7

9282.3.4.5

6.7.8.9.105

10

2nn

A:Luego

10n25

4n

xAx2nn

x2

1x2

2nn

tt 54

n2

n

2

nn

12

nc

========∴∴∴∴

========

====

====

====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒

====

====

======== −−−−

++++

Clave: B

9. Si pysdondepmnysnm 33 ========++++ son respectivamente la suma y el

producto de las soluciones de la ecuación 27x8x 2 −−−−==== , halle el valor de

3

2

33

33

nm

nmG

−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

++++==== .

A) 21

B) 10

103

C) 3

103

D) 2

23

E) 2



Solución:

De la ecuación 27x8x 2 −−−−====

027x8x 2 ====++++−−−−

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

10

10

10

1

322

1

nmnmnm

1

nm

1

nm

nmG

Además

3pnm

2nm4mn2nm2snm

27p

8s tiene Se

33

2

3

23

2

22

3

2

33

3

2

33

33

3

22223

====

====

−−−−−−−−====

++++−−−−++++====

++++====

++++====

========

−−−−====++++⇒⇒⇒⇒====++++++++⇒⇒⇒⇒========++++⇒⇒⇒⇒

========

−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

Clave: B

10. Si θθθθββββαααα ,, son las raíces del polinomio (((( )))) 5x2xxp 3 ++++−−−−==== , halle la suma de cuadrados de las soluciones no nulas de la ecuación

(((( )))) q,p,n,mdonde,qpx3xnm 3 ====++++++++−−−− se determinan por

θθθθαβαβαβαβθθθθββββββββααααθθθθαααα

========

θθθθ−−−−ββββ

====ββββ−−−−θθθθ−−−−

ααααββββββββ−−−−αααα

====

1q

100

010

001

p

111

10

10

n

1

1

1

m 2

2

A) 2 B) 8 C) 1 D) 6 E) 3



Solución:

222

2

2

111

10

10

n

1

1

1

m

θθθθ−−−−ββββ−−−−====θθθθ−−−−ββββ

====

αβαβαβαβ++++θαθαθαθα++++θβθβθβθβ++++αααα====ββββ−−−−θθθθ−−−−

ααααββββββββ−−−−αααα

====

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

32

3

2

3nulasnosolucionescuadrados

2

3x0x

03x2x0x3x2

:ecuaciónlaenemplazandoRe

242nm

420Si

5

2

0

5x2xxpderaícesson,,Como

nm

01q

1

100

010

001

p

22

23

222

3

222222

====

−−−−++++

====∑∑∑∑∴∴∴∴

±±±±====∨∨∨∨====

====−−−−⇒⇒⇒⇒====++++−−−−

−−−−====−−−−−−−−−−−−====++++−−−−⇒⇒⇒⇒

====βθβθβθβθ++++αθαθαθαθ++++αβαβαβαβ−−−−====θθθθ++++ββββ++++αααα⇒⇒⇒⇒====θθθθ++++ββββ++++αααα

−−−−====θθθθββββαααα−−−−====βθβθβθβθ++++αθαθαθαθ++++αβαβαβαβ

====θθθθ++++ββββ++++αααα⇒⇒⇒⇒

++++−−−−====θθθθββββαααα

θθθθ++++ββββ++++αααα−−−−θβθβθβθβ++++αθαθαθαθ++++αβαβαβαβ−−−−====θθθθ−−−−ββββ−−−−++++αβαβαβαβ++++θαθαθαθα++++θβθβθβθβ++++αααα−−−−====++++−−−−

====θθθθαβαβαβαβθθθθββββββββααααθθθθαααα

====

========

Clave: E



11. La suma de factores primos en rrrr [[[[ ]]]]x de (((( )))) 3x6xxp 24 ++++−−−−==== genera un nuevo polinomio q (x), halle el coeficiente del término lineal de q(x).

A) 2 B) – 2 C) 0 D) – 4 E) 4 Solución:

(((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) [[[[ ]]]](((( ))))

(((( )))) (((( )))) 4:xqdelinealecoeficientx4xqluego

63x63x63x63xxp

xen63x63x

63x63x

63x

3x6xxp

22

22

22

24

====

−−−−++++

−−−−−−−−

++++++++

++++−−−−====

−−−−−−−−++++−−−−====

++++−−−−−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

++++−−−−====

R

Clave: E 12. La imprenta de la Pre San Marcos dispone de dos impresoras de última generación C y D para elaborar libros. la impresora C debe imprimir tantas hojas o mas que la impresora D, pero no puede sobrepasar de 36 millares de hojas. Entre las dos impresoras deben imprimir no menos de 18 millares y no más de 60 millares. La Pre San Marcos obtiene una ganancia de S/. 40 por cada millar que imprime C y S/. 20 por cada millar que imprime D. Obtenga el número de hojas que debe imprimir cada impresora para obtener máxima ganancia.

A) 36 y 24 millares B) 30 y 36 millares C) 60 y 18 millares D) 24 y 36 millares E) 30 y 30 millares Solución: Sean x, y número de millares de hojas que imprime C y D respectivamente

(((( )))) y20x40y,xG

0y,0x

60yx18

36xy

++++====≥≥≥≥≥≥≥≥≤≤≤≤++++≤≤≤≤

≤≤≤≤≤≤≤≤

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( )))) 180030,30

máximo192024,36

14400,36

7200,18

5409,9

y,xGy,x

Clave: A



13. Si b16a818logy3logb,2loga 1n ++++============ −−−− , hallar el valor de nlog 3 . A) 2 B) 3 C) 1 D) 9 E) 8

Solución:

29log9n

81n18log9.2log18log

3log2log18log

3log162log818log

3

8881n

1681n

1n

====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒

====−−−−⇒⇒⇒⇒========

++++====

++++====

−−−−

−−−−

−−−−

Clave: A

14. Si a, b, c, d ∈∈∈∈ RRRR con a < b < c < d son las soluciones de

(((( )))) 1xx2x 273 −−−−−−−− ==== , halle el producto de las soluciones de

(((( )))) (((( )))) cbdbd2b2c8ad64y22by ++++====++++++++++++−−−−++++ −−−− .

A) 6 B) – 2 C) 3 D) – 8 E) 5 Solución:

(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

51.5solucionesdeproducto1y;5y

22,22022322

0642342

022.3464

096128964luego

3d,1c,1b,3a

1x,3x1xó3x

01x3x03x4x

3x3xx33

y5yyy

y2y

y2y

y1y

2

23x3x2x

========⇒⇒⇒⇒========⇒⇒⇒⇒

========⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

====++++−−−−⇒⇒⇒⇒

====++++−−−−⇒⇒⇒⇒

====++++−−−−++++−−−−−−−−++++

========−−−−====−−−−====⇒⇒⇒⇒

±±±±====±±±±====⇒⇒⇒⇒========⇒⇒⇒⇒

====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒====++++−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒====

++++

−−−−−−−−

Clave: E

15. Si el rango de la función (((( )))) 1xx4xf 2 −−−−−−−−==== es la forma

∞∞∞∞++++,

ba

dentro de

a < 0, calcular (((( )))) (((( ))))0fba −−−− .

A) 33 B) – 33 C) – 31 D) 31 E) 0



Solución:

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) [[[[ ∞∞∞∞++++====⇒⇒⇒⇒≥≥≥≥⇒⇒⇒⇒

≥≥≥≥++++

−−−−====

≥≥≥≥++++−−−−====

,4fRan4xf

1x,1615

41

x2xf

1x,1xx4xf:I2

2

No tiene la forma indicada.

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 331.330f16170fba

luego,16b,17a

decires,0a,,ba

formalatiene

,1617

fRan1617

xf

1x,1617

41

x2xf

1x,1xx4xf.II2

2

====−−−−−−−−====−−−−−−−−====−−−−====−−−−====

<<<<

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞++++−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−≥≥≥≥⇒⇒⇒⇒

<<<<−−−−

++++====

<<<<−−−−++++====

Clave: A

16. Dada la función (((( )))) 3x4xxfquetal:f 2 ++++++++====→→→→ RR , hallar el valor de "x" donde la función alcanza su mínimo valor e indicar cuál de las siguientes funciones podría ser gráfica de la función. A) B) C)

A) x = – 2 , C B) x = 0 , A C) x = 1 , B

D) x = 2 , B E) x = –1 , A

y y

x

x

y



Solución:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

C,2x

1,2V1y2x

y12xxf2

2

−−−−====−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒++++====++++

====−−−−++++====

Clave: A

17. Dadas las siguientes funciones reales:

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]xfxf21

xf

xfxf21

xf

xxxf

xxxf

imparni,paresnoxf

4

3

352

241

−−−−−−−−====

−−−−++++====

++++====

++++====

indicar cual de las siguientes funciones no es par, ni impar

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))xfxf)III

xfxf)II

xfxf)I

43

42

31

++++++++++++

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II E) II, III Solución:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

IIIsololuego

imparniparesnoxf

xfxfxf.III

imparesxfxfxfxf

xfxf21

xxxfxf.II

paresxfxfxfxf

xfxf21

xxxfxf.I

43

4242

3542

3131

2431

====++++

++++−−−−====−−−−++++−−−−

−−−−++++++++++++====++++

++++====−−−−++++−−−−

−−−−++++++++++++====++++

Clave: C

– 2 x

y

– 1



18. Si f es una función tal que (((( )))) (((( )))) {{{{ }}}}1adonde2x3logxf a −−−−∈∈∈∈−−−−==== ++++R . Halle el C.S

de (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) 02xfxf 2 ====−−−−−−−−

A)

++++++++

2a1

31

,3a2 2

B)

++++

32a2

C)

++++++++

1a2

31

,3a2 2

D)

++++ 1a2

31

E) φφφφ Solución:

(((( )))) (((( )))) {{{{ }}}}(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

++++++++

====

====++++

====++++

⇒⇒⇒⇒

−−−−====−−−−====⇒⇒⇒⇒

−−−−====−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−============++++−−−−====−−−−−−−−

−−−−∈∈∈∈−−−−====

−−−−

++++

2a1

31

,3a2

CS

x3

2a1

óx3

2a

2x3aó2x3a

12x3logó22x3log

1xf,2xf;01xf2xf

02xfxfdesoluciónconjuntoel

1a;2x3logxfSea

2

2

12aa

2a R

Clave: A

19. Si (((( )))) 4,0x,25x

4xxf ∈∈∈∈

−−−−++++−−−−

==== , halle el valor de (((( ))))1f ∗∗∗∗ .

A) 2

9 B)

2

11 C)

21

D) 2

7 E)

2

5

Solución:

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))21

1f

11

1341fyfx

1yy34

xyxy34y3yxx4

y3xx4

25x

4xxf

04x,05x4x0Como

====⇒⇒⇒⇒

++++−−−−

====⇒⇒⇒⇒========++++

−−−−⇒⇒⇒⇒

++++====−−−−⇒⇒⇒⇒++++====−−−−⇒⇒⇒⇒

====++++−−−−

====−−−−++++

−−−−====⇒⇒⇒⇒

<<<<−−−−>>>>++++⇒⇒⇒⇒<<<<<<<<

∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗

Clave: C



Geometría

puntos medios de AB y CD respectivamente. Si BC = 3 m y MN = 9 m, halle AD. A) 12 m B) 15 m C) 9 m D) 8 m E) 18 m Solución:

1) a + 3 + b = 9 ⇒ a + b = 6

2) AD = 9 + a + b

∴ AD = 15 Clave: A

2. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Si mAOB = 70° y

mCOD = 20°, halle la medida del ángulo que determin an las bisectrices de los

ángulos BOC y AOD.

A) 35° B) 30° C) 25° D) 50° E) 36°

Solución:

En la fig.

x + 45° + α = 70° + α

∴ x = 25°

Clave: C

1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, M, B, C, N y D, siendo M y N



3. En la figura, DE = EF. Halle x.

A) 30°

B) 20°

C) 10°

D) 15°

E) 18° Solución:

1) α + β = 4x

2) 2α + β = α + mBAC

mBAC = α + β

3) 5x = 90°

∴ x = 18° Clave: E

4. En la figura, H es ortocentro del triángulo ABC. Si AC = 7 m, halle BH.

A) 1 m

B) 2 m

C) 3 m

D) 4 m

E) 5 m Solución:

1) En la figura:

7k = 7 ⇒ k = 1

2) Prolongar AH hasta F

BH = 3k = 4k ⇒ BH = k

3) 7k = 7 ⇒ k = 1

4) BH + 3k = 4k ⇒ BH = k

∴ BH = 1 Clave: A



5. En la figura, AQ es bisectriz en el triángulo ABC. Si EC = CD, halle x.

A) 40°

B) 30°

C) 45°

D) 50°

E) 60° Solución:

1) mCED = mCDE = α + 20°

2) x + 2α = 2(α + 20°)

∴ x = 40°

Clave: A

6. En la figura, BH = DQ. Halle x.

A) 37°

B) 53°

C) 45°

D) 30°

E) 60° Solución:

1) Trazar DM (mediana rel.)

AM = MC

2) AHB ≅ MQD

AB = DM

3) ABC es notable

∴ x = 30° Clave: D



7. En la figura, ABCD es un cuadrado. Halle x. A) 20°

B) 15°

C) 18°

D) 25°

E) 16° Solución:

1) ∆BCQ ≅ ∆CQD

BQ = QD

2) mQDP = 2x

3) 5x = 90°

∴ x = 18° Clave: C

8. En la figura, AOB es cuadrante. Si AM = 2 m y MB = 2 m, halle x.

A) 60°

B) 75°

C) 45°

D) 53°

E) 37° Solución:

1) Prolongar AM hasta P

MP = AM = 2 (propiedad)

2) MBQ es notable

(30° y 60°)

3) x + 15° = 90°

∴ x = 75° Clave: B



9. En la figura, C y E son puntos de tangencia. Si mCD = mDE. Halle x.

A) 10°

B) 20°

C) 30°

D) 40°

E) 50°

Solución:

1) Trazar DE

2) mBDE = 2α ( )∠ exinscrito)

α = 40°

3) x + α = 60°

∴ x = 20°

Clave: B

10. En la figura, AB = CD. Si AC = 12 m y BD = 3 m, halle AB. A) 3 m B) 4 m C) 5 m

D) 6 m E) 8 m Solución:

1) T.B.I.

x

12

3

x=

∴ x = 6

Clave: D



11. En la figura, AD = DC. Si AB = 2 m y BC = 13 m, halle x.

A) 53°

B) 60°

C) 37°

D) 40°

E) 45° Solución:

1) Prolongar AB

2) Trazar ABCF ⊥

3) BF = 2 (base media)

FC = 3 (Pitágoras)

∴ x = 37° Clave: C

12. En la figura, AD = BD, S1 = 7 m2 y S2 = 9 m2. Halle el área de la región sombreada.

A) 16 m2

B) 15 m2

C) 14 m2

D) 13 m2

E) 18 m2

Solución:

1) Trazar ABDM ⊥ y BCDF ⊥

2) S1 + S2 + Sx = 2

a2b × = ab

Sx = 2

ab

3) Sx = S1 + S2

∴ Sx = 16 Clave: A



13. En la figura, Q es punto de tangencia, O y O’ son puntos medios de los diámetros

DE y AB . Si OQ = 2 m y QC = 8 m, halle el área de la región sombreada. A) 6π m2 B) 8π m2

C) 10π m2 D) 9π m2

E) 12π m2

Solución:

1) Trazar OO'

ABOO' ⊥ (propiedad)

2) Rel-met.

R2 = 2 × 8 = 16

3) A = 2

R2π = 8π

Clave: B 14. En la figura, ABC-DEF es un prisma recto y O es centro de la cara ABED. Si

AD = AB = BC y OF = m62 , halle el volumen del prisma. A) 30 m3

B) 36 m3

C) 24 m3

D) 32 m3

E) 16 m3

Solución:

1) Trazar DEOM ⊥

2) Trazar MF

MF = a 5 3) En OMF

a = 2

4) V = 42

44×

×

∴ V = 32 Clave: D

A C

D F

B

E

O



15. En la figura, ABCD – MNQP es un tronco de prisma regular. Si AB = 5 m y BN + DP = 6 m, halle el volumen del sólido.

A) 85 m3

B) 80 m3

C) 65 m3

D) 70 m3

E) 75 m3

Solución:

1) V = AB ×

+++4

hhhh 4321

AB = 25

h1 + h3 = h2 + h4 = 6

2) V = 25 × 4

12 = 75

Clave: E

16. En la figura, ABCD – EFGH es un cubo cuya arista mide 2 m y P es un punto de

la cara superior. Si mBPC = 150° y BP = PC, ha lle el área de la región proyectada

por el triángulo EPH sobre la base del cubo.

A) 5 m2

B) 7 m2

C) 2 7 m2

D) 3 m2

E) 2 5 m2

Solución:

1) Aproy = AAPD

2) ∆APD es equilátero

3) ∆APD = 4

322 = 3

∴ Aproy = 3 Clave: D



17. En la figura, O es centro de la base elíptica, mOPQ = 30° y OP = 8 m. Halle el volumen del tronco de cilindro circular recto.

A) 48 3 π m3

B) 64 3 π m3

C) 28 3 π m3

D) 56 3 π m3

E) 42 3 π m3

Solución:

1) Trazar OO' (eje)

2) OO'P notable (30° y 60°)

3) V = AB × OO'

AB = 16π ⇒ OO' 4 3

∴ V = 64 3 π Clave: B

18. En la figura, MQ = OQ = 3 m. Halle el volumen del cono de revolución.

A) 18 π m3

B) 42 π m3

C) 16 π m3

D) 36 π m3

E) 32 π m3 Solución:

1) AO2 = 6 × 3 (propiedad)

AO2 = 18

2) V = 6AO3

1 2 ××π

∴ V = 36π Clave: D

PQ

BA

M

O



19. En la figura, AM = MD y DH = 2 5 m. Halle el área de la superficie total de la semiesfera cuya base está inscrita en la cara del exaedro regular.

A) 65π m2

B) 75π m2

C) 85π m2

D) 70π m2

E) 68π m2 Solución:

1) MDN ~ MHD

a2

a

52

MH= ⇒ MH = 5

a = 5, r = 5

2) AT = 2

ASE + AC.M

= 2πr2 + πr2 = 3πr2

∴ AT = 75π Clave: B

20. Halle la ecuación general de una recta que pasa por el punto P(2,3) y es

perpendicular a la recta L : 3x + 4y + 7 = 0. A) 4x + 3y + 1 = 0 B) 3x – 4y + 1 = 0 C) 4x – 3y + 3 = 0 D) 4x – 3y + 1 = 0 E) 4x + 3y – 1 = 0 Solución:

mL = – 4

3 , mLx =

3

4

mLx = 2x

3y

−−

= 3

4

4x – 8 = 3y – 9

4x – 3y + 1 = 0 Clave: D



O T

P

21. En la figura, OT es radio del círculo máximo de la semiesfera y el volumen del cono

de revolución es 9 3m3π . Si T es un punto de tangencia, halle el volumen de la semiesfera.

A) 128 π m3

B) 144 π m3

C) 216 π m3

D) 256 π m3

E) 288 π m3 Solución:

1) OP = PT = OT

Cono equilátero

2) V = 3

1 π 32

R

2

R2

= 9π 3

R = 6

3) Vsemi-esf = 363

2×π = 144π

Clave: B 22. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene su

centro en el punto de intersección de las rectas LLLL1: x + 3y – 6 = 0 y LLLL2: x – 2y – 1 = 0. A) x2 + y2 = 10 B) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 10 C) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10 D) x2 + y2 = 5

E) x2 + y2 = 10 Solución:

L1 : x + 3y = 6 y = 1

L2 : x – 2y = 1 x = 3

R2 = 10

(x – 3)2 + (y – 1)2 = 10

Clave: C



Y

XOF1 2

F

P

Q

X

Y

A B

V(0,2)

(-4,0) (4,0)

X

Y

A B

V(0,2)

(-4,0) (4,0)

23. En la figura, halle la ecuación de la parábola PPPP, cuyo vértice es el punto V. A) y2 = – 8(x – 2)

B) x2 = – 4(y – 2)

C) x2 = – 8(y – 2)

D) x2 = – 8(y + 2)

E) y2 = – 8(x + 2) Solución:

1) Eje focal // Eje Y

V = (0,2) y p < 0

x2 = 4p(y – 2)

2) x = – 4, y = 0

16 = 4p(– 2) ⇒ 4p = – 8

x2 = – 8(y – 2)

Clave: C 24. En la figura, O es centro de la circunferencia, F1 y F2 focos de la elipse y P y Q

son puntos de tangencia. Si P(0,4), halle el área de la región sombreada en metros cuadrados.

A) 2m)13(16 −π

B) 2

m)12(16 −π

C) 2

m)12(4 −π

D) 2

m)122(8 −π

E) 2m)132(8 −π Solución:

1) A/// = Aelipse – A�

Aelipse = 4)24(π = 16 2 π

A� = 16π

2) ∴ Asomb = 16π( 2 – 1) Clave: B



Trigonometría 1. Las medidas de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal, radial y centesimal

son a'', b rad y g

9

4

respectivamente. Hallar ab.

A) 185

π B) 17

5

π C) 13

4

π D) 16

5

π E) 15

4

π

Solución:

a'' = b rad = g

9

4

a'' = g

9

4⋅

g10

9° ⋅

°1

''3600 ⇒ a = 4 ⋅ 360

b rad = g

9

4⋅

g200

radπ ⇒ b =

450

π

⇒ ab = 165

π

Clave: D 2. Los sectores circulares AOB y COD, de la figura, tienen igual área. Si el radio del

sector AOB mide 6 cm, hallar OE.

A) 10 cm B) 5

104 cm

C) 5

106 cm D)

2

10 cm

E) 4 cm Solución:

SAOB = SCOD

3632

1 ⋅π⋅ = 2r6

5

2

1 ⋅π⋅

r = 5

26

r = 5

106

Clave: C



3. Si x e y son ángulos complementarios y 16senx = secy, calcular el valor de

15 tgx + secy. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Solución:

x + y = 90°

16senx = secy = cscx ⇒ sen2x = 16

1

senx = 4

1 ⇒

⇒ 15 ⋅15

1+ 4 = 5

Clave: E 4. Si sec60°tg23° + ctg 230°ctg67° = sec 245°sec αctg67° y α es un ángulo agudo,

calcular 100cos(90° – α)cosαtg(90° – α). A) 20 B) 16 C) 22 D) 15 E) 14

Solución:

2tg23° + 3ctg67° = 2sec αctg67°

secα = 2

5

100senα⋅cosα⋅ctgα = 1005

21 ⋅5

2 ⋅21

2 = 16

Clave: B

5. De la figura, senα = 5

3. Hallar M =

)sec(

sen)(tg

β−αβ+β−α

.

A) 5

1 B)

5

2

C) 5

3 D)

5

4

E) 5

6

x

y4

15

1

α

521

2



Solución:

De la figura: α – β = 180°

⇒ α = 180° + β

⇒ senβ = – 5

3

M = 15

3

180sec5

3180tg

−

−=

°

−+° =

5

3

Clave: C

6. Simplificar K =

))(sen1(2

3cos1

2sen1))cos(1(

α+π−−

α+π

−

α−π

−α−π−.

A) tgα B) ctgα C) ctg2α D) tg2α E) cos2α

Solución:

K = 44 344 21

)sen1(

))(sen1()sen1(

)cos1)(cos1(

α+

α−π+α−α−α−

= α−α−

2

2

sen1

cos1

K = αα

2

2

cos

sen = tg2α

Clave: D

7. Simplificar la expresión

++

xsecsenx1

ctgxsenx.

A) tgx B) ctgx C) cosx D) secx E) senx

Solución:

senxxcos

1

xcos

)senx1(

senx

xcos2

+−⋅

xsecxcos

1

xcos

senx

xcos

senx1 ==+−

Clave: D



8. Simplificar la expresión M = tg50°(1 – tg10°tg4 0°). A) cos10° B) sec40° C) cos50° D) sec10° E) cos40°

Solución:

M = tg(40° + 10°)(1 – tg10°tg40°)

M = °°−°+°

10tg40tg1

10tg40tg(1 – tg10°tg40°)

M = °°

°=°°+

°°

10cos40cos

50sen

10cos

10sen

40cos

40sen = sec10°

Clave: D

9. Si sen4

x + cos

4

x =

2

1, hallar cosx.

A) – 8

3 B)

8

1 C)

9

8 D) –

4

1 E) –

8

1

Solución:

22

2

1

4

xcos

4

xsen

=

+

1 + sen2

x =

4

1 ⇒ sen

2

x = –

4

3

∗ cosx = 1 – 2sen2

2

x = 1 – 2

2

4

3

− = – 8

1

Clave: E 10. Hallar el valor de M = csc79° + 2cos82°sec11°. A) 4sen11° B) 4sen19° C) 2cos17° D) 4sen22° E) 4

Solución:

M = °°+

° 11cos

82cos2

11cos

1

M = °

°+°=°

°+11cos

)8sen30sen(2

11cos

82cos21

M = °

°°⋅11cos

11cos19sen22 = 4sen19°

Clave: B



11. Hallar la suma de las raíces de la ecuación tg2x + sec2x = 31 – 2csc2x, x ∈ [0, π].

A) 163

π B) 4

3

π C) 3π D) 2π E) 25

12

π

Solución:

2tg2x + 2ctg2x = 28

(tgx + ctgx)2 = 16

csc22x = 4

sen2x = ± 2

1

2x : 6

π,

6

5π,

6

7π,

6

11π

x : 12

π,

12

5π,

12

7π,

12

11π

Σx = 2π Clave: D

12. El lado de mayor longitud de un triángulo mide x cm y el seno del ángulo que se le

opone es 3

8. Si los otros lados miden 6 cm y 10 cm, hallar el valor de x.

A) 12 cm B) 4 11 cm C) 14 cm D) 2 29 cm E) 13 cm Solución:

x2 = 62 + 102 – 2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ – 3

1

x = 176

x = 4 11

Clave: B

13. Si θ 2

,4

ππ∈ , simplifique la siguiente expresión

)3(sen2

3cos3sensensencos3sen

θ−°

°−°θ+θ−θ°.

A) – 2

1 B)

2

1 C) 0 D) 1 E) – 1

α6

x

10



Solución:

E = )3(sen2

)3cos3sen(sen)cossen(3sen

θ−°°−°θ−θ−θ°

E = – 2

1

Clave: A 14. Si C es una circunferencia trigonométrica. Determine el área de la región

sombreada en términos de α.

A) 2u2

cosctg α+α

B) 2u2

)cosctg( α+α−

C) 2u2

cosctg α+α−

D) 2u2

costg α−α

E) 2u2

costg α+α

Solución:

A = ( )

2

sen1ctg α−α

A = 2

)sen1(ctg α+α−

A = 2

)cosctg( α+α−

Clave: B

15. Sea la función real f, definida por f(x) = x5

1x2

−+

, x 1−∈ ,3], determine el rango de f.

A)

2

7,

6

1 B)

−

2

7,

6

1 C)

−

3

5,

2

1 D)

2

1,0 E)

−2

7,

6

1

Y

XO

α

C1senα

ctgα

senα



Solución:

f(x) = – 2 – 5x

11

− y – 1 < x ≤ 3

– 6 < x – 5 ≤ – 2 ⇒ 2

11 ≥ –

5x

11

− >

6

11

– 6

1 < f(x) ≤

2

7 ⇒ Ranf:

−2

7,

6

1

Clave: E

16. Sea f una función real definida por f(x) = senx

senx32 −,

π

π∈ ,

18x . Determine el

menor valor de f.

A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2

1 E) –

2

1

Solución:

f(x) = senx

2 – 3 y 0 < αsen ≤ 1

2 ≤ senx

2

⇒ – 1 ≤ f(x) ⇒ fmin = – 1

Clave: A 17. Sea f la función real definida por f(x) = 2sec2x + 6 xsec + 5. Hallar el rango de f.

A) [ ∞+,11 B)

∞+,

2

11 C)

∞+,

2

13 D) [ ∞+,13 E)

∞+− ,

2

1

Solución:

f(x) = 2sec2x + 6 xsec + 5

f(x) = 2

−++4

9

4

9xsec3xsec

2+ 5

f(x) = 22

1

2

3xsec

2

+

+

Ranf: [ ∞+,13

Clave: D



18. Hallar el dominio de la función real f definida por f(x) = arccos2

1

1x

1x +

+−

.

A) [ ∞+,0 B) [ ∞+,1 C) ∞+,0 D) ∞+,2

1 E) ∞+,1

Solución:

Domf : – 1 ≤ 1 –1x

2

+ ≤ 1

0 ≤ 1x

2

+ ≤ 2

0 ≤ x ≤ ∞

⇒ Domf : [ ∞+,0

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