MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis

ACTIVIDAD Nº3

9.

f ( x )= x2+3x−10x−2

Calcule limx→2

f ( x ).

limx→2

x2+3x−10x−2

Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución directa en el denominador:

2−2=0

Habiendo comprobado que el denominador se anula, no podemos aplicar la propiedad de sustitución directa en esta función.Factorizamos el numerador:

f ( x )= x2+3x−10x−2

=( x−2 ) ( x+5 )

x−2

Si x≠2 simplificando x−2 de la expresión anterior tenemos la función:

g ( x )=x+5quees igual a f ( x ) salvoen x=2

Tenemos entonces dos funciones iguales salvo en un punto, y queremos saber el límite de una de ellas justamente en “ese” punto. Podemos calcular el límite de la otra función, dicho límites serán iguales. Entonces:

limx →2

x2+3x−10x−2

=limx→ 2

( x−2 ) ( x+5 )x−2

=limx→2

x+5

Ahora podemos realizar sustitución directa:

2+5=7

Por lo cual concluimos que:

MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis

limx→2

x2+3x−10x−2

=7

Calcule limx→−2

f ( x ) .

limx→−2

x2+3 x−10x−2

Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución directa en el denominador:

−2−2≠0

Habiendo controlado la condición de que el denominador no se anula, procedemos a hacer sustitución directa en toda la función.

limx→−2

x2+3 x−10x−2

=(−2 )2+3 (−2 )−10

−2−2=3

Entonces concluimos que:

limx−−2

x2+3x−10x−2

=3

MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis

Analizamos la continuidad en 2 de:

f ( x )= x2+3x−10x−2

Como 2 Df resulta de inmediato que f no es continua en x=2

A partir de la teoría sabemos que:

f es continua en a si y sólo si limx→a

f ( x )=f (a).

Entonces para todo a Df resulta que:

f ( a )=a2+3a−10a−2

limx→a

f ( x )=limx→a

x2+3x−10x−2

=a2+3a−10a−2

Por lo que concluimos que: f es continua para todo punto de su dominio

También se puede decir que: f es continua en R−{2 }

Analizamos la continuidad en -2 de:

f ( x )= x2+3x−10x−2

Por lo analizado anteriormente, sabemos que:

f es continua para todo punto de su dominio

MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis

Como el valor -2 pertenece al Dominio de la función, concluimos que:

f es continua en -2

Calcule los límites al infinito.

limx→∞

x2+3 x−10x−2

A partir de la teoría sabemos que:

Si f ( x )=an x

n+…+a1 x+a0bmxm+…+b1 x+b0

conan≠0 ybm≠0

Entonces limx→∞

f ( x )=limx→∞

an xn

bm xm y limx →∞

f ( x )= limx→−∞

anxn

bm xm

Entonces:

limx→∞

x2+3 x−10x−2

= x2

x=∞

Calculamos el límite al infinito:

Por lo establecido anteriormente concluimos que:

limx→−∞

x2+3 x−10x−2

= x2

x=−∞

MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis

Gráfico de la función:

f ( x )= x2+3x−10x−2

f(x)=(x^2+3x-10)/(x-2)

-5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

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19.

g ( x )= x2−9x−3

Analice de manera explícita la continuidad de x=3. En caso de no serlo ¿Cómo la re definiría para que lo sea?

Como 3 Df resulta de inmediato que gno es continua en x=3

A partir de la teoría sabemos que:

f es continua en a si y sólo si limx→a

f ( x )=f (a).

Entonces para todo a Df resulta que:

g (a )=a2−9a−3

limx→a

g ( x )= limx→a

x2−9x−3

=a2−9a−3

Por lo que concluimos que: g es continua para todo punto de su dominio

También se puede decir que: g es continua en R−{3 }

Entonces decimos que:

g ( x )= x2−9x−3

es discontinuaen el punto x=3

La teoría establece que:

MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis

Sea f una función , f discontinua enaSi lim

x→af ( x )existe decimos queaesun puntode discontinudad evitable .

Entonces evaluamos:

limx→3

x2−9x−3

Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución directa en el denominador:

3−3=0

Habiendo comprobado que el denominador se anula, no podemos aplicar la propiedad de sustitución directa en esta función.Factorizamos el numerador:

g ( x )= x2−9x−3

=(x−3 ) (x+3 )

x−3

Si x≠3 simplificando x−3 de la expresión anterior tenemos la función:

f ( x )=x+3que es igual a g ( x ) salvo enx=3

Tenemos entonces dos funciones iguales salvo en un punto, y queremos saber el límite de una de ellas justamente en “ese” punto. Podemos calcular el límite de la otra función, dicho límites serán iguales. Entonces:

limx→3

x2−9x−3

=limx→3

( x−3 ) ( x+3 )x−3

=limx→3

x+3

Ahora podemos realizar sustitución directa:

3+3=6

Por lo cual concluimos que:

limx→3

x2−9x−3

=6

Entonces podemos concluir que:

Alexistir limx→a

f (x ) decimosque aesun puntode discontinudad evitable .

La función redefinida sería:

MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis

f ( x )=x+3con x≠3

Analice de forma explícita la existencia de asíntotas.

Analizamos la existencia de asíntotas horizontales:

La teoría establece que:

La recta y=L

Es una asíntota horizontal de la curva y=f ( x )

Si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes:

limx→∞

f (x )=Ló limx→−∞

f ( x )=L

g ( x )= x2−9x−3

Entonces verificamos si el límite de la función cumple alguna de las condiciones anteriores:

limx→∞

x2−9x−3

=(∞2−9 )∞−3

=∞

Entonces concluimos que no posee asíntota horizontal.

Analizamos la existencia de asíntota vertical:

La teoría establece que:

La recta x=c

Es una asíntota vertical de la curva y=f ( x )

Si y solo si se cumple cualquiera de las tres condiciones siguientes:

MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis

limx→c

f ( x )=+∞ó limx→c

f ( x )=−∞ó limx→c

f ( x )=∞

g ( x )= x2−9x−3

Al ser g(x ) una función racional su denominador deber ser distinto a 0, para que esto ocurra debe ser:

x≠3

Entonces verificamos si la recta x=3 es una asíntota vertical:

limx→3

x2−9x−3

=3

Por lo cual concluimos que no posee asíntota vertical.

Calcule los límites al infinito.

limx→∞

x2−9x−3

A partir de la teoría sabemos que:

Si f ( x )=an x

n+…+a1 x+a0bmxm+…+b1 x+b0

conan≠0 ybm≠0

Entonces limx→∞

f ( x )=limx→∞

an xn

bm xm y limx →∞

f ( x )= limx→−∞

anxn

bm xm

Entonces:

MATEMÁTICA IICastagnola, Juan Luis

limx→∞

x2−9x−3

= x2

x=∞

Calculamos el límite al infinito:

Por lo establecido anteriormente concluimos que:

limx→−∞

x2−9x−3

= x2

x=−∞

Gráfico de la función:

g ( x )= x2−9x−3