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55

Objetivosdelaunidad:

Aplicars correctamente lageometra analtica:parbola, elipseehiprbolaalencontrarsolucionesadiversasproblemticasdelentorno.

Geometra analtica

MATEMTICA

Unidad4

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56mtetic - Segundo ao

Descripcin del proyecto:

Una de las aplicaciones de las curvas llamadas cnicas como la parbola se usa en el rea de las comunicaciones. Seplantea un problema aplicado a una antena parablica.

Figurascnicas

Elipse

Elementos

Lado recto

Centro

Focos

Vrtices

Ecuaciones

GeneralOrdinaria

Cannica

Elementos

Focos

Vrtices

Lados rectos

Ejeconjugado

Ejetransversal

Asntotas

Ecuaciones

GeneralOrdinaria

Cannica

Hiprbola

sus

sonson

puede ser

son

Parbola

Elementos

Foco

Vrtice

Derectriz

Lado recto

GeneralOrdinaria

son

sus

Ecuaciones

son son

puede ser

sus

estas son

Circunferencia

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3/46Segundo ao - mtetic

57

Cuarta Unidad Leccin1Motivacin

Indicadores de logro

Si la distancia del puntoP(x, y) a la recta ja D es igualque la distancia deP(x, y) al punto F(foco), entonces segenera la curva llamada parbola. En otras palabras, laparbola es el conjunto de puntos en un plano tales que

Construirs, con orden y limpieza, parbolas e identicars con inters yseguridad sus elementos.

Construirs la ecuacin ordinaria con vrtice en el origen o cannica dela parbola a partir del vrtice y un parmetro, del foco y un punto; y de ladirectriz y un foco; con esmero e inters.

Determinars, con esmero e inters, la ecuacin de la parbola utilizandoel foco, el vrtice y la directriz.

Resolvers y explicars, problemas del entorno aplicando la ecuacin dela parbola.

Los extremos del cable de un puente se hallan a1000 m de distancia entre s, y a 100 m del piso. Elcentro del cable est a nivel del piso.Encuentra la altura del cable sobre el piso a unadistancia de 300 m de la base de la torre de amarre.Se supone que el cable resiste una carga de igual pesoen distancias horizontales iguales.

la parbola

Construccin de la parbolasu distancia a una recta ja llamada directriz (D)es iguala su distancia a un punto jo llamado foco (F)que noest en la recta.

Elementos de la parbola

Los elementos principales de la parbola son:

Directriz (D)Foco (F)

Vrtice (V)Eje ( )FV

La distancia del vrtice al foco y del vrtice a ladirectriz son iguales es decir VF=VD = pEl lado recto (Lr) es la cuerda focal perpendicular al ejede simetraLr= 4p

P

Eje de simetra

vrtice

Directriz

L

F

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UNIDAD 4

Ecuacin de la parbola con vrtice enel origen

Para obtener la ecuacin ms sencilla de la parbola

llamada cannica, colocamos el eje y a lo largo del eje dela parbola, con el origen en el vrt ice, como se muestraen la gura. En este caso, el foco Ftiene coordenadas(0,p) y la ecuacin de la directriz esy = p. (En la gurase muestra el casop > 0) por la frmula de la distancia ,un puntoP(x, y) est en la grca de la parbola sid(P, F) = d(P, D); es decir, si:

( ) ( ) ( ) ( ( ))x y p x x y p + = + 02 2 2 2

Eleva al cuadrado ambos lados y simplica:

x y p y p

x y py p y

2 2 2

2 2 2 22

+ = +

+ + =

( ) ( )

+ +

=

2

4

2

2

py p

x py

La parbolax2 = 4py se abre hacia arriba, como en lagura anterior. Adems, la parbolax2 = 4py se abrehacia abajo. Ambas son parbolas verticales.

Si intercambias las variablesx e y obtienesy2 = 4px. stasera la ecuacin cannica de la parbola horizontal que

se abre hacia la derecha.Adems la parbolax2 = 4py se abre hacia la izquierda.Es importante que repares en estas preguntas y susrespuestas: si la variable que aparece elevada al cuadradoes lax, la parbola es vertical u horizontal? Y cmo es laparbola si la variable al cuadrado es la y? Las siguientesguras te presentan un resumen de lo anterior.

x

y

x=4py

P(x,y)F(0,p)

V (0,0)y =-p

F(p, 0)

y=4px

F(-p, 0)

y= -4px

F(0,-p)

x= -4py

F(0, p)

x=4py

Horizontal ala derecha

Vertical

hacia arriba

Horizontal ala izquierda

Verticalhacia abajo

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UNIDAD 4

Segundo ao - mtetic59

Ejemplo 1

Resuelve la situacin planteada al inicio de la leccin elcual consiste en: encontrar la altura de un cable sobreel piso a una distancia de 300 m de la base de la torre deamarre. Se supone que el cable resiste una carga de igual

peso en distancias horizontales iguales.

Solucin:

Traza los ejes cartesianos tal que el origen coincida conel punto de contacto del cable con el piso.

Nota que el cable forma una parbola vertical haciaarriba con vrtice en el origen. Luego, es de la formax2 = 4py. Como el punto (500, 100) pertenece a laparbola, satisface su ecuacin. Luego:

( ) ( )

,( )

500 4 100

4 2 500

2

2500

100

=

= =

p

p

Entonces, la ecuacin es:

x2 = 2,500y

Observa que deben ser 300 m desde la base de la torrede amarre y como del origen a la torre hay 500 m;entonces del origen a la altura que buscas hayx = 500 300 = 200. Sustituyesx = 200 m, en la

ecuacin anterior y obtienes:(200)2 = 2,500y y =

( )

,

200

2 500

2

y = 16

Por lo tanto la altura del cable es de 16 m.

Ejemplo 2

Determina el foco y la directriz de la parbolax2 = 6y.Traza su grca.

Solucin:La ecuacin es de la forma x2 = 4py. Luego, 4p = 6 o sea,

p = =6

4

3

2En consecuencia, la parbola abre hacia abajo y tiene

foco F 03

2

, como se ilustra en la gura.

La directriz es la recta horizontal y =3

2 que est a unadistancia

3

2

por arriba de V.

(-500,100)

(-500,0)

(500,100)

(500,0)

300 m

x

y

y

x0

0

1

-2-4 2 4 6

2

8 10-6-8-10

-1

-2

-3

-4

-5

y =3

2

V

F

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UNIDAD 4


Ejemplo 3

Determina la ecuacin de la parbola que tiene suvrtice en el origen, se abre a la derecha y pasa por elpuntoP(7, 3).

Solucin:

Como se abre a la derecha, es una parbola horizontal .Por lo tanto, es de la formay2=4px.

SiP(7, 3) es un punto de la parbola, puedes sustituirdicho punto en su ecuacin.

y px

p

p

2

2

4

3 4 7

9 28

=

=

=

( ) ( )

luego p =9

28

Esto signica que las coordenadas del foco son:9

28

0,

Luego, su ecuacin es: y x2 49

28=

, o sea,

y x2

9

7

=

Ejemplo 4

Encuentra la ecuacin de la parbola con vrtice en elorigen y cuya directriz es la rectax = 1.

Solucin:

Con los datos que se dan puedes hacer una grca paraobtener informacin. En este caso trazas el vrticeV(0, 0) y la directrizx = 1.

Observa que la directriz es una recta vertical. Porlo tanto, la parbola es horizontal, pues su eje esperpendicular a su directriz. Tambin por la ecuacinde la directrizx = 1, sabes quep = 1, ya que la parbolase abre hacia la derecha yp es la distancia que existe delvrtice de la parbola a la directr iz. Entonces, la ecuacinde la parbola se obtiene sustituyendo el valor dep = 1en la frmula:

y2 = 4pxy2 = 4(1)xy2

= 4x

que es la ecuacin de la parbolaPara conocer todos los elementos de la parbola,encuentras las coordenadas del foco, la ecuacin deleje de la parbola y la longitud del lado recto. Lascoordenadas del foco son F(1, 0), la ecuacin del eje esy = 0 y el lado recto esLr= 4(1) = 4

F(1,0)

p

v

p

d

x=-1

y

x

y

x0

0

0.5

1

-0.5

-1

21

1.5

2

-1.5

-2

0.5 1.5 2.5-0.5-1-1.5-2-2.5

F(9/28,0)

x =9/28

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UNIDAD 4


Ejemplo 9

Determina todos los elementos de la parbola y2 = 3x.

Solucin:

La ecuacin indica que la parbola es horizontal convrtice en el origen, y abre a la izquierda por el signonegativo.

Tienes: 4 3

3

4

p

p

=

=

Luego, el foco es F

3

4

0, y la directriz es x =3

4

.

El eje de la parbola es el ejex, o sea, y = 0.

La longitud del lado recto es 4 343

4

p = =

Solucin:

Haces coincidir el vrtice del arco parablico con elorigen. La ecuacin del arco parablico es de la formax2 = 4py.

En la gura puedes observar queA

( )6 6,

pertenece a la parbola por lo que satisface su ecuacin:

( ) = ( )

=

= =

2

6 4 6

36 4

3

2

2

36

24

p

p

p

Luego, la ecuacin del arco es:

x y

x y

2

2

43

2

6

=

=

Ejemplo 8

Encuentra todos los elementos de la parbola cuyaecuacin esx2 + 8y = 0

Solucin:

x2 + 8y = 0

x2 = 8y

Esta ecuacin representa una parbola vertical concentro en el origen y abierta hacia abajo, ya que elcoeciente de y es negativo.

x2 = 8y

4p = 8

p = 2

Luego, el foco es F(0, 2) y la directriz es y = 2. El ejede la parbola es el ejey o seax = 0. La longitud del ladorecto es Lr p= = ( ) =4 4 2 8

0

BA (-6,-6)

y

x

C(6,-6)

12 m

6 m

y

x0

0 2

-2

-2

-1

4-4

-3

-4

1

2

3

Y=2

Lr=8

F(0,-2)

Lr=3

x=3/4

y

x0

0 2

-2

-1 1-4

-4

2

4

-6

6

-2-3-5-6-7

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UNIDAD 4


1.En cada parbola, determina si es horizontal o vertical y hacia donde se abre.

a) y2 = 6x c) x2 = 10y

b) x2 = 8y d) y2 = 4x

2.Encuentra el foco y la directriz de la parbola x2 = 10y, construye su g rca .

3.Determina la ecu acin de la parbola si su vrtice est en el origen, se abre hacia arr iba y pasa por ( 5, 9). Haz lo mismo considerandoque la parbola se abre hacia la izquierda.

4.Graca y encuentra la ecuacin de la parbola con vrtice en (0, 0) si:

a) F(0, 2) b) D: x = 3 c) F

3

4

0,

Resumen

Parbola es el conjunto de puntos tales que la distancia de cualquiera de ellos a u n punto jo llamado foco, esigual a la distancia a una recta ja llamada directriz.

Ecuacin Cannica Abre hacia Forma de la Grfica

x2 = 4py Arr iba

x2 = 4py Abajo

y2 = 4px La derecha

y2 = 4px La izquierda

Actividad1

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UNIDAD 4


Autocomprobacin

La ecuacin de la directriz en la parbola x2 = 20yes:

a)

x = 5b) y = 5

c) y = 5

d) x = 5

4El foco de la parbolay2 = 83x es:

a) 2

3

0, c)

2

3

0,

b) 02

3

,

d) 0

2

3

,

2

La distancia focal de la parbolay2 = 12x es:

a) 4b) 4

c) 3

d) 3

31

De las siguientes parbolas, la que se abre haciaarriba es:

a) y2 = 4x

b) x2 = 4y

c) y2 = 4x

d) x2 = 4y

La superficie de los focos o silbines de un carrotienen forma parablica. Lo anterior se debe a

que al colocar una fuente de luz en el punto F, latotalidad de la luz que se refleja en la superficiedel silbn parece ser esa fuente luminosa. Estamisma propiedad (o su inversa) se ocupa enel diseo de antenas parablicas, linternas,

telescopios, radares, etc.

En las lupas esta propiedad se aplica paraconcentrar los rayos luminosos lo cual tieneaplicacin en la industria, como el calentamiento

de hornos.

Soluciones1.d.2.a.3.c.4.c.

APLICACIONES PARABLICAS

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65

Cuarta Unidad

Motivacin

Si las coordenadas del vrtice se convierten en (h, k)en lugar de (0, 0), la ecuacin de la parbola verticalx2 = 4py, se convierte en (x h)2 = 4p (y k). De igualforma, la ecuacin de la parbola horizontal se convierteen (y k)2 = 4p(x h).

Estas formas se conocen como ecuacin ordinaria de laparbola.

Ejemplo 1

Anal iza y gra ca la parbola (y + 4)2 = 2(x 3).


Construirs, con orden y limpieza, parbolas e identicars con inters yseguridad sus elementos.

Construirs la ecuacin general de la parbola a partir del vrtice y unparmetro, del foco y un punto; y de la directriz y un foco; con esmero einters.

Determinars, con esmero e inters, la ecuacin de la parbola utilizandoel foco, el vrtice y la directriz.

Determinars con precisin la ecuacin general de la parbola.

1.2 m

2.5 m

2 m

Se est remodelando una biblioteca y se considerala entrada con una puerta en forma parablica la cualtendr 2.5 metros de altura en el centro y 2 metros deancho en la base. Adems se introducirn libreras de1.2 metros de ancho.

Puedes encontrar la altura mxi ma de las l ibreras?

ecuacin ordinaria y General de la parbola convrtice diferente de (0, 0)

Leccin2

Ecuacin ordinaria de la parbola

y

x00 2

-2

-4

4

-6

6-2 8

F(7/2,-4)

D: x=5/2

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UNIDAD 4

Ejemplo 2

Determina la ecuacin de la parbola si el foco es F(6, 8)

y la directrizy 2 = 0.

Solucin:

La ecuacin de la directriz es y 2 = 0, si despejasy = 2.El punto medio entrey = 2, y el valor 8 de la ordenada delfoco, es:

8 2

2

5+

= , este valor representa la ordenada del

vrtice. La abscisa es 6.

Luego,p = 8 5 = 3. Resumiendo los datos anteriores,tienes: V(6, 5) yp = 3. Luego, como la ecuacin es de laforma (x h)2 = 4p (y k), esta queda:

(x 6)2 = 4(3) (y 5)

(x 6)2 = 12(y 5)

Solucin:

En este caso tienes una parbola horizontal haciala derecha, ya que la va riable que aparece elevadaal cuadrado es y, adems el signo del coeciente espositivo. Observa que las coordenadas del vrtice van

cambiadas de signo, ya que:x h = x 3, de aqu h = 3

y k = y + 4, de aqu k = -4.

Luego las coordenadas del vrtice son (3, 4). Adems,

4p = 2, por lo que p =1

2

Ejemplo 3

Determina la ecuacin de la parbola con vrticeV(2, 3) y foco (5, 3), construye su grco y dene suselementos.

Solucin:

Al analizar los datos observas que se trata de unaparbola horizontal, ya que el vrtice y el foco tienenla misma ordenada:y = 3. Esta es la ecuacin de su ejeprincipal.

Como es una parbola horizontal y abierta a la derecha(el foco est a la derecha del vrtice), su ecuacin es de laforma:

(y k)2 = 4p(x h)

Para encontrarla, adems del vrtice que ya t ienes,necesitas el valor dep.

Por diferencia de valores entre las abscisas,p = 5 2 = 3.

Sustituye las coordenadas h = 2, k = 3 del vrtice y elvalor dep = 3, obtienes:

(y k)2 = 4p(x h)

(y 3)2 = 4(3)(x 2)

(y 3)2 = 12(x 2)

Ecuacin ordinaria de la parbola

El lado recto esLr=4p = 4 (3) = 12

La directriz es perpendicular al eje principal. Recuerdaque la directriz es una recta vertical cuya d istancia alvrtice es igual que la del foco al vrtice. En este casop = 3

Su ecuacin la encuentras a partir del vrtice con h = 2,tres unidades a la izquierda por lo que restas 2 3 = 1 yas la ecuacin de la directriz esx = 1.

y

x0

0 2-2

5

10

4 6 8 10 12 14-4-6

F(6,8)

V(6,5)

D: y=2

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67

UNIDAD 4

Al gracar la parbola considerando todos sus elementos, tienes:

Ejemplo 4

Encuentra la ecuacin de la parbola que tiene su vrtice en V(5, 4) y su directriz es larectax = 7.

Solucin:

Como la directriz es vertical, la parbola es horizontal y se abre hacia la izquierda, yaque la directriz est a la derecha del vrtice. La distancia entre la abscisa del vrtice y laabscisa de la directriz es 7 5 = 2,p = 2. Luego, las coordenadas del foco son (3, 4). Laecuacin del eje de la parbola esy = 4.

Con las coordenadas del vrtice h = 5, k = 4 y el valor dep = 2, formas la ecuacin.

(y k)2 = 4p(x h) Porque se abre a la izquierda

(y 4)2 = 4(2)(x 5)

(y 4)2 = 8(x 5)

La longitud del lado recto esLr= 4 (2) = 8 con los elementos anteriores gracas laparbola de forma ms exacta.

y

x

00 2-2

5

10

4 6 8 10-4-6-8-10

-5

F(5,3)

Lr=12

V(2,3)

D: x=-1

y

x0

0-2

5

4 6 8 1 0-4-6-8-10 122

10

F(3,4)

V(5,4)

Lr=8

D:x=7

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UNIDAD 4


Ecuacin general de la parbola

Considera la ecuacin ordinaria de la parbola:

(y + 4)2 = 2(x 3) Es una parbola horizontal.

y2 + 8y + 16 = 2x 6 Efectuando el desarrollo delbinomio.

y2 + 8y 2x + 16 6 = 0 Transponiendo trminos.

y2 + 8y 2x + 10 = 0 Reduciendo trminos.

Esta expresin se conoce con el nombre de ecuacingeneral de la parbola. Puedes ver que sta toma la formay2 +Dx +Ey + F= 0. En el ejemplo anterior, cules sonlos valores de D, E y F?

De manera similar, si la parbola es vertical, su ecuacin

general adquiere la forma:x2 +Dx + Ey + F= 0

Ejemplo 6

Determina el vrtice, foco y directriz de la parbolay2 + 14y + 4x + 45 = 0

Solucin:

y2 + 14y = 4x 45

y y x

2

2 2

14 4 4514

2

14

2+ +

= +

Completas el trinomio cuadrado perfecto

y2 + 14y + 49 = 4x 45 + 49

(y + 7)2 = 4x + 4 Factorizas

(y + 7)2 = 4(x 1) Obtienes factor comn 4

Hacia dnde se abre la parbola?

Luego, las coordenadas del vrtice son V(1, 7).Adems, 4p = 4, por lo cualp = 1.

Ejemplo 5

Graca la parbola con vrtice V(3, 1) y foco (3, 1) ydetermina su frmula y elementos.

Solucin:

Como el vrtice y el foco tienen la misma abscisa,x = 3.La parbola es vertical y la ecuacin de su eje es dichaabscisa, o sea,x = 3. La parbola se abre hacia abajo, yaque el foco est abajo del vrtice.

Adems,p = 2, ya que la distancia del foco al vrtice es:1 ( 1) = 1 + 1 = 2

Luego la ecuacin es: (x h)2 = 4p (y k)

Sustituyendo: (x 3)2 = 4(2) (y 1)

(x 3)2

= 8(y 1)La ecuacin de la directriz es y = 3, y la longitud del ladorecto esLr= 8.

Con los elementos anteriores trazamos la grca de laparbola.

Determina las coordenadas del foco y la ecuacin dela directriz.

y

x

Lr=8

F(3,-1)

x=3

eje

V(3,1)

D: y=3

y

x00

-2

2

4

-4

-6

-8

-10

2-2-4-6-8

-12

-10

V(1,-7)

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UNIDAD 4


Ejemplo 7

Determina todos los elementos de la parbolax2 8x + 5y 4 = 0.

Solucin:

Habrs analizado que esta ecuacin corresponde a unaparbola vertical, ya que la variablex est elevada alcuadrado.

Para encontrar los elementos de la parbola, transformasesta ecuacin a su forma ordinaria.

x2

8x = 5y + 4 Escribes los trminos enx en un lado y los dey enotro lado.

x2 8x + 16 = 5y + 4 + 16 Completas el trinomiocuadrado perfecto.

x2 8x + 16 = 5y + 20 Sumas las constantes enel miembro de la derecha.

(x 4)2 = 5(y 4) Expresas como unbinomio cuadrado y

sacas factor comn 5El vrtice es V(4, 4). Como 4 5

5

4p p= =, .

Para conocer las coordenadas del foco, por ser unaparbola vertical, ste tiene la misma abscisa que elvrtice; o sea,x = 4.

Para determinar la ordenada, a la ordenada del vrtice

restas el valor de p =5

4

, es decir,

416 5

4

5

4

11

4

=

=

El foco es F 411

4

,

.

Para determinar la ecuacin de la directriz, se suma a laordenada del vrtice el valor dep, o sea:

4 4

5

4

21

4

5

4+

= + =

De esta forma determinas los elementos de la parbola.Ahora construye su grca y represntalos en ella.

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UNIDAD 4


Ejemplo 8

Considera la situacin presentada al inicio de la leccin yencuentra la altura mxima de las libreras.

Solucin:

Dibujas un corte longitudinal del reector, mostrando elvrtice de la seccin longitudinal en el origen y el foco a9

4unidades del vrtice sobre el ejex. entonces, el foco es

F9

4

0,

, como se muestra en la gura.

Solucin:Observa el grco. Colocas el vrtice de la parbolasobre el ejey; la base sobre el ejex.

As es una parbola vertical hacia abajo convrtice en (0, 2.5). Por lo tanto la ecuacin es:

x p y

x p y

( ) = ( )

= ( ) ( )

0 4 2 5

4 2 5 1

2

2

.

.

Como (1, 0) pertenece a la parbola, lo sustituyes en la

ecuacin (1) y encuentras el valor de 4p. As:1 4 0 2 5

1 4 2 5

1 4 2 5

2( ) = ( )

= ( )

= ( )

p

p

p

.

.

. ; 41

2 50 4p = =

.

.

Por lo tanto sustituyes 4p en la ecuacin (1) y obtienes:ancho de la libretax2 = 0.4(y 2.5)

Despeja y de la ecuacin anterior y compara con:

y x= ( )2 5 2 5 22. .

Observa el grco; si divides el ancho de la librera entre

2. Entonces12

206

..= , obtienes el valor de x, para el

cual la ordenada del punto (x, y) de la parbola te da laaltura. Sustituyex = 0.6 en la ecuacin (2) y compruebaquey = 1.6. As, la altura mxima que puede tener lalibrera es de 1.6 metros.

Ejemplo 9

Se debe disear un reector parablico con una fuente

de luz en su foco, que est a9

4cm del vrtice. Si el

reector debe tener 10 cm de profundidad, Cul debe

ser el ancho de su boca y a qu distancia est el borde dela fuente de luz?

Tienes:La ecuacin de la parbola esy2 = 4px.

Como p =9

4entonces y x y x2 24

9

49=

=

;

La ecuacin del reector esy2 = 9x.

y

x0

0

2

6

-2

4-2

4

2

-4

-6

6 8 10 12 14 1 6-4-6

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5-1 0.5 1

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UNIDAD 4


Resumen

Cuando el vrtice de la parbola es V (h, k), su ecuacin ordinaria es:

(x h)2 = 4p (y k) para la parbola vertical.

(y k)2 = 4p(x h) para la parbola horizontal.

Determina las coordenadas del foco y vrtice y la ecuacinde la directriz de las siguientes parbolas.

a) x2 12x + 4y + 12 = 0

b) y2 4x 12y + 12 = 0

c) y2 8x 32 = 0

d) x2 + 2x 2y 5 = 0

e) x2 6y 12 = 0

Parbola abierta hacia: Frmula Vertice Foco Directriz

arriba (x h)2 = 4p(y k) v (h, k) F(h, k + p) y = k p

abajo (x h)2 = 4p(y k) v (h, k) F(h, k p) y = k + p

derecha (y k)2 = 4p(x h) v (h, k) F(h + p, k) x = h pizquierda (y k)2 = 4p(x h) v (h, k) F(h p, k) x = h + p

Como el reector debe tener 10 cm de profundidadun punto de la parbola esP( 10, k), que representa elborde exterior del reector. Sustituyesx = 10 yy = k en laecuacin,K2 = 9 (10) = 90, o sea, k = 90 cm. El ancho

total es2 90 cm

Por denicin de parbola, el radio focal de cualquierpunto de la curva es igual a la distancia de dicho punto ala directriz.

Luego: FP x p cm = + = + =109

4

49

4

El borde est a 49

4

cm de la fuente de luz.

Actividad1

Al desarrollar la ecuacin ordinaria de la parbola se obtiene la ecuacin general,que es de la formax2 +Dx +Ey + F= 0 para la parbola vertical;y2 +Dx + Ey + F= 0para la parbola horizontal.

Para determinar los elementos de la parbola debes convertir la ecuacin general a laecuacin ordinaria.

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UNIDAD 4


Autocomprobacin

La aplicacin de la parbola en muchas reas dela ciencia y tecnologa es muy amplia.

Por ejemplo, los cables de un puente como elmundialmente famoso Golden Gate ubicado en labaha de San Francisco, describen una parbola.

Esto se debe a que el peso del puente sereparte uniformemente sobre los cables.

Esta propiedad le permiti a principios delsiglo XX, a un equipo de ingenieros disear el

majestuoso puente Golden Gate, en la Baha deSan Francisco

1.b.2.c.3.a.4.b. Soluciones

El valor dep es:

a) 8 c) 16

b) 4 d) 81

El foco es el punto:

a) ( 3, 5) c) ( 3, 5)

b) (3, 5) d) (3, 5)

3

El vrtice es el punto:

a) ( 1, 5) c) (1, 5)

b) ( 5, 1) d) (5, 5)

2

4La directriz est dada por:

a) x = 5 c) y = 5

b) x = 5 d) y = 5

Sea la parbola (y + 5)2 = 16(x 1).

LOS CABLES DE UN PUENTE

y

x0

0

2

-2

-2 2

-4

-6

1 3 4-1-3-4-5

-8

-12

-14

-10

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73

Cuarta Unidad

Motivacin


Puedes construir una elipse utilizando una cuerda y dos

tachuelas. Se ponen las dos tachuelas un poco alejadasla una de la otra . Despus se ata la cuerda a las dostachuelas. Con lpiz o pluma se jala y se tensa la cuerda.Mientras se conserva la cuerda tensada, se dibuja laelipse moviendo el lpiz alrededor de las tachuelas. Estolo puedes observar en la gura de la derecha.

Construirs, con inters y seguridad, la ecuacin cannica de la elipseutilizando el centro, un vrtice, un foco y las longitudes de los ejes mayor ymenor.

Construirs elipses con orden y limpieza, e identicars con inters yseguridad sus elementos.

Construirs con seguridad la ecuacin cannica de la elipse con centro enel origen.

Para sostener un puente se construye un arco deforma elptica. El puente pasa por un ro de 80 piesde ancho. El centro del arco est a 24 pies por arribade la supercie del agua. El arquitecto que diseel puente necesit conocer la ecuacin de la elipse.Cul es esa ecuacin?

la elipSe

Leccin3

Construccin de la elipse

Comparando con la cuerda, podras decir cul es lasuma de las distancias, de cualquier punto de la curva, alos puntos jos?

Muy bien, de seguro respondiste que esa suma es

siempre la longitud de la cuerda. O sea que:

d d

dd

F F

FF

La elipse es el conjunto de puntos en el plano, de talforma que la suma de sus d istancias a dos puntos joses una constante.

Los dos puntos jos se llaman focos de la elipse.

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UNIDAD 4


Elementos de la elipse

Los puntos V(a, 0) yV( a, 0), se llaman vrtices dela elipse.

El punto C(0, 0) es el centroLr: longitud del lado rectoEl segmento de recta VV= 2a es el eje mayor, y 2b es eleje menor.Los puntos F ( c, 0) yF(c, 0) son los focos:FF= 2c; FC= CF= c

Ecuacin cannica de la elipse

sta es la ecuacin ms simple, es decir, cuando el centrode la elipse coincide con el origen.

La distancia entre los focos es FF= 2c. La sumaPF yPF

es constante, por denicin de elipse.Tienes:PF +PF= 2a. En la gura puedes ver que 2a > 2c,por lo cual a > c. Luego,PF + PF= 2a.

Pero PF x c y= ( ) ( ) + 2 20 yPF x c y

,( ) ( )= + + 2 20

Tienes entonces:

( ) ( )x c y x c y a + + ++ =2 2 2 2 2Al trabajar algebraicamente la ecuacin anterior, seobtiene:x

a

y

b

2

2

2

2 1+ = , cuando el eje mayor pasa sobre el ejex.Si la elipse es vertical, la ecuacin que la describe es:

x

b

y

a

2

2

2

21+ = , cuando el eje mayor pasa sobre el ejey.

Ejemplo 1

Retoma la situacin dada al principio de la leccin yencuentra la ecuacin.

Solucin:

Haces coincidir el origen del sistema de coordenadascon el punto medio del plano de la supercie del ro. Enla gura observa que a = 40 yb = 24.

Luego la ecuacin de la elipse es:x b

2

2

2

240 24

1( ) ( )

+ =

M

M

Lr

F V x

y

C(0,0)

Lr

FV

a

c

b

P(x,y)

x

y

F(c,0)F(-c,0)

x

y

(0,24)

(40,0)(-40,0)

0

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UNIDAD 4


Ejemplo 2

Graca la ecuacin 20x2 + 9y2 = 180.

Solucin:

Si divides ambos lados de la ecuacin entre 180, tienes:

20 9

180

180

180

20

180

9

1801

9

2 2

2 2

2

x y

x y

x

+=

+ =

++ =y

2

201

Como en este caso 20 > 9, tienes que el eje mayor 2a es2 20 , y el eje menor 2b es 2 2 3 69 = ( ) =

En este caso la elipse es vertical, como puedes ver en la

gura de la derecha.

Su ecuacin es de la formax

b

y

a

2

2

2

21+ = , ya que el eje

mayor es el denominador dey2.

Ejemplo 3

Encuentra la ecuacin de la elipse mostrada en lasiguiente gura.

Solucin:

Como el eje mayor est eny, la elipse es de la forma

x

b

y

a

2

2

2

21+ =

En la gura se observa que a = 12yb = 10 . Luego, la

ecuacin de la elipse es:x y

x y

2

2

2

2

2 2

10

10 144

121

1

( )+ =

+ =

x

y

(0, 20)

(0 ,- 20)

(-3,0) (3,0)

y

x

0

0 2 4-2 6 8-4-6-8

a =12

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

-10

-12

12

10 10

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UNIDAD 4


Ejemplo 4

Encuentra la ecuacin que relacione a, b yc.

Solucin:

Cuando el punto P(x, y) coinciden con el eje y se obtiene la gura de la derecha. Luego,

por Pitgoras,

a2 = c2 + b2 De donde

c2 = a2 b2

b2 = a2 c2

Observa que estas tresecuaciones son equivalentes, yestablecen la relacin entrea, b yc.

Ejemplo 5

Construye la grca de 2x2 + 9y2 = 18 y encuentra los focos.

Solucin:

Dividiendo entre 18, tienes.

2

18

9

18 18

9 2

2 2

2 2

18

1

x y

x y

+ =

+ =

En este caso a = =9 3 yb = 2 . El eje mayor es 2(3) = 6 y el eje menor 2 2 .

Con los valores de a yb dibujas la elipse.Puedes ver que como 2 3< , el ejemayor est en el ejex.

Para encontrar los focos, tienes que a = 3 yb = 2

c a b2 2 2 2

2

3 2 9 2 7= ( ) = =

Luego, c = 7 , y los focos son 7 0,( ) y ( )7 0, .

x

y

(-3,0) (3,0)

(0, 2)

(0,- 2 )

x

y

(0,b)

F(-c,0) F(c,0)

a a

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UNIDAD 4


Ejemplo 6

Determina la ecuacin de la elipse con vrtices (4, 0) y focos (2, 0).

Excentricidad ec

a

= , Como c < a, e < 1

Lado Recto Lrb

a=

22

Relacin entre a, b y c a2 = b2 + c2

Solucin:

Como los focos estn en el ejex, el eje mayor tambin est en x. La ecuacin de la elipse

es de la formax y

a b

2

2

2

21+ = . Los vrtices son (4, 0) y (4, 0), entonces a = 4.

Si los focos son ( 2, 0) y (2, 0), entonces: c= 2Si a y c

b a c

b

b

= =

=

=

=

4 2

4 2

1

2 2 2

2 2 2

266 4

12

12

2

=

=

bb

La ecuacin de la elipse es:x y

2 2

16 121+ =

Excentricidad y lado recto de la elipse

La excentricidad se dene como el cocientec

a

.

El lado recto de la elipse Lr, es la cuerda que pasa por un foco su valor se calcula por2 2b

a

Usando las ecuaciones dela elipse, segn sta seahorizontal o vertical y lasecuaciones anteriores, seresuelven problemas sobreesta curva.

y

x0

0

2

1 2 3 4-1

4

6

8

-2

-6

-8

5-2-3-4-5

-4

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UNIDAD 4


Ejemplo 7

Halla la ecuacin de la elipse con vrtices V(0, 5) yV(0, 5) y focos F(0, 4) yF(0, 4).

Solucin:

Por los datos del problema puedes ver que la elipse tienesu centro en el origen, ya que es el punto medio entrelos vrtices (o entre los focos). Adems es una elipsevertical , ya que tanto los vrtices como los focos tienenabscisa cero.

Luego, la ecuacin es de la forma.

x

b

y

a

2

2

2

21+ =

Por las coordenadas de los vrtices, a = 5, y por lascoordenadas de los focos, c = 4. Luego,

b2 = a2 c2

b2 = 52 42

b2 = 9; b = 3

Luego, sustituyendo en la ecuacin de la elipse, tienes.

x y2 2

9 251+ =

El lado recto y la excentr icidad son:

Lra

ec

a

b= =

( )=

= =

2 22

9

5

18

5

4

5

;

Ejemplo 8

Halla la ecuacin de la elipse con vrtices V(4, 0) y

V(4, 0) y excentricidad3

4

.

Solucin:

Por los vrtices la elipse es horizontal, con centro en elorigen ya= 4.

Como ec

a

= =3

4, entonces c= 3, ya que a = 4

Luego, b2 = a2 c2

b2 = 42 32 = 7 y a2 = 16

Con los datos que se tienen se forma la ecuacin de la

elipse:x y

2 2

16 71+ =

Como c = 3, los focos son F(0, 3) yF (0, 3) y el lado

recto2 2 7

4

7

2

2b

a= =

( )

x

y

5

4

-4

-5

3-3

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UNIDAD 4


Ejemplo 9

Halla la ecuacin de la elipse con vrtices en V(0, 7) yV (0, 7) y con el lado recto Lr= 6.

Solucin:

Los vrtices indican que la elipse es vertical con centroen el origen ya = 7.

ComoLr= 6, Lrb

a=

22

o sea, 62

7

2

=b

Despejando b: b26 7

221= =

( )

Con a2 yb2 escribes la ecuacin de la elipse:

x y2 2

21 491+ =

El valor de ces:

c a b

c c

2 2 2

249 21 28 28

=

= = =;

De esta forma, los focos son F ( , )0 28 y

F ( , )0 28 y la excentricidad es ec

a

= =28

7

Graca la elipse.

1.Dibuja las elipses siguientes.

a) x y2 2

4 1

1+ =

b)x y

2 2

9 41+ =

c) x y2 2

4 91+ =

d) 9x2 + 4y2 = 36

e) 25x2 + 16y2 = 400

2.Determina la ecuacin de la elipse si:

a) V(0, 3) yV (0, - 3) ; F(0, 2) yF (0, -2)

b) V(0, 4) yV (0, 4) y e =1

2

c) V(3, 0) yV (3, 0) y Lr =8

3

Actividad 1

Resumen

La elipse es el conjunto de puntos en el plano tales que la suma de sus distancias ados puntos jos es constante. Los puntos jos se lla man focos.

Donde 2a es el eje mayor y 2b es el eje menor.

Ecuacin Cannica Relacin entre a, b y c Focos Forma de la Grfica

x y

a b

2

2

2

21+ = a b c= +

2 2 ( c, 0 ) y ( c, 0 )

x y

b a

2

2

2

21+ = a b c= +

2 2 ( 0, c ) y ( 0, c )

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UNIDAD 4


Autocomprobacin

El hombre siempre se ha sentido atrado por losastros y sus movimientos. Esto, tanto por fines

cientficos como para conocer el futuro. Tanes as que la astrologa es la precursora de la

astronoma. Este inters llev a los astrnomosy matemticos a buscar un modelo algebraico

que explicara los movimientos de los planetas yel Sol. Fue as como el alemn Johannes Kepler(1571-1630) descubri que los planetas giran

alrededor del Sol en rbitas elpticas, donde elSol no est en el centro sino en uno de

sus focos.

1.c.2.a.3.b.4.c. Soluciones

El lado recto de la elipse del ejercicio anterior es:

a) 532

c) 32

5

b)16

25

d)4

5

4Los focos de la elipse del numeral anterior son:

a) ( 7, 0) y ( 7, 0)

b) (0, 7) y (0, 7)

c) (5, 0) y (5, 0)

d) (0, 5) y (0, 5)

2

La excentricidad de la elipse:x y

2 2

16 251+ = es:

a)4

5

c)5

32

b)3

5 d)

16

25

3Los vrtices de la elipse x y2 216 9

1+ = son:

a) (3, 0) Y (3, 0)

b) (0, 3) Y (0, 3)

c) (4, 0) y (4, 0)

d) (0, 4) y (0, 4)

1

ORBITAS ELPTICAS

Johann Kepler

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81

Cuarta Unidad

Motivacin

Si en la ecuacin cannica de la elipse:x y

a b

2

2

2

21+ =

sustituyes ax por (x h) y ay por (y k), tienes:( ) ( )x h

a

y k

b

+

=

2

2

2

21 cuando el eje mayor est sobre

el ejex. Esta ecuacin representa una elipse horizontal con

centro en (h, k).Si la elipse es vertical, la ecuacin es:

( ) ( )x h

b

y k

a

+

=

2

2

2

21 cuando el eje mayor est sobre

el ejey.En ambas, la longitud del eje mayor es 2a y la longitud del ejemenor es 2b.


Resolvers problemas del entorno utilizando la elipse sus elementos,grco y ecuaciones.

Construirs elipses con orden y limpieza, e identicars con inters yseguridad sus elementos.

Construirs con seguridad la ecuacin cannica de la elipse con centro

diferente de (0, 0)

La primera ley de Kepler establece que la rbitadescrita por cada planeta es una elipse, donde el Soles uno de los focos.Mirna y Laura construyen un modelo planetario enel plano cartesiano. Ubican al Sol en (5, 3) y para larbita del planeta Tierra establecen que el centro es

(2, 3) con el vrtice correspondiente en (7, 3). El lasnecesitan conocer la ecuacin para representar larbita de la Tierra. Cul es dicha ecuacin?

ecuacin ordinaria de la elipSe con centrodiferente a (0, 0)

Leccin4

Ecuacin ordinaria de la elipse cuando el centroes diferente (0, 0)

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UNIDAD 4


Ejemplo 2

Halla la ecuacin de la elipse con focos en (4, 2) y(10, 2) y con un vrtice en (12, 2)

Solucin:

El centro, que es el punto medio de los focos, est en(7, 2) y la distancia entre los focos es 6 unidades. Elvrtice dado est a 5 unidades del centro.

Luego, c= 3, a =5

b2 = 52 32

b2 = 25 9b2 = 16

Como el eje mayor es paralelo a l ejex, sustituyesa2 = 25 yb2 = 16 y el centro (7, 2) en la ecuacinordinaria y obtienes la ecuacin:

( ) ( )x y ++ =

7

25

2

16

2 2

1

Ejemplo 3

Transforma la siguiente ecuacin a su forma ordinaria ydibuja la curva: 4y2 + 9x2 24y 72x + 144 = 0

Solucin:

Agrupas los trminos enx ey. Luego completascuadrados.

4 9 24 72 144 0

4 24 9 72

2 2

2 2

y x y x

y y x x

+ + =

+( )+ +( )=

+( )+ +( )= + ( ) + ( )

144

4 6 9 9 8 16 144 4 9 9 162 2

y y x x

44 3 9 4 144 36 144

4 3

36

9 4

36

2 2

22

y x

y x

( ) + ( ) = + +

( )+

( )==

( )+

( )=

36

36

3

9

4

41

22

y x

Donde a2 = 9 yb2 = 4.

Puedes ver que tienes una elipse vertical con centro en(4, 3). En consecuencia: a = 3,b = 2 y c a b= =2 2 5Los vrtices estn en (4, 0) y (4, 6), y los extremos del ejemenor estn en (2, 3) y (6, 3). Las coordenadas de losfocos son 4 3 5, ( ) y 4 3 5, +( ) . Dibujas la curvacomo en la gura dada. Verica los datos anteriores.

Ejemplo 1

Graca y analiza la elipse ( )( )x y+

+

=2

9

1

161

2 2

Solucin:

El centro de la elipse es C(2, 1). El eje mayor est sobre

una recta para lela a y, ya que 9 < 16. Como b2 = 9, b = 3; ycomo a2 = 16, a = 4. Con estos datos construyes la elipsede la derecha.

Ejemplo 4

Transforma la ecuacin x2 + 4y2 + 4x = 0 a la formaordinaria.

x

y

(-2,-3)

(-2,5)

(-5,1) (5,1)C

x

y

V(4,6)

V(4,0)

F(4,3+ 5)

F(4,3 5)

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UNIDAD 4


Ejemplo 5

Dada la elipse de ecuacin4x2 + 9y2 48x + 72y + 144 = 0, halla su centro, el ejemenor y el eje mayor, vrtices y focos.

Solucin:

Esta ecuacin se puede escribir en la forma( ) ( )x h

a

y k

b

+ =

2

2

2

21, de la manera

siguiente: 4(x2 12x + 36) + 9(y2 + 8y + 16) = 144 +4(36) + 9(16). Factorizas y completas el trinomio.

4(x 6)2 + 9(y + 4)2 = 144. Factorizas ysimplicas.

( ) ( )x y ++ =

6 42 2

36 161 Divides entre 144.

Por tanto, el centro de la elipse es el punto decoordenadas (6, 4); a = 6, b = 4; los vrtices son lospuntos (0, 4), (12, 4), y los focos (6 + 20 , 4),(6 20 , 4). Verica los datos anteriores.

Ejemplo 6

Encuentra ahora la ecuacin que representa la rbita dela tierra en el modelo planetario que construyen Mirna yLaura al inicio de la leccin.

Solucin:

Como la distancia del centro al vrtice es siempre a,entonces a = 5. Adems, CF = c= 3

Luego,

b2 = a2 c2

b2 = 52 32

b2 = 16 = 42

Como las coordenadas del centro son h = 2, k = 3,entonces la ecuacin de la elipse es:

( ) ( )x y + =

2

5

3

4

2

2

2

21

La longitud del lado recto es

2 2 42 2

5

32

5

b

a= =

( )

Por lo cual el puntoL es L 5 316

5, +

, o sea,

L 531

5

, de manera similar, R 5 3 165, , o sea,

R 51

5,

Con estos datos completas el trazo de la curva.

Solucin:

x2 + 4x + 4 + 4y2 = 4(x + 2)2 + 4y2 = 4, Divides por 4

( )xy

++ =

2

4

2

21 ; o sea,

( ) ( )x y++

=

2

4

0

11

2 2

graca en tu cuaderno la elipse.

xy

(6,0)

(6,-8)

(0,-4) (1.5,-4) (6,-4) (10.5,-4) (12,-4)

x

y

V(7,3)F(5,3)

C(2,3)

L

F

R

V

R 5,1

5

L 5,31

5

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UNIDAD 4


Ejemplo 7

Halla la ecuacin de la elipse de centro (1, 1), uno de los vrtices el punto (5, 1) y

excentricidad e =2

3

Como el centro es el punto (1, 1) y el vrtice es (5, 1) a = 6, ec

a

c

= = =

6

2

3,

de donde c= 4. Por otra parte, b2 = a2 c2 = 36 16 = 20.

La ecuacin pedida es( ) ( )x y+

++

=1

36

1

201

2 2

Ejemplo 8

Un arco tiene forma de semi-el ipse con una longitud de la base de 150 metros siendo sumxima altura de 45 metros.

Halla la longitud de dos soportes verticales situados cada uno de ellos a un tercio de lalongitud del semieje a partir del centro.

Considera que en el eje x est la base del arco y el origen es su punto medio.La ecuacin del arco ser,

x

a

y

b

2

2

2

21+ = , siendo a = 75, b = 45.

Para hallar la altura de los soportes, hacesx = 25 en la ecuacin y despejamos el valordey.

Es decir,625

5625 20258 225 30 2

2

21,+ = = ( ) =

yy y, metros.

Ejemplo 9

La tierra describe una trayectoria elptica alrededor del Sol que se encuentra en uno delos focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale 1.485 108 kilmetros y que

la excentricidad es, aproximadamente,1

62

, hallar la mx ima y la mnima distancia de

la Tierra al Sol.Solucin:

Excentricidad ec

a

= . Luego1

62 148 500 000=

c

, ,

, o sea c= 2, 400, 000

La mxima distancia es a + c= 1.509 108 kmLa mnima d istancia es a c= 1.461 108 km

x

y

(-25,0)(-75,0) (75,0)(25,0)

(0,45)

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UNIDAD 4


Ejemplo 10

Halla la ecuacin de la elipse con centro en (2, 3), foco en (2, 5) y con el vrt icecorrespondiente en (2, 7). Dibuja la cur va.

Solucin:

Ser de mucha ayuda dibujar primero y luego encontrar la ecuacin de la elipse. Ladistancia del centro al vrtice es siempre igual a a y, entonces, en consecuencia,b2 = a2 c2 = 42 22 = 12. A hora puedes obtener la ecuacin.

Sabes que tienes que emplear la ecuacin( ) ( )x h

b

y k

a

+

=

2 2

1 porque el eje

principal o mayor es paralelo al ejey. Tambin sabes que las coordenadas del centro

son h = 2 yk = 3; entonces puedes escribir:( ) ( )x y

+

=2

12

3

161

2 2

Ejemplo 11

Encuentra la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son V(6, 4) yV (2, 4) y cuyos focos son F(5, 4) yF (1, 4).Marca los focos en el siguiente grco:

Solucin:

Por los datos sabes que se trata de una elipse horizontal, pues tanto sus vrtices como losfocos tienen la misma ordenada. El centro de la elipse se determina obteniendo el puntomedio entre los vrtices o entre los focos. Entonces el centro es C(2, 4). Como sabes que aes la distancia del centro a cualqu iera de los vrtices, entonces a= 4. Tambin sabes que cesla distancia del centro a cualquiera de los focos, as, c=3. Para calcular b usas la ecuacina2 = b2 + c2 b2 = a2 c2

y

x00

1

1 2 3 4-1

-1

5-2-3-4 6 7 8 9

2

3

4

5

6

7

FF

Sustituyes los valores de a yc:

b2 = (4)2 (3)2 = 16 9 = 7; b = 7

Con estos datos puedes escribir la ecuacin dela elipse en su forma ordinaria:

( ) ( )x y+

=

2

16

4

71

2 2

Punto medio deP(x1,y

1) yQ(x

2,y

2) es

Pmx x y y

1 2 1 2

2 2

+ +

,

Observa

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UNIDAD 4


Se pueden calcular los elementos que todava no se conocen:

Lrb

ae

c

ay= =

( )= = =

2 2 7

4

7

2

3

4

2

Tambin, en caso que se desee, puedes transformar la ecuacin obtenida. Suprimiendodenominadores, desarrollando los binomios al cuadrado, reduciendo trminossemejantes y ordenando la ecuacin resultante. As por ejemplo:

( ) ( )

( ) (

x y

x y

+

=

+

2

16

4

71

7 2 16

2 2

244

16 71

7 4 4 16 8 16

2

2 2

)

( )

( ) ( )

=

+ + +x x y y ==

+ + +

1 112

7 28 28 16 128 256 12 2

( )

x x y y 112 0

7 16 28 128 172 02 2

=

+ + =x y x y

Esta ecuacin se conoce como forma general de la ecuacin de la elipse.

Ejemplo 12Calcula la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son V(1, 7) yV(1, 1) y cuyos focos sonF(1, 6) yF(1, 2).

Solucin:

Como los vrtices y los focos tienen la misma abscisa, la elipse es vertical . El centro, quees el punto medio entre los vrtices o entre los focos es C(1, 4) y los valores de a ycson:a = 3, c= 2. Calculas b sustituyendo los valores de a ycen b2 = a2 c2.

b b2 2 2

3 2 9 4 5 5= = = =( ) ( ) ; y la forma general se obtiene despus deefectuar los pasos a continuacin:

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

+

=

+

1

5

4

91

9 1 5 4

2 2

2 22

2 2

5 91

9 2 1 5 8 16 1 4

( )

( ) ( ) (

=

+ + + =x x y y 55

9 18 9 5 40 80 45 0

9

2 2

2

)

x x y y

x

+ + + =

+ 5 18 40 44 02

y x y + =

Ejemplo 13

Encuentra la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son V(1, 2) yV(9, 2) y cuya

excentricidad es e =1

2.

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UNIDAD 4


Solucin:

Es una elipse horizontal; los vrtices tienen la misma ordenada, su centro es C(5, 2) y

a = 4. Como e =1

2, escribimos:

1

2 4

1 4

22y= =

( )=

cc Sustituyes los valores

de a y c en b2 = a2 c2, y obtienes: b2 = (4)2 (2)2 = 16 4 =12 y b = 12 . Ya puedes

escribir la ecuacin pedida, pero antes vamos a encontrar los elementos que nos faltan.

La longitud del lado recto es Lrb

a= = =

2 2 12

46

2 ( )y las coordenadas de

los focos son F(3, 2) yF(7, 2). Las ordenadas de los focos son las mismas que lasordenadas de los vrtices y las del centro. Las abscisas de los focos se encuentransumando y restando c a la abscisa del centro.

La ecuacin de la elipse es:( ) ( )x y

++

=5

16

2

121

2 2

1.Determina la ecuacin de la elipse con centro en el origen si satisface las siguientes condiciones:

a) V(8, 0) yF( 5, 0) b) V(0, 5) y el eje menor mide 3.

2.Encuentra la ecuacin de la elipse que cumple con las siguientes condiciones:

a) V(2,8) y V(2, 0) ; F(2, 6) y F(2, 2)

b) V(2, 10) y V(2, 2) y e =3

4

c) F(3, 8) yF(3, 2) y e =3

4

d) V(3, 1) y V(3, 7) y Lr =2

33.Graca las elipses del numeral anterior.

Actividad 1

Resumen

Cuando la elipse tiene su centro en C(h, k), sus ecuaciones ordinarias son:( ) ( )x h

a

y k

b

+

=

2

2

2

21 Para la elipse horizontal

( ) ( )x h

b

y k

a

+

=

2

2

2

21 Para la elipse vertical

Donde a > b. La excentricidad est dada por cc

a

= , y la longitud, del lado recto

por2 2b

a.

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UNIDAD 4


Autocomprobacin

La excentricidad te da la forma de la elipse. Parauna elipse casi circular, los focos estn cerca delcentro y e es pequeo. Para una elipse alargada

los focos estn cerca de los vrtices y e escasi 1. La siguiente tabla te muestra la

excentricidad de las rbitas de los nueveplanetas y la Luna.

Soluciones1.c.2.c.3.d.4.d.

Las coordenadas del centro son:

a) ( 2, 1) c) (2, 1)

b) (2, 1) d) ( 2, 1)

1

El valor del semieje menor es:

a) 9 c) 3

b) 4 d) 2

3

El valor del semieje mayor es:

a) 9 c) 3

b) 4 d) 2

2

4El valor de la excentricidad es:

a)4

3

c)3

8

b)2

3

d)5

3

Dada la elipse( ) ( )x y

+

=2

9

1

41

2 2

Planeta e

Mercurio 0.2056Venus 0.0068Tierra 0.0107Marte 0.0934

Jpiter 0.0484

Planeta e

Saturno 0.00543Urano 0.00460

Neptuno 0.0082Plutn 0.2481Luna 0.0549

EXCENTRICIDAD DE LOS PLANETAS

y

x0

0 2 4-2-4 6

2

4

-2

-3 -1 1 3 5

1

-3

-1

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89

Cuarta Unidad

Motivacin

La hiprbola es el conjunto de todos los puntos delplano tales que, la diferencia entre las distancias a dospuntos jos llamados focos, es constante e igual a 2a.Esto signica que los puntos de la hiprbola satisfacen laigualdad PF PF a = 2

En la siguiente gura se muestra una hiprbolahorizontal, con centro en el origen, en la que se marcantodos sus elementos:


Construirs y aplicars, con inters y seguridad, la ecuacin de la

hiprbola utilizando el centro, un vrtice y un punto, las asntotas y unvrtice, un punto y sus vrtices.

Resolvers problemas, utilizando la ecuacin de la hiprbola, sugrco y sus elementos.

Construirs con orden y limpieza, hiprbolas, e identicars con inters y

seguridad sus elementos.Construirs y aplicars con inters y seguridad la ecuacin de la hiprbolautilizando la longitud del eje transverso y del eje conjugado, los focos y laexcentricidad.

E

La gura de la par te muestra dos conos iguales quecoinciden en sus vrtices, los conos son interceptadospor un plano E, perpendicular a las bases Cuntasramas tiene la curva que resulta de esa interseccin?

la hiprbola

Leccin5

Descripcin de la hiprbola

x

y

b

-b

F(-e,0) F(e,0)a-a

x

y

F

V

C

V

F

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UNIDAD 4


Observa quec

>a

.La posicin de la hiprbola, la determina la posicinde su eje transverso, y puede ser: horizontal o vertical.A continuacin se muestra la hiprbola en ambasposiciones.

De acuerdo con la denicin, si consideras como unpunto cualquiera de la hiprbola a uno de los vrtices,observars que el va lor absoluto de la diferencia de sudistancia a los focos es la distancia entre los vrtices

igual a 2a.

|VF FV| = V V= 2a

Porque VF = FV

En la hiprbola, la longitud del semieje conjugadoes tal que en el tringulo rectngulo que tiene porcatetos el semieje conjugado y el semieje transversoy por hipotenusa la distancia c, que es la distancia delcentro al foco, se establece la relacin entre a, b yc. Esarelacin est dada por la ecuacin que resulta al aplicarel teorema de Pitgoras a ste tringulo rectngulo y es:c2 = a2 + b2.

Observa que la hiprbola es una curva abierta queconsta de dos secciones, cada una de extensin innita.

Centro de la hiprbola: C

Vrtices : VyVFocos: FyF

Longitud de los lados rectos: Lr

Eje transverso = 2a = V VEje conjugado= 2b

Distancia entre los focos = 2c= F F

Semi-eje Transverso = a

Semi-eje Conjugado = b

Distancia del centro al foco = c.

x

y

V

b

C

V F

Lr

VF

Lr

asn

tota

asnto

ta

x

y

aV FVF

-a

C(h,k)

x

y

F

V

V

F

C(h,k)

x

y

F FVV

c

bc b

a

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UNIDAD 4


Ecuacin cannica de la hiprbola

sta se reere a una hiprbola horizontal o vertical en suforma ms simple, es decir, con su centro en el origen. Laecuacin para la hiprbola horizontal es:

x

a

y

b

2

2

2

21 =

Para la hiprbola vertical, su ecuacin es:

y

a

x

b

2

2

2

21 =

Observa que en la hiprbola horizontal, el cociente

positivo esx

a

2

2, mientras que en la hiprbola vertical el

cociente positivo esy

a

2

2

En una hiprbola, la longitud del lado recto es:

Lra

b=

22

Mientras que las asntotas de la hiprbola vertical estndadas por:y

a

x

b by ax

y

a

x

b

by

+ = + = =0 0 0;

=ax 0

Ecuaciones de las asntotas

Las asntotas de la hiprbola horizontal, estn dadas por:x

a

y

b bx ay

x

a

y

b+ = + = =0 0 0, bx ay - = 0

asntota

asntota

x

y

V F

Lr

VFLr

asn

tota

asnto

ta

4x-3y=0

x

y

V VF(-c,0) F(c,0)

y =b 2

a

P(x,y)

x

y

V

V

F(0,c)

F(0,-c)

x =b 2

a

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UNIDAD 4


Ejemplo 1

Halla la ecuacin de la hiprbola si sus vrtices son V(3, 0) y V(3, 0) y sus focos son:

F(5, 0) yF(5, 0)

Solucin:

Como las coordenadas de los focos y de los vrtices son iguales, la hiprbola eshorizontal, para comprobarlo, traza en t u cuaderno el sistema de coordenadascartesianas y ubica los vrtices y focos de la hiprbola.

Por los vrtices sabes que a = 3, y por los focos, que c=5. Recuerda que a2 + b2 = c2,entonces b2= c2 a2 = 52 32 = 25 9 = 16; o sea, b = 4.

Luego, con los valores a = 3 yb = 4 formas la ecuacin:

x

a

y

b

x y2

2

2

2

2 2

1 19 16

= =;

El valor del lado recto es2 2 4

2 2

3

32

3

b

a

=

( )=

Las asntotas estn dadas por:

x

a

y

by

x

a

y

b sea

x y+ = = + =0 0

3 40: ;;

x y

3 40 =

Para hacer la grca de la hiprbola, primero trazas las asntotas

x yx y

3 40 4 3 0+ = + =

x yx y

3 40 4 3 0 = =

Fjate que las dos asntotas deben cruzarse en el centro de la h iprbola, en este caso, elorigen (0,0).

La excentricidad de la hiprbola se denota por e, y es igual al cocientec

a

Tendrs: ec

a

= como c > a,c

a

> 1 .

As, en el ejemplo anterior, ec

a

= =5

3

x 0 3

y 0 4

x 0 3

y 0 4

x

y

V F

Lr

VFLr

asn

tota

asnto

ta

4x-3y=0

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UNIDAD 4


Ejemplo 2

Los vrtices de una hiprbola son los puntos V(0,3) yV (0,-3) y sus focos son los puntosF(0,5) yF (0,-5). Determinar la ecuacin de la hiprbola, las longitudes de sus ejestransverso y conjugado, su excentricidad, la longitud de cada lado recto y sus asntotas.Adems construye el gr co respectivo.

Solucin:

Como las abscisas de los focos y de los vrtices son iguales, la hiprbola es vertica l, o

sea, la hiprbola es de la forma y

a

x

b

2

2

2

21 =

Observa que la distancia entre los vrtices es 2a = 6, que es la longitud del eje transverso:

V V= 2a = 2(3) = 6

La distancia entre los focos es 2c= 2(5) = 10, luego a = 3 yc= 5 por tanto, b2 = c2 a2b2 = 25 9 = 16; b = 4

Luego, la longitud del eje conjugado es 2b = 2(4) = 8. La ecuacin de la hiprbola es:y x

2 2

9 161 =

La excentricidad es: ec

a

= =5

3. La longitud del lado recto es

2 2 4

3

32

3

2 2b

a= =

( )

Las asntotas son:y

a

x

b+ = 0 o sea,

y x

3 40+ = ;

y

a

x

b = 0

o sea,y x

3 40 =

Recuerda trazar primero las asntotas para gracar la hiprbola respectiva.

y

x00 2

-2

-2 4-4

2

6-6 8-8

-4

-6

-8

4

6

8

F(0,5)

V(0,3)

V(0,-3)

F(0,-5)

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UNIDAD 4


Ejemplo 3

Encontrar la ecuacin de la hiprbola con vrtices en (2, 0) y (2, 0) si pasa por el punto2 2 4,( ) y dibujar su grca.

Solucin:

Los vrtices estn en el eje x, la hiprbola, es horizontal, con a = 2. Como es horizontal,

la hiprbola es de la forma:x

a

y

b

2

2

2

21 =

Como a = 2; entonces la ecuacin queda as:x y

b

2

2

2

24

1 =

Como el punto ( , )2 2 4 pertenece a la hiprbola, satisface su ecuacin:

( )2 2

4

41

2 2

2 =

b

Resuelve la ecuacin en tu cuaderno y verica que b = 4. Luego la ecuacin de la

hiprbola es:x y

2 2

4 16 1 =

Para gracar la hiprbola, primero encuentras sus asntotas:x

a

y

b

x yo sea+ = + =0

2 40;

2 0x y+ =

x

a

y

b

x yo sea = =0

2 40;

2 0x y =

Ejemplo 4

Determina la ecuacin de la hiprbola cuyos focos son (4, 0) y ( 4, 0) y sus vrtices(1, 0) y ( 1,0) encontrar las ecuaciones de sus asntotas y construi r su gr ca.

x 0 2

y 0 4

x 0 2

y 0 4

y

x

0 1

-2

-1 2-2

2

3-3 4-4

-4

-6

-8

4

6

8

5-5

0

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UNIDAD 4


1.Determina la ecuacin de la hiprbola, que cumple con las siguientes condiciones.

a) V(0, 3) yV(0, 3); F(0, 4) yF (0, 4) c) Vrtices (3, 0) y (3, 0) y excentricidad =4

3

b) Vrtices (2, 0) y (2, 0) y focos (3, 0) y (3,0) d) Focos (3, 0) y (-3, 0) y e=3

2

2. En las hiprbolas anteriores encuentra las asntotas, longitudes de ejes transverso y conjugado, excentricidad y lado recto.

Actividad 1

Resumen

La ecuacin cannica de la hiprbola se da cuando su centro coincide con el origen. sta es:

x

a

y

b

2

2

2

2

1 = si la hiprbola es horizontal

y

a

x

b

2

2

2

21 = si la hiprbola es vertical

La distancia entre los focos es 2cy la distancia entre los vrtices 2a la relacin entre a, b ycse da mediante laigualdad c2 = a2 + b2.

Solucin

Como las ordenadas de los focos y vrtices soniguales, la hiprbola es horizontal, luego, es de la formax

a

y

b

2

2

2

21 =

La distancia entre los focos es 2c= 8, de donde c= 4 ladistancia entre los vrtices es 2a = 2 de donde a = 1

Con c= 4 ya = 1 determinamos el valor de b

b2 = c2 a2

b2 = 16 1; b2 = 15; o sea, b = 15

Al sust ituir los valores de a y b en la ecuacin de lahiprbola, sta nos queda as:x y

2 2

1 151 =

Las asntotas son:x

a

y

b

x y+ = + =0

1 150;

x y15 0+ =

y

x0

0 2-2 4 6-6 8-8

-5

-5

10-10 -4

F V V F

x

a

y

b

x y = =0

1 150;

x y15 0 =

Al constr uir el gr co obtienes la g ura de abajo.

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UNIDAD 4


Autocomprobacin

La circunferencia, parbola, elipse e hiprbolafueron estudiadas por los griegos: hace ms de2,000 aos. Dos matemticos que las estudiaron

fueron Menecmo y Apolonio de Perga.

Las cnicas esas atractivas curvas matemticasestudiadas por Menecmo y Apolonio constituyen

una imprescindible herramienta matemticapara explicar el mecanismo celeste. Kepler pudo

formular su primera ley:Los planetas describen rbitas elpticas en uno

de cuyos focos est el sol

Soluciones1.b.2.c.3.d.4.d.

El valor de su eje Transverso es:

a) 1 c) 4

b) 2 d) 8

1

El valor de su eje conjugado es

a) 4 c) 15

b) 2 d) 2 15

3

La distancia entre los focos es:

a) 1 c) 8

b) 4 d) 2

2

4 Su ecuacin es:a) y x2 21 15

0 =

b)x y

2 2

1 151 =

c)y x

2 2

15 10 =

d)y x

2 2

1 151 =

Si los focos de una hiprbola son (0, 4) y (0, 4) y losvrtices (0,1) y (0,1). Entonces:

ORIGEN DE LAS CNICAS

y

x0

0

-1

2-2

1

4 6-4

-2

-3

2

3

4

8-6-8

Apolonio de Perga

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97

Leccin 1

Actividad 1: 1. a) Horizontal abierta a la derecha b) Vertical abierta hacia abajo

c) Vertical abierta hacia abajo

d) Horizontal abierta a laizquierda

2. f 05

2,

D y: =5

2

Solucionario

3. Como (5, 9) le pertenece:

(5)2 = 4p(9). Luego, p =25

36.

La ecuacin es x y

x y

2

2

4

25

9

25

36=

=

La directriz es y=25

36

Arriba x y225

9=

Izquierda y x281

5=

4. a)x2 = 8y

c)y2 = 3x

Leccin 2:Actividad 1: a) f(6, 5) v (6, 6) y = 7

b) v(6, 6) f(5, 6) x = 7

c)

v(4, 0)

f(2, 0)

x= 6

d) v(1, 3) f 1

5

2,

y = 7

2

e) v(0, 2) f 01

2

,

y=

7

2

y

x0

0 2

-2

-2 4-4

2

6-6

y

x0

0 2

-2

-2 4-4 6-6

-4

F

y

x0

0 2

-2

-2 4-4 6-6

-2

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SolucionarioLeccin 3:Actividad 1: 1. d)

x y2 2

4 9

1+ =

e) x y2 2

16 251+ =

2. a) x y2 2

5 91+ =

b)x y

2 2

12 161+ =

c) x y2 2

9 41+ =

Leccin 4Actividad 1: 1. a)

x y2 2

64 39

1+ =

b)y x

2 2

25

4

91+ =

2. a)y x( )

++( )

=

4

16

2

121

22

y

x0

0 1 3-2-3

1

2

-1

2-1

-2

-3

3

y

x0

0 2 6-4-6

2

4

-2

4-2

-4

-6

6

b) y x( )+

( )=

6

16

2

71

22

c)y x( )

+( )

=

5

16

3

71

22

d) y x( )+

( )=

4

9

3

11

22

3. a)

d)

Leccin 5Actividad 1: 1. a)

y x2 2

9 71 =

b)x y

2 2

4 5

1 =

c)x y

2 2

9 71 =

d)x y

2 2

4 51 =

y

x00 2 6-4-6

2

4

-2

4-2

6

8

-8

y

x00 2 6-4

2

4

-2

4-2

6

8

8 9

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Recursos

BARNE, Raymond, lgebra y trigonometra. Editorial Mc Graw Hill,tercera edicin, Colombia, 1990

FLEMING, Walter y Varberg, Dale, lgebra y trigonometra con geometraanaltica. Editorial Prentice Hall, tercera edicin, Mxico, 1991

JURGENSEN, Ray; Donnelly, Al fred y Dolciani, Mary. Geometra moderna.Editorial Publicaciones Cultural, tercera reimpresin, Mxico, 1972

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