Manuall Modulo II Calculo y Analisis de Fuerzas-1

7/28/2019 Manuall Modulo II Calculo y Analisis de Fuerzas-1

1/116

0

ESCUELA DE CIENCIASBSICAS

Clculo y Anlisis

de Fuerzas queproducen el

Movimiento de un

CuerpoSanta Tecla


2/116

1

INDICE

I. LEYES DEL MOVIMIENTO ......................................................................................... 3

1.1. Concepto de Fuerza ....................................................................................................... 3

1.2. Primera Ley de Newton ................................................................................................ 4

1.3. Marcos Inerciales........................................................................................................... 5

1.4. Masa ................................................................................................................................ 5

1.6 Peso .................................................................................................................................. 8

1.7. Diagramas de Cuerpo Libre ......................................................................................... 8

1.8. Tercera Ley de Newton ................................................................................................. 9

1.9. Fuerzas de Rozamiento ............................................................................................... 15

1.10. La Segunda Ley de Newton aplicada al Movimiento Circular ............................. 22

1.11. Movimiento Circular no uniforme ........................................................................... 30

1.12. Movimiento en Marcos de Referencia Acelerados ................................................. 32

II. EQUILIBRIO ESTTICO........................................................................................... 48

III. TRABAJO Y ENERGA ............................................................................................. 70

3.1 Trabajo realizado por una fuerza constante .............................................................. 70

3.2 Trabajo realizado por una fuerza variable ................................................................ 73

3.3 Energa Cintica y el teorema del Trabajo y la Energa ........................................... 78

3.4 Potencia ......................................................................................................................... 82

4.1 Energa Potencial .......................................................................................................... 92

4.2 Conservacin de la Energa Mecnica ........................................................................ 934.3 Energa Potencial elstica ............................................................................................ 95

4.4 Fuerzas conservativas y no conservativas ................................................................ 100

4.5 Trabajo realizado por Fuerzas no conservativas .................................................... 100

IV. CONSERVACIN DE LA ENERGA ...................................................................... 92


3/116

2

PREGUNTAS ................................................................................................. 36, 57, 85, 104

PROBLEMAS................................................................................................. 37, 58, 86, 105


4/116

3

I. LEYES DEL MOVIMIENTO

1.1Concepto de Fuerzahora que se ha estudiado cmo se mueven los cuerpos en una y dos dimensiones,debemos hacernos las siguientes preguntas: Por qu los cuerpos se ponen en

movimiento? Qu causa que los cuerpos cambien de velocidad o de direccin?Isaac Newton respondi a preguntas como esas afirmando que el cambio de velocidad

de los cuerpos es causado por fuerzas. Podemos definir a la fuerza como todo aquello queocasiona que un cuerpo se acelere.

Ahora bien, Qu ocurre cuando varias fuerzas actan simultneamente sobre uncuerpo? En este caso el cuerpo acelera slo si la fuerza neta que acta sobre l es diferentede cero. La fuerza neta ejercida sobre un cuerpo es el vector suma de todas las fuerzas queactan sobre l. En ocasiones se hace referencia a la fuerza neta como la fuerza totalo lafuerza resultante. Si la fuerza neta ejercida sobre un cuerpo es cero, entonces laaceleracin del cuerpo es cero y su velocidad es constante o cero. Esto quiere decir que sila fuerza neta que acta sobre un objeto es cero, ste permanece en reposo o continamovindose a velocidad constante. Cuando un cuerpo est en reposo, se dice que est enequilibrio.

Existen dos tipos de fuerza, las fuerzas de contacto y las fuerzas de campo. Lasprimeras representan fuerzas de contacto fsico entre dos cuerpos (fig. 1.1).

Las fuerzas de campo no implican contacto fsico entre dos cuerpos, sino que actan atravs del espacio vaco. La fuerza de atraccin gravitacional es un ejemplo de este tipo defuerza.

La fuerza es una magnitud vectorial. Por lo tanto, tal como se muestra en la fig. 1.2,para sumar fuerzas se deben uti l izar l as reglas de la adicin vector ial para obtener l afuerza neta que acta sobre un cuerpo.

A


5/116

4

Las unidades de la fuerza en el SI es el Newton, que se define como la fuerza queacta sobre una masa de 1 kgy produce una aceleracin de 1 m/s2. En el sistema ingls deingeniera, la unidad de fuerza es la l ibra, definida como la fuerza que al actuar sobre unamasa de 1slugproduce una aceleracin de 1ft/s2. Una aproximacin conveniente es que 1N 1/4 lb.

1.2Primera Ley de NewtonDurante siglos el problema del movimiento y sus causas fue un tema central de lafilosofa natural, un primer apelativo de lo que se conoce como fsica. Sin embargo, elmayor progreso se llev a cabo en los tiempos de Galileo y Newton.

Antes de Galileo se crea que se necesitaba cierta influencia o fuerza para mantener

un cuerpo en movimiento. Se pensaba que el estado natural de un cuerpo era el reposo.Galileo hizo muchas pruebas para probar lo incorrecto de este pensamiento. Por

ejemplo, suponga un libro sobre una mesa. Evidentemente el libro est en reposo.Imaginemos que lo empujamos con una fuerza horizontal tan grande como para vencer lafriccin entre la mesa y el libro. Esta fuerza y la fuerza de friccin se llaman fuerzasexternas. En este caso el libro se mover a velocidad constante si la fuerza que usted aplica

y la friccin son iguales y de sentido contrario. Si lo empuja con una fuerza mayor que lade friccin, entonces el libro acelera. Si deja de empujar el libro deja de deslizarse despusde moverse una corta distancia. Esto es por la friccin. Imaginemos que el libro est sobreuna mesa pulida y encerada. En este caso, una vez en movimiento, el libro se deslizarpermanentemente.

Este experimento pruieba que no es la naturaleza de un cuerpo detenerse una vez quese pone en movimiento. Ms bien, su naturaleza es oponerse a cambios en su movimiento.


6/116

5

En otras palabras, cualquier velocidad, una vez aplicada a un cuerpo en movimiento, semantendr siempre y cuando las fuerzas de retardo se eliminen.

Este nuevo enfoque fue formalizado por Newton en lo que hoy se conoce como laprimera ley del movimiento de Newton:

En ausencia de fuerzas externas un cuerpo en reposo permanecer en reposo y un

cuerpo en movimiento continuar a velocidad constante.De acuerdo a la primera ley de Newton, si nada acta sobre un cuerpo, entonces suestado de movimiento (reposo o velocidad constante) no cambia. La tendencia de un cuerpoa resistir cualquier intento de cambiar su movimiento se llama inercia del cuerpo.

1.3Marcos InercialesTal como se mencion en el mdulo anterior, un cuerpo en movimiento puede ser

observado desde cualquier nmero de marcos de referencia. La primera ley de Newton,llamada ley de inercia, define un conjunto especial de marcos de referencia denominadosmarcos inerciales. Un marco de referencia inercial es el que no est acelerado. Puesto quela primera ley se refiere slo a cuerpos que no estn acelerados, es vlida en marcosinerciales.

Un marco de referencia que se mueve a velocidad constante en relacin a las estrellases la mejor aproximacin de un marco inercial. La Tierra puede suponerse que es un marcode referencia inercial. Si un cuerpo se mueve a velocidad constante, un observador en unmarco inercial afirmar que la aceleracin del cuerpo y que la fuerza neta o resultante sobreel mismo son cero. De acuerdo a la primera ley, un cuerpo en reposo y otro en movimientoa velocidad constante son equivalentes.

1.4MasaLa masa de un cuerpo es una propiedad que expresa una medida de su inercia. Cunto

mayor es su masa, ms se resiste a ser acelerado. La masa es una propiedad inherente deun cuerpo y es independiente de los alrededores y del mtodo utilizado para medirla.Adems, la masa es magnitud escalar y por lo tanto obedece a las reglas del lgebra y laaritmtica ordinarias. La masa no debe confundirse con el peso. Como se ver msadelante, el peso es una fuerza mientras que la masa, como se ha dicho, es la propiedad deun cuerpo que determina su resistencia a un cambio en su movimiento.

Es importante sealar que lo que importaen la primera ley de Newton es la fuerzaneta. Por ejemplo, dos fuerzas actansobre un libro en una mesa: la fuerzahacia debajo de la atraccin gravitatoriaW y una fuerza de apoyo hacia arribaejercida por la mesa N (Fig. 1.3). Las

dos fuerzas son iguales, as que la fuerzaneta, es decir, la suma vectorial de W yN, es cero. De acuerdo a la primera ley,el libro est en reposo, y seguir enreposo. La conclusin es que lapresencia de una fuerza neta que actasobre un cuerpo hace que ste se acelere.


7/116

6

1.5Segunda Ley de NewtonSabemos por experiencia que un cuerpo en reposo jams empezar a moverse por s

mismo, sino que ser necesario que otro cuerpo ejerza una traccin o un empuje.

F ig. 1.4 (a) La aceleracin atiene la misma direccin y sentido que la fuerza resultante. (b)Puede considerarse que cada componente de una fuerza produce su propia componente deaceleracin.

Es tambin familiar el hecho de que para retardar el movimiento de un cuerpo o paradetenerlo es necesaria una fuerza. Todos los procesos mencionados implican un cambio enel valor o en la direccin de la velocidad del cuerpo. En otras palabras, en todos los casos,el cuerpo es acelerado y debe actuar una fuerza externa para producir esta aceleracin.

Consideremos la figura 1.4, en la cual se representa un cuerpo cualquiera colocadosobre un plano horizontal liso y sobre el cual se ejerce una fuerza horizontal F.Supondremos que el cuerpo como una partcula de tal manera solo trataremos el efecto de Fsobre su movimiento de traslacin. Supongamos que aplicamos diferentes fuerzas, endistintas direcciones, a diferentes cuerpos y medimos su aceleracin. Los resultados de

estas pruebas demuestran lo siguiente:

1) En todo caso, la direccin de la aceleracin es la misma que la de la fuerza. Estoes cierto, independientemente si el cuerpo se halla en reposo o en movimiento.

2) Para un cuerpo dado, la razn del valor de la fuerza al de la aceleracin essiempre el mismo, es decir, constante:

)dadocuerpounpara(tetanconsa

F

Esta razn constante puede considerarse como una propiedad del cuerpo llamadamasay, a partir de estas observaciones se puede concluir que la magnitud de la aceleracinde un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante que acta sobre el. Adems, si se aplica la misma fuerza a diferentes cuerpos de masa cada vez mayor, laaceleracin disminuye en la mima proporcin que aumenta la masa. Por lo tanto, seconcluye que la magnitud de la aceleracin de un cuerpo es inversamente proporcional asu masa. (Vase fig. 1.5)


8/116

7

F ig. 1.5

Estas dos conclusiones resumen la segunda ley de Newton del movimiento. De talmanera que es posible relacionar la fuerza neta externa y la masa con el siguienteenunciado matemtico de la segunda ley:

F = ma (1.1)

Esto es la aceleracin de un cuerpo es dir ectamente proporcional a la fuerza netaque acta sobre l e inversamente propor cional a su masa.

Utilizando el clculo diferencial la segunda ley tomara la forma

F = mdv/dt= m d2x/dt2

Esta expresin relaciona a la fuerza externa resultante con el cambio de velocidad yde posicin.

Hay al menos 4 aspectos de la segunda ley de Newton que merecen una atencinespecial. Primero, la ec. (1.1) es vectorial. Normalmente la usaremos en forma decomponentes, con una ecuacin para cada componente de fuerza y aceleracin:

xX maF yY maF zZ maF (1.2)

Segundo, el enunciado de la segunda ley se refiere a fuerzas externas, es decir,fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por otros cuerpos de su entorno. Tercero, las ecs. (1.1) y(1.2) slo son vlidas si la masa es constante. Y cuarto, la segunda ley slo es vlida enmarcos de referencia inerciales, igual que la primera.

Observe que la cantidad mano es una fuerza. Las ecuaciones 1.1 y 1.2 solo dicen queel maes igual en magnitud y direccin a la fuerza resultante F de todas las fuerzas que

actan sobre el cuerpo. Es incorrecto ver a la aceleracin como una fuerza; ms bien, laaceleracin es un resultado de una fuerza neta distinta de cero. Es frecuente pensar que hayuna fuerza de aceleracin que nos empuja contra el asiento cuando nuestro auto se poneen marcha, pero no existe tal fuerza, es nuestra inercia la que nos hace tender a permaneceren reposo respecto a la tierra, y el auto acelera a nuestro alrededor. Esta confusin nace porquerer aplicar la segunda ley en marcos de referencia no inerciales. Recuerde que el auto noes un marco inercial.


9/116

8

1.6 PesoSe sabe que todos los cuerpos son atrados hacia la Tierra. La fuerza ejercida por la

Tierra sobre un cuerpo se llama fuerza de gravedadW. Esta fuerza est dirigidaverticalmente hacia el centro de la Tierra, y su magnitud se llama pesodel cuerpo. Tambin

sabemos que un cuerpo que cae libremente experimenta una aceleracin gque acta haciael centro de la Tierra. Al aplicar la segunda ley de Newton F =maal cuerpo de masa m encada libre, con a= gy como el peso es la nica fuerza que acta sobre el cuerpo, F = W,se obtiene

W = mg(1.3)

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza de gravedad es

mgW (1.4)

Esta es la relacin matemtica entre la masa y el peso. Puesto que el peso depende de

g, el peso vara con la ubicacin geogrfica del cuerpo, sabemos que disminuye con laaltitud. Por lo tanto, de acuerdo a la ec. 1.4, los cuerpos pesan menos a grandes altitudesPor ende, el peso, a diferencia de la masa, no es una propiedad inherente de un cuerpo. Lamasa caracteriza las propiedades inerciales de un cuerpo; es lo que mantiene en su lugar auna vajilla en la mesa cuando se tira del mantel. A mayor masa, ms fuerza se requiere paracausar una aceleracin dada; esto se refleja en la segunda ley de Newton.

1.7Diagramas de Cuerpo LibreEs esencial para la aplicacin de las leyes del movimiento utilizar un diagrama de

fuerzas. El procedimiento para dibujarlo se ilustra mediante un ejemplo. Al dibujardiagramas de cuerpo libre, es importante diferenciar entre fuerzas de accin y reaccin.

F ig. 1.6 Diagrama de cuerpo libre que muestra las fuerzas de accin y reaccin.

Considere un peso de 40 N suspendido por cuerdas mostrado en la figura 1.6 a. Haytres fuerzas que actan sobre el nudo, ejercidas por el techo, la pared y la tierra. Si cadafuerza es representada por un vector se puede dibujar un diagrama de vectores conocidocomo diagrama de cuerpo libr e. ste es un diagrama vectorial que describe todas lasfuerzas que actan sobre un cuerpo (Fig. 1.6b). Debe notarse que en el caso de las fuerzas


10/116

9

concurrentes todos los vectores apunta hacia fuera del centro de los ejes x yy, los cuales seinterceptan en el origen. En el ejemplo mostrado, hay fuerzas en el nudo, pero tambin haytres fuerzas de reaccin iguales y opuestas ejercidasporel nudo (fig. 1.6c). Por convencinse escoge un punto sobre el cual todas las fuerzas estn actuando y mostrar aquellas queactansobre ese punto. Es decir, en un diagrama de cuerpo libre solo se muestran fuerzas

de accin.

1.8Tercera Ley de NewtonCualquier fuerza dada slo es un aspecto de una accin mutua entre dos cuerpos. Se

encuentra quesiempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobreel primero una fuerza igual en magnitud, de sentido opuesto y que tiene la misma lnea de

accin. Las dos fuerzas que intervienen en toda accin mutua entre dos cuerpos sedenominan accin y reaccin; pero esto no implica diferencia alguna en su naturaleza, osea que una fuerza sea la causa y la otra su efecto. Cualquier fuerza puede considerarse laaccin y la otra su reaccin.

Esta propiedad de las fuerzas fue enunciada por Newton en su tercera ley del

movimiento:Si dos cuerpos interactan, la fuerza ejercida por un objeto sobre el otro es igual enmagni tud y opuesta en direccin a la fuerza ejercida por este ltimo sobre el pr imero.

Las fuerzas que actan sobre un cuerpo resultan de otros cuerpos que conforman suentorno. Toda fuerza es por lo tanto parte de la interaccin mutua entre dos cuerpos. Esdecir que si un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerposiempre ejerce una fuerza sobre el primero. Una fuerza aislada es por lo tanto, imposible.

En la fig. 1.7 se dan ejemplos de fuerzas de accin y reaccin: un libro sobre unamesa: En la fig. 1.7a se muestra un libro colocado sobre una mesa. La tierra tira del librohacia abajo con una fuerza W. El libro no se acelera porque esta fuerza es cancelada por la

fuerza de contacto N, igual y opuesta, que ejerce la mesa sobre el libro fig. 1.7a. Auncuando, N y W, en este caso son de igual magnitud y de direccin opuesta, no constituyenun par accin-reaccin. Por qu no? Porque actan sobre el mismo cuerpo: el libro. Seanulan entre s y, por consiguiente, afirman el hecho de que el libro no acelere. Cada una deestas fuerzas debe tener una fuerza de reaccin correspondiente. En la fig. 1.7b y 1.7c semuestran los pares accin-reaccin debido a estas fuerzas. La fuerza de reaccin a la fuerzade apoyo que hace la mesa sobre el libro es N, la fuerza que ejerce el libro sobre la mesa.La otra fuerza de reaccin es W, la respuesta del libro sobre la fuerza que ejerce la tierrasobre l. Estos pares accin-reaccin cumplen la siguiente condicin:

'WW

'NN

La fig. 1.7d muestra un bloque en reposo que cuelga de un resorte, estando su otroextremo fijo en el techo. Las fuerzas sobre el bloque mostradas por separado en la fig. 1.7e,son su peso W (que acta hacia abajo) y la fuerza F ejercida por el resorte (que acta haciaarriba). El bloque se halla en reposo bajo la accin de estas fuerzas, pero estas fuerzas noson par accin-reaccin, porque de nuevo, actan sobre el mismo cuerpo. La fuerza dereaccin al peso es la fuerza que ejerce el bloque sobre la tierra (no se muestra). La fuerza


11/116

10

de reaccin a F (la fuerza ejercida sobre el bloque por el resorte) es la fuerza ejercida por elbloque sobre el resorte. Para mostrar esta fuerza, se ilustra en la fig. 1.7f las fuerzas queactan sobre el resorte.

Estas fuerzas incluyen la reaccin a F, la cual se muestra como una fuerza F (= -F)que acta hacia abajo, el peso w del resorte (generalmente despreciable), y el jaln P haciaarriba del techo. Si el resorte est en reposo, la fuerza neta debe ser cero: P + w + F = 0

EJEMPLO 1.1

Un estudiante empuja un trineo cargado cuya masa m es de 240 kga travs de una distancia

de 2.30 m sobre una superficie de un lago congelado. Ella ejerce una fuerza horizontalconstante de 130N. Si el trineo parte del reposo cul es la velocidad final?


12/116

11

Solucin:Como se muestra en la fig. 1.8a, trazamos un eje horizontal x, hacemos que la direccincreciente dex sea hacia la derecha, y tratamos al trineo como una partcula. La fig. 1.8b es undiagrama de cuerpo libre parcial del trineo. Como la nica fuerza en direccin delmovimiento es F, podemos escribir de acuerdo a la segunda ley:

2smm

Fa 540

240

130.

Como la aceleracin es constante, podemos utilizar la ec. (1.9) del mdulo I parahallar la velocidad final. Tomando vo =0 yxxo = dy resolviendo para v, obtenemos

smadv /... 613254022

EJEMPLO 1.2Un semforo que pesa 125 N cuelga de un cable unido a otros dos cables fijos a un soporte.Los cables superiores forman ngulos de 37.0 y 53.0 con la horizontal. Determinar latensin en los tres cables.

Solucin:La fig. 1.9 muestra dos diagramas de cuerpo libre, uno para el semforo y otro parael nodo, donde convergen los tres cables. Como el sistema se halla en reposo, la aceleracines cero y la fuerza neta que acta sobre el semforo y sobre el nodo es cero.


13/116

12

Elegimos y hacia arriba y x hacia la derecha como los sentidos positivos. Aplicamos lasegunda ley al semforo (fig. 1.9b):

WTFy

03

NWT 1253 Ahora aplicamos la segunda ley al nodo (fig. 1.9c):

20053037

0053037

0

2

0

1

0

2

0

1

WsenTsenTF

1TTF

y

x

..

.cos.cos

Resolviendo para T2 en (1) y sustituyendo en (2) se tiene:

01250533310370

1

0

1 ... senTsenT NT 1751 .

NT 9992 .

EJEMPLO 1.3

Dos bloques de masas m1 y m2 se ponen en contacto entre s sobre una mesa horizontal lisa.Una fuerza horizontal F se aplica al bloque de masa m1. (a) Determine la magnitud de la aceleracinde los dos bloques y (b) determine la fuerza de contacto entre los dos bloques.

Solucin: Los dos bloques deben experimentar la misma aceleracin porque estn encontacto. En la fig. 1.10a la lnea punteada indica que se trata de dos bloques juntos como unsistema. Como F es la nica fuerza horizontal externa sobre el sistema se tiene:

ammFx 21 (1)Tomar a los dos bloques como sistema ha simplificado la solucin pero no proporciona

informacin acerca de la fuerza de contacto. Para resolver esta parte del problema es necesario


14/116

13

hacer un diagrama de cuerpo libre de cada bloque, como se muestra en la fig. 1.10b y 1.10c. Hemosdenotado la fuerza de contacto como P. Aplicando la segunda ley de Newton al bloque 2 produce

amPFx 2 (2)

Combinando las ecs. (1) y (2) se tiene que

Fmm

mP

212

EJEMPLO 1.4

Una esfera de masa m1 y un bloque de masa m2 estn unidos por una cuerda ligera que pasapor una polea sin friccin de masa despreciable (Fig. 1.11a). El bloque se ubica sobre un planoinclinado sin friccin de ngulo . Calcule la magnitud de la aceleracin de los dos bloques y la

tensin en la cuerda.Solucin: Como los dos cuerpos estn unidos por una cuerda que no se estira, sus

aceleraciones son iguales. Los diagramas de cuerpo libre se muestran en las figs. (1.11b y 1.11c)Asumimos que el movimiento es en el sentido que la bola sube y el bloque baja.

Aplicando la segunda ley a la bola tomando la direcciny hacia arriba como positiva, se tiene

10

11 amgmTF

F

y

x

Con respecto al bloque se ha rotado el eje x grados, de tal manera que el nuevo eje xesparalelo al plano inclinado. En este caso elegimos la direccin positiva hacia abajo del plano.Aplicando la segunda ley al bloque

222 amTgsenmFx '


15/116

14

Sumando las ecs. (1) y (2) eliminamos T y resolvemos para la aceleracin:

21

12

mm

gmgsenma

Sustituyendo este valor en (2) y resolviendo para la tensin:

21

21 1

mm

sengmmT

EJEMPLO 1.5

El arreglo de la fig. 1.12a se denomina Mquina de Atwood. Determine la aceleracin de lasdos masas y la tensin en la cuerda.

Por tanto, para la consistencia de los signos, si se elige para arriba como la direccinpositiva para la m1, se debe definir la direccin hacia abajo como positiva para la m2. Comolos bloques se conectan por medio de una cuerda que no se estira, los dos tienen la mismaaceleracin. Si suponemos que m2 > m1, la segunda ley para los bloques nos da:

amgmTFY 11 amTgmFY 22

Si sumamos estas ecuaciones, T se elimina y, en consecuencia

amamgmgm 2121 gmm mma 21 12

Solucin:

Debemos aqu definir dossistemas, uno por cada cuerpo yaplicar la segunda ley de Newton acada uno de ellos. Los diagramas decuerpo libre se muestran en la fig.1.12 (b). Dos fuerzas actan sobrecada bloque: la tensin en la cuerda yel peso. Hay que ser cuidadosos enlos signos en situaciones como sta.Debemos notar que si la m1 acelerahacia arriba, entonces la m2 acelera

hacia abajo.


16/116

15

Sustituyendo esta ltima ecuacin en la primera se encuentra T

gmm

mmT

21

212

1.9Fuerzas de RozamientoSi lanzamos un bloque de masa m a una velocidad inicial vo a lo largo de una mesa

horizontal larga, al final llegar al reposo. Esto significa que, mientras se est moviendo, elbloque experimenta una aceleracin a que apunta en direccin opuesta a su movimiento. Sien un marco inercial vemos que un cuerpo es acelerado, siempre asociamos su movimientoa una fuerza definida por la segunda ley. En este caso la mesa ejerce una fuerza de friccinsobre el bloque, cuyo valor promedio es ma. Generalmente aceptamos que la friccinsignifica interaccin de contacto entre slidos. Los efectos de la friccin en los lquidos ylos gases se describen en otros trminos y est fuera del alcance de este texto.

En realidad, cuando la superficie de un cuerpo se desliza sobre la de otro, los doscuerpos ejercen una fuerza de friccin entre ellos. La direccin de cada fuerza de friccin esopuesta al movimiento relativo al otro cuerpo. Las fuerzas de friccin se oponen a estemovimiento relativo y nunca contribuyen a l. Aun cuando no exista un movimientorelativo, pueden existir fuerzas de friccin entre superficies.

Hasta ahora no hemos tenido en cuenta estos efectos, la friccin es muy importante enla vida cotidiana. Si se la dejara actuar sola, todos los ejes dejaran de girar. En un auto seinvierte aproximadamente el 20% de la potencia del motor en contrarrestar las fuerzas defriccin. Las fuerzas de friccin causan el desgaste de partes en movimiento. Por otra parte,sin friccin no podramos caminar ni sostener un lpiz, y si pudiramos hacerlo, nopodramos escribir; el transporte sobre ruedas no sera posible.

El propsito es conocer cmo expresar las fuerzas de friccin en funcin de laspropiedades del cuerpo y de su entorno. En lo que sigue consideraremos el deslizamiento(no el rodamiento) de una superficie seca (no lubricada) sobre otra.

Consideremos un bloque en reposo sobre una mesa horizontal, como se muestra en lafig. 1.13a. Le unimos un resorte para medir la fuerza horizontal F requerida para poner albloque en movimiento. Encontramos que el bloque no se mueve cuando aplicamos unafuerza pequea (fig. 1.13b). Decimos que la fuerza que aplicamos est equilibrada por unafuerza de friccin fopuesta, ejercida sobre el bloque por la mesa, que acta a lo largo de lasuperficie de contacto.

Al aumentar la fuerza aplicada (fig. 1.13c, d), hallamos alguna fuerza definidamediante la cual el bloque se desprende de la superficie y comienza a acelerar (fig.

1.13e). Al reducir la fuerza una vez que se ha iniciado el movimiento, encontramos que esposible mantener al bloque en movimiento uniforme sin aceleracin (fig. 1.13f). La fig.1.13g muestra los resultados de un experimento para medir la fuerza de friccin. Se aplica

una fuerza F creciente en, aproximadamente, t= 2s, despus de lo cual la fuerza de friccinaumenta con la fuerza aplicada y el cuerpo permanece en reposo. En t = 4 s el cuerpocomienza sbitamente a moverse y la fuerza de friccin se vuelve constante,independientemente de la fuerza aplicada.


17/116

16

Las fuerzas de friccin que acta sobre superficies en reposo una respecto a la otra sellaman fuerzas de fr iccin estti ca.La fuerza mxima de friccin esttica (correspondienteal pico en t = 4 s en la fig. 1.13g) ser la misma que la fuerza aplicada ms pequeanecesaria para iniciar el movimiento. Una vez que se ha iniciado el movimiento, lasfuerzas de friccin que actan sobre las superficies usualmente disminuyen de manera queslo es necesaria una fuerza ms pequea para mantener un movimiento uniforme(correspondiente a la fuerza casi constante en t 4 s en la fig. 1.13g). Las fuerzas defriccin que actan sobre superficies en movimiento relativo se denominan fuerzas defr iccin cinti ca.

La fuerza mxima de friccin esttica entre cualquier par de superficies no lubricadasresponde a estas dos leyes empricas:

1) Es independiente del rea de contacto dentro de lmites amplios.2) Es proporcional a la fuerza normal

En un bloque que est en reposo sobre una mesa horizontal o se desliza sobre ella, lafuerza normal es igual en magnitud al peso del bloque. La razn entre la magnitud de lafuerza mxima de friccin esttica y la magnitud de la fuerza normal se llama coeficiente

de friccin esttica de las superficies implicadas. Si fs representa la magnitud de la fuerzade friccin esttica, podemos escribir que:

Nf Ss (1.5)

Donde s es el coeficiente de friccin esttica y N es la magnitud de la fuerza normal.El signo de igualdad se cumple slo cuando f alcanza su valor mximo.


18/116

17

La fuerza de friccin cintica, fk entre superficies secas no lubricadas, sigue lasmismas leyes que las dos de friccin esttica. Adems es razonablemente independiente dela velocidad relativa con la que las superficies se mueven entre s.

La relacin entre la magnitud de la fuerza de friccin cintica y la magnitud de lafuerza normal se denomina coeficiente de friccin cintica. Entonces:

Nf kk (1.6)

Tanto s como k son constantes sin dimensin, siendo cada una la razn de lasmagnitudes de dos fuerzas. Por lo general se ha determinado para un par de superficies ques > k. Los valores de estos coeficientes dependen de la naturaleza y el estado de las dossuperficies en contacto. Pueden ser mayores que la unidad, aunque por lo general, sonmenores que ella. La tabla 1.1 muestra algunos valores representativos de los coeficientesde friccin.

EJEMPLO 1.6

Un bloque de masa m est en reposo sobre un plano inclinado que forma un ngulo con lahorizontal como se muestra en la fig. 1.14a. Cuando se eleva el ngulo de inclinacin se hallaque el movimiento apenas comienza cuando s = 15. Determine el coeficiente de friccinesttica entre el bloque y el plano.


19/116

18

Solucin:En la fig. 1.14b se muestran las fuerzas que actan sobre el bloque. El peso delbloque es mg, la fuerza normal ejercida sobre el bloque por la superficie inclinada es N, y lafuerza de friccin ejercida por la superficie es fs. El bloque est en reposo, de modo que lasegunda ley de Newton da F = 0. Descomponiendo las fuerzas en sus componentes x y yobtenemos:

mgsenfmgsenfF ssx 0 coscos mgNmgNFy

Dividiendo estas ecuaciones obtenemos el coeficiente:

s

s

sss

mg

mgsen

N

f

tan

cos

Esto proporciona un mtodo experimental sencillo para determinar el coeficiente de friccinesttica. Note que ste es independiente del peso del bloque.

EJEMPLO 1.7

Un auto se mueve a lo largo de una carretera recta horizontal a una velocidad vO (fig. 1.15a).Si el coeficiente de friccin esttica entre las llantas y la carretera es s. Cul es la distanciams corta en que puede ser detenido el automvil?

Solucin:En la fig. 1.15b se muestran las fuerzas que actan sobre el auto. Se supone que elauto se mueve en la direccinx positiva. Suponemos tambin que la fuerza de friccin esconstante, de tal manera que produce una desaceleracin uniforme. De la Ec. 1.9, mdulo I

oO xxavv 222 Con la posicin inicial elegida de modo quexO = 0 y a una velocidad final v = 0, obtenemos:

a

vx O

2

2 (1)


20/116

19

Dondex es la distancia requerida para detenerse, donde la velocidad cambia desde vO hasta 0.Como la aceleracin es negativa, la distanciax es positiva como se esperaba.Para determinar la aceleracin, aplicamos la segunda ley de Newton al auto con suscomponentes asignadas de acuerdo a la fig. 1.15b.

0

mgNF

mafF

y

sx

De tal manera quemgf ss

Y

ga s

Sustituyendo este valor de la aceleracin en la ec. (1) se tiene

g

v

x S

O

2

2

Esto significa que cuanto mayor sea la velocidad inicial, mayor ser la distancia requeridapara llevar al auto al reposo; de hecho, esta distancia vara con el cuadrado de la velocidadinicial. Adems, cuanto ms grande sea el coeficiente de friccin esttica entre lassuperficies, menor ser la distancia necesaria para detener al auto.En este ejemplo se ha empleado el coeficiente de friccin esttica, en lugar del coeficiente defriccin cintica, porque suponemos que no existe deslizamiento entre las llantas y lacarretera. Tambin, hemos supuesto que opera la fuerza de rozamiento esttica mximaporque el problema busca la distancia ms corta para detener al auto.

EJEMPLO 1.8

Un bloque con masa m1 sobre una superficie horizontal rugosa se conecta a una bolade masa m2, por medio de una cuerda sobre una polea, como se muestra en la fig.1.16(a). Una fuerza de magnitud F en un ngulo con la horizontal se aplica albloque de la manera indicada. El coeficiente de friccin cintica entre el bloque y lasuperficie es K. Determine la magnitud de la aceleracin de los dos cuerpos.

Solucin:Se han dibujado los diagramas de cuerpo libre de los dos cuerpos y semuestran en la fig. 8.6 (b) y (c). Aplicando la segunda ley a ambos cuerpos ytomando que el movimiento es a la derecha, se obtiene

Bloque:(1) amTfcosFF KX 1 (2) 01gmFsenNFY


21/116

20

Bola:(3) amgmTFY 22

Resolviendo para N en (2) y combinando el resultado con Nf KK se obtiene

(4)

Fsengmf

FsengmN

KK

1

1

La sustitucin de (4) y el valor de T obtenido de (3) 3n (1) producen

21

12

mm

mmgsencosFa KK

EJEMPLO 1.9

Un bloque de 5.00 kgde masa descansa en la parte superior de un segundo bloque de 15.00kgde masa, que a su vez est sobre una superficie horizontal. Los coeficientes de friccinentre los dos bloques son s = 0.300 y k = 0.100. Los coeficientes entre el bloque inferior yla superficie son s = 0.500 y k = 0.400. Se aplica una fuerza horizontal constante al bloqueinferior de tal manera que ste comienza a deslizarse entre la superficie y el bloque superior.(a) Dibujar un diagrama de cuerpo libre de cada bloque, (b) Qu fuerza debe aplicarse para

que el movimiento sea inminente? (c) Determine la aceleracin de cada bloque.

Solucin:Los diagramas de cuerpo libre de cada bloque se ilustran en la siguiente figura. Sehan utilizado los subndices i ys para referirnos al bloque inferior y superior. Calculando lospesos de ambas masas:


22/116

21

N...gmW

N...gmW

ii

is

01478090015

049809005

(a) y (b) Movimiento inminente:

Para calcular las fuerzas normales que actan sobre cada bloque, aplicamos la segunda ley,as,Para el bloque superior:

N.WN

F

ss

y

049

0

`Para el bloque inferior:

N.WWN

F

sii

y

196147049

0

Ahora que conocemos las normales, calculamos las fuerzas de friccin:

N..Nf

N...Nf

iss

sss

0981965000

7140493000

22

121

La fuerza P se calcula aplicando la segunda ley al bloque inferior:

NN.ffP

F

ss

x

11371 12

0

21

(c) Cuando los bloques se ponen en movimiento intervienen las fuerzas de friccin cintica,

tal como se ilustra en la siguiente figura. Aplicando la segunda ley en la direccin horizontala ambos bloques considerando el sentido hacia la derecha como positivo, se tiene, para elbloque inferior:

i

iikk

x

a....

amffP

maF

0015196400004910001 13

21


23/116

22

2981 sm.ai

Para el bloque superior:

ssk

a...

maf

0050491000

1

2980 sm.as

1.10 La Segunda Ley de Newton aplicada al Movimiento Circular

De acuerdo a la Segunda Ley de Newton, cada cuerpo acelerado debe tener unafuerza neta que acta sobre l. Suponiendo que estamos en un marco inercial, si vemos uncuerpo que se mueve en movimiento circular uniforme, podemos estar seguros que la

magnitud de la fuerza neta que acta sobre el cuerpo est dada por

r

vmF

2 (1.7)El cuerpo no est en equilibrio porque la fuerza neta no es cero. La direccin de la

fuerza neta en cualquier instante debe ser la direccin de la aceleracin, es decir, radialhacia dentro. Esta fuerza es proporcionada por un agente (o agentes) externo en el ambientede la masa m en aceleracin.

En el mdulo I, 2.4 se hizo notar que si un cuerpose mueve a velocidad uniforme ven un crculo o enun arco circular de radio r, experimenta una

aceleracin centrpeta acuya magnitud es v2

/r. Ladireccin de a es siempre hacia el centro del crculo.As pues, a es un vector variable porque, aun cuandosu magnitud permanezca constante, su direccincambia continuamente segn progresa el movimiento.La fig. 1.17 muestra la relacin vectorial entre vy aen el MCU.


24/116

23

Si el cuerpo en movimiento es una bola de masa m atada a una cuerda de longitud rque da vueltas con rapidez constante en un crculo horizontal como muestra la fig. 1.18, lafuerza neta sobre la bola es proporcionada por la tensin Fr en la cuerda. Acelera a la pelotacambiando constantemente la direccin de su velocidad de modo que la pelota se mueve encrculo. La direccin de esta fuerza es siempre hacia el centro del crculo.

Si se aplica la segunda ley a lo largo de la direccin radial podemos determinar sumagnitud, como lo establecimos previamente:

r

vmmaF rr

2 Si la fuerza desapareciera, el cuerpo no seguira la trayectoria circular. Esto se ilustra en

la figura 1.19. Para la pelota de la fig. 1.19, si se rompe la cuerda en cierto instante, la bolase mover en lnea recta, tangente al crculo en el punto donde la cuerda se rompi.

La fuerza que causa la aceleracin

centrpeta a veces se llama fuerzacentrpeta. Sin embargo, esto da a lugar auna idea equivocada en el sentido quehabra de aadirse una fuerza ms a la listade las fuerzas que conocemos. La fuerzacentrpeta slo es una o varias de lasfuerzas conocidas actuando en elpapel deuna fuerza que provoca un movimiento

circular. Por ejemplo, si consideramos elmovimiento de la Tierra alrededor del sol,la fuerza centrpeta es la gravedad. Para

una roca girando al final de una cuerda esla fuerza de tensin de la cuerda. Para uncuerpo colocado sobre una tornamesa es lafriccin.


25/116

24

Por ltimo, no olvidemos que el trmino centrpeta, se refiere al efecto de la fuerza,esto es, al hecho que ocasione un cambio en la direccin del vector velocidad y lo hagamoverse en trayectoria circular. Lo que es ms, la fuerza centrpeta puede ser lacombinacin de dos o ms fuerzas como lo veremos ms adelante.

EJEMPLO 1.10Un pequeo cuerpo de 200 g de masa gira describiendo una circunferencia sobre unasuperficie horizontal lisa, sujeto por una cuerda de 20 cm de longitud a un eje clavado en lasuperficie. Si el cuerpo da dos vueltas completas por segundo, encontrar la fuerza P ejercidasobre l por la cuerda. Vase fig. 1.20.

Aplicando la segunda ley a la componente radial del movimiento:

5312000 ..rr

maPF

NP 36.

EJEMPLO 1.11

Repetir el ejemplo 1.9 considerando que el coeficiente de friccin entre el cuerpo y lasuperficie es 0.3.Solucin:En este caso, adems de la tensin en la cuerda P, la fuerza de friccin estticacontribuye al movimiento circular. La fuerza de friccin apunta hacia el centro de latrayectoria circular (fig. 1.21). La segunda ley aplicada a la direccin radial es:

rsr mafPF (1)

Solucin:De la ec. 2.26 (Mdulo I)podemos calcular la velocidad linealde la masa. Como el periodo es de 0.5

s: s

mT

R

v 51250

20022

..

.

Por la ec. 2.22 (Mdulo I) laaceleracin centrpeta es:

2

22

531200

512

sm

R

va .

.

.


26/116

25

Aplicando la segunda ley a la direccin vertical y sustituyendo la fuerza de friccinpor la ec. 1.5:

ss

y

mgf

mgN

mgNF

Sustituyendo el valor defen (1) obtenemos:

gamPmamgP

r

rs

NP 344895312000 .... Como era de esperar, ahora que la fuerza de rozamiento colabora con la fuerza centrpeta, lafuerza P debe ser menor con relacin a la situacin anterior que no consider la fuerza defriccin.

EJEMPLO 1.12

Un cuerpo de masa m est suspendido de una cuerda de longitud L. El cuerpo gira en uncrculo horizontal de radio r con una velocidad v, como se muestra en la fig. 1.22a. Puestoque la cuerda barre la superficie de un cono, este arreglo se llama pndulo cnico. Encuentreuna expresin para v.En la fig. 1.22b se muestra el diagrama de cuerpo libre del cuerpo. La tensin en la cuerda T

se ha descompuesto en sus componentes vertical y horizontal. Puesto que el cuerpo noacelera en la direccin vertical, la componente de la resultante en y es cero, y la componentevertical de T debe equilibrarse con el peso del cuerpo:

mgcosT (1)Como la fuerza que proporciona la fuerza centrpeta es Tsen, de la segunda ley se obtiene:


27/116

26

r

mv

maTsenF rr

2

(2)Al dividir la ec. (2) por la (1) se elimina T y se obtiene:

rg

vtan

2 Por lo tanto:

tanrgv De acuerdo a la geometra de la fig. 1.22a, Lsenr , por tanto,

tangLsenv Debe observar que la velocidad es independiente de la masa del cuerpo.

EJEMPLO 1.13

Un automvil de 1500 kgse mueve sobre una carretera horizontal plana y llega a una curvade radio de 35.0 m, como se muestra en la fig. 1.23a. El coeficiente de rozamiento estticoentre las llantas y el asfalto seco es de 0.50. Calcule la velocidad que el auto pueda tener paratomar la curva sin derrapar.

Solucin:Al tomar la curva (fig. 1.23a), el auto tiende a derrapar, es decir, a salirse delcamino por el lado derecho. Lo que impide que suceda esto es la fuerza que mantiene al autoen su trayectoria circular. En este caso la fuerza centrpeta es la fuerza de rozamientoesttico (fig. 1.23b).


28/116

27

Por lo tanto, de la segunda ley,

rmvfS

2

(1)

Como se ha tomado el valor mximo de la fuerza de friccin, esta corresponde a la velocidada la cual el auto est a punto de derrapar. Consecuentemente:

mgNf SSmax,S (2)

Sustituyendo este valor en la ec. (1) se halla la velocidad mxima

grm

mgr

m

rfv S

Smax,S

max

s

m....vmx 1130358095000 Ahora veremos un ejemplo similar, un auto en una carretera, sin embargo, la carretera estperaltada con el propsito de que el auto no dependa de la friccin al tomar una curva. Laexpresin peraltada, significa que la carretera est inclinada hacia el interior de la curva.

EJEMPLO 1.14

La velocidad designada para una curva de 50.0 m de radio es de 13.4 m/s. Se desea conocer elngulo de peralte de la curva.

Solucin:Un esquema de la curva y el diagrama de cuerpo libre del auto se muestran en lafig. 1.24a. El ngulo de peralte es .Como la carretera se inclina para evitar el rozamiento, fS= 0, la fuerza que provoca laaceleracin centrpeta y mantiene al auto en una trayectoria circular debe ser la componentehorizontal de la normal.


29/116

28

rg

vtan

rg

vtan

mgr

mv

cos

sen

21

2

2

o12089050 4132

1 ...

.tan

De nuevo, la velocidad mxima del auto no depende de su masa. Por eso no senecesitan mltiples seales de trnsito para los lmites de velocidad para cubrir unagran variedad de masas de los vehculos que usan las carreteras.

EJEMPLO 1.15

En algunos parques de diversin podemos encontrar un aparato llamado rotor. Es un espaciocilndrico hueco que gira con respecto a un eje vertical central del cilindro. La persona queutiliza el juego, entra en el aparato, cierra la puerta, y se pone de pie contra la pared. Elaparato aumenta gradualmente la velocidad angular desde el reposo hasta que, a unavelocidad predeterminada, el piso se abre hacia abajo, quedando al descubierto un hondoagujero. La persona no cae, sino que permanece adherida a la pared del rotor. Quvelocidad angular mnima es necesaria para impedir la cada?

Solucin:En la fig. 1.25 se muestra el diagrama de fuerzas que actan sobre la persona. Definimos elejey positivo, y para que la persona no caiga, no debe haber aceleracin en la direccin y. La

componente eny de la fuerza neta nos da:

0mgfF sy

La componente radial de la segunda ley de Newton puede ser escrita as:

rmwr

mvmaNF rr

22

Aplicando la segunda ley de Newton en ladireccin radial

r

mvNsenFr

2

Como el auto est en equilibrio en ladireccin vertical

mgcosN Dividiendo estas ecuacionesobtenemos el ngulo de peralte:


30/116

29

EJEMPLO 1.16

Un persona de masa m pilotea un avin jet y ejecuta una pirueta como se ilustra en la fig.1.26a. El avin describe un crculo vertical de 2.70 km de radio con una velocidad de 225m/s. Determine la fuerza que ejercida por el asiento sobre el piloto en funcin del peso de lapersona, mg.

Solucin:Un diagrama de cuerpo libre de la persona se muestra en la fig. 1.26b. La fuerzaque ejerce el asiento sobre el piloto es la normal. Note que la direccin de la fuerza normaldepende de la posicin del avin. En la parte superior tiene la misma direccin que el peso yen la parte inferior apunta hacia arriba. Por lo tanto, habr que especificar la posicin del

avin para un valor dado de la normal. En la parte superior, el vector suma de la fuerzanormal y el peso proporcionan la fuerza centrpeta necesaria.

En la parte inferior, fig. 1.26b, la fuerza neta es, de acuerdo a la segunda ley,

rg

vmg

r

vmmgN

r

vmmgNF

i

ir

22

2

1

Sustituyendo los valores dados:

mg.Ni 912

Ntese que la normal proporciona la fuerzacentrpeta en este caso. Si s es el coeficientede friccin esttica entre la persona y la

pared, entonces

Rmwmg

Nmgf

s

ss

2

R

gw

s


31/116

30

En la parte superior, fig. 1.26c, la aplicacin de la segunda ley nos da:

1

2

2

rg

vmgN

r

vmmgNF

S

Sr

De donde,

mg.NS 9130

1.11 Movimiento Circular no uniformeEn el mdulo I, captulo 2, se encontr que si una partcula se mueve con velocidad

variable en una trayectoria circular, adems de la componente radial de la aceleracin,existe una componente tangencial de magnitud dv/dt. Por lo tanto, la fuerza que acta sobre

la partcula tambin debe tener una componente tangencial y una radial.

Es decir, puesto que la aceleracin estr

aaa , la fuerza total sobre la partculaes

trFFF , como se muestra en la fig. 1.27. El vectorFr est dirigido hacia el centro

del crculo y es responsable de la aceleracin centrpeta. El vectorFt, tangente al crculo esresponsable de la aceleracin tangencial, la cual tambin hace que cambie con el tiempo lamagnitud de la velocidad de la partcula.


32/116

31

EJEMPLO 1.17

Una esfera de masa m est atada a una cuerda de longitudR, la cual gira en un crculo verticalalrededor de un punto fijo O, como se ilustra en la fig. 1.28a. Determine la tensin en lacuerda en cualquier instante cuando la velocidad de la esfera es v y la cuerda forma un ngulo

con la vertical.

Solucin:En contraste con el ejemplo 1.15, la velocidad no es constante en esteejemplo. Esto es porque en todo tiempo, excepto en la puntos superior e inferior de latrayectoria, surge una componente tangencial a partir de la fuerza gravitatoria (fig.1.28a).

Aplicando la segunda ley de Newton a la esfera considerando el diagrama defuerzas de la fig. 1.28a se obtiene

gsena

mgsenmaF

t

tt


33/116

32

Aplicando la segunda ley en la direccin radial considerando positivo el sentidohacia O, obtenemos la tensin en cualquier instante

R

mvcosmgTFr

2

cosgRvmT2

Si consideramos la fig. 1.28b, observaremos dos casos especiales. El primerocuando la pelota se halla en la parte ms alta de la trayectoria, donde vale 180.La ecuacin de la tensin da como resultado

g

R

vmT

sup

sup

2

ste es el valor mnimo de T. En la parte inferior de la trayectoria, cuando vale0, se obtiene el valor mximo de T

g

R

vmT

inf

inf

2

Debe observarse que en ambos instantes la aceleracin tangencial es nula.

1.12 Movimiento en Marcos de Referencia AceleradosHasta ahora hemos supuesto que las observaciones y mediciones se realizaron en un

marco de referencia inercial. Sin embargo, si es conveniente, podemos aplicar las leyes deNewton del movimiento desde el punto de vista de un observador en un marco dereferencia no inercial. Es decir, Un marco unido a un cuerpo que est acelerando tal comose ve desde el punto de vista de un marco inercial. Para aplicar las leyes dl movimiento deNewton en marcos no inerciales debemos introducir fuerzas adicionales, llamadas seudofuerzas o fuerzas ficticias. Opuestamente a las fuerzas que se han examinado hasta ahora,no podemos asociar a las seudofuerzas con ningn objeto particular del entorno del cuerposobre el cual acten, y no podemos enlistarlas en ninguna categora de las clasificadas al

inicio de esta seccin.Ms aun, si vemos al cuerpo desde un marco inercial, las seudofuerzas desaparecen.Por lo que estas son consideradas recursos que nos permiten aplicar las leyes de lamecnica clsica de la manera normal a los acontecimientos, si insistimos en ver estoshechos desde un marco no inercial.


34/116

33

Como ejemplo consideremos un auto que viaja a lo largo de una autopista a altavelocidad y se acerca a una curva (fig. 1.29a). Conforme el auto toma la curva hacia laizquierda, una persona sentada en el asiento del copiloto se desliza hacia la derecha ygolpea la puerta. En ese momento, la fuerza que ejerce la puerta impide que la personasalga del auto. Qu provoca que la persona se mueva hacia la puerta? Desde el punto devista de la persona (marco no inercial), una fuerza, que ella llama centrfuga, la empujahacia la puerta. Es decir, la persona inventa esta fuerza para explicar lo que est sucediendo

en su marco de referencia acelerado.La explicacin correcta es la siguiente: Antes que el auto entre en la curva la pasajera

se est moviendo en lnea recta. Conforme entra en la curva, la persona tender a seguirmovindose en lnea recta. Esto est de acuerdo a la primera ley: la tendencia de loscuerpos a conservar su movimiento. No obstante, si una fuerza lo suficientemente grandeacta sobre la persona hacia el centro de la curva (fig. 1.29c), ella se mover en unatrayectoria curva junto con el auto. El origen de esta fuerza el la friccin entre el asiento yla persona. Si esta fuerza de friccin no es lo suficiente para mantener a la persona en unatrayectoria curva, ella se deslizar conforme el auto da vuelta hacia la izquierda.Eventualmente topar con la puerta. Ella se desliza hacia la puerta no a causa de una fuerzallamada centrfuga, sino porque la fuerza de friccin no es lo suficientemente grande parapermitirle viajar a lo largo de la trayectoria circular que sigue el carro.

En general, si una partcula se mueve con la aceleracin a respecto a un marcoinercial, podemos recurrir a la segunda ley de Newton y establecer correctamente que F=ma. Si tratamos de aplicar la segunda ley desde un marco no inercial, debemos introducirfuerzas ficticias. Estas fuerzas inventadas por el observador no inercial aparecen comofuerzas reales en ese marco de referencia. Sin embargo, se debe resaltar que estas noexisten cuando el movimiento se observa desde un marco inercial.


35/116

34

Si las fuerzas ficticias se definen apropiadamente en el marco acelerado, entonces ladescripcin del movimiento en ste ser equivalente a la descripcin de un observadorinercial que solo considera fuerzas reales. Por fuerzas reales se entiende la interaccin conla partcula. Casi siempre los movimientos se analizan utilizando marcos inerciales, aunquehay casos en los que es ms conveniente usar un marco de referencia acelerado. Veamos

unos ejemplos.EJEMPLO 1.18

En la figura 1.30 se muestra una esfera de masa m que cuelga de una cuerda amarrada altecho de un vagn que estn acelerando a la derecha. De acuerdo a la observadora inercial enreposo, las fuerzas sobre la esfera son la ejercida por la cuerda Ty el peso. La observadoraconcluye que la aceleracin de la masa es la misma que la del vagn, y que esta aceleracinla produce la componente horizontal de T. Adems la componente vertical de Tequilibra lafuerza de la gravedad. Consecuentemente, la observadora inercial escribe la segunda ley deesta manera:

0

mgcosTF

maTsenF

y

x

Al resolver estas ecuaciones la aceleracin resulta ser

tanga Por otra parte, para un observador no inercial que viaja en el vagn (fig. 1.31), la cuerdasigue formando un ngulo con la vertical; sin embargo, para l la esfera est en reposo y suaceleracin es cero. En consecuencia, el observador no inercial introduce una fuerza ficticiapara equilibrar la componente horizontal de Ty afirma que la fuerza neta sobre la esfera es

cero. En marco no inercial la segunda ley es:

0

0

mgcosTF

FTsenF

y

x

Si reconocemos quemamaF inercial


36/116

35

Entonces estas expresiones son equivalentes a las obtenidas en el marco inercial y, por tanto,ambos obtendran los mismos resultados. Sin embargo, la interpretacin de la desviacin dela cuerda diferir en los dos marcos de referencia.

EJEMPLO 1.19

Consideremos un bloque de masa m que se encuentra atado mediante una cuerda al centro deuna mesa giratoria horizontal sin friccin, como se ilustra en la fig. 1.32.

El observador inercial vera que si el bloque rota de manera uniforme, experimentar una

aceleracin cuya magnitud esr

v2

, donde v es la velocidad lineal. l concluye que esta

aceleracin centrpeta es proporcionada por la tensin en la cuerda T. Por lo tanto, la segunda

ley en este marco inercial es:r

mvT

2 Por otro lado, un observador no inercial montado en la mesa giratoria vera que el bloque esten reposo y su aceleracin es nula. Por lo que debe introducir una fuerza ficticia para

equilibrar a la tensin T. Por supuesto, l llama a esta fuerza centrfuga. La segunda ley en

este marco acelerado es: 02

r

mvT


37/116

36

PREGUNTAS

1. Puede considerarse la Primera Ley de Newton un caso particular de la SegundaLey de Newton?

2. Por qu caemos hacia delante cuando un autobs en movimiento desacelerahasta detenerse y sentimos un impulso hacia atrs cuando acelera desde elreposo?

3. Explique la Segunda Ley de Newton4. Qu relacin existe entre la fuerza aplicada a un cuerpo y la direccin en la que

se mueve el objeto?

5. Explique las diferencias entre masa y peso6. Al comprar 5 kgde azcar, los 5 kgson masa o peso?7. Comente las aseveraciones siguientes: (a) la masa y el peso son las mismas

cantidades fsicas expresadas en unidades diferentes. (b) La masa es unapropiedad de un cuerpo aislado, mientras que el peso resulta de una interaccinentre dos cuerpos. (c) El peso de un objeto es proporcional a su masa.

8. Explique la diferencia entre la primera y la segunda ley de Newton9. Una pelota de hule se deja caer al suelo. Qu fuerza causa el rebote de la pelota?10. Si un cuerpo se mueve a velocidad constante, qu se puede decir de la fuerza

resultante que acta sobre l?

11. El conductor de un camin vaco viaja a gran velocidad pisa los frenos y patinauna distancia d hasta que se detiene. (a) Si el camin transportase una pesadacarga de manera que su masa se duplicara, qu distancia patinara? (b) Si la

velocidad inicial del camin se redujera a la mitad, cul sera la distancia quepatinara?

12. Si una mosca choca contra el parabrisas de un auto, (a) cul experimenta lamayor fuerza de impacto: la mosca o el auto? (b) Cul experimentara la mayoraceleracin?

13. Una caja se coloca en la cama de un pick up. Cuando el auto vira hacia laderecha, la caja se mueve con el sin deslizarse. Cul es la direccin de la fuerzade friccin ejercida por el auto sobre la caja?

14. Por qu una rueda que gira con gran rapidez salpica el lodo?15. Explique el trmino fuerza centrpeta16. De acuerdo a la segunda ley de Newton, una fuerza neta que acta sobre una

partcula le causa una aceleracin con la misma direccin y sentido de la fuerzaresultante. Aplique esta afirmacin al movimiento circular uniforme.

17. Por qu la fuerza neta sobre una partcula en el movimiento circular no puedeaumentar la velocidad de la partcula?


38/116

37

18. Sera posible que un carro se moviera en una trayectoria circular de tal maneraque tuviera aceleracin tangencial pero no aceleracin centrpeta?

19. Una curva tiene un peralte calculado para 80 km/h. Como el camino tiene hielo,Ud. piensa tomar el carril ms alto a slo 20 km/h. Qu puede sucederle? Porqu?

20. Una persona lleva un maletn en un ascensor visible fuera de un edificio que semueve hacia arriba. Para una persona en el suelo la persona y el maletn tienen lamisma aceleracin. Sin embargo, para otra persona que va en el mismo ascensor,el maletn y su dueo estn en reposo. Quin est en lo correcto? Explique.

PROBLEMAS

1. Una bola para demolicin est sujeta por dos cables de acero ligeros (Fig. 1.33).Si la tensin TA es de 580 N, (a) qu tensin TBhay en el cable que est a 40 dela vertical? (b) Qu masa tiene la bola?

2. En la Fig. 1.34 la tensin en la cuerda diagonal es de 60.0 N. (a) Calcule lamagnitud de las fuerzas F1 y F2 que deben aplicarse para mantener el sistema enla posicin indicada. (b) Cunto pesa el bloque?

3. Dos masas estn conectadas por una cuerda ligera sobre una polea como semuestra en la fig. 1.35. Si la m1 2.00 kgy m2 es 6.00 kgy = 55.0, determine lavelocidad de cada masa 2.00s despus de que se sueltan desde el reposo.

4. Dos bloques cada uno de los cuales tiene una masa de 20 kgdescansan sobre unasuperficie lisa segn indica la fig. 1.36. Suponiendo que las poleas sean ligeras ysin rozamiento calcular: (a) el tiempo requerido para que el bloque A se mueva1.0 m hacia abajo del plano, partiendo del reposo. (b) la tensin en la cuerda que

une los bloques.5. A un bloque se le da una velocidad inicial de 5.00 m/s hacia arriba de un planoinclinado sin friccin con una inclinacin de 20. Cun alto se desliza el bloquesobre el plano antes que se detenga?


39/116

38

6. Dos masas m1 y m2, situadas sobre una superficie horizontal sin friccin, seconectan mediante una cuerda ligera. Una fuerza F se ejerce sobre una de las

masa a la derecha (Fig. 1.36) Determine la aceleracin de cada bloque y latensin en la cuerda.

7. Tres bloques estn en contacto entre s sobre una superficie horizontal lisa, (Fig.1.37). Una fuerza horizontal es aplicada a m1. Si m1 = 2.00 kg, m2 = 3.00 kg, m3 =4.00 kg y F = 18.0 N, calcule (a) la aceleracin de los bloques, (b) la fuerzaresultante sobre cada bloque y (c) las magnitudes de las fuerzas de contacto entrelos bloques.

8. Un auto de 1500 kg(Fig. 1.38). est siendo arrastrado a lo largo de una pendientea 18 por medio de un cable atado a la parte trasera de una gra. El cable formaun ngulo de 27 con la pendiente. Cul es la mayor distancia que el auto puedeser arrastrado en los primeros 7.5 s despus de arrancar desde el reposo si elcable tiene una resistencia a la rotura de 4.6 kN? Suponga que no hay friccin.


40/116

39

9. Una caja de 110 kgest siendo empujada a velocidad constante por la rampa de34 que se muestra en la Fig. 1.39. (a) Qu fuerza horizontal F se requiere? (b)Cul es la fuerza ejercida por la rampa sobre la caja?

10. Un avin de combate despega a un ngulo de 27.0 con la horizontal, acelerandoa 2.62 m/s2 (Fig. 1.40). El peso del avin es de 79300 N. Halle (a) el empuje T

del motor del avin y (b) la fuerza ascensional L ejercida por el aireperpendicularmente sobre las alas. Desprecie la resistencia del aire.

11. Tres bloques estn unidos como se muestra en la fig. 1.41 sobre una mesahorizontal carente de friccin y son jalados hacia la derecha con una fuerzaT 3 =6.5 N. Si m1 = 1.2 kg, m2 = 2.4 kgy m3 = 3.1 kg, calcule (a) la aceleracin de losbloques, (b) las tensiones T1 y T2.

12. Un obrero arrastra una caja por el piso de una fbrica jalando de una cuerda atadaa la caja como se muestra en la fig. 1.42. El obrero ejerce una fuerza de 450 Nsobre la cuerda, la cual est inclinada 38.0 sobre la horizontal. El suelo ejerceuna fuerza de resistencia horizontal de 125 N sobre la caja. Calcular laaceleracin de la caja (a) si su masa es de 96.0 kgy (b) si su peso es de 96.0 N.

13. Dos bloques de peso w estn sostenidos en una pendiente sin friccin (fig. 1.43).En trminos de w y , determine la tensin en las dos cuerdas.

14. Un elevador y su carga tienen una masa combinada de 1600 kg. Calcule latensin en el cable de sustentacin cuando el elevador, que originalmente semueve hacia abajo a razn de 12.0 m/s, es trado al reposo con aceleracinconstante a una distancia de 42.0 m.


41/116

40

15. Una carga de 15.0 kgpende de una cuerda que pasa por una polea pequea sinfriccin y tiene un contrapeso de 28.0 kg en el otro extremo (fig. 1.44). Elsistema se libera desde el reposo encuentre (a) la aceleracin de las masas y (b) latensin en la cuerda.

16. Una persona de 80.0 kg se para en un solo pie de puntillas. Esto genera unafuerza de la tibia y una fuerza sobre el tendn de Aquiles (Fig. 1.45). Si la fuerzaque ejercen ambos sobre el pie forman un ngulo de 15 y de 21,respectivamente, respecto de la vertical, calcule ambas fuerzas. Considere lamasa del pie despreciable con relacin a la masa de la persona.

17. Considere sin friccin a la mesa de la figura 1.46. Si m1 = 250g, m2 = 500gy m3= 200g, calcule la aceleracin del sistema y la tensin en las cuerdas.

18. Un bloque de 2.00 kgde masa se suelta desde el reposo a una altura h = 50.0 cmde la superficie de una mesa, en la parte superior de un plano inclinado con un

ngulo = 30.0, como se muestra en la fig. 1.47. La pendiente sin friccin estfija sobre una mesa de alturaH= 2.00 m. (a) Determine la aceleracin del bloquecuando desliza hacia debajo de la pendiente. (b) Cul es la velocidad del bloquecuando deja la pendiente? (c) A qu distancia de la mesa el bloque golpear elsuelo? (d) Cunto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se solt elbloque y cuando ste golpea el suelo?


42/116

41

19. Dos bloques estn conectados por una cuerda de masa despreciable estn siendoarrastrados por una fuerza horizontal F (Fig. 1.36). Suponga que F = 68.0 N, m1= 12.0 kg, m2 = 18.0 kgy el coeficiente de friccin cintica entre cada bloque y lasuperficie es de 0.100. Determine la aceleracin del sistema y la tensin en la

cuerda.20. Un bloque de 2.20 kg de masa se acelera a lo largo de una superficie rugosa

mediante una cuerda ligera que pasa por una polea de masa despreciable y sinfriccin tal como se ilustra en la fig. 1.48. La tensin en la cuerda es de 10.0 N yla polea est 10.0 cm sobre la parte superior del bloque. El coeficiente de friccincintica es 0.400. (a) Determine la aceleracin del bloque cuando x = 0.400 m.(b) Calcule el valor dex en el cual la aceleracin se vuelve cero.

21. Considere tres cuerpos conectados como se ilustra en la fig. 1.49. Si el planoinclinado es liso y el sistema est en equilibrio, encuentre en trminos de m, gy (a) la masa M y (b) las tensiones en las cuerdas. Si el valor de M se duplica al

valor encontrado, calcule (c) la aceleracin de cada cuerpo, (d) las tensiones enlas cuerdas. Si el coeficiente de friccin esttica entre los bloques y el planoinclinado es s, y el sistema est en equilibrio, determine (e) el valor mnimo deM y (f) el valor mximo de M.


43/116

42

22. El sistema mostrado en la fig. 1.50 tiene una aceleracin igual a 1.50 m/s2.Suponga que los coeficientes de friccin cintica para ambos bloques y lasuperficie son iguales. Determine (a) el coeficiente de friccin cintica y (b) latensin en la cuerda.

23. En la fig. 1.51, A es un bloque de 4.4 kg y B es un bloque de 2.6 kg. Loscoeficientes de friccin esttica y cintica entre A y la mesa son de 0.18 y 0.15respectivamente. (a) Determine la masa mnima del bloque C que debe colocarsesobre A para evitar que se deslice. (b) El bloque C es levantado sbitamente deA. Cul es la aceleracin del bloque A?

24. Un bloque de 5.00 kg se coloca sobre un bloque de 10.0 kg (fig. 1.52). Unafuerza horizontal de 45.0 N se aplica al bloque de 10.0 kg, y el bloque de 5.00 kgse amarra a la pared. El coeficiente de friccin cintica entre todas las superficieses de 0.200. Determine la tensin en la cuerda y la magnitud de la aceleracin delbloque de 10.0 kg.

25. Un bloque de 2.00 kgse coloca sobre un bloque de 5.00 kgcomo se ilustra en lafig. 1.53. El coeficiente de friccin cintica entre el bloque de 5.00 kg y la

superficie es 0.200. Una fuerza horizontal se aplica al bloque de 5.00 kg. (a)Qu fuerza acelera al bloque de 2.00 kg? (b) Calcule la fuerza necesaria parajalar ambos bloques hacia la derecha con una aceleracin de 3.00 m/s2. (c)Encuentre el coeficiente mnimo de friccin esttica entre los bloques tal que elbloque de 2.00 kgno se deslice menos de una aceleracin de 3.00 m/s2.

26. Un caballo de 500 kgjala un trineo de 100 kgcomo se muestra en la fig. 1.54. Elcaballo junto al trineo tienen una aceleracin hacia delante de 1.00 m/s2 cuandola fuerza friccin sobre el trineo es de 500 N. Determine (a) la tensin en lacuerda de conexin, (b) la magnitud y la direccin de la fuerza de friccin


44/116

43

ejercida sobre el caballo. (c) Compruebe que las fuerzas de friccin totales que elsuelo ejerce sobre el sistema producirn una aceleracin de 1.00 m/s2.

27. Un bloque de masa m = 2.00 kgdescansa sobre la orilla izquierda de otro bloquede masa M = 8.00 kg. El coeficiente de friccin cintica entre los dos bloques es0.300 y la superficie sobre la cual descansa el bloque de 8.00 kg no presenta

friccin. Una fuerza horizontal de 10.0 N se aplica al bloque de 2.00 kgy lo poneen movimiento como se ilustra en la fig. 1.55a. Si la longitud L que el bordefrontal del bloque pequeo viaja sobre el bloque mayor es de 3.00 m, (a) Cuntotiempo pasar antes de que este bloque alcance el extremo derecho del bloque de8.00 kg, como se ilustra en la fig. 1.55b? (b) Qu distancia se mueve el bloquede 8.00 kg?

28. Un auto que viaja inicialmente hacia el Este vira hacia el Norte en una trayectoriacircular con rapidez constante como se muestra en la fig. 1.56. La longitud delarco ABC es 235 m, y el carro completa la vuelta en 36.0 s. (a) Cul es laaceleracin cuando el auto se halla en B? Exprese su respuesta en funcin de los

vectores unitarios. Determine (b) la velocidad media del auto, (c) su aceleracinmedia durante el intervalo de 36.0s.

29. Una patinadora de hielo de 55.0 kgse mueve a 4.00 m/s cuando agarra el extremode una cuerda, el extremo opuesto est atado a un poste. Despus se mueve en uncrculo de 0.800 m de radio alrededor del poste. (a) Determine la fuerza ejercidapor la cuerda sobre sus brazos, (b) Compare esta fuerza con su peso.


45/116

44

30. Una caja de huevos se localiza en la parte media de la cama de un pick up en elmomento en que ste circula por una curva no peraltada. La curva puedeconsiderarse como un arco de un crculo de 35.0 m de radio. Si el coeficiente defriccin esttica entre la caja y el pick up es 0.600, cul debe ser la velocidadmxima del auto para que la caja no deslice?

31. Un carro de la montaa rusa tiene una masa de 500 kg cuando estcompletamente lleno de pasajeros (Fig. 1.57). (a) Si el vehculo tiene unavelocidad de 20.0 m/s en el puntoA, Cul es la fuerza ejercida por la pista sobreel carro en ese punto? (b) Cul es la velocidad mxima que el carro puedealcanzar enB y continuar en la pista?

32. Un juguete est compuesto de una pequea cua que tiene un ngulo agudo (Fig. 1.58). El lado de la pendiente no presenta friccin, y una masa m sobre ellapermanece a una altura constante si la cua se hace girar a cierta rapidezconstante. Se hace girar la cua al rotar una barra que est unida firmemente aella en un extremo. Demostrar que, cuando la masa m asciende por la cua una

distanciaL, la velocidad de la masa debe ser gLsenv .

33. Un avin a escala de 750.0 g de masa vuela en un crculo horizontal en elextremo de un alambre de control de 60.0 m, con una velocidad de 35.0 m/s.Calcule la tensin en el alambre si ste forma un ngulo constante de 20.0 con lahorizontal. Las fuerzas que actan sobre el avin son el jaln del alambre, su


46/116

45

propio peso y la fuerza de sustentacin aerodinmica FS, la cual acta en 20.0hacia adentro desde la vertical, como se ilustra en la fig. 1.59.

34. Una bola de 1.34 kg est unida a una varilla vertical rgida por medio de doscuerdas sin masa, cada una de 1.70 m de longitud. Las cuerdas estn unidas a lavarilla con una separacin de 1.70 m. El sistema gira alrededor al eje de la varilla

tal como se muestra en la fig. 1.60. La tensin en la cuerda superior es de 35.0 N.(a) Halle la tensin en la cuerda inferior. (b) Calcule la fuerza neta sobre la bolaen el instante mostrado en la figura. Cul es la velocidad de la bola?

35. Un pequesimo cubo de masa m se halla en el interior de un embudo como semuestra en la fig. 1.61. El embudo gira alrededor de un eje vertical a razn de frevoluciones por segundo. La pared del embudo forma un ngulo con lahorizontal. El coeficiente de friccin esttica entre el cubo y el embudo es s y elcentro del cubo est a una distancia rdel eje de rotacin. Calcule los valoresmayor y menor defpara los cuales el cubo no se mover con respecto al embudo.

36. Un rabihorcado vuela remontndose en una trayectoria circular horizontal. Seestima que su ngulo de inclinacin es de 25.0 y el ave emplea 13.0 s encompletar un crculo. A qu velocidad vuela el ave y cul es el radio delcrculo?

37. La figura 1.62 muestra una rueda de la fortuna que gira cuatro veces cada minutoy tiene un dimetro de 18.0 m. (a) Cules la aceleracin centrpeta de unpasajero? Qu fuerza ejerce el asiento sobre un pasajero de 40.0 kg? (b) en elpunto ms alto del viaje, (c) en el punto ms bajo del viaje. (d) Qu fuerza(magnitud y direccin) ejerce el asiento sobre un pasajero cuando ste se halla ala mitad entre los puntos ms alto y ms bajo?


47/116

46

38. Un disco de aire de 250 gde masa se amarra a una cuerda y se deja que gire enun crculo de 1.00 m de radio sobre una mesa horizontal sin friccin. El otroextremo de la cuerda pasa por un agujero en el centro de la mesa, y a l estunida una masa de 1.00 kg (Fig. 1.63). La masa suspendida permanece enequilibrio mientras el disco gira sobre la mesa. Calcule (a) la tensin en la

cuerda, (b) la fuerza ejercida por la cuerda sobre el disco, (c) la velocidad deldisco.

39. Cierta cuerda puede soportar una tensin mxima de 9.2 lb sin romperse. Un nioata una piedra de 0.82 lb a un extremo y, manteniendo el otro extremo, hace girara la piedra en un crculo vertical de 2.9 ft de radio, aumentando la velocidadlentamente hasta que la cuerda se rompe. (a) En qu lugar de la trayectoria serompe la cuerda? (b) Cul es la velocidad de la piedra al romperse la cuerda?

40. Una masa de 5.00 kg unida a un dinammetro de resorte descansa sobre unasuperficie horizontal sin friccin, como se ilustra en la fig. 1.64. El dinammetro,

unido al lado frontal del vagn, registra 18.0 N cuando el vagn est enmovimiento. (a) Si el dinammetro marca cero cuando el vagn est en reposo,determine la aceleracin del vagn. (b) Cul ser la lectura del dinammetro siel vagn se mueve a velocidad constante? (c) Describa las fuerzas sobre la masasegn un observador ubicado en el vagn y alguien en reposo fuera de ste.

41. Un deslizador de 1.00 kgsobre un riel de aire es jalado por un cable a un ngulo. El cable tenso pasa por una polea y est unido a una masa de 0.500 kgquecuelga como se muestra en la fig. 1.65. Demostrar que la velocidad vx deldeslizador y la velocidad vy de la masa estn relacionadas por la expresin vx =


48/116

47

uvy, donde u = z(z2 ho

2)

-1/2. (b) El deslizador se suelta desde el reposo.Demostrar que en ese instante la aceleracin del deslizadorax y la aceleracin dela masa ay, estn relacionados porax = uay. (c) Encontrar la tensin en el cable enel instante en que el deslizador es liberado para ho= 80.0 cm y = 30.0.

.


49/116

48

II. EQUILIBRIO ESTTICO2.1 Condiciones de Equilibrio

n la 1.1 se estableci que una condicin necesaria para el equilibrio es que lafuerza neta que acta sobre un objeto sea cero. Si el objeto se trata como una

partcula, entonces esta es la nica condicin que de satisfacerse para elequilibrio. Sin embargo, si se trata de un objeto extendido (cuerpo rgido) lasituacin es ms compleja. Para que un cuerpo rgido est en equilibrio esttico (reposototal) debe satisfacerse una segunda condicin. Esta condicin involucra otra propiedadfsica denominada momento de torsin. Debemos observar que el equilibrio no implicaausencia de movimiento.

EConsideremos una fuerza F que acta sobre un cuerporgido como se ilustra en la fig. 2.1. El efecto de lafuerza depende de su punto de aplicacin P. Si r es elvector posicin respecto de este punto, O, el momentode torsin asociado con la fuerza F alrededor de O estdado por la expresin:

Fxro (2.1)El momento de torsin involucra el producto cruz dedos cantidades vectoriales r y F, y su direccin, por lotanto, es perpendicular al plano de r y F.

Si la fuerza est en el plano xy, como en lafig. 2.2, el momento de torsin , serepresenta por medio de un vector paraleloal eje z. La fuerza de la fig. 2.2 produce unmomento de torsin que tiende a girar elcuerpo en el sentido contrario al de lasmanecillas del reloj en torno al eje z, elegidocomo sentido positivo, por eso est en ladireccin z positiva. Si invertimos ladireccin de F en la fig. 2.2, el momento detorsin estara en la direccin z negativa.

Recuerde que a partir del anlisis delproducto vectorial, utilizando la regla de lamano derecha, se puede determinar ladireccin de .


50/116

49

Como se puede ver en la fig. 2.1, la tendencia de F a hacer girar al cuerpo alrededorde un eje que pasa O depende tanto del brazo de momento dcomo de la magnitud de F.Considerando la geometra de la fig. 2.1 se tiene que la magnitud de esFd:

FdFrsen (2.2)Ahora bien, si sobre un cuerpo actan varias fuerzas, cada una de ellas produce unmomento de torsin respecto de un eje arbitrario. La suma vectorial de los momentos de

torsin de cada fuerza se denomina momento de torsin neto respecto de dicho eje:

...o 321 (2.2)

En general, un cuerpo est en equilibrio rotacional cuando el momento de torsinneto alr ededor de cualquier eje es cero. Esta es la segunda condicin que debe satisfacerun cuerpo para que se halle en equilibrio. Ahora se tienen dos condiciones necesarias parael equilibrio de un cuerpo:

1.

La fuerza externa resultante debe ser igual a cero. 0F (2.3)

2. El momento de torsin externo resultante debe ser cero alrededor decualquier eje. 0 (2.4)

La primera condicin es un enunciado del equilibrio de traslacin que establece quela aceleracin lineal del cuerpo debe ser cero cuando se observa desde un marco dereferencia inercial. La segunda condicin es un enunciado del equilibrio de rotacin queindica que la aceleracin angular alrededor de cualquier eje debe ser cero. En el casoespecial del equilibrio esttico, que es el tema de esta unidad, el cuerpo est en reposo, porlo que no tiene velocidad lineal o angular (v = 0, w = 0).

Las dos expresiones vectoriales dadas por las ecuaciones 2.3 y 2.4 son equivalentes aseis ecuaciones escalares, tres a partir de la condicin de equilibrio de traslacin y tres apartir de la segunda. Por lo tanto, en un sistema complejo en el que actan varias fuerzas endirecciones diferentes ser necesario resolver un conjunto de ecuaciones con muchasincgnitas. En nuestro caso el anlisis se limitar a situaciones en las que todas las fuerzasestn en el mismo plano xy (fuerzas coplanares). Por lo que trataremos con solo tresecuaciones escalares. Dos de stas surgen de equilibrar las fuerzas en las direcciones x yy.La tercera proviene de la ecuacin del momento de torsin, es decir, el momento de torsinneto de cualquier punto en el plano xy debe ser cero. Por lo tanto, las dos condiciones deequilibrio proporcionan las ecuaciones:

000 zyx

FF (2.5)


51/116

50

EJEMPLO 2.1

Un tabln uniforme de 40.0 N de peso soporta a un padre y a su hija que pesan 800 N y 350N, respectivamente, como se ilustra en la fig. 2.3. (a) Determine la magnitud de la fuerza Nhacia arriba ejercida sobre el tabln por el punto de apoyo y (b) determine dnde debesentarse la nia para equilibrar el sistema.

Solucin:En la fig. 2.3 se muestran las fuerzas externas que actan sobre el tabln. La fuerzagravitatoria (peso) acta sobre un punto llamado centro de gravedaddel cuerpo. Se sabe queeste punto est en el centro geomtrico si el cuerpo es uniforme. En este caso el soporte sehalla por debajo del centro de gravedad del tabln. Puesto que el sistema se encuentra enequilibrio esttico, la fuerza N hacia arriba debe equilibrar todas las fuerzas hacia abajo.Aplicando la primera condicin de equilibrio en la direccin y definida como positiva haciaarriba, tenemos

0040350800

0

.N

Fy

NN 1190 Para encontrar la posicin de la nia debemos aplicar la segunda condicin de equilibrio. Sihacemos momentos respecto de un eje que pasa por el punto de apoyo ( esto significa que losmomentos producidos por la fuerza normal N y el peso del tabln en torno a este eje soncero) tenemos que

03500018000

x.

m.x 292 Para verificar que la eleccin del eje es arbitraria, el estudiante debe repetir la parte (b) paraotro eje.


52/116

51

EJEMPLO 2.2

Una viga uniforme de longitud L = 3.30 m y masa m = 8.5 kgest embisagrada a una paredcomo se muestra en la fig. 2.4a. Un cable unido a la pared a una distancia d= 2.10 m sobre labisagra est unido al otro extremo de la viga, siendo la longitud del cable tal que la vigaforma un ngulo = 30.0 con la horizontal. Un cuerpo de masa M= 56.0 kgest suspendido

del extremo superior de la viga. Halle la tensin en el cable y la fuerza ejercida por la bisagrasobre la viga.

Solucin:La fig. 2.4b muestra todas las fuerzas externas que actan sobre la viga. A causa deque dos de las fuerzas estn dirigidas verticalmente hacia abajo, se eligen los ejes horizontaly vertical. La tensin del cable y la fuerza ejercida por la bisagra estn representadas por suscomponentes horizontal y vertical. Aplicando la condicin de equilibrio para traslacinobtenemos

0 hhx TFF (1)

0 MgmgFTF vvy (2)Para aplicar la condicin de equilibrio de rotacin, se elige un eje que pase por el extremosuperior de la viga (Por qu?).

02

cosL

mgLsenFcosLF hvz

O sea

2

mgtanFF hv (3)

Si sustituimos valores numricos a las ecs. (1), (2) y (3) dan por resultado

7415770

632

.F.F

TF

TF

hv

vv

hh

Notemos que se tienen 4 incgnitas,Fv, Fh, Thy Tv, y solo 3 ecuaciones. Necesitamos unacuarta ecuacin para resolver el problema. Esta relacin se obtiene del cable. De la geometrade la fig. 2.4 se tiene que


53/116

52

tanTT vh En donde

1570.cosL

Lsendtan

Que corresponde a = 8.9. As nuestra cuarta ecuacin resulta ser

hv T.T 1570 (4)

Al combinar las cuatro ecuaciones hallamos que

NTNTNFNF hvhv 804126804506 La tensin en el cable ser entonces

NTTT vh 81422

Y la fuerza ejercida por la bisagra sobre la viga es

NFFF vh 95022

El vectorF forma un ngulo con la horizontal de

.F

Ftan

h

v232

1

EJEMPLO 2.3

Una viga horizontal uniforme de 8.00 m de largo y 200 N de peso est unida a un muro por

medio de un perno. Su extremo alejado est sostenido por un cable que forma un ngulo de53.0 con la horizontal (Fig. 2.5a). Si una persona de 600 N est parada a 2.00 m del muro,calcule la tensin en el cable as como la magnitud y la direccin de la fuerza ejercida por elmuro sobre la viga.

Solucin:Primero identifiquemos las fuerzas externas que actan sobre la viga. Estas son elpeso de la viga, 200 N, la tensin Ten el cable, la fuerza debida al peso de la persona, 600 Ny la fuerza Rejercida por el muro en el pivote. Estas fuerzas se ilustran en el diagrama decuerpo libre de la fig. 2.5b. Debe observarse que la pared no solo sostiene a la viga sino quetambin la empuja hacia arriba. Descomponiendo Ty Ren sus componentes rectangulares,como se muestra en la fig. 2.5c y aplicando la primera condicin de equilibrio se obtiene:

0053 .cosTcosRFx (1)

0200600053 .TsenRsenFy (2)

Como R, T y son incgnitas y solo disponemos de dos ecuaciones, se hace necesario aplicarla segunda condicin de equilibrio para obtener una tercera ecuacin. Hacemos momentorespecto a un eje que pase por el perno de conexin. Este punto se ha elegido pues tanto lafuerza R como la componente horizontal de la tensin tienen un brazo de momento igual a


54/116

53

cero. Respecto de este pivote. Recordando la convencin de que la direccin contraria almovimiento de las manecillas del reloj es positiva para el signo del momento alrededor de uneje, y observando que los brazos de momento de las fuerzas de 600 N, 200 N y Tsen53.0 sonde 2.00 m, 4.00 m y 8.00 m, respectivamente, se obtiene la tensin del cable

0004200002600008053 ....Tsen NT 313

Sustituyendo este valor en las ecuaciones 1 y 2 obtenemos

550

188

Rsen

cosR

Dividiendo estas ecuaciones se obtiene

932188

550.tanR

..tan 1719321

Este valor positivo indica que la direccin estimada de Rfue correcta. Por ltimo,

N.cos

R 580171

188


55/116

54

EJEMPLO 2.4Una escalera uniforme de longitud L y peso W = 50 N descansa contra una pared vertical lisa(fig.2.6a). Si el coeficiente de rozamiento esttico entre la escalera y el suelo es de 0.40,encontrar el ngulo mnimo en el cual la escalera no se deslice.

Solucin:El diagrama de cuerpo libre que muestra las fuerzas externas que actan sobre la

escalera se muestra en la fig.2.6b. La fuera de reaccin Rejercida por el suelo es la sumavectorial de la fuerza normal N y la fuerza de friccin esttica f. La fuerza de reaccin Pejercida por la pared es horizontal, puesto que la pared no presenta friccin.

Al aplicar la primera condicin de equilibrio a la escalera se tiene

0PfFX

0WNFY

De la segunda ecuacin se ve que N = W = 50 N. Cuando la escalera est a punto dedeslizarse, la fuerza de friccin es mxima y vale f= (0.40)(50) = 20 N. De modo que, de laprimera ecuacin es obtiene, P = 20 N.Para hallar el ngulo mnimo se utiliza la segunda condicin de equilibrio. Haciendomomentos alrededor de O al pie de la escalera se obtiene

0cos2

L

WPLsenO

Como P = 20 N cuando la escalera casi empieza a deslizarse, y W = 50 N, esta expresinproduce

25140

50

2.

PWtan mn

mn 51

Un mtodo alternativo para analizar este problema es considerar la interseccin O de laslneas de accin de las fuerzas W y P. Ya que el momento de torsin con respecto a estepunto tambin debe ser cero, esto requiere que la lnea de accin de Rpase por O. Esto debe


56/116

55

ser as puesto que cuando un cuerpo est en equilibrio, las fuerzas que actan sobre l debenpasar a travs de algn punto comn, es decir, son concurrentes. Con esta condicin se puedeconstruir un tringulo con ta

Manuall Modulo II Calculo y Analisis de Fuerzas-1

Documents

Transcript of Manuall Modulo II Calculo y Analisis de Fuerzas-1