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Índice

Información sobre autores ........................................................................................................................................ 3

Conceptos ................................................................................................................................................................... 5

Conceptos relacionados con vectores .................................................................................................................... 5

Ejemplo: comprobación de que tres puntos dados forman un triángulo rectángulo ...................................... 10

Conceptos relacionados con rectas ..................................................................................................... 12

Conceptos relacionados con planos ..................................................................................................... 15

Conceptos relacionados con aritmética modular ................................................................................ 17

Conceptos relacionados con conjuntos generadores e independencia lineal .................................... 20

Entretenimiento ....................................................................................................................................... 22 Historieta .............................................................................................................................................. 22

Chistes .................................................................................................................................................. 24 Ejercicios Resueltos .................................................................................................................................. 25 Ejemplos de Clase ..................................................................................................................................... 28

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Autores

Mi nombre es Sara López. Tengo 18 años y actualmente me encuentro cursando el segundo año de Ingeniería Mecatrónica. Estoy estudiando esta carrera porque me llama mucho la atención lo que es robótica y nanotecnología, es una experiencia muy agradable llegar a entender que componentes, como funcionan y evolucionan los dispositivos actuales y los que están por desarrollarse. Además, la fusión entre Mecánica y Electrónica me va a permitir ayudar a mi papá en su campo. Entre mis pasatiempos están pasar tiempo con mi familia, ver partidos de futbol con mi familia, mi equipo favorito es el Barça, me gusta jugar tenis, escuchar música, pintar con acrílicos, escribir y aprender idiomas. Estudié tres años mandarín y actualmente estoy estudiando italiano. También me gusta conocer personas de otras culturas. Mis modelos a seguir son mis papás. Mi papá es mi ingeniero modelo algún día quiero desarrollar una capacidad muy similar a la que el tiene para resolver cualquier tipo de problemas y la perseverancia de mi mamá. Y para terminar una de mis frases favoritas es: “Never regard study as a duty, but as the enviable opportunity to learn to know the liberating influence of beauty in the realm of the spirit for your own personal joy and to the profit of the community to which your later work belongs.” Albert Einstein

Cristian Gustavo Pinelo Contreras, estudiante de Ingeniería Mecatrónica en Universidad del Valle. Disfruto de hacer natación o jugar basketball en mis tiempos libres, eso me ayuda a desestresarme un poco de los estudios y a mantenerme con energía, también me gusta jugar ajedrez ya que ejercita la mente, ayudándome en los estudios. Si no es posible, me gusta pasar el tiempo disfrutando de los videojuegos, que creo que también ayudan con la ejercitación de la mente, además de mejorar la actividad motriz.

Soy José Estuardo García Mazariegos un estudiante de segundo año en la carrera de ingeniería mecatrónica de la Universidad del Valle de Guatemala, tengo 19 años y me interesa mucho todo lo que tenga que ver con computadoras, aparatos electrónicos y la forma en la que trabajan algunas máquinas, por lo que decidí estudiar esta carrera. Sin embargo también tengo otros intereses y hobbies como el de conocer otros países o culturas y personas, he tenido la oportunidad de estar en varios países y me gustaría conocer más, me interesa mucho todo lo que sea música, mi instrumento es la guitarra, pero me gustaría aprender otros instrumentos, también me gusta dormir, comer, disfrutar de una buena taza de café, jugar videojuegos y pasar la bien con amigos. El objetivo de trabajar en esta revista es el de aprender más sobre el álgebra lineal y que me pueda servir como repaso más adelante, y que le pueda ayudar a todo el que lo necesite en el futuro.

Guillermo A. Carranza Roldán Estudiante de Ingeniería Mecatrónica Soy de esos que prácticamente desconocen el estrés, buscando siempre una mejor forma de hacer las cosas. Considero que todo lo que existe puede mejorarse y es por eso que elegí estudiar una ingeniería. Mi meta es algún día formar mi propia empresa dedicada al desarrollo tecnológico, mejorar lo que ya existe e inventar nuevos dispositivos que sean beneficiosos para todos. Paso mi tiempo leyendo novelas de ficción, viendo anime o metido en el mundo de los videojuegos, pero cuando se presenta la oportunidad prefiero salir con amigos, ver una película o jugar al gotcha.

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Conceptos

Vector:

Proviene de la palabra latina que significa “transportar”.

Segmento de recta dirigido que indica el desplazamiento desde un punto hasta otro. Tiene

magnitud y dirección.

Notación de un vector:

Un vector se puede representar de diferentes maneras. Estas son:

para representar los vectores a y w.

a, w para representar los vectores a y w.

Cuando se desea expresar con sus componentes se puede hacer de dos maneras, de forma

de vector columna o vector fila. Respectivamente sería:

Vector en Posición Estándar:

Cuando el origen del sistema de coordenadas es el punto inicial del vector.

Componentes de un Vector:

Son las coordenadas individuales de un vector, se obtienen al proyectarlas sobre los ejes

cartesianos.

Vector Renglón:

Vector Columna:

Vector cero o Vector Nulo:

Tiene magnitud cero y no se puede determinar su dirección.

Igualdad de Vectores:

Se dice que dos o más vectores son iguales si al colocarlos en posición estándar tienen la

misma magnitud, dirección y sentido.

Suma de Vectores:

Consiste en sumar las componentes equivalentes de dos o más vectores, dando como

resultado otro vector.

Diferencia de Vectores:

Consiste en restar las componentes equivalentes de dos o más vectores, dando como

resultado otro vector.

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Vectores Paralelos:

Cuando un vector es múltiplo escalar de otro.

Vectores en Rn:

Vectores que poseen n cantidad de componentes, es decir, pertenecen a un espacio de n

dimensiones.

Producto escalar por un vector:

Consiste en multiplicar un escalar c, perteneciente a los números reales, por un vector. Al

hacer esto se multiplica c por todas las componentes del vector.

Propiedades algebraicas de vectores en Rn:

Sean u, v y w vectores y c y d escalares:

u + v = v + u Propiedad conmutativa

(u + v) + w = u + (v + w) Propiedad asociativa

u + 0 = u

u + (-u) = 0

c(u + v) = cu + cv Propiedad distributiva

(c + d)u = cu + du

c(du) = cd(u)

1 ∙ u = u

Combinación lineal de vectores:

Sean v1, v2 y v3 vectores y c1 y c2 escalares, se dice que v1 es una combinación lineal de v2 y

v3, si y solo si existen valores para c1 y c2 tal que: v1 = c1v2 + c2v3.

Producto Punto o Producto Escalar:

Multiplicar dos vectores, para ello se multiplican sus componentes semejantes y luego se

suman, dan como resultado un escalar(número real).

Sean u y v vectores en

Propiedades del Producto Punto:

Sean u, v y w vectores, se cumple que:

u ∙ v = v ∙ u

u ∙ (u + w) = u ∙ v + u ∙ w

cu ∙ v = cv ∙ u = c(u ∙ v)

u ∙ u ≥ 0

Magnitud o Norma de un Vector:

Vectores Unitarios Estándar:

Tiene “1” en su i-ésimo componente.

Normalización de un vector:

Es el proceso e encontrar un vector unitario en la misma dirección que otro vector.

Desigualdad de Cauchy –Shwartz:

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Se cumple la igualdad cuando uno vale cero.

Desigualdad del Triángulo:

Distancia entre dos vectores:

Distancia entre dos puntos. Es la magnitud entre la resta de dos o más vectores.

Ángulo entre dos vectores:

Vectores Ortogonales:

Los vectores que forman un ángulo recto entre sí.

Teorema de Pitágoras:

Establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos. Lo utilizamos para encontrar la longitud de un vector.

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Proyección de un vector sobre otro:

Se dibuja a partir del punto terminal hacia el vector al que quiero proyectar y forma un ángulo

de 90º.

Producto Cruz o Producto Vectorial:

Está definido para vectores en

El resultado es un vector ortogonal a ambos vectores.

Propiedades del Producto Vectorial:

Sean u y v vectores y c un escalar, entonces se cumple que:

u x v = -(v x u)

u x u = 0

(u x v) ∙ u = 0

(u x v) ∙ v = 0

c(u x v) = cu x v

Ecuaciones de una recta en

Forma general:

Forma vectorial:

Forma normal:

Ecuaciones paramétricas:

Ecuaciones de una recta en

Forma general:

Forma vectorial:

Forma normal:

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Ecuaciones paramétricas:

Ecuaciones simétricas:

Distancia desde un punto a una recta:

Para obtener la distancia desde un punto “F” que se encuentra fuera de la recta, a una recta

“L”

x está dado por | ||

dPF proy PF

La ecuación para realizar dproy PF

es la siguiente:

.

.d

d PFproy PF PF

d d

Distancia entre rectas paralelas:

Para encontrar la distancia entre dos rectas paralelas se toma un punto “P” cualquiera de una

de las rectas y se calcula la distancia que hay de ese punto hacia la otra recta.

Ángulo de intersección entre rectas:

Para obtener el ángulo de intersección entre dos rectas se utilizan los vectores dirección de

cada una de las rectas, luego se calcula el producto punto entre los dos vectores dirección y

se divide por la multiplicación de las distancias de cada vector dirección.

1 2

1 2

cos|| || || ||

d d

d d

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Ecuaciones de un plano en

Forma general:

Forma normal:

Forma vectorial:

Distancia desde un punto a un plano:

Para obtener la distancia desde un punto “F” que se encuentra fuera de la recta, a una recta

“L”

La distancia desde F hasta P está dada por || ||

nproy PF

La ecuación para realizar nproy PF

es la siguiente:

.

.n

n PFproy PF PF

n n

Distancia entre planos paralelos:

Al igual que con las rectas paralelas para obtener la distancia entre dos planos se toma un

punto cualquiera de uno de los dos planos y se calcula la distancia que hay entre el punto y el

otro plano.

Ángulo de intersección entre planos:

Para obtener el ángulo de intersección entre dos planos se utilizan los vectores normales de

cada uno de los planos, luego se calcula el producto punto entre los dos normales y se divide

por la multiplicación de las distancias de cada vector normal.

1 2

1 2

cos|| || || ||

n n

n n

Ángulo de intersección entre una recta y un plano:

El ángulo de intersección entre una recta y un plano es el ángulo complementario del ángulo

formado entre la normal del plano y la recta. Para esto se calcula el producto punto entre el

vector dirección de la recta con el vector normal del plano y se divide por la distancia del

vector dirección de la recta multiplicado por la distancia del vector normal del plano.

|| || || ||

d nsen

d n

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Adición en aritmética modular:

Es una de las dos operaciones permitidas en la aritmética modular, esta se trabaja solo con

enteros dependiendo del módulo que se solicite, tomando en cuenta que en módulo Zn cada

vez que la suma de los número sea igual a “n” se escribe como “0” (cero).

Multiplicación en aritmética modular:

Es la otra operación permitida en la aritmética modular, así como en la suma, se trabaja solo

con enteros correspondientes al módulo solicitado y cada vez que la multiplicación de dos

números sobrepase el módulo en el que se trabaja, se escribe la cantidad de unidades que lo

sobrepasa, por lo que cada entero de un módulo representa varios números del sistema

decimal.

Resolución de ecuaciones sobre Zp:

Al resolver ecuaciones en módulo Zp se deben utilizar el inverso aditivo y el inverso

multiplicativo de los números.

Inverso aditivo:

Cuando se resuelve una ecuación común (sistema decimal) utilizamos el inverso aditivo para

que un número se vuelva cero, ejemplo:

x +5 = 6

x+5+(-5)=6+(-5)

x=1

Pero en aritmética modular no existen los números negativos ni la resta, entonces hay que

sacar provecho de lo explicado en la “Adición en aritmética modular”, suponiendo que

tenemos una incógnita “x” sumada a una constante “k” hay que encontrar un número “n” en

modulo “p” de forma tal que “k+n=p”, y ya que “p” en Zp se escribe como 0, de esta forma nos

deshacemos de la constante.

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Inverso multiplicativo:

Ahora imaginemos que vamos a resolver una ecuación simple en sistema decimal y lo que

hacemos es utilizar el inverso multiplicativo para despejar “x”, ejemplo:

2x=4

2x*

= 4 *

x= 2

Hay que notar que el inverso multiplicativo de un entero es una fracción, pero en la aritmética

modular no existen las fracciones debido a que se trabaja únicamente con enteros, ahora

asumamos que tenemos una ecuación en la que la incógnita “x” esta multiplicada por una

constante “k”, entonces lo que se hace es buscar un número “n” en Zp tal que “n*k=p+1”; y

como “p” en Zp se escribe como 0, entonces la incógnita queda multiplicada por 1 y queda

despejada completamente.

Nota: para módulos pares no siempre existe inverso multiplicativo.

Elemento neutro aditivo:

Para cualquier modulo, el elemento neutro aditivo es 0.

Elemento neutro multiplicativo:

Para cualquier modulo, el elemento neutro multiplicativo es 1.

Sistemas lineales sobre Zp:

Son sistemas de ecuaciones lineales trabajados en un módulo específico. Se resuelven

colocando los coeficientes de las ecuaciones en una matriz y aplicando diferentes

operaciones para resolverlos. Si tienen solución se dice que es un sistema consistente, de lo

contrario es inconsistente.

Matriz:

Arreglo rectangular de números llamados entradas, se denotan con letras mayúsculas: A, B,

C, etc. O con letras minúsculas con doble subíndice: aij, bij, cij, etc.

Código universal del producto (UPC):

Es el código del producto que generalmente aparece debajo del código de barras, este

determina tanto el tipo de producto como su procedencia y para verificar si es un producto

registrado se utiliza el vector de verificación para UPC.

Vector de verificación para UPC:

Es el vector utilizado para verificar que el UPC sea válido. Tiene la misma cantidad de

componentes que el código del producto, y se escribe de la siguiente forma

u=[…,3,1,3,1,3,…,1], tomando en cuenta que la última componente debe ser 1 y que las

demás componentes son 3 y 1 alternados. Para verificar que el UPC sea correcto se hace

producto punto entre el código y el vector de verificación y debe ser igual a cero en módulo

10.

Número estándar internacional de libros (ISBN):

Código utilizado en los libros para identificarlos, puede tener 10 o 13 dígitos. Si tiene 10

dígitos su vector de verificación es u=[10,9,8,7,6,5,4,3,2,1] y su producto punto con el ISBN

debe ser cero en módulo 11; si tiene 13 dígitos se utiliza el vector de verificación para UPC.

Espacio generado:

Si 1 2, ..., ks v v v

es un conjunto de vectores en nR , entonces el conjunto de todas las

combinaciones lineales de 1 2, ..., kv v v se denomina el espacio generado por los vectores

1 2, ..., kv v v y se denota como generado 1 2, ..., kv v v

o generado (s). (Zuñiga 2013)

Conjunto generador:

Si generado ns R

, entonces a “S” se le identifica como un generador para nR

(Zuñiga 2013)

Linealmente dependiente (l. d.):

Un conjunto de vectores 1 2, ..., kv v v

es linealmente dependiente (l.d) si existen escalares

1 2, ..., kc c c y al menos uno de ellos NO es cero, tales que 1 1 2 2 ... 0k kc v c v c v

(Zuñiga 2013)

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Linealmente independiente (l. i.):

Un conjunto de vectores que NO es linealmente dependiente se denomina linealmente

independiente (l.i) (Zuñiga 2013)

Entretenimiento Historieta

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Chistes -¿Qué hace un vector sin dirección ni sentido, trepando por el Everest?

-Escalar

-¿Qué es un vector común y corriente, del montón? -Un vector normal

-¿Qué es un vector bebé?

-Un producto de 2 vectores

-¿Qué se produce cuando un vector se prepara para tirar un penalti?

-Un momento de tensión

-¿Qué es un vector huraño, que rehúye contacto con los otros vectores?

-Un vector unitario

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Ejercicios resueltos:

#1) Dados los vectores A igual a 10 m y forma un ángulo de 45° y el vector B igual a 24 m y forma un ángulo de 30°. Hallar la magnitud y dirección del vector suma resultante R = A +B. Para el vector A:

Ahora, se suman las componentes en X y en Y:

Aplicando el teorema de Pitágoras con los datos anteriores, se halla la magnitud del vector.

Y por último, se encuentra la dirección del vector, así:

#2) Sean a y b dos vectores. La proyección ortogonal de a

sobre b se calcula aplicando esta fórmula:

Ejemplo: Sean los vectores (1,1,1), (0,2,-1). Haciendo las operaciones indicadas nos queda: El producto escalar (1,1,1).(0,2,-1) es 1.0 + 1.2 + 1.-1 = 1. El producto escalar (0,2,-1).(0,2,-1) es 0.0 + 2.2 + -1.-1 = 5. Entonces la proyección del vector (1,1,1) sobre (0,2,-1) será: 1/5 (0,2,-1) = (0,2/5,-1/5). #3)

Dados los vectores y , hallar el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el

vector hallado es ortogonal a y .

El producto vectorial de es ortogonal a los

vectores y .

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#4) Calcular el producto escalar de los siguientes vectores:

1. = (3, 4) y = (-8, 6)

· = 3 · (-8) + 4 · 6 = 0

2. = (5, 6) y = (-1, 4)

· = 5 · (-1) + 6 · 4 = 19

3. = (3, 5) y = (-1, 6)

· = 3 · (-1) + 5 · 6 = 27

Ejercicios trabajados en clase Normalice el vector v = [-5, 0, 2]

Encuentre la magnitud del vector v = [-5, 0, 2]

Encuentre el producto punto entre los vectores v = [-5, 0, 2] y w = [4, 2, -8]

Encuentre el ángulo entre los vectores v = [-5, 0, 2] y w = [4, 2, -8]

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Encuentre la proyección de v = [-5, 0, 2] sobre w = [4, 2, -8]

Sean u y v vectores y escalares c y d, demuestre que cu ∙ dv = cd (u ∙ v)

Sean u, v y w vectores, demuestre que (u x v) ∙ w = u ∙ (v x w):

Dados los vectores u y v, demuestre que el vector resultante de u x v es ortogonal a u y a v:

Realice la siguiente operación en el módulo que se indica: (3+4)(3+2+4+2) en Z5

Encuentre el resultado de la siguiente ecuación en el módulo indicado: 4x + 2 = 5 en Z6

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Determine el número faltante en el siguiente UPC: [0, 1, 4, 0, 1, 4, 1, 8, 4, 1, 2, d]