MatematikselJeodeziharita.ghu.edu.tr/user_files/files/jeodezi2015.pdfIc¸indekiler˙ iii 5 ELIPSO˙...

Matematiksel Jeodezi

Hüseyin DEMİREL Aydın ÜSTÜN

2015

İçindekiler

1 GİRİŞ 1

1.1 Jeodezinin Tarihi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Referans Yüzeyi Olarak Yeryuvarının Şekli . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Jeodezinin Tanımı ve Amacı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 JEODEZİK EĞRİ KOORDİNAT SİSTEMİ (ϕ, λ, h) 11

2.1 Dönel Elipsoidin Geometrik Parametreleri . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Meridyen Elipsinin Parametrik Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Coğrafi, İndirgenmiş ve Merkezsel Enlemler Arasındaki İlişkiler . . . . 17

2.4 Dönel Elipsoidin Parametrik Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Jeodezik Dik Koordinatlar ile Jeodezik Eğri Koordinatlar ArasındakiDönüşüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 EĞRİLER ve YÜZEYLER 25

3.1 Uzay Eğrileri, Frenet Üçyüzlüsü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Yüzeyler ve Gauss Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1 Yüzey Eğrisi Uzunluğu ve 1. Dereceden Temel Büyüklükler . . 32

3.2.2 İki Yüzey Eğrisi Arasındaki Açı . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.3 Yüzey Alanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

ii İçindekiler

3.3 Bir Yüzeyin Eğrilikleri ve Normal Kesit . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Jeodezik Eğrilik ve Jeodezik Eğri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.1 Jeodezik Eğriliğin Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.2 Jeodezik Eğrinin Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 DÖNEL ELİPSOİT YÜZEYİNDE YÜZEY EĞRİLERİve PARAMETRE SİSTEMLERİ 47

4.1 Elipsoit Yüzeyinde 1. ve 2. Dereceden Temel Büyüklükler . . . . . . 47

4.2 Elipsoit Yüzeyinin Eğrilikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Meridyen Yay Uzunluğu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4 Paralel Daire Yay Uzunluğu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5 Elipsoit Yüzeyinde Alan Hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6 Elipsoit Yüzeyindeki Eğrilerin Jeodezik Eğrilikleri ve Jeodezik Burulma 59

4.7 Düşey Kesitler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.7.1 Dönel Elipsoidin Matematiksel Gösterimleri . . . . . . . . . . 61

4.7.2 Normal Kesit Yay Uzunluğu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.8 Jeodezik Eğriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.8.1 Jeodezik Eğrinin Diferansiyel Denklemleri . . . . . . . . . . . 72

4.8.2 Clairaut Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.8.3 Normal Kesit Yayı ve Jeodezik Eğri Arasındaki İlişkiler . . . . 78

4.9 Elipsoit Yüzeyinde Üçgen Hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.9.1 Legendre ve Soldner Yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.9.2 Küresel Bağıntılar Yardımıyla Doğrudan Üçgen Çözümü . . . 86

4.9.3 Büyük Elipsoidal Üçgenlerin Çözümü için Legendre Yöntemi . 88

4.10 Dönel Elipsoit Yüzeyinde Parametre Sistemleri . . . . . . . . . . . . . 89

4.10.1 Coğrafi Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.10.2 Jeodezik Kutupsal Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.10.3 Jeodezik Paralel Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.10.4 Egregium Kuramı ve m ve n Büyüklükleri ile İlişkisi . . . . . . 96

Matematiksel jeodezi s.2015.02.17

İçindekiler iii

5 ELİPSOİT YÜZEYİNDE COĞRAFİ KOORDİNATLAR veJEODEZİK TEMEL ÖDEVLER 99

5.1 Elipsoit Üzerinde Temel Ödev Çözümlerine Genel Bakış . . . . . . . . 99

5.2 Legendre Serileri Yardımıyla Temel Ödev Çözümü . . . . . . . . . . . 100

5.2.1 1. Temel Ödev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.2.2 2. Temel Ödev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3 Temel Ödevlerin Çözümü İçin Gauss Ortalama Enlem Yöntemi . . . 106

5.3.1 2. Temel Ödevin Çözümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.3.2 1. Temel Ödevin Çözümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.4 1. Temel Ödevin Schreiber Yöntemine Göre Çözümü . . . . . . . . . 113

5.5 Büyük Uzunluklar İçin Temel Ödev Çözümleri . . . . . . . . . . . . . 115

5.5.1 1. Temel Ödev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.5.2 2. Temel Ödev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.6 Jeodezik Dik Koordinatlar ve Temel Ödevlerin Çözümü . . . . . . . . 120

5.6.1 Coğrafi Koordinatlardan Jeodezik Dik Koordinatlara Geçiş . . 121

5.6.2 Jeodezik Dik Koordinatlardan Coğrafi Koordinatlara Geçiş . . 123

5.6.3 Jeodezik Dik Koordinatlar ile Temel Ödev Çözümü . . . . . . 125

5.6.4 Meridyen Yakınsama Açısı ve Jeodezik Azimut . . . . . . . . . 129

5.6.5 Jeodezik Dik Koordinat Sistemleri Arasındaki Dönüşüm . . . 129

6 ELİPSOİT YÜZEYİNİN DÜZLEME İZDÜŞÜMÜ 133

6.1 Bir yüzeyin Başka Bir Yüzeye İzdüşümü . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.1.1 Uzunluk Deformasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.1.2 Açı Deformasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.1.3 Alan Deformasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2 İzometrik Parametreler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2.1 Açı Koruyan İzdüşümde İzometrik Parametrelerin Önemi . . . 144

6.3 Elipsoit Yüzeyinde İzometrik Parametreler . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.4 Coğrafi Enlem Farkı ve İzometrik Enlem Farkı Arasındaki İlişki . . . 151


iv İçindekiler

7 ELİPSOİDİN DÜZLEME GAUSS-KRÜGER İZDÜŞÜMÜ 155

7.1 Gauss-Krüger İzdüşüm Kuralı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.2 Gauss-Krüger Koordinatlarının Coğrafi Koordinatlar Yardımıyla Hesabı156

7.3 Coğrafi Koordinatların Gauss Koordinatları Yardımıyla Hesabı . . . . 159

7.4 Meridyen Yakınsama Açısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.4.1 Meridyen Yakınsama Açısının ϕ ve λ Yardımıyla Hesaplanması 163

7.4.2 Meridyen Yakınsama Açısının x ve y Yardımıyla Hesaplanması 164

7.5 Gauss-Krüger İzdüşümünde Deformasyonlar . . . . . . . . . . . . . . 165

7.5.1 Uzunluk Deformasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.5.2 Alan Deformasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.6 Gauss-Krüger Koordinatları ile Temel Ödev Çözümleri . . . . . . . . 171

7.6.1 Birinci Temel Ödev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.6.2 İkinci Temel Ödev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.7 Gauss-Krüger İzdüşümünde İndirgemeler . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.7.1 Açıklık Açısı İndirgemesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.7.2 Uzunluk İndirgemesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.7.3 Alan İndirgemesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.7.4 İndirgeme Bağıntılarının Kullanılması . . . . . . . . . . . . . . 185

7.8 Gauss-Krüger ve UTM Koordinat Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.9 Komşu Dilimler Arasında Gauss-Krüger Koordinatlarının Dönüşümü 190

8 ÜÇ BOYUTLU YÖNTEMLER 199

8.1 Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.2 Yersel Referans ve Jeodezik Datum Sistemleri . . . . . . . . . . . . . 200

8.3 Potansiyel Kuramına Göre Tanımlanan Yükseklik Sistemleri . . . . . 201

8.4 Elipsoidal Yükseklikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.4.1 Trigonometrik Yöntem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.4.2 Geometrik-Astronomik Nivelman . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.4.3 Üç Boyutlu Yöntemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212


İçindekiler v

8.4.4 Dolaylı Yöntemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

9 ÖLÇÜLERİN REFERANS ELİPSOİDİNE İNDİRGENMESİ 215

9.1 Astronomik Koordinatların İndirgenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.2 Astronomik Azimutun ve Başucu Açısının İndirgenmesi . . . . . . . . 216

9.3 Yatay Doğrultu Ölçülerinin İndirgenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.4 Uzunlukların İndirgenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219


Bölüm 1

GİRİŞ

1.1 Jeodezinin Tarihi

İnsanoğlu varolageldiğinden bu yana üzerinde yaşadığı coğrafyayı tanıma isteğiduymuştur. İlk çağlarda, yaşam ve korunma gereksinimi için yakın çevreyi kapsayanbu istek, uygarlaşmanın başlamasından sonra yaşam sınırlarının ötesine taşmış;giderek yeryuvarının bir bütün olarak görünümü ve büyüklüğünü öğrenme merakınadönüşmüştür. Bilimsel bir gözleme dayanmadan, sınırlı yaşam alanından bakarakyerin şeklini ve büyüklüğünü kestirmek oldukça güçtür. Bu nedenle jeodezi biliminindoğmasına neden olan bu merakın tarihi uzun ve ilginçtir.

Jeodezi tarihinin Yunan uygarlığı ile başladığı kabul edilir. Antik Yunan çağındayerin şekli ile ilişkili ilk tarihi kayıtlara, MÖ 9. yüzyılda yerin okyanuslarlaçevrili düz bir disk olarak tasvir edildiği Homer’in İlyada ve ondan yaklaşık 100yıl sonra yazıldığı tahmin edilen Odissiea destanlarında rastlanır (Ronan, 2003).Bu dönemde Batı Anadolu ve Yunan adalarındaki kolonilerde yaşayan denizcilerinAtlas Okyanusu’na kadar olan coğrafyayı çok iyi bildikleri düşünülmektedir.İlyada ve Odissiea destanlarında Akdeniz ve Karadeniz’i kuşatan kara parçalarınınokyanuslarla çevrelendiği betimlenmiştir. Bu edebi eserlerden sonra, üzerindeyaşadığımız dünya hakkında ilk bilimsel ve felsefi düşünceler bugün Aydın il sınırlarıiçinde kalan Milet Okulunda (Didim) dile getirilmiştir. Okulun kurucusu MiletliThales (MÖ 624–546) yukarıdaki tasviri benzer görüşlerle savunmuş ve karalarınbir su diskinin üzerinde yüzdüğünü söylemiştir. Çağdaşı ve öğrencisi Anaximander(MÖ 610–546, Anaximandros olarak da bilinir) söz konusu tasvirlerden yola çıkarakbu coğrafyayı merkez alan ilk dünya haritasını çizdi. Böyle bir haritanın varlığıkendisinden sonra gelen coğrafyacıların anlatımlarına dayanır. Anaximander’e

2 GİRİŞ

Şekil 1.1: Hecataeus’un yeniden yapım dünya haritası

göre bu haritada temsil edilen dünya davul biçimli bir silindirin bir yüzündedir.Anaximander, Thales’ten farklı olarak “yeri tutan su ise, suyu tutan nedir?”sorusuna cevap aramıştır. Anaximander’in öğrencisi Anaximenes (MÖ 585–525) isebu düşünceleri daha da geliştirerek yerin havada durduğunu ve her şeyin kaynağınınhava olduğunu düşünüyordu. Bazı çevrelerce ilk Yunanca coğrafya eserinin yazarıolarak tanımlanan Hecataeus (MÖ 550–500) Anaximander’in haritasını daha dadetaylandırarak yeni bir dünya haritası yapmıştır (Şekil 1.1).

Hecataeus’un yaşadığı yıllarda, Milet’in yaklaşık 50 km kuzeybatısındaki Sisam(Yunanca Samos) adasında doğan Pythagoras’ın (MÖ 569–475) okulunda isedünyanın küre olduğu görüşüne uygun bir eğitim yapılmaktaydı. Kesin olmasa dabu görüşün gök cisimlerinin ve hareketlerinin gözlenmesine dayandığı sanılmaktadır.Pythagoras’tan sonra pek çok Yunanlı düşünür, küre fikrini benimsemeye başlamıştı.Ancak, bu dönemde, ilgi sadece yerin biçimi üzerine değildi. Pythagoras’ın fikrinidoğrulayacak matematik, astronomi, fizik, geometri gibi temel bilimlerde önemlibuluşlara imza atılmıştı. MÖ 4. yüzyılın sonlarına doğru Aristoteles (MÖ 384–322), yeri farklı gök cisimlerini temsil eden iç içe geçmiş küresel evren modelininmerkezinde konumlandırdı. Gerçekte bu mekanik yaklaşımın fikir babası olarakMÖ 408–355 tarihleri arasında yaşamış Knidoslu (Datça) Eudoksos kabul edilir.Aristoteles bu tekdüze modelde tek değişken olarak yeri görmüştür. Yerin şeklininise küre olması gerektiği tezini bazı gözlemlere dayandırdı:

• Belirli bir yönde gidildiğinde ufuk sürekli olarak değişmektedir.

• Ay tutulmasında yerin gölgesi yuvarlaktır.

• Denizdeki bir gemi karaya yaklaştıkça önce direği, sonra yelkenleri ve sonolarak da gövdesi görünmektedir.

Fiziksel gözlemler, Aristoteles’i yeryuvarının boyutlarını da tahmin etmeye yöneltti


Jeodezinin Tarihi 3

ve çevresini 400 000 stadya (≈ 74 000 km) olarak hesapladı. Artık bundan sonrainsanoğlunun merakı, yeryuvarının boyutlarının belirlenmesi üzerine odaklanmıştı.Aristoteles’i, fizik ve matematikte büyük buluşlar gerçekleştiren Archimedes (MÖ287–212) izledi. Deniz yüzeyinin eğriliğinden yararlanarak hesapladığı çevreseluzunluk 300 000 stadyadır (≈ 55 500 km). Bu sonuca göre yeryuvarının yarıçapı,yaklaşık 8 833 km çıkar.

Oldukça kaba yöntemlerle gerçekleştirilen denemelerden sonra, zamanına göreduyarlı denebilecek ölçme tekniğine dayalı ilk girişim İskenderiye Kütüphanesisorumlusuna aittir. Eratosthenes (MÖ 276–194), MÖ 230’da yeryuvarının çevresiniölçmek için jeodezik bakış açısıyla bilimsel bir yol tasarladı. Bugünkü Mısırtoprakları üzerinde bulunan iki şehir arasındaki yay uzunluğu ve ona karşılıkgelen merkez açının belirlenmesi, yöntemin temelini oluşturmaktadır. Yazgündönümünde, güneş ışınlarının Syene’deki (şimdiki adı Asuan) bir kuyunun dibiniaydınlattığı zamanı belirleyerek ertesi yıl aynı anda İskenderiye’de (Alexandria)güneş ışınlarının çekül doğrultusu ile yaptığı açıyı ölçtü (Şekil 1.2). Bu yöntemle ψmerkez açısını tam dairenin 1

50’si (≈ 7◦ 12′) olarak belirledi. İki şehir arasındaki

uzaklığı ise o dönemde Mısır haritalarının yapımında kullanılan adım saymayöntemine göre 5 000 stadya gibi yuvarlak bir değer olarak tahmin etmiş veyeryuvarının çevresini 250 000 stadya hesaplamıştır.1

ψ

ψ

∆GR

R

Güneş ışınları

Syene

İskenderiye

O

Şekil 1.2: Eratosthenes’in yay (∆G) ve merkez açı (ψ) ölçmesi

Şekil 1.2’den yeryuvarının yarıçapı,

R =∆G

ψ(1.1)

dir. Bu durumda, Eratosthenes’in yöntemine göreR ∼= 7 361 km çıkar (bugün bilinenortalama yarıçap değerinden %16 kadar daha büyüktür). Uzunluk birimlerinindönüşümdeki belirsizlik, Asuan ve İskenderiye arasındaki uzunluğun Eratosthenestarafından yanlış alınması ve yay uzunluğunu ölçmek için izlenen yolun büyük daireyayı üzerinde olmaması gibi faktörler elde edilen sonucu etkilemesi kaçınılmazdır.

Eratosthenes’inkine benzer bir yöntemi, bir asır sonra Posidonius (MÖ 135–51)Rodos ve İskenderiye arasında kullandı. Posidonius, Rodos’ta ufuk düzleminde

1Literatürde, stadya ölçü biriminin metreye dönüşümü hakkında kesin bir görüş birliği yoktur.Genellikle, 1 stadya’nın 185 m’ye karşılık geldiği görüşü çoğunluktadır.


4 GİRİŞ

gözlediği Canopus yıldızının İskenderiye’de tam dairenin 148’i kadar yükseldiğini

ölçmüştür. Rodos’tan İskenderiye’ye olan deniz yolu uzunluğunu Eratosthenesgibi 5 000 stadya kabul etti ve yeryuvarının çevresini ≈ 44 400 km, yarıçapını≈ 7 066 km buldu. Bu değerler, Eratosthenes’in hesapladıklarından daha doğru gibigörünse de gerçek (bilinen) yay uzunlukları ve merkez açılar ile karşılaştırıldığındaPosidonius’un hem açı hem de uzunluğu yanlış belirlediği anlaşılmaktadır.

Yerin büyüklüğünün belirlenmesine yönelik bu çabaların olduğu bir dönemde,matematik, küresel astronomi ve coğrafya konularında önemli başka gelişmelerde yaşanmıştır. Bunlardan en anlamlıları Samoslu Aristarchos (MÖ 310–230)ve Hipparchus’un (MÖ 190–120) çalışmalarıdır. Aristarchos Yerküre, Güneşve Ay’ın büyüklüklerini ve uzaklıklarını hesaplamak için gerçekçi bir geometrikmodel geliştirmiş ve kısmen başarılı gözlemlerle oransal büyüklük ve uzaklıklarıbelirleyebilmiştir. Bu çalışmanın en önemli sonucu, kendisinden kısa zaman sonra(Koperniğe kadar) unutulacak, Güneş merkezli evren modelidir. İznik’te doğanHipparchus, özellikle astronomi ve küresel trigonometride bıraktığı kalıcı izlerleçağının en ünlü bilimcisi olarak anılır. Güneş tutulmasının önceden kestirimi, yerinpresesyon hareketinin ölçümü ve çok detaylı bir yıldız katoloğunun hazırlanmasıöncüsü olduğu keşiflerden bazılarıdır. Ekliptik eğimi beklenmedik bir doğrulukla23◦ 40′ olarak ölçtü (bugün bilinen yaklaşık değer 23◦ 26′). Haritacılık ve jeodeziadına en önemli buluşu, bir küreyi enlem ve boylam daireleriyle bölmek ve küreyüzeyindeki noktaları bu koordinat sisteminde göstermektir.

Batlamyus (Ptolemy, MS 87–151) Yunan çağının son büyük düşünürü kabuledilir. Başta Hipparchus olmak üzere kendisinden önceki pekçok düşünürünçalışmaları hakkında bilgiyi onun günümüze kadar ulaşan eserleri sayesinde biliyoruz.Astronomi, matematik ve coğrafya (karoğrafya) gibi temel alanlardaki bilimselkatkısı ve etkisi çok geniş bir coğrafyaya yayılmış, eserleri asırlar boyunca derskitabı olarak okutulmuştur. Onu tarihte ünlü yapan, Almagest2 adlı eseridir.Kitap matematiksel astronominin o zaman kadar ulaştığı zirveyi temsil etmektedir.Bu kitabın temelini oluşturan yermerkezli (jeosentrik) evren modeli Kopernik’ekadar doğru kabul edilmiştir. Batlamyus, yerin haritasının bir koordinat sistemitemelinde düzleme aktarılması (izdüşüm, projeksiyon) konusundaki çalışmaları iseeşsizdir. Şekil 1.3’te o zamanlarda bilinen üç kıtanın en ayrıntılı haritasının birörneğini (yeniden yapım) sunmaktadır. Harita ile yerkürenin belirli bir parçası birprojeksiyon sistemine oturtulmaya çalışılmıştır. Kendisi tarafından yapılan orijinalharita günümüze kadar ulaşmadıysa da değişik zamanlarda üretilen çok sayıdakopyası bulunmaktadır. Şekilde örneği verilen böyle bir haritada coğrafi detaylarkadar dikkat çekici özellik enlem ve boylam çizgilerinin izdüşümleridir.

Yunan uygarlığının hakim olduğu coğrafyada yaşanan toplumsal ve siyasalgerginlikler, sürekli savaş ortamı bu uygarlığın gücünü zayıflatmış buna paralelolarak doğa felsefesine duyulan ilgi zamanla bir azalmıştır. Bilim ve kültürhazinesi sayılan İskenderiye Kütüphanesinin 4. yüzyılın sonunda yıkılması bu

2Batlamyus’unAstronomi isimli yapıtı, 815 yılında en yüksek, majezik anlamına gelen El-Mıjistiismiyle Arapçaya, daha sonra Almegest ismiyle Latinceye çevrilmiştir (Şerbetçi, 1996).


Jeodezinin Tarihi 5

Şekil 1.3: Batlamyus’un dünya haritası

dönemin sonu kabul edilir. Bu tarihten Rönesansın başlangıcına kadar Avrupa’daduraklama dönemine girilmiş, diğer yandan sınırlarını İspanya’ya kadar genişletenİslam uygarlığı bilimin öncülüğünü ele geçirmiştir. Müslüman dünyası başta Yunanolmak üzere doğudaki komşuları Hint ve Çin uygarlıklarından aldığı mirası kendibilim ve kültür birikimiyle başarılı bir şekilde sentezlemiştir. Daha sonra Avrupayataşınacak bilimsel bilgiye çok önemli katkılar yapacaktır.

İslamiyette namaz ve oruç gibi ibadet esasları zamana göre düzenlendiğindengök cisimlerinin hareketlerinin izlenmesine özel bir önem verilmiştir. Bu yüzdenastronomi, matematik vb. temel bilimlerin uygulaması olarak özgün ölçme vehesap yöntemleri geliştirdikleri bilinmektedir. Konum, zaman, uzunluk ve doğrultugözlemleri gibi temel jeodezik uygulamalarda büyük başarı gösteriler. ÖzellikleHalife El-Memun döneminde Yunan filozofların eserleri çevrilmekle kalmamış,astronomik gözlemler için Bağdat başta olmak üzere rasathaneler kurulmuştur.Onun görevlendirdiği bir komisyon yeryuvarının boyutunu saptamak üzere Suriye’dePalmira ve Rakka şehirleri arasında 1◦’ye eşit yay uzunluğunu ölçmüş ve ≈ 115km belirlemiştir (kaynak...). Buna göre yeryuvarının çevresi ≈ 41 400 km veyarıçapı ≈ 6 600 km’dir. 780–850 yılları arasında yaşamış El-Harizmi, cebirve matematikteki başarılarının yanı sıra jeodezinin gelişimindeki büyük katkısıile adından söz ettirmiştir. 833’te tamamladığı Yerin şekli üzerine adlı kitabıBatlamyus’un Coğrafya’sının gözden geçirilmiş biçimidir. Bu eserde verilen harita ve


6 GİRİŞ

koordinat bilgileri anlamlı ölçüde iyileştirilmiştir. Daha önce Yunan astronomlarınkullandığı usturlab hakkında da kitap yazan Harizmi, bu ölçme aletinin yükseklikaçısı, azimut ve zaman farkının ölçümünde nasıl kullanılacağını açıkladı. tarafındandaha da geliştirilerek,

İslam uygarlığının sahip olduğu kültür ve bilim düzeyinin haçlı seferleriyle Avrupa’yataşınması, Rönesans’ın başlamasında önemli bir rol oynar. Kopernik’in (1473–1543), Batlamyus’çu jeosentrik sistemi yıkıp yerine güneş merkezli, helyosentriksistemi tanıtması, Rönesans’ın ilk bilimsel sonuçlarından biri kabul edilir. Dahasonra bu bilimsel devrim, T. Brahe’nin (1546–1601) gözlemlerinden yararlanarakgüneş sistemini oluşturan gezegenlerin hareketini açıklayan J. Kepler (1571–1630)ve yeryuvarının dönme hareketini açıklayan G. Galileo (1564–1642) tarafındansürdürülmüştür.

17. yüzyıla gelindiğinde, W. Snellius (1591–1626), kendisinden önce Frisius’unortaya koyduğu triyangülasyon yöntemini kullanarak Hollanda’da 1◦ lik meridyenyay uzunluğu ölçümünü gerçekleştirdi. Bu çalışma, meridyen yay uzunluklarınınölçümünde jeodezik ölçme aletleri ve triyangülasyon ağlarınının kullanılmasınıbaşlatmıştır. 1666’da Fransız Bilimler Akademisi’nin kurulması, Fransa’nın 17. ve18. yüzyılda jeodezide lider rolü üstlenmesini ve jeodezik çalışmaların bilimsel birorganizasyon altında yürütülmesini sağladı. Artık jeodezi, kendi teori ve ölçümyöntemlerine sahip ayrı bir bilim dalı olarak görülüyordu. Modern anlamda, yerinboyutunu ilk kez 1669 yılında, Fransız J. Picard’ın (1620–1682) belirlediği kabuledilir. Paris’ten geçen ve Molvoisine ile Amiens arasındaki meridyen yay uzunluğunuölçen Picard, yeryuvarının yarıçapı için (%1.5 sapma ile) 6 275 km gibi gerçekçi birsonuç elde etti.

Picard’ın Paris’in yakınlarında yay ölçmesini yaptığı yıllarda, I. Newton (1642–1727) ve Hollandalı fizikçi C. Huygens (1629–1695) jeodezicilerin küresel yeryuvarıfikrinden farklı olarak, kutuplarda basık elipsoidal model tezini savunuyorlardı.Merih gezegeninin paralaksını ölçmek için Fransız Guayana’sına (Cayenne)düzenlenen gezide, yerçekiminin etkisiyle sarkaçlı saatinin geri kaldığını farkedenastronom J. Richer (1630–1696) bunun yerçekimi kuvvetinden kaynaklandığınıfarketti. Bu olayı öğrenen Newton, tezinin doğrulandığını düşünerek yeryuvarınınkendi ekseni etrafında dönmesiyle oluşan merkezkaç kuvvetinin kutuplara doğruazalacağını, bunun da kutuplarda basık bir dönel elipsoit oluşturması gerektiğinisöyledi. Fizikçilerin teorilerini göz önünde bulunduran Fransız Bilimler Akademisi,Picard’ın ölçtüğü yayın kuzeye ve güneye doğru genişletilerek yeniden ölçülmesinekarar verdi. Cassini ailesinin yönetiminde gerçekleştirilen yeni ölçümler, 1◦ lik yayuzunluğunun kutuplara doğru azaldığını ortaya çıkardı. Bu sonuç jeodeziciler vefizikçiler arasındaki tartışmayı daha da alevlendirmişti; çünkü, elipsoidin kutuplardadeğil, tam tersi, ekvatorda basık olduğu anlamına gelmekteydi. Tartışmaya sonvermek amacıyla, Paris Bilimler Akademisi ekvator ve kutup civarında yeni bir ölçmekampanyası düzenleme fikrini benimsedi.

Godin, La Condamine ve Bouger’in yönetiminde, yaklaşık −1.5◦ enlemindekiPeru’ya Peru birinci ekip (1734–1741); Mopertius ve Clairaut yönetiminde Lapland’a


Referans Yüzeyi Olarak Yeryuvarının Şekli 7

b

aO

M

M ′ ∆G

∆G′

∆ϕ∆ϕ′

Şekil 1.4: Farklı enlemlerde meridyen yay uzunluğu ölçümü

Lapland (≈ 66.3◦ enlemi) ikinci ekip (1736–1737) gönderildi. Her iki ekip, 1◦ likenlem farkına karşılık gelen yay uzunluğunu triyangülasyon yöntemiyle ölçtü (Şekil1.4). Lapland’daki yayın, ötekinden daha uzun olduğu ortaya çıkınca kutuplardabasık elipsoit modeli kesinleşmiş oldu. Bu ölçüleri gravite ölçüleriyle birliktedeğerlendiren ve bunun için adıyla anılan denklemini kullanan A. C. Clairaut (1713–1765), elipsoidal yeryuvarı modelinin fiziksel ve geometrik senteze dayalı ispatınıyaptı.

1.2 Referans Yüzeyi Olarak Yeryuvarının Şekli

Yeryuvarının katı ve sıvı yüzeylerinin oluşturduğu fiziksel yeryüzü, yataykontrol ağlarının matematiksel tanımı yapılabilen uygun bir yüzey üzerindedeğerlendirilmesini zorunlu kılar. 18. yüzyılın ikinci yarısından itibaren bu yüzeyinbir dönel elipsoit olması gerektiği düşüncesi, jeodeziciler tarafından geniş ölçüdekabul görünce, en uygun referans elipsoidi belirleme çalışmaları hız kazanmış oldu.Delambre (1810), Airy (1830), Everest (1830), Bessel (1841), Clarke’ın (1858, 1866ve 1880) kendi adlarıyla anılan elipsoitleri bunlardan bazılarıdır. Sözü edilen buçalışmaların değişik coğrafyalarda ve çok sayıda gerçekleşmesindeki temel neden, enuygun yer elipsoidine dayalı olarak nirengi ağını oluşturmak ve haritaları üretmekti.Bu arayışın günümüze değin sürdüğünden söz edebiliriz. Çünkü, jeodezik ölçme vedeğerlendirme teknikleri teknolojiye paralel olarak zamanla iyileşmektedir. Bugüniçin, bilinen en uygun referans elipsoidinin geometrik parametre değerleri; 6 378 136.7m (ekvatoral yarıçap) ve 1/298.257 222’dir (basıklık) (Groten, 2000).

Öte yandan, yeryuvarı için en uygun salt geometrik bir yüzey bile jeodezikproblemlerin çözümünde yeterli yaklaşım sağlamaz. Bu kanıya, ilk olarak, elipsoidalparametreleri belirlemek için yay ölçülerini dengeleyen A. M. Legendre (1752–1833)ve en küçük karelere dayalı dengeleme yöntemini triyangülasyon ağlarına uygulayanC. F. Gauss (1777–1855) vardı. Dengeleme sonuçlarının kapanma büyüklükleri,ölçülerin doğruluğunu fazlasıyla aşmaktaydı. Gauss ve yeryuvarının basıklığındadoğru değere yaklaşan ilk bilgin olan F. W. Bessel (1784–1846), bu fazlalığınkaynağını elipsoidal normal ile ölçülerin dayandığı çekül doğrultusu arasındaki


8 GİRİŞ

aykırılıkta, başka bir deyişle çekül sapmasında aradılar. Bu aykırılık, onlara yeringeometrik ve fiziksel şeklinin birbirinden ayrılması gerektiği fikrini verdi. Sonuçolarak, Gauss 1828 yılında yeryuvarının şekli için aşağıdaki ünlü tanımını yaptı:

Geometrik anlamda, yeryuvarının şekli olarak adlandırdığımız yüzey, her

noktasında çekül doğrultularını dik açılarla kesen ve okyanus yüzeyi ile kısmen

çakışan yüzeyden başka bir şey değildir.

1873 yılında J. B. Listing (1808–1882), Gauss’un tanımladığı bu yüzeye jeoit adınıverdi:

Kısmen okyanus yüzeyi ile gösterilebilen, daha önce yeryuvarının matematik-

sel yüzeyi olarak tanımlanan yüzeye, yeryuvarının jeoidal yüzeyi ya da kısaca

jeoit diyeceğiz.

Bu tanımlardan anlaşılmaktadır ki; yeryuvarının gravite alanının eşpotansiyel (nivo)yüzeylerinden biri olan jeoit, tamamen fiziksel bir anlama sahiptir; doğada tamolarak gerçekleştirilebilir bir yüzey değildir. Ancak, 3/4’ü suyla kaplı gezegenimizde,1-2 m ye varan sapmalar göz ardı edilirse durgun okyanus yüzeyi, jeoit ile özdeş kabuledilebilir (Şekil 1.5).

Jeoit ≈ Deniz yüzeyi

F

iziksel yeryü

zü

Elipsoit

Çeküldoğrultusu

Elipsoitnormali

θ

Şekil 1.5: Fiziksel yeryüzü, jeoit ve elipsoit

Son olarak jeoit ve elipsoit arasındaki ilişkiden de söz etmekte yarar vardır.Kutuplarda basık bir dönel elipsoit, basit denklemi sayesinde yatay konumbelirlemeye elverişlidir. Öte yandan, yükseklikler için başlangıç yüzeyi olarak jeoitanlamlıdır. Bu nedenle, jeodezide her iki yüzeyden de yararlanılır ve üç boyutlukonum belirleme için anahtar bir rol üstlenirler.

Şekil 1.6’da görüldüğü gibi iki farklı elipsoit söz konusudur; bunlar yeryuvarınaen iyi uyan ortalama yer elipsoidi ve yerel elipsoittir. Ortalama yer elipsoidininmerkezi, yeryuvarının ağırlık merkezi ile çakışır; elipsoit yermerkezlidir (jeosentrik).Bu durumda, elipsoit yüzeyi ile jeoit arasındaki aykırılıklar ±100 m içerisinde kalır.Uydu tekniklerine dayalı üç boyutlu konum belirleme sistemleri, jeosentrik elipsoidikullanır (örneğin WGS84, GRS80). Klasik yönteme dayalı, yani triyangülasyon


Jeodezinin Tanımı ve Amacı 9

ağları yardımıyla belirlenen yerel elipsoitler ise genellikle bir noktasında yeryüzüneteğettir. Ülkemizde olduğu gibi ülkelerin çoğunda jeodezik datum, yerel elipsoitlerletanımlanmıştır (örneğin ED50 Avrupa Datumu veya NAD27 Kuzey AmerikaDatumu gibi).

J eoit

Jeosentrik elipsoit

Yerel elipsoit

Şekil 1.6: Yermerkezli (jeosentik), yerel elipsoit ve jeoit

1.3 Jeodezinin Tanımı ve Amacı

Joedezi Yunanca kökenli bir kelimedir; yer ölçmesi anlamında kullanılır (jeo=yer,dezi=ölçmek, bölmek). 19. yüzyılın ortalarına kadar jeodezi, ağırlıklı olarakyeryuvarının şeklini ve boyutlarını belirlemekle uğraşan ve bunun için kenditeorisini ve ölçme yöntemlerini kullanan bağımsız bir bilim dalıydı. 1880 yılındaF. R. Helmert (1841–1917), jeodezi ile ilişkili matematiksel ve fiziksel teorileriDie mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie adlıiki ciltlik eserinde topladı. Onun bu kitaptaki klasik tanımına göre; jeodezi,yeryüzünün ölçülmesi ve haritaya aktarılması bilimidir. Bu kısa tanım, uygulamadayeryuvarının gravite alanının belirlenmesini de içerir. Çünkü, yeryüzü gerçekteşeklini yeryuvarının gravite alanından alır ve jeodezide çoğu gözlem söz konusualanın etkisi altında gerçekleştirilir. Bu nedenle Helmert’in tanımı, genel anlamda,günümüze kadar geçerliliğini korumuştur.

Ancak, özellikle son 20-30 yılda teknolojik alandaki gelişmeler, jeodezik ölçülerinve hesapların daha hızlı sonuçlandırılmasına olanak sağlamıştır. Klasik olarakadlandırılan açı ve uzunluk ölçmeleri yerini elektromanyetik ölçmelere bırakmış,hesaplamalar bilgisayarlar aracılığıyla kolayca yapılabilir duruma gelmiştir.Gerçekleştirilen jeodezik uygulamalar ve sonuçları, yukarıdaki tanımın yenilenmesinizorunlu kılmıştır. Buna göre;

Jeodezi, üç boyutlu ve zaman değişkenli uzayda, çekim alanı ile birlikte,

yeryuvarının ve öteki gök cisimlerinin ölçülmesi ve haritaya aktarılması ile

uğraşan bilim dalıdır.


10 GİRİŞ

Yukarıdaki tanım, jeodezinin konum belirleme problemini üç boyuttan dört boyutataşımaktadır. Bu çerçevede, modern jeodezi üç temel konu üzerinde faaliyetlerinisürdürür. Bunlar;

• Konum belirleme; yeryuvarının geometrik şeklinin (kara, deniz ve buzulyüzeyinin) belirlenmesi,

• Yeryuvarının gravite alanının ve dolayısıyla jeodin belirlenmesi,

• Yeryuvarının şekli ve gravite alanındaki, zamana bağlı değişimlerin izlenme-sidir.

Bütün bu faaliyetler için jeodezi, geometrik ve fiziksel yasalara dayananmatematiksel esaslar ile birlikte yeryüzünde ve bu yüzeyin dışında gerçekleştirilenölçüleri kullanır.


Bölüm 2

JEODEZİK EĞRİ KOORDİNAT SİSTEMİ (ϕ, λ, h)

Jeodezik eğri koordinat sistemleri, ülke ölçmelerinde önemli bir yer tutar. Ülkenirengi ağlarının tüm sonuçları böyle bir sisteme dayanır. Nirengi ağı noktalarınınyatay konum bileşenleri, klasik ülke ölçmelerinin başlangıcından bu yana birelipsoidin yüzey parametreleriyle tanımlanan bir sistemde verilir. Ya doğrudan ϕ, λcoğrafi koordinatları ya da bunların fonksiyonları biçiminde elde edilen doğrusalkoordinatlar kullanılır.

Elipsoidal (jeodezik) sistemin özel önemi, yatay konum için referans yüzeyiolmasından kaynaklanır. h elipsoidal yükseklik, klasik yersel-jeodezik yöntemler iledolaylı bir ilişki içindedir. Eğik uzunluklar, azimut ve açılar gibi yersel ölçülerinelipsoit yüzeyine indirgenmesinden başka, günümüzde GPS’ye dayalı ortometrikyüksekliklerin türetilmesinde ve üç boyutlu datum dönüşümlerinde h elipsoityüksekliği gereklidir.

Uydu ve inersiyal yöntemler bakımından elipsoide dayalı koordinat sistemlerininönemi her geçen gün artmaktadır. Uydu teknikleri, başta sıfırıncı derecedenbüyük ağların oluşturulmasında, sabit nokta alanının sıklaştırılmasında ve yukarıdadeğinildiği gibi yüksekliklerin elde edilmesinde kullanılmaktadır (örn., Ayhan vd.,2002; Üstün, 2002). Konum ölçme yöntemlerinin elipsoidal sistemle sıkı ilişkisinedeniyle uydu jeodezisi yöntemleriyle doğrudan elde edilen üç boyutlu kartezyenkoordinatları jeodezik eğri koordinat sistemine dönüştürme ödevi ile karşılaşılır. Buödev, özellikle değişik kaynaklı jeodezik ağların birleştirilmesi gerektiğinde de ortayaçıkar.

ϕ, λ sistemi hem yatay konum belirlemede hem de üç boyutlu konum belirlemedeönemli olduğundan bu bölümde jeodezik dik koordinatlar x, y, z ve eğri ϕ, λ, harasındaki ilişkiler üzerinde durulacaktır.

12 JEODEZİK EĞRİ KOORDİNAT SİSTEMİ (ϕ, λ, h)

2.1 Dönel Elipsoidin Geometrik Parametreleri

Kutuplarda basık bir dönel elipsoit elipsin küçük yarıekseni etrafında döndürülmesisonucu oluşur. Elipsoidin büyüklüğü ve biçimi elipsin büyük yarıekseni a ve küçükyarıekseni b ile belirlenir. Bu iki geometrik parametre yanında onların fonksiyonlarıbiçiminde tanımlanan başka büyüklükler de vardır. a ve b parametreleri aynızamanda meridyen elipsini belirler. a, elipsoidin ekvator yarıçapıdır.

Doğrusal dışmerkezlik E, meridyen elipsinin F1 ya da F2 noktası ile O merkeziarasındaki uzaklığı gösterir (Şekil 2.1):

E =√a2 − b2 (2.1)

E büyüklüğü yardımıyla 1. dışmerkezlik e ve 2. dışmerkezlik e′ elde edilir:

e =E

a, e′ =

E

b(2.2)

ab

a EF1 F2O p

z

Şekil 2.1: Meridyen elipsi

Basıklık f ve yarıeksen uzunluk farklarının toplamlarına oranı ya da başka bir deyişleüçüncü basıklık n,

f =a− ba

(2.3)

n =a− ba+ b

(2.4)

dir.

e, e′, f ve n büyüklüklerinin önemi, elipsoit geometrisinin çoğun diziye açmaişlemleriyle tanımlanmasından kaynaklanır. Elipsoidin a ve b yarıeksenleriarasındaki fark çok küçük olduğundan (a − b ≈ 21 km e, e′, f ve n parametreleri1’den önemli ölçüde küçüktür. Bu nedenle onlara dayanan kuvvet dizileri hemenyakınsar; dizinin baştan birkaç terimi toplamı öngörülen hesap inceliğini sağlar.

Bir yandan a ve b doğrusal parametreleri öte yandan e, e′, f ve n büyüklükleriyardımıyla meridyen elipsinin büyüklük ve biçimini tanımlayan değişik elipsoit


Dönel Elipsoidin Geometrik Parametreleri 13

parametre çiftleri oluşturulabilir. İkinci dışmerkezlik e′ ile ilişkili olarak kutup eğrilikyarıçapı (c) adı verilen bir başka doğrusal parametre kullanılır:

c =a2

b(2.5)

a, b, c, e2, e′2, f ve n arasındaki başlıca ilişkiler şunlardır:

e2 =a2 − b2a2

=e′2

1 + e′2= 2f − f 2

e′2 =a2 − b2b2

=e2

1− e2 =1

(1− f)2 − 1

f = 1−√1− e2 = 1− 1√

1 + e′2

n =

√1 + e′2 − 1√1 + e′2 + 1

=1−

√1− e2

1 +√1− e2

=f

2− fa = c

√1− e2 = c√

1 + e′2

b = c (1− e2) = c1 + e′2

1 = (1− e2)(1 + e′2)

(2.6)

Bessel ellipsoidi, uluslararası elipsoit (Hayford elipsoidi) ve Jeodezik ReferansSistem (1980) için parametrelerin sayısal değerleri Çizelge 2.1’de verilmiştir. GPSuygulamalarında referans olarak kullanılan WGS84 (World Geodetic System 1984)elipsoidinin geometrik parametreleri a = 6 378 137 m ve 1/f = 298.257 223 563 ilebelirlidir. Bu değerler yerine, GRS80 elipsoidi parametreleriyle elipsoit yüzeyindegerçekleştirilecek temel ödev çözümlerinde anlamlı bir fark oluşmaz.

Çizelge 2.1: Bazı dönel elipsoitlere ilişkin geometrik büyüklükler

Parametre Bessel Uluslararası (Hayford) Referans Sistem 1980a 6 377 397.155 m 6 378 388 m 6 378 137 mb 6 356 078.9628 m 6 356 911.9461 m 6 356 752.3141 mc 6 398 786.8481 m 6 399 936.6081 m 6 399 593.6259 mE 521 013.1390 m 522 976.0871 m 521 854.0097 m1/f 299.1528 128 297 298.257 222 101e2 0.006 674 372 232 0.006 722 670 022 0.006 694 380 023e′2 0.006 719 218 799 0.006 768 170 197 0.006 739 496 775n 0.001 674 184 801 0.001 686 340 641 0.001 679 220 395



2.2 Meridyen Elipsinin Parametrik Gösterimi

Meridyen elipsi yardımıyla dönel elipsoidin çeşitli özellikleri ortaya konabilir. Dönelelipsoidin kartezyen (Dekart) koordinat sisteminde denklemi,

(x

a

)2

+(y

a

)2

+(z

b

)2

= 1 (2.7)

dir. Paralel daire yarıçapı p ise,

x = p cosλy = p sinλ

(2.8)

ile (2.7), meridyen elipsinin denklemine dönüşür:

(p

a

)2

+(z

b

)2

= 1 (2.9)

p ve z bir t parametresinin fonksiyonları,

p = p(t) , z = z(t) (2.10)

ise meridyen elipsinin parametrik gösterimi elde edilir.

rN

p

ab

O p

z

K

P

P ′

P ′′

ϕγ βπ2+ ϕ

π2− ϕ

Şekil 2.2: Meridyen elipsinin parametrik gösterimi

ϕ coğrafi enlemi, meridyen elipsinin her noktasında belli bir değer aldığındanmeridyen elipsinin parametrik gösteriminde t yerine ϕ kullanılabilir. p ve zdik koordinatlarını ϕ enleminin fonksiyonları biçiminde göstermek için meridyenelipsinin P noktasındaki teğete ilişkin Şekil 2.2’deki özellikler göz önündebulundurulur. Teğetin eğimi için,

tan(π

2+ ϕ

)

=dz

dp(2.11)


Meridyen Elipsinin Parametrik Gösterimi 15

yazılabilir. (2.9)’dan,dz

dp= −p

z

b2

a2

ile (2.11),

tan(π

2+ ϕ

)

= − cotϕ = −cosϕsinϕ

= −pz

b2

a2

olur. Buradan,b4p2 sin2 ϕ− a4z2 cos2 ϕ = 0 (2.12)

çıkar. (2.9) ile (2.12) birleştirilirse meridyen elipsinin, ϕ coğrafi enlemine bağlıparametrik gösterimi elde edilir:

p =a2 cosϕ

√

a2 cos2 ϕ+ b2 sin2 ϕ(2.13a)

z =b2 sinϕ

√

a2 cos2 ϕ+ b2 sin2 ϕ(2.13b)

e2, e′2 ve c büyüklükleri yardımıyla (2.13) eşitlikleri,

p =a cosϕ

√

1− e2 sin2 ϕ=

c cosϕ√

1 + e′2 cos2 ϕ(2.14a)

z =b√1− e2 sinϕ

√

1− e2 sin2 ϕ=

c sinϕ

(1 + e′2)√

1 + e′2 cos2 ϕ(2.14b)

biçimine dönüştürülebilir. Başka bağıntılarda da çok sık kullanılmaları nedeniyle,

V =√

1 + e′2 cos2 ϕ (2.15a)

W =

√

1− e2 sin2 ϕ (2.15b)

η2 = e′2 cos2 ϕ (2.16)

kısaltmaları işlemlerde kolaylık sağlar. Buradaki V , W ve η simgeleri fizikseljeodezideki V = çekim potansiyeli, W = gravite potansiyeli, η = çekül sapmasıbileşeni ile karıştırılmamalıdır. (2.15) ile V/W oranı için,

V

W=c

a=a

b=

√1 + e′2 =

1√1− e2

(2.17)

elde edilir. Şekil 2.2’de görüldüğü gibi meridyen elipsinin P noktası ile bu noktadakinormalin z eksenini kestiği K noktası arasındaki uzunluk N olduğuna göre,

p = N cosϕ

yazılabilir. Bu eşitlik (2.14a)’da göz önüne alınırsa,

N =c

V=

a

W(2.18)



çıkar. ϕ coğrafi enleminin fonksiyonu olan N , dönel elipsoit yüzeyinde meridyenedik doğrultudaki eğriliği gösterir. N , çapraz eğrilik yarıçapıdır.

(2.18) ile elipsin (2.14a,b) parametrik gösterimi,

p = N cosϕ (2.19a)

z =N

1 + e′2sinϕ (2.19b)

biçimine dönüşür. Çoğun gerekli olan dp/dϕ ve dz/dϕ diferansiyel oranları (2.19)’daN ’nin eşiti göz önüne alınarak,

dp

dϕ=− c

V 3sinϕ =−M sinϕ (2.20a)

dz

dϕ=

c

V 3cosϕ = M cosϕ (2.20b)

bulunur. Bu eşitliklerde geçen M büyüklüğü,

M =c

V 3=a(1− e2)W 3

(2.21)

meridyen eğrilik yarıçapıdır.

Coğrafi enlem ϕ yerine, Şekil 2.2’de açıklanan ve indirgenmiş enlem adı verilen βda meridyen elipsinin parametresi olarak kullanılabilir. P ′ noktası, O merkezli ve ayarıçaplı çember ile P den z eksenine çizilen paralel doğrunun kesişim yeridir. P ′Odoğrusunun p ekseni ile yaptığı açı indirgenmiş enlem β dır. ϕ coğrafi enlemindekigibi β indirgenmiş enlemi p ekseninden (ekvator düzleminden) kuzeye doğru artıve güney yönde eksi işaretli değerlendirilir. Yine Şekil 2.2’de görüldüğü gibi βindirgenmiş enlemi elipsin P noktasından p eksenine çizilen paralelin O merkezlive b yarıçaplı çemberi kestiği P ′′ noktası yardımıyla da tanımlanabilir.

OP ′ = a ve OP ′′ = b nedeniyle Şekil 2.2’den,

p = a cos β (2.22a)

z = b sin β (2.22b)

yazılabilir. İndirgenmiş enlem kavramı Legendre (1806) tarafından bulunmuştur.

Meridyen elipsinin bir noktası, OP = r doğrusunun (Şekil 2.2) p ekseni ile yaptığı γaçısı yardımıyla da tanımlanabilir. γ açısına merkezsel enlem denir. Şekil 2.2’den,

p = r cos γ (2.23a)

z = r sin γ (2.23b)

olduğu görülür. Burada r, γ merkezsel enleminin bir fonksiyonudur. (2.23) eşitlikleriyardımıyla (2.9) elips denkleminden,

r =a b

√

a2 sin2 γ + b2 cos2 γ=

a√

1 + e′2 sin2 γ=

b√

1− e2 cos2 γ(2.24)


Coğrafi, İndirgenmiş ve Merkezsel Enlemler Arasındaki İlişkiler 17

elde edilir. Buna göre (2.23a,b),

p =a cos γ

√

1 + e′2 sin2 γ=

b cos γ√

1− e2 cos2 γ(2.25a)

z =a sin γ

√

1 + e′2 sin2 γ=

b sin γ√

1− e2 cos2 γ(2.25b)

olur.

2.3 Coğrafi, İndirgenmiş ve Merkezsel Enlemler

Arasındaki İlişkiler

(2.19), (2.22) ve (2.25) parametrik gösterimlerinden,

z

p=

1

1 + e′2tanϕ =

b

atan β = tan γ

çıkar. (2.6)’da b/a = 1/√1 + e′2 olduğundan bu eşitlikler,

1

1 + e′2tanϕ =

1√1 + e′2

tan β = tan γ (2.26)

biçimine dönüşür. Buradan,

tanβ =1√

1 + e′2tanϕ tanϕ =

√1 + e′2 tanβ (2.27a)

tan γ =1

1 + e′2tanϕ tanϕ =(1 + e′2) tan γ (2.27b)

tan γ =1√

1 + e′2tanβ tanβ =

√1 + e′2 tan γ (2.27c)

çıkar. Bu eşitliklerde 1 + e′2 yerine 1/(1− e2) yazılabilir.Elips yerine bir küre için e′2 = 0 olduğundan ϕ, β ve γ parametreleri çakışır. Bunedenle basıklığı küçük bir dönel elipsoit için ϕ, β ve γ arasındaki farkların azolduğu söylenebilir. tan(ϕ− β) ve tan(ϕ− γ) fonksiyonları için,

tan(ϕ− β) = tanϕ− tan β1 + tanϕ tan β

=

(√1 + e′2 − 1

)

sinϕ cosϕ

1 +(√

1 + e′2 − 1)

cos2 ϕ=f

2

sin 2ϕ

1− f sin2 ϕ (2.28)

tan(ϕ− γ) = tanϕ− tan γ1 + tanϕ tan γ

=e′2 sinϕ cosϕ

1 + e′2 cos2 ϕ=η2 tanϕ

V 2=e′2

2

sin 2ϕ

1 + e′2 cos2 ϕ(2.29)

çıkar. Bu eşitlikler seriye açılır, ϕ − β, ϕ − γ ve f, e′2 nin doğrusal olmayan tümterimleri göz ardı edilirse yaklaşık olarak,

ϕ− β ≈ f sinϕ cosϕ (2.30)ϕ− γ ≈ e′2 sinϕ cosϕ ≈ 2f sinϕ cosϕ (2.31)



elde edilir. (2.30) ve (2.31)’den, ekvatorun kuzeyinde ϕ coğrafi enleminin βindirgenmiş enleminden daha büyük ve β’nın da γ merkezsel enleminden daha büyükolduğu sonucu çıkar. ϕ, β ve γ arasında en büyük farklar ϕ = π

4değeri yakınında

ortaya çıkar. ϕ− γ farkı, ϕ− β farkının iki katı büyüklüğündedir. GRS80 elipsoidiiçin,

max|ϕ− β| ≈ 5′.8max|ϕ− γ| ≈ 11′.5

dir. Şekil 2.3’de ϕ− β ve ϕ− γ farkları grafik olarak gösterilmiştir.

200

400

600

−200

−400

−600

30 60 90−30−60−90 ϕ[◦]

ϕ− β

ϕ− γ[′′]

Şekil 2.3: GRS80 elipsoidi için ϕ, β ve γ arasındaki farkların enleme bağlı değişimi

p ve z için (2.19) ve (2.22) eşitliklerinden kimi durumlarda gerekli olan,

sin β =sinϕ

V=

√1− e2 sinϕ

W(2.32)

cos β =

√1′ + e′2 cosϕ

V=

cosϕ

W(2.33)

özdeşlikleri, ayrıca (2.27a) ve (2.33)’den,

dβ

dϕ=

1√1 + e′2

cos2 β

cos2 ϕ=

√1 + e′2

V 2(2.34)

diferansiyel oranı elde edilir.


Dönel Elipsoidin Parametrik Gösterimi 19

2.4 Dönel Elipsoidin Parametrik Gösterimi

Dönel elipsoit, meridyen elipsinin küçük yarıekseni çevresinde döndürülmesisonucunda oluşur. Bu elipsin denklemi (2.7)’de verilmiştir:

(x

a

)2

+(y

a

)2

+(z

b

)2

= 1

(2.19)’a göre meridyen elipsinin parametrik gösterimi,

p = N cosϕ

z =N

1 + e′2sinϕ

dir. Şekil 2.4’den elipsoit yüzeyindeki bir PE noktasının koordinatları,

x

y

z

Başlangıç

Merid.

Ekvator

z

y x

Nr

b

b

b

λ

p

PE

K

ϕγb

Şekil 2.4: Dönel elipsoidin parametrik gösterimi

xE = p cosλ = N cosϕ cosλyE = p sinλ = N cosϕ sinλ

zE =N

1 + e′2sinϕ

(2.35)

çıkar. (2.35), ϕ coğrafi enlemine ve λ boylamına göre dönel elipsoidin parametrikgösterimidir.



β indirgenmiş enlemine ve λ boylamına göre dönel elipsoidin parametrik gösterimi(2.22)’den,

xE = p cosλ = a cos β cosλyE = p sinλ = a cos β sinλzE = b sin β

(2.36)

çıkar. γ merkezsel enlemine ve λ boylamına göre dönel elipsoidin parametrikgösterimi benzer biçimde (2.25)’den,

xE =a cos γ cos λ√

1 + e′2 sin2 γ

yE =a cos γ sinλ√

1 + e′2 sin2 γ

zE =a sin γ

√

1 + e′2 sin2 γ

(2.37)

elde edilir.

2.5 Jeodezik Dik Koordinatlar ile Jeodezik Eğri

Koordinatlar Arasındaki Dönüşüm

n birim normal vektörü, coğrafi enlemi ϕ ve boylamı λ olan bir noktadaki elipsoitnormalinin doğrultusunu tanımlar. Yeryüzü noktası P ve bunun elipsoit yüzeyindekiizdüşümü PE olsun. Elipsoit normalinin PPE uzunluğu h ve KPE uzunluğumeridyene dik doğrultudaki eğrilik yarıçapı N ’dir.

P yeryüzü noktasının yer vektörü x, P ’den geçen elipsoit normalinin elipsoityüzeyini deldiği PE noktasının yer vektörü xE ile elipsoidal yükseklik vektörü hn’nintoplamına eşittir (Şekil 2.5):

x = xE + hn (2.38)

xE vektörünün bileşenleri için önceki bölümde verilen (2.35) ya da (2.36) ve (2.37)eşitlikleri geçerlidir. n birim normal vektörü, elipsoit yüzeyine dik olduğundan ϕ veλ eğrilerine teğet vektörlerin dış çarpımlarına eşittir (bkz. bölüm 3):

n =

(∂xE∂λ

∧ ∂xE∂ϕ

)

∣∣∣∂xE∂λ

∧ ∂xE∂ϕ

∣∣∣

(2.39)

(2.35)’den gidilir ve (2.20) göz önüne alınırsa,

∂xE/∂λ = −N cosϕ sinλ∂yE/∂λ = N cosϕ cosλ

∂zE/∂λ = 0

(2.40a)


Jeodezik Dik Koordinatlar ile Jeodezik Eğri Koordinatlar Arasındaki Dönüşüm 21

x

y

z

Başlangıç

Merid.

Ekvator

xE

nx

N

b

b

b

b

λ

p

P

PE

K

ϕγb

Şekil 2.5: Yeryüzü noktasının dönel elipsoide göre konumlandırılması

∂xE/∂ϕ = −M sinϕ cosλ∂yE/∂ϕ = −M sinϕ sinλ∂zE/∂ϕ = M cosϕ

(2.40b)

ile (2.39)’dan n birim normal vektörü,

n = nxi+ nyj+ nzk

nx = cosϕ cosλ

ny = cosϕ sinλ

nz = sinϕ

(2.41)

çıkar.

(2.41) bileşenleri PE noktasından x, y, z eksenlerine paraleller çizilerek birimnormal vektör uzunluğunun bu vektörler üzerindeki izdüşümleri biçiminde dehesaplanabilirdi.

(2.35) ve (2.41) yardımıyla (2.38)’den x vektörünün bileşenleri ya da P yeryüzünoktasının jeodezik dik koordinatları (x, y, z), jeodezik eğri koordinatlarınınfonksiyonları biçiminde elde edilir:

x = (N + h) cosϕ cosλ

y = (N + h) cosϕ sinλ

z =

(N

1 + e′2+ h

)

sinϕ

(2.42)



ϕ coğrafi enlemi yerine β indirgenmiş enlemi kullanılırsa (2.15b) ve (2.41)’de (2.32)ve (2.33)’den sinϕ ve cosϕ fonksiyonlarının eşitleri yazılmalıdır. Buna göre,

W =1

√

1 + e′2 sin2 β(2.43)

ve n birim normal vektörünün bileşenleri,

nx = cosϕ cosλ=W cos β cosλ

ny = cosϕ sinλ=W cos β sinλ

nz = sinϕ =W√1− e2

sin β

(2.44)

olur. (2.36) ve (2.44) yardımıyla,√1 + e′2 = 1/

√1− e2 olduğu göz önüne alınarak

(2.38)’den,

x = (a + hW ) cosβ cosλ

y = (a + hW ) cosβ sinλ

z =(

b+√1 + e′2 hW

)

sin β

(2.45)

çıkar.

(2.42) ve (2.45) eşitlikleri, bir uzay noktasının x, y, z dik koordinatlarını onunϕ, λ, h ya da β, λ, h elipsoidal koordinatlarından dönüştürmeye yarayan temelbağıntılardır. Bu ödevin tersi, başka bir deyişle ϕ, λ, h ya da β, λ, h elipsoidalkoordinatların x, y, z dik koordinatlarının fonksiyonları biçiminde belirlenmesioldukça karmaşıktır; ardışık (iteratif) hesaplamalar ya da dördüncü derecedencebirsel denklemlerin çözümü gereklidir. Küçük elipsoidal yükseklikler için sade,ama etkin bir ardışık çözüm aşağıda açıklanmaktadır. (2.42)’den,

√

x2 + y2 = (N + h) cosϕ (2.46)

çıkar. ϕ coğrafi enlemi biliniyorsa buradan h elipsoidal yüksekliği,

h =

√

x2 + y2

cosϕ−N (2.47)

hesaplanabilir.

(2.42)’deki 3. denklem (2.46) ile bölünürse,

z√

x2 + y2=

tanϕ

1 + e′2

(

1 + e′2h

N + h

)

ve buradan ϕ coğrafi enleminin hesabı için,

tanϕ =z(1 + e′2)√

x2 + y2

(

1 + e′2h

N + h

)−1

(2.48)


Jeodezik Dik Koordinatlar ile Jeodezik Eğri Koordinatlar Arasındaki Dönüşüm 23

bağıntısı elde edilir.

(2.48) eşitliğinde elipsoidal yükseklik de geçtiğinden bir ardışık çözüm gereklidir.Yersel uygulamalarda h ≪ N koşulu geçerli olduğundan (genellikle h

N≤ 10−3)

e′2h/(N + h) ≤ 10−5 dir ve bu yüzden ardışık yöntem çok çabuk yakınsar. tanϕiçin başlangıç değeri (2.48)’den, h yüksekliğine bağlı bölüm göz ardı edilerek,

tanϕ(0) =z(1 + e′2)√

x2 + y2

bulunur. i. işlem adımında (i = 1, 2, 3, . . . ) hesaplanan ϕ(i) ve h(i) değerleriyardımıyla aşağıdaki ardışık çözümler elde edilir:

(

1 + tan2 ϕ(i))−1 ⇒ cos2 ϕ(i)

c√

1 + e′2 cos2 ϕ(i−1)⇒ N(i)

√x2 + y2

cosϕ(i−1)−N(i) ⇒ h(i)

z(1 + e′2)√x2 + y2

(

1 + e′2h(i)

N(i) + h(i)

)−1

⇒ tanϕ(i)

i+ 1 ⇒ i

P noktası kutup yakınında değilse bu yöntem sayısal olarak kararlıdır. Nokta kutupyakınında ise,

cosϕ(0) =

√

x2 + y2

cbaşlangıç değeri hesaplanarak aşağıda açıklanan yol izlenir:

c√

1 + e′2 cos2 ϕ(i−1)⇒ N(i)

∣∣∣∣∣

z

sinϕ(i−1)

∣∣∣∣∣− N(i)

1 + e′2⇒ h(i)

√x2 + y2

N(i) + h(i)⇒ cosϕ(i)

i+ 1 ⇒ i

Birbirini izleyen adım farkları yeterince küçükse işlem durdurulur. Öngörülen incelikε (örneğin ε = 1 mm) ise,

|h(i) − h(i−1)| < ε|ϕ(i) − ϕ(i−1)| < ε



koşulları sağlanmalıdır.

λ parametresinin hesabı kolaydır. (2.46) yardımıyla (2.42)’den,

λ =

cos−1

(

x√

x2 + y2

)

sin−1

(

y√

x2 + y2

) (2.49)

çıkar. z ekseni üstündeki noktalar (x = y = 0) için λ belirsizdir.

Uygulama: Jeodezik dik koordinatlardan jeodezik eğri koordinatlara geçiş

Verilen: Jeodezik dik koordinatlar

x = 3 969 705.5601 m , y = 2 786 764.6415 m , z = 4 129 966.2171 m

İstenen: Jeodezik eğri (ϕ, λ, h) koordinatlar

Çözüm: (2.47), (2.48) ve (2.49) bağıntıları

tanϕ(0) başlangıç değeri:

tanϕ(0) =z(1 + e′2)√

x2 + y2= 0.857 239 75521

Elipsoidal yükseklik ve enlem için ardışık çözüm,

i Ni hi tanϕ(i) cos2 ϕ(i)

0 6 387 199.3162 1 221.5501 0.857 239 75521 0.576 415 388681 .3027 1 218.0763 .857 238 65050 .576 416 017972 .3028 .0862 .857 238 65364 .576 416 016183 .3028 .0862 .857 238 65363 .576 416 01618

ve kesin koordinatlar,

ϕ = 40◦.604 458 589 = 40◦ 36′ 16′′.0509

λ = 35◦.069 158 040 = 35◦ 04′ 08′′.9689

h = 1218.0862 m

Uygulama: Jeodezik eğri koordinatlardan jeodezik dik koordinatlara geçiş

Verilen: Önceki uygulama ile hesaplanmış coğrafi koordinatlar

İstenen: Jeodezik dik (x, y, z) koordinatlar

Çözüm: (2.42) eşitlikleri


Bölüm 3

EĞRİLER ve YÜZEYLER

Diferansiyel geometri, eğri ve yüzeylerin geometrik özelliklerini analiz yöntemleriyleinceler. Bu bölümde diferansiyel geometrinin, ülke ölçmesinde konum hesaplamalarıile doğrudan ilişkili temel kavramları açıklanacak; bağıntılar ve sonuçlar verilecektir(Grossmann, 1976; Ulsoy, 1977; Heck, 1987; Aksoy ve Güneş, 1990).

3.1 Uzay Eğrileri, Frenet Üçyüzlüsü

Bir uzay eğrisi C, bir I aralığının üç boyutlu Öklit uzayına (E3) sürekli izdüşümüdür:

C : I ∈ E → E3 (3.1)

y

z

x

C

x(t)

Şekil 3.1: Uzay eğrisi

Uzay eğrisi C üzerindeki bir noktanın konumu, eğri parametresi adı verilen birdeğişkenin (t) fonksiyonu olan üç koordinat x(t), y(t), z(t) ile tanımlanır. C uzay

26 EĞRİLER ve YÜZEYLER

eğrisi yer vektörü x(t) ile genel olarak,

x(t) = x(t)i + y(t)j+ z(t)k (3.2)

biçiminde gösterilir (Şekil 3.1). x(t) yer vektörünün t parametresine göre en az üçtürevi sürekli ve ilk türev sıfırdan farklı, dx/dt 6= 0 olmalıdır.

Eğrinin t parametresi yerine yay uzunluğu s (doğal parametre) kullanılabilir. Bunagöre (3.2) yer vektörü,

x(s) = x(s)i + y(s)j+ z(s)k (3.3)

olur. s, x(t) vektörünün t parametresine göre ilk türevinin (0, t) aralığındakiintegraline eşittir:

s = s(t) =

t∫

0

∣∣∣∣

dx

dt

∣∣∣∣dt =

t∫

0

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

+

(dz

dt

)2

dt (3.4)

Uzay eğrilerine ilişkin açıklamalar yüzey eğrileri için de geçerlidir. Ülke ölçmesindekullanılan eğrilerin genellikle çok sayıda sürekli türevleri vardır. Ayrıca bu eğrileranalitiktir. Başka bir deyişle yakınsayan Taylor serisi bunlara uygulanabilir:

x(s) = x(s0) +1

1!x′(s0)(s− s0) +

1

2!x′′(s0)(s− s0)2 + . . .

=∞∑

ν=0

1

ν!(s− s0)ν

(dνx

dsν

)

s=s0

(3.5)

Burada x′(s0) =(dxds

)

s=s0, x′′(s0) =

(d2xds2

)

s=s0, . . .

y

z

x

C

x(s)

x′(s)

Şekil 3.2: Uzay eğrisinin x(s) noktasındaki teğeti

Eğrinin bir x(s) noktasındaki teğeti x(s) vektörünün yay boyuna göre türevi ileverilir (Şekil 3.2):

x′(s) =dx

ds=dx

dsi+

dy

dsj+

dz

dsk (3.6)


Uzay Eğrileri, Frenet Üçyüzlüsü 27

ya da kısaca

x′ = x′i + y′j + z′k

|x′(s)| = 1 nedeniyle x′(s) birim teğet vektördür.

İkinci türevi sıfırdan farklı, x′′(s) 6= 0 olan bir eğrinin tüm noktalarında Frenetüçlüsü vi(s) birim vektörleriyle;

v1 = x′

v2 = x′′/|x′′| (3.7)

v3 = v1 ∧ v2

tanımlanır (∧ = dış çarpım). Teğet vektör v1, asal normal vektör v2 ve binormalvektör v3 birbirine diktir ve bir ortonormal sistem oluştururlar.

vi(s) vektörleri, eğrinin x′′ 6= 0 olan her noktasında birbirini dik kesen üç düzlem

tanımlar. v1 teğet vektörü ile v2 asal normal vektörün oluşturduğu düzlemeoskülatör düzlemi (Schmiegungsebene) adı verilir. Normal düzlem, eğrinin dikkestiği v2 asal normal vektörü ile v3 binormal vektörünün oluşturduğu düzlemdir.v1 teğet vektörü ve v3 binormal vektörü ile teğet (rektifiyan) düzlem belirlenir.vi(s) birim vektörlerinin uluşturduğu üçyüzlüye Frenet üçyüzlüsü denir. Oskülatördüzlemi, eğrinin B noktası ile buna sonsuz yakınlıktaki A ve C noktalarınınbelirlediği düzlem olarak da tanımlanabilir.

Teğet dü

zlem

Oskülatör düzlemiNormal dü

zlem

b b

b

b

A B

C

Dv3

v1

v2

ds

Şekil 3.3: Frenet üçyüzlüsü



Normal düzlem B’den geçen tüm eğrilerin normallerini içeririr. Bunlardan aynızamanda oskülatör düzlemi içinde bulunan, eğrinin B noktasındaki asal normalive teğet düzlem içinde bulunan binormalidir. A, B ve C noktalarının bu düzlemeizdüşümleri tek bir noktadır. Söz konusu noktaların teğet düzleme izdüşümleri birdoğru (teğet) üzerinde bulunur. x(s) bir düzlem eğri ise tüm noktaları oskülatördüzlemleriyle çakışır.

Frenet üçyüzlüsü eğrinin her noktasında eğri ile birlikte düşünülür. Eğrinin uzaydakibiçimine bağlı olarak v1, v2, v3 vektörleri noktadan noktaya değişir. Uzay ya dayüzey eğrilerinin geometrisini tanımlayabilmek için yer vektörü ve hareketli üçlünündeğişimlerini bilmek gerekir.

Bir uzay eğrisinin bir noktası çevresindeki bölümün o noktaya ilişkin teğet vektördenne ölçüde uzaklaştığı eğrilik ölçütü k ile belirlenir. Bir eğrinin bir noktasındakieğriliğini tanımlamak için Şekil 3.3’deki A, B, C noktalarından geçen eğrilikçemberi kullanılır. Bu çember oskülatör düzlemi içinde bulunur. Eğri yay elemanıds, bu diferansiyel uzunluğu sınırlandıran B ve C noktalarındaki teğet vektörler(oskülatör düzlemi içinde) arasındaki açı dt ve eğrilik çemberinin yarıçapı r olsun. Bnoktasındaki eğrilik, teğet vektör doğrultusundaki dt değişiminin ds yay değişimineoranı (eğrilik yarıçapının tersi) olarak tanımlanır:

k =1

r=dt

ds(3.8a)

Başka bir deyişle, bir noktadaki teğet vektörün s yay uzunluğuna göre türevineeğrilik vektörü ve bu vektörün değerine eğrilik adı verilir. (3.6) ile,

k = |x′′| =∣∣∣∣

dx′

ds

∣∣∣∣=√

x′′2 + y′′2 + z′′2 (3.8b)

olur (dx′ = x′(s+ ds)− x′(s) , dt ≈ |dx′|). (3.7)’den,

x′′ = kv2 (3.8c)

ilişkisi çıkar.

Burulma ya da torsiyon (2. eğrilik) τ , bir uzay eğrinin oskülatör düzleminindeğişimini ya da ondan ne ölçüde saptığını tanımlayan bir ölçüttür. Bir düzlemeğrinin burulması sıfıra eşittir. Birbirine sonsuz yakın iki eğri noktasına ilişkinoskülatör düzlemleri (binormalleri v3) arasındaki açının yay uzunluğu değişimioranına eşittir. Şekil 3.3’de dördüncü nokta D olsun. B, C, D noktalarındangeçen oskülatör düzlemi ile önceki (A, B, C noktalarının belirlediği) oskülatördüzlemi arasındaki açı dα ve yay uzunluğu değişimi ds ise tanım uyarınca eğrinin Cnoktasındaki burulma,

τ =dα

ds(3.9a)

olur. Binormal vektör değişimi,

dv3 = v3(s+ ds)− v3(s)


Yüzeyler ve Gauss Gösterimi 29

ise |dv3| ≈ dα nedeniyleτ =

dα

ds=

∣∣∣∣

dv3ds

∣∣∣∣= |v′3| (3.9b)

yazılabilir.

Burulma,

τ =1

k2(x′ ∧ x′′)x′′′ = 1

k2

∣∣∣∣∣∣

x′ x′′ x′′′

y′ y′′ y′′′

z′ z′′ z′′′

∣∣∣∣∣∣

(3.9c)

bağıntısı ile de hesaplanabilir (Aksoy ve Güneş, 1990).

Frenet üçlüsünün türevleri (değişimleri), bir uzay eğrisinin geometrisini tanımlayantemel bağıntılardır. Bunlara Frenet denklemleri adı verilir:

v′1 = kv2v′2 = −kv1 +τv3v′3 = −τv2

(3.10)

3.2 Yüzeyler ve Gauss Gösterimi

S yüzeyi, düzlemdeki kapalı B yüzeyinin Öklit uzayına sürekli izdüşümüdür (Şekil3.4):

S : B ∈ E2 → E3 (3.11)S yüzeyindeki bir noktanın konumu, iki parametrenin (u, v) fonksiyonu olan,

x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) (3.12)

koordinatları ile tanımlanır. Noktanın yer vektörü x(u, v) ile gösterilirse S yüzeyparçası için,

x(u, v) = x(u, v)i+ y(u, v)j+ z(u, v)k (3.13)

eşitliği geçerli olur. u, v değişkenlerine Gauss parametreleri adı verilir. (3.13),S yüzey parçasının Gauss gösterimi olarak adlandırılır. Elipsoit yüzeyinde noktakonumları için buradaki u, v parametreleri yerine ϕ, λ enlem ve boylamları kullanılır.Yüzeyin eğriliğini inceleyebilmek için (3.12) fonksiyonlarının u, v parametrelerinegöre en az üçüncü dereceye kadar sürekli türevleri alınabilmelidir. Ayrıcayüzeyin her noktasında x vektörünün u ve v parametrelerine göre kısmi (parsiyel)türevlerinin dış çarpımı sıfırdan farklı olmalıdır (Heck, 1987, s. 406):

∂x

∂u∧ ∂x∂v

6= 0 (3.14)

v = v0 = sabit, u değişken alınırsa yüzey üzerinde u eğrisi elde edilir. Benzer biçimdeu = u0 = sabit, v değişken alınırsa v eğrisi oluşur. u ve v eğrilerine parametre eğrileriadı verilir. u = u0 ve v = v0 eğrileri yüzeyin bir P0 noktasında kesişir. Parametre



u

u0

O v0 v

P0(u0, v0)

B

x(u0, v

0)y(u0 , v0)

z(u0, v0)

P0(u0, v0)

S

S : B → E3

x

y

z

O

Şekil 3.4: Düzlemdeki B bölgesinin üç boyutlu uzaya dönüştürülmesiyle elde edilenS yüzeyi

eğrilerinin tümü yüzey parçasını bir ağ biçiminde kapladığından eğrilere parametreağı da denir. Genel olarak, eğriler (noktalarından biri çevresinde doğrusal gitmeyeneğriler) birbirini dik kesmez ve komşu parametre eğrileri arasındaki uzaklıklar sabitolmaz.

Ülke ölçmesinde nokta konumlarının tanımı için kullanılan yüzeyler analitikyüzeylerdir; (3.12) fonksiyonlarına u0, v0 noktası çevresinde Taylor dizisi uygulan-abilir:

x(u, v) = x(u0, v0) +1

1!

(∂x

∂u

)

0

(u− u0) +(∂x

∂v

)

0

(v − v0)+

+1

2!

[(∂2x

∂u2

)

0

(u− u0)2 + 2(∂2x

∂u∂v

)

0

(u− u0)(v − v0) +(∂2x

∂v2

)

0

(v − v0)2]

+ . . .

Gauss parametreleri u, v yardımıyla kapalı yüzeylerin tanımında (3.14) koşulununsağlanmadığı yüzey noktaları bulunabilir. Böyle noktalara tekil (singuler) noktalaradı verilir. Örneğin Gauss, parametreleri olarak coğrafi enlem ve boylamınkullanıldığı küre ve dönel elipsoit yüzeylerinin kutupları coğrafi parametre ağınıntekil noktalarıdır. Yüzeyler bu noktalarda da düzenli (reguler) olmasına karşınnoktaların tekilliği yalnızca coğrafik parametre ağı için geçerlidir. (3.14) koşulundageçen vektörler, parametre ağının u0, v0 noktasında ve u ve v eğrilerine teğettirlerve bu noktada yüzeye teğet bir düzlem oluştururlar (Şekil 3.5). Bu vektörlerinçakıştığı noktada yüzeye teğet çizilemez. Örneğin koninin tepesi bu özellikte birnoktadır. Teğet düzlemi olmayan, başka bir deyişle (3.14) koşulunu sağlamayanyüzey noktalarıdır.

Parametre ağının düzenli noktalarında x vektörünün u, v parametrelerine göre kısmitürevleri arasında doğrusal bağımlılık olmadığından parametre eğrileri çakışmaz; uve v eğrileri ω açısı (0 < ω < π) altında kesişirler.



P0(u0, v0)

S

x

y

z

O

nxu

ẋ(t)

xv

v = v0 = sabitu eğrisi

yüzeyeğrisi

u = u0 = sabitv eğrisi

ωθ

Şekil 3.5: Yüzey eğrileri ve teğet vektörler

u, v Gauss parametrelerinin bir t parametresine ya da s yay boyuna göre süreklitürevleri alınabilen fonksiyonlar oldukları varsayılırsa,

x(t) = x(u(t), v(t)) (3.15)

yüzey eğrisi elde edilir. Bu eğrinin bir noktasındaki teğet vektör (birim vektör değil),

ẋ(t) =dx

dt=∂x

∂u

du

dt+∂x

∂v

dv

dt(3.16)

dir (Şekil 3.5). Belli bir noktadan geçen tüm yüzey eğrilerinin teğet vektörleri, bunoktada parametre eğrilerine teğet xu ve xv vektörlerinin belirlediği teğet düzlemiçinde bulunur. xu ve xv vektörleri için,

xu =∂x

∂u=∂x

∂ui+

∂y

∂uj+

∂z

∂uk

xv =∂x

∂v=∂x

∂vi+

∂y

∂vj +

∂z

∂vk

(3.17)

eşitlikleri geçerlidir. Buna göre (3.16),

ẋ(t) =dx

dt= xu

du

dt+ xv

dv

dt(3.18)

olur.

Yüzeyin belli bir noktasındaki teğet düzleme (yüzeye) dik olan,

n = xu ∧ xv =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣∣∣

(3.19)



vektörüne normal vektör adı verilir. Yüzeyin bir noktasındaki birim normal vektör,

n =n

|n| (3.20)

dir. n vektörünün yönü, Şekil 3.4 (saat ibresi yönünde dönme) için küre ve elipsoitgibi dışbükey yüzeylerde içeri doğrudur.

3.2.1 Yüzey Eğrisi Uzunluğu ve 1. Dereceden TemelBüyüklükler

x

y

z

x(t)

x(t + dt)

dxbb

ds

Şekil 3.6: Yüzey eğrisinin diferansiyel uzunluğu

Bir yüzey eğrisinin ds diferansiyel uzunluğu (eğri elemanı) için (3.16) göz önünealınarak,

ds = |dx| = |ẋ(t)|dt (3.21)

yazılabilir (Şekil 3.6). (3.16)’den

dx = ẋ(t)dt =

(∂x

∂udu+

∂x

∂vdv

)

i+

(∂y

∂udu+

∂y

∂vdv

)

j+

(∂z

∂udu+

∂z

∂vdv

)

k (3.22)

ya da

dx =∂x

∂udu+

∂x

∂vdv , dy =

∂y

∂udu+

∂y

∂vdv , dz =

∂z

∂udu+

∂z

∂vdv (3.23)

ile

dx = dxi + dyj+ dzk (3.24)



çıkar. Buradan,

E =

(∂x

∂u

)2

+

(∂y

∂u

)2

+

(∂z

∂u

)2

G =

(∂x

∂v

)2

+

(∂y

∂v

)2

+

(∂z

∂v

)2

(3.25)

F =∂x

∂u

∂x

∂v+∂y

∂u

∂y

∂v+∂z

∂u

∂z

∂v

ileds2 = |dx|2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 = I (3.26)

elde edilir. Bu eşitliğe 1. temel biçim (form) ve E, F,G büyüklüklerine 1. derecedentemel büyüklükler adı verilir.

(3.17) ve (3.18) bağıntılarından gidilirse,

ds2 = |dx|2 = x2udu2 + 2xuxvdudv + x2vdv2 (3.27)

çıkar. Buna göre,

E = x2u = |xu|2

F = xuxv = |xu||xv| cosω =√EG cosω

G = x2v = |xv|2(3.28)

olduğu görülür. Yüzey eğrisinin P1 ve P2 noktaları arasındaki uzunluk (3.21)’den,

s =

∫ t2

t1

|ẋ(t)|dt =∫ t2

t1

√Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 dt (3.29)

çıkar.

3.2.2 İki Yüzey Eğrisi Arasındaki Açı

P

K2

K1

ẋ1(t)

ẋ2(t)

β

Şekil 3.7: İki yüzey eğrisi arasındaki açı

Yüzeyin P noktasında kesişen K1 veK2 eğrileri arasındaki açı, eğrilerin bu noktadakiteğet vektörleri arasındaki açı olarak tanımlanır (Şekil 3.7). K1 ve K2 eğrilerinin



yay elemanları ds1 = |dx1| ve ds2 = |dx2| ile gösterilirse P kesişme noktasında ikiyüzey eğrisi arasındaki β açısı (3.22) göz önüne alınarak,

cos β =dx1dx2ds1ds2

(3.30)

bağıntısından bulunur.

u, v parametre eğrileri arasındaki ω açısı için (3.28) eşitlikleriyle

cosω =xuxv

|xu||xv|=

F√EG

(3.31)

bağıntısı elde edilir. F = 0 ise ω = 100 gon olur. Bu durumda parametreeğrileri birbirine diktir (ortogonal). u, v Gauss parametreleri F = 0 olacak biçimdeverilmişse ortogonal parametre ağı elde edilir.

u eğrisi (v = sabit) ile bir yüzey eğrisi arasındaki açı θ olsun (Şekil 3.8). Tanımuyarınca bu açı u eğrisine teğet vektör xu ile eğriye teğet vektör ẋ arasındaki açıdır:

cos θ =xuẋ

|xu||ẋ|=

xux′

|xu||x′|(3.32)

Eğri parametresi t yerine yay boyu değişkeni s alınırsa (3.18) eşitliği,

x′ = xudu

ds+ xv

dv

ds(|x′| = 1 , |ẋ| 6= 1) (3.33)

ve (3.28) eşitlikleriyle,

xux′ = x2u

du

ds+ xuxv

dv

ds= E

du

ds+ F

dv

ds(3.34)

olur. Buna göre,

cos θ =xux

′

|xu|=Edu+ Fdv√

Eds(3.35)

elde edilir. (3.31) ve ∆ =√EG− F 2 ile,

sinω =√1− cos2 ω = ∆√

EG(3.36)

tanω =∆

F

olur.√EG− F 2 > 0 nedeniyle 1. temel biçim artı tanımlıdır.

v = sabit (u eğrisi) parametre eğrisinin yay elemanı dsu ve u = sabit (v eğrisi)parametre eğrisinin yay elemanı dsv olsun (Şekil 3.8). (3.26)’dan v=sabit için,

dsu =√E du (3.37)

ve u = sabit için,dsv =

√G dv (3.38)



dsv u =sabit

u+ du =sabitds u

v=

sabit

ds′v sinω

ω

ω

θ

P

P ′

P ′′′

P ′′

ds

ds′v

v+dv=

sabit

xu

xv

ẋ

Şekil 3.8: u, v parametre eğrileri

çıkar.

ds′v ile dsv yay elemanları arasındaki fark göz ardı edilebilir. Buna göre (3.36) ve(3.38) ile Şekil 3.8’den,

sin θ =dsv sinω

ds=

∆√E

dv

ds(3.39)

elde edilir. (3.35) ve (3.39) ile,

tan θ =∆dv

Edu+ Fdv(3.40)

çıkar.

Parametre eğrileri birbirine dikse F = 0 nedeniyle (3.35), (3.39) ve (3.40) eşitlikleri,

cos θ =

√E du

ds=dsuds

sin θ =

√G dv

ds=dsvds

(3.41)

tan θ =

√G dv√E du

=dsvdsu

olur.

3.2.3 Yüzey Alanı

Yüzey alan elemanı olarak, Şekil 3.8’de gösterilen parametre eğrileriyle sınırlıdiferansiyel anlamdaki yüzey parçası (parelel kenar) alınır. Şekildeki PP ′P ′′′P ′′



alanı dF ile gösterilirsedF = dsudsv sinω (3.42)

yazılabilir. (3.37), (3.38) ve (3.36) ile,

dF = ∆du dv (3.43)

çıkar. (3.19) normal vektör uzunluğunun,

|n| = |xu ∧ xv| = ∆

ve birim normal vektör için (3.20) eşitliğinin,

n =xu ∧ xv

∆(3.44)

olduğu kolayca gösterilebilir. Buna göre P noktasındaki yüzey normali n ile (3.43),

dF = |n|du dv (3.45)

olur.

Parametre ağının B bölgesinin alanı,

F =

∫∫

B

∆ du dv (3.46)

elde edilir.

3.3 Bir Yüzeyin Eğrilikleri ve Normal Kesit

u, v parametre eğrilerinin xu,xv teğet vektörleri ile n birim normal vektörüparametre ağının düzenli her noktasında Gauss üçlüsü adı verilen bir üçlü oluşturur.Genel olarak xu,xv teğet vektörleri birbirine dik değildir. Yalnız ortogonalparametre ağlarında bu vektörler birbirine diktir. Ayrıca birim vektör de değildirler.Gauss yüzey geometrisinde Gauss üçlüsü önemli bir yer tutar.

Gauss yüzey kuramının 1. temel biçimi (I) (3.26) eşitliğiyle verilmiştir:

I = |dx|2 = ds2 (3.47)

2. temel biçim,II = −dx dn = d2xn (dxn = 0) (3.48)

olarak gösterilir. (3.18) ve (3.44) eşitliklerine göre,

dx = xudu+ xvdv =∂x

∂udu+

∂x

∂vdv

n =xu ∧ xv

∆

(3.49)


Bir Yüzeyin Eğrilikleri ve Normal Kesit 37

dir. n vektörünün

dn = nudu+ nvdv =∂n

∂udu+

∂n

∂vdv (3.50)

diferansiyelinin dx vektörü ile iç çarpımı oluşturulursa,

L = −xunu , M = −1

2(xunv + xvnu) , N = −xvnv (3.51)

ile (3.48)’den,II = Ldu2 + 2M du dv +N dv2 (3.52)

çıkar. L,M,N büyüklüklerine 2. dereceden temel büyüklükler denir.

Bir yüzey noktasındaki eğrilik (noktaya sonsuz yakınlıktaki yüzey eğriliği) 2. temelbiçim ile tanımlanır. II/I oranı oluşturulur ve (3.8c) ya da (3.10) göz önüne alınırsa,

II

I=d2xn

ds2=d2x

ds2n = k(v2 n) = k cos δ = kn =

1

Rn(3.53)

çıkar. Burada k, yüzey eğrisinin bir noktasındaki eğrilik ve δ, bu noktadaki v2 birimasal normal vektörü ile n birim yüzey normal vektörü arasındaki açıdır. (3.53),Meusnier bağıntısı olarak adlandırılır.

(3.53)’e göre yüzeyin sabit bir noktasından geçen ve oskülatör düzlemleri çakışantüm yüzey eğrilerinin o noktadaki eğrilikleri eşittir. Yüzey eğrilerinin eğriliközelliklerini araştırmak için ilgili noktadaki teğet vektörleri içeren düzlem kesitlerigöz önüne almak yeterlidir. Teğet vektör ve yüzey normalini içeren düzlemin yüzeyile arakesitine normal kesit (düşey kesit) ve eğriliğine normal eğrilik (kn) denir. Biryüzey eğrisi normal kesit ise k eğriliği δ = 0 nedeniyle normal eğriliğe eşittir: k = kn.Bir yüzeyin normal eğriliği, yalnızca yüzey üzerindeki noktanın konumuna ve teğetvektörün doğrultusuna bağlıdır (yüzey eğrisinin özelliklerine bağlı değil). Bu yüzdenyüzeyin normal eğriliğinden belli bir doğrultudaki normal eğrilik anlaşılır.

Bir yüzeyin herhangi bir kesitinin eğrilik çemberi kesit düzlemi içinde bulunur. Biryüzey noktasında öngörülen bir doğrultudaki tüm eğrilik çemberleri, merkezi normalkesit düzleminde olan Rn yarıçaplı bir küre oluştururlar. Bu küreye Meusnier küresiadı verilir.

Bir yüzey noktasındaki eğik kesit eğrilik yarıçapı r ile gösterilirse k = 1rve kn = 1/Rn

nedeniyle (3.53)’den,r = Rn cos δ (3.54)

çıkar.

Genel olarak sabit yüzey noktasındaki normal eğrilik, doğrultuya bağlı olarak değişir.Normal eğriliğin en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için,

1

Rn= kn =

Ldu2 + 2M du dv +N dv2

E du2 + 2F du dv +Gdv2=II

I(3.55)

oranının pay ve paydasını dv/du = 1/λ nın fonksiyonu biçiminde yazmalı ve λya göre türev sıfıra eşitlenmelidir. Tüm dv/du doğrultuları için (3.55) oranının



sabit kaldığı tekil noktalar dışındaki tüm yüzey noktalarında normal eğriliğin enküçük ve en büyük olduğu birbirine dik iki doğrultu vardır. Bu doğrultulara asaleğrilik doğrultuları bunlara karşılık k1, k2 eğriliklerine asal eğrilikler ve ilgili R1, R2yarıçaplarına asal eğrilik yarıçapları adı verilir. Her noktasındaki teğetleri asal eğrilikdoğrultuları (asal kesit doğrultuları) ile çakışan eğrilere eğrilik eğrileri adı verilir. Bueğriler, her yüzeyde gerçek, ortogonal bir eğri ağı oluşturur (tekil noktalarda eğrilikağı yok olur). Parametre eğrileri, ancak F = M = 0 geçerli ise eğrilik eğrileridir.Bir elipsoit yüzeyindeki meridyen ve paralel daireler bu özellikte eğrilerdir.

(3.55)’den dRndλ

= 0 denklemini sağlayan λ değerlerinin belirlediği doğrultular için,

2H =E N − 2F M +GL

E G− F 2 , K =LN −M 2

E G− F 2 (3.56)

olmak üzere,k2n − 2Hkn +K = 0 (3.57)

denklemi ve buradan,

k1 =1R1

= H +√H2 −K

k2 =1R2

= H −√H2 −K (3.58)

asal eğrilikleri çıkar. k2 en küçük ve k1 en büyüktür. Asal eğriliklerden,

H =1

2(k1 + k2) =

1

2(1

R1+

1

R2) (3.59)

K = k1k2 =1

R1

1

R2(3.60)

dönüştürülen H , ortalama eğrilik ve K, Gauss eğrilik ölçütü olarak adlandırılır.Gauss eğrilik yarıçapı asal eğrilik yarıçaplarının geometrik ortalamasıdır:

RG =1√K

=√

R1R2 (K > 0) (3.61)

Parametre eğrileri yüzeyin eğrilik eğrileriyle çakışırsa F = M = 0 nedeniyle(3.56)’dan,

H =1

2

(N

G+L

E

)

K =L

E

N

G

R1 =G

NR2 =

E

L

(3.62)

çıkar.

Bir yüzey noktasından çıkan ve bu noktadaki sabit bir teğet vektör ile α açısı yapandoğrultular için (3.55) eşitliği bir koni kesitinin denklemini gösterir. Özellikle yüzeynoktasındaki sabit teğet vektör, asal eğrilik doğrultularından biri, örneğin R1 eğrilikyarıçapına ilişkin asal eğrilik doğrultusu ise α doğrultusundaki normal eğrilik,

kn(α) =1

Rn(α)=

cos2 α

R1+

sin2 α

R2(3.63)


Jeodezik Eğrilik ve Jeodezik Eğri 39

çıkar. Bu bağıntıya Euler denklemi adı verilir. Asal eğrilik yarıçapları ve parametreeğrilerine göre asal eğrilik doğrultularının doğrultu açıları bilinirse Euler bağıntısıyardımıyla, belli doğrultudaki normal kesit eğriliği ve eğrilik yarıçapı hesaplanabilir.

Herhangi bir doğrultudaki normal eğrilik yarıçapı ρ1 ve ona dik doğrultudaki ρ2 ise(3.63)’ten,

1

ρ1+

1

ρ2=

1

R1+

1

R2(3.64)

çıkar. Buna göre bir yüzey noktasında birbirine dik iki normal kesitin eğrilikleritoplamı o noktadaki asal eğrilikler toplamına eşittir (sabit).

3.4 Jeodezik Eğrilik ve Jeodezik Eğri

A,B,C yüzey eğrisi üzerinde üç nokta ve bu noktaların B noktasındaki yataydüzlem üzerindeki izdüşümleri a, b, c olsun. a, b, c noktaları yatay düzlem içinde bireğrilik çemberi belirler. Yüzey eğrisinin yatay düzleme izdüşümünün (düzlem eğri)eğriliğine yüzey eğrisinin jeodezik eğriliği denir. Jeodezik eğrilik yarıçapını Rg vejeodezik eğriliği kg ile gösterelim: kg = 1/Rg. a, b, c noktaları bir doğru oluşturursakg = 0 dır. Bu durum, eğrinin oskülatör düzlemi o noktada yüzeye dikse, başkabir deyişle v2 asal normali ile n yüzey normali çakışırsa gerçekleşir. Her noktasındabu özelliğin (jeodezik eğrilik sıfıra eşit) geçerli olduğu eğriye (normal kesit) jeodezikeğri adı verilir. Buna göre jeodezik eğrinin her noktasında oskülatör düzlemi aynızamanda yüzeyin normal düzlemidir. Bu yüzden jeodezik eğrinin asal normalleriilgili noktalarda yüzey normalleri ile çakışır. Asal normal, yüzey normaline zıtyöndedir (Grossmann, 1976).

Oskülatör düz.

Yatay düz.

δ

a

A

bB c

C

n

v2

dsYüzey

eğrisi

Şekil 3.9: Yüzey eğrisi ve teğet düzlem üzerindeki izdüşümü

Jeodezik eğri, iki yüzey noktası arasında en kısa bağlantı eğrisi olma özelliğini taşır.Düzlemdeki doğrunun ve küre üzerindeki büyük daire yayının yerini tutar.



Jeodezik eğrilik, normal eğriliğin fonksiyonu biçiminde hesaplanabilir. Bir yüzeyeğrisinin P noktasındaki eğrilik yarıçapı r ile bu noktadaki normal eğrilik yarıçapıRn arasındaki ilişki (3.54)’e göre,

r = Rn cos δ (Meusnier bağıntısı) (3.65)

idi. δ, oskülatör düzlemi ile normal kesit düzlemi arasındaki açıdır.

Yüzey eğrisinin P noktasındaki diferansiyel parçasının A ve C kiriş uzunluğu s vekiriş yüksekliği h ile gösterilirse h→ 0 için,

r ≈ s2

8h(3.66)

yazılabilir. Yatay düzlem, normal kesit düzlemine dik ve oskülatör düzlemi ile π2− δ

açısı yaptığından h’nin yatay düzlem üzerindeki izdüşümü hg,

hg = h cos(π

2− δ) = h sin δ (3.67)

olur. Yüzey eğrisinin yatay düzlem üzerindeki izdüşümünün eğrilik yarıçapı Rg için(3.66)’ya benzer biçimde,

Rg =s2

8hg=

r

sin δ

yazılabilir (izdüşüm sg = s kabul ediliyor). Bu eşitlikte (3.65) göz önüne alınırsa,

Rg =r

sin δ= Rn cot δ (3.68)

çıkar.

(3.65) ve (3.68)’den, bir yüzey eğrisinin eğik kesit eğriliği k = 1r, normal eğiriliği

kn =1Rn

ve jeodezik eğiriliği kg =1Rg

arasında aşağıdaki ilişk

MatematikselJeodeziharita.ghu.edu.tr/user_files/files/jeodezi2015.pdfIc¸indekiler˙ iii 5 ELIPSO˙...

Documents

Transcript of MatematikselJeodeziharita.ghu.edu.tr/user_files/files/jeodezi2015.pdfIc¸indekiler˙ iii 5 ELIPSO˙...