Maestria educacion parte 2

5/17/2018 Maestria educacion parte 2 - slidepdf.com

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METODOS ESTADISTICOS PARA LA

INVESTIGACION

PARTE II

Dr. CLETO DE LA TORRE DUEÑAS

[email protected]

2011.

mailto:[email protected]





2 ESTADISTICA

1RA EDICION

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del PerúREGISTRO Nº : 2009-09684

Todos los derechos reservados.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro en forma idéntica o modificada

por cualquier medio mecánico o electrónico, incluyendo fotocopia, grabación o

cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de información no autorizada

por el autor.

Impreso en Perú.



CLETO DE LA TORRE DUEÑAS 3

CAPITULO I

INTRODUCCION AL MUESTREO

1.1 INTRODUCCION.

El objetivo de la estadística es hacer inferencias acerca de una población con

base a la información contenida en una muestra. Este mismo objetivo motiva

el estudio del problema de muestreo.En lo referente al muestreo, la inferencia consiste en la estimación de un

parámetro de población, tal como una media, proporción con un margen de

error de estimación (precisión).

Para un buen entendimiento del problema de muestreo, introduciremos

enseguida, ciertos aspectos técnicos de muestreo.

1.2 DEFINICION DE TÉRMINOS, REVISIÓN DE CONCEPTOS.Población (UNIVERSO): Es una colección finita o infinita de individuos o

elementos, con una característica de interés para el estudio.

Una tarea importante para el investigador es definir cuidadosa y

completamente la población antes de recolectar la muestra. La definición

debe contener una descripción de los elementos que serán incluidos y una

especificación de las mediciones que se van a considerar, ya que estas dos

componentes están interrelacionadas.



4 ESTADISTICA

Muestra: Es un subconjunto representativo de la población. Una muestra

puede ser probabilística (aleatoria) o no probabilística.

Unidad de Muestreo: Es una colección de uno o más elementos de la

población. Las unidades de muestreo cubren toda la población. Una unidad

de muestreo debe ser claramente definida, identificable y observable.

Unidad de Análisis: Es la que suministra la información estadística

requerida.

Marco de Muestreo: Se presenta en forma de lista o mapa de las unidadesde muestreo que conforman la población. Forma el material básico para la

selección de la muestra.

El marco muestral debe contener todas las unidades de muestreo que

conforman la población bajo estudio, y debe excluir unidades de cualquier otra

población.

Parámetro: Es un valor numérico de la población usualmente desconocidoque representa cierta característica de la población.

Estadístico: Es una función real de la muestra aleatoria, usado para estimar

un parámetro, si un parámetro se denota con , el estimador se denotará con

ˆ .

Estimación: Es el valor que toma el estimador en los datos de la muestra.

Error de Estimación: Es la diferencia absoluta entre el parámetro y su

estimador, es decir || . Como se puede apreciar, es imposible conocer

con exactitud el error de estimación, pero podemos, al menos

aproximadamente encontrar un límite E tal que:

)|ˆ(| E P , para cualquier entre 0 y 1.




Si ˆ tiene distribución aproximadamente normal, entonces para

)ˆ(96.1 V E se cumple:

ˆ(| | ) 0.95P E

Limite para el error de estimación: Denotado por E es dado por

)ˆ(96.1 V E . El factor E es llamado también precisión. Si E esta

expresado en las mismas unidades de la medida de la variable, se le llama

precisión absoluta. Si E está expresado como un porcentaje del parámetroque se está estimando, se le llama precisión relativa.

Una vez estimado el límite E, podemos afirmar que el parámetro se

encuentra en el intervalo E E ˆ,ˆcon una confianza del 95%. El

intervalo anterior es llamado intervalo de confianza.

Error de Muestreo: Este error se debe a que una muestra no produce

información completa sobre una población. Puede ser controlado por un

diseño cuidadoso de la muestra y es estimado en gran parte por el factor E.

Por esta razón, algunos autores denominan al factor E, error de muestreo.

Error de no Muestreo: Son los errores que se introducen imperceptiblemente

a la encuesta y estos son más difíciles de controlar, infortunadamente estos

errores no se pueden medir fácilmente, y aumentan a medida que aumenta el

tamaño de la muestra. Los tipos errores no muestrales que suelen

presentarse son:

- Definición equivocada del problema.

- Definición defectuosa de la población.

- Marco imperfecto o desactualizado.

- La no respuesta.

- El sesgo de respuesta.



6 ESTADISTICA

- Diseño pobre del instrumento de medición.

Sin embargo, los errores de no muestreo pueden ser controlados mediante

una atención cuidadosa en todas las etapas de la encuesta.

1.3 ENCUESTA.

La función de la encuesta es la medición del comportamiento, actitudes o

características del encuestado, que es un individuo de la población en estudio

seleccionado para la muestra.

Diseño de la encuesta

Pasos a seguir, para diseñar una encuesta:

Definir los objetivos Determinar el marco

Diseñar el procedimiento de muestreo

Diseñar el cuestionario

Diseñar y realizar el trabajo de campo

Codificar, depurar y analizar las respuestas

Redactar el informe

Diseño de la muestra

El diseño de la muestra incluye:

La elección del procedimiento de muestreo

La determinación del tamaño de la muestra

Existen varios procedimientos de muestreo, entre las principales se tiene

muestreo: aleatorio simple, estratificado y sistemático.

1.4 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

Definición. Si una muestra de tamaño n, es seleccionado de una población

de tamaño N de tal manera que cada muestra posible tiene la misma

probabilidad de ser seleccionada, el procedimiento de muestreo se llama

Muestreo Aleatorio Simple (M. A. S.)

El M. A. S. puede ser de 2 formas, sin reposición (muestreo irrestricto

aleatorio) y con reposición.

Procedimiento de selección.




El procedimiento de selección de una Muestra Aleatoria Simple (M.A.S.)

consiste en:

i) Enumerar las unidades de la población, desde 1 hasta N.

ii) Usando la tabla de números aleatorios seleccionar la primera unidad

para la muestra.

iii) Continuar la selección excluyendo las unidades repetidas (si es sin

reposición) o incluyendo las unidades repetidas (si es con reposición)

hasta completar el tamaño de muestra n.

Tamaño de la muestra

Una parte fundamental para realizar un estudio estadístico de cualquier tipo

es obtener unos resultados confiables y que puedan ser aplicables. Como ya

se comentó anteriormente, resulta casi imposible o impráctico llevar a cabo

algunos estudios sobre toda una población, por lo que la solución es llevar a

cabo el estudio basándose en un subconjunto de ésta denominada muestra.

Sin embargo, para que los estudios tengan la validez y confiabilidad buscada

es necesario que tal subconjunto de datos, o muestra, posea algunas

características específicas que permitan, al final, generalizar los resultados

hacia la población en total. Esas características tienen que ver principalmente

con el tamaño de la muestra y con la manera de obtenerla.

Para calcular el tamaño de una muestra hay que tomar en cuenta tres

factores:

- El nivel de confianza con el cual se quiere generalizar los datos desde la

muestra hacia la población total.- El error que se pretende aceptar al momento de hacer la estimación.

- La varianza

Tamaño de muestra para estimar la media poblacional.

Si se desea estimar la media poblacional , con precisión fijada por el

investigador, el tamaño de muestra necesario es dado por:



8 ESTADISTICA

2 2

(1 / 2)

22 2

(1 / 2)

*

* ( 1)

Z N n

Z N Población finita.

2 2

(1 / 2)

2

* Z n

, Población infinita.

Donde

2 Es la varianza poblacional

En la practica el valor de2

estimado por S2 a partir de una encuesta

anterior o de una muestra piloto

Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional.

De manera simular, la fórmula del tamaño de muestra n para la estimación de

la proporción poblacional, p con un error máximo de estimación de y un

nivel de confianza del 100(1 - )%, esta dado por:

2

(1 / 2)

22

(1 / 2)

* * (1 )

* (1 ) ( 1)

Z N p pn

Z p p N , Población finita.

Si N :

2(1 / 2)

2

* (1 ) Z p pn, Población infinita.

En este caso el valor de esta entre 0 y 1, el valor de p es desconocido, por

lo que debe ser estimado preliminarmente a partir de una encuesta anterior, o

de una muestra piloto. En última instancia el valor de p se puede sustituir por

0.5 y se obtendrá un tamaño de muestra mayor que el requerido.

Recomendaciones para el uso del M. A. S.




El M. A. S. esta orientada a encuestas de pequeña escala y raras veces a

encuestas de gran escala, debido a que otros diseños proporcionan mayor o

igual precisión a menor costo.

En las encuestas por muestreo a gran escala, el M. A. S. es usado

como parte de un diseño de muestreo mucho más complejo.

El M. A. S. es muy eficiente cuando la población es homogénea.

1.5 MUESTREO ESTRATIFICADO.

Una muestra estratificada es obtenida mediante la separación de los elementos

de la población en grupos heterogéneos disjuntos, llamados estratos y la

selección posterior de una muestra aleatoria simple en cada estrato.

Consideremos una población de tamaño N, la cual es dividida en k estratos

(sub poblaciones) de tamaños Ni, i=1,2…., k, tal que

1 2 ... k N N N N

El tamaño de muestra se estima mediante:

2 2

(1 / 2)

1

2 2 2

(1 / 2)

1

* (1 ) /

* (1 )

k

i i i ii

k

i i ii

Z N p p wn

N Z N p p ,

iw

: Es el peso asignados al estrato i

N1 N2 NK …



10 ESTADISTICA

El tamaño de muestra necesario de cada estrato, se puede obtener por

afijación proporcional al tamaño de cada estrato, es decir:

* * , 1,...,ii i N n n n w i k N

Cuando se realiza un muestreo estratificado, los tamaños muestrales en cada

uno de los estratos, ni, los elige quien hace el muestreo, Así en un estrato

dado, se tiende a tomar una muestra más grande cuando:

- El estrato es más grande;- El estrato posee mayor variabilidad interna (varianza).

1.6 MUESTREO SISTEMATICO

Definición.- Una muestra obtenida al seleccionar aleatoriamente un elemento

de los primeros k elementos en el marco y después cada k-ésimo elemento,

se denomina muestra sistemática de intervalo de selección k.

Una muestre sistemática simple se obtiene cuando el intervalo de selección k

es exactamente un número entero.

El procedimiento de selección de una muestra sistemática simple consiste:

i) Las unidades del marco deben ser ordenados en magnitud de acuerdo

con algún esquema de ordenación (población ordenada) es base al orden

se establece la numeración desde 1 hasta N

ii) Determinar el intervalo de selección N k n (k exactamente un número

entero)

iii) Seleccionar un número aleatorio entre 1 y k (arranque aleatorio) sea “a”

el arranque aleatorio elegido, entonces los elementos de la muestra

sistemática, son los que ocupan las posiciones en el marco:

a, k+a, 2k+a, 3k+a,......(n-1)k+a




iv) El tamaño de muestra, para el muestreo sistemático es el mismo que el

M.A.S

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1. Por encargo del Ministerio de educación, un grupo de especialistas debe

realizar un estudio, para determinar el nivel de analfabetismo en una ciudad.

La estimación debe presentar un nivel de confianza del 95% y un margen de

error de 5%, suponiendo que la población es de 25000 ¿Cual es el tamaño de

muestra mínimo para este estudio?

Solución:

Consideremos que no se tiene ningún estudio de este tipo, por tanto 0.5 p ,

del problema:

(1 /2)25000, 0.05, 1.96 N z

2(1 / 2)

22(1 / 2)

* (1 )

* (1 ) ( 1)

Z NP P

Z P P N

n

2

22

1.96 *25000*0.5(1 0.5)378.361 379

1.96 *0.5(1 0.5) (25000 1) 0.05n

Se debe utilizar como mínimo 379 personas para el estudio.

2. Un funcionario del sector de educación, desea estimar el porcentaje deprofesores que presentan problemas de comprensión de lectura, con un nivel

de confianza del 95% y un margen de error del 5%. Suponiendo que en estudio

realizado hace 10 años, el porcentaje estimado de profesores con problemas

de comprensión de lectura fue de 15% ¿Cual debe ser el tamaño de muestra

para este estudio?

Solución:



12 ESTADISTICA

La población materia de estudio, no es finita, por tanto la relación para estimar

el tamaño de muestra es:

2

(1 / 2)2

(1 )* P P Z n

Del problema se tiene los siguientes datos

(1 / 2)0.15, 0.05, 1.96P z

2

2

1.96 *0.15(1 0.15)195.92 196

0.05n

3. Un investigador, desea hacer una estimación del egreso medio que tienen los

padres de familia de una I.E, con 99% de confianza, suponiendo que el

máximo error permitido es de 1 sol, además de una muestra piloto se obtuvo

una varianza de 25. También se sabe que la institución educativa tiene 2500

padres de familia. ¿Que tamaño de muestra necesitara para tal estudio?

Solución

2

(1 / 2)

2500, 1,

25, 2.58

N

Z

2 2

(1 / 2)22 2

(1 / 2)

2

22

** ( 1)

2.58 *2500*25156.08 157

2.58 *25 (2500 1) 1

Z N n Z N

n

Se debe utilizar como mínimo 157 padres de familia para el estudio.




4. Un grupo de especialistas en educación, planifican realizar un estudio sobre el

efecto del programa de capacitación un tres regiones del Perú. Suponiendo,

cuyo tamaño poblacional se muestra en el cuadro siguiente:

Región Tamaño de población.

A 2000

B 1200

C 5000

Total 8200

Considere que el tamaño de muestra es 245, calcule el tamaño de muestra

para cada región, necesario para este estudio.

Solución:

En este ejemplo, las regiones forman los estratos:

Región Ni wi

A 2000 =2000/8200=0.24B 1200 =1200/8200=0.15

C 5000 =5000/8200=0.61

Total N=8200 1

n=245.

Usando la relación:

* * , 1,...,ii i

N n n n w i k N , Se determina el tamaño de

muestra para cada region.

* 245 * 0.24 59.76 60* A A

A N

n w N

n n

* 245 * 0.15 35.85 36* B

B

B

N n w

N n n



14 ESTADISTICA

* 245 * 0.61 149.39 149*C C

C N

n w N

n n

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Por encargo del Gobierno regional de Cusco, usted tiene que realizar un

estudio de seguimiento al programa de alfabetización en la región.

a) Cual es el tamaño de muestra para su estudio.

b) ¿Qué tipo de muestreo se debe aplicar?.

2. Suponiendo que usted, está realizando un estudio del efecto que presenta elprograma plan lector implementado por el gobierno, en la comprensión de los

estudiantes de las región de Cusco.

a) ¿Cuántos estudiantes como mínimo se requiere para el estudio?

b) Qué criterio de muestreo debería aplicar, con la finalidad de recopilar

información.

c) Explique el procedimiento, métodos estadísticos a utilizar en estudio.

3. Suponiendo que usted, está realizando un estudio del efecto que presenta los

hábitos de lectura en la comprensión lectora de los estudiantes de las

provincias de Cusco, La Convención y Canchis.

a) ¿Cuál es el tamaño de muestra para este estudio?

b) Qué criterio de muestreo debería aplicar, con la finalidad de recopilar

información.

4. Un investigador desea estimar el porcentaje de niños hiperactivos que existe en

una ciudad con un nivel de confianza del 98%.

¿Cuántos niños debería seleccionar para su estudio y que criterio de selección

de la muestra debe utilizar?. Justifique adecuadamente su respuesta.

5. Se desea estimar el ingreso medio mensual de los padres de familia de la una

I.E. Ante la ausencia de cualquier información acerca de la variabilidad del

ingreso económico, se tomó una muestra preliminar de 5 padres de familia, en

los que se obtuvieron los siguientes ingresos (en soles): 470, 480, 567, 491,

673.




a) Determinar el tamaño mínimo de muestra, al 95 %, para cumplir el

objetivo anterior, suponiendo que dicha institución educativa tiene 500

padres de familia

b) Qué tipo de muestreo se debe aplicar para este estudio.



16 ESTADISTICA

CAPITULO II

ESTIMACION PUNTUAL Y POR INTERVALOS

2.1 INFERENCIA ESTADÍSTICA.

La Inferencia estadística es aquella rama de la estadística mediante la cual se

trata de sacar conclusiones de una población en estudio, a partir de la

información que proporciona una muestra representativa de la misma.

Cuando se busca información acerca de una población, pero solo disponemos

de datos sobre una muestra, se necesitan algunos medios para utilizar los

datos de la muestra y sacar conclusiones acerca de la población. Losconceptos y técnicas que satisfacen esta necesidad constituyen lo que se

conoce con el nombre de Inferencia Estadística.

PUNTUALESTIMACIÓN

POR INTERVALOS

INFERENCIA ESTADÍSTICA

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Definición . Un estadístico es cualquier función de las observaciones de una

muestra aleatoria; es por lo tanto una variable aleatoria.

Se llama estimador de un parámetro a cualquier función de una muestra

),,,(ˆ

21 n X X X f

que conduce a la obtención de valoresaproximados de . Un estimador es un estadístico.




La estimación es puntual cuando el estimador ˆ toma un solo valor.

Definición . Un estimador puntual de un parámetro es insesgado si su valor

esperado es ; es decir, ˆ es insesgado si ]ˆ[E

A la diferencia ]ˆ[E se le denomina sesgo del estimador.

2.2 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

2.2.1 Distribución de la media muestral con varianza poblacional

conocida.

Sea X una variable aleatoria con media µ y desviación típica conocida y

n X X X ,,, 21 una muestra aleatoria de tamaño n, entonces la media

muestral será:

n

ii X

n

X 1

1

Por el Teorema Central del Límite, si n 30, la distribución de X se aproxima

a la de una variable aleatoria normal de media µ y desviación típica n / .

Se representa por ) / ,(~ n N X

2.2.2 Distribución de la media muestral en poblaciones normales con

varianza poblacional desconocida.

Dada una variable aleatoria con distribución normal ),(~ N X con 2

conocido y una muestra aleatoria simple de tamaño n suya,

n X X X ,,, 21 , entonces:

12

~)1 /(

nt nS

X



18 ESTADISTICA

Donde la varianza muestral se define como:

2

1

2 )(1 n

i

i X X

n

S

2.2.3 Distribución de la proporción muestral

La proporción muestral es un caso particular de la media muestral. Dada una

población, llamamos p a la proporción poblacional de elementos que presentan

una determinada característica. Si extraemos aleatoriamente un individuo de

dicha población, la variable aleatoria X que toma valor 1 si tal individuo

presenta la característica y 0 si no es así, es una variable de Bernoulli,

X ~ B(1, p ).

Si tomamos una muestra aleatoria simple de X de tamaño n ,

n X X X ,,, 21 , entonces

1

1ˆ

n

i

i X X pn

La proporción representa el cociente entre el número de elementos que poseen

la característica y el tamaño de la muestra.

Si n 30, aplicando el Teorema Central del Límite, la distribución de p̂ se

aproxima por una normal, ( , (1 ) / ) N p p p n

2.2.4 Distribución de la diferencia de medias muestrales de dos

poblaciones normales independientes con varianzas

poblacionales conocidas.

Sean X e Y dos variables aleatorias normales:

1 1~ ( , ) X N




2 2~ ( , )Y N con 1 y 2 conocidas.

Sea una muestra aleatoria simple de X de tamaño n , n X X X ,,, 21 e

independientemente se extrae otra muestra aleatoria simple de Y de tamaño

m , 1 2, , , mY Y Y . , entonces

) / ,(~ 11 n N X e ) / ,(~22

m N Y

Como las medias muestrales X e Y son independientes, tenemos que:

) / / ,(~ 2

2

2

121 mn N Y X

2.2.5 Distribución de la diferencia de medias muestrales de dos

poblaciones normales independientes con varianzas

poblacionales desconocidas, pero iguales.

Sean X e Y dos variables aleatorias normales, 1 1~ ( , ) X N e

2 2~ ( , )Y N con desviaciones típicas 21 , pero

desconocida.

Sea una muestra aleatoria simple de X de tamaño n , 1 2, , , n X X X e

independientemente se extrae otra muestra aleatoria simple de Y de tamaño

m , 1 2, , , mY Y Y

. Entonces:

1 2

2 2

1 2

2

( ) ( )~

1 1

2

n m

X Y

nS mS

n m n m

t

Donde:



20 ESTADISTICA

2

1S es la varianza muestral de la variable X y2

2S la varianza muestral de la

variable Y .

2 22 1 2

2c

nS mSS

n m es el estimador de la varianza común.

2.2.6 Distribución de la varianza muestral en poblaciones normales.

Si ),(~ N X y 1 2, , , n X X X

es una muestra aleatoria de tamaño n ,

entonces la distribución de la varianza muestral2S es :

2

2

2( 1)

( 1)~ n

n S

Donde2

( 1)ndenota la distribución chi cuadrado con n -1 grados de libertad.

2.2.7 Distribución del cociente de varianzas muestrales de dos

poblaciones normales

Sean X e Y dos variables aleatorias normales, ( , )1 1~ X N e

( , )

2 2

~Y N e independientes. Si extraemos muestras de tamaños

1 2 1 2: , , , y : , , ,n m X X X Y Y Y n m

Respectivamente observamos que

2 *2

1 1

2 21 1

21

( 1)~ n

nS n S

;




2 *2

2 2

2 2

2 2

21

( 1)~ m

mS m S

El cociente entre ellas se distribuye según una F de Snedecor

2

1

2

1

( 1, 1)

1

1

/ ~

/

n

mn m

n

mF

Por lo tanto,

*2 2

1 1*2 2

2 2

( 1, 1)

/ ~ /

n m

SF S

2.3 INTERVALOS DE CONFIANZA.

Cuando tratamos la estimación puntual, uno de los problemas que se

plantearon es que el valor de la estimación es solo uno de los valores del

estimador, obtenido al extraer una muestra concreta, de forma que si

extraemos dos muestras distintas, las estimaciones serán distintas.Al hacer cualquier estimación se está cometiendo un error, y seria deseable

proporcionar una medida de la precisión de la estimación del parámetro.

En este tema vamos a introducir el concepto de intervalo de confianza como un

intervalo cuyos extremos son variables que dependen de la muestra, y en el

cual se confía que esté el valor de parámetro. El intervalo se obtendrá a partir

de un estadístico generalmente relacionado con un estimador puntual, cuya

distribución no depende del parámetro desconocido, y una medida de la validez

del intervalo es el nivel de confianza, que indica la proporción de intervalos de

todos los que se podrían construir a partir de muestras distintas, que realmente

contienen al parámetro.

La importancia del intervalo de confianza para la estimación está en el hecho

de que el intervalo contiene información sobre el estimador puntual (valor

central del intervalo) y sobre el posible error en la estimación a través de la

dispersión y de la distribución muestral del estimador. Una estimación será

tanto más precisa cuanto menor sea la amplitud del intervalo de confianza, es

decir, cuanto menor sea el error de estimación.



22 ESTADISTICA

Definición

Un intervalo de confianza (IC) al 100(1 - )% para un parámetro poblacional

de una v.a. X es un intervalo con estadísticas L1 y L2 en los extremos (IC =

L1, L2 ) tal que .121 L LP

Intervalo de confianza para la media

El IC al 100(1 - )% para , cuando 2

es conocida , se obtiene

usando como pivote a

N (0, 1) /

X Z

n

y vienen dado por

1 12 2

X z X zn n

Z(1 Z(1

1

/2 /2

Donde:

x : Estimador

21

z: Factor de confiabilidad

n : Error típico del estimador




En términos generales un intervalo de confianza se puede expresar como

ESTIMADOR DELTÍPICOERROR DADCONFIABILI DE FACTORESTIMADOR

El IC al 100(1 - )% para , cuando 2

es desconocida se obtiene

usando como pivote a

(n -1)t /

X T

S n

y vienen dado por :

(1 , 1) (1 , 1)2 2

,n n

S S X X

n nt t

t(1 t(1

1

/2 /2

Donde:

(1 , 1)2 n

t denota al valor de la distribución t de Student con n – 1 grados de

libertad y la varianza muestral esta dado por :

2

2 1

1

n

i

i

x x

Sn



24 ESTADISTICA

Intervalo de confianza para la varianza

El IC al 100(1 - )% para2, se obtiene usando como pivote a

22

( 1)2

1 n

n S y vienen dado por :

22

2

2 2

(1 (2 2, 1) , 1)

11

n n

n Sn S

1

2

(1 /2)

2

( /2)

Donde

2

( , 1)2 n y

2

(1 , 1)2 n denotan los valores en la distribuciónchi-cuadrado con n – 1 grados de libertad y la varianza muestral dado por:

2

2 1

1

n

iiS

x x

n




Intervalo de confianza para la razón de dos varianzas

El IC al 100(1 - )% para2 2

1 2 / , se obtiene usando como pivote a

2 2

1 11 22 2

2 2

/ 1, 1

/

SF F n n

S

y vienen dado por

2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2

( / 2, 1, 1) (1 / 2, 1, 1)2 1 2 1

S S

f f n n n nS S

Donde 2 1( /2, 1, 1)n n f y 2 1(1 / 2, 1, 1)n n f denotan a los valores

en la distribución F.2 2

1 2y S S y son las varianzas de dos muestras aleatorias

independientes de tamaños 1n y 2n

Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias.

El IC al 100(1 - )% para 1 2 , cuando 2

1 y 2

2 es conocida se

obtiene usando como pivote a

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

( ) X X z

n n

y vienen dado por:

2 2 2 2

1 2 1 2(1 / 2) 1 2 (1 / 2)

1 2 1 2

( ) ( )1 2 1 2* * X X X X z z

n n n n



26 ESTADISTICA

Intervalo de confianza para la proporción

El IC al 100(1 - )% para p, se obtiene usando como pivote a

1N (0, 1)

p p

n

p p Z

y vienen dado por:

2 2

1 1

1 1

p p p p

n n p p p z z

Intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones

El IC al 100(1 - )% para 1 2 p p , se obtiene usando como pivote a

1 2

1 1 2 2

1 2

1 1

1 2( ) ( )N (0, 1)

p p p p

n n

p p p p Z

y vienen dado por:

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

1 1

1 1

( ) * ( )1 2 1 2 1 2(1

2

*(1

2

)

)

( ) p p p pn n

p p p p

n n

p p p p z p p

z




2.4 RESUMEN DE INTERVALO DE CONFIANZA.

En el cuadro siguiente se presenta el resumen de las relaciones para los

intervalos de confianza de los principales parámetros.

Intervalos de confianza de: Limite inferior Limite Superior

La Media

-Si se asume 2 conocido

-Nota: Si la población no es

normal pero n 30

(12

) X

n z

(12

) X

S

n z

(12

) X

n z

(12

) X

S

n z

La Media

Si se asume que 2 es

desconocido2

(1 , 1)n

S

n

X t 2

(1 , 1),

n

S

n

X t

La diferencias de Medias

21 y 2

2 Conocidos

--Nota: Si las poblaciones no

son normales pero n 1 30 y

n 2 30

2 2

1 2

(1 / 2)

1 2

( )1 2

* X X zn n

2 2

1 2(1 / 2)

1 2

( )1 2 * X X S S

z n n

2 2

1 2

(1 /2)

1 2

( )1 2

* X X zn n

2 2

1 2(1 / 2)

1 2

( )1 2

* X X S S zn n

La diferencia de Medias

Asumiendo que: 22

21 y

desconocidos

1 2 0

1 2

1 1( ) * p X X t S

n n 1 2 0

1 2

1 1( ) * p X X t S

n n



28 ESTADISTICA

2 21 1 2 2

1 2

1 1

2

n S n S

n nS p 1 2(1 /2,n + n -2)ot t

La diferencia de Medias

Asumiendo que:

22

21 y desconocidos

(1 / 2, )

2 21 2( )

1 21 2

*v

S S X X

n nt

2 221 1

1 1

2 2 2 2( / ) ( / )1 21 21 11 2

( )S S

n n

S n S nn n

v

(1 / 2, )

2 21 2( )

1 21 2

*v

S S X X

n nt

La varianza 2

2

12

1

1

n S

n

2

2

2

1

1

n S

n

La razón de varianzas. 2122

( /2, 1, 1)2 1

Sn nS

f

2

1

2

2

(1 /2, 1, 1)2 1

n nS

Sf

La proporción

2

1

(1 )

p p

n p z 2

1

(1 )

p p

n p z

La diferencia de

proporciones.1 1 2 2

1 2

1 1

1 2 (1 )2

( ) *p p p p

n n p p z

1 1 2 2

1 2

1 1

1 2 (1 )2

( ) *p p p p

n n p p z





1.- En una muestra de 250 padres de familia de una I.E rural, se obtuvo un ingreso

medio anual de 5900 soles y una desviación típica de 94 soles. Obtener un

intervalo de confianza al 95% para el ingreso medio poblacional.

Solución:

)(12

250, 5900,

94, 1.96

n X

z

Reemplazando en la relación

(1 ) (1 )2 2

X z X zn n

Z (1 Z (1

1

/2 /2

94 945900 1.96 5900 1.96250 250

5888.34 5911.65

El 95% de los padres de familia tienen ingresos anuales que fluctúan entre

5888.34 y 5911.65 soles.

2. En un estudio sobre las razones que dan los alumnos suspendidos en el

colegio, un investigador entrevisto a 200 estudiantes suspendidos, de los



30 ESTADISTICA

cuales 140 dijeron que lo habían hecho por dificultades económicas en su

familia. Construir un intervalo de confianza del 95% para la proporción.

Solución:

1400.7

200 p , (1

2)

1.96 z , n=200

1 1

) )(1 (12 2

p p p p

n n p z p p z

0.7(1 0.7) 0.7(1 0.7)200 2000.7 1.96 0.7 1.96 p

3. Dos muestras de docentes 250 de la provincia A, 200 de la provincia B,

indicaron que usan dinámica grupal (75 Provincia A y 80 de la Provincia B).

Utilizando un intervalo de confianza del 95% ¿ Se puede aceptar que es igual

la proporción de uso de dinámica grupal en ambas provincias?

Solución:

Provincia A

1

750.3

250 p , 1 250n

Provincia B

2

800.4

200

p, 1 200n

12

1.96 z

1 1 2 2

1 22

1 1 2 2

1 2

1 1

(1 )

1 1

)

1 2 1 2

1 2 (1 2

( ) ( )

( )

*

*

p p p p

n n

p p p p

n n

p p p p

p p

z

z




0.3 1 0.3 0.4 1 0.4

250 200

0.3 1 0.3 0.4 1 0.4

250 200

(0.3 0.4) 1.96 ( (0.3 0.4)1 2

1.96

* )

*

p p

1 2-0.18 ( ) -0.011 p p

El intervalo contiene solo valores negativos, entonces.

1 2 1 2( ) 0 p p p p

4. El director de un colegio quiere comparar el rendimiento académico, entre dos

secciones del quinto grado. Para ello recopilo una muestra de 50 notas de la

sección A y 40 de la sección B, resultando las medias de 13 y 15

respectivamente y las desviaciones estándar respectivamente son 3 y 4.

Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias

¿Podemos concluir que la media de los rendimientos de la Sección B es

mayor que la de A?

Solución:

Terapia A

1 1 113 3 50, , x n

Terapia B

2 2 215, 4, 40 x n

)(12

1.96 z

2 2 2 2

1 2 1 2(1 / 2) (1 / 2)

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2( ) ( )* * X X X X n n n n

z z

1 2

9 16 9 16(13 15) 1.96* (13 15) 1.96*

50 40 50 40



32 ESTADISTICA

1 23.49 0.50

Como 1 20 , entonces 1 2 .

Se concluye que la seccion B presenta mejores resultados que la seccion A.

5. Un psicólogo desea calcular el tiempo medio de respuesta de unos jóvenes a un

determinado sonido, para ello selecciona una m.a.s. de 25 universitarios para

participar en el experimento. El tiempo medio de respuesta para la muestra es

de 160 milisegundos con una desviación típica de 5 milisegundos. Suponiendo

que el tiempo de respuesta de todos los individuos está normalmente distribuido.

Construya el Intervalo de confianza del 99%.

Solución:

X : Tiempo de respuesta

2, X N

2 desconocida

99,0 10 2,7969t

25n , 160 x , 5s

0 0t t

s s x x

n n

5 5160 2,7969 160 2,7969

25 25

157,2031 162,7969

El psicólogo puede afirmar con un 99% de confiabilidad, que el tiempo medio

verdadero de respuesta para todos los individuos similares a los que se emplean

en el experimento, está aproximadamente entre 157 y 163 milisegundos.




6. Se tomaron dos muestras de presión sistólica (en mm Hg.) a sujetos normales

(X) y sujetos hospitalizados (Y) , obteniéndose la siguiente información:

Normales (X) : 146 142 135 140 154 163 138 168

Hospitalizados (Y) : 164 176 165 172 169 171

a) Determine entre qué valores se encuentra la presión sistólica media de la

población de sujetos normales con un nivel de confianza del 95%.

b) ¿Podría Ud. afirmar que la presión sistólica media de los sujetos

hospitalizados es mayor que la de los sujetos normales? Use un nivel de

significación de 0.05

c) ¿Es la varianza de la presión sistólica en la población de sujetos

hospitalizados igual a 16 (mm Hg.)? Use un nivel de significación de 0.05d) Un médico afirma que la presión sistólica de los sujetos hospitalizados es

menor que 175 mm Hg. Verifique tal afirmación usando un nivel de confianza

del 95%.

Solución:

a)2

es desconocida, por tanto la relación a emplear es:

(1 / 2, 1) (1 / 2, 1)n n

S S X t X t

n n

Normales i x

2

i x x

1 146 5,06252 142 39,0625

3 135 175,5625

4 140 68,0625

5 154 33,0625

6 163 217,5625

7 138 105,0625

8 168 390,0625Totales 1186 1033,5



34 ESTADISTICA

8

1 1186 148.258

i

i

x

X n

82

2 1 1033.5147.64

1 8 1

ii

x xS

n

82

1

147.64 12.151

ii

x x

S n

(1 / 2, 1) 2.365nt

(1 /2, 1) (1 /2, 1)n n

S S X t X t

n n

12.15 12.15

148.25 2.365 148.25 2.3658 8

138,09 158,409

b) En forma similar, desarrollamos el intervalo de confianza para los pacientes

hospitalizados.

Hospitalizados i x 2

i x x

1 164 30,25

2 176 42,25

3 165 20,25

4 172 6,25

5 169 0,25

6 171 2,25Totales 1017 101,5




8

1 1017 169.56

i

i

x

X n

82

2 1 101.520.3

1 6 1

ii

x xS

n

82

1 20.3 4.511

ii x x

Sn

(1 / 2, 1) 4,032nt

4.51 4.51169,5 2,571 148, 25 2,571

6 6

164,766 174,234

El IC de la presión sistólica para los pacientes normales es:

138,09 158,409

El IC de la presión sistólica para los pacientes hospitalizados es:

164,766 174,234

Los dos intervalos no presentan elementos comunes por tanto la presión

sistólica entre el grupo de sujetos normales y hospitalizados difiere

significativamente. Los sujetos hospitalizados presentan mayores valores en su

presión sistólica.

c)

2

20.3S



36 ESTADISTICA

2 2

, 1 1 , 12 2

0.83 12.83;n n

x x

El Intervalo de confianza para la varianza, esta dado por:

2 2

2

2 2

1 , 1 , 12 2

1 1

n n

S Sn n

x x

220.3 20.36 1 6 112.83 0.83

27,911 122.289

La varianza de la presión sistólica en la población de sujetos hospitalizados es

igual a 16 (mm Hg)

d) Como el intervalo de confianza de la presión sistólica de los pacienteshospitalizados es: 164,766 174,234 , por tanto al 95% se confirma la

sospecha del medico.





1. En un experimento ideado para comprobar la efectividad de cierto método de

enseñanza, a 25 estudiantes escogidos al azar en una escuela se les enseño

por medio del método experimental. Al termino del experimento, los

estudiantes rindieron un examen, obteniendo una media de 15 puntos y una

desviación de 10 ¿Construir un intervalo de confianza del 95% para la media de

poblacional?

2. Se tienen algunos indicios de que el programa de capacitación dirigida por elministerio de educación tiende a mejorar el nivel de solución de problemas

matemáticos de los profesores. Para estudiar esta hipótesis, se selecciono una

muestras de 8 profesores y se evaluó su nivel de solución de problemas

matemáticos antes y después de la capacitación, obteniendo las siguientes

calificaciones en una escala de 0- 100.

Antes 25 24 27 43 31 67 53 53Después 28 28 37 57 47 82 57 80

Hay suficiente evidencia estadística al nivel de significación de 0,05 a favor de

la hipótesis de que el programa de capacitación presenta una mejora

significativa en la solución de problemas matemáticos.

3. Según la afirmación del gobierno aprista el ingreso familiar de los profesores,ha cambiado significativamente durante los últimos 5 años. Se sabe que hace 5

años la distribución del ingreso familiar presentaba una distribución normal con

media de 950 nuevos soles y con una desviación de 300 nuevos soles.

Para contrastar dicha afirmación un grupo de economistas selecciona una

muestra aleatoria de 50 familias, obteniendo los siguientes ingresos actuales:

325 1123 525 1023 453 1450 793 1965 327 1525

895 740 525 315 593 843 424 1595 643 797255 255 1460 985 530 924 1214 1509 727 1134456 772 1220 971 685 1044 1455 1725 1020 335



38 ESTADISTICA

1525 847 1005 1024 646 1255 1675 580 437 1702

Al nivel de confianza del 95%. ¿Puede el grupo de economistas confirmar la

afirmación del gobierno, respecto a la distribución de los ingresos familiares?

4. Los estudiantes que se matricularon en un curso de investigación educativa

fueron distribuidas al azar en dos grupos. El grupo A utilizo numerosas técnicas

y actividades para enriquecer el curso. El grupo B estudio con el método

clásico. Los puntajes en una prueba de rendimiento hecha al terminar el curso,

dieron los siguientes resultados.

Grupo A: n1=10, 1 16 x , 1 8s

Grupo B: n2=10, 2 14 x , 2 10s

Construir un intervalo de confianza del 95%.




CAPITULO III

PRUEBAS DE HIPOTESIS

3.1 PRUEBAS DE HIPOTESIS

En muchas situaciones el investigador tiene alguna idea o conjetura sobre el

comportamiento de una o más variables en la población.

El diseño de la investigación debe permitir probar la veracidad de sus ideas

sobre la población en estudio, en base a los datos de la muestra.

La idea o conjetura es una hipótesis y el procedimiento de toma de decisión

sobre la hipótesis se conoce como prueba de hipótesis.Una hipótesis estadística es una conjetura sobre el comportamiento

probabilística de una población.

Si la hipótesis estadística identifica por completo la distribución, recibe el

nombre de “hipótesis simple”, y si no la especifica recibe el nombre de

“hipótesis compuesta”.

El contraste de hipótesis tiene por finalidad decidir si una conjetura puedeconsiderarse cierta, o debe rechazarse, basándonos en la información

suministrada por una muestra.

Hipótesis nula (denotada como H0). Esta hipótesis nula es la que se somete

a comprobación, y es la que se acepta o rechaza, como la conclusión final de

un contraste.

Hipótesis alternativa (denotada como Ha). Se denomina hipótesis alternativa

aquella hipótesis contra la cual queremos contrastar la hipótesis nula. Esta



40 ESTADISTICA

hipótesis puede ser simple o compuesta. Podemos cometer dos tipos de error:

rechazar la hipótesis nula siendo ésta cierta (error de tipo I) y aceptar la

hipótesis nula cuando esta es falsa (error de tipo II).

Aceptar Ho Rechazar Ho

Ho verdadera Decisión correcta Error Tipo I

Ho falsa Error Tipo II Decisión correcta

La decisión de rechazar, o no, la hipótesis nula la tomamos a partir de la

información proporcionada por la muestra (estadístico de prueba ). Realizamosuna partición del espacio muestral en dos regiones, la región crítica en la que

se rechaza la hipótesis nula (tiene probabilidad si 0 H es cierta) y la región

de aceptación , en la que se acepta la hipótesis nula.

Antes de definir los pasos de una prueba de hipótesis se define algunos

conceptos básicos.

1. Nivel de significación del contraste es la probabilidad de cometer un error

del tipo I, es decir, de rechazar la hipótesis nula siendo cierta, y se

acostumbra a denotar por

2. El contraste de hipótesis, es pues, un mecanismo mediante el cual se

rechaza la hipótesis nula cuando existan diferencias significativas entre los

valores muestrales y los valores teóricos, y se acepta en caso contrario.Estas variables se medirán mediante una variable denominada estadígrafo

de contraste, que sigue una distribución determinada conocida, y que para

cada muestra tomará un valor particular.

3. La región crítica es el conjunto de valores del estadístico de contraste que

nos induce a rechazar la hipótesis nula




3.2 PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS.

Los pasos que son convenientes seguir para realizar la prueba de hipótesis

son:

1. Formulación de hipótesis.

Los supuestos planteados en la investigación nos llevan a formular

hipótesis estadísticas, las mimas que presentan las siguientes formas.

0 0 0

0 0 0

0 0 0

: vs :

: vs :

: vs :

a

a

a

H H

H H

H H

2. Elegir el nivel de significación, .

3. Estadístico de prueba

4. Determinar la región crítica. La forma de la región crítica depende de la

hipótesis alterna.

Para 0:a H

Z(1

Z(1

R.A. H0R.R. H0 R.R. H0

/2 /2

1



42 ESTADISTICA

Para 0:a H

Z(1

R.A. H0 R.R. H0

1

Para 0:a H

Z(1

R.A. H0R.R. H0

1

La región de rechazo de la hipótesis nula es la sombreada. Se rechaza H 0 cuando el estadístico de prueba toma un valor comprendido en la zona

sombreada y se acepta Ho cuando el valor del estadístico de prueba cae en la

región de aceptación, región no sombreada.

5. Conclusión. Determinar las conclusiones estadísticas del contraste (aceptar

o rechazar Ho).

A continuación se presentan las pruebas de hipótesis en forma de resumen.




3.3 PRUEBAS DE HIPOTESIS EN POBLACIONES NORMALES.

Pruebas de Hipótesis. Estadístico de

Prueba

Rechazar H0, si:

Hipótesis Nula Hipótesis

Alternativa

Prueba de Medias

H0: = 0 vs:

si 2 conocido

- Si la población no es normal pero

n 30

Ha: 0

Ha: > 0

Ha: < 0

0

/

X c n

Z

0

/

X

c s n Z

(1 )2

c Z z

(1 )c Z z

(1 )c Z z

Prueba de Medias

H0: = 0 vs

Si se asume que :2

es desconocido

Ha: 0

Ha: > 0

Ha: < 0

0

/

X c S n

T

(1 , 1)2

c nT t

(1 , 1)c nT t

(1 , 1)c nT t

Prueba de

diferencias de

Medias

H0: 1 = 2 vs:

Asumiendo

21 y

22

Conocidos

--Si las poblaciones

no son normales

pero n 1 30 y

n 2 30

Ha: 1 2

Ha: 1 > 2

Ha: 1 < 2

1 2

2 21 2

1 2n n

X X c Z

1 2

2 21 2

1 2

s s

n n

X X c Z

(1 )2

c Z z

(1 )c Z z

(1 )c Z z



44 ESTADISTICA

Prueba de

diferencia de

Medias

H0: 1 = 2 vs

Asumiendo que:

22

21 y

Desconocidos

Ha: 1 2

Ha: 1 > 2 Ha: 1 < 2

1 2

1 11 2 p n n

X X

c S

T

2 21 1 2 2

1 2

1 1

2

n S n S

p n nS

(1 , 2)1 22

c n nT t

(1 , 2)1 2

c n nT t

(1 , 2)1 2c n nT t

Prueba de

diferencia de

Medias

H0: 1 = 2 vs

Asumiendo que:

22

21 y

desconocidos

Ha: 1 2

Ha: 1 > 2

Ha: 1 < 2

1 2

2 21 2

1 2

S S

n n

X X cT

2 221 1

1 1

2 2 2 2( / ) ( / )1 21 2

1 11 2

( )

S S

n n

S n S n

n n

v

2(1 , )c v

T t

(1 , )c vT t

(1 , )c vT t

Prueba de

varianzas

H0:2 = 2

0 vs

Ha: 20

2

Ha: 202

Ha: 20

2

2

20

12 n Sc

2 2

( , 1)

2 2

, 1)

2

(12

c n

c n

ó

2 2

(1 , 1)

2 2

, 1)(

c n

c n




Prueba de razón de

varianzas.

H0: 22

21 vs

Ha: 22

21

Ha: 2221

Ha: 22

21

2max

2

min

Sc

S

F

( , 1, 1)max min2

(1 , 1, 1)max min2

c

c

n n

n n

F F ó

F F

(1 , 1, 1)max minc n nF F

( , 1, 1)max minc n nF F

Prueba de

proporciones

H0: p =p0 Vs

Ha: p p0 Ha: p > p0

Ha: p < p0

0(1 ) /

p p

c p p n Z 2(1 )c Z z

(1 )c Z z

(1 )c Z z

Prueba de

diferencia de

proporciones

H0: p1 = p2 Vs

Ha: p1 p2

Ha: p1 > p2

Ha: p1 < p2

1 2

1 2

(1 ) (1 )c c c c

p p

c p p p p

n n

Z

1 1 2 2

1 2

c

n p n p p

n n

2(1 )c Z z

(1 )c Z z

(1 )c Z z



46 ESTADISTICA


1. Según el ministerio de educación el ingreso económico promedio de los

profesores que trabajan en instituciones educativas privadas es mayor que 355

dólares. Para contrastar esta hipótesis se analiza una muestra de 60 profesores

elegidos aleatoriamente. Resulto una media muestral de 580 dólares.

Suponiendo normalidad para las mediciones, proporcionan estos datos

suficiente evidencia estadística, al nivel de 95% de confianza, a favor de la

hipótesis planteada por el ministerio de educación. Use 180

Solución:

Formulación de hipótesis.

H0: = 355

Ha: > 355

Nivel de significancia , 5%

Estadística de prueba.

0

/

X c n

Z

180 , (1 ) 1.645 z , 160, 580n x

580 355

180/ 609.68

c Z

Región critica




Z =1.6450Z =9.68

c

RegiónAceptación

RegiónCrítica

=5%

Conclusión.

Como c o Z Z

Se rechaza la hipótesis nula.

2. Se tienen algunos indicios de que el programa de capacitación dirigida por el

ministerio de educación tiende a mejorar el nivel de solución de problemas

matemáticos de los profesores. Para estudiar esta hipótesis, se selecciono unamuestras de 9 profesores y se evaluó su nivel de solución de problemas

matemáticos antes y después de la capacitación, obteniendo las siguientes

calificaciones en una escala de 0- 100.

Antes 25 25 27 44 30 67 53 53 52

Después 27 29 37 56 46 82 57 80 61

Diferencia 2 4 10 12 16 15 4 27 9

Hay suficiente evidencia estadística al nivel de significación de 0,05 a favor de

la hipótesis de que el programa de capacitación presentan una mejora

significativa en la solución de problemas matemáticos.



48 ESTADISTICA

Solución:


H0: d = 0

Ha: d 0

Nivel de significancía , 5%


0

/

X c S n

T

7.76s ,

(1 / 2, 1) 2.262nt

19, 11n x

11 04.25

7.76 / 9c

T

Región critica

t =4.25ct =2.260t =–2.260

R.A. H0R.R. H

0R.R. H

0

Conclusión.

Se rechaza la hipótesis nula.




3. En un estudio sobre las preferencias de un grupo de profesores, sobre el uso de

dos tipos de estrategias cognitivas A y B para el proceso de enseñanza-

aprendizaje. De 600 especialistas encuestados, respondieron: 20% prefiere la

estrategia A, y 15 % la estrategia B. ¿Es posible concluir con 95% de confianza

que las preferencias de las estrategias A y B son similares?

Solución:


H0: p1 =p2

Ha: p1 p2

Nivel de significancia , 5%


1 2

1 2

(1 ) (1 )c c c c

p pc p p p p

n n

Z

Tratamiento A.

10.2 p , 1

600n

Tratamiento B.

2 0.15 p , 2 600n

1 1 2 2

1 2

600*0.2 600*0.150.175

600 600c

n p n p p

n n

1 2

1 2

0.20 0.152.279

(1 ) (1 ) 0.175(1 0.175) 0.175(1 0.175)

600 600

c c c c

p p

c p p p p

n n

Z

Región critica



50 ESTADISTICA

Z =1.960Z =2.279c

RegiónAceptación

RegiónCrítica

=5%

Conclusión.

Comoc o

Z Z , se rechaza la hipótesis nula, por tanto p1 p

2.4. La prueba de resistencia física estándar en los alumnos, tiene una media

de 200 puntos y una desviación estándar de 50 puntos. El director de un

colegio sospecha que la resistencia física de los alumnos, esta por debajo

de los parámetros estándares, con tal motivo se sometieron a 100 alumnos

seleccionados al azar a dicha prueba obteniéndose una media de 180

puntos ¿Con 95% cual es su conclusión?

Solución

H0: = 200

H1: < 200

50 , 1 1.645 z

1100, 180n x

180 200

50/ 100

4c

Z

Como 1.645c Z

Se rechaza la hipótesis nula, por tanto la resistencia física de los alumnos del

mencionado colegio es menor que el parámetro estándar.

5. El ministerio de educación, esta implementado un nuevo método de enseñanza,

para analizar si este método es más adecuado que el método tradicional, se ha

experimentado en 14 alumnos, 7 para cada método, registrándose lassiguientes calificaciones.




Método Tradicional 11 13 09 12 10 9 13

Nuevo Método 14 13 16 17 11 12 15

¿En base a la información cual es su conclusión?

Solución.

H0: 1 = 2

H1: 1 2

Supongamos que las varianzas poblacionales son iguales, entonces el

estadístico de prueba es:

1 2

1 1

1 2 p n n

X X

c ST t (n1 + n2 -2)

De la información se tiene:

Método Tradicional2

1 1 111, 3, 1.73 x s s

Nuevo Método2

2 2 214, 4.67 , 2.16 x s s

2 21 1 2 2

1 2

1 1 7 1 *3 7 1 *4.67

2 7 7 22.11n S n S

p n nS

1 2

1 1

1 21 17 7

11 142.65

2.11* p n n

X X c S

T

20 1 2 0.975 0.9751

2 7 7 2 12 2.179T t n n t t

Como 0cT T , entonces se rechaza H0, por tanto el nuevo método con el

método tradicional producen distinto rendimiento.

1 2 o , entonces 1 2 ( El nuevo método propuesto genera mejor

rendimiento).



52 ESTADISTICA

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un gabinete de psicólogos clínicos pretende estudiar la eficiencia de dos

terapias (psicoanalítica y conductista) en el tratamiento de adicción a

drogas. Para ello asigna aleatoriamente, 12 pacientes para cada terapia y

mide las horas que deja de consumir algún tipo de droga, después de

aplicar la terapia.

Los resultados obtenidos son los siguientes.2

1 1

22 2

25, 4

17, 2

Psicoanalitica x s

Conductivista x s

Con 95% de confianza, cual es su conclusión de este estudio.

2. Se afirma que cierta técnica que se prescribe para tratar depresión es

efectiva en más del 80% de los casos. Al parecer esta afirmación es

exagerada, por lo que se les aplica esta terapia a 15 pacientes, resultando

que 13 de ellos han experimentado alivio. Es esta suficiente evidencia para

concluir que realmente la terapia es efectiva en más del 80% de los casos alnivel de significancia del 5%.

3. El director de un colegio realizo un estudio para comparar la efectividad de

dos métodos de enseñanza, para tal efecto se considero 100 estudiantes

con el método A y 100 con B, resultando que los métodos presentaron un

mejor rendimiento en 20 y 18% de los casos respectivamente. Al nivel de

confianza del 95%, cual es su conclusión.

4. Dos métodos de motivación fueron probados en 100 estudiantes, 50 con

método A y 50 con B, en los cuales se les ha medido el nivel de

concentración, las medias fueron de 16 y 18 .Suponga que las poblaciones

son normales con 1 28, 7 . Con un nivel de significancia del 5% , cual

de los métodos es más efectiva.




5. Un grupo de trabajadores fue sometido a una serie de situaciones de

tensión que produjeron una respuesta de temor. Después de cierto periodo

de tiempo bajo estas condiciones los trabajadores fueron comparados con

los de un grupo control que no había sido sometido a tensión y los

resultados fueron los siguientes respecto al tiempo de reacción ( en

segundos) . Suponga normalidad.

Experimental (X): 3.8 6.8 3.6 3.9 4.5 3.9 5.9 6.0 5.7 5.6 4.5

Control (Y): 4.2 4.8 4.8 6.5 4.9 3.6 3.2 4.9 4.0 3.8

Pruebe que las varianzas en ambos grupos es la misma a un nivel de

significación de 5% .



54 ESTADISTICA

CAPITULO IV

PRUEBA DE CHI-CUADRADO

Las pruebas de hipótesis desarrolladas anteriormente, están

basadas en el supuesto de que la muestra pertenezca a una

población con distribución conocida.

Aquí abordaremos dos problemas muy interesantes dentro de lo

que se conoce con el nombre de estadística no paramétrica . La

prueba de homogeneidad y la prueba de independencia.

La justificación de estos problemas es comparar las frecuenciasesperadas y las observadas.

4.1 Tabla de contingencia.

Es relativamente frecuente encontrarse con información referida a la

observación de dos características de una población, en las que se establecen

modalidades o categorías, mediante las cuales se clasifican los individuos o

elementos que constituyen una muestra de la misma. Este tipo de distribuciónbidimensional de frecuencias suele presentarse en forma de tabla de doble

entrada, también llamada tabla de contingencia.

La información obtenida del estudio generalmente se presenta en una tabla de

contingencias, en esta se tiene un conjunto de n elementos clasificados de

acuerdo a dos criterios, X e Y , cada uno de los cuales tiene una serie de

categorías mutuamente excluyentes:




1Y 2

Y ...... jY c

Y Total

1 X 11o 12o 1 jo

1co 1.

n

2 X 21

o 22o 2 jo 2co 2.n

... ... ... ... ... ...

i X 1io 2io ijo ico .in

... ... ... ... ... ...

r X 1r o 2r o rjo rco .r n

Total.1

n .2n . jn .c

n ..n n

Donde:

ijo : Representa la frecuencia observada, es decir, el número de individuos que

pertenecen simultáneamente a las categorías i X e jY .

Las frecuencias marginales son:

.

1

r

j iji

n ny .

1

c

i ij j

n n

En esta sección se verán las pruebas de homogeneidad y de independencia.

Si bien ambas pruebas presentan el mismo procedimiento de cálculo, lashipótesis a probar son diferentes y por lo tanto las conclusiones obtenidas

también.



56 ESTADISTICA

4.2 PRUEBA DE HOMOGENEIDAD.

En ocasiones ocurre que tenemos varias poblaciones clasificadas de acuerdo

con las categorías definidas para una determinada variable. La pregunta que se

sugiere inmediatamente es si la proporción de individuos pertenecientes a cada

una de las clases es la misma en todas las poblaciones. Si, con la información

suministrada por las muestras obtenidas, se puede aceptar que esto es así,

diremos que las poblaciones son homogéneas con respecto a la variable de

clasificación utilizada.

Existen r poblaciones y una muestra aleatoria es extraída desde cada

población. Sea n i. el tamaño de la muestra extraída de la i-ésima

población. Cada observación de cada muestra puede ser clasificada en

una de c categorías diferentes. Los datos son arreglados en la

siguiente tabla de contingencia r c:

Categoría Categoría ... Categoría Total

Población 1 O11 O12 ... O1c n 1•.

Población 2 O21 O 22 …

O 2c n 2•

Población

r Or1 Or2 ... O rc

n r.

Total n.1 n.2 … n.c n..

En la tabla, o ij es el número de observaciones(frecuencias observadas) de la

muestra i clasificadas en la categoría j; n. j es el número total de

observaciones en la categoría j extraídas desde las r poblaciones y n.. es

el total de observaciones extraídas desde las r poblaciones.




Hipótesis:

Sea ij la probabilidad de que una observación seleccionada de la

población i sea clasificada en la categoría j. Entonces las hipótesis son:

Ho: 1j =... = rj para todo j = 1, 2,…c

Ha: Al menos una igualdad no se cumple.

Las hipótesis pueden expresarse equivalentemente de la siguiente manera:

H0: La variable aleatoria tiene la misma distribución de probabilidades en las r

poblaciones.

Ha: La variable aleatoria tiene una distribución de probabilidades diferente

en al menos una de las poblaciones.

La estadística de prueba esta dado por:

2 2

1 1

( )( 1)( 1)

r cij ij

c j j ij

o e x x r ce

Donde, las frecuencias esperadas esta dada por :

. .

..

i jij

n ne

n

Regla de decisión:

La hipótesis nula se rechaza con un nivel de significación si el2

c x resulta

mayor que el valor de tabla

2

(1 ,( 1)( 1))r c x



58 ESTADISTICA

4.3 PRUEBA DE INDEPENDENCIA

Esta prueba permite analizar si dos variables aleatorias son o no

independientes.

Dado una muestra aleatoria de tamaño n.. es extraída, y cada observación

de la muestra es clasificada de acuerdo a dos criterios (variables X y Y).

Usando el primer criterio cada observación es clasificada en una de r filas

y usando el segundo criterio en una de c columnas. Los datos son arreglados

en la siguiente tabla de contingencia r x c :

Columna 1 Columna 2 ... Columna c Total

Fila 1 0 11 0 12 ... O ic n i .

Fila 2 0 21 0 22 ... 0 2c n 2 .

Fila r O r1 O r2 ... 0 rc n r.

Total n .1 n .2 ... n.c n..

En la tabla, o jj es el número de observaciones clasificadas en la fila i

columna j, n i . es el número total de observaciones en la fila i y n. j es el

número total de observaciones en la columna j .

Hipótesis:

Sea:

ij la probabilidad de que una observación sea clasificada en la fila i

columna j,

.i la probabilidad de que una observación sea clasificada en la fila i

y . j la probabilidad de que una observación sea clasificada en la




columna j . Entonces las hipótesis son:

Ho: . .ij i j para todo i = 1, ... r, j = 1, ... c.

Ha: Al menos una igualdad no se cumple.

Las hipótesis pueden expresarse, en forma equivalente de la siguiente manera:

Ho: Las variables X y Y son independientes.

HI : Las variables X y Y no son independientes.

Estadístico de prueba:

2 2

1 1

( )( 1)( 1)

r cij ij

c j j ij

o e x x r c

e donde

. .

..

i jij

n ne

n

Regla de decisión:

Se adopta la siguiente regla de decisión:

Si

2 2

( 1)( 1)c r c entonces se acepta la hipotes 0 H

Si2 2

( 1)( 1)c r c entonces se rechaza la hipotes0

H

Como puede observarse el procedimiento es muy similar al de la prueba de

homogeneidad, y a veces suelen confundirse.



60 ESTADISTICA


1. En una investigación realizada sobre el efecto del clima organizacional en la

gestión educativa en las instituciones educativas de la ciudad del Cusco, se

obtuvo la siguiente información:

Clima

Organizacional

Gestión Educativa

Mala Regular Buena Total

Buena 70 100 150 320

Mala 130 100 50 280

Total 200 200 200 600

¿Podemos concluir con 95% de confianza que el clima organizacional influye

en la gestión educativa ?

Solución:

H0: El clima organizacional no influye la gestión educativa.

Ha: El clima organizacional influye la gestión educativa..

11

320*200106.67

600e , 12

320*200106.67

600e ,

13

320*200106.67

600e , 21

280*20093.33

600e ,

22

280*20093.33

600e , 23

280*20093.33

600e

2 2 2

2

2 2 2

70 106.67 100 106.67 150 106.67

106.67 106.67 106.67

130 93.33 100 93.33 50 93.33

93.33 93.33 93.33

c

2

65.625c

De la tabla de chi-cuadrado ,2

0 5.991




1

R.A. H0 R.R. H0

2=5.99

o

2=65.625

o

Como2 2

0c , se rechaza la hipótesis nula, Acepta la Ha.

2. En un estudio realizado a 341 estudiantes que participaron en un programa

piloto para evaluar la influencia de la técnica de expertos como estrategia en la

comprensión lectora. Los resultados se presentan en la siguiente tabla:

Técnica de expertos Comprensión lectoraTotal

Mala Regular Buena

Buena 15 25 40 80

Regular 30 100 43 173

Mala 43 27 18 88

Total 118 150 73 341

¿Existe alguna relación significativa entre la aplicación de la técnica de

expertos y el nivel de comprensión lectora? Use un nivel de confiabilidad de

99%

Solución:

Ho : No Existe relación entre la aplicación de la técnica de expertos y el nivel

de comprensión lectora.

Ha : Existe relación entre la aplicación de la técnica de expertos y el nivel de

comprensión lectora.

El nivel de significación es 1% 0.01



62 ESTADISTICA

El estadístico es:

2

2 2

1 11 1

r cij ij

c r c gli j ij

o e

X X e

Previamente calculamos los valores esperados.

. .

..

i jij

n ne

n

1. .1

11..

80*118

27.68341

n n

e n

2. .1

21..

173*118

59.87341

n n

e n

3. .131

..

88*11830.45

341

n ne

n 1. .2

12

..

80*15035.19

341

n ne

n

2. .222

..

173*15076.10

341

n ne

n 3. .2

32

..

88*15038.71

341

n ne

n

1. .313

..

80*73 17.13341n ne n

2. .323

..

173*73 37.04341

n ne n

3. .333

..

88*7318.84

341

n ne

n

Reemplazando en el estadístico

2

2

1 1

2 2 215 27.68 25 35.19 18 18.84

.... 71.4127.68 35.19 18.84

=

r cij ij

c

i j ij

o e X

e




Como2

71.41c

X >2

03,747 X , por tanto se rechaza la hipótesis

nula y se acepta la hipótesis alterna, Existe relación entre la aplicación de la

técnica de expertos y el nivel de comprensión lectora

3. En el cuadro siguiente se muestra los resultados del hábito de estudio y

comprensión de lectura de 58 estudiantes.

Habito de estudio Comprensión de lectura Total

Dependiente Independiente

Mala 36 7 43Buena 2 13 15

Total 38 20 58

a) Existe relación entre ambas variables, use un nivel de significancia del

5%.

b) Determine el grado de asociación entre dichas variables.

c) Determine el grado de relación entre dichas variables.

Solución

a) Utilizando la prueba de chi-cuadrado, para tablas de 2x2.

Ho: La comprensión lectora y el hábito de estudios no están relacionados.

Ha: La comprensión lectora y el hábito de estudios no están relacionados.

2

2

1 2 1 2

2

36 *13 7 * 2 * 5824.39

43*15*38*20

.

r r c cc

ad bc n

De la tabla de la distribución2 x con (2-1)x(2-1) = 1 grado de libertad, se

tiene:2

0 3.84 x

Como

2 2

0c , se rechaza Ho, por lo tanto se concluye que lacomprensión lectora no depende el habito de estudios.



64 ESTADISTICA

b) Para determinar el grado de asociación, utilizamos le coeficiente de

contingencia.

2

2

24.390,544

58 24.39C

n

c) Para determinar el grado de correlación se utiliza el coeficiente

2 24,390,64858n

Presentan una relación de 64,8% entre dichas variables.

5. Un investigador desea evaluar la influencia de la enseñanza directa en la

comprensión criterial, para ello realizo un estudio, obteniendo los

siguientes datos.

Enseñanza

directa

Comprensión Criterial

Malo Regular Bueno Muy Bueno

Regular 2 15 1 0

Bueno 0 2 29 1

Cuál es su conclusión del estudio, al 95% de confianza.

Solución.

2 15 1 0 18

11,1% 83,3% 5,6% ,0% 100,0%

0 2 29 1 32

,0% 6,3% 90,6% 3,1% 100,0%

2 17 30 1 50

4,0% 34,0% 60,0% 2,0% 100,0%

Frecuencia

Porcentaje

Frecuencia

Porcentaje

Frecuencia

Porcentaje

Enseñanza

Directa

Regular

Bueno

Total

Malo Regular Bueno Muy Bueno

Comprensión Criterial

Total

Chi-cuadrado=38,145 P-valor=0,000

De la prueba de Chi cuadrado, con 95% de confianza (p-valor=0,000<0,05) se concluye

que la enseñanza directa influye en el tipo de comprensión criterial. Si la aplicación de la




enseñanza directa es regular esta influye de modo regular en el nivel de comprensión

criterial en un 83,3%; y hacia la buena en el 5,6%; en cambio si la enseñanza directa es

buena, genera en un 90,6% un nivel comprensión criterial bueno por parte de los

estudiantes.

Comprensión

criterial

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Regular BuenoEnseñanza directa

P o r c e n t a j e

MaloRegularBuenoMuy Bueno



66 ESTADISTICA


1. Un investigador analiza la influencia del uso de materiales didácticos en el

rendimiento académico de los estudiantes de las I.E de la región Cusco, para

este fin realizo un estudio, en 32 I.E, obteniendo los siguientes datos.

Nivel de uso dematerialesdidácticos

R M B R R M M B B M M B R R M M

Rendimientoacadémico.

M M B R R M R B R R M B R R M M

Nivel de uso de

materialesdidácticos

R R B B R M M B R R B R M R B M

Rendimientoacadémico.

R M R B R R M B R R B R M R M R

Donde M: Mala, R: Regular, B: Buena. Al 95% de confianza.

a) Influye el uso de materiales didácticos en el rendimiento académico.

b) Determine el tipo de influencia, si existe.

2. Se desea analizar la influencia del clima organización en la gestión educativa

de las I.E de la Región Cusco, para este fin se selecciona aleatoriamente 30 I.E

de la región Cusco, obteniendo los siguientes resultados

Clima

organización

R M R R M B M MB R

Gestión

educativa

M R R R M B R B R

Clima

organización

R R M R MB B B MB R

Gestión

educativa

R B M R MB B R MB B

Clima

organización

R M M MB B R M R MB

Gestióneducativa

M R M MB B B M M B




Al 95% de confianza cual es su conclusión del estudio.

3. Un investigador está analizando la relación que existe entre el habito de lectura

y el tiempo de compresión. En el cuadro siguiente se tiene la información de

150 estudiantes.

Tiempo de

comprensión

Habito de lectura

Poco Regular Bastante Total

Lento 40 20 10 70

Rápido 20 30 90 140

Total 60 50 100 210

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente con 95% de confianza de que el

habito de lectura esta relacionado con el tiempo de comprensión?

4. De un estudio realizado respecto a la cantidad de ingresantes a una

universidad con respecto al tipo de colegio se obtuvo la siguiente información:

Ingresantes

Colegio

Nacional Particular Convenio Total

Ciencias 85 80 70 235

Letras 70 90 60 220

Total 155 170 130 455

¿Se puede concluir que la cantidad de ingresantes a ciencias y letras es

homogénea para los tres tipos de colegios. Use un nivel del 95% de confianza?

5. Se aplicó una encuesta tipo test a 300 docentes respecto del conocimiento y

uso de dinamitas grupales al respecto se tiene la siguiente información.

Aplicación Conocimiento

TotalSi NoSi 45 35 80

No 37 48 85

Total 82 83 165

¿Existe relación entre conocimiento y aplicación con un 98% de confianza?

6. Un investigador realizó un estudio para determinar si el tamaño de la familia

depende del nivel de educación del padre. La muestra se clasifica de acuerdo

al nivel de educación y número de hijos.



68 ESTADISTICA

Nivel de

educación

Número de hijos

0 o

1

2 3 4 5 o más

Primaria 20 18 12 14 30

Secundaria 50 25 18 16 24

Superior 12 6 4 8 12

Con estos datos ¿Se puede inferir que el tamaño de la familia es independiente

del nivel de educación del padre , con 95% de confianza?.

7. Se llevó a cabo una encuesta con respecto a la preferencia del consumidor

para determinar si existía alguna predilección por tres editoriales competitivas

(A, B o C) en tres regiones geográficas donde habitan los consumidores.

Basándose en una muestra aleatoria de consumidores por región, se obtuvo

la siguiente información para las tres regiones:

Marca Región

Reg.1 Reg.2 Reg.3A 40 52 25B 52 70 35C 68 78 60

Con base a esta información verifique si las tres regiones son equivalentes

usando un nivel de significación de 5%.

8. Cierta institución particular desea determinar si el ausentismo laboral se

relaciona con la edad. Se toma una muestra de 200 empleados al azar y se

les clasifica según edad y causa de ausentismo y los resultados fueron los

siguientes:

CausaEdad (años)

Menos de 30 30 - 50 Más de 50Enfermedad 40 28 52Otras 40 36 24

¿Está la edad relacionada con el ausentismo laboral?. Use una confiabilidad de

95%.




9. El ministerio de Educación desarrollo un programa de fortalecimiento de la

comprensión lectora en un grupo de docentes, obteniendo los siguientes

resultados.

26 2 28

52,0% 4,0% 28,0%

19 10 29

38,0% 20,0% 29,0%

4 24 28

8,0% 48,0% 28,0%

1 14 15

2,0% 28,0% 15,0%

50 50 100

100,0% 100,0% 100,0%

Frecuencia

Porcentaje

Frecuencia

Porcentaje

Frecuencia

Porcentaje

Frecuencia

Porcentaje

FrecuenciaPorcentaje

Comprensión

Inferencial

Deficiente

Malo

Bueno

Muy Bueno

Total

Pre-Test Post-Test

Etapa

Total

Chi-cuadrado=48,917 P-valor=0,000

Con un nivel de confianza del 95%, que efecto presenta dicho programa en la

comprensión lectora de los profesores.



70 ESTADISTICA

CAPITULO V

DISEÑO EXPERIMENTAL

5.1 INTRODUCCION.

El diseño de experimentos es en la actualidad una de las herramientas

principales utilizados en la investigación estadística, el objetivo que se tiene es

estudiar el efecto de un factor sobre una variable respuesta.

Diseñar un experimento, simplemente significa planear un experimento de modo

que se reúna la información que sea pertinente al problema bajo investigación.

Muy a menudo se coleccionan datos que pueden tener muy poco o ningún valor,en la solución del problema.

El diseño de un experimento, es entonces, la secuencia completa de pasos

tomados de antemano para asegurar que los datos apropiados se obtendrán de

modo que permitan un análisis objetivo que conduzca a deducciones válidas con

respecto al problema establecido.

FACTOR.Son todas aquellas variables cuyo efecto se desea medir, en algunos casos se

les llama tratamiento.

NIVEL

Es el conjunto de valores que tiene la variable independiente o factor en el

experimento.

UNIDAD EXPERIMENTAL

Es la entidad más pequeña a lo que se aplica el tratamiento, es decir; es el




elemento donde se realiza la medición.

ERROR EXPERIMENTAL

Es la medida de la variación, existente entre observaciones de las unidades

experimentales.

En un Diseño Experimental se tiene variabilidad inherente a la unidad

experimental y otra variabilidad debida a los tratamientos.

Para reducir el error experimental se siguen algunos pasos:

Repetir el experimento

Adicionar más tratamientos

Introducir variables o bloques

El proceso o sistema bajo estudio puede representarse por medio del modelo:

Podemos pensar que el proceso es una combinación de tratamiento, personas y

otros recursos que transforman alguna entrada, en una salida que tienen una o

más respuestas observadas

5.2 OBJETIVOS DEL DISEÑO EXPERIMENTAL

Determinar las variables con mayor influencia en la respuesta

Determinar el mejor valor de las variables que influyen en la respuesta de

manera que:

La respuesta se aproxime al valor deseado

La variabilidad de la respuesta sea pequeña

Se minimiza el efecto de las variables incontrolables



72 ESTADISTICA

5.3 DISEÑO UNIFACTORIAL (Diseño completamente aleatorio)

Es el Diseño Experimental más simple.

En este Diseño los tratamientos (niveles) se distribuyen al azar en todas las

unidades experimentales. Este diseño es muy útil cuando las unidades

experimentales tienen variabilidad uniformemente repartidos

(homogeneidad)

VENTAJAS Y DESVENTAJAS

VENTAJAS

Este Diseño es fácil de planear y es flexible en cuanto al número de

repeticiones y unidades experimentales del tratamiento

DESVENTAJAS

Solo es aplicable, cuando el material experimental es homogéneo.

Los resultados del experimento se pueden agrupar de la siguiente forma:

NIVELES

DEL FACTOR Respuesta

D

C

B

A

A Y C Y B Y D Y

B Y A Y D Y C Y

B Y C Y A Y D Y

A Y D Y C Y B Y

11 31 21 41

22 12 42 32

23 33 13 43

14 44 34 24

Donde yij es el resultado de la medición del i-ésimo tratamiento en la j-

ésima repetición.




En resumen:

Tratam

1 2 i a

Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y Y

i a

i a

j j ij aj

n n in an

11 21 1 1

12 22 2 2

1 2

1 2

TOTAL

Totales Y Y Y Y i a1 2. . . . . .Y

Mediasani Y Y Y Y

..2.1 ..Y

Varianzass s s si a1

2

2

2 2 2

. . . . 2

..s

Donde:

n

jiji Y Y

1

. , Total del i-ésimo tratamiento

Y Y Y

n

i ij

j

ni

.

.

1

, Media del i-ésimo tratamiento



74 ESTADISTICA

a

i

n

jij

a

ii Y Y Y

1 11

... , Total

anY

Y .... , Media total

5.3.1 Análisis de varianza

Es la técnica mediante el cual se mide los efectos de los tratamientos puesto

que descompone la varianza total en diferentes fuentes de variabilidad

definida por el modelo.

Para el cual se siguen los siguientes pasos:

H a0 1 2:

:a i j H , para algún par (i,j)

La fórmula asumida para calcular la suma de los cuadrados es la siguiente:

22

..

..1 1 1 1

,

a n a n

ij iji j i j

y

SCT y y y N an N

2 2

. ..

1

ai

i i

y ySCA N an

n N

SCE SCT SCA

Los cuadrados medios son los estimadores de las varianzas y son obtenidos

de la siguiente forma:

1

SCACMA

a

2

( 1)

SCE CME

a n ó varianza del error.

Por otra parte el cociente de dos variables2

se distribuye mediante la

distribución de Fisher




( , 1 , 1

1

( 1)

c a a n

SCA

aF SCE

a n

f

1

f (1

R.A. H0 R.R. H0

Análisis de la varianza.

Fuentes de

Varianza

g.l SC CM FC

Tratamiento a-1 SCA CMA CMA

CME

Error a(n-1) SCE CME

Total an-1 STT

Conclusiones:

Si Fc F0 Se rechaza H0 Si Fc F0 Se acepta H0

5.4 DISEÑO EXPERIMENTAL DE DOS FACTORES

El análisis de la varianza de dos factores esta formado como su nombre indica

por dos factores que a su vez tienen la misma importancia en este tipo de

análisis existen “a” niveles del factor A y “b” niveles de factor B.

Este tipo de análisis se determinan según el número de observaciones; si cada

unidad experimental tiene una observación, el modelo del análisis univariado



76 ESTADISTICA

de la varianza de dos factores se denomina sin replica, en este caso no existe

interacción entre los dos factores. En este tipo de análisis el control local

(unidad experimental) por el factor A, el cual esta constituido por todo los del

factor B o variantes repetidas una sola vez siendo el factor A una repetición con

la condición de que los del factor B están dentro del factor A . de donde se

puede afirmar que cada factor A contiene los elementos del factor B el cual

disminuye el error experimental.

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA

Fuentes de

Varianza

g.l SC CM FCAL

Factor A a-1 SCA CMACME

CMA

Factor B b-1 SCB CMBCME

CMB

Interacción

AB

(a-1)(b-1) SCAB CMABCME

CMAB

Error ab(n-1) SCE CME

Total abn-1

Donde:

2

2

1 1 1

...a b n

i j k

ijk SCT

abn

Y Y ,

2 2

1

.. ...a

i

iSCA

bn abn

Y Y ,

2 2

1

. . ...b

j

jSCBan abn

Y Y ,

2 2

1 1

. ...a b

i j

ijSCAB SCA SCBn abn

Y Y

SCE = SCT-(SCA+SCB+SCAB)




El cuadrado medio, se obtiene:

Para el factor A : 1a

SCACMA

Para el factor B :1b

SCBCMB

Para la interacción AB :)1)(1( ba

SCABCMAB

Para el error : ( 1)

SCE

CME ab n

INTERACCIÓN. En estadística, la idea de una interacción, es medir el efecto

de una variable (factor), manteniendo constante los demás.

En términos generales interacción entre dos factores es sinónimo de relación

entre los factores, en este caso los factores actúan en forma conjunta sobre la

variable respuesta.

Figura: Interacción de factores.

De la gráfica anterior se concluye que geométricamente existe interacción

cuando las líneas se intersectan, en cambio no existe interacción, cuando las

líneas son paralelas.



78 ESTADISTICA


1. Se mide el impacto de 4 métodos de enseñanza en el rendimiento académico

en estudiantes de tres especialidades de la facultad de Educación. Los

resultados se muestran a continuación.

Especialidad Método 1 Método 2 Método 3 Método 4

I

18 17 17 13

16 17 14 12

17 19 19 14

II

10 14 12 5

11 15 15 9

10 7 10 2

III

3 8 8 1

7 6 9 2

7 10 9 1

Con un 95% de confianza, cual es su conclusión del estudio.

Solución:

La hipótesis estadística para el factor A, esta dado por:

H0 : El factor Método, no influye en el rendimiento académico.

Ha : El factor Método , influye en el rendimiento académico.

La hipótesis estadística para el factor B, esta dado por:

H0 : El factor Especialidad, no influye en el rendimiento académico.

Ha : El factor Especialidad, influye en el rendimiento académico.

La hipótesis estadística para la interacción, esta dado por:

H0 : El factor método y especialidad, no actúan simultáneamente en el

rendimiento académico , su efecto de cada factor es independiente.




Ha : El factor método y especialidad, actúan simultáneamente en el

rendimiento académico, su efecto de uno de los factores depende del

otro.

Especialidad

Método

1

Método

2

Método

3

Método

4

Total

I

18 17 17 13

193

16 17 14 12

17 19 19 14

sub. total 51 53 50 39

II

10 14 12 5

120

11 15 15 9

10 7 10 2

sub. total 31 36 37 16

III

3 8 8 1

71

7 6 9 2

7 10 9 1

sub. total 17 24 26 4

Total 99 113 113 59 384

Calculo de las sumas de cuadrado.

a= 4 , niveles del método (Factor A)

b=3, niveles de especialidad (Factor B)

n=3, replicas de cada ensayo.

a

i

b

j

n

k ijk abn

SCT Y Y 1 1 1

2

...2

22 2 2 2 2 2 384

18 16 17 ... 1 2 1 9764*3*3

SCT

abnbnSCA Y Y a

i

i2

.. .

1

2

..



80 ESTADISTICA

2 2 2 2 299 113 113 59 384

217,3333*3 4*3*3

SCA

b

j

j

abnanSCB Y Y

1

2

.. .

2

..

2 2 2 2193 120 71 384

628,1674*3 4*3*3

SCB

b

j

ija

i

SCBSCAabnn

SCAB Y Y 1

2

.. .

2

.

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

51 53 50 39 31 36 37 16 17 24 26 4

3

384217,333 628,167

4*3*3

15,1667

SCAB

SCAB

SCE = SCT-(SCA+SCB+SCAB)= 976-(217,333+628,167+15,1667)

= 115,333

Calculo de los cuadrados medios.

217,33372,4444

1 3

SCACMA

a

628,167314,083

1 2

SCBCMB

b

15,1667 2,52778( 1)( 1) 3*2

SCABCMABa b




115,3334,80556

( 1) 4*3*(3-1)

SCError CME

ab n

Valores calculados de F.

72,444415,08

4,80556CA

CMAF

CME ; De la tabla 0

2,99 AF

Como 0CA AF F , se rechaza la hipótesis nula del factor A.

314,083 65,364,80556

CB CMBF CME ; De la tabla 0 3,39 BF

Como 0CB BF F , se rechaza la hipótesis nula del factor B.

2,527780,53

4,80556

CAB

CMABF

CME

; De la tabla 0 2,49 ABF

Como 0CAB ABF F , se rechaza la hipótesis nula de la interacción

AxB.

ANOVA

Fuente Suma de

Cuadrados

gl Cuadrado

Medio

Razón-

F

Valor-P

EFECTOS

PRINCIPALES

A: Método 217,333 3 72,4444 15,08 0,0000

B: Especialidad 628,167 2 314,083 65,36 0,0000

INTERACCIONES

AB 15,1667 6 2,52778 0,53 0,7829

Error 115,333 24 4,80556

TOTAL 976,0 35



82 ESTADISTICA


1. Tres programas de entrenamiento deportivo fueron probados en 15 atletas,

asignando al azar 5 de ellos a cada programa. Luego de terminado el

entrenamiento sus respectivas habilidades fueron comparadas por un mismo

entrenador con los resultados indicados:

PROGRAMA

A B C

48 42 68

54 59 71

78 62 87

83 80 98

96 92 101

Pruebe si hay diferencia entre los tres programas usando un nivel de

significación de 5%

2. Los siguientes datos representan los tiempos de reacción (en segundos) a tres

tipos de estímulos:

Estímulo A: 4.9 6.1 4.3 4.6 5.3Estímulo B: 5.5 5.4 6.2 5.8 5.6 5.2 4.8

Estímulo C: 6.4 6.8 5.7 6.5 6.3 6.6

a) Pruebe si el tiempo de reacción al tipo de estímulo B es superior al tipo de

estímulo A. Use 0.05.

b) Pruebe utilizando la prueba adecuada, si el tiempo de reacción es diferente a

los tres tipos de estímulos. Use un nivel de significación de 1%.

3. Un test de personalidad, tiene dos formas de determinar su valoración

suponiendo inicialmente que ambos métodos miden igualmente la extroversión.

Para ello se estudia en 12 personas obteniéndose los siguientes resultados:

Medida de la extraversión

Forma A 12 18 21 10 15 27 31 6 15 13 8 10

Forma B 10 17 20 5 21 24 29 7 11 13 8 11

¿Hay diferencia entre los dos métodos?




APENDICE

TABLA NORMAL ESTÁNDAR

Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0 0.00399 0.00798 0.01197 0.01595 0.01994 0.02392 0.0279 0.03188 0.03586

0.1 0.03983 0.04395 0.04776 0.05172 0.05567 0.05962 0.06356 0.0675 0.07124 0.07534

0.2 0.07926 0.08617 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0.11026 0.11409

0.3 0.11781 0.12172 0.12552 0.1293 0.13307 0.13683 0.14058 0.14431 0.14803 0.15173

0.4 0.15542 0.1591 0.16276 0.1664 0.17003 0.17364 0.17724 0.18082 0.18439 0.18793

0.5 0.19146 0.19497 0.19847 0.20194 0.2054 0.20884 0.21226 0.21566 0.21904 0.2224

0.6 0.22575 0.22907 0.23237 0.23565 0.23891 0.24215 0.24537 0.24857 0.25175 0.2549

0.7 0.25804 0.26115 0.26424 0.2673 0.27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.2823 0.28524

0.8 0.28814 0.29103 0.29389 0.29373 0.29955 0.30234 0.3051 0.30785 0.31057 0.31327

0.90.31594 0.31859 0.32124 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0.33398 0.33646 0.33891

1 0.34134 0.34375 0.34614 0.34849 0.35083 0.35314 0.35543 0.35769 0.35993 0.36214

1.1 0.36433 0.3665 0.36864 0.37076 0.37286 0.37923 0.37698 0.379 0.381 0.38298

1.2 0.38493 0.38686 0.38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39616 0.39796 0.39973 0.40147

1.3 0.4032 0.4049 0.40658 0.40824 0.40988 0.41149 0.41308 0.41466 0.41621 0.41774

1.4 0.41924 0.42073 0.4222 0.42364 0.42507 0.42647 0.42785 0.42922 0.43056 0.43189

1.5 0.43319 0.43448 0.43574 0.43699 0.43822 0.43943 0.44062 0.44179 0.44295 0.44408

1.6 0.4452 0.4463 0.44738 0.44845 0.4495 0.45053 0.45154 0.45254 0.45352 0.45449

1.7 0.45543 0.45637 0.45728 0.45818 0.45907 0.45994 0.46079 0.46164 0.46246 0.46327

1.8 0.46407 0.46485 0.46562 0.46637 0.46712 0.46784 0.46856 0.46926 0.46995 0.47062

1.9 0.47128 0.47193 0.47257 0.4732 0.47381 0.47441 0.475 0.47558 0.47615 0.47672 0.47725 0.47778 0.47831 0.47882 0.47932 0.47982 0.4803 0.48077 0.48124 0.48169

2.1 0.48214 0.48257 0.48299 0.48341 0.48382 0.48422 0.48461 0.485 0.48537 0.48574

2.2 0.4861 0.48645 0.48679 0.48713 0.48745 0.48778 0.48809 0.4884 0.4887 0.48899

2.3 0.48928 0.48956 0.48983 0.49001 0.49036 0.49061 0.49086 0.4911 0.49134 0.49158

2.4 0.4918 0.49202 0.49224 0.49245 0.49266 0.49286 0.49305 0.49324 0.49343 0.49361

2.5 0.49379 0.49396 0.49413 0.4943 0.49446 0.49461 0.49477 0.49491 0.49506 0.4952

2.6 0.49534 0.49547 0.4956 0.49573 0.49585 0.49597 0.49609 0.49621 0.49632 0.49643

2.7 0.49653 0.49664 0.49674 0.49683 0.49693 0.49702 0.49711 0.4972 0.49728 0.49736

2.8 0.49744 0.49752 0.4976 0.49767 0.49774 0.49781 0.49788 0.49795 0.49801 0.49807

2.9 0.49813 0.49819 0.49825 0.4983 0.49836 0.49841 0.49846 0.49851 0.49856 0.4986

3 0.49865 0.49869 0.49874 0.49878 0.49882 0.49886 0.49889 0.49893 0.49897 0.499

3.1 0.49903 0.49906 0.4991 0.49913 0.49916 0.49918 0.49921 0.49924 0.49926 0.49929

3.2 0.49931 0.49934 0.49936 0.49938 0.4994 0.49942 0.49944 0.49946 0.49948 0.4995

3.3 0.49952 0.49953 0.49955 0.49957 0.49958 0.4996 0.49961 0.49962 0.49964 0.49965

3.4 0.49956 0.49968 0.49969 0.4997 0.49971 0.49972 0.49973 0.49974 0.49975 0.49976

3.5 0.49977 0.49978 0.49978 0.49979 0.4998 0.49981 0.49981 0.49982 0.49983 0.49983

3.6 0.49984 0.49985 0.49985 0.49986 0.49986 0.49987 0.49987 0.49988 0.49988 0.49989

3.7 0.49989 0.4999 0.4999 0.4999 0.49991 0.49991 0.49992 0.49992 0.49992 0.49992

3.8 0.49993 0.49993 0.49993 0.49994 0.49994 0.49994 0.49994 0.49995 0.49995 0.49995

3.9 0.49995 0.49995 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49997 0.49997



84 ESTADISTICA

TABLA DE LA DISTRIBUCION T -STUDENT

1 p x c

gl 1

0.75 0.80 0.85 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995

1 1 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657

2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925

3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841

4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604

5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707

7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 0.7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106

12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055

13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012

14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977

15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 0.69 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921

17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898

18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878

19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861

20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831

22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819

23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807

24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797

25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787

26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779

27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771

28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.76329 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756

30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750

40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704

60 0.679 0.848 1.046 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660

120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617

0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576




TABLA DE LA DISTRIBUCION CHI CUADRADO ( 2 1 p x c )

gl 0.01 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995

1 0 0 0 0 0.02 0.06 0.27 0.71 1.64 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88

2 0.01 0.02 0.05 0.1 0.21 0.45 1.02 1.83 3.22 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6

3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 1.01 1.87 2.95 4.64 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84

4 0.21 0.3 0.48 0.71 1.06 1.65 2.75 4.04 5.99 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86

5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 2.34 3.66 5.13 7.29 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75

6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.2 3.07 4.57 6.21 8.56 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55

7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 3.82 5.49 7.28 9.8 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28

8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 4.59 6.42 8.35 11.03 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95

9 1.73 2.09 2.7 3.33 4.17 5.38 7.36 9.41 12.24 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59

10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.18 8.3 10.47 13.44 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19

11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.58 6.99 9.24 11.53 14.63 17.28 19.68 21.92 24.73 26.76

12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.3 7.81 10.18 12.58 15.81 18.55 21.03 23.34 26.22 28.3

13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 8.63 11.13 13.64 16.98 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82

14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 9.47 12.08 14.69 18.15 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32

15 4.6 5.23 6.26 7.26 8.55 10.31 13.03 15.73 19.31 22.31 25 27.49 30.58 32.8

16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.15 13.98 16.78 20.47 23.54 26.3 28.85 32 34.27

17 5.7 6.41 7.56 8.67 10.09 12 14.94 17.82 21.61 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72

18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 12.86 15.89 18.87 22.76 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16

19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 13.72 16.85 19.91 23.9 27.2 30.14 32.85 36.19 38.58

20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 14.58 17.81 20.95 25.04 28.41 31.41 34.17 37.57 40

21 8.03 8.9 10.28 11.59 13.24 15.44 18.77 21.99 26.17 29.62 32.67 35.48 38.93 41.422 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 16.31 19.73 23.03 27.3 30.81 33.92 36.78 40.29 42.8

23 9.26 10.2 11.69 13.09 14.85 17.19 20.69 24.07 28.43 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18

24 9.89 10.9 12.4 13.85 15.66 18.06 21.65 25.11 29.55 33.2 36.42 39.36 42.98 45.56

25 10.5 11.5 13.12 14.61 16.47 18.94 22.62 26.14 30.68 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93

30 13.8 15 16.79 18.49 20.6 23.36 27.44 31.32 36.25 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67

35 17.2 18.5 20.57 22.47 24.8 27.84 32.28 36.47 41.78 46.06 49.8 53.2 57.34 60.27

40 20.7 22.2 24.43 26.51 29.05 32.34 37.13 41.62 47.27 51.81 55.76 59.34 63.69 66.77

45 24.3 25.9 28.37 30.61 33.35 36.88 42 46.76 52.73 57.51 61.66 65.41 69.96 73.17

50 28 29.7 32.36 34.76 37.69 41.45 46.86 51.89 58.16 63.17 67.5 71.42 76.15 79.49

55 31.7 33.6 36.4 38.96 42.06 46.04 51.74 57.02 63.58 68.8 73.31 77.38 82.29 85.75

60 35.5 37.5 40.48 43.19 46.46 50.64 56.62 62.13 68.97 74.4 79.08 83.3 88.38 91.95

65 39.4 41.4 44.6 47.45 50.88 55.26 61.51 67.25 74.35 79.97 84.82 89.18 94.42 98.1

70 43.3 45.4 48.76 51.74 55.33 59.9 66.4 72.36 79.71 85.53 90.53 95.02 100.4 104.2

75 47.2 49.5 52.94 56.05 59.79 64.55 71.29 77.46 85.07 91.06 96.22 100.8 106.4 110.3

80 51.2 53.5 57.15 60.39 64.28 69.21 76.19 82.57 90.41 96.58 101.88 106.6 112.3 116.3

85 55.2 57.6 61.39 64.75 68.78 73.88 81.09 87.67 95.73 102.1 107.52 112.4 118.2 122.3

90 59.2 61.8 65.65 69.13 73.29 78.56 85.99 92.76 101.05 107.6 113.15 118.1 124.1 128.3

95 63.3 65.9 69.92 73.52 77.82 83.25 90.9 97.85 106.36 113 118.75 123.9 130 134.3



86 ESTADISTICA

TABLA F 1 p F c

Grados

de

Libertad

f(0.90, v1,v2)Grados de libertad del numerador v1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 100

8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,47 9,48 9,48

3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,17 5,17 5,16 5,15 5,15 5,15 5,14

4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,80 3,79 3,78 3,78

5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,15 3,14 3,13 3,13

6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,84 2,81 2,80 2,78 2,77 2,76 2,75 2,75

7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 2,63 2,59 2,57 2,56 2,54 2,52 2,51 2,50 2,50

8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,35 2,34 2,33 2,32

9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 2,34 2,30 2,27 2,25 2,23 2,22 2,21 2,20 2,19

10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,28 2,24 2,20 2,17 2,16 2,13 2,12 2,11 2,09 2,09

12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 2,10 2,06 2,03 2,01 1,99 1,97 1,96 1,95 1,94

15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,02 1,97 1,92 1,89 1,87 1,85 1,83 1,82 1,80 1,7920 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,89 1,84 1,79 1,76 1,74 1,71 1,69 1,68 1,66 1,65

25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,82 1,77 1,72 1,68 1,66 1,63 1,61 1,59 1,58 1,56

30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,77 1,72 1,67 1,63 1,61 1,57 1,55 1,54 1,52 1,51

40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,71 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,48 1,47 1,45 1,43

50 2,81 2,41 2,20 2,06 1,97 1,90 1,84 1,80 1,76 1,73 1,68 1,63 1,57 1,53 1,50 1,46 1,44 1,42 1,40 1,39

60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 1,60 1,54 1,50 1,48 1,44 1,41 1,40 1,37 1,36

80 2,77 2,37 2,15 2,02 1,92 1,85 1,79 1,75 1,71 1,68 1,63 1,57 1,51 1,47 1,44 1,40 1,38 1,36 1,33 1,32

100 2,76 2,36 2,14 2,00 1,91 1,83 1,78 1,73 1,69 1,66 1,61 1,56 1,49 1,45 1,42 1,38 1,35 1,34 1,31 1,29

120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65 1,60 1,55 1,48 1,44 1,41 1,37 1,34 1,32 1,29 1,28

f( 0.95 ,v1,v2)

g.l v21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 100

2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,43 19,45 19,46 19,46 19,47 19,48 19,48 19,48 19,49

3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,63 8,62 8,59 8,58 8,57 8,56 8,55

4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,70 5,69 5,67 5,66

5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,56 4,52 4,50 4,46 4,44 4,43 4,41 4,41

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,83 3,81 3,77 3,75 3,74 3,72 3,71

7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51 3,44 3,40 3,38 3,34 3,32 3,30 3,29 3,27

8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,15 3,11 3,08 3,04 3,02 3,01 2,99 2,97

9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01 2,94 2,89 2,86 2,83 2,80 2,79 2,77 2,7610 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,85 2,77 2,73 2,70 2,66 2,64 2,62 2,60 2,59

12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,50 2,47 2,43 2,40 2,38 2,36 2,35

15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,28 2,25 2,20 2,18 2,16 2,14 2,12

20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,20 2,12 2,07 2,04 1,99 1,97 1,95 1,92 1,91

25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,84 1,82 1,80 1,78

30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,09 2,01 1,93 1,88 1,84 1,79 1,76 1,74 1,71 1,70

40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 1,92 1,84 1,78 1,74 1,69 1,66 1,64 1,61 1,59

50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,95 1,87 1,78 1,73 1,69 1,63 1,60 1,58 1,54 1,52

60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,84 1,75 1,69 1,65 1,59 1,56 1,53 1,50 1,48

80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,13 2,06 2,00 1,95 1,88 1,79 1,70 1,64 1,60 1,54 1,51 1,48 1,45 1,43

100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,85 1,77 1,68 1,62 1,57 1,52 1,48 1,45 1,41 1,39

120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 1,60 1,55 1,50 1,46 1,43 1,39 1,37




Grados

de

Libertad

f(0.975, v1,v2)

Grados de libertad del numerador v11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 100

2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41 39,43 39,45 39,46 39,46 39,47 39,48 39,48 39,49 39,493 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,34 14,25 14,17 14,12 14,08 14,04 14,01 13,99 13,97 13,96

4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,75 8,66 8,56 8,50 8,46 8,41 8,38 8,36 8,33 8,32

5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,52 6,43 6,33 6,27 6,23 6,18 6,14 6,12 6,10 6,08

6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,37 5,27 5,17 5,11 5,07 5,01 4,98 4,96 4,93 4,92

7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,67 4,57 4,47 4,40 4,36 4,31 4,28 4,25 4,23 4,21

8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,20 4,10 4,00 3,94 3,89 3,84 3,81 3,78 3,76 3,74

9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,87 3,77 3,67 3,60 3,56 3,51 3,47 3,45 3,42 3,40

10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,62 3,52 3,42 3,35 3,31 3,26 3,22 3,20 3,17 3,15

12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 3,28 3,18 3,07 3,01 2,96 2,91 2,87 2,85 2,82 2,80

15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 2,96 2,86 2,76 2,69 2,64 2,59 2,55 2,52 2,49 2,47

20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,68 2,57 2,46 2,40 2,35 2,29 2,25 2,22 2,19 2,17

25 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,85 2,75 2,68 2,61 2,51 2,41 2,30 2,23 2,18 2,12 2,08 2,05 2,02 2,00

30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 2,41 2,31 2,20 2,12 2,07 2,01 1,97 1,94 1,90 1,88

40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 2,39 2,29 2,18 2,07 1,99 1,94 1,88 1,83 1,80 1,76 1,74

50 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,55 2,46 2,38 2,32 2,22 2,11 1,99 1,92 1,87 1,80 1,75 1,72 1,68 1,66

60 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,51 2,41 2,33 2,27 2,17 2,06 1,94 1,87 1,82 1,74 1,70 1,67 1,63 1,60

80 5,22 3,86 3,28 2,95 2,73 2,57 2,45 2,35 2,28 2,21 2,11 2,00 1,88 1,81 1,75 1,68 1,63 1,60 1,55 1,53

100 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,42 2,32 2,24 2,18 2,08 1,97 1,85 1,77 1,71 1,64 1,59 1,56 1,51 1,48

120 5,15 3,80 3,23 2,89 2,67 2,52 2,39 2,30 2,22 2,16 2,05 1,94 1,82 1,75 1,69 1,61 1,56 1,53 1,48 1,45

f( 0.99 ,v1,v2)g.l v2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 100

2 98.50 99.00 99.16 99.25 99.30 99.33 99.36 99.38 99.39 99.40 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.48 99.48 99.48 99.48 99.49

3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23 27.05 26.87 26.69 26.58 26.50 26.41 26.35 26.32 26.27 26.24

4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.20 14.02 13.91 13.84 13.75 13.69 13.65 13.61 13.58

5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.89 9.72 9.55 9.45 9.38 9.29 9.24 9.20 9.16 9.13

6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.72 7.56 7.40 7.30 7.23 7.14 7.09 7.06 7.01 6.99

7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72º 6.62 6.47 6.31 6.16 6.06 5.99 5.91 5.86 5.82 5.78 5.75

8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.52 5.36 5.26 5.20 5.12 5.07 5.03 4.99 4.96

9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 4.96 4.81 4.71 4.65 4.57 4.52 4.48 4.44 4.41

10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56 4.41 4.31 4.25 4.17 4.12 4.08 4.04 4.01

12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.16 4.01 3.86 3.76 3.70 3.62 3.57 3.54 3.49 3.47

15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.67 3.52 3.37 3.28 3.21 3.13 3.08 3.05 3.00 2.98

20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.84 2.78 2.69 2.64 2.61 2.56 2.54

25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.70 2.60 2.54 2.45 2.40 2.36 2.32 2.29

30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70 2.55 2.45 2.39 2.30 2.25 2.21 2.16 2.13

40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.66 2.52 2.37 2.27 2.20 2.11 2.06 2.02 1.97 1.94

50 7.17 5.06 4.20 3.72 3.41 3.19 3.02 2.89 2.78 2.70 2.56 2.42 2.27 2.17 2.10 2.01 1.95 1.91 1.86 1.82

60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.50 2.35 2.20 2.10 2.03 1.94 1.88 1.84 1.78 1.75

80 6.96 4.88 4.04 3.56 3.26 3.04 2.87 2.74 2.64 2.55 2.42 2.27 2.12 2.01 1.94 1.85 1.79 1.75 1.69 1.65

100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50 2.37 2.22 2.07 1.97 1.89 1.80 1.74 1.69 1.63 1.60

120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.93 1.86 1.76 1.70 1.66 1.60 1.56



88 ESTADISTICA

Grados

de

Libertad

v2

f(0.995, v1,v2)

Grados de libertad del numerador v1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 1002 198.5 199.0 199.2 199.2 199.3 199.3 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5

3 55.55 49.80 47.47 46.20 45.39 44.84 44.43 44.13 43.88 43.68 43.39 43.08 42.78 42.59 42.47 42.31 42.21 42.15 42.07 42.02

4 31.33 26.28 24.26 23.15 22.46 21.98 21.62 21.35 21.14 20.97 20.70 20.44 20.17 20.00 19.89 19.75 19.67 19.61 19.54 19.50

5 22.78 18.31 16.53 15.56 14.94 14.51 14.20 13.96 13.77 13.62 13.38 13.15 12.90 12.76 12.66 12.53 12.45 12.40 12.34 12.30

6 18.63 14.54 12.92 12.03 11.46 11.07 10.79 10.57 10.39 10.25 10.03 9.81 9.59 9.45 9.36 9.24 9.17 9.12 9.06 9.03

7 16.24 12.40 10.88 10.05 9.52 9.16 8.89 8.68 8.51 8.38 8.18 7.97 7.75 7.62 7.53 7.42 7.35 7.31 7.25 7.22

8 14.69 11.04 9.60 8.81 8.30 7.95 7.69 7.50 7.34 7.21 7.01 6.81 6.61 6.48 6.40 6.29 6.22 6.18 6.12 6.09

9 13.61 10.11 8.72 7.96 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54 6.42 6.23 6.03 5.83 5.71 5.62 5.52 5.45 5.41 5.36 5.32

10 12.83 9.43 8.08 7.34 6.87 6.54 6.30 6.12 5.97 5.85 5.66 5.47 5.27 5.15 5.07 4.97 4.90 4.86 4.80 4.77

12 11.75 8.51 7.23 6.52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.20 5.09 4.91 4.72 4.53 4.41 4.33 4.23 4.17 4.12 4.07 4.04

15 10.80 7.70 6.48 5.80 5.37 5.07 4.85 4.67 4.54 4.42 4.25 4.07 3.88 3.77 3.69 3.59 3.52 3.48 3.43 3.39

20 9.94 6.99 5.82 5.17 4.76 4.47 4.26 4.09 3.96 3.85 3.68 3.50 3.32 3.20 3.12 3.02 2.96 2.92 2.86 2.83

25 9.48 6.60 5.46 4.84 4.43 4.15 3.94 3.78 3.64 3.54 3.37 3.20 3.01 2.90 2.82 2.72 2.65 2.61 2.55 2.52

30 9.18 6.35 5.24 4.62 4.23 3.95 3.74 3.58 3.45 3.34 3.18 3.01 2.82 2.71 2.63 2.52 2.46 2.42 2.36 2.32

40 8.83 6.07 4.98 4.37 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22 3.12 2.95 2.78 2.60 2.48 2.40 2.30 2.23 2.18 2.12 2.09

50 8.63 5.90 4.83 4.23 3.85 3.58 3.38 3.22 3.09 2.99 2.82 2.65 2.47 2.35 2.27 2.16 2.10 2.05 1.99 1.95

60 8.49 5.79 4.73 4.14 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01 2.90 2.74 2.57 2.39 2.27 2.19 2.08 2.01 1.96 1.90 1.86

80 8.33 5.67 4.61 4.03 3.65 3.39 3.19 3.03 2.91 2.80 2.64 2.47 2.29 2.17 2.08 1.97 1.90 1.85 1.79 1.75

100 8.24 5.59 4.54 3.96 3.59 3.33 3.13 2.97 2.85 2.74 2.58 2.41 2.23 2.11 2.02 1.91 1.84 1.79 1.72 1.68

120 8.18 5.54 4.50 3.92 3.55 3.28 3.09 2.93 2.81 2.71 2.54 2.37 2.19 2.07 1.98 1.87 1.80 1.75 1.68 1.64





Númerode

Grupos

Prueba Z para la media

Prueba T para la media

Prueba del signo para la mediana

Prueba Z para la diferencia de medias

Prueba T para ladiferencia de medias

Prueba T para la diferenciade medias con ajuste derados de libertad.

DistribuciónNormal

n≥20

arianzasiguales

Prueba de Mann Whintney paracomparación de poblaciones

Distribuciónnormal

n≥30 independientes

Prueba Z para la media de la diferencia endatos apareados

Prueba T para la media de ladiferencia en datos apareados

Prueba del signo o de Wilcoxonpara datos apareados

Distribuciónnormal

Distribución normalcon varianzas

semejantes

n≥30

independien

tes

ANOVA – comparación de tratamientos

Prueba de Krusskal – Wallis – comparación de tratamientos.

ANOVA en bloque - comparación detratamientos.

Prueba de Friedman - comparación detratamientos.

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

Distribución normalcon varianzas

semejantes

SI

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

2grupos

3 o másgrupos

1grupo



90 ESTADISTICA


SI

Númerode

Grupos

Prueba Z para la proporción poblacional

Muestra grandenP y n(1-P) > 5

Frecuenciasesperadaspequeñas

independie

ntes

independientes

SI

SI

SI

NO

NO

NO

2grupos

3 o másgrupos

1grupo

Prueba Binomial para la proporción poblacional

Prueba exacta de Fisher – comparación deproporciones

Prueba Z o Ji-Cuadrado para comparación deproporciones

Prueba de McNemanComparación de proporciones

Frecuenciasesperadas

pequeñas

SI

SI

NO

NO

Prueba Ji - Cuadrado (reunir categorías)Para comparación de proporciones

Prueba Ji-Cuadrado para comparación deproporciones

Prueba Q de CockranComparación de proporciones

No

No





Escala demedición

paraambas

variables.

ContinuaCoeficiente de correlación lineal de pearson

Coeficiente de correlación por rangos deSpearman

SI

NO

-Prueba de chi-cuadrado (Coeficiente decontingencia)-Riesgos relativos( Estudios Cohorte).

-Odds Ratio( Estudios caso-control)

-Coeficiente de correlación

Prueba de chi-cuadrado paraindependencia de variables (Coeficientede contingencia)

Cada variabletiene doscategorías(Tabla 2x2)

Ordinal y/ocardinal

Nominal



92 ESTADISTICA

MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE ACUERDO AL TIPO DE VARIABLES.

Tipo de

Descripción

Tipo de variable Método o Técnica Estadística.

Variables

individuales

Cualitativa

(Nominal y Ordinal)

Frecuencias, proporciones, o porcentajes

representados por grafico de barras,

sectores o pictogramas.

Variables

individuales

Cuantitativa

(Intervalo o razón)

-Distribución de frecuencias en clases,

frecuencias acumuladas.

-Medidas de tendencia central, dispersión,

posición y de forma.

Asociación

entre variables

Cualitativa con

Cualitativa

-Tablas de contingencia.

-Calculo de riesgos.

-Pruebas de chi-cuadrado:independencia-Grafico de barras

-Pruebas de Kendall, de Spearman.

Asociación

entre variables

Cualitativa con

Cuantitativa

-Tablas con clasificación categórica, con

promedios, desviaciones, etc.

-Regresión Logística.

-Diseño experimental

Asociaciónentre variables

Cuantitativa conCuantitativa

-Grafico de dispersión.- Análisis de regresión, coeficiente de

correlación.




PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE ACUERDO A LA ESCALA DE MEDICIÓN DE LA

VARIABLE.

Tipo de

Descripción

Escala de la

variable

Método o Técnica Estadística.

Variables

individuales

Nominal -Prueba Z para una proporción

poblacional.

-Prueba de chi-cuadrado para varias

proporciones en una sola población.

-Intervalos de confianza para

proporciones.-Prueba de McNemar,

-Prueba de Mantel Haenzel

Variables

individuales o

más de una

variable

Ordinales -Prueba de signos o binomial para la

media poblacional.

-Pruebas de wilcoxon para rangos.

Prueba de U Mann Whitney( dos o más

poblaciones)-Prueba de Kruskal Wallis.

-Prueba de Friedman.

Variables

individuales

Intercalar o de

razón.

-Prueba de t para una media poblacional.

-intervalos de confianza.

Mas de una

variables

Intercalar o de

razón

-Prueba de hipotes e intervalos de

confianza para diferencia de medias.

-Prueba de varianzas



94 ESTADISTICA

BIBLIOGRAFIA.

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Sociales. México: Trillas.

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Maestria educacion parte 2

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