MAGIA MATEMATICA:

DE PACIOLIA GARDNER

por Fernando Blasco

XLV Olimpiada Matematica Espanola

Sant Feliu de Guixols

26-28 marzo 2009

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Los inicios de la relacion existente entre magia y ciencia se remonta a un pasa-

do que ya nos queda bastante lejano, pero que se mantiene hasta nuestros dıas. La

magia ha aparecido mezclada con la ciencia, en algunas ocasiones acompanandola

y en otras oponiendose a ella. La RAE define la magia como arte o ciencia oculta

con que se pretende producir, valiendose de ciertos actos o palabras, o con la intervencion

de seres imaginables, resultados contrarios a las leyes naturales. Si al nombre “ma-

gia” le ponemos el apellido “blanca” se define ahora como la que por medios nat-

urales obra efectos que parecen sobrenaturales. Para muchos de nuestros estudiantes

las matematicas se presentan como algo magico en el sentido de cabalıstico, o de

hechicerıa, pero aquı, como cientıficos, nos preocuparemos por los medios natu-

rales (mas concretamente medios matematicos) que pueden producir efectos que

realmente parecen sobrenaturales.

El interes por la magia que han demostrado personajes historicos nos hara hablar

de Cardano, Leonardo Da Vinci o Luca Pacioli. Seneca tambien muestra interes,

como espectador, por los juegos de magia: en su cuadragesimo quinta carta a Lu-

cilio describe que habıa visto un fascinante truco en el que unas bolas aparecıan

y desaparecıan bajo unos cubiletes, pero que al conocer como se hacıa el juego,

este perdio todo su interes. Seneca nos da la pista de por que los juegos de magia

nunca deben explicarse (aunque en este libro nos saltaremos un poco esa norma).

Otro filosofo que describe juegos de magia es Roger Bacon y a el se debe la frase

“la mano es mas rapida que la vista”, utilizada frecuentemente al referirse a los

magos prestidigitadores que, como el nombre indica, son los que tienen velocidad

en los dedos.

Uno de los primeros matematicos capaces de hacer magia fue Heron de Alejan-

drıa, que en su Pneumatica incluıa un sistema automatico de apertura de puertas

en un templo. Hoy puede parecernos un sistema muy atrasado, comparado con

el de apretar la tecla de un mando a distancia que funciona por infrarrojos y que,

dicho sea de paso, a mı sigue pareciendome magia.2

FIGURA 1. Sistema de apertura de puertas

En esta documentacion no vamos a explicar muchos juegos matematicos, ya

que preferimos que primero se vean los juegos y se disfruten. Esto provocara que

nos preguntemos por que es posible que eso ocurra y sera mucho mas facil intro-

ducir algun concepto matematico. En estas notas solo queremos dar unas pince-

ladas que permitan ver las posibilidades que encierra esta disciplina y mostrar

como la matematica puede ser muy divertida. En el curso se veran diferentes

juegos de magia matematica.

Algunos juegos matematicos

Como en estas notas el termino “magia” lo utilizaremos como sinonimo de

ilusionismo no nos puede faltar como referencia la cartomagia y el uso de las3

matematicas en esta parcela de la magia. Girolamo Cardano desempena un pa-

pel muy importante en la historia de las matematicas, puesto que es el autor del

primer libro impreso en el que se hace mencion a un nuego de magia con cartas.

Cardano era aficionado a las “artes oscuras”, y es sabido que fue excomulgado

por elaborar la carta astral de Jesucristo. Nosotros no vamos a llegar hasta ese

punto con el primer juego que vamos a describir, pero va a tener que ver con el

horoscopo. Necesitaremos 14 cartas: dos series completas de las cartas del 1 al 7

(de palos diferentes) .

1. Ordena uno de los conjuntos de 7 cartas del As al 7 (identificaremos esos

naipes con los dıas de la semana: lunes a domingo). Situa sobre la mesa

esas cartas, ordenadas, de izquierda a derecha.

2. Ordena el otro conjunto de cartas tambien del As al 7, de modo que cuando

la baraja esta dorso arriba la primera de las cartas sea el As y la de abajo

del monton el 7.

3. Ahora haremos operaciones para alterar el orden de las cartas. Comienza

cortando en dos partes y completando el corte.

4. Reparte en dos montones, alternativamente a derecha e izquierda y dorso

arriba, las siete cartas.

5. Coloca un monton sobre el otro, en el orden que quieras. Si quieres corta

el mazo y completa el corte.

6. Para desordenar un poco mas las cartas vuelve a repartirlas en dos mon-

tones a derecha e izquierda.

7. Pon uno de los montones sobre el otro. Corta y completa el corte, si quieres.

8. Vuelve a repartir una vez mas en dos montones. Pon un monton sobre el

otro.

9. Ya habremos desordenado bastante la baraja. Levanta la carta de arriba

del mazo y mira cual es su valor (si estas siguiendo estas instrucciones

con otra persona veras que habeis llegado a valores distintos, la suerte es

la que ha decidido que carta se ha situado arriba).

10. Pasa, de una en una, tantas cartas de arriba a abajo como indica el valor

del naipe que has visto, contandole (e.g. si era un dos debes pasar, de una

en una, las dos primeras cartas del mazo de arriba a abajo).4

11. ¿Preparado para la suerte? Vas a situar las cartas en una fila paralela a

las que ya tienes sobre la mesa. Para ello das la vuelta al mazo de forma

que se vean las caras y la primera carta que salga la situas debajo del As

(correspondiente al lunes), la segunda debajo del 2, ... y la ultima debajo

del 7, correspondiente al domingo.

12. Lectura del horoscopo: si no coincide el valor de ninguna de las cartas de la

segunda fila con la que se encuentra encima de ella vas a tener una semana

horrible. Si coincide una carta la semana sera un poco mejor. Si coinciden

las siete sera una semana fantastica (sin animo comercial). ¿Como te ha

ido?

Ese primer ejemplo muestra la idea de lo que es un juego con cartas en el que

intervienen las matematicas. Normalmente a estos juegos se les llama en magia

“juegos automaticos”.

Ya hemos mencionado que la primera mencion a un juego de cartomagia que

aparece en prensa fue hecha por Cardano, pero la matematica recreativa ha estado

presente en los libros de matematicas desde antes de que Gutenberg inventara la

imprenta. La descripcion del primer juego de magia del que se tiene constancia

escrita aparece en un manucrito del que son coautores Luca Pacioli y Leonardo

da Vinci: De Viribus Quantitatis, donde mencionan juegos de magia numerica.

Libros posteriores aunan matematicas, fısica, quımica y magia, siendo destacado

el titulado Recreations Mathematiques et Phisiques, escrito por Jacques Ozanam. En

su primera edicion, ademas de juegos cientıficos incluye juegos de magia tales

como la cuerda rota y recompuesta, la cinta infinita que sale de la boca o la carta

que viaja desde una baraja al interior de un sombrero, juegos que hoy siguen

divirtiendo al publico.

Pacioli, ademas de mencionar juegos de magia con cartas plantea como prob-

lema algo que puede pensarse como puzzle matematico o como juego de magia,

dependiendo del modo en el que se presente.

La situacion inicial es la descrita en la figura 2: un aro y un anillo de cuerda (una

cuerda con los extremos pegados o anudados) de forma que el anillo de cuerda

cuerda pase por el interior del aro. La cuerda se tensa y queda sujeta entre los

pulgares de una persona que nos ayude (esta vez su unica mision consistira en5

sostener la cuerda) o, en su defecto, en el respaldo de una silla. Va a convenir

que el anillo de cuerda quede paralelo al suelo. Lo sencillo consistirıa en liberar

la cuerda por uno de los pulgares y sacar entonces el anillo. Ese movimiento no

esta permitido, no pueden sacarse bucles de cuerda por encima del pulgar.

FIGURA 2. Posicion inicial

El procedimiento es magico y complicado. Se puede seguir la descripcion con

ayuda de la figura 3.

1. El mago se pone frente al espectador. Situa el ındice de su mano izquierda

en el punto A del esquema 1 por la parte exterior de la cuerda. Hace que un

bucle pase por encima del trozo de cuerda que esta mas cercano a nosotros.

A continuacion, situando el ındice de la mano derecha en el punto B hace

que pase un bucle, siempre por encima del otro lado de la cuerda, hacia

donde se encuentra nuestro ayudante. El resultado debe ser similar al que

se muestra en el esquema 2.

2. El bucle que habıamos arrastrado con el ındice de la mano izquierda (la

zona que aparece sombreada en el esquema 2) se lleva hacia el pulgar

izquierdo del espectador, para que quede sujeto por este, del modo como

se representa en el esquema 3.

3. Cogiendo ahora la cuerda con el ındice izquierdo por el punto senalado

con una flecha en el esquema 3 formamos un bucle que debe insertarse

en el pulgar izquierdo del espectador. Para que se muestre que la cuerda

no escapa por ahı dejamos nuestro ındice sobre el pulgar del espectador,

tocandolo. En el esquema 4 hemos difuminado todos los trazos correspon-

dientes a movimientos anteriores y hemos dejado en trazo visible este ulti-

mo paso. Al crear ese bucle y hacer ese movimiento el anillo insertado en

la cuerda se desplaza hacia nuestra derecha.6

4. Liberamos ahora el ındice de nuestra mano derecha y aflojamos la tension

de la cuerda. Volviendo a tensar la cuerda, mediante una separacion de las

manos del espectador, el anillo queda liberado y la cuerda insertada entre

los dos pulgares. ¡Magico!

Dejando un poco de lado la ciencia recreativa en general para centrarnos en

la magia matematica, debemos hablar de Martin Gardner. Su libro Mathematics,

Magic and Mystery es el primer libro dedicado ıntegramente a la magia matematica,

segun dice este autor en el prologo al libro de William Simon Mathematical Magic,

que resulta ser el segundo libro de magia matematica. Posteriormente han apare-

cido muchos mas libros en los que se describe la matematica que interviene en

algunos juegos de magia. No solo se escriben libros sobre magia matematica, sino

tambien artıculos en revistas cientıficas matematicas y en revistas de educacion

matematica. Gardner no era matematico, sino un periodista muy bien asesorado

por grandes matematicos, pero ademas era un gran mago, creador de numerosos

efectos, y esto se nota en todos sus libros de matematica recreativa.

En el lado opuesto a Martin Gardner nos encontramos con Harry Houdini, que

incluye en su libro Paper Magic una demostracion del teorema de Pitagoras, en-

tendida como juego de magia: con dos cuadrados formar uno solo. Este juego

tambien estarıa en la frontera de la magia, las matematicas y los puzzles: partien-

do de la figura 4 y recortando los triangulos sombreados para despues colocar

las tres piezas resultantes de modo que quede un cuadrado, habremos demostra-

do el teorema de Pitagoras: el lado del cuadrado que se obtiene coincide con la

hipotenusa del triangulo sombreado que aparece en la figura y los lados de los

cuadrados originales eran, respectivamente, los catetos de los triangulos som-

breados que hemos utilizado en el puzzle.

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FIGURA 3. Liberacion del aro

Cartomagia matematica8

FIGURA 4. Teorema de Pitagoras

Persi Diaconis es un matematico que trabaja en Stanford (“la fabrica de ge-

nios”). Ser profesor en esa Universidad implica excelencia como matematico. Lo

curioso es que el llego a las matematicas, y a la estadıstica, gracias a la magia.

En su juventud viajo acompanando al mago Dai Vernon, que fue quien cambio

el concepto de la magia de salon a la magia de cerca, hecha a escasos centımetros

del espectador. Diaconis descubrio lo utiles que pueden ser las matematicas en la

magia. Quizas mas conocido que Diaconis es Raymond Smullyan, autor de mu-

chos libros de divulgacion de matematica y logica. Pues bien, el tambien es mago.

La relacion de las matematicas y la magia continua.

Diaconis ha probado que la maxima entropıa en una baraja se alcanza cuan-

do esta se mezcla, por hojeo, 7 veces. La mezcla por hojeo, o mezcla americana

consiste en dividir el mazo en dos montones mas o menos iguales, enfrentarlos y,

con la ayuda de los pulgares de ambas manos ir liberando cartas poco a poco de

modo que se intercalen las de los dos paquetes (ver figura 5).

FIGURA 5. Mezcla americana9

Esa mezcla es la que se ve en muchas pelıculas y que hoy tambien hace mucha

gente en Espana. Es una mezcla mas elegante que la tıpica mezcla por arrastre que

se usa en el tute o el mus pero ... ¿es mejor mezcla?

Podemos simular una mezcla americana (figura 6) dividiendo el mazo en dos

montones mas o menos iguales dejandolos sobre la mesa, para seguir apretando

uno de los montones hacia abajo al mismo tiempo que giramos la muneca (co-

mo si estuviesemos cerrando una llave de paso o apretando una tuerca con las

manos) de modo que consigamos en el monton una estructura con una forma

similar a la de una escalera de caracol. A continuacion hacemos lo mismo con el

otro monton. El siguiente paso que hay que hacer es acercar los montones, y jun-

tarlos en uno solo llevando las manos perpendiculares a la mesa. De este modo

queda un revoltijo que estructuralmente es una mezcla americana. Solo nos resta

cuadrar la baraja para poder operar con ella.

FIGURA 6. Variante de la mezcla americana

Dicho esto, propongo hacer el siguiente experimento:

Toma una baraja de 52 cartas y separa las 26 cartas rojas de las 26 cartas negras.

1. Situa las 26 cartas rojas sobre las 26 negras. Te quedaran las cartas de cora-

zones y rombos en la parte superior y las de picas y treboles en la inferior.

2. Reparte 4 cartas sobre la mesa, como si fueran los cuatro vertices de un

cuadrado.10

3. Lo que vamos a hacer ahora es repartir el resto del mazo echando cartas

de una en una sobre las cuatro primeras que tenıamos sobre la mesa. No es

necesario repartir el mazo en orden: puedes seguir un orden, luego inver-

tirlo, dar cartas en diagonal, etc. Lo importante es que los cuatro montones

tengan mas o menos el mismo numero de cartas.

4. Elige dos de los montones, los que tu quieras, y mezclalos a la americana.

5. Mezcla, tambien a la americana, los otros dos montones que te quedan

sobre la mesa.

6. Ahora debes mezclar a la americana los dos montones grandes que te han

quedado.

7. Tienes en este momento la baraja mezclada (y bien mezclada). Reparte las

16 cartas superiores encima de la mesa, una tras otra, dejandolas con el

dorso hacia arriba.

8. Reparte del mismo modo las 20 cartas siguientes formando otro monton,

a la derecha del anterior.

9. Deposita el monton de 16 cartas que te quedan en la mano a la derecha de

los otros dos.

10. Coge el monton central y viendo las caras separa las cartas rojas de las

negras. Comprueba que de las 20 cartas 10 son rojas y 10 son negras.

11. Recuerda que has mezclado la baraja tres veces. Voltea el monton de la

izquierda y comprueba que esta formado solamente por cartas negras.

12. Voltea el de la derecha y, si puedes, extiende las cartas sobre la mesa.

¿Crees que habıas mezclado la baraja suficientemente a fondo?

Alex Elmsley no era matematico, pero estaba muy proximo: era informatico y

descubrio una relacion entre las mezclas perfectas (denominadas mezclas faro) y

el sistema binario. Elmsley tambien es creador de diferentes tecnicas manuales

utilizadas por los cartomagos profesionales, por ello no podemos referirnos a el

como un simple “aficionado” (la palabra amateur serıa mas correcta, dado que nos

estamos refieriendo a un no profesional pero de mas nivel que muchos magos que

se dedican profesionalmente al ilusionismo). En Espana Ramon Rioboo es uno de

estos “grandes aficionados” (profesionalmente se dedicaba a algo que no tenıa

nada que ver con la magia) que empezo en el ilusionismo siendo bastante mayor y

que ha creado muchos efectos basados, directa o indirectamente, en propiedades11

matematicas. Otro mago espanol que utiliza muchas propiedades matematicas

en sus juegos es Woody Aragon.

La mezcla faro es la mezcla “perfecta”: la que se consigue dividiendo la baraja

en dos mitades iguales (de 26 cartas cada una si utilizamos una baraja france-

sa) y en la al mezclar se intercalana las cartas proviniendo una de cada monton.

Hacer correctamente esta mezcla requiere entrenamiento, pero es posible hacerla.

Veremos algunos juegos donde aparecera. Elmsley hacıa mezclas faro interiores

(In-shuffle) y mezclas faro exteriores (Out-shuffle), dependiendo de como comen-

zaba a intercalar las cartas: se fijaba si la primera carta del nuevo monton provenıa

de la mitad inferior o de la mitad superior. Pues bien, escribiendo OIIOO para de-

notar la secuencia de mezclas que habıa hecho comprobo que la primera carta del

mazo iba a parar a la posicion representada por el numero binario 01100. ¿No es

magico y sorprendente?

El cursillo de magia matematicaTambien encontramos un hecho paradojico en la magia matematica. A los es-

tudiantes no les gusta conocer la prueba de los resultados matematicos. Suelen

decir que ellos se lo creen. Sin embargo quieren saber en que se basan las proezas

magicas. Como elemento didactico la matemagia es interesante puesto que per-

mite preguntar el porque de algunos resultados.

Otros divulgadores de la matematica de gran exito, Rob Eastaway y Jeremy

Windham, en su libro Why do buses come in threes? hacen el comentario siguiente:

“La mas matematicas estan llenas de curiosidades que pueden utilizarse co-

mo base para juegos. Quizas esto explica por que tantos magos son tambien afi-

cionados a las matematicas, y no es una coincidencia que Lewis Carroll, el gran

matematico y autor infantil, tambien amara la magia y los puzzles. Quizas de-

berıa haber mas profesores de matematicas que se convirtieran en magos”

Y estos dos autores, hacia el final de su libro escriben:

“Hemos dejado el capıtulo sobre magia matematica para el final por una razon.

Los trucos de magia demuestran una de las aplicaciones mas practicas de la

matematica, que es hacer la vida mas divertida”12

A menudo nosotros, nuestros estudiantes y tambien el publico en general pen-

samos que las matematicas son algo serio, difıcil y cuya utilizacion practica no

se ve. De este modo, desde los niveles educativos de menor edad (que no son los

niveles educativos inferiores) puede mostrarse una aplicacion practica sencilla de

la matematica y evitar con ello el rechazo inicial que supone para muchos.

Los contenidos que se pueden presentar mediante juegos de magia son muchos

y variados:

Probabilidad

Estadıstica

Teoremas de punto fijo

Bases en espacios vectoriales

Sistema de numeracion decimal

Sistema de numeracion binario

Teorema de Pitagoras

Teorema de Thales

Matrices

Determinantes

Aritmetica Modular

Combinatoria

Ecuaciones

Calculo mental

Topologıa

(Razonamiento)

(Algorıtmica)

(Causalidad)

(Resolucion de problemas)

No queremos aquı hacer una descripcion exhaustiva de las posibilidades, porque

ademas serıa imposible. Creemos que casi cualquier concepto matematico puede

introducirse utilizando algun juego de magia. Dada la limitacion que suponen 8

horas no van a poder tocarse todos los temas, y serıa bueno para el desarrollo

de las clases que los participantes pensasen que temas concretos prefieren que

desarrollemos.13

Hemos dejado para el final el comentario de otro divulgador de la ciencia y

conocido escritor de clasicos de la ciencia ficcion, siendo el mas conocido 2001,

una odisea del espacio. Arthur C. Clarke estudio matematicas y fısica en el presti-

gioso Imperial College de Londres. Nos dejo tres leyes que relacionan la ciencia, la

ficcion y la ciencia-ficcion. En particular son aplicables a la matematica, y tambien

a la magia:

1. Cuando un viejo y distinguido cientıfico determina que algo es posible,

probablemente esta en lo correcto. Cuando determina que algo es imposi-

ble, probablemente esta equivocado.

2. La unica manera de descubrir los lımites de lo posible es aventurarse hacia

lo imposible.

3. Cualquier tecnologıa suficientemente avanzada es indistinguible de la ma-

gia.

Referencias

En el curso mencionaremos algunos libros o artıculos en los que se tratan temas

relacionados con la magia matematica.

La referencia principal, porque en ella expongo “casi todo” lo que se es:

- Blasco, Fernando. Matemagia. Temas de Hoy. Madrid, 2007.

Libros que tratan sobre los inicios de la matematica recreativa, la magia y la

fısica recreativa, y que mencionaremos en algun momento del curso.

- Pacioli, Luca. De Viribus Quantitatis. Codice 250 de la Biblioteca Universitaria

de Bolonia. Compilado entre 1496 y 1508. Disponible en

http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Pagine/index.html

- Cardano, Girolamo. De Subtilitate. La primera edicion del libro data de 1550.

La edicion de 1663 esta disponible en http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de

- Aurel, Marco. Libro Primero de Arithmetica Algebratica, J. Mey, Valencia,

1552.

- Bachet, Claude Gaspar. Problemes Plaisants et Delectables qui se font par les

nombres. Parıs, 1612.14

- Ozanam, Jacques. Recreations mathematiques et physiques. El libro fue es-

crito en 1694. La edicion de 1778, realizada por Jean Ettiene Montuela, esta disponible

en http://cnum.cnam.fr/fSYN/8PY9.html

El mayor divulgador de la matematica del siglo XX y mago aficionado merece

un apartado para el solo. Es autor de muchos otros libros y, en casi todos, hay

algun capıtulo en los que habla de magia matematica. He aquı una seleccion de

los mismos:

- Gardner, Martin. Mathematics, magic and mystery. Dover. 1956.

- Gardner, Martin. Nuevos pasatiempos matematicos. Alianza Editorial, 1980.

- Gardner, Martin. Carnaval matematico. Alianza Editorial, 1980.

- Gardner, Martin. Circo matematico. Alianza Editorial, 1983.

- Gardner, Martin. Festival magico-matematico. Alianza Editorial, 1983.

Otros textos dedicados a la magia matematica:

- Simon, William. Mathematical magic. Dover. 1964.

- Heath, Royal V. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers. Dover.

1953.

- Munoz Santonja, Jose. Ernesto el aprendiz de matemago. Nivola. 2003.

- Alvarez, Venancio, Fernandez, Pablo y Marquez, M. Auxiliadora. Cartomagia

matematica y cartoteoremas magicos en la Gaceta de la Real Sociedad Matematica

Espanola. Vol 5 (3), 2002, 711-735.

- Estalella, Jose. Ciencia Recreativa. Ajuntament de Barcelona. 2008.

Historia de la matematica.

- Boyer, Carl B. Historia de la matematica. Alianza Editorial. 1986.

- Karlson, Paul. La magia de los numeros. Labor. 1960.

- Gonzalez Urbaneja, Pedro Miguel. Pitagoras. El filosofo del numero. Nivola

2001.

Historia de la magia. Los dos unicos libros que comentamos nos muestran una

historia ilustrada de la magia. En el de Melbourne Christopher aparecen muchas

ilustraciones de la epoca, incluyendo los carteles de presentacion de los magos.

El de Angel Idıgoras tiene caricaturas de ilusionistas.15

- Christopher, Milbourne. Magic: a Picture history. Dover. 1992.

- Idıgoras, Angel. Aventuras de 51 magos y un fakir de cuenca. Paginas. 1999.

Magia general. En este listado aparecen tanto algunos de los libros a los que

nos hemos referido en el texto como otras referencias muy buenas para empezar

con juegos de magia no necesariamente matematicos.

- Giobbi, Roberto. Gran Escuela Cartomagica (5 volumenes). Paginas. 2004.

- Ciuro, Wenceslao. Juegos de mano de bolsillo (6 volumenes). Paginas. 2002.

- Blass, Jorge. Magia para no dejar de sonar. Martınez Roca. 2003.

- Tamariz, Juan. El mundo magico de Tamariz. Ediciones del Prado. 1995.

- Canuto, Vicente. Cartomagia fundamental. ICASA. 2003.

- Houdini, Harry. Paper Magic. Originalmente publicado en 1922 existe una

reimpresion hecha por Kessinger Publishing. 2003.

Creo interesante incluir tambien las referencias a algunos de los videos que se

van a ver, o comentar, en el curso:

Jerry Andrus (ilusiones opticas)

http://es.youtube.com/watch?v=Frm6sfswiGo

Crecen y encogen http://es.youtube.com/watch?v=6oEJ10fnZXk

Ilusiones de Bill Nye

http://es.youtube.com/watch?v=WvVfcyVCdNA

Jerry Andrus (caja)

http://es.youtube.com/watch?v=SErHThEGTDc

Dragon moviendose

http://es.youtube.com/watch?v=YoufjevVGZ0

El pdf con el dragon

http://www.grand-illusions.com/images/articles/opticalillusions/dragon illusion/dragon.pdf

Ilusion castillo colores

http://es.youtube.com/watch?v=417UqoEqNmY

Ilusion optica de la casa

http://es.youtube.com/watch?v=jIpdajUHVtI

Los que se pasan la pelota de baloncesto

http://es.youtube.com/watch?v=7-rUBENnVaE16

Estos son enlaces a videos de un minuto y medio, de una entrevista en la revista

Quo. La magia y la explicacion estan en videos separados. Puede que os sirva

para recordar algunas de las cosas que estudiaremos.

http://es.youtube.com/view play list?p=A7F8255C56413D50

Entrevista en ”Vive la ciencia”. Aquı se grabo el juego de aro y cuerda de Pacioli

descrito en estas notas, por si se os olvida algun movimiento.

http://es.youtube.com/watch?v=i46dVfcfqOQ

Entrevista en Tres14 (tve2)

http://www.tres14.rtve.es/vids/PGM24-entrevista.flv

Conferencia en el Creamat, del Departamento de Educacion de la Generalitat

(16.10.08)

http://video.xtec.cat:8080/ramgen/creamat/creamatconf161008.rm

Otros enlaces interesantes:

La pagina de divulgacion de la Real Sociedad Matematica Espanola. Hay una

seccion de Magia Matematica conducida por Pedro Alegrıa, profesor de la Uni-

versidad del Paıs Vasco.

http://www.divulgamat.net

Ciencia en Accion, donde hay mucho material para utilizar en clase. Os animo

a que participeis en la proxima edicion. De algun modo Ciencia en Accion y Rosa

M. Ros (su directora) tienen la culpa de que mi aficion por la magia matematica

no me la guarde para mı solo...

http://www.cienciaenaccion.org/

La seccion Card Colm en la web de la Mathematical Association of America,

conducida por Colm Mulcahy, del Spellman College en Atlanta.

http://www.maa.org/columns/colm/cardcolm.html

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