Mat 117 Mate Matic as Basic as 20132

7/21/2019 Mat 117 Mate Matic as Basic as 20132

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Matematicas Basicas

Primera Practica Calificada

(2013-2)

Indicaciones generales:

* Duracion: 1 h 50 min.* No se permite el uso de apuntes de clase ni libros.* Explique detalladamente las soluciones.* La presentacion, la ortografa y la gramatica de los traba jos influiran en la calificacion.

1. Discuta la siguiente ecuacion3x2 + 8y 4x2y= 16 (3 pts)

2. Halle la ecuacion de la recta L que pasa por el punto P(5, 3) y forma un triangulo isosceles con

las rectas L1: x y 1 = 0 y L2: x 7y 1 = 0. (4 pts)

3. Halle las ecuaciones de los lados de un triangulo, uno de cuyos vertices es C(4, 3) y las ecuacionesde una bisectriz y de una mediana trazadas desde un mismo vertice son, respectivamente, B :

x + 2y 5 = 0 y M: 4x + 13y 10 = 0. (4 pts)

4. Halle la ecuacion de la circunferencia de radio 10 u, centro en el segundo cuadrante y tangente alas rectas L1: 3x + 4y 50 = 0 y L2: 4x + 3y 50 = 0. (4 pts)

5. Halle las ecuaciones de los lados de un tri angulo si C1 : x2 + (y+ 2)2 = 1 es la circunferencia

inscrita y C2: x2 + (y 4)2 = 4 es una de sus circunferencias exinscritas. (5 pts)

Iris Flores QuesquenJuan Montealegre Scott

San Miguel, 19 de setiembre de 2013

Este material, de distribucin gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado

durante la realizacin de las evaluaciones.


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Matematicas Basicas

Segunda Practica Calificada

(2013-2)

Indicaciones generales:

* Duracion: 1 h 50 min.* No se permite el uso de apuntes de clase ni libros.* Explique detalladamente las soluciones.* La presentacion, la ortografa y la gramatica de los traba jos influiran en la calificacion.

1. a) El eje focal de una parabola es paralelo al eje Y, su vertice es el punto V (3, 4) y L (7, 2) esuno de los extremos del lado recto. Halle la ecuaci on de la parabola. (2 pts)

b) Si el vertice de una parabola es el punto V (2,3), la longitud del lado recto es 45 y la

recta tangente a la parabola en V es la rectaT : 2x y+ 1 = 0, determine la ecuacion de laparabola. (4 pts)2. Halle los vertices de un cuadrado con los lados paralelos a los ejes coordenados, inscrito en la

region limitada por las parabolasP1 : x2 + 3y 12 = 0 yP2 : x2 6y 12 = 0. (4 pts)3. a) Los vertices de una elipse son V1(3, 7) y V2(3,1), y la longitud de cada lado recto es 2.

Halle la ecuacion de la elipse. (2 pts)

b) El centro de una elipse es (1, 0). El eje normal es la recta x y 1 = 0, el eje mayor mide12 y el lado recto mide 8. Determine las coordenadas de los focos, las coordenadas de losvertices y la ecuacion de la elipse. (4 pts)

4. Halle en la elipse x2

18+ y

2

8 = 1 el punto P mas proximo a la recta 2x 3y+ 25 = 0. Calcule la

distancia del punto P a la recta. (4 pts)

Juan Montealegre ScottSan Miguel, 03 de octubre de 2013




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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Tercera Practica de Matematicas Basicas2do. Perodo 2013

Tiempo de duracion de la practica: 1 hora y 50 minutos.

No se permite el uso de apuntes, libros ni calculadoras. Explique detalladamente las solu-ciones.

La presentacion, la ortografa y la gramatica de los trabajos influiran en la

calificacion.

1. Usando induccion matematica pruebe que:

a) para cualquier entero n 7 se cumple la desigualdad 2n > n2 + 4n+ 5. (3 pts)

b)n

k=1

sen(kx) =sen

(n+ 1) x

2 sen

nx

2

senx

2

, para cualquier n Z+. (3 pts)

2. Calcule en terminos de n Z+ los valores de las siguientes sumatorias:

a)n

k=2

k+ 2

k (k2 1). (4 pts)

b)n

k=1

1

k+ 1

n

k

. (3 pts)

3. Si nes un entero positivo fijo, demuestre que

(1 + i)n

(1 i)n2 = 2in1. (3 pts)

4. Resolver el sistema de ecuaciones

(3 i) z+ (4 + 2i) w= 2 + 6i(4 + 2i) z (2 + 3i) w= 5 + 4i (4 pts)

Juan Montealegre ScottSan Miguel, 07 de noviembre de 2013




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Cuarta Practica de Matematicas Basicas2do. Perodo 2013

Tiempo de duracion de la practica: 1 hora y 50 minutos.

No se permite el uso de apuntes, libros ni calculadoras. Explique detalladamente las soluciones.

La presentacion, la ortografa y la gramatica de los traba jos influiran en la calificacion.

1. Demuestre que para cualquier z C tal que z =1 y |z|= 1, existe un t R de modo que

z = 1 + ti

1 ti. (4 pts)

2. Halle los numeros complejos z tales que z6

= z . (4 pts)

3. Calcule Ay B siendo

A=n

k=0

cos

k

4

y B =

nk=0

sen

k

4

. (4 pts)

4. Sea

A=

1 2 21 2 1

0 1 1

.

a) Compruebe queA3 = I, donde I es la matriz identidad. (2 pts)

b) Resuelva la ecuacion AX+ I= A2. (2 pts)

5. Calcule el siguiente determinante

det

1 1 2 5 31 1 1 3 22 1 0 0 05 3 0 0 03 2 0 0 0

(4 pts)

Juan Montealegre ScottSan Miguel, 21 de noviembre de 2013




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Primer Examen de Matematicas Basicas2do. Perodo 2013

Tiempo de duracion del examen: 3 horas.


La presentacion, la ortografa y la gramatica de los trabajos influiran en la calificacion.

Numere las paginas de los cuadernillos del 1 al 10 y resuelva las cinco preguntas que siguende acuerdo a la siguiente relacion:

PREGUNTA 1 2 3 4 5

PAGINAS 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10

1. Halle las ecuaciones de los lados de un tri angulo, conociendo uno de sus vertices A (4,1) y lasecuaciones de la bisectrizB: 3x+ y + 11 = 0 y de la medianaM: x + 2y + 17 = 0 trazadas desdeel vertice B. (4 pts)

2. Halle la ecuacion de la circunferencia Ctangente a las rectas L1: 3xy4 = 0 y L2 : x3y4 = 0,ademas pasa por el punto de interseccion de las rectasL1 yL3 : x 2y+ 7 = 0. (4 pts)

3. a) Demuestre que el producto de las distancias de los focos de la elipseE : x2a2

+ y2

b2 = 1 a

cualquier tangente es igual al cuadrado de la longitud del semieje menor. (2 pts)

Nota. La ecuacion de la recta tangente a la elipseE en el punto de tangencia P(x0, y0) esT :b2x0x + a2y0y = a2b2.

b) Halle la ecuacion de la elipse cuyos focos son los puntos (3, 0) y (3, 0), si la rectaT :x y 5 = 0 es tangente a ella. (2 pts)

4. a) Una elipse con centro enC(1,1) tiene un vertice en V (3,3). Halle la ecuacion de la elipsesi la longitud del lado recto es 3

2. (2 pts)

b) Determine la ecuacion de la hiperbola con eje focal paralelo al eje de ordenadas, centro en larecta y= 2x, uno de sus focos (5, 4) y la longitud de uno de sus lados rectos es 7. (2 pts)

5. Dada la ecuacion4x2 12xy+ 9y2 8

13x 14

13y+ 117 = 0.

a) Encuentre las ecuaciones de transformacion por rotacion que permiten suprimir el terminorectangular. (2 pts)

b) Suprima el termino rectangular e identifique el lugar geometrico que representa la ecuaciondada. (2 pts)

Iris Flores QuesquenJuan Montealegre Scott

San Miguel, 19 de octubre de 2013




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Segundo Examen de Matematicas Basicas2do. Perodo 2013




Numere las paginas del cuadernillo del 1 al 10 y resuelva las cinco preguntas que siguen deacuerdo a la siguiente relacion:

PREGUNTA 1 2 3 4 5

PAGINAS 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10

1. a) Demuestre por induccion matematica la siguiente formula

n

k=1

k3 =

n2 (n+1)2

4 . (2 pts)

b) Calcule en terminos de n el valor den

k=1

1

k+1

n

k

. (2 pts)

2. a) Si z y w sonnumeros complejos distintos de1 y 1 c o n |z|= |w|= 1, pruebe que

zw1 wz =

1.

(2 pts)

b) Halle los numeros complejos z que satisfacen la ecuacion|z|2 2z+1

2=2i. (2 pts)

3. a) Si A Rnn es tal que An = demuestre que I Aes no singular y

(I A)1 = I+n1

k=1

Ak (2 pts)

b) Dada la matriz

A=

0 1 0 0

0 0 1 00 0 0 10 0 0 0

,

compruebe que A4 = y calcule la matriz inversa de I A. (2 pts)

4. a) Calcule el determinante de la matriz

A=

1 2 2 2 22 2 2 2 22 2 3 2 22 2 2 4 22 2 2 2 5

(2 pts)

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b) Resuelva mediante eliminacion gaussiana el sistema siguiente

x1+2x2 x4+2x5 = 4x1 x2 3x3+ x4+11x5 = 7

2x1 3x2+2x3 2x4 7x5 = 79x1 9x2+ x3 6x4 2x5 = 4

(2 pts)

5. Dada la matriz

A=

5 6 31 0 1

1 2 1

.

a) Halle los numeros R tales que det (A I)= 0. (1 pts)

b) Para cada valor de hallado en la parte a), halle el vector columna X R31 no nulo talque AX= X. (3 pts)

Juan Montealegre ScottSan Miguel, 07 de diciembre de 2013

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Examen Especial de Matematicas Basicas2do. Perodo 2013




Numere las paginas de los cuadernillos del 1 al 10 y resuelva las cinco preguntas que siguen deacuerdo a la siguiente relacion:

PREGUNTA 1 2 3 4 5

PAGINAS 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10

1. a) En el trianguloA (5,12),B (17,0),C(1, 0)se inscribe el cuadradoPQRSde modo quePesta en el ladoAC,Q en el lado AB y el lado RSdel cuadrado esta contenido en el ladoBCdel triangulo. Halle las coordenadas de los vertices del cuadrado. (2 pts)

b) Sean la circunferenciaC : x2 +y2 = 16 y la recta L : 4x 3y = 0. Halle la ecuacion dellugar geometrico que describe el puntoP del segmento AB si d (A, B)= 4d (A, P)y ABesperpendicular a L conA Cy B L. (2 pts)

2. a) Demuestre por induccion matematica la siguiente formula

n

k=1

(n+ 1 k)3 =n2 (n+ 1)2

4 . (2 pts)

b) Halle el valor denj=1

j+1i=1

ji 1

1

2

i

. (2 pts)

3. a) Dos numeros complejosz y w son tales que|z+w|= |z w|. Pruebe que z

wes un numero

imaginario. (2 pts)

b) Siz+1

z=2 cos t,t R yz C, halle la parte real dezn +

1

zn. (2 pts)

4. a) Calcule el determinante de la matriz

A=

1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2 21 2 4 4 4 41 2 4 6 6 61 2 4 6 8 81 2 4 6 8 10

. (2 pts)

b) Resuelva mediante eliminacion gaussiana el sistema siguiente

3x1+ 2x2+ 5x3 = 14x1+ 3x2+ 6x3 = 25x1+ 4x2+ 7x3 = 36x1+ 5x2+ 8x3 = 4

(2 pts)

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5. Dada la matriz

A=

1 1 01 2 1

0 1 1

.

a) Halle los numeros R tales que det (A I)= 0. (1 pts)

b) Para cada valor de

hallado en la parte a), halle el vector columna X R31

no nulo talqueAX= X. (3 pts)

Juan Montealegre ScottSan Miguel, 10 de diciembre de 2013

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