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Ecuaciones Diferenciales

Manuel Valenzuela Rendón

Centro de Sistemas InteligentesTecnológico de Monterrey, Campus Monterrey

Octubre 2007

M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 1 / 24

Ecuaciones DiferencialesMétodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

1 EulerEulerEuler Modificado

2 Runge-KuttaRunge-Kutta de cuarto orden

3 Ejemplo: RLCRLC serieSolución analítica

4 Variables de estadoDefiniciónCircuito RLC serieEspacio de estadoEcuaciones de Lotka-VolterraBanda de Rössler

Dada una ecuación diferencial ordinaria de la forma

d t= y ′ = f (t , y),

se hace la aproximaciónΔy

Δt≈ d y

De donde se tiene queΔy = f (t , y)Δt .

Tomando h ≡ Δt se obtiene la regla recursiva del método de Euler:

y ← y + h · f (t , y)

Se requiere una condición inicial y(t 0) = y0.

Dada una ecuación diferencial ordinaria de la forma

d t= y ′ = f (t , y),

se hace la aproximaciónΔy

Δt≈ d y

De donde se tiene queΔy = f (t , y)Δt .

Tomando h ≡ Δt se obtiene la regla recursiva del método de Euler:

y ← y + h · f (t , y)

Se requiere una condición inicial y(t 0) = y0.

Euler Modificado

Escribiendo la fórmula de Euler como una ecuación en términos de la iteración ktenemos que:

yk+1 = yk + h · f (tk , yk )

El valor yk+1 anterior es una aproximación del valor real de y(t k+1), por lo tanto,llamémosle yk+1:

yk+1 = yk + h · f (tk , yk )

Ahora, apliquemos la misma idea de la regla recursiva de Euler, pero tomemos elpromedio de f (tk , yk ) y f (tk+1, yk+1):

yk+1 = yk + hf (tk , yk ) + f (tk+1, yk+1)

Escribiendo esto como una regla recursiva queda:

y ← y + h · f (t , y)

y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y)

o lo que es lo mismo

y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y + h f (t , y))

Euler Modificado

yk+1 = yk + h · f (tk , yk )

y ← y + h · f (t , y)

y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y)

y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y + h f (t , y))

Euler Modificado

yk+1 = yk + h · f (tk , yk )

y ← y + h · f (t , y)

y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y)

y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y + h f (t , y))

Euler Modificado

yk+1 = yk + h · f (tk , yk )

y ← y + h · f (t , y)

y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y)

y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y + h f (t , y))

que se puede escribir como:

k1 ← h f (t , y)

k2 ← h f (t + h, y + k1)

y ← y +12

(k1 + k2)

Runge-Kutta de cuarto orden

k1 ← h f (t , y)

k2 ← h f

h, y +1

k3 ← h f

h, y +1

k4 ← h f (t + h, y + k3)

y ← y +16

(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

RLC serie

−+vi (t)

Haciendo una ecuación de malla se obtiene:

vi(t) = i(t)R + Ld i(t)

i(t) dt

La corriente en el capacitor es

i(t) = Cd vc(t)

pause Sustituyendo en la primera ecuación ponemos todo en términos del voltaje en elcapacitor, vc(t):

vi(t) = RCd vc(t)

d t+ LC

d2vc(t)

d2t+ vc(t)

RLC serie

−+vi (t)

Haciendo una ecuación de malla se obtiene:

vi(t) = i(t)R + Ld i(t)

i(t) dt

La corriente en el capacitor es

i(t) = Cd vc(t)

pause Sustituyendo en la primera ecuación ponemos todo en términos del voltaje en elcapacitor, vc(t):

vi(t) = RCd vc(t)

d t+ LC

d2vc(t)

d2t+ vc(t)

Solución analítica

L = 10

C = 0.5

vi(t) = 0

y condiciones iniciales de vc(0) = 1 yd vc(0)

d t= 0, la ecuación diferencial tiene la

siguiente solución analítica:

vc(t) = e−0.05t (0.112508sen(0.444410t) + cos(0.444410t))

Variables de estado

Las variables de estado de un sistema se definen como el conjunto mínimo devariables, x1(t), x2(t), . . . , xn(t) tal que el conocimiento de estas variables paracualquier tiempo t0, más la información de la entrada aplicada al sistema a partirdel tiempo t0 es suficiente para determinar el estado del sistema para cualquiertiempo t > t0.

Las variables de estado no se deben confundir con las salidas de un sistema. Unasalida es una variable que puede ser medida, en cambio una variable de estado amenudo no puede ser medida. Sin embargo, usualmente la salida de un sistemase define como función de las variables de estado.

Las variables de estado no son únicas.

Variables de estado

Variables de estado para el circuito RLC

Definimos las siguientes variables de estado:

x1 = vc(t)

x2 =◦x1

Por lo tantovi(t) = RCx2 + LC

◦x2 + x1

y despejando◦x2 tenemos que

◦x2 = − 1

LCx1 −

LCvi(t)

Podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial:[ ◦x1◦x2

−1/LC −R/L

]vi(t)

x1 = vc(t)

x2 =◦x1

◦x2 + x1

◦x2 = − 1

LCx1 −

LCvi(t)

−1/LC −R/L

]vi(t)

x1 = vc(t)

x2 =◦x1

◦x2 + x1

◦x2 = − 1

LCx1 −

LCvi(t)

−1/LC −R/L

]vi(t)

x1 = vc(t)

x2 =◦x1

◦x2 + x1

◦x2 = − 1

LCx1 −

LCvi(t)

−1/LC −R/L

]vi(t)

Un ejemplo

Tomando R = 1, L = 10, y C = 0.5 se tiene que[ ◦x1◦x2

[0 1−0.2 −0.1

]vi(t)

Los valores característicos (eigenvalores) de la matriz[0 1−0.2 −0.1

son λ1,2 = −0.05± j0.4444, estos valores pueden verse en la solución analítica de laecuación diferencial.

Un ejemplo

Tomando R = 1, L = 10, y C = 0.5 se tiene que[ ◦x1◦x2

[0 1−0.2 −0.1

]vi(t)

Los valores característicos (eigenvalores) de la matriz[0 1−0.2 −0.1

son λ1,2 = −0.05± j0.4444, estos valores pueden verse en la solución analítica de laecuación diferencial.

Comportamiento de un sistema

El comportamiento de un sistema mediante variables de estado puede observarse enel tiempo, es decir x1(t), x2(t), . . . , xn(t), o en el espacio estado, es decir x1 vs. x2 . . . xn.

Solución para R = 1, L = 10, y C = 0.5

Para vi(t) = 0, y condiciones iniciales de x1(0) = 1 y x2(0) = 0.

0 20 40 60 80 100−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Espacio de estado para circuito RLC

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

Otro circuito RLC más complejo

Escribiendo dos ecuaciones de malla se obtiene que:

vi(t) = i1(t)R1 + L1d i1(t)

(i1(t)− i2(t)) dt

(i2(t)− i1(t)) dt + L2d i2(t)

d t+ i2(t)R2

Recordando que la corriente en el capacitor es

ic(t) = i1(t)− i2(t) = Cd vc(t)

y sustituyendo en las ecuaciones anteriores:

vi(t) = i1(t)R1 + L1d i1(t)

d t+ vc(t)

0 = −vc(t) + L2d i2(t)

d t+ i2(t)R2

Definimos como variables de estado las corrientes en las inductancias y el voltaje en elcapacitor:

x1 = i1(t)

x2 = i2(t)

x3 = vc(t)

de donde las ecuaciones de estado en forma matricial son las siguientes:⎡⎢⎣

◦x1◦x2◦x3

⎤⎥⎦ =

⎡⎣ −R1/L1 0 −1/L1

0 −R2/L2 1/L2

1/C 1/C 0

⎤⎦⎡⎣ x1

⎤⎦ +

⎡⎣ 1/L1

⎤⎦ vi(t)

Si la salida del sistema es el voltaje de la restencia R 2, la ecuación de salida es

0 R2 0] ⎡⎣ x1

⎤⎦

Definimos como variables de estado las corrientes en las inductancias y el voltaje en elcapacitor:

x1 = i1(t)

x2 = i2(t)

x3 = vc(t)

de donde las ecuaciones de estado en forma matricial son las siguientes:⎡⎢⎣

◦x1◦x2◦x3

⎤⎥⎦ =

⎡⎣ −R1/L1 0 −1/L1

0 −R2/L2 1/L2

1/C 1/C 0

⎤⎦⎡⎣ x1

⎤⎦ +

⎡⎣ 1/L1

⎤⎦ vi(t)

Si la salida del sistema es el voltaje de la restencia R 2, la ecuación de salida es

0 R2 0] ⎡⎣ x1

⎤⎦

Solución en el tiempox1(0) = x2(0) = x3(0) = 0, R1 = 0.1, R2 = 0.2, L1 = 5, L2 = 10, C = 1, vi (t) = sin(0.2πt)

0 20 40 60 80 100−2

−1.5

−0.5

Solución en espacio de estadox1(0) = x2(0) = x3(0) = 0, R1 = 0.1, R2 = 0.2, L1 = 5, L2 = 10, C = 1, vi (t) = sin(0.2πt)

−2−1

−0.5

Otros conjuntos de variables de estado para el circuito RLC

Existen muchos conjuntos de varialbles de estado. Para este caso, entre otros muchosconjuntos tenemos los siguientes:

Los voltajes en R1, R2 y C

Los voltajes en L1, L2, y R2

Los voltajes de nodo

Ecuaciones de Lotka-Volterra

La relación entre una población de presas X y una población de depredores Y sepuede modelar como:

d t= K1AX − K2XY

d t= K2XY − K3BY

definiendo a = K1A, b = K3B, y k = K3, y las variables de estado x1 = X y x2 = Y :

◦x1 = ax1 − kx1x2◦x2 = kx1x2 − bx2

Este sistema de ecuaciones diferenciales no lineales tiene un comportamientoperiódico para a = b = k = 1.

Ecuaciones de Lotka-Volterra

La relación entre una población de presas X y una población de depredores Y sepuede modelar como:

d t= K1AX − K2XY

d t= K2XY − K3BY

definiendo a = K1A, b = K3B, y k = K3, y las variables de estado x1 = X y x2 = Y :

◦x1 = ax1 − kx1x2◦x2 = kx1x2 − bx2

Este sistema de ecuaciones diferenciales no lineales tiene un comportamientoperiódico para a = b = k = 1.

Solución de las ecuaciones de Lotka-Volterra

Resolviendo para los valores anteriores para diferentes condiciones iniciales seobtiene la siguiente gráfica:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

Banda de Rössler

El siguiente sistema de ecuaciones

◦x = −y − z◦y = x + ay◦z = b + z(x − c)

produce comportamiento caótico para a = 0.398, b = 2, y c = 4. Definiendo lasvariables de estado x1 = x , x2 = y , y x3 = z:

◦x1 = −x2 − x3◦x2 = x1 + ax2◦x3 = b + x3(x1 − c)

Banda de Rössler

El siguiente sistema de ecuaciones

◦x = −y − z◦y = x + ay◦z = b + z(x − c)

produce comportamiento caótico para a = 0.398, b = 2, y c = 4. Definiendo lasvariables de estado x1 = x , x2 = y , y x3 = z:

◦x1 = −x2 − x3◦x2 = x1 + ax2◦x3 = b + x3(x1 − c)

CaosResolviendo las ecuaciones anteriores para condiciones inciales igual a cero se obtiene la siguiente gráfica

−4−2

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