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Mathemtica: Una herramienta de modelacin econmica7

MathematicaUna herramienta de modelacin econmicaGrupo Microeconoma Aplicada

MathematicaAvances en la tecnologa de la computacin han llevado al desarrollo de varias herramientas de modelacin matemtica en los ltimos aos. Mathematica es un software que permite simplificar en gran medida el proceso en un ambiente totalmente interactivo, amigable con el usuario, puesto que usa formatos y colores que permiten identificar y corregir errores en la programacin as como la presentacin de resultados de forma rpida y prctica.En este manual se proveen elementos bsicos a nivel introductorio al software Mathematica (Wolframe Research Inc, IL) y se demuestra su aplicacin en la modelacin de un equilibrio general.IniciandoSe supone que el usuario ya cuenta con el programa instalado en su computadora. Para abrir el software es necesario ubicar en el escritorio o en el botn de inicio el logo del programa.

Luego de esperar unos momentos a que carguen las libreras y ncleo del programa, se ver la barra principal.

Siguiendo la ruta del men File, podemos iniciar a trabajar en el programa. File/New/notebook. O tambin mediante la combinacin de teclas Ctrl + N. Mediante esta operacin se abre una hoja de trabajo nueva, como la que se ve en la siguiente imagen.

En esta hoja en blanco es posible ingresar tanto texto simple como cdigo. El programa interpreta lo introducido de acuerdo al tipo de ingreso que se le indique. Por defecto el programa considera que lo introducido se trata de cdigo, por tanto si lo que se quiere introducir son ttulos o texto, debe darse clic en el botn en la esquina superior izquierda y seleccionar Plain text.AmbientePara verificar el ambiente bajo el cual se ingresan ecuaciones y cdigo en el programa, veamos un ejemplo simple de cmo introducir una suma.Para sumar dos nmeros se ingresa ej: 2+2. El sistema lo indica de la siguiente manera: In[1]: 2+2 (comando) sera el comando, y se ejecutara por medio de Intro Shift+ENTER Out[1]: 4 (resultado) sera el resultado de ejecutar el comando.Aritmtica BsicaLas operaciones de aritmtica bsica usan los smbolos regulares asociados, tales como:OperacinSmboloCombinacin de teclas

Suma+

Resta-

Divisin/

Multiplicacin*

Potenciacin^Alt + 94

RadicacinSqrt[]Ctrl + 2

Llaves{}Alt + 123 Alt + 125

Corchetes[]Alt + 91 Alt + 93

Parntesis()

Los tabuladoresCada vez que se ingresa una expresin, Mathematica asigna un nombre de In[1] y Out[1], ambos incrustados en una celda. Las celdas se agrupan como se ve en el extremo derecho de la imagen. Una celda para el IN o las entradas, una celda OUT para las salidas o resultados de la ejecucin de los comandos, y una celda que agrupa a las dos.

PaletasLa paleta bsicaPara abrir la paleta bsica, se ingresa en palettes y se selecciona Basic Math Assistant.

Lo cual abre la siguiente ventana

En la seccin Calculator de la paleta bsica es posible introducir las operaciones matemticas bsicas, el uso de agrupadores (llaves, corchetes), races, constantes como pi, Euler o nmeros imaginarios.En la seccin Basic commands encontramos varias pestaas para elegir: Funciones y constantes matemticas bsicas (constantes Euler, pi, valor absoluto, logaritmos, funciones trigonomtricas); comandos algebraicos (factorizacin, simplificacin, resolucin de sistemas de ecuaciones); comandos de clculo (derivadas, integrales, lmites, sumatorias y productorias); lgebra lineal y matrices; grficos de dos y tres dimensiones y su formato.La seccin Typesetting facilita la escritura de races, sub y superndices, derivadas, integrales, sumatorias y productorias. Tambin todas las letras y smbolos griegos, a quienes les podemos usar como parmetros. Se encuentran adems todos los operadores lgicos y matemticos como mayor que, pertenece a, entre otros.

La paleta de asistente de escritura

Como si se tratase de un procesador de textos como lo es Microsoft Word, en Mathematica es posible insertar y editar tanto el texto como las ecuaciones y smbolos ingresados. De esta manera es posible establecer su tamao, color, tipo de fuente, fondos, alineacin izquierda, derecha, o centrada, entre otras opciones.Con esta paleta se facilita no slo su posterior publicacin en aulas de clase o trabajos, sino que permite una mejor comprensin si lo que se est trabajando es complejo y contiene subdivisiones y secciones paso a paso como ms adelante se observar en la propuesta del modelo de equilibrio general.

Agrupacin de trminosDebe prestarse especial atencin a la hora de introducir funciones que requieran de agrupacin de trminos mediante llaves, corchetes o parntesis. Un ejemplo ilustrar las consecuencias. Para el software no es lo mismo el comando 3*4+1 que el comando 3 (4+1). Mientras el primero arroja un resultado de 13, el segundo arroja un resultado de 15. Igual situacin se presenta con potenciacin, puesto que -32 resulta ser diferente de (-3)2. A la hora de plantear el equilibrio general, es importante sobretodo prestar atencin a la forma de introducir las fracciones. Por ejemplo, para escribir la fraccin equis al cuadrado sobre equis mas dos en principio debe escribirse el esquema de parntesis de la siguiente forma -> (()/()). Si se introducen las fracciones as, se evitar que los numeradores o denominadores terminen por expresar otra cosa distinta a lo que en realidad se quiere expresar. Finalmente la expresin quedara: ((x^2)/(x+2))Las constantesCuando se hablaba ms arriba de la paleta bsica, haba una seccin donde podan elegirse letras y smbolos griegos para ser usados como parmetros en las ecuaciones. Nos referimos a: alpha, beta, teta, entre otros. Mathematica impide el uso de algunos smbolos y letras puesto que ya les tiene asignada una constante. Un ejemplo de estos smbolos es pi, Euler, entre otras constantes. Debe tenerse entonces cuidado al usar uno de estos smbolos y letras, puesto que no podran tomar los intervalos de valores que les asignemos, sino que tomaran un valor por defecto que ya viene predeterminado.ComandosAdicional a las operaciones aritmticas, Mathematica contiene cientos de comandos para usar como son: funciones logartmicas, simplificacin de expresiones algebraicas, resolucin de ecuaciones lineales y no lineales as como la grfica de funciones tanto en dos como tres dimensiones.La estructura de los comandos es como sigue

En primer lugar va el nombre del comando, que en el ejemplo es Reduce. Los comandos siempre inician con una letra mayscula y las dems minsculas. Seguido del nombre del comando, se encierran entre corchetes (no entre parntesis o llaves) el contenido del comando.

Cuando el comando est bien escrito, las variables cambian la tonalidad de su color, as como las llaves y corchetes cuando no estn correctamente cerradas, toman un color violeta en lugar del color negro cuando no estn correctamente expresadas.Por ejemplo en la imagen que sigue la primera letra del comando no est en mayscula y por tanto toma un color azul en lugar del negro. No se interperta como un comando, sino que reduce se considera como el nombre de una variable, esto es, como si fuese x o y.

Lo anterior es importante cuando se estn realizando los procedimientos para calcular los precios de mercado en el equilibrio general. Ser importante revisar que todas las variables tomen el color azul verdoso y no azul fuerte, puesto que ser una seal de que algo anda mal.GrficosEl software incluye una potente herramienta para graficar funciones tanto en dos como en tres dimensiones. Usando esta funcin en conjunto con la funcin Manipulate es posible realizar interesantes anlisis de forma dinmica sobre cambios en parmetros y los efectos sobre una o ms variables.La estructura del comando es como sigue:

El comando es Plot, seguido de corchetes, la funcin a graficar seguido por coma. En medio de llaves y separado por comas se especifica que variables se graficar, as como el mnimo y mximo en el que se desea que flucte.

Si se desea graficar ms de una funcin en la misma grfica, se encierran en llaves las funciones, separadas por comas.Ejemplo: La funcin x2 y x3

Los grficos podemos personalizarlos de tal forma que se muestre la regin que nos interesa (cuadrante I), as como un rango definido (>0) y aspectos de forma como asignarle nombres a los ejes.Para graficar las funciones x2 y x3, con rango 0{Precio, Cantidades}

ManipulateManipulate es un comando que permite en asocio con otros comandos, observar de forma rpida y dinmica el comportamiento y reaccin de una o mas funciones respecto a cambios en sus parmetros o forma funcional.

El comando es sencillo, en principio se ingresa la expresin para luego especificar como se quiere modificar el control o barra de desplazamiento. Un ejemplo con la funcin x2 nos muestra que valor toma la funcin, cuando toma determinado valor.

Con este comando podemos mediante una barra de desplazamiento, modificar los valores que toma la variable x dentro de la funcin, en el ejemplo, entre los nmeros cero y diez. Tambin podemos indicarle que se mueva de forma dinmica, dando clic en el botn de play.Uso simultneo de comandosPodemos utilizar de forma conjunta dos o ms comandos. Por ejemplo, utilizando Manipulate en conjunto con el comando de graficar Plot, podemos ver el comportamiento de la funcin, aadiendo un parmetro alpha .Para el caso de la funcin cuadrtica, podemos ver como se invierte si el parmetro alpha que la acompaa pasa de adoptar valores positivos a negativos. Obsrvese como se movi la barra desde el extremo derecho al izquierdo. Se estableci un rango fijo de entre -5 y 5.

TIP: el uso de software simplifica ostensiblemente el proceso de modelacin, sin embargo, no remplaza la creatividad implcita del modelador. En cambio, la combinacin de ambos, el uso de software y el ingenio y creatividad del modelador ofrecen un excelente sistema para llevar a cabo el anlisis.Tomado de (Torrence & Torrence, 2009)

Modelo de equilibrio general, uso de plantilla de programacin

Fue desarrollada una plantilla de programacin en el software Mathematica, de tal forma que es posible hallar los precios, produccin, beneficios, daos marginales e insumos ptimos que llevan el mercado a un equilibrio.En principio en una seccin de fondo naranja como la que se muestra en la imagen abajo, se explican las condiciones del equilibrio y las formas funcionales de cada agente. Se trata de una economa de tres bienes (X,Y,N); cuatro agentes que son el consumidor, las firmas de los sectores X, Y y N.

Debido a que puede prestarse a confusiones, se han encerrado en recuadros verdes, como el que se ve en la advertencia de la imagen de abajo, todas las secciones que contienen comandos que para ejecutarse o correrse debe presionarle la tecla INTRO del teclado numrico, o la combinacin de teclas Shift+Enter en el teclado alfanumrico.

Para empezar, todo los modelos inician con los sectores. Para cada uno se lleva a cabo un proceso de optimizacin donde se encuentran los niveles de insumo, producto y beneficio ptimo. El recuadro azul expresa el problema de maximizacin de los beneficios del sector X, sujeto a la restriccin de la tecnologa de produccin. En el recuadro verde es construido el Lagrangiano, y el cdigo que permite llevar a cabo todo el proceso de hallar las derivadas de la funcin de lagrange frente a cada una de las variables e igualarlas a cero; para luego construir el sistema de ecuaciones y encontrar en su forma funcional cul es el nivel ptimo de produccin y el insumo. stos en trminos de los parmetros y los precios.Luego de hallar los niveles de produccin e insumos, se calcula el beneficio ptimo del sector X, usando los resultados. El beneficio tambin en trminos de los parmetros y los precios.

El anterior procedimiento tambin se realiza tanto con los sectores Y y N, as como con el consumidor. Una vez encontrados todos los niveles de produccin, insumos y beneficio ptimo en cada uno de los sectores, as como los niveles de consumo de cada bien por parte del consumidor expresados en trminos de los parmetros de preferencias y la renta disponible, se procede a encontrar el equilibrio en cada uno de los mercados (X y N)[footnoteRef:1]. [1: Por ley de Walras se supone que el mercado Y tiene como precio de equilibrio la unidad. Por tanto Py=1]

Para encontrar el equilibrio en el sector X se igualan la oferta y la demanda. Siendo la oferta el nivel de produccin ptimo encontrado para el sector X. La demanda sera la suma tanto de los requerimientos del consumidor como los insumos que requiere la industria Y para producir. Todos los datos que se incluyen en este recuadro estn introducidos en modo texto y no como cdigo.En la seccin donde se expresan los beneficios que constituyen la renta del consumidor se han resaltado con negrilla y en color rojo aquellas secciones de la ecuacin que contienen la variable X. Esta variable debe ser remplazada por el ptimo que se encontr en el primer proceso de optimizacin. De esta manera la ecuacin de equilibrio resultante estar slo en trminos de los parmetros y los precios.

Justo debajo del cuadro de equilibrio, mediante el comando Simplify se encuentra la ecuacin de equilibrio del mercado X. Obsrvese que se utiliza un doble igual en el comando en lugar de uno. El recuadro que se construy ms arriba se utiliza para construir la ecuacin de equilibrio realizando un proceso de copiado y pegado, ms sencillo que si se tiene que desplazar hacia arriba donde se resolvi el proceso de optimizacin para cada sector y el consumidor. Al finalizar el reemplazo de variables en el comando Simplify, se agrega una lnea de cdigo que permite remplazar Py por la unidad.Este procedimiento de encontrar el equilibrio en el mercado X se realiza de forma similar para encontrar el equilibrio en el mercado N.

Luego de obtener tanto la ecuacin de equilibrio en el mercado X como en el mercado N, se utilizan de forma conjunta tanto los comandos Manipulate como Findroot. Como aparece en la imagen de arriba, separados por una coma se pueden ver las dos ecuaciones de cada mercado, seguido de la semilla para cada precio (1 para cada precio), as como los intervalos de posibles valores que pueden tomar los parmetros.Como resultado de correr este ltimo cdigo se obtienen los precios de equilibrio, Px y Pn.

ObservacionesComo el lector puede darse cuenta, realizar un proceso de modelacin en Mathematica no es de ninguna forma un proceso automtico, de hecho involucra los pasos similares que se realizan si se hiciese el proceso completamente a mano. La ventaja del software Mathematica es que simplifica la manipulacin y el trabajo que involucra el proceso de modelacin. Es mas, consolida el modelo en un notebook de Mathematica, que ofrece una excelente oportunidad para explorar distintos escenarios y analizar el comportamiento de un sistema de ecuaciones frente a modificaciones en sus parmetros o forma funcional.

BibliografaTorrence, B., & Torrence, E. (2009). The student's introduction to Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press.

Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Econmicas Grupo Microeconoma Aplicada