Máquinas de Turing - UPV/EHU2]turing.pdf · • Las máquinas de Turing con varias cintas son...

Complexity©D.Moshkovitz

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Máquinas de Turing


2

Motivación

Nuestra meta, en este curso, es analizar problemas y clasificarlos de acuerdo a su complejidad .


3

Motivación

Nos hacemos preguntas como: “¿Cuánto tiempo tarda en computarse algo?”


4

Motivación

Para poder resolver estas cuestiones debemos definir formalmente un modelo de computación.


5

Introducción• Objetivos:

– Introducir el modelo de computación denominado “Máquina de Turing”.

• Resumen:– Máquinas de Turing deterministas (MTD)– Máquinas de Turing con varias cintas (MTVC)– Máquinas de Turing no deterministas (MTND)– La tesis de Church-Turing


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Esquema de una MT

cabeza: lee/escribe

cinta infinita

movimientos: izda/dcha¡Aquí hay

una b!

a


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Definición formal de la MT

Una máquina de Turing determinista es una tupla formada por varios objetos.

SIP 128-129


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1. Q – un conjunto finito de estados.



9

2. Σ - El alfabeto de entrada: un conjunto finito de símbolos que no contiene al símbolo blanco.



10

3. Γ - el alfabeto de cinta, tal que: Σ⊆Γy en símbolo “_” está en Γ.



11

4. δ:Q×Γ→Q×Γ×{I,D} – la función de transición.

q0

a

q0



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5. q0∈Q – el estado inicial



13

6. qsi∈Q – el estado aceptador.



14

7. qno∈Q – el estado no aceptador. qno≠qsi.



15

1. Q – el conjunto de estados.2. Σ - el alfabeto de entrada.3. Γ - el alfabeto de cinta.4. δ:Q×Γ→Q×Γ×{I,D} – la función de

transición.5. q0 ∈Q – el estado inicial.6. qsi∈Q – el estado aceptador.7. qno∈Q – el estado que rechaza.

Definición formal de la MTResumen


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Ejecución de un MTDLa configuración inicial

q0 cabeza: en la casilla más a la izda

La entrada: a partir de la casilla más a la izda

estado inicial


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q0

δ(q0,a)=(q0,b,D)

q0

b

Nota: ¡La cabeza no se puede movermás a la izda de esta casilla!

Ejecución de un MTDEjemplo


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qsi

Si la ejecución alcanza el estado aceptador, para.

Ejecución de un MTDLa configuración aceptadora


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qno

Si la ejecución alcanza el estado que rechaza, también para.

Nota: ¡La máquina podría ciclar y no alcanzar ninguno de los estados

aceptador y rechazador!

Ejecución de un MTDLa configuración rechazadora


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Lenguaje aceptado por una MT

• Una MT acepta su entrada si, partiendo de la configuración inicial, durante el cómputo alcanza la configuración aceptadora.

• El conjunto de entradas aceptadas por un MT se denomina su lenguaje.


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Configuraciones

¿Cuántas configuraciones distintas puede alcanzar una MT que use N casillas?

|Γ|N × |Q|×N

El contenido de la cinta

El estado La posición

de la cabeza


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Construcción de una MTD para un lenguaje

L = { anbncn | n≥0 }

aaabbbcccaaabbbccc

Ejemplos:

Miembros de L:

No miembros de L: aaabbccccaaabbcccc


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La máquina de Turingdeterminista

1. Q = {q0,q1,q2,q3,q4,qsit,qno}2. Σ = {a,b,c}3. Γ = {a,b,c,_,X,Y,Z}4. δ especificada mediante diagrama.5. q0 ∈Q – el estado inicial.6. qsi∈Q – el estado aceptador.7. qno∈Q – el estado que rechaza.


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La función de transición

q0

q3

q2

q1

q4

qac

a→a, D

c→Z,I

b→Y,D

b→b, D

Z→Z, I

X→X, D

Y→Y, DZ→Z, D

_→_, D

_→_, DY→Y, D

a→X,D

Y→Y, DZ→Z, D

b→b, Ia→a, IY→Y, I

q0

q3

q2

q1

q4

qac

Las transiciones a estado qno no se

especifican.


25

Lenguaje aceptado{ anbncn | n≥0 }

q0

q3

q2

q1

q4

qsi

a→X,D

a→a, D Y→Y, D

c→Z,I

b→Y,D

b→b, D Z→Z, D

Z→Z, Ib→b, IY→Y, Ia→a, I

X→X, D

Y→Y, D Z→Z, D

_→_, D

_→_, DY→Y, D

a b c _. . .

q0

q3

q0

q1

X

q2

q1

Y Z

q2

q3

q0q0

q4

_

q4

qsi


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Modelos equivalentes

• Las máquinas de Turing deterministas tienen mucho poder de computación.

• Podemos simular con ellas otros modelos, aparentemente más poderosos, con un coste polinómico.

• A continuación vemos un ejemplo.


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Máquinas de Turing con varias cintas

_bbabaa . . .

__bbbbb . . .

__abaab . . .

SIP 136-138

La entrada se escribe en la primera cinta


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1. Q – el conjunto de estados.2. Σ - el alfabeto de entrada.3. Γ - el alfabeto de cinta.4. δ:Q×Γk→Q×(Γ×{I,D})k – la función de

transición, donde k (el número de cintas) es una constante.

5. q0 ∈Q – el estado inicial.6. qsi∈Q – el estado aceptador.7. qno∈Q – el estado que rechaza.

Máquinas de Turing con varias cintas


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Robustez del modelo

• Las máquinas de Turing con varias cintas son polinómicamenteequivalentes (en cuanto a tiempo) a las que tienen una sola cinta.

• Podemos afirmar algo mucho más importante sobre la robustez del modelo de máquina de Turing:


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La Tesis de Church-Turing

Noción (intuitiva) de algoritmos

Noción (intuitiva) de algoritmos

Máquinas de Turing

Máquinas de Turing≡


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¿Qué más?

• Definimos otro modelo de computación menos realista,

• que puede ser simulado por las MTDs.• Sin embargo, con un coste exponencial

de tiempo.


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Máquinas de Turing no deterministas MTND

1. Q – el conjunto de estados.2. Σ - el alfabeto de entrada.3. Γ - el alfabeto de cinta.4. δ:Q×Γ→P(Q×Γ×{I,D}) – la función de

transición.5. q0∈Q – el estado inicial.6. qsi∈Q – el estado aceptador.7. qno∈Q – el estado que rechaza.

Partes de P(A)={B | B⊆A}


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Ejecución de un MTND

...

cómputo determinista

Árbol de cómputo no determinista

Nota: el tamaño de un árbol es exponencial en su profundidad

tiempo

acepta si algunarama alcanza la configuración aceptadora


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Descripción alternativa

Una máquina de Turing no determinista adivina el camino correcto y luego comprueba que efectivamente es correcto.


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Ejemplo• Una MTND que decide si dos vértices de un

grafo están conectados puede simplemente adivinar un camino entre ellos.

• A continuación necesita verificar que efectivamente el camino es válido (existe).


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Simulación de una MTND por una MTD

• Describimos una MTD con 3-cintas que simula una MTND dada.

SIP 138-140


37

. . .

. . .

. . .

cinta de entrada

cinta simuladora

cinta de direcciones

Simulación de una MTND por una MTD


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Direcciones

computación no determinista1

1

1 1

1

11

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

1312

111


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Simulación1. Escribe 111…1 en la cinta de direcciones.2. Copia la entrada en la cinta simuladora.3. Simula la MTND: usa la elección dictada

por la cinta de direcciones (si es válida).4. Si se acepta – acepta y termina.5. Cambia la dirección por la siguiente en

orden lexicográfico. Si no hay más –rechaza.

6. Ir al paso 2.


40

Resumen

• Presentamos dos modelos de computación: la máquina de Turing determinista frente a la máquina de Turing no determinista.

• Simulamos las MTNDs por MTDs con un coste exponencial en tiempo.


41

Resumen

• La Tesis de Church-Turing: Las máquinas de Turing deterministas son equivalentes a nuestra idea intuitiva de algoritmo.

• Hay que tener en cuenta que normalmente describiremos los algoritmos en pseudo-código y no con MTDs

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