TEMA 2. INSTRUMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS.2.2 SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES. CONVERSIÓN DE UNIDADES.

MAGNITUD: propiedad o cualidad física susceptible de ser medida y cuantificada.Ejemplos: longitud, superficie, volumen, tiempo, velocidad, etc.

UNIDADES: valor obtenido al fijar la cantidad de una magnitud.Ejemplos: metro, segundo, etc.

SISTEMA DE UNIDADES: conjunto reducido de unidades elegidas arbitrariamenteque permite medir todas las magnitudes

MAGNITUD: masaDIMENSIONES: MUNIDADES: kg

SELECCIÓN ARBITRARIA DEMAGNITUDES FUNDAMENTALES

MAGNITUDES DERIVADAS

MAGNITUD: velocidadDIMENSIONES: L·θ-1

UNIDADES: m/s

ECUACIONES DEDEFINICIÓN

(LEYES FÍSICAS)

TEMA 2. INSTRUMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS.2.2 SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES. CONVERSIÓN DE UNIDADES.

SISTEMAS ABSOLUTOS: La MASA es magnitud fundamental y la FUERZA derivada.

SISTEMAS TÉCNICOS: La FUERZA es magnitud fundamental y la MASA derivada.

SISTEMAS INGENIERILES: MASA y FUERZA son magnitudes fundamentales (gc).

SISTEMAS ABSOLUTOS

TEMA 2. INSTRUMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS.2.2 SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES. CONVERSIÓN DE UNIDADES.

SISTEMAS TÉCNICOS

TEMPERATURA

Internacional InglésRelativa Celsius (ºC)

t [ºC] = T [K] + 273.15Kelvin (K)

Farenheit (ºF) ⇒ t [ºF] = 32 + 1.8 · t [ºC] t [ºF] = 459.67 + T [R]

Absoluta Rankine (R) ⇒ T [R] = 1.8 · T [K]

Intervalos Δt [ºC] = ΔT [K]Δt [ºF] = ΔT [R]Δt [ºF] = 1.8 · Δt [ºC]

TEMA 2. INSTRUMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS.2.2 CONVERSIÓN DE UNIDADES.

FACTOR DE CONVERSIÓN: mide la equivalencia entre las unidades de una magnitud entre dos sistemas de unidades diferentes. Representa el número de veces que la unidad de medida de una magnitud contiene a la unidad de medida de la misma magnitud en otro sistema de unidades.

Entre magnitudes fundamentales: experimentalmente (1 lb = 0.4536 kg).Entre magnitudes derivadas: cálculo a partir de los factores de conversión de

magnitudes fundamentales.

UNIDADES EN LAS ECUACIONES: Las ecuaciones deben ser homogéneas en cuanto a sus dimensiones.

ECUACIONES ADIMENSIONALES: no tienen constantes numéricas o éstas son adimensionales. Válidas en distintos sistemas de unidades (ej.: Ec = ½·m·v2).ECUACIONES DIMENSIONALES: poseen constantes numéricas dimensionales. Sólo

son válidas para el sistema de unidades en que se definen. Para su uso en otro sistema de unidades debe variarse el valor de la(s) constante(s)(ej.: ΔP = 51·f·L·v2/D).

USO DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES:a) Cálculo de las unidades del coeficiente(s) de la ecuación “antigua”.b) Cálculo de las unidades del coeficiente(s) en las “nuevas” unidades.c) Cálculo del valor numérico del coeficiente(s) aplicando los factores de conversión

necesarios.

TEMA 2. INSTRUMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS.2.3 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. UNA INCÓGNITA

1) MÉTODO TRADICIONAL: despejar la incógnita x en función de los coeficientes.PROBLEMAS:

A veces no se puede despejar (ej.: x – log x =2).A veces parte de la información está en forma de tablas o gráficas.

2) MÉTODO GRÁFICO:a) Pasar todos los términos a un miembro ⇒ f(x) = 0.b) Fijar un intervalo de x: (x0, xn) y un incremento Δx = (x0 – xn)/n con n = nº de divisiones.c) Evaluar la función: f(x0), f(x1), f(x2),… , f(xn).d) Representar gráficamente los valores (x0, f(x0)); (x1, f(x1));… , (xn, f(xn)).e) Localizar los puntos xi : f(xi) → 0. NOTA: también puede hacerse sin representación gráfica.

VENTAJAS: Aplicabilidad.DESVENTAJAS:

Difícil de implementar en calculadora.Selección de (x0, xn).Selección del tamaño Δx.

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2

-1 0 1 2 3 4

x

f (x)

EJEMPLO: x3 – 6·x2 = 6 – 11·x

a) f (x) = x3 - 6·x2 +11·x – 6b) x ∈ (-1, 4); Δx = 0.3

TEMA 2. INSTRUMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS.2.3 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. UNA INCÓGNITA

3) MÉTODO DE ITERACIÓN DIRECTA:a) Despejar la incógnita x de uno de los dos miembros ⇒ x = f(x).b) Dar un valor a x = x0 (valor de tanteo) y calcular f(x0).c) Si f(x0) = x0 ⇒ se ha encontrado la solución.d) Si f(x0) ≠ x0 se continua tomando como nuevo valor de tanteo f(x0) hasta encontrar la

solución.

VENTAJAS: Aplicabilidad.Fácil de implementar en calculadoras y ordenadores.

PROBLEMAS Y DESVENTAJAS: Selección de la x a despejar (el resultado no depende de la x elegida, pero sí la laboriosidad del cálculo, seleccionar la del término que varíe más rápidamente).A veces no converge.

x0x1x2x4

f(x0)

f(x1)f(x2)

Solución

TEMA 2. INSTRUMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS.2.3 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. UNA INCÓGNITA

4) MÉTODO DE NEWTON:a) Pasar todos los términos a un miembro ⇒ f(x) = 0.b) Dar un valor a x = x1 (valor de tanteo) y calcular f(x1).c) Si f(x1) = 0 ⇒ se ha encontrado la solución.d) Si f(x0) ≠ x0 se continua tomando como nuevo valor de tanteo x2 la intersección de:

a) El eje de abcisas.b) La recta que pasa por [x1, f(x1)] de pendiente f’(x1)

e) Repetir el cálculo hasta que f(x i) = 0 o suficientemente próximo.

VENTAJAS: Generalmente converge rápido.Converge en mayor número de casos que la iteración directa.Fácil de implementar en calculadoras y ordenadores.

PROBLEMAS Y DESVENTAJAS: Necesidad de evaluar la pendiente en cada iteración.Problemas en zonas cercanas a

máximos, mínimos o puntos de inflexión.

( ) ( )x

xfxxf)x('f iii Δ

−Δ+≈( )( )i

iii x'f

xfxx −=+1

10000xx:.ej;xx i

i =Δ<<Δ

TEMA 2. INSTRUMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS.2.4 REGRESIÓN LINEAL

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOSSe dispone de una serie de datos (x,y) donde x: variable independiente e y dependiente.Se supone que hay una relación lineal del tipo y = m · x + b y se pretende hallar m, b.

( ) iiEXPiCALCii ybx·myy −+=−=δ

xi

yi EXP

yi CALCδ i = yi CALC – Yi EXP

CRITERIO: Los valores óptimos de m y b serán aquellos que minimicen las desviaciones entre los valores experimentales y los calculados de la variable dependiente y.

( )[ ] ∑=

=δ→−+=δ

ni

1i

2i

2ii

2i ybx·m

0b

ni

1i

2i

=∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ δ∂ ∑=

= 0m

ni

1i

2i

=∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ δ∂ ∑=

=

Condiciones de mínimo:

n: nº de pares de datos

( )( ) ( )∑∑

∑ ∑∑−−= 2

i2

i

iiii

x·nxx·y·nx·ym

( ) ( )( ) ( )∑∑

∑∑ ∑∑−

−= 2i

2i

2iiiii

x·nxx·yx·y·xb

( ) ( )[ ]( ) ( )∑∑∑

−−−−

==2

i2

i

ii

yy·xxyy·xxRr

Coeficiente de correlación: r ó R → (-1 ,1)Coeficiente de regresión: r2 ó R2 → 1

TEMA 2. INSTRUMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS.2.5 MÉTODOS GRÁFICOS DE INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN.

xnx0

∫=n

0

x

xdx)·x(fI

f(x)

xnx0

f(x0)

x2x1 x3

f(x1)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA: REGLA DE LOS TRAPECIOSHay casos en que es difícil resolver analíticamente una integral, o imposible (como cuando hay datos tabulados o en gráficas). Existen distintos métodos numéricos, el más sencillo es la Regla de los trapecios.

( ) ( ) ( )2

xfxf·xxA 0101

+−=

VENTAJAS: Sencillo de aplicar.Fácil de implementar en calculadoras y ordenadores.

PROBLEMAS Y DESVENTAJAS: Necesita un número n de intervalos elevado si queremos mucha precisión.Si la curva tiene variaciones bruscas de pendiente puede haber mucho error.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++Δ≅ −∫ )x(f·

21)x(f...)x(f)x(f)x(f·

21·xdx·)x(f n1n210

x

x

n

0

TEMA 2. INSTRUMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS.2.5 MÉTODOS GRÁFICOS DE INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN.

DIFERENCIACIÓN: NOTA: Para calcular el valor numérico de la derivada.

• ANALÍTICA: problemas con funciones complejas, datos tabulados o en gráficas.• NUMÉRICA: aplicando la fórmula:

• GRÁFICA: leyendo la tangente del ángulo formado por la recta tangente en el punto x.Hay que trazar las rectas y leer el ángulo, se pueden cometer errores elevados.

( ) ( )x

xfxxf)x('f 11i Δ

−Δ+≈ 10000xx:.ej;xx 1 =Δ<<Δ 1

x4x2x1 x3

(y2-y1)/(x2-x1)

x6x5

(y3-y2)/(x3-x2)

(y4-y3)/(x4-x3)

(y5-y4)/(x5-x4)

Δy/Δx

x4x2x1 x3 x6x5

dy/dx en x2

dy/dx en x3

dy/dx

x

i1i

i1ii xx

yyxy)x('f

−−

=ΔΔ≈

+

+