MAT III Guía 1 Geometría Analítica en el Espacio

5/12/2018 MAT III Guía 1 Geometría Analítica en el Espacio - slidepdf.com

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MATEMÁTICAS 3 GUÍA DE EJERCICIOS I 2.0GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R 3

PROF. IVANA PIFANOPROF. MARCO ARMAS

1.- Determinar si los puntos P1 (1,1,1), P2 (2,-1,5), P3 (4,-5,13) son colineales.

2.- Sean A=<1,3,4> y B=<3,4,-1> dos vectores de R3

. Hallar los vectores P

y Q de R3

tales que A=P+Q, siendo P paralelo a B y Q ortogonal a B.3.-Demuestre que, si u y v son vectores ortogonales tales que 1 == vu entonces

2vu =−

4.- Determine el vector del 1er

octante, de módulo 15 y que forma ángulosdirectores iguales con los ejes coordenados.

5.- Una fuerza se representa por el vector F , tiene una magnitud de 10 lb y los

cosenos directores de F son6co s

6

1=α

y6cos

3

1=β.Si la fuerza

desplaza un objeto desde el origen en línea recta hasta el punto ( )2,4,7 − ,calcule el trabajo realizado. La distancia se mide en pies . Resp: 4,08 Lbpies

6.- Dados los vectores: k ji3x ˆˆˆ − y k 3 j3iay ˆˆˆ + , Determine el valor de“a” de modo que:

a) los vectores sean ortogonales. Resp a= 2 b) los vectores sean paralelos. Resp a= -9

7.- Calcular el volumen del paralelepípedo cuyas aristas están representadas

por los vectores 041A ,,− , 712B −,, , 124C −,, .

8.- Calcule el volumen del paralelepípedo cuyos vértices son los puntos dados ygrafique la figura:(4,0,2) (0,0,2) (0,0,4) (4,0,4) (0,6,0) (0,6,2) (4,6,2) (4,6,0)Resp: 48 unid3

9.- Calcule el volumen del paralelepípedo cuyos vértices son los puntos dados ygrafique la figura: (0,0,0) (2,2,0) (2,0,4) (0,2,2) (4,2,4) (2,2,6) (2,4,2) (4,4,6)

Resp: 24 unid3

10.- Calcule los valores de X de modo que los vectores 521A ,, , 0X3B ,,

y 111C ,, representan las aristas de un paralelepípedo de 15 unidadescúbicas. Resp: 6 o 1 o -3/2



11.- Determine si los puntos dados son vértices de un paralelogramo y en casoafirmativo calcule su área: A(2,9,1) B(3,11,4) C(0,10,2) D(1,12,5) Resp:8,66 unid2

2

12.- Se emplean tres cables para amarraral globo mostrado en la figura. Si se

sabe que la tensión del cable AB es 259N, determine la fuerza vertical P que elglobo ejerce en A. Resp: 1031 N

13.- Una caja de madera se sostiene pormedio de tres cables en la formamostrada en la figura. Si se sabe que latensión en el cable AB es de 750 libras,determine el peso de la caja de madera.Resp: 2100 Lb

14.- Las fuerzas P y Q se aplican en elpunto de unión A de los tres cablesmostrados en la figura. Sabiendo queQ=0, encuentre el valor de P para elcual la tensión en el cable AD es 305 N.Resp: 960 N



15.- Hallar el volumen del prisma triangular limitado por los planoscoordenados, el plano 2x+3z-6=0 y el plano y=4.

Resp. 12 3unid

16.- Hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento determinado porlos puntos A(7,-4,2) y B(2,1,-3) en su punto medio.

Resp: x-y+z=11/2

17.- Dados los puntos M(2,2,2), N(5,2,0) y P(-1,0.2), hallar:

a) La ecuación del plano que pasa por dichos puntos. Resp: 2x-3y+3z=4b) el área del triángulo cuyos vértices son los puntos M, N y P. Resp:

4.69 unid2

18.- Dos de los ángulos directores de una recta son α =45º y β =60º . Si larecta pasa por el punto (3,1,7), determinar sus ecuaciones paramétricas.Graficar la recta.

19.- Halle la ecuación de la recta que corta al eje z, es paralela al plano x-3y+5z=6 y contiene al punto (3,6,4)

Resp: 4z

2

6y3x −−=

20.- Dadas las rectas L1 y L2 determine si son paralelas, oblicuas o se cortan.

En caso de que se corten encuentre las coordenadas del punto de interseccióny el ángulo entre ellas

a)

=

+=

+=

2

3

21

:1

z

t y

t x

L y L2: -x+1=y=z-2 Resp: Son

Oblicuas

b)

+−=

−=

+=

1

25

23

:1

t z

t y

t x

L y

−=

+=

−=

12

8

27

:2

s z

s y

s x

L Resp: (7,8,-1)

21.- Dibujar los siguientes planos:

a) 4x+2y+6z=12 b) 2x-y+3z=4

22.- Halle la distancia entre el punto y el plano dado:

a) Q(1,5,-4) y π : 3x-y+2z=6 Resp: 4,276 unidades lineales

3



b) Q(0,0,0) y π : 2x+3y+z=12 Resp: 3,2 unidades lineales

23.- Halle la distancia entre el punto y la recta dada:

a) Q(1,5,-2) y Resp: 2,96unidades lineales

b) Q(3,-1,4) y L2: 3

43

1

3

z

2

y

6

4x2

−

+=

−=

−−

Resp: 2,5 unidadeslineales

24.- Halle la distancia entre los planos dados:π 1: x-3y+4z=10

π 2: x-3y+4z=6 Resp: 13

262

unidades lineales

25.- Halle el ángulo entre los planos dados y las ecuaciones paramétricas desu recta de intersección

π 1 : x-2y+z=0 Resp θ = 53,55ºπ 2 : 2x+3y-2z=0

26.- Encuentre la ecuación del plano que contiene a las rectas de ecuaciones:

2

3

2:1

z

y

x

l

−=−=

y

l 2: 1 - x = 2 y - 4 = z + 3

Resp. 322 =++ z y x

27.-Demuestre que las rectasl

y z

1

1

24:

x+2

5=

−= +

yl

y z

2

4

23:

3 - x

5=

+= −

son paralelas y obtenga una ecuación del plano determinado por estasrectas.

Resp:3x+10y+5z=-16

28.- Halle la recta que pasa por (4,-5,20) y es paralela a los planos 2X+Y-Z=0 yX+3Y+5Z=0. Exprese la recta en sus ecuaciones paramétricas y simétricas.

Resp5

20

11

5

8

4-x :1

−=

−

+=

z yl

29.- Represente los siguientes planos (en un mismo grafico) 2X - 5Z = 7 y 2Y - 3Z =5. Luego halle la ecuación de su recta intersección (L1) y dibuje esta en el mismografico anterior.

4

L2:

−=

+

t1z

3y

t42x

L1:

=

=

=

t7z

t4y

tx



Resp:

=

+=

+=

t z

t y

t x

L 2/52/3

2/52/7

:1

30.- Dada una recta L2 que está definida por3

1

4

2

2

1 z y x −=

−−=

+determine si las

rectas L1 (problema 29) y L2 se cortan, de ser así calcule el ángulo entre ellas, de locontrario diga si son paralelas u oblicuas. Resp Son Oblicuas.

31.- Dados los planos 3x+2y+z+2=0 y x-y+2z-1=0, para la recta deintersección de ambos

obtener:

a) Las ecuaciones simétricas y paramétricas.b) Los cosenos directores de un vector en dirección de la recta.

32.- Halle la ecuación del plano paralelo al vector j y que contenga a la recta

intersección de los planos X+2Y+3Z =4 y 2X+Y+Z=2 (grafique las trazas delplano resultante) Resp -3x+z=0

33.- Determine el coseno de la medida del ángulo más pequeño entre las dos

rectas l 1 :

2z4y2

1x−=−−=

+

y l 2 :

3

5

4

2

−=

+=

x y z

34.-Dos de los ángulos directores de una recta L1 sonoo 60y45 =β=α . Si la

recta pasa por el punto (2,-1,5), hallar su ecuación. Luego determinar laecuación del plano que contiene a L1 y es perpendicular al plano : 3x - y - z +7=0.

Resp. t z t y

t x

+=

+−=

+=

51

22

48,2611,441,4=+−

z y

35.-Determine si la recta L1 está contenida en el plano : 5x-17y+4z+25=0.

=−−+

=−−−

03253

0871

z y x

z y x L

36.- Determine la ecuación general del plano que contiene el punto A(2,0,1) y a

la recta de intersección de los planos 0yx:y0z5y3x2: 21 =−=−− ππ .Resp. 5x-7y-10z=0

37.- Un plano pasa por el punto (1,3,7) y tiene la misma traza sobre el planoxy, que el plano 3x-y-8z+7=0. Hallar su ecuación.

38.- Demostrar que la recta dada por

=++

=++

0dy bxa

0dy bxa

222

111

es paralela al eje z yobtener su ecuación.

5

Resp. t z

t y

t x

+=

=

−−=

1

1



39.- Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto(1,0,0) y es paralela a la recta :

=−+

=+

159

23:1

y z x

z y L .

40.- Demuestre que las rectas 31z

22y

51x:l1

−

+=−

−=

−

y 23z

31y2x:l2

+=

−−=−

son oblicuas.

41.- Hallar el punto de intersección de la recta 2

1z3y

3

7x −−=−=

−

y el plano2x+y+7z-3=0.

Resp. I (10,4,-3)42.- Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el origen y es ortogonal a

las rectas 2

z3y

2

x:l

1

−=−=

y

+−=

−=

4xz

1x3y:l

2

43.- La recta L1 pasa por el origen y corta a la recta L2 formando un ángulorecto. Determine las ecuaciones paramétricas de L1 siendo L2:

44.- Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto (-4,1,6) y tiene lamisma traza en el plano coordenado xz que el plano π : x+4y-5z=8

Resp: x+42y-5z=8

45.- Calcule el ángulo entre lados adyacentes del contenedor mostrado en lafigura. Calcule también el ángulo entre la base y cada uno de sus lados. Resp86.63° y 75.96°

46.- Calcule el ángulo entre lados adyacentes del contenedor mostrado en lafigura. Calcule también el ángulo entre la base y cada uno de sus lados. Resp85.28° y 106.7°

6

L2:

=

+

+

tz

t56y

t5x

Resp L1:

−

−

=

s35z

s13y

s100x

10’’

6’’

10’’

6’’

8’’



7

12’’

6’’

12’’

6’’

10’’



UNIVERSIDAD DE ORIENTENÚCLEO DE ANZOÁTEGUI

NOMBRE: C.I.: SECC. TURNO AL CUAL ASISTE:

MATEMÁTICAS III EXAMEN ISábado 27 de Mayo del 2006

1.- Halle la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de lasrectas L1 y L2, y a su vez contiene todos los puntos de la recta intersección delos planos π y β .

2.- Halle el volumen del prisma triangular (utilizando vectores) limitado por losplanos coordenados, el plano 3y+2z=6 y el plano X=5. (grafique)

3.- Una fuerza se representa por el vector F, tiene una magnitud de 10 newtons

y dos de sus cosenos directores son14

143cos =β y

14

14cos =γ . La fuerza

desplaza un objeto desde el origen en línea recta hasta el punto (4,3,7) Calcule

el trabajo realizado si la distancia se mide en metros.

4.- Determine los vértices del triángulo cuyos lados tienen como puntos medioslos puntos: (3,2,3) ; (-1,1,5) ; (0,3,4). Dibuje el triángulo y calcule su área.

5.- La Gran Pirámide de Keops es una de las tres pirámides ubicadas en lameseta de Gizeh (Egipto) construidas en el tercer milenio antes de cristo. Subase es de forma cuadrada con 230,33 m. de lado y una altura de 146,59 m.Calcule usando las dimensiones del dibujo: el ángulo de inclinación de lasparedes y el ángulo entre los lados adyacentes

8

N°

L1:

=

+=

+=

t z

t y

t x

2

54

32

L2: −= 12 y x

π : x + y = 3

β : 2y + 3z = 4

230m

146m

230m



UNIVERSIDAD DE ORIENTENÚCLEO DE ANZOÁTEGUI

NOMBRE: C.I.: SECC. TURNO AL CUAL ASISTE:

MATEMÁTICAS III EXAMEN ISábado 27 de Enero del 2007

1.- Si B(-1,0,-4) y C(2,1,1) son dos de los vértices de un triángulo ABC y M(-3,1,2) el punto medio del lado AB hallar:

a) El vértice A (1 pto) b) El área del triángulo (grafique el triángulo) (1 pto)

2.- Dados los puntos A(2,1,-1), B(3,0,2), C(4,-2,1) y D(5,y,0) hallar el ó losvalores de “y” de modo que el volumen del paralelepípedo que tiene AB, AC y

AD como lados adyacentes sea 4 unid3

(grafique el paralelepípedo) (2 ptos)

3.- Determine si las rectas 3

1

2

2

5

1:1

−−=

−=

− z y x L

y 6

3

4

1

10

2:2

−

+=

−−=

− z y xl

son paralelas, oblicuas o se intersectan; luego calcule la distancia del punto(3,0,2) a L1. (2 ptos)

4.- Dadas las rectas 3

1

2

2

5

1:1

−−=

−=

− z y x L

y 6

3

4

1

10

2:2

−

+=

−−=

− z y xl

determine la ecuación del plano que contiene dichas rectas (grafique el plano)(2 ptos)

5.-

9

N°

Una torre de transmisiónse sostiene por medio detres cables que estánunidos a una articulaciónen A y anclado mediantepernos en B, C y D. Si sesabe que la torre ejercesobre la articulación Auna fuerza hacia arribade 1800 Lb determine la

tensión en cada cable. (2ptos)

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