LUCA PACIOLIEL GRAN MATEMATICO DE LA EDAD MEDIA

Ancdotas MatemticasGrandes MatemticosMatemticos y FsicosUn Problema Muy Dificil

PACIOLI Luca (1445 - 1517) Naci en 1445 y muri en 1517 en Sansepolcro(1), Italia. Su padre fue Bartolomeo Pacioli, aunque no fue criado en su casa paterna. De chico vivi con la familia Befolci en Sansepolcro, a unos 60 km. de Perugia.(2)Piero della Francesca(3) terna un estudio en Sansepolcro, donde Pacioli habra recibido sus primeras enseanzas de Matemtica. Pacioli tena un gran conocimiento del trabajo de della Francesca, el cual influy mucho en Los escritos de Pacioli. An joven, Pacioli se traslada a Venecia(4), y comienza a trabajar como tutor de uno de Los hijos de un adinerado mercader llamado Antonio Rompiansi. Pacioli aprovecha su estada en Venecia para profundizar los estudios bsicos adquiridos con della Francesca. Estudia Matemtica con Domenico Bragadino. En esta etapa, Pacioli gana experiencia docente en su rol de tutor y en los negocios atendiendo las actividades comerciales de Rompiansi. Durante su estada en Venecia escribe su primer trabajo, que termina en 1470, un libro de Aritmtica dedicado a su empleador. Al morir Rompiansi, en 1470 se traslada a Roma, a la casa de Leone Alberti, quien era secretario en la Cancillera Papal. Ah comienzan sus relaciones con la Iglesia. Comienza a estudiar teologa y se convierte en fraile de la Orden Franciscana. En 1477 Pacioli comenz a viajar enseando Matemtica, particularmente Aritmtica, en varias universidades. De 1477 a 1480 lo hizo en la Universidad de Perugia, luego lo hizo en Zara(5), en Npoles y en Roma. (1)Pequeo pueblo aL sur de La Toscana, cerca de FLorencia, Italia.(2)Ciudad de ItaLia central, capital de la provincia de Perugia y de La regin de Umbria.(3)Piero delta Francesca (c. 1420-1492), pintor italiano del temprano renacimiento. Fue el primer pintor en intentar aplicar de manera sistemtica la perspectiva geomtrica a la pintura.(4)Ciudad y puerto deL noreste de ItaLia, en La regin de Vneto, capital de La provincia de Venecia.(5) Actual Zadar, en Croacia. Form parte del Imperio Veneciano.En 1489 regresa a Sansepolcro. Es aqu donde trabaja sobre su obra ms famosa, Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalta, que dedic a Guidobatdo, duque de Urbino , de quien Pacioli haba sido tutor. Pacioli viaja a Venecia en 1494 para publicar su obra Summa. Este libro es una recopilacin de la Matemtica conocida hasta el momento, no muestra ideas originales. Comprende cinco partes principales: la primera, la ms importante y extensa se ocupa de Aritmtica y lgebra, la segunda es la aplicacin de ambas a la prctica comercial, la tercera se ocupa de la tenedura de Libros, la cuarta de los distintos sistemas monetarios y en la quinta considera la Geometra pura y aplicada. En el primer tratado considera los nmeros perfectos e imperfectos, su naturaleza, Los sistemas de numeracin decimal, las progresiones aritmticas y geomtricas, trata acerca de Las fracciones y de las operaciones que con ellas se hacen, cmo se puede simplificar y buscar el mximo comn divisor, la teora de Las proporciones, que rige a todas Las cosas, la importancia de la proporcin en La medicina, las proporciones en la mecnica, mezcla de colores, arquitectura, proporciones en el arte militar, considera las diferentes operaciones con los polinomios, ecuaciones de grado superior, inferior y de cuarto grado, y exponenciales. Las partes segunda, tercera y cuarta tratan de aritmtica comercial, tenedura de libros, y monedas, una extensa exposicin de La partida doble. La quinta parte dedicada a la Geometra trata los tringulos y Los cuadrilteros, la superficie de polgonos y resolucin algebraica de los problemas relativos, teora del crculo, clculo de volmenes de figuras slidas. Tambin contiene un resumen de Los Elementos de Euclides, y estudia el tema de los juegos de azar, entre otros temas. A pesar de no hacer aportes nuevos, es el punto de partida del mayor progreso en Matemtica ocurrido en Europa en esos tiempos. En 1494 Ludovico Sforza se convirti en duque de Miln, y en 1496 invita a Pacioli a ensear Matemtica en su corte, a sugerencia de Leonardo da Vinci124, que era un entusiasta de la Matemtica, y trabajaba en la corte desde 1482. (Ludovico Sforza (1451-1508), miembro de la familia ducal italiana Sforza, que gobern Miln desde 1450 hasta 1535. Los Sforza patrocinaron a artistas como Leonardo da Vinci.)En Miln, Pacioli y Leonardo se hicieron amigos. Pacioli comienza a trabajar en su segundo libro famoso, Divina proportione. Los dibujos de este libro Los hizo Leonardo. Este libro se publica en 1509 y trata sobre la razn urea o nmero de oro (el nombre de nmero de oro se debe a Leonardo da Vinci), aquel para el que se cumple: a/b=a/(a+b), resolviendo esta ecuacin se obtiene que b=1.61803....., se designa con la letra griega Fi

El numero de oro 1,61803... Se juntan el inters matemtico y el inters artstico de Leonardo. Para numerosos artistas representa la mxima expresin de la Belleza, la proporcin perfecta, de ah que aparezca en innumerables edificios y obras de arte desde la antigedad hasta nuestros das. Es un libro de inters especial para los artistas y los historiadores generales de la cultura. En Los cuatro captulos habla de las reuniones milanesas, trata ampliamente de la importancia fundamental y universal de la Matemtica. Considera la divisin de una lnea en media y extrema razn (razn urea) que l llama divina proporcin, por semejanza, a Dios mismo. Entra en los factores para la construccin del pentgono y de cuerpos regulares, proporcin de las superficies y de su inclusin de Los cinco cuerpos en otros, trata de cuerpos dependientes de los regulares, esfricos y oblongos (cilindros, prismas, conos y pirmides). Leonardo da Vinci dibuj para Pacioli gran nmero de figuras geomtricas utilizadas. La segunda parte est dedicada a varios de sus queridos alumnos y discpulos, considera medidas y proporciones del cuerpo humano, en captulos posteriores se encuentran temas estrictamente arquitectnicos. El pintor Alberto Durero introdujo el uso de las proyecciones horizontal y vertical que tres siglos despus utilizara Monge. La razn urea - el nmero de oro Veamos algunas de las ocasiones en que aparece la razn urea. a) En un pentgono regular si d es la medida de una diagonal y la medida de un lado se cumple la relacin siguiente: d/l=//(d+l) (idntica relacin a la anterior pero con otras letras)

o dicho en palabras: La diagonal (d) es al lado (1) >-~-~ d como el lado es la diferencia entre la diagonal y \ el lado. (Tambin se dice que el lado es medio proporcional entre la diagonal y la diferencia entre la diagonal y el lado). La frmula anterior es una igualdad entre dos razones es decir es una proporcin. Pacioli, entusiasmado por sus propiedades la llam la proporcin divina. Nombre con el cual se conoce an esta relacin. Esta relacin, como ya vimos, la conocian los pitagricos. b) Una relacin fundamental De la proporcin anterior se puede deducir que la razn urea F cumple la relacin: F2 = F+1 o dicho de otra forma E es solucin de la ecuacin F2 - F - 1 = O (ecuacin de 2grado)c) Divisin de un segmento en una razn dada Decimos que el punto B divide al segmento AC en la razn r si el cociente: AB/BC = r. Si r = F (la razn urea), decimos que el segmento AC se ha dividido en extrema y media razn o que hemos realizado la divisin urea del segmento AC.

Si AB= x, BC= y la relacin x/y es el nmero ureo; su valor es 1,61803399... Si hemos realizado la divisin urea del segmento AC, decimos que el segmento AB es la seccin urea de AC. El nombre de divisin en extrema y media razn procede de Euclides. Las diagonales de un pentgono regular se cortan segn la razn urea. d) el rectngulo ureo es aquel en el cual la altura y el ancho estn en la proporcin 1 a F. Es armonioso en sus dimensiones. Rectngulo ureo

se cumple que: b/a=F = 1,618034... Curiosamente la mayoria de los rectngulos que nos encontramos en nuestra vida cotidiana son ureos. Por ejemplo las tarjetas de crdito, la cdula de identidad, un libro, un carnet o cualquier otro rectngulo que tengas a mano. Podemos dividir la medida ms larga entre la ms corta y comprobar si da un nmero aproximado a F. Veamos como construirlo. Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vrtices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectngulo. Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectngulo vale:

por lo que la proporcin entre lo dos lados es:

Justamente el Numero de oroUn rectngulo de oro tiene una caracterstica muy interesante: si se recorta de l un cuadrado, el rectngulo que queda sigue siendo un rectngulo de oro. Se observa con ms detalle en la figura:

si al rectngulo de oro grande Le quitamos eL cuadrado A, el rectngulo B sigue siendo de oro.

Pues bien, podemos realizar ese proceso tantas veces como queramos con Los sucesivos rectngulos de oro que vamos obteniendo, de forma que podemos trazar una espiral logartmica apoyndonos en los sucesivos cuadrados que se van formando. Numerosas conchas de moluscos y crustceos se desarrollan siguiendo este modelo de crecimiento, como por ejemplo el Nautilus. Construccion geomtrica de una rectngulo ureo

e) Tambin tos cuerpos humanos exhiben proporciones cercanas a La razn urea, como puede verse comparando la altura total de una persona (b) con la que hay hasta su ombligo (a). Adems, si se divide La distancia del ombligo a los pies entre la del ombligo a La cabeza tambin se obtiene F. Existen tambin proporciones ureas en pies, brazos, en incluso en Los dedos: Las falanges dividen el dedo segn proporciones de oro. El hombre ideal que concibe Leonardo es aquel cuyas dimensiones cumplen con esta relacin.

El hombre de Vitrubio (Dibujo de Leonardo)Recientemente, estudios cientficos avanzados han demostrado que lo que intuan estos hombres era cierto. En el campo de la odontologa, se ha descubierto que La dentadura va creciendo siguiendo proporciones ureas, y de la misma forma lo hacen otros rasgos faciales, como (a sonrisa respecto al arco dental, la distancia entre los ojos y muchas ms. Tal vez por eso los puntos bsicos de acupuntura se distribuyen en la cara en diferentes rectngulos de oro. Tom Cruise es uno de Los actores ms famosos del mundo. Casualmente posee unas proporciones ureas casi perfectas: sus ojos, boca, dientes, nariz, cabeza, estn distribuidos de forma que la proporcin de oro aparece constantemente.

Lo mismo ocurre con la actriz Penlope Cruz.

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