FUNCIONES

FUNCINDefinicin:Sean A y B conjuntos no vacos. Una funcin de A en B es una relacin que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B.Se expresa como: f: A B x f(x) = ySe dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y

FUNCINConceptos:

Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales est definida la funcin y se denota Dom f.Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (Y), y se denota Rec f.Funcin Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, tambin aumenta la variable dependiente.Funcin Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.Funcin Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un nico valor

FUNCINFuncin Continua:Es aquella en la que su grfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensin.

FUNCINFuncin Discontinua:Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su grfica.

FUNCINFuncin Peridica:Es aquella en la que su grfica se repite cada cierto intervalo, llamado perodo.

FUNCINConceptos Fundamentales:

Si tenemos una relacin f entre dos conjuntos A y B, f se dir funcin si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y slo un valor en el conjunto de llegada B.

f(x)

Conceptos Fundamentales:La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee f de x]. Decir que y es funcin de x equivale a decir que y depende de x. FUNCIN

Conceptos Fundamentales

Se dir:f : A Bb B es la imagen de a A bajo la funcin f y se denota por b= f(a)

Dom f =ASi (x, y) f ^ (x, z) f y = z (Unvoca)Toda funcin es relacin, pero no toda relacin es funcin.FUNCIN

Rango o Recorrido de f:Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f.

1234567Se puede ver que para todo elemento de A, existe slo una imagen en B.FUNCIN

Luego para la funcin f denotada:

Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e}Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}

Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

CLASIFICACINa) Funcin Inyectiva: Una inyeccin de A en B es toda f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imgenes distintas en el codominio B.Cada elemento de A tiene una nica imagen en B (y slo una), de tal forma que se verifica que # A # B.Como se ve, 4 B y no es imagen de ningn elemento de A

b) Funcin Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyeccin o sobreyeccin de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al meno, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido.

c) Funcin Biyectiva: una funcin f es biyectiva de A en B si y slo si la funcin f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una nica imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A.

FUNCINLa Respuesta correcta es B

FUNCINLa Respuesta correcta es D

FUNCINLa Respuesta correcta es E

I. FUNCIN LINEALEs de la forma f(x) = mx + nconm : Pendienten : Ordenada del punto de interseccin entre la recta y el eje Y (coeficiente de posicin).

Ejemplo:La funcin f(x) = 5x 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.

I. FUNCIN LINEALAnlisis de la PendientePara saber con qu tipo de funcin se est trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.

Si m < 0, entonces la funcin es decreciente.Si m = 0, entonces la funcin es constante.Si m > 0, entonces la funcin es creciente.

x-y son variables m se denomina pendiente e indica el grado de inclinacin de la recta.m se halla a travs de la expresin: GeneralidadesCABE ANOTAR QUE : si m > o: la funcin es creciente si m < 0:la funcin es decreciente si m = 0 : la funcin es constanteLa Funcin lineal es una funcin polinmicaIndica el punto de corte con y Y por tanto el desplazamiento vertical.Dominio= Conjunto de Salida= R Rango= R (a excepcin de la constante).Conjunto de llegada=R

I. FUNCIN LINEAL I)II)III)IV)

I. FUNCIN LINEALTipos de funciones especiales:

a) La funcin de forma f(x) = x, se reconoce como funcin identidad y su grfica es:

I. FUNCIN LINEALTipos de funciones especiales:

b) La funcin de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como funcin constante y su grfica es:

con c > 0con c < 0

I. FUNCIN LINEALPropiedades:

El dominio de la funcin lineal son todos los nmeros IR.

Las rectas que tienen la misma m sern paralelas.

Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 sern perpendiculares.

I. FUNCIN LINEALEvaluacin de una funcin lineal:Dada la funcin f(x) = mx + n, si se busca el valor de la funcin para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, as como tambin si se busca el valor de x conociendo el valor de la funcin.EjemploLa funcin que representa el valor a pagar en un taxi, despus de recorridos 200m es:f(x) = 0.8x + 250 con x: cantidad de metros recorridos f(x): costo en pesos3 km = 3000 mEntonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilmetros es:f(3000) = 0.8 3000 + 250 = 2650Por 3 kilmetros se pagan $2650.

I. FUNCIN LINEALSi queremos saber cuntos metros recorri una persona si pag $2.250, se debe resolver la siguiente ecuacin:

2250 = 0.8x + 250 / -2502000 = 0.8x / :0.8 2500 = x

Una persona que paga $2250. recorri 2500 metros o 2.5 kilmetros.

I. FUNCIN LINEALConstruccin de una Funcin Lineal conocidos valores de ella:

Para construir una funcin lineal se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de la funcin, es decir:

(x , f(x )) y (x , f(x ))O bien si a f(x) le llamamos y, entonces los pares quedan:(x , y ) y (x , y )Donde la funcin buscada ser:

11221122

I. FUNCIN LINEALEjemploSi se sabe que el agua se congela a 32 F 0 C y hierve a 212 F 100 C, cmo se puede expresar los F como funcin lineal de los C?Solucin:Se tiene la siguiente informacin:

y

C : variable independiente (x)F : variable dependiente (y)(0, 32)(100, 212)1

I. FUNCIN LINEALReemplazando en:

Se tiene:

Donde la funcin que representa los F respecto de C es.

y = 1.8 x + 32 f(x) = 1.8 x + 32

I. FUNCIN LINEALSe le llama crecimiento aritmtico a la progresin cuyos trminos aumentan en una misma cantidad constante llamada diferencia. Este crecimiento aritmtico grficamente est representado por una recta con pendiente positiva. Si la pendiente es negativa se habla de un decrecimiento aritmtico.Ejemplo:f (x) = 2x + 1f (0) = 2 0 + 1 = 1

f (1) = 2 1 + 1 = 3

f (2) = 2 2 + 1 = 5

f (3) = 2 3 + 1 = 7

+2+2+2

I. FUNCIN LINEALGrficamente12351

II. FUNCIN CUADRTICASon de la forma:

Grfica:Siempre es una parbola, dependiendo su forma y la ubicacin de sus coeficientes a, b y c.f(x) = ax + bx + c

II. FUNCIN CUADRTICAConcavidad:El coeficiente a de la funcin cuadrtica indica si la parbola es abierta hacia arriba o hacia abajo.a > 0, Abierta hacia arribaa < 0, Abierta hacia abajo

II. FUNCIN CUADRTICAEje de simetra y vrtice:El eje de simetra es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vrtice de la parbola.

El vrtice est dado por:

Vrtice = -b , f -b = -b , 4ac b 2a2a2a4a

II. FUNCIN CUADRTICAAdems, la recta x = , corresponde al Eje de simetra.a > 0a < 0

II. FUNCIN CUADRTICAInterseccin con los ejesInterseccin con el eje Y El coeficiente c nos da el punto en el cual la parbola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)

II. FUNCIN CUADRTICAInterseccin con el eje X

para determinar el o los puntos donde la parbola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la funcin cuadrtica.

Se define el discriminante como:

D = b - 4ac

II. FUNCIN CUADRTICA a) Si el D = 0, la parbola corta en un solo punto al eje X.

II. FUNCIN CUADRTICAb) Si el D > 0, la parbola corta en dos puntos al eje X

II. FUNCIN CUADRTICAc) Si el D < 0, la parbola no corta al eje X.

II. FUNCIN CUADRTICANaturaleza de las races de una ecuacin de 2 gradoSi f(x) = 0, tendremos que ax + bx + c = 0, llamada Ecuacin de 2 grado en su forma general.Toda ecuacin de 2 grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresin:

x = -b b- 4ac 2a

II. FUNCIN CUADRTICATipos de solucionesDependen del valor del Discriminante

Si D = 0, 2 soluciones reales iguales

Si D > 0, 2 soluciones reales distintas (x y x C, con x x )

Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas (x y x C, con x x )D = b - 4ac11221122

II. FUNCIN CUADRTICAEjemplo:Sea la ecuacin de 2 grado: x + 2x 15 = 0. Cules son las soluciones de esta ecuacin?Sabemos que las soluciones de una ecuacin de 2 grado vienen dadas por

En este casoa = 1b = 2c = -15Luego,

Luego,

x = 3 x = -5 x = -b b- 4ac 2ax = -2 2- 41(-15) 21x = -2 4- 60 2x = -2 64 2x = -2 8 212

III. FUNCIN PARTE ENTERASu valor, para cada nmero x IR, es la parte entera de x y se designa por [x]. sta se escribe:

Dado un nmero real x, la funcin parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, es decir:

Ejemplos:[2,9] = 2;[-7/2] = -4;[5] = 5;[2] = 1

f(x) = [x][x] x < [x+1]Todo nmero real est comprendido entre dos nmeros enteros, la parte entera de un nmero es el menor de los nmeros enteros entre los que est comprendido.

III. FUNCIN PARTE ENTERAObsrvese que esta funcin es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[ con n Z. Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos

IV. FUNCIN VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto de un nmero x IR, denotado por |x|, es siempre un nmero real no negativo que se define:

Ejemplo:|-3| = 3|12| = 12|-18| = 18|-5,3| = 5,3

f(x) = |x| =x si x 0-x si x < 0Si los nmeros reales estn representados geomtricamente en el eje real, el nmero |x| se llama distancia de x al origen.

IV. FUNCIN VALOR ABSOLUTOa indica el punto de traslacin en el eje de las coordenadas.

IV. FUNCIN VALOR ABSOLUTOb indica el punto de traslacin en el eje de las abscisas.

IV. FUNCIN VALOR ABSOLUTOPropiedades:

a. Si |x| a entonces -a x a; con a 0

b. Si |x| a entonces x a -x a

c. |xy| = |x| |y|

d. |x + y| |x| + |y| (Desigualdad Triangular)

IV. FUNCIN VALOR ABSOLUTOLa ltima propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.

IV. FUNCIN VALOR ABSOLUTOEjercicios:Determinar el intervalo solucin de las siguiente inecuacin:

a. |x 3| 2

Aplicando la primera propiedad:

-2 x 3 2 -2 + 3 x 2 + 3 1 x 5 x [1, 5]

IV. FUNCIN VALOR ABSOLUTOLa Respuesta correcta es B

IV. FUNCIN VALOR ABSOLUTOLa Respuesta correcta es D

V. FUNCIN EXPONENCIALEs la funcin inversa del logaritmo natural y se denota equivalentemente como: x e^x o x exp(x)La funcin exponencial f con base a se define como

V. FUNCIN EXPONENCIALPropiedades:

El dominio de la funcin exponencial est dado por los nmeros IR.

El recorrido de la funcin exponencial est dado por los IR*.

El punto de interseccin de la funcin con el eje Y es (0, 1).

La funcin no intercepta el eje X.

V. FUNCIN EXPONENCIALCrecimiento y decrecimiento exponencial:

Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR.Mientras ms grande el nmero de la base, la lnea estar ms cerca del eje Y.

V. FUNCIN EXPONENCIALCrecimiento y decrecimiento exponencial:

Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR

V. FUNCIN EXPONENCIALEjercicio:Determinar la funcin que representa en nmero de bacterias que hay en una poblacin despus de x horas si se sabe que inicialmente haba 10.000 bacterias y que la poblacin se triplica cada una hora.Solucin:

Cantidad inicial = 10.000Despus de una hora = 10.000 3 = 30.000Despus de dos horas = 10.000 3 3 = 90.000 Despus de x horas = 10.000 3

Por lo tanto, siendo x el nmero de horas que pasan desde el inicio del estudio, la cantidad de bacterias se representa por la funcin:f(x) = 10.000 3xx

V. FUNCIN LOGARTMICALa inversa de una funcin exponencial de base a se llama funcin logartmica de base a y se representa por log .

Est dada por la siguiente ecuacin:a

V. FUNCIN LOGARTMICAPropiedades

El dominio de la funcin logartmica est dado por los nmeros IR, la funcin no est definida para x 0.

El punto de interseccin de la funcin con el eje X es (1, 0).

La funcin no intercepta el eje Y.

V. FUNCIN LOGARTMICACrecimiento y decrecimiento Logartmico:

Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0.a

V. FUNCIN LOGARTMICACrecimiento y decrecimiento Logartmico:

Si 0 < a < 1, f(x) = log x es decreciente para x > 0.a

V. FUNCIN LOGARTMICAEjercicios:Dado los valores: log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771. Entonces, en la funcin f(x) = log x, determine f(6).

Solucin:f(6) = log (6)

Dondelog 6 = log (2 3)

Por Propiedadlog (2 3) = log 2 + log 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

Por lo tanto:Si f(x) = log x, entonces f(6) = 0.7781

V. FUNCIN LOGARTMICALa Respuesta correcta es D