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Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

COMANDOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL EN MAPLE

COMANDOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL EN MAPLE

Prof. Carlos Conde LProf. Carlos Conde LáázarozaroProf. Arturo Hidalgo LProf. Arturo Hidalgo LóópezpezProf. Alfredo LProf. Alfredo Lóópez Benito pez Benito

Marzo, 2007



Manipulación de expresiones algebraicasManipulación de expresiones algebraicasSe usan los comandos:

[> simplify( expresión) simplifica

[>simplify(x*(x-5)**3+x**2-x*(x+4)*(x-3)/(x*(x-2)));5 4 3 2x 17x 106x 278x 249x 12

x 2− + − + +

−

[> expand( expresión) expande

[>expand(x*(x-5)**3+x**2-x*(x+4)*(x-3)/(x*(x-2)));

24 3 2 x x 12x 15x 76x 125x

x 2 x 2 x 2− + − − − +

− − −



Manipulación de expresiones algebraicasManipulación de expresiones algebraicas

[> factor( expresión) factoriza[> factor(x^3-6*x^2+12*x-8);

(x-2)3




[> eq1:=x+y=0;eq2:=x+3*y=17;

[> solve({eq1,eq2},{x,y});17 17x , y=2 2

−⎧ ⎫=⎨ ⎬⎩ ⎭

[> solve( {ecuaciones},{incógnitas}) resuelve ecs.

[> eq:=x^3-6*x^2+12*x-8=4:[> solve(eq);

2 2 2 2 23 3 3 3 31 1 1 12 2, - 2 I 3 2 , - 2 I 3 2

2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + −




[> fsolve( {ecuaciones},{incógnitas}) resuelve ecs.proporcionandosolucionesreales[> eq:=x^3-6*x^2+12*x-8=4:

[> fsolve(eq);

3.58740105



CONJUNTOS EN MAPLECONJUNTOS EN MAPLECONJUNTO: Grupo de elementos NO ORDENADOS

En MAPLE se definen escribiéndolos entre llaves ( {...} )y separando sus elementos por comas (,).

Pueden asignarse a un nombre.Ejemplo:

[> C:={'manolo',x=2.4*x**2-y,A, B, aa, B, 2, 4, 7.14, Pi, 2}:

Los elementos repetidos sólo se consideran una vez.

[> C;{2, 4, A, B, aa, π, x=2.4x2-y, 7.14, manolo}



LISTAS EN MAPLELISTAS EN MAPLELISTA: Grupo de elementos ORDENADOS

En MAPLE se definen escribiéndolos entre corchetes ([...]) y separando sus elementos por comas (,).

Pueden asignarse a un nombre.Ejemplo:

[> L:=['manolo',x=2.4*x**2-y,A, B, aa, B, 2, 4, 7.14, Pi, 2]:

Los elementos repetidos se consideran tantas veces como aparezcan.

[> L;{manolo, x=2.4x2-y, A, B, aa, B, 2, 4, 7.14, π, 2}



LISTAS EN MAPLELISTAS EN MAPLEUn elemento de una lista (o de un conjunto) puede

referenciarse con el nombre de la lista (o del conjunto)seguido del índice que en ella ocupa entre corchetes.

Con el conjunto y la lista de las diapositivas anteriores se tiene que:

EJEMPLO:

[> C[1];C[2];24

[> L[9];7.14

[> C[1]+L[9];9.14



VECTORES EN MAPLEVECTORES EN MAPLEDefiniciDefinicióón de vectores en n de vectores en MapleMaple::

[> nombre_vector:=array(1..n);

Dimensionado de un vector de n componentes

Definición de un vector con sus componentes

[> v:=array(1..3,[1.5, 2, -3]);

Ejemplo: Para definir el vector v = (1.5, 2, - 3)

v[1] v[2] v[3]

[> nombre_vector:=array(1..n, [c1, …,cn]);o



VECTORES EN MAPLEVECTORES EN MAPLE

La instrucción array exige definir el límite inferior de ladimensión, por lo que su uso es obligado cuando éstees diferente a 1.

[> nombre_vector:=array(ind_nor..ind_mayor);




[> w:=vector(3,[-1, 2.5, -3.3]);

Otra forma de definir vectores en Otra forma de definir vectores en MapleMaple::

[> nombre_vector:=vector(n);Dimensionado de un vector de n componentes

Definición de un vector con sus componentes

Ejemplo: Para definir el vector w = (-1, 2.5, - 3.3)

w[1] w[2] w[3]

[> nombre_vector:=vector(n, [c1, …, cn]);o




La instrucción vector toma límite inferior de los subíndi-ces el valor 1, por lo que su uso es equivalente a:

[> array(1..n);



VECTORES EN MAPLEVECTORES EN MAPLEEJEMPLO:

1º) Define en Maple el vector: = (2.x+1)a (2. 3,e ,sen(2.x),ln(18))

2º) Escribe las componentes a1, a2, a3. Solución:

[> a:=array(1..4,[2*sqrt(3),exp(2*x+1),sin(2*x),ln(18)]);

[> a:=vector(4,[2*sqrt(3),exp(2*x+1),sin(2*x),ln(18)]);

1º)

2º) [> a[1]; a[2]; a[3];

:= a [ ], , ,2 3 e( ) + 2 x 1

( )sin 2 x ( )ln 18



OPERACIONES CON VECTORES EN MAPLEOPERACIONES CON VECTORES EN MAPLE

Suma de vectores. Operador: +

Resta de vectores . Operador: -

Producto escalar: dotprod ( ) o innerprod( )

Producto vectorial: crossprod ( )

Las dos últimas operaciones requieren haber cargado la librería linalg mediante la instrucción:

[> with(linalg):




Sean los vectores: v = (1.5, 2, - 3) y w = (-1, 2.5, - 3.3)

Se pide:

2. Calcular el producto escalar: (v, w)

3. Calcular el producto vectorial: (v-w) x (v+w)

1. Definir los vectores v y w.

Ejercicio:




[> v:=array(1..3,[1.5,2, -3]);

[> w:=vector(3,[-1, 2.5, -3.3]);

1. Definición de los vectores:

2. Cálculo del producto escalar

[> pesc:=dotprod(v,w);

Solución pesc := 13.4




3. Cálculo del producto vectorial

[> pvect:=crossprod(v-w,v+w);

Solución pvect := [1.80, 15.90, 11.50]



MATRICES EN MAPLEMATRICES EN MAPLE

[> A:=array(1..m,1..n);Dimensionado de una matriz de m filas y n columnas

Definición de una matriz especificando sus elementos

Ejemplo:

[> A:=array(1..2,1..3,[[2,-7,4],[5,8,-11]]);

A[1,2] A[2,3]

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠2 -7 4

A =5 8 -11

[> A:=array(1..m,1..n,[[A11…A1n],[A21…,A2n],…,[Am1,…,Amn]);

o




[> nombre_matriz:=matrix(m, n);

Otra forma de “dimensionar” una matriz:

La instrucción array exige definir el índice inferior de lasfilas y columnas de la matriz, por lo que su uso es obligadocuando éste es diferente a 1.

> A:=array(ind_fila_inf..ind_fila_sup,ind_col_inf..ind_col_sup);[




Ejemplo (Matriz Cuadrada):

[>A:=array(1..3,1..3,[[1,-2,0.5],[0,2,4],[-1,11,9]]);

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

1 -2 0.5A = 0 2 4

-1 11 9

O también[> A:=matrix(3,3,[[1,-2,0.5],[0,2,4],[-1,11,9]]);

O también[> A:=matrix(3, 3,[1,-2,0.5,0,2,4,-1,11,9]);




⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

xe 2 -0.51A = 3 0 2

3 -7.5 9

Ejercicio:

1º) Define en Maple la matriz:

2º) Escribe las componentes A11, A23, A32:



MATRICES EN MAPLEMATRICES EN MAPLESolución:1º) Cualquiera de las siguientes formas es válida:

[>A:=array(1..3,1..3,[[exp(x),2,-0.5],[3,0,1/2],[sqrt(3),-7.5,9]]);

[>A:=matrix(3,3,[exp(x),2,-0.5,3,0,1/2,sqrt(3),-7.5,9]);

[>A:=matrix(3,3,[exp(x),2,-0.5],[3,0,1/2],[sqrt(3),-7.5,9]]);

2º) [> A[1,1]; A[2,3]; A[3,2];



OPERACIONES CON MATRICES EN MAPLEOPERACIONES CON MATRICES EN MAPLE

Suma de matrices. El operador es: +

Resta de matrices. El operador es: -

Producto de matrices. El operador es: &*

Producto de escalar por matriz. El operador es: *

IMPORTANTE: EMPLEAR SIEMPRE evalmAL EVALUAR EXPRESIONES MATRICIALES.¡ !



OPERACIONES CON MATRICES EN MAPLEOPERACIONES CON MATRICES EN MAPLEEjemplo. Ejemplo. Sumar las matrices:Sumar las matrices:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 -7 4 1 2 3

M = ; N =5 8 -11 4 5 6

Almacenando el resultado en una matriz llamada SMAT




[> SMAT := array(1..2,1..3):

[> M := array(1..2,1..3,[[2,-7,4],[5,8,-11]]);

[> N := array(1..2,1..3,[[1,2,3],[4,5,6]]);

Solución:

Introducción de las matrices

(Recomendable)

Realización de la suma:

[> SMAT := evalm(M+N);3 -5 7

SMAT :=9 13 -5⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

Resultado




Ejemplo. Ejemplo. Producto de un escalar por una matrizProducto de un escalar por una matriz

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

0 1/2 2-1 0 6

M = 3.2 0 54.1 -0.6 28.4 44 1

Se considera la matriz:

Obtener la matriz 7.M y almacenar el resultado enla matriz ML




[> ML := matrix(5, 3):[> M := matrix(5, 3,[0, 1/2, sqrt(2), -1, 0,

6,3.2, 0, 5, 4.1, -0.6, 2, 8.4, 44, 1]);

Solución:Introducción de las matrices

[> ML := evalm(7 * M);

Realización del producto: Resultado

:= ML

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

072

7 2

-7 0 42

22.4 0 35

28.7 -4.2 14

58.8 308 7



OTRAS OPERACIONES CON MATRICES EN MAPLE

OTRAS OPERACIONES CON MATRICES EN MAPLE

Inversa de una matriz: inverse ( )Determinante de una matriz: det ( )

Traza de una matriz: trace ( )

Valores propios de una matriz: eigenvals ( )

Vectores propios de una matriz: eigenvects ( )

Rango de una matriz: rank ( )

Traspuesta de una matriz: transpose ( )

Las operaciones anteriores requieren haber cargado la librería linalg .



LA LIBRERÍA linalgLA LIBRERÍA linalg

[> with(linalg);

La librería linalg permite realizar muchas más operaciones:

BlockDiagonal GramSchmidt JordanBlock LUdecomp QRdecomp Wronskian addcol addrow adj adjoint, , , , , , , , , ,[angle augment backsub band basis bezout blockmatrix charmat charpoly cholesky col coldim colspace, , , , , , , , , , , , ,colspan companion concat cond copyinto crossprod curl definite delcols delrows det diag diverge dotprod, , , , , , , , , , , , , ,eigenvals eigenvalues eigenvectors eigenvects entermatrix equal exponential extend ffgausselim fibonacci, , , , , , , , , ,forwardsub frobenius gausselim gaussjord geneqns genmatrix grad hadamard hermite hessian hilbert, , , , , , , , , , ,htranspose ihermite indexfunc innerprod intbasis inverse ismith issimilar iszero jacobian jordan kernel, , , , , , , , , , , ,laplacian leastsqrs linsolve matadd matrix minor minpoly mulcol mulrow multiply norm normalize nullspace, , , , , , , , , , , , ,orthog permanent pivot potential randmatrix randvector rank ratform row rowdim rowspace rowspan rref, , , , , , , , , , , , ,scalarmul singularvals smith stackmatrix submatrix subvector sumbasis swapcol swaprow sylvester toeplitz, , , , , , , , , , ,trace transpose vandermonde vecpotent vectdim vector wronskian, , , , , , ]



EjerciciosEjercicios⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

1 -3 3A = 3 -5 3

6 -6 4

Ejemplo: Dada la matriz

Calcular:

1. Inversa de A2. Determinante de A3. Traspuesta de A4. Traza de A5. Rango de A6. Valores propios de A7. Vectores propios de A



EjerciciosEjercicios

[> restart:with(linalg):Comenzamos....

[> A := matrix(3,3,[1,-3,3,3.,-5,3,6,-6,4]);

Definimos la matriz....

Si queremos que Maple la escriba:

[> evalm(A); [> print(A);o bien:⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 -3 3

3. -5 3

6 -6 4




[> A1 := inverse(A);

[> A1 := array(1..4,1..4):

1. Inversa de la matriz A:

Resultado:

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-0.1250000000 -0.3750000000 0.3750000000

0.3750000000 -0.8750000000 0.3750000000

0.7500000000 -0.7500000000 0.2500000000



EjerciciosEjercicios2. Determinante de la matriz A:

[> DD := det(A);

3. Traspuesta de la matriz A:

[> T := transpose(A);

Resultado:

:= DD 16.

Solución:

:= AT

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 3. 6

-3 -5 -6

3 3 4



EjerciciosEjercicios4. Traza de la matriz A:

[> tr := trace(A);

5. Rango de la matriz A:

[> R := rank(A);Resultado:

:= R 3

Resultado:tr := 0




[> lambda := eigenvals(A);6. Autovalores de la matriz A: Resultado:

:= λ , ,4. -2. -2.

[> vp := eigenvects(A);

7. Autovectores de la matriz A:

[ ], ,4.00000 1 { }[ ], ,0.447213 0.447214 0.894428

vp[2]

[ ], ,-2.00000 2 { },[ ], ,0.500002 1.50000 1.00001 [ ], ,-0.559017 0.559017 1.11804

vp[1] (multiplicidad algebraica doble)Que se interpreta:




Sean los vectores: v (1.5, 2, - 3) y w (-1, 2.5, - 3.3)y la matriz: ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

1 2 3A = 4 5 6

7 8 9Se pide:

1. Calcular el producto escalar: (v, w)

2. Calcular el producto vectorial: v x w

3. Calcular: v · A




[> v:=array(1..3,[1.5,2, -3]);

[> w:=vector(3,[-1, 2.5, -3.3]);

[> A:=matrix(3,3,[[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]);

Definición de los vectores y la matriz:

1. Cálculo del producto escalar

[> pesc:=dotprod(v,w);

Solución

pesc := 13.4



EjerciciosEjercicios2. Cálculo del producto vectorial

[> pvect:=crossprod(v,w);

Solución

pvect := [0.9, 9.95, 5.75]

3. Cálculo de v ·A[> matv:=evalm(v&*A); Solución

matv := [-11.5, -11, -10.5]

(que, obviamente, es un vector)

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