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SALVADOR GUILLEN VÁZQUEZ

MANUAL DE MATEMÁTICAS PARA ACCESO

UNIVERSIDAD Volumen I

EDITORIAL CENTRO DE ESTUDIOS RAMÓN ARECES, S. A.

SALVADOR GUILLEN VAZQUEZ Ingeniero de Caminos

Prof. de Matemáticas del CEURA

MANUAL DE MATEMATICAS

PARA ACCESO A LA UNIVERSIDAD

EDITORIAL CENTRO DE ESTUDIOS RAMÓN ARECES, S. A.

1ª edición digital: Diciembre 2009

I.S.B.N. eBook: 978-84-8594-296-1

: 84-8004-007-6

Introducción

Esta obra fue escrita con el propósito de explicar los contenidos de Ma- temáticas solicitados actualmente por la Universidad para el ingreso en ella, con la mayor sencillez posible, tratando de eliminar todo el misterio que pa- rece rodear a esta materia. Con esta idea, se ha recurrido en ocasiones a ra- zonamientos intuitivos o al complemento de figuras que visualicen los conceptos desarrollados. A la consecución de la total claridad de conceptos de- seada contribuyen igualmente el explícito planteamiento de las dudas que cada tema suele ofrecer al estudiante, así como la abundancia y variedad de ejercicios prácticos que la obra contiene.

El nivel de partida presupuesto en .el posible lector de este Manual se re- duce al conocimiento de las cuatro operaciones de sumar, restar, rnultiplcar y dividir números enteros, por lo que en principio puede ser utilizado tanto por alumnos de B. U. P. y C. O. U. como por cualquier persona que sienta in- terés por las Matemáticas, si bien, está especialmente indicado para aquellos alumnos que se propongan acceder a la Universidad española. La inclusión del indice de materias facilita asimismo su utilización como obra de consulta, como un compendio de tkcnicas operativas y conceptos matemá- ricos básicos.

Se ha dividido el programa en 24 temas, desarrollados de acuerdo con las técnicas de la Instrucción Programada, que por sus ventajas de indivi- dualización de la enseñanza, estímulo de la actividad del alumno y rapidez en la aprehensión de conceptos, se ha considerado idónea para alcanzar los objetivos que nos hemos marcado. El resumen final de cada tema permite obtener una visidn global del mismo y facilita su rápido repaso. Los ejerci-

cios de autocomprobación proporcionan al lector la posibilidad de contrastar por sí mismo el grado de comprensión adquirido.

La forma de utilización del manual se explica en los primeros cuadros del tema 7. No obstante, conviene agregar que, para lograr el nivel de comprensión óptimo, se deben respetar las indicaciones señaladas a lo largo del texto, sin tratar de avanzar demasiado rápidamente.

Por último, sólo me resta agradecer el apoyo que de la Dirección del CEURA he recibido en todo momento, así como la valiosa colaboración de todos aquellos que con su trabajo han contribuido a hacer posible esta obra.

El autor

VOLUMEN 1

INDICE GENERAL

Indice General

Págs .

Introducción ................................................................................ V Indice General .............................................................................. IX Tabla de símbolos matemáticos ....................................................... XV

TEMA 1

Conjuntos

Concepto de conjunto .................................................................... .................................................................... Igualdad de conjuntos

Símbolo de pertenencia ................................................................... Definición de un conjunto ............................................................... Diagramas de Venn ........................................................................

................................................................................ Subconjunto Símbolo de inclusión ...................................................................... Conjunto unitario ......................................................................... Conjunto vacío ............................................................................. Conjunto de las partes de un conjunto ............................................... Unión de conjuntos .......................................................................

X lndice General

................................................................ Intersección de conjuntos Conjuntos disjuntos ....................................................................... Propiedades de la unión de conjuntos ................................................ Propiedades de la intersección de conjuntos ........................................

........................................................................ Suma de conjuntos Diferencia de conjuntos ..................................................................

............................................................... Conjunto complementario ..................................................................................... Resumen

Ejercicios de autocomprobación .......................................................

Relaciones

Conjunto producto cartesiano .......................................................... Gráfico del conjunto producto cartesiano ........................................... Concepto de relación ...................................................................... Diagrama de flechas de una relación .................................................. Propiedades de una relación: ...........................................................

................................................................................. Reflexiva Simétrica ................................................................................ Antisimétrica ........................................................................... Transitiva ................................................................................

Relación de equivalencia ................................................................. Clases de equivalencia .................................................................... Conjunto cociente ......................................................................... Relación de orden ..........................................................................

..................................................................................... Resumen Ejercicios de autocomprobación .......................................................

Aplicaciones

Correspondencia entre dos conjuntos ................................................. Conjunto imagen de un elemento ...................................................... Conjunto origen de un elemento ....................................................... Correspondencia inversa de otra ....................................................... Aplicación entre dos conjuntos ......................................................... Conjunto imagen de una aplicación ................................................... Tipos de aplicaciones: ....................................................................

............................................................................ Suprayectiva ................................................................................. Inyectiva

Biyectiva ................................................................................. Clasificación de las aplicaciones ........................................................ Aplicación inversa de otra ............................................................... Aplicación compuesta ....................................................................

......................................... Propiedades de las aplicaciones compuestas ..................................................................................... Resumen

Ejercicios de autocomprobación .......................................................

índice General XI

Los números

Los números naturales .................................................................... Suma de números naturales ............................................................. Propiedades de la suma .................................................................. Producto de números naturales ........................................................ Propiedades del producto ................................................................ Los números enteros ...................................................................... Suma de números enteros . Sus propiedades ......................................... Resta de números enteros ................................................................ Producto de números enteros ........................................................... Los números racionales .................................................................. Suma de números racionales ............................................................ Producto de números racionales ....................................................... Divisi6n de números racionales ......................................................... Propiedades de la suma y producto ................................................... Los números reales ........................................................................

..................................................................................... Resumen Ejercicios de autocomprobación .......................................................

TEMA 5

Leyes de composición . Estructuras algebraicas

............................................................. Ley de composición interna Propiedades de una ley de composición: .............................................

Interna ................................................................................... ............................................................................... Asociativa

............................................................................ Conmutativa ...................................................... Existencia de elemento neutro

Existencia de elemento simétrico .................................................. Estructuras algebraicas con una operación ..........................................

.................................................................... Propiedad distributiva Estructuras algebraicas con dos operaciones: .......................................

.................................................................................... Anillo Cuerpo ...................................................................................

..................................................................................... Resumen ....................................................... Ejercicios de autocomprobaci6n

Trigonometría

Unidades para medir ángulos ........................................................... ....................................................... Relación entre grados y radianes

............................................... Razones trigonométricas de un ángulo ........................................ Relaciones entre las razones trigonométricas

.................................................. Signo de las razones trigonométricas Tabla de las razones de los ángulos más utilizados ................................ Cálculo de todas las razones a partir de una ........................................ Razones trigonométricas del ángulo suma ...........................................

XII lndice General

Razones trigonométricas de a + r/2 y a + r .......................................... 471 Resolución de triángulos ................................................................. 474 Gráficas de las funciones trigonométricas ............................................ 478 Resumen ..................................................................................... 485 Ejercicios de autocomprobación ....................................................... 488

Geometría analítica plana

Representación del punto ................................................................ Ecuación de la recta ....................................................................... Recta que pasa por un punto con una pendiente dada ............................ Recta que pasa por dos puntos ......................................................... Paralelismo de rectas ...................................................................... Perpendicularidad de rectas ............................................................. Angulo de dos rectas ...................................................................... Punto de corte de dos rectas ............................................................ Distancia entre dos puntos ............................................................... Distancia de un punto a una recta ..................................................... Punto medio de un segmento ........................................................... Ejercicios de geometría analítica plana ............................................... Resumen ..................................................................................... Ejercicios de autocomprobación .......................................................

Los números complejos . Ecuaci6n de 2 . O grado

Los números imaginarios ................................................................ Los números complejos .................................................................. Forma módulo-argumenta1 .............................................................. Operaciones con números complejos: .................................................

..................................................................................... Suma Producto ................................................................................ Cociente ................................................................................. Potencia ................................................................................. Raíz cuadrada ..........................................................................

Ecuación de segundo grado ............................................................. Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2.' grado ...................... La ecuación bicuadrada .................................................................. Resumen ..................................................................................... Ejercicios de autocomprobación .......................................................

Polinomios

Operaciones con monomios: ............................................................ 617 ..................................................................................... Suma 618

Producto ................................................................................ 619 Cociente ................................................................................. 624

lndice General Xlll

Potencia ................................................................................. ........................................................... Operaciones con polinomios:

Suma ..................................................................................... Producto ................................................................................

............................ .................................................. Cociente ... ........................................................................ La regla de Ruffini

......................................................... Raíces enteras de un polinomio ................................................. Raíces fraccionarias de un polinomio

Descomposición de un polinomio en factores ....................................... Otros ejercicios de cálculo de raíces ................................................... Resumen .....................................................................................

....................................................... Ejercicios de autocomprobación

Expresiones algebra. icas

....................................................... Cuadrado y cubo de un binomio Simplificación de fracciones algebraicas .............................................. Operaciones con fracciones algebraicas ............................................... Radicales ..................................................................................... Raíz de un producto ...................................................................... Raíz de un cociente ........................................................................

...................................................................... Raiz de una potencia Raíz de otra raíz ............................................................................

..................................................... Ejercicios de calculo con radicales ..................................................................................... Resumen


Sistemas de ecuaciones lineales

......................................................... Sistemas de ecuaciones lineales Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: ......................................

................................................................. Método de reducción ................................................................ Método de igualación ................................................................ Método de sustitución

....................................................... Clases de sistemas de ecuaciones .......................................................................... Método de Gauss

................................................................. Sistemas con parámetros Resumen .....................................................................................


Soluciones de los ejercicios de autocomprobaci6n .................................. 769 Indice de materias ........................................................................... 793

TABLA DE SIMBOLOS MATEMATICOS

Símbolo Significado Símbolo Significado

* implica implica en ambos sentidos - i es equivalente a si y sblo si

= es igual a # es distinto de > es mayor que < es menor que r es mayor o igual que S es menor o igual que = es idéntico a / .tal que 3 existe

no existe V para todo U unión de conjuntos

n intersección de conjuntos está incluido en

c i está contenido en es un subconjunto de

[ no está incluido en no está contenido en no es un subconjunto de pertenece a no pertenece a

4 conjunto vacío 1 a ( valor absoluto de a oo infinito A incremento de n! factorial de n C sumatorio

LETRAS GRIEGAS IJTILIZADAS

a alta E épsilon 0 beta X lambda y gamma p fi 6 delta T pi A delta mayúscula C sigma mayúscula

Tema 1: CONJUNTOS

Conceptos básicos. Diagramas de Venn. Unión, intersección y diferencia de conjuntos. Conjunto complementario.

En el presente tema se exponen las ideas básicas de la teoría de conjuntos: los conceptos de conjunto y elemento, su representación gráfica y las operaciones con conjuntos. Su conocimiento es impres- cindible para abordar, en los temas 2 y 3, el estudio de las Relaciones y Aplicaciones entre conjuntos.

- Al finalizar este tema, será capaz de:

- Definir correctamente un conjunto, tanto por extensión como por comprensión.

- Utilizar adecuadamente los símbolos E y C . - Construir el diagrama de Venn de cualquier conjunto. - Escribir el conjunto de las partes de un conjunto. - Realizar la unión, intersección y diferencia de dos o más con-

juntos. - Escribir el complementario de un subconjunto.

Introducción 3

INTRODUCCION

1.1

Este libro es diferente a los demás. E? cada página hay varios cuadros numerados; debe leerlos siguiendo su prden de numera- ción, salvo cuando expresamente se le indique que siga un orden distinto.

Está usted en el cuadro 1.1. Pase al cuadro 1.2.

1.2

A partir de ahora encontrará en casi todos los cuadros unas ........ líneas de puntos: í. . l .

Sustituyen a una palabra o expresión que falta y usted tiene que escribirla.

Puede pasar al .......... 1.3.

cuadro

1.3

En la parte izquierda del cuadro encuentra usted la palabra que había que escribir.

Compruebe si esa palabra es, efectivamente, la que usted ha escrito. Si no, vuelva a leer el cuadro anterior para comprender

' por qué la palabra que usted ha escrito no es correcta y corrijala.

.............. Pase al siguiente.

cuadro

1.4

Es decir, este texto está formado por cuadros numerados en el ángulo superior derecho. En cada cuadro se le da información, y también se le pide.

La solución a las preguntas y problemas planteados en un cuadro se encuentra en la parte izquierda del cuadro siguiente.

4 Conjuntos

1.5

Al finalizar la exposición de cada concepto, tras la realización de una serie de ejercicios, encontrará un cuadro especial, cuyo nú- mero va enmarcado en un rectángulo: es un cuadro de eva- luación.

En él se le plantean preguntas o problemas que le permiten conocer si su comprensibn del concepto ha sido correcta.

.... ¿Este es un cuadro de evaluación? porque el número del cuadro va enmarcado en un rectángulo.

Encontrará usted la solución a este cuadro en la parte izquierda del ............. siguiente.

si cuadro

1.7

Si ha contestado adecuadamente al cuadro anterior, ya ha comprendido el funcionamiento del presente texto y puede pasar al cuadro siguiente, donde comienza la instrucción sobre el tema de conjuntos.

En otro caso, le conviene pasar al cuadro 1 . l .

CONCEPTO DE CONJUNTO

1.8

La colección de cuerpos que giran alrededor del sol es un conjunto: el conjunto ((sistema solar)).

........... La colección de empresas de España es otro .: el conjun- to ((empresas españolas)).

Concepto de conjunto 5

conjunto

conjunto

1.10

Cada una de las cosas que forman parte del conjunto recibe el nombre de elemento.

Esta hoja que usted está leyendo es un .............. del libro.

El domingo es un .............. del conjunto de los días de la semana.

- 1.9

Podemos, pues, afirmar que un conjunto es una colección de cosas, personas, objetos, etc.

Toda colección de cosas, personas, etc., es un ...............

1.12

Así, por ejemplo, para indicar que el jueves pertenece al conjunto «semane», podemos escribir:

j pertenece a S

.................... Hemos esciito j minúscula porque «jueves» es un

................ Hemos escrito S mayúscula, ya que ((semana)) es un

elemento elemento

1.11

Los conjuntos se suelen nombrar con letras mayúsculas: A, 6, C, D, etcétera.

Los elementos, cuando se representan con letras, se suelen nombrar con letras minúsculas: a, 6, c, etc.

6 Conjuntos

elemento conjunto

1.15

.... (Es correcta la expresión b = (a,e,i,o,uj?

En caso negativo, escriba la expresión correcta:

.......................................

1.13

Para indicar que el martes pertenece al conjunto semana, escribiremos:

... pertenece a ...

m S

1.14

Una forma usual de expresar un conjunto consiste en encerrar sus elementos entre llaves, separados por comas.

Así: A = (a,e,i,o,uj expresa que el conjunto A está formado por las cinco letras vocales.

r

No B = (a,e,i,o,uj

1.16

Exprese el conjunto Eformado por los elementos: primavera, verano, otoño e invierno, nombrando cada elemento por su letra inicial.

E = ......................... 1

-

Concepto de conjunto 7

E = Ip,v,o.il

1.17

Otra forma de expresar un conjunto consiste en encerrir'entre llaves una propiedad que cumplen todos sus elementos y ninguno más que ellos.

Así, A = la,e,i,o,ul también se puede expresar en la forma: A = (letras vocalesl, puesto que la propiedad que cumplen los ................ a,e,i,o,u y ninguno más que ellos es ser letras ..............

elementos vocales

1.18

Exprese el conjunto E = (primavera, verano, otoño e invierno1 utilizando la propiedad común a todos sus elementos:

E = ............................ .. .......... 1

[estaciones del año)

Los conjuntos se nombran con letras ...................... mientras que las letras ....................... se reservan para nombrar .......................

Escriba el conjunto formado por los números 1.2 y 3.

A = ......................

mayúsculas minúsculas elementos A = (1,2,3)

1.20

Si ha contestado correctamente a todo el cuadro anterior, pase al cuadro 1.28.

En caso contrario, le conviene continuar en el cuadro siguiente.

8 Conjuntos

1.21

Un conjunto es una colección de cosas u objetos, que llamamos elementos.

El conjunto A = {b,c,dl tiene 3 .........................

elementos

1.22

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas.

..................... Así, A, B, C Ó T pueden ser nombres de

Ejemplos: A = (1,6,71 B = (oro, plata]

conjuntos

I

1.23

Cuando los elementos de un conjunto son letras, se nombran con letras minúsculas:

elementos - minúsculas

....................... Así, a,b,r,s pueden servir para nombrar

-

elementos

1.24

Los elementos pertenecientes a un conjunto se encierran entre llaves y se separan por comas:

Ejemplo: A = (r,s,t]

¿Sería correcta la expresión A = (rst)? .....

Igualdad de conjuntos 9

N o LO correcto es: A = (r,s,t)

1.25

Exprese el conjunto V = (vocales) de otra forma:

V = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

V = (a,e,i,o,u)

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Los conjuntos se nombran con letras ....................... mientras ...................... .......... que las letras se reservan para nombrar

............ Escriba el conjunto formado por los números 4, 5 y 6:

A = ...........................

mayúsculas minúsculas elementos A = 14.5.6)

1.28

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, sin importar el orden en que se escriban, ni la forma de expresarlos.

Por ejemplo:

A = (a,e,i,o,ul = (a,i,o,e,ul = (i,u,a,e,ol = (vocales).

1.27

Si ha conseguido contestar adecuadamente al cuadro anterior, puede continuar en el cuadro siguiente.

En caso contrario, es conveniente que regrese al cuadro 1.8 y re- pase los conceptos básicos de conjunto y elemento.

10 Conjuntos

1.29

¿Son iguales los conjuntos A = le,r,o,l,jl y B = lletras de la palabra «reloj»)?

Sí [Ti (ponga una cruz en el recuadro adecuado)

No C!

1.30

Si P = (poligonos de tres lados1 y T = (triángulos], podemos afirmar que Tes ............... a P. ya que ambos conjuntos tienen

..................... los mismos

SIMBOLO DE PERTENENCIA

igual elementos

No no tienen No

1.31

¿Son iguales los conjuntos C = [consonantes) y B = (b,c,d]? .... ., porque .................. los mismos elementos.

¿Son iguales los conjuntos A = 13,141 y B = 13,1,4]? .....

1.32

Para expresar que un elemento forma parte de un conjunto, se escribe el símbolo E, que se lee: ((pertenece a».

Así, por ejemplo, para expresar que el martes pertenece al conjunto «semana» se escribe:

m E S, que se lee: ((m pertenece a Su

Sirnbolo de pertenencia 11

1.33

Para expresar que un elemento no pertenece a un conjunto, empleamos el símbolo 4 , que se lee: «no pertenece a)).

Así, en el conjunto A = (1,2,3,4,51, el número 8 no pertenece al conjunto A, es decir:

8 4 ~

-

1.34

Si A = [1,2,3,4,51, entonces:

1 E A ; 6 4 ~ ; 3 . . . A ; 7 . . . A

(escriba los símbolos adecuados)

eC E

1.35

Si B = (25,37,40,a,bl, conteste verdadero o falso a las siguientes proposiciones:

37 E B ....................... B E a ...................... 3 E B .......................

40 Cj! B .......................

verdadero falso falso falso

1.36

1) i La letra res un elemento del conjunto A, formado por las seis primeras letras del alfabeto? ......

Expréselo indicando el símbolo adecuado: ...............

2) Exprese simbólicamente que la letra b es un elemento del anterior conjunto A: ...................

12 Conjuntos

¿Son iguales los conjuntos A = le,o,ul y B = Ivocales de la .... palabra «huevo»)?

Conteste verdadero o falso:

o E A ..................... u 4 6 ..................... h E B ..................... A € B ......................

1.39

Recuerde que dos conjuntos sólo son iguales si tienen exactamente los mismos elementos, aunque no importa el orden en que se escriben.

Así, los conjuntos A = [e,ol, B = lo,el y C = [vocales de la palabra «pelo»] son ................ porque tienen los los mismos ...... ................

Sí verdadero falso falso falso

1.38

Si ha respondido correctamente a las cinco preguntas del cuadro anterior, puede pasar al cuadro 1.47.

En caso de que haya fallado alguna respuesta, debe pasar al cuadro siguiente para adquirir mayor seguridad.

iguales elementos

1.40

............... Los conjuntos A = {10,20,301 y B = 130,10,201 son puesto que tienen exactamente los ............... elementos.

Símbolo de pertenencia 13

iguales mismos

1.41

Consideremos los conjuntos:

L = [luna/ y S = (satélites naturales de la Tierra].

................... ¿Son iguales? . ..., porque tienen elementos.

1.43

Sea V = (e,s,c,o,b,a]. Conteste verdadero o falso:

s E V ....................... c 4 v ....................... b E a ........................

r E V ......................

Sí los mismos

1.42

Para expresar que un elemento c pertenece a un conjunto L, se utiliza el símbolo E :

c E L, que se lee: «c pertenece a L ».

Ejemplo: Si A = [león, tigre], podemos expresar que:

león .... A

verdadero falso falso falso

1.44

Para expresar que un elemento c no pertenece a un conjunto M, usamos el simbolo 4 :

c 4 M, que se lee: c ....................................... M

Ejemplo: Si A = lleón, tigre), podemos afirmar que: pantera ....... A.

14 Conjuntos

no pertenece a

4

DEFlNlClON DE UN CONJUNTO

¿Son iguales los conjuntos A = {l,i,f 1 y B = {consonantes de la .... palabra «flor»?

Conteste verdadero o falso:

h E A ....................... r E B ....................... o 4 s ....................... I E A ......................

Sí falso verdadero verdadero verdadero

1.47

Cuando escribimos A = la,e,i,o,u), estamos nombrando todos los elementos del conjunto A.

A esta forma de expresar el conjunto A le llamaremos definición del conjunto A por extensión.

1.46

Si todas sus respuestas al cuadro anterior han sido adecuadas, pase al siguiente cuadro.

En caso contrario, le conviene volver al cuadro 1.28.

1.48

Cuando escribimos A = {vocales), estamos expresando la propiedad que cumplen los elementos del conjunto A.

A esta forma de expresar el conjunto A le llamaremos definición del conjunto A por comprensión.

Definicibn de un conjunto 15

1.50

Si decimos E = [estaciones del año/, estamos definiendo el conjunto Epor ...................

Defina usted el mismo conjunto por extensión:

E = 1 ......................................................................... 1

- 1.49

Definición:

Un conjunto se puede definir de dos formas distintas:

1 ) Por exte~?sión: nombrando todos y cada uno de los elementos que lo componen, sin repetir ninguno.

2) Por comprensión: expresando una propiedad que cumplen to- - dos los elementos del conjunto y sólo ellos.

1.52

Defina por comprensión el conjunto:

C = [Barcelona, Tarragona, Lérida, Gerona 1.

C = 1 ................................................... I

comprensión E = [primavera, verano, otoño, invier-

no)

1.51

Para definir correctamente un conjunto hay que dar la informa- ción suficiente para que se sepa, sin ninguna duda, cuáles son los elementos que pertenecen al conjunto.

Trate de no olvidar nunca esta regla. Es importante.

16 Conjuntos

C = {provincias de Cataluña)

1.53

¿Sería correcto definir por cxnprensión el conjunto C =

= IBarcelona, Tarragona, Lériaa, Geronal en la forma C = ICa- taluña l?

........ No, porque leyendo [Cataluña) no sabemos cuales son los ............ del conjunto (pueden ser las personas de Cataluña, las provincias de Cataluña, etc.).

--

elementos

1.56

El símbolo < se lee ((menor que)).

Así, la expresión 5 < 7 se lee: 5 es menor que 7.

Análogamente, 9 < 12 se lee: .......................

.-

1.54

a) Al decir E = {estrellas del fiimamento], estamos definiendo el conjunto E poi .......................... 'Sería posible definirlo por

..... extensi~~n?

b) Dtefina por comprensión el conjunto S = (lunes, martes, miér¿oles, jueves, viernes, sábado, domingo].

S = 1 ......................................................... I

comprensión No S = (días de la sema-

na 1

1.55

Con el fin de abreviar, se utiliza con frecuencia otra forma de de- finición por comprensión, con símbolos.

Algunos de los símbolos usados son:

/ , que se lee ((tal que)), o ((tales que))

<, que se lee ((menor que))

Definicidn de un conjunto 17

r

9 es menor que 12

1.57

Análogamente, > se lee «mayor que».

Así: 8 >, 6 se lee: 8 es «.. ............. » 6.

10 es mayor que 5 se expresa: 10 .... 5.

mayor que

>

1.60

Definamos mediante símbolos el conjunto de números menores o iguales que 2:

8 = (x / .................. 1 El conjunto de números mayores que 5, pero menores o iguales que 40 sería:

C = (x/5<x,<40]

1.58

El simbolo ,< se lee: «menor o igual que)).

............. Por ejemplo: x g 4 se lee: x es menor o que 4.

El símbolo > se lee: «mayor o igual que)).

x >, 7 se lee: x es ..................................

igual mayor o igual que 7

1.59

Veamos ahora cómo podemos definir por comprensión el conjunto de los números menores que 4:

A = (x 1 x < 41, que se lee:

((A es el conjunto de los equis tales que son menores que 4)).

18 Conjuntos

B = (X /X g 2)

1.61

Escriba el conjunto A de los números mayores que 3 y menores o iguales que 23.

........................................................

Escriba el conjunto B de los números mayores o iguales que 10:

........................................................

A = 1x13 < x ,< 231 B = (XIX >, 101

1.64

Definir un conjunto por extensión es nombrar todos sus elementos.

Cuando escribimos A = (1,2,31, estamos definiendo el conjunto A por ........................

El conjunto E = (Cáceres, Badajoz] está definido por ...............

Defina el conjunto Epor comprensión:

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Defina por comprensión el conjunto M de los números mayores O

iguales que 12:

M = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 1

extensión E = (provincias de Extremadura) M = (x/x >, 12)

1.63

Si sus tres respuestas han sido correctas, está usted capacitado para pasar al cuadro 1.73.

Si, por el contrario, ha cometido algún error, debe continuar en el cuadro siguiente.

Definicidn de un conjunto 19

extensión

1.65

Defina por extensión el conjunto de provincias de Extremadura:

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... I

(Cáceres, Badajoz)

1.66

Definir un conjunto por comprensión es expresar una propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto y ninguno más.

Los conjuntos E = (equipos españoles de fútbol! y 1 = (letras del abecedario) están definidos por .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

comprensión

A

-

1.67

......................... R = (a,b,c,d) está definido por

Defínalo por comprensión:

R = .................... .. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

extensión R = [cuatro primeras letras del abecedario)

1.68

.............. El conjunto M = (capital de España) está definido por ..........

Defínalo por extensión:

M = (.................. 1

20 Conluri tos

comprensión M = (Madrid)

1.69

Otra forma de definición por comprensión es la simbólica.

A = Ix/x >5) es el conjunto de números mayores que 5.

¿Cómo se expresa simbólicamente el conjunto B de números menores o iguales que 3?

B = 1 ..................... 1

B = (XIX < 3)

1.70

El conjunto de números positivos se puede expresar así: A = (x l x>o l

Exprese simbólicamente el conjunto B de números mayores o iguales que 7, pero menores o iguales que 10:

B = l.................. .. ...... ....I

= lx,7 10)

El conjunto A = (París) está definido por ..................

Defínalo por comprensión:

A = ( .......................... .... 1 Defina por comprensión el conjunto N de los números menores o iguales que 7:

N = 1 ................... 1

extensión A = icapital de Francia) N = Ix lx 2 71

1.72

Si sus respuestas han sido correctas, pase al cuadro siguiente.

Si aún ha cometido algún error, pase al cuadro 1.47 y lea los cuadros despacio y atentamente.

Diagramas de Venn 21

DlAGRAMAS DE VENN

1.73

Un conjunto se puede representar gráficamente escribiendo todos los elementos del conjunto en el interior de una línea cerrada. Junto a la Iínea, exteriormente, se escribe la letra que nombra al conjunto.

Así, en la figura está representado el conjunto B = (1,2,3,4,5]. (3 A eSta representación se le llama diagrama de Venn.

1.74

....... Observe en el diagrama de del cuadro anterior que los elementos se han representado por unas pequeñas cruces que acompañan al nombre de cada elemento.

También se pueden poner puntos, como en la figura, o escribir simplemente los números. o 4

Venn

1.75

Observe la representación gráfi- ca del conjunto V = la,b,c,d,

..................... e,f 1 mediante el de Venn:

Proceda usted igual con el conjunto D = 11,2,3,41:

diagrama

1.76

Observe atentamente el diagrama de ... . . . . . representado.

i5 E P? . . . .

i6 E P? .... ¿Cómo expresaría simbólicamente que el número 2 pertenece a P?

..............

22 Conjuntos

Venn Si No 2 E P

El diagrama de Venn de dos conjuntos R = (a,l,r) y H = (b,r,t,s) es:

Observe detenidamente la forrna de colocar los elementos en cada zona del diagrama.

1.78

Dibuje el diagrama de Venn de los conjuntos:

A = la,b,c,d,l Y B = lb,d.e,gl - 1.79

A la vista del diagrama, conteste verdadero o falso a las siguientes proposiciones:

3 E A y 3 E B .......................

1 $ a ....................... 5 E B y 5 C f ~ .......................

verdadero falso verdadero

1.80 Veamos un diagrama de Venn de 3 conjuntos:

A = (1,3,5,7), B = (3.4.5) y C = (3,4,6]

Obsérvelo detenidamente, fi- jandose en la forma de colocar cada elemento en su zona correspondiente.

Diagramas de Venn 23

1.81

Construya el diagrama de Venn de los conjuntos:

R = (2,3,4,5,), S = [2,3,6,7) y T = (2,6,8)

A

* 6 08 0 T

1.84

Para construir un diagrama de Venn de varios conjuntos, hay que poner mucha atención para colocar cada elemento en la zona del diagrama que le corresponde.

Si A = [8,10) y B = (10,151. el diagrama es:

Observe el diagrama de la derecha: m 4 e8 iEsciertoque3 E R y 3 S? ....

¿Qué elemento pertenece a ambos conjuntos? .. .. .. .. .. . . .. .. .. .

A Construya = la,b,c,dl, el diagrama B = (a,c,f) de

y C = (a,c]

sí

El 1

w C

1.83

Si ha contestado correctamente, puede pasar al cuadro 1.92.

En otro caso, pase al cuadro siguiente.

24 Conjuntos

1.85

Observemos con más detalle el ejemplo anterior:

A = (8,101 y B = (10,15].

El elemento 10 ................... al conjunto A y también al B. Por

^mB tanto se dibuja en la zona encerrada por la linea del A y la línea del B.

8 E A, pero 8 6 B, luego se dibuja en la zona izquierda, fuera de la línea de B.

A

1.87

Construya el diagrama de los conjuntos:

A = lb,c,el Y B = lc,e,f,gl

pertenece

Si A = (3,5,7], B = 15,81

y C = 15,91, su diagrama conjunto es:

9 ̂a Im8*

5 pertenece a los tres conjuntos - zona interior a los tres.

3 y 7 sólo pertenecen a A - zona encerrada sólo por A.

8 sólo pertenece a . . . - zona encerrada sólo por . . . 9 sólo pertenece a . . . - zona encerrada sólo por.. .

1.86


B = (sol, luna] y C = {sol, marte]

Subconjunto 25

A

1.89


D = (x,y,z), E = [z,u] y F = (x,u,v)

@ • v

F

SUBCONJUNTO

Dibuje el diagrama de los conjuntos: A = (1,3,5,7), B = (3,4,5) y

= (5,6,7).

Observe el diagrama de M y N.

i Es cierto que 37 E N y'37 $ M? . . . . . . El único elemento común a M y N es el .. .. .. . .

Sí 45

1.92

Si A = (1,2,3,4,5,6,7) y S = (4,5,6), vemos que todos los elementos de S son también elementos de A:

4 E S - 4 E A

5 E S - 5 ... A

6 E S - ... D i rem~s que S es un subconjunto de A.

1.91

Puede pasar ai cuadro siguiente si sus respuestas han sido correctas.

Si no lo han sido, es conveniente que pase al cuadro 1.73.

A

26 Conjuntos

r

E

6 E A

1.95

Siendo L = la,b,c,d,e,f,gl, A = lf,gI Y B = If.g,hl

...... ~AesunsubconjuntodeL?

...... i L es un subconjunto de A?

...... LB es un subconjunto de L ?

...... ¿A es un subconjunto de B?

1.93

Definición:

Dado un conjunto A, decimos que S es un subconjunto de A, si todos los elementos de S pertenecen también a A.

Ejemplo: Si A = 15,8,9), S = (5,9) es un .................. de A, ya que todo elemento de S también ........................ a A.

subconjunto pertenece

1.96

Sea A = (a,bJ. Podemos afirmar que A es un subconjunto de sí mismo porque se cumple que ((todos los elementos de A son también elementos de A».

Por lo tanto;

Todo conjunto es subconjunto de síñismo.

1.94

Sean A = (números pares) y B = 16,8).

...... LB es un subconjunto de A?

¿A es un subconjunto de B? ......

Símbolo de ~nclus~ón 27

SIMBOLO DE INCLUSION

1.97

Para expresar que A es un subconjunto de B, se escribe: A C B. que se lee: «A está contenido en B» o también: « A está incluido en B».

El símbolo C utilizado se suele llamar símbolo de inclusión.

1 .S

C es el símbolo de .....................

Exprese que dos conjuntos, L y M, son subconjuntos de R, empleando el símbolo de inclusión:

L ...... R .................

1.100

Si A = (3,4,5,6) y B = 13,6), el diagrama de Venn de ambos es:

Si C = (3.4.51, dibuje el diagrama de A y C:

inclusión

C M C R

1.99

En el diagrama de Venn de un conjunto A y un subconjunto suyo S, se dibuja la Iínea de S en el interior de la Iínea del conjunto A, como se indica en la figura:

28 Conjuntos

1.102

Cuando queremos expresar que un conjunto no está contenido en otro, se emplea el símbolo 4, que se lee: «no está contenido en».

Así, dado el conjunto A = 11,2,3,4,6,71, jel conjunto B = 11,3, ...... 4,71 está contenido o incluido en A?

...... j Y el conjunto C = (1,3,5)?

Por eso escribiremos B C A y C . . .... A

0 Representemos con un diagrama de Venn los conjuntos: 1.101 W = {1,2,3,4,5,6,), U = (1,2,3,4] y V = (3,4,5,6)

@ Como U y Vson subconjuntos de W, hay que dibujar sus diagramas en el interior del diagrama de W.

1.104

Dados los conjuntos A = (1,3,5,7,9) y B = {1,3,6,7) conteste verdadero o falso a las siguientes proposiciones:

........................ a) B es un subconjunto de A, es decir, B C A

................................ b) B es elemento de A, es decir, B E A

...................................................................... C) 3 E A

.................................................................. d) 3 C A

7

1.103

Observe el diagrama de Venn de los conjuntos O, E y F:

...... ¿Fes un subconjunto de D?

...... i Podemos afirmar que F a E?

...... jEsciertoqueD E?

Conjunto unitario 29

1.106

Si un conjunto A es subconjunto de otro B y también B es subconjunto de A, los conjuntos A y B son iguales.

Es decir:

S i A C B y B C A - A = ...

falso falso verdadero falso

1.105

Si W = (vocales), U = lvocales de la palabra «hueso»/ y V = (vocales de la palabra «puerta»), represéntelos mediante un diagrama de Venn:

CONJUNTO UNITARIO

-l

iguales

1.107

Lo dicho en el cuadro anterior nos muestra un método para de- mostrar la igualdad de los conjuntos A y B:

Si se demuestra que A C B y también B C A, los conjuntos A y B son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.108

Un conjunto que sólo tiene un elemento, se llama conjunto unitario.

El conjunto E = (provincias españolas cuya letra inicial es la J 1 = = (Jaén) sólo tiene un elemento, y, por lo tanto, es un conjunto ....... .....................

30 Conjuntos

unitario

1.109

Marque con una cruz los conjuntos unitarios:

A = l1,31

B = 171

C = (satélites naturales de la Tierra)

CONJUNTO VAClO

1.111

Definición:

Conjunto vacio es el que no tiene ningún elemento. Se designa por el símbolo 6.

B = í 7 1

c = {luna]

1.110

El conjunto de provincias espe; olas cuya inicial es W no tiene ningún elemento. Lo llamaremos conjunto vacío, y lo designa- remos por el símbolo $.

r

1.112

¿Cuántos elementos tiene el conjunto (meses que sólo tienen 25 días l? ............................. ¿Cómo se llama a este conjunto?. ................

¿Con qué símbolo se le designa? ...

Conjunto vacio 31

ninguno vacío b

1.113

El conjunto vacío se considera que es subconjunto de todos los conjuntos.

Así, por ejemplo, si A = [a,bJ y B = [1,2,3], podemos escribir:

6 C A 6 C B

1.114

Cualquier conjunto, excepto el conjunto vacío, tiene por lo menos dos subconjuntos: él mismo y el conjunto vacio.

A estos dos subconjuntos se les llama subconjuntos impropios.

1.115

El conjunto A = (h,j) tiene dos subconjuntos impropios: A = (h,jl Y 6.

También tiene dos subconjuntos propios: (h ] y [j).

............................. En total tiene cuatro

subconjuntos

1.116

¿Cuántos subconjuntos impropios tiene el conjunto A = (sol, luna, venus)? ........

............... Todo conjunto A, no vacío, tiene subconjuntos impropios: él mismo y el conjunto ...............

32 Conjuntos

2 2 vacío

1.119

Dado un conjunto A = [1,2,3), llamamos subconjunto de A a todo conjunto formado con elementos de A.

Así, por ejemplo, S = 12,31 es un ..................... de A, porque todos sus elementos pertenecen a A.

Si A = [h,i,j,k), B = [k,i) y D = [h,k):

Bes un ............................. de A.

' D C A ? ...... ~ B C D ? ...... ¿ @ c A ? ...... ..... LB es un conjunto unitario?

Construya el diagrama de Venn de A, B y D .

subconjunto Sí No Sí No

1.118

Si ha construido correctamente el diagrama y no ha tenido más de un fallo en las restantes contestaciones, puede pasar al cuadro 1.134.


subconjunto

1.120

Si S es un subconjunto de A, todo elemento de S pertenece tam- bién al conjunto .......

Sean A = Imano, piel y S = [piel.

...... i S es un subconjunto de A?

..... ..... ¿Pie E S?. ¿Pie E A?.

Subconjunto 33

A Sí Sí Sí

1.121

Sean M = (r,s,t) y N = [r,t!.

............................. N es un de M, porque todos sus elemen- ............................. tos a M.

Lo expresamos así: N C M.

\

*

subconjunto pertenecen

1.123

Si H = [pez, gato, ratón), P = (pez) y G = [gato, ratón), se cumple que:

..... ..................... Pesun de H, luego P H

...... ~ G e s un subconjunto de H?

¿Esciertoque P $ G? ......

subconjunto C Si Sí

1.122

Si H c A, ¿H es un subconjunto de A? ...... Si H (# A, ¿Puede ser H un subconjunto de A? ......

1.124

Siendo A = [10,20,30), B = (10) y C = [10,40), conteste verdadero o falso a las siguientes proposiciones:

............................. B C C

C Q A ............................. B C A .............................

34 Conjuntos

1.126

Si H = {pez, gato, ratón], P = lpezl y G = Igato, ratónl, se cumple que:

G es subconjunto de . . . . . .

1

verdadero verdadero verdadero

1.127

Dibuje el diagrama de Venn de los conjuntos H = (pez, gato,

ratón) y G = [gato, ratón).

3.125

Sea A = (10,20,30) y B = (10). Hemos visto que B es un subconjunto de A y por ello, todo el conjunto B está contenido en A.

Por esta razón, en el diagrama de Venn, se dibuja B totalmente dentro de A:

e ratón

1.128

Recuerde que llamamos conjuntos unitarios a aquellos que tienen un elemento.

Así, A = (perro) es un conjunto ............................. porque sólo tiene un elemento.

Conjunto vacío 35

unitario

1.129

Señale con una cruz en el cuadro correspondiente, los conjuntos unitarios:

O A = [unidad, decena] 0 B = [vocales de «luz»]

U P = [pez] O M = 11.a1

O A W B EJP O M

R = [a,b,c,d,e], S = [a,d) y T = [a,b,c].

Tes un ............................. de R.

... ... ¿ S C R? ¿S C T?

Construya el diagrama de Venn de R, S y T:

1.130

Conjunto vacío es todo conjunto que no tiene ningún elemento.

Se representa por el símbolo d.

El conjunto (habitantes lunares) es un conjunto ................... porque no tiene ningún ...................

vacío elemento

1.131

Recuerde que el conjunto vacío se considera subconjunto de todos los conjuntos.

Es decir, siendo A un conjunto cualquiera, [podemos afirmar que q5c A? ......

36 Conjuntos

CONJUNTO DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO

subconjunto Si No

1.134

Escribamos todos los subconjuntos del conjunto A = (3,7).

Son: 4, 131, (71 v I3,7l.

¿Cuántos subconjuntos tiene A? . ..

1.133

Si no ha cometido ningún error, pase al cuadro siguiente.

En caso contrario, le conviene pasar al cuadro 1.92 y leer los cuadros con atención.

1.135

En el cuadro anterior hemos escrito: 4, (31, (7) y (3,7l.

Fíjese en un detalle: aunque el vacío es un conjunto, su símbolo no se escribe entre llaves.

1.136

Escriba todos los subconjuntos del conjunto A = la,bl.

...... ...... ...... ......

Conjunto de las partes de un conjunto 37

Definición:

Conjunto de las partes de un conjunto A es aquel cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.

Se indica por H A ) .

6 la) lb1 l a h l

1.139

Si A = (a,b), ya sabemos que H A ) = {+, (a], (b), [a,b)).

Observe con atenci6n el siguiente detalle:

(a), (bl, etc., son elementos de P(A), y por ello se escriben separados por comas; pero también son subconjuntos de A, y por esta razón se escriben entre llaves, como los conjuntos.

1.137

Al conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto A le llamaremos conjunto de las partes de A, y se indica así:

H A ) = {6, la], lb), la.bl].

Fíjese bien en la colocación correcta de las llaves y comas antes de continuar.

1.140

Si B = (3,71, H B ) = (6 131, (71, (3,711.

............................. [3,7) en un de P( B) .

............................. (3,7] es un de B.

¿Es correcta la expresión (3,7] E P(B)? ..., porque (3.71 es un elemento de PíBi.

*

38 Conjuntos

elemento subconjunto Si

( 6 , l l ) j uno dos

1.141

Si A = (a,b,c), complete el conjunto de las partes de A:

H A ) = (41 (al, (bj, (cj, [a,bj, .... [b,c), ............... 1 H A ) tiene ocho ..............................

la,cl ía,b,c) elementos

1.143

Si B = (1,2j, escriba el conjunto de partes de E:

H B ) = .............................. 1. .......... ¿Cuántos elementos tiene B?

.......... ¿Cuántos elementos tiene H E ) ?

1.142

Número de elementos de P(A)

Si A = [ l ) , escriba el conjunto de las partes de A:

H A ) = ( ............................ ). ¿Cuántos elementos tiene A? ... ¿Cuántos elementos tiene H A ) ? ...

(G, 111,121~11~21 1 dos cuatro

L

1.144

Si C = [1,2,3j, escriba el conjunto de las partes de C:

................................................................... HCi = { 1 ¿ Cuántos elementos tiene C? ...... ¿Cuántos elementos tiene H C ) ? ......


Dado el conjunto H = la,b,c,d,,e), ¿cuántos subconjuntos tendrá H?

H tiene 5 elementos, luego el número de subconjuntos que tiene será:

Z5 = 32

14, 111, PI, 131, 1121, {1,31, 12,31, 11 2,311 tres ocho

1.147

Si A = (rl, B = [r,s), C = (a,b,c) y D = 14,5,6,7), ¿cuántos

elementos tienen los siguientes conjuntos?:

... ... ... ... H A ) - H B I - H C I - H D I -

1.145

Observe:

A tiene @ elemento - H A ) tiene 2 = 2 0 elementos. O B tiene @ elementos - H B ) tiene 4 = 2 elementos.

c tiene @ elementos - H C ) tiene 8 = 2 0 elementos.

Es decir:

((Si un conjunto tiene n elementos, el conjunto de sus partes tiene Znr elementos)).

2 4 8 1 6

Escriba el conjunto de las partes de C = (4,7,9] :

................................................................................... .................... Si un conjunto A tiene 6 elementos, H A ) tiene

elementos.

(4,9) es un ............................. de C.

(4,9] es un ............................. de H C ) .

40 Conjuntos

1.150

Recuerde: llamamos conjunto de las partes de un conjunto A al conjunto formado por todos los subconjuntos de ... El conjunto de las partes A se denomina P ( A ) .

p ( C ) = {G, (41, 171, (91, 1471, [4,91.

l7,91, [4,7,91). 2= subconjunto elemento

1.151

Sea A = (r,t). Veamos qué subconjuntos tiene:

1 . O Los subconjuntos sin elementos: el conjunto vacío +. 2." Los subconjuntos con 1 elemento: Ir) y (t).

3." Los .................... con 2 elementos: ...........

j

1.149

Si su respuesta al cuadro anterior ha sido totalmente correcta, puede pasar al cuadro 1.165.

Por el contrario, en Caso de que alguna respuesta sea incorrecta, debe continuar en el cuadro siguiente, donde encontrará nuevos ejercicios que le aclararán más el concepto de conjunto de las partes de un conjunto.

subconjuntos (r,t)

h

1.152

Si M = [libro, papel), escribamos todos sus subconjuntos:

Sin elementos - .......... Con 1 elemento - .......... y .......... Con 2 elementos - ......................


comas

4 (IibroJ {papel] [libro, papel)

1.153

El conjunto de las partes de M = (libro, papel] es:

HM) = (6, (libro), (papell, (libro,

Observe que el símbolo del vacío no se encierra entre llaves, y que los 4 subconjuntos se escriben separados por ..........

1.155

Si A = [7,8,9), escriba el conjunto H A ) :

...................................................................................

r

1.154

Escribamos todos los subconjuntos de B = (x, y,z):

.......... Subconjuntos sin elementos

Subconjuntos con 1 elemento 1x1, (y 1, ......

Subconjuntos con 2 elementos (x,y), Ix,z), ......

Subconjuntos con 3 elementos ..........

H B ) = (e, 1x1. IYI, Izlt I x , ~ l . Ix,zI, ly,zI, I X , Y , ~ J ) .

P (A ) = (e, 171, 181, @Ir 1731, l7,9l, I8,gl. 17,8.91 ) .

1.156

Hemos visto que si A = (7,8,9), el conjunto P(A) es:

P(A) = {@, (71. 181, (91, l7,81, 17.91. 18,9l, 17,8,91).

Los elementos de P(A): @, (71, 181, etc., son también conjuntos, puesto que son ................................. de A.

............. Por ejemplo: (7,81 es un elemento de PiA), pero es un .................. de A.

42 Conjuntos

subconjuntos subconjunto

1.159

Si A tiene @ elemento, H A ) tiene 2@ = 2 elementos.

Si A tiene @ elementos, P(A) tiene Z@ = ... elernentos.

Si A tiene @ elernentos, H A ) tiene ... = ... elementos.

1.157

Si B = (árbol, flor), P(B) = ................................................ (árbol) es un elemento de P ( B ) , y por ello para relacionar (árbol1 con el conjunto P(B) se emplea el símbolo E :

(árbol) E ...

(u, lárboll, lflorl,

( á r~o l , flor) 1. P(B)

1.160

Supongamos que el conjunto A es: A = (días de la semana].

'Cuántos elernentos tiene P(Ai? 2 " ' = . . .

1.158

B = (árbol, flor); P(B) = (@, (árbol), (flor), (árbol, flor)].

(árbol) es un subconjunto de B.

Por esta razón, para relacionar (árbol] con B se emplea el símbolo C :

(árbol) c ...

Conjunto de las partes de un con~unfo 43

1.162

Recuerde la regla general:

Si A tienen elementos, H A ) tiene 2" elementos.

A c-r H A ) a-@ Pase al cuadro siguiente.

2' = 128

Escriba el conjunto de las partes de A = (5.7.9)

...................................................................................

Si un conjunto E tiene 5 elementos, P ( E ) tiene .......... elementos.

(7,9) es un ................. de PíA) , y por lo tanto, es un ............. ................... de A.

1.161

¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto: V = [letras vocales)?

2 ""' = .....

/'(A) = {úi. 151, 171, IgI, 15,71t 15,glr

1731, l5,7,9l). 2' elemento subconjunto

1.164

Si todas sus respuestas han sido correctas, puede pasar al cuadro siguiente.

En caso contrario, debe continuar en el cuadro 1.134.

44 Conjuntos

UNlON DE CONJUNTOS

1.165

Consideremos los conjuntos A = (10,20,30] y B = (10,401.

Podemos construir un nuevo conjunto con todos los elementos de A y B, (sin repetir ninguno):

{10,20,30,40]

A este nuevo conjunto le llamaremos conjunto unión de A y B.

1

1.166

El conjunto unión de A y B se representa mediante el símbolo A U B, que se lee: «A unión B».

En el cuadro anterior, con los conjuntos A = (10,20,30] y B =

(10,40), hemos construido el conjunto .......... de A y B:

A U B = {10,20,30,40)

unión

r

1.167

Para escribir «pescado» necesitam8s el conjunto de letras A = = (p,e,s,c,a,d,o). Para escribir «fresco» necesitamos B = = (f,r,e,s, c.0). Para escribir ((pescado fresco)), necesitamos el conjunto:

A U B = (p,e,s,c,a,d,o,f,r]

A U Besel ................. ................. deAyB.

conjunto unión

1.168

Definición:

Dados dos conjuntos A y B, llamamos conjunto unión de A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B.

El conjunto unión de A y B será simbolizado por A U B. que se lee: «A unión B».

Unidn de conjuntos 45

1.169

También pgdemos definir A U B por comprensión, mediante la forma simbólica que ya hemos estudiado:

A U B = ( x / x E A o x E B )

1.170

Sean A = (1,2,3,4,5) y B = (3,5,7,8).

A U B . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ........................ A U B se lee: <( ..»

11,2,3,4,5,7,8) « A unión B»

1.171

Dados los conjuntos M = [a,b,c,dj y N = [b,d,e),

i Es correcta la expresión M U N = (a, b, b,c,d,d,e]? ..... En caso negativo, escriba la respuesta correcta:

M U N = .......................... 1

No la.b,c,d.e1

1.172

Si T = (t,i,r,a,n,o) y V = (vocalesl, obtenga el conjunto unión:

46 Conjuntos

1.174

Obtener el conjunto unión de A = (a,b,cJ, B = (b,hJ y C =

= la,b,j,rl.

..........................

lt,i,r,a,n,o.e.ul

1.173

Unamos ahora tres conjuntos:

A = [5,6,7), B = (5.81 y C = (6,101.

Tomamos todos los elementos, sin repetir ninguno:

A U B U C = 15,6,7,8,10]

A U B U C = = [a,b,c,h,j,rl

1.175 Los diagramas de Venn también son útiles para representar gráfi- camente la unión de conjuntos.

Así, por ejemplo, si A = (10.20.301 y B = 110,401, el diagrama de

A U B = (10,20,30,401 es:

A U B

>

1.176 Observe que para realizar el diagrama de Venn de A U B se necesitan 2 pasos:

1 .O: dibujar el diagrama de A y B *mB

2.": rayar todo el espacio comprendido entre las líneas de los conjuntos, y escribir el nombre: A U B.

A U B


1.177

Si P = (2,5,81 y R = (2,6,8,20), su conjunto unión será:

P U R = [ ...................... 1 Represéntelo gráficamente:

l2,5.8,6,20)

P U R

1.178

Hallar A U 8 , siendo A = (a,b,c,d,el y B = Ic,dl, y dibujar el diagrama de Venn correspondiente.

A U B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Observe que A U B = A.

A U B = (a,b,c,d,el

A U B

1.179

Sean A = la,c,el, B = la,e,gJ y C' = (a,f)

A U B U C = ( ......................... 1

El diagrama de A U B U C es:

A U B U C

r

la.c.e,g,f 1

1.180

Obtener la unión de los conjuntos:

L = (1,2,3,4,5), T = [1,3,5,7,8) y X = (2,5,7,9)

L U T U X = [ ......................... 1

Dibuje el diagrama de Venn correspondiente:

-

48 Conjuntos

(1,2,3,4.5,7,8,91

L U T U X

1.181

Siendo A = (1,2,3) y B = (a,1,2,3,bj, decir si son verdaderas o falsas las expresiones:

....................... 1) A U B = (1,2,3,a,b]

....................... 2) A C ( A U B)

3) B C (A U B) ....................... 4) B C A .......................

verdadera verdadera verdadera falsa

1.182

Fíjese en la figura, y a continuación:

1 ) Exprese simbólicamente la re- ................. lación entre A y S:

2 ) A U B = españoles ......................

B C A .

(europeos] = A

A = (a,c,p,r), B = (c,r,t) y C = [c,t].

A U C = ..................... 1. A U B U C = [ .................... 1. Dibuje el diagrama de Venn d e A U B U C:

la,c,p,r,t) (a,c.p,r,tI

1.184

Si ha acertado todas las respuestas, puede continuar en el cuadro 1.196.



1.185

Consideremos los conjuntos A = [salmón, lenguado] y B = = [salmón, trucha, barbo).

Unir A y B es construir otro conjunto con todos los elementos de A y B, sin repetir ninguno:

A U B = (salmón, lenguado, trucha, barbo)

1.186

Sean A y B los siguientes conjuntos:

A = [vaca, cordero) y B = [vaca, buey, toro)

Construya el conjunto A U B:

A U B = .......................................................... 1

[vaca, cordero, buey, toro)

1.187

En el cuadro anterior, elconjunto unión A U B era:

A U B = {vaca, cordero, buey, toro). Complete su diagrama de Venn:

cordero m A U B

A U B

1.188

No se olvide nunca de rayarel conjunto unión.

Recuerde que el diagrama de Venn de A U B tiene dos etapas:

1 . " ) diagrama de A y B.

2.") rayado y nombre: A U B.

50 Conjuntos

1.189

Sean ahora A = 133,44,55), B = 130,31,32,33] y C = 130,44,501.

A U B U C = I .......................................... 1

Complete su diagrama:

50

1.191

Dibuje el diagrama de A U B, siendo A = (3,6,9,121 y B = {3,91.

133,44,55,30,31,32, 50)

A U B U C

2

1.190

Veamos lo que sucede si uno de los conjuntos que se unen es un subconjunto del otro:

A U B SeanA = (1,2,3)y B = (1.3).

..... B esta contenido en

El diagrama de A U B es:

A U B

1.192

Si B es un subconjunto de A, el conjunto unión de A y B es igual al conjunto A. Es decir:

si B C A - A U B = A

Según esta propiedad, si A = [animales) y G = (gatos), A U G = I .......................... ) = ... Representarlo gráficamente.

lnterseccidn de conjuntos 5 1

(animales] = A

A U G

1.193

Si A = Ir,s,tl, B = Ir,v,ul y C = [S),

A U B U C = I .................. 1

Su diagrama de Venn es:

lr,s.t,u,vl

A U B U C

INTERSECCION DE CONJUNTOS

A = (1,3,7,8), B = (3,8,9) y C = (3.9)

A U C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A U B U C = ( .......................... 1 Dibuje el diagrama de Venn de A U B U C :

r

11.3,7,8.91 11,3.7,8.91

A U B U C

1.196

Consideremos los conjuntos A = (6,8,10,12) y B = (8,12,16,20).

Los elementos 8 y 12 pertenecen a A y también pertenecen a B. Con ellos podemos construir un nuevo conjunto 18,121 que se Ila- ma conjunto intersección de A y B.

1.195

Si ha acertado todas las respuestas, puede pasar al cuadro siguiente.

Si, por el contrario, ha cometido algún error, debe pasar al cuadro, l . 165.

52 Conjuntos

1.197

Observe de nuevo: A = (6,8,10,12]; B = (8,12,16,20).

Los elementos comunes a A y B son: ... y ... El conjunto intersección de A y B es [. ......... 1.

1.198

El conjunto interrección de A y B está formado por los elementos ................. a A y B .

El conjunto intersección de A y 8 se representa mediante la expresión A n B, que se lee: «A intersección B».

En el ejemplo anterior, A n B = 18,121.

comunes

1.199

SiA = (a,m,r,s) y B = [b,a,r,c,o),

................. ~n B = 1 1. A n B es el conjunto .......................... de A y B.

h r l intersección

1.200

Definición:

Conjunto intersección de A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes a A y B.

Se representa por A fl B, que se lee: « A intersección B».

lnterseccidn de conjuntos 53

1.201

La definición de conjunto intersección A n B mediante símbolos es:

A ~ B = ( X I X E A ~ X E B ) .

Sean E = (españoles) y F = (fumadores].

El conjunto intersección de E y F es el formado por las personas que fuman, porque ellas pertenecen a ambos conjuntos. Luego:

. . . . . .. . . . = (españoles fumadores).

1.203

Hallemos ahora la intersección de 3 conjuntos:

A = (2,4,6,8), B = (2,6,9) y C = (6,8,9,2).

Los elementos comunes a los tres conjuntos son ..... y ..... Por lo tanto:

A n B n c = (2,6).

2 6

1.204

Obtenga el conjunto intersección de los conjuntos:

R = (lápiz, goma, papel), S = (goma, papel) y T = llápiz, goma)

e n sn T = 1 .......... l .

54 Conjuntos

1.205

La representación gráfica de la intersección de dos conjuntos también se realiza mediante diagramas de Venn.

Por ejemplo, si A = 13,5) y A n B B = 15,71, A n B = 151, Y SU

diagrama es:

1.206 Para realizar el diagrama de A n B también se necesitan dos pasos:

1 . O : dibujar el diagrama de A y B:

*aB 2." : rayar el espacio común y escribir el nombre:

A n B

1.207

.................... Si A = (pares! y B = (1,2,3,4,5), el conjunto es:

A ~ B = ( .......... 1.

intersección l2,41

1.208

Si P = [2,5,8] y R = (2,6,8,20], su conjunto intersección es:

P n R = [ .......... l. Represéntelo gráficamente:

Intersección de conjuntos 55

I2,8l

m P n R

1.209

Si R = lrusos] y E = [escritores], su conjunto intersecci6n R n E

es: ~n E = .......................... Observe su diagrama:

[escritores rusos)

1.212

A = [animales] y G = (gatos).

.... iG es un subconjunto de A?

A ~ I G = ( ..................... l Represente gráficamente A n G:

1.210

Hallar A fl B, siendo A = [a,b,c,d,e] y B = [c,d], y dibujar el diagrama de Venn correspondiente.

A ~ B = [ .......... 1. Observe que A n B = B.

A n B

@ Ic,d)

1.211

Si B es un subconjunto de A, el conjunto intersección de A y B es

..... igual al conjunto B. Es decir:

Si B c A - A n B =

56 Conjuntos

si [gatos1

@ A n G

1.216

A = la,b,c,d,e], B = [b,c,dl, C = [a,b,c,f].

Represente gráficamente A n B f l C:

1.213

Hallemos la interseccidn de tres conjuntos:

A = [email protected],el, B = j@,e,gl, c = I@,~I. A n B f l C será el conjunto formado por los elementos . ..... .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . a los tres conjuntos. Por lo tanto:

A n B n c = (al.

comunes

-

1.214

A = la,c,el, B = la,e,gl, C = (a,fl. Ya sabemos que:

A n B n c = l . . . . . ) .

La representación gráfica de A n B n Ces:

1.215

A = [pares), B = [1,2,3,4,5) y C = [2,4,6,8).

A ~ B ~ C = (.......... 1.

Conjuntos disjuntos 57

CONJUNTOS DISJUNTOS

7

1.218

Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento en común, decimos que A y B son conjuntos disjuntos:

A y B disjuntos - A n B = 4

A n B f l C

1.219

Si A y B son conjuntos disjuntos, sus diagramas de Venn no se solapan:

D 0 y su intersección es el conjunto .................

I

1.217

Sean A = (a,b,c) y B = [1,2].

'Cuál será su conjunto intersección? Veamos: A y B no tienen ningún elemento en común, luego su intersección es el conjunto vacío:

A n B = ....

vacío

1.220

Definición:

Conjuntos disjuntos son los que no tienen ningún elemento en común.

Su intersección es el conjunto vacío.

58 Conjuntos

1.221

si A = (2,4,6[ y B = {1,3,5], A n B = .......

Los conjuntos A y B son conjuntos ...................

Represéntelos gráficamente:

1

4 disjuntos

6

SiendoA = {r,s,t,u,v), B = {f,u,r,t,i,v,ol y C = {i,n,t,r,u,s,o),

................. A ~ B ~ C = 1 1

El diagrama de A í l B íl C es:

Ir,t,ul .... S i R C S , R n S =

Consideremos los conjuntos A = [monte, río) y B = {nube, lagol

A íl B = .... y por lo tanto, A y 8 son conjuntos ....................

R 4 disjuntos

1.224

Si ha contestado acertadamente a los dos cuadros anteriores, puede pasar al cuadro 1.235.

Si ha cometido algún error o no ha sabido contestar a alguna cuestión, le interesa continuar en el cuadro siguiente.

lnterseccidn de conjuntos 59

1.225

Recuerde que el conjunto intersección de varios conjuntos esta formado por los elementos comunes a todos los conjuntos.

Si A = (100,250,500) y B = (100,300,500),

A ~ B = ( ................. l .

1.226

A = (imparesl y B = (9,10,11,12,13)

................. A ~ B = 1 ..... ¿A y B son conjuntos disjuntos? porque su intersección no

es un conjunto vacío.

1.227

M = (números menores que 101, N = (números mayores que 2) y R = (1,2,3,4,5,6).

El conjunto intersección de los tres conjuntos es:

M n N n R = 1 ................. 1.

1.228

.... Sean A = (6,7,8,9] y B = 16,9). i B es un subconjuntos de A?

.......... A ~ B = ( 1. Dibuje el diagrama de A í l B:

60 Conjuntos

disjuntos 6 N o

Sí 16.91 A

1 230

Observe el siguiente diagrama:

A = [ .......................... 1 B = 1 ................. 1 A ~ B = ( ........ 1

iSecurnplequeA n B = B ? ....

1 229

A = (1,3,5,7,91, B = (2,4,6), C = [1,2,31.

A y B son conjuntos .......................... y por ello, su intersec- .... ciónA n B =

¿A y C son conjuntos disjuntos? ....

15,10,15,20) 115,201 115.201 sí

1.231

Dibuje el diagrama de la intersección de los conjuntos:

A = (c,o,r,t,i,n,a), B = [c,i,n,t,aJy C = [t,r,i,n,oj.

A n B i i C

A = [1,2,3,4,5), B = [1,3,4,5,6,7,81 y C = 11,2,3,4,7,8,91.

................. ~n B ~ I C = 1 l.

El diagrama de A íi B f l C es:

Propiedades de la unidn de conjuntos 61

l1,3,4) A n B n C

PROPIEDADES DE LA UNlON DE CONJUNTOS

S i S C R, R n S = .... Consideremos los conjuntos A = (luna) y 6 = [sol, martel.

A n B = .... y por lo tanto, A y B son conjuntos ...................

S cb disjuntos

1.235

a) ldempotente: la unión de todo conjunto consigo mismo es igual a dicho conjunto:

püxq Ejemplo:

Si A = (1,2,3], A U A = (1,2,3) = A.

1.234

Si ha acertado las respuestas de los dos últimos cuadros, puede pasar al cuadro siguiente.

En caso contrario, es conveniente que pase al cuadro 1.196.

1.236

bi Asociativa: En la unión de 3 conjuntos A, B y C, podemos asociar los dos primeros o los dos últimos sin que cambie el resultado:

( A U B ) U C = A U í B U C )

62 Conjuntos

1.237

Ejemplo de comprobación de la propiedad asociativa de la unión: Sean los conjuntos A = (3,5), B = (3,7] y C = (2,3,7].

A U B = (3,5,7]

( A U B) U C = (2,3,5,7)

B Ll C = (2,3,7)

A U (B U Ci = (2,3,5,7)

Luego: ( A U B) U C = ..........................

1.239

Ejemplo de la propiedad conmutativa de la unión:

Sean los conjuntos A = (a,b] y B = (b,c,d).

A U B = (a,b,c,d].

B U A = (a,b,c,d].

luego: A U B = .................

A U í B U C i

B U A

1.238

c i Conmutativa: Si al realizar la operación uni6n cambiamos el orden de los conjuntos, el resultado no varía:

1

1.240

Propiedades de la Unión

-1dempotente: A U A = A

-Asociativa: ( A U B) U C = A U (B U Ci

-Conmutativa: A U B = B U A

Trate de retenerlo antes de continuar.

Propiedades de la interseccidn de conjuntos 63

-

PROPIEDADES DE LA INTERSECCION DE CONJUNTOS

1.241

La unión de conjuntos tiene las propiedades:

..........................

..........................

..........................

ldempotente Asociativa Conmutativa

1.242

Propiedades de U

- .... ldempotente - A U A =

- ................. - ( A U B U C = A U ( B U C ) - - Conmutativa - - ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.244

b) Asociativa: (A n B) n C = A n (B n C )

Ejemplo: SeanA = [1,2,3), B = (1,2,3,a) y C = (a,b,1,2).

A n B = 11,2,31

(A n B) n c = (1,21,

.... .... .... B n C = [1,2,a] luego(A .... B) C = A (B C)

A n (B n o = 11,21 '

A Asociativa A U B = B U A

,

>

1.243

a) Idempotente:

Ejemplo: Si A = la,b,c), A n A = (a,b,c) = A

64 Conjuntos

1.246

Propiedades de la interseccidn:

- Idempotente: A n A = A

-Asociativa: ( A n B) í l C = A f l (B n C)

-Conmutativa: A n B = B n A

Trate de retenerlas; son las mismas propiedades de la unión de conjuntos.

( A ~ B ) ~ c = = ~ r i ( B ~ c )

1.247

La intersección de conjuntos tiene las propiedades:

..........................

..........................

..........................

1.245

C) Conmutativa: A n B = B f l A

Ejemplo: Dados los conjuntos A = [1,2,3) y B = [1,2,3,a), se cumple que:

A n B = (i,2,31 , luego A f l B = .............

B n A = (i,2,31


1.248

Propiedades de n : - .......................... - A ~ A = A

- Asociativa - .......................... - .......................... - A n B = B n A

Propiedad distributiva 65

1.250

Propiedad conjunta de la unión e intersección:

a) Distributiva de la intersección respecto a la unión:

A n ( B U CI = ( A n B) u ( A n c)

b) Distributiva de la unión respecto a la intersección:

~ u ( ~ n o = i ~ u ~ i n ( ~ u c i

ldempotente ( A U B ) ~ C = = ~ n ( ~ n o Conmutativa

1.251

Propiedades distributivas:

................. A n ( B U C ) = ( A n B ) U

.......................... A U ( B n c i =

1.249

Hemos visto que la unión de conjuntos tenía tres propiedades:

U i - idempotente. - asociativa. - conmutativa.

Acabamos de estudiar también las propiedades de la intersec- ción:

r - idempotente. - asociativa. - conmutativa.

Ahora vamos a ver una propiedad conjunta: U y í' .

A n C ( A U B) n ( A U C)

1.252

A n iB U C) = ( A n B) U ( A n Ci es la propiedad ................ .......... de la .......................... respecto a la ......................

66 Conjuntos

distributiva intersección unión

1.255

La unión de conjuntos tiene las propiedades:

i - Idempotente.

- Asociativa.

- Conmutativa.

- 1.256

La propiedao lote ,, G ~ I a ~onsiste en que la unión de un conjun- to A consigo qnt3ino. da como resultado el conjunto A.

Es decir: .... .... ....

Tanto la unión como la intersección de conjuntos tienen las tres propiedades:

..........................

i -

- .......................... - ..........................

Además cumplen las dos propiedades distributivas:

.......................... ~ n i ~ u c i =

A U ( B ~ C ) = ................... .. ....

ldempotente Asociativa Conmutativa ( A n B) U ( A U C) ( A U B) n ( A u c)

1.254

Si ha respondido correctamente al cuadro anterior, puede seguir en el cuadro 1.261.


Propiedades de la unión de conjuntos 67

A U A = A

1.257

Propiedad asociativa: ( A U B ) U C = .................

Propiedad conmutativa: A U B = ..........

A U ( B U C) B U A

1.258

La intersección de conjuntos tiene las mismas propiedades que la unión, o sea:

..........................

..........................

..........................


-

1.259

Cuando decimos que la intersección de A con A da como resultado el conjunto A, estamos refiriéndonos a la propiedad ............ .......... de la .......................... de conjuntos.

idempotente intersección

1.260

Propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión:

A ~ < B U C ) = ( ~ n B ) u ( A ~ ~

Análogamente:

M ~ ( N U R ) = ..........................

68 Conjuntos

SUMA DE CONJUNTOS

(M N) U (M R,

1.262

Los conjuntos A = (3,5,6) y B = (1,7,8) no tienen elementos co- ................ munes, por lo que su intersección es el conjunto .:

A n B = 4

1.261

En los cuadros siguientes se exponen las ideas bgsicas de una nueva operación con conjuntos: la suma de conjuntos.

Como no es muy importante, si no le interesa puede pasar directamente al cuadro 1.270.

Si, por el contrario, le interesa o siente curiosidad por el tema, pase al cuadro siguiente.

vacío

1.263

Los conjuntos A = (3,5,6) y B = (1,7,8) del cuadro anterior tienen intersección vacía, por lo que decimos que A y B son conjuntos disjuntos.

......... i C = (mesa, silla J y D = (papel) son conjuntos disjuntos?

r

1.264

Unamos los conjuntos disjuntos A = (3,5,6) y B = (1,7,8):

A U B = f.......................... 1 Al conjunto A U B. siendo A y B conjuntos disjuntos, se le llama conjunto suma de A y B.

Suma de conjuntos 69

1.266

Definición:

Se llama suma de conjuntos a la unión de conjuntos disjuntos. Se representa por el símbolo + .

13.5,6,1,7,8)

1.267

Es decir:

S i A f l B = 4 , A U B = A + B

¿Se pueden sumar dos conjuntos que no sean disjuntos? .......

1.265

El conjunto suma de A y B se simboliza por A + B.

En el ejemplo anterior:

A U B = (1,3,5,6,7,8) y A í l B = 4 , luego podemos escribir:

A + B = [1,3,5,6,7,81.

1.268

Al escribir A + B, ya suponemos que A y B son conjuntos ... ..... ..................... ¿Se pueden sumar A = (a,b,c) y B = (vocales)? . . . . Sume los conjuntos D = [2,4,6) y = [1,8):

D + E = ( .......................... 1.

70 Conjuntos

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

disjuntos N o l2,4,6,1,81

1.269

Dados los conjuntos A = (pez, sol], B = (río, luz] y C = (agua, rayo 1. ¿Se pueden sumar? ...., porque entre sí son conjuntos ..........................

A + B + C = [ ................... .. ........ .. ................... 1. Aquí termina la exposición de la suma de conjuntos. Los cuadros siguientes ya son importantes.

t I

1.271

Definición:

Conjunto diferencia A - B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Ejemplo: Si A = (1,2,3,4) y B = [2,4,5), A - B = [1,3) pues- to que:

1 E A y l @ B

3 E A y 3 .... B

Sí disjuntos [pez, sol, río, luz, agua, rayo)

1.272

Definición mediante símbolos del conjunto diferencia:

A - B = ( x / x E A , x $ B l

Análogamente:

6 - A = [ x / x E B , ......... 1.

1.270

Ya conocemos alguna operación de conjuntos. A continuación se presenta otra: la diferencia de conjuntos.

Dados dos conjuntos, A y B, su diferencia se expresa así: A - B.

Diferencia de conluntos 71

1.274

Veamos otro ejemplo: A = (p,e,d,a,z,oJ y B = {p,i,e,z,a). Elementos comunes: ....,....,.... y ....

A - B = ( ....,.... 1 B - A = li)

I x / x E B , x $ A )

1.275

En el cuadro anterior, hemos obtenido:

A - B = (d,o] y B - A = (i]

A - B es distinto de B - A, luego podemos afirmar que la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

1.273

Restar B al conjunto A es quitar a A los elementos comunes a ambos conjuntos:

Ejemplo: S i A = (a,b,c,d) y B = [a,c,e), los elementos comunes son: a y . . . . , luego:

A - B = 1b.d).

1.276 Empleamos ahora los diagramas de .......... para representar el conjunto diferencia: Si en este caso A = (a,b,c,d,e,f,gl y B = (a,c,e,g,h), se cumple que A - B = lb,d,fl, que es la parte rayada de la A-B figura.

72 Conjuntos

Venn

1.277

SiendoA = (p,e,d,a,z,o)yB = (p,i,e,z,a),B- A = ( ....)

Dibuje el diagrama de B - A:

(i 1

AQ oz oe

B-A

1.278

Sean 1 = [ingleses] y S = [solteros). El conjunto 1 - S estará formado por los elementos que .. .. .. .. .... ... .. .. .. .. .. . al conjunto 1 pero no pertenecen al conjunto ...., es decir, por los ingleses no solteros:

1 - S = [ingleses no solteros)

pertenecen S

..

1.279

El diagrama del conjunto diferencia 1 - S del cuadro anterior es:

no /// ingleses

Obsérvelo atentamente antes de continuar.

I

1.280

Siendo E = (españoles] y F = [futbolistasl, calcule el conjunto diferencia E - F y realice la representación gráfica correspondiente:

E - F = ................................ 1

Diferencia de conjuntos 73

(españoles no futbolistas)

futbolistas

Consideremos los conjuntos A = (3,4,5,6) y B = (4,6,8,10).

A - B = [3,5) ............ A - B es distinto de.

B - A = (8.10)

Dibuje la gráfica conjunta d e A - B y B - A :

1.281

Siendo R = (pan, aceite, sal] y T = [aceite, vinagre)

....................... R - T = 1 T - R = ........................ 1

..... (Son iguales R - T y T - R?

(pan, sal1 (vinagre) N o

1.282

Veamos el diagrama conjunto de R - Ty T - R:

I

B - A Si A = [2,4,6,8) y B = (1,2,3,41, los conjuntos diferencia se- ........... ........... r á n A - B = ( ) y B - A = ( l.

Dibuje el diagrama conjunto de A - B y B - A:

¿La diferencia de conjuntos .... es conmutativa?

74 Conjuntos

1.286

El conjunto diferencia de dos conjuntos A y B está formado por los elementos que pertenecen a A y no .................... .. ........ a ....

Si A = (3,5] y B = 15,6), A - B = 131, ya que 3 es el único elemento que pertenece a .... y .... pertenece a B.

l6,81 11,31

N o

1.285

Si ha respondido con acierto al cuadro anterior, está capacitado para pasar al cuadro 1.295.

En otro caso, le conviene pasar al cuadro siguiente.

pertenecen B

A no

1.287

Consideremos los conjuntos L = (letras del abecedario1 y V =

= [vocales].

L - V estará formado por las letras que no sean vocales, es decir, por las ........................ .:

L - V = (consonantesl

consonantes

1.288

El conjunto diferencia A - B se obtiene quitando al conjunto A los elementos comunes a A y B.

En el ejemplo anterior, A = 13.51 y 6 = 15.6). ..... Elementos comunes: sólo el

Por lo tanto: A - B = l..........

Diferencia de conluntos 75

1.289

Sean A = [rosa, jazmín, tulipán) y B = {clavel, rosal.

.......... Elemento común a A y B:

A - B = 1 .......................... 1 B - A = [ ................. 1

rosa (jazmín, tulipán) {clavel)

B - A

1.290

En el ejemplo anterior se ha obtenido:

A - B = {jazmín, tulipán) y B - A = [clavel).

A - B es distinto de B - A, y por ello podemos asegurar que la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

L

1.292

Dibuje el diagrama de A - B y B - A, siendo A = {25,50,75,100)

y B = {10,30,50]

1.291

Es posible representar en un sólo diagrama los dos conjuntos diferencia: A - B y ..........

obsérvelo:

76 Conjuntos

Sean M = [r,s,t,ul y N = (u,v,a,sl.

................. M - N = ( 1 N - M = [ ................. I Dibuje el diagrama conjunto d e M - N y N - M:

.... ¿ M - N = N - M ?

CONJUNTO COMPLEMENTARIO

Prt1 N,al

>

1.295

Consideremos el conjunto A = (1,2,3,4,5) y un subconjunto suyo: B = (1,3,5). Al conjunto B le faltan dos elementos (el 2 y el 4) para ser igual que el conjunto A.

Al conjunto (2,4) formado por esos elementos se le llama complementario del B respecto al A.

1.294

1.296

Definición:

Dados un conjunto A y un subconjunto suyo, B, se llama conjun- to complementario de B respecto de A al conjunto formado por los elementos que faltan a B para ser igual que A.

Complementario de B en A se escribe: Bá 6 E,. Otras veces se escribe simplemente B'.

Si ha cometido algún error, es conveniente que pase al cuadro 1.271.

Si todas sus respuestas han sido correctas, pase al cuadro siguiente.

M-N N-M No

Conjunto complementario 77

1.297

Si M = [r,s,t,u,v) y N = Is,u), el conjunto N& = Ir,t,vl es el ..... .......................... de N respecto a M.

¿N es un subconjunto de M? ....

complementario Sí

1.300

Veamos un ejemplo:

Si A = [1,2,3) y B = [3,5), podemos hallar el conjunto diferencia: A - B = (1,2j, pero no podemos hablar de complementario de B respecto a A porque B no es un ........................... de A.

- 1.298

Consideremos los conjuntos de pintores:

P = [Picasso, Goya, Renoir, Velázquez, Rúbens] y

R = [Renoir, Rubens)

... . ,j R es un subconjunto de P?

R ' = 1 ..................... .. 1 ........................

Sí [Picasso, Goya, Velázquez)

1.299

Las definiciones que hemos dado de conjunto diferencia A - B y de conjunto complementario BÁ, son muy parecidas, pero no son iguales.

Para hablar de conjunto complementario de B en A, es impres- cindible que B sea subconjunto de A, condición que no se exige para la diferencia de conjuntos.

78 Conjuntos

subconjunto

1.391

Representación gráfica del conjunto complementario:

Sean A = (7,17,27) y B = (7,271.

B ' = l....].

Observe el diagrama:

(oro, níquel)

1.302

Si A = loro, plata, níquel) y B = (plata), jcuál es el conjunto complementario de B respecto de A ?

E , = ( ................. l Haga su representación gráfica.

1 .M3

Si B es un subconjunto de A, el conjunto diferencia A - B y el conjunto complementario son iguales:

S i B C A - A - B = B á

Veamos un ejemplo en el cuadro siguiente:

1.304

Sean A = (rojo, verde, azul) y B = (rojo).

i B e s un subconjunto de A? ....

A - B = (verde, azul 1 vemos que son iguales.

Bá = (verde, azul] '

Conjunto complementano 79

1.305

Si A = (días de la semanal y cA = (lunes, miércoles, viernes], (de qué elementos constará C?

C tendrá que ser:

.................... C = [martes, jueves, sábado, 1

domingo

Si hablamos de BÁ, ¿suponernos sl i~e8 C A? ..... Sean A = (6,9,12,15) y B = (6,151.

Bá = l . . . ....... 1 El diagrama de Bá es:

1.306

Obtener B;, siendo E = [estaciones del año1 y B = Iprimavera, otoño]. Dibuje el diagrama de B;.

B; = ..........................

(verano, invierno)

B;

1.307

Sean A = (a,b,c,d,el, B = la,e), C = [a,c,el. Escriba los siguientes conjuntos complementarios:

Bá = l . . . .............. 1 B; = l . . . . . . . . . . )

......... c:, = [ . 1

80 Conjuntos

1.310

Dado un conjunto total A, y una parte de él, que llamaremos B. el complementario de B es la parte que falta para ser el total.

Si A es el rectángulo total y B, el A triángulo de la derecha, Bá es la zona rayada:

sí 19,121

1.311

Raye el complementario de B:

i B es un subconjunto de A? ......

1.309

Si ha respondido correctamente al cuadro anterior, lea el Resu- men del tema. Le servirá de repaso del mismo.

En otro caso, pase al cuadro siguierlte.

Sí

1.312

Si D = {p,e,r,s,o,n,a] y P = (p,e,s,ol, P; = i................. 1

Dibuje el diagrama de P;:

-

Conjunto complementario 8 1

1.314

Observe el diagrama:

B Q:

.... L B es un subconjunto de A?

¿Se puede hablar de complementario de B en A? . . .., porque ....

(r,n,al

D

Al hablar de Ci, estamos suponiendo que C.. .. B.

Sean B = (60,70,80,90) y C = (70).

c; = (. ................ 1 Dibuje el diagrama de Ci :

1.313

Si A = (1,2,3,4,5,61 y B = (1,6j, BA = 1 ................. 1.

L B está contenido en A? ....

C

(60,80,901

1.316

Si ha fallado alguna contestación, debe regresar al cuadro 1.295 para repasar el concepto de conjunto complementario.

Si todas sus respuestas han sido correctas, lea el resumen del tema; le proporcionará una visión global del mismo y le servirá de rápido repaso de los conceptos más destacados de la presente lección.

RESUMEN

CONJUNTO

Un conjunto es una colección de cosas llamadas elementos.

Definir un conjunto es indicar los elementos que le pertenecen.

Hay dos formas de definirlo:

a) Por extensión: escribiendo todos sus elementos entre llaves, separados por comas.

b) Por comprensión: expresando, entre llaves, una propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto y sólo ellos. La propiedad se puede indicar con palabras o mediante diversos símbolos matemáticos.

Los conjuntos se representan gráficamente mediante diagramas de Venn.

Conjunto unitario es el que sólo tiene un elemento.

Conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento. Se representa por el símbolo 6.

SIMBOLOS DE PERTENENCIA E INCLUSION

El símbolo de pertenencia es E. Se utiliza para relacionar un elemento con un conjunto: b E A, que se lee: rtb pertenece a A».

El símbolo de inclusión es C . Se utiliza para relacionar dos conjuntos. Por ejemplo: A C B, que se lee: « A está incluido en B» o «A está contenido en B».

SUBCONJUNTO

Un conjunto A es subconjunto de otro B si todo elemento de A también es elemento de B.

Para expresar que A es un silbconjunto de B se emplea el símbolo de inclusión: A C B.

Todo conjunto no vacío tiene al menos dos subconjuntos: él mismo y el conjunto vacío, Ilama- dos subconjuntos impropios. Todos sus demás subconjuntos son propios.

CONJUNTO DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO

Conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Se indica por P(A).

Los elementos de P(A) son al mismo tiempo conjuntos, puesto que son subconjuntos de A.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión

Diferencia

84 Conjuntos

UNlON E INTERSECCION DE CONJUNTOS

Unibn de dos conjuntos A y B es el conjiinto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. Se indica por A U B, que se lee: «A unión B».

lnterseccidn de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a 6, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos.

Se indica por A rl B, que se lee: «A intersección B».

Propiedades de la unión e intersección:

1 ldempotente 1 ldempotente Unión Asociativa Intersección Asociativa

Conmutativa Conmutativa

Además, la unión es distributiva respecto a la intersección, y la intersección es distributiva respecto a la unión.

SUMA Y DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento común. Su intersección es el conjunto vacío: A fl B = 6.

La unión de conjuntos disjuntos A y B se llama suma de dichos conjuntos. Se indica por A + B, que se lee: «A más B».

Diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se indica por: A - 6, que se lee: «A menos B».

CONJUNTO COMPLEMENTARIO

Si un conjunto B es subconjunto de otro A, llamamos conjunto complementario de B respecto a A al conjunto de elementos que le faltan a B para ser igual a A. Se indica por B., 6 BÁ.

EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION

TEST

Encierre en un círculo la letra correspondiente a la respuesta que considere correcta en cada una de las cuestiones siguientes:

1. Si A = (letras del abecedario] y V = (vocales], indique cuál es la relación correcta:

a) V C A

b) A C V

C) V E A

2. El conjunto D = (1,8] tiene cuatro subconjuntos: 4, (1 1, (8) y (1,8]. Si tomamos estos cuatro conjuntos como elementos de un nuevo conjunto, habremos construido:

a) el conjunto complementario de D

b) el conjunto de las partes de D

C) nada, porque un conjunto no se puede tomar como elemento de otro conjunto.

3. Si A y B son dos conjuntos disjuntos siempre se cumple que:

a) ( A U B ) U A = A

b) A U ( A ~ B ) = B

C ) ( A ~ B ) U A = A

4. El conjunto diferencia A - B:

a) es un subconjunto de B

b) es un subconjunto de A

C) no tiene porqué ser subconjunto de A ni de B

5. Dados dos conjuntos A y B, la igualdad (A U B) fl A = A:

a) nunca puede cumplirse B

b) se cumple en algunos casos pero en otros, no

C) es cierta siempre, sean cuales sean los conjuntos A y B

6. El conjunto complementario de B respecto de A:

a) sólo existe si B es un subconjunto de A

b) existe siempre

C) sólo existe si A es un subconjunto de B

7. Si R = (1,3,5,7) y S = [1,7] podemos afirmar que:

a) ~ C R ~ I C S

b) 5 E R y $!S

C) R C S y S @ R

8. Consideremos los conjuntos A = (x,y,z), B = (y,x,zl y c = ltres últimas letras del abecedario). Podemos afirmar que:

a) los conjuntos A, B y C son distintos entre sí

b) A = B. pero C es distinto de lo dos primeros

C) A = B = C .

86 Conjuntos

9. Dados los conjuntos M = [2,5), N = [1,2,4] y L = (1,2,4,5), se cumple que:

a) (MnN)u i = N

b) M; C N

C) N U M ; = L

10. Indique la respuesta correcta, si A = (a,b,c, J, B = (a,c] y L = (letras del abecedario]:

a) B; n A = (b)

b) ( A ~ L ) U B = B

C ) (6 - A ) U L = 6.

EJERCICIO 1.1

a) Definir por extensión el conjunto A = (cuatro primeras letras del abecedario].

b) Definir por comprensión el conjunto G = (La Coruña, Lugo, Orense, Pontevedra).

C) Definir por comprensión mediante símbolos, el conjunto F formado por todos los números mayores o iguales que 2 y menores que 7.

EJERCICIO 1.2

a) Escribir el conjunto de las partes de A, siendo A = [c,d,e,].

- b ) Si un conjunto D tiene 6 elementos, jcuántos elementos tiene el conjunto de sus partes?

EJERCICIO 1.3

Dados los conjuntos A = [4,5,6,7), B = (1,5,8] y C = [4,7] obtener.

a) El diagrama de Venn de los tres conjuntos.

b) A U B

C) A ~ B ~ C

d) ( e - A) U C

e) Cá - B

f ( A - B ) á U C

Tema 6: TRIGONOMETRIA

Grado y radián. Razones trigonométricas de un ángulo. Relaciones entre ellas. Razones del ángulo suma y del ángulo doble. Resolución de triángulos rectángulos. Gráfica de las funciones trigonométricas.

En este tema se presentan los conceptos y relaciones principales de la trigonometría, cuya utilizacih, tan frecuente en matemáticas, konviene conocer. Es un tema que sirve de base para otros posteriores, como la geometría analítica o los números complejos, de ahí su importancia.

En él también se trata de habituarle a las operaciones con radicales.

Al finalizarlo, será capaz de:

- Expresar un ángulo en grados o radiantes. - Calcular todas las razones trigonométricas de un ángulo a par-

tir de una de ellas. - Obtener las razones del ángulo suma de otros dos o del ángulo

doble de uno dado.

Unidades par¿ medir dngulos 433

UNIDADES PARA MEDIR ANGULOS

6.1

Aunque existen muchas unidades para medir ángulos: grado sexagesimal, grado centesimal, minuto, etc., consideraremos úni- camente las dos unidades más utilizadas: el grado sexagesimal y el radidn.

6.2

Si dividimos una circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un ángulo bastante pequeño: es un ángulo de un grado sexagesimal.

A partir de ahora le llamaremos simplemente grado. (B

6.3

Para obtener un ángulo de un grado tenemos que dividir la circunferencia en .......... partes iguales.

El simbolo del grado es un pequeño cero que se coloca en la parte superior derecha del número.

.......... Así, 2 2 O significa veintidós

360 grados

6.4

Teniendo en cuenta el cuadro anterior, podemos afirmar que una circunferencia tiene .......... grados.

45' se lee: ((cuarenta y cinco ................. )) Veintiocho grados se escribe: ..........

434 Trigonometría

6.6

Definición:

Radián es el ángulo cuyo arco tiene una longitud igual al radio radian de la circunferencia.

Su abreviatura es «rad.».

360 grados

28"

6.7

El ángulo tal que su arco tiene una ............. igual al radio de la circunferencia se llama .......... y equivale a algo más de 57".

>

6.5

Si tomamos un arco de circunferencia que mida igual que el radio, como se muestra en la figura, al ángulo formado se le llama radián.

¿Un radián es menor que un án- gulo recto? ...

longitud radián

6.8

La longitud de una circunferencia es 27r (dos pi) veces la de su radio, como puede observar en la figura, luego una circunferencia tiene ......... radianes, es decir, aproximadamente 6,28 radianes.

Relacidn entre grados y radianes 435

RELACION ENTRE GRADOS Y RADIANES

2s radianes

rad.

45" 45 x 2a - x = --- -

360 7r

= - rad. 4

Una circunferencia tiene 360 grados ) , luego: Una circunferencia tiene 2s radianes

1 360" equivale a ................................... 1

Si 360" equivalen a 27r radianes, para calcular a cuántos radianes equivalen 90" basta con realizar una regla de tres:

361)" - 2s rad.

Un ángulo de 45". jcuántos radianes tiene?

360" - 2s rad. - - x = --- - ............. ........

90°= ..... rad. 6.12 Complete la figura

s 45" = - rad.

@ ..... = ..... rad. 0" = 0 rad.

4

- - ....................

436 Trigonometría

7r - rad. 2

Averigüe cuántos grados tiene

2a 180" = ~ r a d un ángulo de - radianes y re-

3 presente su posici6n en la figura.

276=3* rad. 2

27r rad - 360O L r a d - x = 3 2* x 3 6 0

- 3 - 120" 2n

2a rad. - ........ - rad. -- x = --- - .......... ....

6.14

Calcule cuántos grados tiene un

3* ángulo de - rad. y dibuje su

5 posición aproximada en la figura.

2a - 360 37r - - , y = 5

x 360 - 5 - 108"

2*

....... ....... Una 6ircunferencia tiene grados o radianes. [.;;] 37r

LA cuántos grados huivalen - radianes? 2

....... ....... - - x = - .......... - .......

(A cuántos radianes equivalen 120'7

....... ....... - .......... ....... - - x = - -

A

360 27r

27r - 360" 3* -- x = 270" 2

360" - 2n

6.16

Si ha conseguido contestar correctamente a las preguntas plan- teadas en el cuadro anterior, puede pasar al cuadro 6.24.

En caso contrario, debe pasar al cuadro siguiente.

Relacidn entre grados y radianes 437

6.17

Una circunferencia tiene 360".

Una circunferencia tiene 2~ rad.

Por tanto, 360" equivalen a ....... radianes.

6.18

Veamos a cuántos radianes equivalen 240":

Si 360" equivalen a 27r rad.

240" equivaldrán a: x = 240 x 2* -

- .......... 360

.4* rad. 3

6.19

Calcule a cuántos radianes equivalen 180":

360" - ... rad.

- ...... x =

360" - 27r rad. 180" - x =

- - 180 x 27r - - 360

= 7rrad.

O

30, 6.20

¿Cuántos radianes tiene el ángu- lo a de la figura?

438 Trigonometría

a = 90" + 30" = = 120" 360" - 2a rad. 120" - x =

- - 120 x 2s - - 360

- 2* -- rad. 3

A Un ángulo de - rad., ¿cuántos

6.21 8

grados tiene?

Represéntelo en la figura.

22.5'

27r rad. - 360" 7r

-rad. - x 8

7r - .360 8

,y=-- - 22,5O 27r

RAZONESTRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO

6.24

Un ángulo mide 300". Averiguar cuántos radianes tiene y representar su posición en la figura.

360" - 27r rad. 300" - x

X = 300 x 27r - -

360 5* -- - rad. 3

Observe el ángulo a (alfa) de la figura. Trazando una recta vertical, se forma el triángulo rectán-

o A gulo AOB.

6.23

Si ha conseguido contestar adecuadamente al ejercicio anterior, puede pasar al siguiente cuadro.

En caso contrario, debe pasar al cuadro 6.1.

OB es la hipotenusa y OA y . . . .. . . . . . son los catetos.

Razones trigonométricas de un ángulo 439

1

6.27

El seno de un ángulo es igual al cateto ................. partido por la ..........................

O A: sen a se lee: «seno de alfa»

6.25

B En la figura, AB es el cateto

.............. opuesto al ángulo a (ya que está frente a él) y OA es el

0 A contiguo.

A los distintos cocientes que se pueden formar con los catetos y la .......................... OB se les llama razones trigonométricas.

cateto

hipotenusa

6.26

Hay seis razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

B Llamamos seno de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

o sen a = --

A

opuesto hipotenusa

AB - OB

6.28

El coseno de un ángulo es igual al cateto contiguo partido por la hipotenusa. Así:

O Al -1 cos a se lee: «. ....................... .»

440 Trigonometrle

r

OB ((copeno de alfa»

6.29

............ ..................... cateto

..................... .....................

opuesto seno - hipotenusa

cateto contiguo COS -

hipotenusa

6.30

La tangente de un ángulo es igual al cateto opuesto partido por el cateto contiguo. Por lo tanto:

tag a =

o ,--J

tag a se lee: «. ....................... .»

AB - OA

((tangente de alfa»

6.31 Además de seno, coseno y tangente, hay otras tre, razones ...... ................. que se obtienen cambiando el numerador por el de- nominador (y viceversa) en las tres anteriores. ObServelas:

A B sen a = -

OA cos a = --

AB tag a = ---

OB OB OA

OB cosec a = -

OB OA sec (Y = --- cotg a = -

A B OA AB t l

cosecante ............... l

cotangente

trigonométricas secante

6.32

Observe:

OA cotg a = - = AB

OA Por lo tanto, la cotangente es la inversa de la ........................

Razones trigonométricas de un Bngulo 441

tangente

6.33 ............ cateto

tangente = .....................

La cotangente es la inversa de la tangente, luego:

............... ." ... cateto ............

opuesto cateto contiguo

cateto contiguo opuesto

1 cos a

seno

1 sen a

Análogamente podríamos ver que: 6.34 la secante es la razón inversa del coseno:

sec a = - ..... D

la cosecante es la razón inversa del ..............

cosec a = - ..... rl

6.35

seno AB : sen a = -

.....

..... ..... - coseno - - ..... O ..... - tangente : ..... - -

.....

AB - OB OA

COS a = - OB AB

taga = - OA

6.36

OA cotangente : cotg a = -

.....

..... secante : ..... - - -

..... o ..... - cosecante : ..... - - .....

442 Trigonometrla

OA - AB OB sec LY = - OA 08 cosec LY = - AB

6.37

Escriba las razones trigonométricas del ángulo íbeta) de la figura :

N sen 0 = - cosec p = -

cos (3 = - sec = -

O M tag 0 = - cotg = -

MN ON - - ON M N

OM ON - - ON OM

- M N OM - M N OM

6.38

Complete las razones trigonométricas del ángulo x de la figura:

OA - cateto opuesto B senx = -

A OB - ..................

o A cos x = - tag x = -

hipotenusa

A B - OB

- OA AB

6.39

Calcule el valor de las 6 razones trigonométricas del ángulo (Y de la figura.

/A/ 3 sen LY = - cotg (Y = -

COS (Y = - sec (Y = -

tag (Y = - cosec (Y = - -4-

3 - 4 -

5 3

4 5 - - 5 4

3 - 5 - 4 3

6.40

Calcule las dos razones que faltan:

4

4 seno= -=0 ,8 c o s o = - = ..... t a g P = - = .....

5

Razones trigonométricai de un Bngulo 443

3 - = 0,6 5

- - - 1,33 3

C-omplete las definiciones:

............ ..................... A - - cateto

seno

..................... 3 coseno =

.....................

..................... tangente =

4 ..................... 3

sen a = - cos a = - tag a = --

cotg a = - sec a = - cosec a = --

opuesto

hipotenusa

cateto contiguo

hipotenusa

cateto opuesto

cateto contiguo

3 4 3 - - - 5 5 4

4 5 5 - - - 3 4 3

6.44 ............

coseno = hipotenusa

...................

, 4 4 3

4 - COS a = -

5 - hipotenusa

COS p = ...

4

6.42

Si ha contestado correctamente a todas las preguntas plantea- das, esta preparado para pasar al cuadro 6.54

En caso contrario, pase al cuadro siguiente.

i

6.43 cateto opuesto

Recuerde: seno = hipotenusa J

Por lo tanto:

3 - cateto opuesto sena = -

5 - hipotenusa

..... senb = - - cateto opuesto

4 ..... - hipotenusa

444 Trigonometrle

contiguo

contiguo

6.45 ............ cateto tangente =

cateto ............ 1 A 3

3 .....

tag (Y = -

tag P = .....

4

..................... seno =

..................... coseno =

.....................

opuesto contiguo

4

4 - 3

>

6.46

La inversa de la tangente es la cotangente

La inversa del coseno es la ................. La inversa del seno es la ..........................

cateto opuesto hipotenusa

cateto contiguo hipotenusa

cateto opuesto cateto contiguo

6.47

sen (Y = - = 0,6

..... cos (Y = - =

tag (Y = - = ..... 20

Razones trigonomdtricas de un Bngulo 445

secante

cosecente

6.49

1 cotg a = -

1 1 sec a = - cosec a = -

..... tag a .....

cosa sena

6.50

sen a = - cotg a = -

cos a = - sec a = -

12 tag a = - cosec a = -

9 - 12 - 15 9

12 15 - - 15 12

9 15 - - 12 9

>

6.51

cos p = - cotg p = -

sen a = - sec a = -

12

9 9 - - 15 12

9 - 15 - 15 12

..................... tangente = ..................... seno =

..................... e....................

AB sen a = - cotg (Y = -

A. cos a = - sec a = -

O tag a = - cosec a = -

446 Trigonorne tria

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRlGONOMETRllCAS DE UN ANGULO

cateto opuesto

hipotenusa

cateto opuesto

cateto contiguo A 6 OA - - 06 AB

OA 06 - - 06 OA

AB 06 - - OA AB

Sabemos que:

cateto opuesto sen a =

hipotenusa 0

¿Un cateto puede ser mayor que la hipotenusa? ...... luego el numerador de sen a nunca puede ser ............... que el denomina- dor y por ello, el cociente es siempre menor o igualque 7:

6.53

Si ha conseguido responder con acierto al cuadro anterior, puede pasar al siguiente. En caso contrario, debe pasar al cuadro 6.24.

No

mayor

1

6.55 cateto contiguo

cos ff = hipotenusa

Como cateto s hipotenusa, el coseno de un ángulo tiene que ser .......... o igual que 1:

c o s a I .....

menor

1

6.56 Relacidn entre seno y coseno

Por el teorema de Pitágoras:

O A62 + OA2 = 0B2

dividiendo por 0B2: AB2 OAZ OBZ - + - = = 1 OB2 0B2 OBZ

A 6 OA Pero-=senay-= ....., luego: sen2a + cos2a = 1 OB 0 B

Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo 447

COS a

1

sen a + cos2 CY = 1

9 10 . . . + - = - # 1 16 16

no

... + (0,812 = = 0,36 + 0,64 - 1

cos 2 a

Sí

6.57

La suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo a cualquiera es igual a ....

- - .......... + . . . . . . . . . . . . . . .

Esta relación es muy importante. No la olvide.

6 . G

1 3 i- y - pueden ser los valores del seno y coseno de un ángu-

4 4 lo a? Veamos si cumplen la relación: sen2 a + cos2 a = 1

(a)' + (+)' = l + - = - + ...... luego ..... pueden 16

ser el seno y coseno de ningún ángulo.

6.59

Veamos si 0,6 y 0,8 pueden ser los valores del seno y coseno de un ángulo:

- - .......... . . . . . . . . . . . . . . . iO,6l2 + = 0,36 + .......... Se cumple la relación sen2 a + = 1, luego:

i0.6 y 0,8 pueden ser seno y coseno de a? .....

Relacibn de la tangente con seno y coseno.

AB

08

OA A"'@ sen CY = - cos = -

OB

AB 0 A -

----- AB - OB - ; pero - = taga, cosa OA OA OA -

OB

portanto: -1

448 Trigonometrfa

6.61

La tangente de un ángulo se puede obtener dividiendo el seno entre el coseno:

tag a = 1

sen a

COS a

9

6.62 3 4 . Si sen a = - y cos a = - 5 5

..... - ..... - ..... taga = - - -

..s.. ..... -

. . . . u

b

-

6.63

Si sen a = 0,6 y cos a = 0,8 :

..... - taga = - - ..... .....

0.6 = 0.75 0.8

6.64

Otras relaciones:

La cotangente es la inversa de la tangente:

Relaciones entre las razones trigonombtricas de un ángulo 449

tag a

6.65 La secante es la inversa del coseno:

sec a = 2.L .....

La cosecante es la inversa del .............. .:

cosec CY = "' .....

b

1 cos a

seno

1 sen a

6.66 1 d3 1

Si sen = -, cosa = - y tag a = -: 2 2 J 3

1 - 1 - J3 - J3 cotga = - - - - - -- - tag a 1 1 -

4 3

1 - 1 - ... 1 1 seca = - - - - C O S ~ C = -- = -- = ... cos a ..... ..... - ...

-

..... ...

. 2 1 - J3 J3 - 2

1 - - 2 sen a 1

2

6.67 sen <Y

Complete las relaciones: tag CY = - .........

..... sena 5 ..... cosa I ..... sen2a + cos2a =

1 cotg a = -

1 seca = --

1 cosec a = -

..... ..... .....

r

cos a

1 1 1

tag a cosa sen a

6.68 4 1 Si sena = - y cosa = -, calcule: 2 2

1 ..... taga = = cotga = -- ... ...

..... ... sec a = - = ..... cosec a = - = .....

... ...

450 Trigonometrla

-- 1 -a;- 112 a

1 - 1 - 2 - - 2 ; - - - 1 J3 J3 - - 2 2

Escriba la relación entre el seno y el coseno de un ángulo:

....................................

..... sen a ..... 1 cosa ..... 1 tag a = -

..... 1 1 1 COtg a = - sec <.Y = -- cosec a = --

..... ..... .....

seri2 (Y + cosZ a = 1

sen a 5 _i -

cos a

taga cosa sena

menores

1 5 1

6.70

Si ha conseguido escribir correctamente las relaciones solicita- das, puede pasar al cuadro 6.79

Si ha fallado alguna respuesta, pase al cuadro siguiente.

6.71

Tanto el seno como el coseno de un ángulo tienen que ser siempre .................... o iguales que 1 :

sena S ..... cos a ..... u m

6.72

El seno y coseno de un ángulo no pueden tomar valores cuales- ................. quiera, pues, además de ser menores o que 1, tie-

nen que cumplir la relaci6n:

- - senZ a + . . . . . . . . . . . . . . .

Relaciones entre las razones trigonom&tricas de un Bngulo 451

coseno

sen cx

iguales

... + cos2a = 1

6.74

Cotangente, secante y cosecante son las razones inversas de tangente ............... y ..............., respectivamente:

6.73

La tangente de un ángulo se puede obtener dividiendo el seno .......................... entre el

........ tag a = --

h

coseno seno

tag a cosa sena

2

6.75 JZ JZ Si sen (Y = - y cosa = -, calcule: 2 2 ... - ...

taga = - = 1 ... ... cotgcr = - = ... ... -

... 1 1 ... ............... seca = - = - = cosec a = - = ... ...

JZ - 2 - --

1 1 ; - = 1

J 2 1 - 2

1 - - 4 2 J 2 J 2 - 2 1

- - J 2 J 2 J 2 - 2

6.76

1 J3 Si sen CY = - y cosa = ---, calcule: 2 2

t a g ( ~ = - = ... c o t g ~ = - = ...

... ... s e c a = - = coseccr=-=

452 Trigonometría

1 -

2 A-.___- 1 1 - J 3 J3 J 3 ' 1 - 2 J3

1 - 2 1 - - - 2 J3 J3 ' 1 --

2 2

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

Complete las siguientes relaciones:

sen (Y 5 ... cosa ... 1 sen2 (Y + .... . = 1

1 tag (Y = -- cotg (Y = -

sec (Y = - cosec U. = -

1 , 5 cos2 <Y

(Y tag tu cos ru

1 1 -- cos (Y sen ( Y

6.79

Dibujando unos ejes coordena- dos horizontal y vertical, el plano queda dividido en cuatro partes, llamadas cuadrantes, que se nu- meran como se indica en la figli- ra. Escriba el que falta.

6.78

Si ha conseguido completar correctamente las relaciones anteriores, puede pasar al cuadro siguiente.

En caso contrario, le conviene pasar al cuadro 6.54.

Los ángulos menores de 90' pertenecen al . . . . . . . . . . . ... cuadrante.

Los ángulos comprendidos entre 180 270" y 360" pertenecen al cuarto .....................

Signo de las razones trigonom4trtcas 453

primer cuadrante

vertical

CD

Para representar gráficamente el seno de un ángulo a (alfa), dibu- jamos una circunferencia de radio = 1. Entonces:

cateto opuesto - A6 - A 6 sen a = - - - - = m , por lo tan-

hipotenusa O6 1 to, el seno viene representado por el cateto vertical.. . . .

6.82

En una circunferencia de radio unidad, jel seno de un ángulo es- tá representado por el cateto horizontal o vertical? ..................

En la figura, sena = A 6 y sen 0 = .....

Análogamente: 6.83

cos a = cateto contiguo - -

hipotenusa

- OA - OA - m , iue- O6 1

go el coseno de un ángulo está representado por el cateto horizontal .....

i

En la figura de la derecha:

sena = A 6 cosa = .....

sen P = . . . . . cos 0 = . . . . .

454 Trigonometrla

negativo

OA

CD OC

6.86

El coseno de un ángulo es positivo si su gráfica está a la derecha del eje vertical, y negativo en caso contrario.

En la figura, cos a es .......... ...., mientras que cos es ..............

6.85 Reglas del signo de las razones trigonombtricas

El seno de un ángulo es positivo si su gráfica está por encima del eje horizontal, y negativo en caso contrario.

En la figura, sen a es positivo y sen 0 es .................

positivo

negativo

El signo de las demás razones tri- 6.87 gonométricas depende de los signos del seno y del coseno. Así, si el sen a es negativo y el cos a es positivo:

sen a neg tag a = - - = negativo

COS a pos.

1 1 cotg (y = - 3 - = .......... tag a neg. @ a

negativo

Si sen a y cos a son negativos:

sen a taga =-- positivo

cos a

1 .......... COtg a = - - tag a

1 .......... sec a = - - cos a

1 cosec a = - - ..........

sen a

Signo de las razones trigonomdtricas 455

neg. I pos. pos. neg .

positivo

negativo

negativo

segundo

negativo

negativo negativo

negativo positivo

El signo de las razones trigonom6tricas depende del cuadrante al que pertenezca el ángulo. 6.89

Complete los que faltan en la figura. 1 ." cuadrante

sen - pos. sen - pos. cos - neg. COS - pos.

tag - pos.

sen - ... sen - ... cos - ... cos - ... tag - ... tag - ...

6.90 .......... Si 90" S a IC 180°, a pertenece al cuadrante,

y por lo tanto los signos de sus razones trigonométricas serán:

sen U. - positivo cotg a - ........... cos a - .......... sec U. - ............. tag U. - .......... cosec (Y - ..........

6.91

Si esta es la primera vez que lee este cuadro, pase al cuadro siguiente.

En otro caso, pase al cuadro 6.84.

sen a esth representado en la figura por el cateto ..... .... y cos a, por .; a pertenece al

......................... cuadrante, y por ello los signos de sus razones trigonométricas son:

sen a - .......... cotg a - .......... cos a - .......... sec a - .......... tag a - .......... cosec a - ..........

456 Trigonometrla

sen a está representado en la figura por el segmento ..... y cos a, por .... .; CY pertenece al ................... cuadrante.

Escriba los signos de sus razones trigonométricas:

sen a - .......... cotg (Y - .......... cos a - .......... sec a - .......... tag a - .......... cosec a - ..........

AB OA

segundo

positivo negativo

negativo negativo

negativo positivo

i

6.93

Si ha respondido correctamente al cuadro anterior, puede pasar al cuadro 6.96.

En caso contrario, pase al cuadro 6.79.

TABLA DE LAS RAZONES DE LOS ANGULOS MAS UTILIZADOS

AB OA

cuarto

negativo negativo

positivo positivo

negst.do I iegativo

6.96

Por su frecuente uso, conviene saber de memoria las razones tri- gonométricas de 30°, 45' y 60".

Antes de escribir la tabla, daremos algunos datos e indicaciones que favorecen su memorización.

6.95

Si ha conseguido responder correctamente a las cuestiones plan- teadas en el cuadro anterior, puede pasar al cuadro siguiente.

En caso contrario, debe volver al cuadro 6.79.

Tabla de las razones de los ángulos más utlilzados 457

6.97

Observe un ángulo de 30 grados. Su hipotenusa OB mide exactamente el doble que el cateto opuesto AB, por lo tanto:

sen 30" = - = - - OB 2 , AB

El seno de 30 grados vale . . . . .

1 - 2

1 J3 - - 2 2

6.98 Como se tiene que cumplir que: sen2 30" + cos2 30" = 1 y ya sabemos que sen 30" = - , podemos despejar el valor de

cos 30" : ...

cos230° = 1 - sen2 30" = 1 -

COS 30" = \/3q =

sen 30" = -- y cos 30" = -

6.99

Ya sabemos que sen 30" = ..... y cos 30" = ..... . Para calcular tag 30" basta con dividir su seno entre su coseno:

1 -

sen 30" - 2 - 1 . 2 - tag 30" = --- - --- - - - - - . . . . . . . . . . . J3 2 J3 ti3 -

2

tag 30" = 2

1 J 3 - 2 2

cos 30"

J 3 - 3

En la figura se observa que: 6.100

OA sen60" = - = cos30°

OB

AB O A ~ 0 ~ 6 0 " = - = ..... 30"

O B Por lo tanto, sabiendo el seno y coseno de 30" se conocen tam- bién los de 60", ya que:

458 Trigonometría

sen

sen 30"

cos

6.101

Finalmente, observe un ángulo de 45". Se puede obtener dividiendo en dos partes iguales un cuadrado, mediante una diagonal

I OB; por lo tanto, los catetos opuesto y contiguo son iguales,

A y por ello:

El ángulo de 45" tiene iguales su seno y su .......... . Hallemos su valor: 6.102

sen2 45" + cos2 45" = 1

senZ 45 + sen2 45" = 1

2 sen2 45 = 1

coseno

J2 - 2

6.103 Como el seno y coseno de 45" son. ............., el valor de su tangente es:

sen 45" - tag 45" = --- - - - sen 450 - O cos 45" sen 45"

iguales

1

Con los datos aue hemos ido obteniendo, ya podemos &10q construir la tabla:

seno

coseno

tangente

60" J3 - 2

2

Ja

30" 1 - 2 43 2

J3 - 3

45"

JZ - 2 JZ - - - 2

1

Tabla de las razones de los Bngulos mBs utilizados 459

-

6.106 Complete la tabla:

-

6.105 Complete la tabla:

seno

coseno

tangente

Recordando que el seno de un ángulo viene representado (si radio = 1 ) por el cateto vertical y el coseno por el cateto .............., se pueden averiguar fácilmente las razones trigonom6tricas de otros ángulos. Así:

sen !N0 = 1 (ya que el cateto vertical = radio = 1) cos !N0 = . . . (ya que el cateto horizontal es nulo)

300 1 - 2

J3 - 2

J3 - 3.

seno

coseno

tangente

horizontal

o

Observando la figura:

sen O0 = O coso0 = ..... sen 180" = . .. . . cos 180' = .... .

450 a - 2 - --

30"

J3 - 3

-O

J3

45O

Jz - 2

60"

J3 - 2

1 2

6.109

sen 360" = .... . cos 360" = .... .

sen 270" = . . . . . cos 270" = . . . . . r= 1

li

6.110

Si es la primera vez que lee este cuadro, pase al cuadro siguiente.

En otro caso, pase al cuadro 6.113.

Escriba la tabla siguiente:

so0

laoO

sen 90" = ... .. cos 90' = . ....

sen 180" = ..... cos 180" = .....

seno

coseno

1 o o -1

6.112

Si no ha fallado más de una respuesta, puede pasar al cuadro 6.115


60" 30" 45"

Cálculo de las razones trigonornbtricas a parrir de una de ellas 461

sen 90" = ... .. COS 90" = .. .. . gOO sen 270" = .. .. . cos 270" = . . . ..

CALCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS A PARTIR DE UNA DE ELLAS

Complete la tabla:

seno

coseno

tangente

1 O

- 1 o

6.115

Hemos estudiado las relaciones existentes entre las razones tri- gonométricas. También sabemos el signo de cada razón, según el cuadrante en que se encuentre el ángulo. Pues bien, aplicando los conocimientos anteriores basta con conocer una sola de las razones de un ángulo para poder calcular las otras cinco.

6.114

Si no ha fallado más de una respuesta, puede pasar al cuadro siguiente.

Si ha tenido dos o más respuestas erróneas, debe pasar al cuadro 6.96.

Sabiendo que sena = 0,6 y a

pertenece al 2." cuadrante, calculemos sus restantes razones:

sen2 a + cos2 a = 1

c0s2a = 1 - 0,6'= 1 -0 ,36 = ..... cos a = do,¡% = + 0,8

Se obtienen 2 posibles valores: + 0,8, pero como el coseno de un

ángulo del 2 . " cuadrante es negativo cos a = . . . . . n

300

J3 --- 3

450 600

J3

462 Trigonometrla

6.117

sen U = 0,6 y cos CI = - 0,8. Hallemos las restantes razones:

O 6 1 taga = - = - 0,75 cotg a = - = .....

- 0,8 ..... 1 1

seca = - = -1,25 cosec(~ =- = ..... - 0,8 .....

-- ' - -1,33 - 0,75

-- -1,67 0,6

6.118 Si cos x = - 0,6 y x es un ángu- lo del 3.0' cuadrante, calcule el valor de sen x:

sen2 x + í - 0,612 = 1

senZ x = 1 - 0,36 = 0,64

senx = = -0,8 I signo 3.0' cuadr.

-

6.119

Sabiendo que sen x = -0,8 y cos x = -0,6, calcule las resran- tes razones del ángulo x.

r

-0 8 tag x = -.-L-- = - 0,6

1,s

1 cotg X = - = 0,75

133

1 sec x = - - - - 1,67

- 0,6

1 cosec x = - = - 1.25 - 0,8

A

Si tag x = - 2 y x es del 4." cuadrante, hallemos su seno: 6.120

sen x sen2 x - tagx = - 2 = - ; elevando al cuadrado: 4 = - -

COS X cos2 X

- - sen2 x ; 4 (1 - sen2 x) = sed x : 4 - 4 sen2 x = sen2 x 1 - sen2x

4 2 4 = 5sen2x;sen2x = --senx = = f - 5 3

Pero como x pertenece al 4." cuadrante, sen x tiene que ser . . . . . . . ......... y por lo tanto: sen x = ..........

Cálculo de las razones trigonornbtricas a partir de una de ellas 463

negativo

2 - - J5

Calculemos las restantes razones: 6.121

- 2

sen x sen x - tag x = - - cosx = - - - - cos x tag x - 2

cotg x = - - ..... 1

secx = -- = ..... tag x . . . . .

1 cosecx = - = .....

.....

1 - - 2

J5 C*=& &

('??=-- 2

6.122

Un ángulo x del tercer cuadrante tiene tangente igual a 1. Hallar SU seno.

sen x 1 = - cos x

12 = sen2 x 1 - sen2 x

1 - senZ x = sen2 x 1 = 2 sen2 x

1 sen2 x = -

2fi= senx = -

- 1 - -- JZ JZ 2

6.123

Calcule el valor de las restantes razones del ángulo anterior.

4 c o s x = - -

2 1

cotg x = - = 1 1

secx = - - --a JZ -- 2

1 cosec = - - - - 4

JZ - - 2

a Si cos x = - - y x pertenece al 3.9' cuadrante, calcule los

2 valores de sen x, tag x y sec x.

6.126

Recuerde las relaciones trigonométricas principales:

sen x sen2 x + cos2 x = . . . . . tag x = -

. . . . . . . .

1 cotg x = -

1 sec x = -

1 cosec x = - tag x . . . . . . . . ..... ...

J3 senzx + ( - ?) = 1

3 1 sen2x = 1 - - = - 4 4

1 sen x =

3.8' cuadr.

1 e -

2 - 1 tag x = - - J 3 - - J 3

2 1 2 secx = - = - --- J 3 - - J 3 2

6.125

Si ha conseguido calcular las tres razones pedidas, puede pasar directamente al cuadro 6.134.

En caso contrario, pase al cuadro siguiente.

1 COS x

cos x sen x

6.127 Recuerde los signos de las razones trigonométricas, según el cuadrante al que pertenezca el ángulo; complete el 3." cuadrante.

sen : pos. cos : neg. tag : neg.

sen : .... COS : .... tag : ....

3." 4. O

Cálculo de las razones trigonométricas a partir de una de ellas 465

neg. pos.

a Si sen x = - y x pertenece al 2." cuadrante, calcu- 6.128

2 lernos cos x:

(2)'. c o s 2 x = 1 sen2 x + cos2 x = 1 - - 2 - + cos2x = 1 cos2x = 1 - ..... = ..... 4

cos x = . . . . . . . . . . r= t s i g n o del 2.' cuadr.

2 2 1 - - = - 4 4

J2 2

Restantes razones: d2 -

senx - 2 - t a g x = - -- - ..... COS x Ji --

2 1 - 1 - cotg x = - - - - .....

tag x - 1 1 1 1 -

secx = - = -- = ..... cosecx = - - . . . . . . . . . . - -

. . . . . . . . . . a - 2

- 1

- 1

1 - - - 1 - - COS x J 2 - -

2

- - - J 2 J 2

- - - 4 2 J2

6.130 Sabiendo que cotg x = 2 y x pertenece al 3.er cuadrante, calcule sen x:

...... cos x cos2 x - 1 - cotg x = 2 = --- - 4 = - - --- sen x sen2 x sen2 x

1 ... 4sen2x = 1 - sen2x ; sen2x = 1 ; sen2x = - 5

..... senx = \r =

sen2 x

5

1

signo del seno en el 3.er cuadrante

*

Restantes razones: 6.131

COS X ..... = 2 c o s x = 2 s e n x = 2 . (- +)= sen x

1 - tagx = - - ..... secx = - 1 - - ..... cotg x .....

1 - 1 - ..... cosecx = - - - - sen x 1 --

J5

466 Trigonome tría

2 - -

J 5

1 1 - J 5 - 2 2 2 - -

J 5

- J 5

RAZONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO SUMA

Si tag x = 1 y .K pertenece al 3.9' cuadrante, calcule sen x.

sen x 1:- cos X

sen2 x - 12 = ---- - sen2 x

cos2 x 1 - sen2 x l - sen2x = sen2 x

1 = 2 sen2 x 1

sen2 x = - 2 -

J 2 s e n x = / + = -- 2

6.134 Conocidas las razones de dos ángulos, a y b, se pueden calcular las del ángulo suma mediante las relaciones:

sen (a + b ) = sen a . cos b + cos a . sen b

cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b

Trate de memorizarlas.

1 J 3 Sabiendo que sen 30' = -, cos 30° = -, y 2 2

6.135

J2 sen 45" = cos 45' = --, calcular el seno de 75": 2

sen (a + b ) = sen a . cos b + cos a . . . . . .

sen75" = sen (30" + 45") = sen30° . c0s4.5~ + cos30° .sen45' =

- - 1 J 2 + ....,.... 2 2 4 4

6.133

Si ha alcanzado el resultado correcto, puede pasar al cuadro siguiente.

En caso contrario, le conviene pasar al cuadro 6.1 15.

Razones trigonom4tricas del ángulo suma 467

sen b

J3 J 2 2 2

1 Sabiendo que sen 30. = - cos 30" = 2 y 6.136

2 ' 2

J2 sen 45" = cos 45" = --, calcule el valor de cos 75".

2

cos (a + b ) = cosa . cos b - sen a ......

cos 75" =

sen b cos 30° COS 45" - - sen30°sen45" =

- J 3 , J 2 -- --

2 2

- 1 J2 - - 2 2

- J 6 J 2 - 4 4

- J 6 - J 2 -- 4

6.137

J 2 + J 6 Ya conocemos sen 75" = - J 6 - d2 y cos75" = -

4 4

tag 75" =

1 - cosec 75" = - - sen 75"

J 2 + 46 4 - d 6 + &! - --

46 - J 2 J 6 - 4 -4

4 1 - (YT-

- 4 -- J2 + t i6

6.138 Complete las relaciones:

................. ................. sen (a + b ) = +

cos (a + b ) = cos a . cos b - ................

sena .cosb + + cosa .senb

sen a . sen b

Razones del ángulo doble 6.139

Si en las relaciones anteriores hacemos a = b , obtenemos las razones de a + a - 2a:

senia + bi = sen a . c o s b + cosa.senb

F] = sen a cosa + cosa . sen a = -1

A

Análogamente: 6.140

cos (a + b ) = cosa, cos b - sen a . sen b

= COS (a + a) = cos a . coa a - ............... - -

6.142

J 3 y cos 30' = -, calculemos el se- Sabiendo que sen 30' = - 2 2

no y el coseno de 60":

i J 3 sen60° = 2sen30°cos300 = = ..... 2 2

........ cos 60' = cosZ 30" - -

sen a +.en a

6.141 Complete las siguientes expresiones:

J 3 - 2

... senz 30' =

- - - - 3 - - - - - 1 - 2 - 1 4 4 4 2

6.143

Sabiendo que sen x = 0,6 y cos x = 0,8, calcule el seno y coseno de 2x.

sen 2x =

c o s a =

Razones trigonomdtricas del ángulo suma 469

2senxcosx =

= 2 . 0,6. 0.8 = 0,96

cosZ x - sen2 x = = 0,64 - 0,36 = 0,28

1 Sabiendo que sen M)' = 2, COS 60' = - y sen 45' =

2 2 J 2

= cos 45" = -, calcular cos 105' y sen 120' 2

COS 105" =

sen 120" =

cos 60" COS 45" - - sen60'sen45" =

- - - 1 . - Ji. - - a. - d 2 - 2 2 2 2

- JZ - J 6 -- 4

2 sen 60' cos 60" =

- J3 1 = - J 3 2 2 2

sen (a + b ) = sena . cos b + ..........................

.......................... sen 2a = 2

6.145

Si ha respondido correctamente, puede continuar en el cuadro 6.153.

Si alguna respuesta ha sido errónea, debe pasar al cuadro siguiente.

i

6.146

Complete las expresiones:

cos a . sen b

sen a . cos a

6.147

Complete las expresiones:

cos (a + b ) = cosa . cos b - .........................

cos 2a = cosZ a - ..........

470 Trigonometrla

sen a . sen b

sen2 a

6.148

1 Sabiendo que sen 90" = 1, cos 90" = 0, sen 30" = -

J3 2 y cos 30" = -, calculemos sen 120":

2

- ................. sen 120" = sen (90" + 30") = sen 90" cos 30" + -

- J3 - - - l . - - + . . . . . . . . . . . . . . . . 2

cos 90' sen 30"

1 J 3 + o . - = - ... 2 2

6.149

Sabiendo que sen 90" = 1 y cos 90" = O, calcule el seno y coseno de 180":

sen 180" =

COS 180" =

2 sen 90" cos 90" =

= 2 . 1 . o = 0

cos2 90" - sen2 90" = - 0 2 - 12 = - 1

6.150

Sabiendo que sen 60" = 2, cos 60' = 1 y sen 45" = 2 2 '

- -- JZ , calcule el valor de sen 105": 2

sen 105" =

. sen 60" cos 45" + + CL 160" sen 45" =

J 3 J 2 + - 2 2

1 J 2 + - . = 2 2

- J 6 + d 2 --

4

Sabiendo que sen 90" = 1, cos 90" = O y sen 45" = cos 45" =

-. - - J2 , calcule cos 135' y se" 180'. 2

COS 135" =

sen 180" =

Razones trigonométricas de a + ~ / 2 y a + n 471

Gráficamente se pueden obte- 6.153 7r

ner las razones de a + - y 2

a + a (rad.) sabiendo las de a.

Así en la figura observe que: m. COT.

sen a + - = cos a ( (coinciden el tamaño y el signo)

r

cos 90" cos 45" - - sen 90' sen 45" =

- - J2 JZ 0 . - 1 . = 2 2

J2 = - - 2

2 sen 90" cos 90" = = 2 . 1 . o = 0

6.154

En la figura se observa que:

X cos a + - .................... 2

(coincide el tamaño, pero tienen distinto ................... .)

6.152

Si ha obtenido las respuestas correctamente, puede pasar al cuadro siguiente.

En otro caso, le conviene regresar al cuadro 6.134.

- sen a

signo

(ya que el seno es positivo y el coseno negativo)

6.155


sen (a + a) = - sen a

(coincide el tamaño, pero sen (a + X) e- negativo mientras que sen a es .................... 1

Análogamente: cos (a + X) = ........

472 Trigonometría

positivo

- cos a

6.156 1 Sabiendo que sen 30" = - y 2

J 3 cos 30" = -: 2

J 3 sen 120" = cos 30" = -

2

- - . . . . . . . . . . . . . . . COS 120" = i 1

- sen3O0 = - - 2

6.157

Sabiendo que sen 45" =

42 = cos 45" = -, obtener:

2

.......... .... sen 135" = =

- COS 135" = .......... - ....

JZ sen 45" = -

2

4 - COS 450 =

2

a J 3 Sabiendo que sen - = ---

3 2 a 1

y cos - = -, calcular: 3 2

4a sen .....

- . . . . . . . . . . -

K 4 - s e n - = -- 3 2

4s - K COS - - - cos - =

3 3 - 1 - - -

2

6.159


sen330° = - sen30°

cos 330" = .......... ;:5

Razones trigonom6tricas de a + n/2 y a + T 473

6.160

Si es la primera vez que llega a este cuadro, pase al siguiente.


J3 Sabiendo que se" 60" = - 2

1 y cos 60" = -:

2

sen 150" = . . . . . cos 150" = . . . . .

sen 240" = . . . . . cos 240" = . . . . .

1 Sabiendo que sen 30" = - 2

a y cos 30" = -: 2

sen 120" = . . . . . cos 120" = . . . . .

sen 210" = . . . . . cos 210" = . . . . .

1 - d3 -- 2 2

v'3 1 -- - - 2 2

6.162

Si no ha fallado más de una respuesta, puede pasar al cuadro 6.165.


474 Trigonometria

RESOLUCION DE TRIANGULOS

1 J3 - - 2 2

1 - -

J3 -- 2 2

6.165

La Trigonometría facilita el cálcu- lo de distancias alturas, lados de un triángulo, etc. En la figura podemos calcular fácilmente el lado AB: A /A B c'

A B a .... ~ 0 ~ 3 0 " = - - A B = AC.cos30° = : = ..... AC 2

6.164

Si ha fallado más de una respuesta, pase al cuadro 6.153.

En caso contrario, puede pasar al cuadro siguiente.

8 4 J 3

6.166

Cálculo del lado BC:

sen 30° = -, luego: 8

- - . . . . . . . . . . . . . BC = 8 sen 30" =

Nota: h significa ((ángulo recto A (90" 1

BC

8 . + = 4

4

6.167

Sabiendo que A 6 = 4, calcular la altura B H del triángulo de la figura, y el segmento A H

A H

c - = =..........-..... sen 3ooU= - - B H A B sen 30"

A B

A H cos30° = -- A H =

.....

Resolución de tr~ángulos 475

1 BH 4 . - = 2 2

4 d3 4 c o s 3 0 " = 4 . - = 2 & 2

*

6.168

En todo triángulo, sus tres ángu- los suman 180°.

Teniéndolo en cuenta, halle los ángulos a (alfa), fi (beta) y r (gamma). A

H C

a = .......... p = .......... y = ..........

60" 30" 60"

6.169 Utilizando las razones trigonomé- tricas de 30". calcule los lados AC y BC del triángulo de la figura.

A 12 H

C ~ 0 ~ 3 0 " = - A C = - = = -

.....

BC - - - - sen 30" = - - BC = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....

AC 12 12 -

cos 30' 4 24

- -- - - 2

4 -.

AC AC . sen 30" =

- 24 1 - 12

4 2 J 3

6.170 En el triángulo de la figura, calcule AC y HC.

A H

6 cos 60° = -

AC 6 6 A C = = - - -

cos 60" 1 - = 12 2

HC = 6 . cos60" =

1 = 6 . - = 3 2

6.171 En el triángulo de la figura, calcule BH y AB.

A A) - 12 H

J

476 Trigonometría

BH = 6 sen 60' =

J 3 = 6 . = 3 J3

2

AB sen 60' = - AC

AB = AC sen 60' =

J 3 = 1 2 . = 6 d 3

2

6.172

Sabiendo que sen a = 0,8 y AC = 5, calcule los lados AB y BC.

A

AB = 5sena = = 5 . 0 , 8 = 4

Si sen a = 0.8 - - cosa = 0,6

BC = 5 c o ~ a =

= 5 . 0 , 6 = 3

(BC también se puede hallar por el teorema de Pitágoras)

6.173

Sabiendo que AB = 9 y sen a = 0,6, calcule los lados AC y BC.

C

9 - A C = - - sen CY

- - 1 5 0,6

BC = J15i-- 92 =

= JBT-81 =

= J143 = 12 (por el teorema de Pi- tagorasi

Sabiendo que AC = 10 y sen a = 0,6, calcule los lados BC y AB, así como la altura BH.

A AC H - lo---

BC = 10 .sena =

= 10.0,6=

AB = ~ 1 0 2 - 62 = L8]. BH = AB . sen (Y =

= 8 . 0 , 6 = 14,8j

6.175

Si ha calculado satisfactoriamente los tres segmentos solicitados, puede pasar al cuadro 6.183.

Si ha tenido algún error, pase al cuadro siguiente.

Resolucidn de triángulos 477

6.176

Recuerde:

«Los ángulos de un triángulo siempre suman 180")).

En la figura, si N = 40°, /3 = .... .

L

6.177 C

Si AC = 10, calculemos los otros. /A dos lados:

BC A B

- - sen 30" = - - BC = AC . sen 30" = 10' . ... .. . .. .. AC

8 - cos30° = - - AB = ..... cos30° = 10 . - - . . . . . 2

. . . . - - ' - 5 2

AC 5 a AC

6.178

Si BC = 6 y sen a = 0,6, calcule AC y AB.

A 1

B

6 - A C = - - sen CY

L - 1 0 0.6

AB = J102 - 62 = 8

6.179

Si AH = 4, calcular AB y BH.

A C M

-4-

478 Trigonometría

4 - AB=-- cos 30'

- 4 - 8

J 3 J 3 - 2

BH = AB . sen 30' =

8 1 4 - J 3 2 J3

En el mismo triángulo, calcule BC y HC. 6.180

d3

A H

C - 4 ---F

BH - Be=-- sen 60'

4

- - 8 J 3 3 -

2

HC = BC. cos6O0=

- 8 1 4 - . - = - - 3 2 3

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Sabiendo que BH = 3, calcule AL3 y BC

A A 4 H c

BH - A B = - - sen 30'

- 3 - - = 161 1 - 2

BH - BC = - - sen 60'

- L= p] d3 - 2

6.183

Presentaremos a continuación la representación gráfica de las funciones y = sen x, Y = cos x e y = tag x, llamadas funciones ............................ Para ello, formaremos una tabla de valores de x e y para cada función.

-

6.182

Si ha respondido correctamente, puede pasar al cuadro siguiente.

En caso contrario le conviene pasar al cuadro 5.165.

Gráficas de /as funciones trigonorn4tricas 479

trigonométricas

6.186

- 1 - 1

O O

Representando los puntos de la tabla en unos ejes cartesianos, se obtiene la curva de la figura, que es la gráfica de la función:

-1

1 1

d2 JZ - - 2 2

Gráfica de y = sen x

Dando valores a x (en radianes),

Ir@

6.185 Completemos más la tabla:

2ñ. x = a - y = s e n a = O

x = - - 3 3a y = sen-- = ...

2 2 3Ir

2 x = 2 - y = sen2a = ...

A partir de x = 2a, se comienza otra vuelta a la circunferencia, por lo que se repiten los valores de la tabla.

formamos la tabla de la derecha:

x = O - y = s e n O = O

a x = - - a J 2 y = sen- = - 4 4 2 a a

y = sen- = ..... 2 2 3a x = - - 377. y = sen - =.. . 4 4

- x

O

- 4 a - 2 3a - 4

y = sen x

O JZ - 2

.....

.....

480 Trigonometría

sen x

6.187

1

- 1

¿La gráfica de y = sen x pasa por el origen de coordenadas? . . . . . ¿El valor de sen x se mantiene siempre en la banda comprendida entre + 1 y - l ? .....

,.

Gráfica de y = cos x

X Formemos la tabla:

x = o - y = c o s O = l 377

7r 7r - ,y=-.-

2 y = COS- = .....

2

X = * - y = C O S K = -1 .....

3* 37r x = - - y = COS- = ... .....

2 2 .....

x = 27r - y = cos27r = 1

o o - 1

o o

6.189 1-1

4 O

?r --

2* +-- - - - -- 0 8 -

Represente en la figura los dos puntos de la tabla que faltan y dibuje la gráfica uniendo todos los puntos.

X

O

7r/2

X

3*/2

2~

y = COS x

1

O

- 1

O

1

Gráficas de las funciones trigonorn6tr1cas 481

2íi .

Gráfica de y = tag x - -

6.191

x = O - y = t a g O = O X X x = - - y = t a g - = 2 2

- sen a l 2 - 1 - m

tos * / 2 o A -

Un poco antes de 1 , x está en el 2

primer cuadrante, por lo que tagx es positiva: + m ; un POCO des-

a ........... pués de -, x está en el 2

cuadrante * tag x es .......... .: - 3~ ............. : - m 2

6.190

1 1

- 1

.... ¿La gráfica de y = cos x pasa por el origen de coordenadas?.

.... Permanece siempre entre los valores 1 y ., ya que el coseno de un ángulo no puede valer más que 1 ni menos que ..... :

x

o X - 2

segundo

negativa

y = tag x

o

f m

I

6.192

Completando la tabla, se obtiene la gráfica de la izquierda, forma- y = tag x n da por una curva que se repite

..... cada radianes.

x y = tag x -.

o o

2 * m

. - ..... a

37r - * m

2 2 ~ O -

6.193

i La gráfica de y = tag x pasa por el origen coordenadas? . . . ¿Se mantiene entre los valores + 1 , como las del seno y coseno?. . . . .

6.194

Si es la primera vez que llega a este cuadro, pase al cuadro siguiente.


Y A 1

- 1

La funcibn trigonométrica arriba representada,

(Pasa por el origen? . . . . . iuegoes F l

¿Se mantiene entre 11 .....

Gráficas de las funciones trigonom6tricas 483

Y A

1

La función trigonométrica representada,

i Pasa por el origen?. . . . . u es I,=l

¿Se mantiene entre ? l ? .....

Si sen x

Si

6.196

Si ha respondido correctamente al cuadro anterior, puede pasar al cuadro 6.199.


6.199

Este es el cuadro final. A continuación lea el Resumen del tema con el fin de obtener una idea de conjunto del mismo.

N o cos x

Si

6.198

Si ha conseguido contestar adecuadamente a las preguntas del cuadro anterior, pase al siguiente cuadro.

Si su respuesta no ha sido correcta, debe pasar al cuadro 6.183.

RESUMEN

UNIDADES PARA MEDIR ANGULOS

Principales unidades de medida de Bngulos:

1 -grado (sexagesimal) f Un radián es un ángulo cuyo arco mide igual que el radio.

I rad . 9. La circunferencia tiene 360 grados o 27r radianes, luego:

360" = 2u rad. m RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO:

cateto opuesto - AB sen a = - -

hipotenusa OB

cateto contiguo - OA cos a = - -

hipotenusa O8

/ I cateto opuesto - AB tag a = - -

cateto contiguo OA

1 - OA cotg a = - - - tag a A6

o 1 - OB seca = - - - cos a OA

1 - OB cosec a = - - - sen a AB

Tanto el seno como el coseno de un ángulo son siempre menores o iguales que 1, y mayores o iguales que - 1 :

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO

tag a = --- F]

486 Trigonometría

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

2." 1 l . O r cuadrante

sen cos tag

pos. neg . neg;

sen cos

tag

neg . neg . pos.

seno coseno

tangente

sen COS

tag

positivo positivo positiva

neg . pos. neg.

TABLA DE LAS RAZONES MAS FRECUENTES

RAZONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO SUMA

seno

coseno

tangente

sen (a + b ) = sen a . cos b + cos a . sen b

cos (a + b ) = cos a . cos b - sen a . sen b

RAZONES DEL ANGULO DOBLE

30"

1 - 2

J3 - 2

Ja - 3

45"

4 - 2

4 -

2

1

60"

Ja - 2

1 -

2

a

Resumen 487

GRAFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

y = sen x u

y = COS x

488 Trigonometría

EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION TEMA 6

EJERCICIO 6.1

a) Expresar en radianes los ángulos: 150°, 330" y 600'.

6a a b) Expresar en grados los ángulos: - rad., rad. y - rad.

5 2 3

EJERCICIO 6.2

I El seno de un ángulo x del segundo cuadrante vale -. Calcular sus restantes razones trigonomé- tricas. m

EJERCICIO 6.3

Utilizando las razones trigonométricas de 60" y 45", obtener:

a) El seno y coseno de 120".

b) El seno y coseno de 165".

EJERCICIO 6.4

Cuatro ciudades: A, B, C y H están unidas por carreteras rectilí- neas, como se muestra en la figura. Sabiendo que la distancia entre A y C es de 120 km y que sen x = 0,6, calcule:

a l Distancia de B a C. C) Distancia de B a H.

b i Distancia de A a B. d i Distancia de A a H. A H

C

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