UNIVERSIDAD ESTATAL DE CUENCA

TEMA:

EL MAPEO

MATERIA:

ANALISIS MATEMATICO

PROFESOR:

ING. JUAN SANANGO

ALUMNOS:

FABIAN NAULA

JUAN NACIPUCHA

FECHA DE ENTREGA:

5 DE JULIO DEL 2012

CONCEPTO DE MAPEO

Mientras que con las representaciones de magnitud, fase, componentes real e imaginaria de funciones de valor y variable compleja se intenta observar como varían individualmente estas con respecto a todo el plano complejo, con los llamados mapeos se estudia como es transformada una región especifica del plano z (que puede ser una recta, una banda, etc.) en otra región del plano w cuando se aplica w=f (z).

La idea de forma general de mapeo o transformación que realiza una función entre los conjuntos X y Y provee otro modo de visualización y análisis que se utiliza frecuentemente en ingeniería para simplificar modelos geométricos relativamente complejos.

Como función o mapeo inverso de w=f (z) se conocea aquel que logra recobrar el valor de z a

partir de su imagen, y se denota comoz=f−1 (w ), es decir:

w=f (z )→z=f −1 (w )=f−1( f ( z ))

No toda función tiene un inverso, pero en la rama de ingeniería son aquellas funciones invertibles las que tiene una mayor aplicación en diversos casos.

Se denomina como punto fijo del mapeo o función f , aquel donde se cumple w=z, es decir, un punto que no cambia luego de aplicar la transformación f .

Como se muestra en la grafica es una representación del mapeo de una función del plano z al plano w:

TRANSFORMACIONES CONFORMES

Transformaciones fraccionarias lineales (Transformaciones de Möbius)

w=az+bcz+d

(1)

Las transformaciones fraccionarias linéales son mapeos en donde a, b c, d son números complejos reales. Estos mapeos tienen importancia practica para las aplicaciones a problemas con valores en la frontera, ya que son necesarios para transformar discos de manera conforme sobre semiplanos o sobre otros discos y recíprocamente, como se vera.

La condición ad−cb≠0en (1)se vuelve evidentemente si se deriva:

w´=a (cz+d )−c (az+b)

(cz+d )2=ad−bc

(cz+d)2

Se observa que ad−cb≠0 implica que no es cero en ninguna parte, por lo que el mapeo(1) es conforme en todas partes. Con base en ad−cb=0 es posible obtener el caso sin interés alguno en que w´es idénticamente cero, que se excluirá de una vez por toda. El análisis comenzara con casos especiales de (1).

1. Traslación, rotación, expansión y contracciones.

Se da cuando (1) es de la forma w=z+b y w=azEs una traslación cuando w=z+bEs una rotación cuando |a|=1Es una expansión o dilatación cunado a>1 real.Es una contracción para 0<a<1Estos también son casos especiales de la transformación lineal w=az+b

2. Inversión. Mapeo de w=1/ z

Este caso es mejor estudiarlo en términos de coordenadas polares:

Re i∅= 1

r eiθy se obtiene R=1

r,∅=θ

Esta transformación eta dado en una circunferencia unitaria |w|=1

Ejemplo: Representación de una línea con el mapeo w=1/ z

Teorema:Toda transformación fraccionaria lineal (1) mapea todas las circunferencias y rectas en el plano z sobre todas las circunferencias y rectas en el plano w .

Puntos fijos: Los puntos fijos en una transformación w=f (z) son puntos papeados sobre ellos mismos; es decir, que se mantienen fijos bajo la transformación. Por tanto, se obtiene a partir de:

w=f (z )=z

El mapeo identidad w=z tiene todo punto fijo.

Teorema: Una transformación fraccionaria lineal, no la identidad, tiene cuando mucho dos puntos fijos. Si se sabe que una transformación fraccionaria lineal tiene tres o mas puntos fijos, entonces debe ser el mapeo identidad w=z.

Transformación bilineal

Las bilineales son mapeos en donde a, b c, d son números complejos reales. Donde podemos interpretar como la sucesión de todos los mapeos de la sección anterior.

Si de (1) multiplicamos az por c /c y sumamos ad /c /ad /c y expresamos la ecuación como.

w=

cc

(az )+b+ adc

−adc

cz+d=

ac

( cz+d )−adc

−b

cz+d

Entonces el mapeo bilineal se puede expresar como:

w=ac+ bc−adc (cz+d )

Esta ecuación representa un mapeo bilineal si el determinante de la ecuación no es cero:

|a bc d|=ad−bc≠0

Si el determinante del mapeo es diferente de cero, podemos despejar el mapeo inverso:

z=−dw+bcw−a

Esta ecuación representa un mapeo bilineal si el determinante de la ecuación es cero

|−d bc −a|=ad−bc≠0

El mapeo bilineal transforma o mapea círculos o rectas en el plano z en círculos o rectas en el plano w .

Mapeo de semiplanos sobre discos

Sin perdida de generalidad, el semiplano superior y ≥0 se mapea sobre el disco unitario |w|≤1. La frontera de este semiplano es el eje x; resulta evidente que debe transformarse sobre la circunferencia unitaria |w|=1.

Mapeo de semiplanos sobre semiplanos

Como caso típico, es posible mapear el semiplano superior y ≥0 sobre el semiplano superior v≥0. Así, el eje x debe mapearse sobre el eje u.

Mapeo de discos sobre discos

Es posible aplicar el disco unitario en el plano z sobre el disco unitario en el plano w . con facilidad puede comprobarse que la función

w=z−z0cz−1

, c=z0 ,|z0|<1

Es del tipo deseado y que mapea el puntoz0 sobre el centro w=0.

SUPERFICIES DE RIEMANN

Las superficies de Riemann son superficies sobre las cuales las relaciones con valores múltiples como w=√ z o w=ln (z) se vuelven en un solo valor; es decir, funciones en el sentido usual.Se empezara considerando el mapeo definido por

w=u+iv=z2

Que es conforme, excepto en le punto critico z=0 donde w´=2 z=0.En z=0 los ángulos se duplican bajo transformación. La mitad del plano derecho del plano z es mapeado sobre w completo, cortado a lo largo de la mitad negativa del eje u; el mapeo es uno a uno. De manera semejante, la mitad izquierda del plano z es mapeado sobre todo el plano w cortado, de manera uno a uno.

Resulta evidente que el mapeo del plano z completo no es uno a uno, porque cada punto w≠0 corresponde precisamente a dos puntos z. De hecho si z, uno de estos puntos entonces el otro es –z. Por lo tanto, el plano w es “cubierto dos veces” por la imagen del plano z. se dice que el plano z completo es mapeado sobre el plano w “doblemente cubierto”.

Los dos orígenes se unen entre si. La configuración así obtenida se denomina superficies de Riemann. Sobre ella todo punto w≠0 aparece dos veces, en posiciones superpuestas, y el origen aparece exactamente una vez. Ahora, la función w=z2mapea el plano z completosobre esta superficie de Riemann de manera uno a uno y el mapeo conforme, excepto por el “punto de giro” o punto de bifurcación en w=0. Se dice que un punto de bifurcación que conecta que conecta dos hojas es de primer orden.

Superficie de Riemann n√ z

En el caso de la relación w=n√ z se requiere una superficie de Riemann que conste de n hojas y que tenga un punto de bifurcación de orden n-1 en z=0. Una de estas hojas corresponde al valor principal y las otras n-1 hojas, a los otros n-1 valores.

Grafica de 3√ z

Superficie de Riemann del logaritmo natural

Para toda z≠0 la relación w=ln z=ln z+2nπi tiene una infinidad de valores. Por tanto esta función define sobre una superficie de Riemann que consta de una infinidad de hojas. La función w=ln z mapea todas las hojas de la superficie de Riemann correspondiente sobre el plano w completo, siendo uno a uno la correspondencia entre los puntos z≠0 de la superficie de Riemann y los del plano w .

Mapeo w=z+z−1. Hojas aerodinámicas

Se considera este mapeo importante en aerodinámica. Como la derivada de esta función es

w´=1− 1z2

=(z+1)(z−1)

z2

Entonces el mapeo es conforme excepto en los puntos z=1 y z=−1; estos puntos corresponden a w=2 y w=−2, respectivamente. De donde:

z=w2±12

√(w+2 ) (w−2 )

Posteriormente pasando a coordenadas polares obtenemos la siguiente grafica.

MAPEO MEDIANTE OTRAS FUNCIONES

1. FUNCION EXPONENCIAL Forma cartesianaez=e ( x+iy )=ex e iy

Aplicando la identidad de Euler

ez=ex (cos ( y )+i sen ( y ) )

ez=ex cos ( y )+ex i sen ( y )

u ( x , y )=excos ( y )

v ( x , y )=ex sen ( y )

2. FUNCION SENO

Conocemos que: sen x= eix−e−ix

2i Aplicando el mapeo w=sen z tenemos:

w=sen z= ei (x+iy )−e−i (x+iy )

2 i= eix ei

2 y−e−ix e−i2 y

2i

w=sen z= eix e− y−e−ixe y

2 i Aplicando la identidad de Euler

sen z=e− y ¿¿

sen z=(e− y−e y )cos x+i (e− y−e y ) sin x

2 i Además tenemos que :

cosh x= ex+e−x

2y sen hx=e x−e−x

2 Sustituyendo:

w=sen z=−cos x senh yi

+i sin xcos h yi

Entonces:u ( x , y )=sen x cosh y v ( x , y )=cos x sinh y

3. FUNCION COSENO

El mapeo del cos z puede analizarse de manera independiente pero debido a que:

w=cos z=sen (z+ π2)

Se observa que este es el mismo mapeo que sen z precedido por una

traslación hacia la derecha a lo largo de π2

unidades. Por lo tanto el análisis va

a ser análogo al del seno, entonces:

u ( x , y )=cos xcosh y v ( x , y )=sen x sinh y

4. FUNCION TANGENTE Ya conocemos los mapeos de seno y coseno por lo cual la deducción se facilita

debido a que la tangente es una combinación de estos dos anteriormente mencionados:

w=tan z= sen zcos z

¿

e iz−e−iz

ieiz+e−iz

¿

e2 iz−1i

e2 iz+1 Por tanto si se hace Z =e2 iz y se usa 1/i = -i vamos a obtener:

w=tan z=−i Z¿

Z¿=Z−1Z+1

Z=e2iz

NOTA: la tan z es una transformada fraccionaria lineal precedida por un mapeo exponencial y seguida por una rotación en el sentido del

movimiento de las manecillas del reloj a través de un ángulo π2

.

MAPEO CONFORME

En la parte anterior de este trabajo hemos examinado el mapeo del plano z al plano w donde en la mayor parte de ellos la relación entre w y z, w=f (z), era lineal o bilineal. Existe una propiedad importante de mapeo cuando se considera el mapeo w=z2. Un mapeo w=f (z) que preserva angulos se llama conforme. Bajo tales mapeos el ángulo entre dos curvas que se

cortan en el plano z es el mismo que el ángulo entre las curvas correspondientes en el plano w. el sentido de ángulo también se preserva. Esto nos indica que si θ es el angulo entre las curvas 1 y 2 tomadas en sentido contrario a las manecillas del reloj en el plano z entonces θ tambien es el angulo entre la imagen de la curva 1 y la imagen de la curva 2 en el plano w, y también es tomado en sentido contrario a las manecillas del reloj. En la siguiente figura veremos de forma muy explícita el mapeo conforme.

Si f (z) es analitica entonces w=f (z) define un mapeo conforme excepto en los puntos donde la derivada f ´ (z) es cero.

En los mapeos lineales se tiene que w=αz+ β (α ≠0) son conformes en todos lados, ya que dwdz

=α y no es cero en ningun punto en el plano z. Los mapeos bilineales dados en ecuaciones

anteriores podemos ver que se pueden escribir como:

w=λ+ μαz+β

(α ,μ≠0)

Así:

dwdz

= −μα

(αz+β )2

El cual de nuevo nuca es cero para ningún punto en el plano z. de hecho, el único mapeo que hemos considerado hasta ahora que tiene un punto en el que no es conforme es w=z2, que no es conforme en z=0.

Ejemplo:

Examine el mapeo w=e z

(a)Encuentre las imágenes en el plano w de las rectas x=constante y y=constante en el plano z, y (b) Encuentre las imágenes en el plano w del semiplano (x<0) en el plano z.

Solución: al tomar z=x+iy y w=u+ivparaw=e ztenemos :

u=excos y y v=ex sen y

Elevando al cuadrado y sumando estas dos ecuaciones, tenemos:

u2+v2=e2x

Por otro lado, dividiendo las dos ecuaciones se obtiene

vu=tan y

Ahora podemos abordar las preguntas.

(a) Como u2+v2=e2x, haciendo x=constante se prueba que las rectas paralelas al eje imaginario en el plano z corresponden a círculos centrados en el origen en el plano w. La ecuación:

vu=tan y

Prueba que rectas paralelas al eje real en el plano z corresponden a rectas que pasan por el origen en el plano w (v=u tanα si y=α ,unaconstante ). Ver figura.

(b) Como u2+v2=e2x, si x=0 entonces u2+v2=1, así el eje imaginario en el plano z corresponde al circulo unitario en el plano w. si x<0entonces e2x<1, y conforme x→∞ ,e2 x→0, entonces la mitad izquierda del plano z corresponde al interior del circulo unitario en el plano w como se ve en la figura.

CONCLUSIONES:

Al termino del presente trabajo se pudo comprender de una manera clara el concepto de mapeo el cual nos resulto conocido en cierta manera ya que en ciclos anteriores hemos utilizado este concepto para la explicacion del jacobiano por ejemplo, pero mediante este trabajo pudimos comprender de mejor manera la utilizacion de estos procesos con las variables complejas.

BIBLIOGRAFIA:

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, volumen 2, Erwin O. Kreyszig http://www.ie.itcr.ac.cr/gaby/Licenciatura/Modelos_Sistemas/

Presentaciones/03_Funcion_Variable_Compleja_v0802.pdf http://palvarado.ietec.org/Modelos/cap02.pdf

http://books.google.com.ec/books?id=R7Ryiml5Yd8C&pg=PA37&lpg=PA37&dq=mapeo+conforme&source=bl&ots=_Vxjgny6Yi&sig=ZCS6FlGdEE2R6FpVAbiwjbFWTSA&hl=es-419&sa=X&ei=R0rzT7adCcT00gHR6q3XCQ&sqi=2&ved=0CEAQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=true