`` AO DE LA DIVERSIFICACION PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACION

Universidad Nacional de Ucayali

FACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIASESCUELA PROFESIONAL DE AGROINDUSTRIACURSO: MATEMATICA I

DOCENTE: ING. ROGER PANDURO BARTRA

CICLO: II ALUMNA : CASTRO ESCOBEDO LESLIE ROCIO

Pucallpa Per2014

El estudio de este tema presupone conocer con la prctica de geometra, y un mayor grado las propiedades de dicho tema. Permitiendo extraer y demostrar teoras para despus resolver los problemas de cada grupo; en forma clara y sencilla, de manera que no sean estorbados por operaciones aritmticas engorrosas.Es indudable que esto permitir al estudiante o pblico en general adquirir mayor destreza para resolver otros tipos de problemas que se pudieran presentar en el desarrollo del curso de matemtica.Aprovechamos la oportunidad para expresar nuestro agradecimiento al profesor del curso de matemtica bsica, por su dedicado esfuerzo brindado a sus alumnos con sus sabias enseanzas; cuya persona no a escatimados esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la culminacin de este trabajo. Los Autores

Tema 1: Circunferencia

1. DEFINICION:

Es una lnea curva, cerrada y plana en la que todos sus puntos estn a la misma distancia de un punto interior llamado centro. La regin interior a la circunferencia se denomina crculo. La parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma se denomina arco.

2. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA:

Centro: Punto central. Est a la misma distancia del resto de puntos de la circunferencia. Radio: Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Dimetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Mide el doble que el radio. Cuerda: Une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro. Arco: Porcin de circunferencia limitada por una cuerda. Semicircunferencia: Es la mitad de una circunferencia.

3. POSICIONES DE UNA RECTA RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA

Recta tangente: Recta que tiene un punto en comn con la circunferencia. Recta secante: Recta que tiene dos puntos en comn con la circunferencia. Recta exterior: Recta que no tiene ningn punto en comn con la circunferencia.

4. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

Es la medida del contorno de toda la circunferencia. Se calcula aplicando las frmulas:

Lc = 2 r Lc = d = 3,1416 r = radio d = dimetro

5. Propiedades:

Cada dimetro divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias (dem con el crculo). La mediatriz de cualquier cuerda contiene al centro de la circunferencia. La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio determinado por el centro y el punto de tangencia. Tres puntos determinan una nica circunferencia.

6. Posiciones de dos circunferencias:

Exteriores: Cada circunferencia est formada por puntos exteriores de la otra. Interiores: Una circunferencia es interior a otra cuando aquella est formada por puntos del crculo de sta. El radio de la interior debe ser menor que el de la exterior. Concntricas: cuando ambas tienen el mismo centro. A la regin del plano que delimitan se le denomina corona circular. Secantes: Tienen dos puntos en comn. Tangentes interiores: Slo tienen un punto en comn y el resto de los puntos de una de ellas son puntos del crculo de la otra. El radio de la tangente interior debe ser menor que el de la tangente exterior. Los centros de ambas son interiores a una de ellas y ambos estn alineados con el punto de tangencia.

Tangentes exteriores: Slo tienen un punto en comn y el resto de los puntos de una de ellas son puntos del exterior de la otra. El centro de una es exterior a la otra y ambos estn alineados con el punto de tangencia.

7. NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Segn la posicin de un ngulo respecto de una circunferencia los ngulos se pueden clasificar en:

Central: El vrtice del ngulo es el centro de la circunferencia. Inscrito: El vrtice del ngulo est en la circunferencia y los lados contienen a sendas cuerdas. Semiinscrito: El vrtice del ngulo est en la circunferencia, uno de los lados contiene a una cuerda y el otro est en la tangente a la circunferencia en dicho punto. 5 de 9 Exterior: El vrtice del ngulo est en el exterior de la circunferencia. Interior: El vrtice del ngulo est en el interior de la circunferencia, es decir, es un punto del crculo.

Teorema del ngulo inscrito: La amplitud de un ngulo inscrito es la mitad del ngulo central correspondiente.

8. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA:

Ecuacin Ordinaria de la Circunferencia

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuacin para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

Ejemplo:Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es C (2; 6) y con radio r = 4 (x - 2) + (y - 6) = 4

Ecuacin Cannica de la Circunferencia

Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C (0; 0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuacin para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

EjemploHallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3 X + y = 3

Ecuacin General de la Circunferencia

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacin ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos laforma general de la ecuacin de la circunferencia, as:

Prueba:

Ejemplos:Hallar la ecuacin general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4(x - 2) + (y - 6) = 4X - 2(2x) + 2 + y - 2(6y) + 6 = 4X - 4x + 4 + y - 12y + 36 = 16X + y - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0X + y - 4x - 12y + 24 = 0D = -4, E = -12 , F = +24

Observaciones: Dada la ecuacin de la circunferencia x + y + Dx + Ey + F = 0 se cumple que:

Ecuacin cartesiana de la circunferencia de centro en el origen.

Para hallar la circunferencia con centro en el origen ser necesario conocer el radio de esta o un punto por donde pasa la circunferencia, cuando se conoce el radio ser ms sencillo puesto que La ecuacin tendr como estructura, luego al hallar el radio nicamente conoceremos la ecuacin terminada, cuando conocemos un punto de la circunferencia deberemos usar la ecuacin de distancia y hallaremos el radio.

Ecuaciones de las tangentes a una circunferencia paralelas a una recta dada.Este problema equivale analticamente, a encontrar entre todas las rectas que tienen la misma pendiente que la recta dada, aquellas cuya distancia al centro es igual al radio.

Ecuaciones de las tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.

Primer mtodo. Sea una circunferencia de radio r y centro C (h, k) y sea P (x1, y1) un punto exterior. Del haz de rectas P, las tangentes son aquellas cuyas distancias al centro son iguales al radio. Esta condicin nos permite determinar la pendiente m de cada tangente.

Segundo mtodo. Otro mtodo consiste en resolver el sistema formado para la ecuacin del haz y la de la circunferencia y expresar que debe tener dos soluciones iguales, es decir, que el discriminante de la ecuacin de segundo grado que resulta debe ser igual a cero.

Ecuaciones de la tangente a una circunferencia en uno de sus puntos.

La recta tangente a una circunferencia, en un punto P(x,y) sobre ella, es la rectaperpendicularal vector CP ("radio"), y que pasa por P. La siguiente escena muestra esa construccin.

1. Se tiene la circunferencia x2+y2-8x+2y-24=0.Halla las rectas tangentes en los puntos de la circunferencia, cuyas abscisas valen -1.2. Halla la ecuacin tangente a la circunferencia de centro C (1,2) y radio 3, en los puntos (1,5) y (1,-1)3. Halla la ecuacin de la circunferencia de centro C (2,4) y que es tangente a la recta 3x+4y-2=0.4. Observa que si aumentamos el radio, la recta tangente permanece paralela.

Tangentes a la circunferencia por un punto exterior

Hay dos rectas que pasen por un punto P(x,y) exterior a una circunferencia y que son tangentes a ella. Sern las rectas solucin del sistema formado por el haz de rectas que pasa por el punto y la ecuacin de la circunferencia.

1.- Comprueba qu ocurre con los puntos que se aproximan a la circunferencia.2.- Demuestra en tu cuaderno cul es la pendiente de las tangentes en funcin del puntoP,y del centro y radio de la circunferencia.

CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS Que tres puntos de un plano pertenezcan a una misma circunferencia no solo no es nada extraordinario, sino que es algo absolutamente obligado; de hecho tres puntos son los que definen una circunferencia. Dicho de otra manera: dados tres puntos no alineados, existe una y solo una circunferencia que pasa por los tres. Cuando se dispone de tres puntos A, B y C que no estn alineados, la mediatriz de AB y la Mediatriz de BC se cortarn en un punto, ese punto es el centro de la circunferencia que pasa por A, B y C puesto que los tres equidistan de l. En otras palabras, el problema consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un tringulo. El centro de dicha circunferencia se obtiene como interseccin de las mediatrices de dos de los lados de ese tringulo. En el caso de que los tres puntos dados estn alineados el problema carece de solucin.

La ecuacin general de la circunferencia es:.Como los tres puntos son parte de la circunferencia, satisfacen la ecuacin general. As que para cada punto se sustituye en la ecuacin y las incgnitas sern D, E y F, de la siguiente manera:

Para el punto 1, se sustituye para obtener:.Para el punto 2, se sustituye para obtener:.Para el punto 3, se sustituye para obtener:.

Reescribiendo se tiene un sistema de la forma:

Sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas. Se resuelve por el mtodo deseado y las soluciones encontradas D, E y F se reemplazan en la ecuacin general.

Intersecciones de una recta y una circunferencia.

El problema de hallar los puntos de interseccin de una circunferencia y una recta es el de encontrar las coordenadas de los puntos A y B que satisfacen simultneamente a las ecuaciones de la recta y la circunferencia. Por lo tanto, bastara resolver el sistema formado por ambas ecuaciones.

Interseccin de dos circunferencias.

Para determinar los puntos comunes a dos Circunferencias dadas, basta observar que, por pertenecer los puntos a las dos circunferencias, sus coordenadas satisfacen las ecuaciones de ambas. Las coordenadas de los puntos de interseccin son, pues, las soluciones del sistema formado por las dos ecuaciones.

9. EJEMPLOS:

Tema 2: Parabola

1. Definicin:

Una parbola es el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto fijo y de una recta fija en el plano. El punto fijo se llama foco y la recta fija, directriz.En la figura 2 el punto F es el foco y la recta D la directriz. El punto V, a la mitad entre el foco y la directriz, debe pertenecer a la parbola. Este punto se llama vrtice.

2. ELEMENTOS DE LA PARABOLA

Foco: Es el punto fijo F. Directriz: Es la recta fija D. Parmetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parbola se le llama parmetro p. Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetra de la parbola. Vrtice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. Tambin se puede ver como el punto de interseccin del eje con la parbola. Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parbola con el foco.

3. Ecuacin de la parbola:

Ecuacin reducida de la parbola

En la ecuacin reducida de la parbola el eje de la parbola coincide con el de abscisas y el vrtice con el origen de coordenadas.

Ecuacin reducida de la parbola de eje vertical

En la ecuacin reducida de la parbola el eje de la parbola coincide con el de ordenadas y el vrtice con el origen de coordenadas

Podemos considerar dos casos:Caso 1

Caso 2

Anlisis de la ecuacin.

Considerando totalmente desconocida la forma de la curva, as como su posicin y sus caractersticas principales debemos analizar la ecuacin (I), para obtener ese conocimiento.

El anlisis de la ecuacin consta de las siguientes fases:Primera: Saber si la curva es simtrica o asimtrica. La ecuacin () demuestra que la curva es simtrica con relacin al eje de las abscisas, porque para un valor de x se obtienen dos valores de y iguales y de signos contrarios. En cambio, la curva es asimtrica con relacin al eje de las ordenadas, porque segn la ecuacin (), para cada valor de y slo se obtiene un valor de x.

Segunda: Determinar los puntos de interseccin de la curva con los ejes de coordenadas. Si x=0, resulta y=0, lo cual significa que el nico punto comn de la curva con los ejes es el origen del sistema de coordenadas.

Tercera: Determinar las zonas donde existe y donde deja de existir la curva.La ecuacin () permite ver que cuando el parmetro p es positivo, la variable x slo debe recibir valores positivos porque de otro modo los de y resultan imaginarios.Esto significa que, cuando p>0, la curva solamente existe a la derecha del origen del sistema y la regin izquierda es zona imaginaria de la parbola. En cambio, si p