Magnetismo y óptica -...

Magnetismo y

Óptica

Dr. Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail: [email protected]

Webpage: http://rpduarte.fisica.uson.mx

© 2016 Departamento de Física Universidad de Sonora

TemarioA. Magnetismo

1. Campo magnético. [Ene11-Ene29] (7.5 horas)

2. Leyes del Magnetismo. [Feb01-Feb19] (7.5 horas)

3. Propiedades magnéticas de la materia. [Feb22-Feb26](3horas)

B. Óptica

1. Naturaleza y propagación de la luz.. [Feb29-Mar04] (3horas)

2. Leyes de la reflexión y refracción. [Mar07-Mar15] (4.5horas)

3. Óptica geométrica. [Mar16-Abr15] (9horas)

4. Difracción. [Abr18-Abr22] (3horas)

5. Polarización óptica. [Abr25-Abr29] (3horas)

6. Propiedades ópticas de la materia. [May02-May06] (3horas)

Magnetismo y óptica

Parte I: Magnetismo (Tiempo aproximado: 18 horas)

2. Leyes del magnetismo. [Feb01-Feb19] (7.5 horas).

a. Ley de Biot-Savart. Fuerza entre dos conductores paralelos

b. Ley de Ampère. El solenoide.

c. Ley de Faraday-Lenz. Fuerza electromotriz. Generadores.

Leyes del Magnetismo. Introducción

Como se mencionó anteriormente, en el experimento deOersted, la existencia de unacorriente en un alambreproduce un campo magnéticocapaz de desviar la agujaimantada de una brújula.

En su experimento, Oerstedobservó que la dirección de labrújula es siempre perpendi-cular a la dirección de lacorriente en el alambre, talcomo se muestra en la figura.

Experimento de Oersted

Efectos de B sobre cargas eléctricas en movimiento


Cuando estudiamos el efecto que produce un campo magnéticosobre una carga eléctrica en movimiento encontramos que esta esafectada por una fuerza (magnética) dada por

BF qv B

Efectos de B sobre alambres que conducen corriente


De igual manera, cuando estudiamos el efecto que produce uncampo magnético sobre un alambre que conduce una corrienteencontramos que este es afectado por una fuerza (magnética) dadapor

BF IL B

Efectos de torsión sobre una espira que conduce corriente


También discutimos el efecto que tiene uncampo magnético sobre una espira cerrada queconduce una corriente, sobre la cual la fuerzamagnética resultante es nula, pero aparece unmomento de torsión dado por

donde m es el momento magnético dado por

B m

IAm

Ley de Biot-Savart

El vector de campo magnético dB esperpendicular tanto al vector ds (elcual apunta en la dirección de lacorriente) y al vector unitario r que vadel elemento ds al punto P donde semide dB.

La magnitud de dB es inversamenteproporcional a r2, donde r es ladistancia del elemento ds al punto P.

En 1820, poco tiempo después del experimento de Oersted, losfísicos franceses Jean-Baptiste Biot (1774-1862) y Félix Savart (1791-1841) realizaron con sumo cuidado experimentos cuantitativos sobreel campo magnético producido en las cercanías de un alambre queconducía una corriente I.

Los resultados obtenidos por Biot y Savart se resumen en losiguiente:

Ley de Biot-Savart

La magnitud de dB es proporcional a lacorriente I que conduce el alambre y ala magnitud del elemento ds.

La magnitud de dB es proporcional asen q, donde q es el ángulo entre elvector de posición r y el vector ds (quetiene la dirección de la corriente).

En 1820, poco tiempo después del experimento de Oersted, losfísicos franceses Jean-Baptiste Biot (1774-1862) y Félix Savart (1791-1841) realizaron con sumo cuidado experimentos cuantitativos sobreel campo magnético producido en las cercanías de un alambre queconducía una corriente I.

Los resultados obtenidos por Biot y Savart se resumen en losiguiente:

Ley de Biot-Savart

donde m0 es una constante llamadapermeabilidad del vacío y tiene unvalor de 4𝜋 × 10−7𝑇 ∙ 𝑚/𝐴.

El producto cruz 𝑑 𝑠 × 𝑟 apuntahacia afuera de la página cuando 𝑟corresponde al punto P, y apuntahacia adentro cuando 𝑟 correspondeal punto P’.

De los resultados anteriores, Biot y Savart llegaron a unaexpresión matemática que nos proporciona el campo magnético enun punto del espacio en términos de la corriente que produce elcampo, la cual se conoce actualmente como Ley de Biot-Savart y quese escribe como

0

2

ˆ

4

I ds rdB

r

m

Comparación entre los campos Magnético y Eléctrico

Ley de Biot-Savart

A continuación se presenta una comparativa entre los camposeléctricos y magnéticos, tal como los hemos revisado hasta ahora, eneste curso y en otros previos.

Campo magnético

B es proporcional a lacorriente I.

B es proporcional a 1/r2.

La dirección de B es perpen-dicular a r y dS.

Campo eléctrico

E es proporcional a la cargaq.

E es proporcional a 1/r2.

La dirección de E es radial.

0

2

ˆ

4

I ds rdB

r

m

2

0

ˆ1

4

qrE

r

Campo magnético de algunas configuraciones

Ley de Biot-Savart

Alambre recto Alambre arbitrario

Dirección de B usando la Regla de la mano derecha

Ley de Biot-Savart

Corriente eléctrica

Campo

magnético

Campo magnético de algunas configuraciones simétricas

Ley de Biot-Savart

Campo B en el centro de un anillo

de corriente

Campo B en el eje de un anillo

de corriente

Campo B producido por un alambre recto finito

Campo magnético de un anillo de corriente

Ley de Biot-Savart

Corriente eléctrica I

Campo magnético B

Ley de Biot-Savart. Un ejemplo.

Ejemplo. En cada una de las figuras, encuentre la dirección de lacorriente en el alambre que produce el campo magnético mostrado.

Ley de Biot-Savart

Sin embargo, esta expresión nos proporciona el campo magnético

𝑑𝐵 producido en un punto por la corriente de un pequeño elementodel conductor, y no de todo el conductor.

Para encontrar el campo magnético total 𝐵 creado en un puntopor una corriente de tamaño finito, debemos sumar lascontribuciones de todos los elementos de corriente 𝐼𝑑 𝑠 que forman

la corriente, es decir, debemos evaluar 𝐵 integrando la ecuaciónanterior, a saber

donde la integral se toma sobre toda la distribución de corriente,cuidando el producto cruz en el integrando.

Hasta este punto hemos considerado la Ley de Biot-Savart como

0

2

ˆ

4

I ds rdB

r

m

0

2

ˆ

4

I ds rB

r

m

Ley de Biot-Savart. Ejemplo.

Ejemplo. Calcule el campo magnético en elpunto P a una distancia a de un alambrerecto que transporta una corriente I, talcomo se muestra en la figura.

Solución. Para poder aplicar la Ley de Biot-Savart requerimos identificar cada uno delos elementos que aparecen en la expresión

Así que

0

2

ˆ

4

I ds rdB

r

m

Del esquema:

ˆ ˆi jˆˆ

x ads r dxi

r

ˆˆa

ds r dxkr

2 2 2r x a

ˆcos dxkq

0

2

cos ˆ4

I dxdB k

r

m q

De la expresión anterior vemos que el campo magnético en elpunto P sale del plano de la figura, acorde con lo esperado usando laregla de la mano derecha.



Solución. Para encontrar el campo total quese mide en el punto P requerimos integrarla última expresión, a saber

0

2

cos ˆ4

I dxdB k

r

m q

Del esquema vemos que r y x dependen del ángulo q y de ladistancia a, así que escribamos esta dependencia.

Así que 𝑥 = −𝑎 tan 𝜃 lleva a escribir 𝑑𝑥 = −𝑎 sec2 𝜃𝑑𝜃, es decir

𝑑𝑥 = −𝑎𝑑𝜃

cos2 𝜃Mientras que cos 𝜃 =

𝑎

𝑟lleva a escribir 𝑟 =

𝑎

cos 𝜃

tanx

aq

cos

a

rq



Solución. Con todo lo anterior, tenemosque

Es decir

Que, al integrar acorde con el esquema anexo, nos lleva sucesivamente a

20

2

coscos ˆ

4

cos

ad

IdB k

a

qq

m q

q

0 ˆcos4

IdB d k

a

mq q

2

1

0ˆ cos4

IB k d

a

q

q

mq q

0

1 2ˆ sin sin

4

Ik

a

mq q


Ejemplo. Alambre recto infinito. Haciendo usode la expresión anterior, calcule el campomagnético en el punto P a una distancia a deun alambre recto muy largo que transporta unacorriente I.

Solución. Partiendo de la expresión para elcampo magnético

podemos considerar que para un alambreinfinito los ángulos se vuelven rectos.

0

1 2ˆ sin sin

4

IB k

a

mq q

0ˆ2

IB k

a

m

Lo anterior implica que 𝜃1 = −𝜃2=𝜋

2, con lo que el término entre

corchetes resulta: sin 𝜃1 − sin 𝜃2 = 1 − −1 = 2.Así que


Alambre recto infinito.

Con la expresión anterior, y usando la reglade la mano derecha, podemos calcular elcampo magnético producido a unadistancia a de un alambre muy largo quelleva una corriente I ya que la magnitudserá

0

2

IB

a

m


Ejemplo. En la figura se muestra un corte transversal de dos alambresconductores muy largos. (a) ¿Qué dirección tiene el campo en elorigen? (b) Encuentre una expresión para la magnitud del campomagnético que se mide en el origen y evalúela considerando que𝐼1 = 0.75𝐴,𝐼2 = 1.2𝐴 y 𝑎 = 10𝑐𝑚.

Consideremos dos alambres rectos de largol, por los que circulan corrientes I1 e I2, yseparados una distancia a, tal como semuestra en la figura.

Si analizamos el cable con corriente I2,vemos que este produce un campo B2 como semuestra.

Fuerza entre dos conductores paralelos

0 2 0 1 21 1 2 1

2 2

I I IF I lB I l l

a a

m m

En particular, vemos que en la posición del alambre 1 (que conduceuna corriente I1) el campo magnético B es perpendicular a estacorriente I1, de tal forma que si calculamos la fuerza que se ejercesobre el alambre 1 encontramos que esta apunta hacia el alambre 2.

Si usamos los resultados previos, podemos escribir la magnitud deF1 como

Por otro lado, si consideramos que lacorriente I2 va en dirección contraria a lamostrada entonces el campo B2 apuntaría enla dirección opuesta a la del esquema.

Así que en tal caso, la regla de la manoderecha nos indicaría que la fuerza F1 estádirigida en dirección opuesta, es decir,alejándose del alambre 2.

Fuerza entre dos conductores paralelos

Lo anterior permite concluir que dos alambres paralelos que conducen corrientes en la misma dirección se atraen entre sí, mientras que dos conductores con corrientes en direcciones

opuestas se repelen. En ambos casos, la magnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) está dada por

0 1 2

2

BI IF

l a

m

Ejemplo. Dos conductores paralelos muylargos y separados 10.0cm llevan corrientesen la misma dirección. Uno de ellos lleva unacorriente 𝐼1 = 5.0𝐴, mientras que el segundolleva una corriente 𝐼2 = 8.0𝐴. (a) ¿Cuál es lamagnitud del campo magnético creado por 𝐼1en la posición de 𝐼2? (b) ¿Qué fuerza porunidad de longitud se ejerce sobre 𝐼2?

Fuerza entre dos conductores paralelos. Ejemplo.

unidad de longitud se ejerce sobre 𝐼2? (c) ¿Cuál es la magnitud delcampo magnético creado por 𝐼2 en la posición de 𝐼1? (d) ¿Qué fuerzapor unidad de longitud se ejerce sobre 𝐼1?

Ley de Ampère

Experimentalmente se observa que el campo magnético de unalambre recto forma círculos alrededor de la corriente, tal como semuestra en la figura siguiente.

En este caso se muestra elpatrón formado por limadurasde hierro alrededor de unalambre recto que conduceuna corriente I.

En el experimento deOersted se observa que elcampo magnético tiene laforma esquematizada que semuestra en la figura.

Considerando el esquema(b), calculemos el producto

𝐵 ∙ 𝑑 𝑠

para un diferencial 𝑑 𝑠 a lo largo de la trayectoria circular definidapor las agujas de las brújulas.

En particular, podemos advertir que a lo largo de la trayectoria

mencionada tanto 𝐵 como 𝑑 𝑠 son paralelos, por lo que el productopunto se reduce al producto 𝐵𝑑𝑠.

Ley de Ampère

Si ahora consideramos que el campo magnético alrededor de unalambre sólo depende de la distancia, podemos concluir que elcampo sobre la trayectoria mencionada es constante.

De tal forma que si calculamos la integral planteadaanteriormente a lo largo de toda la trayectoria circular, encontramossucesivamente que

donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia es,precisamente, el perímetro (2r).

Es importante hacer notar que este resultado es independiente dela trayectoria seguida, en este caso por simplicidad se ha consideradouna circunferencia.

Ley de Ampère

El caso general, conocido como Ley de Ampère, puede serenunciado de la siguiente forma:

Es importante mencionar que aún cuando la ley de Ampère

establece una relación entre el campo magnético 𝐵 y su fuente: lacorriente 𝐼, la dificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarlasólo en condiciones de simetría.

La integral de línea de 𝐵 ∙ 𝑑 𝑠 a lo largo de unatrayectoria cerrada es igual a 𝜇0𝐼, donde 𝐼 es la corrientetotal que atraviesa el área delimitada por dichatrayectoria cerrada, es decir

𝐵 ∙ 𝑑 𝑠 = 𝜇0𝐼

Ley de Ampère

Ley de Ampère. Un ejemplo.

Ejemplo. Usando Ley de Ampère

calcule el valor de la integral 𝐵 ∙ 𝑑 𝑠

para cada una de la trayectoriasmostradas en la figura.

Solución.

a) Para la trayectoria a:

m0(1A+5A-2A) = 4m0A

b) Para la trayectoria b:

m0(1A-2A) = -m0A

c) Para la trayectoria c:

m0(1A+5A) = 6m0A

d) Para la trayectoria d:

m0(5A-2A) = 3m0A

𝐵 ∙ 𝑑 𝑠 = 𝜇0𝐼

Campo magnético de un solenoide

Líneas de campo magnético de un solenoide con las espiras completamente adyacentes

Campo magnético de un imán en forma de barra, visualizado mediante limaduras de hierro.

Un solenoide es un alambre largoenrollado en forma de hélice, y puedetener cientos o miles de vueltas muyapretadas, cada una de las cualespuede considerarse como una espiracircular. También es posible que hayavarias capas de vueltas

Con este arreglo se logra un campomagnético razonablemente uniformeen el espacio delimitado por las espirasde alambre, lo que podríamos llamarel interior del solenoide, tal como semuestra en el esquema siguiente


Un solenoide ideal se forma conforme lasespiras están cada vez menos espaciadas, ellargo crece y el radio de las espiras disminuye.

En tal caso, las líneas de campo magnéticoen el interior son cada vez más uniformes,mientras que el campo en el exterior es cadavez más débil, tal como se representa en lafigura anexa.

Como puede apreciarse, en este solenoidelas líneas de campo magnético presentan unageometría muy sencilla, por lo que aplicar laLey de Ampère no debe ser problemático.


Esquema de un solenoide ideal

Cálculo del campo B de un solenoide

Para calcular el campo magnético en elinterior de un solenoide ideal se utiliza laley de Ampère, considerando latrayectoria mostrada en la figura.

Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto

𝐵 ∙ 𝑑 𝑠 es cero ya que son perpendiculares;mientras que sobre la trayectoria 3también es cero, debido a que estamosconsiderando un solenoide ideal (donde elcampo exterior es cero).

Con lo anterior, la única contribución a laintegral corresponde a la trayectoria 1, es decir

Lo anterior permite escribir la ley deAmpère para este caso como

𝐵 ∙ 𝑑 𝑠 = 𝐵𝑙 = 𝜇0𝑁𝐼

de donde podemos establecer que laintensidad del campo magnético en elinterior de un solenoide está dada por

𝐵 =𝜇0𝑁𝐼

𝑙= 𝜇0𝑛𝐼

donde 𝑛 = 𝑁/𝑙 es el número de espiraspor unidad de longitud.

Cálculo del campo B de un solenoide

Ejemplo. Un solenoide de 15.0 cm delargo con radio de 2.50 cm tiene undevanado compacto con 600 espiras dealambre. La corriente en el devanado esde 8.00 A. Calcule el campo magnéticoen un punto cercano al centro delsolenoide.

Cálculo del campo B de un solenoide. Ejemplo.

Experimentalmente se encuentra que (la variación del flujo de) uncampo magnético induce una corriente en una espira cerrada, como semuestra en las siguientes figuras.

Ley de inducción de Faraday

Es importante notar que no esnecesaria la existencia de unabatería para producir unacorriente en la espira, por lo quese dice que tenemos una corrienteinducida en la espira comoproducto de la presencia de unflujo magnético

También se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas, unade ellas conectada a una batería y la otra a un galvanómetro, almomento de cerrar el circuito hay un registro en el galvanómetro,pero ese desaparece hasta que se abre el circuito.


De nuevo, en la espira secundaria NO hay conectada una bateríapara producir una corriente en la espira, por lo que se dice quetenemos una corriente inducida en la espira como producto de lapresencia de un flujo magnético, en este caso, producido por lacorriente en la espira primaria.

Como resultado de estas observaciones, Faraday concluyó que “esposible inducir una corriente eléctrica en un circuito mediantevariaciones en (el flujo de) el campo magnético”.

En general, es costumbre enunciar la Ley de Faraday en términosde una fuerza electromotriz (fem) 𝜀, en vez de una corriente.

Con lo anterior, establecemos que “la fem inducida en una espira esproporcional al cambio temporal del flujo magnético Φ𝐵 a través deella”, lo que se escribe como

𝜀 = −𝑑Φ𝐵𝑑𝑡

donde Φ𝐵 = 𝐵 ∙ 𝑑 𝐴 es el flujo magnético a través de la espira, que se

calcula en cada punto considerando el producto escalar entre el campo

magnético 𝐵 y un vector 𝑑 𝐴 que tiene como magnitud 𝑑𝐴 y direcciónperpendicular a la superficie delimitada por la espira.


Para el cálculo del flujo magnético a travésde una espira que forma un ángulo arbitrariocon el campo magnético, podemos considerar elesquema anexo.

En este caso, el flujo magnético resulta ser𝐵𝐴 cos 𝜃 , lo que permite escribir a la ley de

inducción de Faraday como

𝜀 = −𝑑 𝐵𝐴 cos 𝜃

𝑑𝑡

Si en vez de tener una espira, tenemos una bobina formada por N

espiras (todas de la misma área) podemos generalizar la Ley deinducción de Faraday como

𝜀 = −𝑁𝑑Φ𝐵𝑑𝑡


Retomando esta última expresión, a saber

𝜀 = −𝑑 𝐵𝐴 cos 𝜃

𝑑𝑡

Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (obobina) mediante:


una variación temporal de la magnitud del

campo magnético 𝐵; o

una variación temporal del área encerradapor la espira; o

una variación temporal entre la dirección

del campo magnético 𝐵 y la normal a laespira; o

una combinación de cualquiera de ellas.

Aplicaciones de la Ley de Faraday

La Ley de inducción de Faraday tiene un amplio rango deaplicaciones, entre las que podemos mencionar:

Los transformadores de voltaje, que emplean la primera de lassituaciones enlistadas anteriormente: variaciones en la magnitud deB.

Los generadores de electricidad, que emplean la tercera de lassituaciones enlistadas: variaciones en el ángulo entre el campo y lanormal a la espira.

Micrófonos, pastillas magnéticas, agujas de tocadiscos, etc., tambiénson ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday.

Etc.....

Ley de inducción de Faraday. Ejemplo.

Ejemplo. Una bobina de 120 espiras tiene 90 𝑚𝑚 de diámetro y suplano forma un ángulo de 60° con un campo magnético de 60 𝑚𝑇generado por un electroimán cercano. Cuando la corriente delelectroimán se interrumpe y el campo desaparece, se induce una femde 6𝑉 en la bobina. ¿Cuánto tiempo tarda el campo en desaparecer?

Una situación en la que podemos considerar el cambio del área dela espira aparece cuando consideramos una barra en movimiento.

Ley de inducción de Faraday. fem de movimiento

𝜀 = −𝑑Φ𝐵𝑑𝑡

= −𝑑 𝐵𝑙𝑥

𝑑𝑡= −𝐵𝑙

𝑑𝑥

𝑑𝑡

de donde la fem (𝜀) que se induce, yque se conoce como fem demovimiento, está dada por

𝜀 = −𝐵𝑙𝑣

Si hay un ángulo 𝜃 entre la normalal plano del movimiento y las líneas decampo magnético, el resultado anteriordebe multiplicarse por cos 𝜃.

En la situación mostrada, podemos considerar que 𝐵 y 𝜃 nocambian, de tal forma que sólo el área 𝐴 = 𝑙𝑥 varía con el tiempo, detal forma que

Ley de inducción de Faraday. fem de movimiento

Ejemplo. Un alambre recto de 60𝑐𝑚 de largo se mueve con unarapidez (constante) de 3.5𝑚/𝑠 en una región en el que existe uncampo magnético constante de 0.75𝑇. (a) Calcule la fem inducida enel alambre si el movimiento se da en un plano perpendicular a laslíneas del campo magnético; y (b) ¿Qué rapidez se requiere parainducir el mismo voltaje si el movimiento se da en un plano queforma un ángulo de 25° con las líneas del campo?

Ley de inducción de Faraday. fem de movimiento.

Ejemplo

La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magnético tienesigno opuesto a la fem inducida, este resultado experimental se conocecomo Ley de Lenz, la cual establece:

Ley de Lenz

“La polaridad de la fem inducida en una espira es tal quetiende a producir una corriente que crea un flujo magnético,el cual se opone al cambio del flujo magnético a través delárea encerrada por la espira de corriente”

Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla:

Si el flujo magnético aumenta, la dirección del campo magnéticoinducido es opuesta a la dirección del campo magnético externo.

Si el flujo magnético disminuye, la dirección del campo magnéticoinducido es la misma que la dirección del campo magnéticoexterno.

Ley de Lenz

Magnetismo y

Óptica

Dr. Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail: [email protected]

Webpage: http://rpduarte.fisica.uson.mx

© 2016 Departamento de Física Universidad de Sonora

Magnetismo y óptica -...

Documents

Transcript of Magnetismo y óptica -...