Vctor Daniel Rojas Cerna 1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Una ecuacin diferencial ordinaria, una relacin que involucra a una funcin x(t), sus derivadas y a la variable independiente t. Ejemplo:

Estas ecuaciones diferenciales ordinarias, son llamadas lineales en el sentido que la funcin incgnita y sus derivadas tienen exponente 1 Ejemplo: Sonecuacionesdiferencialesnolineales,puesalgunaderivadatieneun exponente que no es 1. ( ) ( ) ( )1222 2 x t x t x t x t ('' ' + = + = ( ) 0 x'' > ( ) 0 x'' > Orden de una ecuacin diferencial ordinaria () () 0tx t e xt '' = Orden 2 Orden 1 Orden 4 Grado de una ecuacin diferencial ordinaria Es el exponente que afecta a la derivada de mayor orden. z t (t) x'+ = 2 x y' + =1 (t) x (t) x' "= 1 y y' "= t ' ' ' 'te 3x 2x (t) x = + ( ) 1 x(t) (t) x2'= + Cost (t) x (t) x' "= +0txx'= +t ' (4)te 2x x = +Vctor Daniel Rojas Cerna 2 Comentario: Todaecuacindiferencialordinariapuedeexpresarsecomounadeprimer orden. Orden 2, lineal Coeficientes constantes ,Observacin: Se suele definir una ecuacin diferencial ordinaria de orden n como: Dondeelcoeficiente dex(n) enlaecuacindiferencialordinariadexnoescero, sirve de base. Porloexpuesto,lasolucindeunaecuacindiferencialordinaria,deprimer orden sirve como base (cimiento) para las de orden n. Ejemplo: Resolvemos , a constante. Separando variables: ,Integrando: ,

0 x(t) (t) x (t) x' "= + +x x1 =2 1x ' x =x' x2 =1 2 2x x ' x' ' x = =((

((

=((

yx1 11 0yx'AZ Z'=((

=YXZ( ) ( )( ) 0 t , ,.....x x , x , x x, fn 3 " '=ax x'=axdtdx=adtxdx=c at Lnx + = ( ) 0 x >atke x =atke x(t) =Vctor Daniel Rojas Cerna 3 CResolver:

Tenemos: 2 2atx k e =( ) ( )11 d x ax dt' = + 1 11atax k e + = ( )1 21at atxt k e k ea| |= |\ . Solucin de una ecuacin diferencial ordinaria Esunarelacinqueinvolucranconstantesesenciales(esdecirconstantes irreducibles),sielordendelaecuacindiferencialordinariaesn,quesatisface dichaecuacin.SiunaEDOLesdeordenn,susolucinserunarelacinque involucra a x(t) y t , la cual tiene nconstantes esenciales. As la primitiva Es solucin de la EDOL ..(2) ..(3) Obtenida al eliminar las c.e. (1,0) ax x'+ =) x , (x x2 1=(1,0) ) x , a(x ) x , (x2 1'2'1+ =1 ax x1'1+ =2'2ax x =dt1 axdx11=+1 1c t 1) Ln(axa1+ = +1) e (ka1xat1 1 =(1) .......... C e C x(t)2t1+ =t1'e C x=t1' 'e C x =Vctor Daniel Rojas Cerna 4 De (1), (2)y (3) debemos obtener una EDOL sin las constantes esenciales . Es decir Resolver:

CResolver: Dos constantes esenciales: A y B Orden 2. Lasecuacionesdiferencialesordinariasdeprimerordenlineal,sonlosque nos interesams, aunque tenemos E.I en resolver problemas de Cauchy. Problema de Cauchy Toda ecuacin de Cauchy es una ecuacin diferencial sujeta a condiciones iniciales.

CResolver ' ' 'x x =0 x x' ' '= 0 x x'= tke x(t) =t 'ke (t) x =0 ke ke x xt t '= = 0 x x"= +BSent ACost x + =0 BSent ACost BSent ACost x x"= + + = +t) f(x, x'=0 0x ) x(t =R A R, A : f c t x t) f(x, + =t x x'+ =a x(o) =Vctor Daniel Rojas Cerna 5 Tenemos dos soluciones linealmente independientes y CVerificar que el problema de Cauchy , admite como soluciones a: a)obviamenteb)

LEMA 1 : Seacontinua, entonces existe uma solucin de la ecuacin de Cauchyx = x (t) . Es una solucin del problema de Cauchy:(I un intervalo de ). (1) S.s.s.es unasolucin continua de la ecuacin integral Demostracin: Sies una solucin del problema de Cauchy, entonces (Teorema fundamental del clculo) Luegoes solucin del problemade Cauchy de (1) Supongamos que es solucin de (1) ==0 x(0)x (t) x31'31x t) f(x, =0 x(t) ==0 t 0,0 t , t) (x(t)3/232=> =0 x(0)0 x , x (t) x'0 x(t) = x(t) 0 (t) x'= ==0 t 0,0 t ,4tx(t)20 x(0) , x(t)0 t 0,0 t ,2t(t) x'= ==R Ix : f nR , R c==0 0'x ) x(tx) f(t, xx(t) x =}+ =tt00x(r))dr f(r, x x(t)x(t) x =} }= + = . =tt1tt1 0'0 00 0x(r))dr f(r ) x(r)dr r (x (t) x x ) x(tx(t)) f(t, (t) x' x ) x(t0 0= . =x(t) x =x(t) x =Vctor Daniel Rojas Cerna 6 Integrando ambos miembros dea t Ases una solucin continua de (2). Generalizando: (Problema de Cauchy)

Una solucin de este problema es una funcin de clase m, entonces aplicando el teorema de TAYLOR vemos que (3)ser equivalente a la ecuacin integral. Podemos comprobar que este problema es equivalente a (1), es decir es un problema de Cauchyde primer orden . Es decir (2) y (3) son equivalentes. Hagamos : As si es una solucin, de (3)entonces: yademsPor loque es una solucin del problema de Cauchy. Anlogamente, sies una solucin del problema: entonces :x(t)) f(t, (t) x' =0t} }=tttt0 0x(r))dr f(r, (t)dt x')dr x(r) f(r, x x(t) x(r))dr f(r, ) x(t x(t)tt0tt00 0} }+ = = x(t) x =N me ) ,........x x , x x, f(t, x1) (m (2) (1) (m) =1 m J ,0 X00t J,(J)) (t X s s =x(t) x =}=+ =1 - m0 Jtt1) (m (1)1 mJ0(J)) (t00(r)) .x (r),...... x x(r), f(r,1)! (ms) (t) t (tJ!Xx(t)(t))) ....x (t)....... x x(t), f(t, (t), x (t),...... x (x(t), y(t)1) (m (1) 1) (m (1) =x(t) x =y(t)) F(t,dtdy=0 1,0 m 3,0 2,0 1,0 01) (m0(1)0 0y ) ,........x x , x , (x ) (t ),.......x (t x ), (x(t ) y(t = = =x(t) x =0y y(t) =(t)) .....y (t),...... y (t), (y y(t)m 2 1===0 0y ) y(ty(t)) F(t,dtdy(t)) ....Y (t),...... Y Y(t), f(t, Y , Y Y1) (m (1) 1m 211= =Vctor Daniel Rojas Cerna 7 Para entender claramente algunos resultados acerca de la resistencia y de un problema de Cauchy, recordemos algunos conceptos de anlisis real. Sea E un espacio vectorial real o complejo Definicin: Una funcin : tal que: (1) (2) (3) (Desigualdad Triangular) Se denomina una norma sobre E . E se dice que es un espacio normadoNormas de Rn El espacio ms til es E = Rny las normas ms frecuentes son: , C CDefinicin: Un cubrimiento de, es toda familia de conjuntos abiertos que cubren E. Definicin:sedicequeesunconjuntoCOMPACTOsidetodo cubrimiento,podemosobtenerunconjuntofinito(cubrimientofinito)del,tal que tambin es un cubrimiento de E. Espacio de Banach. Un espacio normado E, se dice que es un espacio de Banach, si toda sucesin de Cauchy en E, es una sucesin convergente. f) (t), y (t),...... (t),....y y (t), (y y(t)1) (m1n1(1)1 1=| | 0, E0 x 0 x = = x= R , x e y x y x + s +==n1 k2kx x) .x ,......... x , x , (x xn 3 2 1===nkkx1xkx mx x= m k 1 s snR E cnR E cVctor Daniel Rojas Cerna 8 Familias Equicontinuas Sea una familia de funciones, decimos que T es equicontinua en to eI , Si: Diremosque T es equicontinua en I, si lo es en cada punto de I. Definicin:Unafamiliadefuncionessedicequeesunafamilia acotada, Si tal que: EXISTENCIA DE LA SOLUCION DE UNA EDO TEOREMA DE ARZELA ASCOLI SeaunafamiliaacotadayequicontinuaenI.Entoncescada sucesin { } f T c contieneunasubsucesinuniformementeconvergenteen cada subintervalo compacto de I. TEOREMA DE BROUWER Seaunafuncincontinua,donde.Entoncesftieneun punto fijo , esto es - y eB tal que. Generalizacin SeaelcualeshomeomorfoaB.SeaUnaaplicacincontinua, puntofijo de f. TEOREMA DE SHAUDER Sea x un espacio de Banach,k X cun subconjunto convexo y compacto y -Una aplicacin continua, entonces existe punto de f. { }nR I : F T =T f , ) f(t f(t) t t 0/ 0, 0 0e < < > - > { }nR I : F T =0 M> -I t T f M, f(t) e . e s{ }nR I : F T = B : f { } 1 x / R x Ens e =y f(y) =nR A c A : fA xe -K K : f K XeVctor Daniel Rojas Cerna 9 Definicin: Sea E un conjunto normado se dice que es convexo Si Denotemos xcon y. LEMA DE MAZUR Sea x un espacio de Banach, compacto, entonces es un subconjunto compacto. TEOREMA DE PEANO Seaabierto,una aplicacin continua Entonces existe por lo menosuna solucin del problema de Cauchy PRINCIPIO DE CONTRACCIN DE BANACHSea x un espacio de Banach;X Y_ , un operador continuo diremos que T es una concentracin en y , sital que : , Teorema: Sea xun espacio de Banach, F cx cerrado, una contraccin, entonces T tiene un punto fijo :. FUNCIONES LIPSCHITZIANAS E Ac| | 0,1 tA, tyt)x- (1 A, y x, e e + e {B/Barrado H(s) = } conexox K c H(k)nRxR cn0 0R ) x , (t e==0 0x ) x(tx) f(b,dtdxX Y : T - 1 0 < < T(y) - T(x) s y x Y y x, e F F : T F xeVctor Daniel Rojas Cerna 10 Seaun conjunto abierto y conexo, diremos que, si -constante tal que: M: es conocida como la constante Lipschitziana. FUNCIONES LOCALMENTE LIPSCHITIZIANA F se dice localmente Lipschitziana en O, si es lipschitziana en cada rectngulo compacto de O. TEOREMA DE PICARD- LINDELOF (UNICIDAD) Seaabierta y conexo,, y Si es continuaeny lipschitziana encon respectoa la variable x, entonces existe una nica solucindel problema de Cauchy. ==0 0x ) x(tx) f(t,dtdx dondeest definido en un intervalos I que contiene a to. Aplicacin: Sea definida por y consideremos el problema de Cauchy. = + =0 x(0)t) (x 1dtdx2 En este caso, tomemos el rectngulo Podemos apreciar que f es lipschitziana nRxR c : f 0 M >s ) x , f(t ) x , f(t2 1 1 1, x x M2 1 ) x , (t1 1e1 nR +< ) L(t0 x0e { { / RxR x) (t, ) x , (t ) x , R(tn0 0 0 0e = =0 0t t a x x . s nR : f O ) x , R(t0 0x(t) x =x(t) x =R RxR : f 2t) (x 1 x) f(t, + =RxR = O { } b x a t x)/ (t, R(0,0) s . s =Vctor Daniel Rojas Cerna 11 M = 2 (a+b):es una constante de Lipschitz Luego el problema de Cauchy, tiene una solucin nica satisface, luegotenemos una solucin, o sea esuna solucin, veamos que es nica. Si:, es decir:

Si,, no existe k con dicha propiedad, por lo que no hay otra solucin que x = t. As la solucin es nica, anlogamente el problema. =+ =0 x(0)Cost Sent) (x x'2 Tiene solucin nica, Ejemplo: Consideremos el problema de Cauchy: =+ =1 x(0)1 xdtdx2 Aquy x zt y x t) y (1 t) (x 1 y) f(t, x) f(t,2 2 + = + + = ) t 2 y x ( y) f(t, x) f(t, + + s y x 2b) a (a y xM + + s _ z' 1 x' z' 1 x z t x'+ = = = 2 2z z' z 1 z' 1 = + = +0 z = 0 t x z = = t x =k tz10, z + = =k t1t x+= k t1t x++ =0 t = 0k1x = =Sent x =( ) RxR x t, 1, x x) f(t,2e + =Vctor Daniel Rojas Cerna 12 Sea: Como:As, es lipschitziana en R Por otro lado : 2 2 2a) (1 1 1 x 1 x x) f(t, + + s + = + =Esto es:, a) (1 1 x) f(t,2+ + s R(0,1) x) (t, e Sea0 b1 >tal que 21a) (1 1ab+ +sEl teorema de Picard Lindelof asegura la existencia de una solucin-x(t) x =, ((

+ + + + e2 2a) (1 1a,a) (1 1at Si tomamos a = 1 , obtenemos que x= x(t) est definido en [- 1/5 , 1/5] Sin embargo integrandola ecuacin, obtenemos c) Tang(t x(t) + =4c Tang(c) 1 c) Tang(0 1 1 x(0) = = + = =Entonces la solucin al problema del Cauchy es: )4Tang(t x(t) + =esta funcin est definida en el intervalo 2.4,0.84,43 ~ | | 0.2,0.2 as tenemos que esta es la solucin maximal, ya no se puede extender (as no podemos extender ms all de ese intervalo) Ejemplo : Considere el problema de Cauchy { } b t a 1 x x)/ (t, R 0, b a, s . s = >y x 1) (y 1 x y) f(t, x) f(t,2 2 = + + = y x y x y x y x + = + y x a) 2(1 x a 1 + s s x) f(t,Vctor Daniel Rojas Cerna 13

= =1 x(0)t xdtdx2 2 RxR x) (t, , t x x) f(t,2 2e =Consideremos el rectngulo{ } 1 t 1,0 1,0 1 - x x)/ (t, R s s s s =5 t x f(y) x) f(t,2 2s + = Se puede ver quex) f(t,es Lipschitziana y) (x f(x) f(y) f(x) = para hallar LComoAxfscc en R , entonces la constante de Lipschitziana es 4. Definimos el operadorT de la siguiente forma: } + =t12 2(t) )ds S (s) ( 1 ) (TSea b1> 0 /b1 s 1/5,entonces considermos que| | 0,0.2 t eComo f es la Lipschitziana, entonces T es una contraccin, luego tendr con nico punto fijo| | 0,0.2 t (t), eAdems el principio de contraccin de Banach, nos dice que nn Lim =Donde...... 1,2,...... n , T. 1 n n= =donde 1 (t) 0= , | | 0,0.2 t e } + = + =t03213tt 1 )ds s (1 1 (t) Este teorema, garantiza la convergencia de esta sucesin a una funcin (t) = , tal que1 (0) = (la convergencia es el punto fijo) Definicin:Consideremos el problema de Cauchy ( )7 5 4263115261 1 5 31 t t t t t ds s s tto+ + + = |.|

\| + + =}Vctor Daniel Rojas Cerna 14 ==0 0x ) x(tx) f(t,dtdx y sea x(t) x = ,c b a < . ey z = , y'1- z'=y) (y') (y' 12 22=|.|

\|+ 22z'1yy 1) (y' |.|

\|==Como y>0z+>Vctor D. Rojas Cerna97 ..........(1) Por el mtodo de coeficientes indeterminados: resolvamos .............(2) vemos que Ejemplo de aplicacin: 1.Determine la solucin del problema siguiente ( ) ( )2 21 4 4 2 1 2 4 4 , (0) 0, (0) 1 t t x t x x t x x '' ' ' + = = = Por Euler ( )( ) ( )d d aD ax b D aDdz dx ax b= = + =+ ||||.|

\|+|.|

\|+||||.|

\|+|.|

\|+ =66211212cos64111812 2cosx xsenxyp2cos6512 6582cosx xsenxyp + =2cos65642 658 x xsen yp+ =2 2cos xBsenxA yp+ =( )2cos 13xy D = 2cos812 81' ' 'xBxAsen yp =2cos2 2cos2cos812 81' ' 'x xBsenxAxBxAsen y yp p= = 2cos2cos812 81 x xA Bxsen B A =|.|

\| +|.|

\|2564658181081 = . = = = B AB AB A2 25642cos658xsenxyp =( )2cos 13xy Dp = p py y =( )|.|

\| = = 2 25642cos2582cos 13xsenxyxy Dp p|.|

\|+ =2sen25642cos258 x xyp;( ) ( )d dD Ddx dz= =ln( )zat b ez at b+ == +Vctor D. Rojas Cerna98 2 2 2 2 22 2( ) ( ) ( )( ) ( )a aD DD D D ax b D aDD aax b ax b= = + + = + + Para: a=-2y b=1 1 2zt e =2 2(1 2 ) 2(1 2 ) 4 4 t x t x x t '' ' =22 21(( 2) ( 2) 2( 2 ) 4) 4( )2eDD D x + =2 2(4 ( 2) 4 4) (1 ) DD D x e + + = 2 22 2 2 2(1 )4( 1) (1 ) ( 1)4eD x e D x = =2( ) 1 0 1 P r r r = = = 11 1 2x c e c e = +2 21 1 2 14( 1)( 1) 4 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)z z z zpe e e exD D D D D D D D ( + = = + ( + + + + 21 1( 1 ( ) )4 3 2zzpex z e = + 21 21 1( 1 ( ) )4 3 2zz z zex c e c e z e= + + + Por condiciones iniciales: x(0)=1 y x(0)=1 z = ln (at+b) z = lnb = ln(1) = 0 Reemplazando en x 1223482548CC== 2.Enelcircuitomostrado( ), (0) 1, (0) 1 y t y y' = = ,aplicandooperadorespara determinar( ) x t =(3 )te sen tVctor D. Rojas Cerna99 Del grafico llegamos a la ecuacin 221;2d yy xdx' = 2y+2x=y ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 33 33 1 3 1 3 1 3 122 2 2 22cos(3 )2(3 )21 3 32 2 2 2 2:3 13 11 3 32 2 2 2 23 32 1 2 1 2 1 2 132i t i ti t i ti t i t i t i tat bt at btat bt at btate ete esen te e e ey y xi ihaciendoa ib ie e e eD yi ie e e i e iya b a bi eya+ + + ++=='' = = + = += +| | = + |\ .= + +=( )( )231 2 1bti eb+ Reemplazando:3 1; 3 1 a i b i = + = +se obtiene 1 12 238 126(3 ) cos(3 )433 4331 2307 445 21866 866307 445 22866 866t tt typ e sen t e tyg c e c eccy yp yg= += += = += + D D2 D ( ) y t ( ) x tVctor D. Rojas Cerna100 Ejemplos 1)Encuentre todas las soluciones para las siguientes ecuaciones a)y - y = x Solucin: * Polinomio caracterstico: P(r) = r3 - r * Races: 0,-1, 1 * La solucin: u(x) = u1(x) + u2(x)e-x + u3(x)ex ** * * * La solucin general es: u(x) =u(x) = b)y - 8y = eix Solucin: * Polinomio caracterstico: P(r) = r3 - 8 r3 = 8r = 2ei2Kt/3, K = 0, 1, 2 r = 2, eit/3, 2e-it/3 ( ) 2e e 0e e 0e e 1e , e , 1 Wx xx xx xx x = =12x xx xx x1K2xxdx xdxe e 1e e 0e e 021) x ( u + = = =} }( )} }+ = = =2xxxxx2K2e1 x dx xe21xdxe 1 0e 0 0e 0 121) x ( u( )} }+ + = = = 3x xxxx3K e 1 x21dx xe21xdx1 e 00 e 00 e 121) x ( u|.|

\|++ +|.|

\|++||.|

\|+ 3 2 1221212K exe K exKxx x x2xe K e K K2x3x2 1 + +Vctor D. Rojas Cerna101 r = 2,r = 2, 1 i* La solucin general es: u(x) =* La solucin particular +(x) = Aeix +(x) = Aieix;+(x) = -Aeix;+(x) = -iAeix * Tenemos: +(x) - 8+(x) = -iAeix - 8Aeix = eix Luego: (-i - 8)A = 1 * Luego: la solucin general es: u(x) =c)y(4) + 16y = cosx Solucin: * Polinomio caracterstico: P(r) = r4 + 16 * Races: r = 2ei(t + 2Kt)/3;K = 0, 1, 2, 3 * La solucin general es: u(x)=+(x) es una solucin particular * +(x) = Acosx + Bsenx As:+(x) = -Asenx + Bcosx +(x) = -Acosx - Bsenx +(x) = Asenx - Bcosx +(x) = Acosx + Bsenx * Sustituyendo: +(x) +16+(x) = Acosx + Bsenx+16(Acosx + Bsenx) = cosx * Luego: 17Acosx + 17Bsenx = cosx 17A = 1.17B = 0 .B = 0 * De esta manera: ||.|

\|23i212 3) x ( x 3 sen e c x 3 cos e c e cx3x2x 21+ + + +65i 8i 81A+ = =( )ix3 2x x 21e65i 8x 3 sen c x 3 cos c e e c |.|

\| + + + +||.|

\| =23212 i r ( ) 3 i 1 r =( ) ( ) ) x ( x 3 sen c x 3 cos c e x 3 sen c x 3 cos c e4 3x2 1x+ + + + +171A =Vctor D. Rojas Cerna102 u(x)=d)y(4) - 4y(3) + 6y - 4y + y = ex Solucin: * Polinomio caracterstico: P(r) = r4 - 4r3 + 6r2 - 4r + 1 = (r - 1)4 * Races: r = 1, 1, 1, 1 * Solucin general: u(x) = (c1 + c2x + c3x2 + c4x3)ex + +(x), +(x), es solucin particular. * Observacin sabemos que: * Efectuando los integrales: * La solucin general ser: e)y(4) - y = cosx Solucin: * Polinomio caracterstico: P(r) = r4 - 1 = (r2 - 1)( r2 + 1) = (r + 1)(r - 1)(r - i)(r + i) * Races: r = -1, 1, -i, i * Solucin general: Donde +(x) es una solucin particular. * +(x) = x(Acosx + Bsenx) ( ) ( ) x cos171x 3 sen c x 3 x cos c e x 3 sen c x 3 cos c e4 3x2 1x+ + + +| | dx dx dx dx e e e e e e xx x x x x x|.|

\|((

= +} } } } ) ( ) () 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( 1( )( ) ( )= ) x ( br D ... r D r D1n 2 1} } } } n x rx ) r r (x ) r r (x ) r r (x r) dx )( x ( b e e ... e e en 1n n2 2 121( )x4 3x 22x 3 xe24xdx6xe dx2xe ) dx ( x e ) x ( = = = = +}} }}}( )x4x 3423 2 1e24xe x c x c x c c ) x ( + + + + = u) x ( x sen c x cos c e c e c ) x (4 3x2x1+ + + + + = uVctor D. Rojas Cerna103 +(x) = Acosx + Bsenx + x(-Asenx + Bcosx) +(x) = -Asenx + Bcosx - Asenx+ Bcosx + x(-Acosx-Bsenx) +(x) = -2Asenx + 2Bcosx + x(-Acosx - Bsenx) +(x) =A(-2cosx - cosx + xsenx) + B(-2senx - senx - xcosx) + (x) = A(-3cosx + xsenx) + B(-3senx - xcosx) +(4)(x)=A(3senx + senx + xcosx) + B(-3cosx - cosx + xsenx) * Sustituyendo: +(4)(x) - +(x) = A(4senx + xcosx) + B(-4cosx + xsenx) -x(Acosx + Bsenx) = cosx 4Asenx - 4Bcosx = cosx A = 0.B =* +(x) = xsenx * La solucin general es: f)y - 2iy - y = eix - 2e-ix Solucin: * Polinomio caracterstico: P(r) = r2 - 2ir - 1 = (r - i)2 * Races: r = i, i * Solucin general: u(x) = (c1 + c2x)eix + +(x), +(x) una solucin particular. 4141x sen4xx sen c x cos c e c e c ) x (4 3x2x1 + + + = u( )( )} } = + dx dx e 2 e e e e ) x (ix ix ix x i i ix( ) ( ) | |} } = + dx dx e 2 1 e xx 2 i ix( )} ||.|

\|+ = +dxiex e xix 2ix( )( )||.|

\|+ = +i 2 ie2xe xix 2 2ix( ) ( )ix ix2ix 2 2 ixe21e2xe x e21x + = + = +Vctor D. Rojas Cerna104 * La solucin general es: 2)Demuestrequelasolucindadapor(10.3)satisfacelasindicacionesiniciales (10.4) Demostracin: * Tenemos, as tenemos: * Por (10.2) tenemos que: * Evaluando en x = x0 * Pero tenemos que: K = 1, 2, ..., n * Por lo tanto: K = 1, 2, ..., n 3)Lafrmula(10.3)quedaunasolucinparticular+P,delaecuacinL(y)=b(x) tiene sentido para algunas funciones discontinuas b(x). Entonces+PserunasolucindeL(y)=b(x)enlospuntosdecontinuidadde b(x). Encuentre una solucin particular de la ecuacin: y + y = b(x), donde: -1,-t s x < 0 b(x) =1,0 s x s t 0,1 x 1 > t Solucin: Polinomio caracterstico: P(r) = r2 + 1 Races: r = -i, i Las soluciones:u1(x) = cosx . u2(x) = senx ( ) ( )ix ix2ix2 1e21e2xe x c c x+ + + = u}=u uu = +=xx n 11n1 KK P00 dt) t )( ,..., ( W) t ( b ) t ( W) x ( ) x (} = == u =u uu = +xxn1 K0 Kn 110n1 KK 0 P00 ) 0 )( x ( dt) t )( ,..., ( W) t ( b ) t ( W) x ( ) x () x ( ) x ( u ... ) x ( ) x ( u ) x (0) K (n n) K (1 1) K (Pu + + u = +) x ( ) x ( u ... ) x ( ) x ( u ) x (0) K (n 0 n 0) K (1 0 1 0) K (Pu + + u = +}=u u=xx n 11K0, 0 dt) t )( ,..., ( W) t ( b ) t ( W) x ( u0 ) x (0) K (P= +Vctor D. Rojas Cerna105 u1(x).u2(x)sonlinealmenteindependientesenRyademsL(u1)=0. L(u2) = 0 Determinemos una solucin particular: ,W(u1,u2)(x)=1 ,t > x ,t < x < 0 +P(x) = ,0 s x s t ,x > t Acosx + Bsenx,x s t +P(x) = cosx(-cosx+cosx0)+senx(-senx+senx0),t < x < 0 cosx(cosx-cosx0)+senx(senx-senx0),0 s x s t Ccosx + Dsenx,x> t Como+P(x) esperamos que no tenga saltos debemos tener que: +P(t) = +P(t+)A = -1 - cosx0 +P(0) = +P(0+) -1+cosx0 = 1-cosx0 cosx0 = 1 senx0 = 0 +P(t) = +P(t+)2 = -C A = -2 . C = -2 Adems deseamos queno tenga saltos, luego: -2cosx + Bsenx,x < t +P(x) = -1 + cosx,t < x < 0 1 - cosx,0 < x < t -2cosx + Dsenx,x > t 2senx + Bcosx,x < t +P(x) =-senx,t < x < 0 } }u uu +u uu = +xxxx 2 1222 111 P0 0dt) t )( , ( W) t ( b ) t ( W) x ( dt) t )( , ( W) t ( b ) t ( W) x ( ) x (} }+xxxx0 0dt 0 x sen dt 0 x cos} }+ xxxx0 0dt ) 1 (1 t sen0 t cosx sen dt ) 1 (t cos 1t sen 0x cos} }+xxxx0 0dt ) 1 (1 t sen0 t cosx sen dt ) 1 (t cos 1t sen 0x cos} }+xxxx0 0dt ) 0 (1 t sen0 t cosx sen dt ) 0 (t cos 1t sen 0x cosVctor D. Rojas Cerna106 senx,0 < x < t 2senx + Dcosx,x > t +P(t) = +P(t+)-B = 0B = 0 +P(t) = +P(t+)0 = -DD = 0 Luego tenemos que: - 2cosx,x < t +P(x)=cosx -1,t < x < 0 1 - cosx,0 < x < t -2cosx, x > t es una solucin particular, hay salto en t 4)Usandoelmtododeloscoeficientesindeterminados,encuentreunasolucin particular, para cada una de las ecuaciones: a)y + 4y = cosx Solucin: L(y) = y + 4y M(y) = y + y M(L(y)) = 0 M(L(y)) = M(y+4y) = (y+4y) + (y+4 y) = y + 8y + 4y Polinomio de M(L(y)) = 0 es P(r) = (r2 + 4)(r2 + 1) (RecordarqueM(L(y))=0esunaecuacindeordenm+n,ysu polinomio caracterstico es el producto de los polinomios caractersticos de M(y) = 0 . L(y) = 0) La solucin u de M(y) = 0 es: u(x) = c1cos2x + c3cosx + c4senx La solucin particular +(x) de L(y) = 0 ser: +(x) = c3cosx + c4senx L(+(x)) = cosx+(x) + 4+(x) = cosx...................o Pero: +(x) = - c3senx + c4cosx . +(x) = - c3cosx - c4senx Sustituyendo en (o) se tiene: - c3cosx - c4senx + 4(c3cosx + c4senx) = cosx Vctor D. Rojas Cerna107 3c3cosx + 3c4senx = cosx . c4 = 0 Por tanto: +(x) = = cosx es una solucin particular de y+4y=cosx b)y + 4y = Sen2xSolucin: Ly = y + 4y . M(y) = y + 4y M(L(y)) = 0 El polinomio caracterstico ser: P(r) = (r2 + 4)(r2 + 4) = (r2 + 4)2 Las races r = 2i, 2i (multiplicidad 2 para ambas races) La solucin general: u(x) = (c1+ c2)cos2x + (c3 + c4x)sen2x u(x) = c1cos2x + c3sen2x + x (c2cos2x + c4sen2x) +(x) Nuestra solucin particular ser: +(x) = x(c2cos2x + c4sen2x)...........................................o L(y)=sen2x L(+(x))=sen2x +(x) + 4+(x)=sen2x....| +(x) = c2cos2x + c4sen2x + x(-2c2sen2x + 2c4cos2x) +(x) = -2c2sen2x + 2c4cos2x - 2c2sen2x + 2c4cos2x + x(-4c2cos2x - 4c4sen2x) +(x) = -4c2sen2x + 4c4cos2x + x(-4c2cos2x - 4c4sen2x)... Sustituyendo en (|), los resultados obtenidos de (o) . (): -4c2sen2x + 4c4cos2x - x(4c2cos2x + 4c4sen2x) + 4x(c2cos2x + c4sen2x) = sen2x As: -4c2sen2x + 4c2cos2x = sen2x c2 =. c4 = 0 La solucin particular ser: +(x) = cosex c)y - 4y = 3e2x + 4e-x 31c3 =31414xVctor D. Rojas Cerna108 Solucin: Ly = y - 4y . M(y) = 3(y - 2y) + 4(y + y) M(L(y)) = 0,ademsL(y) = 3e2x + 4e-x El polinomio caracterstico de M(L(y)) = 0 es: P(r) = (r2 - 4)(3)(r - 2)(4)(r - 1) = 12(r - 2)2(r + 2)(r - 1) La solucin de M(L(y)) = 0 ser: u(x) = (c1+ c2x)e2x + c3e-2x + c4e-x La solucin particular ser: +(x) = c2xe2x + c4e-x......................................................o Determinemos las constantesc2 . c4 +(x) = c2e2x(1 + 2x) + c4(-e-x) . +(x) = c2 (2 + 4x + 2) + c4-e-x...................................| L(+(x)) = 3e2x + 4e-x +(x) - 4+(x) = 3e2x + 4e-x Sustituyendo (o) y (|) c2e2x(4 + 4x) + c4e-x - 4[c2xe2x + c4e-x] = 3e2x + 4e-x 4c2e2x - 3c4e-x = 3e2x + 4e-x c2 =.c4 = De esta manera, la solucin particular es: +(x) =xe2xe-x d)y - y - 2y = x2 + cosx Solucin: M1(y) = y ; M2(y) = y + y Laideaeshallarlasolucinparticularparacadasumando,luego consideramos la suma de las soluciones particulares para cada caso. P1(r) = (r2 - r - 2)(r3).P1(r) = (r2 - r - 2)(r2 + 1) +1(x) = c1+ c2x + c3x2.+2(x) = c4cosx + c5senx O sea tenemos: +1(x) = c1+ c2x + c3x2 + c4cosx + c5senx 43344334Vctor D. Rojas Cerna109 Determinemos las constantes c1, c2, c3, c4, c5 +(x) = + c4(-senx) + c5cosx +(x) = 2c3 - c4cosx - c5senx Sustituyendo los ltimos datos obtenidos en la ecuacin inicial L(+) = x2 + cosx * 2c3 - c4cosx - c5senx - (c2 + 2c3x - c4senx + c5cosx) - 2(c1+ c2x + c3x2 + c4cosx + senx) = x2 + cosx * Agrupando convenientemente: (2c3 - c2 - 2c1) + (-2c3 - 2c2)x + (-2c3)x2 + (-3c5 + c4)senx + (-c5 - 3c4)cosx = x2 + cosx * Resolvamos el sistema: 2c3 - c2 - 2c1 = 0 . -2c3 - 2c2 = 0 . -2c3 = 1 -3 + c4 = 0 . -c5 - 3c4 = 1 * c3 = -c3 = - c2 = c1 = c3 -c1 = - - = - (Hemos trabajado con las ecuaciones de la primera fila) - 3 = 0-9c5 + 3c4 = 0 - c5 - 3c4 = 1- c5 - 3c4 = 1 c5 =. c4 = 3c5 = * Luego la solucin particular es: +(x) = - +x -x2cosxsenx e)y + 9y = x2e3x Solucin: Comoenl osej empl osanteri orestendremosque, l asol uci n ti enel aforma:(c1 + c3x2)e3x (Observacin: elpolinomiocaractersticodeM(L(y))es2121212121|.|

\|2143101103432121103101Vctor D. Rojas Cerna110 (r2 + 9)(r2 - 3)2) Apelando al mtodo indeterminado: +(x) = (c2 + 2c3x + 3c1 + 3c2x + c3x2)e3x +(x)=(2c3 + 3c2 + 6c3x + 3c2+ 6c3x + 9c1 + 9c2x + 9c3x2)e3x +(x) =(2c3 + 6c2 + 9c1) + (12c3 + 9c2)x + 9c3x2)e3x Sustituyendo: ([(2c3 + 6c2 + 9c1) + (12c3 + 18c2)x + (9c3)x2] + 9[c1+ c2x + c3x2]) e3x = x2e3x Calculando la exponencial (lo cual es factible pues eo = 0, o) 2c3 + 6c2 + 18c1 = 0 Resolviendo el sistema: 12c3 + 18c2= 0 18c3= 1 c3 =c2 =c3 = - c1 =(-c3 - 3c2) = Luego la solucin particular ser: +(x) =(1 - 6x + 9x2)e3x f)y + y = xexcos2x Solucin: * Tenemos L(y) = y + y.M(y) = y-2y+14y-10y+25y Podemos ver que M(b(x)) = M(xexcos2x) = 0, L(u) = xexcos2x *ElpolinomiocaractersticodeM(L(u))=0serelproductodeambospolinomios caractersticos: P(r) = (r2 + 1)((r - 1)2 + 4)2 * u(x) = c1cosx+c2senx + (c3+c4x)excos2x + (c5+c6x)exsen2x, esto era de esperar, pues M(L(u)) = 0 era de orden 2 + 4 = 6 * Entonces si denotamos con + la solucin particular solicida, ella tendr la forma: +(x) = (Ax + B)excos2x + (Cx + D) 18118122719116211621Vctor D. Rojas Cerna111 Donde A. B, C y D tendremos que determinarlas. (Observar que las constantes c3, c4, c5 y c6 las hemos sustituido por A, B, C y D respectivamente) * +(x) = (Ax + B)excosx + Aexcos2x - 2(Ax + B)exsen2x + Cexsen2x + (Cx + D)exsen2x + 2(Cx + D)excos2x * +(x) = (Ax + B + A + 2Cx + 2D)excos2x + (-2Ax - 2B + C + Cx + D)exsen2x +(x) = *(A + 2C)x + (B + A + 2D)+excos2x + [(C - 2A)x + C + D - 2B]exsen2x * +(x) =(A+2C)excos2x + [(A+2C)x + (B+A+2D)]excos2x - 2[(A + 2C)x + (B + A + 2D)]exsen2x + (C - 2A)exsen2x + [(C - 2A)x + C + D - 2B]exsen2x 2[(C - 2A)x + C + D - 2B]excos2x +(x) = (A + 2C + (A + 2C)x + (B + A + 2D) + 2(C -2A)x + 2C + 2D - 4B)excos2x + (-2(A + 2C)x - 2B - 2A - 4D + C - 2A + (C - 2A)x + C + D - 2B)exsen2x +(x) = (-3A + 4C)xexcos2x +(2A - 3B + 4C + 4D)excos2x + (-4A - 3C)xexsen2x + (-4A - 4B + 2C - 3D)exsen2x * Como L(+) = xexcos2x, tendremos que, (-2A + 4C)xexcos2x + (-2A -2B + 4C + 4D)excos2x + (-4A -2C)xexsen2x + (-4A - 4B + 2C -2D)exsen2x = xexcos2x * Por tanto tendremos que: -2A + 4C = 1A = -.C = -4A - 2C = 0 -2A - 2B + 4C + 4D = 0 -2B + 4D = 2A - 4C -4A - 4B + 2C - 2D = 0-4B - 2D = 4A - 2C -2B + 4D = -1 -4B - 2D = - B = .D = -* Luego tendremos que: +(x) = 10151545013506x 2 sen e x51506x 2 cos e x1015013x x|.|

\|+ + |.|

\|Vctor D. Rojas Cerna112 g)y + iy + 2y = 2cosh2x + e-2x Solucin: *Pol i nomi ocaracter sti co:P(r) = r2 + ir + 2 =r = -2i, i * Solucin general: u(x) = c1e-2ix + c2eix + +(x), +(x)la solucin particular * 2cosh2x + e-2x = e2x + e-2x + e-2x = e2x + 2e-x * +(x) = Ae2x + Be-2x * +(x) = (Observacin: A =.B =) * +(x) =e2x + 2 e-2x * +(x) =e2x + 2 e-2x * Por tanto:+(x) =e2x +e-2x Comentario:La solucin general es: u(x) = c1e-2ix + c2eix +e2x +e-2x h)y = x2 + e-xsenx Solucin: *Laformadel asol uci nparti cul arser:+(x) = x3(Ax2 + Bx + C) + e-x(Dcosx + Esenx) * +(x)=5Ax4+4Bx3+3Cx2+e-x(-Dsenx+Ecosx-Dcosx-Esenx)+(x) = 5Ax4 + 4Bx3 + 3Cx2 + e-x((E - D)cosx-(E - D)senx) * +(x) = 20Ax3 + 12Bx2 + 6Cx + e-x((D - E)senx - (E - D) cosx + (D - E)cosx + (E + D)senx) +(x) =20Ax3 + 12Bx2 + 6Cx + e-x(-2Ecosx + 2Dsenx) * +(x) = 60Ax2 + 24Bx + 6C + e-x(2Esenx + 2Ecosx + 492ir2+|.|

\|+x2x 22e2 ) 2 ( i ) 2 (12 e2 ) 2 ( i 21+ + ++ +) 2 ( P1) 2 ( P1i 2 61+ i 2 614 36i 2 6+4 36i 2 6++|.|

\| 20i 3|.|

\| +20i 2 6|.|

\| 20i 3|.|

\| +20i 2 6Vctor D. Rojas Cerna113 2Dcosx - 2Dsenx) * +(x) = x2 + e-xsenx 60Ax2 + 24Bx + 6C + e-x(2(E + D)cosx + 2(E - D)senx) = x2 + e-xsenx * Igualando: 60A = 1.24B = 0.6C = 0. 2(E + D) = 0.2(E -D) = 1 A =.B = 0.C = 0. E =D = Luego, la solucin particular es: +(x) = Comentario:La solucin general es: u(x) = c1 + c2x + c3x2 + i)y + 3y + 3y + y = x2e-x Solucin: * Tenemos que +(x) = x3(Ax2 + Bx + C)e-x * +(x) = 3x2(Ax2 + Bx + C)e-x + x3(2Ax + B)e-x - x3(Ax2 + Bx + C)e-x +(x) = *(-Ax5 + (5A - B)x4 + (4B -C)x3 + (3C)x2]e-x * +(x) = *-5Ax4 + 4(5A - B)x3 + 3(4B -C)x2 + 6Cx + Ax5 - (5A - B)x4 - (4B -C)x3 -3Cx2]e-x +(x) = *Ax5 + (B - 10A)x4 + (20A - 8B + C)x3 + (12B - 6C)x2 + 6Cx]e-x * +(x) = [5Ax4 + 4(B -10A)x3 + 3(20A - 8B + C)x2 + 2(12B - 6C)x + 6C - Ax5 - (B -10A)x4 - (20A - 8B + C)x3 - (12B - 6C)x2 - 6Cx]e-x * +(x) = [-Ax5 + (5A - B + 10A)x4 + (4B - 40A - 20A + 8B - C)x3 + 60A - 24B + 3C - 12B + 6C)x2 + 6C + (24B - 12C - 6C)x]e-x * +(x) = [-Ax5 + (15A - B)x4 + (-60A + 12B - C) 6014141x cos e41x sen e4160xx x5 +x cos e41x sen e4160xx x5 +Vctor D. Rojas Cerna114 (60A - 36B + 9C)x2 + (24B - 18C)x + 6C]e-x * +(x) + 3+(x) + 3+(x) + +(x) = [(-A + 3A - 3 + A)x5 + (15A - B + 3B - 30A + 15A - 3B + B)x4 + (-60A + 12B - C + 60A - 24B + 3C + 12B - 3C + C)x3 + (60A - 36B + 9C + 36B - 18C + 9C)x2 + (24B - 18C + 18C)x + 6C]e-x = x2e-x * 0x5 + 0x4 +0x3 + 60A + 24Bx + 6C = x2 A =.B = 0.C = 0 (pues24B = 0 .6C = 0B = C = 0 * Por tanto:+(x) =e-x 1)ConsideremoseloperadordecoeficientesconstantesL,cuyopolinomio caractersticoesP.ConsideremoslaecuacinL(y)=eax,dondeaesuna constante. Si a es una raz de multiplicidad K, demuestre por el mtodo de los coeficientesindeterminados,queexisteunasolucindadaporlasiguiente relacin: Solucin: *TenemosquesiP(r)tieneunarazdemultiplicidadK(1 (D-4) (D+4) y= 0 y = c1 e4z + c2 e-4z y = c1 x4 + c2 x-4 Aplicacin 2:Resolver: xy 2xy+ 2y= xe -x

Ecuacin de Euler:zx e =(D(D -1 ) - 2D +2 )y =zez1

(D2 -3D+ 2 ) y zez1=p2z2z1y e c e c y + + = Completar los clculos pendientes, ver que: }+ + =dxxe) 1 x ( xe x c x c y-x2 x 22 1 Comentario: Estasecuacionesquetienencoeficientesvariables,medianteelcambiox=ezellase transforma en una EDOLCCNH. Vctor D. Rojas Cerna125 VIBRACIONES MECANCAS Veamos las ecuaciones que gobiernan los diferentes sistemas resorte-masa a)Movimiento libre no amortiguado KPosicion de equilibrioMX Ecuacin diferencial que gobierna el movimiento: ''( ) ( ) 0 mx t kx t + =Solucin:0 0( ) cos( ),w (frecuencia circular)C=amplitud;ngulo de fasekx t C w tmoo= ==Elperiododelmovimientoeseltiemporequeridoparaqueelsistemacompleteuna oscilacindadpor 02T segundoswt= ,sufrecuenciaes 012wT t= dadoenhertzios (Hz). Este movimiento es llamado movimiento armnico simple. 0wa Vctor D. Rojas Cerna126 b)Movimiento libre amortiguado KMC Ecuacin diferencial que gobierna el movimiento: ''( ) '( ) ( ) 0 mx t cx t kx t + + = Movimientos: 1.Movimientocrticamenteamortiguada,encaso 24 . c km = Ecuacindel movimiento: ( ) ( ) tx t e A Btoo= + es la raz doble del polinomio caracterstico. ( ) ( )tx t e A Bta -= + 2.Movimientosobreamortiguado:Si24 c km > ,racesa b . diferentesenel polinomiocaracterstico,lasolucines:( )(a,b )btx t Ae Beo= + e , Detectamos que: ( ) 0 cuando t + (t tiempo) x t Vctor D. Rojas Cerna127 0 , ( )at btab x t Ae Be < = + 3.Movimientosubamortiguado:Si 24 c km < .Racescomplejasconjugadas 2 20 p w p +cdonde p=dems p>02m.La solucin seria: pt1 1x(t)=e ( cos ) A wt Bsenwt +donde 2 2 -pt1 0 1,x(t)=Ce cos( ) w w p wt o = Vctor D. Rojas Cerna128 1( ) cos( )ptx t ce wt a-= - -( )ptx t ce-= - c)Movimiento forzado no amortiguado KMF(t) F(t)eslafuerzaexterna,lasmsfrecuentessoncuando 0 0( ) coso( ) Ft F wt Ft F senwt = = .Weslallamadafrecuenciaexterna.Veamoselcaso inicial. Ecuacin: 0 c''( ) ( ) cos ,x(t)=x ( ) ( ),pmx t kx t F wt t x t + = + donde 0 0( ) cos ,cx t A w t Bsenw t = + recordando 0(frecuencia natural o circular)kwm= si 0w w = , tenemos que: o2 20Fm( ) cos ,donde c=wpx t C wtw= Vctor D. Rojas Cerna129 o0 0 0 2 20Fm( ) cos coswx t A w t enw w tw = + +s .As si tenemos que F0=80, w=5, m=1, k=9 (valoresnumricos)tendremosque:x(t)=5cos3t-5cos5tbajolascondiciones x(0)=x(0)=0 Sielcasoinicialconsideramoslascondicionesinicialesx(0)=x(0)=0podemosverque: 002 202F 1( ) ( )2m(w w )x t sen w w t = ' su grafica es: 02 202( )Fmw w -{ La superposicin de frecuencias distintas producen PULSACIONES. RESONANCIA Cuando 0w w .son aproximadamente iguales,( )px ttiene una amplitud muy grande. As cuando tengamos 0w w =llegamos a que0 0( ) ( cos )px t t A w t Bsenw t = + 000F( ) (A=0, B= )2mwx t Btsenw t =00( )2Fx t tmw=Vctor D. Rojas Cerna130 Cuando 0w w ~ hablamosderesonancia,esdecir( )px t esmuygrande.Encasode 0w w = ,hablamosdeunaresonanciapura,esevidentequeunsistemamecnicoel efecto de resonancia colapsara el sistema. En este sentido la resonancia mecnica, no es deseable por sus efectos. d)Movimiento forzadoamortiguado KMCF(t) Ecuacin que gobierna el movimiento:''( ) '( ) ( ) ( ) mx t cx t kx t F t + + =Nosinteresacuando 0( ) cos . Ft F wt = Nosinteresadeterminar( )px t .Sidenotamos 22 2 2:( ) ( )K cwtg tenemosk mwk mx cw o = . = + ( ) 0( ) ( )(cos cos )pFx t wt senwtsenk o o = + osea 0( ) cos( )pFx t wtK o = esel llamadofactordeampliacin,eslacantidadporlacualsedebemultiplicarel desplazamientoesttico 0/ F K paraobtenerlaamplituddelaecuacinperidica estacionaria( ( )px t ).Notamosquecuandoc>0laamplitudsiempreseconservafinita (alcontrariodelcasonoamortiguado).Laamplitudpuedetomarsumximovalor cuandotengamosel fenmenoderesonancia pura, perosihallamosdelaresonancia prctica la tomar para algn valor de w, para lo cual denotemos 0w4 , w=wCRC km =4CRc ccc km= = as 2 2 22 1/ 21[(1 ) 4 ] w cw = +veamosalgunassituacionespara valores especficos dew c . . Vctor D. Rojas Cerna131 Ejemplo: 1.determine el desplazamiento , de un bloque de masa m, con constante de resorte 2m, y constante de amortiguacin 3m, con una fuerza externa ,si se tiene que el soporte oscila segn alrededor de la linea OP, i las condiciones iniciales son nulas. 18c =14c =12c =1 w=w() xt() sin2 Ft m t =2ty te=O P k cF((t)m Vctor D. Rojas Cerna132 Por condiciones iniciales nulas: Ejercicios propuestos: 1. Halle( ), (0) 1, (0) 0 x t x x' = = siel soporte OP vibra segn 0( ) 2 , y t sen w t = numricamente 010 2 3 . m k c w = = =( )( )2 ; 33 2 sin 2K m c mFt cx kx x mF c k xt x x mm m m mx x x t= =' '' =''' ='' ' + + =( )221 2:3 2 03 2 02, 1t thHomogeneax x xPr r rrx C e C e '' ' + + == + + = = = +( )( )232213223:3 2 sin 232sin 2cos 2 sin 23 12sin 2sin 2 2cos 23 15t ttt tt ttt ttParticularx x x te eW ee ee t eC t tee t eC t te '' ' + + == = = = = = }}( ) ( )cos 2 sin 2 sin 2 2cos 2cos 2 sin 212 15 20 60pt t t tt tx = + = 21 2cos 2 sin 220 60h pt tx x xt tx Ce C e = + = + ( ) ( )1 220 0 01 1;30 601 1 cos 2 sin 230 60 20 60t tx xC Ct tx e e ' = = = = = + Vctor D. Rojas Cerna133 2. Un edificio tiene 2 pisos. El primer piso esta sujeto al suelo rgidamente y el segundo comporta como unresorte que resiste a los desplazamientos horizontales del segundo piso;requiereunafuerzahorizontalde5tonsparaqueelsegundopisosedesplace unadistanciade1pie.Supngasequeuntemblordetierrahacequeelpisooscile horizontalmenteconunaamplitud 0A yunafrecuenciacircularw,resultandouna fuerzaexterna 20( ) Ft mA w senwt = sobreelsegundopisoCuleslafrecuencia natural (en hertzios) de las oscilaciones del segundo piso? 3. Determine el desplazamiento del cuerpo de masa m, en el sistemasiguiente sistema (0) 0, (0) 0, 4 3 , 8 x x c mm k ' = = = =estas identidades solamente numricamente entonos en un mismo sistema. CIRCUITOS ELCTRICOS Enuncircuitoquecontieneunoomselementosdealmacenamientodeenerga existirunestadoestacionariosiemprequecambielacondicindeenergaenel circuito,hastaquesealcanceelnuevoestadoestacionario.Estopuedeocasionarse poruncambiodelvoltajeodelacorrientequeseaplique,oporuncambiode cualquiera de los elementos del circuito. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Veamos los siguientes circuitos:

m k c F(t)=m cos(2t) x(t)

M KcK O P Vctor D. Rojas Cerna134 Loscircuitosmostradoscontienenunsoloelementodealmacenamientodeenerga, en el que vs es el voltaje de suministro, i es la corriente del circuito en un tiempo de t segundos una vez que se ha cerrado el interruptor. En este tiempo los voltajes VR, VL y VC estn en los componentes. Circuito Inductivo En este circuito tenemos:VS = VR + VL dtdiL VL= dtdiL iR VS+ =

dtdi RLiRVS+ = Circuito Capacitivo El circuito de la figura 2 VS = VR + VC = iR + VC Sabemos que: dtdVC iC=

CCc SVdtdCR V + = En general: dtdxT x F + =F =funcin de tendencia = valor en estado estacionario de x X =variable del circuito T =constante de tiempo del circuito Vctor D. Rojas Cerna135 La ecuacin puede escribirse: F = x + T Dx, dtdD =Lasolucindeestetipodeecuacioneslinealesdeprimerordendeestetipoadmite una solucin que puede escribirse como: = + =t 0x lim,x x xt t e xt es llamada la solucin transitoria y xe es la solucin estacionaria. Fuente de voltaje constante, VS = E volts, el interruptor se cierra en t=0. Para el circuito inductivo de la figura 1, la ecuacin del circuito es: REdtdi RLi = + LEiLRdtdi= + ||.|

\|+ =}k dtLEe e (t) itLRtLR- tLR-e kRE(t) i + = REiia estacionar=Como la corriente que atraviesa un inductor no pueden cambiar en forma instantnea, entonces en t=0,i=0 RE- KREK 0 = + =( )Rt/L -e - 1REi =Para el circuito capacitivo: en t=0,V1 volts EdtdVRC VCC= + RCE VRC1dtdVCC= + ||.|

\|+ =}k dt RCEeRC1 1t tRCCe Ve K E VC+ =E V K K E V 0 t1 1 = + = =Vctor D. Rojas Cerna136 Luego: V = E (E V1) e-t/RC Fuente alterna de voltaje VS = EO sen wt aplicada al circuito inductivo. wt senLELRidtdi wt senREdtdi RLiO O= + = + ||.|

\|+ =}k dt wt senLEe e ) t ( iOtLRtLR tLR- tLR22OtRL-e k ewLR wt cos w- wt senLR REe (t) i +|||||.|

\|+ |.|

\|= tLR-2 2 22Oe kL w R wt cos wL - wt sen RL LE(t) i +||.|

\|+=ia) estacionar (corriete wt cos w L RLw- wt senL w RRE (t) i2 2 2 2 2 2O e|.|

\|+ +=RwLtgyL w R Z Sea2 2 2= | + =||.|

\|+ += wt cosL w RLw - wt senL w RR ZE(t) i2 2 2 2 2 2Oe wt) cos sen - wt sen (cosZE(t) iOe| | =) - (wt senZE(t) iOe| = | es el ngulo de fase entre el voltaje de suministro sinusoidal y la corriente de estados estacionario. De esta manera tenemos: tLR-Oe k ) - (wt senZE(t) i + | =Tenemos quei(o)=0cuando t=t tOkZELR-e ) - (wtsen0 + = |) - (wt sen eZEktLRO| =Vctor D. Rojas Cerna137 ) - (wt sen e - ) - (wt senZE(t) i) t t (LRO| | = SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN Consideremos el circuitoCIRCUITO EN SERIE: Por la LKV:VR + VL + VC = VS }= + +SV idtC1dtdiL iRdtdViC1dti dLdtdiRS2= + +dtdV L1iLC1dtdiLRdti dS22= + +Sabemos que: i = ie + it La solucin transitoria la obtenemos al resolver: 0 iLC1DiLRi Dt t t2= + +La forma tipo de esta EDOLCC es: 0 i ) w D 2dw D (t2n n2= + +} Donde wn es la frecuencia natural no amortiguada de las oscilaciones y de es el factor de amortiguamiento. LC

2RL 2wRdLC1wnn= = . = La condicin d=0 implica una resistencia del circuito de cero. Las soluciones las obtenemos de acuerdo al valor de d como se indica: (1)d < 1 OSCILACIONES AMORTIGUADAS ) t (w sen e k iot -dwtnu + = (2)d=1AMORTIGUAMIENTO CRITICO t -wtne ) Bt A ( i + =Vctor D. Rojas Cerna138 (3)d > 1 RESPUESTA SOBREAMORIGUADA t -dw t -wt wtn o oe ) e B e A ( i + = (4)d = 0SIN AMORTIGUAMIENTO(OSCILACION CONTINUA) ) t (w sen A in tu + = Donde A, B y u son constantes determinadas por las condiciones iniciales del circuito y wo es la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas, dada por: 2n od - 1 w w =Condiciones iniciales con un voltajede E volts aplicado al circuito de la A63. Por la LKV: Ri + Ldi + VC = E Sea V1 el voltaje a travs del condensador y sea cero la corriente del circuito antes de cerrar el interruptor en t=0. LDi + V1 = E LV EDi1=Lasolucindeestadosestacionariosie(t)=0yaqueelcondensadorestatotalmente cargado a E. Por tanto, tenemos la solucin general es i=it. As tenemos: 2n n2 w 2d r (r) p e + + =1 - d w dw - r 2w 4 w d 4 dw 2r2n n2n2n2n = =Veamos los casos: (1)d < 1 Las races son complejas t w cos e B t w sen e A iot -dwot -dwn n+ =i(o) = 0 i = A e-dwnt sen wot wV - EAA wLV - Etw cos e 'o1o1odw -nLA ito= = = e Vctor D. Rojas Cerna139 La solucin ser:t w sen eL wV Eiot dw -o1n=(2)d = 1 Las races son r= -dwn,-dwn(raz doble) t -dw t -dwn ne t B ie ) Bt A ( i = + =I(o) = 0 A = 0 tt B in-dwne ) -dw ( ' > < + =BLV Ei = = =LV - E

LV - E(o) i' '1 1 1 La solucin es: t dw - 1ne tLV Ei= (3)d > 1 Las races son reales, as: t ) w (-dw t ) w (-dwo n o ne B e A i ++ =i(o) = 0 A + B = 0 B = -A t ) -(dw ) (-dwn ne ) ( e ) ( 'o owo nt wo nw dw B w dw A i+ + + + =LV Ew B w A io o1n n ) 0 () (dw ) (-dw '= + + =LV E) w dw w (-dw A1o n o n= + + +LV - E- bL w 2V EA1o1= .=) e (e eL w 2V Eit w t w t dw -o1o o n=) t (w senh eL wV Eiot dw -o1n= (4)d = 0 races: |.|

\|= = 2n o o2n nd - 1 w w i w 1 - o w w oVctor D. Rojas Cerna140 t w sen B t w cos A io o+ =tw Sen B i0 A 0 (o) io= = =LV Et Bw io1o' i w cos '= . =L LV EB io1 1o ) 0 (wV - EB w ' = = =t w senL wV Eioo1=I o o I i i I iR L C= = =De (1) cuando t=0 :I 0 I ) (DiRL0 t L= + += 0 ) Di (0 t L== t ) dw -(wn ot ) dw (wn o Ln o n oe ) dw (w B e ) dw (w A Di+ + =0 ) dw (w B - ) dw - (wA 0 I B A0 ) Di (n o n o 0 t L= + . = + + == de donde: Iw 2dw w- B Iw 2dw wAon oon o= .+ =Sustituyendo: t ) w (dw -oo n t ) w (dw -oo nLo n o new 2w dwe2ww dw- 1 I i ++=Solucin para d < 1 Anlogamente como el caso anterior, la solucin transitoria es: ) t (w sen e A iot -dwtnu + =Como antes la solucin de estado estacionario I iLe= de modo que la solucin es: I ) t (w sen e A iot -dwLn+ u + =Tenemos:0 ) (Di 0 ) i (0 t L 0 t L= . == = t -dwo o ot -dwn Ln Ne A) t w cos w ) t (w sen e dw ( Di + u + =As tenemos: o nnoI/w w - I/sen - Adwwtg = u = . = u ((

u + = ) t (w sen eww- 1 I iot dw -onLn Vctor D. Rojas Cerna141 CIRCUITO EN PARALELO Consideremos el circuito: Por la LKC: I i i iC L R= + +Ecuacin del circuito:IdtdvC iRVL= + + LdtdiL V =Ahora tenemos: 222L2L LdtdD, dtdD,I i D CL i DiRL= = = + + (1) I i 1) DRLD CL (L2= + + LCIiLC1DRC1DL2= |.|

\|+ +Recordando: CL

R 21RC 2w1dLC1 w :w wn2n o n= = . = .Solucin para d > 1 De la solucin anterior, la solucin transitoria es: t -dw t -w t NLn o oe ) e B e A ( i + =En estado estacionario:0 i i,0 V,I iC R L= = = =La solucin es:I e ) e B e A ( it -dw t -w t wLn o o+ + =Condiciones iniciales: en t=0,0 v y 0 iL= = Aplicaciones Determinar la corriente en elsiguiente circuito donde: E(t) = Eote-t Vctor D. Rojas Cerna142 La ecuacin del circuito es: }= +t -ote E idtC1dtdiL t -oe t) - (1 E iC1' Li' = + t - oe t) - (1LEiLC1' i' = + t - oe t) - (12Ei41' ' = + i) t ( i2tsen B2tcos A(t) ip+ + =||||.|

\|+ +=t -2 2ope t 41D1- 141D1 2E(t) it411) - (D1e2E4 e t41D1) 4 (2E) t ( i2t o t -2op+ =+ = t0 20461e E E 2 ) t ( i2t -o o p+ =t ... D253254e E E 2 ) t ( it -o o p|.|

\|+ + =t -o o pe2532t54E E 2 ) t ( i |.|

\|+ =e2532t54E - E 22tsen B2tcos A ) t ( it -o o|.|

\|+ + + =o o oE2518- A 0 E2532E 2A0 (o) i = = + =0 ') () 0 (= =LVio t -) (e25325454-2tcos2 2tsen 2'|.|

\|+ + + + = t EB Aio t o o ) 0 (E2524B0 E25122B 0 ' = = = i Luego: t -o o oe2532t54E E 22tcos25182tsen2524E (t) i |.|

\|+ + |.|

\| = Vctor D. Rojas Cerna143 Aplicaciones: Enelcircuitodelafiguraelinterruptorhaestadoenaduranteuntiempomuy grande. Si en un determinado instante el interruptor se conecta al punto b Cul es el circuito? Calcularapartirdeeseinstante(t=0)lacorrienteinstantneai(t),siademssesabe que R, es retirado del circuito. 1H L F,21C , 2 R , 1 R2 1= = O = O =V(t) = e-t sen t Solucin c)Conexin en a (tiempo muy grande, t tiende a ) En el instante anterior a la conexin en b se tiene: 2 i2 i . 1 = = O sea I(o) = 2 para la conexin en b2 1 (o) q) 2 (21q cV q = = =c)Conexin en b:0 t > sen t 2 ' 2 ' 'te q q q= + +Condiciones: 2 (o) I ) o ( q1 (o) q1= = . =t sen e C t cos e C q-t2-t1 H+ =(Las races del polinomio caracterstico son): i) 1 - r 0 1 ) 1 r (2 = = + +t cos e2t- t sen1 D1 e t) sen (e1 ) 1 D (1qt -2t - t -2p=+=+ +=Luego: t cos e2t- t sen e C t cos e C qt - t -2t -1+ =Determinemos las constantes2 1CC .|.|

\|+ + + = = sen t2ttcos21- tcos C sen tC - tcos2tsen tC - tcos C - e (t) '2 1 2 1t -q i1 e1 (0) q1 = =Vctor D. Rojas Cerna144 27C221C 1 - 2 '2 2 ) 0 (= = + = q Luego:|.|

\|+ + + = = sen t2ttcos21- tcos27sen t- tcos2tsen t 27cos e (t) 't -) (t i qt Por tanto:|.|

\|+ + = t sen2tt cos2tt sen29- t cos 2 e (t) it - En el circuito adjunto, hallar V(t) Cul es el circuito? Si:0) (t (t) E > =Solucin Sabemos que:V dt iC1 V'R C}= . = Ri L VL Como V hallar podemos , i i i2 1+ = En la malla externa tenemos: } = + = + = ) t ( i - tV(t)) t ( V ) t ( i tidt211) t ( i (t) E1 1 1 En la malla interna: } = = (t) i 4 E (t) V' dt (t) i411E(t) V(t)'2'(t) 2 Luego tendremos:V(t)) - (41(t) i(t) i 4 V2 2'(t)= =Vemos: }= = ='(t)'(t)V21i 2 Vidt 211(t) i VSabemos que: (t)) V - (641) ( 6 V21

' '(t) 2 1+ = + = t V t i i i|.|

\|+ = + + = + 23t 34V(t)34(t) V'236t V(t) (t) V'43 Vctor D. Rojas Cerna145 2 t34V(t)34(t) V'+ = + Como es lineal tenemos: }+|.|

\|+ =C dt234e ) (3434te t Vt t Luego:C e23e169t43 34 e V(t)t34t34t34+ +|.|

\| = t34-e C23 169t43

34) t ( V + + =Viendo el circuito, apreciamos que: 2343C C2343- 0 0 ) o ( V = + += =Por tanto: a Transitori Tensinia Estacionar Tensine23432316943 34) (34- tt t V|.|

\| + +|.|

\| = Ejemplo: R RRi V =) ( V dt (c) ic1(t) V 0ct0c c+ =} En el inductor: dt(t) diL (t) VLL= Por Kirchhoff (KVL)Leyes de voltaje de Kirchhoff: 0 V V VL C R= + +L C Ri i i = = Sustituyendo: Vctor D. Rojas Cerna146 0 (0) V (t)dt ic1Ridt(t) diLt0c L LL= + + +}Esta ecuacin integro-diferencial se transforma en: 0 iLC1dt(t) diLRdt(t) i dLL2L2= + + Las condiciones iniciales de esta ecuacin diferencial son 0 Li ) ( i 0 =y ) V , ( ) ( ' i0 0 Li 0 f =) 0 ( V V0 c= y la funcinf ( , ) indica que) 0 ( iL es una funcin de la corriente inicial en el inductor y la capacitancia Inicial en el capacitador. Luego tendremos: t 2t 1 L2 1e k e k (t) i + = Cuando asumamos que: 2 1 = Ejemplo :Determine(t) Vc en el circuito adjunto (t) VRC1(t) VLC1(t) V'RC1(t) ' V's C c c= + + Ejm: Consideremos un circuito RL que se muestra Vctor D. Rojas Cerna147 Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes al nodo a se tiene:0 (t) iR(t) VRE(t) (t) VL2a1a= + + Como: 1LL2 12 1 LaRE(t)(t) didt(t) di.R RR RLdt(t) diL (t) V = ++ = Se desprende que: ) R L(RE(t)R(t) i) R L(RR . Rdt(t) di2 12L2 12 1 L+=++ Cuya solucin es simple. Ejm: En el circuito RLC en serie, determine(t) Vc )V Sen( E E(t) wt0=,1 R= ,H 0.1 L= ,0.2f c = , condiciones iniciales nulas. Ejm: En el circuito adjunto determine 0V Condiciones iniciales nulas Vctor D. Rojas Cerna148 Ejemplo: Analicemos el circuito RC de la figura adjunta Tenemos: ( ) (t) i (t) C(t)Vdtdc c=De donde obtenemos el modelo matemtico para el circuito: (t) VC(t)1(t) VC(t)2 (t) C'(t) V's c c=||.|

\| += EJERCICIOS 1.Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: a)y + 4y = cosx Solucin: El polinomio caracterstico es P(r) = r2 + 4 Races: r = -2i, 2i La solucin solicitada ser: u(x) = u1(x)cos2x + u2(x)sen2x Ahora hallemos u1(x) . u2(x), previamente hallemos el wronskiano W(u1, u2)(x) = = 2 u1(x) =cosxdx =cosxdx u1(x) = = =cos3x + K1 u2(x) =cosxdx = u2(x) =cosxdx = + K2 La solucin u ser: x xx x2 cos 2 2 sen 22 sen 2 cos( )( )}u uu u) x ( , W) x ( , W2 12 1 121}x 2 cos 2 1x 2 sen 021} dx x cos x 2 sen21}dx x cos x sen231211 x sen 2 '0 x 2 cos2 21}dx x cos x 2 cos21} ) x sen 2 1 (221|.|

\| x sen32x sen3Vctor D. Rojas Cerna149 u(x) =cos2x +sen2x + K2sen2x u(x)=K1cos2x+K2sen2x+ cos3xcos2x+ senxsen2x-sen3xsen2x up(x) Operando up(x): up(x) =cos3x(cos2x - sen2x) + sen2xcosx -sen4xcosx up(x) =cos2x(cos2x - sen2x) + 3sen2x - 2sen4x up(x) =(1 - sen2x)2 - cos2xsen2x + 3sen2x - 2sen4x up(x) = 1 - sen2x + sen4x - cos2xsen2x + 3sen2x - 2sen4x up(x) =1 + sen2x + sen4x - cos2xsen2x - 2sen4x up(x) =1 + sen2x - sen4x - cos2xsen2x up(x) =1 + sen2x - sen2x(sen2x + cos2x) up(x) =1 + sen2x - sen2x up(x) = O sea la solucin general ser: u(x) = K1cos2x + K2sen2x +cosx,K1, K2 constantes. b)y + 9y = sen3x Solucin: * Polinomio caracterstico: P(r) = r2 + 9 * Races del polinomio caracterstico: -3i, 3i * La solucin general ser:u(x) = u1(x)cos3x + u2(x)sen3x *Tendremosquedeterminarlasfuncionesu1(x).u2(x),paralocual apelamos al mtodo de variacin de parmetros. |.|

\|+13K x cos31|.|

\| x sen31x sen21331213131323x cos3x cos3x cos3x cos3x cos3x cos3x cos3x cos31Vctor D. Rojas Cerna150 * Tenemos que: W(cos3x,sen3x) = = 3 * Usando las identidades deducidas para u1(x) . u2(x) u1(x) =sen3xdx =sen3xdx = =dx u1(x) =sen6x - + K1 * Anlogamente hallamos u2(x): u2(x) =sen3xdx u2(x) =dx =dx u2(x) = - cos6x + K2 * u(x) = cos3x +sen3x *u(x)=K1cos3x+K2sen3x+ - cos3x * Apreciamos que: sen6xcos3x- cos6xsen3x= (2cos23xsen3x-(cos23x-sen23x)sen3x) =(2cos23x - cos23x + sen23x) =(cos23x + sen23x) = * u(x) = K1cos3x + K2sen3x +sen3x -cos3x * u(x) = K1cos3x +sen3x -cos3x * Luego se tiene que la solucin general es: x 3 cos 3 x 3 sen 3 'x 3 sen x 3 cos}) x 3 sen , x 3 (cos W) x 3 sen , x 3 (cos W131}x 3 cos 3 1x 3 sen 031} xdx 3 sen261} ) 1 x 6 (cos3616x31} 1 x 3 sen 30 x 3 cos31}x 3 sen x 3 cos61}x 6 sen361|.|

\|+ 1K6xx 6 sen361|.|

\|+ 2K x 6 x cos361|.|

\| x 3 sen x 6 cos361x 3 cos x 6 x sen3616x36136136136x 3 sen36x 3 sen36x 3 sen3616x|.|

\|+361K26xVctor D. Rojas Cerna151 u(x) = C1cos3x + C2sen3x -cos3x,C1, C2 constantes (Observacin: C1 = K1 . C2 = K2 + 2.Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: a)y + 4y = cosx Solucin: Usando operadores para la up(x) P(r) = r2 + 4r = -2i, 2i up(x) =cosx =cosx =cosx La solucin general es:u(x) = C1cos2x + C2sen2x +cosx b)y + 9y = sen3x Solucin: P(r) = r2 + 9r = -3i, 3i u(x) = C1cos3x + C2sen3x + up(x) Amparados en:senax = - cosax up(x) =sen3x = - cos3x = -cos3x u(x) = C1cos3x + C2sen3x -cos3x c)y + y = tanx(-< x 0) }) sen , (coscos 2 sen sen 2sen 0x x Wx x xx}x cos x senx sen x cosx 2 sen x sen 22}12 sen sen 22x x}x sen2}x sen3} x 2 sen x sen 2 x sen0 x cos) x sen , x (cos W1}x sen 2}x 2 sen221} ) x 4 cos 1 (2x81|.|

\|+ 24 sen812C xx812x}x cos x secx sen 0} x sen}x cosx sen2t2tVctor D. Rojas Cerna155 * u2(x) =dx =secxdx u1(x) = = x + C2 Luego tendremos:u(x) = (Ln(cosx) + C1)cosx + (x + C2)senx As:u(x) = C1cosx + C2senx + xsenx + (cosx)Ln(cosx) i)4y - y = ex Solucin: uH(x) = C1e-x/2 + C2ex/2 pues las races son, -del polinomio caracterstico. * Resolvamos: u1(x)e-x/2 + u2(x)ex/2 = 0 u1(x) + u2(x) =ex * u1(x) =dx =e3x/2dx = - e3x/2 + C1 puesW(e-x/2, ex/2) = = 1 u2(x) =dx =dx =ex/2 + C2 * u(x) =e-x/2 +ex/2 * Por tanto:u(x) = C1e-x/2 + C2ex/2 +ex Luego: u(x) = C1e-x/2 + C2ex/2 +ex j)6y + 5y - 6y = x Solucin: } x sec x sen0 x cos}x cos}dx2121|.|

\| 2 / xe21|.|

\|2 / xe2141}1e21e41e 02 x x2 x}41612 / x 2 / x2 / x 2 / xe21e21e e( )} x 2 xx 2 x2 xe , e We41e210 e}2 /41xe21|.|

\|+ 12 / x 3C e61|.|

\|+22 / xC e21|.|

\|61e212 / x31Vctor D. Rojas Cerna156 * Races: 2/3, -3/2 * u(x) = u1(x)e2x/3 + u2(x)e-3x/2 * Resolviendo:u1(x)e2x/3 + u2(x)e-3x/2 = 0 u1(x)+ u2(x)= * Hallemos el wronskiano: W(e2x/3, e-3x/2) = = -* u1(x) =dx =e-2x/3 + C1 * u1(x) =dx = -+ C2 * u(x) = C1e2x/3 + C2e-3x/2 -x -3.ConsideremosL(y)=y +a1y+a2y,dondea1,a2sonconstantes reales.Sean A,econstanterealestalesqueP(e)=0,dondePeselpolinomio caracterstico. a)Demuestre que la ecuacinL(y) = Aeiex tiene una solucin u dada por la relacin: u(x) =ei(ex - o) donde P(ie) = |P(ie)|eio Demostracin: veamos que:L(u) = Aeiex (x) =ei(ex-o) (x) =ei(ex-o) L(u(x)) =ei(ex-o) + a1ei(ex-o) + a2ei(ex-o) |.|

\|3 x 2e32|.|

\| 2 x 3e236x2 x 3 3 x 22 x 3 3 x 2e23e32e e6 x 5e613}|.|

\|1362 x 32 x 3e236xe 0131|.|

\| 49x23}|.|

\|1366 3203 23 / 2xeexx1312 x 3e94x32|.|

\|61365) i ( PAe| | | |2 1' " ) ( a a L + + =' |) i ( P) i ( Aee" |) i ( P) i ( A2ee) i ( P) i ( A2ee) i ( P) i ( Aee) i ( PAeVctor D. Rojas Cerna157 L(u(x)) =ei(ex-o) L(u(x)) =ei(ex-o) =ei(ex-o) L(u(x)) = Aeiex (Ojo: P(ie) = 0 as |P(ie)| = 0 Por tanto:u(x) = es solucin de L(y) = Aeiex b)SiuesunasolucincualquieradeL(y)=Aeiex,demuestrequeu1= Re(u), u2(x) = Imu) son soluciones de: L(y) = Acosex, L(y) = Asenex respectivamente. Demostracin: Porlaparte(a)tenemosunaideadecomoatacarlademostracinseau(x)una solucin cualquiera de L(y) = Aeiex Porconocimientosdevariablecompleja,lau(x)podemosexpresarlacomo: u(x) = u1(x) + iu2(x), u1 . u2 funciones reales de variable real. Luego: u(x) = u1(x) + iu2(x) u(x) = u1(x) + iu2(x) Sustituyendo en L(y) = Aeiex (u1(x)+iu2(x)) + a1(u1(x)+iu2(x)) + a2(u1(x)+iu2(x)) = Aeiex Obviamente se tiene: (u1(x)+a1u1(x)+a2u1(x)) + i(u2(x)+a1u2(x)+a2u2(x)) = Acosex + iAsenex unciones de valor y variable real Tomando parte real a ambos miembros, y luego imaginarios; se tiene: u1(x) + a1u1(x) + a2u1(x) = Acosex . u2(x) + a1u2(x) + a2u2(x) = Asenex O sea: L(u1(x)) = Acosex.L(u2(x)) = Asenex Luego: u1 es una solucin de L(y) = Acosex u2 es una solucin de L(y) = Asenex c)Demuestre,usandolosincisos(a)y(b)queexisteunasolucin particular u de la ecuacin ( )) i ( Pa ) i ( a ) i ( A2 12e+ e + e) i ( P) i ( APee) i ( Pe ) i ( P Aieeo) ( ), (2 1t t | |Vctor D. Rojas Cerna158 Ly + Ry +y = Ecosex la cual tiene la forma u(x) = Bcos(ex - o) Demostracin: La ecuacin diferencial dada puede expresarse como: y +y +y =cosex As tenemos una ecuacin:y + a1y + a2y = Acosex,donde A =,a1 =,a2 =,a1, a2, A, e constantes reales. Existe una solucin por la parte (a), que tiene la forma. u(x) = ei(ex-o),o argumento de P(ie) Por el inciso (b), u1 = Re(u(x)) satisface L(y) = Acosex dondeL(y) = y + a1y + a2y Por otro lado: u(x) =(cos(ex-o) + isen(ex-o)) u1(x) =cox(ex-o) O sea existe una solucin u1(x) = Bcox(ex-o) con B =. donde o es el argumento de P(ie) As:u1(x) +u1(x) + u1(x) =cosex es decir:Lu1(x) + Ru1(x) +u1(x) = Ecosex d)Supongamos queR2C < 2L en el inciso (c)encuentre el valor dee para el cul B es mximo. Solucin: Como B =, donde E, L son constantespositivas, B ser mximo cuando |P(ie)| sea mnimo, as trabajamos con dicho mdulo P(r) = r2 +r + Tomando mdulos: |P(ie)| = = == C1LRLC1LELELRLC1( ) e i PL E( ) e i PL E( ) e i PL E( ) e i PL ELRLEC1( ) e i PL ELRLC1|.|

\| e+ + e LRiLC122 22LRLC1|.|

\| e+|.|

\| e22 22 224LRC L1LC2 e+ +e e2 222241 w2C L LRLC+||.|

\| eVctor D. Rojas Cerna159 Completando cuadrados dentro del radical |P(ie)| = Por tanto es mnimo, cuando: e2 - = 0 Como R2C < 2L, tendremos que: e2 = - Por tanto tenemos que: sie =,B es mximo Teorema A: b(x) continua en el intervalo I, toda solucin de la ecuacin en el intervalo I, puede escribirse 4.ConsideremoslaecuacinL(y)=y+a1y+a2y=b(x),dondea1,a2son constantes y b(x) es una funcin continua en el intervalo 0 s x < . Supongamos que las races r1, r2 del polinomio caracterstico P(r) = r2 + a1r + a2, son diferentes y que Re(r1) < 0 y Re(r2) < 0 a)Supongamos que b(x) est acotada en el intervalo 0 s x < , esto es que existe una constante K > 0 tal que: | b(x)| s K(0 s x < ) Demuestre que toda solucin de L(y) = b(x) est acotada Demostracin: Tenemosque unasolucin del problemacualquiera,considerandounintervaloI=[0, p], para cualquier p > 0 estar dada por: +(x) = C1 + C2 +b(t)dt, ObviamenteestoesposibleporelteoremaA,dadoquesecumplenlashiptesisde dicho teorema. Sin dificultad apreciamos que:+(x) = +H(x) + +P(x) donde L(+H(x)) = 0.L(+P(x)) = b(x) Veamos que siempre +H(x).+P(x) son acotadas en [0, p] |+H(x)| s |C1| + |C2| = |C1|+ |C2|e(Re(r2)x Observacin: | | = = | | | | = Anlogamente:| | = 2222 22222L 2RLC1C L1L 2RLC1 +((

e) P(i22L 2RLC1LC122L 2R2 122L 2RLC1((

) ( ) ( x b y L =2 2 1 1| | c cp+ + =x r1ex r2e1 2r r1| |} xx) t x ( r ) t x ( r02 1e e R c x x e2 1 0, ,x r1ex r2e( )x ) r Re(1ex r1e( )x ) r Im( i ) r Re(1 1e+ ( )x ) r Re(1e( )x ) r Im( i1e( )x ) r Re(1ex r2e( )x ) r Re(2eVctor D. Rojas Cerna160 Por otro lado, se tiene: s 1, xe[0,p].como Re(r1) < 0 s 1, xe[0,p].como Re(r2) < 0 Por tanto tendremos que: |+H(x)| s |C1| + |C2|, xe[0,p](p > 0 cualquiera) Ahora acotemos la solucin particular +P(x). Por el teorema 10 tenemos que: +P(x) =b(t)dt * +P(x) = Veamos por partes: s Ks K= * Anlogamente: s * As: s s s como la integral podemos considerar x > x0, ambos en I = [O, p] se tiene que: x - x0s p(Re(r1))(x - x0) > pRe(r1) -(Re(r1))(x - x0) s -pRe(r1) s Anlogamente: s Luego: s M,donde: ( )x ) r Re(1e( )x ) r Re(2e1 2r r1| |} xx) t x ( r ) t x ( r02 1e e1 2r r1(((

} } xxt r x rxxt r x r02 201 1dt ) t ( b e e dt ) t ( b e e}xxt r01dt ) t ( b e( )}+ xxt ) r Im( i ) r Re(02 1dt e( )}xxt ) r Re(01dt e) r Re(K1( ) ( )( )0 1 1x ) r Re( x ) r Re(e e }xxt r02dt ) t ( b e) r Re(K2( ) ( )( )0 2 2x ) r Re( x ) r Re(e e ) x (P+1 2r r1(((

+} } xxt r x rxxt r x r02 201 1dt ) t ( b e e dt ) t ( b e e) x (P+1 2r r1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )((

||.|

\| +||.|

\| 0 2 2 2 0 1 1 1x ) r Re( x ) r Re(2x ) r Re( x ) r Re( x ) r Re(1x ) r Re(e e) r Re(Ke e e) r Re(Ke) x (P+1 2r rK( ) ( )||.|

\| + ) r Re(1 e) r Re(1 e2) x x ( ) r Re(1) x x ( ) r Re(0 2 0 1( )( )0 1x x ) r Re(e ) r Re( p1e( )( )0 2x x ) r Re(e ) r Re( p2e) x (P+Vctor D. Rojas Cerna161 M = (Ojo: pRe(r1) < 0> 0, similarmente> 0) TenemosN = |C1| + |C2| + M Luego tendremos que existe N > 0 tal que: s N, x e [0, p]con p > 0 arbitrario. As +(x) una solucin cualquiera de L(y) = b(x) siempre es acotada. b)Sib(x) 0cuandox , demuestrequetoda solucindeL(y)=b(x) tiende a cero cuando x Demostracin: Como +(x) = +H(x) + +P(x) Tenemos:+H(x) = C1 + C2 = C1 + C2 = C1 + C2 = C1(0) + C2(0) = 0 Nota: *Lafuncinesacotada,pues| |=1locualnospermiteafirmar|| s 1 x, as ella es acotada. * = 0, pues Re(r1) < 0 * Similarmente = 0, pues Re(r2) < 0 * +P(x) = +P(x) = Comob(x)escontinuaen[0,>yademsb(x)=0lagrficadeb(x)tienecomo asntotaalejexpositivo(semiejepositivox),luegolasintegralessonfinitasosea existen, es decir son constantes. Por tanto cuando tomamos lmites se tiene: +P(x) = A, B constantes Luego como en el caso anterior = = 0 1 2r r1||.|

\| +) r Re(1 e) r Re(1 e2) r Re( p1) r Re( p2 1) r Re(1 e1) r Re( p1) r Re(1 e2) r Re( p2) x (P+' xlim' xlimx r1e' xlimx r2e' xlim( )x ) r Im( i ) r Re(1 1e+ ' xlim( )x ) r Im( i ) r Re(2 2e+' xlim( )x ) r Re(1e( )x ) r Im( i1e' xlim( )x ) r Re(2e( )x ) r Im( i2e( )x ) r Im( i1e( )x ) r Im( i1e( )x ) r Im( i1e xlim( )x ) r Re(1e' xlim( )x ) r Re(2e1 2r r1(((

} } XXt r x rXXt r x r021 201 1dt ) t ( b e e dt ) t ( b e e1 2r r1((

} } x0t r x rx0t r x rdt ) t ( b e e dt ) t ( b e e2 2 1 1' xlim' xlim1 2r r1( ) ) B ( e m li ) A ( e m lixx rxx r2 1 ' '' xlimx r1e' xlim( )x ) r Re(1e( )x r ie) Im(1Vctor D. Rojas Cerna162 pues Re(r1) < 0 y es acotada Anlogamente = 0 Por tanto:+P(x) = 0 5.DemuestrequesiP1,P2,P3,P4sonpolinomiosdesegundogrado,entoncesson linealmente dependientes en -< x 0 Solucin: y(4) + y = 0 P(r) = r4 + P(r) = 0 r4 = -r = 1/4, K = 0, 1, 2, 3 Como P(r) es un polinomio de potencias pares y coeficientes reales, se tiene que:P(o) = 0,P(-o) = 0,P( ) = 0,P(- ) = 0 As si denotamos: 1/4 = K,K e Z+ tendremos que las races son: r = Keit/4,-Keit/4,Ke-it/4,-Ke-it/4 r = K ,-K ,K ,-KLuego: u1(x) =cos x,u2(x) =sen x, u3(x) =cos x,u4(x) =sen x Son soluciones trivialmente independientes. c) < 0 |.|

\| t +4K 2 0ie|.|

\| t + t4K 2ieo o||.|

\|+22i22||.|

\|+22i22||.|

\|22i22||.|

\|22i22Kx22e22Kx22e22Kx22e22Kx22e22Vctor D. Rojas Cerna165 Solucin: Sea = -K4,K e R+, luego las races del polinomio caracterstico sern:r = -K, K, Ki, -Ki Las soluciones independientes podramos tomarla: u1(x) = e-Kx, u2(x) = eKx, u3(x) = eKix, u4(x) = e-Kix 8.Supongamos que todas las races del polinomio caracterstico de la ecuacin:y(n)+a1y(n-1)+...+any=0tenerlaparterealnegativa.Demuestreque cualquier solucin tiende a cero cuando x Demostracin: a)Si todas son diferentes, tendramos: u(x) = para cada K,K = 1, ..., n se tiene que: = = = 0 comorK = aK + ibKyaK < 0,se tiene que y como s 1 (acotada)el producto de por tiende a cero . Luego: = 0, K = 1, ..., n u(x) = = 0 + 0 + ... + 0 = n(0) = 0 b)Si hubiera una raz rK de multiplicidad m,m s ntendramos que: (c1 + c2x + c3x2 + ... + cmxm-1)= (c1 + c2x+ ... + xm) sabemos que:xm = 0,si aK < 0 As tendramos que:(c1 + c2x + ... + cmxm-1)= 0 Por tanto en cualquier caso (a) (b) se tiene que: u(x) = 0 9.Considrese la ecuacin: y - 4y = 0 a)Calcule tres soluciones linealmente independientes =n1 Kx riKe c xlimx rKe xlim( )x ib aK Ke+ xlimx aKe ( )x ibKe xlimx aKex ibKex aKex ibKe xlimx rKe xlim=n1 KKe xlimx rKe xlimx rKe xlimx rKex rKex rKe xlimx aKe xlimx rKe' xlimVctor D. Rojas Cerna166 Solucin: P(r) = r3 + 4r P(r) = 0 r = 0, -2, 2 u1(x) = 1, u2(x) = e-2x, u3(x) = e2x b)Calcule el wronskiano de las soluciones halladas en (a) Solucin: W(1, e-2x, e2x) = = = -16 c)Encuentrelasolucinuqueademssatisfagalassiguientescondiciones:u(0) = 0,u(0) = 1,u(0) = 0 Solucin: u(x) = c1 + c2e-2x + c3e2x u(x) = -2c2e-2x + 2c3e2x u(x) = 4c2e-2x + 4c3e2x u(0) = 0c1 + c2 + c3 = 0 u(0) = 1-2c2 + 2c3 = 1 u(0) = 04c2 + 4c3 = 0 Resolviendo el sistema: c1 = 0 . c2 = -. c3 = Luego la u(x) solicitada es: u(x) = - e-2x +e2x =senh2x 10.Supongamos que u es una solucin de la ecuacin y(n) + a1y(n-1) + ... + any = 0 yque .Demuestrequesatisfaceunaecuacinlineal homognea con coeficientes constantes y(n) + b1y(n-1) + ... + bny = 0 donde b1 = 0 Demostracin: * Cuando n= 2 Sea u(x) una solucin de y + a1y + a2y = 0............................(1) Veamos que +(x) = u(x)es una solucin de la ecuacin y + b1y + b2y = 0 Para algn b2 constante. +(x) = u(x)+ u(x)x 2 x 2x 2 x 2x 2 x 2e 4 e 4 0e 2 e 2 0e e 1x 2 x 2x 2 x 2e 4 e 4e 2 e 24141414121nx ae x x1) ( ) ( u = + +2x a1e2x a1e2x a1e|.|

\|2a1Vctor D. Rojas Cerna167 +(x) = u(x)+ u(x)+ u (x) + u(x) +(x) = u(x)+ a1u(x)+u(x)Por lo anteriormente expresado: +(x) + b2+(x) = 0para algn b2 constante que hallaremos (u(x) + a1u(x))+u(x)+ b2u(x)= 0 Cancelando los exponenciales y sumando y restando a2u(x) (u(x) + a1u(x) + a2u(x)) +u(x) = 0 Como u es solucin de (1), el primer parntesis es cero; luego: u(x) = 0 b2 = a2 - Es decir existe una ecuacin diferencial con coeficientes constantes y donde b1 = 0 y +y = 0 de la cual es solucin que era lo que desebamos demostrar * Analizaremos si n = 3 Sea u(x) una solucin de y + a1y + a2y + a3y = 0, encontremos b2 y b3 constantes tal que +(x) = u(x)sea una solucin de y + 0y + b2y + b3y = 0 O sea que: + + b2+(x) + b3+(x) = 0.....................................(2) Calculemos las derivadas: +, +, +. +(x) = u(x)+ u(x)+(x) = u(x)+u(x)+ u(x)+u(x)+(x) = u(x)+u(x)+u(x)+(x) = u(x)+ u(x)+u(x)+ 2 u(x)+u(x)+u(x) 2x a1e2a1 2x a1e2x a1e|.|

\|2a1212a|.|

\|2x a1e2x a1e2x a1e212a|.|

\|2x a1e2x a1e212a|.|

\|2x a1e2x a1e||.|

\| |.|

\|+2212a2ab||.|

\| |.|

\|+2212a2ab212a|.|

\|||.|

\||.|

\|2122aa3x a1e3x a1e3a1 3x a1e3x a1e3a1 3x a1e3a1 3x a1e213a|.|

\|3x a1e3x a1e3a 21 3x a1e213a|.|

\|3x a1e3x a1e3a1 3x a1e3a 21 3x a1e213a|.|

\|3x a1e213a|.|

\|3x a1e313a|.|

\|3x a1eVctor D. Rojas Cerna168 Sustituyendo: u(x) + a1u + 3 u +u + b2 + b3u = 0 (Hemos cancelado la exponencial) Sumando y restando a2u, y agrupando: (u + a1u + a2u + a3u) +u + u = 0 El primer parntesis es cero, pues u es solucin de: y + a1y + a2y + a3y = 0 u +u = 0 Tomemos b2.b3 de manera que: = 0 . = 0 de donde b2 = a2 - 3 .b3 = a3 - b2 = a3 - + 3ashemosconseguidolodeseado;osea(x)seasolucindelaecuacin:y+0y+ b2y + b3y = 0 Demostracin: * Tomemos u solucin de: donde a0 = 1 * Como = u, lo cual equivale a: u = * La idea es sustituir u, u, ..., u(n) en la ecuacin inicial, como sabemos que: = = Constante CK,J (Nota: J ndice de sumacin) 213a|.|

\|313a|.|

\||.|

\|u + u3a'1||.|

\| |.|

\|+2212a3a3 b||.|

\| + |.|

\|+3 3212a b3ab||.|

\| |.|

\|+2212a3a3 b||.|

\| |.|

\|+312 3a3ab b2212a3a3 b |.|

\|+312 3a3ab b |.|

\|+213a|.|

\||.|

\|3a13a a2 1313a|.|

\|0 y an0 K) K n (K==xnae1+xna1e) K (xna1e||.|

\|+=||.|

\|K0 JJK) J K ( +) J (xna1e||.|

\| =((

|.|

\|||.|

\|K0 J1JnaJK) J K ( +xna1eVctor D. Rojas Cerna169 * Sustituyendo tenemos: + a1 + ... + an-1 = 0 * Calculando la exponencial + a1 + ... + an-1 + an+ = 0 * Hallemos el coeficiente de +(n): coeficiente de +(n) = Cn,0 = = 1 * Ahora hallemos el coeficiente de +(n-1): Coeficiente de +(n-1) = Cn,1 = a1Cn-1,0 = + a1 = - + a1 = -a1 + a1 = 0 coeficiente de +(n-1) = 0 * Luego + satisface la ecuacin diferencial: y(n) + 0y(n-1) + b2y(n-2) + ... + bn-1y(1) + bny = 0 donde b2, b3, ...bn son constantes y b1 = 0 =(((

|.|

\|||.|

\|nJJnaJn01 ) ( J n+xna1e=(((

|.|

\|||.|

\| 1 n0 JJ1naJ1 n) ( J n+xna1e=(((

|.|

\|||.|

\|10 JJ1na01) J 1 (+xna1e=n0 JJ , nC) J n ( +=1 n0 JJ , 1 nC) J 1 n ( +=10 JJ , 1C) J 1 (+||.|

\|0n01na|.|

\|||.|

\|1n11na|.|

\|||.|

\| 01 n01na|.|

\|)! 1 n ( ! 1! n na1)! 1 n ( ! 0)! 1 n (Vctor D. Rojas Cerna170 ECUACIONES EN DIFERENCIAS Esdemuchointerselestudiodefuncionesdevariablediscreta,generalmentepara estudiar la solucin de algn problema es conveniente a veces discretizarla. Si hablamos de seales, hay dos tipos: Seal analgica: cuando la variable independiente es continua. Seal digital: cuando la variable independiente es discreta. Enelcasodeteneruna secuencia,entoncestenemosunafuncin(seal) discreta, se suele llamar a la variable independiente discreta ARGUMENTO. Elproblemaqueenfrentamos,eshallarunafuncindiscretaquesatisfacealguna ecuacin de diferencia. Por ejemplo deseamos hallar (sucesin o secuencia) que satisface la solucin es Obviamente hay dos tipos de discretizacin cuando el tamao del paso h es igual: Seal Analgica Seal discretizada Seal discretizada Tamao de paso constanteTamao de paso disconstante Algunas veces se suele usar en vez de, obviamente son los ms usados en aplicaciones de circuitos digitales. Ahora cuando hablamos de sucesiones: , generalizando, Comohemosmencionadoanteriormente,nosinteresaqueladiscretizacinsea uniforme, es decir si A formado por un conjunto de puntos aislados, As empezaremos definiendo algunos operadores para funciones f discretas con h=cte. -Operador Sea,Aunconjuntodepuntosaisladosigualmenteseparadosporun tamao h. R Z f :) (n f yn =2 , 21> =n y yn n1 ) 1 ( = y12=nny) (x f ) (n y ) (n yny) (n f yn = C N f :) (n f yn = C Z f :C A f :1 =i ix x h i AC A f :) ( ) ( ) ( x f h x f x f + = A)) ( ( ) (2x f x f A A = A)) ( ) ( ( ) (2x f h x f x f + A = AVctor D. Rojas Cerna171 Podemosgeneralizarperonoesimportante,solodebemostenerencuentao siguiente. Observaciones: 1.Si pensamos en que tenemos: 2. , r constante -Operador Desplazamiento Definamos consecuencia: es decir As tenemos: Apreciamos de igual manera que Se cumplir: ,? Observaciones : ,,-Operador de la media M ( ) f(x) h) f(x21Mf(x) + + =( ) f(x) Ef(x)21Mf(x) + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2x f h x f h x f h h x f x f + + + + = A) ( ) ( 2 ) 2 ( ) (2x f h x f h x f x f + + + = A) ( ) ( 3 ) 2 ( 3 ) 3 ( ) (3x f h x f h x f h x f x f + + + + = A)) ( ( ) (1x f x fn n A A = A) (n f yn =n n ny y y = A+1n n n ny y y y + = A+ + 1 22n n n n ny y y y y + = A+ + + 1 2 333 3( )n ny r ry A = A( )n n n nx y x y A + A = + A) ( ) ( h x f x Ef + =) 2 ( )) ( ( ) (2h x f x Ef E x f E + = =) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x f E x f x Ef x f h x f x f = = + = A1 = A E) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) (2 2x f x Ef x f E x f h x f h x f x f + = + + + = A) ( ) 1 2 ( ) (2 2x f E E x f + = A2 2) 1 ( = A E3 3) 1 ( = A En nE ) 1 ( = A N ne1 +=n ny Ey22+=n ny y Ek n nky y E+=) 1 1 (21+ + A = M12 +A= MVctor D. Rojas Cerna172 Ecuaciones en diferencias Tenemos especial intersen resolver ecuaciones de la forma Ecuacin de diferencia de primer orden Ecuacin de diferencia de segundo orden constantes reales O tambin podemos expresarlas de la siguiente manera en trminos del operador E. Ecuacin de diferencias de orden 2 Ecuacin de diferencias de orden 1 En el otro lenguaje tendramos: Ecuacin de diferencias de orden 2 Ecuacin de diferencias de orden 1 Analoga: ExisteunaanalogaentrelasEDOLylasecuacionesendiferenciasporloque empezaremos hallando la solucin de ecuaciones de diferencias homogneas, es decir de ecuaciones de la forma 0 f(x) E an0 kk nk=||.|

\|= es de orden n .........(1) Polinomio Caracterstico: ==n0 kk nkr a P(r)Propiedad: Si P(r1)=0, entonces x1r f(x) =es una solucin de (1) Observacin: Supongamos que deseamos resolver una EDO lineal de primer orden homognea , abr b ar P(r) = + =La solucin ser: nn)abA( y =bapAabA p = |.|

\| =1 n nnabpabbapy|.|

\| = |.|

\| = Ecuacin de diferencias de orden 2 2 120a r a r a P(r) + + =tiene 2 races y as: -Caso 1: Races Reales distintas Si, ( ) ) ( ) ( x g x f B A = + A( ) ) ( ) (2x g x f C B A = + A + AC B A , ,( ) ) ( ) (2x g x f C bE aE = + +( ) ) ( ) ( x g x f bE aE = +) (1 2n g cy by ayn n n= + ++ +) (1n g by ayn n= ++01= ++ n nby ay p y = ) 1 (02 1 1 2 0= + ++ + n n ny a y a y a ( ) 0 ) (2 120= + + x f a E a E a1r2r2 1 r r=n nnBr Ar y2 1+ =Vctor D. Rojas Cerna173 -Caso 2: Races Reales iguales, -Caso 3: Races Complejas Como,las races complejas sern conjugadas. , , ..........(2) La solucin de Ejemplo : Resolver Ejemplo C: Resolver: 2 1r r= ( )nnr Bn A y1+ =2 1r r=2 1 0, , a a a R e2 1r r=ib a r + =1ib a r =2uie r=1uie r=1n i n ine B e A y ) ( ) (u u + =u u in n in nne B e A y+ =) ( ) ( n iSen n Cos B n iSen n Cos A yn nnu u u u + + =( ) ( ) n Sen iB iA n Cos B A yn nnu u + + =n Sen k n Cos k yn nnu u 2 1+ =( ) 0 ) (2 120= + + x f a E a E ax Sen k x Cos k x fx xu u 2 1) ( + =0 ) ( ) 2 )( 1 ( = x f E E 1 ) 1 ( , 1 ) 0 ( = = f f1 , 2 0 ) 1 )( 2 ( ) ( = = = r r r r Px xB A x f 1 2 ) ( + =B A x fx+ = 2 ) (1 01 2 1 ) 1 (1 1 ) 0 (= . = = + == + =B AB A fB A f1 ) ( = x f1 ) 2 ( ) 1 ( , 0 ) ( ) 1 )( 2 ( = = = A A f f x f0 ) ( ) 1 1 )( 2 1 ( = x f E E0 ) ( ) 2 )( 3 ( = x f E E3 , 2 0 ) ( = = r r Px xB A x f 3 2 ) ( + =31311 9 4 1 ) 2 (1 3 2 1 ) 1 ( = . = = + == + =B AB A fB A f13 2 ) ( =x xx fVctor D. Rojas Cerna174 Ejemplo C: Resolver Ejemplo : Halla los nmeros de Fibonacci dados por Ejemplo C: Determinar el trmino general de la sucesin: 0,1,1,3,5,11,21,43,... Vemos que 3 , 1 , 0 8 22 1 1 2= = = + +y y y y yn n n4 , 2 0 8 2 ) (2 = = = r r r r Pn nnB A y 4 ) 2 ( + =2451213 16 4 31 4 2 121= . = = + == + =B AB A yB A yn nny 4245) 2 (121+ =1 , 0 ,1 0 1 2= = + =+ +y y y y yn n n25 125 10 1 ) (2 12+= .= = = r r r r r Pn nnB A y||.|

\|++||.|

\|=25 125 10 0 ) 0 (5555125 125 11 ) 1 ( = + = . = . = =||.|

\|+ = B A y B A A y( ) ( ) ( )nn nny + = 2 5 1 5 155n n ny y y 21 2+ =+ +2 , 1 0 2 ) (2 = = = r r r r Pn nnB A y ) 1 ( 2 + =31311 2 10 010 = . = = == + =B AB A yB A y( )1) 1 ( 231+ + =n nnyVctor D. Rojas Cerna175 Ejemplo C:Determinar las soluciones de (1) (2) (3) Ejemplo C: Determine el termino general de la sucesin: 1, 1, 5, 17, 61, 217, 773, 2 12 10 11 173 22:3 2 03 17 3 172 2: 1; 1nn n nn n nn nhnx x xHomogeneax x xx A Bpara x x+ ++ +| |+ = | |\ . =| | | |+ = + || ||\ . \ .= = Reemplazando los valores: 1 17 1 17;2 34 2 34A B = = + :1 17 3 17 1 17 3 172 34 2 2 34 2n nhnreemplazandox| || | | || |+ = + + | || | | || |\ .\ . \ .\ . 0 12 71 2= + ++ + n n ny y y03= ++ n ny y) 3 1 ( , 1 0 1 ) (3i r r r P = = + =n nnnCSennBCos A y 23 3) 1 (|.|

\|+ + =t t3, 2tu = =2 0 , 01 0 2= . = = ++y y y yn ni r r r P = = + = 0 1 ) (221tu = . =2) 1 (2) 1 (t t nSen BnCos A yn nn+ =2 2t t nBSennACos yn+ =0 00= = A y2 21= = B y22t nSen yn =Vctor D. Rojas Cerna176 2 1:1 173 221 172nn n nnpParticularx x xx K+ +| |+ = | |\ .| |+= | |\ . ( ):1 17 1 171 172 211 171 1 1721 171 17 3 17 1 17 3 17 1 1 172 34 2 2 34 2 21 17n npnph pn n nreemplazandoK xKxx x xx (| | | |+ + ( = || || (\ . \ . =| |+= | |\ .= +| || | | || | | |+ + = + + + | || || | || ||\ .\ . \ .\ . \ . Ejemplo : En el sistema adjunto determine: 24 2 2nn nY Y+ =2 z n = 222 4 2zzY Y+++ =Homognea: 22 2( ) 4 2 0 ,2 2 2iP r r r ptu= + = = = =22( ) ( cos sin )2 2 2zY A z B zt t= +Particular: 2( )(40 2) 2 ( )z zzY |++ =( )2zzY A =21( ) ( ) :1 ln 2en A o | =+ ( ) 221 ln 2pzzY =+ 222 2( ) ( cos sin ) , 22 2 2 1 ln 2zH PY Y Y Y A z B z z nt t + = = + + = + Vctor D. Rojas Cerna177 Ejemplo : Determinar na , en el circuito adjunto si 2 31, 0 a a = = Solucin: Completando el diagrama: Tenemos que 1 22n na a + =na lo que es equivalente a: 2 12 0n n na a a+ + = 2( 2 1) 0nE E a =La solucin es( 2 1) ( 2 1)n nna A B = + + + Ahora de las condiciones iniciales: 2 22( 2 1) ( 2 1) 1 a A B = + + + = y: 3 33( 2 1) ( 2 1) 0 a A B = + + + = Resolviendo el sistema: 10 7 24A=y 7 2 104B+=De modo que la solucin es 10 7 2 7 2 104 4( 2 1) ( 2 1)n nna += + + +Retardo 1Retardo 1 2 na 1 na 1 na 1 na 2 na 12na 1 22n na a +Retardo 1Retardo 1 2 na Vctor D. Rojas Cerna178 Ejemplo 10 Determine la solucin de la ecuacin en diferencias: Homognea Particular Soluciones independientes Supongamos que deseamos resolver SitenemosdossolucionesdedichaEDDporlaanalogaconlasED,definimosel Wronskiano Esto se generaliza, es decir si tenemos una EDD de orden n homognea R a 0, y ain0 kk n ke ==+ Si tenemos n soluciones (el exponente no indica potencia) 2 2 / 2(( 1) 1) 2 cos2nnE at + =4 2 3( ) 4 4 0 P r r r r = + =1,2 3,40; 2 r r = =0 0 2 21 2 3 4( )n n n nn Ha c e c e c e c e = + + +4 2 3 / 24 2 3( 4 4 ) 2 cos 4 4 02nn n n nD D D a a a at+ + ++ = = + =/ 2,2 ( cos sin ) ( )2 2nnpn na k A Bt to = +( 4) / 2 ( 3) / 2 ( 2) / 22( 4) ( 4) ( 3) ( 3) ( 2) ( 2)2 ( cos sin ) 4 2 ( cos sin ) 4 2 ( cos sin ) 2 cos2 2 2 2 2 2 2nn n nn n n n n n nk A B A B A Bt t t t t t t+ + ++ + + + + +(+ + + + = ( 4( (2cos 2 sin ) (cos 2sin 2) cos2 2 2 2 2n n n n nk A Bt t t t t( + = ( 8 2 2 1 A B =4 2 2 0 A B =2 2 1 2 4,31 62 62 31A B = = 02 1 1 2 0= + ++ + n n ny a y a y a1 1) , ( =n nn nn nv uv uv u Wnn n n ny y y y ,... , ,3 2 1Vctor D. Rojas Cerna179 m1 m n21 m n11 m nm1 n21 n11 nmn2n1nmn3n2n1ny ...... y y......y ..... y yy ..... y y) ,......y y , y , w(y+ + + =. . . Ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes no homognea ( ) 0 g(x) g(x), f(x) a E a E a2 120= = + + ;x discreta o equivalentemente( ) g(n) y a E a E an 2 120= + +la solucin general ser:

Procedamoscomoenelcasodelasecuacionesdiferencialesordinariascon coeficientes constantes no homogneas. Ejemplo: Resolver :( )nn23 y 8 2E - E = Hallamoskporsustitucin,comoelmtododeloscoeficientesindeterminadosvisto enlasecuacionesdiferencialesordinariaslinealesconcoeficientesconstantesno homogneas. ( )n pn2k3 y 8 2E - E = ( )n n 23 k3 8 2E - E = | |n n n n 23 ) 8(3 ) 2E(3 - ) (3 E k = | | 1 8) 6 k(3 3 ) 8(3 ) 2(3 - ) (3 k2 n n 1 n 2 n= = + + 51k = EjemploResolver, 4;4 r 0 4) (r 16 8r r P(r)2 2= = = + = p n n n ny y y ) ( ) ( + =( )n n nn n nB A y y 4 ) 2 ( + = =( ) ) 3 (n pn p nk y y = =) 3 (51) 4 ( ) 2 (n n nnB A y + =( )nny E E 4 16 82= + 4 ) 1 ( , 1 ) 0 ( = = y y( )n nnBn A y 4 + =n pnkn y 42=( )( )n nkn E E 4 4 16 82 2= + ( ) ( ) ( )n n n nkn Ekn kn E 4 4 16 4 8 42 2 2 2= + n n n nkn n k n k 4 4 16 4 ) 1 ( 8 4 ) 2 (2 1 2 2 2= + + ++ +( ) | |n nn n n n n k 4 4 16 ) 1 2 ( 32 16 4 42 2 2= + + + + +Vctor D. Rojas Cerna180 Observacin: Si deseamos hallar una solucin de Cuando y si entonces Ejemplo Resolver Conectores adicionales para sistemas digitales -Sumador Retardo -Multiplicador ( )2 2 216 32 64 32 64 64 16 n n n n n k + + +( ) 1 16 32 64 32 64 64 162 2 2= + + + n n n n n k3211 32 = = k knnn Bn A y 43212|.|

\|+ + =1 1 ) 0 (0= = = A y y3214 4 )321( 41 = = + + = B B A ynnn n y 432132112|.|

\|+ =n nx y E L = ) (nna x = 0 ) ( = a Ln pnaa Ly) (1=nn ny y 22= +n n pnEy 21 412112==n pny 231=nxnyn ny x+) (n x) ( k n x Retardoka) (n x ) (n axVctor D. Rojas Cerna181 Ejemplo:Hallar en el circuito adjunto, si adems,. n3 2) 2y(n y(n) + =n3 2) 2y(n y(n) = 2 n3 2y(n) 2) y(n+= +2 , 2 r 0 2 r P(r)2 = = = Ejemplo1: Hallar en el circuito adjunto, mostrando las EDD que cumple ) (n y79) 0 ( = y 2 ) 1 ( = yRetardo 22n3nyn n nB A n y 379) 2 ( ) 2 ( ) ( + + =B A B A y = = + + =797979) 0 (282 137132 2 22272 2 2 ) 1 ( = = = + + = B B B A y( )n n nn y 379) 2 ( ) 2 (282 13) ( + + =) (n y ) (n yVctor D. Rojas Cerna182 Del circuito se tiene: n2 1) 3y(n 2) 3y(n 4) y(n y(n) = + + +Esta ecuacin en diferencias equivale a: ) 2 ( 16 3) 3y(n 2) 3y(n y(n) 4) y(nn= + + + + + + Ejemplo2: Determinar la EDD para el circuito Hagamos un diagrama adicional mostrando lo que sucede Vemos que: Retardo1Retardo1Retardo1Retardo13 3 n2) (n yRetardo232y(n)n2Retardo23-22y(n)n2) (21n y) 2 ( 2 ) ( 6 n y n y) 2 ( ) ( 3 + n y n y) 2 ( n y) (n y) (n y) (n ynn y n y n y 2 ) 2 ( 2 ) ( 6 ) (21+ + =-2 Vctor D. Rojas Cerna183 EDD de orden 2 no homognea Ejemplo3: La ecuacin de ingreso nacional es donde , I constante La solucinde la ecuacin del ingreso nacional es: Ejemplo 4:Detremine en el diagrama adjunto la seal discreta1 q(2) q(1) q(n), = = Solucin: La ecuacin que gobierna el diagrama es: 1) (n 2 3) - 8q(n q(n)n + =3 n2)2 (n 8q(n) 3) q(n++ = +n2)2 8(n 8q(n) 3) q(n + = +)35nSen C35nCos (C 2 2 C (n) q3 2n n1 H+ + =npB)2 n(An (n) q + =3 npB)2 3A 3)(An (n 3) (n q++ + + = +n n 3 n2)2 8(n B)2 8n(An B)2 3A 3)(An (n + = + + + ++ 2) (n B) n(An B) 3A 3)(An (n + = + + + + nn y n y 2 ) 2 ( 4 ) ( 14 = I ay ay yn n n= + + + 1 221 0 < < au ie a a a i a r a ar r r P= = = + =2 20 2 ) (a sen a = . = 1 cos u upnn nny n a B senn a A y + + = u u cos ) ( ) (aIa aIIa aE Eyn pn=+ =+ =1 2 1) 2 (212aIn a B senn a A yn nn+ + =1cos ) ( ) ( u un2n Retardo 2 Retardo 1 8 q(n) Vctor D. Rojas Cerna184 2 n Bn An 3B) 9A 3An Bn 3An (An2 2+ = + + + + +2 n 3B) (9A B) 3A B n(3A + = + + + +2 3B) (9A 1 B) 3A B (3A = + . = + +Resolviendo ,tenemos: 61B61A = . = n3 2n n1B)2 n(An )35nSen C35nCos (C 2 2 C q(n) + + + + =n3 2n n11)2 (n6n)35nSen C35nCos (C 2 2 C q(n) + + + + =32)35Sen C35Cos 2(C 2C 1 q(1)3 2 1+ + + = =1)4 (262)310Sen C310Cos 4(C 4C 1 q(2)3 2 1+ + + + = = Ecuaciones en diferencias con coeficientes variables Deseamos resolver: Podemos sugerir un cambio de variable: es decirAs resolveremos Polinomio: Races: Ecuaciones no lineales Mediante algn cambio de variable transformamos una ecuacin no lienal en otra lineal Ejemplo: Resolver y hallar Hacer 0 8 ) 1 ( 2 ) 2 (1 2= + ++ + n n ny y n y n2 2) 2 (+ ++ =n ny n xn nny x =0 8 21 2= + + n n nx x x0 ) 2 )( 4 ( 8 2 2 ) ( = = = r r r r r P4 , 2 n nnB A x ) 4 ( ) 2 ( + =n nnB A ny ) 4 ( ) 2 ( + =( )n nnB Any ) 4 ( ) 2 (1+ =N n L QQQnne = + =+, ,111 1 nnQ limnnnyyQ1 +=1 12112111+ ++++++ = + =nnnnnnnnyyyyyyyyVctor D. Rojas Cerna185 EDDLCC Races : (nmeros de Fibonacci) ..........(1) de (1) hallamos una relacin entre A y B Ejemplo: Resolver la ecuacin no lineal Sugerencia: hacer el cambio de variable EDDLCCNH la cual es simple de resolver. Ejercicios: 1.Hallar la DEL cuya solucin sea 2.Resolver3.Resolver: , 4.Resolver: ,, 5.Resolver:, 6.Para que valores de a, tienen carcter oscilatorio las soluciones de la EDDLCC: 7., Halle la solucin. 8.Resolver: 9.Resolver: 10.,,, n n ny y y + =+ + 1 20 1 ) (2= = r r r P25 1n nnB A y||.|

\|+||.|

\|+=25 125 1( ) ( )( ) ( )n nn nn nn nnB AB AB AB AQ5 1 5 15 1 5 12125 125 125 125 11 11 1 + + + +=||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+=+ ++ +( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 215 1 5 1 5 1 5 1 2 + + = + + = B A B A L L Q25 1lim+= nnQnnnPPP+=+11n nP y / 1 =11 111111 1+= +=+ + n nnnny yyyy11+ =+ n ny yn nnB A y+ = 5 2)! 1 ( ) 1 (1+ + + =+n y n yn n2 ) 0 ( = y! 21n ny ynn n+ =+0 ) 0 ( = y0 2 5 21 2= + + + n n ny y y 00 = y 11 = ynn n ny y y 2 25 61 2= + ++ +01 0= = y y0 ) 1 ( 21 2= + + + + n n ny a y y13= n ny y 11 0= = y y2cos2t ny yn n= ++nn nn y y ) 1 (22 = +11 2 3= + + + + n n n ny y y y 00 = y 11 = y 22 = yVctor D. Rojas Cerna186 11. Determine el termino general de la sucesin: 1,1, 5,17, 61, 217, 773,...Adems resolver: 1 17( 2) 3 ( 1) 2 ( )2nx n x n x n| |++ + = |\ . 12. Determinar el q(n) en el diagrama adjunto si(2) 2, (4) 4 q q = = ecuacinen diferencias :( ) ( 1) 2 ( 1) 2 ( 2) q n q n q n q n = + + equivale a :( 2) 3 ( 1) 2 ( ) 0 q n q n q n + + = 13. 2 1 1 2, ( 1) 2 ( 3) ( 3)( 2) 1, 2, 3n n n na si n n a n n a n n a a a+ ++ + + + + = = = Sugerencia:Cambio de variable:. 1( 1)n nb an n=+ Aplicacin Circuital Determinar el voltaje de cada nodo en el circuito adjunto: Consideremos la malla dela figura Multiplicando por 2R RR R R2R 2R 2R 2R+-12 , 161 0= = V V1i2i3i 1 + nV2 + nVR 2 R 2R 2nV3 2 1i i i + =RV VRVRV Vn n n n n 2 1 1 12+ + + + =q(n) Retardo n=1 2 Retardon=1 Vctor D. Rojas Cerna187 Polinomio: Resolviendo el sistema tenemos la solucin buscada. SOLUCIN EN SERIE DE POTENCIA DE UNA EDOL DE ORDEN 2 Indudablementehayecuacionesdiferencialesdeorden2(ocualquierorden)las cualesadmitenunasolucinperoqueporlosmtodosclsicosvistosnopodemos accederalasolucin.Inclusivelasdeprimerordenporejemplo,supongamosque deseamos hallar la solucin al siguiente problema de Cauchy: escontinuaytambinescontinuaencualquierdominio rectangularque contenga al (0,y0) obviamente. PodemosverquesetratadeunaEDOLDPOcuyasolucinporintegracines complicada pero podemos asumir que admite una solucin serial o tambin buscando enfactorintegrante.Pensemosenquedeseamosusarserieslocualadmitenqueen dominiodeconvergenciaquecomienza al(0,y0)podemos durarseriey asobtenerla solucin.

sustituyendo: uniformizando el ndice de sumacin 0 2 5 21 2= + + + n n nV V V2 ,210 2 5 2 ) (2= = + = r r r r Pn nnB A V 2 2 + =160= + = B A V12 221= + = BAV340,38= = B A( ) ) 2 ( 4 2313 n nnV + + =02) 0 ( y yy t y=+ = ') (t y y =y t y x f + =2) , ( 1 =yf{ } d y a y t R s s = / ) , (nnnt a y0 > =102 111 >>+ = =nnnnnnt a t t na ynnnnnnt a t t na02 11 >> = 2010) 1 ( t t a t a nnnnnnn= + >+>210) ) 1 (( t t a a nnn nn= + +>Vctor D. Rojas Cerna188 Ecuaciones diferenciales lineales de orden 2 Son las de mayor interes, consideremos inicialmente la ecuacin

unaEDOLCCVNH,dondeP(x0)=x0, P(x)unafuncincontinuaen,entoncespodemos dar algunas pautas fundamentakes. Cuando P,Q,R son polinomios en x, si P(x0)=0 , x0 se llama un punto ordinario, en caso P(x0)= 0 se denomina a x0 un punto singular, para (1). En general consideremos la EDOLCCVH: donde sonfuncionesanalticasenx0,esdecirambasadmitenun desarrollo en serie de Taylor en potencias de x-x0 . Propiedad: La ecuacin(2) admite una serie de potencias alrededor dex0 (es decirpotencias de x-x0) como solucin de ella, siempre que x0 sea un punto ordinario. PROBLEMA MODELO. Veamos el caso ms simple, es decir resolvamos la ecuacin ( )0 1 0 10 1 0 a a a a = = +( )( ) ( )0 2 30 1 2 1 261311310 1 221210 1 1a a a a aa a a a an n+ = + = = += = = + +( )2 2 ) 2 ( ) () 0 (2 2 ) 2 ( ) (2 2 ...)! 31! 211 )( 2 ( ) (2 , 0 1200 0 0202 3 202 + == = + = + + + + + => = ++t t e y t yy a y yt t e a t yt t t t t a t yn a a nttn n) 1 ( ) ( ) ( ' ) ( " ) ( x f y x R y x Q y x p = + +0x) 2 ( 0 ) ( ' ) ( " ) ( = + + y x R y x Q y x p) () () () (x Px Rx Px Q.| | 0 ) 4 4 ) 1 (2 2= + y xD D xVctor D. Rojas Cerna189 vemosquelasfuncionessonanalticasenx=0,elcualesunpunto ordinario.. Admitamos que esta admite una solucin serial (desarrollo en serie). , los anson coeficiente de la seria de potencias por hallar. Sustituyendo en la EDOL dada. ( ) 0 x a 4 x na 4x x 1)a n(n x 10 nnn1 n1 nn2 n2 nn2= + > >> Uniformizando el ndice de sumacin, para simplificacin 0 x a 4 x 4na x 1)a - n(n x 1)a n(n0 nnn1 nnn2 nnn2 n2 nn= + > > > > Todos los ndices se uniformizan que empiecen de 0 0 x 4a x 4na x 1)a n(n x 1)a 2)(n (n0 nnn1 nnn2 nnn0 nn2 n= + + + + > > > >+ ( ) ( ) | | 0 x 4a 4na 1)a n(n 1)a 2)(n (n x 4a 4a 6a 4a 2an2 nn n n 2 n 1 1 3 0 2= + + + + + + +>+ 0 4a 2a0 2= +, 0 4a 4a 6a1 1 3= + ,2 n , 1)a 4)(n n ( 1)a 2)(n (nn 2 n> + = + ++ comoN n 0, a 0, a1 2n 2e = =+ Cuando n es par se tiene: 2 n , a2) 1)(n (n4) 1)(n (nan 2 n> + ++ =+ constante arbitraria 0 4 6 0 2 4a54a54a ; a a21a = = = = 1a arbitrario 1 n , a 0 a1 2n 3> = =+ Queda para el lector, resolver la EDDF de orden 2. ....... x a54x a x 2a x a a y604020 1 0 + =.......) x54x 2x ( a x a y6 4 20 1 + =Anlogamente pedimos resolver la ecuacin: ( ) .(1) 8......... 4y 4xy' ' y' x 12= + 2 21414x xx.nnnx a y0 > =0aVctor D. Rojas Cerna190 x=0 es un punto ordinario para (1), admitamos que ella admite una solucin tipo serie de potencias: >=0 nnnx a y Tenamos la solucin para el caso homogneo; ahora igualmente a 8 | | 8 x 4)a 1)(n (n 1)a 2)(n (n x 6a ) 4a (2an0 nn 2 n 3 0 0= + + + + + + +>+ 8 4a 2a0 2= + ,0 6a3 = ,2 n , a2) 1)(n (n4) 1)(n (nan 2 n> + ++ += .+ 0 22a 4 a = ( )0 0 2 43a - 6 2a 423a23a = = =( )0 0 4 64a 8 3a 634a34a = = =N n 0, .....a a a a 0 a1 2n 9 7 5 3e = = = = =+ luego la solucin tendra la forma: ..... )x 3a (6 )x 2a (4 x a a y4020 1 0+ + + + =Osea tenemos la solucin general ,considerando : 1 2 0 1a c a c = . =2 ......) 8x 6x (4x x a .....) 4x 3x 2x (1 a y6 4 216 4 20+ + + + + =Las soluciones independienteslas hemos obtenido sustituyendo en la ecuacin ,mientras que la ltima es la solucin particular. Otro caso sera resolver: >= = + +0 nnx x 2n!xe , e 4y 4xy' ' )y' x (1 tenemos ahora: . = . = + 1 6a 1 4a 2a3 0 2 2 n ,n!14) 1)(n (n 2)a 1)(n (n2 n> = + + ++ 0a arbitrario, 1a arbitrario 0 22a21a =0 0 2 4a2472412a2116121)21(6a121a = +|.|

\| = + =Vctor D. Rojas Cerna191 0 6a3024720169a =|.|

\|+ + +|.|

\| = .... x81x61(x) a .... x45x 2x 1 a y5 316 4 20 Soluciones independientes Solucin particular: ...... x81x61y5 3p+ = Tambin podemos resolver la ecuacin: 0 y y' e ' y'x= + +encuyoscasostendramosqueusarproductosdeseries,obviamenteesms complicado, pero se puede acceder a la solucin en ciertos casos. Esdeintersprimordial,resolverunproblemadeCauchy,esdecirunaecuacincon condiciones iniciales cuyo nmero depende del orden de la ecuacin. Generalmente cuando hablamos la solucin de un EDOL mediante series, es necesario mencionareldominiodeaveriguarlaconvergenciadelasolucinlocualimplica algunasvecesresolverEDDcomoyaloapreciamos,enelgneropropuestolos criterios iniciales para ver la convergencia son: DAlambert, Cociente, Raz, Rabee. Esta teora se aplica tambin e EDOLCCV recordando como en el caso clsico. Veamos el siguiente ejemplo: Resolvamos la EDOLCCV hallando una solucin serial

-x=0 es un punto ordinario, luego la EDOLCCV admite una solucin tipo serie de potencias. -Admitamos quees una solucin -sustituyendo : -uniformizando los ndices: x x x x , ...542 16 4 2 + 0//= xy y1 ) 0 ( = y 0 ) 0 (/= y0) 0 (//= ynnnx a y0 > =0 ) 2 )( 3 )( 4 (1014= + + + +>++>nnnnnB nx a x a n n nVctor D. Rojas Cerna192 Desarrollando: Tenemos que: Empezamos por hallar la primera solucin as tenemos una primera solucin, al tomar Por tanto esta serie converge en todo R. * Ahora obtengamos una segunda solucin que sea L.I.con a1 arbitrario en general: ( ) 0 ) ) 2 )( 3 )( 4 ( ) 1 )( 2 )( 3 (1403= + + + +++>nn nnx a a n n n a0 ,) 2 )( 3 )( 4 (104 3> + + += . =+n an n na an n0 0 120 0 8 0 4! 129 . 5 . 112 . 11 . 10 . 8 . 7 . 6 . 4 . 3 . 21! 85 . 18 . 7 . 6 . 4 . 3 . 21,. 4 . 3 . 21a a aa a a a aarbitrario an= == = =10 = annxnnx411)! 4 () 3 4 ....( 9 . 5 . 11 ) ( + =>|) (2x | ) (1x |1 1 9 131 1 5 91 1 1 5! 1310 . 6 . 213 .... 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 110 . 6 . 213 . 12 . 111! 96 . 29 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 2 . 3 . 16 . 29 . 8 . 71! 525 . 4 . 3 . 2 . 125 . 4 . 31a a a aa a a aa a a a= = == = == = =1 1 4)! 1 4 () 2 4 ...( 10 . 6 . 2annan+=+Vctor D. Rojas Cerna193 Luego una segunda solucin LI con es * Por ltimo hallemos una tercera solucin L.I con |1 . |2 .

As se tendr Luego la 3 solucin con a2=1 Esta serie converge en todo R. La solucin ser: Esta solucion general converge en todo R., Por las condiciones iniciales: arbitrario a22 10 142 6 102 2 2 6)! 2 4 () 1 4 ....( 11 . 7 . 3214 . 13 . 1212! 101 . 310 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 17 . 3210 . 9 . 81! 6326 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1326 . 5 . 41anna aa a a a aa a a a+= == = == = =2 4123) 2 4 () 1 4 ....( 11 . 7 . 3) (+>+ + =nnxnnx x |2 4123)! 2 4 () 1 4 ....( 11 . 7 . 3) (+>+ + =nnxnnx x |) ( ) ( ) ( ) (3 3 2 2 1 1x c x c x c x | | | | + + =1 ,)! 1 4 () 2 4 ...( 10 . 6 . 2) (11 4112=++ =+>a xnnx xnn|) (1x |Vctor D. Rojas Cerna194 Luego la solucin ser: Es simple ver que dicha serie converge en todo R ECUACION DE LEGENDRE La EDOLCCV: dondeesunaconstante,sellamaecuacindeLegendre.Veamos que: -Mostremos que si la escribiramos en la forma: entoncessonfunciones analticasenx=0(osea, tienen un desarrollo en forma de serie de potencias de x) cuando Visualizacin: La ecuacin puede escribirse de la forma: ( ) 1 0 ) 1 ( ' 2 ' ' ) 1 (2= + + y xy y x o oo0 ) ( ' ) ( ' '2 1= + + y x a y x a y) ( ) (2 1x a x a .1 < xnnxnnx41)! 4 () 3 4 ...( 9 . 5 . 11 ) ( + =>|0 0 ) 2 ( ) 0 ( 0 ) 0 () ( ) ( ) ( ) ( , ) () ( ) ( , , )0 0 ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( 0 ) 0 () 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (1 ) 0 ( ) 0 ( 2 ) 0 1 ( 1 ) 0 (3 311 11113 3111113 3111113 32 3 2 1113 312 2 1 11 3 1= = + =+ = + =+ == = + + =+ + = '= + + + =c cx c x x c x c xx c x c xc c c cc c cc c c c| || | | || | ||| | | ||Vctor D. Rojas Cerna195 Tenemos: Si,tenemos(apelandoanuestrosconocimientosdeseries)quelaserie geomtricaconverge para, y adems:, pues la raznsatisface, as converge dicha serie para dichos valores de x. Portanto:esconvergente;luegoesconvergey admite un desarrollo en serie de potencias en x (alrededor de x=0) As:y,anlogamente:,lacual tambin es convergente. -Calculamos las soluciones linealmente independientes cuando Ejercicios: 1.Consideramos la ecuacin: 0 yx1y'x1' y'2= +Para x>0, a)demuestre que tiene una solucin de la forma rx ,donde r es una constante. Tenemos la ecuacin:0 y y' ' y' x2= +rx y =Es una solucin , por tanto: 2 r 1 r1)x r(r ' y' rx y' = . =Sustituyendo: ( ) 0 1 r 1) r(r xr= + Como x>0,te