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FUNCIONES LINEALES

1.- FUNCIÓN CONSTANTE

Una función constante es aquella en la cual el valor de la variable dependiente siempre es el mismo sea

cuál sea el valor de la variable independiente.

Su gráfica es una línea recta paralela al eje de abscisas, X.

Su expresión matemática es y=b.

Para representar esta función, como sabemos que pasa por el punto (0,b), pues si x=0, y=b. Por tanto

sólo falta obtener otro punto, que se consigue dándole un valor a ‘x’ y obteniendo el correspondiente

valor de ‘y’ (que también será b).

2.- FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD

La función de proporcionalidad: y = m·x:

- Es una recta, pues a variaciones iguales de x corresponden variaciones iguales de y.

- Pasa por el punto (0,0), pues si x=0, entonces y=m·0=0.

Por tanto, para representarla solo falta obtener otro punto.

Ejemplo: Para representar y=(3/4)x hacemos: x=4y=(3/4)·4=3. Entonces tenemos los puntos: (0,0) y

(4,3).

3.- FUNCIÓN LINEAL: REPRESENTACIÓN DE LA GRÁFICA A PARTIR DE SU ECUACIÓN

Las funciones de la forma nmxy se llaman funciones lineales. Se caracterizan porque su

crecimiento es constante y, por tanto, se representan mediante rectas (por eso, en la tabla de valores

sólo nos hace falta calcular dos puntos).

La ecuación nmxy se representa por una recta con estas características:

- Su pendiente es m (la pendiente es el coeficiente de la x en la ecuación nmxy ).

Representa la variación de y por cada unidad de x.

- Su ordenada en el origen es n. Es decir, si x = 0, entonces y = n. Por tanto, corta al eje Y en

el punto n,0 .

4.- ECUACIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA. OBTENCIÓN DE LA PENDIENTE

El parámetro m (constante de proporcionalidad), que puede ser positiva o negativa, se llama pendiente

de la recta, y tiene que ver con su inclinación:

Si m > 0, la recta, y la función, es creciente.

Si m < 0, la recta, y la función, es decreciente.

Dada la ecuación de la recta, la pendiente es el coeficiente de la ‘x’ cuando la ‘y’ está despejada.


La pendiente (coeficiente de la x) es la variación (positiva o negativa) que experimenta la y cuando la x

aumenta una unidad. Para hallarla, se divide la variación de la y por la variación de la x entre dos de sus

puntos.

5.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:

Con el eje X: se hace y=0 y se despeja la ‘x’.

Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=n el punto es (0,c).


FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA

1.- FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA

Las funciones cuya expresión es un polinomio de grado 2, cbxaxy 2 se llaman funciones

cuadráticas. Las gráficas de estas funciones son parábolas con eje vertical (paralelo al eje Y).

El vértice de una parábola se calcula encontrando su coordenada ‘x’ mediante la expresión: a

bxv

2 ,

y su coordenada ‘y’ sustituyendo el valor obtenido en la ecuación de la parábola, es decir:

a

bf

a

bV

2,

2

Eje de simetría de la parábola: es la recta de ecuación: a

bx

2 . Cumple que la gráfica es simétrica

respecto a dicho eje (que es una recta vertical, es decir, paralela al eje Y).

Los puntos de corte de la parábola con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:

Con el eje X: se hace y=0 y se despeja la ‘x’, pudiendo haber cero, uno o dos puntos de corte.

Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=c el punto es (0,c).

Para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación 02 cbxax , que tendrá dos,

una o ninguna solución, dependiendo del valor de discriminante (radicando) acb 42 . Dos

soluciones implica dos puntos de corte, una solución quiere decir que la parábola es tangente al eje OX y

ninguna solución implica que la parábola no toca al eje: está entera por encima o por debajo del eje OX.

Orientación de la parábola: Si a > 0, la parábola presenta un mínimo en su vértice y las ramas de la

parábola van hacia arriba, y, si a < 0, la parábola presenta un máximo en su vértice y las ramas de la

parábola van hacia abajo.


Ejemplo 4: Representa gráficamente la parábola 862 xxxf .

2.- ESTUDIO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA COMPLETA

EJERCICIOS:

1º.- Representa gráficamente las siguientes parábolas:

1) y = 2x2

- 4x - 6 [V=(1,-8), P. Corte: (3,0), (-1,0), (0,-6)]

2) y = -x2 + 4x - 6 [V=(2,-2), P. Corte: (0,-6)]

3) y = 3x2 – 5x + 7 [

12

59,

6

5V , P. Corte: (0,7)]

4) y = x2 – 3x - 4 [

4

25,

2

3V , P. Corte: (-1,0), (4,0), (0,-4)]

5) y=x2-4x+3 [V=(2,-1), P. Corte: (3,0), (1,0), (0,3)]


6) y = -x2+6x-8 [V=(3,1), P. Corte: (2,0), (4,0), (0,-8)]

7) y=x2+4x+3 [V=(-2,-1), P. Corte: (-3,0), (-1,0), (0,3)]

8) y = -x2+4x-3

9) y=x2+6x+5 [V=(-3,-4), P. Corte: (-1,0), (-5,0), (0,5)]

10) y = -2x2

+ 4x + 6

11) y=x2-6x+8 [V=(3,-1), P. Corte: (4,0), (2,0), (0,8)]

12) y=x2-4 [V=(0,-4), P. Corte: (2,0), (-2,0), (0,-4)]

3.- CONSTRUCCIÓN DE PARÁBOLAS POR TRASLACIÓN


FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Las funciones cuya ecuación es de la forma x

ky se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Se

representan mediante hipérbolas, cuyas asíntotas son los ejes coordenados.

Su dominio de definición es:

,00, .

Su recorrido es: ,00, .

Es creciente en todo su dominio si k < 0

y decreciente si k > 0.

No tiene extremos relativos.

Es discontinua en x=0.

No corta a los ejes de coordenadas.

Asíntotas:

- Horizontales: y=0.

- Verticales: x=0.

Es simétrica respecto al origen de

coordenadas.


FUNCIONES RACIONALES

HIPÉRBOLAS DE LA FORMA ax

ky

:

Son traslaciones de la función de proporcionalidad inversa. El nuevo eje vertical es x = a. Se obtiene

trasladando la función a la derecha o a la izquierda según el signo de a.

HIPÉRBOLAS DE LA FORMA bax

ky

:

Son traslaciones de la función ax

ky

. El nuevo eje vertical es x = a. Se obtiene trasladando la

función a la derecha o a la izquierda según el signo de a. El nuevo eje horizontal es y = b y se obtiene

trasladando el eje de ordenadas (y = 0) hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de b.

En los cocientes de polinomios de grado 1 en numerador y denominador, efectuamos la división de los

polinomios de manera que obtenemos una expresión de la forma bax

ky

y entonces aplicamos lo

anteriormente visto.

Ejemplo: 4

11

4

3

xx

xy ; eje vertical: x = 4; eje horizontal: y = 1.


Ejercicio: Encuentra la expresión algebraica para cada una de las siguientes funciones:

Ejercicio: Representa la función: 2

6

x

xy :

Se descompone la función de la forma:

2

41

2

42

2

6

xx

x

x

xy

Se representa: x

y4

Se representa: 2

4

xy , trasladando la gráfica horizontalmente hacia la derecha dos unidades.

Se representa:

2

41

xy , desplazando la gráfica anterior verticalmente hacia arriba una unidad.


Caso general:

Las funciones cuya ecuación es de la forma )(

)()(

xQ

xPxf , con P y Q polinomios, se llaman funciones

racionales.

Su dominio de definición son todos los números reales excepto los que anulan el denominador.

Es discontinua en los puntos que no pertenecen al dominio.

Los puntos de corte con el eje X son los ceros de P(x) que pertenezcan al dominio.

Asíntotas:

- Verticales: se encuentran en los puntos que anulan el denominador.

- Horizontales: comparamos grados:

- si grado[P(x)] > grado[Q(x)] no hay asíntota horizontal.

- si grado[P(x)] < grado[Q(x)] y=0 es asíntota horizontal.

- si grado[P(x)] = grado[Q(x)] y=k es asíntota horizontal, donde b

ak , siendo ‘a’ y ‘b’

los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y Q(x) respectivamente.

Ejemplos:


FUNCIÓN EXPONENCIAL

Las funciones de la forma xaxf )( , con “a” un número positivo, se llaman funciones exponenciales.

Su dominio de definición son todos los números reales.

Su recorrido son los reales positivos.

Es continua en todo su dominio.

Corta al eje OY en el punto (0,1).

Si a > 1 crece siempre y si a < 1 decrece siempre.

Asíntotas:

- Verticales: no tiene.

- Horizontales:

- si a > 1 y = 0 es asíntota horizontal en menos infinito.

- si 0 < a < 1 y = 0 es asíntota horizontal en más infinito.

Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto

ocurre con la bacteria Salmonella typhimurium, causante de intoxicaciones alimentarias, que necesita

una hora, aproximadamente, para dividirse en dos.

La tabla nos muestra el número de bacterias que van apareciendo con el paso del tiempo, en horas:

Tiempo

(horas)

x

Número

de bacterias

y

0 1

1 2

2 4

3 8

La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es: xxf 2)(

Ejemplo: El elemento químico denominado radio tiene un periodo de semidesintegración de,

aproximadamente, 1600 años. Esto quiere decir que cada 1600 años la cantidad radiactiva de radio se

reduce a la mitad. Por tanto, si partimos de 1 gr. de radio, al cabo de 1600 años o un periodo de

semidesintegración habrá 1/2 gr. de radio, al cabo de dos periodos (3200 años) habrá 1/4 y así

sucesivamente. Hace 1600 años (menos un periodo de semidesintegración) había dos gramos de radio,

hace dos periodos había 4 gramos, etc. La siguiente tabla nos da el número de períodos de

semidesintegración en función de la cantidad de radio:

Tiempo

(períodos de

semidesintegración)

x

Cantidad

(gramos)

y

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:

x

xf

2

1)(


FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Las funciones cuya ecuación es de la forma xxf alog)( , con “a” un número positivo, se llaman

funciones logarítmicas.

Su dominio de definición son todos los números reales positivos.

Su recorrido son todos los números reales.

Es continua en todo su dominio.

Corta al eje de abscisas en el punto (1,0).

Si a > 1 crece siempre y si 0 < a < 1 decrece siempre.

Asíntotas:

- Verticales: x = 0.

- Horizontales: no tiene.

Ejemplo: La división de bacterias se realiza por división de la célula madre en dos células hijas. Esto

ocurre con la bacteria Salmonella typhimurium, causante de intoxicaciones alimentarias, que necesita

una hora, aproximadamente, para dividirse en dos. Vamos a estudiar ahora el tiempo transcurrido en

función del número de bacterias.

La tabla nos muestra las horas que pasan en función del número de bacterias que tenemos:

Número

de

bacterias

x

Tiempo

(horas)

y

1 0

2 1

4 2

8 3

Tenemos: yx 2 . La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:

xy 2log

Ejemplo: El radio tiene un periodo de semidesintegración de, aproximadamente, 1600 años. Un físico de

un prestigioso laboratorio depositó en una urna 1 gr. de radio con el fin de que sirviera de reloj para la

posteridad. La siguiente tabla nos da el número de períodos de semidesintegración en función de la

cantidad de radio:

Cantidad

de radio

(gr.)

x

Tiempo

(período de

semidesintegración)

y

8 -3

4 -2

2 -1

1 0

1/2 1

1/4 2

Tenemos:

y

x

2

1. La expresión matemática que se ajusta a la tabla y a la gráfica de esta función es:

xy 2/1log


Las gráficas de la función exponencial y logarítmica con la misma base, es decir, xay y xy alog

son simétricas respecto a la recta y = x, bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Las funciones con esta interesante propiedad gráfica reciben el nombre de funciones inversas.


FUNCIONES CIRCULARES

Función seno de x

Dominio: R.

Recorrido: 1,1

Crecimiento y decrecimiento: En el intervalo 2,0 es estrictamente creciente en

2,0

y

2,

2

3 y estrictamente decreciente en

2

3,

2

.

Extremos relativos: En el intervalo 2,0 tiene un máximo en 2

x y un mínimo en

2

3x .

Simetría: Es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Continuidad: No tiene puntos de discontinuidad.

Intersecciones con los ejes: Corta al eje OY en el punto (0,0) y, en el intervalo 2,0 , corta

al eje OX en (0,0), (π,0) y (2π,0).

Asíntotas: No tiene.

Función coseno de x

Dominio: R.

Recorrido: 1,1

Crecimiento y decrecimiento: En el intervalo 2,0 es estrictamente creciente en 2, y

estrictamente decreciente en (0,π).

Extremos relativos: En el intervalo 2,0 tiene un máximo en x = 0 y un mínimo en x = π.

Simetría: Es simétrica respecto al eje de ordenadas.


Continuidad: No tiene puntos de discontinuidad.

Intersecciones con los ejes: Corta al eje OY en el punto (0,1) y, en el intervalo 2,0 , corta al

eje OX en

0,

2

y

0,

2

3.

Asíntotas: No tiene.

Función tangente de x

Dominio: Todos los números reales excepto los múltiplos de 2

y

2

3.

Recorrido: R.

Crecimiento y decrecimiento: Es siempre creciente.

Extremos relativos: No tiene.

Simetría: Es simétrica respecto del origen de coordenadas.

Continuidad: Es discontinua en 2

y

2

3 (y en todos sus múltiplos).

Intersecciones con los ejes: Corta al eje OY en (0,0) y, en el intervalo 2,0 , al eje OX en

(0,0) y (π,0).

Asíntotas: Las rectas 2

x y

2

3x son asíntotas verticales en el intervalo 2,0 .

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