M AT E M ÁT I C A 5˚ Semestre - Radio Fe y Alegría … · 1- Hallar el MCD de los números: 78,...

E.B.A.1. 5º S. MATEMÁTICA

Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números podemos emplear un procedimiento que consiste en hallar de forma simultánea la descomposición factorial. Expliquemos ésto con un ejemplo: hallar el mínimo común múltiplo de 32, 48 y 64.Pongamos atención al procedimiento.

1- Hallar el Máximo común divisor de los siguientes números.

a- 68, 45

b- 35, 60

c- 34, 62, 78

d- 38, 15, 16

e- 70, 20, 100, 200

2- Hallar el mínimo común múltiplo de los siguientes números.

a- 564, 36

b- 162, 38

c- 46, 68, 36

d- 9, 18, 36

e- 7, 9, 5, 23

1. Hallamos la descomposición simultánea de los números por la división sucesiva de sus divisores.

32 16 8 4 2 1 48 24 12 6 3 3 3 1 64 32 16 8 4 2 1

2 2 2 2 2 2 3

2. Multiplicamos los factores . El resultado es el mcm.

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 192mcm (32, 48,64) = 192

60

CÁLCULO DIRECTO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

EJERCICIOS

Semana 14 Educación de Jóvenes y Adultos por RadioINSTITUTO RADIOFÓNICO FE Y ALEGRÍA - VENEZUELAInscrito y Subvencionado por el M.E.C.D.

M A T E M Á T I C A5˚ Semestre

PRODUCIDO, EDITADO Y DISTRIBUIDO POR I.R.F.A. NACIONALCalle 3 B, Edf. Fe y Alegría C2.07, Piso 2, la Urbina.Caracas 1073 DC. Venezuela.

PARTICIPANTE:

E.B.A. I: EducaciónBásica deAdultos.

E.B.A.1. 5º S.MATEMÁTICA

.59

1- Máximo Común Divisor (MCD)Ya sabemos encontrar los divisores de un número, vamos ahora a estudiar los divisores que son

comunes a un determinado grupo de números.Hallemos los divisores de los siguientes números:

El Máximo Común Divisor de varios números es el producto de los factores comunes con su menor exponente, se denota como MCD (a,b,c, ...)

2- Mínimo común múltiplo (mcm)Para determinar el mínimo común múltiplo vamos a utilizar un ejemplo: hallemos el mcm de

los números 12 y 15. Pongamos atención a la siguiente explicación:

El mínimo común múltiplo de varios números es el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Se denota como mcm (a,b,c, ...)

Actividades

1- Hallar el MCD de los números: 78, 128 y 36

2- Hallar el mcm de: 32, 16 y 24

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Semana 14

Vemos que el MCD es 12. Existe un procedimiento más práctico el cual explicaremos con el siguiente ejemplo: hallar el MCD de los números 28 y 56.

48: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 4812: 2, 3, 4, 6, 12

Indice

Pág.

Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Las Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Sistema de numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Órdenes en el Sistema de Numeración Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Subórdenes en el Sistema de Numeración Decimal . . . . . . . . . . . . . . .11La multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13La división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21Los números fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Representación gráfica de una fracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35Suma de números fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Resta o sustracción de números fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41Multiplicación de números fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45División de números fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53El porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56La potenciación y descomposición factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Divisores y múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58Máximo común divisor y mínimo común múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . .59

1- Descomponemos los núme-ros en sus factores primos y los expresamos como producto de esos factores.

56 28 14 7 12 2 2 7

56 = 23 x 7

28 14 7 1 2 2 7

28 = 22 x 7

2- Multiplicamos los factores comunes con su menor expo-nente.

22 x 7 = 4 x 7 = 28MCD (56, 28) = 28

1- Descomponemos los núme-ros en sus factores primos y los expresamos como producto de esos factores

12 6 3 1 2 2 3

12 = 22 x 3

15 5 1 3 5

15 = 3 x 5

2- Multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

mcm (12, 15) = 3 × 22 × 5 = 3 × 4 × 5 = 60MCD (12, 15) = 60

E.B.A.1. 5º S. MATEMÁTICA58

1- DivisoresDivisor, de un número a, es cualquier otro entero b tal que la división a ÷ b es exacta. Por ejem-

plo, 15 es divisor de 45 porque la división 45 ÷ 15 = 3 es exacta.Otros ejemplos: los divisores de 20, 35 y 78 son:

a- 20: 2, 4, 5, 10 b- 35: 5, 7 c- 78: 2, 3, 13, 39

2- MúltiplosMúltiplo, de un número b, es otro número a, tal que a = b · c, para algún entero c. Así, 45 es

múltiplo de 15 porque 45 = 15 · 3.Otros ejemplos: los múltiplos de 3, 4 y 5 son:a- 3: 6, 9, 12, 15, 18, 21, ... b- 4: 8, 12, 16, 20, 24, ... c- 5: 10, 15, 20, 25, 30, ...

Es notorio que un número tiene infinitos múltiplos.

DIVISORES Y MÚLTIPLOS

EJERCICIOS

2- Expresar en forma de producto las siguientes potencias.

a- 75 b- 98 c- 102

d- 95 e- 153 f- 123

3- Descomponer en factores primos los siguientes números.

a- 25 b- 150 c- 32d- 122 e- 90 f- 525

4- Hallar los divisores de los siguientes números.

a- 48 b- 55 c- 81 d- 38 e- 324

5- Hallar al menos 6 múltiplos de los siguientes números:

a- 2 b- 6 c- 8 d- 12 e- 20 f- 15 g- 9 h- 7

6- Investigue

a- ¿Qué son números primos?b- Escriba los primeros 30 números primos.

a- 6 x 6 x 6 =

e- 4 x 4 x 5 x 5 x 5 =

b- 7 x 7 x 7 x 7 x 7 =

f- 6 x 6 x 6 x 7 x 7 =

c- 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 =

g 4 x 4 x 4 x 2 x 2 x 9 x 9 =

d- 9 x 9 x 9 x 9 =

d- 5 x 5 x 5 x 5 =

1- Expresar en forma de potencia los siguientes productos.

Semana 14

Para nadie es un secreto la importancia de las matemáticas en el pasado, en el presente y para el futuro. Es tan importante y tan parte del ser humano que casi no nos damos cuenta de su exis-tencia.

Esta disciplina está presente en casi todas las actividades de nuestro diario quehacer; en la casa, en el trabajo, en la calle, en el mercado, etc. Tal presencia se contradice de manera sistemática con el estudio actual de esta asignatura, digo que existe una contradicción por la cuestión siguiente: si es tan de nosotros, si está en casi todas nuestra actividades ¿por qué se percibe como algo oscuro, impenetrable; sólo para sabios , superdotados y genios? . Unas de tantas respuestas a esta pregunta puede ser la forma de presentarla, la manera de explicarla, la manera de cómo yo en mi papel de estudiante la estudio.

Con la intención de aportar nuestro grano de arena en la búsqueda de nuevos métodos y formas para presentar y explicar la materia, ofrecemos el presente material, el cual se estructura en 14 semanas. Cada semana tiene no más de 4 páginas las cuales presentan el contenido programático, con explicaciones, conceptos y actividades en el anverso y en el reverso ejercicios para reforzar los temas estudiados. También se incluyen algunas lecturas complementarias relacionadas con el tema central de estudio.

El objetivo principal de este curso es poner a tu disposición algunas herramientas que te permitan resolver problemas del acontecer diario, que tengan relación con el cálculo matemático. Además que te permitan la obtención de una base sólida para entender temas programados en otros cursos posteriores.

Al finalizar este curso se espera que hayas adquirido destrezas y habilidades en la resolución de problemas aplicando:

a- Multiplicación y división de los números.b- Operaciones con los números fraccionarios.c- La regla de tres directa e inversa.d- Porcentajes.e- Potenciación.e- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

De igual forma se espera el dominio de los conocimientos teóricos inherentes a la aplicación de los conocimientos obtenidos.

Esperamos que este material te ayude a comprender de mejor manera los diferentes temas pre-sentados, como paso previo al logro de tus objetivos , que creo no son otros, sino la culminación de esta primera etapa y la continuación de otras mas exigentes en tu afán de superarte a través del estudio.

PRESENTACIÓN

E.B.A.1. 5º S.

1- La potenciaciónMuchas veces nos encontramos multiplicaciones suce-

sivas por ejemplo: 9 x 9 x 9 x 9 Hay una forma de expresar esta operación a través de

una operación matemática denominada potenciación.La expresión anterior 9 x 9 x 9 x 9 se escribe mediante

la expresión 94 llamada potencia. Analicemos con deteni-miento la expresión anterior.

potencia: producto formado mediante sucesivas multiplicaciones

exponente: Indica la cantidad de veces que se multiplica la base

base: es el factor que se va a multiplicar

Otros ejemplos: a- 65 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 b- 78 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7

2- Descomposición factorial.Descomponer un número en forma factorial es encontrar todos los factores primos posibles y expresarlo como producto de esos factores.

Para descomponer un número, por ejemplo 24, se procede de la forma siguiente:

Actividades

1- Descomponer en factores primos los siguientes números:

a- 125 b- 81 c- 45 d- 90 e- 1024 f- 256 g- 828

La potenciación es una operación consistente en multiplicaciones sucesivas de un factor. Se denota mediante la expresión an denominada potencia, donde n es el exponente y a la base.

LA POTENCIACIÓN Y DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

La matemática es una actividad esencialmente práctica, de su ejercitación depende en buena parte su dominio. A continuación te ofrecemos una serie de recomendaciones que esperamos las sepas aprovechar.

1- El estudio de las matemáticas es progresivo, lo que aprendemos hoy es fundamental para los temas futuros por eso te recomendamos que aclares las dudas antes que el orientador pase a otro tema.

2- Los temas vistos en semestres anteriores tales como: suma, resta y multiplicación sencilla te van a ayudar a entender los contenidos de este semestre, por lo tanto te recomendamos que hagas un repaso de ellos.

3- Lo que aprendemos se olvida si no reforzamos de forma adecuada los temas vistos. Te suge-rimos que apliques la norma siguiente: «tema visto, tema estudiado»

Los gráficos presentan de manera aproximada como se comporta la asimilación de los contenidos en relación con la frecuencia de repaso de dichos temas.

¿CÓMO ESTUDIAR MATEMÁTICAS?

96

4- Busca un espacio de estudio donde se den las condiciones que te permitan una efectiva con-centración: sin ruidos, amplio, con buena luz, etc.

5- Profundiza los temas vistos en el presente módulo, esto te va a permitir tener una visión más amplia del contenido.

6- Revisa otros textos. Allí encontrarás con toda seguridad otros puntos de vista, otros ejercicios que te van a ayudar a comprender los temas vistos.

Recuerda lo siguiente:Tú eres dueño de tu destino. De ti depende el triunfo o el fracaso. Ánimo, que al final del camino verás el fruto del esfuerzo realizado.

– – – – – – – –

0 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 S D L M MI J V

REPASO

A

SIM

ILAC

IÓN

(%)

100 –

80 –

60 –

40 –

20 –

0 –

– – – – – – – –

R1 0 0 R2 0 0 R3 S D L M MI J V

REPASO

– – – – – – – –

0 0 0 0 0 0 0 S D L M MI J V

REPASO

Buen afianzamiento Afianzamiento regular Sin afianzamiento

CURVA DEL OLVIDO CURVA DEL OLVIDO CURVA DEL OLVIDO

Potencia se lee significa

94 nueve a la cuatro

multiplicar 9 cuatro veces con-secutivas

Otros ejemplos: descomponer el número 72

72 36 18 9 3 1 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32 2 2 2 3 3

57

1- Encontramos los números que dividen exactamente a 24, es decir los divisores.

24: 2, 4, 6, 8, 12

2- Empezamos dividiendo entre 2 y continuamos hasta ago-tarlo, luego pasamos al siguiente hasta llegar a1

24 12 6 3 1

2 2 2 3

3- Expresamos el número en forma de producto 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

Semana 14 MATEMÁTICA

E.B.A.1. 5º S. MATEMÁTICA E.B.A.1. 5º S.MATEMÁTICASemana 15

Las matemáticas están en casi todas las actividades de nuestro acontecer diario. Es difícil, por no decir imposible, encontrar una actividad donde no esté presente las matemáticas. Allí radica la importancia de su estudio.

El estudio de las matemáticas de manera organizada nos provee de las herramientas básicas para desenvolvernos en los diferentes escenarios. Nos ayuda a distribuir de manera equitativa el dinero según las necesidades básicas, tales como: alimentos, educación, salud, etc.

El cálculo como también se denomina el área nos ayuda a interpretar y resolver otros asuntos complicados como el referido a los intereses de préstamos, de ahorros, cálculos para la construcción de viviendas, entre muchas otras.

Analiza y comenta las siguientes imágenes:Una aplicación directa de lo que hemos estudiado hasta ahora acerca de la regla de tres es el tema relacionado con los porcentajes. Tema de obligada aplicación en nuestras actividades diarias.Leamos el siguiente texto:

El 15% de la población mundial, (15 de cada 100 personas,) padecen hambre en los países no desarrollados: el 22% de niños de la población africana, (22 de cada 100 niños africanos) sufren de hambre, 13% de América Latina, (13 de cada 100 de nuestros niños latinoamericanos) ; 27% del Lejano Oriente y 11 % del Cercano Oriente están afectados.

Analicemos las expresiones

Para determinar el porcentaje se aplica la regla de tres.Ejemplo: Si de cada 100 niños 15 padecen de hambre.¿Cuántos padecerán de cada 1000?

Plantiemos una regla de tres.

1- Resuelve los siguientes problemas aplicando regla de tres .

a- Si 18 trabajadores pueden hacer un trabajo en 15 días. ¿ Cuántos días tardarán en hacerlo 24 trabajadores?

b- Un ciclista lleva una velocidad de 50 Km/h . Tarda en recorrer una determinada distancia 5 horas. Si disminuye su velocidad a la mitad ¿Cuánto tarda en recorrer la misma distancia?

c- Los vecinos hicieron una cayapa para limpiar las cunetas de las calles del barrio. Sólo participa-ron 10 personas y tardaron un día (8 horas). Si hubiesen participado más vecinos por ejemplo 50 ¿Qué tiempo hubiesen tardado?

e- Si una campaña de vacunación tiene como meta la inmunización del 35% de los niños. ¿Qué cantidad sin inmunizar hay en el país, si inmunizan 5000 infantes?

f- La cooperativa de la comunidad introdujo un proyecto para financiar la construcción de viviendas por un monto de 124.000.000 Bs. si el fondo sólo le aporta el 65%. ¿ Qué cantidad le corres-ponde?

g- Los alumnos del 5° semestre hicieron unas mediciones para realizar un proyecto ecológico en el centro de orientación, se encontraron con que el suelo tiene un 30% de arena. ¿ Cuánta arena hay en 25 m2 de terreno?

LAS MATEMÁTICAS.EL PORCENTAJE

Actividades

Enumera al menos 5 situaciones donde se aplican las matemáticas.

Se lee Significa

15% quince por ciento 15 de cada 100

22% veintidos por ciento 22 de cada 10013% trece por ciento 13 de cada 100

EJERCICIOS

15 por cada 100 x por cada 1000

x = (15 x 1000)/100 = 150 De cada 1000 niños 150 padecen de hambre

56Semana 13

6E.B.A.1. 5º S. MATEMÁTICA Semana 1 E.B.A.1. 5º S.MATEMÁTICA

55

10 tra. ------------ 20 dias

20 tra. ------------ x

Ya estudiamos la regla de tres directa. Recuerda que esta regla se aplica cuando hay cantidades relacionadas que aumentan o disminuyen de manera proporcional. En nuestra vida cotidiana nos encontramos con otras situaciones donde las variables se comportan de forma diferente.

Analicemos el siguiente ejemplo. Si 10 trabajadores construyen una casa en 20 días.

¿Cuanto tardarán 20 obreros trabajando en las mismas condiciones?

Observen que estamos aumentando la cantidad de trabajadores. ¿Qué pasará con el tiempo, aumentará o disminuirá?

Evidentemente que al aumentar la cantidad de traba-jadores disminuye el tiempo.

En este caso nos encontramos en presencia de un caso de aplicación de la regla de tes inversa

Una regla de tres es inversa si al aumentar o dismi-nuir una magnitud disminuye o aumenta la otra.

Se halla el producto de los factores que aparecen como supuesto y se divide entre el término dado como dato en la pregunta. La solución queda como:

x = (10 . 20) / 20

Actividades

1- Si 10 participantes pintan un salón de clases en 5 horas. ¿Cuánto tardarán 15 participantes?

producto

Para resolver una regla de tres inversa la operación se realiza de manera diferente

Trabajadores 2 5 8 10 20 40 50 100 …

Días 100 40 25 20 10 5 4 2 …

disminuye aumenta

aumenta disminuye

Div

isió

n

REGLA DE TRES INVERSA

1- Responde y comenta en el centro de orientación.

a- ¿Qué otros beneficios nos brinda la matemática?

b- En qué otras situaciónes se emplean las matemáticas.

c- ¿Qué dificultades has tenido para el estudio de las matemáticas?

d- ¿Cómo crees tu que deberiamos abordar el estudio de las matemáticas?

2- Escribe tu opinión acerca del siguiente caso.

« La señora Edita fue al Centro de Orientación el sábado en la mañana. Entendió muy bien lo explicado. Al llegar a su casa hizo un repaso y resolvió los ejercicios propuestos. El sábado siguiente presentó una prueba la cual resultó excelente»

3- Escribe un pequeño párrafo donde estén presentes las matemáticas

4- Investiga.Reseña histórica de las matemáticas.

EJERCICIOS

Semana 13

E.B.A.1. 5º S. MATEMÁTICA E.B.A.1. 5º S.MATEMÁTICA7

3 378 387 7 738 783 8 873 837

378

738

873

trescientos setenta y ocho

setecientos treinta y ocho

ochocientos setenta y tres

De acuerdo a ésto se concluye que las cifras cambian de valor dependiendo del lugar en que ellas estén en una determinada cantidad.

Por ejemplo, el 3 toma el valor de 300 en 378; 30 en 738; 3 en 783

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas que sirven para leer y escribir de forma ordenada los números.

Existen muchos sistemas de numeración, el más utili-zado es el sistema de numeración decimal. Es el que usamos diariamente en nuestras operaciones.

Sistema de numeración decimal: su nombre se debe a que necesita diez símbolos diferentes o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para representar cantidades. Por eso es un sistema de base diez.

Ejemplo: con los dígitos 3, 7 y 8 podemos formar los núme-ros siguientes:

Este valor se denomina valor relativo o valor de posición

Actividades:

1- Escribe el valor de cada cifra en las siguientes cantidades

a- 3456 b- 8617 c- 543 d- 67 e- 1234 f- 45673 g- 678910

El valor relativo es el valor que toma una cifra de acuerdo al lugar que ocupa en una cifra. En el caso anterior el valor relativo es: 3 cen-tenas, 7 decenas y 8 unidades.

54

4- Plantea las siguientes proporciones en forma de regla de tres.

a- 4/5 = x/5 b- 4/6 = 7/x

c- x/8 = 9/4 d- 6/x = 7/6

1- Define los siguientes términos.

a- Regla de tres.b- Regla de tres directa.

2- Resuelve los siguientes problemas aplicando regla de tres.

a- Para hacer 4 docenas de camisas se han empleado 162 metros de tela. ¿Cuántos metros harán falta para hacer 14 docenas de camisas?

b- Si una campaña de alfabetización tiene como meta alfabetizar 10.000 personas en 3 años, ¿Cuánto le correponde por semestre?

c- Si una campaña de vacunación tiene como meta la inmunización de 35 de cada 100 niños en un mes. ¿Qué cantidad inmunizará en 5 meses?

3- Identifica elementos de la siguiente regla de tres.

3 kg. 3500 Bs

8 kg. x

SISTEMA DE NUMERACIÓNEJERCICIOS

Semana 13 Semana 1

8E.B.A.1. 5º S. MATEMÁTICA Semana 1 E.B.A.1. 5º S.MATEMÁTICA

1- Escriba en cifras las siguientes cantidades.

a- Diecisiete mil doscientos nueve b- Cinco mil doscientos nueve c- Seis mil quince d- Cuatrocientos veinte mil doscientos treinta e- Quinientos cinco mil f- Veinte mil trescientos siete g- Setenta y cinco mil novecientos noventa h- Dos mil trescientos cuarenta y cinco.

2- Escriba en letras las siguientes cantidades.

a- 1.001

b- 74.850 c- 80.027

d- 3.069

e- 203.568 f- 900.009 g- 54.701 h- 6204

53

La reglas de tres es una consecuencia de las proporcio-nes. Aplicables en situaciones donde es necesario hallar una cierta cantidad dados tres valores supuestos. Dichas situaciones las encontramos en el trabajo, en el estudio, en la casa, etc.

Antes de definir la regla de tres analicemos el siguiente problema:

Si un artículo tiene un valor de 500 Bs. Cuál será el valor de 32 unidades de ese mismo artículo.Fíjense que lo siguiente:

1 artículo vale Bs 500 32 artículos valen x

Una regla de tres es una operación matemática la cual consiste en hallar un valor descono-cido (incognita) dados tres valores conocidos llamados supuesto.

En el planteamiento anterior se observa que al aumentar o disminuir una cantidad aumenta o disminuye la otra. En este caso se habla de regla de tres directa.

Una regla de tres es directa si al aumentar o disminuir una magnitud aumenta o disminuye la otra. Veamos.

Actividades

Resuelve los siguientes planteamientos aplicando regla de tres.

1- Dos contenedores de basura tienen una capacidad para 5000 kg. ¿Cuántos kg. contendrá 1 contenedor?

2- Un frasco de agua de 20 litros tiene un costo 3000 Bs. ¿Cuál es el precio de cada litro?.

Tenemos en ese planteamiento tres valores conocidos (1, 32 y 500) y un valor desconocido repre-sentado por una x. Por eso esta operación se denomina regla de tres

Solución: 32 artículos tienen un costo de Bs. 16.000

x = (500 . 32) / 1 = 16000 1 art. ------------ 500 Bs

32 art. ------------ xdivisión

producto

La regla de tres se plantea de la siguiente manera:

REGLA DE TRESEJERCICIOS

3- Escriba el valor relativo o de posición de cada cifra en las cantidades siguientes:

a. 4.005

b. 30.203

c. 603.603

d. 79.008

e. 895.041

f. 6.210

Articulo 1 2 3 4 5 6 7 8 … 32

Bs 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 … 16.000

Semana 13


Ejemplos.

Ubicar las cifras siguientes en los órdenes dados:

Los órdenes se ubican en una cantidad de derecha a izquierda

En párrafos anteriores señalamos que las cantidades dependen de las posiciones o el orden de los dígitos.

Veamos ésto con un ejemplo: El número 8.525 se lee:

Actividades:1- Investiga.a- Cúales son las cifras del sistema de numeración decimal.b- Por qué se denomina sistema de numeración decimal.c- Completa el recuadro

52

1- Expresa en forma numeral las siguientes proporciones.

a- 3 es a 4 como 6 es a 8

b- 9 es a 10 como 18 es a 20

c- 6 es a 7 como 12 es 14

d- x es a y como z es a q

e- 5 es a 8 como x es 16

2- Expresa en forma literal las siguientes proporciones.

a- 2/4 = 4/8

b- 7/8 = 21/24

c- 4/5 = 8/10

d- 1/3 = 4/12

e- 3/6 = x/12

3- Halla el valor de x en las siguientes proporciones.

a- 6/9 = x/15 c- x/4 = 32/16

b- 1/3 = 5/x d- 6/x = 18/15

c- 4/7 = x/14 e- x/5 = 12/15

f- 1/2 = x/4 g- 7/8 = 49/x

EJERCICIOS LOS ÓRDENES EN EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.

8.525 ocho mil quinientos veinticinco

80008x1000

unidadesde mil

8

5005x100

centenas

5

202x10

decenas

2

55x1

unidades

5

unidad de mil centena decena unidadcentena de mil 100decena de mil

unidad de mil

c. de mil d. de mil u. de mil c d u612.439 6 1 2 4 3 9326.513

854.102

Semana 2Semana 12

10E.B.A.1. 5º S. MATEMÁTICA E.B.A.1. 5º S.MATEMÁTICA

4- Actividades:

Investiga. Otros sistemas de numeración.

3- Ordene las siguientes cantidades :

51

Continuemos el estudio con las proporciones

Es obvio pensar que si contamos con más árboles nece-sitamos más terreno. Por ejemplo si tenemos 2000 árboles necesitaremos 4 hectáreas (Ha). Esta situación se expresa de la forma siguiente: para 1000 árboles necesitamos 2 Ha, entonces para 2000 árboles emplearemos 4 Ha.

En esta situación nos encontramos con otra razón 4/200. Si comparamos las dos nos queda la siguiente relación:

2/1000 = 4/2000

Esta relación es lo que hemos denominado proporción. Se expresa de la siguiente manera

2/1000 = 4/2000 y se lee «dos es a mil como cuatro es dos mil»

En general

Una proporción es una igualdad de dos razones iguales, es decir a/b = c/d , donde a,b,c,d son números enteros b y d diferentes de 0 y a.d = b.c. Se lee « a es a b como c es a d»

Otros ejemplos

Actividades

1- Expresa en forma de proporción las siguientes situaciones.

a- 2 es a 4 como 6 es a 8

b- 25 es a 100 como 50 es a 200

2- Expresa en forma literal las siguientes proporciones.

a- 3/7 = 21/49

b- 8/9 = 16/18

EJERCICIOS RAZONES Y PROPORCIONES (continuación)

centena de mil

decena de mil

unidad de mil

centena decena unidad

a- 3.456

b- 78.954

c- 987.654

d- 56.473

2- Escriba en letras las siguientes cantidades

a- 2.039

b- 879.324

c- 123.452

d- 456

e- 45.678

f- 32.145

g- 54.701

1- Escriba en cifras las siguientes cantidades

a- Veintiún mil quinientos cuatro

b- Treinta mil setecientos veinticinco

c- Ciento veinticinco mil sesenta

d- Un mil doscientos dieciseis

e- Trescientos cuarenta y cinco

f- Cuarenta y seis mil trescientos nueve

2 es a 1000 como 6 es a 3000 2/1000 = 6/3000

5 es a 4 como 10 es a 8 5/4 = 10/8

Semana 12Semana 2


Hasta ahora las operaciones que hemos definido han sido con los números naturales. Existe otro conjunto de números que no es desconocido para ti ya que también son de uso cotidiano, nos referimos a los números decimales y además fueron estudiados en semestres anteriores.

Cada vez que hacemos una compra los precios casi nunca son números naturales, por lo general son cantidades con una parte decimal o números decimales.

Por ejemplo.El número 128,57 se lee: ciento veintiocho con cincuenta

y siete céntimos o ciento veintiocho coma cincuenta y siete.

Se compone de dos partes:128 parte entera. 57 parte decimal.

En este tema vamos a estudiar las posiciones de las cifras en la parte decimal o sub-órdenes.

Los subórdenes se ubican en el número de derecha a izquierda y son los siguientes:

Veamos varios ejemplos:

Actividades:

Investiga:

1- Qué nombre reciben los tres sub-órdenes siguientes a las milésimas.

2- Describe los pasos para sumar números decimales.

3- Escribe en letras las siguientes cantidades:

a) 0,34 b) 38,125 c) 3.456.728, 5

50

1- Escribe una razón para cada una de las siguientes situaciones.

a- Por cada 100 Bs. aumentaron 20 Bs.

b- En el C.O. por cada 10 mujeres hay 5 hombres

c- Rafael cometió 6 errores por cada 100 palabras

d- La matrícula actual es de 10.000 Bs. por cada participante.

e- En Venezuela hay 13 desempleados por cada 100 personas.

2- Expresa en forma literal las siguientes razones.

a- 2/3 f- 4/12

b- 3/6 g- 1/4

c- 5/8 h- 7/9

d- 4/9 i- 3/7

e- a/b j- x/y

4- Escribe un párrafo donde se pueda visualizar las razones.

5- Describe situaciones de la cotidianidad donde se empleen las razones.

EJERCICIOS LOS SUBÓRDENES EN EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.

décima décima parte de la unidad 1/10

centésima centécima parte de la unidad 1/100

milésima milésima parte de la unidad 1/1000

unidad de mil

centena decena unidad décima centésima milésima

45,6 4 5 6

128,57 1 2 8 5 7

3.456,367 3 4 5 6 3 6 7

Semana 12 Semana 2


4- Actividades

Investiga.

Haga una lista de las situaciones donde utilizamos los números decimales.

3- Ordene las siguientes cantidades :

49

Vamos ahora a estudiar algunos temas que nos van a servir de mucha ayuda en nuestro quehacer diario. Estudia-remos las razones y las proporciones.

Iniciemos este estudio con las razones.

Antes que nada meditemos acerca de la situación que se nos plantea:

« Los participantes del Centro de orientación del IRFA cuentan, para el proyecto ecológico, con 2 hectáreas para sembrar árboles frutales. Investigando en algunas institucio-nes les dijeron que en ese lote de terreno sólo podían sem-brar máximo 1000 árboles. Sembrar más árboles significaba menos producción de la esperada »

De lo anterior se deduce una relación establecida entre la cantidad de terreno y la cantidad de árboles. Esta relación se expresa de la siguiente forma:

2/1000, 2:1000 y se lee « 2 es a 1000»Esta relación es lo que hemos denominado razón.

En general:

Una razón es la comparación de dos cantidades por la operación de división y se expresan de la forma a/b o a:b donde a y b son números naturales con b diferente de 0

Actividades

1- Escribe una razón para cada una de las siguientes relaciones.

a- Por cada 100 plantas sembradas, 5 no cargan.

b- Por cada hectárea sembrada, se invierten 200.000 Bs.

2- Inventa una situación para cada una de las siguientes razones:

a- 2/5 b- 7/100 c- 18/200

Otras razones

EJERCICIOS RAZONES Y PROPORCIONES

En el salón de clase hay 2 hombres por cada 5 mujeres.

2/5

Por cada lápiz se pagan 250 Bs 1/250

centena decena unidad décima centésima milésimaa- 34,56

b- 789,54

c- 987,654

d- 56,473

2- Escriba en letras las siguientes cantidades.a- 2.039,345 b- 879.324,004 c- 123.452,2 d- 456,47 e- 45.678,7 f- 32.145,15 g- 54.701,23

1- Escriba en cifras las siguientes cantidades. a- Veintiún mil quinientos cuatro, con veinticinco b- Treinta mil setecientos veinticinco, con doce c- Ciento veinticinco mil sesenta, con dieciocho d- Un mil doscientos dieciseis, con ciento veinte e- Trescientos cuarenta y cinco, con nueve f- Cuarenta y seis mil trescientos nueve, con uno

Semana 2 Semana 12


En la multiplicación se estudian diferentes casos:1- Multiplicación de números naturales.2- Multiplicación de un números natural por un

número decimal.3- Multiplicación de números decimales.

1- Multiplicación de números naturales.Analicemos, comentemos y resolvamos el siguiente pro-blema:Para reparar las paredes y el techo de la escuela de la comunidad «El Porvenir» que tiene 638 alumnos, cada uno deberá aportar 865 Bs.¿Cuál es el costo de la reparación?.

Pon mucha atención al proceso.

48

1- Efectúa las siguientes divisiones.

a- 3/4 ÷ 6/5

b- 5/7 ÷ 8/8

c- 6/5 ÷ 7/3

d- 8/6 ÷ 5/2

e- 6/4 ÷ 4/3

2 - Coloca el valor de x en las siguientes operaciones.

a- 1/x ÷ 1/4 = 4/5

b- x/3 ÷ 4/6 = 24/12

c- 5/6 ÷ x/3 = 15/18

d- 3/4 ÷ 8/x = 12/32

e- 12/3 ÷ 5/6 = x /15

f- 7/8 ÷ 5/9 = 63/x

3- Resuelve los siguientes problemas.

a- 5/6 de las vacunas para el sarampión alcanzó para 6/7 de la población infantil. ¿Que fracción le tocó a cada niño?

b- 1/3 de las plantas ornamentales se plantarán en 3/4 de la zona en recuperación. ¿Qué fracción le corresponde a cada planta?

c- 4/5 de lo recogido en la feria escolar alcanza para financiar 3/4 de los proyectos. ¿Cuánto le corresponde?

d- El dinero asignado por la fundación para el reciclaje de la basura corresponde a 1/6 de su presupuesto. Si el de reforestación es de 3/5 ¿Cuál de los dos es mayor? ¿Cuántas veces es mayor o menor?

EJERCICIOS LA MULTIPLICACIÓN

1- Colocamos el multiplicador debajo del multiplicando.

638 multiplicando × 865 multiplicador

2- Multiplicamos el multipli-cando por cada una de las cifras del multiplicador, empezando por las unidades.

638 multiplicando × 865 multiplicador3 190 1°. producto

3- Luego multiplicamos por las decenas escribiendo el resul-tado corriendo un lugar a la izquierda .


3828 2°. producto

4- Continuamos multiplicando por las centenas hasta completar los órdenes existentes.


382 8 2°. producto510 4 3°. producto551 870 producto final

Actividades

Ordena y efectúa las siguientes operaciones.

a- 342 × 76 b- 45 × 78 c- 456 × 567 d- 763 × 89 e- 908 × 340 f- 453 × 234

Semana 11 Semana 3


1- Ordena y efectúa las siguientes operaciones.

a) 3.456 x 34 b) 4.567 x 20

c) 44.324 x 26 d) 56.456 x 56

e) 47.000 x 234 f ) 126.745 x 250

g) 45.231 x 300 h) 125.000 x 400

2- Coloca verdadero o falso según sea el caso

47

Estudiemos la división de fracciones a través del siguiente problema.

La organización de la comunidad es indispensable para su desarrollo cualquiera que ésta sea. Para tal efecto los vecinos de la comunidad Simón Rodríguez se organizaron en asociación civil para enfrentar el problema del desempleo.

En una de sus actividades se les presento el siguiente problema.De la cantidad pedida en donación para la entrega de microcréditos sólo le dieron 3/4. Si dicha cantidad alcanza para 6/7 de la población. ¿Qué cantidad le corresponde a cada beneficiario directo?

Se trata de dividir : 3 ÷ 6 4 7

Pongamos mucha atención a la siguiente explicación.

Esta división se puede presentar de dos formas.

En general:

Sean dos fracciones a/b y c/d con b y d diferentes de 0, se cumple que a/b ÷ c/d = (axd)/(bxc).

Ejemplos: 6/7 ÷ 3/9 = (6 x 9)/(7x 3) = 63/21

3 ÷ 6 4 7

3 ÷ 6 = 3 × 7 = 21 4 7 4 × 6 24

1- Se multiplican el numerador de la 1a. fracción por el denominador de la 2a. fracción (3x7 =21) y se coloca numerador.

3 4 6 7

3 4 = 3 × 7 = 21 6 4 × 6 24 7

2- Se multiplican el denominador de la 1a. fracción por el numerador de la 2a. fracción (4x6=24) y se coloca como denominador.

×

×

×

Actividades

Efectúa las siguientes operaciones.

a- 1/12 ÷ 5/4 =

b- 8/5 ÷ 9/4 =

EJERCICIOS DIVISIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

3- Investiga:

a- El significado de los siguientes términos: dígito, cifra, décima, centésima, milésima, producto

b- ¿Cuáles son los números naturales?

c- ¿Que representa la parte decimal en un número decimal?

4- Escribe tu opinión en el cuaderno acerca de la iniciativa de reparar la escuela.

5- Qué significa el refrán: «En la unión está la fuerza»

6- Resuelve el siguiente problema:

La experiencia de reparar la escuela resultó exitosa y decidieron pintar la escuela. Para ésto nece-sitan 15 galones de pintura. ¿Cuanto dinero necesitan para pintar la escuela?. Investiga el precio actual de un galón de pintura y efectúa las operaciones.

7- Resuelve el siguiente planteamiento.

Construya los cifras del SND empleando tres cuatro (4, 4, 4)

Ejemplo: (4 + 4)/4 = 8/4 = 2

a- Los factores de la multiplicación se denominan multiplicando y multiplicador. ( )b- El resultado de la multiplicación se denomina cociente. ( )c- Para multiplicar primero comenzamos por la unidad. ( )d- Si el multiplicando tiene cuatro dígitos comenzamos a multiplicar por la unidad de mil. ( )e- Si el multiplicador tiene 4 dígitos o cifras, obtenemos 4 productos. ( )f- Si el multiplicando tiene 2 cifras, obtenemos 2 productos. ( )

Semana 3 Semana 11


2- Multiplicación de un número natural por un número decimal.

Para multiplicar un número natural por un número decimal procedemos de igual manera que en el caso anterior. Pon mucha atención.Vamos a explicar este procedimiento con un problema.

Los vecinos de la comunidad «el porvenir» realizaron una encuesta con la intención de introducir un proyecto en la gobernación para la construcción de viviendas. Una de las preguntas que hicieron en la encuesta fue: ¿Cuál es su ingreso mensual? a esta pregunta 85 personas respondieron que su ingreso semanal era de 8.324,75. Queremos saber ¿Cuánto devengan semanalmente en total las 85 personas?.Pon mucha atención a la explicación siguiente:

46

1- Efectúa las siguientes sustracciones.

a- 3/4 x 6/5

b- 5/7 x 8/8

c- 6/5 x 7/3 x 2/3

d- 8/6 x 5/2 x 1/2

e- 6/4 x 4/3 x 6/7 x 8/5

2 - Halla el producto de las siguientes fracciones de forma gráfica.

a- 1/2 x 1/4

b- 2/3 x 4/6


a- 2/8 de los habitantes de una determinada comunidad emplean 1/4 del salario en medicina. ¿Que fracción del salario total gastan en medicina?

b- En el Centro de Orientación se emplea 2/6 de sus ingresos para mantener 3/4 de sus áreas verdes. ¿Qué parte sus ingreso utiliza para el mantenimiento de esas áreas?

c- La familia Pérez gasta 1/3 de sus ingresos en 3/4 de sus necesidades alimenticias.¿ Qué frac-ción de sus ingresos utilizan en alimentación?

EJERCICIOS LA MULTIPLICACIÓN (continuación)

Actividades

1- Efectúa las siguientes operaciones.

a- 23,6 x 123 b- 125,12 x 34 c- 234,56 x 25 d- 2345,7 x 47 e- 5678,123 x 456

Semana 11 Semana 3

1- Colocamos el multiplicador debajo del multiplicando.

8.324, 75 multiplicando × 85 multiplicador

2- Multiplicamos el multipli-cando por cada una de las cifras del multiplicador, empezando por las unidades. Escribiendo el resultado sin la coma.


4162 3 75 1°. producto

3- Luego multiplicamos por las decenas escribiendo el resultado corriendo un lugar a la izquierda. Escribiendo el resultado sin la coma.


41 623 75 1°. producto66 5980 0 2°. producto

4- Por último realizamos la suma de los productos parciales.


41 623 75 + 1°. producto66 5980 0 2°. producto707.603 75

5- El producto final se obtiene corriendo lugares a la izquierda tanto como decimales haya en la multiplicación.


41 623 75 + 1°. producto66 5980 0 2°. producto707.603,75 producto final


De otra forma: sean dos o más fracciones a/b, c/d, e/f ... n/m, se comprueba que a/b x b/d x e/f x ... x n/m = (a x c x e x ... n)/ (b x d x f x ... x m).

Ejemplos:

a- 5 × 1 = 5 × 1 = 5 2 3 2 × 3 6b- 5 × 12 × 15 = 5 × 12 × 15 = 900 8 3 5 8 × 3 × 5 120


a) 3.456,35 x 34 b) 4.567 x 20,15 c) 44.324 x 26,8 d) 56.456 x 56,123

e) 47.000 x 23,4 f ) 126.745,12 x 250 g) 45,231 x 300 h) 125.000 x 4,32

2- Completa los siguientes enunciados:

a- Para obtener el _______ final corremos tantos lugares a la ______ como

decimales haya en la operación.

b- Si el producto final de la operación es 324,456, en la operación había ____ decimales

c- El producto 3,24 x 45 tendrá _________ decimales.

3- Investiga:

a- ¿Cuál es el ingreso mínimo actual de un trabajador?

b- ¿Cuál es el costo de la cesta básica?

c- ¿Qué podemos hacer para «estirar» el salario?

4- Resuelve los siguientes problemas:

a- El proyecto que introdujeron los vecinos a través de su asociación civil fue aprobado, asignando 35 viviendas en la primera fase. ¿Cuánto será la cantidad desembolsada por todos los beneficia-rios de la primera fase?. Investiga el costo actual de una vivienda de este tipo y procede a realizar las operaciones.

b- En un supermercado pusieron en oferta varios artículo

ARTÍCULO COSTO REAL COSTO OFERTADO1 3.456,00 3.300,502 1 .234,75 1.123,003 5.345,00 5.300,99

Se pregunta lo siguiente:

¿ Cuánto es el ahorro en los tres artículos?

45

La multiplicación también la vamos a estudiar a través del análisis de un problema.

Estudiemos ahora un problema de tipo ecológico.

En la comunidad «El Porvenir» 3/5 de los hogares desechan 4/6 de la basura producida en la comunidad. ¿Qué cantidad de basura desechan estos hogares?.Se trata de multiplicar estas fracciones para obtener un resultado definitivo.

Deduzcamos la manera de resolver este problema de forma gráfica.

Vemos con claridad que la basura recogida representa 12/30.

Es lógico entonces la siguiente deducción:

12 = 4 x 3 numeradores

30 = 5 x 6 denominadores

De acuerdo a ésto se deduce la siguiente regla general:

Para multiplicar fracciones se halla el producto de los numeradores colocán-dolo como numerador. De igual forma se multiplican los denominadores y el resul-tado se coloca como denominador.

Actividades

Efectúa las siguientes operaciones.

a- 2/10 x 12/23

b- 21/7 x 15/8

c- 8/9 x 14/6 x 65/8

3/5

4/6

EJERCICIOS MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Semana 3 Semana 11


1- Efectúa las siguientes sustracciones

a- 3/4 − 6/5

b- 5/7 − 8/8

c- 6/5 − 7/3

d- 8/2 − 6/2

e- 6/4 − 4/3

2 - Efectúa la resta gráfica de las siguientes fracciones.

a- 6/3 −1/2

b- 7/4 −2/3

3- Resta las siguientes fracciones dadas en forma gráfica.

− =


a- Mediante un plan de vacunación contra el sarampión se redujo la enfermedad en 1/5. Si 3/5 de la población estaba contaminada. ¿Cuánto falta por sanear?

b- El Centro de Orientación ocupa 5/8 del área total de la escuela. Si las áreas verdes ocupan 1/3 del área correspondiente al centro. ¿Cuánto queda disponible para las aulas y otros espacios?

c- Un tanque contiene 7/8 de agua. Si se utilizan 2/4 en labores domésticas, ¿Cuánto queda?

d- La mezcla para pegar ladrillos utiliza 2/5 de arena y 3/5 de cemento. Si se le agregaron 3/4 de cemento ¿Cuánto cemento se le agregó de más?

EJERCICIOS LA MULTIPLICACIÓN (continuación)

3- Multiplicación de dos número decimales.Para multiplicar números decimales procedemos de igual manera que en el caso anterior. Pon

mucha atención.Vamos a explicar este procedimiento con un problema.

Los vecinos de la misma comunidad hicieron igualmente, un presupuesto para arreglar la entrada a la escuela que mide 125,8 mts. por cada metro de concreto deben emplear 56.600,50 Bs. Pon mucha atención a la explicación siguiente:

1- Colocamos el multiplicador debajo del multiplicando. 56.600,5 multiplicando

× 125,8 multiplicador

2- Multiplicamos el multipli-cando par cada una de las cifras del multiplicador, empezando por las unidades. Escribiendo el resultado sin la coma.

56.600,5 multiplicando × 125,8 multiplicador 4528040 1°. producto

3- Luego multiplicamos por las decenas escribiendo el resultado corriendo un lugar a la izquierda. Escribiendo el resultado sin la coma.

56.600, 5 multiplicando× 125, 8 multiplicador

4528 040 1°. producto2830025 2°. producto

4- Se continua multiplicando por los órdenes siguientes hasta obtener los productos parciales correspondientes y el producto final.

56.600 , 5 × 125 , 8 452804 0 + 1°. producto

28300 25 2°. producto 113201 0 3°. producto566005 4°. producto

7.120.342,90 producto final

5- Por último corremos la coma tantos lugares como decimales haya.

7.120.342,90 Sólo para arreglar la escuela se necesi-taron Bs.7.120.342,90

Actividades

1- Efectúe las siguientes operaciones.a- 3425,67 × 45,7 b- 1234,56 × 78,56 c- 23456,9 × 34,123 d- 4567,816 × 234,21

2- Investiga: ¿Por qué se llaman números decimales?

Semana 4Semana 10



a) 3.456,35 x 3,4 b) 456,7 x 2.015,12 c) 443,24 x 26,8 d) 564,56 x 56,123e) 47.000,5 x 23,4 f ) 126.745,12 x 2,50 g) 45,231 x 3,45 h) 125.000,5 x 4,32

2- Resuelve los siguientes problemas

a- Un comerciante vende mensualmente 1849,5 kilos de verduras, ¿Cuánto es la venta mensual en Bs.? Investiga el precio de 1kilo de verduras y resuelve.

b- En el arreglo de la entrada a la escuela se emplearon 25,5 metros de gravilla (piedras peque-ñas). ¿Cuánto se invirtió en el arreglo? Investiga el precio de un metro de gravilla y resuelve.

3- Comenta y escribe:

a- El problema actual de la construcción

4- Comenta el siguiente refrán.

«Poco a poco se anda lejos»

43

Estudiemos ahora el segundo caso:2- Fracciones con diferentes denominadores.

Para restar fracciones con diferentes denominadores se emplea un procedimiento igual al utilizado para la suma.Analicemos el problema anterior.

Al poner a cocinar la lechosa (5/2 kg.) esta se redujo en 1/3 kg. ¿Cuánto quedó de lechosa?

El problema consiste en restar

5 - 1 2 3

Para realizar esta operación transformamos las fracciones en otras que tengan igual denomina-dor. En nuestro caso vamos a transformar las fracciones 5/2 y 1/3 en otras equivalente que tengan igual denominador. Para ésto procedemos de la forma siguiente:

ActividadesEfectúa la siguiente resta de fracciones con diferente denominador.

a- 5/6 - 2/3

b- 4/8 - 3/4

c- 7/3 - 8/6

d- 9/4 - 12/7

1- Multiplicamos el denominador y el numerador de cada fracción por un número, de tal forma que nos de como resultado denominadores iguales. Esos números son: 3 y 2.

Denominadores

2 3

2 × 3 3 × 2

6 6

2- Multiplicamos los numeradores de cada fracción por el número respectivo. Las fracciones se transforman en:

15/6 y 2/6

Numeradores

5 1

5 × 3 1 × 2

15 2

3- Resolvemos la operación aplicando resta de fracciones de igual denominador.

15 - 2 = 15-2 = 13 6 6 6 6

EJERCICIOSRESTA O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

(continuación)

Semana 4 Semana 10


Para resolver multiplicaciones siguiendo este procedimiento debemos hacer dos consideraciones.

1- Los ceros que estén intercalados no se agregan .3203 × 300 = 3203 x 3 = 9609 -------------> 9.609 × 100 = 960.900

2- Si tenemos ceros en ambos términos se suman y se agregan al final321300 × 400 = 3213 × 4 = 12852 -------------> 128.520.000

1- Multiplicación por la unidad seguida de ceros

Existen otros casos de multiplicación cuyo resultado se obtiene con una multiplicación sencilla. Nos referimos a la multiplicación por las unidades seguidas de ceros.

Aquí vamos a estudiar dos casos:

1- Multiplicación por un número natural.

2- Multiplicación por un número decimal.

Ambos casos los vamos a estudiar partiendo de un problema concreto.

Pon mucha atención.

Una acción solidaria llevada a cabo por los vecinos de «El porvenir» fue hacer un feria para recolectar fondos para varias familias dagnificadas por las lluvias. Asistieron 1.245 personas y las entradas tenían un costo de Bs. 1.000. ¿Cuánto recolectaron en la feria?

La operación que vamos a efectuar es:

1.245 × 1.000

Para efectuar esta operación procedemos de la forma siguiente:

42

1- Efectúa las siguientes operaciones.a- 6/5 − 4/5 b- 8/7 − 5/7c- 7/3 − 6/3d- 8/2 − 5/2e- 6/3 − 4/3

2- Efectúa la suma gráfica de las siguientes fracciones.a- 6/2 − 1/2b- 7/3 − 2/3

3- Reste las siguientes fracciones dadas en forma gráfica.

– =


a- 1/3 de los alumnos sacaron notas entre 10 y 12, el semestre anterior fue de 2/3. ¿Cuál es la diferencia?

b- De toda la mercancía almacenada en una bodega, el maíz representa 3/4. Si los insectos dañan 1/4. ¿Cuanto queda de maíz?

c- Para hacer café se ponen a calentar 3/6 de litros de agua. Si se evaporan 2/6 de litros ¿Cuánto queda de agua?

d- Para hacer el café se emplea 2/8 kg. de café, si en el envase había 7/8 kg. ¿Cuánto queda?

EJERCICIOS LA MULTIPLICACIÓN (continuación)Otros casos

1- Multiplicamos las cifras significativas. 1.245 × 1 = 1.245

2- Agregamos los ceros que hayan después de la última cifra signi-

ficativa (5).1.245.000

ActividadesEfectúe las siguientes operaciones

a- 123 × 10 b- 345 × 100 c- 4563 × 1000 d- 1200 × 2300 e- 3450 × 1000

Semana 10 Semana 4


7/3

2/3 5/3

Caso 2: Multiplicación de las unidades seguidas de ceros por un número decimal.En este caso se procede de la manera siguiente.

41

Para restar fracciones nos encontramos con los mismos casos que en la suma.Analicemos el primer caso

1- Fracciones con igual denominador.

Resolvamos el siguiente problema:

Al poner a cocinar el dulce de lechosa el agua agregada (7/3) se redujo en 2/3. ¿Cuánto quedó de agua?

Se trata de restar: 7/3 - 2/3

Veamos ésto en forma gráfica

Fíjense que al restar 7/3 −2/3 se obtienen 5/3, de aquí se deduce lo siguiente:

Para restar dos fracciones con igual denominador, se restan los numeradores y se escribe el deno-minador común. Es decir a/b - c/b = (a - c)/b.

Otros ejemplos:

8/4 - 6/4 = (8 - 6)/4 = 2/4

7/9 - 1/9 = (7 - 1)/9 = 6/9

Actividades.

1- Efectúe las siguientes sustracciones de fracciones.

a- 7/6 - 9/6

b- 5/7 - 4/7

c- 9/3 - 7/3

2- Representa gráficamente las fracciones anteriores y resuelve la resta de forma gráfica.

RESTA O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

EJERCICIOS

Ejemplo 1: Multiplicar 124,34 × 10

1- Corremos la coma a la derecha en el multiplicando (124,34 ) tantos lugares como ceros haya (1)

1243,4

Ejemplo 2: Multiplicar 234, 25 × 1000

1- Como la cantidad de decimales es menor que la cantidad de ceros corremos la coma y agregamos los ceros restantes

234250


a- La comunidad de «El Porvenir» tiene una unidad de consumo. Compraron al mayor 5255 kilos de tomates. ¿Cuanto invirtieron en tomates?. Investiga el precio actual del kilo de tomates y resuelve.

b- Si 100 familias aportan para la compra del tomate Bs. 825,50. ¿Cuántos bolívares aportaron entre las cien familias?


« Un sólo grano no hace un granero »


a) 35 × 10

b) 61 × 10

c) 169 × 1000

d) 345 × 30

e) 124 × 200

f ) 55 × 6000

g) 2.300 × 40

h) 2.000 × 1200

i ) 3.000 × 12.000

j ) 234,5 × 10

k) 1.254,25 × 100

l ) 45,68 × 10000

m) 45,67 × 50

n ) 3.450,43 × 3000

ñ ) 34,456 × 200

LA MULTIPLICACIÓN (continuación) Otros casos.

Semana 4 Semana 10


Cociente (c): Resultado de la operaciónResiduo (R): Diferencia D - (c x d)

Dividendo (D): Cantidad que se divideDivisor (d): Número que divide 8 4

0 2

Solución: A cada persona le tocan 2 pupitres para reparar. En una división cada elemento recibe un nombre

Dividir es compartir, distribuir o repartir en partes iguales. Matemáticamente la división es la operación aritmética inversa a la multiplicación. Se usan los siguientes símbolos: ÷ , × o /

En la división se estudian varios casos:

1- División de números naturales.2- División de un número natural entre un número decimal.3- División de un número decimal entre un número natural.4- División de números decimales.

caso1 : División de números naturales.

Los números naturales son los números que utilizamos a diario para contar. En base a esto vamos a analizar el siguiente pro-blema

En la jornada de recuperación de la escuela de El Porvenir en un aula se encontraron 8 pupitres deteriorados. Se asignaran 4 personas para recuperar dichos pupitres. ¿Cuántos debe reparar cada uno si les toca igual cantidad?

En este problema se trata de repartir en partes iguales, o lo que es lo mismo dividir 8 entre 4.Para realizar esta operación se emplea el siguiente procedimiento:

40

1- Efectúe las siguientes operaciones.

a- 3/4 + 6/5

b- 5/7 + 8/8

c- 6/5 + 7/3

d- 8/6 + 5/2 + 9/6

e- 6/4 + 4/3 + 5/3

2 - Efectúa la suma gráfica de las siguientes fracciones.

a- 1/2 + 1/4

b- 2/3 + 4/6

3- Sume las siguientes fracciones dadas en forma gráfica.

+ +


a- 1/3 de los alumnos sacaron notas entre 10 y 12, 2/4 sacaron entre 13 y 16 y 1/4 entre 17 y 20. que fracción de los alumnos sacaron entre 10 y 20.

b- ¿Con cuantos envases de 1/4 de litro se llena otro de 2 litros?

c- Un tanque de 1000 litros está lleno de agua, si se extrae 1/4 de tanque ¿cuántos litros se extraen?.

d- ¿Qué fracción es un billete de 10 de uno de 100?

e- ¿Qué fracción es una moneda de 500 de un billete de Bs. 2000?.

LA DIVISIÓNEJERCICIOS

1- Se escriben los números de la forma siguiente: 8 4

2- Se busca un número que multiplicado por 4

de como resultado 8 (2), colocándolo debajo del 4.

8 4 2

3- Hallamos la diferencia entre 2 × 4 y 8 (0) y la

colocamos debajo del 8

8 40 2

ActividadesEfectúe las siguientes operaciones:

a. 4 /2 b. 6 / 3 c. 8/2 d. 9/3 e. 9 /9 f. 8 /8 g. 4/4 h. 6/2

Semana 9 Semana 5



a- En un Centro de Orientación del IRFA los alumnos trajeron 9 libros para repartir en 3 cursos. ¿Cuánto le toca a cada curso?

b- Para pintar 3 salones de la escuela donde funciona un Centro de Orientación del IRFA se emplearon 6 potes de pintura. ¿Cuántos potes se emplearon en cada uno?


a- ¿Qué ventajas tiene trabajar juntos?

b- ¿Por qué debemos colaborar en el mantenimiento del centro?

a) 9 ÷ 3

f) 3 ÷ 3

b) 8 ÷ 2

g) 4 ÷ 4

c) 6 ÷ 3

h) 6 ÷ 2

d) 8 ÷ 4

i) 7 ÷ 7

e) 2 ÷ 2

j) 9 ÷ 9

1- Ordene y efectúe las siguientes operaciones.

39

Estudiemos el otro caso 2- Cuando los denominadores son diferentes. Aquí se emplea un procedimiento diferente mas no difícil.

Vamos a tomar el problema anterior para estudiar este caso.

Agreguemos 7/3 l de agua y hagamos la equivalencia:

1 kg = 1 lNos queda lo siguiente:Azúcar 3/2 Kg , Lechosa 5/2 Kg. Agua 7/3 kg.Vamos a encontrar el peso total de la mezcla.El problema consiste en hallar la suma 3/2 + 5/2 + 7/3

Pongamos mucha atención a la explicación siguiente.Para realizar esta operación transformamos las fracciones

anteriores en otras que tengan igual denominador. En nuestro caso vamos a transformar las fracciones 3/2, 5/2 y 7/3 en otras equivalentes que tengan igual denominador. Para ésto procedemos de la forma siguiente:

Actividades:

Efectúa la siguiente suma de fracciones con diferente denominador.

a- 2/3 + 5/6 b- 4/8 + 3/4 + 5/6 c- 5/2 + 3/4 + 7/2 d- 8/3 + 6/4 + 3/6

EJERCICIOS SUMA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS (continuación)

1- Multiplicamos los denominadores por 2 y 3 respectivamente.

Denominadores

2 2 3

2 × 3 2 × 3 3 × 2

6 6 6

2- Multiplicamos los numeradores de cada fracción por el número respectivo. Las fracciones se transforman en:

9/6, 15/6 y 14/6

Numeradores

3 5 7

3 × 3 5 × 3 7 × 2

9 15 14

3- Resolvemos la operación aplicando suma de fracciones de igual denominador.

9 + 15 + 14 + = 9 + 15 +14 = 38 6 6 6 6 6

Semana 5 Semana 9


Ya estudiamos la división de números naturales desde un punto de vista básico. A medida que nos adentramos en el estudio de esta operación nos encontramos casos en los que hay que aplicar otros procedimientos, tal es el caso que sigue a continuación:

Cuando el dividendo está compuesto de mas de una cifra.

Ejemplo: Se dispone de 6352 libros para donarlos por igual a cuatro bibliotecas públicas. ¿Cuántos libros se le asignan a cada una de ellas?

Pongan mucha atención al siguiente procedimiento:

En el caso de que la primera cifra del dividendo sea menor que el divisor se toman las dos primeras y se procede a dividir. Veamos un ejemplo:

Actividades

1- Investiga el salario mínimo actual de un trabajador y calcula el ingreso por semana.

2- Elabora un comentario acerca de la política salarial actual.

38


a- 3/2 + 5/2b- 7/8 + 8/8c- 4/7 + 5/7 + 6/7d- 8/9 + 1/9 e- 3/12 + 5/12 + 4/12 + 7/12

2- Efectúa la suma gráfica de las siguientes fracciones.

3- Resuelve los siguientes problemas.a- Ramona fue al mercado para comprar los siguientes ingredientes para elaborar sus empana-

das:a- 3/4 kg. de carne molidab- 2/4 kg. de queso blancoc- 5/4 kg. de cazón.

¿Cuánto pesa la compra realizada por Ramona?

b- Los alumnos del sexto semestre estudian matemática en los siguientes intervalos de tiempo: Marisol 1/2 hora, Ramón 3/2 hora, Jesús 6/2 hora y Rafael 5/2 hora. ¿Qué tiempo emplea-ron entre todos.?

EJERCICIOS LA DIVISIÓN (continuación)

1- Se divide la primera cifra del dividendo (6) entre el divisor (4), es decir se busca un número que multiplicado por 4 sea igual o menor que 6. En este caso es el (1)

6’352 4 1

2- Se multiplica 1 x 4 y el resultado se resta de 6, colocando el resultado (2) debajo del 6

6352 42 1

3- Se baja el número siguiente del dividendo (3) y se coloca junto al último residuo (2) quedándonos 23. Esta cantidad la dividimos entre 4, buscando un número que multiplicado por 4 sea igual a 23 o menor que él (5).

6352 423 1

4- Colocamos el 5 en el cociente a la derecha de 1 y multiplicamos 5 x 4 restando el resultado de 23, quedando 3.

6352 423 15

3

5- Continuamos de la misma forma, con cada número del dividendo, hasta el final

6352 423 1588 35 32

13’52 4 1 5 338 32 0

Semana 9 Semana 5

1/4

1/8 3/8 5/8

4/8

4/42/4 3/4+

+

+

+

+

+


8/2 kg

2- Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones.a- 9.140 ÷ 6 b- 3.002 ÷ 8c- 3.100 ÷ 9 d- 1.482 ÷ 9e- 1.596 ÷ 5 f- 7.906 ÷ 3g- 7.682 ÷ 7 h- 8.622 ÷ 9 i- 6.324 ÷ 2 j- 1.029 ÷ 7


a- La cooperativa de El Porvenir ha ahorrado 9.456 Bs. en 3 meses: ¿Cuánto ahorró por cada mes?

b- ¿Cuántas botellas de nueve litros se necesitan para almacenar 2.691 litros de agua?

c- Investiga el costo actual de la cesta básica y calcula cuánto deben aportar 8 personas de una familia para cubrir dicha cesta en su totalidad.

4- Escribe y comenta:Elabora un comentario personal acerca del alto costo de la vida.


a- 4.375 7 b- 7.224 6 c- 2.122 3 b- 2.950 5

e- 3.960 2 f- 4.712 8 g- 8.505 5 h- 2.940 3

37

Para sumar fracciones se emplean procedimientos dife-rentes a la suma de números enteros o naturales.

Al sumar fracciones nos encontramos con dos casos:1- Cuando las fracciones tienen igual denominador.2- Cuando las fracciones tienen diferentes denomina-

dores.

Estudiemos el primer caso.

1- Suma de fracciones con igual denominadorAnalicemos ésto resolviendo un problema.

Ramona compra lechosa y azúcar para hacer dulce, en las siguientes cantidades:

Azúcar 3/2 Kg

Lechosa 5/2 Kg.

Actividades.

1- Efectúe las siguientes sumas de fracciones.

a- 2/7 + 5/7

b- 8/9 + 10/9

c- 7/9 + 5/9 + 8/9

Fíjense que al sumar 3/2 + 5/2 se obtienen 8/2, de aquí se deduce lo siguiente:

Para sumar dos o más fracciones con igual denominador, se suman los numeradores y se escribe el denominador común. Es decir a/b + c/b = (a + c)/b. Esta fórmula se aplica para cualquier can-tidad de fracciones.

Otros ejemplos:

2/5 + 8/5 + 6/5 = (2 + 8 + 6)/5 = 16/5

8/7 + 9/7 + 3/7 + 5/7 = (8 + 9 + 3 + 5)/7 = 25/7

1/kg 1/2 kg 1/2 kg

1/2 kg 1/2 kg 1/2 kg

1/2 kg 1/2 kg 1/2 kg

1/kg 1/2 kg 1/2 kg

SUMA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Semana 5 Semana 9

5 / 2

3 / 2


1- Planteamos la operación 6875 ÷ 25 6875 25

2- En este caso se dividen las dos primeras cifras del dividendo (68) entre el divisor (25), buscando un número que multiplicado por 25 se aproxime a 68, en este caso 2, 2 x 25 = 50

68̀75 25 2

3- El producto 2 x 25 =50 se resta de 68 (68-50= 18) colocándose debajo del 68

6875 2518 2

4- Se baja el número siguiente y queda 187. Dividido entre 25 es 7 porque 7 x 25 = 175, se resta de 187 (187 - 175 = 12) colocándose este número debajo del 187 y el 7 en el cociente

6875 25187 27 12

5- Bajamos el 5 y queda 125, dividiéndolo entre 25 nos da 5 ya que 5 x 25 = 125 quedando residuo 0.

6875 25187 275 125 0

Actividades:


a- 5732 ÷ 92 b- 3510 ÷ 45 c- 18147 ÷ 23 d- 16416 ÷ 36 e- 84720 ÷ 15

Analicemos otra situación:Cuando el divisor está compuesto por dos cifras.Ejemplo: Los alumnos del 7º semestre pretenden plantar 25 árboles en 6875 metros cuadrados de terreno. ¿Cuantos metros le corresponde a cada árbol?La operación que se plantea es la división. Vamos a dividir 6875 ÷ 25 Pon mucha atención a la siguiente explicación.

Si analizas con detenimiento los problemas que hemos resuelto verás que la división es un proceso repetitivo aplicable para cualquier caso.

6 8’75 25 - 5 0 275 187 - 175 025 -025 000

1- DIVISIÓN

2- MULTIPLICACIÓN

3- RESTA

36

3- Raya las zonas correspondientes a las siguientes fracciones.

4- Los participantes del 6° semestre compraron una pizza. ¿Qué valor le asignamos a cada pedazo si cortan la pizza en 8 partes iguales?.

1- Representa gráficamente las siguientes fracciones.

a- 4/5b- 2/3c- 7/6d- 5/4e- 8/9

2- Coloca la fracción numeral correspondiente a las zonas indicadas.

a- 3/16

b- 8/16

c- 9/16

d- 7/16


Semana 8 Semana 6


2- Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones

a- 9.456 ÷ 32 b- 1.818 ÷ 12c- 1.4 88 ÷ 24 d- 6.075 ÷ 75e- 2.665 ÷ 41 f- 1.378 ÷ 95g- 1.950 ÷ 12 h- 4.551 ÷ 65 i- 3.787 ÷ 37 j- 3.276 ÷ 1 5


a- En un proyecto de reciclaje se recogieron 2.591 Kg. de papel ¿ Cuántos Kg. recogieron los 30 alumnos del 7º semestre si cada uno recogió la misma cantidad?.

b- Por la venta del papel obtuvieron la cantidad de 233.190,00 Bs. Calcula:

El precio de un Kg. de papel. Investiga el precio actual del papel y compara

- ¿Cuánto es la diferencia?- ¿A qué se debe la diferencia?

4- Comenta:¿Que importancia tiene para el ser humano el reciclaje de los materiales de desecho?.

5- Investiga una noticia del periódico que tenga que ver con la contaminación ambiental. Escríbela en tu cuaderno y coméntala


a- 2.784 64 b- 6.486 75 c- 3.924 12 b- 4.008 32

e- 7.584 52 f- 7.500 15 g- 1.755 24 h- 4.580 25

35

Una forma de visualizar con mayor detalle es represen-tar de forma gráfica las fracciones. En los casos anteriores donde hicimos referencia a las fracciones:

3/2 , 5/2 y 7/3

Si queremos representar estas fracciones de manera gráfica procedemos de la siguiente forma:

Se trata entonces de dibujar las unidades representadas por el numerador, y dividirlas en las partes indicadas por el denominador.

Recuerde que una unidad es un objeto o una cierta cantidad de objetos .

5/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

1 2 3 4 5

7/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3

1 2 3 4 5 6 7

Actividades:

1- Represente de forma gráfica las siguientes fracciones.

a- 3/4 b- 5/6 c- 1/8

2- Escriba la fracción correspondiente a los siguientes gráficos.

a. b. c.

EJERCICIOS REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓN

3/23 unidades a dividir

1

2

3

2 partes de cada unidad 1/2

La fracción 3/2 se expresa

y se interpreta de la manera siguiente: de 3 unidades se toman en 2 partes iguales.

Semana 6 Semana 8


1- Planteamos la operación 72 ÷ 96 72 96

2- En este caso se agrega un 0 al dividendo y en el cociente escribimos 0,

720 96 0,

3- Se procede a dividir tal como se ha explicado en párrafos anteriores. Separamos las dos primeras cifras del dividendo (72). Como ésta es menor que el divisor (96) se toman tres cifras. 7 x 96 = 672. Restamos de 720 quedando 720 - 672 = 48

720 96 48 0,75

4- Como el residuo es diferente de 0 se le agrega cero y se divide 720 96 480 0,75 0

1- Siempre que dividimos un número cualquiera en otro mayor que el se comprueba que el cociente es un número entre 0 y 1.El Número 0,75 está entre 0 y 1

2- Si el residuo es diferentes de cero se agrega 0 a éste y se procede a dividir hasta obtener cero en el residuo.

Actividades:


a- 56 ÷ 92 b- 34 ÷ 45 c- 15 ÷ 23 d- 25 ÷ 36 d- 12 ÷ 15

Obtener los resultados con al menos dos decimales

Estudiemos esta situación

Cuando el dividendo es menor que el divisor.

Ejemplo:

La comunidad de El Porvenir desea editar un periódico popular. La empresa encargada de editar el periódico gasta 72 mts. de papel para producir 96 periódicos. Queremos saber la cantidad de papel que tiene cada periódico.La operación que se plantea es la división. Vamos a dividir

72 ÷ 96

Pon mucha atención a la siguiente explicación.

34

1- Escriba en forma de fracción las siguientes situaciones.

a- Veinticinco cuartos

b- Dieciocho medios

c- Treinta y cinco séptimos

d- Nueve quinceavos

e- Siete veintiochoavos

a- 2/5

b- 6/17

c- 3/7

d- 4/35

e- 7/34

f- 9/56

g- 56/4

h- 56/89

i- 8/9

j- 28/ 60

2- Escriba en forma literal las siguientes fracciones.

a- 1/3, 2/3, / , 4/3, / ,5/3, / , 6/3, / , 7/3, / , 8/3

b- 5/2, 5/3, / , 5/5, / ,5/6, / , 5/8, / , 5/10, / , 5/12

3- Completa las siguientes series de fracciones.

4 - Completa el siguiente texto colocando en el paréntesis la fracción numeral correspondiente.

En el Centro de Orientación El Porvenir un tercio ( ) de la población son mujeres, de esa fracción dos sextos ( ) son mayores de 30 años, un sexto ( ) están entre 18 y 30 años y tres sextos ( ) de los participantes están entre 15 y 18 años.

5- Enumera algunas situaciones donde se utilicen los números fraccionarios.


Semana 8 Semana 6


2- Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones.

a- 40 ÷ 60 b- 24 ÷ 50 c- 45 ÷ 59d- 10 ÷ 20 e- 72 ÷ 96 f- 72 ÷ 80g- 15 ÷ 45 h- 69 ÷ 80 i- 96 ÷ 99j- 23 ÷ 60 k- 54 ÷ 83 l- 65 ÷ 73m- 56 ÷ 80 n- 28 ÷ 60 o- 85 ÷ 98


b- Para preparar un compostero se necesitan 50 metros cuadrados de madera. Si con 62 tablas queda cubierto. ¿Cuánto mide cada tabla?

Investigue además:- ¿Qué es un compostero?- ¿Cual es la ventaja de utilizar este tipo de abono?

b- En una cooperativa para la fabricación de ropa infantil se emplean 22 metros de tela para hacer 32 camisas. ¿Que cantidad de tela tiene cada camisa?

4- Comenta.- El costo actual de la ropa.- Que podemos hacer para abaratar el costo de la ropa.


a- 50 64 b- 64 75 c- 8 12 b- 28 32

e- 46 52 f- 14 15 g- 18 24 h- 20 25

33

Diariamente nos encontramos con problemas que no necesariamente se resuelven aplicando números naturales o números enteros. Existen situaciones donde debemos emplear otro conjunto de números: las fracciones. Anali-cemos la siguiente situación.

Para hacer dulce de lechosa Ramona emplea los siguien-tes productos.

Azúcar 3/2 KgLechosa 5/2 Kg.

Agua 7/3 l

Las expresiones 3/2 , 5/2 y 7/3 se leen «tres medios» ,«cinco medios» y «siete tercios» respecti-vamente. Estas expresiones son los denominados números fraccionarios.

Una fracción es un número de la forma a/b donde a y b son números enteros, con b diferente de cero. a se llama numerador y b denominador.La lectura correcta de las fracciones se hace de la forma siguiente:

Actividades

1- Enumera otras situaciones donde se usen las fracciones.

2- Escribe en forma literal las siguientes fracciones 1/7, 4/5 , 3/8, 9/21, 7/43, 8/16

3- Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones:dos séptimos, cinco doceavos, nueve quinceavos, ocho novenos, seis treceavos.

4- Explique la siguiente expresión «En un salón de clase dos quintos son varones», de ejemplos.

Las fracciones también se pueden representar como: a b

EJERCICIOS LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS

DENOMINADORES ENTRE 2 Y 10. DENOMINADORES MAYORES A 10.

a / 2 a mediosa / 3 a terciosa / 4 a cuartosa / 5 a quintosa / 6 a sextosa / 7 a séptimosa / 8 a octavosa / 9 a novenosa / 10 a décimos

a / 11 a onceavosa / 12 a doceavosa / 13 a treceavosa / 14 a catorceavosa / 15 a quinceavosa / 16 a diesiseisavosa / 17 a diecisieteavosa / 18 a dieciochoavosa / 19 a diecinueveavos

a es un numero natural

Semana 6 Semana 8


1- Planteamos la operación 12.566,50 ÷ 4 12.566,50 4

2- Tomamos las dos primeras cifras del dividendo (12) dividiéndola entre 4

12.566,50 4 0 3

3- Seguimos el proceso hasta llegar a la unidad (6)

12.566,50 4 05 3141

1606

2

4- Se procede a bajar la décima (5) al tiempo que se coloca (,) en el cociente y se sigue dividiendo de la forma antes indicada.

12.566,50 4 05 3141,625

16 06

25 10 20 0

Para realizar la operación anterior también podemos hacer lo siguiente:Agregamos 0 al divisor y corremos la coma un lugar a la derecha en el dividendo, que-dando la división expresada de la forma siguiente:

Actividades:

1- Efectúa la división anterior

a- 10.125,7 ÷ 5 b- 14.367,8 ÷ 8 c- 22.560,6 ÷ 2 d- 36.775,4 ÷ 4 e- 65.874,3 ÷ 3

Obtener los resultados con al menos dos decimales si la operación lo amerita.

125.665,0 ÷ 40 = 125.665 ÷ 40

2- Decimales en el dividendo.

Ejemplo: En la Cooperativa de la comunidad compraron un arte-

facto a crédito. La deuda contraida es de Bs. 12.566,50 la cual se debe cancelar en 4 cuotas iguales. ¿ Calcular el monto de cada cuota?

La operación que se plantea es dividir 12.560,50 ÷ 4. Para realizar esta operación se usan los procedimientos

explicados anteriormente. Pon mucha atención.

32

2- Resuelve los siguientes problemasa- Un proyecto ecológico necesita 1.234,5 metros de terreno, al cual se le deben agregar 34,6 Kg

de abono orgánico. Queremos saber cuántos kg de abono hay que agregar por cada metro de terreno.

b- En una cooperativa para la fabricación de ropa infantil se emplean 240 metros de tela para hacer 10 docenas de camisas. ¿Que cantidad de tela se necesita para elaborar una docena de camisas?

3- Investiga y comenta.a- Focos de contaminación en tu comunidad.b- Qué podemos hacer para solucionar esta situación.c- ¿Qué sucede si el dividendo es menor que el divisor? Ej: 25 ÷ 100

División entre la unidad seguida de ceros:Frecuentemente encontramos operaciones de división donde el divisor está formado por la unidad

seguida de ceros (10,100, 1000, 10000, ...). En estos casos no se aplican los procedimientos explica-dos anteriormente (aunque son aplicables), se aplica un procedimiento abreviado. Estudiemos dos casos:

1- Dividendo enteroSe quiere dividir 2.345 mts. de terreno para sembrar 100 árboles frutales en cada lote. ¿Cuántos metros le corresponde a cada árbol?

2- Dividendo decimalSe quiere dividir 2.564,5 kg. de basura en 100 bolsas plásticas ¿Cuántos kgs. caben en cada bolsa?

a- 4.056,8 ÷ 60,9e- 1.024,15 ÷ 20,5h- 150,8 ÷ 45,6k- 2.308 ÷ 10n- 5.646,6 ÷ 10

c- 248,56 ÷ 50,8f - 725,56 ÷ 96,1i - 6.923,56 ÷ 8,5l - 5.403 ÷ 100o- 2.830,7 ÷ 100

d - 458,9 ÷ 59,6g - 7.234,6 ÷ 80,5j - 9.620,45 ÷ 9,9m- 6.508 ÷ 1000p - 8,5 ÷ 1000


EJERCICIOS

LA DIVISIÓN (continuación)

Corremos tantos lugares a la izquierda del dividendo como ceros haya a partir de la unidad 2.345 : 100 = 23,45

Corremos tantos lugares a la izquierda del dividendo como ceros haya a partir de la unidad. 2.564,5 : 100 = 25,645

LA DIVISIÓN (continuación) otros casos

Semana 7 Semana 7


a- 23.456,7 4 b- 6.456,9 5 c- 86.342,9 2 b- 28.567,8 3

e- 46.763,4 5 f- 14 15 g- 18 24 h- 20 25

3- Resuelve los siguientes problemas:

a- Para preparar un terreno se necesitan 50 sacos de abono. Si el terreno tiene 125,7 hectáreas. ¿Cuánto sacos toca por hectárea?

¿Cuánto metros hay en una hectárea (1 Ha)?

b- En una cooperativa de artesanos se obtuvo de ganancia el año pasado Bs. 4.682.125,75. Si son 12 socios ¿cuanto le toca a cada uno?

4- Comenta

La importancia de trabajar en cooperativa.


Actividades:

1- Completa la división anterior.


a- 10.125,7 ÷ 5,6 b- 14.367,8 ÷ 8,9 c- 22.560,6 ÷ 2,8 d- 36.775,4 ÷ 4,6

Obtener los resultados con al menos dos decimales si la operación lo amerita.

Planteamos la operación

Tanteamos con 8 ÷ 3 = 2, este número se aplica ya que 2 × 35 = 70, menor que 83. En caso contrario se resta una unidad al número encontrado y se procede a dividir.

3- Decimales en el dividendo y en el divisor.

Analicemos este tema con un ejemplo:

La cooperativa de la comunidad El Porvenir encargada de la producción de prendas de vestir, hizo un cálculo para saber el costo de producción de un vestido llegando a los siguientes resultados: Con 3,5 mts. de tela se hace un vestido. Queremos saber la cantidad de vestidos que se pueden hacer con 837,25 metros de tela.

La operación que se plantea es dividir 837,25 ÷ 3,5.

Para realizar esta operación se usan los procedimientos explicados anteriormente. Pon mucha atención.

Cuando tenemos una división de 2, 3 o más cifras en el divisor se usa un procedimiento denominado «por tanteo» para hallar la cifra que vamos a colocar en el cociente. Ejemplo. Dividir 83725 ÷ 35

83’725 3513 7 24

83’725 35

.31

EJERCICIOS

1- Planteamos la operación 837,25 ÷3,5 837̀,25 3,50

2- Para dividir dos números decimales se iguala el número de decimales en el dividendo y en el divisor, añadiendo ceros donde sea necesario.

83725 350

3- Dividimos de acuerdo al procedimiento utilizado cuando el divi-sor tiene mas de dos cifras.

837,25 3501372 239,21 3225 750 500

LA DIVISIÓN (continuación)

Semana 7 Semana 7

2- Resuelve en tu cuaderno las siguientes operacionesa. 31 85 ÷ 7d. 12,615 ÷ 8g. 15,816 ÷ 9 j. 125,812 ÷ 5m. 14,1 28 ÷ 7

b. 328 ÷ 12e. 1516 ÷ 10h. 816 ÷ 15k. 7.128 ÷ 14n. 8.136 ÷ 16

c. 458,716 ÷ 125f. 128,315 ÷ 121i. 321,128 ÷ 455l. 725,108 ÷ 421o. 968,112 ÷ 123

M AT E M ÁT I C A 5˚ Semestre - Radio Fe y Alegría … · 1- Hallar el MCD de los números: 78,...

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