UNNE FaCENA

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

SERIE DE PROBLEMAS 0 TEMA: Operaciones con Vectores

FORMULAS DEL ANALISIS VECTORIAL INTRODUCCIN.

Vectores y escalares

Hay cantidades en fsica tales como la temperatura, el volumen y la rapidez que pueden especificarse

por un nmero real. Tales cantidades son llamadas escalares.

Otras cantidades tales como fuerza, velocidad y momentum, que exigen quedar completamente

especificadas tanto en magnitud como en direccin, son llamadas vectores. Un vector se representa

por medio de una flecha o sea, un segmento rectilneo orientado. La magnitud del vector va

expresada por la longitud de la flecha, empleando para ello alguna unidad apropiada.

Notacin vectorial

Un vector se denota por medio de una letra negrita tal como A [Fig.1]. La magnitud (o mdulo) se denota por el escalar |A| o A. El punto inicial de la flecha se llama origen mientras que el punto final se denomina extremo.

Fig. 1

Caracterizamos a un vector A por su

direccin (orientacin espacial de la flecha),

sentido (dado por la punta de la flecha),

mdulo (es el largo de la flecha),

punto de aplicacin (dado por la cola de la flecha).

Definiciones Fundamentales

Igualdad entre dos vectores. Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y direccin. Por ejemplo, en la Fig. 2, A = B.

Fig. 2

Multiplicacin de un vector por un escalar. Si m es cualquier nmero real (escalar), entonces mA es un vector cuya magnitud es |m| veces la magnitud de A y cuya direccin es la

A

B

A

B

AA

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misma que u opuesta a la de A segn que m > 0 o que m < 0. Si m = 0, entonces mA =0, es llamado el vector cero o nulo.

Suma de vectores con mtodos grficos. La suma o resultante de A y B es un vector C=A+B que se construye haciendo coincidir el origen de B con el extremo de A y uniendo luego el origen de A con el extremo de B [Fig.3(b)]. Esta definicin es equivalente a la regla del paralelogramo para la adicin de vectores segn se muestra en la Fig.3(c). El vector A-B se define como A+(-B).

Fig. 3

Es evidente que esta definicin se puede aplicar para sumar ms de dos vectores. As por

ejemplo, en la Fig.4 se indica la manera de hallar la suma E de los vectores A, B, C y D.

Fig. 4

Vectores unitarios. Un vector unitario es un vector cuya magnitud es igual a la unidad. Si A es un vector, entonces a sera un vector unitario en la misma direccin de A si a = A/A donde A > 0.

Componentes de un vector

Un vector A se puede representar colocando su origen en el origen O de un sistema de coordenadas rectangulares. Si i, j, k representan vectores unitarios cuya direccin es la misma que la de los ejes positivos x, y, z respectivamente, entonces

A = A1i + A2j + A3k

Fig. 5

A BC = A + BA

B

AC = A + B

B

(a) (b) (c)

AA BC = A + BAA

B

AAC = A + B

B

(a) (b) (c)

A

C

(a)

B

D A

BC

D

E = A + B + C + D

(b)

AA

CC

(a)

BB

DD AA

BBCC

DD

E = A + B + C + D

(b)

A

x

z

yi j

k

A2j

A3k

A1i

A

x

z

yi j

k

A2j

A3k

A1i

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donde A1i, A2j, A3k son los llamados vectores componentes de A en las tres direcciones i, j, k y A1, A2, A3 son las llamadas componentes de A.

Suma de vectores con mtodo analtico

Sean dos vectores A y B, definimos la suma vectorial A + B al vector resultante C

kjiBAC zzyyxx BABABA ++=+= .

Producto escalar

BA = AB cos 0 donde es el ngulo formado por A y B.

BA = A1B1 + A2B2 + A3B3

donde A = A1i + A2j + A3k, B = B1i + B2j + B3k.

Producto vectorial

A B = AB sen u 0

donde es el ngulo formado por A y B y u es un vector unitario perpendicular al plano de A y B de tal manera que A, B, u forman un sistema dextrorso [los tres vectores A, B, u forman un sistema dextrorso si un descorchador de hlice enrosca hacia la derecha, al dar un giro menor

de 180 de A hacia B, avanza en la direccin de u segn se indica en la Fig.6. Son resultados fundamentales

A B =

321

321

BBB

AAA

kji

= (A2B3 A3B2)i + (A3B1 A1B3)j + (A1B2 A2B1)k,

A B = (A B), A (B + C) = A B + A C, | A B | = rea del paralelogramo cuyos lados son A y B.

PROBLEMAS Y PREGUNTAS

x

z

yA

B

u

x

z

yA

B

u

Fig. 6

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1- Determinar el mdulo del vector posicin que define el punto con coordenadas (a) (1.0 m, 2.0

m, 0.0 m); (b) (0.0 m, 1.0 m, 2.0 m); (c) (1.0 m, 2.0 m, 3.0 m). (d) Puede ser negativo un

escalar? (e) Puede ser negativo el mdulo de un vector? (f) Puede ser negativa la

componente de un vector? Fundamentar las respuestas.

2- Cinco vectores tienen el mismo mdulo y estn situados en el mismo plano, sus ngulos con

la parte positiva del eje x son 0, 72, y 144. Determinar grfica y analticamente su suma.

3- Considerar los desplazamientos* determinados por las dos diagonales de esta pgina, uno

desde la esquina inferior-izquierda a la superior-derecha y el otro desde la esquina inferior-

derecha a la superior-izquierda. (a) Son iguales los mdulos de estos vectores? (b) Son

iguales los vectores? (c) Existe alguna diferencia entre un vector posicin y un

desplazamiento? Fundamentar las respuestas.

4- Dados los dos vectores sin dimensiones A = 3i + 4j y B = 2i 6j + 5k, determinar (a) A + B; (b) A B; (d) B + A.

5- Se suman dos vectores de igual mdulo. Dependiendo de las direcciones de ambos cul es el

mximo mdulo del vector resultante? Cul es el mnimo?

6- Se disponen ocho vectores cabeza con cola, de manera que formen un octgono regular de

lado 25 mm. Usando el sistema de coordenadas de la Fig.7 (a) determinar las componentes de

cada uno de los vectores que forman el octgono. (b) Determinar el mdulo y la direccin de

los vectores denominados en la figura como a, b y c.

Fig. 7

7- El desplazamiento D tiene un mdulo de 12 m, y el desplazamiento E tiene un mdulo de 9 m. La resultante F = D + E tiene un mdulo de 3 m. Qu puede decirse respecto a las direcciones de D y E?

8- Un vector unitario n forma ngulos , , con los ejes de coordenadas x, y, z, tal como se muestra en la Fig.8. (a) Demostrar que los cosenos directores (cos , cos , cos ) son las

componentes de n. (b) Demostrar que los cosenos directores satisfacen la identidad

* Un desplazamiento es un vector de un punto a otro; un vector posicin determina la situacin de un punto de una

trayectoria respecto al origen. Sean dos cuadrados se construye un octgono haciendo

.

a

b

c

x

y

j

i

a

b

c

x

y

j

i

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x

z

y

n

x

z

y

n

cos2 + cos

2 + cos

2 = 1.

Fig. 8

(c) Si F = Fn, expresar las componentes de F en trminos de los cosenos directores de n y el mdulo F.

9- Dado un vector, A, de mdulo A, se puede construir un vector unitario en la direccin de A. Usaremos el smbolo a para denotar el vector unitario formado a partir del vector A. Luego a = (1/A)A = A/A. (a) Probar que a es un vector unitario paralelo a A. (b) El vector posicin R determina el punto (x, y, z) a partir del origen del sistema de coordenadas. Determinar las

componentes x, y y z del vector unitario r.

10- Un objeto se mueve 4.2 m en lnea recta cuando sobre l acta una fuerza de 9.8 N de

mdulo. El trabajo realizado por la fuerza sobre el objeto es de 31 J. Qu ngulo forman

los vectores fuerza y desplazamiento?

11- Un objeto que se mueve en lnea recta realiza un desplazamiento dado por (2 m)i + (3 m)j (5 m)k, mientras sobre l acta la fuerza constante F = (7 N)i (7 N)j (2 N)k. Calcular: (a) el trabajo realizado por esta fuerza; y (b) el ngulo entre los dos vectores.

12- Una fuerza acta sobre un punto situado sobre el eje y de un sistema de coordenadas con

centro en el punto O. El momento de esta fuerza con respecto al punto O est contenido en el

plano xz. Qu se puede determinar sobre la direccin de esta fuerza? Graficar.

13- Considerando los desplazamientos a, b y c mostrados

en la Fig.9, demostrar que

a (b c) es igual al volumen del paraleleppedo** formado por los tres vectores.

Fig. 9

la expresin general del trabajo realizado por una fuerza que acta sobre un objeto que se mueve a lo largo de una

trayectoria desde i a f es =f

idW rF ; en el caso que la fuerza no vara a lo largo de esa trayectoria podemos calcular el

trabajo haciendo rF =W . recordar la definicin de momento de una fuerza = r F.

**

Volumen del paraleleppedo de lados a, b, c = Ah

h a

bcA

h a

bcA

a

b

c

a

b

c

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14- Demostrar que cuando A es perpendicular a B y a C, se cumple que A (B C) = 0.

15- Los sistemas de coordenadas cartesianas pueden elegirse con diversas orientaciones de los

ejes de coordenadas. Depende el valor de un escalar de la orientacin de los ejes?

Dependen las componentes de un vector de la orientacin de los ejes de coordenadas? El

vector en s mismo, depende de la orientacin de los ejes? Depende el mdulo del vector de

la orientacin de los ejes? Fundamentar las respuestas.

REFERENCIAS

Manual de Frmulas y Tablas Matemticas. Murray R. Spiegel. McGraw-Hill.

Fsica Clsica y Moderna. W. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. Skove. McGraw-Hill.

Fsica** tercera edicin. Paul A. Tipler. Revert S.A.

The Feynman. Lectures on Physics. Fsica. Volumen I: Mecnica, radiacin y calor. Bilingua. (Ver

vectores en captulo 11).