Macroeconomía (Doepke)

MACROECONOMA. Una aproximacin matemtica | 1

MACROECONOMA UNA APROXIMACIN MATEMTICA

Matthias Doepke Universidad de Chicago

Andreas Lehnert Junta de Gobernadores del

Sistema de la Reserva Federal

Andrew W. Sellgren Universidad George Mason


Captulo 1

Preliminares

Este captulo presenta las tasas de inters y tasas de crecimiento. Los dos temas estn estrechamente

relacionados, as que los tratamos juntos. Los conceptos discutidos aqu no estn en Barro, pero ayudan a a entender los grficos y estadsticas que utiliza a lo largo de su libro.

1.1 Inters compuesto

Comenzamos con algunos trminos comunes y clculos del reino de las inversiones de renta fija.

El monto de la inversin que se llama principal. La "renta fija" de las inversiones se llama inters. El inters por

unidad de capital por unidad de tiempo se denomina tasa de inters. Por lo general, las tasas de inters estn

expresadas en dlares por ao por cada dlar de principal. Estas unidades se puede escribir: $/(y $). Las

unidades de dlar se cancelan, por lo que este tipo de inters cuenta con unidades por ao. Del mismo modo, si la tasa de inters son las manzanas por da por manzana prestada, las unidades de manzanas cancelarn, y

las unidades de la tasa de inters sern por da.

En general, las unidades de un tipo de inters son por unidad de tiempo.

Cuando la unidad de tiempo es de un ao, se dice que un tipo de inters es una tasa de inters anual. Si la unidad de tiempo no se menciona, entonces ser casi siempre una tasa de inters anual. Las tasas de inters

que se citan en alguna unidad de tiempo especfico se pueden convertir en cualquier otra unidad de tiempo a travs de una transformacin lineal simple. Por ejemplo, una tasa de inters diaria de x% corresponde a una

tasa de inters anual de (365) (x) % (vase el ejercicio 1.1 para un ejemplo.)

Utilizamos P para el principal de una inversin de renta fija y R para la tasa de inters anual. En el inters

simple intereses por el monto del principal nicamente. En este caso, despus de n aos, el valor de la inversin

ser:

(1.1) Vs (n) = RPn + P

Por ejemplo, supongamos que usted invierte $ 5.000 a una tasa de inters simple anual del 4,5%. Despus de

dos aos el valor de su inversin ser:

Vs (2) = (0.045) ($ 5000) (2) + $ 5000 = $ 5, 450

Es muy comn que los intereses se agraven cada ao. En este caso, al final de cada ao, el inters de ese ao se aadir al principal, por lo que la inversin va a ganar intereses sobre los intereses. El primer ao ser como

inters simple, ya que ninguno de los intereses se deveng an. En consecuencia, el valor despus del primer ao ser:

Va (1) = RP + P = (1 + R) P

Despus del segundo ao, el valor ser:

Va (2) = RVa (1) + Va (1) = R (1 + R) P + (1 + R) P = (1 + R)2 P:

Del mismo modo, despus de n aos, el valor ser:

(1.2) Va (n) = (1 + R)n P

Por supuesto, esta frmula slo funciona con nmeros enteros de un ao. Para los nmeros no enteros, se

deber redondear, calcule Va(n), y el uso que en la frmula (1.1) de inters simple para la fraccin del ao anterior. (Ver el ejercicio 1.6 para un ejemplo.)

Vamos a volver a nuestro ejemplo anterior. Una vez ms, usted invierte $5000 en un inters del 4,5% anual, pero esta vez con inters compuesto anual. Despus de dos aos el valor de su inversin ser:

Va (2) = (1 + 0,045)2 ($5000) = $ 5460,13


(Aqu y en todo el captulo, los montos en dlares se han redondeado al cntimo ms prximo.) Observe que la inversin vale menos bajo inters simple de bajo inters compuesto, ya que bajo inters compuesto se gana

alrededor de $ 10 de intereses sobre los intereses del primer ao.

El razonamiento anterior para la capitalizacin anual se aplica a capitalizacin frecuentemente. El nico

problema es que la tasa de inters necesita escribirse en trminos del mismo intervalo de tiempo que la capitalizacin de intereses. Si R es una tasa de inters anual, y el inters es compuesto t veces al ao, entonces

el valor de una inversin despus de n aos ser:

() = (1 +

)

Volvamos a nuestro ejemplo, esta vez suponiendo que los que un inters compuesto diario. Despus de dos aos, el valor ser:

365(2) = (1 +0.045

365)

365.2

($5000) = $5470.84

A medida que agravar cada vez ms frecuentemente, se llega a la expresin de continua composicin:

() = lim

(1 +

)

Podemos hacer esto mucho ms manejables mediante el hecho de que:

= lim

(1 +1

)

donde e es la constante de Euler. Esto nos da la siguiente frmula para el descuento continuo:

() = lim

(1 +

)

= [ lim(/)

(1 +1

(/))

(/)

]

=

Volvamos a nuestro ejemplo una vez ms, esta vez asumiendo capitalizacin continua.

Despus de dos aos, el valor de la inversin ser:

Vc (2) = e (0.045) (2) ($ 5000) = $ 5470,87

Una vez ms, observe cmo a travs de estos ejemplos, el valor de la inversin es mayor cuanto ms compuesto es el inters. Los resultados de capitalizacin continua dan valores mayores, pero los rendimientos de la composicin ms frecuente caen con bastante rapidez. Por ejemplo, el valor es casi el mismo bajo tasa de

descuento diaria que continua.

1.2 Tasas de crecimiento

Los economistas se han interesado en las tasas de crecimiento de las variables econmicas. Usted puede leer, "El producto interno bruto creci a una tasa de 2,3% anual en el trimestre", o "La inflacin es del 4%" o "La

poblacin mundial est creciendo un 20% cada dcada." Cada una de estas declaraciones con una tasa de crecimiento.

Una tasa de inters es la tasa de crecimiento del valor de un activo, y toda la terminologa de la y las frmulas de la seccin anterior se aplican a las tasas de crecimiento en general. Por ejemplo, podemos calcular tasas de

crecimiento anual simples y tasas de crecimiento anual que se ven capitalizadas anualmente o de forma continua.

Tenga en cuenta los siguientes valores para el Producto Interno Bruto (PIB) de un hipottico pas:

Ao PIB

1991 $100.000.000

1992 $130.000.000

1993 $135.000.000


La tasa de crecimiento del PIB es slo el tipo de inters que el PIB habra tenido que ganar si se tratara de una inversin de renta fija.

Por ejemplo, la tasa simple de crecimiento del PIB entre 1992 y 1993 est dado por R en la Ecuacin (1.1). El PIB comienza como P, y termina como Vs (n), siendo n un ao. Conectando todos los nmeros, se obtiene:

$135K = (R)($130K)(1) + $130K; de modo que:

R =$135K

$130K 1 1.03846154 1 = 3,846154%

Como otro ejemplo, para calcular la tasa anual de crecimiento del PIB, capitalizado anualmente, entre 1991 y 1993, se utiliza la ecuacin (1.2). El PIB comienza como P, termina en Va (n), y n es de dos aos. Esto nos da:

$ 135K = (1 + R) 2 ($ 100K), de modo que:

= ($135

$ 100 )0.5 1 1.16189500 1 = 16,189500%

Como ltimo ejemplo, haremos el mismo clculo, pero utilizando la capitalizacin continua. Resolveremos la

ecuacin (1.3) para R. El PIB comienza como P, termina como Vc (n), y n es de dos aos.

$ 135K = E2 ($ 100K), de modo que:

= [ln ($ 135K) ln ($ 100K)](0,5) 0,15005230 15 = 15,005230%

Generalmente, los economistas prefieren utilizar la capitalizacin continua, por dos razones. En primer lugar,

bajo la capitalizacin continua, el clculo de la tasa de crecimiento entre dos valores de una serie requiere nada ms que tomar la diferencia de sus logaritmos naturales, como se hizo anteriormente.

Esta propiedad es til para graficar series. Por ejemplo, considere algunas series que se dada por V(n) = V0e0,08n,

que se representa en la Figura 1.1. Por las ecuaciones anteriores, se sabe esta serie que crece a una tasa de 8%

continua. La figura 1.2 representa el logaritmo natural de la misma serie, es decir, ln [V(n)] = ln (V0) + 0,08 n. A

partir de la ecuacin, se puede ver que esta nueva serie es lineal en n, y la pendiente (0,08) da la tasa de

crecimiento. Barro siempre etiqueta el eje vertical de un grfico con la "escala proporcional", ha graficado el

logaritmo natural de la serie subyacente. Para ver un ejemplo, consulte la Figura de Barro 1.1.

La segunda razn por la que los economistas prefieren las tasas continuas de crecimiento es que tienen la

siguiente propiedad deseable: si usted calcula las tasas de crecimiento continuas ao tras ao de una serie y luego toma el promedio de los precios, el resultado es igual a la tasa de crecimiento continuo en el intervalo

entero.

Por ejemplo, considere las cifras del PIB hipotticos de arriba: $ 100K, $ 130K, y $ 135K. La tasa de crecimiento continuo entre los dos primeros es: ln ($ 130K) - ln ($ 100K). La tasa de crecimiento continuo

entre los dos segundos es: ln ($ 135K) - ln ($ 130K). El promedio de estos dos es:

[ln ($ 135K) ln ($ 130K)] + [ln ($ 130K) ln ($ 100K)]

2


Los dos trminos ln ($ 130K) se cancelan, dejando como resultado la frmula para el crecimiento continuo de

tipo de cambio entre el primer y el tercer lugar, como se dedujo anteriormente.

Si realizamos el mismo ejercicio con crecimiento simple o crecimiento compuesto anual, vamos a encontrar

que el promedio de las tasas de crecimiento individuales no ser igual a la tasa total de crecimiento. Por ejemplo, si el PIB crece un 8% este ao y un 4% el prximo ao, ambos calculados con capitalizacin anual,

la tasa de crecimiento de dos aos no ser del 6% (Usted debe comprobar que en realidad ser 5,98%.). Por otro lado, si el 8% y el 4% se calcularon utilizando capitalizacin continua, entonces la tasa de crecimiento

continuo a lo largo de la perodo de dos aos sera de 6%.


Captulo 2

Esfuerzo Laboral, Produccin, y Consumo

Robinson Crusoe vive solo en una isla, por lo que es una economa en s mismo. Tiene preferencias sobre el

consumo y el ocio, y puede producir bienes de consumo mediante el uso de trabajo y el capital. Examinaremos primero la produccin. Luego, nos dirigiremos a las preferencias. Poniendo estas dos piezas juntas, obtenemos

las decisiones ptimas de Crusoe en cuanto a trabajo, el ocio y consumo.

2.1 Las Posibilidades de Produccin de Robinson Crusoe

Crusoe utiliza los factores de produccin con el fin de producir y. Podemos pensar este producto como cocos.

Aqu consideramos al capital k y el trabajo l. El capital podran ser cocoteros, y el trabajo la cantidad de tiempo

que trabaja Crusoe, medido como una fraccin de un da. Cunto produce Crusoe con determinados recursos?

depende del tipo de tecnologa A que emplea. Formalizamos este proceso de produccin a travs de un la

funcin de produccin.

A menudo simplificamos nuestros problemas suponiendo que la funcin de produccin tiene alguna forma funcional particular. Como un primer paso, a menudo asumimos que puede ser escrita: y= A.f(k,l), para alguna

funcin f (). Esto significa que a medida que la tecnologa A aumenta, Crusoe puede obtener ms producto de los factores dados. Es razonable requerir que la funcin f () sea creciente en cada argumento. Esto implica que el aumento del factor k o l aumentar la produccin.

Otra suposicin comn es que la salida es cero si cualquier entrada es cero: f (0, l) = 0 y f (k, 0) = 0, para todo k

y l.

Una forma funcional que tiene estas propiedades es la funcin Cobb-Douglas, por ejemplo: y= A k1- l, para

algn entre cero y uno. Esta funcin en particular exhibe rendimientos constantes a escala, puesto (1 -) + () = 1. La Figura 2.1 es una representacin tridimensional de esta funcin para valores particulares de A y .


No vamos a tratar con el capital k hasta el Captulo 9, as que por ahora se supone que el capital es fijo, por

ejemplo, en k = 1. Esto simplifica la funcin de produccin. Con un ligero abuso de notacin, redefinimos f () y escribimos la produccin como y = f (l). As es como Barro lo utiliza en su Captulo 2.

Si la funcin de produccin original era Cobb-Douglas, y= A k1- l, entonces bajo el supuesto de que k = 1, la

funcin de produccin es: y= A l. La grfica de esta curva es una rebanada a travs de la superficie

representada en la figura 2.1. Se parece a la figura de Barro 2.1.

Como usted sabe, el producto marginal de un factor de produccin (por ejemplo, el trabajo l) es la produccin

adicional, o "producto", que resulta del aumento de la entrada de ese factor. Formalmente, el producto

marginal de un factor es la derivada de la funcin de produccin con respecto a ese factor. Por ejemplo, el producto marginal del trabajo es: dy/dl = f (l). El producto marginal es la derivada de la funcin de produccin, y el derivado da la pendiente. Podemos leer al producto marginal como la pendiente de la funcin de produccin, como lo hace Barro en la Figura 2.1.

En el caso particular en que la funcin de produccin es Cobb-Douglas (y el capital es fijo), y= A l, por lo que

el producto marginal del trabajo es: dy/dl = Al-1. Este resultado es siempre positivo, ya que se requiere que disminuya a medida que aumenta l. En consecuencia, esta funcin de produccin exhibe un producto marginal

decreciente: la primera unidad de trabajo es ms productivo que la dcima unidad de trabajo. La representacin

grfica de esta ecuacin producto marginal nos da algo as como Figura 2.2 de Barro.

Barro habla de mejoras en la tecnologa y sostiene que tanto la funcin de produccin como el producto

marginal cambian como resultado de esta mejora. Los efectos de este cambio en tecnologa son ms claros cuando examinamos una funcin de produccin en particular. Por ejemplo, consideramos que nuestra funcin

de produccin: y= A l. La mejora en la tecnologa significa que A sube. En consecuencia, cualquiera que sea

la produccin, se somete al mismo porcentaje de aumento como el incremento en A. Por ejemplo, si A se

duplica, entonces la salida en cada l ser el doble lo que sola ser. En particular, cuando l es cero, la salida es

cero al igual que antes, ya que dos veces cero sigue siendo cero. El resultado es que la funcin de produccin sufre un tipo de alza-rotacin, pivotando sobre el origen anclado, l=0. Eso es precisamente lo que representa

Barro en la Figura 2.3.

Podemos examinar el producto marginal tambin. Bajo la funcin particular que estamos utilizando, el

producto marginal del trabajo (PMgL) es: dy/dl = Al-1. Por consiguiente, el producto marginal de cada l experimenta el mismo cambio porcentual que A. Dado que la PMgL es mayor a niveles bajos de L, la curva de

producto marginal se desplaza hacia ms arriba a niveles dados de l. Refirase a la Figura 2.4 de Barro.

2.2 Las Preferencias de Crusoe

Crusoe se preocupa por su consumo c y su ocio. Ya que estamos midiendo al trabajo l como la fraccin del da

que trabaja Crusoe, el resto es ocio. En concreto, el ocio es 1-l.

Representamos a sus preferencias con una funcin de utilidad u (c, l). Tenga en cuenta que el segundo

argumento no es un bien bueno, ya que Crusoe no disfruta trabajando. En consecuencia, podra haber sido menos confuso si Barro hubiera escrito la utilidad como v (c, 1-l), por alguna funcin de utilidad v ().

Suponemos que las preferencias de Crusoe satisfacen las propiedades estndar: aumentan con cada bien bueno, son convexas, etc.

A menudo se simplificar el anlisis suponiendo una forma funcional particular para las preferencias de Crusoe. Por ejemplo, podramos tener: u(c,l)= ln(c) + ln(1-l). Con una funcin en mano, podemos trazar curvas

de indiferencia. Para ello, hemos creado u(c,l) a un nmero fijo u , y resolvemos para c en funcin de l. Bajo estas preferencias, se obtiene:

=

1

A medida que cambiamos u , obtenemos diferentes curvas de indiferencia, y el conjunto de stas se ven como en la Figura 2.6 de Barro. Debe notarse algo extrao, puesto que estn aumentando a medida que nos movemos hacia la derecha. Esto se debe a que estamos graficando un bien "mal" (el trabajo l) en el eje horizontal. Si

graficramos ocio (1-l) en su lugar, entonces obtendremos las curvas de indiferencia que se parecen a lo que vio

en sus cursos de microeconoma.


2.3 Las Elecciones de Crusoe

2.4 Efectos renta y sustitucin

Barro utiliza grficos para examinar cmo cambian las decisiones ptimas de consumo y de trabajo de Crusoe cuando su funcin de produccin se desplaza y gira. l llama a los cambios en las elecciones de Crusoe

"efectos riqueza y sustitucin", que recuerda vagamente a su estudio de los efectos renta y sustitucin de microeconoma. En ese contexto, considera los cambios y las rotaciones de las rectas presupuestarias lineales.

La "recta presupuestaria" de Crusoe es su funcin de produccin que no es lineal.

Esta diferencia resulta de hacer el clculo matemtico poco prctico de los efectos renta y sustitucin. Por otra

parte, los "efectos riqueza" que Barro considera violan nuestra hiptesis de que la produccin es cero cuando el trabajo l es cero. Tal efecto riqueza es representado como un desplazamiento hacia arriba de la funcin de

produccin en la Figura 2.8 de Barro. Esto corresponde a la adicin de una constante de la funcin de produccin de Crusoe, lo que significa que la produccin no es cero cuando l lo es.

La Figura 2.10 de Barro representa un pivote de la produccin respecto al origen. Este tipo de cambio en la produccin es mucho ms comn en la macroeconoma, ya que es la forma en que suelen representar mejoras

tecnolgicas. Si la funcin de produccin de Crusoe es y = Al, entonces un aumento de A se ver exactamente

as. Dada una forma funcional especfica para u (), es sencillo calcular cmo cambian las elecciones de consumo c y trabajo l de Crusoe para cualquier cambio dado en A.

Por ejemplo, supongamos que u (c, l) = ln (c) + ln (1-l) como antes. Arriba hemos demostrado que:

Determinar cmo c* cambia cuando A cambia se llama esttica comparativa. El ejercicio tpico es tomar la

ecuacin que da la opcin ptima y diferenciarlo para la variable que cambia. En este caso, tenemos una ecuacin para la eleccin ptima de Crusoe de c*, y estamos interesados en cmo esta eleccin va a cambiar

cuando A cambia. Eso nos da:

La derivada de la ecuacin (2.7) es positiva, por lo que la eleccin ptima de consumo de Crusoe aumentar

cuando A aumenta.

La esttica comparativa para una eleccin ptima de trabajo l* de Crusoe es an ms fcil. Arriba hemos

obtenido:

No hay una A en el lado derecho, de modo que cuando se toma la derivada parcial respecto a A, el lado derecho

es una constante. En consecuencia, dl*/dA = 0, es decir, la eleccin de Robinson Crusoe de esfuerzo laboral no

depende de su tecnologa. Esto es precisamente lo que representa Barro en su figura 2.10.

La intuicin de este resultado es la siguiente. Cuando A aumenta, el producto marginal del trabajo aumenta,

ya que la pendiente de la funcin de produccin aumenta. Esto anima a Crusoe a trabajar ms. Por otro lado,

el aumento de A significa que para cualquier l Crusoe produce ms, por lo que es ms rico. Como resultado,

Crusoe trata de consumir ms de los bienes normales. En la medida en que el ocio 1-l es un bien normal, Crusoe

decide trabajar menos. Bajo estas preferencias y esta funcin de produccin, estos dos efectos se cancelan con precisin. En general, este no ser el caso y la decisin de l* queda indeterminada.


Captulo 5

El Modelo de Equilibrio de Mercado

La mayora de los modelos que usamos en este libro se basan en dos supuestos comunes. En primer lugar,

asumimos que existen mercados para todos los productos presentes en la economa, y que todos los mercados estn en equilibrio. En segundo lugar, se supone que todos los agentes se comportan competitivamente, lo que

significa que se toman los precios como dados. Los modelos que satisfacen estos supuestos se llaman modelos de equilibrio general. Hay una serie de resultados importantes que se aplican a todos los modelos de equilibrio

general, independientemente de qu tipo de productos, agentes, o tecnologas se utilizan. En este captulo, vamos a demostrar tres de estos resultados en un marco general. En muchos de los modelos que utilizaremos

en el resto del libro habr casos especiales del modelo general presentado aqu. Dado que omitiremos la mayora de los supuestos simplificadores que hacemos en otros captulos, el tratamiento ser ms formal y

matemtico de lo habitual.

La Seccin 5.1 presenta nuestro marco de equilibrio general. En la seccin 5.2 se muestra que dentro de este

marco, el nivel general de precios es indeterminado. Esto implica que los precios se normalizan, sin prdida de generalidad. Por ejemplo, en muchos modelos se fija el precio del bien de consumo para que sea igual a uno.

En la seccin 5.3 se muestra que en un modelo de equilibrio general una restriccin de equilibrio del mercado es redundante, un hecho conocido por la Ley de Walras. La Seccin 5.4 presenta el primer teorema del bienestar,

que establece que bajo ciertas condiciones de equilibrio los modelos de equilibrio general son eficientes.

5.1 Economa de Intercambio Puro

Consideraremos una economa con muchos productos y consumidores diferentes. En vez de tener un

consumidor representativo, tenemos en cuenta la posibilidad que cada consumidor tenga su propia funcin de utilidad. Sin embargo, hacemos una simplificacin: no hay produccin en la economa. Los consumidores

tienen la dotacin de bienes y servicios, pueden negociar sus dotaciones en los mercados, pero no hay ninguna posibilidad de producir bienes que excedan dichas dotaciones.

Hay N diferentes productos en la economa, donde N es un entero positivo. Para cada bien hay un mercado, y

el precio del bien n se denota pn. Hay I diferentes consumidores. Cada consumidor tiene una funcin de utilidad

sobre su consumo de los N productos de la economa. El consumo de n bienes por el consumidor i se denota

como cin, y la funcin de utilidad para el consumidor i es ui (ci1, c

i2,, c

iN). Observe que la funcin de utilidad

est indexada por i, de modo que pueda ser diferente para cada consumidor. Los consumidores tambin tienen

dotaciones de los N bienes, donde eit es la dotacin del consumidor i de n bienes.

Todos los consumidores se encuentran en el principio de los tiempos en un mercado central. Aqu los consumidores pueden vender sus dotaciones y comprar bienes de consumo. Si el consumidor i vende toda su

dotacin, su ingreso total es de

=1 . Del mismo modo, el gasto total en bienes de consumo es

=1 . El consumidor i maximiza su utilidad sujeta a su restriccin presupuestaria, que establece que el gasto total en

consumo tiene que ser igual a los ingresos totales por la venta de la dotacin. Matemticamente, el problema del consumidor i es:


Tambin necesitaremos una restriccin de equilibrio de mercado para cada uno de los bienes. La condicin de equilibrio del mercado para n bienes es:

Tenga en cuenta que en la restriccin presupuestaria sumamos sobre todos los bienes de un consumidor, mientras que en las condiciones de equilibrio del mercado se suma sobre todos los consumidores de bienes.

Las nicas suposiciones adicionales que haremos en este captulo son: que I y N son nmeros enteros positivos,

que todas las dotaciones ein son positivas y que todas las funciones de utilidad son estrictamente crecientes en

todos los argumentos. El supuesto de funciones de utilidad crecientes es importante porque implica que todos los precios son positivos en equilibrio. Utilizaremos este hecho a continuacin. Tenga en cuenta que no

hacemos ninguna hiptesis adicional como diferenciabilidad o concavidad, y que no restringimos la atencin a determinadas formas funcionales para la utilidad. Los resultados de este captulo respectan nicamente a la

estructura del modelo de equilibrio general de mercado. Ahora estamos listos para definir un equilibrio para esta economa a lo largo de las lneas desarrolladas en el Captulo 3.

Una asignacin es un conjunto de valores de consumo para cada bien y cada consumidor. Un equilibrio

competitivo es una asignacin {1 , 2

, , }

=1

y un conjunto de precios {1, 2, , } tal que:

Tomando los precios como dados, cada consumidor i elige {1 , 2

, , }

=1

como una solucin al

problema de maximizacin en la ecuacin (5.1), y

Dada la asignacin, todas las restricciones de equilibrio del mercado de la ecuacin (5.2) se satisfacen.

El modelo es mucho ms general de lo que parece. Por ejemplo, diferentes productos pueden corresponder a

diferentes perodos de tiempo. En ese caso, la restriccin presupuestaria sera interpretada como una restriccin presupuestaria del valor presente, como se introdujo en el Captulo 3. Tambin se puede incorporar la

incertidumbre, en cuyo caso los diferentes bienes que corresponden a los diferentes estados de la naturaleza. El bien 1 podra ser el consumo de bronceador en caso de que llueva maana, mientras que el bien 2 podra ser

bronceador en el caso de que salga el sol. Presumiblemente, el consumidor quiere consumir diferentes cantidades de estos productos, dependiendo del estado del tiempo. Mediante el uso de tiempo y bienes de

estados contingentes, podemos adaptar el modelo a casi cualquier situacin.

5.2 Normalizacin de los Precios

En nuestro modelo, el nivel general de precios est indeterminado. Por ejemplo, dado un equilibrio, se puede

doblar todos los precios y conseguir otro equilibrio. La primera vez que nos encontramos con este fenmeno fue en la economa del mercado de crdito de la seccin 3.2, cuando se descubri que el nivel de precios P era

arbitrario. Una aplicacin importante es la posibilidad de normalizar los precios.

Puesto que es posible multiplicar los precios por una constante positiva y todava tener un equilibrio, la constante se puede elegir de tal manera que el precio se establece en uno. Por ejemplo, si se desea normalizar

el precio del primer bien, podemos elegir la constante de manera que p1=1. Luego, cuando multiplicamos todos

los precios por esta constante, el precio normalizado del primer bien se convierte en (p1) (1/p1) = 1. Si para

cada equilibrio hay otro en el que el precio del primer bien es uno, no hay prdida de generalidad al suponer que el precio es uno para todos. Sin mencionarlo explcitamente, hacemos uso de este hecho en una serie de

situaciones a lo largo de este libro. Normalmente, el precio del bien de consumo se establece en uno, para que todos los precios se puedan interpretar en trminos de consumo del bien. El bien cuyo precio se fija a uno es a

menudo llamado el numerario.

Con el fin de demostrar que el nivel de precios es indeterminado, vamos a suponer que ya hemos encontrado

una asignacin {1 , 2

, , }

=1

, y un sistema de precios {1, 2, , } que satisface todas las condiciones

para un equilibrio. Ahora queremos demostrar que si multiplicamos todos los precios por una constante >0

todava tendremos un equilibrio. Esto es, la dotacin {1 , 2

, , }

=1

sigue respondiendo de equilibrio del

mercado, y los valores para el consumo continuarn siendo ptimos para los consumidores, dado el nuevo

sistema de precios {1, 2, , }


Es obvio que las restricciones de equilibrio del mercado seguirn mantenindose, ya que no se cambia la dotacin y los precios no entran en los lmites de equilibrio del mercado. Por lo tanto, slo se necesita

demostrar que la asignacin todava ser ptima, dado el nuevo sistema de precios. Ya sabemos que la asignacin es una opcin ptima para los consumidores, dado el viejo sistema de precios. Si podemos

demostrar que el nuevo sistema de precios no cambia la restriccin presupuestaria del consumidor, entonces el problema del consumidor con los nuevos precios sern equivalentes al problema original, por lo que tienen la

misma solucin. La restriccin presupuestaria con los nuevos precios es la siguiente:

Podemos extraer los trminos comunes fuera de las sumatorias y dividiendo a ambos lados nos queda:

que es igual a la restriccin presupuestaria bajo el sistema de precios original. El problema del consumidor no

cambia, por lo que todava tiene la misma solucin. Esto muestra que la asignacin {1 , 2

, , }

=1

y los

precios {1, 2, , } forman un equilibrio tambin.

La idea bsica es respecto a los precios relativos, no a los precios absolutos. Si todos los precios se multiplican

por una constante, el ingreso a partir de la venta de la dotacin se incrementar en la misma proporcin que el costo de los bienes de consumo. Mientras los precios relativos son constantes, tal cambio no influir en las

decisiones de los consumidores. Tenga en cuenta que no necesitamos mirar las condiciones de primer orden para demostrar nuestro punto. La posibilidad de normalizacin de los precios se deriva de la estructura bsica de esta economa de mercado, no de suposiciones especficas sobre la utilidad o la tecnologa.

5.4 La Ley de Walras

En un modelo de equilibrio general, una restriccin de equilibrio de mercado es redundante. Esto significa que

si se satisface la restriccin presupuestaria de los consumidores y se mantienen todas las condiciones de mercado, entonces la ltima condicin de mercado se satisface automticamente. Este hecho tiene valor

prctico, ya que implica que podemos omitir una restriccin de equilibrio del mercado de inmediato cuando se calcula un equilibrio. Sin mencionarlo, hemos hecho ya uso de esto en la Seccin 3.2. Aunque la definicin de

equilibrio es necesaria para vaciar el mercado de bienes, las limitaciones del mercado para bienes no se utilizaron realmente. Esto fue posible porque estaban implcitas en las restricciones presupuestarias y el hecho

de que el mercado de bonos estaba en equilibrio. Esta caracterstica de los modelos de equilibrio general se conoce como la Ley de Walras.

Para ver lo que la ley de Walras tiene que ver en nuestra economa general de intercambio puro, se supone que las limitaciones presupuestarias de cada uno de los consumidores I y las restricciones de equilibrio del mercado

de los primeros N-1 bienes se satisfacen. Queremos mostrar que la ltima restriccin de equilibrio del mercado

del bien N tambin se satisface. Sumando las limitaciones presupuestarias de los consumidores:

Reordenando se obtiene:


Dentro de los corchetes tenemos la diferencia entre el consumo total y la dotacin total de n bienes. Si el

mercado para un bien n se vaca, esta diferencia es cero. Puesto que suponemos que los primeros N-1 mercados estn en equilibrio, la ecuacin (5.3) se convierte en:

Dado que pN> 0, esto implica:

As, el mercado N-simo se equilibrar tambin.

La intuicin detrs de este resultado es ms fcil de ver cuando el nmero de mercados es pequeo. Si slo hay

un bien, digamos manzanas, las restricciones presupuestarias de los consumidores implican que cada consumidor come las manzanas de las que est dotado. Entonces la restriccin de equilibrio de mercado tiene

que ser satisfecha tambin, puesto que ya est satisfecha a nivel de cada consumidor individual. Supongamos ahora que hay un bien ms, digamos naranjas, y la restriccin de equilibrio del mercado de las manzanas est

satisfecha. Eso implica que los gastos totales en manzanas equivalen al ingreso total de la venta de manzanas de otros consumidores. Debido a que cada consumidor equilibra el gasto con los ingresos, los gastos tienen

que ser iguales a los ingresos para las naranjas tambin, por lo que el mercado de naranjas estar en equilibrio.

5.4 El Primer Teorema del Bienestar

Las dos primeras caractersticas de los modelos de equilibrio general que hemos presentado en este captulo eran tcnicas. Son de alguna ayuda en el clculo de equilibrios, pero por s mismos no proporcionan una visin profunda que se pueda aplicar al mundo real. La situacin es diferente con la ltima caracterstica que vamos

a tratar, la eficiencia de los resultados en las economas de equilibrio general. Este resultado tiene implicaciones importantes para las propiedades del bienestar de los modelos econmicos, y desempea un papel clave en la

teora de los sistemas econmicos comparados.

Antes de que podamos mostrar que los equilibrios en nuestro modelo son eficientes, tenemos que precisar qu

es exactamente lo que se entiende por eficiencia. En economa, por lo general utilizan el concepto de eficiencia

de Pareto. Otro trmino para la eficiencia de Pareto es ptimo de Pareto, y vamos a utilizar indistintamente las

dos versiones. Una asignacin es Pareto eficiente si se respetan las condiciones de equilibrio del mercado y si

no hay ninguna otra asignacin que: (1) tambin satisface las condiciones de equilibrio del mercado, y (2) hace

que todos estn mejor. En nuestro modelo, una asignacin {1 , 2

, , }

=1

es por lo tanto Pareto eficiente si


la restriccin de equilibrio de mercado en la ecuacin (5.2) es vlida para cada uno de los N bienes y si no hay

otra asignacin {1 , 2

, , }

=1

que tambin satisface el equilibrio de mercado y tal que:

para todos los i consumidores. Tenga en cuenta que el concepto de ptimo de Pareto no nos obliga a tomar

ninguna posicin sobre el tema de la distribucin. Por ejemplo, si las funciones de utilidad son estrictamente

crecientes, una asignacin Pareto-ptimo es tener un nico consumidor que consuma todos los recursos en la economa. Esta asignacin es claramente factible, y cada asignacin alternativa hace que este consumidor est

peor. Una asignacin Pareto-eficiente no es necesariamente la que mucha gente considerara "justa" o incluso "ptima". Por otro lado, mucha gente estara de acuerdo en que es mejor que todo el mundo est mejor, siempre

y cuando sea posible hacerlo. Por lo tanto podemos interpretar la eficiencia de Pareto como un estndar mnimo para una "buena" asignacin, y no como un criterio para la "mejor".

Ahora queremos mostrar que toda asignacin de equilibrio en nuestra economa es necesariamente un ptimo

de Pareto. El equilibrio consiste en una asignacin {1 , 2

, , }

=1

y un sistema de precios {1, 2, , }.

Dadas las condiciones de equilibrio de mercado vlidas para cualquier asignacin de equilibrio, el primer requisito para el ptimo de Pareto se cumple automticamente. La segunda parte tiene un poco ms de trabajo.

Queremos demostrar que no hay ninguna otra asignacin que satisface tambin el equilibrio del mercado y que eso haga que todos estn mejor. Vamos a probar esto por contradiccin.

Es decir, vamos a suponer que una mejor asignacin en realidad existe, y entonces mostrar que esto nos lleva

a una contradiccin. Por lo tanto, vamos a suponer que hay otra asignacin {1, 2

, , }

=1

, que satisface

de equilibrio del mercado tal que:

para todo consumidor i. Sabemos que el consumidor i maximiza la utilidad sujeta a la restriccin

presupuestaria. Dado que el consumidor elige {1 , 2

, , }

=1

aunque {1

, 2, ,

}=1

produce una mayor

utilidad, tiene que ser el caso de que {1 , 2

, , }

=1

viole la restriccin presupuestaria del consumidor:

De lo contrario, los consumidores optimizadores no habran elegido el consumo en la dotacin

{1 , 2

, , }

=1

en el primer lugar. Sumando la ecuacin (5.4) sobre todos los consumidores y reordenando:

Asumamos que la asignacin {1 , 2

, , }

=1

satisface el equilibrio de mercado. Por lo tanto, los trminos

dentro de los corchetes son todos cero. Esto implica 0>0, lo cual es una contradiccin. Por lo tanto, no hay tal

asignacin {1 , 2

, , }

=1

, y la asignacin de equilibrio original, {1

, 2 , ,

}=1

es un ptimo de Pareto.


Dado que cualquier equilibrio competitivo es un ptimo de Pareto, no hay posibilidad de una redistribucin de los bienes que haga que todo el mundo est en mejores condiciones que antes. La optimizacin individual

junto con la existencia de mercados implica que todas las ganancias del mercado son explotados.

Tambin hay un recproco parcial para el resultado que acabamos de demostrar, el "segundo teorema del

bienestar". Mientras que el primer teorema del bienestar dice que todo equilibrio competitivo es Pareto eficiente, el segundo teorema del bienestar dice que cada ptimo de Pareto se puede implementar como un

equilibrio competitivo, siempre y cuando la riqueza se pueda redistribuir con antelacin. El segundo teorema del bienestar se basa en algunas suposiciones adicionales y es ms difcil de demostrar, por lo que lo omitimos

aqu.

En las economas con un solo consumidor no hay problemas de distribucin, y los dos teoremas son

equivalentes.

Tabla 5.1 Notacin del Captulo 5

Variable Definicin

N Nmero de bienes

pn Precio del bien n

I Nmero de consumidores

Cin Consumo de n bienes del consumidor i

Ui (.) Funcin de utilidad del consumidor i

ein Dotacin de n bines del consumidor i

Factor arbitrario de proporcionalidad

Ejercicios

Ejercicio 5.1 (Fcil)

Demostrar la importancia que la ley de Walras tiene para la economa del mercado crediticio que discutimos en el captulo 3.2. Es decir, utilizar las restricciones presupuestarias de los consumidores y las condiciones de

equilibrio del mercado de bienes para obtener la condicin de equilibrio del mercado de los bonos de la ecuacin (3.9).

Ejercicio 5.2 (Difcil)

Supongamos que el precio de equilibrio del uno de los bienes n es cero. Cul es la interpretacin econmica

de esta situacin? Cul de nuestros supuestos descart que el precio es igual a cero? Por qu? Sigue actuando

la Ley Walras? Y el primer teorema del bienestar?


Captulo 6

El Mercado Laboral

En este captulo se trabaja en los detalles de dos modelos distintos. La Seccin 6.1 contiene un modelo de un

perodo en que los hogares son los demandantes y oferentes de trabajo. El equilibrio en el mercado de trabajo determina el salario de equilibrio. En la Seccin 6.2 se desarrolla el modelo de dos perodos del captulo 3. En

este caso, a las familias se les permite elegir su oferta de trabajo en cada perodo.

6.1 Equilibrio en el Mercado Laboral

Esta economa se compone de un gran nmero de hogares idnticos. Cada uno es dueo de una granja en la que emplea mano de obra para producir bienes de consumo, y cada uno tiene trabajo que puede suministrar a

otros agricultores. Por cada unidad de trabajo ofrecida a los dems, una familia recibe un salario w, que se paga en unidades de consumo. Los hogares toman este salario como dado. Con el fin de hacer clara la exposicin,

prohibimos a una familia de proporcionar mano de obra para su propia granja (Esto no tiene nada que ver con los resultados del modelo).

La primera tarea del hogar representativo es la de maximizar los beneficios de su explotacin. La produccin de la granja est dada por una funcin de produccin f (ld), donde ld es la mano de obra demandada (es decir,

empleados) por esa granja. La familia propietaria de la finca decide cunto trabajo ld contratar. La condicin

de primer orden con respecto a ld es:

Esto implica que la familia continuar contratando obreros hasta que el producto marginal del trabajo adicional se iguale al salario de mercado. La ecuacin (6.1) nos da la demanda de trabajo ptima ld*. Al

conectar esto en la ecuacin beneficio se obtiene el mximo beneficio del hogar: = ( )

.

Despus de que el beneficio de la finca est maximizado, la familia tiene que decidir cunto trabajar en las

fincas de los dems y cunto consumir. Sus preferencias estn dadas por u(c, ls), donde c es el consumo de los

hogares, y ls es la cantidad de trabajo que la familia proporciona a las fincas de otros hogares. La familia recibe

ingresos * por la ejecucin de su propia finca y el ingreso laboral de trabajar en las fincas de los dems. En consecuencia, el presupuesto del hogar es:

As, el Lagrangiano para el problema del hogar es:

La condicin de primer orden con respecto a c es:

y con respecto a ls es:

Resolviendo cada uno para e igualando:


por lo que la familia contina suministrando mano de obra hasta que su tasa marginal de sustitucin de mano de obra para el consumo cae hasta igualarse al salario que recibe.

Teniendo en cuenta determinadas formas funcionales para u () y f (), podemos resolver para la eleccin ptima ld* y ls* y calcular el salario de equilibrio. Por ejemplo, supongamos que:

Bajo estas formas funcionales, la ecuacin (6.1) se convierte en:

Esto implica que el beneficio * de cada hogar es:

Despus de un poco de manipulacin algebraica y factorizaciones, se convierte en:

En virtud de las preferencias dadas, tenemos u1(c,l) = 1/c y u2(c,l) = -1/(1- l). Recuerde, la ecuacin

presupuestaria implica c = + wls. Al conectar stos en la ecuacin (6.2) nos da:

que se reduce a:

Al conectar de la ecuacin (6.4) se obtiene:

que se reduce a:

Ahora que hemos determinado la oferta de trabajo familiar ptima ls* en funcin del salario de mercado w y

hemos calculado eleccin ptima de la unidad familiar de la mano de obra a contratar ld* por un salario

determinado. Dado que todos los hogares son idnticos, el equilibrio se produce cuando la oferta de la unidad

familiar es igual a la demanda de los hogares. En consecuencia, establecemos ld* y ls* llamamos al salario

resultante w*:


Reunimos los trminos semejantes para obtener:

Si hacemos algunas manipulaciones algebraicas ms a los rendimientos:

Por ltimo, conectamos de nuevo este salario de equilibrio en nuestras expresiones de ld* y ls*, que estaban en

trminos de w. Por ejemplo, al conectar la frmula para w* en la ecuacin (6.3) nos da:

Por supuesto, se obtiene la misma respuesta para ls*, ya que la oferta debe ser igual a la demanda en equilibrio.

Teniendo en cuenta estos resultados para ld*, ls* y w*, podemos realizar la esttica comparativa para determinar

los valores de equilibrio que dependen de los cambios en los parmetros subyacentes. Por ejemplo, supongamos que la economa experimenta un shock positivo en su productividad. Esto podra ser representado

por un incremento en el parmetro A de la funcin de produccin. Podramos estar interesados en la forma en que afecta al salario de equilibrio:

por lo que el salario de equilibrio aumentar. Slo mediante el anlisis de las frmulas de ld* y ls*, sabemos que

la oferta y la demanda de trabajo no se modificarn, ya que A no aparece en ellas. La intuicin de este

resultado es sencilla. Con la nueva productividad, ms alta, los hogares estarn ms dispuestos a contratar mano de obra, pero esto es compensado exactamente por el hecho de que el nuevo salario es ms alto. Por otro

lado, los hogares se ven tentados a trabajar ms por el salario ms alto, pero al mismo tiempo son ms ricos, por lo que quieren disfrutar de ms tiempo libre, que es un bien normal. Bajo estas preferencias, los dos efectos

se cancelan.

Tabla 6.1 Notacin de la Seccin 6.1

Variable Definicin

w Salario en bienes por unidad de trabajo

ld Demanda laboral de la granja

f(ld) Produccin de la granja

c Consumo familiar

ls Oferta de trabajo familiar

u(c, ls) Utilidad familiar

Multiplicador de Lagrange

Lagrangiano

A Parmetro de la funcin de produccin

Parmetro de la funcin de produccin


6.2 Eleccin Intertemporal de Trabajo

El modelo en esta seccin es una pura extensin del desarrollado en la Seccin 3.2. En este modelo el hogar

representativo vivi durante dos perodos. Cada perodo, la familia recibi una dotacin, e1 y e2. La familia

eligi el consumo de cada perodo, c1 y c2, y el nmero de dlares en bonos b1 para llevar del periodo 1 al

periodo 2.

El modelo presentado aqu es casi idntico. La nica diferencia es que el hogar ejerce un esfuerzo laboral con el fin de adquirir bienes en lugar de tener una dotacin exgena. En particular, el hogar tiene alguna funcin

de produccin: yt = f (lt). El hogar elige el esfuerzo laboral de cada perodo, l1 y l2. El ingreso yt toma el lugar de

la dotacin del modelo del captulo 3.

El problema de la maximizacin del hogar es:

Consulte el Captulo 3 para un anlisis de: (i) las limitaciones presupuestarias, (ii) el significado del nivel de precios P y la tasa de inters R, y (iii) cmo funcionan los bonos. El Lagrangiano es:

Existen siete condiciones de primer orden:

Dejamos fuera las condiciones de primer orden con respecto a 1 y 2, porque sabemos que se reproducen las restricciones. Resolviendo las ecuaciones (FOC c1) y (FOC c2) para los multiplicadores de Lagrange y

enchufando en la ecuacin (FOC b1) se obtiene:

Esta es la misma ecuacin de Euler que vimos en el captulo 3. Resolviendo las ecuaciones (FOC l1) y (FOC

l2) para los multiplicadores de Lagrange y enchufando el resultado a la ecuacin (FOC b1) se obtiene:

Se trata de una ecuacin de Euler tambin, ya que tambin relaciona utilidades marginales en perodos

consecutivos. Esta vez, se relaciona con las utilidades marginales de mano de obra.

Podramos analizar ecuaciones (6.5) y (6.6) en trminos de las funciones abstractas, u () y f (), pero es mucho ms simple de asumir para formas funcionales particulares y luego llevar a cabo el anlisis.

En consecuencia, se supone:


Al conectar la funcin de utilidad en la ecuacin (6.5) se obtiene:

al igual que en el captulo 3. Por ejemplo, esta ecuacin implica que una mayor tasa de inters R implica que

el hogar consume ms en el periodo 2 en relacin con el perodo 1. La ecuacin (6.6) se convierte en:

El anlisis de esta ecuacin es un poco complicado. Como un primer paso, tomemos a como una funcin auxiliar. Entonces la ecuacin (6.7) se puede escribir como:

Ahora, vamos a considerar que la forma en D (l) cambia cuando cambia la l:

Sabemos que lx> 0 para todo x, por lo que l-2> 0. Adems, (1-l)


t Multiplicador de Lagrange en t

Lagrangiano

N Nmero de hogares

D(l) Funcin de ayuda, para simplificar notacin


Captulo 9

Ciclos Econmicos

En este captulo se exploran las causas de los ciclos econmicos. En pocas palabras, los ciclos econmicos son

las fluctuaciones recurrentes que se producen en el PIB real a lo largo del tiempo. Para una descripcin ms detallada de los ciclos econmicos, consulte el Captulo 9 de Barro. Aqu, vamos a comenzar con un resumen

de las explicaciones posibles. Luego trabajamos con un modelo de un ciclo real en detalle.

Existen muchas teoras de los ciclos econmicos, que comparten algunas propiedades. Siempre hay una fuerza

impulsora detrs de las fluctuaciones econmicas, una especie de shock o perturbacin que es la causa original del ciclo. Adems, la mayora de las teoras se basan en un mecanismo de propagacin que amplifica los

shocks. A menos que los disturbios ya sean lo suficientemente grandes para dar cuenta por s mismo de las fluctuaciones, siempre tiene que haber algn mecanismo de propagacin que traduce los shocks pequeos y de

corta duracin en fluctuaciones econmicas grandes y persistentes.

Vamos a comenzar nuestra bsqueda de la causa de los ciclos econmicos en la Seccin 9.1 con la inclusin

de un nmero de posibles shocks y mecanismos de propagacin, tambin veremos el conflicto de las teoras del ciclo econmico en diferir entre los shocks y mecanismos que destacan. En la Seccin 9.2 nos

concentraremos en el modelo de ciclos reales, que es una extensin directa de los modelos de equilibrio de mercado que hemos desarrollado en los captulos anteriores. La Seccin 9.3 presenta simulaciones de nuestro

modelo de ciclos reales y evala el xito del modelo en las fluctuaciones del mundo real.

9.1 Shocks y Mecanismos de Propagacin

Entre los muchos shocks y perturbaciones que estn presentes en una economa, slo unos pocos han recibido una especial atencin en la investigacin sobre los ciclos econmicos. stos son algunos de los candidatos ms

importantes:

Shocks tecnolgicos: Las funciones de produccin del mundo real cambian con el tiempo. Las nuevas tecnologas (como computadoras o robots) alteran el proceso de produccin y aumentan la

productividad en general. A veces, las instalaciones de produccin se rompen o no funcionan como se esperaba, por lo que la productividad cae. Este cambio tecnolgico no siempre es llano o continuo, sino

que a menudo se da en forma de shocks.

Perturbaciones climticas y desastres naturales: Muchas industrias, como la agricultura o el turismo, son industrias que dependen del clima. Las lluvias y el sol influyen en la produccin de estos sectores,

por lo que el clima es una fuente potencial de fluctuaciones. Esto tambin se cumple cuando nos referimos a los desastres climticos como los terremotos o deslizamientos de tierra. El Nio es un shock de este tipo que recibe una gran cantidad de atencin ltimamente. Podemos considerar este tipo

de shocks como un tipo de shock tecnolgico.

Las perturbaciones monetarias: Vimos en el Captulo 8 de Inflacin que hay efectos reales de la poltica monetaria. Por lo tanto, los cambios aleatorios en la oferta de dinero o de las tasas de inters

son una fuente potencial de fluctuaciones tambin.

Shocks polticos: el gobierno influye en la economa tanto directamente a travs de las empresas del gobierno como indirectamente a travs de la regulacin. Los cambios en las leyes fiscales, defensa de

la competencia, la regulacin, el gasto pblico y as sucesivamente son una fuente potencial de perturbacin de la economa.

Shocks por gustos: Por ltimo, tambin es posible que los cambios en las preferencias causan fluctuaciones. La moda y las preferencias cambian rpidamente, y pueden causar fluctuaciones en reas como las prendas de vestir, la msica o la pelcula o en distintas industrias.

Mientras que los shocks que se acaban de mencionar estn presentes en cierto grado en cada economa, no son probablemente lo suficientemente grandes como para servir como explicacin directa de los ciclos econmicos.

Por ejemplo, en los Estados Unidos el PIB real cay un 2,8% entre octubre de 1981 y 1982. Es difcil imaginar un shock que provoc una prdida de la produccin directa de casi el 3% del PIB en slo un ao, y si haba


uno, que probablemente seamos conscientes de ello y parece ms probable que haya mecanismos presentes en la economa que amplifican los shocks y los propagan a travs del tiempo. stos son algunos de los candidatos:

Sustitucin intertemporal: Shocks que tienen un impacto negativo en la productividad, donde se reducen el rendimiento marginal de trabajo y otros factores de produccin. Si los productos marginales caen, los consumidores van a querer trabajar menos y consumir ms ocio en su lugar. Por ello, la

entrada de trabajo caera, lo que amplifica el impacto negativo sobre la produccin. Al mismo tiempo, los consumidores prefieren un perfil de consumo suave y continuo, por lo que es probable que prefieran

reducir el ahorro presente cuando hay un shock importante. A nivel agregado, esto lleva a una menor inversin y un capital social menor en el futuro. Por lo tanto, un shock de corta duracin puede tener

un impacto en el futuro.

Precios Sticky: Las economas de mercado reaccionan a los cambios en los ajustes de precios. Por ejemplo, un shock negativo de productividad disminuye el producto marginal del trabajo, de modo que el salario real tendra que moverse hacia abajo para ajustar la demanda y oferta de trabajo, pero si los

salarios son inflexibles, por alguna razn, el ajuste no puede tener lugar y el resultado es el desempleo y una prdida de la produccin que es mayor que el efecto directo del shock.

Fricciones en el sector financiero: Incluso pequeas sacudidas pueden obligar a las empresas a ir directamente a la quiebra. Esto afectar a otras empresas y bancos que prestaron dinero a las empresas con problemas financieros. A menudo las empresas tienen que declararse en quiebra, sumado a que a

veces los mismos bancos fallan. Si esto pasa, las quiebras bancarias afectarn a todos los acreedores y los deudores, lo que redunda en grandes consecuencias econmicas. Crisis econmicas graves suelen ir

acompaadas y amplificadas por una serie de quiebras bancarias. Ejemplos de ello son la gran depresin y la actual crisis asitica.

Los modelos del ciclo econmico pueden ser ampliamente divididos en dos categoras. Algunas teoras consideran a los ciclos como una falla del sistema econmico, a causa de fricciones o imperfecciones del

mecanismo del mercado, ya que la economa experimenta depresiones y no logra alcanzar la eficiencia en el nivel de produccin y empleo. Los modelos de este tipo a menudo dependen de las fricciones financieras, de la

rigidez de precios, u otros fallos de ajuste como el mecanismo de propagacin, la tecnologa, los golpes y shocks monetarios que se consideran importantes fuentes de fluctuaciones. El modelo keynesiano de la

determinacin de la produccin entra en esta categora.

Por otro lado, hay una clase de modelos que se refiere a los ciclos econmicos como la reaccin ptima de la

economa a los shocks inevitables. Los shocks se propagan a travs de la sustitucin intertemporal dentro de un mecanismo de mercado eficiente. Los shocks tecnolgicos se consideran la causa principal de las

fluctuaciones econmicas. Los modelos de este tipo se denominan a menudo modelos del ciclo econmico real.

Podemos estar bastante seguros de que hay algo de verdad en ambos puntos de vista de las fluctuaciones

econmicas. Averos econmicos importantes como la Gran Depresin o la reciente crisis asitica parecen estar estrechamente conectadas a las interrupciones en el sector financiero. Las quiebras bancarias y la

inestabilidad financiera jugaron un papel importante en ambos casos.

Por otro lado, la mayora de los ciclos econmicos son mucho menos severos que la gran depresin o la Crisis

asitica. En toda la historia de la posguerra de los Estados Unidos y de pases de Europa Occidental no hay una sola depresin que provoc una prdida de produccin similar a la que se sufri entre 1929 y 1933. La

pregunta es si los ciclos econmicos normales son causados por el mismo tipo de fricciones que caus la Gran Depresin. El modelo keynesiano, con su nfasis en los ajustes lentos y precios rgidos, apoya este punto de

vista del ciclo econmico real. Los tericos sostienen que las fallas como la gran depresin son un fenmeno distinto de los ciclos econmicos habituales, y que los ciclos habituales se pueden explicar como la reaccin

ptima de un sistema de mercado eficiente a las crisis econmicas.

En este captulo, vamos a ver sobre todo las explicaciones de los ciclos econmicos a escala normal, y las

experiencias en los Estados Unidos desde la Segunda Guerra Mundial. Cmo podemos determinar si estos ciclos son fallas de pequea escala del sistema econmico en lugar de simplemente ser reacciones eficientes de

los mercados ante las crisis? Una forma natural de responder a esta pregunta es la construccin de un nmero de modelos econmicos que incluyen mecanismos de propagacin alternativos, y que exponga el modelo

econmico de los shocks y ver si los resultados se parecen a los ciclos econmicos del mundo real. Este es exactamente el camino que han tomado los tericos de los ciclos econmicos reales. Ellos han adoptado

modelos de equilibrio estndar como punto de partida y los han expuesto a shocks de productividad. Como resultado, los modelos de este tipo son bastante exitosos en la explicacin de los ciclos econmicos del mundo

real. Ahora vamos a echar un vistazo ms de cerca de un ciclo econmico como verdadero modelo.


9.2 El Modelo de Ciclo Econmico Real

Los modelos de ciclos econmicos reales son extensiones directas de los modelos de equilibrio del tipo que se

utiliz a lo largo de este curso. En la mayora de los casos, los modelos tienen como supuesto que los consumidores tienen vida infinita, y los ciclos econmicos se generan por perturbaciones aleatorias a las

posibilidades de produccin. Lamentablemente, la resolucin de este tipo de modelo es difcil. Y a menudo hay una solucin explcita que est disponible, solo por lo aproximaciones numricas que se realizan. Para

evitar complicaciones, en este captulo vamos a utilizar un marco ms simple en que la gente vive por slo dos perodos. El modelo no se ajusta a los hechos, as como un modelo de ciclos reales a gran escala, pero sirve su

propsito como una simple ilustracin de las ideas principales de la teora de los ciclos econmicos reales.

En el mundo del modelo hay una secuencia de superposicin de generaciones. En cada perodo, una nueva generacin de consumidores nace, y cada consumidor vive durante dos perodos. A veces nos referiremos a los

periodos como aos, y por simplicidad suponemos que exactamente un consumidor nace cada ao. La gente

trabaja en el primer perodo cuando son jvenes. En el segundo periodo son jubilados y viven del ahorro. Los superndices se refieren al ao en que naci el consumidor, mientras que los subndices se refieren al ao

actual. Por ejemplo, es el consumo del perodo t de un consumidor que naci en el ao t, por lo que ese

consumidor sera joven en el periodo t. Del mismo modo, +1 es el consumo del mismo consumidor en el

periodo t+1 donde ya es viejo. Los consumidores no se preocupan por el ocio. Un consumidor nacido en el

ao t tiene la siguiente funcin de utilidad:

Podramos introducir un factor de descuento, pero por simplicidad asumimos que los consumidores valoran

ambos perodos igualmente. Tenga en cuenta que en cada punto de tiempo hay exactamente dos personas: una que acaba de nacer y es joven, y otra que naci el perodo pasado y ahora est jubilado. En cada perodo, el

joven proporciona una unidad de trabajo y recibe un salario wt. La oferta de trabajo es fija, ya que los

consumidores no se preocupan por el ocio. El ingreso salarial se puede utilizar como ahorro, kt, y como

consumo, ct.

La restriccin presupuestaria de un trabajador joven es:

es decir, el consumo ms el ahorro es igual a la renta del trabajo. En el perodo t+1, el consumidor nacido en t

es viejo y se retir. El consumidor viejo presta sus kt ahorros a la empresa. La empresa utiliza los ahorros como

capital y devuelve +1 al viejo consumidor. Un es una fraccin del capital que se va perdiendo cuando el capital se va utilizando en la produccin, esta fraccin no se devuelve al consumidor. es un nmero entre cero y uno, y que se conoce como la tasa de depreciacin. La restriccin de presupuesto para el perodo de

jubilacin es:

es decir, el consumo es igual al retorno de ahorro.

La familia nacida en el perodo t maximiza su utilidad sujeta a las limitaciones presupuestarias, y toma los

precios como dados:

Podemos utilizar las restricciones para sustituir el consumo y escribir esto como:


Esto es similar al problema de los consumidores en economa de dos perodos de mercado de crdito que discutimos en la Seccin 3.2. A partir de ahora vamos a dejar la prctica de denotar decisiones ptimas con

asteriscos, ya que la notacin ya es complicada. La condicin de primer orden con respecto a kt es:

La solucin para los rendimientos de kt:

Por lo tanto, independientemente de la futura rentabilidad del capital, el joven consumidor ahorra la mitad de

su renta de trabajo. Una vez ms, esto se deriva del hecho de que la riqueza y los efectos sustitucin se cancelan bajo preferencias logartmicas. Esta caracterstica es til para nuestros fines. Dado que habr shocks de

productividad en nuestra economa y rt+1 depende de esas perturbaciones; el consumidor puede no conocer rt+1

con antelacin. Normalmente tendramos que tener en cuenta explcitamente esta incertidumbre, lo cual es

relativamente difcil de hacer. En el caso de utilidad logartmica, el consumidor de todos modos no se preocupa por rt+1, as que no tenemos que tener en cuenta la incertidumbre.

Aparte de los consumidores, la economa contiene una sola empresa competitiva que produce con el capital kt-

1 y el trabajo lt. El trabajo es suministrado por un consumidor joven, mientras que la oferta de capital proviene

de los ahorros de los viejos consumidores. La tasa de retorno del capital es rt y el salario real es denotado por

wt. La funcin de produccin tiene rendimientos constantes a escala y es de la forma Cobb-Douglas:

Aqu es una constante entre cero y uno, mientras que A es un parmetro de productividad. A es la fuente de shocks de esta economa. Asumiremos que A est sujeto a variables aleatorias y rastrea cmo la economa

reacciona a los cambios de A. El problema de maximizacin de utilidades de la empresa en el ao t es:

Las condiciones de primer orden con respecto a lt y kt-1 son:

Usando el hecho de que el joven trabajador suministra exactamente una unidad de trabajo lt= 1 podemos

utilizar estas condiciones de primer orden para obtener el salario y el rendimiento del capital en funcin de kt-

1:

Dado que la funcin de produccin tiene rendimientos constantes, la empresa no obtiene beneficios en equilibrio. Notamos que el salario es proporcional al parmetro de productividad A. Dado que A es la fuente

de shocks, podemos concluir que los salarios son procclicos: cuando A recibe un shock positivo, el salario

aumenta. Las evidencias empricas sugieren que los salarios en el mundo real son procclicos tambin.

Para cerrar el modelo, tenemos que especificar las condiciones de vaciado de mercado para bienes, trabajo y capital. En el momento t la condicin de vaciado de mercado es:

el lado izquierdo estn los usos: el consumo de los consumidores jvenes actuales, , el consumo de los

consumidores retirados nacidos en t-1, 1, y los ahorros kt de los viejos consumidores. En el lado derecho

estn los usos: produccin actual y lo que queda del capital social despus de la depreciacin.

La condicin de vaciado del mercado del trabajo es lt=1, ya que los jvenes consumidores siempre

proporcionan una unidad de trabajo. Para vaciar el mercado de capital requerimos que el capital suministrado


por el viejo consumidor sea igual al capital demandado por la firma. Para ahorrar en notacin, usamos el mismo smbolo kt-1 tanto para el capital ofrecido como el demandado. Por lo tanto el vaciado de mercado del

capital ya es incorporado en el modelo y no necesita ser escrito de forma explcita.

En resumen, la economa es descrita por: el problema del consumidor, el problema de la empresa, las

condiciones de equilibrio del mercado, y una secuencia aleatoria de los parmetros de productividad {}=1 .

Suponemos que en el primer perodo ya hay una persona vieja, que de alguna manera cay del cielo y est dotada con un capital k0.

Dada la secuencia de los parmetros de productividad {}=1 , un equilibrio para esta economa es una

asignacin { ,

1, 1, }=1 y un conjunto de precios { , }=1

, tal que:

Dados los precios, la asignacin {,

1, 1, }=1 da las opciones ptimas para las consumidores y

las firmas, y

Todos los mercados se encuentran en equilibrio.

Ahora tenemos todas las piezas necesarias para analizar los ciclos econmicos en esta economa. Cuando combinamos la mejor opcin de ahorro de los jvenes consumidores (9.1) con la expresin para salarial de la

Ecuacin (9.2), obtenemos:

Esta ecuacin muestra cmo un shock se propaga a travs del tiempo en esta economa. Los shocks de A tienen

una influencia directa en kt, este capital va a ser usado para la produccin del prximo periodo. Esto implica

que un shock que golpea hoy dar lugar a una menor produccin en el futuro tambin. La causa de esto es que

el joven consumidor divide sus ingresos a partes iguales entre el consumo y el ahorro. Mediante la reduccin de los ahorros en respuesta a un shock, el consumidor suaviza el consumo. Es ptimo para el consumidor

distribuir el efecto de un shock entre los dos perodos de su vida. Por lo tanto, un solo shock puede provocar un ciclo que se extiende sobre varios perodos.

A continuacin, queremos ver cmo el consumo agregado y la inversin reaccionan a un shock. En el mundo real, la inversin total es mucho ms voltil que el consumo agregado (vase la Figura 1.10 de Barro).

Queremos comprobar si esto es cierto tambin en nuestro modelo. En primer lugar, hay que definir qu se entiende por consumo agregado e inversin. Podemos reordenar la restriccin de equilibrio de mercado de

bienes para obtener:

En el lado derecho tenemos la produccin del ao t, que ahora llamaremos Yt. La produccin es la suma del

consumo y la inversin agregada. El consumo agregado Ct es la suma del consumo de la persona vieja y la

persona joven, la inversin agregada It es la diferencia entre el stock de capital del prximo periodo y el capital

no depreciado en este periodo:

El consumo puede ser calculado como la produccin menos el consumo agregado. Usando la ecuacin (9.4)

para kt se obtiene:

La inversin agregada se puede calcular como la produccin menos el consumo agregado. Usando la ecuacin

(9.5) para los rendimientos del consumo agregado:


Estamos interesados en cmo Ct y It reaccionan a los cambios en el parmetro de la tecnologa A. Vamos a ver

los cambios relativos en primer lugar. La elasticidad de una variable x con respecto a otra variable y se define

como el porcentaje de cambio en x en respuesta a un aumento de uno por ciento en y. Matemticamente, las

elasticidades se pueden computar como

. Usando esta frmula, la elasticidad del consumo respecto a A es:

y para la inversin es:

Resulta que el cambio relativo de la inversin es mayor. Un aumento de uno por ciento en A conduce a un

aumento de ms del uno por ciento de la inversin y menos de uno por ciento en el consumo. La inversin es ms voltil en respuesta a shocks tecnolgicos, as como lo es la inversin mundo real. Por supuesto, para

comparar el tamao exacto de los efectos se tendra que especificar los parmetros, como y , y para medir las otras variables como kt.

Si nos fijamos en los cambios absolutos en lugar de los cambios relativos, los resultados son menos satisfactorios. El cambio absoluto es mayor en el consumo que en la inversin, mientras que en el mundo real

es al revs. Este fracaso del modelo se deriva del hecho de que las personas viven muy poco tiempo (dos perodos). En los modelos del ciclo econmico real, las pequeas variaciones en el consumo respecto a los

resultados de inversin de los consumidores tratan de suavizar el consumo. En nuestro modelo, las posibilidades de suavizado son bastante limitadas. El anciano no tiene ms tiempo y por lo tanto no puede

suavizar en absoluto, mientras que el joven tiene slo un ao ms. Por lo tanto, una fraccin comparativamente grande de los shocks se muestra en el consumo. En los modelos ms avanzados de ciclos econmicos reales

con los consumidores de vida infinita, los cambios absolutos en el consumo son mucho menores que los cambios absolutos en la inversin.

9.3 Simulaciones

Podemos obtener una mejor impresin de la coyuntura en nuestro modelo de simulacin de la economa. Esto significa que se especifica todos los parmetros, empezamos en algn capital inicial, y generar una serie de

shocks aleatorios. Podemos usar las soluciones para el modelo para calcular el consumo, la inversin, la produccin y el stock de capital en la economa de cualquier nmero de perodos. Entonces podemos comparar

los resultados con los ciclos econmicos del mundo real.

Hay solo dos parmetros especificados en el modelo y . Nuestras opciones son =7 y =0.05. La opcin para coincide con la participacin del trabajo en la economa del mundo real, mientras que el valor de es una estimacin de la tasa actual de depreciacin de una economa industrializada. El stock de capital inicial k1

como se estableci en .22. El parmetro de la productividad esta generado por:

Aqu A es el nivel medio de productividad, mientras que t, son shocks aleatorios. Fijamos A =1. Los t son generados por un ordenador para que sean independientes en el tiempo y se distribuyan de manera uniforme en el intervalo [1, 1]. Por lo tanto los shocks pueden cambiar la productividad hasta en un diez por ciento hacia

arriba o hacia abajo.

La Figura 9.1 muestra las reacciones a un solo shock de productividad del cinco por ciento. Es decir, en el

primer perodo A es igual a la media, A1=1. En el segundo perodo golpean los shocks, A2=1.05. A partir de

entonces, A vuelve a uno y se queda all. Podemos ver que incluso esta monoamortiguacion tiene un impacto


que se puede sentir por un largo perodo de tiempo. La figura 9.1 muestra las desviaciones absolutas de consumo, la inversin y el capital de sus valores medios. Se tarda unos ocho perodos hasta que todas las

variables vuelven a sus promedios. En el segundo perodo, cuando el shock se lleva a cabo, tanto el consumo como la inversin han subido. En el perodo 3 el capital social es mayor debido a la mayor inversin en el

periodo 2. Al mismo tiempo, la inversin cae. El consumo es superior a la media debido a que el stock de capital es mayor, a pesar de que la productividad vuelve a la normalidad. A partir de entonces, todas las

variables poco a poco vuelven a sus valores medios. Hay que tener en cuenta que a partir del perodo 4 de nadie que haya estado presente cuando el shock ocurri vive. El aumento de la inversin en el perodo del

shock ha aumentado el stock de capital, y los efectos se pueden sentir durante mucho tiempo. Por lo tanto, incluso un solo shock tiene efectos a largo plazo y la inversin pasa por un ciclo completo en respuesta a este

shock.

Figura 9.1: Respuesta de la Productividad a un Shock de un 5%.

La figura 9.2 muestra la misma informacin que la figura 9.1, pero las variables se dividen por su media,

entonces podemos ver los cambios relativos. La inversin es, con mucho, la serie ms voltil. En comparacin con las inversiones, los cambios en el capital y el consumo son apenas visibles.

Al mirar a un solo shock, hemos sido capaces de examinar el mecanismo de propagacin de forma aislada y para hacerse una idea de la volatilidad relativa del consumo y la inversin. Pero si queremos comparar los

resultados del modelo con los ciclos econmicos de la vida real, necesitamos generar toda una serie de shocks. La Figura 9.3 muestra una simulacin de este tipo para nuestro modelo de la economa. Los efectos

combinados de muchos shocks causan un resultado que es similar a los ciclos econmicos del mundo real. Hay auges y depresiones, los ciclos varan en longitud dentro de un determinado intervalo de tiempo, y la inversin

es ms voltil que el consumo.

Nuestro modelo de ciclo econmico simple es bastante exitoso en la emulacin de un nmero de datos del

ciclo econmico. Forma, duracin y amplitud de los ciclos econmicos son comparables a los datos del mundo real, la inversin es relativamente ms voltil que el consumo y el salario es procclico. Modelos de ciclos

econmicos reales ms avanzados son incluso mejores en la adecuacin de los hechos. Al introducir la oferta de trabajo variable que podemos generar empleo procclico. Usando la vida de los consumidores con duracin

infinita obtendran los cambios absolutos en el consumo y la inversin correctos.


Figura 9.2: Cambios relativos en respuesta a un shock en la productividad del 5%

Los modelos de ciclos econmicos reales coinciden con la mayora de los hechos de los ciclos econmicos, y

cuando se alimentan con los shocks de productividad medidos, generan ciclos que explican aproximadamente el 70% del tamao de los ciclos econmicos reales.

Este xito ha llevado a algunos investigadores a la conclusin de que los ciclos econmicos son exactamente lo que la teora econmica estndar predice. En presencia de shocks de posibilidades de produccin, ajustes

ptimos de los hogares y las empresas dentro de un sistema de mercado eficiente generan el patrn de las fluctuaciones que se observan en el mundo real. Desde esta perspectiva, los ciclos econmicos no son ningn

milagro en absoluto. Nos sorprendera si no hubiera ciclos econmicos!

A pesar de que los shocks tecnolgicos combinados con mercados eficientes parecen proporcionar una

explicacin convincente de los ciclos econmicos, no puede descartarse que otros shocks o mecanismos de propagacin tambin desempean un papel importante. Despus de todo, la teora de los ciclos econmicos

reales no tiene en cuenta el 100% de la amplitud de los ciclos econmicos reales, por lo que tiene que haber otros factores. Otros tipos de perturbaciones pueden ser analizados en el marco del ciclo econmico real. Hay

tambin un nmero de modelos que hacen hincapi en otros mecanismos de propagacin. El modelo keynesiano de la determinacin de la produccin es el ejemplo ms prominente. Pero los modelos que

combinan shocks monetarios con fricciones en el sector financiero tambin han recibido mucha atencin ltimamente. Sin embargo, hasta ahora ninguno de estos modelos coincide con la capacidad de los modelos

de ciclos econmicos reales para imitar las fluctuaciones econmicas reales.

Figura 9.3: Capital, consumo y inversin con muchos shocks.


Captulo 11

Crecimiento Econmico

Este captulo examina los determinantes del crecimiento econmico. Un hecho sorprendente sobre el

crecimiento econmico es la gran diversidad en la experiencia de crecimiento de los distintos pases en la historia reciente. Algunas partes del mundo, como Estados Unidos o Europa occidental, experimentaron un

crecimiento econmico sostenido durante un perodo de ms de 100 aos, por lo que en trminos histricos estos pases son ahora enormemente ricos. Esto no slo es cierto en trminos absolutos (es decir, el PIB), sino

tambin si medimos la riqueza como el ingreso per cpita (es decir, el PIB por persona). Por el contrario, hay pases en los que an hoy una gran parte de la poblacin vive cerca del nivel de subsistencia, lo mismo que los

europeos y los estadounidenses hace algunos cientos de aos atrs. Adems, un grupo de pases que solan ser relativamente pobres en la poca de la Segunda Guerra Mundial logr alcanzar tasas de crecimiento an

mayores que los pases industrializados occidentales, por lo que sus ingresos per cpita ahora se acercan a los de los pases occidentales. La mayora de los miembros de este grupo se encuentran en el este de Asia, como

Japn, Singapur, Hong Kong, y otros. Se evidencia que es difcil de explicar estas diferentes experiencias de crecimiento dentro de un mismo modelo.

Hay modelos que ofrecen una explicacin de la experiencia de crecimiento de los pases hoy industrializados, pero la mayora de estos modelos no explican por qu gran parte del mundo sigue siendo pobre. Los modelos

que tratan de explicar la diferencia entre los pases ricos y los pobres tienen menos xito en la reproduccin de los datos de crecimiento de los pases industrializados. Por lo tanto, vamos a abordar el tema del crecimiento

econmico a partir de diferentes ngulos. En la Seccin 11.1 se presenta una serie de datos sobre el crecimiento econmico, los hechos que vamos a tratar de explicar con nuestros modelos de crecimiento. La Seccin 11.2

se presenta el modelo de crecimiento de Solow, un clsico de la teora del crecimiento econmico. La Seccin 11.3 presenta la contabilidad del crecimiento, una aplicacin emprica del modelo de Solow. Este tipo de

contabilidad puede ser utilizado para determinar las fuentes de crecimiento para un pas determinado. En la Seccin 11.4 volvemos a la pregunta de por qu algunos pases siguen siendo pobres hoy. Una respuesta

completa a esta pregunta est ms all del alcance de este libro, de hecho, es justo decir que una respuesta satisfactoria no se ha encontrado todava.

Por lo tanto, nos concentramos en slo un aspecto importante de la experiencia de crecimiento de los pases pobres: la relacin entre la fertilidad, el capital humano y el crecimiento.

11.1 La Evidencia Emprica

Si nos fijamos en el grupo de los nicos pases industrializados, es posible identificar una serie de regularidades empricas en el proceso de crecimiento. El economista britnico Nicholas Kaldor resume estas regularidades

en una serie de hechos empricos. A pesar de que lo hizo hace ms de 50 aos, los hechos de Kaldor todava proporcionan una imagen precisa del crecimiento en los pases industrializados. La primera observacin de

Kaldor fue que tanto la produccin por trabajador y de capital por trabajador crece con el tiempo. Tambin crecen a tasas similares, por lo que la relacin entre el stock de capital agregado de la produccin o el PIB no

cambia mucho con el tiempo. El rendimiento del capital, es decir, el inters que las empresas tienen que pagar si alquilan capital, es casi constante en el tiempo. Por ltimo, la participacin de mano de obra y el capital

social son casi constantes. La participacin del trabajo es la fraccin de la produccin que va a los trabajadores en forma de salarios, sino que se calcula como el ingreso laboral total dividido por el PIB. Del mismo modo, el

capital social est dado por pagos totales al capital dividido por el PIB. Tenga en cuenta que los hechos Kaldor mantienen incluso si tenemos en cuenta largos perodos de tiempo. Por ejemplo, la relacin capital-producto y el rendimiento del capital no son muy diferentes ahora de lo que eran hace 100 aos, a pesar de que la

produccin es mucho mayor ahora, y los bienes de produccin y la tecnologa en general han cambiado por completo.

Adems de los hechos Kaldor, otro hecho importante sobre el crecimiento en los pases industrializados del mundo es la convergencia del PIB per cpita de los distintos pases y regiones a travs del tiempo. Por ejemplo,

la diferencia relativa en el PIB per cpita entre los estados del sur y el norte de los Estados Unidos ha disminuido en gran medida desde la Guerra Civil. Del mismo modo, pases como Alemania y Japn, que


sufrieron mucho la Segunda Guerra Mundial, han crecido rpidamente desde la guerra, por lo que hoy en da el ingreso per cpita en los Estados Unidos, Japn y Alemania por rea es similar de nuevo.

No hay regularidades empricas comparables a los hechos Kaldor que se apliquen tanto a los pases industrializados como a los pases en desarrollo. Sin embargo, podemos identificar algunos de los factores que

distinguen a los pases que pasaron por la industrializacin y tienen un alto ingreso actual de los pases que se mantuvieron relativamente pobres. Una explicacin de la funcin de esos factores podra ser un paso

importante hacia la comprensin de las grandes diferencias internacionales en la riqueza.

Nos vamos a centrar en la relacin entre el crecimiento y la fertilidad. Todos los pases ahora industrializados

han experimentado una gran cada en las tasas de fertilidad, un proceso conocido como la transicin demogrfica. Todos los pases industrializados tienen bajas tasas de crecimiento de la poblacin. Hace dos

siglos, las tasas de fertilidad fueron mucho mayores, ya que son en la mayora de los pases en desarrollo hoy en da. Hoy en da, casi todo el crecimiento de la poblacin mundial tiene lugar en los pases en desarrollo.

Volveremos a estas observaciones en la seccin sobre la fertilidad y el capital humano, pero en primer lugar se presenta un modelo que explica los hechos estilizados sobre el crecimiento en los pases desarrollados.

11.2 El modelo de crecimiento de Solow

Un punto de partida natural para una teora del crecimiento es la funcin de produccin agregada, que relaciona la produccin total de un pas a las entradas totales de los factores de produccin del pas. Considere

la funcin de produccin neoclsica:

Se utiliz una funcin de produccin de esta forma ya en el captulo sobre los ciclos econmicos. La Produccin depende del agregado laboral Lt de entrada, el agregado insumo de capital Kt-1, y un parmetro de

productividad At. Por supuesto, se trata de una simplificacin al considerar slo tres determinantes de la

produccin. Podramos incluir otros factores como la tierra o la calidad del medio ambiente, y nuestros factores

podran subdividirse an ms, por ejemplo por el trabajo de diferente calidad. Resulta, sin embargo, que la funcin de produccin de la forma simple en la ecuacin (11.1) es todo lo que necesitamos para que coincida

con la evidencia emprica del crecimiento econmico. La ecuacin de la funcin de produccin (11.1) presenta rendimientos constantes a escala, lo que significa que si doblamos las dos entradas, la salida tambin se duplica.

Nuestra eleccin de una funcin de produccin-retornos a escala constantes no es casual: la mayora de los resultados en esta seccin se apoyan en este supuesto.

La ecuacin (11.1) indica las fuentes potenciales de crecimiento en la Produccin Yt. Cualquiera de las entradas

de Lt y Kt-1 deben crecer, o la productividad A debe crecer. Si queremos explicar el crecimiento econmico,

necesitamos una teora que explique cmo la poblacin (es decir, mano de obra), el capital social, la

productividad y el cambio en el tiempo. El mejor enfoque sera un modelo donde las decisiones de las empresas y los hogares determinan los cambios en todas estas variables. Los consumidores pueden tomar decisiones sobre el ahorro y el nmero de hijos que quieren tener, lo que explicara el crecimiento del capital y la

poblacin. Las empresas podran participar en la investigacin y el desarrollo, lo que dara lugar a una teora del crecimiento de la productividad. Sin embargo, hacer todas esas cosas al mismo tiempo resulta en un modelo

bastante complicado. El modelo que vamos a presentar es un enfoque ms simple. Se supone que el crecimiento de la productividad y la poblacin son exgenos y constantes. Esto nos permite concentrarnos en la

acumulacin de capital en el tiempo. Adems, en lugar de modelar la decisin de ahorro de forma explcita, se supone que los consumidores invierten una fraccin fija de la salida de cada perodo. Aunque se trata de

simplificaciones muy radicales, resulta que el modelo es bastante exitoso en la explicacin de los hechos estilizados del crecimiento econmico en los pases industrializados. Sera posible escribir un modelo con la

optimizacin de los consumidores que llegue a las mismas conclusiones. De hecho, anotamos ese modelo ya: el modelo de ciclos reales que discutimos en el captulo 9 utiliza una funcin de produccin neoclsica, y la

decisin ptima de los consumidores era invertir una fraccin fija de su produccin en la nueva produccin de capital. Para evitar complejidades, no vamos a ir a travs de problemas de optimizacin individuales, sino que

vamos a suponer que es ptimo ahorrar una fraccin fija de la produccin. Hay una serie de nombres para el modelo. O bien se le conoce como el modelo de Solow, por su inventor Robert Solow, o como el modelo neoclsico

de crecimiento debido a la funcin de produccin neoclsica que utiliza, o como el modelo de crecimiento exgeno

a partir de que el hecho de que no hay una explicacin directa para el crecimiento de la productividad.


La ley del movimiento de una variable describe cmo la variable evoluciona con el tiempo. En el modelo de Solow, la ley de movimiento del capital es:

donde It es la inversin y es la tasa de depreciacin, que va entre cero y uno. Suponemos que la inversin es una fraccin fija 0


Por ltimo, la inversin se determina por:

Enchufando la ecuacin (11.7) en la ley de movimiento de (11.6) se obtiene la ecuacin:

Esta ltima ecuacin determina el desarrollo del capital social a travs del tiempo. Dividiendo por kt-1 se obtiene

como resultado una expresin para la tasa de crecimiento del capital por unidad de trabajo efectivo:

La expresin kt / kt-1 se denomina Tasa bruta de crecimiento del capital por unidad de trabajo efectivo. La Tasa bruta

de crecimiento es igual a uno ms la tasa de crecimiento neto. (Las tasas de crecimiento en el captulo 1 fueron tasas de crecimiento neto).

Dado que el exponente en kt-1 en la ecuacin (11.9) es negativo, la tasa de crecimiento es inversamente

proporcional al capital. Cuando un pas tiene un menor nivel de capital por unidad de trabajo efectivo, su capital, y por lo tanto su produccin, crecen ms rpido. As, el modelo explica la convergencia de los PIB de los pases y regiones a travs del tiempo.

Dado que la tasa de crecimiento del capital disminuye en kt-1, hay un cierto nivel de kt-1 donde el capital por

unidad de trabajo efectivo deja de crecer. Decimos que la economa alcanza un estado de equilibrio. Una vez que

la economa llega a este estado de equilibrio, se queda all para siempre. La figura 11.1 es una representacin

grfica del proceso de crecimiento en esta economa. Por simplicidad, asumimos por el momento que el trabajo

y la productividad son constantes = = 0. En ese caso, la ecuacin (11.8) se simplifica a:

Macroeconomía (Doepke)

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