LT.MEDIA

UNIDAD I I.- LINEAS DE TRANSMISION CORTAS Y MEDIANAS Y LARGAS

LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD CORTA

En esta unidad se presentan modelos aproximados de líneas de transmisión de longitud corta y mediana, como un medio de introducir los parámetros ABCD.

Conviene representar una línea de transmisión con la red de dos puertos que se muestra en la figura II.I en donde Vs e s son las tensión y la corriente en el extremo emisor, y V R e IR son la tensión y la corriente en el extremo receptor. La relación entre las cantidades en el extremo emisor y el receptor se puede escribir como:

Vs = AVR + BR volts Ecuación (1)

IS = CVR + DR A Ecuación (2)

O bien, en el formato matricial,

Vs A B VR Ecuación (3)s C D IR

en donde A, B, C, y D son parámetros que dependen de las constantes R, L, C, y G de la línea de transmisión. En general, los parámetros ABCD son numero complejos, A y D no tiene dimensiones. B tiene las unidades de ohm y C, en siemens. En los textos de teorías de redes [5], se demuestra que los parámetros ABCD se aplican en redes lineales, pasivas, bilaterales de dos puertos, con la relación general siguiente:

AD – BC =1 Ecuación (4)

El circuito de la Figura (II.2) representa una línea de transmisión corta, por lo común aplicada a líneas elevadas de 60 Hz con menos de 80 km de largo. Solo se incluyen la resistencia y la reactancia en serie. La admitancia en derivación se desprecia. El circuito se aplica a líneas monofásicas o a trifásicas completamente transpuestas que operen en condiciones balanceadas. Para una línea trifásica completamente transpuesta, Z es la impedancia en serie Vs y VR son las tensiones línea a neutro en secuencia positiva IS e IR son las corrientes en secuencia positiva.

Con el fin de evitar confusión entre la impedancia total en serie y la impedancia en serie por unidad de longitud, se usará la notación siguiente:

Figura II.1 Representación de una red de dos puertos

EMISOR Is IR RECEPTOR Red de

Vs Dos puertos VR

Figura (II.2) Línea corta de transmisión Is Z = zℓ = (R + JωL)ℓ IR

+ + Vs VR

- -

Línea corta < (menos) de 80 km = 50 millas

z = R + jωL Ω/m, impedancia en serie por unidad de longitudy = G + JωC S/m, admitancia en derivación por unidad de longitudZ = zt Ω, impedancia total en serieY = yl S, admitancia total en derivaciónl = longitud de la línea m

Hay que recordad que, para las líneas de transmisión aéreas, suele despreciarse la conductancia en derivación, G.

Los parámetros ABCD para la línea corta de la Figura (II.2) se obtienen con facilidad si se escribe una ecuación de la LKV y una de la LKC, como sigue:

Vs = VR + ZIR Ecuación (5)Is = IR Ecuación (6)

O, en forma matricial,

Vs 1 Z VR Ecuación (7)Is 0 1 IR

Comparando las ecuaciones 7 y 3, los parámetros ABCD para la línea corta son

A = D = 1 por unidad Ecuación (8)B = Z Ω Ecuación (9)C = 0 S Ecuación (10)

LINEAS DE TRNSMISION DE LONGITUD MEDIA

Para las líneas de longitud media, que por lo general varían de 80 a 250 km a 60 Hz, es común concentrar la capacitancia total en derivación y ubicar la mitad en cada extremo de la línea. En la Figura (II.3) se muestra un circuito de este tipo, conocido como circuito π nominal.

Para obtener los parámetros ABCD del circuito π nominal, en primer lugar se puede observar que la corriente en la rama en serie de la figura II.3 es igual a IR + . En seguida, escribiendo una ecuación de la LKV,

VS = VR + Z (IR + )

VS = (1 + )VR + ZIR Ecuación (11)

Del mismo modo, escribiendo una ecuación de la LKV en el extremo emisor,

FIGURA (II.3) Línea de transmisión de longitud mediana; circuito π nominal. Is Z = zl IR

+ +VS VR

- -

IS = IR + + Ecuación (12)

VRY2

VRY2

Yz2

Y = Yl2 2

Y2

VRY2

VSY2

Usando la ecuación (.11) en la (.12)S = IR + + 1+ VR + ZIR = Y 1+ VR + 1+ IR Ecuación (13)

Si se escriben las ecuaciones (.11)y (.13) en forma matricial,Vs VR

= Ecuación (14)

IS R

Por lo tanto, al comparar las ecuaciones (.14) y (.13)

A = D = 1 + [por unidad] Ecuación (15)

B = Z [Ω] Ecuación (16)

C = Y 1 + [S]

Para el cálculo se ha utilizado la metodología descrita por J.R. Harvey & R.E. Larson"Creep Equations of Conductors for Sag - Tension Calculations" IEEE CP 72 190-2"FORMULA EMPLEADA PARA CONDUCTOR ACSR:

Ecuación (17)

Note que tanto para la línea corta como para la de longitud media se verifica la relación AD – BD = 1. Se puede notar que la línea es la misma cuando se ve desde cualquier de los dos extremos, A = D.

En la Figura (II.4)se dan los parámetros ABCD para algunas redes comunes, incluyendo una red con impedancia en serie que constituye una aproximación a una línea corta y un circuito π que es una aproximación de una línea de longitud media. También se podría tener una aproximación de una línea de longitud media a través del circuito T que se muestra en la Figura (II.4), concentrando la mitad de la impedancia en serie en cada extremo de la línea. También se dan los parámetros ABCD para las redes en serie, los cuales se obtienen convenientemente al multiplicar las matrices ABCD de las redes individuales.

Los parámetros ABCD se pueden usar para describir la variación de la tensión en la línea con la carga en esta. La regulación de la tensión es el cambio en la tensión en el extremo receptor de la línea cuando la carga varia de en vacio hasta una carga plena especificada, con un factor de potencia especificado, mientras la tensión en el extremo emisor se mantiene constante. Expresada como un porcentaje de la tensión a plena carga,

%RT = X 100 Ecuación (18)

En donde RT en porciento es la regulación de la tensión en porcentaje |VREV| es la magnitud de la tensión en el extremo receptor en vacio y |VRPC |es la magnitud de la tensión en ese mismo extremo a plena carga.

VRY2

YZ2

Y2YZ

4YZ2

YZ2

1 + Z

Y ( 1 + YZ 4

1 + YZ2

YZ2

YZ4

|VREV | - |VRPC ||VRPC |

Is IR

+ + Vs VR

- -Impedancia en serie

1 Z

0 1

Is IR

+ + Vs Y VR

- -Admitancia en derivación

1 0

Y 1

Is Z1 Z2 IR

+ + Vs Y VR

- -Circuito T

(1 + YZ1) (Z1 + Z2 + YZ1Z2)

Y (1 + Y1Z)

Is Z IR

+ + Vs Y1 Y2 VR

- -Circuito II

(1 + Y2Z) Z

(Y1 + Y2 + Y1Y2Z) (1 + Y1Z)

+ Is IR + Vs VR

- -Redes en serie

A1 B1 A2 B2 (A1A2 + B1C2) (A1B2 + B1D2)

C1 D1 C2 D2 (C1A2 + D1C2) (C1B2 + D1D2)

FIGURA (II.4) PARAMETROS ABCD DE REDES COMUNES

En la Figura (II.5) se ilustra, por medio de diagramas fasoriales, el efecto del factor de potencia de la carga sobre la regulación de la tensión, para líneas cortas. Los diagramas fasoriales son representaciones graficas de la ecuación (5) para cargas con factor de potencia atrasado y adelantado. Observe que, a partir de la ecuación (.5), en vacio, RPC = 0 y VS = VREV, para una línea corta. Como se muestra se tiene la regulación más alta (la peor) de la tensión para la carga con f.p. atrasado en donde VREV sobrepasa a VRPC en la cantidad más grande. Se tiene una menor, o incluso regulación de la tensión negativa, para la carga con f.p. adelantado. En general, por la ecuación (II.1), la tensión en vacío, con REV = 0,

VREV = Ecuación (II.19)

La cual se puede usar en la ecuación (II.18) para determinar la regulación de la tensión.

Vs = VREV

jXIRPC IRPC jXiRPC

RIRPC

VRPC RIRPC VRPC

IRPC

(a) Carga con f.p. atrasado (b) Carga con f.p. adelantado

A1B1C1D1 A2B2C2D2

VS

A

VS = VREV

Ejemplo (II.1) Parámetros ABCD y el circuito π nominal: línea de longitud media.Una línea trifásica de 60 Hz, completamente transpuesta, de 345 kV y de 200 km de longitud tiene dos

conductores ACSR 26/2 de 795000 cmil por haz y las siguientes constantes de secuencia positiva:Z = 0.032 + j0.35 Ω/kmy = j4.2 X 10-6 S/km

la plena carga en el extremo receptor de la línea es de 700MW, con un f.p. de 0.99 adelantado y a 95 % de la tensión nominal. Suponiendo una línea de longitud media, determine lo siguiente:

a. Los parámetros ABCD del circuito π nominal.

b. La tensión Vs la corriente s y la potencia real Ps en el extremo emisor.

c. La regulación de la tensión en porcentaje.

d. El limite térmico con base en la capacidad aproximada de transmisión de corriente dada

en la tabla A.4.

e. La eficiencia de la línea a plena carga.

SOLUCION:a. Los valores de la impedancia en serie y la admitancia en derivación totales son:

Z = zl = (0.032 + j0.35)(200) = 6.4 + j70 = 70.29/84.78° Ω

Y = yl = (j4.2 X 10-6)(200) = 8.4 X 10-4 /90° S

Con base en las ecuaciones (II.15) a la (II.17),

A = D = 1 + (8.4 X 10-4 /90° )(70.29 /84.78° )(½)

= 1 + 0.02952 /174.78°

= 0.9706 + J0.00269 = 0.9706/0.159° por unidad

B = Z = 70.29/84.78° ΩC = (8.4 X 10-4 /90°)(1 + 0.01476/174.78°)

= (8.4 X 10-4 /90°)( 0.9853 + j0.00134)

= 8.277 X 10-4/90.08° S

b. Las cantidades de tensión y de corriente en el extremo receptor son;

VR = (0.95)(345) = 327.8 kVLL

VR = /0° = 189.2 /0° kVLN

R = = 1.246/8.11° kA

De las ecuaciones (II.1) y (II.2) las cantidades quedan así:

Vs = AVR + B І R

= ( 0.9706∠0.159O ) ( 189.2 ∠00 ) + ( 70.29 ∠84.780 ) ( 1.246 ∠8.110 ) =183.6∠ 0.1590 + 87.55∠92.890

=179.2 + j87.95 = 199.6∠26.140 KVLN VS =199.6 √3 = 345.8 KVLL ≈1.00 porunidad

Para calcular І stenemos dos formas ó alternativas :

327.8 3

700 /cos -1 0.99 ( 3) (0.95 X 345)(0.99)

І s = ІR + V R2

Y + V S2

Y ( una forma )

І S = C V R+ A ІR ( otra forma )

І s=¿ ( 8.277x10−4∠ 90.080 ) ( 189.2∠00) + (0.9706∠0.1590) (1.246∠8.110 )

І s=¿0.1566∠90.080 + 1.209∠8.270

І s=¿ 1.196 + J0.331 = 1.241∠ 15.50 KA

Y la potencia real entregada al extremo emisor es :

PS = √3 VS I S cos θ ; θ = VS – IS por lo tanto θ = 26.140- 15.50

PS = √3 (345.8) ( 1.241 ) cos ( 26.140 – 15.50 ) =730.5 MWAhora por la ecuación (II.19) la tensión en vacio en el extremo receptor es:VREV =V S

A ; VREV = 345.8

0.9706 = 356.3 KVLL

Y ahora de la ecuacion ( II.18 ) el porciento de regulación % RT = V REV−V RPC

V RPC X 100

% RT = 356.3−327.8327.8

x 100 = 8.7%d).- De la tabla A.4, la capacidad aproximada de conducción de corriente de dos conductores ACSR 26/2 de 765000 cmil es de 2X 0.9= 1,8KAe).- Las pérdidas de la línea a plena carga son PS – PR = 730.5 – 700= 30.5 MW y la eficiencia de la línea de transmisión a plena carga es:%EF = PR

Ps x 100 cambiando valores reales tenemos:

%EF = 700730.5

x 100 = 95.8%

Dado que VS=1.00 por unidad, la tensión a plena carga en el extremo receptor de 0.95 por unidad corresponde a VR/VS= 0.95, lo que en la práctica se considera que es alrededor de la tensión más baja de operación posible sin encontrar problemas operativos. Por lo tanto, para esta línea sin compensar de 345 KV y de 200 Km de longitud, la caída de tensión limita la corriente a plena carga de 1.246 KA. Con un factor de potencia de 0.99 adelantado, muy por debajo del limite térmico de 1.8 KA.

(II.2) LINEAS DE TRANSMISION LARGAS “ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA LINEA DETRANSMISION”

Considere el circuito como se muestra en la figura (II.6). El cual representa una sección de línea de longitud ∆x. V(x) (x) denotan la tensión y la corriente en la posición x. la cual se mide en metros desde la derecha, o extremo receptor de la línea. De modo semejante. V (x + ∆x) (x + ∆x) denotan la tensión y la corriente en la posición (x + ∆x).

Las constantes del circuito son:Z = R + jWL [Ω/m] Ecuación (II.2.1)Y = G + jWC [S/m] Ecuación (II.2.2)

En donde G suele despreciarse para las líneas aéreas de 60 HzI(x + ∆x) Z∆x I(X)

+ +V(x + ∆x) V(X) G - -

FIGURA (II.6) SECCION DE LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD ∆X

Aplicamos la LKV al circuito tenemos:V(x + ∆x ) = V(X) + (X) (Z∆x) Ecuación (II.2.3)V(x + ∆x ) - V(X) = (X) (Z∆x) ReacomodamosV(x + ∆x ) - V(X) = (X) (Z∆x) Despejamos Z(X) Z

= (x)Z Ecuación (II.2.4)

NOTA PARA RESOLVER ESTA ECUACION EXISTEN DOS METODOS.

f(x) = = (X)Z 1er METODOf´(x) lim∆x 0

f´(x) lim∆x 0

f´(x) lim∆x 0 = V(x)

2do METODO= -

= [ ]-[ ]

= [ ]-[ ]

V(x + ∆x ) - V(X)

∆x

(x + ∆x)

Y∆x Y∆x

Y = G + jWE

V(x + ∆x ) - V(X)

∆x

V(x + ∆x ) + V(x + ∆x ) - V(x + ∆x )

∆x

ddx

V(x) + V∆x + V(x) + V∆x - Vx - V∆x

∆xddx

V(x)

0

UV(x + ∆x)V ∆x

ddx

V(x) U

∆x V

∆X V(x + ∆x) - V(x + ∆x) ∆X

∆x2

ddx

ddx

∆X V(x) - V(x) ∆X

∆x2

ddx

ddx

ddx

∆X V(x) + ∆X - V(x) - V∆X ∆X

∆x2

ddx

∆X V(x) - V(x) ∆X

∆x2

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

por lo tantof´(x) = V(x) entonces de acuerdo a la derivada de la función nos queda

= V(x)

f´(x) = lim∆x 0 = V(x)

= V(x)

= lim∆x0 [- V(x) ] por lo tanto

= V(x)

Por lo tanto V(x)= Z (x) Ecuación (II.2.5)

De igual manera aplicando la LKC al circuito de la Figura (5.6) tenemos:

(x + ∆x) = (x) + Y(∆x) V(x)[A] Ecuación (II.2.6)(x + ∆x) - (x) = Y(∆x) V(x) (después Y V(x)), tenemos;

= Y V(x) Resolvemos esta ecuación que hay dos métodos. 1er METODOf(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0 =(x)

por lo tanto la ecuación queda: (x) = Y V(x) Ecuación (II.2.8)

2do METODO= = Y V(x)

= -

= [ ]-[ ]

= [ ]-[ ]

= lim∆x0 = (x) por lo tanto

(x) = Y V(x)

Las ecuaciones (II.2.5) y (II.2.8) son dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y de primer orden con dos incógnitas, V(x) (x). Se puede eliminar (x) al derivar en la ecuación (II.2.5)

V(x) = Z (x) Ecuación (II.2.5)

(x) = Y V(x) Ecuación (II.2.8)

[ V(x) ] = [Z (x)

Z = cte V(x) = Z (x) Pero: ecuación (II.2.8) dice (x) = Y V(x) , entonces

V(x) = ZY (x) o bien puede ser: Ecuación (II.2.9)

ddx

ddx

ddx

(x + ∆x) - (x)

∆x

(x + ∆x) - (x)

∆x

(x + ∆x) + (x + ∆x) - (x+ ∆x)

∆x

x + ∆x + x + ∆x - x –∆x

∆x

(x) + ∆x

∆x

ddx

(x + ∆x) - (x)

∆x

ddx

(x + ∆x)u

∆x v

(x)u

∆xv

ddx

∆x (x + ∆x) - (x + ∆x) ∆x

∆x

ddx

∆x (x) - (x) ∆x

∆x2

ddx

ddx

∆x (x) + ∆x - (x) - ∆x ∆x

∆x2

∆x (x) - (x) ∆x

∆x2

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx d

dx

d2

dx2

d2

dx2

V(x) - ZY (x) = 0 Ecuación (II.2.10)

La ecuación (II.2.10) es una ecuación diferencial homogénea y de segundo orden en una incógnita, V (x), por conocimiento de las matemáticas, ó por inspección, su solución es:

V(x) = A,YX + A2 -YX [volts] Ecuación (II.2.11)

Donde:

A1 y A2 = son constantes de integración yY = Zy [m-1] Ecuación (II.2.12)Y =se llama constante de propagación sus unidades son [ m-1]Enseguida usamos la ecuación (II.2.11) en la ecuación (II.2.5) tenemos: V(x) = Z (x)

[A1 YX + A2 -YX] = Z (x) Ecuación (II.2.13)

[A1 YX YX + A2 -YX]= Z (x)

A1 YX YX + A2 -YX (-YX) = Z (x)

A1 YX (Y) + A2 -YX (-Y) = Z (x)

YA1 YX - YA2 -YX = Z (x) (despejamos (x))

(x) = =

(x) a esta ecuación lo multiplico a ambos miembros por

(x) =

(x) = Ecuación (II.2.14)


Zc = Impedancia característica

De la ecuación V(x) = A1 YX A2 -YX [volts]Zc = [Ω] = 1 Ecuación (II.2.16)Para X= 0, tenemos;V(x) = A1 y(0) + A2 -Y(0)

VR = V(0) Ecuación (II.2.17)VR = A1 +A2 Ecuación (II.2.19)

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

YA1 YX - YA2 -YX

ZY(A1 YX - A2 -YX)

Z

Y(A1 YX - A2 -YX)Z

1Y

Y[A1 YX - A2 -YX] * [1/Y]Z*[1/Y]

A1 YX - A2 -YX

Z/Y

A1 YX - A2 -YX

Zc

ZY

A1 YX - A2 -YX

Zc

(x) = Para X = 0, tenemos:R = (0) Ecuación (II.2.18)(x) =

R = Ecuación (II.2.20)

DESPEJAMOS A1 DE LA ECUACION (II.2.19)VR = A1 +A2 B ∴ A1 = VR - A2

A1 = VR – [ - R Zc + A1 ]A1 = VR + R Zc – A1 A1 + A1 = VR + R ZC 2 A1 = VR + R ZC A1 = Ecuación (II.2.21)

DESPEJAMOS A1 DE LA ECUACION (II.2.20)R = ∴ R ZC = A1 + A2

-A2 =R ZC - A1 ∴ A2 = R Zc + A1

A2 = - R ZC + A1

A2 = - R ZC +A2 = + = A2 = A2 = Ecuación (II.2.22)

V(x) = A1 YX + A2 YX [volts]La ecuación (II.2.11) se integran las ecuaciones (II.2.21) y la ecuación (II.2.22) cual queda de la siguiente forma:

V(x) = [ + ]YX Ecuación (II2.23)

V(x) = + sacamos el común denominador el 2

V(x) =

V(x) =

V(x) = + factorizamos

V(x) = + Ecuación (II.2.25)


Pero A1 = ; A2 = Sustituyendo estas dos ecuaciones en la ecuación (II.2.15) queda de la siguiente forma:

(x) = Ecuación (II2.24)

(x) =

(x) =

(x) =

A1 Y(0X - A2 -Y(0)

Zc

A1 - A2 Zc

VR + R ZC 2

A1 - A2 Zc

VR + R ZC 2

R ZC 1

VR + R ZC 2

2(R ZC )+VR + R ZC 22R ZC +VR + R ZC

2VR - R ZC

2

VR + R ZC

2VR - R ZC

2

[VR + R ZC ] YX

2[VR - R ZC ]-YX

2

YX VR + R ZC YX +[VR-YX - R ZC -YX]2

VR YX + R ZC YX +VR-YX - R ZC -YX

2

VR +VR-YX 2

R ZC YX - R ZC -YX

2

+VR-YX VR 2

YX - -YX R ZC

2

A1 YX - A2 -YX

Zc

VR + R ZC 2

VR - R ZC 2

VR -YX - R ZC -YX

2VR YX + R ZC YX

2-

ZC

[VR - R ZC ] -YX

2[VR + R ZC YX]

2-

ZC

YX - -YX

ZC

VR + R ZC

2VR - R ZC

2

VR -YX - R ZC -YX

2VR YX + R ZC YX

2-

ZC 1

ZC 1

(x) = -

(x) =

(x) =

(x) = +

(x) = VR + +

(x) = + +

(x) = + +

(x) = +

(x) = VR + R Ecuación (II.2.26)

Ahora concluimos que las ecuaciones, ecuación (II.2.25) y ecuación (II2.26) se transforman en las siguientes ecuaciones:

V(x) = + Ecuación (II.2.25)

(x) = VR + R Ecuación (II.2.26)

Ahora reconocerlas ecuaciones (II2.25) y (II.2.26) nos dice que son funciones hiperbólicas de Cos h y Sen h, es decir; V(x) = Cos h (YX)VR + ZC (YX)R Ecuación (II.2.27)

(x) = Sen h (YX)VR + Cos h (YX)R Ecuación (II.2.28)

Las ecuaciones (II.2.27) y (II.2.28) dan los parámetros ABCD de la línea distribuida. En forma matricial nos queda

V(x) VR

Ecuación (II.2.29)(x) R

Donde:

A(x) = D(x) = Cos h(YX) [por unidad] Ecuación (II.2.30) B(x) = ZC Sen h (YX) [Ω] Ecuación (II.2.31) C(x) = Sen h (YX) [S] Ecuación (II.2.32)

[VR YX + R ZC YX]2ZC

[VR -YX - R ZC -YX] 2ZC

VR YX + R ZC YX - [VR -YX - R ZC -YX]2ZC

VR YX + R ZC YX - VR -YX + R ZC -YX

2ZC

VR YX - VR -YX 2ZC

R ZC YX + R ZC -

YX

1ZC

YX - VR -YX 2

R ZC YX 2ZC

R ZC -YX

2ZC

1ZC

R ZC YX 2

1ZC

R ZC -YX

2

R YX 2

R -YX

2

R YX + R -YX

2

1ZC

YX - VR -YX 2

YX + R -YX

2

+VR-YX VR 2

YX - -YX R ZC

2

YX + R -YX

2 1ZC

YX - VR -YX 2

C(x)

A(x) B(x)

D(x)

S = siemens

La ecuación (II.2.29) de la corriente y la tensión en cualquier punto x a lo largo de la línea, en términos de la tensión y la corriente en el extremo receptor.

Para el extremo emisor en donde x = l , V (l) = Vs, (l) = s.Es decir ;

Vs VR

Ecuación (II.2.33)s R

Donde :


Las ecuaciones (II.2.34) a (II.2.35) dan los parámetros ABCD de la línea distribuidas. En estas ecuaciones, la constante de propagación, y, es una cantidad compleja con partes reales e imaginaria denotadas por α y β. Es decir,

γ = α + jβ m-1 Ecuación (II.2.37)

La cantidad γl no tiene dimensiones. Del mismo modo,γl = (αl=jβl) = αljβl = αl /βl Ecuación (II.2.38)

Usando la ecuación (II.2.38), la funciones hiperbólicas cosh y senh se pueden evaluar como sigue:

Cosh(γl) = = (αl /βl + -αl / - βl) Ecuación (II.2.39)

Y

Senh(γl) = = (αl /βl - -αl / - βl) Ecuación (II.2.40)

En forma alterna, se pueden usar las identidades siguientes:

Cosh(αl + jβl) = cosh (αl) cos(βl) + j senh(αl) sen (βl) Ecuación (II.2.41)Senh(αl + jβl) = senh (αl) cos(βl) + j cosh(αl) sen (βl) Ecuación (II.2.42)

Observe que las ecuaciones (II.2.39) a (II.2.42), la cantidad a dimensional βl se expresa en radiantes, no grados.

C

A B

D

1ZC

yl + -yl

2 12

yl - -yl

2 12

Los parámetros ABCD dados por las ecuaciones (II.2.34) a (II.2.36) son exactos y validos para cualquier longitud de línea, para cálculos precisos, se deben utilizar estas ecuaciones para líneas aéreas de 60 Hz con una longitud mayor que 250 km. Los parámetros ABCD deducidos en la sección 5.1 son aproximados que se usan mejor para cálculos manuales que comprenden líneas cortas o de longitud media. En la tabla 5.1 se resumen los parámetros ABCD para líneas cortas, medias, larga y sin perdidas.

EJEMPLO DE APLICACIÓNPARÁMETROS ABCD EXACTOS: LINEA LARGA

Una línea larga trifásica de 765 kv, 60 Hz y 300 km de longitud completamente transpuesta, tiene la impedancia y admitancia, en sec (+) y tiene los siguientes valores:

Z = 0.0165 + j0.03306 = 0.3310 /87.114° [Ω/ Km]Y = 0 + j4.674 X -6 [ s/ km] = 4.674 /90 X 10 -6

Suponiendo la operación en secuencia positiva, cálculos los parámetros ABCD exactos de la línea. Comprar el parámetros exactos B en el circuito π nominal ( ver tabla 5.1 pág. 220)

SOLUCION

Zc = = Ecuación (II.2.16)

Y = Zy [m-1] Ecuación (II.2.12)Zc = [Ω] Ecuación (II.2.16)

ZC = 0.70817 X 10 +6 |-2.86° = 7.08 X 104 |2.86°

ZC = 266.12 |- 1.43° ΩY = Z y = 0.3310 |87.14° [4.674 X 10-6|90°] = 1.547094 X 10-6|177.14°Y = 12.438 X 10-4 |88.57°Yl = 12.438 X 10-4|88.57° X 300 kmYl = 0.37314|88.57° = 0.00931 + j0.3730 [en por unidad]

γl = (αl=jβl) = αljβl = αl /βl Ecuación (II.2.38)

yl = 0.00931 + j0.3730 = 0.00931 |0.3730°yl = 0.00931 |0.3730° [rad]yl = 1.00935 |0.3730° [rad]

Yl = 0.00931 + j0.3730 [P.v.]yl = 0.00931 + j0.3730

αljβl = αl /βlαljβl = 0.00931 |0.3730° [Rad]αljβl = 0.00931 |0.3730°

Ahora se convierte en forma cartesiana.yl = 0.9400 + j0.3678Ahora para encontrar -yl -yl = -0.00931 - j0.3730 = -0.00931 |-0.3730° radianes.-yl = -0.00931 - j0.3730 = 0.99073 |-0.3730° = 0.9226 – j0.3610

Ahora sustituyendo en la ecuación (II.2.39) Y (II.2.40) tenemos

ZY

0.3310 |87.14 ° 4.674 X 10-6 |90

ZY

Cosh(γl) = = = = = 0.91313|0.20917 = + j0.0034

Senh(γl) = = = = = 0.36455|88.63°

= 0.0087 + j0.3644

Por último las ecuaciones (II.2.34), (II.2.35) y (II.2.36) se sustituyen los valores calculados.


A = D = 0.93.139 |0.20917°[por unidad]B = [266.12 |1.43°] [0.36455 |88.63° ] = 97.014 |87.2 [Ω]C = [0.36455|88.63° ] = [3.757 X 10-3 |1.43° ] [ 0.36455|88.63°] = 1.37 X 10-3 |90.06° [siemens]

Usando la ecuación (II.16) B= Z[Ω], tenemos B π nominal = Zl B π nominal = 0.3310|87.14°(300km)B π nominal = 99.3 |87.14° (Ω) ∴ el cual es el 2% mayor que el exacto.

LINEAS DE LONGITUD MEDIA pagina 8 ( repaso del ejemplo anterior de la línea media )

APLICAMOS LA LKV

VS = s Z + R Z + VR

= ; = ; = VY

Y = admitancia [Siemens]

VS = Z + R Z + VR

VS = (VR ) Z + R Z + VR

Factorizar Z; tenemos:

VS = ( VR + R )Z + VR

REORDENAMOS

yl - -yl

2

yl + -yl

2 [0.9400 + j0.3678] + [0.9226 – j0.3610]

21.8626 + j6.8 X10-3

21.8626 |0.209173

2 |0 °

[0.9400 + j0.3678] - [0.9226 – j0.3610] 2

0.0174 + j0.7289 2

0.7291 + |88.63 ° 2

1ZC

1266.12 |-1.43°

VZ

V1/ Y

Y2

Y2

VR Y2

VS = VR + Z (R + ) ecuación 1

Aplicamos ahora para las corrientes LKC

s = VS + VR + R ecuación 2

Corriente corriente corrienteEn el circuito en el circuito de general externo receptor rama

sustituyendo en ecuación 1 en ecuación 2,tenemos:

s = [VR + Z (R + )] + VR + R

s Z = zl R

+ +VS VR

- -

De la ecuación 1 tenemos otra forma VS = VR +Z (R + )

VS = VR + Z R +

VS = VR + + ZR

VS = (1 + )VR + ZR ecuación 1

s = [ VR + Z (R + ) + VR + R

s = VR ( ) + ZR ( )+ Z VR( )( )+ VR ( ) + R

s = VR ( ) + ZR ( )+ Z VR( )+ VR ( ) + R

s = 2VR ( ) + (Z ( )+ 1) R + Z VR ( )

s = VR(Y) + (Z ( )+ 1) R + Z VR ( )

s = VR (Y) + Z ( ) + 1)R +

R = VRY [ 1 + ] + (Z ( )+ 1) R

Resumiendo en forma general tenemos:

VS = VR ( (Z) + 1 ) +R Z

A BVS = A VR + B R

s = VR Y [ + 1] + ( + 1) R

C D

A = Z( ) + 1

Y2

Y2

Y2

Y2

Y = Yl2 2

Y2

VR Y2ZVR Y2

ZVR Y2

ZY2

VR Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

YY4

Y2

Y2

Y2

YY4

Y2

YY4

Y2

Z VR YY4

ZY4

Y2

Y2

ZY2

ZY4

Y2

ZY4

Y2

B = ZC = Y [ + 1]D = Z( ) + 1

VS VR

s s

Vs VR

=

VR R

Condición AD-BC = 1∆T = ( 1 + )( 1 + ) – Z [ Y (1 + )]

∆T = ( )( ) – Z [ Y + )]

∆T = ( ) – [Z Y + ]

∆T = ( + + ) – ( ZY + )

∆T = (1 + YZ + ) – ZY-

∆T = 1 + YZ + – ZY-

∆T = 1 por lo tanto AD - BC = 1 DEMOSTRADOPARAMETROS ABCD

DATOS DATOSLínea = 3 Ф V = 345 Kvf = 60 ciclos l = 200Km

Completamente transpuesta

2 conductores ACSR 26/2 de 795000 cmil por haz, secuencia positiva.

Z = 0.032 + j0.35 [ Ω/Km]Y = 0 + j4.2 X 10-6 [S/Km]

A plena carga de la línea en el extremo receptor = 700 MW, con un factor de potencia de 0.99 adelantado y a 95% de la tensión nominal. Suponiendo una línea de longitud media determine lo siguiente:

a) Los parámetros ABCD del circuito π nominal.b) La tensión VS, la corriente s y la potencial real Ps en el extremo emisor.c) La regulación de la tensión en porcentaje. d) La eficiencia de la línea a plena carga.

SOLUCION

C

YZ2

1 + Z

Y 1 + YZ4

1 + YZ2

A B

D

YZ2

YZ2

YZ4

2 + YZ2

YYZ4

2 + YZ2

YYZZ4

4 + 4YZ + YYZZ4

4 44 4

4YZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

a) Los valores de la impedancia SERIE y la admitancia en DERIVACION totales son:Z = Zl = (0.032 +j0.35)(200) = 6.4 + j70 = 70.29|84.78° [Ω]Y = Yl = (0+ j4.2 X 10-6)( 200) =0 + j840 X 10-6 = 0 + j8.40 X 10-4 = 8.4 X 10-4 |90° |S

Con base a las ecuaciones : A = D = 1 + [P. U.]B = Z [ Ω ]C = Y [1 + ] [ siemens]

A = D = 1 + = 1 + A = D = 1 + = 1 + 0.02952|174.78°A = D = 1 +(-0.02939 + j2.685 X 10-3)A = D = 1 – 0.02939 + j 2.685 X 10-3 = 0.97061 + 2.685 X 10-3

A = D = 0.970613 |0.15849°[Por unidades (P.U.)]B = Z =70.29 |84.78° [ Ω ]C = Y [1 + ]C = 8.4 X 10-4 |90° [1 + ]C = 8.4 X 10-4 |90° [1 + ]C = 8.4 X 10-4 |90° [1 + 0.01476 |174.78 ] ]C = 8.4 X 10-4

|90° +1.23984 X 10-5 |264.78°C = 0+ j8.4 X 10-4 + (-1.128 X 10-6 – j1.2346 X 10-5)C = 1.128 X 10-6 + j8.276 X 10-4 = 8.276 X 10-4 |90.08° [siemens] – 89.92 + 180 = 90.08°C= 8.276 X 10-4 |90.08° [S]

b) Las cantidades de tensión y corriente en el extremo receptor es:

VR = 0.95 (345 Kv) = 327.8 KvLL

VR = |0° = 189.2|0° KvLN

R =

R = = =

R = 1.245 |8.11° [KA]

Las cantidades de tensión y corriente en el extremo EMISOR son:VS = (1 + ) VR + Z R

Pero A = D= [ 1 + ] por lo tantoVS = A VR + Z R VS = 0.970613 |0.15849° * 189.2 |0° + 70.29|84.78° * [1.245 |8.11°]VS = 183.64 |0.15844 + 87.511 |92.89°VS = 183.64 + j0.5679 + [-4.412 + j 87.4]VS = 183.64 + j0.5079 – 4.412 + j87.4 = 179.228 j87.90VS = 199.622 |26.125° [ volts][KVLN] voltaje de línea a neutro

YZ2

YZ4

YZ2

8.4 X 10-4 |90° * 70.29 |84.78° 2

0.05904 |174.782

YZ4

8.4 X 10-4 |90° * 70.29 |84.78° 4

0.05904 |174.78° 4

327.8 Kv3

700 Kw |8.11°3 (327.8) + P

P3 KLL Cos Y

700 |8.11°3 (327.8)(0.99)

700 |8.11°562.088

YZ2

YZ2

VS = 199.622 |26.125° [KVLN] línea a neutroVS = 3 * 199.622 |26.125° = 345.755 KVLN ≈ 1.00 P.U.

[NOTA: VER DATOS DEL PROBLEMA (INICIO) = 345 KV]

UNA FORMA

s = R + + s = 1.245|8.11 + + s = 1.245 |8.11 + +s = 1.245 |8.11 + 0.079464 |90 + 0.08384 |116.125°s = 1.232 + j0.1756 + j0.079464 + [-0.0369 +j0.07527]s = 1.232 + j0.1756 + j0.079464 – 0.0369 + j0.07527s = 1.1951 + j0.330 = 1.239 |15.43° [KA]

OTRA FORMA

s = Y ( 1 + ) VR + (1 + ) R C A = D

s = C VR + A R s = [8.276 X 10-4 |90.08° ][189.2 |0° ] + 0.970613 |0.15849° [1.245|8.11°]s = 0.15358 |90.08° + 1.208 |8.26°s = -2.186 X 10-4 + j0.15658 + 1.195 + j0.1735 =1.194 +j0.330s = 1.238 |15.44° [KA]

Y LA OTRA POTENCIA REAL ENTREGADA AL EXTREMO EMISOR ES:

PS = 3 VS s cos

Ps = 3 [345.755][1.239] cos

Ps = 3 [345.755][1.239] cos

Ps = 741.99 cos 26.125° – 15.93°

Ps = 741.99 cos 10.71°

Ps = 729.068 Mw

Ahora para calcular la tensión en vacio en el extremo receptor tenemos:A partir de la Ecuación (II.5), VS = VR + Z R : donde :

VR = VREV

VS = Voltaje EmisorVREV = Voltaje Receptor en Vacio

NOTA: COMO LA TENSION ES EN VACIO R = 0, POR LO TANTO

VS = VREV ; pero VS = A VR + B R [volts] para R = 0 Ecuación (II.1)VS = A VRVR = VR = VREV

VR Y2

VS Y2

189.2 |0° 8.4 X 10-4 |90°2

199.622 |26.1252

0.158928|90°2

0.167.68|116.125°2

YZ4

YZ2

VS

s

VS A

VS

s 26.125°

15.43°

VS A

345.7550.970613

VREV = = = = 356.223 KVLL

VREV = Voltaje en el extremo Receptor en Vacio es: 356.223 KVLL

Ahora para calcular la regulación de transformación a partir de la ecuación (II.118)

%RT = X 100

%RT = X 100 =

FORMULA

|356.233| - |327.8||327.8|

|VRECEPTOR EN VACIO| - |VRECEPTOR A PLENA CARGA|| VRECEPTOR A PLENA CARGA |

|VREV| - |VRPC||VRPC|

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