Maqueta MAPA Herramienta Didáctica 10

8/16/2019 Maqueta MAPA Herramienta Didáctica 10

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DOCUMENTO DE TRABAJO Nº.10

Estadistica

ASIGNATURA

CÓDIGO PLAN DE ESTUDIO

REQUISITO(S) HORAS SEMANALES

OBLIGATORIA/LECTIVAANUAL/SEMESTRALDIURNA/VESPERTINA

TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA CARÁCTER


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II. Aprendizajes Esperados:

Defnir Variables aleatorias y su distribución.

1. Identifcar Variables aleatorias y su distribución, Tipos de variables

aleatorias

2. Diseño de unción de probabilidad y de distribución, variable aleatoria

discreta.

3. !lcular e interpretar" la esperan#a, y la varian#a

III. Sn!esis es"#e$%!i&a de Con!enidos

I'. A&!i(idades ) indi(id#a*es o +r#pa*es,

1$ %e observó &ue el '() de los ve*+culos &ue cru#an deterinado puente

son caiones coerciales. uatro ve*+culos van a cru#ar el puente en elsi-uiente inuto.

a$ Deterinar la distribución de probabilidad para el nero de caiones

coerciales entre los cuatro, si los tipos de ve*+culos son independientes entre

s+.

b$ Deterinar las unciones de distribución a /0$ .

c$ epresentar -r!fcaente.

2$ os re-istros de ventas diarias de una epresa abricante de

coputadoras uestran &ue se vender!n (, 1 ó 2 sisteas centrales de

cóputo con sus probabilidades se-n la tabla"


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4ero de ventas" ( 1 2

5robabilidad" (,6 (,2 (,1

a$ Deterinar la distribución de probabilidad del nero de ventas en un

per+odo de 2 d+as, suponiendo &ue las ventas son independientes de un d+a a

otro.

b$ alcular la probabilidad de &ue al enos se oralice una venta en un

per+odo de 2 d+as.

3$ En una ca7a *ay 1( bolitas blancas y 18 a#ules. %e etrae una uestra

eli-iendo al a#ar sucesivaente, sin reposición, 3 bolitas. %ea la variable

aleatoria 9 : cantidad de bolitas blancas en la uestra.

a$ Deterinar el recorrido de la variable 9 y la unción de probabilidad.

b$ alcular la probabilidad de &ue se eli7an a lo suo 2 bolitas blancas.

c$ %i se sabe &ue se eli-ieron a lo suo 2 bolitas blancas, ;cu!l es la

probabilidad de &ue se *aya ele-ido eactaente una blanca<

'$ Dada la si-uiente unción de distribución a i#&uierda, deterinar la

unción de probabilidad puntual.

x2

2x1

1x0

0x

1

0,36

0,04

0

F(X)

<


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Ejercicio 1:

%e lan#an dos dados"

a. ;u!l es la probabilidad de obtener una sua de puntos i-ual a 6<

b. %i la sua de puntos *a sido 6, ;cu!l es la probabilidad de &ue en

al-uno de los dados *aya salido un tres<

Solución

%ean los sucesos A:=la sua de los puntos es 6= y B:=en al-uno de los dados

*a salido un tres=.

a. os casos posibles al lan#ar dos dados son 3> y los casos avorables al

suceso A son los seis si-uientes" 01,>$? 02,8$? 03,'$? 0',3$? 08,2$ y 0>,1$.5or tanto, P( A) = 6/36=1/6

b. En este caso, el suceso B/A es salir en al-n dado 3, si la sua *a sido

6. @bservaos &ue esta situación ocurre en las pare7as 03,'$ y 0',3$. 5or

tanto, P( B/A )=2/6=1/3

Ejercicio 2:

%e consideran dos sucesos, A y B, asociados a un eperiento aleatorio con

P(A)=(.6? P(B)=(.>? P( )=(.8A.

a. ;%on independientes A y B<

b. %i M A, ;cu!l es el valor de P( / )<

Solución

a. 5ara ver si son independientes, coprobareos si P( A B ) = P( A ) · P( B )

P( ) = P[(A B)c ] = 1 B P(A B)

5or tanto, P(A B) : 1 B P( ) : 1 B(.8A : (.'2

5or otro lado, P( A ) · P( B ) : (.6 C (.> : (.'2


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ue-o, A y B son independientes, pues P( A B ) = P( A ) · P( B ) :

(.'2

b. M A . 5or tanto,

Ejercicio 3:

na copañ+a dedicada al transporte pblico eplota tres l+neas de una ciudad,

de ora &ue el >() de los autobuses cubre el servicio de la priero l+nea, el

3() cubre la se-unda y el 1() cubre el servicio de la tercera l+nea. %e sabe

&ue la probabilidad de &ue, diariaente, un autobs se aver+e es del 2), ') y

1), respectivaente, para cada l+nea. Deterina la probabilidad de &ue, en und+a, un autobs sura una aver+a.

Solución

El suceso =surir una aver+a= 0 Av $ puede producirse en las tres l+neas, (L1, L2, L3 ).

%e-n el teorea de la probabilidad total y teniendo en cuenta las

probabilidades del dia-raa de !rbol ad7unto, teneos"

P(Av) = P(L1 ) · P(Av/L1 ) + P(L2 ) · P(Av/L2 ) + P(L3 ) · P(Av/L3 ) =

: (.> C (.(2 (.3 C (.(' (.1 C (.(1 :: (.(12 (.(12 (.((1 : (.(28

Ejercicio 4:

na epresa del rao de la alientación elabora sus productos en cuatro

actor+as" F 1, F 2, F 3 y F 4. El porcenta7e de producción total &ue se abrica en


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cada actor+a es del '(), 3(), 2() y 1(), respectivaente, y ade!s el

porcenta7e de envasado incorrecto en cada actor+a es del 1), 2), 6) y ').

Toaos un producto de la epresa al a#ar. ;u!l es la probabilidad de &ue se

encuentre deectuosaente envasado<

Solución

laando M : =el producto est! deectuosaente envasado=, se tiene &ue este

producto puede proceder de cada una de las cuatro actor+as y, por tanto,

se-n el teorea de la probabilidad total y teniendo en cuenta las

probabilidades del dia-raa de !rbol ad7unto, teneos"

P(M) = P(F 1 ) · P(M/F 1 ) + P(F 2 ) · P(M/F 2 ) + P(F 3 ) · P(M/F 3 ) + P(F 4 ) · P(M/F 4 ) =

: (.' C (.(1 (.3 C (.(2 (.2 C (.(6 (.1 C (.(' :

: (.((' (.((> (.(1' (.((' : (.(2A

Ejercicio 5:


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%e tiene una urna vac+a y se lan#a una oneda al aire. %i sale cara, se

introduce en la urna una bola blanca y si sale cru#, se introduce una bola

ne-ra. El eperiento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la

ano en la urna, retirando una bola. ;u!l es la probabilidad de &ue en la urna

&ueden una bola blanca y otra ne-ra<

Solución

laaos B : =obtener bola blanca= y N : =obtener bola ne-ra=. En el

dia-raa de !rbol pueden verse las conf-uraciones posibles de las urna,

despuFs del lan#aiento de las onedas y las urnas fnales, as+ coo las

probabilidades para cada una de ellas. Gtendiendo a la notación epresada en

el dia-raa de !rbol y se-n el teorea de la probabilidad total, se obtiene"

P(BN) = P(BN BBN) + P(BN BNN) = P(BBN) · P(BN/BBN) + P(BNN) ·

P(BN/BBN) =

: 3HA C 2H3 3HA C 2H3 : 1H' 1H' :

Ejercicio 6:

%e lan#an dos onedas al aire. %i salen dos caras, se etrae una bola de una

urna I, &ue contiene 2 bolas blancas y 3 ne-ras. %i sale cara y cru#, se etraeuna bola de una urna II, &ue contiene ' bolas blancas y 1 ne-ra. %i salen dos

cruces, se etrae una bola de una urna III, &ue contiene 3 bolas blancas y 2

ne-ras. ;u!l es la probabilidad de etraer bola blanca despuFs de lan#ar las

onedas y sacar la bola<

Solución


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El dia-raa de !rbol uestra, priero, las probabilidades correspondientes a

la elección de la urna y, despuFs, a la etracción de la bola.

a probabilidad total de sacar bola blanca la calculaos cainando por todas

las raas &ue terinan en sacar bola blanca.

P(B) = P(B/UI ) · P(UI ) + P(B/UII ) · P(UII ) + P(B/UIII ) · P(UIII ) =

: 2H8 C 1H' 'H8 C 2H' 3H8 C 1H' : 13H2(

Ejercicio 7:

Tres !&uinas, A, B y C, producen el '8), 3() y 28), respectivaente, del

total de las pie#as producidas en una !brica. os porcenta7es de produccióndeectuosa de estas !&uinas son del 3), ') y 8).

a. %eleccionaos una pie#a al a#ar? calcula la probabilidad de &ue sea

deectuosa.

b. Toaos, al a#ar, una pie#a y resulta ser deectuosa? calcula la

probabilidad de *aber sido producida por la !&uina B.

c. ;JuF !&uina tiene la ayor probabilidad de *aber producido la citada

pie#a deectuosa<

Solución

%ea D: =la pie#a es deectuosa= y N: =la pie#a no es deectuosa=. a

inoración del problea puede epresarse en el dia-raa de !rbol ad7unto"


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a. 5ara calcular la probabilidad de &ue la pie#a ele-ida sea deectuosa,P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =

: (.'8 C (.(3 (.3( C (.(' (.28 C (.(8 : (.(3A

b. Debeos calcular P(B/D). 5or el teorea de Kayes,

c. alculaos P(A/D) y P(C/D), copar!ndolas con el valor de P(B/D) yacalculado. Gplicando el teorea de Kayes, obteneos"

a !&uina con ayor probabilidad de *aber producido la pie#a

deectuosa es A


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Ejercicio 8:

Teneos tres urnas" A con 3 bolas ro7as y 8 ne-ras, B con 2 bolas ro7as y 1

ne-ra y C con 2 bolas ro7as y 3 ne-ras. Esco-eos una urna al a#ar y

etraeos una bola. %i la bola *a sido ro7a, ;cu!l es la probabilidad de *aber

sido etra+da de la urna G<

Solución

laaos R: =sacar bola ro7a= y N: =sacar bola ne-ra=. En el dia-raa de

!rbol ad7unto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los

sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

a probabilidad pedida es P(A/R). tili#ando el

teorea de Kayes, teneos"

'. E(a*#a&i-n de *a a&!i(idades


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'I. Sn!esis de *os &on!enidos :

VARIABLE ALEATORIA

OBJETIVOS:

TEMAS:

1. Variable aleatoria discreta, /unción de probabilidad, y de distribución deuna variable aleatoria discreta e7eplos.

2. !lculo e interpretación de la Esperan#a, Varian#a, e7eplos

Variables aleatorias.

Introducción

na variable aleatoria es toda ley &ue asocia a cada eleento del

espacio uestral un nero real. Esto perite sustituir los resultado de una

prueba o eperiento por neros y los sucesos por parte de con7unto de

neros reales. na variable aleatoria presenta dos caracter+sticas

iportantes"

Variables aleatorias y su distribución

1$ na colección 0con7unto$ de valores posibles al &ue llaaos ia-en de la

variable aleatoria 0antes lo lla!baos espacio uestral$.


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2$ na probabilidad asociada a los posibles resultados la cual &ueda

epresada ediante una unción de probabilidad.

Tipos de ariables aleatorias

as variables aleatorias &ue tienen un con7unto de posibles valores

discreto, se llaan discretas. Estas variables son el resultado de contar .

5or otra parte, las variables aleatorias cuyos valores posibles se

encuentran en cual&uier parte de un intervalo, se llaan continuas. Estas

variables son el resultado de edir.

Denotaos con letras aysculas a las variables aleatorias y con

insculas a los valores &ue conteplaos para ellas.

Variables aleatorias discretas.

%abes &ue esta variable nace de contar los resultado, es decir es

contable, podeos defnir"

!unción de "robabilidad #$%&: onsidereos una v.a. discreta 9, &ue toa

los valores 1, 2, ..., n. %upon-aos &ue conoceos la probabilidad de &ue la

variable 9 toe dic*os valores, esto es" 509:1$ : p1 , 509:2$ : p2, 509:3$ :

p3, ..., 509:n$ : pn, en -eneral 509:i$ : pi para todo i : 1,2,....,n

a unción de probabilidad 0$ de la v.a. 9 es la unción &ue asi-na a

cada valor i de la variable su correspondiente probabilidad p i.

)()()(

: x X P x f quetal

x f x

IR IR f ==

→

→


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Es decir, si 509 : i $ es una unción de probabilidad, y debe cuplir con"

1. ( L 50 9 : i $ L 1 para todo i : 1, 2, 3, ..., n. 50$ es una probabilidad, y

por lo tanto debe toar valores entre ( y 1.

'.

1)( ==∑ i x X P es decir la sua de probabilidades repartidas entre todos

los valores de la variable debe ser i-ual a 1.

!unción de (istribución !$%&: En uc*as ocasiones no nos interesa tanto

conocer la probabilidad de &ue la v.a. 9 toe eactaente un deterinadovalor i, cuanto la probabilidad de &ue toe valores enores o i-uales &ue un

cierto valor i. En tales casos es necesario acuular los distintos valores de la

unción de probabilidad *asta el valor deseado. %e trata de una nueva

aplicación llaada !nción de distribución.

Sea X !a "a#$a%&e a&ea'#$a $*+#e'a, +* "a&#e* *e *.!e! #e!a* e e!# a

a#0 Se &&aa 1!+$2! e $*'#$%+$2! e &a "a#$a%&e X, *e *$%&$3a .# 4(5), a &a

1!+$2!

)()()(

: x X P x F quetal

x F x

IR IR F ≤=

→

→

es decir, asocia a cada valor de la v.a. discreta la probabilidad acuulada *asta

ese valor 0la probabilidad de &ue la v.a. toe valores enores o i-uales a i$.

"ropiedades


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1. /0$ es una probabilidad por lo tanto

1)(6 ≤≤ x F

2. /0M$ : ( para todo L M

3. /0M$ : 1 para todo N M

Esperan#a, Varian#a.

Esperan#a o edia"

)(7

i

n

i

i x X P x =⋅=∑=

µ

Varian#a"

)()(7

88

i

n

i

i x X P x x =−=∑=

σ

Desviación Est!ndar

∑= =−=n

i

ii x X P x x1

8

)()(σ

Ta!' &a "a#$a!3a + &a e*"$a+$2! '9.$+a *! e$a* e $*.e#*$2!, e 'a&

a!e#a :e +a!' e!#e* *! e*'* * .a#;e'#* ;* a


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1$ %ea el espacio uestral Ω, defnidos por eventos en ora de tripleta

ordenado. Deterine al sacar un suceso de Ω y observar la cantidad de p "

Defnios la v.a. coo 9" cantidad de p, lue-o

5ara deterinar el valor esperado o la edia utili#aos la orular dada

1=>,>18

?=

18

11

18

88

18

@1

18

66)( ==+++===∑ x X xP µ

a$ /unción de probabilidad atravFsde una tabla

b$ 509≤

2$ y la 501L9$ tal &ue

Ω :

),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

q z p z p z qq p

z p p z z p pq p

q z p pqq z q p

z p z p z z p p p

9 509:$ /0$

( ( (H12 (

1 O OH12 OH12

2 2 2H12 11H12

3 1 1H12 1

n : 12 1


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on la notación 509 : i $ indicaos la probabilidad de &ue la variable aleatoria

9 toe el valor i.

En el e7eplo anterior de las onedas se tiene"

'II. *osario

/ins de in!ers

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